Khóa luận tốt nghiệp: Hệ thống hóa lý thuyết và bài tập của môn xác suất thống kê ứng dụng vào giải những bài toán Vật lý

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ

PHAN THANH TRÀ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

HỆ THỐNG HÓA LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP CỦA MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN VẬT LÝ

Chuyên ngành: Sư phạm Vật lý

TP. Hồ Chí Minh, năm 2020

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ

HỆ THỐNG HÓA LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP CỦA MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN VẬT LÝ

Người thực hiện: Phan Thanh Trà

Người hướng dẫn khoa học: ThS. Tô Thị Hoàng Lan

TP. Hồ Chí Minh, năm 2020

LỜI CẢM ƠN

Để có thể hoàn thành được khóa luận này, không chỉ có sự cố gắng, nỗ lực của

bản thân tôi mà còn có sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của quý thầy cô.

Trước hết, tôi xin gởi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Cô Tô Thị Hoàng

Lan – người đã tận tình hướng dẫn, dìu dắt, giúp đỡ, đưa ra những góp ý quý báu

trong quá trình thực hiện đề tài khóa luận của tôi.

Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô giảng viên khoa Vật lý trường Đại Học

Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã dạy dỗ, trang bị cho tôi kiến thức và tạo điều kiện

thuận lợi cho tôi hoàn thành đề tài khóa luận.

Cũng nhân dịp này, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động

viên tôi trong suốt quá trình 4 năm đại học và quá trình thực hiện đề tài khóa luận này.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 07 năm 2020

Sinh viên

Phan Thanh Trà

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 3.1. Dữ liệu thời gian rơi tự do từ độ cao 3 mét so với mặt đất .............. 59 Bảng 3.2. Dữ liệu đo thời gian rơi của quả bóng ở độ cao 2 mét ..................... 60

Bảng 3.3. Dữ liệu điểm kiểm tra 15 phút môn Vật lý lớp 11A5 ...................... 61

Bảng 3.4. Kết quả đo số hạt neutrino trong một ngày ...................................... 71

Bảng 3.5. Dữ liệu thời gian thời gian ném quả bóng đến độ cao 2 mét ........... 73 Bảng 3.6. Chiều dài của lò xo theo khối lượng quả nặng ................................ 76

Bảng 3.7. Dữ liệu lực phá hủy chất nổ theo tuổi chất nổ ................................. 78

Bảng 3.8. Dữ liệu mối quan hệ giữa chỉ số khúc xạ và mật độ thủy tinh ........ 79

Bảng 3.9. Dữ liệu mối quan hệ giữa thời điểm và vận tốc chuyển động ........ 80

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 2.1. Mô tả trạng thái spin lượng tử [28] .................................................. 15

Hình 3.1. Mô tả phân bố Maxwell – Boltzmann .............................................. 30

Hình 3.2. Mô tả phân bố Bose – Einstein ......................................................... 31

Hình 3.3. Sơ đồ mạch điện gồm 4 bóng đèn ghép với nhau ............................ 35

Hình 3.4. Sơ đồ mạch điện gồm 5 linh kiện ghép với nhau ............................. 37

Hình 3.5. Hệ thống các thiết bị ghép nối với nhau ........................................... 40

iii

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN ................................................................................................... i

DANH MỤC BẢNG BIỂU ............................................................................. ii

DANH MỤC HÌNH ẢNH ............................................................................... ii

MỤC LỤC ....................................................................................................... iii

PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1

1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................ 1

2. Tổng quan tình hình nghiên cứu ..................................................................... 2

3. Định hướng nghiên cứu của đề tài .................................................................. 5

4. Mục tiêu đề tài ................................................................................................ 6

5. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu ...................................................................... 6

6. Phương pháp nghiên cứu: phương pháp nghiên cứu luận .............................. 6

7. Cấu trúc khóa luận .......................................................................................... 6

CHƯƠNG 1. NHỮNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU XÁC SUẤT THỐNG KÊ

DÀNH CHO SINH VIÊN NGÀNH VẬT LÝ ......................................................... 7

1.1. Mục tiêu của học phần XSTK trong chương trình đào tạo dành cho sinh

viên ngành Vật lý. ....................................................................................................... 7

1.2. Khái quát về nội dung XSTK sử dụng trong các học phần chuyên ngành Vật lý. .......................................................................................................................... 7

1.3. Cấu trúc nội dung kiến thức XSTK ứng dụng trong giải quyết các vấn đề

Vật lý. .......................................................................................................................... 9

CHƯƠNG 2. PHÂN TÍCH NỘI DUNG KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÀ NHỮNG CHỦ ĐỀ BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ TRONG CÁC GIÁO TRÌNH ...................................................................................................................... 11

2.1. Phân tích chương 1: “Đại cương về xác suất” ........................................... 12

2.2. Phân tích chương 2: “Đại lượng ngẫu nhiên. Vectơ ngẫu nhiên. Các tham

số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên” .................................................................... 18

2.3. Phân tích chương 3: “Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng” ... 22

2.4. Phân tích chương 4: “Các định lý giới hạn” .............................................. 23

2.5. Phân tích chương 5: “Lý thuyết mẫu” ....................................................... 25

2.6. Phân tích chương 6: “Ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên” .............. 25

2.7. Phân tích chương 7: “Kiểm định giả thuyết thống kê” ............................. 26

2.8. Phân tích chương 8: “Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến

tính” ........................................................................................................................... 27

CHƯƠNG 3. HỆ THỐNG HÓA NỘI DUNG LÝ THUYẾT VÀ XÂY DỰNG BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ỨNG DỤNG GIẢI NHỮNG BÀI

TOÁN VẬT LÝ. ...................................................................................................... 29

3.1. Chương 1: “Đại cương về xác suất”. ......................................................... 29

3.2. Chương 2: “Đại lượng ngẫu nhiên. Vectơ ngẫu nhiên. Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên”. .............................................................................. 41

3.3. Chương 3: “Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng”. ................. 50

3.4. Chương 4: “Các định lý giới hạn”. ............................................................ 56

3.5. Chương 5: “Lý thuyết mẫu”. ..................................................................... 59

3.6. Chương 6: “Ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên”. ............................ 62

3.7. Chương 7: “Kiểm định giả thuyết thống kê”. ............................................ 68

3.8. Chương 8: “Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến tính”. ...... 74

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ........................................................................ 83

TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 84

PHẦN MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Sự hình thành và phát triển của lý thuyết xác suất luôn gắn liền với thực tiễn.

Có thể nói rằng mầm mống của lý thuyết xác suất đã có từ thế kỷ thứ III trước công

nguyên với các trò chơi may rủi. Những con xúc xắc hình lập phương và đồng chất

bằng đất nung được tìm thấy trong các ngôi mộ cổ chứng tỏ rằng các trò chơi liên quan đến phép thử ngẫu nhiên đã có từ rất lâu qua các trò chơi với xúc xắc rất phổ

biến ở vùng Lưỡng Hà từ thời Ai Cập cổ đại.

Tuy nhiên, lý thuyết xác suất thống kê (XSTK) chỉ mới phát triển từ khoảng

cuối thế kỉ XVII. Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu

nhiên và có quan hệ mật thiết với thống kê – một công cụ để nghiên cứu thực nghiệm. Ngay từ đầu thế kỷ XX, nhà triết học người Anh H.G Wells đã dự báo: “Trong một

tương lai không xa, kiến thức thống kê và tư duy thống kê sẽ trở thành một yếu tố

không thể thiếu trong học vấn phổ thông của một công dân giống như khả năng biết

đọc, biết viết vậy” [21]. Hiện nay, XSTK ngày càng được phát triển cả về mặt lý

thuyết và thực tiễn, đóng vai trò rất quan trọng trong hầu hết các lĩnh vực từ các ngành

khoa học, công nghệ đến các ngành kinh tế, chính trị. Do đó, XSTK đã trở thành một

học phần thiết yếu trong các trường đại học nói chung và các trường đại học có đào

tạo ngành Vật lý nói riêng.

Trong lĩnh vực Vật lý, lý thuyết xác suất và thống kê mô tả các quá trình xảy ra

ngẫu nhiên, tạo ra công cụ Toán học của các ngành khoa học như Vật lý thống kê, Cơ

học lượng tử, Vật lý thực nghiệm,... Thống kê được xem là một phương tiện để thu

được thông tin có giá trị từ các dữ liệu thử nghiệm. Trong các nghiên cứu của lĩnh

vực Vật lý hiện đại, ta thường không thể đo trực tiếp các đại lượng mà thông qua việc

phân tích thống kê cho phép đưa ra kết luận đáng tin cậy từ các hiện tượng vật lý.

Việc sử dụng thống kê trong xử lý kết quả trực tiếp là tìm giá trị trung bình và sai số của chúng, ước tính các tham số và kiểm tra giả thuyết đưa ra.

XSTK có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực Vật lý, tuy nhiên một số công trình nghiên cứu và giáo trình XSTK hiện nay chủ yếu nghiên cứu những ứng dụng của nó trong kinh tế, trong y học hoặc trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật nói chung mà chưa đi sâu vào các lĩnh vực nghiên cứu Vật lý. Bên cạnh đó, hiện nay tại khoa Vật

lý – Trường Đại Học Sư Phạm TP. HCM vẫn sử dụng giáo trình môn XSTK dùng cho các trường kinh tế và khoa học kỹ thuật nên còn thiếu những vấn đề liên quan đến Vật lý. Việc này dẫn đến sinh viên khó thấy được sự cần thiết của bộ môn và sử

dụng nó trong chuyên môn của mình. Do đó, hệ thống hóa nội dung kiến thức và xây

dựng hệ thống bài tập XSTK ứng dụng vào giải quyết các vấn đề trong Vật lý là rất

cần thiết.

Từ những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “HỆ THỐNG HÓA

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP CỦA MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ ỨNG DỤNG

VÀO GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN VẬT LÝ” cho sinh viên khoa Vật lý trường Đại

Học Sư Phạm TP. HCM.

2. Tổng quan tình hình nghiên cứu

2.1. Các công trình của tác giả Việt Nam

Trong khoảng 10 năm trở lại đây, trong nước đã có nhiều công trình nghiên cứu

về chủ đề dạy học XSTK. Tiêu biểu có thể kể đến các luận án tiến sĩ nghiên cứu về

ứng dụng của bộ môn XSTK, nhằm tăng cường vận dụng toán học vào thực tiễn, nâng cao hiệu quả dạy học bộ môn XSTK ở các trường sư phạm, kinh tế, kỹ thuật, y học

và quân đội, chẳng hạn:

Phan Thị Tình (2011) trong luận án tiến sĩ với đề tài “Tăng cường vận dụng toán

học vào thực tiễn trong dạy học môn XSTK và quy hoạch tuyến tính cho sinh viên

Toán đại học sư phạm” [19] đã đề xuất được 6 biện pháp sư phạm nhằm tăng cường

vận dụng Toán học vào thực tiễn trong dạy học môn XSTK ở trường Đại học sư phạm:

xây dựng cầu nối một số kiến thức và bài toán trong môn học với kiến thức toán phổ

thông, tăng cường các tình huống xây dựng và củng cố kiến thức qua việc thâm nhập

thực tiễn, tăng cường một số yếu tố lịch sử trong quá trình dạy học môn học, sử dụng

hợp lý hệ thống bài toán thực tiễn trong môn học, luyện tập cho sinh viên một số hoạt

động thành phần trong các bước vận dụng toán học vào thực tiễn, cho sinh viên tiếp cận

với các hình thức đề và các dạng câu hỏi trong đề kiểm tra đánh giá năng lực toán học

phổ thông của học sinh theo PISA. Các ví dụ minh hoạ trong luận án là tư liệu tham

khảo cần thiết cho giảng viên và sinh viên toán Đại học sư phạm về dạy và học toán theo định hướng tăng cường vận dụng toán học vào thực tiễn.

Ngô Tất Hoạt (2012) với đề tài luận án tiến sĩ “Nâng cao hiệu quả dạy học XSTK ở trường Đại học sư phạm kỹ thuật theo hướng bồi dưỡng một số thành tố năng lực kiến tạo kiến thức cho sinh viên” [10] đã nghiên cứu đặc điểm của kiến thức XSTK, thực tế dạy và học XSTK ở một số trường Đại học sư phạm kỹ thuật, đề xuất một số

năng lực kiến tạo kiến thức từ đó góp phần nâng cao chất lượng dạy và học XSTK ở các trường Đại học sư phạm kỹ thuật: năng lực dự đoán, suy luận có lý – phát hiện vấn đề;

năng lực kiểm nghiệm – giải quyết vấn đề; năng lực biểu diễn, thu thập và xử lý số liệu

thống kê.

Với đề tài “Dạy học XSTK ở trường Đại học Y”, Đào Hồng Nam (2014) [16] đã trình bày vấn đề về mối quan hệ giữa XSTK với y học: từ toán học đến những nghiên

cứu thực tiễn. Đồng thời, trong luận án của mình, tác giả cũng khẳng định sự quan trọng

của kiểm định giả thuyết thống kê trong hoạt động nghề nghiệp và nghiên cứu của các

bác sĩ. Luận án là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các trường xây dựng chương trình đào tạo ngành y, các tác giả viết giáo trình XSTK dành cho sinh viên y khoa và cho giảng

viên góp phần nâng cao chất lượng đào tạo cán bộ y tế.

Luận án của Nguyễn Thị Thu Hà (2014), “Dạy học XSTK theo hướng tăng cường

vận dụng toán học vào thực tiễn cho sinh viên khối kinh tế, kỹ thuật” [6] đã đề xuất được

những biện pháp dạy học XSTK theo định hướng tăng cường vận dụng XSTK vào các lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật phù hợp với chương trình, nội dung học phần XSTK ở các

trường đại học khối kinh tế, kỹ thuật hiện nay ở Việt Nam. Các biện pháp được đề xuất

như: khai thác các tình huống thực tiễn để gợi động cơ, tạo hứng thú học tập cho sinh

viên; tăng cường khai thác ví dụ, bài toán XSTK có nội dung, thuật ngữ liên quan đến

ngành nghề cho sinh viên; tập luyện cho sinh viên một số kỹ thuật vận dụng quy trình

giải một bài toán thực tiễn trong dạy học XSTK; khắc phục sai lầm thường gặp của

sinh viên khi vận dụng XSTK vào một số tình huống thực tiễn; tập dượt cho sinh viên

bước đầu nghiên cứu khoa học theo hướng vận dụng XSTK vào lĩnh vực kinh tế, kỹ

thuật từ những bài tập thực hành đơn giản đến những bài tập lớn, dự án.

Phạm Thị Hồng Hạnh (2016) trong luận án tiến sĩ với đề tài “Dạy học XSTK cho

sinh viên ngành kế toán của các trường cao đẳng công nghiệp theo hướng phát triển

năng lực nghề nghiệp” [7] đã làm sáng tỏ ý nghĩa, vai trò của môn XSTK với thực

tiễn nghề kế toán, từ đó đề xuất 5 biện pháp sư phạm và cách thực hiện các biện pháp

này trong dạy học môn XSTK theo hướng phát triển năng lực nghề nghiệp cho sinh viên ngành kế toán ở các trường cao đẳng công nghiệp.

Trong luận án tiến sĩ với đề tài “Dạy học XSTK ở các trường đại học trong quân đội theo hướng tăng cường rèn luyện kỹ năng siêu nhận thức cho học viên” Lê Bình Dương (2019) [5] đã phân tích thực trạng dạy học XSTK ở một số trường đại học trong quân đội, từ đó làm rõ nhu cầu phát triển kỹ năng siêu nhận thức và xác định

cơ hội rèn luyện kỹ năng siêu nhận thức cho học viên trong dạy học XSTK. Luận án đã đề xuất một số biện pháp sư phạm trong dạy học XSTK ở một số trường đại học trong quân đội theo hướng tăng cường rèn luyện kỹ năng siêu nhận thức cho học viên

như: rèn luyện khả năng dự đoán, lập kế hoạch thông qua hoạt động tìm hiểu vấn đề,

chuyển đổi ngôn ngữ, liên tưởng và huy động kiến thức đã có để giải quyết các nhiệm

vụ đặt ra; đặt câu hỏi góp phần định hướng, rèn luyện kỹ năng siêu nhận thức; rèn

luyện kỹ năng siêu nhận thức thông qua hoạt động giải quyết nhiệm vụ học tập; thiết kế và tổ chức dạy học một số tình huống sai lầm; sử dụng hình thức dạy học theo dự

án nhằm tạo cơ hội cho học viên thực hiện các hoạt động dự đoán, lập kế hoạch, giám

sát và đánh giá khi vận dụng XSTK giải quyết các nhiệm vụ thực tế.

Nhìn chung, các công trình nghiên cứu trong nước nói trên có đề cập đến lĩnh vực dạy học XSTK dành cho sinh viên các ngành sư phạm Toán, sinh viên sư phạm

kỹ thuật, sinh viên ngành y, sinh viên ngành kinh tế, học viên các trường quân

đội…Việc khai thác những ứng dụng của XSTK trong lĩnh vực Vật lý vẫn chưa được

nghiên cứu.

Ngoài các công trình nghiên cứu là các luận án tiến sĩ kể trên thì trong nước có rất nhiều tài liệu tham khảo về bộ môn XSTK: “Xác suất thống kê” của Tô Văn Ban

(2010) [1], “Lý thuyết xác suất và thống kê toán học” của Nguyễn Quang Báu (2009)

[2], “Giáo trình Xác suất thống kê” của Dương Ngọc Hảo (2011) [8], “Giáo trình Xác

suất và thống kê” của Nguyễn Đình Huy (2019) [12], “Xác suất thống kê và quá trình

ngẫu nhiên” của Nguyễn Chí Long (2008) [14], “Lý thuyết xác suất và thống kê toán

học” của Hoàng Ngọc Nhậm (2012) [17], “Lý thuyết xác suất và thống kê toán học”

của Nguyễn Cao Văn (2012) [22],… Các giáo trình này dùng để giảng dạy và là

nguồn tài liệu tham khảo cho sinh viên các trường đại học trong nước. Nội dung của

các giáo trình được sắp xếp theo trình tự chặt chẽ nhằm giúp sinh viên hiểu được các

khái niệm, công thức và các phương pháp của xác suất để nghiên cứu các hiện tượng

ngẫu nhiên. Ngoài ra các giáo trình còn trang bị những phương pháp cơ bản nhất của

thống kê toán như: phương pháp mẫu để thu thập và xử lí thông tin, phương pháp ước

lượng, phương pháp kiểm định giả thuyết thống kê,… Các giáo trình này được viết

theo quan điểm thực hành, chú trọng việc áp dụng các phương pháp của xác suất,

thống kê toán trong nghiên cứu kinh tế và khoa học kỹ thuật nhiều hơn trình bày thuần túy toán học. Nội dung kiến thức trong các giáo trình được minh họa bằng những ví dụ trong hầu hết các lĩnh vực từ các ngành khoa học, kỹ thuật, công nghệ đến các ngành kinh tế, chính trị. Ngoài phần bài giảng và ví dụ minh họa, các giáo trình có đưa ra số lượng lớn bài tập, những bài tập này giúp sinh viên dễ nắm bắt và hiểu sâu sắc nội dung bài giảng, rèn luyện kỹ năng vận dụng xác suất và thống kê toán trong

các ngành khoa học kỹ thuật cũng như trong các vấn đề thực tiễn của kinh tế - xã hội.

Như vậy, có thể thấy đa phần các giáo trình XSTK được sử dụng ở các trường

đại học hiện nay đã xây dựng hệ thống kiến thức và bài tập XSTK dành cho sinh viên

các ngành kinh tế, sư phạm, kỹ thuật,… mà vẫn chưa có giáo trình nào đề cập cụ thể

đến những ứng dụng của XSTK trong giải quyết các bài toán Vật lý.

