TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÍ --------------------------
VŨ THỊ NGỌC BÍCH
CÁC PHÂN BỐ THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN
Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
HÀ NỘI, 2018
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÍ --------------------------
VŨ THỊ NGỌC BÍCH
CÁC PHÂN BỐ THỐNG KÊ CỔ ĐIỂN
Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS LƯU THỊ KIM THANH
HÀ NỘI, 2018
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp này, em đã nhận được
nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô và các bạn sinh viên. Em xin chân
thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lí – trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, các thầy cô đã dạy em trong suốt bốn năm học, qua đó đã giúp em hoàn
thành khóa luận này.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Lưu Thị Kim
Thanh, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt quá trình thực
hiện khóa luận này.
Do còn nhiều hạn chế về kiến thức và thời gian nên khóa luận vẫn còn
nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý, nhận xét của các
thầy cô và các bạn để khóa luận này được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2018
Sinh viên
Vũ Thị Ngọc Bích
LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và
nghiên cứu trên cơ sở những kiến thức đã học. Đặc biệt là sự hướng dẫn tận
tình của cô giáo PGS.TS Lưu Thị Kim Thanh
Trong khi nghiên cứu và hoàn thành khoá luận này, em có tham khảo các
tài liệu có liên quan ghi trong mục tài liệu tham khảo.
Vì vậy, em xin khẳng định kết quả nghiên cứu của đề tài “Các phân bố
thống kê cổ điển ” không trùng lặp với kết quả của bất cứ đề tài nào khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2018
Sinh viên
Vũ Thị Ngọc Bích
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài. ............................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu. ..................................................................................... 2
3. Đối tượng nghiên cứu..................................................................................... 2
4. Phương pháp nghiên cứu. ............................................................................... 2
5. Nhiệm vụ nghiên cứu. .................................................................................... 2
6. Cấu trúc của khóa luận: .................................................................................. 2
NỘI DUNG ....................................................................................................... 3
CHƯƠNG 1: LUẬN ĐỀ CƠ BẢN CỦA VẬT LÝ THỐNG KÊ. ............... 3
1.1. Các khái niệm cơ bản của vật lý thống kê .................................................. 3
1.1.1. Quy luật tính thống kê ....................................................................... 3
1.1.2. Trạng thái vi mô và trạng thái vĩ mô. Xác suất nhiệt động ............... 3
1.1.3 Không gian pha ................................................................................... 4
1.1.4. Cách mô tả thống kê nhiều hạt. Xác suất trạng thái .......................... 5
1.2. Phương pháp Gipxơ .................................................................................... 6
1.3. Định lý Liuvin (Liouville) ........................................................................... 8
Kết luận chương 1 ............................................................................................ 14
CHƯƠNG 2: HÀM PHÂN BỐ GIPXƠ ...................................................... 15
2.1. Phân bố vi chính tắc .................................................................................. 15
2.3. Phân bố chính tắc lớn ................................................................................ 19
2.4. Phân bố Macxoen – Bonxoman. ............................................................... 21
2.5. Định lí về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do. ........................ 23
2.5.1. Biểu thức của động năng theo các bậc tự do. .................................. 23
2.5.2. Nội dung định lý về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do.23
2.5.3. Định lý Virian .................................................................................. 25
Kết luận chương 2 ............................................................................................ 26
CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG PHÂN BỐ GIPXƠ .............................................. 27
3.1 Xác định thăng giáng bằng phương pháp Gipxơ. ...................................... 27
3.2. Áp dụng định lý phân bố đều động năng tính nhiệt dung của vật rắn ...... 32
3.3. Một số bài tập ứng dụng ........................................................................... 33
Kết luận chương 3 ............................................................................................ 36
KẾT LUẬN .................................................................................................... 37
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 38
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Cùng với sự phát triển của xã hội loài người, vật lí học đã trải qua nhiều
giai đoạn phát triển và đạt nhiều thành tựu đáng kể. Thế kỷ XVIII cơ học cổ
điển của Newton đã trở thành môn khoa học cơ bản. Thế kỷ XIX lý thuyết
điện từ trường của Macxoen và Faraday ra đời. Đến thế kỷ XX là thế kỷ của
vật lí học hiện đại với khuynh hướng thâm nhập vào cấu trúc vi mô của vật
chất và người ta nhận thấy rằng các quy luật xảy ra trong thế giới vi mô này
mâu thuẫn với các quy luật đã tìm thấy trong vật lí cổ điển.
Vật lí thống kê là một bộ môn vật lí hiện đại, nó nghiên cứu các hệ nhiều
hạt bằng phương pháp thống kê. Vật lí thống kê có quan hệ chặt chẽ với nhiệt
động lực học và người ta thấy rằng trong trường hợp hệ vĩ mô nằm trong trạng
thái cân bằng thì định luật mà ta thu được trong vật lí thống kê đối với các đại
lượng trung bình là trùng với các định luật của nhiệt động lực học. Vật lí
thống kê có vai trò quan trọng trong vật lí lý thuyết cũng như trong vật lí thực
nghiệm.
Hiện nay, các phương pháp của vật lí thống kê được áp dụng rộng rãi
trong các lĩnh vực khác của vật lí hiện đại, như vật lí học các trạng thái ngưng
tụ, lý thuyết các hạt cơ bản, vũ trụ và thiên văn học. Các định luật cơ bản của
vật lí thống kê cho phép ta xác định được các thông số nhiệt động như nhiệt
độ, entropi, năng lượng tự do, nhiệt dung của hệ nhiều hạt, từ đó xây dựng
được các phân bố Gipxơ cho các hệ. Vật lí thống kê cho ta khả năng thiết lập
các phương trình các hàm nhiệt động của nhiệt động lực học căn cứ vào cấu
trúc của hệ. Hơn thế nữa nó còn cho ta hiểu được ý nghĩa vật lí thống kê của
các vấn đề quan trọng trong Nhiệt động lực học, như nguyên lý hai nhiệt động
lực học, tính thuận nghịch và không thuận nghịch. Khi ta coi chuyển động của
1
từng hạt tạo hệ nhiều hạt tuân theo quy luật của cơ học cổ điển chúng ta có vật
lí thống kê cổ điển. Nội dung chính của vật lí thống kê cổ điển là việc xác định
các hàm phân bố và áp dụng các phân bố đó cho một số hệ vật lí. Có thể nói
đây là một vấn đề cơ bản của vật lí thống kê. Vì vậy tôi chọn đề tài này làm
nội dung nghiên cứu của mình: “Các phân bố thống kê cổ điển”.
2. Mục đích nghiên cứu.
- Tìm hiểu sâu sắc hơn về các phân bố thống kê trong vật lí lý thuyết cổ
điển.
3. Đối tượng nghiên cứu.
- Các phân bố thống kê cổ điển.
4. Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp vật lí lý thuyết và phương pháp toán học.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Xây dựng hàm phân bố thống kê trong vật lí thống kê cổ điển.
- Nghiên cứu ứng dụng các hàm phân bố thống kê.
6. Cấu trúc của khóa luận:
Chương 1: Luận đề cơ bản của vật lí thống kê.
Chương 2: Hàm phân bố Gíp xơ.
Chương 3: Áp dụng phân bố Gipxơ.
2
NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: LUẬN ĐỀ CƠ BẢN CỦA VẬT LÍ THỐNG KÊ.
1.1. Các khái niệm cơ bản của vật lí thống kê
1.1.1. Quy luật tính thống kê
Vật lí thống kê nghiên cứu những hệ bao gồm một số rất lớn các hạt như
nguyên tử, phân tử, ion và các hạt khác mà người ta gọi là hệ vi mô hay hệ
nhiều hạt, nhưng bằng các phương pháp khác nhau. Cụ thể là vật lí thống kê
nghiên cứu mối liên hệ giữa đặc tính vĩ mô của hệ mà ta khảo sát với các đặc
tính và các định luật chuyển động của các hạt vi mô cấu thành hệ. Do sự phức
tạp và chuyển động không ngừng của trạng thái vi mô mà ta phải sử dụng
phương pháp thống kê dựa trên lý thuyết xác suất. [2][3]
Trong hệ nhiều hạt xuất hiện các quy luật mới gọi là quy luật thống kê.
Quy luật tính thống kê: là quy luật khách quan của hệ nhiều hạt, vì tính cách
của hệ nhiều hạt tại thời điểm xét hoàn toàn không phụ thuộc vào trạng thái
lúc trước. Ví dụ như hệ khí (bao gồm một số lớn phân tử), hoặc một thanh
kim loại (bao gồm một số rất lớn các electron).
1.1.2. Trạng thái vi mô và trạng thái vĩ mô. Xác suất nhiệt động
- Trạng thái vi mô: là trạng thái xác định bằng các thông số vi mô tức là
các toạ độ và xung lượng của các hạt cấu thành hệ và chúng chỉ có ý nghĩa
đối với thế giới vi mô ở đó ta xét các phân tử (các hạt) riêng lẻ. [3][6]
- Trạng thái vĩ mô: là trạng thái được xác định bởi các thông số đo được
trong các thí nghiệm vĩ mô thông thường. Ví dụ như T,p,V của khối khí là
những thông số vĩ mô. Mỗi trạng thái vĩ mô của hệ đều tương ứng với một số
rất lớn các trạng thái vi mô. Các trạng thái vi mô này biến đổi liên tục theo
thời gian.[1]
3
- Xác suất nhiệt động
Xác suất nhiệt động : các trạng thái vĩ mô khác nhau tương ứng với
các số lượng khác nhau các trạng thái vi mô, một trạng thái vĩ mô sẽ là càng
bền nếu như số trạng thái vi mô tương ứng với nó mà hệ có thể thực hiện
được là càng lớn. Xác suất nhiệt động của một trạng thái vĩ mô nhất định
của hệ là số trạng thái vi mô tương ứng với trạng thái vĩ mô đó.[3]
1.1.3 Không gian pha
Không gian pha: Để biểu diễn sự biến đổi trạng thái vi mô của hệ nhiều
hạt với thời gian người ta đưa vào một không gian quy ước gọi là không gian
pha, đồng thời các tọa độ của không gian đó chính là các thông số độc lập xác
định trạng thái vi mô của hệ (tức là các tọa độ và xung lượng suy rộng của tất
cả các hạt cấu thành hệ) [3]. Phương pháp đó phải coi là rất thuận tiện về mặt
nguyên tắc vì rằng, việc mô tả tính chất của hệ nhiều hạt trong không gian
thực ba chiều gặp phải những khó khăn rất lớn. Mặt khác, đối với tất cả các hệ
vật lí thực, không gian pha là không gian nhiều chiều. Chẳng hạn như, không
gian pha của một phân tử khí lí tưởng đơn giản nhất là không gian 6 chiều;
đối với phân tử hai nguyên tử có 5 bậc tự do không gian pha là mười chiều;
còn đối với một hệ phức tạp nói chung là 2fN chiều với f là số hạt tự do của
một hạt trong hệ, N là số hạt trong hệ.
- Trong vật lí thống kê người ta thường xét hai loại không gian pha:
Không gian µ và không gian K. Không gian µ là không gian của hệ 1 hạt.
Không gian K là không gian của hệ nhiều hạt.
- Các yếu tố cơ bản của không gian pha.
+ Không gian pha là tập hợp tất cả các trạng thái của hệ. Mỗi trạng thái
là một điểm pha. Trạng thái của hệ được xác định bởi tất cả các giá trị của tất
cả các tọa độ và xung lượng suy rộng của các hạt cấu thành.
4
+ Quỹ đạo pha: Khi trạng thái của hệ biến đổi với thời gian, điểm pha sẽ
chuyển động và vạch một đường cong nào đó gọi là quỹ đạo pha.
+ Bởi vì các phương trình Hamintơn luôn luôn xác định một các đơn trị
tính chất của hệ, nên từ đó suy ra rằng, các quỹ đạo pha của hệ không thể cắt
nhau trong không gian pha.
+ Nếu hệ cô lập thì năng lượng toàn phần là không đổi, nghĩa là:
E = E (𝑞1, 𝑞2,….𝑝1, 𝑝2…) = const.
Điều đó có thể xem như một phương trình liên hệ tất cả các thông số vi
mô của trạng thái, và trong không gian pha nó là phương trình của một mặt
nào đó. Mặt đó được gọi là siêu diện năng lượng, hay, vắn tắt hơn là mặt
năng lượng trong không gian pha.
