TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
======
NGUYỄN THỊ THANH TÂM
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN CHUYỂN
ĐỘNG TRONG CƠ HỌC LÝ THUYẾT
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
HÀ NỘI, 2018
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
======
NGUYỄN THỊ THANH TÂM
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN CHUYỂN
ĐỘNG TRONG CƠ HỌC LÝ THUYẾT
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Nguyễn Thị Hà Loan
HÀ NỘI, 2018
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô PGS.TS. Nguyễn Thị Hà Loan
đã tận tình hƣớng dẫn, chỉ bảo tạo mọi điều kiện thuận lợi và thƣờng xuyên
động viên để tôi hoàn thành khóa luận này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo của trƣờng Đại học Sƣ Phạm
Hà Nội 2 và các thầy cô trong khoa Vật Lý đã quan tâm và tạo điều kiện
thuận lợi giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn bên cạnh động
viên, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Hà nội, ngày 25 tháng 04 năm 2018
Sinh viên
Nguyễn Thị Thanh Tâm
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng khóa luận tốt nghiệp này hòan tòan do sự nỗ lực của
bản thân cùng với sự hƣớng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Thị Hà Loan và NCS.
Đỗ Thị Thu Thủy, khóa luận này không hề sao chép từ các công trình nghiên
cứu của ngƣời khác. Các dữ liệu thông tin đƣợc sử dụng trong khóa luận là có
nguồn gốc và đƣợc trích dẫn rõ ràng.
Tôi xin chịu hoàn tòan trách nhiệm về lời cam đoan này!
Hà Nội, ngày 25 tháng 04 năm 2018
Sinh viên
Nguyễn Thị Thanh Tâm
MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU ....................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ..................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................... 2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................... 2
4. Đối tƣợng nghiên cứu .............................................................................. 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ......................................................................... 2
PHẦN II: NỘI DUNG ................................................................................. 4
CHƢƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .................................................. 4
1.1. Phƣơng trình chuyển động ................................................................... 4
1.1.1. Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm. ........................ 4
1.1.2. Phƣơng trình chuyển động của hệ chất điểm. ................................ 5
1.2. Định luật bảo toàn xung lƣợng ............................................................. 6
1.3. Định luật bảo toàn moment xung lƣợng ............................................... 9
1.4. Định luật bảo toàn năng lƣợng ........................................................... 14
CHƢƠNG 2 : TÍCH PHÂN CỦA CHUYỂN ĐỘNG ................................ 16
2.1. Toạ độ suy rộng .................................................................................... 16
2.2. Xung lƣợng suy rộng............................................................................ 17
2.3. Hàm Hamilton ...................................................................................... 18
2.4. Các phƣơng trình Hamilton ................................................................. 20
2.5 Dấu ngoặc Poisson. Tích phân của chuyển động. ................................. 21
CHƢƠNG 3. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN CỦA CHUYỂN ĐỘNG ..... 30
3.1.Một số bài toán về tích phân chuyển động của chất điểm .................... 30
3.2. Một số bài toán về tích phân chuyển động của cơ hệ .......................... 33
PHẦN III: KẾT LUẬN ............................................................................... 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................... 37
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Với sự phát triển hiện nay của nhiều ngành khoa học chúng ta có thể dần
khám phá ra những điều bí ẩn tồn tại trong thế giới tự nhiên. Một trong những
ngành khoa học ngày càng phát triển đó là vật lý. Trong ngành vật lý học có
rất nhiều kiến thức chuyên sâu giúp ta lý giải những vấn đề của thế giới mà
các ngành khoa học khác không thể giải thích rõ ràng đƣợc. Một trong những
công cụ chủ yếu của Vật lí học là Vật lí lý thuyết và Vật lí toán.
Sự ra đời của ngành vật lý lý thuyết này đã góp phần nâng cao và khái quát
hóa những định luật vật lý thành những quy luật, những học thuyết hết sức
tống quát, có ý nghĩa to lớn đối với sự phát triển của khoa học, đời sống
và kĩ thuật. Với sự kết hợp những phƣơng pháp toán học hiện đại, phát
triển cao, vật lý lý thuyết còn tìm ra đƣợc những quy luật mới chƣa tìm
đƣợc bằng thực nghiệm và tiên đoán trƣớc những mối quan hệ giữa các
hiện tƣợng vật lý.
Phƣơng pháp toán học giải tích nghiên cứu vật lý đặc biệt là nghiên cứu cơ
học đƣợc gọi là cơ lý thuyết. Cơ lý thuyết là môn khoa học nghiên cứu
quy luật chung nhất về chuyển động của vật thể mà không đề cập đến nguyên
nhân gây ra chuyển động, sự tƣơng tác giữa chúng trong không gian theo thời
gian.
Để học tập tốt hơn phần cơ học lý thuyết cần có hệ thống kiến thức cũng
nhƣ hệ thống bài tập cơ bản. Vì vậy, tôi xin chọn đề tài “Một số bài toán về
1
tích phân chuyển động trong cơ lý thuyết” làm đề tài nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về đại lƣợng bảo toàn trong cơ lý thuyết
Áp dụng để giải một số bài toán về tích phân chuyển động trong cơ học
lý thuyết
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các đại lƣợng động lực trong cơ học lý thuyết
Nghiên cứu quy luật bảo toàn trong cơ lý thuyết
Nghiên cứu một số bài tập về tích phân chuyển động trong cơ lý thuyết.
