Giáo trình Nhập môn giải tích lồi ứng dụng: Phần 1 - Lê Dũng Mưu và Nguyễn Văn Hiền

Giải tích lồi là một bộ môn cốt lõi của giải tích hiện đại, đóng vai trò nền tảng trong nhiều lĩnh vực toán học ứng dụng, đặc biệt là tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân và các bài toán cân bằng. Nhu cầu tiếp cận kiến thức về giải tích lồi ngày càng tăng tại Việt Nam, tuy nhiên, tài liệu chuyên sâu bằng tiếng Việt còn hạn chế. Cuốn sách này được biên soạn nhằm giới thiệu các vấn đề cơ bản nhưng khá đầy đủ về tập lồi và hàm lồi trong không gian hữu hạn chiều. Mục tiêu là cung cấp một nền tảng vững chắc, nhấn mạnh các khía cạnh tính toán và ứng dụng thực tiễn của giải tích lồi, giúp người học và nhà nghiên cứu dễ dàng nắm bắt và áp dụng vào chuyên ngành của mình.

Sinh viên đại học, sau đại học các ngành toán ứng dụng, kinh tế, tài chính, kỹ thuật; giảng viên; và các nhà nghiên cứu quan tâm đến giải tích lồi.

Cuốn sách "Nhập môn giải tích lồi ứng dụng" cung cấp một cái nhìn toàn diện về các khái niệm cơ bản của giải tích lồi trong không gian hữu hạn chiều. Nội dung chính bao gồm các khái niệm nền tảng như tập lồi, hàm lồi, tổ hợp lồi, bao lồi, bao a-phin, và nón lồi, cùng với Định lý Carathéodory. Sách đi sâu vào các cấu trúc phức tạp hơn như điểm trong tương đối và phiếm hàm Minkowski, cấu trúc biên và biểu diễn tập lồi. Đặc biệt, cuốn sách trình bày chi tiết về phép chiếu vuông góc và xấp xỉ tuyến tính của tập lồi, một công cụ mạnh mẽ trong giải tích lồi. Các định lý tách các tập lồi, bao gồm bổ đề Farkas, được khai thác để giải quyết các vấn đề liên thuộc và tách. Khái niệm đối cực của tập lồi và các tính chất cơ bản của hàm lồi, đạo hàm theo hướng, dưới vi phân, và lý thuyết minimax cũng được giới thiệu. Phương pháp tiếp cận của tài liệu nhấn mạnh vào các khía cạnh tính toán và ứng dụng, cung cấp nền tảng lý thuyết và thực tiễn vững chắc cho việc giải quyết các bài toán tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật khác nhau.