+ Thể tích pha
Sau này ta sẽ xét không phải là 1 hệ mà là một tập hợp hệ và sự phân bố
của các điểm pha của chúng trong không gian pha vì vậy người ta đưa vào
quan niệm thể tích pha.
dV = dx.dy.dz
Để thuận tiện cho việc nghiên cứu sự phân bố của các hệ ta chia không
gian pha ra thành các thể tích nguyên tố đồng thời tương tự như thể tích của
hình hộp 3 chiều độ lớn của mỗi thể tích đó được biểu thị như sau
trong đó tất cả các và dpk biểu thị các khoảng đủ nhỏ của các thông số
trạng thái của hệ trong không gian pha để đưa vào mật độ xác suất.
1.1.4. Cách mô tả thống kê nhiều hạt. Xác suất trạng thái
- Cách mô tả thống kê nhiều hạt:
Trong không gian pha K, trạng thái của mỗi hệ trong tập hợp thống kê
được biểu diễn bằng một điểm pha, điểm pha này gọi là điểm biểu diễn pha
của hệ đó, và trạng thái của cả tập hợp thống kê được biểu diễn bằng một tập
5
hợp các điểm biểu diễn pha riêng biệt, gọi là tập hợp pha thống kê hay gọi tắt
là tập hợp pha. [3][6]
- Xác suất trạng thái:
+ Giả sử có n hệ trong tập hợp thống kê, các hệ này đều bình đẳng như
nhau.
Gọi
dX là một yếu tố thể tích bao quanh một điểm pha ở thời điểm t
Trong tập hợp thống kê, tại thời điểm t cũng có một số hệ có điểm biểu
diễn pha dX. Gọi dn là số lượng các hệ trong tập hợp thống kê có điểm biểu
diễn pha dX:
+ Xác suất để một hệ nào đó trong tập hợp thống kê có điểm biểu diễn
pha rơi vào trong thể tích nguyên tố dX sẽ là
Trong đó được gọi là mật độ xác suất pha hay hàm phân bố
thống kê và nó thoả mãn điều kiện chuẩn hoá
+ Ý nghĩa của hàm phân bố thống kê: biết hàm phân bố ta có
thể tìm được trung bình thống kê của một đại lượng vật lí bất kì F(X) theo
công thức
1.2. Phương pháp Gipxơ
Ta đã biết rằng, mọi thông số vĩ mô bất kỳ F đều là hàm của các thông số
vi mô, vì vậy, trong trường hợp tổng quát, nó biến thiên liên tục với thời gian.
6
Tuy nhiên, trong bất kỳ một thí nghiệm vật lí nào, ta cũng đều đo không phải
là giá trị tức thời của các đại lượng vật lí mà là đo các trị trung bình theo thời
gian. [2][3] Thực vậy để tiến hành đo đạc một đại lượng nào đó như áp suất
chẳng hạn ta cần một khoảng thời gian t nào đó và trị số đo được là trị trung
bình của F theo thời gian t
Tức là trị trung bình của F được lấy theo các trạng thái vi mô khả hữu
của hệ. Nhưng việc tìm trị trung bình theo thời gian như biểu thức trên trong
trường hợp tổng quát không thể tiến hành được bởi vì ta không biết được sự
phụ thuộc của 6N thông số vi mô vào thời gian tức là ta không thể theo dõi
được tất cả các biến đổi của trạng thái vi mô với thời gian.
- Để giải quyết khó khăn đó Gipxơ (Gibbs) đã đề xuất ra phương pháp
nổi tiếng gọi là phương pháp Gipxơ.
Cơ sở của phương pháp Gipxơ: thay việc khảo sát sự biến đổi (vĩ mô)
của hệ đã cho với thời gian bằng việc khảo sát một tập hợp nhiều hệ tương tự
với hệ đã cho gọi là tập hợp thống kê.
Tập hợp thống kê: là một tập hợp các hệ, tương tự với nhau có số lượng
và loại hạt như nhau và ở trong các điều kiện vĩ mô giống nhau và ở trong các
trạng thái vi mô khả hữu khác nhau. Đồng thời, phải đảm bảo rằng mỗi một
hệ trong tập hợp thống kê sớm hay muộn sẽ đi qua mọi giai đoạn biến đổi
dành cho các hệ tương tự khác, tức là sẽ lần lượt ở trong các trạng thái vi mô
dành cho mọi hệ tương tự trong tập hợp, đó là nội dung của cái gọi là giả thiết
écgôđíc. Tuy nhiên có thể thừa nhận một cách gần đúng rằng mọi hệ trong tập
hợp thống kê sẽ lần lượt ở trong những trạng thái vi mô rất gần giống với
những trạng thái vi mô của các hệ khác; đó là giả thiết chuẩn écgôđíc và các
hệ đó được gọi là các hệ chuẩn écgôđíc.
7
Giả thiết chuẩn écgôđíc: trị trung bình theo thời gian của một đại lượng
bằng trị trung bình theo tập hợp thống kê. Như vậy trong phương pháp cơ bản
của vật lí thống kê một vấn đề được đặt ra là làm sao tìm được trị trung bình
theo tập hợp; muốn vậy ta phải tìm được mật độ xác suất hay hàm phân bố
thống kê của hệ. Để giải quyết vấn đề này Gipxơ đã dựa vào cách biểu diễn
hệ trong không gian pha để đưa vào mật độ xác suất.
1.3. Định lý Liuvin (Liouville)
Trong không gian pha, với thời gian, tập hợp các điểm biểu diễn pha
chuyển từ một thể tích này sang một thể tích khác. [3] Giả sử, ở một điểm nào
đó, ta tách ra một thể tích dX1 trong đó có chứa dn = ρ1.dX1 điểm biểu diễn
pha của hệ trong tập hợp thống kê. Sau một khoảng thời gian nào đó, số các
điểm biểu diễn pha đó sẽ chuyển sang thể tích dX2 ở đó có mật độ phân bố là
. Khi đó, hiển nhiên là
(1.1)
Đẳng thức (1.1) đưa ta đến ý nghĩ rằng, sự chuyển động của các điểm
biểu diễn pha của các hệ trong không gian pha cũng có thể coi tương tự như
chuyển động của chất lỏng. Vì vậy, ta hãy tạm thời quên không gian pha và
xét phương trình liên tục (phương trình Ơle) của chất lỏng thông thường.