2.2. Các công trình của tác giả nước ngoài

XSTK có nhiều ứng dụng quan trọng trong khoa học và kỹ thuật, vì vậy lĩnh

vực này cũng rất được quan tâm bởi các tác giả nước ngoài. Có rất nhiều giáo trình

XSTK của nước ngoài dành cho sinh viên các ngành khoa học và kỹ thuật. Trong

khuôn khổ giới hạn của khóa luận và từ nguồn tài liệu tham khảo sẵn có, chúng tôi

nghiên cứu hai quyển giáo trình XSTK dành cho ngành khoa học kỹ thuật ứng dụng là “Probability & Statistics for Engineering and the Sciences” của Jay L. Devore

(2012) [26] và “Probability & Statistics for Engineers & Scientists" của Ronald E.

Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L.Myers, Keying E. Ye (2012) [27]. Bên cạnh

các khái niệm cơ bản về XSTK; các định nghĩa, định lý được trình bày mang tính thực hành và giảm tính chất lý thuyết hàn lâm, nhiều ví dụ thực tế, bài tập cuối mỗi

chương thuộc các lĩnh vực khác nhau liên quan đến khoa học, kỹ thuật, kinh tế,…được

đưa ra, trong đó phần lớn các bài tập thuộc lĩnh vực khoa học và kỹ thuật.

Bên cạnh các giáo trình XSTK dành cho các ngành khoa học kỹ thuật nói chung,

trong lĩnh vực Vật lý nói riêng có các giáo trình XSTK như “Probability and Statistics

in Particle Physics” của A. G. Frodesen và O. Skjeggestad (1997) [23], “Probability

in Physics: An Introductory Guide” của Andy Lawrence (2019) [24], “Probability

and Statistics in Experimental Physics” của Byron P. Roe (2012) [25], “Probability

for Physicists” của Simon Širca (2016) [28]. Các giáo trình này giới thiệu những ứng

dụng của XSTK trong các lĩnh vực của Vật lý nói chung cũng như lĩnh vực Vật lý lý

thuyết và Vật lý thực nghiệm nói riêng.

Nhìn chung, các giáo trình XSTK ở nước ngoài đã trình bày những nội dụng

kiến thức liên quan đến lĩnh vực Vật lý nhiều hơn các giáo trình trong nước. Tuy

nhiên, các câu hỏi và bài tập liên quan đến lĩnh vực Vật lý vẫn còn hạn chế.

3. Định hướng nghiên cứu của đề tài

Từ những phân tích trên, khoá luận này tập trung vào 4 câu hỏi:

- XSTK có những ứng dụng nào trong việc học các môn chuyên ngành Vật lý

và nghiên cứu những vấn đề Vật lý?

- Những nội dung trọng tâm nào của XSTK được đề cập trong các giáo trình

trong và ngoài nước, theo cách tiếp cận nào?

- Những chủ đề chính được đề cập trong hệ thống các câu hỏi và bài tập như thế

nào? Những câu hỏi nào liên quan đến lĩnh vực Vật lý đã được đề cập?

- Có thể khai thác những chủ đề nào trong Vật lý được giải quyết thông qua

XSTK?

4. Mục tiêu đề tài

Hệ thống hóa nội dung lý thuyết và xây dựng hệ thống bài tập môn XSTK ứng

dụng vào trong giải những bài toán Vật lý.

5. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

5.1. Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lý luận của lý thuyết xác suất và thống kê toán.

- Nghiên cứu ứng dụng của XSTK trong giải quyết các vấn đề Vật lý.

5.2. Phạm vi nghiên cứu

- Nội dung môn XSTK theo chương trình đào tạo cử nhân ngành Vật lý của

trường Đại học Sư phạm TP. HCM.

- Những ứng dụng của môn XSTK trong chương trình đào tạo đại học cho sinh

viên ngành Vật lý.

6. Phương pháp nghiên cứu: phương pháp nghiên cứu luận

- Nghiên cứu các luận án tiến sĩ chuyên ngành XSTK.

- Nghiên cứu các giáo trình XSTK của các trường đại học.

- Nghiên cứu sách bài tập ứng dụng XSTK trong Vật lý.

7. Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, nội dung khóa

luận gồm có 3 chương:

Chương 1. Những vấn đề nghiên cứu Xác suất thống kê dành cho sinh viên

ngành Vật lý.

Chương 2. Phân tích nội dung kiến thức trọng tâm và những chủ đề bài tập Xác

suất thống kê trong các giáo trình.

Chương 3. Hệ thống hóa nội dung lý thuyết và xây dựng bài tập Xác suất thống

kê ứng dụng giải những bài toán Vật lý.

CHƯƠNG 1.

NHỮNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU XÁC SUẤT THỐNG KÊ

DÀNH CHO SINH VIÊN NGÀNH VẬT LÝ

Trong chương này chúng tôi sẽ nêu mục tiêu và vai trò của học phần XSTK

trong chương trình đào tạo dành cho sinh viên khoa Vật lý trường Đại Học Sư Phạm

TP. Hồ Chí Minh. Bên cạnh đó chúng tôi sẽ cấu trúc lại các nội dung mà XSTK ứng dụng trong Vật lý thành các chương cụ thể.

1.1. Mục tiêu của học phần XSTK trong chương trình đào tạo dành cho sinh

viên ngành Vật lý.

Theo đề cương chi tiết học phần XSTK dành cho sinh viên khoa Vật lý trường

Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh ban hành năm 2018 đã đề ra các mục tiêu sau:

1.1.1. Về phẩm chất:

Sau khi học xong học phần này, sinh viên

- nắm được các khái niệm cơ bản: xác suất, phân phối xác suất, số đặc trưng và

một số mô hình toán thống kê…;

- nắm được tính chất, cách tính và quan hệ giữa các khái niệm nêu trên;

- hiểu được ý nghĩa thực tế của các khái niệm đã học khi vận dụng các khái niệm

toán học này để giải quyết một vấn đề thực tế nào đó.

1.1.2. Về năng lực chuyên môn:

- Biết cách áp dụng các khái niệm đã học để giải quyết một số vấn đề trong thực

tế cuộc sống;

- Vận dụng được các công thức thống kê để giải quyết một số bài toán thực tế.

1.2. Khái quát về nội dung XSTK sử dụng trong các học phần chuyên ngành Vật lý.

Xem xét nội dung các môn học trong chương trình đào tạo cử nhân của khoa Vật lý trường Đại học Sư Phạm TP. HCM, những lĩnh vực sau đây có sử dụng kiến thức XSTK để nghiên cứu.

Trong học phần Cơ lượng tử, để giải quyết các bài toán liên quan đến việc chuẩn hóa hàm sóng, tìm xác suất để hạt có thể tồn tại trong vùng không gian nào đó hay tính xác suất để đo được trạng thái spin hướng lên, hướng xuống cần đến các kiến

thức về hàm mật độ phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên. Ngoài ra, các kiến

thức về các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên như kỳ vọng toán, phương

sai, độ lệch chuẩn cũng được sử dụng trong học phần để tính giá trị trung bình, độ lệch chuẩn, độ bất định của các đại lượng Vật lý.

Học phần Vật lý thống kê sử dụng các kiến thức của XSTK như tổ hợp, công

thức tính xác suất gián đoạn hoặc liên tục, hàm mật độ xác suất, các công thức tính

giá trị trung bình, phương sai và độ thăng giáng. Ngoài ra, học phần còn sử dụng một

số quy luật phân phối xác suất thông dụng trong XSTK như phân phối nhị thức, phân phối Poisson, phân phối mũ và phân phối chuẩn.

Học phần Phương pháp thực nghiệm Vật lý cung cấp cho sinh viên những kiến

thức cơ bản để tiến hành một thí nghiệm vật lý, các kỹ năng và công cụ để xử lí số

liệu thực nghiệm, phương pháp đánh giá số liệu cũng như các sai số thường gặp, xác định mối tương quan giữa các đại lượng. Tương tự với học phần Phương pháp thực

nghiệm vật lý, học phần Xử lí số liệu hạt nhân mô tả ngắn gọn cấu trúc cơ bản của hệ

đo bức xạ hiện đại, các nguồn sai số hệ thống trong bài toán đo hoạt độ bức xạ và các

hiệu chính, phương pháp làm khớp hàm giữa hai phân bố thực nghiệm và lý thuyết.

Nội dung của hai học phần này liên quan đến những khái niệm cơ bản của XSTK như

biến cố ngẫu nhiên, xác suất, tần suất, hàm phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất.

Bên cạnh đó, các hàm phân phối cơ bản trong XSTK cũng được ứng dụng trong xử

lí số liệu thực nghiệm như hàm phân phối nhị thức, phân phối Poisson, phân phối Chi

bình phương, phân phối Student,…Các phương pháp ước lượng tham số đặc trưng

của tổng thể, kiểm định giả thuyết về phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên,

phép phân tích mối quan hệ tương quan giữa hai đại lượng ngẫu nhiên và phương

trình hồi quy tuyến tính cũng được sử dụng trong học phần.

Học phần Kiểm tra, đánh giá kết quả học tập môn Vật lý sử dụng các kiến thức

thống kê thông dụng như: mẫu thống kê, các tham số đặc trưng của mẫu (trung bình mẫu, phương sai mẫu, độ lệch chuẩn mẫu), ước lượng và kiểm định giả thuyết trung bình tổng thể.

Như vậy, các nội dung cơ bản của XSTK được ứng dụng trong việc học các môn chuyên ngành đối với sinh viên khoa Vật lý gồm: biến cố ngẫu nhiên và các công thức tính xác suất; đại lượng ngẫu nhiên; các tham số đặc trưng của đại lượng

ngẫu nhiên như trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn; các quy luật phân phối xác suất thông dụng; mẫu thống kê và các tham số đặc trưng của mẫu; ước lượng và kiểm định giả thuyết các tham số đặc trưng của tổng thể, kiểm định quy luật phân phối xác

suất; phân tích mối tương quan giữa hai đại lượng ngẫu nhiên và công thức hồi quy

tuyến tính.

1.3. Cấu trúc nội dung kiến thức XSTK ứng dụng trong giải quyết các vấn đề Vật lý.

Dựa trên những kiến thức của XSTK cần thiết trong việc học các học phần

chuyên ngành dành cho sinh viên ngành Vật lý đã nêu ở phần 1.2, chúng tôi đề xuất

cấu trúc mạch kiến thức cần thiết cho sinh viên khoa Vật lý như sau:

Chương 1: Đại cương về xác suất

1.1 Bổ túc về giải tích tổ hợp 1.2 Phép thử và biến cố 1.3 Các định nghĩa về xác suất của biến cố 1.4 Các công thức tính xác suất 1.5 Công thức Bernoulli 1.6 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên, vectơ ngẫu nhiên. Các tham số đặc trưng

của đại lượng ngẫu nhiên

2.1 Đại lượng ngẫu nhiên 2.2 Hàm phân phối xác suất. Hàm mật độ xác suất 2.3 Vectơ ngẫu nhiên 2.4 Các đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên

2.4.1 Kỳ vọng toán 2.4.2 Phương sai 2.4.3 Độ lệch chuẩn 2.4.4 Hiệp phương sai và hệ số tương quan

Chương 3: Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng

3.1 Các phân phối rời rạc

3.1.1 Phân phối nhị thức 3.1.2 Phân phối Poisson

3.2 Các phân phối liên tục

3.2.1 Phân phối chuẩn 3.2.2 Phân phối mũ 3.2.3 Phân phối Chi-bình phương 3.2.4 Phân phối Student Chương 4: Các định lý giới hạn

4.1 Định lý giới hạn Poisson 4.2 Định lý giới hạn Moirve – Laplace 4.3 Định lý giới hạn trung tâm 4.4 Bất đẳng thức Chebyshev. Luật số lớn Chương 5: Cơ sở lý thuyết mẫu

5.1 Một số khái niệm về mẫu 5.2 Các đặc trưng mẫu 5.3 Tính chất của đặc trưng mẫu Chương 6: Ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên

6.1 Ước lượng điểm 6.2 Ước lượng khoảng

6.2.1 Ước lượng khoảng trung bình tổng thể 6.2.2 Ước lượng khoảng tỷ lệ tổng thể 6.2.3 Ước lượng khoảng phương sai tổng thể

Chương 7: Kiểm định giả thiết thống kê

7.1 Các khái niệm 7.2 Kiểm định giả thuyết về tỉ lệ tổng thể 7.3 Kiểm định giả thuyết về trung bình của tổng thể 7.4 Kiểm định giả thuyết về phương sai của tổng thể 7.5 Kiểm định giả thuyết về phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên Chương 8: Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến tính

8.1 Phân tích tương quan tuyến tính 8.2 Phân tích hồi quy tuyến tính

CHƯƠNG 2.

PHÂN TÍCH NỘI DUNG KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÀ

NHỮNG CHỦ ĐỀ BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ TRONG CÁC GIÁO TRÌNH

Để tìm hiểu cách tiếp cận các khái niệm, cách xây dựng kiến thức và bài tập

XSTK của các giáo trình trong và ngoài nước, chúng tôi lựa chọn các tài liệu sau:

Nhóm các giáo trình trong nước:

- [2] Nguyễn Quang Báu. (2009). Lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Hà

Nội: NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội. Giáo trình này được sử dụng giảng dạy cho

sinh viên ngành Vật lý, khoa học vật liệu, khoa học và công nghệ hạt nhân, vô tuyến điện tử tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên thuộc Đại học Quốc gia Hà Nội.

- [8] Dương Ngọc Hảo. (2011). Giáo trình Xác suất thống kê. TP. HCM: NXB

Đại Học Quốc Gia TP. HCM. Đây là giáo trình được sử dụng cho việc giảng dạy và

học tập ở trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP. HCM.

- [12] Nguyễn Đình Huy (Chủ biên), Đậu Thế Cấp, Lê Xuân Đại. (2019). Giáo

trình Xác suất và Thống kê. TP. HCM: NXB Đại Học Quốc Gia TP. HCM. Giáo trình

này được sử dụng để giảng dạy cho sinh viên ở trường Đại học Bách khoa TP. HCM.

- [17] Hoàng Ngọc Nhậm. (2012). Lý thuyết xác suất và thống kê toán. TP.

HCM: NXB Kinh Tế TP. HCM. Đây là quyển giáo trình chính được sử dụng giảng

dạy cho sinh viên khoa Vật lý – Trường Đại học Sư phạm TP. HCM.

Nhóm các giáo trình nước ngoài

- [26] Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L.Myers, Keying E.

Ye. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists. London: Pearson Education International.

- [28] Simon Širca. (2016). Probability for Physicists. USA: Springer.

Để thuận tiện cho việc trình bày, chúng tôi sẽ ký hiệu nhóm các giáo trình trong

nước là GT1 và nhóm các giáo trình nước ngoài là GT2.

Trong chương này chúng tôi sẽ phân tích nội dung kiến thức trọng tâm và những

chủ đề bài tập XSTK được trình bày trong hai nhóm giáo trình GT1 Và GT2 theo cấu trúc các chương mà chúng tôi đã đưa ra trong phần 1.3.

2.1. Phân tích chương 1: “Đại cương về xác suất”

2.1.1. Phân tích nội dung kiến thức

Nội dung trọng tâm của chương 1 là trình bày các khái niệm cơ bản của xác suất: các kiến thức về giải tích tổ hợp; khái niệm phép thử và biến cố, mối quan hệ

và các phép tính giữa các biến cố; khái niệm xác suất, công thức tính xác suất; xác

suất có điều kiện; công thức Bernoulli; công thức xác suất đầy đủ; công thức Bayes.

Cả hai tài liệu GT1 và GT2 đều có đầy đủ các nội dung này. Tuy nhiên, giữa GT1 và

GT2 có một số điểm khác nhau.

Điểm khác nhau đầu tiên giữa hai tài liệu là về mạch sắp xếp nội dung các kiến

thức. GT1 trình bày khái niệm đi kèm với quy tắc và định lý liên quan đến khái niệm

đó, còn GT2 trình bày hết các khái niệm rồi mới đến các quy tắc và định lý. Do đó,

mạch kiến thức của GT1 có tính liên kết hơn mạch kiến thức của GT2.

Về cách tiếp cận lý thuyết xác suất, trong khi GT1 trình bày trực tiếp các khái

Có lẽ sự khát khao vô tận của loài người đối với bài bạc đã dẫn đến sự phát

triển ban đầu của lý thuyết xác suất. Trong việc nỗ lực tăng số tiền thắng cược của mình, các người chơi bài kêu gọi các nhà toán học cung cấp chiến lược cho

các trò chơi may rủi khác nhau. Một số nhà toán học cung cấp các chiến lược này là Pascal, Leibniz, Fermat và James Bernoulli. Như một kết quả của sự phát

triển lý thuyết xác suất, suy luận thống kê, với tất cả các dự đoán và khái quát hóa của nó đã phân nhánh vượt xa các trò chơi may rủi sang nhiều lĩnh vực có

liên quan đến sự may rủi như chính trị, kinh doanh, dự báo thời tiết và nghiên cứu khoa học. Để những dự đoán và khái quát hóa được hợp lý chính xác thì

sự hiểu biết về xác suất cơ bản là điều rất cần thiết.

Chúng ta muốn nói gì khi chúng ta đưa ra tuyên bố “John có thể dành chiến

thắng trong trận quần vợt” hoặc “Tôi có cơ hội 50-50 nhận được số chẵn khi gieo một con súc sắc” hoặc “Tôi không có khả năng thắng trong việc chơi lô tô

tối nay” hoặc “Hầu hết lớp tốt nghiệp của chúng tôi sẽ kết hôn trong vòng 3 năm tới”? Trong mỗi trường hợp chúng ta đang thể hiện một kết quả mà chúng

ta không chắc chắn, nhưng do thông tin trong quá khứ hoặc từ sự hiểu biết về cấu trúc của phép thử, chúng ta có mức độ tin cậy về tính hợp lệ của tuyên bố.

[27, tr. 52-53]

niệm toán học thì GT2 có sự dẫn dắt mở đầu:

Việc dẫn dắt này cho thấy ý nghĩa của các kiến thức trong thực tiễn và kết nối

với thực tiễn.

Bên cạnh đó, các GT1 đưa ra 3 định nghĩa xác suất: cổ điển, thống kê và hình

học một cách chi tiết hơn GT2. Cụ thể, tác giả Nguyễn Quang Báu chỉ ra ưu, nhược

điểm của định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển, nêu thêm ứng dụng của định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê và định nghĩa xác suất theo quan điểm hình

Cách tính xác suất dựa trên định nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển có ưu điểm là đơn giản và trực quan, nhưng có hạn chế là phạm vi sử dụng của nó

không lớn, chỉ dành cho loại phép thử gồm một số hữu hạn các kết cục và mọi kết cục đều có cùng một khả năng xuất hiện mà thôi.

học như sau:

Định nghĩa về xác suất theo quan điểm thống kê

Ứng dụng

Trong thực tế khi ứng dụng định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê ta không thể thực hiện một phép thử lớn vô hạn được và không thể tính chính xác

xác suất biến cố

theo công thức được mà người ta thường lấy giá trị của tần

suất xuất hiện biến cố

trong một loạt khá lớn các phép thử làm giá trị gần

đúng của xác suất

phương pháp xác định xác suất theo quan điểm thống

kê được áp dụng có hiệu quả trong việc tìm ra quy luật diễn biến phức tạp về

thời tiết, về tỷ lệ phế phẩm, truyền tin qua các tầng điện ly, lập kích thước quần áo may sẵn, nghiên cứu công hiệu của thuốc men, trong nhân chủng học, xã hội

học,…

Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học

Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê khắc phục được hạn chế của định

nghĩa xác suất theo quan điểm cổ điển về đòi hỏi các kết cục của phép thử phải đồng khả năng xuất hiện. Để khắc phục hạn chế của định nghĩa xác suất cổ điển

về đòi hỏi số kết cục của phép thử xác định cụ thể và hữu hạn (đồng thời vẫn giả thiết các kết cục đồng khả năng) người ta đưa ra định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học.

