ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA TP.HCM TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC KHOA HOÏC TÖÏ NHIEÂN KHOA VAÄT LYÙ CHUYEÂN NGAØNH VAÄT LYÙ HAÏT NHAÂN (cid:1)(cid:2)(cid:3)
KHOÙA LUAÄN TOÁT NGHIEÄP
Ñeà taøi:
MOÂ PHOÛNG MAÃU LÔÙP BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP
SHELL MODEL MONTE CARLO (SMMC)
SVTH : LYÙ TUÙ ANH
CBHD : Th.S TRÖÔNG THÒ HOÀNG LOAN
CN ÑAËNG NGUYEÂN PHÖÔNG
CBPB : PGS.TS. CHAÂU VAÊN TAÏO
TP. HOÀ CHÍ MINH - 2008
Lôøi caûm ôn
“ÔÛ ñôøi khoâng coù con ñöôøng cuøng maø chæ coù nhöõng ranh giôùi ñieàu coát
yeáu laø phaûi coù ñuû söùc maïnh ñeå vöôït qua nhöõng ranh giôùi ñoù.”
( Muøa laïc – Nguyeãn Tuaân)
Thaät vaäy! Thöïc hieän khoùa luaän naøy coù theå noùi laø moät ranh giôùi trong
cuoäc ñôøi cuûa moãi sinh vieân. Ñeå hoaøn thaønh noù, moãi chuùng ta phaûi coù “ñuû söùc
maïnh”. Nhöng ñeå coù ñuû söùc maïnh, ngoaøi noå löïc cuûa baûn thaân mình, chính söï
taän tuïy cuûa thaày coâ, söï yeâu thöông cuûa gia ñình, söï nhieät tình cuûa beø baïn môùi
coù theå giuùp em coù “ ñuû söùc maïnh”. Vaø ñaàu tieân em xin göûi lôøi tri aân ñeán caùc
thaày coâ Boä moân Vaät lyù Haït nhaân ñaëc bieät laø Thaïc só Tröông thò Hoàng Loan ñaõ
höôùng daãn em hoaøn thaønh toát khoùa luaän naøy. Trong quaù trình hoaøn thaønh khoùa
luaän, ñaõ vaáp phaûi raát nhieàu khoù khaên. Do ñoù, em xin caùm ôn ngöôøi ñaõ giuùp cho
em raát nhieàu ñeå giaûi quyeát caùc khoù khaên ñoù: Cöû nhaân Ñaëng Nguyeân Phöông.
Tieáp theo, em xin göûi lôøi tri aân vaø voâ cuøng bieát ôn ñeán ba maù ñaõ vaát vaû
cöïc khoå ñeå em coù theå ñi hoïc vaø tröôûng thaønh nhö ngaøy hoâm nay. Neáu nhö
khoâng coù söï vaát vaû, khoå cöïc aáy, em seõ khoâng coù ngaøy hoâm nay!
Cuoái cuøng laø lôøi caûm ôn cuûa em ñoái vôùi taát caû ngöôøi baïn cuûa mình. Duø
vui hay buoàn caùc baïn ñeàu luoân ôû beân mình, uûng hoä, chia seû cuøng mình. Vaø ñieàu
naøy ñaõ goùp phaàn khoâng nhoû ñeå mình coù theå hoaøn thaønh khoùa luaän. Caùm ôn caùc
baïn!
1
MUÏC LUÏC
Trang MUÏC LUÏC ..................................................................................................................... 1 CAÙC KYÙ HIEÄU VIEÁT TAÉT .......................................................................................... 2 DANH MUÏC CAÙC HÌNH VEÕ - ÑOÀ THÒ - BAÛNG BIEÅU ............................................ 3 LÔØI MÔÛ ÑAÀU................................................................................................................ 4 Chöông 1 TỔNG QUAN MAÃU LÔÙP ............................................................................ 6 1.1 Môû ñaàu ............................................................................................................ 6 1.2 Maãu lôùp ........................................................................................................... 6 Chöông 2 CAÙC PHƯƠNG PHAÙP MOÂ PHOÛNG MONTE CARLO CHO HAÏT NHAÂN ...................................................................................................................................... 15 2.1 Môû ñaàu .......................................................................................................... 15 2.2 Ñònh nghóa phöông phaùp Monte Carlo......................................................... 15 2.3 Moâ phoûng Monte Carlo cho haït nhaân .......................................................... 15 2.4 Moät soá phöông phaùp Monte Carlo ............................................................... 17 2.5 Phöông phaùp SMMC (Shell Model Monte Carlo)....................................... 21 Chöông 3 MOÂ PHOÛNG MAÃU LÔÙP ............................................................................ 27 3.1 Môû ñaàu .......................................................................................................... 27 3.2 Pheùp nghòch ñaûo ma traän.............................................................................. 27 3.3 Caùch tính cho maãu lôùp.................................................................................. 30 3.4 Chöông trình ..........................................................................................................43 3.5 Keát quaû vaø nhaän xeùt.............................................................................................44 KEÁT LUAÄN.................................................................................................................. 47 KIEÁN NGHÒ ................................................................................................................. 47 TAØI LIEÄU THAM KHAÛO ........................................................................................... 48 Phuï luïc 1 ...................................................................................................................... 50 Phuï luïc 2 ...................................................................................................................... 62 Phuï luïc 3 ...................................................................................................................... 63
2
CAÙC KYÙ HIEÄU VIEÁT TAÉT
AFMC Phöông phaùp Auxiliary Field Monte Carlo.
DMC Phöông phaùp Monte Carlo khuyeách taùn.
GCMC Phöông phaùp Grand Canonical Monte Carlo.
GFMC Phöông phaùp Green’s Fucntion Monte Carlo.
SMMC Phöông phaùp Shell Model Monte Carlo.
PIMC Phöông phaùp Path Integral Monte Carlo.
PMC Phöông phaùp Projector Monte Carlo.
QMCD Phöông phaùp Quantum Monte Carlo Diagonalization.
VMC Phöông phaùp bieán phaân Monte Carlo.