4. Đối tƣợng nghiên cứu
Nghiên cứu quy luật bảo toàn đối với chất điểm và hệ chất điểm trong
hệ toạ độ suy rộng
Áp dụng giải một số bài tập
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phƣơng pháp nghiên cứu trong cơ học
Phƣơng pháp giải tích toán học
PHẦN II: NỘI DUNG
Chƣơng 1: Các khái niệm cơ bản
1.1 Phƣơng trình chuyển động
1.1.1. Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm
1.1.2. Phƣơng trình chuyển động của hệ chất điểm
1.2 Định luật bảo toàn xung lƣợng
1.3 Định luật bảo toàn Moment xung lƣợng
2
1.4 Định luật bảo toàn năng lƣợng
Chƣơng 2: Tích phân của chuyển động
2.1 Toạ độ suy rộng
2.2 Xung lƣợng suy rộng
2.3 Hàm Hamilton
2.4 Các phƣơng trình Hamilton
2.5 Dấu ngoặc Poisson. Tích phân của chuyển động
Chƣơng 3: Một số bài toán về tích phân của chuyển động
3.1 Một số bài toán về tích phân chuyển động của chất điểm
3.2 Một số bài toán về tích phân chuyển động của cơ hệ
3
PHẦN III: KẾT LUẬN
PHẦN II: NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1. Phƣơng trình chuyển động
1.1.1. Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm.
Khảo sát chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu quán tính . Theo
tiên đề độc lập tác dụng, chất điểm có khối lƣợng m sẽ chuyển động với gia
tốc ⃗⃗ thỏa mãn phƣơng trình
⃗⃗ (1.1)
Trong đó ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ . Tùy theo những điều kiện cụ thể của bài toán, ta có thể chọn các hệ toạ độ khác nhau và viết phƣơng trình(1.1) trong
hệ toạ độ đã chọn để sao cho giải bài toán là đơn giản nhất.
Trong trƣờng hợp tổng quát ta chọn hệ toạ độ Descartess và chiếu
phƣơng trình (1.1) lên các trục của hệ toạ độ đã chọn với chú ý rằng:
z
̈ ̈ ̈
𝐹
M
Ta đƣợc phƣơng trình vô hƣớng:
O
̈ (1.2.a)
y
̈ (1.2.b)
x
Hình 1.1
̈ (1.2.c)
gọi là hệ phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm trong hệ toạ độ
Descartes.
Trong nhiều trƣờng hợp ta biết trƣớc quỹ đạo chuyển động của chất điểm,
do đó ta có thể xây dựng đƣợc hệ toạ độ tự nhiên ⃗ ⃗ , tại mỗi điểm trên
đƣờng cong. Trong các trƣờng hợp đó ta thƣờng chọn các hệ toạ độ tự nhiên
4
để viết các phƣơng trình hình chiếu của phƣơng trình (1.1) với chú ý rằng:
⃗⃗ ̈ ⃗
M
𝜏 ta đƣợc:
𝑏⃗
̈ (1.3.a)
𝑛⃗ (1.3.b) Hình 1.2
(1.3.c)
Hệ phƣơng trình vừa viết gọi là hệ phương trình vi phân chuyển động của
chất điểm dưới dạng tự nhiên.
Trong các chuyển động phẳng ta còn dùng các hệ toạ độ cực để viết
các phƣơng tình hình chiếu. Chú ý rằng:
𝑒 𝜑
⃗⃗ ̇ ̇ ̈ ̇ ̇
Ta nhận đƣợc các phƣơng trình hình chiếu của(1.1) ̇ ̇ (1.4.a) ̈ ̇ ̇ , (1.4.b) 𝑒 𝑟
O 𝜑
Hệ phƣơng trình vi phân vừa thu đƣợc
gọi là hệ phương trình vi phân chuyển
động của chất điểm dưới dạng toạ độ cực.
Hình 1.3 Nói chung, tuỳ theo các bài toán cụ thể ta còn có
thể sử dụng các hệ toạ độ khác để viết các phƣơng
trình vi phân chuyển động của chất điểm nhƣ hệ
toạ độ cầu, hệ toạ độ trụ, v.v…
1.1.2. Phƣơng trình chuyển động của hệ chất điểm.
Hệ chất điểm
5
- Là tập hợp các vật thể mà mỗi vật thể đƣợc xem nhƣ là một chất điểm
Nội lực
- Là lực do các chất điểm của hệ tƣơng tác với nhau
- Kí hiệu: là nội lực do chất điểm tác dụng lên chất điểm ;
là nội lực do (N – 1)chất điểm còn lại trong hệ tác dụng lên chất điểm
Ngoại lực
- Là lực do các vật thể bên ngoài tác dụng lên chất điểm của hệ
- Kí hiệu: là ngoại lực tác dụng lên chất điểm của hệ
Phƣơng trình chuyển động của hệ chất điểm
- Xét chuyển động của hệ gồm N chất điểm đối với hệ quy chiếu quán
tính, khi ấy chuyển động của hệ đối với hệ quy chiếu quán tính đó đƣợc xác
định bởi N phƣơng trình vi phân hạng hai sau đây:
(k =1, 2, 3, …, N)
⃗⃗ (k =1, 2, 3, …, N) (1.2)
Hay
Trong đó: là khối lƣợng của chất điểm thứ k
⃗⃗ là gia tốc của chất điểm thứ k
1.2. Định luật bảo toàn xung lƣợng
Định luật bảo toàn xung lƣợng liên quan chặt chẽ với tính đồng nhất của
không gian.
Do tính đồng nhất của không gian, các tính chất cơ học của hệ kín không
thay đổi đối với sự dịch chuyển song song bất kì của cả hệ trong không gian.
Tƣơng ứng với nhận xét trên chúng ta sẽ xem xét một sự dịch chuyển song
song vô cùng nhỏ đi một đoạn và yêu cầu sao cho hàm Lagrange không thay
6
đổi
Sự dịch chuyển song song có nghĩa là pháp biến đổi trong đó tất cả các
điểm của hệ đã dịch chuyển đi cùng một đoạn, có nghĩa là các vector bán kính
của chúng . Sự thay đổi của hàm Lagrange trong kết quả của sự
dịch chuyển song song đi một đoạn vô cùng nhỏ, khi vận tốc của các hạt
không đổi sẽ là:
(1.2.1) ∑ ∑
Ở đây tổng đƣợc lấy theo tất cả số hạt của hệ.
Vì đƣợc chọn tùy ý cho nên yêu cầu tƣơng đƣơng với yêu cầu
(1.2.2) ∑
Từ phƣơng trình chuyển động Lagrange và điều kiện trên ta sẽ nhận đƣợc:
⃗
(1.2.3) ∑ ∑ ⃗
Nhƣ vậy chúng tá đi đến kết luận là đối với hệ cơ học kín đại lƣợng vector.
(1.2.4) ∑ ⃗
Không thay đổi trong quá trình chuyển động. Vector ⃗ đƣợc gọi là xung
lƣợng của hệ. Thay hàm Lagrange ∑ vào
biểu thức (1.2.4) trên ta có:
(1.2.5) ∑ ∑
Tính chất cộng tính của xung lƣợng đƣợc thể hiên qua công thức trên một
cách rõ rệt. Khác với năng lƣợng, xung lƣợng của hệ bằng tổng các xung
7
lƣợng của từng hạt của hệ.
Định luật bảo toàn tất cả ba thành phần của véc tơ xung lƣợng chỉ xảy ra
trong trƣờng hợp không có trƣờng ngoài. Tuy nhiên từng thành phần của
vector xung lƣợng có thể bảo toàn khi tồn tại trƣờng ngoài có thế năng không
phụ thuộc vào các toạ độ Descartes. Khi dịch chuyển dọc theo trục toạ độ
tƣơng ứng nào đó hiển nhiên là các tính chất cơ học của hệ sẽ không thay đổi
và cũng bằng lí luận nhƣ trên chúng ta sẽ thấy rằng hình chiếu của xung lƣợng
lên trục đó bảo toàn. Nhƣ vậy trong trƣờng đồng nhất hƣớng dọc theo trục z,
thì các thành phần xung lƣợng dọc theo trục x, y đƣợc bảo toàn.
Đẳng thức (1.2.2) có ý nghĩa vật lí đơn giản nhƣ sau:
∑ ∑ (1.2.6) ∑
Tổng các lực tác động lên tất cả các hạt của hệ kín bằng không.
Trong trƣờng hợp riêng khi hệ kín tạo bởi hai hạt thì
(1.2.7)
∑
Từ (1.2.7) ta thấy lực tác động lên hạt thứ nhất từ phía hạt thứ hai bằng vền
giá trị nhƣng ngƣợc hƣớng với lực tác động lên hạt thứ hai từ phía hạt thứ
nhất. Đó chính là định luật cân bằng tác động lực và phản lực ( định luật thứ
ba Newton).
Nếu chuyển động của hệ đƣợc mô tả bởi các toạ độ suy rộng qi thì các đại
lƣợng :
̇
đƣợc gọi là các xung lƣợng suy rộng
đƣợc gọi là lực suy rộng
8
Trong kí hiệu đó thì phƣơng trình chuyển động Lagrange có dạng:
̇
1.3. Định luật bảo toàn moment xung lƣợng
Bây giờ chúng ta xem xét định luật bảo toàn khác có nguồn gốc liên quan
với tính chất đẳng hƣớng của không gian.
Tính chất đẳng hƣớng của không gian có nghĩa là các tính chất cơ học của
hệ kín sẽ không đổi khi ta quay hệ nhƣ một thể thống nhất trong không gian.
Tƣơng ứng với điều vừa nêu ra, ta xem xét một phép quay vô cùng nhỏ của
cả hệ và yêu cầu hàm Lagrange của hệ không đổi ( .
Ta đƣa vào khái niệm vector yếu tố góc quay vô cùng nhỏ ⃗ , nó là vector
hƣớng theo trục quay và có giá trị bằng góc quay ( sao cho chiều quay ứng
với quy tắc đinh vít đối với chiều của ⃗ ).
Trƣớc hết ta tính xem trong phép quay đó số gia của bán kính bằng bao
nhiêu; vector bán kính này vẽ từ gốc toạ độ chung( nằm trên trục quay ) đến
một chất điểm nào đó thuộc hệ cơ học quay.
(1.3.1) | |
Hƣớng của vector vuông góc với mặt phẳng chứa các vector và ⃗ ,
do vậy ta có:
(1.3.2) [ ⃗ ]
Số gia vận tốc của chất điểm tƣơng đối với hệ toạ độ bất động sẽ là:
(1.3.3) [ ⃗ ]
Thay các biểu thức đó vào điều kiện bất biến của hàm Lagrange trong phép
quay ta có:
⃗
𝛿𝜑
𝛿𝜑⃗
𝛿𝑟
𝜃
𝑟
O
9
∑ ( )
⃗
(1.3.4) ∑ ( [ ⃗ ] [ ⃗ ])
và
⃗
Thay ̇ vào biểu thức trên ta có:
[ ⃗ ] [ ⃗ ])
(1.3.5) ∑ ( ̇
Làm phép giao hoán đối với tích hỗn hợp ta sẽ thu đƣợc:
]
] [ ])
∑ ⃗ [ ̇ ∑ ⃗ [ ] ⃗ ∑ ([ ̇
(1.3.6)
⃗ ∑ [ ]
a Vì vector yếu tố góc ⃗ đƣợc chọn tùy ý nên ta có:
(1.3.7) ∑ [ ]
Nhƣ vậy, ta đi đến kết luận là trong quá trình chuyển động của một hệ kín,
đại lƣợng:
(1.3.8) ⃗⃗ ∑ [ ]
đƣợc bảo toàn. Đại lƣợng đó đƣợc gọi là moment xung lƣợng ( đơn giản
còn gọi là moment quay hay moment góc) của hệ cơ học. Từ công thức
(1.3.8) ta nhận thấy moment xung lƣợng có tính chất cộng tính và cũng nhƣ
xung lƣợng. tính chất đó không phụ thuộc và việc các hạt có tƣơng tác với
nhau hay không .
Nhƣ vậy đối với hệ cơ học độc lập kín có bảy tích phân chuyển động đó là
năng lƣợng , ba thành phần của vector xung lƣợng và ba thành phần của
10
moment xung lƣợng.
Vì trong định nghĩa của moment xung lƣợng có chứa vector bán kính của
hạt nên nói chung giá trị của moment xung lƣợng phụ thuộc vào sự lựa chọn
gốc toạ độ.
Nếu và là các vector bán kính của cùng một điểm tƣơng đối với các
gốc toạ độ, cách nhau một khoảng thì các vector đó liên hệ với nhau bởi
biểu thức
và khi đó ta có :
⃗⃗ ∑ [ ] ∑ [( ) ]
] (1.3.9) ∑ [ ] [ ∑
Hay
⃗⃗ ⃗⃗ [ ⃗ ] (1.3.10)
. Ở đó ⃗ ∑
Từ công thức (1.3.10) ta thấy chỉ trong trƣờng hợp hệ nhƣ một vât thể đứng
yên ( có nghĩa ⃗ ) thì moment xung lƣợng của hệ mới không phụ thuộc
vào việc chọn gốc toạ độ.
Bây giờ chúng ta đi xét mối quan hệ của moment xung lƣợng đối với hai hệ
quy chiếu quán tính khác nhau K và K’. Giả sử K’ chuyển động tƣơng đối với
hệ quy chiếu quán tính K với vận tốc không đổi ⃗ và các gốc toạ độ của K và
K’ ở một thời điểm cho trƣớc nào đó trùng nhau. Ở thời điểm này các vector
bán kính của hạt ở trong hai hệ quy chiếu là nhƣ nhau , còn vận tốc của chúng
thì liên hệ với nhau theo biểu thức:
11
⃗ (1.3.11)
Nhƣ vậy ta có:
⃗⃗ ∑ [ ]
∑ [ ( ⃗ )]
∑ [ ] ∑ [ ⃗ ]
⃗⃗ ∑ [ ⃗ ]
Hay ⃗⃗ ⃗⃗ [ ⃗ ⃗ ] (1.3.12)
Ở đó ⃗ là vectơ bán kính của tâm quán tính của hệ.
Công thức trên xác định quy luật biến đổi của moment xung lƣợng khi
chuyển từ hệ quy chiếu quán tính này sang hệ quy chiếu quán tính khác.
Nếu hệ là hệ quy chiếu quán tính mà tƣợng đối với nó hệ cơ học bất
động nhƣ một vật thể thống nhất thì khi đó ⃗ ⃗ chính là xung lƣợng của
hệ cơ học nhƣ một vật thể thống nhất tƣơng đối với hệ quy chiếu quán tinh K
và:
⃗⃗ ⃗⃗ [ ⃗ ⃗ ] (1.3.13)
Nói cách khác , moment xung lƣợng của hệ cơ học bằng tổng của moment
riêng của hệ cơ học ⃗⃗ tƣơng đối với hệ quy chiếu trong đó hệ cơ học bất
động tuyến tính và moment [ ⃗ ⃗ ] liên quan với sự chuyển động của hệ nhƣ
một vật thể thống nhất.
Mặc dầu định luật bảo toàn ba thành phần của vector moment xung lƣợng (
đối với điểm gốc toạ độ tùy ý) chỉ đúng với hệ kín, nhƣng cả trƣờng hợp khi
hệ cơ học nằm ở trƣờng ngoài, định luật bảo toàn moment vẫn có thể dúng
12
trong một dạng hẹp hơn. Từ những suy luận ở trên ta thấy hình chiếu của
moment trên trục đối xứng của trƣờng ngoài luôn đƣợc bảo toàn. Vì rằng
những tính chất cơ học của hệ không thay đổi khi quay hệ với một góc tùy ý
xung quanh trục đó, dĩ nhiên moment ở đây phải đƣợc xác định đối với điểm
(gốc toạ độ) nằm trên trục đối xứng của trƣờng ngoài.
Trƣờng hợp quan trọng nhất về loại trƣờng đó là trƣơng đối xứng xuyên
tâm, có nghĩa là trƣờng có thế năng chỉ phụ thuộc vào khoảng cách đến một
điểm nào đó xác định trong không gian ( tâm của trƣờng). Dĩ nhiên nếu cơ
học chuyển động trong một trƣờng nhƣ vậy thì hình chiếu của momnen trên
mọi trục đi qua tâm của trƣờng đều đƣợc bảo toàn. Nói ⃗⃗ đƣợc bảo toàn
nhƣng ở đây, ⃗⃗ xác định không phải đối với bất kì điểm nào trong không
gian, mà phải đối với tâm của trƣờng.
Một ví dụ khác: trƣờng đồng nhất dọc theo trục z trong đó hình chiếu M
đƣợc bảo toàn, ở đây gốc toạ độ có thể lấy tùy ý.
Ta nhận thấy rằng hình chiếu của moment trên trên trục z có thể tính bằng
cách lấy đạo hàm hàm số Lagrange theo công thức :
(1.3.14) ∑ ̇
Với toạ độ là góc quay quanh trục z.
Đúng vậy, trong toạ độ trụ ta có ; và
∑ ̇ ̇
̇
(1.3.15) ∑
Mặt khác, hàm Lagrange trong toạ độ trụ của hệ có dạng
̇ ̇
13
∑
Và nếu thay biểu thức này vào công thức (1.3.14) ta đƣợc ngay biểu thức
(1.3.15
1.4. Định luật bảo toàn năng lƣợng
Khi chuyển động, các đại lƣợng qi, ̇ i(i = 1,2,….,s) xác định trạng thái của
hệ cơ học sẽ thay đổi theo thời gian. Tuy nhiên vẫn tồn tại các hàm của qi và
̇ i có giá trị không đổi khi hệ chuyển động và chỉ phụ thuộc vào điều kiện ban
đầu. các hàm đó đƣợc gọi là các tích phân chuyển động.
Tìm tất cả các tích phân chuyển động đối với một hệ cơ học tùy ý là rất phức
tạp và trong một số ít trƣờng hợp có thể đạt đƣợc dƣới dạng giải tích.