Ta tưởng tượng tách ra trong chất lỏng chuyển động một nguyên tố thể
tích cố định có dạng hình hộp, với các cạnh là dx, dy, dz. Giả sử chất lỏng
chảy vào thể tích này qua bề mặt gần gốc tọa độ và sau đó chảy qua bề mặt
khác. Khi đó khối lượng chất lỏng chảy vào nguyên tố thể tích theo hướng
là khối lượng riêng của trục y theo thời gian dt bằng ρvydtdxdz, trong đó:
của chất lỏng và nói chung nó là hàm của tọa độ và thời gian; vy là hình chiếu
của vận tốc trên trục Oy. Cũng trong thời gian trên khối lượng chất lỏng chảy
ra qua bề mặt song song với bề mặt trước và theo hướng trục y là
8
z
dz
y
dx
dy x
Ở đây ta có thể coi rằng các giá trị của ρ và vy đều thay đổi trên đoạn dy.
Kết quả là còn dư một khối lượng chất lỏng bằng hiệu hai khối lượng nói trên
Lý luận tương tự đối với các trục khác, ta tìm được khối lượng chất lỏng
dư ra tổng cộng, khi nó chảy vào chảy ra khỏi nguyên tố thể tích cả ba trục
Nhưng khối lượng chất lỏng dư đó đúng bằng độ biến thiên của khối
lượng chất lỏng của nguyên tố thể tích trong khoảng thời gian dt, nghĩa là
bằng
So sánh 2 biểu thức đó ta rút ra phương trình liên tục đối với chất lỏng
9
Trở lại không gian pha, ta có thể viết được một phương trình tương tự,
bởi vì có một sự tương tự hình thức giữa chuyển động của các điểm biểu diễn
pha với các chuyển động của chất lỏng thực. Có nghĩa là, đối với không gian
pha K, ta có thể lặp lại các lập luận giống như trên. Muốn vậy, trong không
gian pha ta đưa vào khái niệm vận tốc pha, đó là một vectơ có các thành phần
là q1, q2...p1, p2... và nó chính là vận tốc của các điểm biểu diễn pha (bởi vì
“tọa độ” của các điểm biểu diễn pha là q1, q2…p1, p2... Đối với hệ có fN bậc
tự do, ta được phương trình liên tục tổng quát sau đây
Trong đó 𝜌 là mật độ phân bố các điểm biểu diễn pha . Thực hiện phép
tính vi phân của tích trong dấu ngoặc ta được
Tổng của hai số hạng đầu tiên là đạo hàm toàn phần của hàm theo thời
gian
và vì vậy ta có phương trình.
Nếu hệ thực mà ta xét là hệ bảo toàn, áp dụng phương trình Hamiton
Ta có
10
Và do đó ta tìm được phương trình sau đây
Hệ thức trên có ý nghĩa vật lí: “sự phân bố của các hệ trên những trạng
thái là không đổi theo thời gian”
Tóm tắt định lý Liouville cho biết rằng tập hợp thống kê tương ứng với
các trạng thái cân bằng là tập hợp trong không gian pha tức là các
trạng thái khả dĩ là đồng xác suất. Điều này hoàn phù hợp với tiên đề cơ bản
của vật lí thống kê. Kết quả cuối cùng này có thể phát biểu như là nguyên lý
của sự bảo toàn thể tích nguyên tố pha, cụ thể là: khi các hệ (tức là các điểm
biểu diễn pha của các hệ) chuyển động trong không gian pha có thể tích
nguyên tố giữ không đổi về độ lớn và chỉ có thể thay đổi về dạng. Đó là định
lí Liouville.
Suy rộng các kết quả thu được, ta có thể nói rằng tập hợp pha chuyển
động trong không gian pha với mật độ phân bố không đổi nhưng có thể bị
biến dạng. Giá trị căn bản của định lí Liouville là: nhờ nó ta đã chứng minh
được giả thiết nói rằng số lượng dn của các hệ có điểm biểu diễn pha nằm
trong thể tích nguyên tố dX là tỉ lệ với dX.
Phương trình ta có thể viết dưới một dạng khác. Ta có
do đó ta tìm được
11
Hay (1.2)
Với là dấu ngoặc Poátxông. Phương trình (1.2) thường được gọi
là phương trình chuyển động của tập hợp pha thống kê, nó đóng vai trò chủ
đạo trong việc giải quyết các vấn đề của lý thuyết thống kê và các quá trình
không cân bằng (hay vật lí thống kê không cân bằng). Người ta gọi phương
trình (1.2) là phương trình Liouville.
Trong trạng thái cân bằng nhiệt động, mật độ xác suất pha hay hàm phân bố
thống kê cần phải không phụ thuộc tường minh vào thời gian. Nói một cách
khác, đối với hệ cân bằng nhiệt động ta có
(1.3)
Điều kiện (1.3) tương ứng với chuyển động dừng của tập hợp pha, bởi vì
theo phương trình đó ta có , tức là mật độ phân bố của các điểm biểu
diễn pha của các hệ tại một chỗ đã cho trong không gian pha giữ nguyên
không đổi với thời gian, có nghĩa là có bao nhiêu điểm biểu diễn pha “chảy”
vào trong một thể tích nào đó sau một đơn vị thời gian thì cũng có bấy nhiêu
điểm pha “chảy” ra khỏi thể tích đó sau cùng khoảng thời gian. Vì vậy điểu
kiện (1.3) còn được gọi là điều kiện cân bằng thống kê.
Theo phương trình (1.2) và từ điều kiện (1.3) ta rút ra
(1.4)
Trong cơ học lý thuyết ta biết rằng, mọi đại lượng thỏa mãn phương trình
(1.4) phải là tích phân chuyển động của các phương trình Haminton hoặc là
hàm của các tích phân chuyển động. Đối với các hệ bảo toàn, nếu bỏ qua
chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay của toàn bộ hệ thì trong các tích
12
phân chuyển động ta chỉ cần chú ý đến năng lượng. Do đó đối với hệ cân bằng
nhiệt động ta có:
(1.5)
Dễ dàng kiểm nghiệm lại rằng nếu thay (1.5) vào vế trái của (1.4) ta sẽ
thu được giá trị bằng không, tức là phương trình (1.4) được nghiệm đúng.
Thực vậy ta có
Trong trường hợp đang xét, chúng ta có thể lập luận rằng thí nghiệm
chứng tỏ rằng tính chất vĩ mô của hệ tuân theo các định luật của nhiệt động
lực học. Mặt khác, một tiên đề cơ bản của động lực học nói rằng: “Khi có cân
bằng nhiệt động tất cả các thông số nội của hệ là hàm các thông số ngoại a1,
a2,… và năng lượng”. Nhưng điều đó chỉ thỏa mãn trong vật lí thống kê, trong
trường hợp nếu như mật độ xác suất pha chỉ phụ thuộc vào năng lượng và
không phụ thuộc vào các tích phân chuyển động khác. Như vậy việc chấp
nhận giả thiết (1.5) là hoàn toàn hợp lí. Hơn nữa lẽ dĩ nhiên hàm Haminton
trong (1.5) phải phụ thuộc cả vào các thông số ngoại a1, a2,… mà ta viết tắt là
a: .
Tóm lại, ta có thể kết luận rằng đối với các hệ cân bằng nhiệt động, hàm
phân bố thống kê có dạng
13
Kết luận chương 1
Nội dung chương 1 chúng tôi đã trình bày về các khái niệm cơ bản của
vật lí thống kê như: Xác suất nhiệt động, phương pháp Gipxơ, không gian
pha, xác suất trạng thái và định lý về sự bảo toàn thể tích pha, đây là cơ sở để
xây dựng lý thuyết thống kê nói chung.
14
CHƯƠNG 2: HÀM PHÂN BỐ GIPXƠ
2.1. Phân bố vi chính tắc
* Xây dựng hàm phân bố chính tắc
Ta xét một hệ đoạn nhiệt, tức là một hệ không thể trao đổi năng lượng
với các vật bên ngoài khi các thông số ngoại không thay đổi. Đối với một hệ
như vậy, hiển nhiên ta có [3]
H(X,a) = E = const, (2.1)
Và hàm phân bố f(ε) phải có dạng cực
đại nhọn, bởi vì năng lượng của hệ phải có
giá trị hoàn toàn xác định và sẽ không thay
∆E
đổi với thời gian. Nói khác đi năng lượng → 0 ∆E E của hệ không thể sai lệch một cách đáng kể
với giá trị hoàn toàn xác định E, tức là
Ta thấy hàm có đồ thị biểu diễn như hình trên chính là hàm đenta
Đối với hệ cô lập đoạn nhiệt ta có thể đặt
(2.2)
trong đó là thừa số chuẩn hóa được xác định từ điều kiện chuẩn
hóa, nghĩa là
(2.3)
Biểu thức (2.2) được gọi là phân bố vi chính tắc Gipxơ.
Tuy nhiên, do dạng đặc biệt của phân bố chính tắc nên việc sử dụng
chúng gặp hàng loạt các khó khăn. Vì vậy người ta thường sử dụng phân bố
đối với hệ đẳng nhiệt.
15
2.2. Phân bố chính tắc Gipxơ.
Xét với hệ đẳng nhiệt (là hệ tương tác với hệ điều nhiệt và có một nhiệt
độ cho trước hoàn toàn xác định). [1][3]
*Xây dựng phân bố chính tắc.
Ta xét hệ đẳng nhiệt tức là một hệ nằm cân bằng với hệ điều nhiệt
(tecmôxta). Theo quan điểm vi mô, hệ điều nhiệt hay tecmôxta cũng là một hệ
cơ học nhưng có số bậc tự do rất lớn, lớn hơn số bậc tự do của hệ mà ta muốn
khảo sát rất nhiều. Giả sử hệ mà ta muốn khảo sát C1 và hệ điều nhiệt C2 có
các số hạt tương ứng là N1, N2 và được diễn tả bằng các biến số chính tắc X1
và X2, đồng thời
Ta có thể coi hệ chung, bao gồm hai hệ đó, là một hệ cô lập đoạn nhiệt,
và vì vậy, đối với hệ chung đó ta có phân bố vi chính tắc
trong đó hàm Hamiton của hệ chung bao gồm các hàm Hamiton của cả hai hệ
con cộng với năng lượng tương tác U12:
Hiển nhiên là hàm phân bố của hệ mà ta xét C1 sẽ bằng
Để tìm trong trường hợp tổng quát, người ta thường dựa vào ba
giả thiết sau đây:
+ Một là coi rằng năng lượng của các hệ C1 và C2 luôn luôn lớn hơn
năng lượng tương tác U12 rất nhiều. Giả thiết đó nó rất hợp lí đối với các hệ
nhiệt động thông thường nếu như các số hạt N1 và N2 là đủ lớn. Thực vậy,
năng lượng của các hệ C1 và C2 tỉ lệ với thể tích, còn năng lượng tương tác thì
16
chỉ tỉ lệ với cộng tính. Do đó, đối với các hệ có năng lượng cộng tính, thì khi
N lớn ta có thể bỏ qua năng lượng tương tác, có nghĩa là:
+ Hai là, ta giả thiết rằng khi thì có tồn tại một giới
hạn
const.
Coi rằng thì
Tức là coi rằng đại lượng 𝜃/2 là bằng trung bình số học của năng lượng
của hệ ứng với một bậc tự do của hệ điều nhiệt
+ Ba là, khi tìm công thức cho ta sẽ coi rằng
Tức ta chỉ xét những trạng thái của hệ mà ở đó năng lượng của hệ là rất
nhỏ so với năng lượng toàn phần của hệ điều nhiệt. Nói khác đi, biểu thức mà
ta đã tìm được cho sẽ chỉ đúng khi điều kiện trên được thỏa mãn.
Để có thể tìm được một cách đơn giản, ta tiến hành như sau. Ta
và . Các hàm phân hãy chia hệ mà ta muốn khảo sát C1 ra làm hai phần
bố và đối với hai hệ đó sẽ phụ thuộc vào năng lượng toàn phần
của từng hệ con
Năng lượng toàn phần của hệ đẳng nhiệt mà ta khảo sát bằng tổng của
các năng lượng toàn phần của cả hai hệ con và năng lượng tương tác giữa
chúng
17
Nếu như các hệ con và là đủ lớn thì, tương tự như giả thiết thứ
nhất ở trên, ta có thể coi năng lượng tương tác giữa hai hệ con là rất nhỏ
so với năng lượng toàn phần của các hệ con và nghĩa là, ta có
hay là
Từ đó, bằng cách lấy logarit và sau đó lấy vi phân, ta được
hay
.
Coi rằng và có thể tiến đến không một cách độc lập, ta tìm
được
Trong đó 𝛽 là một hằng số nào đó, bởi vì các đạo hàm của một hàm số
với các đối số khác nhau chỉ có thể bằng nhau khi chúng bằng hằng số.
Lấy tích phân đẳng thức đó ta có
Hiển nhiên rằng, từ điều kiện vật lí khi chuẩn hóa, 𝛽 phải là số dương.
Đặt , , với > 0
ta có
18
Do đó với và 𝜃 là các hằng số.
Ta không xét hệ C2 mà ta chỉ xét hệ C1 nên ta có thể viết đầy đủ:
(2.4)
Biếu thức (2.4) là biểu thức của hàm phân bố chính tắc.
Trong đó: + 𝜃 là mô đun của phân bố chính tắc (nhiệt độ thống kê)
(k là hằng số Bônxơman, T là nhiệt độ tuyệt đối)
+ được xác định từ điều kiện chuẩn hóa của hàm phân bố:
gọi là tích phân trạng
thái
+ X: gọi là tập hợp các biến số chính tắc (biến số pha).
Đối với hệ N hạt đồng nhất khi hoán vị các hạt cho nhau thì các điểm
biểu diễn pha của hệ sẽ thay đổi nhưng không dẫn đến một trạng thái vi mô
mới nào. Hệ có N hạt sẽ có N! phép toán hoán vị các hạt. Vì vậy xác suất
trạng thái của hệ giảm đi N! lần. Khi đó hàm phân bố chính tắc có dạng:
(2.5)
2.3. Phân bố chính tắc lớn
(xét đối với các hệ có số hạt thay đổi )
19
- Đối với hệ có số hạt thay đổi, trong nhiệt động lực học người ta đưa
vào thể hóa học được biểu thị qua năng lượng tự do như sau: [1][2][3]
: gọi là một thế nhiệt động mới.
- Hệ có số hạt thay đổi theo thời gian nhưng xét tại một thời điểm xác
định nào đó, hệ đó chứa một số hạt nhất định. Ta có thể áp dụng phân bố
chính tắc tại một thời điểm xác định:
Đối với hệ có một số nhất định N hạt đồng nhất trong không gian 6N
chiều:
ở thời điểm tiếp sau, số hạt của hệ sẽ thay đổi (tăng hoặc giảm) từ N hạt đến
N’ hạt, ta có:
trong không gian 6N’ chiều.
- Trong hệ có số hạt thay đổi, số hạt N có thể biến thiên từ 0 → ∞ cho
nên những hệ có số hạt nhất định như trên có thể là nhiều vô số. Tập hợp các
hệ khả dĩ tương ứng với một hệ thực có số hạt thay đổi được gọi là tập hợp
pha chính tắc lớn (hay tập hợp chính tắc lớn).
(2.6)
Biểu thức (2.6) là hàm phân bố chính tắc lớn Gipxơ
Trong đó: là thế nhiệt động lớn, được xác định từ điều kiện chuẩn
hóa của phân bố chính tắc lớn.
20
Đặt:
(2.7)
2.4. Phân bố Macxoen – Bonxoman.
Đối với khí lí tưởng ta thay hàm H(X,a) bằng năng lượng E(X). Khi đó
xác suất để tìm hệ có năng lượng E trong thể tích nguyên tố dX của không
gian pha sẽ bằng: [3]
(vì không phụ thuộc vào X).
- Do hệ hạt không tương tác nhau nên ta có thể biểu thị E như tổng các
năng lượng của các hạt riêng lẻ:
- Khi đó:
Ta có thể coi mọi hạt đều bình đẳng như nhau: Ta xác định xác suất
trạng thái đối với các hạt thứ i:
21
Trong đó:
- Xét sự phân bố một hạt trong không gian pha 𝜇 (không gian pha sáu
chiều của một hạt):
Trong đó: m là khối lượng của một hạt thì
(2.8)
Biểu thức (2.8) là phân bố Mac xoen – Bonxoman đối với một hàm phân
bố này bao gồm hai phân bố:
Phân bố Macxoen (phân bố theo vận tốc).
Phân bố Bonxơman (phân bố theo tọa độ).
ở đây A, B là các hằng số được xác định từ điều kiện chuẩn hóa:
22
2.5. Định lý về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do
2.5.1. Biểu thức của động năng theo các bậc tự do
Áp dụng phân bố chính tắc Gipxơ ta có thể tính động năng trung bình
ứng với một bậc tự do của hệ. Kết quả là năng lượng đó là như nhau đối với
tất cả các bậc tự do và bằng . Ta đã gặp một trường hợp đặc biệt của định
lý đó khi ta khảo sát động năng trung bình của phân tử khí. [3][5]
bởi vì phân tử khí có 3 bậc tự do.
Hàm hamiton của bất kỳ một hệ nào có thể biểu thị qua hàm Lagrangio
dưới dạng sau đây:
Rút và thay ta được
Ta định nghĩa đại lượng như là động năng tương ứng với bậc tự
do thứ k.
2.5.2. Nội dung định lý về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do
Dựa vào phân bố chính tắc ta tìm được trị trung bình của tích
[1][4]
23
Lấy tích phân từng phần theo
Khi thay các giới hạn hàm Hamiton trở thành bằng vô cực (bởi
vì khi đó động năng bằng vô cực) và và tích phân trên chỉ còn
lại biểu thức sau đây:
(theo điều kiện chuẩn hóa hàm
phân bố chính tắc)
Như vậy, động năng trung bình ứng với bậc tự do là bằng:
Đó là nội dung của định lý về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự
do.
Như vậy, định lý về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do là
đúng đối với bất kỳ hệ nào tuân theo thống kê cổ điển.
Đối với một bậc tự do của dao động, năng lượng toàn phần không phải là
bằng mà bằng kT.
Thực vậy với dao động nhỏ điều hòa năng lượng trung bình bằng thế
năng trung bình. Và năng lượng toàn phần của dao động bằng tổng của động
năng trung bình và thế năng trung bình. Vì vậy năng lượng trung bình tương
ứng với một bậc tự do của dao động điều hòa là bằng kT. Đối với dao động
24
phi điều hòa năng lượng toàn phần sẽ khác đi, mặc dù động năng trung bình
vẫn bằng 2.
Đối với một hệ có f bậc tự do, động năng trung bình toàn phần có trị số
bằng
2.5.3. Định lý Virian
Bằng cách chứng minh hoàn toàn tương tự như trên khi 𝑞𝑘 = ±∞ hàm
Hamiton trở thành bằng vô cực (bởi vì thế năng tăng nhanh đến vô cực tại các
thành của bình chứa đựng hệ) ta sẽ tìm được
Hệ thức trên được gọi là định lý Virian bởi vì đại lượng
đã được Claudiut gọi là Virian
Trung bình của Virian ứng với một bậc tự do có trị số bằng , nghĩa là
Định lí Virian cũng được áp dụng để nghiên cứu tính chất một số hệ cụ
thể.
25
Kết luận chương 2
Nội dung chương 2 chúng tôi trình bày các hàm phân bố thống kê cổ
điển: phân bố vi chính tắc, phân bố chính tắc, phân bố chính tắc lớn, phân bố
Macxoen – Bonxoman và định lý phân bố đều động năng theo các bậc tự do –
định lý virian. Từ đây giúp chúng ta có cái nhìn tổng quát các hàm phân bố
này và áp dụng giải quyết nhiều bài toán.
26
CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG PHÂN BỐ GIPXƠ
3.1 Xác định thăng giáng bằng phương pháp Gipxơ.
1. Dựa vào phân bố chính tắc Gipxơ, ta có thể tính được trung bình của
bình phương và các trị số của độ thăng giáng của một đại lượng vật lý F bất
kỳ.[3]
(3.1)
Trong các trường hợp đặc biệt khi mà đại lượng vật lý F chỉ phụ thuộc
vào xung lượng của một hệ thì bài toán tìm thăng giáng được giải
đến cùng bằng cách lấy tích phân biểu thức
(3.2)
Trong đó đại lượng hoặc là đã biết từ thí nghiệm hoặc là được tính
theo công thức.
(3.3)
Còn trong trường hợp tổng quát, khi F phụ thuộc cả vào p lẫn q thì việc
tính tích phân (3.1) là rất khó khăn.
2. Trong những trường hợp mà ta không thể tính trực tiếp biểu thức
(3.1), thì để xác định phương sai của các đại lượng nhiệt động, người ta xác
định theo cách khác: người ta biểu thị phương sai của một đại lượng nhiệt
động theo một hàm nào đó của trị trung bình mà người ta
thường đã biết trước từ thí nghiệm, cách đó thường được sử dụng trong
trường hợp khi mà đại lượng vật lí F chỉ phụ thuộc vào tọa độ x của hệ:
27
Ta chứng minh rằng trong phân bố chính tắc có hệ thực sau đây:
(3.4)
Thật vậy, bằng cách lấy vi phân công thức trị trung bình của đại lượng F
theo a, ta được:
Mặt khác ta có:
Nên:
Ta lại có:
28
Do đó:
Vậy:
Ta xét ví dụ sau:
Giả sử có N phân tử khi nằm trong thể tích V giới hạn
bởi xylanh và pittông có tác dụng của áp lực bên ngoài p
(hình vẽ).
Khi đó hàm Hamiton H(X,p) của chất khí có dạng sau đây:
(3.5)
Ở đây áp suất p được xem như thông số ngoài a tương
ứng với thể tích V(X).
Áp dụng hệ thức (3.4), thay a bằng p và F(X) bằng V(X) ta sẽ có.
(3.6)
Từ (3.5) ta có
Thay vào phương trình (3.6) ta được:
29
Mà
Nên ta có được:
Hay:
(3.7)
ở đây đạo hàm đã biết từ thí nghiệm (theo phương trình Calapeyron –
Mendeleep), bởi vì là thể tích vĩ mô của hệ nên
(3.8)
Vậy phương sai của thể tích bằng
(3.9)
Và thăng giáng tương đối của thể tích là
nghĩa là thăng giáng tương đối của thể tích tỷ lệ với căn hai của số hạt.
Thay ta có thể viết lại công thức (3.7) như sau:
(3.10)
Với các thông số ngoài bất kỳ a và các tọa độ q tương ứng với chúng,
đẳng thức (3.7) có thể viết một cách tổng quát như sau:
30
và (3.11)
Theo (3.11) ta có thể tính thăng giáng của một đại lượng bất kỳ q(x) qua
đạo hàm , đạo hàm đo được trong thí nghiệm hoặc là được biểu thị qua
năng lượng tự do. Như vậy, nếu biết được năng lượng tự do ta có thể tính
được thăng giáng của các đại lượng nhiệt động q(x).
3. Để đánh giá thăng giáng ta có thể tiến hành theo quan điểm khác.
Ta coi rằng, mọi độ lệch khỏi cân bằng đều kéo theo sự biến thiên của năng
lượng, của entrôpi và của các thông số khác nhau của một phần của hệ do
phần còn lại của hệ gây ra. Trong trường hợp phân bố chính tắc, xác suất sao
cho hệ nằm trong một nhóm các trạng thái xác định P1 là bằng
Trong đó Z1 là tích phân trạng thái theo nhóm trạng thái P1 đó, còn Z là tích
phân theo toàn bộ các trạng thái của hệ (tức là tích phân trạng thái).
Gọi là năng lượng tự do của toàn bộ hệ và là năng lượng tự do của
hệ trong các trạng thái P1, ta có
Do đó xác suất sao cho hệ đẳng nhiệt nằm trong nhóm trạng thái P1 tức
là xác suất của các thăng giáng trong hệ, sẽ có thể viết như sau:
(3.12)
Như vậy, để tìm được xác suất của các thăng giáng W(P1) ta phải tìm
, vấn đề này có thể được giải quyết trong một số trường hợp cụ thể.
31
4. Trong một số trường hợp đơn giản nhất, ta có thể tính được độ lệch
quân phương dựa vào lập luận cụ thể về thăng giáng và vào định lý phân bố
đều động năng theo các bậc tự do hoặc dựa vào định lý Virian. Vậy tùy vào
từng trường hợp cụ thể mà ta có thể tìm được thăng giáng dựa vào phương
pháp Gipxơ một cách khác nhau.
