TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
HỆ THỐNG VÀ ỨNG DỤNG CỦA MỘT SỐ
HÀM TOÁN ĐẶC BIỆT TRONG VIỆC
GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN
VŨ HOÀNG THANH TRANG
Thành phố Hồ Chí Minh - 2020
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA VẬT LÝ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
HỆ THỐNG VÀ ỨNG DỤNG CỦA MỘT SỐ
HÀM TOÁN ĐẶC BIỆT TRONG VIỆC
GIẢI CÁC BÀI TOÁN BIÊN
Tổ bộ môn: Toán lý
Người hướng dẫn: TS. Lương Lê Hải
Sinh viên thực hiện: Vũ Hoàng Thanh Trang
MSSV: 42.01.102.119
Thành phố Hồ Chí Minh - 2020
LỜI MỞ ĐẦU
Để khóa luận đạt kết quả như hôm nay, trong quá trình bắt đầu và hoàn thiện
em đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ từ quý thầy cô, bạn bè và gia đình. Em xin
gửi lời cảm ơn chân thành đến:
Đầu tiên là thầy Lương Lê Hải - giảng viên định hướng và trực tiếp hướng dẫn
em trong suốt quá trình làm khóa luận. Thầy luôn đồng hành giúp đỡ, động viên,
chỉ dẫn tận tâm khi em gặp vấn đề khó hiểu. Ngoài ra, em còn nhận được từ thầy
sự tự tin, kinh nghiệm sống và niềm đam mê nghiên cứu khoa học.
Thứ hai, các thầy, cô trong Khoa Vật lý đã giảng dạy, truyền cho em những
kiến thức chuyên môn nền tảng, kĩ năng, phương pháp để em có thể vững bước
vào nghề trong tương lai.
Cùng với đó là gia đình và bạn bè thân thiết luôn bên cạnh và giúp đỡ em trong
thời gian qua.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn.
Tp.HCM, ngày 30 tháng 06 năm 2020
gdggjsdgbgvvvfbfbbfbfgjhjhsdghfdfgsygdysysfysghf Vũ Hoàng Thang Trang
Mục lục
Mục lục 2
Mở đầu 3
1 Hệ thống một số hàm toán đặc biệt 5
1.1 Hàm Bessel và các hàm trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm Bessel . . . . . 6
1.1.2 Các hàm trụ khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Đa thức Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Đa thức trực giao cổ điển Legendre . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Đa thức Legendre liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Hàm cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hàm cầu . . . . . . . 19
1.3.2 Hàm riêng của quả cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Ứng dụng của các hàm toán đặc biệt trong việc giải các bài toán
biên 25
2.1 Bài toán về sự làm nguội của hình trụ tròn dài vô hạn . . . . . . . . 25
2.2 Bài toán khảo sát sự rung động của bề mặt trống . . . . . . . . . . 29
2.3 Bài toán tán xạ vô hướng trên phỏng cầu dài . . . . . . . . . . . . . 34
Kết luận và hướng phát triển 41
Tài liệu tham khảo 42
Phụ lục 44
Công bố khoa học 49
2
Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Ngày nay, với sự phát triển mạnh mẽ của vật lý lý thuyết và vật lý toán việc
sử dụng các hàm toán đặc biệt đã trở nên rất cần thiết [1]. Tầm quan trọng của
các hàm đặc biệt này có liên quan đến hai yếu tố cơ bản. Thứ nhất, khi khảo sát
các mô hình toán học của các hiện tượng vật lý xảy ra trong tự nhiên, ban đầu
chúng ta cần khảo sát những bài toán đã được đơn giản hóa, tức là những bài toán
mà nghiệm của chúng có thể tìm được ở dạng giải tích (nghiệm chính xác). Thứ
hai, những bài toán đã được đơn giản hóa này có thể được sử dụng như là phép
thử (hàm cơ sở) hữu hiệu cho việc lựa chọn những thuật toán số học để giải quyết
những bài toán vật lý phức tạp hơn.
Trong quá trình khảo sát những bài toán vật lý lý thuyết hay vật lý toán chúng
ta thường sử dụng những hàm đặc biệt khác nhau. Nghiệm của nhiều bài toán vật
lý quan trọng có liên quan đến các vấn đề như nghiên cứu các quá trình truyền
nhiệt và tương tác bức xạ với các chất [2], sự lan truyền của các sóng điện từ và
sóng âm [3], khảo sát lý thuyết phản ứng hạt nhân và cấu trúc bên trong của các
sao, dẫn đến việc tìm hàm riêng của bài toán Sturm – Liouville chứa phương trình
Laplace hay Helmholts, mà có thể được tìm thấy ở dạng giải tích chỉ đối với một
số lượng nhỏ các miền khảo sát [4].
Trong các trường hợp các miền khảo sát có dạng đơn giản nhất, như là đoạn
thẳng, hình chữ nhật hay hình bình hành thì các nghiệm hàm này được biểu diễn
thông qua các hàm sơ cấp cơ bản. Đối với những miền có dạng hình tròn, hình trụ,
hình cầu hay những miền phức tạp hơn thì các hàm riêng được biểu diễn thông
qua các hàm đặc biệt [5]. Trong thực tiễn những hàm đặc biệt thường đóng vai trò
như là nghiệm của những phương trình vi phân khác nhau của các bài toán vật lý.
Từ đó, có thể thấy các hàm đặc biệt có ứng dụng vô cùng to lớn trong các ngành
khoa học tự nhiên, đặc biệt là vật lý lý thuyết và vật lý toán. Vì vậy việc khảo sát
và nghiên cứu một số hàm toán đặc biệt trong việc ứng dụng giải các bài toán vật
lý là một nhiệm vụ thiết yếu của người nghiên cứu khoa học tự nhiên.
Trong đề tài khóa luận này chúng tôi sẽ khảo sát những hàm toán đặc biệt
3