Xét một phép thử có vô hạn các kết cục đồng khả năng. Giả sử ta có thể biểu

diễn tập hợp mọi kết cục này bởi một miền hình học

nào đó (một đoạn thẳng,

một miền phẳng, một mảnh mặt cong hay một khối không gian) và những kết cục thuận lợi cho biến cố

xuất hiện bởi một miền hình học con

thuộc

Với giả thuyết trên, xác suất của biến cố

được tính như là tỉ số giữa “kích

thước” miền

trên “kích thước” miền

tức là:

[2, tr. 7-11]

Ngoài ra, các GT1 đề cập đến nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khoa

Giả sử có một hệ thống thiết bị gồm nhiều linh kiện ghép thành. Ta gọi xác suất

để một linh kiện hoạt động tốt (không có sự cố) trong khoảng thời gian

giờ, 24 giờ hay một đơn vị thời gian nào đó) là độ tin cậy của linh kiện ấy. Tương tự ta gọi độ tin cậy của một hệ thống là xác suất để hệ thống hoạt động

tốt trong khoảng thời gian ấn định.

Một vấn đề kỹ thuật đặt ra là: cho biết độ tin cậy của từng linh kiện, hãy tính

độ tin cậy của hệ thống.

[2, tr. 21]

học kỹ thuật.

Bài toán đặt ra vấn đề tính xác suất để hệ có thể hoạt động tốt trong khoảng thời

gian nào đó. Để giải bài toán này, ta cần biết được mối quan hệ giữa các linh kiện trong hệ (ghép nối tiếp, ghép song song hay ghép hỗn hợp) và số linh kiện có trong

hệ thống. Để minh họa cụ thể cho dạng toán này, giáo trình [2] có đưa ra bài toán ví

Một hệ thống gồm 40 linh kiện loại A với độ tin cậy của mỗi chiếc

25 linh kiện loại B với độ tin cậy mỗi chiếc

và 5 linh kiện loại C với

độ tin cậy mỗi chiếc

Giá thành mỗi linh kiện loại A, B, C tương

ứng là 1, 1, 5 (đơn vị tiền).

Hãy lập một hệ thống dự phòng toàn bộ, đánh giá độ tin cậy và giá thành rồi so sánh với một hệ thống dự phòng từng cụm theo kiểu không dùng loại A, lắp

thêm một bộ loại B và hai bộ loại C (hình vẽ)

[2, tr.24]

dụ như sau:

Để minh họa cụ thể cho tính chất độc lập của các biến cố, GT2, cụ thể giáo trình

[28] đã đưa ra một ví dụ minh họa cụ thể trong lĩnh vực cơ học lượng tử như sau:

Vòng quay trong một hệ lượng tử có thể có hai hình chiếu:

(spin “hướng

lên”,

) hoặc

(spin “hướng xuống”,

). Hướng của vòng được đo hai lần

liên tiếp. Chúng ta thực hiện phép gán các biến cố như sau: biến cố

là “spin

trong phép đo đầu tiên”, biến cố

là “spin

trong phép đo lần hai”, biến

cố

là “cả hai phép đo đều hiển thị cùng một phép chiếu”. Không gian mẫu

cho các cặp định hướng đo được là

trong khi ba biến cố

được chọn tương ứng với các tập con là:

và

như hình 2.1.

Khi đó, ta có xác suất:

cũng như

và

Từ

nên

và

là các cặp biến cố độc lập. Mặt khác,

nên các biến cố không độc lập lẫn nhau.

[28, tr. 15,16]

Hình 2.1. Mô tả trạng thái spin lượng tử [28]

Ngoài ra, một vấn đề về các phân bố Maxwell – Boltzmann, phân bố Bose –

Einstein và phân bố Fermi – Dirac trong Vật lý thống kê cũng được GT2 đặt ra để

Tưởng tượng một hệ gồm

hạt, trong đó trạng thái của mỗi hạt được mô tả

bằng các giá trị

(thành phần của vectơ vị trí hoặc động lượng tuyến tính, số

lượng tử quay,…). Mỗi trạng thái của hạt có thể được biểu diễn bằng một ô

lượng tử

như vậy, đó là một điểm trong không gian

chiều. Trạng thái của

toàn bộ hệ thống được chỉ định bởi

ô lượng tử của các điểm đó.

Chúng ta phân chia không gian pha thành

. Trạng thái của hệ

thống được mô tả bằng cách chỉ định phân phối trạng thái giữa các ô. Chúng ta

quan tâm đến xác suất của một ô đã cho bị chiếm bởi một số lượng hạt quy định. Ta xem xét ba bài toán:  Các hạt có thể phân biệt được, mỗi ô có thể bị chiếm bởi một số lượng hạt tùy ý và tất cả các phân phối như vậy đều có thể

xảy ra như nhau. Chúng ta nói rằng các hạt tuân theo thống kê Boltzmann: một ví dụ về một hệ thống như vậy là hệ các phân tử khí.  Các hạt không thể phân biệt được nhưng các ô vẫn có thể bị chiếm giữ bởi nhiều hạt tùy ý và tất cả các phân phối như vậy đều có khả năng xảy ra như nhau. Đây là nền tảng thống kê

Bose của Einstein được tuân theo bởi các hạt có spin nguyên như các hạt photon.  Các hạt không thể phân biệt được, mỗi ô chỉ có thể chứa một hạt do tuân theo nguyên lý Pauli, tất cả các phân phối đều có khả năng xảy ra như nhau. Trường hợp này đề cập đến số liệu thống kê Dirac của Fermi áp dụng cho

các hạt có spin bán nguyên, ví dụ như electron, proton và nơtron.

[28, tr.18]

giải quyết trong chương này.

Định lý Bayes là một định lý có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết xác suất. Để

giúp người học hiểu rõ hơn về việc áp dụng định lý Bayes, GT1 có đưa ra một bài

Có một hệ thống truyền thông tin như hình vẽ. Tại máy phát có thể xảy ra một

trong hai biến cố: phát tín hiệu (biến cố

và không phát tín hiệu (biến cố

Tại máy thu cũng có thể xảy ra một trong hai biến cố: nhận được tín hiệu (biến

cố

và không nhận được tín hiệu (biến cố

Vì ảnh hưởng can nhiễu của

tạp âm lên kênh truyền tin nên có thể xảy ra hiện tượng ở máy phát có tín hiệu phát đi mà máy thu không nhận được hoặc ngược lại máy phát không phát mà máy thu vẫn nhận được tín hiệu (tín hiệu giả do tạp âm gây ra).

toán ví dụ liên quan đến ngành kỹ thuật vô tuyến điện tử như sau:

Để xác định độ tin cậy của hệ thống truyền tin, cần tính các xác suất

và

(xác suất để thật sự có tín hiệu phát đi khi ở máy thu nhận được tín

hiệu và xác suất để thật sự không có tín hiệu phát đi khi máy thu không nhận

được tín hiệu).

[2, tr.40, 41]

Như vậy, về mạch kiến thức, cả GT1 và GT2 không khác nhau nhiều. Mặc dù

GT1 thiếu dẫn dắt ban đầu nhưng có đề cập khá nhiều ví dụ trong lĩnh vực liên quan đến Vật lý kỹ thuật, còn GT2 đề cập đến những bài toán liên quan đến lĩnh vực Cơ

học lượng tử và Vật lý thống kê.

2.1.2. Phân tích phần bài tập

Phần lớn các chủ đề bài tập đại cương xác suất được đưa ra trong GT1 và GT2

thuộc lĩnh vực kinh tế và đời sống, các câu hỏi liên quan đến lĩnh vực Vật lý chỉ được

đề cập rất ít. Cụ thể, chúng tôi chỉ tìm thấy 4 câu hỏi liên quan đến Vật lý trong các

Cho sơ đồ mạng điện như hình vẽ, kí hiệu

là biến cố bóng đèn thứ

bị hỏng,

Hãy viết các biến cố sau theo

và

a) Mạch có dòng điện chạy qua.

b) Mạch mất điện.

[8, tr.22]

giáo trình như sau:

Giả sử sơ đồ của một mạng điện như hình vẽ. Nếu các linh kiện hoạt động độc

lập với nhau và xác suất hoạt động của mỗi linh kiện

lần lượt là

Tính xác suất để hệ thống hoạt động.

[27, tr.71]

Một trạm tín hiệu chỉ phát hai loại tín hiệu

và

với xác suất tương ứng là

và

Do có nhiễu trên đường truyền nên 1/6 tín hiệu

bị méo và thu

được như tín hiệu

còn 1/8 tín hiệu

bị méo thành tín hiệu

a) Tìm xác suất thu được tín hiệu

b) Giả sử thu được tín hiệu

tìm xác suất thu được đúng tín hiệu lúc phát.

[8, tr.45]

Có một tin tức điện báo tạo thành từ các tín hiệu (.) và (-). Qua thống kê cho

biết là do tạp âm, bình quân 2/5 tín hiệu (.) và 1/3 tín hiệu (-) bị méo. Biết rằng

tỉ số các tín hiệu (.) và (-) trong tin tuyền đi là

Tính xác suất sao cho nhận

đúng tín hiệu đi nếu:

a) nhận được tín hiệu (.);

b) nhận được tín hiệu (-).

[12, tr.27]

2.2. Phân tích chương 2: “Đại lượng ngẫu nhiên. Vectơ ngẫu nhiên. Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên”

2.2.1. Phân tích nội dung kiến thức

Trong chương này, cả GT1 và GT2 đều đề cập đến các khái niệm cơ bản của

đại lượng ngẫu nhiên và vectơ ngẫu nhiên: định nghĩa và phân loại đại lượng ngẫu nhiên, phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối xác suất, hàm

mật độ xác suất, vectơ ngẫu nhiên và các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên.

Tuy nhiên GT1 xây dựng kiến thức theo hình thức diễn dịch nghĩa là xây dựng nội

dung lý thuyết trước sau đó đưa ra các ví dụ minh họa, GT2 thì xây dựng kiến thức

theo hình thức quy nạp, nghĩa là dẫn dắt người học bằng một vấn đề hoặc một bài

Giá trị trung bình mẫu là giá trị trung bình số học của dữ liệu. Bây giờ hãy xem

xét những điều sau đây. Nếu tung 2 đồng xu 16 lần và

là số lần mặt ngửa

xuất hiện sau mỗi lần ném, do đó các giá trị của

có thể là

và

Giả sử

rằng kết quả phép thử không có mặt ngửa, một mặt ngửa và hai mặt ngửa lần

lượt là

và

Giá trị trung bình xuất hiện mặt ngửa sau mỗi lần ném hai

đồng xu là:

Đây là giá trị trung bình của dữ liệu và tuy nhiên nó không phải là kết quả có

thể có của

Do đó, giá trị trung bình không nhất thiết là kết quả có thể

xảy ra cho phép thử. Chẳng hạn như thu nhập trung bình hàng tháng của một nhân viên bán hàng dường như không bằng bất kỳ mức lương hàng tháng nào

của anh ta.

Bây giờ chúng ta sẽ viết lại biểu thức giá trị trung bình xuất hiện mặt ngửa sau

mỗi lần ném của hai đồng xu như sau:

Các số

và

là các phân số của tổng số lần ném dẫn đến kết quả không

có mặt ngửa, một mặt ngửa và hai mặt ngửa tương ứng. Các phân số này cũng

là tần số tương đối cho các giá trị khác nhau của

trong phép thử. Trên thực

tế chúng ta có thể tính được giá trị trung bình hoặc trung bình của một tập hợp dữ liệu bằng cách biết các giá trị riêng biệt xảy ra và tần số tương đối của chúng

mà không có bất kỳ hiểu biết nào về tổng số quan sát trong bộ dữ liệu. Do vậy,

nếu

lần tung kết quả không có mặt ngửa,

lần tung được 1 mặt ngửa và

lần tung được 2 mặt ngửa, số lượng trung bình xuất hiện mặt ngửa sau mỗi

lần ném sẽ là

cho dù tổng số lần ném là

hay thậm chí

Phương pháp tần số này được sử dụng để tính trung bình số mặt ngửa xuất hiện trong mỗi lần tung hai đồng xu mà chúng ta có thể mong đợi. Chúng ta sẽ coi

giá trị trung bình này là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên

hoặc giá trị

toán cụ thể sau đó mới đưa ra nội dung lý thuyết. Ví dụ:

trung bình của phân phối xác suất của

và viết nó là

hoặc đơn giản hơn

là

Các nhà thống kê thường gọi ý nghĩa này là kỳ vọng toán học hoặc giá

trị kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

và ký hiệu nó là

[27, tr.115,116]

Cách tiếp cận quy nạp như GT2 cho thấy con đường dẫn đến khái niệm, còn

cách tiếp cận diễn dịch như GT1 cho thấy ứng dụng của nó.

Bên cạnh đó, GT2 có đề cập đến một ứng dụng của hàm mật độ xác suất trong

Là một nhà Vật lý, chúng tôi không ngừng tính toán các giá trị kỳ vọng của đại

lượng ngẫu nhiên trong bất kỳ lĩnh lực nào liên quan đến cơ học thống kê hoặc

cơ học lượng tử. Chúng ta nói giá trị kỳ vọng của toán tử

ở trạng thái nhất

định của hệ cơ học lượng tử (ví dụ, trạng thái cơ bản của nguyên tử hydro) được

mô tả bởi hàm sóng

là:

Toán tử

tác động vào phần bên phải của tích phân,

, sau đó kết quả được

nhân từ bên trái bởi liên hợp phức

và được tính trên toàn bộ miền không

gian. Nếu

, trong trường hợp này, chúng ta tính được giá trị kỳ vọng

như sau:

đây là tích phân của hai hàm vô hướng, hàm thứ hai,

, là hàm mật độ xác

suất.

lĩnh vực cơ học lượng tử:

Ví dụ: Một electron chuyển động trong điện trường của hạt nhân chì được mô tả bởi hàm:

trong đó

Hạt nhân có thể xem như quả cầu tích điện dương

bán kính

. Các electron điện tử dành bao nhiêu thời gian trong hạt

nhân, tức là xác suất mà nó tồn tại trong quả cầu bán kính

là bao nhiêu? Tất

cả những gì mà chúng ta đang tìm kiếm là giá trị kỳ vọng của toán tử

Do tính chất đối xứng góc, phần tử thể tích chỉ đơn giản là

đó:

Một kết quả gần như giống hệt nhau thu được bằng cách giả sử rằng thực tế

không đổi trên khoảng

là hợp lý, vì

Trong trường hợp này,

chúng ta thu được

[28, tr. 99-100]

2.2.2. Phân tích phần bài tập

Cả GT1 và GT2 đều đề cập đầy đủ các câu hỏi trọng tâm của chương này: lập

bảng phân phối xác suất, hàm mật xác suất, hàm phân phối xác suất hoặc mối quan

hệ giữa hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất , tính các tham số đặc trưng

của đại lượng ngẫu nhiên như kỳ vọng, phương sai, độ lệch chuẩn, hiệp phương sai

và hệ số tương quan . Tuy nhiên phần lớn các câu hỏi đều xoay quanh các lĩnh vực

về kinh tế và đời sống, có rất ít bài tập liên quan đến lĩnh vực Vật lý. Chúng tôi tìm

thấy hai bài toán sau:

Bài 1. Một yếu tố quan trọng trong nhiên liệu của tên lửa rắn là sự phân bố kích thước của các hạt. Một số vấn đề sẽ xảy ra nếu kích thước của hạt quá lớn. Từ

dữ liệu sản xuất trong quá khứ, người ta đã xác định rằng phân bố kích thước hạt (tính bằng micromet) được xác định bởi:

a) Chứng tỏ rằng đây là hàm mật độ xác suất.

b) Tìm hàm phân phối

c) Xác suất mà một hạt ngẫu nhiên được chế tạo từ nhiên liệu vượt quá 4 micromet là bao nhiêu?

Bài 2. Các phép đo của các hệ thống khoa học luôn có sai số, nhiều hơn các hệ thống khác. Có nhiều cấu trúc cho lỗi đo lường và các nhà thống kê dành rất

nhiều thời gian để mô hình hóa các lỗi này. Giả sử sai số đo của một đại lượng

vật lý

nhất định được quyết định bởi hàm mật độ

a) Xác định giá trị

để

là hàm mật độ xác suất.

b) Tính xác suất để một lỗi ngẫu nhiên trong phép đo nhỏ hơn

c) Đối với một phép đo cụ thể không mong muốn nếu độ lớn của sai số

quá

Xác suất mà điều này xảy ra là bao nhiêu?

[27, tr.95]

vượt

2.3. Phân tích chương 3: “Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng”

2.3.1. Phân tích nội dung kiến thức

Các quy luật phân phối xác suất gồm hai nhóm là quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc và quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục. Các quy luật

phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc gồm: phân phối nhị thức và phân phối Poisson.

Các quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục gồm: phân phối đều, phân phối chuẩn, phân phối mũ, phân phối Chi-bình phương và phân phối Student. Đối với nội

dung các quy luật phân phối xác suất trong chương này, chúng tôi nhận thấy GT1 và

GT2 có sự tương đồng với nhau về nội dung kiến thức các quy luật phân phối. Bên

cạnh việc trình bày nội dung lý thuyết, các giáo trình đều đưa ra các ví dụ minh họa

và ứng dụng cụ thể cho từng quy luật phân phối. Tuy nhiên, những ví dụ và ứng dụng

được đưa ra trong GT1 chưa tiếp cận đến các lĩnh vực của Vật lý. Với GT2, giáo trình

[28] có đưa ra những ví dụ minh họa liên quan đến các lĩnh vực Vật lý tương ứng với

những quy luật phân phối xác suất. Chẳng hạn, với quy luật phân phối Poisson, giáo

Trung bình trong một ngày, bề mặt Trái đất (bán kính

bị 25 thiên

thạch đâm vào. Tính xác suất trong 10 năm có ít nhất một trong số

cư dân trên Trái đất sẽ bị thiên thạch đâm vào. Biết diện tích bề mặt trung bình

của con người là

[28, tr. 133]

trình [28] đưa ra bài toán ví dụ như sau:

2.3.2. Phân tích phần bài tập

Các câu hỏi và bài tập về những quy luật phân phối xác suất liên quan đến lĩnh

vực Vật lý trong cả hai hệ thống tài liệu vẫn chưa được đề cập đến nhiều. Cụ thể,

chúng tôi chỉ tìm thấy ba câu hỏi liên quan đến lĩnh vực Vật lý như sau:

Một máy đếm để gần một nguồn phóng xạ sao cho xác suất để một hạt phát ra

từ nguồn phóng xạ được ghi lại trong máy đếm là

Giả sử rằng trong thời

gian quan sát có 40000 hạt được phóng ra từ nguồn phóng xạ.

(a) Tìm xác suất sao cho máy đếm ghi được trên sáu hạt.

(b) Tìm xác suất sao cho máy đếm không ghi được hạt nào cả.

máy đếm ghi được không ít hơn bốn hạt.

[12, tr.78]

Sự nhiễu tín hiệu trong các mạch điện thường có bản chất là phân phối chuẩn.

Giả sử rằng sự nhiễu tín hiệu (biến ngẫu nhiên

thường được phân phối với

giá trị trung bình

và phương sai

(1) Tính xác suất tín hiệu nhiễu vượt quá giá trị

và xác suất giá trị của

nó nằm trong khoảng giữa

và

(2) Xác suất mà giá trị nhiễu vượt quá

là bao nhiêu, biết rằng nó dương?

(3) Tính giá trị kỳ vọng của

[28, tr.119]

Các hạt tích điện được đếm bằng một máy dò có hiệu suất không lý tưởng, xác là số hạt đi qua máy dò trong khoảng suất máy phát hiện hạt là

Giả sử

thời gian cố định

có phân phối Poisson với giá trị trung bình

. Xác suất

phát hiện

hạt trong khoảng thời gian

là bao nhiêu?

[28, tr. 140]

2.4. Phân tích chương 4: “Các định lý giới hạn”

2.4.1. Phân tích nội dung kiến thức

Các định lý giới hạn gồm: định lý giới hạn Poisson, định lý giới hạn Moivre –

Laplace, định lý giới hạn trung tâm, định lý Chebyshev.

Định lý Chebyshev cho ta thấy rằng mặc dù từng đại lượng ngẫu nhiên độc lập có thể nhận giá trị sai khác nhiều so với kỳ vọng toán của chúng nhưng trung bình số

học của số lượng lớn các đại lượng ngẫu nhiên lại nhận giá trị gần bằng trung bình số

học của các kỳ vọng toán của chúng với xác suất rất lớn. “Trong thực tế, định lý

Chebyshev được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Chẳng hạn, trường hợp riêng

của nó là cơ sở cho phép đo lường trong vật lý” [17, tr.140]. Với cơ sở là định lý

Chebyshev, trong các phép đo vật lý người ta sẽ tiến hành đo nhiều lần và lấy giá trị

trung bình của các kết quả đo làm giá trị thực của đại lượng cần đo. Bên cạnh đó,

định lý Chebyshev còn là cơ sở cho phương pháp trong thống kê.

Trong các bài toán thực nghiệm, ta thường gặp tình huống cần xác định khả

năng xuất hiện của một biến cố trong nhiều phép thử và sử dụng phân phối nhị thức

để tính xác suất. Tuy nhiên, phân phối nhị thức chỉ phù hợp trong trường hợp số lượng

các phép thử tương đối nhỏ, còn khi số lượng phép thử quá lớn và xác suất quá nhỏ

thì ta sẽ tính xác suất bằng phân phối Poisson thông qua định lý giới hạn Poisson.

Định lý giới hạn trung tâm dùng để tính xấp xỉ các xác suất thông qua quy luật

Giả sử

là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân

phối xác suất.

Khi đó:

Tức là: với

khá lớn thì tổng các đại lượng ngẫu nhiên độc lập, có cùng phân

phối xác suất sẽ có phân phối chuẩn với

và

[17, tr.143]

phân phối chuẩn:

Trong thực hành người ta thường lấy giá trị Các định lý giới hạn trung

Chẳng hạn, các sai số của phép đo trong vật lý thường do tổng ảnh hưởng của

nhiều đại lượng ngẫu nhiên, mà mỗi đại lượng ngẫu nhiên ảnh hưởng không đáng kể, nên sai số trong phép đo sẽ có phân phối xấp xỉ chuẩn.

[17, tr.143,144]

tâm có ý nghĩa rất quan trọng đối với việc áp dụng thống kê toán học trong thực tế.

Cả GT1 và GT2 đều trình bày đầy đủ nội dung các định lý giới hạn trong xác suất. Tuy nhiên, đối với GT1, các định lý giới hạn được tách riêng thành một chương hoặc trong một nội dung riêng của chương. Còn đối với GT2, các định lý giới hạn được trình bày đan xen vào các quy luật phân phối.

2.4.2. Phân tích phần bài tập

Các định lý giới hạn trong xác suất có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực kinh

tế và khoa học kỹ thuật. Nội dung các câu hỏi và bài tập về chủ đề này cũng có nét

tương đồng với các câu hỏi chủ đề về các quy luật phân phối xác suất ở chương 3.

Đối với những câu hỏi về các quy luật phân phối xác suất ta sử dụng các định

lý giới hạn như định lý giới hạn Poisson hoặc định lý giới hạn trung tâm để đưa các

phân phối về dạng phân phối Poisson hoặc phân phối chuẩn để làm bài. Với những bài toán đề bài yêu cầu ước lượng hoặc đánh giá xác suất theo một điều kiện nào đó

ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Chebyshev để giải quyết bài toán đó.

Mặc dù định lý Chebyshev và định lý giới hạn trung tâm có ý nghĩa đối với các

phép đo vật lý, tuy nhiên các câu hỏi và bài tập trong các giáo trình chưa đề cập đến

những ứng dụng của các định lý giới hạn này trong các phép đo lường vật lý.

2.5. Phân tích chương 5: “Lý thuyết mẫu”

2.5.1. Phân tích nội dung kiến thức

Chương “Lý thuyết mẫu” là chương đầu tiên chuyển sang phần thứ hai của môn

học, là phần thống kê toán. Trong chương này, cả hai giáo trình GT1 và GT2 đều trình bày đầy đủ các nội dung: tổng thể và mẫu, cách chọn mẫu, các tham số đặc trưng

của mẫu. Các ví dụ cũng được đưa ra đầy đủ để minh hoạ cho các công thức.

2.5.2. Phân tích phần bài tập

Bài tập chủ yếu của chương này là các bài tập tính toán các tham số đặc trưng

của mẫu như trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn. Nội dung các câu hỏi và bài tập

của GT1 và GT2 chỉ đề cập đến các lĩnh vực kinh tế, khoa học kỹ thuật nói chung.

Những bài toán mẫu nghiên cứu liên quan đến các lĩnh vực Vật lý không được trình

bày trong các giáo trình.

2.6. Phân tích chương 6: “Ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên”

2.6.1. Phân tích nội dung kiến thức

Nội dung kiến thức của chương này nhằm giới thiệu một số khái niệm cơ bản

liên quan đến bài toán ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên. Có hai phương pháp ước lượng được đề cập trong chương này là phương pháp ước lượng bằng hàm ước lượng, còn gọi là ước lượng điểm và phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy còn gọi là ước lượng khoảng. Với phương pháp ước lượng điểm, các tiêu chuẩn không chệch, hiệu quả, vững được nghiên cứu nhằm tìm ra hàm ước lượng tốt nhất. Nội dung trọng tâm của chương này là phương pháp ước lượng khoảng với độ tin cậy cho

trước đối với các tham số cơ bản của biến ngẫu nhiên cũng là các tham số của tổng

thể được nghiên cứu gồm trung bình tổng thể tỷ lệ tổng thể và phương sai

của tổng thể . Phương pháp ước lượng khoảng có nhiều ứng dụng trong các

ngành khoa học xử lý số liệu kinh tế, y học, sinh học, vật lý học,… Cả hai GT1 và

GT2 đều đa số đề cập đến các lĩnh vực kinh tế, y học,.. nhưng chưa đề cập đến lĩnh

Phép đo khối lượng của một hạt nhỏ trong 11 lần đo mang lại giá trị trung bình

là

và ước lượng không chệch cho độ lệch chuẩn

Xác định khoảng tin cậy cho khối lượng thực của hạt với

độ tin cậy

vực Vật lý, chỉ GT2 có đề cập đến một ví dụ:

[28, tr.190]

2.6.2. Phân tích phần bài tập

Hệ thống các câu hỏi và bài tập về ước lượng tham số của đại lượng ngẫu nhiên

được đưa ra trong GT1 và GT2 thuộc rất nhiều lĩnh vực khoa học. Tuy nhiên, các câu

hỏi và bài tập ước lượng liên quan đến lĩnh vực nghiên cứu trong Vật lý chưa được các giáo trình đề cập.

2.7. Phân tích chương 7: “Kiểm định giả thuyết thống kê”

2.7.1. Phân tích nội dung kiến thức

Trong chương này, cả GT1 và GT2 đều xây dựng nội dung một số phép kiểm

định thống kê như sau:

- Kiểm định giả thuyết trung bình của tổng thể. - Kiểm định giả thuyết về sự bằng nhau của hai tổng thể. - Kiểm định giả thuyết về tỷ lệ tổng thể. - Kiểm định giả thuyết về sự bằng nhau của hai tỷ lệ. - Kiểm định giả thuyết về phương sai của tổng thể. - Kiểm định giả thuyết về sự bằng nhau của hai phương sai. - Kiểm định giả thuyết về phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên. - Kiểm định giả thuyết về tính độc lập.

Trong khuôn khổ giới hạn của khóa luận, chúng tôi chỉ nghiên cứu phép kiểm

định các tham số cơ bản là trung bình phương sai của tổng thể phân phối

chuẩn, tỷ lệ tổng thể trên các mẫu đã được cho thông tin và phép kiểm định về

phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên.

Thông qua việc tìm hiểu và phân tích phép kiểm định tham số thống kê và phép kiểm định phân phối xác suất trong các giáo trình, chúng tôi nhận thấy GT1 và GT2

có sự tương đồng với nhau trong việc nghiên cứu các phép kiểm định giả thuyết thống

kê, từ việc xét bài toán kiểm định đến việc nêu các quy tắc kiểm định của từng tham

số. Với mỗi phép kiểm định, các giáo trình đều có đưa ra các ví dụ cụ thể để minh

họa cho từng phép kiểm định giúp người học hiểu được cách vận dụng từng phép

kiểm định vào các bài toán cụ thể. Tuy nhiên, chúng tôi nhận thấy cả hai nhóm tài liệu chưa đưa ra những bài toán kiểm định liên quan đến lĩnh vực Vật lý, chỉ có tài

liệu [28] đã đưa ra ví dụ bài toán kiểm định trung bình và phương sai tổng thể liên

Bằng cách sử dụng 12 nhiệt kế hoàn toàn giống nhau để đo nhiệt độ, chúng tôi thu được số liệu như sau:

0C.

Với mức ý nghĩa

, chúng tôi có thể khẳng định rằng nhiệt độ thực

trong quá trình đo cao hơn

0C không?

[28, tr. 264]

Để thiết kế một máy dò chúng ta cần nhiều dây điện cực có chiều dài cụ thể.

Dung sai độ dài cho phép lớn nhất là

. Một phép đo chính xác

chiều dài đòi hỏi rất khắt khe, do vậy chúng ta chỉ có thể chọn một mẫu nhỏ

điện cực, phương sai của phép đo

Với mức ý nghĩa

thống kê là 5%, kiểm tra xem chiều dài dây điện cực trong tổng thể có dao động

quá mức không?

[28, tr. 265]

quan đến lĩnh vực Vật lý như sau:

2.7.2. Phân tích phần bài tập

Các bài tập về kiểm định giả thuyết thống kê trong GT1 và GT2 xoay quanh nhiều vấn đề như kinh tế, giáo dục, y học, sinh học, khoa học kỹ thuật,…Tuy nhiên,

các bài toán kiểm định liên quan đến các lĩnh vực của Vật lý học chưa được trình bày

trong các giáo trình.

2.8. Phân tích chương 8: “Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến tính”

2.8.1. Phân tích nội dung kiến thức

Trong nhiều bài toán thực tế, ta thường gặp hai đại lượng ngẫu nhiên có mối quan hệ với nhau, trong đó có một đại lượng dễ khảo sát còn đại lượng kia khó khảo

sát hơn. Khi đó ta cần tìm mối liên hệ giữa hai đại lượng ngẫu nhiên để từ đó dự đoán được đại lượng khó khảo sát. Nội dung chính của chương này nghiên cứu về mối liên hệ giữa hai đại lượng ngẫu nhiên với hai phương pháp là phân tích tương quan với hệ

số tương quan Pearson và phương trình hồi quy tuyến tính. Cả GT1 và GT2 đều triển

khai đầy đủ những nội dung này nhưng khác nhau về tiến trình xây dựng kiến thức.

GT1 xây dựng kiến thức theo trình tự nhắc lại khái niệm hệ số tương quan đã được học ở chương trước sau đó đặt vấn đề để dẫn dắt đến khái niệm hệ số tương quan

mẫu. Còn đối với GT2, trước tiên tác giả xây dựng khái niệm hệ số tương quan mẫu

sau đó liên hệ với hệ số tương quan được xác định ở chương trước.

2.8.2. Phân tích phần bài tập

Cả GT1 và GT2 đều đưa nhiều bài toán về tương quan và phương trình hồi quy tuyến tính trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật và trong kinh tế. Đối với lĩnh vực Vật lý,

phương pháp hồi quy tuyến tính có ứng dụng trong việc nghiên cứu sự thay đổi của

một đại lượng theo đại lượng khác. Tuy nhiên các chủ đề bài tập trong cả GT1 và

GT2 chưa đề cập đến các bài toán hồi quy trong lĩnh vực khoa học Vật lý.

CHƯƠNG 3.

HỆ THỐNG HÓA NỘI DUNG LÝ THUYẾT VÀ XÂY DỰNG

BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ỨNG DỤNG GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN VẬT LÝ

Trong chương này chúng tôi sẽ hệ thống hóa lại các nội dung kiến thức, đề xuất

cách tiếp cận và xây dựng bài tập XSTK ứng dụng giải quyết các vấn đề Vật lý.

3.1. Chương 1: Đại cương về xác suất

3.1.1. Nội dung kiến thức

- Nhắc lại kiến thức về giải tích tổ hợp: quy tắc cộng, quy tắc nhân, chỉnh hợp,

hoán vị, tổ hợp;

- Các khái niệm cơ bản như: phép thử, kết cục, biến cố và xác suất;

- Công thức tính xác suất theo định nghĩa cổ điển: định nghĩa, phương pháp liệt

kê, phương pháp sử dụng đại số tổ hợp;

- Công thức tính xác suất theo định nghĩa thống kê;

- Mối quan hệ giữa các biến cố: tổng, tích, độc lập, xung khắc, nhóm đầy đủ,

đối lập;

- Các công thức tính xác suất: công thức nhân xác suất, công thức cộng xác suất,

công thức xác suất đầy đủ, công thức Bernoulli và công thức Bayes.

3.1.2. Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Đại cương về xác suất”

Để so sánh hoặc đánh giá một hoặc nhiều biến cố về khả năng xuất hiện trong

một phép thử tương ứng, người ta gán cho mỗi biến cố một con số không âm sao cho với hai biến cố bất kỳ, biến cố nào có khả năng xuất hiện nhiều hơn thì gán cho số

lớn hơn, các biến cố có cùng khả năng xuất hiện thì gán cho cùng một con số. Con số được gán cho các biến cố được gọi là xác suất của biến cố. Ta xét bài toán tính xác suất của biến cố sau:

Một mạch điện gồm hai bộ phận mắc nối tiếp, với khả năng làm việc tốt trong một khoảng thời gian nào đó của bộ phận thứ nhất và bộ phận thứ hai là 0,95 và 0,98.

Ở một thời điểm trong khoảng thời gian trên người ta thấy mạch điện ngừng làm việc (do bộ phận nào đó bị hỏng). Tính xác suất mạch điện ngừng làm việc do bộ phận thứ hai hỏng.

Đối với bài toán tính xác suất trên, ta thấy rằng với các công cụ tính xác suất đã

được học trong chương trình phổ thông sẽ không thể giải quyết được bài toán này

một cách tường minh. Nội dung kiến thức trong chương này sẽ giúp chúng ta có thể giải quyết tường minh bài toán trên.

3.1.3. Xây dựng bài tập chương “Đại cương về xác suất”

Trong lĩnh vực Vật lý thống kê, phân bố Maxwell – Boltzmann, phân bố Fermi

– Dirac và phân bố Bose – Einstein là ba phân bố trọng tâm của lĩnh vực này. Để tính

xác suất các hạt được tìm thấy trong các phân bố này, ta sử dụng công thức giải tích tổ hợp và công thức tính xác suất cổ điển. Xét bài toán sau:

Bài 1.1. Xét mô hình một khối khí gồm hạt (phân tử), thể tích của hệ được

chia thành hộp Chúng ta đặt ngẫu nhiên hạt vào hộp. Tìm xác suất

để các hạt được tìm thấy ở hộp chọn trước (mỗi hạt chỉ ở trong một hộp). Xét các

trường hợp sau:

a) M – B (Maxwell – Boltzmann) – các hạt coi là khác nhau, tất cả các khả năng

đều có thể được;

b) F – D (Fermi – Dirac) – không thể phân biệt được các hạt, một hộp chứa

nhiều nhất một hạt;

c) B – E (Bose – Einstein) – không thể phân biệt được các hạt, tất cả các khả

năng đều có thể được;

Hướng dẫn giải

a) Phân bố Maxwell – Boltzmann (các hạt coi là khác nhau, tất cả các khả năng

đều có thể được) n hạt

q hộp

Hình 3.1. Mô tả phân bố Maxwell – Boltzmann

Tổng số cách đặt hạt vào hộp là:

Số hoán vị hạt trong hộp đã chọn là:

Vậy xác suất để các hạt được tìm thấy ở hộp chọn trước là:

b) Phân bố Fermi – Dirac (không thể phân biệt được các hạt, một hộp chứa nhiều

nhất một hạt)

Số cách chọn hộp trong hộp để chứa hạt là: .

Vậy xác suất để các hạt được tìm thấy ở hộp chọn trước là:

c) Phân bố Bose – Einstein (không thể phân biệt được các hạt, tất cả các khả

năng đều có thể được)

(q – 1) vách ngăn n hạt

q hộp

Hình 3.2. Mô tả phân bố Bose – Einstein

Mỗi hộp có thể chứa nhiều hơn 1 hạt.

Số cách chọn ra hạt từ phần tử:

Vậy xác suất để các hạt được tìm thấy ở hộp chọn trước là:

Xét một bài toán tính xác suất điển hình trong phân bố Bose – Einstein như sau:

Bài 1.2. Xét một hệ thống gồm hai chất rắn Einstein, và trao đổi năng

lượng với nhau. Mỗi chất rắn chứa 1 nguyên tử. Giả sử hệ thống trao đổi tổng cộng 6

đơn vị năng lượng, các chất rắn được đưa đến gần và tương tác, tổng năng lượng được

giữ cố định. Biết rằng mô hình chất rắn Einstein tuân theo phân bố Bose – Einstein,

nghĩa là số trạng thái vi mô của mỗi chất rắn được tính theo công thức

a) Có bao nhiêu trạng thái vi mô khác nhau của hệ thống này?

b) Giả sử hệ thống này đang ở trạng thái cân bằng nhiệt, xác suất tìm thấy tất

cả năng lượng trong chất rắn A là bao nhiêu?

c) Tính xác suất tìm thấy chính xác một nữa năng lượng trong chất rắn A.

Hướng dẫn giải

a) Số trạng thái vi mô khác nhau của hệ thống:

Năng lượng của hệ:

Mỗi nguyên tử có 3 dao động tử điều hòa lượng tử 1 chiều nên

0 1 6 28 28

1 3 5 63 21

2 6 4 90 15

3 10 3 100 10

4 15 2 90 6

5 21 1 63 3

6 28 0 28 1

Vậy tổng số trạng thái vi mô của hệ thống là 462 trạng thái.

b) Giả sử hệ thống này đang ở trạng thái cân bằng nhiệt, xác suất tìm thấy tất

cả năng lượng trong chất rắn :

c) Xác suất tìm thấy chính xác một nữa năng lượng trong chất rắn :

Trong Vật lý và trong kỹ thuật có nhiều bài toán sử dụng các công thức tính xác suất như: công thức cộng xác suất, công thức nhân xác suất, công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes. Ta xét các bài toán sau:

Bài 1.3. Bản tin điện báo gồm tín hiệu chấm (.) và tín hiệu vạch (-). Qua thống

kê cho thấy tín hiệu chấm khi truyền đi bị bóp méo thành tín hiệu vạch và tín

hiệu vạch khi truyền đi bị bóp méo thành tín hiệu chấm. Biết tỷ số giữa tín hiệu chấm

và vạch trong truyền đi là 5:3. Xác định xác suất tín hiệu truyền đi được nhận đúng

nếu:

a) Nhận được tín hiệu chấm (.);

b) Nhận được tín hiệu vạch (-).

Hướng dẫn giải

Gọi là biến cố truyền đi tín hiệu chấm (.);

là biến cố truyền đi tín hiệu vạch (-);

a) Xác suất sao cho nhận đúng tín hiệu đi nếu đã nhận được tín hiệu (.)

Gọi là biến cố nhận được tín hiệu chấm (.)

b) Xác suất sao cho nhận đúng tín hiệu đi nếu đã nhận được tín hiệu (-)

Gọi là biến cố nhận được tín hiệu vạch (-)

Bài 1.4. Một nhóm các nhà khoa học đang nghiên cứu về nguy cơ xảy ra sự cố tại một nhà máy điện nguyên tử sẽ gây ra sự rò rỉ phóng xạ. Các nhà khoa học nhận thấy các sự cố chỉ có thể là do: hỏa hoạn, sự gãy đỗ của vật liệu hoặc sai lầm của con người. Biết rằng hai hay nhiều hơn hai sự cố không bao giờ cùng xảy ra.

