Đề thi thử Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 17

Chia sẻ: La Minh đức | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Thêm vào BST

Báo xấu

101
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Để chuẩn bị tốt những kiến thức cơ bản để cho kì thi Đại học sắp tới mời các bạn cùng tham khảo "Đề thi thử Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 17". Đề thi gồm có 10 câu hỏi tự luận có kèm đáp án và hướng dẫn giải chi tiết với thời gian làm bài 180 phút. Cùng tìm hiểu để nắm bắt nội dung thông tin tài liệu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Đề thi thử Đại học năm 2015 môn Toán - Đề số 17

THI THÛ I HÅC NM 2015 SÈ 17 ********** Mæn: To¡n. Thíi gian: 180 phót C¥u 1 (2,0 iºm). Cho h m sè y = x − 8x (1). 4 2 a) Kh£o s¡t sü bi¸n thi¶n v v³ ç thà (C) cõa h m sè (1). b) Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ti¸p tuy¸n vîi ç thà (C) t¤i iºm câ ho nh ë a m f 00 (a) = −4. C¥u 2 (1,0 iºm). a) Cho x ∈ π4 ; π2 thäa m¢n sin x + cos x = 75 . T½nh A = sin x − cos x. 3 3 b) T¼m sè phùc z bi¸t z − 7 +z i = 2 − 3i. C¥u 3 (0,5 iºm). Gi£i ph÷ìng tr¼nh log (x + 1) + log (2x + 3) = 2 (x ∈ R). 3 2 √ 3 C¥u 4 (1,0 iºm). T¼m m º ph÷ìng tr¼nh sau câ nghi»m √ √ √ m 1 − x − 3 1 + x + 12 1 − x2 = 2(8x + m) + 15 (x ∈ R). C¥u 5 (1,0 iºm). T½nh t½ch ph¥n 2 dx. Z x + ln x I= 1 (1 + x)2 C¥u 6 (1,0 iºm). Trong m°t ph¯ng vîi h» tåa ë Oxy, cho tam gi¡c ABC câ t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p l I(3; 5), ÷íng ph¥n gi¡c trong gâc A l d : 3x + y − 9 = 0, ch¥n ÷íng vuæng gâc h¤ tø A l D(0; 2). T¼m tåa ë c¡c ¿nh A, B , C . C¥u 7 (1,0 iºm). H¼nh châp S.ABCD câ ¡y l h¼nh vuæng c¤nh a, hai m°t ph¯ng (SAB) v (SAD) còng vuæng gâc vîi m°t ¡y, m°t ph¯ng (SBC) t¤o vîi m°t ¡y mët gâc 600. T½nh theo a thº t½ch khèi châp S.ABCD v kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng SC , BD. C¥u 8 (1,0 iºm). Trong khæng gian vîi h» tåa ë Oxyz, cho m°t ph¯ng (P ) : x + y + z + 5 = 0 v iºm J(1; −2; −4). a) Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng d qua J v vuæng gâc vîi m°t ph¯ng (P ). b) Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u (S) câ b¡n √ k½nh R = 4 v ct m°t ph¯ng (P ) theo giao tuy¸n l ÷íng trán câ t¥m J v câ b¡n k½nh b¬ng r = 13. C¥u 9 (0,5 iºm). Câ hai læ h ng, læ h ng thù nh§t câ 12 s£n ph©m kh¡c nhau trong â câ 2 ph¸ ph©m, læ h ng thù hai câ 8 s£n ph©m kh¡c nhau trong â câ 1 ph¸ ph©m. L§y ng¨u nhi¶n tø méi læ h ng 2 s£n ph©m. T½nh x¡c su§t º trong 4 s£n ph©m l§y ra câ khæng qu¡ 1 ph¸ ph©m. C¥u 10 (1 iºm). Cho x, y, z l c¡c sè thüc thäa m¢n x, y, z ≥ −2 v x3 + y3 + z3 ≥ x2 + y2 + z2. Chùng minh x5 + y 5 + z 5 ≥ x2 + y 2 + z 2 . Nguy¹n D÷ Th¡i, TTBDKT Cao Thng, 11 èng a, TP Hu¸, D: 0905998369