3
DANH MUÏC CAÙC HÌNH VEÕ - ÑOÀ THÒ - BAÛNG BIEÅU
Caùc hình veõ
Trang
Hình 1.1 : Sô ñoà phaân boá caùc lôùp cuûa caùc nucleon trong haït nhaân…………….13
Hình 2.1 : Söï giao thoa cuûa caùc lôùp trong haït nhaân…………………………….18
Hinh2.2 : So saùnh ñoà thò naêng löôïng lieân keát theo soá nguyeân töû baèng caùc
phöông phaùp khaùc nhau LDA, DMC, HF vaø thöïc nghieäm…………....19
Hình 2.3 : Minh hoïa phöông phaùp GFMC baèng moâ phoûng naêng löôïng ôû
traïng thaùi cô baûn cuûa moät soá haït nhaân………………………………...20
Hình 2.4 : Soá yeáu toá ma traän vôùi caùc khoâng gian maãu khaùc nhau……………...26
Hình 3.1 : Minh hoïa nhöõng quyõ ñaïo cuûa sô ñoà maãu lôùp………………………..32
Hinh 3.2 : Töông taùc dö trong maãu sô ñoà……………………………………….33
Hình 3.3 : Nhöõng ñöôøng ñaúng trò cuûa Hamiltonian ñoái vôùi N=8, χ =0.25……...40
Hình 3.4 : Nhöõng ñöôøng ñaúng trò Hamiltonian ñoái vôùi N=8, χ =2.5……………41
HìnhPL2.1 : Giao dieän “Chöông trình tính naêng löôïng baèng SMMC”……………63
HìnhPL2.2: Giao dieän tính thöû naêng löôïng cuûa nhaân He8 vôùi soá voøng laëp N=1000 ……………………………………………………………………………………...64
Caùc baûng
Baûng 3.1 : So saùnh keát quaû thöïc nghieäm, SMMC, GFMC, vaø VMC…………...45
Caùc ñoà thò
Ñoà thò 3.1 : So saùnh keát quaû giöõa thöïc nghieäm, SMMC, GFMC, vaø VMC……...46
4
LÔØI MÔÛ ÑAÀU
OÂng baø ta coù caâu:
Nhaân voâ thập toaøn.
Vaø liệu trong thế giới khoa học, treân bước đường chinh phục vaø laøm chủ thế
giới ấy điều naøy coù ñuùng khoâng!
Chuùng ta đều biết rằng trong thời đại hiện nay, với sự phaùt triển vượt trội vaø
khoâng ngừng, dường như khoâng coù gì laø khoâng thể, nhaân loại ñaõ đạt được những
thaønh tựu to lớn về khoa học kỹ thuật. Tuy nhieân, beân cạnh đoù, chuùng ta vẫn đang
đối mặt những vấn đề nan giải đặc biệt laø trong lĩnh vực vật lyù hạt nhaân. Trong lĩnh
vực naøy, điều khoù khăn nhất hiện nay laø xaây dựng một lyù thuyết hoaøn chỉnh về cấu
truùc hạt nhaân. Trong thời gian qua ñaõ coù nhiều mẫu cấu truùc ra đời, tuy nhieân,
chưa coù một lyù thuyết naøo giải thích toaøn diện vaø chính xaùc. Mỗi mẫu cấu truùc chỉ
giải thích được một số tính chất của hạt nhaân hay noùi caùch khaùc laø chuùng bổ sung
cho nhau. Trong đoù, Mẫu Lớp laø giải thích được nhiều hiện tượng hạt nhaân nhất.
Vaø việc nghieân cứu mẫu lớp trở neân được quan taâm hơn. Chính vì thế, nhiều
phương phaùp để nghieân cứu mẫu lớp đaõ ra đời vaø ngaøy caøng chính xaùc hơn. Một
trong những phương phaùp đoù laø phương phaùp moâ phỏng Monte Carlo Mẫu Lớp
(Shell Model Monte Carlo – SMMC).
Phương phaùp Monte Carlo Mẫu Lớp xuất phaùt từ phương phaùp Monte Carlo
kết hợp với baøi toaùn lượng tử hoùa lần 2 (caùc toaùn tử sinh – hủy hạt). Phương phaùp
naøy cũng ñaõ đạt được những thaønh coâng ñaùng kể như giải cho caùc hệ nhiều hạt (C,
O, N,…), tính được năng lượng ở caùc trạng thaùi cơ bản vaø kích thích, tính được
moment từ của hạt nhaân, … Caùc kết quả thu được khaù phuø hợp với thực nghiệm so
với caùc phương phaùp khaùc. Việc thực hiện ít rườm raø, ít phức tạp hơn caùc phương
5
phaùp hiện đại hiện nay như DMC, PIMC…. Đoù cũng laø lyù do tại sao taùc giaû chọn
phương phaùp naøy cho khoùa luận của mình.
Khoùa luận đaõ duøng phương phaùp SMMC tính caùc mức năng lượng của hạt
nhaân He4, He6, He8.
Khoùa luaän goàm 3 chöông:
• Chöông 1: Toång quan maãu lôùp.
• Chöông 2: Caùc phöông phaùp moâ phoûng Monte Carlo cho haït nhaân.
• Chöông 3: Moâ phoûng maãu lôùp.
Do thôøi gian hoaøn thaønh khoùa luaän coù haïn cuõng nhö sai soùt laø ñieàu khoâng
theå traùnh khoûi, taùc giaû mong nhaän ñöôïc söï caûm thoâng vaø goùp yù cuûa quyù thaày coâ
giuùp hoaøn thieän hôn veà ñeà taøi naøy.
6
Chöông 1
TỔNG QUAN MAÃU LÔÙP
1.1 Môû ñaàu
Cho ñeán nay, maëc duø khoa hoïc ñaõ raát phaùt trieån nhöng theá giôùi haït nhaân
vaãn coøn laø moät theá giôùi ñaày bí aån ñoái vôùi chuùng ta. Moät trong nhöõng noã löïc cuûa
caùc nhaø vaät lyù hieän nay laø xaây döïng moät lyù thuyeát hoaøn chænh ñeå giaûi thích toaøn
dieän vaø ñuùng ñaén taát caû soá lieäu thöïc nghieäm. Song ñoù vaãn coøn laø moät giaác mô!
Do ñoù, caùc maãu haït nhaân laàn löôït ra ñôøi: maãu töông taùc maïnh (ñaïi dieän laø maãu
gioït chaát loûng), maãu caùc haït ñoäc laäp (ñieån hình laø maãu lôùp), maãu suy roäng (keát
hôïp hai maãu treân). Vaø chöa coù maãu naøo giaûi thích toaøn dieän veà haït nhaân. Nhöng
maãu lôùp vaãn laø moâ hình veà caáu truùc haït nhaân ñöôïc aùp duïng ñeå giaûi thích nhieàu
hieän töôïng haït nhaân nhaát.