Nếu có hỏa hoạn thì sự rò rỉ phóng xạ xảy ra khoảng 20% số lần. Nếu có sự gãy đổ của vật liệu thì sự rò rỉ phóng xạ xảy ra khoảng 50% số lần và nếu có sự sai lầm của con người thì sự rò rỉ sẽ xảy ra khoảng 10% số lần. Nhóm nghiên cứu cũng tìm

được xác suất để hỏa hoạn và sự rò rỉ cùng xảy ra là 0,0010; sự gãy đổ vật liệu và sự

rò rỉ phóng xạ cùng xảy ra là 0,0015; sai lầm của con người và sự rò rỉ phóng xạ cùng

xảy ra là 0,0012.

Tính xác suất để:

a) có hỏa hoạn; có gãy đổ vật liệu và có sai lầm của con người;

b) có sự rò rỉ phóng xạ;

c) có sự rò rỉ phóng xạ được gây ra bởi sự sai lầm của con người.

Hướng dẫn giải

a) Tính xác suất để có hỏa hoạn; có gãy đổ vật liệu và có sai lầm của con người:

Gọi là biến cố “xảy ra hỏa hoạn”;

là biến cố “xảy ra gãy đổ”;

là biến cố “xảy ra sai lầm của con người”;

là biến cố “có sự rò rỉ phóng xạ”;

Ta có là các biến cố xung khắc từng đôi một và

Ngoài ra, .

Theo công thức xác suất có điều kiện ta có:

Xác suất có hỏa hoạn là:

Xác suất có gãy đổ vật liệu là:

Xác suất sai lầm của con người:

b) Tính xác suất để có sự rò rỉ phóng xạ:

c) Tính xác suất để có sự rò rỉ phóng xạ được gây ra bởi sự sai lầm của con

người:

Bài 1.5. Có hai bóng đèn điện với xác suất hỏng tương ứng là 0,1 và 0,2 và việc

chúng hỏng là độc lập với nhau. Tính xác suất để mạch không có điện do bóng hỏng nếu chúng mắc:

a) nối tiếp;

b) song song.

Hướng dẫn giải

Gọi xác suất để 2 bóng đèn hỏng lần lượt là và

Ta có và và 2 biến cố đèn hỏng là 2 biến cố độc lập.

a) Mạch nối tiếp: mạch không có dòng điện khi 1 trong 2 bóng đèn hỏng

Xác suất đèn 1 không hỏng là

Xác suất đèn 2 không hỏng là

Xác suất để mạch có dòng điện tức là cả 2 đèn đều không hỏng là

Vậy xác suất để mạch không có dòng điện là

b) Mạch song song: mạch không có điện khi cả 2 đèn đều hỏng nên xác suất để

mạch không có điện là

Bài 1.6. Cho sơ đồ mạch điện được mắc như hình 3.3

Hình 3.3. Sơ đồ mạch điện gồm 4 bóng đèn ghép với nhau Mạch điện gồm các bóng đèn Đ1, Đ2, Đ3, Đ4 hoạt động độc lập với xác suất

hỏng tương ứng là 0,1; 0,2; 0,3; 0,4. Tính xác suất để:

a) mạch BC bị hỏng;

b) mạch AC bị hỏng.

Hướng dẫn giải

Gọi ; là biến cố đèn Đi bị hỏng

là biến cố mạch BC bị hỏng;

là biến cố mạch thứ của BC bị hỏng ;

là biến cố mạch AC bị hỏng

Theo đề ta có:

a) Xác suất để mạch BC bị hỏng

Mạch BC hỏng khi 2 nhánh mắc song song bị hỏng.

Xác suất nhánh chứa đèn Đ1 hỏng:

. Xác suất nhánh chứa đèn Đ2 và Đ3 không bị hỏng:

Do là các biến cố độc lập nên:

Xác suất nhánh chứa đèn Đ2 và Đ3 bị hỏng:

Xác suất để mạch BC bị hỏng là:

b) Xác suất để mạch AC bị hỏng

Xác suất mạch AC không bị hỏng:

Xác suất để mạch AC bị hỏng là:

Bài 1.7. Một mạch điện gồm có năm linh kiện, mỗi linh kiện hoạt động độc lập

với xác suất để mỗi linh kiện bị hỏng trong khoảng thời gian bất kỳ lần lượt là: 0,01;

0,02; 0,02; 0,01; 0,04. Năm linh kiện đó được mắc vào một mạch điện theo sơ đồ

hình 3.4. Trong mỗi trường hợp, hãy tính xác suất để trong mạch điện có dòng điện

chạy qua.

Hình 3.4. Sơ đồ mạch điện gồm 5 linh kiện ghép với nhau

Hướng dẫn giải

Gọi là biến cố linh kiện thứ hoạt động tốt trong thời điểm được xét

Theo đề ta có:

Gọi là biến cố trong mạch có dòng điện chạy qua, ta cần tính trong mỗi

trường hợp khác nhau.

Trong hình a, ta thấy các linh kiện trong mạch mắc nối tiếp. Muốn mạch có

dòng điện thì mọi linh kiện đều phải hoạt động tốt.

Trong trường hợp này: cho nên .

Do là các biến cố độc lập nên:

Trong hình b, ta thấy các linh kiện trong mạch được mắc song song với nhau.

Muốn mạch chính có dòng điện thì chỉ cần có ít nhất 1 nhánh hoạt động.

Ta xét trường hợp mạch không có dòng điện. Muốn mạch không có dòng điện

thì mọi linh kiện đều phải hỏng nên: là các biến . Do

cố độc lập nên: .

Xác suất để mạch có dòng điện chạy qua:

Trong hình c, ta thấy các nhánh trong mạch được mắc song song với nhau. Muốn

mạch chính có dòng điện thì chỉ cần có ít nhất 1 nhánh hoạt động.

Gọi là biến cố nhánh thứ có dòng điện .

Vậy

Bài 1.8. Trên một bảng quảng cáo người ta mắc hai hệ thống bóng đèn. Hệ thống

I gồm 2 bóng mắc nối tiếp, hệ thống II gồm 2 bóng mắc song song. Khả năng bị hỏng

của mỗi bóng đèn sau 6 giờ thắp sáng liên tục là 15%, việc hỏng bóng đèn coi như

độc lập.

a) Tính xác suất để hệ thống I bị hỏng (được hiểu là hệ thống này không sáng

nữa);

b) Tính xác suất để hệ thống II không bị hỏng;

c) Tính xác suất để hai hệ thống bị hỏng;

d) Tính xác suất để chỉ có hệ thống I bị hỏng;

e) Trong thực tế, khả năng hai hệ thống hỏng đồng thời là 5%. Tính xác suất để

có hệ thống hỏng.

Hướng dẫn giải

a) Xác suất để hệ thống I bị hỏng:

Gọi là biến cố bóng thứ nhất của hệ thống I bị hỏng;

là biến cố bóng thứ hai của hệ thống I bị hỏng;

là biến cố hệ thống I bị hỏng.

Khi đó hai biến cố và độc lập và

Vì hệ thống I gồm 2 bóng mắc nối tiếp nên hệ thống I bị hỏng khi có ít nhất một

bóng bị hỏng.

Xác suất để hệ thống I không bị hỏng:

Xác suất để hệ thống I bị hỏng:

a) Xác suất để hệ thống II không bị hỏng:

Gọi là biến cố bóng thứ nhất của hệ thống II bị hỏng;

là biến cố bóng thứ hai của hệ thống II bị hỏng;

là biến cố hệ thống II bị hỏng.

Khi đó hai biến cố và độc lập và

Vì hệ thống II gồm 2 bóng mắc song song nên hệ thống II bị hỏng khi cả 2 bóng

bị hỏng.

Xác suất để hệ thống II bị hỏng:

Xác suất để hệ thống II không bị hỏng:

c) Xác suất để hai hệ thống bị hỏng:

Vì là biến cố hệ thống I bị hỏng và là biến cố hệ thống II bị hỏng nên

là biến cố cả hai hệ thống bị hỏng. Vì hai biến cố độc lập nên:

d) Xác suất để chỉ có hệ thống I bị hỏng:

Biến cố chỉ có hệ thống I bị hỏng là tích của hai biến cố: hệ thống I bị hỏng và

hệ thống II không bị hỏng. Do đó là biến cố chỉ có hệ thống I bị hỏng. Vì hai

biến cố độc lập nên:

e) Xác suất để có hệ thống hỏng:

Vì là hai biến cố không xung khắc nên:

Một ứng dụng phổ biến của xác suất chính là xác định độ tin cậy của một hệ

thống thiết bị. Ta xét bài toán sau:

Bài 1.9. Một hệ thống kỹ thuật gồm bộ phận với xác suất hoạt động tốt của

mỗi bộ phận là Hệ thống sẽ ngừng hoạt động khi có ít nhất 1 bộ phận bị hỏng. Để

nâng cao độ tin cậy của hệ thống ngừi ta dự trữ thêm bộ phận nữa theo 2 phương

án sau:

Hình 3.5. Hệ thống các thiết bị ghép nối với nhau

Hỏi phương thức dự trữ nào mang lại độ tin cậy cao hơn cho cả hệ thống?

Hướng dẫn giải

Sau khi bổ sung thêm bộ phận thì ta có tổng tất cả là bộ phận được bố trí

theo 2 phương án a) và b).

Khi thì hai hệ thống giống nhau hoàn toàn nên ta chỉ xét

Ta đi tính xác suất để hệ thống hoạt động ở a) và b) là

Hệ thống a) gồm ô vuông to, mỗi ô vuông có 2 bộ phận được mắc song song,

xác suất để ô vuông to bị hỏng là (cả 2 nhánh đều cùng hỏng).

Do đó xác suất để ô vuông to hoạt động tốt là: .

Ta có hệ thống ô vuông to mắc nối tiếp, do đó xác suất để hệ thống hoạt động

tốt là:

( ô vuông to cùng hoạt động tốt).

Hệ thống b) được chia làm 2 nhánh, mỗi nhánh là bộ phận mắc song song.

Ta có xác suất để 1 nhánh hoạt động tốt là nên xác suất để 1 nhánh không

hoạt động là

Do đó xác suất để hệ thống hỏng là (cả 2 nhánh đều hỏng).

Từ đó suy ra xác suất để hệ thống b) hoạt động là:

Để xem phương thức nào mang lại độ tin cậy cho hệ thống cao hơn ta sẽ so sánh

và

Ta sẽ chứng minh rằng với mọi và

Đặt ta có:

Thật vậy, theo nhị thức Newton ta có:

Vậy phương thức dự trữ a) mang lại độ tin cậy hơn phương thức dự trữ b).

3.2. Chương 2: “Đại lượng ngẫu nhiên. Vectơ ngẫu nhiên. Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên”.

3.2.1. Nội dung kiến thức

- Định nghĩa và phân loại đại lượng ngẫu nhiên;

- Quy luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên (rời rạc và liên tục):

bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất, hàm mật độ xác suất;

- Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên: kỳ vọng, phương sai, độ lệch

chuẩn;

- Khái niệm, phân phối xác suất và các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu

nhiên hai chiều.

3.2.2. Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Đại lượng ngẫu nhiên.

Vectơ ngẫu nhiên. Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên”

Khi tiến hành một phép thử ngẫu nhiên, các kết quả của phép thử thường là các

đặc trưng định tính (biến cố ngẫu nhiên). Tuy nhiên, trong nhiều phép thử mỗi một

kết quả của phép thử thường được gán tương ứng với một giá trị định lượng nào đó.

Ta xét một bài toán liên quan đến lĩnh vực Vật lý như sau:

Một nhà vật lý hạt sử dụng 3 máy đo để đếm số phân rã alpha phát ra từ 3 nguồn

phóng xạ Radon trong khoảng thời gian T. Biết rằng 3 máy đếm này hoạt động

độc lập với nhau, xác suất mỗi máy đếm bị hỏng trong khoảng thời gian T lần lượt là

0,1; 0,2 và 0,3.

Yêu cầu của bài toán là lập bảng phân phối xác suất cho số máy đếm hoạt động

tốt trong khoảng thời gian T, tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của số máy đếm

hoạt động tốt trong khoảng thời gian T.

Với kiến thức được trang bị ở chương 1, ta có thể dễ dàng lập bảng phân phối

xác suất cho số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T. Tuy nhiên, để tính

giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời

gian T thì với kiến thức được học trong chương 1 chưa đủ để giải quyết được câu hỏi

này. Nội dung của chương 2 sẽ giúp ta có thể giải quyết câu hỏi trên.

Tính ngẫu nhiên của các đại lượng ngẫu nhiên một chiều và nhiều chiều được

thể hiện đầy đủ thông qua quy luật phân phối xác suất, đo lường thông qua bảng phân

phối xác suất, hàm phân phối và hàm mật độ xác suất. Các tham số đặc trưng của đại

lượng ngẫu nhiên là một cách nhìn tổng quát, ngắn gọn hơn về đại lượng ngẫu nhiên, chứa đựng những thông tin quan trọng nhất của đại lượng ngẫu nhiên. Những tham số đặc trưng như trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn là những tham số thường xuyên được sử dụng để đánh giá, so sánh khi phân tích các vấn đề định lượng và cả định tính trong thực tế.

3.2.3. Xây dựng bài tập chương “Đại lượng ngẫu nhiên. Vectơ ngẫu

nhiên. Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên”

Đầu tiên, ta xét bài toán về đại lượng ngẫu nhiên rời rạc như sau:

Bài 2.1. Một nhà vật lý hạt sử dụng 3 máy đo để đếm số phân rã alpha phát ra

từ nguồn 3 nguồn phóng xạ Radon trong khoảng thời gian T. Biết rằng 3 máy

đếm này hoạt động độc lập với nhau, xác suất mỗi máy đếm bị hỏng trong khoảng

thời gian T lần lượt là 0,1; 0,2 và 0,3.

a) Lập bảng phân phối xác suất cho số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời

gian T;

b) Trung bình, trong khoảng thời gian T, có bao nhiêu máy hoạt động tốt? Tính

độ lệch chuẩn của số máy hoạt động tốt trong khoảng thời gian T.

Hướng dẫn giải

a) Lập bảng phân phối xác suất cho số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời

gian T:

Gọi là biến ngẫu nhiên chỉ số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian

Gọi là biến cố máy đếm thứ hoạt động tốt trong khoảng thời gian T.

Bảng phân phối xác suất của

0 1 2 3

0,006 0,092 0,398 0,504

b) Trung bình, trong khoảng thời gian T, có bao nhiêu máy hoạt động tốt? Tính

độ lệch chuẩn của số máy hoạt động tốt trong khoảng thời gian T.

Trung bình số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T là:

Độ lệch chuẩn của số máy đếm hoạt động tốt trong khoảng thời gian T:

Trong cơ học lượng tử, trạng thái của một hạt được sẽ được mô tả bằng hàm sóng. Bình phương modul hàm sóng chính là hàm mật độ xác suất tìm thấy hạt trong

vùng không gian. Ta xét các bài toán liên quan đến hàm mật độ xác suất của đại lượng

ngẫu nhiên liên tục sau:

Bài 2.2. Hàm sóng của hạt bị nhốt trong một giếng thế vô hạn và ở trạng thái

năng lượng thấp nhất được cho bởi hàm sóng:

với

Sử dụng điều kiện chuẩn hoá hàm sóng, chứng minh rằng: biết rằng

bình phương modul hàm sóng là hàm mật độ xác suất tìm thấy hạt trong vùng

không gian và điều kiện chuẩn hóa hàm sóng là xác suất tìm thấy hạt trong toàn miền

không gian phải bằng một.

Hướng dẫn giải

Do là hàm mật độ xác suất nên ta có điều kiện chuẩn hóa hàm sóng:

Bài 2.3. Một hạt bị nhốt giữa hai bức tường rắn cách nhau một khoảng Biết

rằng hạt ở trong trạng thái có năng lượng thấp nhất và có hàm sóng:

với

Bình phương modul hàm sóng là hàm mật độ xác suất tìm thấy hạt trong

vùng không gian. Sử dụng hàm sóng này, hãy tính xác suất để tìm thấy hạt giữa các

điểm:

a) và

b) và

c) và

Hướng dẫn giải

a) Xác suất để tìm thấy hạt giữa các điểm và

b) Xác suất để tìm thấy hạt giữa các điểm và

c) Xác suất để tìm thấy hạt giữa các điểm và

Bài 2.4. Trạng thái của hạt được mô tả bởi hàm sóng có dạng:

Biết rằng bình phương modul hàm sóng là hàm mật độ xác suất tìm thấy

hạt trong vùng không gian.

a) Chuẩn hóa hàm sóng trên biết rằng điều kiện chuẩn hóa hàm sóng là xác suất

tìm thấy hạt trong toàn miền không gian phải bằng một.

b) Tìm vị trí mà mật độ xác suất tìm thấy hạt là lớn nhất.

c) Tìm xác suất để hạt nằm trong khoảng

Hướng dẫn giải

a) Tìm hệ số chuẩn hóa của hàm sóng.

Do là hàm mật độ xác suất nên ta có điều kiện chuẩn hóa hàm sóng:

Sử dụng tích phân Gauss, ta thu được:

b) Tìm vị trí mà xác suất tìm thấy hạt là lớn nhất.

Hàm mật độ xác suất: .

Điều kiện để hàm mật độ xác suất cực đại là:

Vậy là vị trí có xác suất tìm thấy hạt lớn nhất.

c) Xác suất để hạt nằm trong khoảng

Ta xét một số bài toán kỹ thuật sử dụng đến các tính chất của hàm mật độ xác

suất và hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục sau:

Bài 2.5. Một yếu tố quan trọng trong nhiên liệu của tên lửa rắn là sự phân bố kích thước của các hạt. Một số vấn đề sẽ xảy ra nếu kích thước của hạt quá lớn. Từ dữ liệu sản xuất trong quá khứ, người ta đã xác định rằng phân bố kích thước hạt (tính bằng micromet) được xác định bởi:

a) Chứng tỏ rằng đây là hàm mật độ xác suất.

b) Tìm hàm phân phối

c) Xác suất mà một hạt ngẫu nhiên được chế tạo từ nhiên liệu vượt quá 4

micromet là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

a) Chứng tỏ rằng là hàm mật độ xác suất

Để chứng minh là hàm mật độ xác suất hợp lệ, ta sẽ xét tích phân sau:

Do nên là hàm mật độ xác suất.

b) Tìm hàm phân phối

Hàm phân phối xác suất

c) Xác suất mà một hạt ngẫu nhiên được chế tạo từ nhiên liệu vượt quá 4

micromet:

Bài 2.6. Các phép đo của các hệ thống khoa học luôn có sai số, nhiều hơn các

hệ thống khác. Có nhiều cấu trúc cho lỗi đo lường và các nhà thống kê dành rất nhiều

thời gian để mô hình hóa các lỗi này. Giả sử sai số đo của một đại lượng vật lý

nhất định được quyết định bởi hàm mật độ

a) Xác định giá trị để là hàm mật độ xác suất.

b) Tính xác suất để một lỗi ngẫu nhiên trong phép đo nhỏ hơn

c) Tìm hàm phân phối xác suất của đại lượng vật lý

d) Đối với một phép đo cụ thể không mong muốn nếu độ lớn của sai số vượt

quá Xác suất mà điều này xảy ra là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

a) Xác định giá trị để là hàm mật độ xác suất

Để là hàm mật độ xác suất thì

Vậy hàm mật xác suất của là

b) Tính xác suất để một lỗi ngẫu nhiên trong phép đo nhỏ hơn

c) Tìm hàm phân phối xác suất của đại lượng vật lý

d) Xác suất đối với một phép đo cụ thể không mong muốn nếu độ lớn của sai số

vượt quá

Thông qua bài toán này, chúng ta có thể thấy rằng việc tính xác suất có thể dựa

trên cả hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất.

3.3. Chương 3: “Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng”.

3.3.1. Nội dung kiến thức

- Các phân phối xác suất rời rạc (phân phối nhị thức, phân phối Poisson): khái

niệm, công thức tính xác suất, các tham số đặc trưng;

- Các phân phối xác suất liên tục (phân phối chuẩn, phân phối mũ, phân phối

chi-bình phương, phân phối Student): khái niệm, công thức tính xác suất, các tham

số đặc trưng.

