Trêng THPT Thµnh Sen GV: TrÇn V¨n §øc-0977864088
ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ TĨNH NĂM 2010 Thời gian 180 phút
3
2
1. a. Giải phương trình:
2
2
b.Giải hệ phương trình
2
2
2
+ + + 4 x x x x 2 (cid:236) + = y x (cid:239) - (cid:239) (cid:237) (cid:239) = - x y (cid:239) x (cid:238)
- = + +
[
a b ˛ ,
] 1;1
2
với
f x ( ) x ax b
£
) ( + | 1 |
) + | 1
2
+ 2 5 | x 1
2
2
(cid:236) = 4 3 13 y x 25 + y ,x x là hai nghiệm của tam thức 2. Gọi 1 Chứng minh ( x 2 3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm + (cid:239) = y m (cid:237) x + + 4 2 = - (cid:239) x 4 y m 2 (cid:238)
a
c
b
4. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM thoả mãn điều kiện AM=AB Chứng minh rằng sinA=2sin(B-C) 5.Cho tam giác ABC gọi a,b,c và
3
3
3
, , m m m là cạnh và độ dài đường trung tuyến.Tìm min
3
3
3
2
= + + P a m a b m b c m c
Hướng dẫn đáp án 1. a. đk, đặt 4
+ = = x u , x
2
2
, nghiệm x=2 v 13 x
b.đk, hệ viết lại
2
(cid:236) + = x y (1) (cid:239) - (cid:239) (cid:237) (cid:239) + =
(
)
x y (2) (cid:239) - y 25 y x (cid:238)
+ + = + + -
) 2
(
Lấy (1) trừ (2) được (3) sau đó lấy (1) cộng (3) ta tìm được nghiệm 2. Ta có ) ( ( + | 1 |
) + | 1
2
| 2 2 | 1 | | | x x 1 2 x x 1 2 x 1 x 2 x x 1 2 x 2 x 1
2
= + + - £ | b | a 2 | b + b | 2
2
3. Đặt
Lúc đó ta có hệ
(II)
v= + = 5 , 2 y x 4 u (cid:236) (cid:239) (cid:237) = - - + 1 2 u ‡ đk = + u v m (
)
2 m m
u v . 2 (cid:239) (cid:238) 1 2
Trêng THPT Thµnh Sen GV: TrÇn V¨n §øc-0977864088
Hệ (I) có nghiệm khi và chỉ khi hệ (II) có nghiệm
u ‡ 2
- - -
(
)
2 m m
t ‡
2
Ta có u,v là nghiệm phương trình
có nghiệm
Đặt X=t-2 lúc đó phương trình theo X có nghiệm
2
1
2
+ 2 t mt 0 = 2 1 2 0X ‡ £ £ Ø 0 X (cid:219) (cid:219) £ £ 2 m 3 Œ X 1 < £ 0 X X º
— — + — MAC ACM M
= —
C
B
Suy ra MAC
ABC
ACM
Mà
2
(cid:222) — - — S AM AC . .sin AB AC . .sin A . D = — 4. Xét tam giác ABC ta có BMA = ACM = — vì B 1 = MAC 2 = (cid:222) - S sin = A 2sin( 2 S 1 2 B C ) D D
2
2
2
2
2
5. Ta có
a = ‡ + - a 2 3 + + 2 b a c a m a 2( b ) a
c 4