Maãu lôùp cuõng chính laø noäi dung ñöôïc trình baøy trong phaàn naøy.
1.2 Maãu lôùp
1.2.1 Nhöõng bieåu hieän toàn taïi maãu lôùp trong haït nhaân. Noäi dung maãu lôùp
1.2.1.1 Nhöõng bieåu hieän toàn taïi cuûa maãu lôùp [1]
Thöïc nghieäm cho thaáy naêng löôïng lieân keát cuûa caùc nhaân coù soá neutron vaø
soá proton truøng vôùi caùc soá: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126 coù nhöõng tính chaát raát ñaëc bieät.
Caùc nhaân naøy goïi laø nhaân magic. Chuùng coù caùc tính chaát sau:
Naêng löôïng lieân keát cuûa caùc nhaân magic lôùn hôn so vôùi caùc nhaân beân caïnh.
Thöïc nghieäm cho thaáy naêng löôïng lieân keát cuûa caùc nhaân coù soá proton hay neutron
truøng vôùi 3, 9, 21, 29, 51, 83 vaø 127 laø ñaëc bieät nhoû. Töùc laø nhaân beân caïnh nhaân
magic coù naêng löôïng lieân keát beù hôn nhieàu so vôùi nhaân magic.
7
Tính beàn vöõng cuûa nhaân magic theå hieän ôû ñoä giaøu cao cuûa chuùng trong töï
nhieân. Caùc nhaân naøy toàn taïi nhieàu treân traùi ñaát.
Tính beàn vöõng cao cuûa nhaân magic coøn theå hieän trong söï giaûm tieát dieän baét
neutron. Xaùc suaát chieám neutron cuûa caùc nhaân magic laø raát beù. Nghóa laø caùc nhaân
magic raát khoù phaûn öùng baét neutron khi bò chuøm neutron ñaäp vaøo.
Moment töù cöïc ñieän cuûa caùc nhaân magic laø nhoû. Nghóa laø caùc nhaân magic
coù caáu truùc ñoái xöùng caàu, vì raèng ñoä lôùn moment töù cöïc ñieän ñaùnh giaù ñoä bieán
daïng cuûa nhaân khoûi tính ñoái xöùng caàu veà phöông dieän ñieän tích.
Theo coâng thöùc baùn thöïc nghieäm Weiszacker, naêng löôïng cuûa α haït phaùt ra
bôûi nhöõng haït nhaân phoùng xaï phaûi taêng theo baäc soá Z. Nhöng trong thöïc teá, ñaõ
phaùt hieän coù tröôøng hôïp ngoaïi leä cho quy luaät naøy laø haït nhaân polonium coù Z=84
phaùt ra haït α coù naêng löôïng cao hôn naêng löôïng cuûa haït α ñöôïc phaùt ra cuûa haït
nhaân ñi sau noù. Noùi chung, nhöõng haït α coù naêng löôïng cao nhaát ñöôïc phaùt ra bôûi
nhöõng haït nhaân phoùng xaï coù N=128; Z=84; N=84 ñeå bieán ñoåi thaønh haït nhaân coù
N=126; Z=82; N=82.
1.2.1.2 Noäi dung maãu lôùp [2]
Noäi dung cuûa maãu lôùp bao goàm:
• Moãi nucleon trong nhaân chuyeån ñoäng trong moät tröôøng theá trung bình töï hôïp
coù tính ñoái xöùng caàu (taïo ra bôûi caùc nucleon coøn laïi).
• Caùc nucleon trong nhaân ñöôïc taäp hôïp thaønh nhoùm theo caùc möùc naêng löôïng.
Treân moãi möùc naêng löôïng chæ coù theå chöùa moät soá giôùi haïn caùc nucleon.
• Caùc haït nhaân magic laø caùc haït nhaân coù soá nucleon chieám ñaày moät lôùp naøo ñoù.
1.2.2 Nhöõng pheùp tính vôùi maãu lôùp
Muïc tieâu cuûa nhöõng tính toaùn trong maãu lôùp laø tìm naêng löôïng vaø phoå naêng
löôïng cuûa haït nhaân.
Tröôùc tieân, ta seõ tìm hieåu qua veà ñònh thöùc Slater[8]:
8
Trong cô hoïc löôïng töû, ñònh thöùc Slater laø bieåu thöùc mieâu taû haøm soùng cuûa
heä fermion maø heä naøy mang tính phaûn xöùng vaø tuaân theo nguyeân lyù ngoaïi tröø
Pauli töùc khi moãi caëp femion ñoåi choã heä seõ ñoåi daáu moät laàn. Noù ñöôïc mang teân
cuûa ngöôøi khaùm phaù ra noù, John C.Slater. Ông ñaõ tìm ra ñònh thöùc Slater nhö laø
phöông tieän dieãn ñaït tính phaûn xöùng cuûa haøm soùng baèng ma traän. Ñònh thöùc Slater
phaùt xuaát töø vieäc ngoaïi suy haøm soùng cuûa moät taäp hôïp electron maø moãi haøm soùng
ñöôïc coi nhö laø spin quyõ ñaïo χ(x) , x laø vò trí vaø spin cuûa electron ñôn leû vaø khoâng
coù haøm soùng cuûa 2 electron cuøng spin quyõ ñaïo. (Nguyeân lyù ngoaïi tröø Pauli)
1.2.2.1 Ñònh thöùc Slater trong tröôøng hôïp 2 haït
Caùch ñôn giaûn nhaát xaáp xæ haøm soùng cuûa heä nhieàu haït laø tích cuûa caùc haøm
)χ
(x
)
=
soùng cuûa caùc haït ñoäc laäp. Ñoái vôùi tröôøng hôïp 2 haït ta coù:
)x,ψ(x 1 2
(xχ 1
1
2
2
(1.1)
Bieåu thöùc naøy ñöôïc goïi laø tích Hatree. Tuy nhieân, noù khoâng thoaû cho haït
fermion bôûi haøm soùng treân khoâng phaûn xöùng. Moät haøm soùng phaûn xöùng ñöôïc bieåu
ψ(x
ψ(x
−=
dieãn moät caùch toaùn hoïc nhö sau:
)x, 2
1
)x, 1
2
(1.2)
Vì vaäy, tích Hatree khoâng thoaû nguyeân lyù ngoaïi tröø Pauli. Vaán ñeà naøy
1
{χ
(x
)χ
(x
)
)χ
(x
)}
ψ(x
=
−
)x, 2
1
1
1
2
2
(xχ 1
2
2
1
2
1
1
1
=
ñöôïc khaéc phuïc baèng caùch keát hôïp tuyeán tính caû 2 tích Hatree:
) )
) )
2
(xχ 1 (xχ 1
2
(xχ 2 (xχ 2
2
(1.3)
Heä soá tröôùc ñònh thöùc coù ñöôïc töø ñieàu kieän chuaån hoaù. Haøm soùng naøy phaûn
xöùng vaø hôn nöõa phaân bieät giöõa caùc fermion. Tuy nhieân, noù cuõng tieán veà 0 neáu
hai haøm soùng hoaëc hai fermion gioáng nhau. Ñieàu naøy thoaû maõn nguyeân lyù ngoaïi
tröø Pauli.
9
1.2.2.2 Ñònh thöùc Slater trong tröôøng hôïp toång quaùt
Bieåu thöùc naøy coù theå ñöôïc toång quaùt hoaù ñoái vôùi soá fermion baát kyø baèng
1
1
1
) )
) )
) )
1
(xχ 1 (xχ 1
2
(xχ 2 (xχ 2
2
(xχ n (xχ n
2
L L
ψ(x
x,
,...,
caùch vieát noù döôùi daïng ñònh thöùc.
=)x N
2
1
N!
)
)
)
M (xχ 1
n
M (xχ 2
n
M (xχ n
n
L
(1.4)
Keát hôïp tuyeán tính caùc tích Hatree trong tröôøng hôïp hai haït, deã daøng thaáy
ñöôïc ñoù chính laø ñònh thöùc Slater khi N=2. Ta coù theå chaéc chaén raèng việc söû duïng
ñònh thöùc Slater thoaû caùc haøm soùng treân moïi taäp hôïp, coøn caùc haøm soùng ñoái xöùng
töï khaéc ñöôïc loaïi boû. Töông töï, caùc ñònh thöùc naøy cuõng thoaû nguyeân lyù Pauli.
Thöïc vaäy, ñònh thöùc Slater seõ bieán maát neáu taäp hôïp { }iχ laø ñoäc laäp tuyeán tính.
Ñaây chính laø tröôøng hôïp coù hai hay nhieàu hôn spin quyõ ñaïo gioáng nhau. Trong
hoaù hoïc, ngöôøi ta dieãn ñaït ñieàu naøy nhö sau: trong cuøng moät traïng thaùi khoâng coù
2 electron cuøng spin quyõ ñaïo. Toång quaùt ñònh thöùc Slater ñöôïc tính baèng khai
trieån Laplace. Theo toaùn hoïc, ñònh thöùc Slater laø moät tensor phaûn xöùng.
Ñònh thöùc Slater ñôn ñöôïc duøng xaáp xæ haøm soùng electron trong thuyeát
Hatree-Fock. Trong nhöõng thuyeát chính xaùc hôn, söï keát hôïp tuyeán tính caùc ñònh
thöùc Slater laø ñieàu caàn thieát.
Tieáp theo, ta seõ trình baøy caùch tìm naêng löôïng vaø phoå naêng löôïng trong haït
nhaân. Ta coù theå laøm ñieàu naøy baèng caùch giaûi phöông trình Schrodinger hoaëc
löôïng töû hoaù laàn ΙΙ.
10
1.2.2.3 Giaûi phöông trình Schrodinger (löôïng töû hoaù laàn Ι)
Eφ
φHˆ =
Ta giaûi phöông trình Schrodinger nhö sau:
Ta coù phöông trình: (1.5)
A
A
Hˆ
=
+
Hamiltonian coù daïng:
)
( ξ,ξW k
l
∑
∑
2 pˆ k 2m
k
1k =
<
k
l
≡
}
k
k
(1.6)
ξ pˆ
k
k
rr r { τ,σ,r k k i ∇−= h
(1.7) Vôùi
kξ : Vị trí hạt thứ k. krr : Bán kính hạt thứ k; kσr : Spin của hạt thứ k; kτr : Iso spin của hạt thứ k.
Trong đó:
kpˆ
( ξ,ξW k
: Xung lượng hạt thứ k
)l
: Theá töông taùc theo vò trí giöõa haït thöù k vaø thöù l .
A
A
A
Hˆ
−
=
+
( ξV
)
( ξV
k
( ξ,ξW k
k
l
∑
∑
∑
[6] (1.8)
2 pˆ k 2m
k
1k =
<
1k =
k
⎤ ) ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
l
⎤ ) +⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
Ta seõ bieán ñoåi toaùn töû treân thaønh 2 yeáu toá: tröôøng trung bình vaø töông taùc dö
A
Hˆ
≈
+
Vôùi giaû thieát caùc haït ñoäc laäp, choïn V phuø hôïp vaø loaïi boû töông taùc dö ta coù:
( ξV
k
∑
2 pˆ k 2m
1k =
k
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ) ⎥ ⎦
(1.9)
V(ξ
)]φ
(k)
[
+
=
Töø ñaây, ta coù phöông trình Schrodinger ñoái vôùi moät haït:
i
(k)φE i
i
k
2 pˆ k 2m
k
≡
(1.10)
(
( ) kφ i
rr r τ,σ,rφ k
k
i
)k
(1.11) vôùi
11
A
Φ
A,
φ
=
( 1,2,
)
( ) k
i
i
ii 21
A
k
K
K
∏
Do caùc haït ñoäc laäp ta coù:
1k =
(1.12)
A
ΦHˆ
A,
Suy ra phöông trình Schrodinger cho heä nhieàu haït:
( 1,2,
)
( 1,2,
)A,
i
ii 21
A
ii 21
A
k
K
K
i K
i K
1k =
⎛ = ∑ ⎜ ⎝
⎞ ΦE ⎟ ⎠
(1.13)
Φ
Caùc nucleon ñöôïc xem nhö laø caùc haït fermion do ñoù haøm soùng bieåu dieãn
( 1,2,
)A,
ii 21
A
K
i K
laø phaûn xöùng, vaø coù daïng ñònh noù laø haøm soùng phaûn xöùng töùc
1
1
1
) )
( ) 1φ i ( ) 1φ i
( ) 2φ i ( ) 2φ i
( Aφ i ( Aφ i
2
2
2
Φ
(1,2,...,
A)
=
thöùc Slater nhö sau:
ii 1
i A2...
1 A!
M
( )
M ( )Aφ
i
i
i
A
A
A
K K OM ( ) 2φ1φ K
(1. 14)
ζ
r s.
ζ
=
−
−
Coâng vieäc coøn laïi laø ta choïn theá V phuø hôïp vaø ñöa vaøo phöông trình giaûi.
[6] (1.15)
( ξV
)
k
2 2 rmω k
k
s
2 k
r l
r l
l
ll
1 2
A
ζ
r s.
ζ
+
−
−
Choïn
2 2 rmω k
k
k
s
2 k
r l
l
l
ll
≈Hˆ ∑
2 pˆ k 2m
1 2
1k =
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
Luùc naøy: (1.16)
lsζ : ñaëc tröng töông taùc spin_quyõ ñaïo
llζ : ñaëc tröng töông taùc quyõ ñaïo_quyõ ñaïo
Vôùi ω : haèng soá dao ñoäng ñieàu hoaø
( 3 heä soá naøy ñöôïc choïn toát nhaát baèng xaáp xæ Hartree-Fock)
12
Vôùi theá treân, ta coù phoå naêng löôïng nhö sau:
Dao ñoäng ñieàu hoaø
Hình 1.1[6]: Sô ñoà phaân boá caùc lôùp cuûa caùc nucleon trong haït nhaân
13
−
−
2
1 3
2 3
41A
MeV
ζ
20A
MeV
ζ
0.1MeV
s
ω ≈h
≈hl
2 ≈hll
Caùc thoâng soá [6]:
Ta ñöôïc caùc soá magic: 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126, …
+
1.2.2.4 Löôïng töû hoaù laàn ΙΙ[5]
αa vaø αa laàn löôït laø toaùn töû sinh vaø huyû haït ôû traïng thaùi α, coù daïng ma
Goïi
10
00
=
traän:
αa
=+ αa
00
01
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ ⎜⎜ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
(1.17)
Nhö ta ñaõ bieát moãi traïng thaùi haït nhaân ñöôïc ñaëc tröng bôûi caùc soá löôïng töû
ljm (l: moment goùc quyõ ñaïo; j: moment goùc toaøn phaàn; m: hình chieáu cuûa j treân
truïc z), ôû ñaây ta duøng α ñeå thay theá cho boä ljm. Moät soá tröôøng hôïp ta coøn xeùt caû
HˆHˆ =
isospin τ khi xeùt ñeán traïng thaùi cuûa haït töùc luùc naøy α ≡ ljmτ.
1 Hˆ +
2
Hˆ
=
(1.19)
1
∑ + aaε ααα
α
Hˆ
=
(1.20)
2
++ aaaaV βα δ
αβγδ
γ
∑
1 2
αβγδ
αβγδV : yeáu toá ma traän khoâng taïo caëp cuûa töông taùc 2 haït.
(1.18) Coù theå vieát Hamintonian döôùi daïng:
Ñeå baûo ñaûm tính baûo toaøn söï quay vaø caáu truùc lôùp, ngöôøi ta ñaõ vieát laïi
Hˆ
(ab,
cd)
(ab)
Aˆ
(cd)
=
2
V J
JM
JM
∑∑
Aˆ ∑ +
1 2
abcd J
M
[(1
δ
)(1
δ
(ab,
cd)
(cd)
(ab)
Aˆ
=
+
+
Hamiltonian 2 haït nhö sau:
ab
A 1/2 V)] J
cd
JM
JM
Aˆ ∑ +
1 ∑∑ 4
abcd J
M
(1.21)
Toång treân ñöôïc laáy theo taát caû quyõ ñaïo ñôn haït cuûa proton vaø nôtron (ñöôïc
JM
Aˆ
(ab)
mjmj(
JM)a
a
[a
=
−=
×
kyù hieäu bôûi a, b, c, d) vôùi caùc toaùn töû sinh vaø huyû haït nhö sau:
+ JM
ba
a
b
+ j
+ ]a j
+ mj b
b
+ mj a
a
a
b
∑
mm a
b
(1.22)
14
JM
Aˆ
(ab)
mjmj(
JM)a
a
[a
=
=
×
JM
ba
a
b
]a j
j
mj a
a
mj b
b
b
a
∑
mm a
b
(ab,
cd)
(1.23)
VJ
laø yeáu toá ma traän moment goùc taïo caëp cuûa theá voâ höôùng Coøn
rr )r,rV( 1 2
JM
(ab,
cd)
=
×
, ñöôïc xaùc ñònh nhö sau:
]
[
]JM
V J
[ r )r(ψ)r(ψ × 2
r 1
j
j
r r )r(ψ)r(ψ)r,rV( 1 2
rr 1 2
j
j
b
a
d
c
(ab,
cd)
(ab,
cd)
(1.24)
VJ
VA J
ñöôïc xaùc ñònh Trong tröôøng hôïp 2 haït phaûn ñoái xöùng ≡
1/2
−
j
j
J
+
−
c
d
(ab,
cd)
(ab,
cd)
1)
(ab,
=
( −−
nhö sau:
)( δ1 +
[ ( δ1 +
] )
]cd)
A V J
ab
cd
[ V J
V J
(1.25)
rr )r,rV( 1 2
thì vaán ñeà ñöôïc Vieäc coøn laïi neáu ta xaùc ñònh ñöôïc theá voâ höôùng
giaûi quyeát.
1.2.2.5 Toùm laïi
Muïc tieâu cuoái cuøng cuûa caùc maãu caáu truùc haït nhaân noùi chung vaø cuûa maãu
lôùp noùi rieâng laø xaùc ñònh naêng löôïng vaø phaân boá naêng löôïng cuûa caùc traïng thaùi
naêng löôïng trong haït nhaân.
Trong maãu lôùp muoán xaùc ñònh ñieàu ñoù, ta caàn phaûi bieát theá töông taùc giöõa
caùc nucleon trong haït nhaân. Vaø cho ñeán baây giôø vaãn chöa coù moät theá töông taùc
naøo chính xaùc caû, ta chæ coù theå xaùc ñònh noù sao cho phuø hôïp nhaát.
15
Chöông 2
CAÙC PHƯƠNG PHAÙP MOÂ PHOÛNG
MONTE CARLO CHO HAÏT NHAÂN
2.1 Môû ñaàu
Nhö vaäy, ôû chöông 1, chuùng ta ñaõ tìm hieåu moät caùch toång quan veà maãu lôùp.
Trong chöông naøy, chuùng ta seõ ñöôïc giôùi thieäu caùc phöông phaùp moâ phoûng Monte
Carlo, ñaëc bieät laø phöông phaùp SMMC (Shell Model Monte Carlo) seõ ñöôïc trình
baøy kyõ ôû phaàn naøy vì noù seõ laø kyõ thuaät ñöôïc duøng cho chöông trình moâ phoûng cuûa
ta.
2.2 Ñònh nghóa phöông phaùp Monte Carlo
Phöông phaùp moâ phoûng Monte Carlo hay phöông phaùp thöû thoáng keâ bao
goàm vieäc giaûi caùc baøi toaùn khaùc nhau baèng maùy tính döïa vaøo caùc quaù trình ngaãu
nhieân cuûa moãi baøi toaùn. Tham soá cuûa quaù trình töông öùng vôùi ñaïi löôïng caàn ño
cuûa baøi toaùn. Caùc ñaïi löôïng ñöôïc xaùc ñònh moät caùch gaàn ñuùng döïa vaøo vieäc quan
saùt caùc quaù trình ngaãu nhieân vaø tính caùc ñaëc tröng thoáng keâ cuûa chuùng.
Teân goïi “moâ phoûng Monte Carlo” xuaát hieän töø theá chieán thöù hai, khi maø
phöông phaùp ñöôïc aùp duïng trong caùc vaán ñeà coù lieân quan ñeán keá hoaïch phaùt trieån
bom nguyeân töû. Ngaøy nay, moâ phoûng Monte Carlo ñöôïc aùp duïng roäng raõi ñeå giaûi
quyeát caùc baøi toaùn thoáng keâ khi maø khoâng theå duøng caùc phöông phaùp giaûi tích
thoâng thöôøng.
2.3 Moâ phoûng Monte Carlo cho haït nhaân
Trong suoát 10 naêm qua caùc phöông phaùp Monte Carlo ñaõ ñöôïc söû duïng
thaønh coâng trong nghieân cöùu cho caùc haït nhaân nheï. Caùc nghieân cöùu naøy khoâng chæ
bao goàm phoå naêng löôïng haït nhaân maø coøn coù caû caùc thöøa soá daïng trong taùn xaï
16
ñaøn hoài vaø khoâng ñaøn hoài, caùc töông quan ôû traïng thaùi cô baûn, taùn xaï naêng löôïng
thaáp, caùc phaûn öùng baét, vaø thay ñoåi cuûa haït nhaân vôùi söï thay ñoåi cuûa caùc taùc nhaân
beân ngoaøi.
Noùi chung, coù moät söï phuø hôïp toát giöõa lyù thuyeát vaø thöïc nghieäm. Tuy
nhieân coøn raát nhieàu vaán ñeà vaãn chöa ñöôïc giaûi quyeát. Nhöõng vaán ñeà naøy bao goàm
phoå naêng löôïng cuûa caùc ñoàng vò giaøu neutron, vaø caùc haït nhaân taùch möùc L.S
(Xem hình 2.1: Söï giao thoa cuûa caùc lôùp trong haït nhaân) . Moät trong nhöõng lónh
vöïc nghieân cöùu quan troïng trong töông lai laø nghieân cöùu töông taùc ba nucleon vaø
caùc hieäu öùng töông ñoái trong caùc haït nhaân nheï, thaønh coâng ñaït ñöôïc seõ cung caáp
moät böùc tranh hoaøn chænh hôn veà phoå naêng löôïng. Moät öùng duïng quan troïng nöõa
laø caùc phaûn öùng neutrino maët trôøi, söï vi phaïm tính chaün leû trong töông taùc yeáu
thoâng qua phaûn öùng giöõa caùc nucleon.
Taát nhieân nhöõng heä lôùn hôn cuõng raát caàn ñöôïc quan taâm. Carbon vaø oxi laø
khaù quan troïng bôûi vì caû hai ñeàu coù nhöõng keát quaû thöïc nghieäm ñaùng chuù yù vaø
ñoàng thôøi chuùng cuõng coù caùc caáu truùc vaø phoå phöùc taïp caàn ñöôïc nghieân cöùu. Cuõng
coù moät söï quan taâm ñeán tính chaát cuûa chaát haït nhaân, ôû caû nhieät ñoä khoâng laãn
nhieät ñoä xaùc ñònh. Söï ñaùp öùng cuûa chaát haït nhaân ñoái vôùi caùc taùc nhaân beân ngoaøi
cuõng raát laø quan troïng ñoái vôùi vaät lyù thieân vaên vaø trong khuoân khoå cuûa vaät lyù haït
nhaân. Caùc tính toaùn vi moâ cho caùc haït nhaân lôùn vaø vaät chaát vôùi töông taùc thöïc vaãn
coøn laø moät thaùch thöùc vôùi lyù thuyeát nhieàu haït.
17
Hình 2.1: Söï giao thoa cuûa caùc lôùp trong haït nhaân
2.4 Moät soá phöông phaùp Monte Carlo
2.4.1 Phöông phaùp bieán phaân Monte Carlo (Variational Monte Carlo)[9]
Phöông phaùp bieán phaân Monte Carlo (VMC) laø moät phöông phaùp Monte
Carlo löôïng töû, duøng bieán phaân ñeå tính traïng thaùi cô baûn cuûa heä.
2
ψ(X,
a)
dX
∫
=
Ñaïi löôïng caàn tính ñöôïc vieát nhö sau:
Hψ(a) ψ(a)
ψ(a) ψ(a)
ψ(X,
Hψ (X, a) ψ(X, a) 2 dXa)
∫
(2.1)
18
2
ψ(X,
a) 2 dXa)
ψ(X,
∫
Trong ñoù, laø haøm phaân boá xaùc suaát, X laø baùn kính töông taùc
Hψ (X, a) ψ(X, a)
giöõa caùc haït, a laø tham soá. Coâng thöùc treân laø trung bình cuûa haøm local
cuõng chính laø naêng löôïng cuûa heä ôû traïng thaùi cô baûn.
VMC khoâng khaùc so vôùi baát kyø phöông phaùp bieán phaân naøo, ngoaïi tröø vì
tính toaùn tích phaân raát nhieàu bieán soá maø ñieàu naøy daãn ñeán ñoä phöùc taïp lôùn.
2.4.2 Phöông phaùp Monte Carlo khueách taùn (Diffusion Monte Carlo)[10]
Phöông phaùp Monte Carlo khuyeách taùn(DMC) laø moät phöông phaùp Monte
Carlo löôïng töû maø phöông phaùp naøy duøng haøm Green ñeå giaûi phöông trình
Schrodinger. DMC coù theå tính chính xaùc naêng löôïng ôû traïng thaùi cô baûn vôùi moät
sai soá cho tröôùc cho heä löôïng töû baát kyø. Ngöôøi ta thaáy raèng ñoái vôùi haït boson,
daïng toaùn hoïc bieåu dieãn heä laø haøm ña thöùc coøn ñoái vôùi haït fermion, bieåu dieãn cho
heä laø haøm muõ.
Hình 2.2: So saùnh ñoà thò naêng löôïng lieân keát theo soá nguyeân töû baèng caùc
phöông phaùp khaùc nhau LDA, DMC, HF vaø thöïc nghieäm.
19
Töø ñoà thò, ta thaáy phöông phaùp DMC cho keát quaû gaàn thöïc nghieäm hôn haún
caùc phöông phaùp khaùc( nhö LDA, DMC, HF).
2.4.3 Green’s Function Monte Carlo[14]
Green’s fucntion Monte Carlo (GFMC) laø phöông phaùp keát hôïp giöõa haøm
Green vaø Monte Carlo.
Hình 2.3: Minh hoaï phöông phaùp GFMC baèng moâ phoûng naêng löôïng ôû traïng thaùi
cô baûn cuûa moät soá haït nhaân. GFMC cho keát quaû chính xaùc hôn VMC
2.4.4 Projector Monte Carlo
βHe−
β (nghòch ñaûo nhieät ñoä),
Phöông phaùp projector Monte Carlo (PMC) döïa treân ñaïi löôïng chuû yeáu
coù theå ñöôïc duøng ñeå thieát laäp caùc traïng thaùi rieâng
( β +−
) HΔβ
er
φ
βH
−
e
=
cuûa H baèng trò rieâng nhoû nhaát. Neáu E laø trò rieâng nhoû nhaát cuûa H, ta coù:
βH
−
lim
er
φ
β
∞→
(2.2)
Trong ñoù, r vaø φ laø nhöõng traïng thaùi phuï khoâng ñieàu hoaø.
20
2.4.5 Path Integral Monte Carlo[11]
Phöông phaùp Path Integral (PIMC) laø moät phöông phaùp moâ phoûng phoå
bieán. Phöông phaùp naøy döïa treân coâng thöùc Feynamn veà tích phaân töøng phaàn cuûa
cô hoïc löôïng töû.
Taïi moät nhieät ñoä xaùc ñònh, tính caân baèng cuûa heä löôïng töû ñöôïc xaùc ñònh
ρˆ
Hˆβe
−=
baèng toaùn töû maät ñoä ρˆ :
β
=
, (2.3)
1 Tk b
ÔÛ ñaây, laø nhieät ñoä ñaûo.
1
1
−
−
−
ZΟˆ =
=
Giaù trò quan taâm cuûa toaùn töû Οˆ taïi caân baèng laø:
(2.4)
( eΟˆTr
)Hˆβ
−
Z
=
( ) ZΟˆpˆTr )HˆβeTr (
R
rˆ,rˆ
,.....
ôû ñaây, . (2.5)
1=
2
, Phöông phaùp PIMC luoân ñöôïc boå sung ñaëc tröng khoâng gian
Hˆβ−
ρˆ
(R,
β);R'
eR
R'
=
vaø toaùn töû maät ñoä ñöôïc vieát döôùi daïng:
ρˆ
(R,
β);R'
(2.6)
Trong ñoù, döông vaø coù theå hieåu nhö laø xaùc suaát.
2.4.6 Auxiliary Field Monte Carlo[12]
Phöông phaùp Auxililary Field MonteCarlo (AFMC) laø moät phöông phaùp
tính toaùn trò trung bình cuûa caùc toaùn töû moâ taû heä nhieàu haït trong cô hoïc löôïng töû
baèng kyõ thuaät Monte Carlo. Ñieåm phaân bieät cuûa phöông phaùp naøy laø töông taùc
trong tröôøng phuï ñöôïc bieåu dieãn baèng pheùp chuyeån bieán Hubbard-Stratonovich.
Khi pheùp chuyeån bieán naøy ñöôïc thöïc hieän, baøi toaùn nhieàu haït ñöôïc ñöa veà pheùp
tính toång treân moïi caáu hình coù theå cuûa tröôøng phuï.
21
2.4.7 Grand Canonical Monte Carlo
Phöông phaùp Grand Canonical Monte Carlo (GCMC) laø moät kyõ thuaät moâ
phoûng döïa treân moät daõy nhöõng traïng thaùi caân baèng töø nhöõng phaân boá xaùc suaát
baèng caùch söû duïng tieán trình Markov hay laáy maãu ngaãu nhieân.
2.4.8 Quantum Monte Carlo Diagonalization[13]
QMCD ra ñôøi treân söï keát hôïp hieäu quaû cuûa phöông phaùp Monte Carlo
löôïng töû vaø vieäc cheùo hoaù ma traän Hamiltonian. Theâm vaøo ñoù, hình chieáu
moment goùc ñöôïc ñöa vaøo ñeå laøm dòch chuyeån laïi söï suy bieán cuûa soá löôïng töû töø.
Ngoaøi ra söï hoäi tuï cuûa nhöõng trò rieâng ñöôïc caûi thieän vaø haøm soùng cuûa nhöõng
traïng thaùi kích thích coù theå ñöôïc tính deã daøng hôn. Hôn nöõa, vieäc tính toaùn söï dòch
chuyeån cuûa caùc yeáu toá ma traän trôû neân ñôn giaûn hôn.