3.3.2. Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Một số quy luật phân

phối xác suất thông dụng”.

Trong các ngành khoa học kỹ thuật nói chung hay trong lĩnh vực Vật lý nói

riêng, khi đo đạc các đại lượng bất kỳ sẽ luôn có một thăng giáng thống kê nào đó gây ra sai số chủ yếu trong các thí nghiệm. Các sai số ngẫu nhiên luôn tuân theo một quy luật phân phối xác suất. Các hàm phân phối cơ bản được ứng dụng trong xử lý số liệu thực nghiệm bao gồm: phân phối nhị thức, phân phối Poisson, phân phối chuẩn, phân phối mũ, phân phối Chi bình phương và phân phối Student.

Phân phối nhị thức có ứng dụng trong lĩnh vực Vật lý khi đo hiệu suất của máy

đếm các hạt trong kính viễn vọng.

Phân phối Poisson là phân phối thường được sử dụng trong trường hợp mà sự kiện xảy ra có xác suất nhỏ và không đổi. Một trường hợp điển hình tuân theo phân

phối Poisson là hiện tượng phân rã phóng xạ. Nếu chúng ta đo số phân rã beta (hoặc

alpha) phát ra từ một nguồn phóng xạ nào đó trong cùng một khoảng thời gian nhất

định thì số hạt ghi nhận được trong mỗi lần sẽ tuân theo phân phối Poisson.

Phân phối chuẩn có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực Vật lý. Chẳng hạn, phân bố

vận tốc của các phân tử khí lý tưởng hay vận tốc chuyển động của các nguyên tử,

phân tử trong bất kỳ một hệ cân bằng nhiệt nào đều tuân theo phân phối chuẩn. Ngoài

ra, sai số ngẫu nhiên trong vật lý thực nghiệm cũng thường có phân phối chuẩn.

Các quy luật phân phối xác suất có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực Vật lý. Những quy luật và các tham số đặc trưng của những quy luật phân phối này giúp ta có thể

giải quyết được nhiều bài toán trong vật lý học thực nghiệm.

3.3.3. Xây dựng bài tập chương “Một số quy luật phân phối xác suất

thông dụng”.

Mở đầu là bài toán về ứng dụng của phân phối nhị thức trong Vật lý:

Bài 3.1. Một nhà vật lý hạt tiến hành làm thí nghiệm tán xạ K-meson và nucleon,

sau đó đo xác xuất tán xạ ngược bằng thùng Hydrogen lỏng. Tiến hành đo 1000 va

chạm, thu được kết quả có 472 tán xạ xuyên qua, và 528 tán xạ ngược. Hỏi độ sai số

bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi là số tán xạ xuyên qua sau va chạm thì với

Độ sai số (độ lệch chuẩn): hạt.

Vậy kết quả tán xạ thu được là: số hạt tán xạ xuyên qua là hạt; số hạt

tán xạ ngược là hạt

Ứng dụng của phân phối Poisson trong Vật lý được thể hiện qua các bài toán

Bài 3.2. Một nhà vật lý thấy rằng mẫu phóng xạ Thori phân rã hạt alpha với tốc

độ trung bình 1,5 hạt/ phút.

a) Nếu ông ta đếm số hạt trong khoảng thời gian 10 phút, giá trị trung bình nhận

giá trị bao nhiêu?

b) Tính xác suất để trong khoảng thời gian 2 phút, quan sát được 0, 1, 2, 3, 4 hạt

và nhiều hơn 5 hạt.

Hướng dẫn giải

a) Mẫu phóng xạ Thori phân rã hạt alpha với tốc độ trung bình 1,5 hạt/ phút.

Vậy trong khoảng thời gian 10 phút, mẫu phóng xạ này sẽ phân rã hạt alpha với tốc độ trung bình là 15 hạt/ 10 phút.

b) Trong khoảng thời gian 2 phút, mẫu phóng xạ sẽ phân rã với tốc độ trung

bình là 3 hạt/ 2 phút.

Gọi là số hạt thu được trong khoảng thời gian 2 phút thì với

; .

Bài 3.3. Khi đo hoạt độ của một nguồn phóng xạ, detector cho số đếm trung

bình là 6 xung/ phút.

a) Tính xác suất để có tốc độ đếm xung nhỏ hơn 9 xung/ phút.

b) Tính xác suất để tốc độ đếm có giá trị nằm trong khoảng từ 9 đến 11 xung/

phút.

c) Tính xác suất để có tốc độ đếm xung lớn hơn 11 xung/ phút.

Hướng dẫn giải

Gọi là số xung đếm được trong khoảng thời gian 1 phút thì với

a) Xác suất để có tốc độ đếm xung nhỏ hơn 9 xung/ phút:

b) Xác suất để tốc độ đếm có giá trị nằm trong khoảng từ 9 đến 11 xung/ phút:

c) Xác suất để có tốc độ đếm xung lớn hơn 11 xung/ phút:

Bài 3.4. Một mẫu chất phóng xạ chứa 5.1019 nguyên tử, mỗi nguyên tử có xác

suất phân rã trong bất kỳ khoảng thời gian 5 giây nào đó.

a) Số trung bình dự kiến của số lần phân rã từ mẫu trong 5 giây là bao nhiêu?

b) Tính xác suất quan sát được phân rã trong bất kỳ khoảng thời gian

5 giây nào, với

c) Xác suất quan sát được từ 4 phân rã trở lên trong khoảng thời gian 5 giây là

bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

a) Số trung bình dự kiến của số lần phân rã từ mẫu trong 5 giây

phân rã/ 5 giây.

b) Xác suất quan sát được phân rã trong bất kỳ khoảng thời gian 5 giây

nào, với

Xác suất trong phân bố Poisson: .

c) Xác suất quan sát được từ 4 phân rã trở lên trong khoảng thời gian 5 giây:

Phân phối chuẩn được ứng dụng trong các bài toán sau:

Bài 3.5. Một dây chuyền sản xuất điện trở 1000 được phép xê dịch 10%. Ký

hiệu là trị số của điện trở. Giả sử có phân phối chuẩn với trung bình 1000 và

phương sai 2500. Tìm xác suất một chiếc điện trở chọn ngẫu nhiên bị loại bỏ.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài ta có: với

Trị số của điện trở được phép xê dịch 10%

Vậy xác suất để một chiếc điện trở chọn ngẫu nhiên bị loại bỏ là:

Bài 3.6. Giả sử cường độ dòng điện chạy trong một dây dẫn được tuân theo quy

luật phân phối chuẩn với giá trị trung bình là 10 mili-ampe và phương sai là 4

Người ta sử dụng một đồng hồ đo thích hợp để đo cường độ dòng điện trong

dây dẫn.

a) Tính xác suất để giá trị đo được của cường độ dòng điện trong dây dẫn vượt

quá 13

b) Tính xác suất để giá trị đo được của cường độ dòng điện trong dẫn nằm trong

khoảng từ 9 đến 11

Hướng dẫn giải

Gọi là giá trị cường độ dòng điện chạy trong một dây dẫn. Theo đề bài ta có:

với

a) Xác suất để giá trị đo được của cường độ dòng điện trong dây dẫn vượt quá

b) Xác suất để giá trị đo được của cường độ dòng điện trong dẫn nằm trong

khoảng từ 9 đến 11

Bài 3.7. Gọi X là lượng điện (tính bằng kwh) mà mỗi hộ tiêu thụ hàng tháng.

Giả sử X là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn với lượng điện tiêu thụ

trung bình của các hộ là 60 kwh và độ lệch chuẩn là 40 kwh. Giá tiền điện là 1000

đồng/kwh nếu dùng chưa đến 70kwh. Nếu dùng quá 70 kwh thì phải trả 3000 đồng

cho mỗi kwh. Gọi Y là số tiền điện phải trả hàng tháng của một hộ dân (nghìn đồng).

Hãy tính các khả năng sau:

a) Số tiền điện phải trả hàng tháng của một hộ dân từ 100 đến 130 nghìn đồng;

b) Số tiền điện phải trả hàng tháng của một hộ dân trên 70 nghìn đồng;

c) Số tiền điện phải trả hàng tháng của một hộ dân từ 40 đến 130 nghìn đồng;

d) Nếu thành phố có 300.000 hộ thì ước tính sẽ có bao nhiêu hộ dùng điện quá

quy định.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài ta có: với

Khi đó, số tiền điện phải trả là

a) Khả năng số tiền điện phải trả hàng tháng của một hộ dân từ 100 đến 130

nghìn đồng là:

b) Khả năng số tiền điện phải trả hàng tháng của một hộ dân trên 70 nghìn

đồng là:

c) Khả năng số tiền điện phải trả hàng tháng của một hộ dân từ 40 đến 130

nghìn đồng là:

d) Số hộ dân dùng điện vượt quá quy định là:

(hộ).

Như vậy, nếu thành phố có 300.000 hộ thì ước tính sẽ có 120 390 hộ dùng điện

quá quy định.

3.4. Chương 4: “Các định lý giới hạn”.

3.4.1. Nội dung kiến thức

- Định lý giới hạn Poisson;

- Định lý giới hạn Moirve – Laplace;

- Định lý giới hạn trung tâm;

- Bất đẳng thức Chebyshev. Luật số lớn.

3.4.2. Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Các định lý giới hạn”.

Trong các bài toán thực hành, ta thường bắt gặp tình huống cần xác định khả của phép thử, biết trước được xác suất lần biến cố trong năng xuất hiện

việc xảy ra biến cố trong một phép thử. Lúc đó, ta có ta có thể dùng công thức của

phân phối nhị thức để tính toán. Tuy nhiên, công thức của phân phối nhị thức chỉ

thích hợp cho trường hợp số lượng các phép thử tương đối nhỏ, còn khi số lượng phép

thử lớn và xác suất xảy ra biến cố rất nhỏ chẳng hạn trong trường hợp để một hạt phát

ra từ nguồn phóng xạ được ghi lại trên máy đếm sẽ có xác suất rất thấp thì lúc này ta

có thể áp dụng định lý Poisson để tính gần đúng xác suất.

Ngoài định lý giới hạn Poisson giúp ta có thể tính xấp xỉ xác suất của quy luật

phân phối nhị thức với số lượng phép thử lớn thông qua quy luật phân phối Poisson.

Các định lý giới hạn trung tâm sẽ cung cấp một công cụ khác để tính được xấp xỉ các

xác suất thông qua quy luật phân phối chuẩn. Chẳng hạn, các sai số của phép đo trong

vật lý thường do tổng ảnh hưởng của nhiều đại lượng ngẫu nhiên, mà mỗi đại lượng ngẫu nhiên ảnh hưởng không đáng kể, nên sai số trong phép đo sẽ có phân phối xấp

xỉ chuẩn. Ngoài ra, các định lý giới hạn trung tâm còn có ý nghĩa trong quá trình tiến

hành các phép kiểm định thống kê.

3.4.3. Xây dựng bài tập chương “Các định lý giới hạn”.

Dưới đây là một dạng bài tập áp dụng định lý giới hạn Poisson để tính xác suất.

Bài 4.1. Một máy đếm để gần một nguồn phóng xạ sao cho xác suất để một hạt

phát ra từ nguồn phóng xạ được ghi lại trong máy đếm là Giả sử rằng trong thời

gian quan sát có 40000 hạt được phóng ra từ nguồn phóng xạ.

a) Tìm xác suất sao cho máy đếm ghi được trên sáu hạt.

b) Tìm xác suất sao cho máy đếm không ghi được hạt nào cả.

c) Tính số hạt ít nhất mà nguồn phóng xạ cần phát ra sao cho với xác suất lớn

hơn máy đếm ghi được không ít hơn bốn hạt.

Hướng dẫn giải

Nếu coi việc quan sát một hạt phóng ra từ nguồn phóng xạ được ghi lại trong

máy đếm là một phép thử. Theo giả thuyết, trong thời gian quan sát có 40000 hạt

được phóng ra từ nguồn phóng xạ nên ta có 40000 phép thử độc lập. Xác suất trong mỗi phép thử biến cố hạt phóng ra từ nguồn phóng xạ được ghi lại trên máy đếm xảy ra với xác suất là

Nếu gọi là số hạt phóng ra từ nguồn phóng xạ được ghi lại trên máy đếm

trong thời gian quan sát thì

Vì rất lớn, rất nhỏ và tích không

đổi nên ta có thể coi .

a) Xác suất sao cho máy đếm ghi được trên sáu hạt

Ta có: .

b) Xác suất sao cho máy đếm không ghi được hạt nào cả

c) Số hạt ít nhất mà nguồn phóng xạ cần phát ra sao cho với xác suất lớn hơn máy đếm ghi được không ít hơn bốn hạt.

Vậy nguồn phóng xạ cần phát ra ít nhất 76100 hạt thì với xác suất lớn hơn

máy đếm ghi được không ít hơn bốn hạt.

Bài 4.2. Trong một thí nghiệm, người ta bắn vào một lá vàng mỏng (xem như

chỉ gồm một lớp nguyên tử) bằng một chùm tia alpha chứa một số lượng rất lớn các

hạt. Thống kê cho thấy, trung bình có hai hạt alpha va chạm trực diện với hạt nhân

vàng trong một lần bắn.

a) Hãy tính xác suất để lần bắn tiếp theo không xảy ra va chạm trực diện nào;

b) Hãy tính xác suất để lần bắn tiếp theo xảy ra hai va chạm trực diện.

Hướng dẫn giải

Phép thử bắn trúng hạt nhân vàng là một phép thử độc lập, do vậy xác suất bắn trúng hạt nhân vàng tuân theo phân phối nhị thức. Khi số hạt rất lớn và xác suất bắn

trúng là rất nhỏ thì phân phối nhị thức trở thành phân phối Poisson. Do đó, xác suất để hạt alpha va chạm trực diện với hạt nhân trong 1 lần bắn tuân theo quy luật phân phối Poisson.

Gọi là số hạt alpha va chạm vào hạt nhân vàng. Theo đề bài, trung bình hai

hạt alpha va chạm trực diện với hạt nhân vàng trong một lần bắn nên ta có

a) Xác suất để lần bắn tiếp theo không xảy ra va chạm trực diện nào:

b) Xác suất để lần bắn tiếp theo xảy ra hai va chạm trực diện:

3.5. Chương 5: “Lý thuyết mẫu”.

3.5.1. Nội dung kiến thức

- Khái niệm tổng thể;

- Các tham số của tổng thể;

- Khái niệm mẫu ngẫu nhiên, mẫu cụ thể;

- Thống kê đặc trưng mẫu: trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn, tỉ lệ.

3.5.2. Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Lý thuyết mẫu”.

Trong các lĩnh vực khoa học kỹ thuật, để nghiên cứu một hay nhiều tính chất

nào đó của một tập hợp nhiều vật thể (tổng thể), ít khi người ta có thể mang tất cả các

vật thể ra để nghiên cứu vì nghiên cứu số lượng lớn vật thể sẽ mất nhiều thời gian và

có khi thí nghiệm sẽ làm hư hao vật thể. Vì vậy, người ta sẽ tìm cách lấy ra một số

trong tất cả các vật thể nói trên (mẫu) để nghiên cứu rồi từ đó kết luận về các tính

chất cần thiết của của tất cả các vật thể ban đầu. Ta xét một ví dụ sau:

Khi nghiên cứu về sự rơi tự do của một quả cầu bằng thép, người ta quan sát thời gian rơi của quả cầu ở độ cao 3 mét so với mặt đất tại nơi có gia tốc trọng trường m/s2. Sau 30 lần quan sát, người ta thu được các số liệu cho ở bảng sau:

Bảng 3.1. Dữ liệu thời gian rơi tự do từ độ cao 3 mét so với mặt đất

Khoảng thời 0,75 - 0,76 0,76 - 0,77 0,77 - 0,78 0,78 - 0,79 0,79 - 0,80 gian (s)

Tần số 4 6 10 15 5

Để có thể kết luận về thời gian rơi tự do của quả cầu thép ở độ cao 3 mét so với

mặt đất, người ta sẽ tiến hành quan sát một mẫu ngẫu nhiên và tính toán các tham số

đặc trưng trên mẫu từ đó suy rộng kết quả nghiên cứu trên mẫu cho toàn bộ tổng thể.

3.5.3. Xây dựng bài tập chương “Lý thuyết mẫu”.

Bài 5.1. Thí nghiệm Franck – Hertz liên quan đến sự khác biệt giữa một loạt

các điện áp cách đều nhau gây ra dòng điện cực đại qua một ống hơi thủy ngân. Một

học sinh tiến hành thí nghiệm đo 10 điểm khác biệt như vậy và thu được kết quả như

sau: 0,48; 0,45; 0,49; 0,46; 0,44; 0,57; 0,45; 0,47; 0,51; 0,50 Tính giá trị trung

bình và độ lệch chuẩn của các kết quả thu được.

Hướng dẫn giải

Trung bình:

Độ lệch chuẩn:

Bài 5.2. Một thí nghiệm được thực hiện để đo thời gian rơi của một quả bóng

bằng kim kim loại ở độ cao 2 mét so với mặt đất. Thí nghiệm được lặp lại 50 lần và

thu được kết quả ở bảng sau:

Bảng 3.2. Dữ liệu đo thời gian rơi của quả bóng ở độ cao 2 mét

Thời gian rơi (s) Tần số quan sát

0,59 – 0,60 2

0,60 – 0,61 2

0,61 – 0,62 11

0,62 – 0,63 6

0,63 – 0,64 12

0,64 – 0,65 8

0,65 – 0,66 4

0,66 – 0,67 3

0,67 – 0,68 1

0,68 – 0,69 1

Tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của các kết quả đo.

Hướng dẫn giải

Ta thay mỗi khoảng thời gian rơi bằng giá trị trung tâm của khoảng, từ đó ta có

bảng sau:

0,595 0,605 0,615 0,625 0,635 0,645 0,655 0,665 0,675 0,685

2 2 11 6 12 8 4 3 1 1

Trung bình của các kết quả đo:

Độ lệch chuẩn của các kết quả đo:

Bài 5.3. Khảo sát điểm kiểm tra 15 phút môn Vật lý của 43 học sinh lớp 11A5

của trường Trung học phổ thông Tân Thông Hội, ta thu được bảng số liệu sau:

Bảng 3.3. Dữ liệu điểm kiểm tra 15 phút môn Vật lý lớp 11A5

Điểm Số lượng học sinh Điểm Số lượng học sinh

0 – 1 0 5 – 6 6

1 – 2 1 6 – 7 9

2 – 3 1 7 – 8 4

3 – 4 2 8 – 9 7

4 – 5 7 9 – 10 6

Tính trung bình mẫu và độ lệch chuẩn của mẫu.

Hướng dẫn giải

Ta thay mỗi khoảng bằng giá trị trung tâm của khoảng, từ đó ta có bảng sau:

0,5 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5

0 1 1 2 7 6 9 4 7 6

Trung bình mẫu:

Độ lệch chuẩn của mẫu:

3.6. Chương 6: “Ước lượng tham số của biến ngẫu nhiên”.

3.6.1. Nội dung kiến thức

- Khái niệm ước lượng;

- Ước lượng điểm và tính chất, ước lượng một tham số của tổng thể;

- Lý thuyết ước lượng khoảng;

- Ước lượng khoảng cho trung bình, phương sai, tỷ lệ tổng thể và ứng dụng.

3.6.2. Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Ước lượng tham số của

biến ngẫu nhiên”.

Trong nghiên cứu khoa học, nếu dấu hiệu nghiên cứu trong tổng thể có thể xem

như là một biến ngẫu nhiên và giả sử rằng bằng việc phân tích lý thuyết đã xác định

được dạng phân phối xác suất của nó thì vấn đề xác định các tham số đặc trưng của

tổng thể sẽ được quy về bài toán xác định các tham số đặc trưng của quy luật phân

phối xác suất xác định biến ngẫu nhiên gốc. Chẳng hạn, nếu đã biết được rằng dấu

hiệu nghiên cứu trong tổng thể có thể xem như biến ngẫu nhiên có phân phối theo

quy luật chuẩn thì bài toán đặt ra là phải ước lượng các tham số kỳ vọng toán và

phương sai của tổng thể cần nghiên cứu. Ta xét ví dụ sau:

Một thí nghiệm vật lý hạt đã thực hiện năm phép đo khối lượng của hạt Yotta, kết quả thu được lần lượt là: 83,6; 92,9; 77,3; 88,4 và 89,5 GeV/c2. Từ kết quả của phép đo này, hãy ước lượng giá trị trung bình mẫu và phương sai của mẫu với độ tin

cậy 95%.

3.6.3. Xây dựng bài tập chương “Ước lượng tham số của biến ngẫu

nhiên”.

Mở đầu là một bài toán về áp dụng phương pháp ước lượng điểm trong vật lý

như sau:

Bài 6.1. Dữ liệu về lực kéo (pounds) của bộ truyền trong động cơ ô tô như sau:

79,3; 75,1; 78,2; 74,1; 73,9; 75,0; 77,6; 77,3; 73,8; 74,6; 75,5; 74,0; 74,7; 75,9; 72,9;

73,8; 74,2; 78,1; 75,4; 76,3; 75,3; 76,2; 74,9; 78,0; 75,1; 76,8.

a) Tìm ước lượng điểm của lực kéo trung bình của tất cả các bộ liên kết trong

tổng thể. Nói rõ ước lượng nào đã được sử dụng và tại sao?

b) Tính ước lượng điểm của phương sai tổng thể và độ lệch chuẩn của tổng thể.

Hướng dẫn giải

a) Ước lượng điểm của lực kéo trung bình của tất cả các bộ liên kết trong tổng

thể.

pounds

Ước lượng điểm của lực kéo trung bình của tất cả các bộ liên kết trong tổng thể

là giá trị lực kéo trung bình của mẫu:

Trung bình tổng thể Trung bình mẫu pounds.

Ta có thể sử dụng công thức ước lượng điểm này vì giá trị trung bình của mẫu

ngẫu nhiên là ước lượng không chệch của trung bình tổng thể:

b) Ước lượng điểm của phương sai tổng thể và độ lệch chuẩn của tổng thể.

Phương sai của mẫu:

Độ lệch chuẩn của mẫu: .

Ước lượng điểm của phương sai tổng thể và độ lệch chuẩn của tổng thể:

Phương sai tổng thể Phương sai mẫu pounds2

Độ lệch chuẩn tổng thể Độ lệch chuẩn mẫu pounds.

Phương pháp ước lượng khoảng có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực Vật lý và kỹ

thuật. Xét các bài toán ước lượng khoảng cụ thể sau:

Bài 6.2. Tiêu chuẩn ASTM E23 xác định các phương pháp thử nghiệm tiêu chuẩn để kiểm tra tác động của thanh kim loại. Kỹ thuật CVN đo năng lượng nén và

thường được dùng để xác định một vật liệu có thay đổi từ trạng thái dẻo sang trạng trên những thái dòn hay không khi nhiệt độ giảm dần. Phép đo năng lượng nén

mẫu thép A238 đem cắt ở 600C như sau:

64,1; 64,7; 64,5; 64,6; 64,5; 64,3; 64,6; 64,8; 64,2 và 64,3.

Giả sử rằng, năng lượng chịu nén có phân phối chuẩn với Hãy ước lượng

năng lượng chịu nén trung bình với độ tin cậy 95%.

Hướng dẫn giải

và .

Khoảng ước lượng năng lượng chịu nén trung bình với độ tin cậy 95%

Bài 6.3. Nguồn điện thế V được đo 6 lần và thu được các kết quả đo như sau:

221,5; 220,6; 219,4; 218,5; 221,3; 221,0

Giả sử phép đo không có sai số hệ thống và được mô hình hóa bởi biến ngẫu

nhiên với giả thuyết rằng có phân phối chuẩn Tìm khoảng tin

cậy 95% cho trong các trường hợp:

a) đã biết;

b) chưa biết.

Hướng dẫn giải

a) đã biết

Ta có độ tin cậy

Bài toán đã biết nên khoảng tin cậy của là:

Tra bảng với bậc tự do ta được:

Vậy khoảng tin cậy của là: với độ tin cậy 95%.

b) chưa biết.

Bài toán chưa biết nên khoảng tin cậy của là:

Tra bảng với bậc tự do ta được:

Vậy khoảng tin cậy của là: với độ tin cậy 95%.

Bài 6.4. Để xác định độ sâu của đáy biển, một tàu neo cố định trên mặt nước phát ra sóng siêu âm và thu lại âm phản xạ. Các xác định độ sâu này có sai số ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 20 mét.

a) Cần phải tiến hành bao nhiêu lần đo để xác định được độ sâu của biển với sai

số cho phép không quá 15 mét ở độ tin cậy 90%;

b) Hãy ước lượng độ sâu trung bình của đáy biển với độ tin cậy 95%. Biết rằng khi tiến hành đo ở một địa điểm xác định 25 lần người ta tính được độ sâu trung bình

của mẫu là 100 mét.

Hướng dẫn giải

a) Gọi là số lần đo cần thiết

Ta có Chọn

Vậy cần đo ít nhất 5 lần.

b) Khoảng ước lượng độ sâu trung bình của đáy biển với độ tin cậy 95%

Bài 6.5. Tia tử ngoại là một loại bức xạ điện từ có nhiều ứng dụng trong y học

và trong các ngành công nghiệp. Trong lĩnh vực công nghiệp cơ khí, tia tử ngoại được

sử dụng để tìm vết nứt trên bề mặt các vật bằng kim loại bằng cách xoa một lớp dung

dịch phát quang lên trên bề mặt vật, cho chất đó ngấm vào kẽ nứt, khi chiếu tia tử

ngoại vào những chỗ ấy sẽ sáng lên. Người ta muốn ước lượng tỉ lệ một sản phẩm

bằng kim loại có vết nứt trên bề mặt trong một lô sản phẩm của nhà máy.

a) Nếu muốn sai số cho phép không quá 1% ở độ tin cậy 95% thì phải dùng tia

tử ngoại kiểm tra ít nhất bao nhiêu sản phẩm?

b) Sử dụng tia tử ngoại kiểm tra ngẫu nhiên 200 sản phẩm, người ta thấy có 20

sản phẩm có vết nứt trên bề mặt. Hãy tìm khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ tổng thể. Nếu muốn sai số cho phép không quá 1% ở độ tin cậy 95% thì phải dùng tia tử ngoại kiểm tra ít nhất bao nhiêu sản phẩm?

Hướng dẫn giải

a) Số sản phẩm ít nhất phải dùng tia tử ngoại kiểm tra nếu muốn sai số cho phép

không quá 1% ở độ tin cậy 95% .

Gọi là số sản phẩm ít nhất cần phải kiểm tra.

. Ta có

Do cực đại khi nên:

Vậy cần kiểm tra ít nhất 9604 sản phẩm.

b) Gọi là tỉ lệ sản phẩm có vết nứt trên bề mặt. Ta cần ước lượng với độ

tin cậy 95%

Theo giả thuyết của bài toán ta có:

Tỉ lệ sản phẩm có vết nứt trên bề mặt trong mẫu cụ thể là:

Vậy khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ sản phẩm có vết nứt trên bề mặt là:

Nếu sai số không quá 1% ở độ tin cậy 95% thì số sản phẩm cần kiểm tra là:

Gọi là số sản phẩm ít nhất cần phải kiểm tra

Ta có

Vậy cần kiểm tra ít nhất 3458 sản phẩm.

3.7. Chương 7: “Kiểm định giả thuyết thống kê”.

3.7.1. Nội dung kiến thức

- Lý thuyết cơ bản về kiểm định;

- Thủ tục thực hiện bài toán kiểm định;

- Kiểm định giả thuyết về trung bình của tổng thể;

- Kiểm định giả thuyết về phương sai của tổng thể;

- Kiểm định giả thuyết về tỉ lệ tổng thể;

- Kiểm định giả thuyết về phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên.

3.7.2. Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Kiểm định giả thuyết

thống kê”.

Trong thực tiễn đời sống, có những bài toán đặt ra yêu cầu kiểm tra tính đúng

sai của một mệnh đề/ một tình huống giả định, khi chưa có đầy đủ thông tin chính xác. Các mệnh đề được đặt ra có thể đúng hoặc không đúng nên ta cần kiểm định để

kết luận thừa nhận hay không thừa nhận mệnh đề đó. Khi đó ta phải thực kiểm tra,

kiểm định dựa trên thông tin của mẫu bằng những phương pháp thống kê cụ thể. Xét

một số bài toán kiểm định sau:

Mạng điện của lưới điện quốc gia truyền đến nơi tiêu thụ có điện áp đầu vào

trung bình là 220 V. Sau một thời gian sử dụng các thiết bị điện, người ta thấy rằng

có xảy ra hư hỏng ở các thiết bị điện và nghi ngờ điện áp đầu vào khác 220 V. Lúc

này, người ta sẽ dùng đồng hồ đo điện áp để đo điện áp đầu vào, lấy mẫu và thực hiện

kiểm tra giả thuyết đưa ra.

Trong kiểm tra chất lượng giáo dục, ta thường gặp các tuyên bố của hiệu trưởng

của các trường về tỉ lệ học sinh khá giỏi của trường. Chẳng hạn, hiệu trưởng một trường trung học phổ thông X tuyên bố rằng tỉ lệ học sinh khá giỏi của nhà trường trong năm học này là trên 70%. Một người nghi ngờ thông tin trên và muốn kiểm chứng lại tuyên bố đó. Để kiểm chứng tuyên bố này, người đó sẽ lấy mẫu học sinh tại trường trung học phổ thông X và thực hiện bài toán kiểm định giả thuyết.

Trong lĩnh vực Vật lý thực nghiệm, khi thực hiện một chuỗi các phép đo, bộ dữ

liệu đo đạc được sẽ tuân theo một quy luật phân phối nào đó. Câu hỏi xuất hiện là liệu rằng dữ liệu từ phép đo mà chúng ta thu được có thực sự tuân theo quy luật phân phối đó hay không?

Việc thực hiện bài toán kiểm định giả thuyết sẽ giúp chúng ta có thể đi đến kết

luận hoặc chấp nhận, hoặc loại bỏ giả thuyết mà chúng ta đưa ra. Nội dung kiến thức

của chương này sẽ giúp chúng ta giải quyết các bài toán nêu trên.

3.7.3. Xây dựng bài tập chương “Kiểm định giả thuyết thống kê”.

Mở đầu là bài toán kiểm định giả thuyết về giá trị trung bình trong lĩnh vực Vật

lý.

Bài 7.1. Điện thế của mạng điện sử dụng trong gia đình là đại lượng ngẫu nhiên

có phân phối chuẩn với điện thế trung bình là 220 Để kiểm tra điện thế của mạng

điện, người ta sử dụng một đồng hồ để đo điện thế. Nguồn điện thế được đo 6 lần

và thu được các kết quả đo như sau:

221,5; 220,6; 219,4; 218,5; 221,3; 221,0

Ta muốn kiểm định giả thuyết với mức ý nghĩa 5% rằng điện thế trung bình là

220 khi:

a) Biết phương sai của các sai số đo là 1;

b) Chưa biết phương sai.

Hướng dẫn giải

Gọi là giá trị điện thế trung bình. Ta cần kiểm định giả thuyết:

a) Với phương sai đã biết

Tiêu chuẩn kiểm định: .

không bác bỏ coi điện thế trung bình bằng

một cách có ý nghĩa.

b) Với phương sai chưa biết

Tiêu chuẩn kiểm định: .

Tra bảng ta được: không bác bỏ coi điện thế

trung bình bằng một cách có ý nghĩa.

Bài 7.2. Khi tiến hành đo độ phóng xạ của một nhóm chất phóng xạ gồm 20

mẫu, người ta thu được kết quả như sau: và Với độ tin cậy là

95%, hỏi độ phóng xạ của nhóm 20 mẫu có thực sự khác với độ phóng xạ trung bình

mẫu chuẩn hay không? Biết rằng độ phóng xạ có phân phối chuẩn.

Hướng dẫn giải

Gọi là giá trị của độ phóng xạ trung bình. Ta cần kiểm định giả thuyết:

Tiêu chuẩn kiểm định: .

Tra bảng ta được: bác bỏ coi độ phóng xạ

của nhóm 20 mẫu khác với độ phóng xạ trung bình mẫu chuẩn với độ tin cậy là 95%.

Ngoài phương pháp kiểm định giả thuyết về trung bình của tổng thể, phương

pháp kiểm định giả thuyết về phương sai của tổng thể cũng được ứng dụng trong các

lĩnh vực Vật lý kỹ thuật. Xét bài toán sau:

Bài 7.3. Theo sổ tay dùng cho các phòng thí nghiệm luyện kim, sai số bình

phương trung bình của phép xác định Crom bằng phương pháp đo điện thế là

đối với hàm lượng Crom là Với nghiên cứu hiện tại, người ta dùng

7 mẫu và thu được hơi cao hơn so với mức chuẩn. Với mức ý nghĩa

hãy xác định xem có sự gia tăng sai số ngẫu nhiên hay không?

Hướng dẫn giải

Gọi là phương sai của các phép đo trong điều kiện hiện tại. Ta cần kiểm định

giả thuyết:

Tiêu chuẩn kiểm định: .

Tra bảng ta được: không bác bỏ

nghĩa là coi độ lệch chuẩn các sai số chưa tăng với mức ý nghĩa

Sau khi thực hiện một thí nghiệm, với bảng dữ liệu thu được từ thực nghiệm,

các nhà Vật lý muốn kiểm tra xem dữ liệu thu được có tuân theo một quy luật phân

phối xác suất nào không. Khi đó, phương pháp kiểm định giả thuyết về quy luật phân

phối xác suất được ứng dụng. Xét các bài toán kiểm định phân phối sau:

Bài 7.4. Một người làm thí nghiệm đo bụi neutrino trong một ngày tại một vùng

trên Trái Đất. Kết quả quan sát số hạt neutrino trong một ngày được cho trong bảng

bên dưới:

Bảng 3.4. Kết quả đo số hạt neutrino trong một ngày

3 4 5 4 6 1 7 4 6 3

4 4 6 5 5 3 2 6 10 3 5 0 3 4 8 3 2 4 5 5

3 2 6 4 7 8 2 5 6 3

1 5 3 7 4 10 4 3 4 1

Giả thuyết rằng dữ liệu trên tuân theo phân bố Poisson. Với mức ý nghĩa 5%,

hãy kiểm định giả thuyết trên.

Hướng dẫn giải

Đối với bài toán này các số liệu đang ở dạng thô, chưa được sắp xếp. Do đó,

trước hết chúng ta cần phải sắp xếp lại chúng và tính các cần số tương ứng.

Khi đó chúng ta có bảng tần số như sau:

Số hạt 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10

Tần số 1 3 4 10 11 8 6 3 2 2

Ta đặt giả thuyết:

dữ liệu có phân phối Poisson;

dữ liệu không có phân phối Poisson.

Đây là bài toán kiểm định quy luật phân phối Poisson chưa biết tham số Với

bài toán này, ta thay tham số bằng

Từ bảng dữ liệu, ta tính được:

Với tham số ta tính các xác suất:

Các kết quả tính toán được trình bày dưới dạng bảng sau:

Số hạt Tần số

0,2025 0,0128 0,640 0 1

0,0166 0,0557 2,785 1 3

0,7087 0,1215 6,075 2 4

0,1564 0,1765 8,825 3 10

0,1980 0,1924 9,620 4 11

0,0181 0,1678 8,390 5 8

0,0015 0,1219 6,095 6 6

0,1665 0,0759 3,795 7 3

0,0024 0,0414 2,070 8 2

0,0510 0,0341 1,705 2

1,5217 Tổng 50

Như vậy,

Với mức ý nghĩa 5%, tra bảng với bậc tự do ta được:

Ta thấy: nên ta không bác bỏ giả thuyết: coi dữ liệu số hạt

neutrino trong một ngày tuân theo phân bố Poisson.

Bài 7.5. Một sinh viên làm thí nghiệm tung một quả bóng lên cao và ghi lại thời

gian kể từ khi ném quả bóng cho đến khi nó đạt độ cao 2 mét. Số liệu thu được trong

bảng 3.5.

Bảng 3.5. Dữ liệu thời gian thời gian ném quả bóng đến độ cao 2 mét

T (s) 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69

N 2 2 11 6 12 8 4 3 2 2 0

Với mức ý nghĩa 5%, hãy kiểm tra xem số liệu sinh viên thu được có tuân theo

phân phối chuẩn hay không?

Hướng dẫn giải

Gọi là thời gian ném quả bóng cho đến khi đạt độ cao 2 mét. Đặt giả thuyết:

có phân phối chuẩn;

không có phân phối chuẩn.

Từ số liệu đã cho ở bảng trên, ta tính được:

Ta chia các giá trị đo thành các miền giá trị:

STT Miền giá trị Số giá trị quan sát

4 1

17 2

20 3

11 4

Tính xác suất trên các khoảng như sau:

Các kết quả tính toán được trình bày dưới dạng bảng sau:

Miền giá trị

8,2524 2,1912 0,1587 4

17,7476 0,0314 0,3413 17

17,7476 0,2859 0,3413 20

8,2524 0,9148 0,1587 11

3,3963 52 Tổng

. Như vậy,

Với mức ý nghĩa 5%, tra bảng với bậc tự do ta được:

Ta thấy: nên ta không bác bỏ giả thuyết: coi số liệu sinh viên

đo được có phân phối chuẩn.

3.8. Chương 8: “Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi quy tuyến tính”.

3.8.1. Nội dung kiến thức

- Phân tích tương quan tuyến tính: định nghĩa, tính chất, hệ số tương quan mẫu;

- Phân tích hồi quy tuyến tính: mô hình hồi quy tuyến tính, ước lượng bình

phương cực tiểu.

3.8.2. Đề xuất cách tiếp cận nội dung chương “Sơ lược về lý thuyết

tương quan và hồi quy tuyến tính”.

Trong nhiều bài toán thực tế, ta thường gặp hai đại lượng ngẫu nhiên có mối

quan hệ với nhau, trong đó có một đại lượng sẽ dễ khảo sát còn đại lượng kia khó

khảo sát hơn. Khi đó ta cần tìm mối liên hệ giữa hai đại lượng ngẫu nhiên để từ đó dự đoán được đại lượng khó khảo sát. Việc phân tích tương quan sẽ giúp chúng ta

đánh giá được mối quan hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng ngẫu nhiên, nếu hệ số tương

quan gần bằng 1 thì mối quan hệ tuyến tính càng chặt, ta có thể sử dụng phương trình

hồi quy tuyến tính để biểu diễn đại lượng khó khảo sát theo đại lượng dễ khảo sát hơn.

Trong các phép đo thực nghiệm, việc nhận biết được quy luật biến đổi của một

đại lượng vật lý khi có sự thay đổi của yếu tố khác là rất quan trọng. Sự biến đổi mang

tính quy luật giúp chúng ta điều chỉnh được các yếu tố ảnh hưởng một cách phù hợp

qua đó sẽ thu được kết quả thực nghiệm như mong muốn. Về mặt toán học, tính quy

luật này được thể hiện ở chỗ, trong một phạm vi nhất định nào đó, đại lượng cần đo

có dạng là một hàm toán học của các yếu tố ảnh hưởng hay nói cách khác nó là một

hàm số dạng trong đó là đại lượng cần đo và là các yếu tố ảnh

hưởng. Trong thực nghiệm, chúng ta không thể tiến hành đo tất cả những giá trị mong

muốn vì hạn chế về mặt thời gian và chi phí đối với một số phép đo. Việc biết được

hàm mô tả quy luật biến đổi này sẽ giúp chúng ta trong việc nội suy tại các giá trị mà

chúng ta quan tâm. Trong giới hạn của chương trình, chúng ta chỉ nghiên cứu phương là các hệ số được xác định bằng với trình hồi quy tuyến tính dạng

phương pháp bình phương tối thiểu.

