Chương III: Khảo sát ổn định và phân tích hệ điều khiển số
Giáo trình điều khiển số Trang 28
CHƯƠNG III:
KHẢO SÁT ỔN ĐỊNH VÀ PHÂN TÍCH HỆ ĐIỀU KHIỂN SỐ
3.1. Ổn định của hệ thống rời rạc
3.1.1. Điều kiện ổn định của hệ rời rạc
Hệ thống được gọi là ổn định nếu tín hiệu vào bị chặn thì tín hiệu ra bị chặn
(Bounded Input Bounded Output).
Do quan hệ giữa biến z và biến s là z = eTs nên quan hệ giữa cực của hệ
thống rời rạc và cực của hệ thống liên tục:
Cực của X(s)
(
s
P
)
Cực của X(z)
(
s
TP
z
Pe
)
0
s
P
1
z
P
s
Pa
aT
z
Pe
0
( a j )T
z
Pe

Điều kiện ổn định của hệ thống rời rạc:
Điều kiện ổn định của hệ thống liên tục:
0
s
Re P
: Tất cả các cực của X(s) có phần thực âm
Điều kiện ổn định của hệ thống rời rạc:
1
z
P
: Tất cả các cực của X(z) nằm trong vòng tròn đơn vị
Miền ổn định của hệ thống liên tục và hệ thống rời rạc: Hình 3.1
Miền ổn định
Re{Ps} < 0
Miền ổn định
|Pz| < 1
Re(s)
Im(s)
Re(z)
Im(z)
s
TP
z
Pe
Hình 3.1 Miền ổn định của hệ thống liên tục và hệ thống rời rạc
Chương III: Khảo sát ổn định và phân tích hệ điều khiển số
Giáo trình điều khiển số Trang 29
Ví dụ 1: Khảo sát ổn định của hệ thống có hàm truyền sau:
2
21
44
z
G( z ) zz

Cực:
24 4 0zz
Pz = -2(kép)
21
z
P
Hệ thống không ổn định
Ví dụ 2: Khảo sát ổn định của hệ thống có hàm truyền sau:
2
21
05
z
G( z ) z z .

Cực:
20 5 0z z .
1
2
z
j
P

11
2
z
P
Hệ thống ổn định
Ví dụ 3: Khảo sát ổn định của hệ thống có hàm truyền sau:
2
1
2 5 1
G( z ) z . z

Cực:
22 5 1 0z . z
1
2
2
05
z
z
P
P.
11
z
P
Hệ thống không ổn định
3.1.2. Phương trình đặc trưng của hệ rời rạc
Cho hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi sơ đồ khối như Hình 3.2:
GC(z) ZOH G(S)
+-
R(s) C(s)
T
H(S)
e(k) u(k)
Hình 3.2 Sơ đồ khối hệ rời rạc
Chương III: Khảo sát ổn định và phân tích hệ điều khiển số
Giáo trình điều khiển số Trang 30
Phương trình đặc trưng:
10
c
G ( z )GH( z )
Hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi PTTT:
( 1) ( ) ( )
( ) ( )
dd
d
x k A x k B r k
c k C x k
Phương trình đặc trưng:
0
d
det( zI A )
Tính chất: Cực của hệ thống ≡ trị riêng của ma trận Ad là nghiệm của PTĐT.
3.1.3. Phương pháp đánh giá tính ổn định của hệ rời rạc
Tiêu chuẩn ổn định đại số
Tiêu chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng:
Biến đổi z thành w, sau đó áp dụng tiêu chuẩn Routh – Hurwitz cho phương
trình đặt trưng theo biến w
Ví dụ 1: Xét tính ổn định của hệ rời rạc có phương trình đặc trưng:
4 3 2
0.83 0.135 0.202 0.104 0z z z z
Giải:
Đổi biến:
1
1
w
zw
4 3 2
1 1 1 1
0.83 0.135 0.202 0.104 0
1 1 1 1
w w w w
w w w w
4 3 2
0.611 1.79 6.624 5.379 1.597 0w w w w
Bảng Routh:
4
w
0.611
6.624
1.597
3
w
1.79
5.379
0
2
w
4.788
1.597
1
w
4.782
0
0
w
1.597
Kết luận: Hệ thống ổn định
Ví dụ 2: Xét tính ổn định của hệ rời rạc có phương trình đặc trưng:
32
1.3 0.08 0.24 0z z z
Giải:
Đổi biến:
1
1
w
zw
Chương III: Khảo sát ổn định và phân tích hệ điều khiển số
Giáo trình điều khiển số Trang 31
32
1 1 1
1.3 0.08 0.24 0
1 1 1
w w w
w w w
32
7.571 36.43 14.14 0w w w
Bảng Routh:
3
w
1
-36.43
2
w
-7.571
-14.14
1
w
-38.3
0
0
w
-14.14
Kết luận: Hệ thống không ổn định
Tiêu chuẩn Jury:
Xét tính ổn định của hệ rời rạc có phương trình đặc trưng:
1
01 ... 0
nn nn
a z a z a z a
Bảng Jury: gồm có (2n+1) hàng
- Hàng 1 là các hệ số của PTĐT theo thứ tự chỉ số tăng dần.
- Hàng chẳn (bất kỳ) gồm các hệ số của hàng lẻ trước đó viết theo thứ tự
ngược lại.
- Hàng lẻ thứ i = 2k + 1 (k ≥ 1) gồm có (n – k + 1) phần tử, phần tử ở
hàng i, cột j xác định bởi công thức:
2,1 2, 3
1,1 1, 3
2,1
1i i n j k
ij
i i n j k
i
CC
CCC
C
Tiêu chuẩn Jury: Điều kiện cần và đủ để hệ thống rời rạc ổn định là tất cả
các hệ số ở hàng lẻ, cột 1 của bảng Jury đều dương.
Ví dụ 1: Xét tính ổn định của hệ rời rạc có hàm truyền sau:
32
1
() 2 3 4 5
Gz z z z
Giải:
PTĐT:
32
2 3 4 5 0z z z
Bảng Jury:
Chương III: Khảo sát ổn định và phân tích hệ điều khiển số
Giáo trình điều khiển số Trang 32
Hàng 1
2
3
4
5
Hàng 2
(đảo h1)
5
4
3
2
Hàng 3
25
110.5
52
2
24
17
53
2
23
13.5
54
2
Hàng 4
(đảo h3)
-3.5
-7
-10.5
Hàng 5
10.5 3.5
19.3
3.5 10.5
10.5



10.5 7
14.7
3.5 7
10.5



Hàng 6
(đảo h5)
-4.7
-9.3
Hàng 7
9.3 4.7
16.9
4.7 9.3
9.3



Hệ thống không ổn định.
Ví dụ 2: Xét tính ổn định của hệ rời rạc có PTĐT:
32
5 2 3 1 0z z z
Giải:
Bảng Jury:
Hàng 1
5
2
3
1
Hàng 2 (đảo h1)
1
3
2
5
Hàng 3
4.8
1.4
2.6
Hàng 4 (đảo h3)
2.6
1.4
4.8
Hàng 5
3.39
0.61
Hàng 6 (đảo h5)
0.61
3.39
Hàng 7
3.28
Do các hệ số ở hàng lẻ, cột 1 của bảng Jury đều dương nên hệ thống ổn định.
Phương pháp Quỹ đạo nghiệm số:
Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng
của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ thay đổi từ 0 → ∞.
Xét hệ rời rạc có phương trình đặc trưng:
()
10
()
Nz
KDz

Đặt:
0()
() ()
Nz
G z K Dz
Gọi n và m là số cực và số zero của G0(z)