Mặt khác, không phải tất cả tích phân chuyển động có vai trò quan trọng nhƣ
nhau trong cơ học. Giữa chúng có vài đại lƣợng mà sự bảo toàn của chúng có
nguồn gốc sâu xa liên quan đến các tính chất cơ bản của không gian và thời
gian- tính chất đồng nhất và đẳng hƣớng của không gian và thời gian.
Chúng ta bắt đầu xem xét tích phân chuyển động thứ nhất, đó là năng lƣợng.
Định luật bảo toàn năng lƣợng liên quan mật thiết với tính đồng nhất của thời
gian.
Do tính chất đồng nhất của thời gian, hàm Lagrange của hệ kín không phụ
thuộc tƣờng minh vào thời gian ( có nghĩa là = 0 ) và ta có thể viết đạo hàm
toàn phần theo thời gian của hàm Lagrange của hệ cơ học kín nhƣ sau:
(1.4.1) ̇ ̇ ∑ ∑ ̇
̇
Từ các phƣơng trình Lagrange = 0
Với i = 1,2,….s, ta suy ra:
̇
(1.4.2)
14
Thay (1.4.2) vào (1.4.1) ta có:
( ̇
( ̇
(1.4.3) ) ̇ ̈ ∑ ̇ ) ∑ ∑ ̇
̇
Hay là + , tức là : *∑ ̇
̇
(1.4.4) + đại lƣợng *∑ ̇
trong quá trình chuyển động của hệ cơ học kín.
Đại lƣợng E không đổi đó đƣợc gọi là năng lƣợng của hệ cơ học.
Tính chất cộng tính của năng lƣợng đƣợc trực tiếp suy ra từ tính chất cộng
tính của hàm Lagrange.
Định luật bảo toàn năng lƣợng đúng không chỉ riêng cho hệ kín mà còn đúng
cho các hệ nằm trong trƣờng ngoài không đổi ( trƣờng ngoài không phụ thuộc
vào thời gian).
Ta đã biết hàm Lagrange của hệ cơ học kín có các hạt tƣơng tác lẫn nhau
nhƣng không tƣơng tác với các hạt bên ngoài là
∑ (1.4.5)
Thay (1.4.5) vào (1.4.4) ta có :
∑ (1.4.6)
Số hạng đầu của (1.4.6) ∑ đƣợc gọi là động năng còn số hạng thứ
hai đƣợc gọi là thế năng của hệ.
15
Năng lƣợng của hệ E bằng tổng của động năng T và thế năng U của hệ.
CHƢƠNG 2 : TÍCH PHÂN CỦA CHUYỂN ĐỘNG
2.1. Toạ độ suy rộng
Để đơn giản, ta khảo sát cơ hệ Hôlônôm gồm N chất điểm Mi(i=1,2,…,N)
với liên kết đƣợc đặt lên nó đƣợc biểu diễn bằng n phƣơng trình
(2.1.1) ( )
Nếu n phƣơng trình liên kết này là độc lập thì trong số 3N toạ độ Descartes
có toạ độ độc lập. Vậy muốn xác định
đơn giá vị trí cần phải xác định S thông số độc lập. Ta kí hiệu S thông số độc
lập là . Những thông số độc lập cần thiết để
xác định đơn giá vị trí của cơ hệ đƣợc gọi là những toạ độ suy rộng. Số toạ độ
suy rộng đủ để xác định vị trí của cơ hệ đúng bằng số bậc tự do của cơ hệ
Giữa toạ độ suy rộng và các bán kính vectơ
có mối liên hệ đƣợc biểu diễn bới các phƣơng trình sau :
(2.1.2)
hay
y
Ví dụ : xét chuyển động của một chất điểm trên đƣờng tròn bán kính R.
Đƣờng tròn là liên kết đặt lên chất điểm
x
M
R
𝜑
đƣợc biểu diễn bằng phƣơng trình liên kết :
O x
16
Hình 2.1
Số toạ độ độc lập là một ta có thể chọn x
hoặc y, hoặc góc làm toạ độ suy rộng thì ta
có :
Nói chung với một bài toán cơ học nhất định có nhiều cách chọn toạ độ suy
rộng khác nhau. Tùy theo tính chất của bài toán mà ta cần chọn hệ toạ độ suy
rộng thích hợp để giải bài toán đƣợc thuận lợi hơn. Ví dụ bài toán có đối xứng
cầu thì chọn hệ toạ độ suy rộng là hệ toạ độ cầu là đơn giản hơn cả.
2.2. Xung lƣợng suy rộng
Hàm Lagrange L có thể viết dƣới dạng :
(2.2.1) ( ̇ ) ∑
̇
(2.2.2) Đại lƣợng : ⃗ ̇
gọi là xung lƣợng của chất điểm Mi. Trƣờng hợp tổng quát thì
̇
(2.2.3)
đƣợc gọi là xung lƣợng suy rộng.
Thế năng U không phụ thuộc vào ̇ nên biểu thức của Pk
có thể viết :
∑ ̇
̇
̇
17
(2.2.4)
2.3. Hàm Hamilton
Hàm Lagrange L là hàm của toạ độ suy rộng qk, vận tốc suy rộng ̇
và thời gian t. Vi phân toàn phần hà L cho ta :
(
̇
(2.3.1) ∑ ̇ )
̇
̇
Vì và ̇
Nên ta có thể viết biểu thức dƣới dạng :
∑ ( ̇ ̇ )
∑ [ ̇ ̇ ̇ ]
∑ (2.3.2) ̇ ∑ ( ̇ ̇ )
Hàm ∑ biểu diễn qua các biến số qk, Pk (k=1,2,..,S) và ta gọi ̇
là hàm Hamilton H :
(2.3.3) ∑ ̇
Chia hai vế của phƣơng trình (2.3.2) cho dt và chú ý rằng ̇
̇ ta thu đƣợc :
(2.3.4)
Nếu liên kết đặt lên cơ hệ là dừng thì và do đó hàm Lagrange
không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian, nghĩa là . Khi đó ta thu
18
đƣợc định luật bảo toàn đại lƣợng H :
(2.3.5) hay ∑ ̇
Ta hãy chứng minh hàm Hamilton H trong trƣờng hợp này trùng với năng
lƣợng toàn phần của hệ.
Đối với liên kết dừng ta có:
∑ ∑
∑ ̇
̇ ̇
∑ ∑ ̇ ∑ ̇ ̇
(2.3.6) Vậy: ∑ ̇
Động năng của cơ hệ có thể biểu diễn qua
⃗
⃗⃗⃗⃗ ∑
∑
(2.3.7)
Hàm Hamilton hay còn gọi tắt là Hamiltonien của cơ hệ trƣờng hợp này có
dạng:
⃗⃗⃗⃗⃗
19
∑ (2.3.8)
2.4. Các phƣơng trình Hamilton
Theo phƣơng trình (2.3.2) biểu thức vi phân toàn phần của hàm Hamilton
H bằng:
(2.4.1) ∑ ( ̇ ̇ )
Mặt khác nên biểu thức vi phân của H có thể viết:
(
(2.4.2) ∑ )
So sánh (2.4.1) và (2.4.2) ta nhận đƣợc hệ phƣơng trình:
(2.4.3) ̇ ̇
Gọi là các phƣơng trình Hamilton và hệ thức
(2.4.4)
Chia hai vế của phƣơng trình (2.4.2) cho dt và chú ý hệ phƣơng trình
(2.4.3) ta thu đƣợc:
(2.4.5)
Nếu H không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian nghĩa là thì H là
đại lƣợng đƣợc bảo toàn.
20
Giải hệ 2S phƣơng trình vi phân hạng nhất (2.4.3) ta nhận đƣợc:
Trong đó là những tích phân của chuyển động.
Để tìm quy luật chuyển động của cơ hệ ta có thể dùng S phƣơng trình
Lagrange loại hai hay 2S phƣơng trình Hamilton. Nếu định luật chuyển động
của cơ hệ đƣợc mô tả bởi những phƣơng trình Lagrange thì trạng thái của hệ
đƣợc xác định bởi tập hợp những toạ độ suy rộng và vận tốc suy rộng ̇ . Nếu chuyển động của cơ hệ đƣợc mô tả bằng
2S phƣơng trình Hamilton thì trạng thái của cơ hệ đƣợc xác định bởi và
. Những biến số ̇ và ta gọi là những
biến số Lagrange và những biến số ta gọi là những biến số Hamilton
2.5 Dấu ngoặc Poisson. Tích phân của chuyển động.
Những đại lƣợng Vật lý có thể coi là hàm của toạ độ suy rộng và vận tốc
suy rộng ̇ . Nếu dùng biến số là toạ độ suy rộng và xung lƣợng suy rộng
thì sự thay đổi theo thời gian của đại lƣợng đƣợc xác định bởi hàm:
(
∑ ̇ ̇ )
(
∑ )
(2.5.1)
Ta đƣa vào kí hiệu
(
(2.5.2) { } ∑ )
21
Gọi là dấu ngoặc Poisson. Khi đó phƣơng trình (2.5.1) có thể viết lại :
{ }
(2.5.3)
Đại lƣợng f không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian có nghĩa là
ta nhận đƣợc :
{ }
(2.5.4)
Đại lƣợng f không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian v đƣợc bảo toàn
khi : { }
Vì { } nên khi thì đƣợc gọi là tích phân của chuyển động
của phƣơng trình Hamilton
Trong trƣờng hợp tổng quát, khi :
(2.5.5) { }
Ta nhận đƣợc định luật bảo toàn của đại lƣợng . Gọi
là tích phân của chuyển động của những phƣơng trình Hamilton
̇ ̇
Nếu là những tích phân của chuyển động thì một hàm tùy ý của những tích phân chuyển động cũng là một tích phân của chuyển động. Vì vậy sau này ta chỉ chú ý tới những tích phân của chuyển
22
động độc lập.
Nếu biết 2S tích phân độc lập :
(2.5.6)
Thì giải 2S phƣơng trình này đối với và ta nhận đƣợc phƣơng trình
chuyển động của cơ hệ.
(2.5.7)
2s)
Nếu biết 2S tích phân của chuyển động độc lập thì ta biết đầy đủ về chuyển
động của cơ hệ. Nếu biết m tích phân của chuyển động thì ta chỉ
biết một phần chuyển động của cơ hệ. Nếu m càng lớn thì sự hiểu biết của ta
về cơ hệ càng nhiều. Vì vậy ta luôn chú trọng tìm số tích phân của chuyển
động độc lập lớn nhất
Nếu biết hai tích phân của chuyển động ta có thể tìm đƣợc một tích phân
của chuyển động mới nhờ những tính chất của dấu ngoặc Poisson
Những tính chất của dấu ngoặc Poisson:
1. Nếu hoán vị f cho g thì dấu ngoặc Poisson đổi dấu
(2.5.8) { } { }
2. Nếu một trong hai đại lƣợng là những hằng số( chẳng hạn g = C) thì
dấu ngoặc Poisson bằng không
23
(2.5.9) { }
(2.5.10) 3. Nếu có đại lƣợng thì { } { } { } { }
4. Nếu thì { } { } { } { } (2.5.11) 5. Đạo hàm riêng của dấu ngoặc Poisson
(2.5.12) { } , - , -
6. Giữa các dấu ngoặc Poisson ta có hằng đẳng thức
{ { }} { { }} { { }} (2.5.13)
Các tính chất của dấu ngoặc Poisson đƣợc suy trực tiếp từ định nghĩa về
dấu ngoặc Poisson
Tuy nhiên đối với hằng đẳng thức (2.5.13) việc tính trực tiếp nhƣ vậy rất
phức tạp. Để giảm nhẹ phần khó này ta chú ý rằng khi khai triển vế trái của
đẳng thức (2.5.13) thì mỗi số hạng bất kì của nó sẽ tỉ lệ với đạo hàm bậc 2 của
một trong 3 hàm . Nếu ta chứng minh đƣợc rằng vế trái của đẳng thức
không chƣa một đạo hàm bậc hai nào thì điều ấy có nghĩa là các số hạng chứa
đạo hàm bậc hai trong vế trái của đẳng thức (2.5.13) khử lẫn nhau và nhƣ vậy
vế trái của đẳng thức (2.5.13) đồng nhất bằng không. Vậy để chứng minh
đẳng thức (2.5.13) ta chỉ cần chứng minh vé trái của (2.5.13) không chứa các
đạo hàm bậc hai của hàm
Vì dấu ngoặc Poisson { { }} không chứa đạo hàm bậc hai của do đó
để chứng minh vế trái của (2.5.13) không chứa đạo hàm bậc hai của chỉ cần
chứng minh tổng các dấu ngoặc Poisson
{ { }} { { }} { { }} { { }} không chứa đạo hàm bậc
24
hai của là đủ.
Để tiện chứng minh ta đăt:
Khi đó 2S biến số đƣợc thay bằn 2S biến số
và dấu ngoặc Poisson { } có thể viết:
) ∑
(
{ } ∑ (2.5.14)
Trong đó:
(2.5.15)
(2.5.16) Và ∑
Là toán tử vi phân tuyến tính
Tƣơng tự dấu ngoặc Poisson { } có thể viết :
{ } ∑
Trong đó và toán tử đƣợc nhận từ (2.5.15) và (2.5.16) bằng cách thay
hàm cho hàm
Dễ dàng thấy rằng :
{ { }} { { }}
25
{ { }} { { }}
Và
{ { }} { { }} { { }} { { }}
∑ * (
)+ ) (
∑ ∑
)+ ) * ( (
∑ ∑
+ *
Chú ý rằng:
Và khi thay chỉ số tổng i cho k thì tổng ∑ ∑ Chuyển
thành tổng ∑ ∑
∑ ∑
Vậy ∑ ∑
Từ đó suy ra
+ { { }} { { }} ∑ ∑ *
(2.5.17)
Hệ thức (2.5.17) chỉ rằng tổng { { }} { { }} không chứa đạo hàm
bậc hai của hàm .
Vì đƣa vào vế trái của đẳng thức (2.5.13) là đối xứng nên bằng cách
26
lập luận tự suy ra vế trái của (2.5.13) không chứa
Vậy vế trái của đẳng thức (2.5.13) không chứa một đạo hàm bậc hai nào
của hàm và đẳng thức (2.5.13) đƣợc chứng minh.
7. Tính chất quan trọng nhất của dấu ngoặc Poisson là nếu và là hai
tích phân của chuyển động thì { } cũng là một tích phân của chuyển động
Ta chứng minh tính chất này
Đặt { }
{ }
Ta có { }
Hay: { } {{ } }
, - , - { { }} (2.5.18)
Dùng đẳng thức (2.5.13) ta thu đƣợc
{ { }} { { }} { { }}
{ { }} {{ } } (2.5.19)
Đặt (2.5.19) vào (2.5.18) cho ta:
{ } { } {{ } } { } { { }}
,( { }) - , ( { })-
, - , - (2.5.20)
Nếu là những tích phân của chuyển động ( ) thì { }
27
cũng là tích phân chuyển động. Nhƣ vậy nếu biết hai tích phân của chuyển
động và thì ta có thể tìm đƣợc tích phân của chuyển động thứ ba { }.
Nhờ tính chất này ta có thể tìm đƣợc số tích phân của chuyển động lớn nhất.
Ta xét vài ví dụ về dấu ngoặc Poisson
Ví dụ 2.1. Tính các dấu ngoặc Poisson :
{ } { } { }
Theo định nghĩa (2.5.2):
) ta có : { } ∑ (
) { } ∑ (
) { } ∑ (
Vì và là những biến số độc lập nên ta có:
Trong đó:
- ,
28
Từ đó suy ra: { } { } ; { }
Ví dụ 2.2. Xung lƣợng và moment xung lƣợng của chất điểm trong toạ độ
Descartes:
̇ ̇ ̇
Hãy thiết lập các dấu ngoặc Poisson
{ } { } { }
Dựa vào định nghĩa (2.5.2) dễ dàng thấy rằng:
{ }
{ }
{ }
Hoán vị vòng quanh các chữ nhận đƣợc các hệ thức tƣơng tự
{ } , { }
{ } , { }
29
{ } , { }
CHƢƠNG 3. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN CỦA CHUYỂN ĐỘNG
3.1.Một số bài toán về tích phân chuyển động của chất điểm
Bài tập 1: Hãy chứng minh rằng xung lƣợng của một chất điểm cô lập là
tích phân của chuyển động.
Bài giải:
Xung lƣợng của một chất điểm cô lập:
Đạo hàm toàn phần của xung lƣợng theo thời gian t: { }
là toán tử Hamilton của chất điểm:
là động năng của chất điểm
là thế năng tƣơng tác của chất điểm
Mà chất điểm cô lập nên =>
Khi đó { } , -
Đối với chất điểm cô lập :
tức là không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian nên
=> =>
30
Vậy xung lƣợng của một chất điểm cô lập là tích phân của chuyển động.
Bài tập 2: Hãy chứng minh rằng Moment xung lƣợng của một chất điểm cô
lập là tích phân của chuyển động.
Bài giải:
Moment xung lƣợng của chất điểm cô lập: ⃗⃗ [ ]
Đạo hàm toàn phần của moment xung lƣợng theo thời gian:
{ ⃗⃗ } ⃗⃗ ⃗⃗
là toán tử Hamilton của chất điểm:
là động năng của chất điểm
là thế năng tƣơng tác của chất điểm
Mà chất điểm cô lập nên =>
Khi đó { } ,[ ] -
Đối với chất điểm cô lập :
⃗⃗
⃗⃗ [ ] tức là không phụ thuộc tƣờng minh vào thời gian nên :
⃗⃗
⃗⃗
Do đó : { ⃗⃗ }
⃗⃗
31
=> =>
Vậy Moment xung lƣợng của một chất điểm cô lập là tích phân của chuyển
động.
Bài tập 3 : Chứng minh rằng cơ năng của một chất điểm chuyển động trong
trƣờng trọng lực không có ma sát là tích phân của chuyển động.?
Bài giải:
Cơ năng của chất điểm :
là động năng của chất điểm
là thế năng tƣơng tác của chất điểm
Đạo hàm toàn phần của cơ năng theo thời gian:
{ }
Trong đó là tóan tử Hamilton:
=> { }
Do chất điểm chuyển động trong trƣờng lực dừng nên cơ năng của chất
điểm không phụ thuộc tƣờng minh vào
Do đó: { }
=> E =const. Vậy Cơ năng của chất điểm chuyển dộng trong trƣờng trọng
32
lực không có ma sát là tích phân của chuyển động
3.2. Một số bài toán về tích phân chuyển động của cơ hệ
Bài tập 1: Nhờ dấu ngoặc Poisson, hãy chứng tỏ rằng xung lƣợng P của hệ
là một tích phân của chuyển động, nếu hàm Hamilton của nó bất biến đối với
phép tịnh tiến của hệ trong không gian.
Bài giải :
Xét một phép tịnh tiến vô cùng nhỏ của hệ trong không gian, đi một đoạn
và sao cho hàm Hamilton không thay đổi
Các vector bán kính của chúng :
.
Biến phân của hàm Hamilton
∑ ∑
(1) Do đƣợc chọn tùy ý và ∑
Mặt khác, đối với mỗi thành phần Descartes có hệ thức:
∑ ∑ { } { }
Ta viết tập hợp các hệ thức này dƣới dạng ngắn gọn
{ ⃗ } (2) ∑
là tích phân chuyển Từ (1) và (2), => { ⃗ } suy ra vector ⃗ ∑
33
động.
Bài tập 2: Sử dụng dấu ngoặc Poisson hãy chứng minh rằng xung lƣợng
suy rộng là một tích phân của chuyển động, nếu hàm Hamilton bất biến đối với phép biến đổi
Bài giải:
nên:
Ta có , do hàm Hamilton bất biến đối với phép
(1)
biến đổi
Từ (1) =>
Áp dụng tính chất của dấu ngoặc Poisson:
{ } { }
Đặt hàm , ta đƣợc :
{ }
Mà { }
Vậy xung lƣợng suy rộng là một tích phân của chuyển động .
Bài tập 3: Nhờ dấu ngoặc Poisson hãy chứng tỏ rằng moment xung lƣợng
bất biến của hệ bảo toàn nếu hàm Hamilton của nó ∑
đối với phép quay vô cùng bé của hệ
34
Bài giải:
Phép biến đổi toạ độ và xung lƣợng tƣơng ứng với phép quay hệ một góc
⃗ vô cùng bé quanh trục song song với vector ⃗ đƣợc xác định bởi các công
[ ], (1)
[ ]
thức.
ở đây ⃗ .
Moment xung lƣợng của hệ: ⃗⃗ ∑ [ ]
Tính dấu ngoặc Poisson:
} { ⃗⃗ } {∑ [ ]
∑ *
+ + ∑ *
(2) + ∑ *
Mặt khác, biến phân của hàm Hamilton trong phép biến đổi (1) bằng:
∑ [ ]
+
]
∑ [ ⃗⃗ ⃗⃗
]
(3)
∑ * ⃗ ⃗ ⃗ ∑ [ ⃗⃗ ⃗⃗
Vì đối với mọi nên từ (3) và (2) suy ra { ⃗⃗ } .
∑ [ ]
35
Do đó moment xung lƣợng của hệ đƣợc bảo toàn
PHẦN III: KẾT LUẬN
Đề tài này không chỉ có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn mà còn có rất
nhiều ứng dụng. Nó cung cấp một phần lí thuyết các định luật bảo toàn xung
lƣợng, moment xung lƣợng, năng lƣợng,..., và các phƣơng trình Hamilton.
Qua đây tôi thấy rằng đối với những bài toán có các đại lƣợng bảo toàn, thì ta
dùng phƣơng pháp tích phân chuyển động để giải quyết bài toán sẽ đơn giản
hơn.
Tuy nhiên, thời gian có hạn và trình độ vẫn còn hạn chế, nên đề tài này sẽ
không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận đƣợc sự góp ý của các
36
thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài này đƣợc hoàn thiện hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Nguyễn Hữu Mình (1997), Cơ Học Lý Thuyết, NXB Đại Học Quốc
Gia.
2. Nguyễn Đình Dũng (2004), Cơ Học Lý Thuyết, NXB Đại Học Quốc
Gia.
3. Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hƣớng, Nguyễn Khắc Nhạp, Đỗ Đình .
4. Thanh, Lê Trọng Tƣớng (1983), Bài Tập Vật Lý Lý Thuyết Tập 1,
NXB Giáo Dục.
5. Golubeva (1970), Cơ Học Lý Thuyết Tập 1, 2, 3, NXB KHKT.
6. Bài Giảng Cơ lý thuyết của các thầy cô tổ Vật Lý Lý Thuyết, Khoa
Vật Lý Trƣờng Đại Học Sƣ Phạm Hà Nội 2.
7. I. V. Meserxki, H. Noibe (2011), Bài Tập Cơ Học Lý Thuyết Tập 1
- Tĩnh Học Và Động Học , NXB Đại Học Công Nghiệp.
8. Đào Văn Dũng (2005), Bài Tập Cơ Học Lý Thuyết, NXB Đại Học
Quốc Gia.
9. PhanVăn Cúc, Nguyễn Trọng (2003), Giáo Trình Cơ Học Lý
10.Nguyễn Trọng, Giáo trình Cơ học lý thuyết (Tập 1 - Phần Tĩnh học,
Thuyết, NXB Xây Dựng.
37
Động học), NXB Khoa học và Kỹ thuật.