3.2. Áp dụng định lý phân bố đều động năng tính nhiệt dung của vật rắn
Định lý về sự phân bố đều động năng là hệ quả trực tiếp của phân bố
chính tắc Gipxơ cho phép áp dụng vào việc tính nội năng cũng như nhiệt dung
của vật rắn. [2][3]
Giả sử vật rắn gồm N nguyên tử, mỗi một nguyên tử đó tham gia trong
chuyển động dao động và có ba bậc tự do, các nguyên tử trong vật rắn có 3N
bậc tự do. Mỗi nguyên tử thường thực hiện các dao động phức tạp bao gồm
nhiều chuyển động dao động điều hòa, mỗi bậc tự do chỉ ứng với một dao
động điều hòa đơn giản. Một vật rắn sẽ tương đương với một hệ gồm 3N dao
động tử điều hòa, hệ này sẽ được diễn tả bằng 3N phương trình có dạng:
.
Trong đó là tọa độ chuẩn. Đối với một hệ như vậy, hàm Hamiton có biểu
thức:
Biết mỗi bậc tự do dao động ứng với năng lượng bằng kT. Bây giờ ta tìm
năng lượng của chuyển động dao động của tất cả các nguyên tử thực hiện
chuyển động nhiệt trong vật rắn. Muốn vậy ta nhân kT với số bậc tự do dao
động 3N.
Nhiệt dung của 1 mol vật rắn là:
Cv = 3N0k = 6 cal/mol. độ
32
Đó chính là định luật Dulong – Petit.
Từ đồ thị bên đã chỉ rõ, định luật CV 6 cal/mol Dulong - Petit không phải là đúng với mọi
vật rắn và trong mọi khoảng nhiệt độ.
Sự tăng lên của nhiệt dung khi nhiệt T độ tăng lên có thể giải thích theo quan
điểm cổ điển, (vì khi nhiệt độ tăng thì các
dao động trở thành phi điều hòa). Còn sự giảm nhiệt dung ở nhiêt độ thấp thì
không thể giải thích được bằng lý thuyết cổ điển.
Do đó, lý thuyết cổ điển chỉ phù hợp một cách thỏa đáng với thực
nghiệm, đối với các chất riêng biệt và trong một khoảng nhiệt độ nhất định,
khá hẹp. Khó khăn khi giải quyết nhiệt dung của vật rắn khi nhiệt độ giảm nói
lên nhược điểm của quan điểm cố điển. Vấn đề trên chỉ được giải quyết trong
khuôn khổ của thống kê lượng tử và ta sẽ thấy rằng, các trị số cổ điển của
nhiệt dung chỉ là một trường hợp đặc biệt của các công thức tổng quát của
nhiệt dung tìm được trong thống kê lượng tử.
3.3. Một số bài tập ứng dụng
Bài 1: Sử dụng định lý phân bố đều động năng theo các bậc tự do và
định lý virian dưới dạng , tính năng lượng trung bình của dao
động tử điều hòa tuyến tính? [4]
Bài làm
Hàm Hamiton của dao động tử là: .
Do đó, năng lượng trung bình của dao động tử là:
(1)
33
Theo định lý phân bố đều động năng ta có:
(2)
Vì nên
Theo định lý virian, ta có:
Từ biểu thức của H, ta lại có:
(3)
Thay (2), (3) vào (1) ta tìm được:
Bài 2: Sử dụng định lý virian tính năng lượng trung bình của dao động tử
có thế năng [3]
Bài làm
Hàm Hamiton của dao động tử là: .
Do đó, năng lượng trung bình của dao động tử là:
(1)
Theo định lý phân bố đều động năng ta có:
(2)
Vì nên .
34
Theo định lý virian, ta có:
Từ biểu thức của H, ta lại có:
(3)
Thay (2), (3) vào (1) ta tìm được:
Bài 3: Nhiệt dung của chì và nhôm ở nhiệt độ 20 C, thể tích không đổi
tương ứng là 126 J/kg.độ và 896 J/kg.độ. Tính nhiệt dung kilomol đối với các
kim loại này và so sánh với kết quả nhận được từ định luật Đuylông – Pơti
(Dulong – Petit). [4]
Bài làm
Nhiệt dung mol của một vật Cv = CA, trong đó C là nhiệt dung riêng, A
là nguyên tử lượng.
Nhiệt dung mol của chì:
= 126.207,21 26,1 kJ/kmol.độ ;
Nhiệt dung mol của nhôm:
kJ/kmol.độ.
Nhiệt dung của vật rắn theo định luật Đuy lông – Pơ ti (Dulong – Petit):
3R = 3.8,32.103 kJ/kmol.độ = 24,96 kJ/kmol.độ.
Thành thử nhiệt dung của chì lớn hơn còn nhiệt dung của nhôm gần bằng
nhiệt dung vật rắn tính theo định luật Đuy lông – Pơti.
35
Kết luận chương 3
Nội dung chương 3 chúng tôi đã trình bày một số áp dụng của phân bố
Gipxơ như xác định thăng giáng bằng phương pháp Gipxơ, áp dụng định lí về
sự phân bố đều động năng để tính nhiệt dung của vật rắn và một số bài tập
ứng dụng.
36
KẾT LUẬN
Khóa luận tốt nghiệp đã giúp chúng ta tìm hiểu sâu sắc hơn về các luận
đề cơ bản của vật lí thống kê, các phân bố thống kê cổ điển và các ứng dụng
của nó.
Khóa luận là tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn sinh viên đam mê
nghiên cứu chuyên ngành vật lí lý thuyết nói riêng và vật lí nói chung.
Vì thời gian có hạn nên đề tài nghiên cứu mới chỉ đề cập tới một số mặt
của vấn đề. Mặt khác đây là lần đầu tiên thực hiện một đề tài nghiên cứu khoa
học nên khóa luận không thể tránh khỏi những thiếu sót, kính mong sự đóng
góp nhiệt tình của thầy, cô và các bạn sinh viên để đề tài được hoàn thiện hơn.
37
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Quang Báu (chủ biên) , Bùi Bằng Đoan (1999), Vật lí thống kê,
NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
[2] Vũ Văn Hùng (2006), Vật lí thống kê, NXB Đại học Sư phạm.
[3] Vũ Thanh Khiết (1996), Nhiệt động lực học và vật lí thống kê, NXB Đại
Học Quốc Gia Hà Nội.
[4] Nguyễn Hữu Mình (Chủ biên), Tạ Duy Lợi, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng
Tường (2009), Bài tập vật lí lý thuyết (tập 2), NXB Giáo Dục.
[5] Phạm Quý Tư (1996), Nhiệt động lực học và vật lí thống kê, NXB Giáo
dục.
[6] Wed http://tailieu.vn/tag/vat-ly-thong-ke-co-dien.html.
38
