S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O ĐÀ Ở Ụ Ạ
N NGẴK THI H C SINH GI I TOÁNỲ Ọ Ỏ
THÀNH PH L P 12Ố Ớ
Năm h c 2013-2014ọ
Th i gian làm bài: 180 phútờ
Đ thi h c sinh gi i Toán l p 12 t i Đà N ngề ọ ỏ ớ ạ ẵ
Bài 1: (5 đi m)ể
Tìm t t c các hàm s sao cho ấ ả ố
Bài 2: (5 đi m)ể
Cho n s nguyên d ng đôi m t khác nhau (). Đt . V i m i l y . Ch ng minh ố ươ ộ ặ ớ ộ ấ ứ
nguyên v i m i k t nhiên.ớ ọ ự
Bài 3: (5 đi m)ể
Cho đng th ng d và đi m A không n m trên d. G i H là hình chi u c a A trên d và ườ ẳ ể ằ ọ ế ủ
K là trung đi m c a AH. Hai đng tròn (M), (N) di đng nh ng luôn ti p xúc v i d vàể ủ ườ ộ ư ế ớ
ti p xúc v i nhau t i A. Ch ng minh:ế ớ ạ ứ
a) Ph ng tích c a K v i đng tròn đng kính MN không đi.ươ ủ ớ ườ ườ ổ
b) Ch ng minh đng tròn đng kính MN luôn ti p xúc v i đng tròn c đnh.ứ ườ ườ ế ớ ườ ố ị
Bài 4: (5 đi m)ể
Cho b ng k ô vuông kích th c . Hãy tìm giá tr l n nh t c a k sao cho k tho mãn ả ẻ ướ ị ớ ấ ủ ả
đi u ki n: ta có th tô màu k ô vuông đn v c a b ng sao cho không có hai ô vuông ề ệ ể ơ ị ủ ả
đn v nào đc tô mà có đnh chung.ơ ị ượ ỉ
Bài 5: (6 đi m)ể
Cho s nguyên t . G i . Ch ng minh:ố ố ọ ứ
Bài 6: (7 đi m)ể
Cho tam giác ABC và đi m C’ n m trên đng th ng AB. Ch ng minh r ng:ể ằ ườ ẳ ứ ằ
a) T n t i duy nh t tam giác A’B'C’ đng d ng v i tam giác ABC mà các đi m A’ và ồ ạ ấ ồ ạ ớ ể
B’ n m l n l t trên đng th ng BC và AC.ằ ầ ượ ườ ẳ
b) Tr c tâm c a tam giác A’B'C’ không ph thu c v trí c a đi m C’ trên đng th ng ự ủ ụ ộ ị ủ ể ườ ẳ
AB.
Bài 7: (7 đi m)ể
Cho (H) là m t đa giác đu 24 c nh. M i đnh c a (H) s đc tô b i ch m t trong haiộ ề ạ ỗ ỉ ủ ẽ ượ ở ỉ ộ
màu xanh và đ. Khi đó, n u (K) là m t đa giác đu tho mãn đng th i hai đi u ki n:ỏ ế ộ ề ả ồ ờ ề ệ
- T p đnh c a (K) là t p con c a t p đnh c a (H).ậ ỉ ủ ậ ủ ậ ỉ ủ
- T t c các đnh c a (K) đc tô b i cùng m t màu.ấ ả ỉ ủ ượ ở ộ
thì ta g i (K) là m t m u đn s c. Hãy tính s cách tô màu các đnh c a (H) sao cho ọ ộ ẫ ơ ắ ố ỉ ủ
không có m u đn s c nào đc t o ra.ẫ ơ ắ ượ ạ