3.8.3. Xây dựng bài tập chương “Sơ lược về lý thuyết tương quan và hồi

quy tuyến tính”

Dưới đây là một số bài toán điển hình về phương trình hồi quy tuyến tính.

Bài 8.1. Một sinh viên thực hiện thí nghiệm sử dụng một lò xo có chiều dài tự

nhiên . Một đầu của lò xo này được gắn vào một điểm cố định. Đầu còn lại gắn với

các quả nặng có khối lượng khác nhau. Sinh viên tiến hành đo chiều dài của lò

xo tương ứng với các quả nặng có khối lượng khác nhau. Dữ liệu đo của sinh viên

được trình bày trong bảng 3.6.

Bảng 3.6. Chiều dài của lò xo theo khối lượng quả nặng

20 30 40 50 60

10,2 12,1 13,4 16,0 17,7

Giả sử rằng sự phụ thuộc của chiều dài lò xo vào khối lượng của vật nặng là

tuyến tính theo phương trình: . Hãy tìm và (ở đây ). Sai số của

phép đo độ dài đều bằng nhau và bỏ qua sai số của phép đo quả nặng.

Hướng dẫn giải

Dựa vào bảng số liệu của đề, ta xác định được:

Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu tìm các hệ số và của phương

trình hồi quy:

Vậy ta có phương trình: .

Bài 8.2. Phương pháp hồi quy đã được sử dụng để phân tích dữ liệu từ một

nghiên cứu điều tra mối quan hệ giữa nhiệt độ bề mặt đường và độ biến

dạng bề mặt Các số liệu được tóm tắt như sau:

a) Lập phương trình hồi quy của theo

b) Sử dụng phương trình hồi quy vừa tìm được để dự báo độ biến dạng mặt

đường sẽ quan sát được nếu nhiệt độ bề mặt là .

c) Độ biến dạng bề mặt trung bình là bao nhiêu khi nhiệt độ bề mặt là .

Hướng dẫn giải

a) Lập phương trình hồi quy của theo

Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu tìm các hệ số a và b của phương

trình hồi quy:

Vậy phương trình hồi quy của theo là:

b) Dự báo độ biến dạng mặt đường sẽ quan sát được nếu nhiệt độ bề mặt là

Thay giá trị của vào phương trình hồi quy ta được:

c) Độ biến dạng bề mặt trung bình khi nhiệt độ bề mặt là .

Thay giá trị của vào phương trình hồi quy ta được:

Bài 8.3. Động cơ tên lửa được sản xuất bằng cách nạp đồng thời hai loại chất xem như là hàm nổ: kích nổ và duy trì. Lực làm phá hủy liên kết của chất nổ

tuyến tính của tuổi của chất nổ cho đến khi động cơ được phóng. 20 quan sát

được chỉ ra ở bảng 3.7.

a) Lập phương trình hồi quy của theo

b) Ước lượng lực phá hủy liên kết trung bình của động cơ khi chất nổ có 20 tuần

tuổi.

Bảng 3.7. Dữ liệu lực phá hủy chất nổ theo tuổi chất nổ

Lực phá hủy Tuổi Lực phá hủy Tuổi STT STT (psi) (tuần) (tuần) (psi)

1 2158,70 15,50 11 13,00 2165,20

2 1678,15 23,75 12 3,75 2399,55

3 2316,00 8,00 13 25,00 1779,80

4 2061,30 17,00 14 9,75 2336,75

5 2207,50 5,50 15 22,00 1765,30

6 1708,30 19,00 16 18,00 2053,50

7 1784,70 24,00 17 6,00 2414,40

8 2575,00 2,50 18 12,50 2200,50

9 2357,90 7,50 19 2,00 2654,20

10 2256,70 11,00 20 21,50 1753,70

Hướng dẫn giải

a) Lập phương trình hồi quy của theo

Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu tìm các hệ số a và b của phương

trình hồi quy:

Vậy phương trình hồi quy của theo là:

b) Lực phá hủy liên kết trung bình của động cơ khi chất nổ có 20 tuần tuổi.

Thay giá trị của vào phương trình hồi quy ta được:

Bài 8.4. Thủy tinh đóng vai trò then chốt trong những vụ án vì các hoạt động

của tội phạm thường làm cho cửa sổ và các vật dụng thủy tinh khác bị phá hủy. Vì

các mảnh thủy tinh thường lưu lại trên quần áo của tên tội phạm, khả năng nhận ra

những mảnh đó bắt nguồn từ hiện trường hay không có tầm quan trọng lớn. Hai tính

chất vật lý của thủy tinh có ích cho mục tiêu nhận dạng là chỉ số khúc xạ (khá dễ để

đo) và mật độ của nó (khó đo hơn). Tuy nhiên, phép đo mật độ chính xác được hỗ trợ

rất nhiều nếu người ta có ước tính tốt về giá trị này trước khi thiết lập thí nghiệm

trong phòng thí nghiệm cần thiết để xác định chính xác. Do đó, sẽ khá hữu ích nếu

người ta có thể sử dụng chỉ số khúc xạ của các mảnh thủy tinh để ước tính mật độ của

nó. Dữ liệu sau nêu lên mối quan hệ giữa chỉ số khúc xạ với mật độ của 18 mẫu:

Bảng 3.8. Dữ liệu mối quan hệ giữa chỉ số khúc xạ và mật độ thủy tinh

Chỉ số khúc xạ Mật độ Chỉ số khúc xạ Mật độ

1,5139 2,4801 1,5161 2,4843

1,5153 2,4819 1,5165 2,4858

1,5155 2,4791 1,5178 2,4950

1,5155 2,4796 1,5181 2,4922

1,5156 2,4773 1,5191 2,5035

1,5157 2,4811 1,5227 2,5086

1,5158 2,4765 1,5227 2,5117

1,5159 2,4781 1,5232 2,5146

1,5160 2,4909 1,5253 2,5187

Hãy dự báo mật độ của thủy tinh ứng với chỉ số khúc xạ 1,52.

Hướng dẫn giải

Gọi là chỉ số khúc xạ của thủy tinh, là mật độ của thủy tinh.

Ta lập phương trình hồi quy của theo .

Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu tìm các hệ số a và b của phương

trình hồi quy:

. Phương trình hồi quy của theo là:

Thay giá trị của vào phương trình hồi quy ta được:

Vậy mật độ của thủy tinh là 2,4964 ứng với chỉ số khúc xạ là 1,52.

Bài 8.5. Một sinh viên tiến hành thí nghiệm khảo sát chuyển động thẳng nhanh dần đều của một vật có khối lượng m và thu được bảng số liệu mối quan hệ vận tốc – thời gian như sau:

Bảng 3.9. Dữ liệu mối quan hệ giữa thời điểm và vận tốc chuyển động

Thời điểm 0,5 1,2 2,5 3,4 4,2 5,5 6,3 7,5 8,2 9,0 , (s)

6,9 8,3 11,1 13,0 14,7 17,6 19,3 21,9 23,4 25,1 Vận tốc , (m/s)

Mối quan hệ giữa vận tốc – thời gian trong chuyển động thẳng nhanh dần đều là gia là mối quan hệ tuyến tính phụ thuộc theo phương trình: trong đó,

là vận tốc chuyển động của vật đơn vị là

tốc chuyển động của vật đơn vị là m/s2, m/s.

a) Lập phương trình hồi quy xác định vận tốc chuyển động của vật.

b) Sử dụng phương trình hồi quy vừa tìm được để xác định vận tốc chuyển động

của vật tại thời điểm (s).

Hướng dẫn giải

a) Lập phương trình hồi quy xác định vận tốc chuyển động của vật

Sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu tìm các hệ số a và b của phương

trình hồi quy:

Vậy phương trình hồi quy xác định vận tốc chuyển động của vật là:

b) Sử dụng phương trình hồi quy vừa tìm được để xác định vận tốc chuyển động

của vật tại thời điểm (s).

Thay giá trị của vào phương trình hồi quy ta được:

m/s.

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài đã giúp chúng tôi giải quyết được các

vấn đề lý luận và thực tiễn như sau:

- Tổng quan được vai trò và ứng dụng của học phần XSTK trong việc học các

môn chuyên ngành Vật lý và trong nghiên cứu Vật lý.

- Phân tích được những nội dung kiến thức trọng tâm và các chủ đề bài tập XSTK của các giáo trình XSTK trong và ngoài nước để tìm hiểu cách tiếp cận nội

dung lý thuyết và các chủ đề bài tập có liên quan đến Vật lý.

- Dựa trên các nội dung đã phân tích, chúng tôi đã hệ thống hóa nội dung kiến

thức, đề xuất cách tiếp cận nội dung kiến thức liên quan đến lĩnh vực Vật lý cho từng

chương cụ thể và xây dựng 42 bài tập XSTK ứng dụng trong lĩnh vực Vật lý phù hợp với sinh viên khoa Vật lý trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh.

Trong khuôn khổ giới hạn của khóa luận, chúng tôi chưa xây dựng một cách

trọn vẹn hệ thống kiến thức và các chủ đề bài tập XSTK trong lĩnh vực Vật lý. Chúng

tôi dự định tiếp tục nghiên cứu và xây dựng hoàn thiện một quyển giáo trình XSTK

dành cho sinh viên khoa Vật lý trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] Tô Văn Ban. (2010). Xác suất thống kê. Hà Nội: NXB Giáo Dục Việt Nam.

[2] Nguyễn Quang Báu. (2009). Lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Hà

Nội: NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.

[3] Chương trình khung giáo dục đại học ngành Sư phạm Vật lý, trường Đại học

Sư Phạm TP. HCM, năm 2018.

[4] Chương trình khung giáo dục đại học ngành Vật lý học, trường Đại học Sư

Phạm TP. HCM, năm 2018.

[5] Lê Bình Dương. (2019). Dạy học Xác suất thống kê ở các trường đại học

trong quân đội theo hướng tăng cường rèn luyện kỹ năng siêu nhận thức cho học

viên. (Luận án tiến sĩ, Viện Khoa Học Giáo Dục Việt Nam, Hà Nội).

[6] Nguyễn Thị Thu Hà. (2014). Dạy học Xác suất và thống kê theo hướng tăng

cường vận dụng toán học vào thực tiễn cho sinh viên khối Kinh tế, Kỹ Thuật. (Luận

án tiến sĩ, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội).

[7] Phạm Thị Hồng Hạnh. (2016). Dạy học xác suất và thống kê cho sinh viên

ngành kế toán của các trường cao đẳng chuyên nghiệp theo hướng phát triển năng

lực nghề nghiệp. (Luận án tiến sĩ, Viện Khoa Học Giáo Dục Việt Nam, Hà Nội).

[8] Dương Ngọc Hảo. (2011). Giáo trình Xác suất thống kê. TP. HCM: NXB

Đại Học Quốc Gia TP. HCM.

[9] Lê Văn Hoàng. (2016). Bài giảng Cơ học lượng tử. TP. HCM: NXB Đại

Học Sư Phạm TP. HCM.

[10] Ngô Tất Hoạt. (2011). Nâng cao hiệu quả dạy học xác suất thống kê ở trường đại học sư phạm kỹ thuật theo hướng bồi dưỡng một số thành tố năng lực kiến tạo kiến thức cho sinh viên. (Luận án tiến sĩ, Trường Đại Học Vinh).

[11] Đỗ Xuân Hội. (2009). Vật lý thống kê và Nhiệt động lực học thống kê. TP.

HCM: NXB Đại Học Sư Phạm TP. HCM.

[12] Nguyễn Đình Huy (chủ biên), Đậu Thế Cấp, Lê Xuân Đại. (2019). Giáo

trình Xác suất và Thống kê. TP. HCM: NXB Đại Học Quốc Gia TP. HCM.

[13] Phan Thị Ngọc Loan. (2018). Bài giảng phương pháp thực nghiệm Vật lý,

Khoa Vật lý, Trường Đại học Sư phạm TP. HCM.

[14] Nguyễn Chí Long. (2008). Xác suất thống kê và Quá trình ngẫu nhiên. TP.

HCM: NXB Đại Học Quốc Gia TP. HCM.

[15] Nguyễn Hữu Mình. (2001). Bài tập Vật lí lí thuyết tập 2. Hà Nội: NXB Đại

Học Quốc Gia Hà Nội.

[16] Đào Hồng Nam. (2014). Dạy học Xác suất - Thống kê ở trường Đại Học

Y. (Luận án tiến sĩ, Trường Đại học Sư Phạm TP. HCM).

[17] Hoàng Ngọc Nhậm. (2012). Lý thuyết xác suất và thống kê toán. TP. HCM:

NXB Kinh Tế TP. HCM.

[18] Hoàng Đức Tâm. (2019). Phân tích sai số dữ liệu thực nghiệm. TP. HCM:

NXB Đại Học Sư Phạm TP.HCM.

[19] Phan Thị Tình. (2011). Tăng cường vận dụng toán học vào thực tiễn trong

dạy học môn xác suất thống kê và quy hoạch tuyến tính cho sinh viên toán đại học sư phạm. (Luận án tiến sĩ, Viện Khoa Học Giáo Dục Việt Nam, Hà Nội).

[21] Trần Trung, Nguyễn Mạnh Cường. (2015). “Dạy học xác suất thống kê cho

sinh viên ngành kinh tế, kỹ thuật theo hướng gắn với thực tiễn nghề nghiệp sau đào

tạo”. Tạp chí giáo dục, số 362 kì 2 (tháng 7/2015), tr. 39-42.

[22] Nguyễn Cao Văn. (2012). Lý thuyết Xác suất & Thống kê toán. Hà Nội:

NXB Đại học Kinh tế quốc dân.

Tiếng Anh

[23] A. G. Frodesen, O. Skjeggestad. (1979). Probability and Statistics in

Particle Physics. Norway: Universitetsforlaget.

[24] Andy Lawrence. (2019). Probability in Physics: An Introductory Guide.

USA: Springer.

[25] Byron P. Roe. (1997). Probability and Statistics in Experimental Physics.

USA: Springer.

[26] Jay L. Devore. (2012). Probability & Statistics for Engineering and the

Sciences. USA: Richard Stratton.

[27] Ronald E. Walpole, Raymond H. Myers, Sharon L.Myers, Keying E. Ye.

(2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists. London: Pearson Education International.

[28] Simon Širca. (2016). Probability for Physicists. USA: Springer.

Khóa luận tốt nghiệp: Hệ thống hóa lý thuyết và bài tập của môn xác suất thống kê ứng dụng vào giải những bài toán Vật lý

Chủ đề:

Đồ án sư phạm toán

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ

PHAN THANH TRÀ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

HỆ THỐNG HÓA LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP CỦA MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN VẬT LÝ

TP. Hồ Chí Minh, năm 2020

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ

HỆ THỐNG HÓA LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP CỦA MÔN XÁC SUẤT THỐNG KÊ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN VẬT LÝ

TP. Hồ Chí Minh, năm 2020

LỜI CẢM ƠN

DANH MỤC BẢNG BIỂU

DANH MỤC HÌNH ẢNH

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU

CHƯƠNG 1.

NHỮNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU XÁC SUẤT THỐNG KÊ

DÀNH CHO SINH VIÊN NGÀNH VẬT LÝ

CHƯƠNG 2.

PHÂN TÍCH NỘI DUNG KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÀ

NHỮNG CHỦ ĐỀ BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ TRONG CÁC GIÁO TRÌNH

Định nghĩa về xác suất theo quan điểm thống kê

Ứng dụng

Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học

Ví dụ: Một electron chuyển động trong điện trường của hạt nhân chì được mô tả bởi hàm:

Bài 1. Một yếu tố quan trọng trong nhiên liệu của tên lửa rắn là sự phân bố kích thước của các hạt. Một số vấn đề sẽ xảy ra nếu kích thước của hạt quá lớn. Từ

Bài 2. Các phép đo của các hệ thống khoa học luôn có sai số, nhiều hơn các hệ thống khác. Có nhiều cấu trúc cho lỗi đo lường và các nhà thống kê dành rất

CHƯƠNG 3.

HỆ THỐNG HÓA NỘI DUNG LÝ THUYẾT VÀ XÂY DỰNG

BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ỨNG DỤNG GIẢI NHỮNG BÀI TOÁN VẬT LÝ

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tài liệu liên quan

Bài tập lớn Đại số tuyến tính: Phép quay Given

Khóa luận tốt nghiệp đại học ngành Sư phạm Toán: Vận dụng phương pháp quy nạp toán học vào giải một số dạng toán ở trường trung học phổ thông

Khóa luận tốt nghiệp đại học ngành Sư phạm Toán: Vận dụng nguyên lí khởi đầu cực trị và nguyên lí Dirichlet để giải các bài toán thi học sinh giỏi Trung học phổ thông

Khóa luận tốt nghiệp đại học: Thiết kế nhiệm vụ học tập môn Toán cho học sinh lớp 4, 5 theo định hướng tích hợp

Khóa luận tốt nghiệp đại học: Ứng dụng phần mềm Mathematica trong giải bài tập học phần Điện động lực học

Khóa luận tốt nghiệp đại học: Thiết kế bài giảng E–Learning trong dạy học toán chuyển động chương trình môn toán lớp 5

Khóa luận tốt nghiệp đại học: Thiết kế bài toán có lời văn cho học sinh tiểu học trên cơ sở hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Khóa luận tốt nghiệp đại học: Một số dạng toán về số phức trong đề thi THPT quốc gia ở Việt Nam

Khóa luận tốt nghiệp đại học: Phép nghịch đảo và ứng dụng giải các bài toán quỹ tích, dựng hình

Khóa luận tốt nghiệp đại học: Vận dụng lí thuyết kiến tạo trong dạy học môn Toán lớp 4 và lớp 5

Tài liêu mới

Đề cương đồ án tốt nghiệp: Thành lập bản đồ địa chính khu vực xã Mỹ Lạc, huyện Thủ Thừa, tỉnh Long An bằng công nghệ GNSS-RTK

Báo cáo bài tập lớn Vật lý 1: Xác định quĩ đạo của chất điểm khi có phương trình vận tốc

Bài tiểu luận: Hệ thống sản xuất aspirin từ thiết bị vỏ áo hoạt động liên tục cho ra 10kg sản phẩm mỗi giờ

Báo cáo bài tập lớn Vật lý A1: Vẽ quỹ đạo chuyển động ném xiên trong trọng trường bỏ qua lực cản và xác định một vài thông số liên quan

Báo cáo bài tập lớn Vật lý 1: Vẽ quĩ đạo của vật khi có phương trình chuyển động

Báo cáo bài tập lớn: Vẽ quỹ đạo chuyển động ném xiên trong trọng trường bỏ qua lực cản và xác định một vài thông số liên quan

Bài tập lớn: Tính toán thiết bị trao đổi nhiệt gián tiếp loại ống chùm thẳng đứng

Báo cáo bài tập lớn Vật lý A1: Vẽ quỹ đạo chuyển động ném xiên trong trọng trường bỏ qua lực cản và xác định một vài thông số liên quan

Báo cáo bài tập lớn Vật lý 1: Vẽ quĩ đạo của vật khi có phương trình chuyển động

Báo cáo bài tập lớn Vật lý 1: Xác định quỹ đạo của vật bằng hàm Mathlab

Báo cáo bài tập lớn Vật lý 1: Vẽ quỹ đạo của electron trong điện trường tĩnh

Báo cáo bài tập lớn: Vẽ quỹ đạo chuyển động ném xiên trong trọng trường bỏ qua lực cản và xác định một vài thông số liên quan

Khóa luận tốt nghiệp: Nghiên cứu sự vận chuyển phóng xạ từ đất lên thực vật

Khóa luận tốt nghiệp: Bài toán biên dirichlet cho phương trình elliptic cấp 2 dạng bảo toàn trong hình tròn đơn vị

Khóa luận tốt nghiệp: Khảo sát điều kiện tách chiết và hoạt tính sinh học của cao chiết hoa đu đủ đực (Carica papaya L.) từ methanol và acetone

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn