Đề thi thử và đáp án: Môn Toán học

ĐỀ MEGABOOK SỐ 4 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số (C).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .

b) Giả sử có hoành độ . Tìm để tiếp tuyến của tại cắt tại 2 điểm phân biệt khác

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình .

Câu 3 (1,0 điểm). Tìm tích phân .

Câu 4 (1,0 điểm).

a) Cho số phức thỏa mãn . Tìm số phức .

. Xét các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau thuộc . Trong các số nói trên

b) Cho tập lấy ra 1 số. Tính xác suất để số đó chia hết cho 5.

Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng và

. Viết phương trình mặt phẳng chứa và hợp với một góc .

Câu 6 (1,0 điểm). Cho hình chóp có đáy là tam giác vuông cân tại . ai mặt phẳng và

c ng vuông góc với mặt phẳng đáy , cho , mặt bên tạo với đáy một

góc . Tính khoảng cách t điểm đến mặt phẳng .

Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác có đỉnh . Tâm đường tròn

nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác lần lượt là và . Tìm tọa độ các đỉnh và của tam

giác.

Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình .

Câu 9 (1,0 điểm). Cho các số thực thỏa mãn . Chứng minh

..................HẾT.................. HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1.a.

. - Tập xác đinh:

Trang 1 Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: ; .

, suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng và .

, suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng và .

+ Cực trị: àm số đạt cực đại tại . àm số đạt cực tiểu tại .

+ Giới hạn: .

+ Bảng biến thiên

0 0 0

- Đồ thị: + Đồ thị hàm số cắt trục tại điểm

+ Đồ thị hàm số cắt trục tại điểm .

+ Đồ thị hàm số nhận trục làm trục đối xứng.

+ Đồ thị hàm số đi qua điểm .

- Vẽ đồ thị:

Câu 1.b. Vì nên .

Tiếp tuyến tại có hệ số góc . Tiếp tuyến tại có dạng .

Tiếp tuyến của tại cắt tại 2 điểm phân biệt khác khi phương trình sau có 3 nghiệm phân

biệt có 3 nghiệm phân biệt, tức

là phương trình có 2 nghiệm phân biệt khác .

Trang 2 Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi

Kết luận: .

để tiếp tuyến tại tại hai điểm phân biệt khác nữa ta lập phương

Nhận xét: Để tìm điểm cắt trình tiếp tuyến , cho giao với hàm số biện luận nghiệm. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: - Phương trình tiếp tuyến của hàm số tại điểm là .

- Chọn tham số . Suy ra tiếp tuyến tại .

- Lập phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số. - Do nên phương trình hoành độ giao điểm sẽ có chắc chắn .

- Để tiếp tuyến cắt hàm số tại 2 điểm phân biệt khác nữa có hai nghiệm thực phân

biệt .

Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự: a. Cho hàm số . Viết phương trình tiếp của hàm số biết tiếp tuyến tiếp xúc với hàm số tại

2 điểm phân biệt. Đáp số: .

b. Cho hàm số . Tìm để hàm số có hai điểm phân biệt

thỏa và tiếp tuyến tại mỗi điểm đó vuông góc đường thẳng

. Đáp số: .

Câu 2. Điều kiện .

Phương trình đã cho tương đương với phương trình

Với .

Phương trình có nghiệm: .

Nhận xét: Giải phương trình lượng giác bằng cách thay các công thức tổng của một cosin , công thức góc nhân đôi. Lưu ý kiểm tra điều kiện để loại nghiệm (nếu cần). Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

-Viết lại .

-Áp dụng công thức .

-Giải phương trình dạng : ; .

Trang 3 Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi

- Kiểm tra điều kiện ta được nghiệm của phương trình. Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự:

a. Giải phương trinh . Đáp số: .

b. Giải phương trình . Đáp số: .

Câu 3.

Nhận xét: Bài toán tính tích phân lượng giác vận dụng các công thức lượng giác cơ bản với phép đổi biến số. Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

-Xét biểu thức dưới dấu tích phân, sử dụng các công thức .

