Giáo trình Lý thuyết Thống kê ĐH Bách Khoa Đà Nẵng [Tài liệu đầy đủ]

LI NÓI ðU

Lý thuyt xác sut là b môn toán hc nghiên cu tính qui lut ca các hin

tưng ngu nhiên.

Các khái nim ñu tiên ca xác sut do các nhà toán hc tên tui Pierre Fermat

(1601-1665) và Blaise Pascal (1623-1662) xây dng vào gia th k 17, da trên vic

nghiên cu các qui lut trong các trò chơi may ri. Do s hn ch ca trình ñ toán hc

ñương thi, nên sut mt thi gian dài các trò chơi may ri vn là cơ s duy nht cho

các khái nim và phương pháp ca lí thuyt xác sut vi công c ch yu là phép tính

t hp và s hc sơ cp. Hin nay, tuy lí thuyt xác sut ñã có nn tng toán hc ñ s,

nhưng các phương pháp "ngây thơ" ban ñu ñó vn còn tác dng, ñc bit ñi vi các

ngành khoa hc thc nghim.

Vic gii quyt các bài toán ny sinh trong lí thuyt sai s và ño lưng ñã ñem

li bưc phát tri n mi cho lí thuyt xác sut. Các nhà toán hc Jacob Bernoulli (1654-

1705), A.Moivre (1667-1754), Laplace (1749-1827), Gauss (1777-1855), Poisson

(1781-1840) ñã có công lao xng ñáng phát tri n lí thuyt xác sut b!ng phương pháp

gii tích.

T" gia th k# 19 ñn ñu th k# 20, s phát tri n ca lí thuyt xác sut g$n lin

vi tên tui các nhà toán hc Nga như Bunhiacpxki (1804-1889), Trebưsep (1821-

1894), Markov (1856-1922) và Liapunov (1857-1918).

Trong quá trình phát tri n mnh m% ca ca lí thuyt xác sut, vn ñ xây dng

mt cơ s toán hc cht ch% tr thành cp thit. S ra ñi ca lí thuyt tp hp và ñ

ño ñã cung cp công c toán hc gii quyt vn ñ này, và vinh quang xây dng lí

thuyt xác sut tiên ñ thuc v nhà toán hc Nga Kolmogorov (1929).

S ra ñi ca thng kê toán hc b$t ngun t" các vn ñ thc ti&n và da trên

nhng thành tu ca lí thuyt xác sut. Các thí nghim trong các ngành khoa hc khác

nhau như vt lý, hóa hc, sinh hc, y hc, ... ph thuc vào nhiu yu t ngu nhiên

như con ngưi, môi trưng,... Do ñó kt qu thc nghim thưng là các ñi lưng ngu

nhiên.

Có th ñ'nh nghĩa thng kê toán hc là ngành khoa hc v các phương pháp

tng quát x) lý các kt qu thc nghim. Cùng vi s phát tri n ca lí thuyt xác sut,

thng kê toán hc ñã có bưc tin nhanh, vi s ñóng góp ca các nhà toán hc như

Gantơn (1822-1911), Picxơn (1857-1936), Cramer, Fisher, Von Neuman, ... Thng kê

toán hc ñã có các ng dng hiu qu trong nhiu lĩnh vc khoa hc, công ngh, kinh

t và xã hi khác nhau như vt lí, hóa hc, cơ hc, sinh vt, y hc, d báo, khí tưng,

thy văn, vô tuyn, ñin t), ngôn ng hc, xã hi hc, ...

Có th nói lí thuyt xác sut và thng kê toán hc ñã tr thành kin thc cơ s

không th thiu ca m+i k, sư tương lai.

Giáo trình ñưc biên son ln ñu nên ch$c ch$n còn nhiu khim khuyt. Tác

gi chân thành cm ơn nhng ý kin ñóng góp quý báu ca ñc gi ñ giáo trình ngày

mt hoàn thin.

Xin chúc các bn thành công!

ðà n-ng 1/2005

Tác gi.

CHƯƠNG 0

GII TÍCH KT HP

I. TP HP

1. CÁC KHÁI NIM CƠ BN

• ðnh nghĩa: Khái nim tp hp là khái nim nn tng cho toán hc cũng như ng

dng ca nó. Tp hp là khái nim nguyên thu không ñnh nghĩa chính xác da

trên các khái nim khác. Tp hp ñưc coi là kt hp các ñi tưng có cùng bn

cht (thuc tính, du hiu ) chung nào ñó.

Tp hp thưng ñưc ký hiu bng các ch cái A, B, C , ... Các phn t ca

tp hp ký hiu bng các ch thưng a, b, c,...

ð ch x là phn t ca tp hp X ta vit :

∈

X (ñc : x thuc X )

ð ch x không phi là phn t ca X ta vit :

x ∉ X (ñc : x không thuc X )

Tp không có phn t gi là tp rng và ký hiu ∅.

• Biu din tp hp:

Có hai cách biu din tp hp như sau

(i) Lit kê các phn t :

+ Ví d

A = { a, b, c }

X = { x

, x

, ... , x

}

(ii) Biu din tp hp bng cách mô t tính cht :

+ Ví d

C = { n | n là s chn }

Y = { x | x là nghim phương trình x

+ 2x - 5 = 0 }

• Lc lưng tp hp:

S phn t ca tp A, ký hiu là |A|, gi là lc lưng ca tp A.

Nu |A| < ∞

∞∞

∞ , ta nói A là tp hu h!n, nu |A| = ∞

∞∞

∞ , ta nói A là tp vô h!n.

Trong chương trình này ta gi thit các tp hp là hu h!n.

• Quan h bao hàm: Cho hai tp A, B.

Nu mi phn t thuc A cũng thuc B ta nói A là tp con ca B và ký hiu

A ⊂ B

Nu A không phi tp con ca B ta ký hiu

A ⊄ B

Nu A ⊂ B và B ⊂ A ta nói A bng B và ký hiu

A = B

Nu A ⊂ B , A ≠ ∅ và B ≠ A, thì ta nói A là tp con thc s ca B.

+ Ví d

(i) Tp rng ∅ có lc lưng bng 0, |∅| = 0. V#i mi tp A, ∅ ⊂ A.

(ii) Cho ña thc P(x). Ký hiu S = {x | P(x) = 0}. S là tp hu h!n.

(iii) Ký hiu

N là tp s t nhiên, N = {0, 1, 2, … };

Q là tp s hu t; R là tp só thc.

Ta có N ⊂

⊂⊂

⊂ Q ⊂

⊂⊂

⊂ R.

Bây gi ta xét tp hu h!n A. Ký hiu tp tt c tp con ca A là

(A)

• ðnh lý 1. Nu |A| = n , thì |

(A)| = 2

Chng minh. Quy n!p theo n.

2. CÁC PHÉP TOÁN TP HP

Cho các tp A, B, X

, X

, ... , X

( n ∈ N ) là các tp con ca tp “vũ tr” U

nào ñó. Ta ñnh nghĩa các phép toán sau.

+ Phép hiu: Hiu ca A và B, ký hiu A \ B là tp:

A \ B = { x  x ∈ A & x ∉ B }

+ Phn bù: Phn bù ca A (trong U ) là tp

= U \ A

+ Phép hp: Hp ca A và B, ký hiu A

∪

B là tp

A ∪ B = { x | x ∈ A ho$c x ∈ B }

Tương t, hp ca X

, X

, ... , X

là tp

}Xxn,kk,1| {x

∈≤≤∃=

∪

+ Phép giao: Giao ca A và B, ký hiu A

∩

B là tp

A ∩ B = { x  x ∈ A & x ∈ B }

Tương t, giao ca X

, X

, ... , X

là tp

}Xxn,kk,1| {x

∈≤≤∀=

∩

+ Tích ð-các

- Tích ð-các ca hai tp A, B là tp

A x B = { (a,b) a ∈ A & b ∈ B }

- Tích ð-các ca các tp X

, X

, ... , X

là tp

x X

x ... x X

= { (x

, x

, ... , x

)  x

∈ X

& x

∈ X

& ... & x

∈ X

}

+ Phân hoch:

- Nu A ∩ B = ∅, ta nói A và B ri nhau.

- Nu các tp X

, X

, ... , X

tho

A = X

∪ X

∪ ... ∪ X

và chúng ri nhau t%ng ñôi mt, ta nói { X

, X

, ... , X

} là mt phân hoch ca tp

hp A.

• ðnh lý 1. Gi s { X

, X

, ... , X

} là mt phân ho!ch ca tp S. Khi ñó

S= X

+ X

+ ... + X



Chng minh. Hin nhiên.

• ðnh lý 2. Cho các tp A, B, C trong tp vũ tr U, khi ñó ta có :

(i) Lut kt hp :

( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )

( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

(ii) Lut giao hoán :

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

(iii) Lut phân b :

A ∪ ( B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )

A ∩ ( B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C )

(iv) Lut ñi ngu De Morgan:

∩

∪

∩

∩∪

11 ==

= &

∪∩

11 ==

Chng minh. (bài tp).

• ðnh lý 3 (v lc lưng tp hp).

(i) Lc lưng tp con:

A ⊂ B ⇒ |A| ≤ |B|

(ii) Lc lưng ca hp

A ∪ B

= A+ B − A ∩ B



(iii) Nguyên lý bù tr% Poincaré:

( )

∑ ∑

= ≤≤≤≤≤

−











∩∩∩−=

m niii

iii

AAAA

1 ...1

...1

∪

(iv) Lc lưng tích ð-các

X

x X

x ... x X

= X

. X

. ... . X



(v) Lc lưng tương ñương:

|A| = |B| ⇔ T&n t!i song ánh t% A vào B.

Chng minh. (bài tp).

GIÁO TRÌNH LÝ THUYẾT THỐNG KÊ - ĐH Bách Khoa Đà Nẵng

Chủ đề:

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi