160
Với k lẻ ta phải giải phương trình vi phân tương ứng là:
[]
π)1n2(
4
)t(Tπ)1n2()t(T 1n2
2
1n2 −
=−+
′′ −−
với điều kiện: T2n-1(0) = 0; π)1n2(
4
)0(T 1n2 −
=
′−
Nghiệm tổng quát của phương trình này là:
33
211n2 π)1n2(
4
tπ)1n2sin(Ctπ)1n2cos(C)t(T −
+−+−=
−
Khi t = 0 ta có:
33
1π)1n2(
4
C−
−=
Mặt khác ta có:
tπ)1n2cos(π)1n2(Ctπ)1n2sin(π)1n2(C)t(T 211n2
−
−
+
−
−−=
′−
Theo điều kiện đầu:
33
211n2 π)1n2(
4
tπ)1n2cos(π)1n2(Ctπ)1n2sin(π)1n2(C)t(T −
=−−+−−−=
′−
nên: 22
2π)1n2(
4
C−
=
Thay C1 và C2 vào biểu thức của T2n-1(t) ta có:
[]
1tπ)1n2cos(tπ)1n2sin(π)1n2(
π)1n2(
4
)t(T 33
1n2 +−−−−
−
=
−
và:
[]
∑
∞
=
−
+−−−−
−
=
1n
33 l
xπ)1n2(
sin1tπ)1n2cos(tπ)1n2sin(π)1n2(
π)1n2(
4
)t,x(u
Ví dụ 2: Giải phương trình
)1x(x
x
u
t
u
2
2
2
2
−+
∂
∂
=
∂
∂ 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t
với các điều kiện:
0)t,x(u)t,x(u
0
t
u
)t,x(u
1x0x
0t
0t
==
=
∂
∂
=
==
=
=
Trong ví dụ này ta có f(x, t) = x(x - 1). Vậy:
∫∫ π−=
π
=1
0
l
0
kxdxksin)1x(x2xdx
l
k
sin)t,x(f
l
2
C
∫−+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−−=
=
=
1
0
1x
0x
2xdxπkcos)1x2(
πk
1
πk
xπkcos
)xx(2
161
nên:
[]
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−=
−
=−−=
n2kkhi0
1n2kkhi
π)1n2(
8
1)1(
πk
4
C33
k
2
k
Ta tìm nghiệm của bài toán dưới dạng (1) nên bây giờ phải tìm Tk(t)
Với k = 2n (chẵn), ta tìm T2n(t) từ phương trình :
0)t(T)πn2()t(T n2
2
n2 =+
′′
với điều kiện: T2n(0) = 0; 0)0(T n2
=
′
Như vậy T2n(t) ≡ 0
Với k = 2n -1 (lẻ) ta phải giải phương trình vi phân tương ứng là:
[]
0
π)1n2(
8
)t(Tπ)1n2()t(T 33
1n2
2
1n2 =
−
+−+
′′ −−
với điều kiện: T2n-1(0) = 0; 0)0(T 1n2
=
′−
Nghiệm tổng quát của phương trình này là:
55
211n2 π)1n2(
8
tπ)1n2sin(Ctπ)1n2cos(C)t(T −
−−+−=
−
Khi t = 0 thì từ các điều kiện đầu ta rút ra:
55
1π)1n2(
8
C−
= C
2 = 0
[]
1tπ)1n2cos(
π)1n2(
8
)t(T 55
1n2 −−
−
=
−
[]
∑
∞
=
−−−
−
=
1n
55 xπ)1n2sin(1tπ)1n2cos(
π)1n2(
8
)t,x(u
d. Bài toán hỗn hợp: Sau khi đã giải 2 bài toán trên ta trở về giải phương trình:
)t,x(f
x
u
a
t
u
2
2
2
2
2
+
∂
∂
=
∂
∂ 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ T (1)
với các điều kiện :
)t(φ)t,x(u);t(φ)t,x(u
)x(u
t
u
);x(u)t,x(u
2
lx
1
0x
1
0t
o
0t
==
=
∂
∂
=
==
=
=
Ta giải bài toán bằng cách đưa vào hàm phụ:
[]
)t(φ)t(φ
l
x
)t(φ)t,x(ρ121 −+=
Khi đó ta tìm nghiệm của bài toán hỗn hợp dưới dạng:
)
t
,x(ρ)
t
,x(u
~
)
t
,x(u += (2)
Trong đó hàm )
t
,x(u
~
ta phải xác định. Trước hết ta có nhận xét:
)t(φ)t,x(ρ1
0x =
= )t(φ)t,x(ρ2
lx
=
=
Vậy kết hợp với điều kiện đã cho ta có:
0)t,x(u
~
)t,x(u
~
lx0x == == (3)
162
Khi t = 0 ta sẽ có:
[] []
[]
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
′
=
′
−
′
−
′
−=
∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
=−−−=−=
===
==
)x(u
~
)0(φ)0(φ
l
x
)0(φ)x(u
t
ρ
t
u
t
u
~
)x(u
~
)0(φ)0(φ
l
x
)0(φ)x(u)t,x(ρ)t,x(u)t,x(u
~
o1211
0t0t0t
o121o
0t0t
(4)
Đạo hàm 2 lần (2) theo x và t rồi thay vào (1) và rút gọn ta có:
)t,x(f
x
u
~
a
t
u
~
1
2
2
2
2
2
+
∂
∂
=
∂
∂ (5)
Trong đó:
[]
)t(φ)t(φ
l
x
)t(φ)t,x(f)t,x(f 1211 ′′
−
′′
−
′′
−=
Tóm lại, để tìm u(x, t) ta phải giải (5) với các điều kiện (3) và (4). Đó chính là dạng
bài toán 2 mà ta đã biết cách giải. Sau đó kết hợp )
t
,x(u
~
và ρ(x, t) ta tìm được
nghiệm.
§3. BÀI TOÁN CAUCHY CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN
SÓNG TRONG KHÔNG GIAN
Bài toán Cauchy của phương trình truyền sóng trong không gian là bài toán giải
phương trình:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
u
y
u
x
u
a
t
u (1)
với các điều kiện:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
∂
∂
=
=
=
)z,y,x(u
t
u
)z,y,x(u)t,z,y,x(u
1
0t
o
0t
-∞ < x < ∞, -∞ < y <∞, -∞ < z < ∞, t > 0 (2)
Người ta đã chứng minh được rằng nghiệm của phương trình có dạng:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+= ∫∫∫∫
S
o
2
S
1
2ds)ζ,η,ξ(u
taπ4
1
t
ds)ζ,η,ξ(u
taπ4
1
)t,z,y,x(u
Trong đó S là mặt cầu tâm M(x,y,z) và bán kính at. Công thức này gọi là công thức
Kirhoff.