P N THI THÛ SÈ 17 C¥u 1. Cho h m sè y = x4 − 8x2 (1). a) Kh£o s¡t sü bi¸n thi¶n v v³ ç thà (C) cõa h m sè (1). b) Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ti¸p tuy¸n vîi ç thà (C) t¤i iºm câ ho nh ë a m y00 (a) = −4. Ph¥n t½ch-Líi gi£i. a) • Tªp x¡c ành: R. • Ta câ y 0 = 4x3 − 16x, y 0 = 0 ⇔ x ∈ {−2; 0; 2} . 1 − 2 = +∞. 8 • lim y = lim x4 x→±∞ x→±∞ x • B£ng bi¸n thi¶n: x −∞ −2 0 2 +∞ y0 − + 0 − 0 + f +∞ 0 +∞ y −16 −16 • H m sè çng bi¸n tr¶n c¡c kho£ng (−2; 0) v (2; +∞). • H m sè nghàch bi¸n tr¶n c¡c kho£ng (−∞; −2) v (0; 2). • ç thà h m sè ¤t cüc ¤i t¤i (0; 0) v ¤t cüc tiºu t¤i (−2; −16), (2; −16). • ç thà: y −2 O 2 x −16 1
b) Ta câ y00 = 12x2 − 16 n¶n y00 (a) = 12a2 − 16. Gåi A l iºm thuëc (C) v câ ho nh ë a. • Ta câ 00 2 a = −1 y (a) = −4 ⇔ a = 1 ⇔ a=1 • Vîi a = −1, ta câ A(−1; −7), y0(−1) = 12 n¶n ti¸p tuy¸n vîi (C) t¤i A l d1 : y = y 0 (−1)(x + 1) − 7 = 12x + 5. • Vîi a = 1, ta câ A(1; −7), y0(−1) = −12 n¶n ti¸p tuy¸n vîi (C) t¤i A l d2 : y = y 0 (−1)(x − 1) − 7 = −12x + 5. C¥u 2. a) Cho x ∈ thäa m¢n sin x + cos x = 75 . T½nh A = sin3 x − cos3 x. π π ; 4 2 b) T¼m sè phùc z bi¸t z − (1) 7+i = 2 − 3i z Ph¥n t½ch-Líi gi£i. a) Ta câ 1 (sin x − cos x)2 = sin2 x + cos2 x − 2 sin x cos x = 2 − (sin x + cos x)2 = . 25 V¼ x ∈ 4 ; 2 n¶n sin x − cos x > 0. Do â sin x − cos x = 5 . Tø â câ π π 1 4 3 sin x = , cos x = . 5 5 Vªy A = 125 37 . b) i·u ki»n: z 6= 0. °t z = x + yi, x, y ∈ R. Ta câ (1) ⇔(x + yi)(x − yi) − (7 + i) = (2 − 3i)(x + yi) ⇔ x2 + y 2 − 7 − i = 2x + 3y + (2y − 3x)i  13x2 − 32x − 21 = 0 ( 2 2 x + y − 7 = 2x + 3y ⇔ ⇔ 3x − 1 2y − 3x = −1 y = 2 7 17 ⇔(x, y) ∈ (3; 4); − ; − 13 13 Vªy z = 3 + 4i ho°c z = − 137 − 13 17 i. C¥u 3. Gi£i ph÷ìng tr¼nh log3 (x + 1)2 + log√3 (2x + 3) = 2 (x ∈ R). Ph¥n t½ch-Líi gi£i.  3 i·u ki»n: x>−  2 x 6= −1. Ph÷ìng tr¼nh tr÷ìng ÷ìng vîi 2 log3 |x + 1| + 2 log3 (2x + 3) = 2 ⇔ log3 |x + 1|(2x + 3) = 1 ⇔ |x + 1|(2x + 3) = 3 2x + 5x + 6 = 0 (væ nghi»m) 2 (x + 1)(2x + 3) = −3 5 ⇔ ⇔ ⇔ x ∈ 0; − (x + 1)(2x + 3) = 3 2x2 + 5x = 0 2 Vªy nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l x = 0. 2
C¥u 4. T¼m m º ph÷ìng tr¼nh sau câ nghi»m √ √ p m 1 − x − 3 1 + x + 12 1 − x2 = 2(8x + m) + 15 (x ∈ R). Ph¥n t½ch-Líi gi£i. i·u ki»n: x ∈ D = [−1; 1]. √ √ °t t = 1 − x − 3 1 + x, ta câ p p t2 = 1 − x + 9 + 9x − 6 1 − x2 ⇒ 8x − 6 1 − x2 = t2 − 10, 1 3 t0 = − √ − √ < 0, ∀x ∈ (−1; 1). 2 1−x 2 1+x B£ng bi¸n thi¶n: x −1 1 t0 − √ 2 t √ −3 2 √ √ Tø b£ng bi¸n thi¶n ta câ t ∈ −3 2; 2 . Ta â ph÷ìng tr¼nh ¢ cho trð th nh 2t2 − 5 m(t − 2) = 2(t2 − 10) + 15 ⇔ m = (1) t−2 2 √ √ X²t h m sè f (t) = 2tt −−25 , t ∈ −3 2; 2 . Ta câ (1) ⇔ m = f (t) (2) √ √ Ph÷ìng tr¼nh ¢ cho câ nghi»m ⇔ Ph÷ìng tr¼nh (2) câ nghi»m t ∈ −3 2; 2 (3) Ta câ √ 4− 6  0 2t2 − 8t + 5 t = 2√ f (t) = =0⇔ (lo¤i) (t − 2)2 4+ 6 t= 2 B£ng bi¸n thi¶n: √ √ 4− 6 √ x −3 2 2 2 t0 + 0 − √ 8−2 6 t √ √ 62 − 93 2 2+ 2 14 2 " √ # √ Tø b£ng bi¸n thi¶n ta câ (3) ⇔ m ∈ 62 − 93 2 14 ;8 − 2 6 . C¥u 5. T½nh t½ch ph¥n 2 dx. Z x + ln x I= 1 (1 + x)2 3
Ph¥n t½ch-Líi gi£i. °t: u = x + ln x v dv = (x +1 1)2 dx, ta câ du = x +x 1 dx v v = − x +1 1 . Do dâ dx
2 Z 2 x + ln x
I=−
+ x+1
1 x 1 2 1 1
2 = − − ln 2 + + ln x
3 3 2 1 2 1 = ln 2 − . 3 6 C¥u 6. Trong m°t ph¯ng vîi h» tåa ë Oxy , cho tam gi¡c ABC câ t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p l I(3; 5), ÷íng ph¥n gi¡c trong gâc A l d : 3x + y − 9 = 0, ch¥n ÷íng vuæng gâc h¤ tø A l D(0; 2). T¼m tåa ë c¡c ¿nh A, B , C . Ph¥n t½ch-Líi gi£i. A I H F M B D C E Gåi E l giao iºm thù hai cõa d vîi ÷íng trán (S) ngo¤i ti¸p tam gi¡c ABC . • Tam gi¡c AIE c¥n t¤i I n¶n IAE [ = AEI [ . Ta câ EB = EC v IB = IC n¶n IE l ÷íng trung trüc cõa BC . Do â IE ⊥ BC m AD ⊥ BC n¶n IE k AD. Suy ra DAE \ = AEI [ . Th nh thû DAE \ = IAE [ , ngh¾a l d l ph¥n gi¡c gâc DAI [. • Gåi F l iºm èi xùng vîi I qua d. ÷íng th¯ng IF qua I v vuæng gâc vîi d n¶n câ ph÷ìng tr¼nh IF : x − 3y + 12 = 0. l giao iºm cõa IF vîi d th¼ . H l trung iºm IF n¶n F (0; 4). 3 9 H H ; 2 2 ÷íng th¯ng AD : x = 0. A l giao iºm cõa AD vîi d n¶n A(0; 9). 4
• Ta câ BC : y = 2, (S) : (x − 3)2 + (y − 5)2 = 25. B v C l giao iºm cõa BC vîi ÷íng trán (S) n¶n tåa ë cõa B v C thäa m¢n h» ( y=2 ⇔ (x, y) ∈ {(−1; 2); (7; 2)} . (x − 3)2 + (y − 5)2 = 25 Do â B(−1; 2), C(7; 2) ho°c B(7, 2), C(−1; 2). Vªy A(0; 9), B(−1; 2), C(7; 2) ho°c A(0; 9), B(7, 2), C(−1; 2). C¥u 7. H¼nh châp S.ABCD câ ¡y l h¼nh vuæng c¤nh a, hai m°t ph¯ng (SAB) v (SAD) còng vuæng gâc vîi m°t ¡y, m°t ph¯ng (SBC) t¤o vîi m°t ¡y mët gâc 600. T½nh theo a thº t½ch khèi châp S.ABCD v kho£ng c¡ch giúa hai ÷íng th¯ng SC , BD. Ph¥n t½ch-Líi gi£i. S A D E I B C Gåi I l t¥m h¼nh vuæng ABCD, E l h¼nh chi¸u vuæng gâc cõa I tr¶n SC . • Ta câ  (SAB) ⊥ (ABCD)  (SAD) ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ (ABCD). (SAB) ∩ (SAD) = SA  Suy ra BC ⊥ SA, m BC ⊥ BA n¶n BC ⊥ (SAB).   (SBC) ∩ (ABCD) = BC  BC ⊥ (SAB) \ ⇒ (SBC), [ = 600 . (ABCD) = SBA  (SBC) ∩ (SAB) = SB  (SAB) ∩ (ABCD) = AB √ • [ = a 3, SABCD = a2 . Vªy Ta câ SA = AB tan SBA √ 1 a3 3 VS.ABCD = SA · SABCD = . 3 3 5
• Ta câ BD ⊥ AC v BD ⊥ SA n¶n BD ⊥ (SAC) ⇒ BD ⊥ IE . M IE ⊥ SC n¶n d(SC, BD) = IE. √ √ √ √ • AC = a 2, CS = CA2 + AS 2 = a 5, CI = AC = . Ta câ 1 a 2 2 2 √ IE CI SA · CI a 30 ∆CEI ∼ ∆CAS ⇒ = ⇒ IE = = . SA SC CS 10 √ Vªy d(SC, BD) = 10 . a 30 C¥u 8. Trong khæng gian vîi h» tåa ë Oxyz , cho m°t ph¯ng (P ) : x + y + z + 5 = 0 v iºm J(1; −2; −4). a) Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ÷íng th¯ng d qua J v vuæng gâc vîi m°t ph¯ng (P ). b) Vi¸t ph÷ìng tr¼nh m°t c¦u câ b¡n k½nh R√= 4 v ct m°t ph¯ng (P ) theo giao tuy¸n l (S) ÷íng trán câ t¥m J v câ b¡n k½nh b¬ng r = 13. Ph¥n t½ch-Líi gi£i. a) Vectì ph¡p tuy¸n cõa m°t ph¯ng (P ) l n = (1; 1; 1). ÷íng th¯ng d qua J vuæng gâc vîi (P ) −→ n¶n nhªn −→ n l m vectì ch¿ ph÷ìng, do â câ ph÷ìng tr¼nh  x = 1 + t  d : y = −2 + t z = −4 + t.  b) Gåi I l t¥m cõa m°t c¦u (S). V¼ (S) ct m°t ph¯ng (P ) theo giao tuy¸n l ÷íng trán câ t¥m J n¶n JI ⊥ (P ) ⇒ IJ = d(I, (P )) v I ∈ d ⇒ I(a + 1; a − 2; a − 4). Ta câ √ d(I, (P )) = p R2 − r2 ⇔ JI = 3 ⇔3t2 = 3 ⇔ t ∈ {−1; 1} . • Vîi t = −1 ta câ I(0; −3; −5) v (S) : x2 + (y + 3)2 + (z + 5)2 = 16. • Vîi t = 1 ta câ I(2; −1; −3) v (S) : (x − 2)2 + (y + 1)2 + (z + 3)2 = 16. C¥u 9. Câ hai læ h ng, læ h ng thù nh§t câ 12 s£n ph©m kh¡c nhau trong â câ 2 ph¸ ph©m, læ h ng thù hai câ 8 s£n ph©m kh¡c nhau trong â câ 1 ph¸ ph©m. L§y ng¨u nhi¶n tø méi læ h ng 2 s£n ph©m. T½nh x¡c su§t º trong 4 s£n ph©m l§y ra câ khæng qu¡ 1 ph¸ ph©m. Ph¥n t½ch-Líi gi£i. Khæng gian m¨u Ω câ sè ph¦n tû l 2 |Ω| = C12 · C82 = 1848. Gåi A l bi¸n cè "trong 4 s£n ph©m l§y ra câ khæng qu¡ 1 ph¸ ph©m". C¡c kh£ n«ng thuªn lñi cho bi¸n cè A l • L§y ÷ñc c£ 4 ch½nh ph©m: Khi â sè c¡ch chån l 2 C10 · C72 = 945. 6
• L§y ÷ñc 1 ph¸ ph©m tø læ h ng thù nh§t: Khi â sè c¡ch chån l 1 C10 · C21 · C72 = 420. • L§y ÷ñc 1 ph¸ ph©m tø læ h ng thù hai: Khi â sè c¡ch chån l 2 C10 · C71 · C11 = 315. Do â |ΩA| = 945 + 420 + 315 = 1680. Vªy x¡c su§t cõa bi¸n cè A l |ΩA | 10 P (A) = = . |Ω| 11 C¥u 10. Cho x, y, z l c¡c sè thüc thäa m¢n x, y, z ≥ −2 v x3 + y3 + z 3 ≥ x2 + y2 + z 2 . Chùng minh x5 + y 5 + z 5 ≥ x2 + y 2 + z 2 . Ph¥n t½ch-Líi gi£i. V¼ x ≥ −2 n¶n ta câ (x + 2)(x − 1)2 ≥ 0 ⇒ x3 ≥ 3x − 2. Do â x5 ≥ 3x3 − 2x2 (1) T÷ìng tü ta câ y 5 ≥ 3y 3 − 2y 2 (2) z 5 ≥ 3z 3 − 2z 2 (3) Cëng v¸ theo v¸ (1), (2), (3) ta câ x5 + y 5 + z 5 ≥ 3(x3 + y 3 + z 2 ) − 2(x2 + y 2 + z 2 ) ≥ x2 + y 2 + z 2 (i·u ph£i chùng minh). 7