BÀI TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ
1
Mục lục
CHƯƠNG 1
1 Biến cố ngẫu nhiên và phép tính xác suất 3
1.1 Mộtsốdạngbàitậpcơbản ........................... 3
1.1.1 Tính xác suất theo dịnh nghĩa cổ diển . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Tính xác suất bằng cách dùng các công thức cộng, nhân và xác suất
cóđiềukiện................................ 4
1.1.3 Tính xác suất bằng cách dùng công thức xác suất toàn phần và công
thứcBayes................................. 6
1.1.4 Tính xác suất bằng cách dùng công thức Bernoulli . . . . . . . . . . 6
1.1.5 Dạngbàitậptổnghợp.......................... 7
1.2 Bàitập....................................... 8
2 Đại lượng ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất 12
2.1 Một số dạng bài tập cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1 Tìm phân phối xác suất và các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên rời
rạc..................................... 12
2.1.2 Tìm phân phối xác suất và các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên
liêntục .................................. 14
2.2 Bàitập....................................... 15
3 Mẫu thống kê và ước lượng tham số 20
3.1 Một số dạng bài tập cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.1 Tính giá trị của các đặc trưng của mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.2 Ước lượng điểm cho một số tham số đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . 22
3.1.3 Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho kỳ vọng . . . . . . . . . . . . 23
3.1.4 Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho phương sai . . . . . . . . . . 24
3.1.5 Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho xác suất . . . . . . . . . . . . 25
3.1.6 Ước lượng cỡ mẫu tối thiểu khi biết độ chính xác hoặc độ dài khoảng
ước lượng tin cậy đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Bàitập....................................... 30
2
4 Kiểm định giả thuyết 37
4.1 Tómtắtlýthuyết................................. 37
4.2 Một số dạng bài tập cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2.1 Kiểm định giả thiết cho kỳ vọng hay trung bình . . . . . . . . . . . . 37
4.2.2 Kiểm định giả thiết cho phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.3 Kiểm định giả thiết cho tỷ lệ hay xác suất . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Bàitập....................................... 43
Hướng dẫn giải bài tập chương 1 47
Hướng dẫn giải bài tập chương 2 50
Hướng dẫn giải bài tập chương 3 52
Hướng dẫn giải bài tập chương 4 54
3
Chương 1
Biến cố ngẫu nhiên và phép tính xác
suất
1.1 Một số dạng bài tập cơ bản
1.1.1 Tính xác suất theo dịnh nghĩa cổ diển
Ví dụ 1.1. Một hộp có 100 tấm thẻ như nhau được đánh số từ 1 đến 100. Rút ngẫu nhiên
hai thẻ rồi đặt theo thứ tự từ trái qua phải. Tính xác suất để:
a) Rút được hai thẻ tạo thành một số có hai chữ số.
b) Rút được hai thẻ tạo thành một số chia hết cho 5.
Giải.
a) Gọi A: "Hai thẻ rút được tạo thành một số có hai chữ số". Khi đó
P(A) = A2
9
A2
100
=9.8
100.99 ≈0,0073.
b) Gọi B: "Hai thẻ rút được tạo thành một số chia hết cho 5 ".
Khi đó thẻ thứ hai là phải là một trong 20 số 5,10,...,100, còn thẻ thứ nhất là một
trong 99 thẻ còn lại.Vậy số trường hợp thuận lợi cho B là 99.20,
P(B) = 99.20
A2
100
= 0,2.
Ví dụ 1.2. Một hộp chứa 7 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen cùng kích thước. Rút ngẫu
nhiên cùng lúc 4 quả cầu. Tính xác suất để trong đó có:
a) Hai quả cầu đen.
b) Ít nhất 2 quả cầu đen.
4
c) Tất cả là cầu trắng.
Giải. Số phần tử của không gian mẫu là C4
10.
a) Gọi A: "Trong 4 quả cầu rút ra có 2 quả đen".
Số trường hợp có thể xảy ra A là C2
3.C2
7. Do đó P(A) = C2
3.C2
7
C4
10
= 0,3.
b) Gọi B: "Trong 4 quả cầu rút ra có ít nhất hai quả đen".
Số trường hợp có thể xảy ra B là C2
3.C2
7+C3
3.C1
7.
Do đó P(B) = C2
3.C2
7+C3
3.C1
7
C4
10
=1
3.
c) Gọi C: "Tất cả 4 quả cầu rút ra là cầu trắng". Khi đó P(C) = C4
77
C4
10
=1
6.
1.1.2 Tính xác suất bằng cách dùng các công thức cộng, nhân và
xác suất có điều kiện
Ví dụ 1.3. Một công ty cần tuyển 4 nhân viên. Có 5 nam và 3 nữ dự tuyển, mỗi người đều
có cơ hội ứng tuyển ngang nhau. Tính xác suất để trong 4 người đó:
a) Có không quá 2 nam.
b) Có ít nhất 1 nữ.
c) Có 3 nữ, biết rằng có ít nhất 1 nữ đã được tuyển.
Giải.
Đặt Ak: "Có knam được tuyển trong 4 nhân viên".
a) Gọi A:" Có không quá 2 nam".
P(A) = P(A1) + P(A2) = C1
5.C3
3+C2
5.C2
3
C4
8
=1
2.
b) Gọi B: "Có ít nhất một nữ".
Xác suất để không có người nữ nào được tuyển là P(A4). Khi đó
P(B)=1−P(A4) = 1 −C4
5
C4
8
=13
14
.
c) Gọi C: "Có 3 nữ, biết ít nhất một nữ đã được tuyển".Vậy
P(C) = P(A1/B) = P(A1)
P(B)=C1
5
C4
8
.13
14 =1
13
.
5