Câu I (4,0 điểm).
1.Giải phương trình 2 2
2cos 2 3 cos 4 4cos 1
4
x x x
2.Cho các số 5 ;5 2 ;8
x y x y x y
theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng; đồng thời các số
2
2
( 1) ; 1; 2
y xy x theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm
,x y
.
Câu II (5,0 điểm).
1. Tính tổng
2 3 4 n
n n n n
S 2.1C 3.2C 4.3C ... n(n 1)C
2.Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có sáu chữ số khác nhau. Tính xác suất để chọn được một số có 3
chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ.
Câu III (5,0 điểm).
1.
Tìm
2
2
lim
4 3 2
n n n
n n n
2. Giải hệ phương trình
2 2
4 8 17 1
21 1 2 4 3
x x x y y
x y y y x
Câu IV(2,0 điểm).
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3; 4), B(1; 2), đỉnh C thuộc đường thẳng
: 2 1 0
d x y
, trọng tâm G. Biết diện tích tam giác GAB bằng 3 đơn vị diện tích, hãy tìm tọa độ đỉnh
C.
Câu V (4,0 điểm).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn
đáy bé
AD a
,
AB b
. Mặt
bên SAD là tam giác đều. M là một điểm di động trên AB, Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với SA, BC.
1. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi
mp P
. Thiết diện là hình gì?
2. Tính diện tích thiết diện theo a, b và
, 0 .x AM x b
Tìm x theo b để diện tích thiết diện lớn
nhất
-----------------Hết-----------------
Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:........................................................................................
Họ và tên, chữ ký: Giám thị 2:........................................................................................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn thi: Toán – Lớp 11
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
ĐỀ CHÍNH THỨC
Huớng dẫn chấm
Câu Nội dung Điểm
Câu I.
1 2 2
2cos 2 3 cos 4 4cos 1
4
x x x
PT
12cos124cos34
6
cos1
xxx
xxx 2cos24cos34sin
0.5
xx 2cos
6
4cos
0.5
22
6
4
22
6
4
kxx
kxx
Zk
kx
k
x
12
336
1.0
2 5 ;5 2 ;8
x y x y x y
theo thứ tự lập thành CSC nên ta có:
5 8 2 5 2
2 1
x y x y x y
x y
0.5
2 2
1 ; 1; 2
y xy x theo thứ tụ lập thành CSN nên ta có:
2 2 2
1 2 1 2
y x xy
0.5
Thay (1) vào (2) ta đc:
2
2 2 2
4 2 4 2
2
1 2 2 2 1
4 2 1 4 4 1
3
3
32
43
3
2
y y y
y y y y
y x
y
y x
1.0
Câu II
1
2 3 4 n
n n n n
S 2.1C 3.2C 4.3C ... n(n 1)C
Số hạng tổng quát:
1.0
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH 2
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP
TRƯỜNG
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn thi: Toán – Lớp 11
ĐỀ CHÍNH THỨC
2
2
!
1 1
! !
1 2 !
2 ! 2 ! 2 !
1 2
k
k n
k
n
n
u k k C k k
k n k
n n n
k n k
n n C k n
0 1 2
2 2 2
1 ... n
n n n
S n n C C C
1.0
2
1 2n
n n
0.5
2. Số phần tử của không gian mẫu: 6 5
10 9
136080
n A A
0.5
*Số các số tự nhiên có 6 chữ số có3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ là
TH1: (số tạo thành không chứa số 0)
Lấy ra 3 số chẵn có:
3
4
C
Lấy ra 3 số lẻ có:
3
5
C
Số các hoán vị của 6 số trên: 6!
Suy ra số các số tạo thành: 3 3
4 5
. .6! 28800
C C
0.5
TH2: ( số tạo thành có số 0)
Lấy ra hai số chẵn khác 0:
2
4
C
Lấy ra 3 số lẻ:
3
5
C
Số các hoán vị không có số ) đứng đầu:
6! 5! 5.5!
Số các số tạo thành: 2 3
4 5
. .5.5! 36000
C C
0.5
Gọi biến cố A: “số đuợc chọn có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ”
Suy ra :
28800 36000 64800
A
n
Xác suất xảy ra biến cố A:
64800 10
136080 21
A
A
n
Pn
1
Câu III
1
2
2
22
2
2
4 3 2
lim lim
4 3 2 3
3
4 2
4 3 2 2
lim lim
3
1
33 1 1
n n n n
n n n
n n n n n n n
n n n n
n n n
n
2.0
2
2 2
4 8 17 1 1
21 1 2 4 3 2
x x x y y
x y y y x
Điều kiện:
0
y
2 2
22
2 2
1 ( 4) 8 17 1 0
4
4 0
8 17 1
x y x x y
x y
x y x x y
0.5
2 2
4 4
4 0
8 17 1
x y x y
x y x x y
2 2
4
4 (1 ) 0
8 17 1
4
x y
x y x x y
y x
0.5
Vì:
22
2 2 2 2
4 1 4 1
4
1 0 ,
8 17 1 8 17 1
x x y y
x y
x y
x x y x x y
0.5
Thay
4
y x
vào 2 ta đuợc:
2 4 25 1 2 16
4 2 25 5 8 2 16 0
1 1 12
0
4 2 25 5 8 2 16
x x x x
x x x x
x
xx x x x
0.5
0 4
1 1 12 0
4 2 25 5 8 2 16
x y
vn
x
x x x x
0.5
0.5
Câu IV Ta có:
2;2 , 2 2
BA AB
Phuơng trình đuờng thẳng AB: 1 2
1 0
1 1
x y x y
0.5
: 2 1 0 1 2 ;C d x y C t t
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC suy ra: 2
1 ;2
3 3
t
G t
0.5
Khoảng cách từ G đến AB:
;
2
G AB
t
d
0.5
Vì diện tích GAB bằng 3 đơn vị nên ta có:
0.5
;
3 7;3
1. 3
2
3 5; 3
G AB
t C
d AB t C
Câu V + Từ M kẻ đuờng thẳng song song với BC và SA lần luợt cắt DC tại N, SB tại Q.
+ Từ Q kẻ đuờng thẳng song song với BC cắt SC tại P.
Thiết diện hình thang cân MNPQ
0.5
0.5
+ Tính diện tích MNPQ
Ta tính đuợc 2. .
, ;
b x a x ab ax
MQ NP a PQ MN
b b b
từ đó tính đuợc
. 3
.2
ab a x
QK
b
1.5
Suy ra diện tích MNPQ là: x
2
2
1 3.
. 3
2 4
MNPQ
a
S MN PQ QK b x b x
b
0.5
2
2 2 2
2 2
3. 3. 3 3. 3. 3.
3
4 12 2 12
MNPQ
a a b x b x a
S b x b x
b b
Dấu “=”xẩy ra khi
3
b
x
.
1
D
A
a
C
S
N
B
b
2a
M
Q
P
x
P
Q
N
M
H
K