Trong trường hợp mặt phẳng, công thức Kirhoff trở thành công thức Poisson:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−−
∂
∂
+
−−−−
=∫∫∫∫
D222
o
D222
1
)yη()xξ()at(
ηdξd)η,ξ(u
aπ2
1
t
)yη()xξ()at(
ηdξd)η,ξ(u
aπ2
1
)t,y,x(u
§4. BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CƯỠNG BỨC
1. Nguyên lí Duhamel: Để giải các bài toán có tác động của ngoại lực người ta
thường dùng nguyên lý Duhamel được phát biểu như sau:
Nếu H(α, x, t) với mọi giá trị của tham biến α là nghiệm của phương trình:
ila
t
H2
2
2
∆=
∂
∂
163
với các điều kiện:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
∂
∂
=
=
=
)σ,x(h)t,x,α(H
t
0)t,x,α(H
0t
0t
Khi đó hàm:
∫−= l
0
αd)αt,x,α(H)t,x(u
sẽ là nghiệm của phương trình:
)t,x(hua
t
u2
2
2
+∆=
∂
∂
với các điều kiện:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
∂
∂
=
=
=
0
t
u
0)t,x(u
0t
0t
Để hiểu rõ hơn về nguyên lý Duhamel ta sẽ dùng nó để giải các bài toán về dao động
cưỡng bức sau:
2. Bài toán 1: Giải phương trình:
)t,z,y,x(f
z
u
y
u
x
u
a
t
u
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ (1)
với các điều kiện:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
∂
∂
=
=
=
)z,y,x(u
t
u
)z,y,x(u)t,z,y,x(u
1
0t
o
0t
-∞ < x < ∞, -∞ < y <∞, -∞ < z < ∞, t > 0 (2)
Ta dùng phương pháp chồng nghiệm, nghĩa là tìm nghiệm của phương trình (1) dưới
dạng:
)t,z,y,x(u)t,z,y,x(u)t,z,y,x(u +=
Trong đó )t,z,y,x(u là nghiệm của bài toán:
ua
t
u2
2
2
∆=
∂
∂
với: 1
0t
o
0t u
t
u
;uu =
∂
∂
=
=
=
Còn )t,z,y,x(u là nghiệm của bài toán:
fua
t
u2
2
2
+∆=
∂
∂
với: 0
t
u
;0u
0t
0t
=
∂
∂
=
=
=
Theo công thức Kirhoff ta có:
164
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+= ∫∫∫∫
S
o
2
S
1
2ds)ζ,η,ξ(u
taπ4
1
t
ds)ζ,η,ξ(u
taπ4
1
)t,z,y,x(u
Mặt khác theo nguyên lí Duhamel ta có:
∫∫
=
S
2ds
t
)α,ζ,η,ξ(f
aπ4
1
)t,z,y,x,α(H
Từ đó suy ra:
αdds
αt
)α,ζ,η,ξ(f
aπ4
1
)t,z,y,x(u
l
0)αt(
S
2∫∫∫ ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
=
−
Để rút gọn công thức nghiệm trong tích phân trên ta đổi biến r = a(t - α). Do đó ta có:
∫∫∫∫∫∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
=
Vat
2
l
0)r(
S
2dV
r
a
r
t,ζ,η,ξf
aπ4
1
drds
r
a
r
t,ζ,η,ξf
aπ4
1
)t,z,y,x(u
Trong đó Vat là hình cầu bao bởi mặt S và:
222 )ζz()ηy()ξx(r −+−+−=
Vậy nghiệm của bài toán 1 là:
∫∫∫∫∫∫∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∂
∂
+=
VatS
o
S
1
2dV
r
a
r
t,ζ,η,ξf
ds
t
)ζ,η,ξ(u
t
ds
t
)ζ,η,ξ(u
aπ4
1
)t,z,y,x(u
Công thức này được gọi là công thức Kirhoff tổng quát.
3. Bài toán 2: Giải phương trình:
)t,y,x(f
y
u
x
u
a
t
u
2
2
2
2
2
2
2
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂ (1)
với các điều kiện:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
∂
∂
=
=
=
)y,x(u
t
u
)y,x(u)t,y,x(u
1
0t
o
0t
-∞ < x < ∞, -∞ < y <∞, t > 0 (2)
Nghiệm của bài toán rút ra nhờ cách giải tương tự như bài toán trước bằng cách dùng
nguyên lý Duhamel:
()
αd
)ηy()ξx()αt(a
ηdξdα,η,ξf
ηdξd
)ηy()ξx(ta
)η,ξ(u
t
ηdξd
)ηy()ξx(ta
)η,ξ(u
aπ4
1
)t,y,x(u
l
0)αt(a
D2222
a
D2222
o
S2222
1
2
∫∫∫∫∫
∫∫
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−−−
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−−
∂
∂
+
−−−−
=
−
Trong đó Dat và Da(t-α)
là miền tròn có cùng tâm (x, y) và bán kính là at và a(t-α) .
Công thức này được gọi là công thức Poisson tổng quát.
4. Bài toán 3: Giải phương trình: