TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
-------------------------
BIẾN ĐỔI LAPLACE
Môn: Điều khiển tối ưu
Sinh viên thực hiện: GIÁP VĂN HIỆP 20091069
TRẦN NGỌC DUYỆT 20090497
Hà Nội - 2013
Điều khiển tối ưu
Table Laplace Transform Pais
STT f(t)F(s)
1Unit impluse δ(t) 1
2Unit step 1(t)1
s
3t1
s2
4tn−1
(n−1)! (n= 1,2, . . .)1
sn
5tn(n= 1,2, . . .)n!
sn+1
6e−at 1
s+a
7te−at 1
(s+a)2
81
(n−1)!tn−1e−at (n= 1,2, . . .)1
(s+a)n
9tne−at (n= 1,2, . . .)n!
(s+a)n+1
10 sin ωt ω
s2+ω2
11 cos ωt s
s2+ω2
12 sinh ωt ω
s2−ω2
13 coth ωt s
s2−ω2
14 1
a(1 −e−at)1
s(s+a)
15 1
b−a(e−at −e−bt)1
(s+a)(s+b)
16 1
b−a(be−bt −ae−at)s
(s+a)(s+b)
17 1
ab 1 + 1
a+b(be−at −ae−bt)1
s(s+a)(s+b)
18 1
a2(1 −e−at −ate−at)1
s(s+a)2
19 1
a2(at −1 + e−at)1
s2(s+a)
20 e−at sin ωt ω
(s+a)2+ω2
21 e−at cos ωt s+a
(s+a)2+ω2
22 ωn
√1−ξ2e−ξωntsin ωnp1−ξ2tω2
n
s2+2ξωns+ω2
n
23 −1
√1−ξ2e−ξωntsin ωnp1−ξ2t−φ
φ= arctan√1−ξ2
ξ
s
s2+2ξωns+ω2
n
24
1−1
√1−ξ2e−ξωntsin ωnp1−ξ2t+φ
φ= arctan √1−ξ2
ξ
ω2
n
s(s2+2ξωns+ω2
n)
25 1 −cos ωt ω2
s(s2+ω2)
26 ωt −sin ωt ω3
s2(s2+ω2)
27 sin ωt −ωt cos ωt 2ω3
(s2+ω2)2
28 1
2ωtsin ωt s
(s2+ω2)2
2
Điều khiển tối ưu
STT f(x)F(s)
29 tcos ωt s2−ω2
(s2+ω2)2
30 1
ω2
2−ω2
1(cos ω1t−cos ω2t) (ω2
16=ω2
2)s
(s2+ω2
1)(s2+ω2
2)
31 1
2ω(sin ωt +ωt cos ωt)s2
(s2+ω2)2
Chứng minh các công thức ở bảng trên:
1.
L{δ(t)}= 1.
Chứng minh. Hàm Unit impluse δ(t):
δ(t) = +∞nếu x6= 0
0nếu x= 0
và thỏa mãn +∞
R
−∞
δ(t)dt = 1.Khi đó
L{δ(t)}=
∞
Z
0−
δ(t)e−stdt =
0+
Z
0−
δ(t)e−stdt =
0+
Z
0−
δ(t)dt = 1
2.
L{u(t)}=1
s.
Chứng minh. Ta có
f(t)=Unit step u(t)
u(t) = 1nếu t≥0
0nếu t < 0
Vậy
L{u(t)}=∞
R
0
f(t)e−stdt =∞
R
0
e−stdt =−1
s
∞
R
0
e−std(−st)
=−1
shlim
t→∞ e−st −1i=1
s,(s > 0)
3
Điều khiển tối ưu
3.
L{t}=1
s2
Chứng minh. Ta có
L{t}=∞
R
0
f(t)e−stdt =∞
R
0
te−stdt =−1
s
∞
R
0
td(e−st)
−1
slim
t→∞(te−st)−0−∞
R
0
e−stdt(2)
=−1
s0−1
s=1
s2
(do lim
t→∞ te−st = lim
t→∞ eln te−st = lim
t→∞ eln t−st = 0, s > 0)
4.
Ltn−1
(n−1)!=1
sn, n = 1,2, . . .
Chứng minh. Ta có
•Với n=1,2 thì đẳng thức trên đúng.
•Giả sử đẳng thức trên đúng với n=k, tức là
Ltk−1
(k−1)!=1
sk(∗)
•Ta sẽ chứng minh đẳng thức trên đúng với n=k+ 1, tức là
Ltk
k!=1
sk+1
Thật vậy, ta có
Lntk
k!o=∞
R
0
tk
k!e−stdt =−1
s
∞
R
0
tk
k!d(e−st)
=−1
stk
k!e−st
∞
0−∞
R
0
tk−1
(k−1)!e−stdt(∗)
=−1
shlim
t→∞
tk
k!e−st −0−1
ski
Ta có
lim
t→∞
tk
k!e−st =1
k!lim
t→∞ tke−st =1
k!lim
t→∞ ekln|t|e−st =1
k!lim
t→∞ ekln t−st = 0
với s > 0
Từ đó
Ltk
k!=−1
s0−1
sk=1
sk+1
4
Điều khiển tối ưu
5.
L{tn}=n!
sn+1 n= 1,2, . . .
Chứng minh. Ta có hàm Gama được định nghĩa như sau:
Γ(n) = ∞
R
0
e−xxn−1dx với n > 0
và công thức truy hồi
Γ(n) = (n−1)!
Khi đó
L{tn}=
∞
Z
0
tne−stdt
Đặt u=st ⇒t=u
s, dt =du
s, suy ra
L{tn}=1
sn+1
∞
Z
0
e−uundu =Γ(n+ 1)
sn+1 =n!
sn+1 , s > 0
6.
Le−at=1
s+a
Chứng minh. Ta có
L{e−at}=∞
R
0
e−ate−stdt =∞
R
0
e−(s+a)tdt =−1
s+a
∞
R
0
d(e−(s+a)t)
=−1
s+ahlim
t→∞ e−(s+a)t−1i=1
s+a, s > −a
7.
Lte−at=1
(s+a)2
5