Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014 Môn thi: TOÁN (Dành cho lớp chuyên) Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm có 1 trang, 5 câu

Câu 1 (2 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – m + 1 và parabol

(P): y = - x2. a. Tìm m để đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2); b. Giả sử đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2). Tìm m để (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 25.

2

Câu 2 (2 điểm)

10

2y  y 1 3y  y 1

3x    x 1   2x    x 1 

a. Giải hệ phương trình ;

 

x 2

b. Tìm x, y thỏa mãn x – y + 1 = 2 x y

 .

Câu 3 (2 điểm)

b. Với x là số thực. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A = a. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M di động trên cạnh BC, gọi D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC. Tìm vị trí điểm M để DE có độ dài nhỏ nhất. 3x 4  . 2  1 x

Câu 4 (3 điểm)

Cho đường tròn đường kính AB; C là một điểm trên đường tròn (C khác A, B). Gọi I là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác ABC, các tia AI, CI lần lượt cắt đường tròn tại D, E. a. Chứng minh tam giác EAI cân; b. Chứng minh: IC.IE = IA.ID; c. Giả sử biết BI = a, AC = b. Tính AB theo a, b.

Câu 5 (1 điểm) Chứng minh trong các số có dạng 20142014 ... 2014 có số chia hết cho 2013.

Trang | 1

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

---------------------------------------Hết--------------------------------

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

ĐÁP ÁN Câu Ý Nội dung trình bày Điểm

Đường thẳng (d) đi qua điểm (1; 2) <=> 2 = 2.1 – m + 1 0,5 a Vậy: m = 1 0,5

 

Câu 1 2 điem b 0,25

 ' m 0

Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt <=> x2 + 2x – m + 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt <=>

Theo Định lí Viet: x1 + x2 = - 2, x1x2 = - m + 1 0,25

0,25 Có: y1 = 2x1 – m + 1, y2 = 2x2 – m + 1 => y1 – y2 = 2(x1 – x2) Nên: 25 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = 5(x1 – x2)2 => (x1 – x2)2 = 5

u

; v

0,25 Hay: (x1 + x2)2 - 4x1x2 = 5 => 4 – 4(- m + 1) = 5 => m = 5/4 (t/m)

x  x 1

y  y 1

0,25 a Đặt

 2 3u 2v  2u 3v 10

 

 9u 6v 6  4u 6v 20

 

u v

 

2 2

  

  

  

  

2

x

2;

    2

2

y

Khi đó có hệ: 0,25 Câu 2 2 điểm

x  x 1

y  y 1

Từ: 0,25

 

x 2

    

x y 1 2 x y

 

x 2

0

Vậy hệ có nghiệm (2; -2) 0,25

  .

x 2

0

  .

Ta có: x – y + 1 = 2 x y 0,25 b 0,25

2   x y 1

x 2

     

x y 1

0

x 2

0

  .

0,25

2   x y 1

Hay:  Suy ra:  Vì vậy có: x = 2; y = 1. 0,25

A

nên ADME là 0,25 a

D

E

Do:    0 ADM AEM DAE 90 hình chữ nhật Nên : DE = AM

DE nhỏ nhất <=> AM nhỏ nhất <=> AM BC

B

M

C

2

2

A(x

 

1) 3x 4

 

Ax

   3x A 4 0

Câu 3 2 điểm Vì vậy : M là chân đường cao hạ từ A 0,25 0,25 0,25

3x 4  2  1 x

A = , (*) có nghiệm x 0,25 b

2

  

9 4A(A 4)

 

 4(A 2)

25 0

  

A

Nếu A = 0 từ (*) có : x = -4/3 0,25

 1 2

9  2

Trang | 2

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

Nếu A  0 có : 0,25

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

min A

khi x

 

3; max A

khi x

 b 2a

 1 2

9 2

Vậy : 0,25

F

0,25 a

C

D

I

0,25

A

B

Câu 4 3 điểm

O

0,25

E

1  3 Vẽ hình để chứng minh a Do AD, CE là các đường phân giác nên :     DC DB, EB EA  Do đó:      DC EA DB EB  Suy ra:  AIE IAE  Vậy: tam giác EAI cân tại E

0,25

ICD

IAE

0,25 (đối đỉnh) b 0,25 (cùng chắn cung DE)

 

 IC.IE IA.ID

Ta có:  AIE CID  EAI DCI Do đó :   . 0,25

IC ID IA IE

Suy ra: 0,25

0,25 c

nên  BID vuông cân 0,25 AC cắt BD tại F. Do AD vừa là đường phân giác vừa là đường cao nên  ABF cân. Do đó AF = AB = x > 0 Do:    0  DIB IBA IAB 45 suy ra: DB = a/ 2 => BF = a 2

0,25

2

2

2

2

2

2

b

4a

b

4a

b

4a

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACB và BCF có: BC2 = AB2 – AC2 = BF2 – CF2 hay: x2 – b2 = 2a2 – (x – b)2 <=> x2 - bx - a2 = 0

b 2

b 2

b 2

0,25 Có: x = (loại), x = . Vậy AB =

0,25

20142014...2014 20142014...2014 20142014....2014 0000...0000 2013     

j sô 2014

i sô 2014

j

í sô 2014

4i sô 0

Ta xét 2014 số khác nhau có dạng 20142014…2014 = an, có n bộ 2014. n N* Trong 2014 số này có ít nhất hai số khi chia cho 2013 có cùng số dư. Giả sử 2 số đó là ai , aj (j > i). Khi đó aj – ai  2013 hay: 0,25 Câu 5 1 điểm

0,25

Số có dạng 20142014…2014 . 104i  2013 Vì UCLN(10, 2013) = 1 nên UCLN(10n, 2013) = 1 với mọi n  N* Vậy: có số dạng 20142014…2014 chia hết cho 2013 0,25

Trang | 3

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807

----------------------------------------Hết---------------------------------------

Chương trình luyện thi lớp 10 chuyên Môn: Toán học

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247

- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi

vào lớp 10 các trường chuyên.

- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong

những năm qua.

- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học

sinh giỏi.

- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết

quả tốt nhất.

- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất.

- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247.

 https://www.facebook.com/OnThiLop10ChuyenToan/

Trang | 4

Website: www.hoc247.vn - Bộ phận tư vấn: 098 1821 807