-Sử dụng đổi biến số nên có dạng .

Bài tập tương tự:

a. Tính tích phân

. Đáp số: .

b. Tính tích phân

. Đáp số: .

Câu 4.a. Gọi số phức có dạng .

Khi đó

Vậy .

Do đó .

thỏa mãn điều kiện cho trước ta tìm thông qua số phức rồi suy ra .

Nhận xét: Tìm số phức Nhắc lại kến thức và phương pháp: -Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau:

Trang 4 Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi

. Thay vào đẳng thức . Tìm được số phức . - Đặt

-T thay .

Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự:

thỏa mãn .

a. Tìm số phức Đáp số: .

biết (Đề thi tuyển sinh đại học khối A-2010). b. Tìm phần ảo của số phức

Đáp số: .

. có 6 cách.

số.

Câu 4.b. Gọi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau là Chọn cách, suy ra có Chọn 4 số còn lại có Trong các số trên, số chia hết cho 5 là:

 Trường hợp 1: : chọn 4 số còn lại có cách.

 Trường hợp 2: : chọn có 5 cách chọn 3 số còn lại có cách, suy ra có .

Vậy xác suất cần tìm .

. Số chia hết cho 5 khi và chỉ khi tận c ng của nó là 0 hoặc 5.

Nhận xét: Bài toán tính xác suất với số chia hết cho 5. Ta chú ý dấu hiệu số chia hết cho 5 và áp dụng công thức tính xác suất. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: - Gọi số tự nhiên có 5 chữ số là - Xét chữ số cuối c ng - Xét chữ số cuối c ng . .

-Áp dụng công thức tính xác suất ta có với là số trường hợp thuận lợi cho biến cố ,

là tất cả các trường hợp xảy ra. Bài tập tương tự: a. Cho các số 0,1,2,3,4,5,6. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau sao cho số đó chia hết cho 15. Đáp số: 222 số. b. Cho các số 0,1,2,3,4,5,6. Gọi là tập hợp các số gồm 2 chữ số khác nhau lập được t các số đó. Lấy ngẫu nhiên đồng thời hai phần tử của , tính xác suất để hai số lấy được đều là số chẵn.

Đáp số: .

Câu 5. Giả sử mặt phẳng có dạng: .

Suy ra mặt phẳng có một vecto pháp tuyến là .

Trên đường thẳng lấy 2 điểm .

Do qua nên .

Nên .

Theo giả thiết, ta có

Trang 5 Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi

Chọn , suy ra .

Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn: .

Nhận xét: Để viết được phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo một góc , ta tìm

một vector pháp tuyến của thông qua tham số hóa kết hợp công thức tính góc đường thẳng , mặt phẳng.

Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Một mặt phẳng có vô số vector pháp tuyến. -Mặt phẳng bất kì có dạng tổng quát: với .

-Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : với là vector chỉ phương

là vector pháp tuyến của . ,

của Áp dụng cho bài toán: - Giả sử mặt phẳng cần tìm có phương trình : . Suy ra là một vector

pháp tuyến của . Thay tọa độ vào phương trình mặt phẳng tìm được mối quan hệ giữa .

- Do đường thẳng hợp với nhau một góc bằng .

ta viết được hai mặt phẳng cần tìm.

- Chọn Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự:

a. Trong hệ trục tọa độ , cho hai mặt phẳng . Viết phương

trình mặt phẳng vuông góc với hai mặt phẳng và hợp với các mặt phẳng tọa độ một tứ

diện có diện tích bằng .

Đáp số: .

b. Trong hệ trục tọa độ , viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và

song song với đường thẳng .

Đáp số: .

Câu 6. Gọi là trung điểm của cạnh . Ta có vuông cân tại nên

. S

. Ta có

. Và

C B M . Ta có

Trang 6 Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi

Và (đvtt).

Mặt khác .

Mà .

Nhận xét: Để tính khoảng cách t một điểm tới một mặt phẳng ta tìm hình chiếu điểm đó trên mặt phẳng. Tuy nhiên trong bài toán hình không gian tổng hợp ta có thể tính khoảng cách thông qua thể tích. Nhắc lại kiến thức và phương pháp: - Do hai mặt phẳng c ng vuông góc với .

là trung điểm .

-Dựng góc: Gọi - Tính khoảng cách:

Thể tích , lại có .

Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự:

a. Cho hình chóp có đáy là hình thang . Cạnh

bên và vuông góc với đáy. Góc tạo bởi và mặt phẳng bằng . Gọi là trọng

tâm tam giác . Tính khoảng cách t đến mặt phẳng . Đáp số: .

b. Cho hình chóp có đáy là hình thang , . Cạnh bên

vuông góc với đáy, . Gọi là hình chiếu của trên . Chứng minh rằng tam giác

vuông và tính khoảng cách t tới mặt phẳng . Đáp số: .

Câu 7. Phương trình đường tròn ngoại tiếp có tâm , bán kính là:

Phân giác có phương trình .

Gọi tọa độ của là nghiệm của hệ .

Giải ra ta được hai nghiệm (tr ng điểm ) và .

Lại có cân tại mà là

nghiệm của hệ .

Trang 7 Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi

Vậy có tọa độ là

Nhận xét: Ta tìm tọa độ các đỉnh tam giác bằng cách viết phương trình đường tròn ngoại tiếp

tam giác, lấy giao của họ những đường thẳng chứa các điểm với .

Nhắc lại kiến thức và phương pháp: -Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao của 3 đường trung trực 3 cạnh, tâm đường tròn ngoại tiếp là giao của 3 đường phân giác 3 góc trong.

-Công thức tính độ dài hai điểm .

Áp dụng cho bài toán: - T điểm ta lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác là .

-Viết phương trình đường phân giác góc A là . Suy ra D là nghiệm của hệ .

-Sử dụng tính chất góc cân tại . Lại có

nên là nghiệm của hệ .

Bài toán kết thúc. Bài tập tương tự:

a. Trong hệ trục tọa độ . Đường thẳng , cho tam giác vuông tại

. Biết nằm trên trục hoành và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 2. Tính tọa độ các

hai điểm đỉnh tam giác .

Đáp số: .

b. Trong hệ trục tọa độ , cho tam giác đều . Đường tròn nội tiếp tam giác có phương trình

, đường thẳng đi qua điểm . Tìm tọa độ điểm .

Đáp số: .

Câu 8. ệ phương trình tương đương với .

Cộng vế theo vế của hai phương trình trên hệ, ta được

 Với , thế vào phương trình thứ nhất, ta được (vô lý).

 Với , thế vào phương trình thứ nhất, ta được .

ệ phương trình có nghiệm: .

là ẩn , số còn lại làm tham số.

Nhận xét: Ta tìm mối quan hệ giữa các ẩn thay vào một trong hai phương trình của hệ để giải nghiệm. Coi một trong hai Nhắc lại kiến thức và phương pháp:

Trang 8 Megabook Chuyên Gia Sách Luyện Thi

Phương pháp phân tích đa thức tìm mối quan hệ giữa .

. - ệ đã cho được viết lại

làm ẩn ta được : . - Cộng hai vế 2 phương trình của hệ coi

- Lần lượt thay vào một trong hai phương trình của hệ ta giải được nghiệm. Bào toán kết thúc. Bài tập tương tự:

a. Giải phương trình . Đáp số: .

b. Giải hệ phương trình . Đáp số: .

c. Giải hệ phương trình . Đáp số: .

Câu 9. Do các số nên (*).

Khi đó xảy ra các trường hợp:  Hai trong ba số là số dương, số còn lại âm khi đó bất đẳng thức (*) mang dấu

âm, nên bất đẳng thức luôn đúng.  Một trong ba số là số dương, hai số còn lại âm; giả sử . Khi đó

(vô lý).