2.4.9 Shell Model Monte Carlo
Phöông phaùp Shell Model Monte Carlo seõ noùi roõ hôn ôû phaàn sau.
2.5 Phöông phaùp SMMC (Shell Model Monte Carlo)[7]
2.5.1 Cô sôû ñôn haït
n
τm
n
jmm
α
⊗
⊗
≡
⊗
≡
Ta seõ duøng cô sôû ñôn haït spin quyõ ñaïo cuûa khoái caàu cho SMMC:
) jms
τ
τ
l
( l
l
(2.7)
Trong coâng thöùc treân, ta coù moment goùc l vaø spin s=1/2 ñöôïc keát hôïp töø
moment toång j vaø hình chieáu m treân truïc z, n laø soá löôïng töû baùn kính (löôïng töû
τm , phaân bieät giöõa neutron vaø proton.
chính), τ laø isospin vaø hình chieáu cuûa noù
22
2.5.2 Nhöõng ñaïi löôïng tính toaùn vaø Hamiltonian toaøn phöông
Ta chæ xeùt caùc Hamiltonian laø nhöõng toaùn töû moät haït vaø hai haït. Nhöõng
Hˆ
=
+
Hamiltonian naøy coù theå vieát döôùi daïng toaøn phöông nhö sau:
+ aaε βα αβ
ρV i
i
∑
∑
1 2
αβ
i
ρ
(2.8)
i
αβ
αβ
(2.9) vôùi ∑ + αβ aac = i βα
ic laø nhöõng heä soá,
αβε
Trong ñoù, laø yeáu toá ma traän moät haït, coøn Vi ñoùng
vai troø laø theá töông taùc giöõa hai haït.
Kyõ thuaät SMMC coù theå giuùp ta tính caùc ñaïi löôïng chuaån cuûa toaùn töû X taïi
X =
moät nhieät ñoä T cho tröôùc:
Tr(UX) Tr(U)
1 −
β
(T)
=
U
exp(
=
)Hˆβ −
(2.10)
Trong ñoù, laø toaùn töû maät ñoä chuaån vôùi vaø veát ñöôïc
Tr(X)
iXi
xaùc ñònh nhö sau:
∑≡
i
(2.11)
ÔÛ ñaây, i kyù hieäu cho moät cô sôû hoaøn chænh, ví duï nhö ñònh thöùc Slater
M
M
m
bieåu dieãn cho caùc traïng thaùi ñôn haït vôùi soá löôïng töû töø toaøn phaàn cho tröôùc
αm
tα
t
∑=
∑=
α
α
vaø soá löôïng töû isospin toaøn phaàn cho tröôùc . Toång naøy chaïy
∞→β
treân taát caû moïi traïng thaùi vôùi soá nucleon xaùc ñònh( keå caû soá hình chieáu). Trong
), veát chuaån laøm giaûm caùc ñaïi löôïng ôû traïng thaùi cô giôùi haïn nhieät ñoä thaáp (
baûn.
U
exp(
=
)Hˆβ −
2.5.3 Pheùp bieán ñoåi Hubbard - Stratonovich
Pheùp bieán ñoåi toaùn töû baèng caùch chuyeån noù veà sieâu vò trí ôû voâ
cöïc cho vieäc tính toaùn moät haït deã xöû lyù hôn, töùc moãi chuyeån ñoäng trong tröôøng
noäi phuï thuoäc thôøi gian khaùc nhau, laø moät phöông tieän ñeå khaéc phuïc vieäc tính
23
toaùn nhieàu haït khoù khaên. Quy luaät naøy mang teân cuûa nhöõng ngöôøi ñaõ nghó ra noù:
Hubbard - Stratonovich.
Vρρ
Hˆ
ερ
=
+
Baây giôø ta nghieân cöùu Hamiltonian cô sôû ñöôïc cho nhö sau:
1 2
(2.12)
Trong ñoù, ρ laø toaùn töû maät ñoä, V laø theá töông taùc hai haït, vaø ε laø naêng
löôïng ñôn haït. Ngöôøi ta thaáy raèng khoù khaên taêng leân neáu theá töông taùc coù daïng
baäc 2 theo ρ nhöng ôû ñaây vôùi toaùn töû ρ tuyeán tính thì deã xöû lyù hôn.
∞
2
σVβ
βh
−
σ
1 2
e
− dσσ
e
Hˆβ − =
Ñeå tuyeán tính hoaù, ta duøng ñoàng nhaát thöùc Gaussian:
∫
Vβ 2π
∞−
σ laø soá cho tröôùc trong tröôøng dao ñoäng phuø hôïp vôùi toaùn töû moät haït:
ερ
sVσ
ρ
=
+
(2.13)
h σ
(2.14)
Vôùi s laø pha phuï.( s=1 khi V<0, s=i khi V>0).
U
exp(
=
)Hˆβ −
Baây giôø ta coù theå ruùt ra pheùp tính nhieàu haït baèng caùch tích phaân (laáy toång)
. caùc pheùp tính toaùn töû moät haït
Ñeå giaûn ñoà naøy coù theå öùng duïng cho nhöõng Hamiltonian quan taâm, ta coù
theå toång quaùt noù veà daïng cuûa nhöõng toaùn töû khaùc nhau. Khi chæ moät toaùn töû xuaát
hieän trong Hamiltonian thuoäc giaûn ñoà thì moïi yeáu toá seõ ñöôïc tính. Ñoái vôùi nhöõng
iρ khoâng giao hoaùn, nhöng noù
Hamiltonian thöïc, ta tìm thaáy nhieàu toaùn töû maät ñoä
iρ cuûa
αρ ñöôïc tính ôû moät nhieät ñoä cho tröôùc nhö sau:
mj +
a
a
a
mj +−= )(
)( −=
coù theå ñöa thaønh phaàn hai haït thaønh daïng cheùo. Khi toaùn töû thôøi gian aûo
jm
+ jm
+ m-j
mj −
vaø a (2.15)
Hˆ
=
+
+
+
Toång quaùt ta coù theå vieát Hˆ ôû daïng baát bieán thôøi gian aûo:
* ρ(ε α α
)ρε αα
ρ(ρV i
i
i
)ρρ i i
∑
∑
1 2
α
i
(2.16)
24
[ρ
≠ vôùi vieäc taùch toaùn töû maät ñoä thaønh hai thaønh
0]ρ, j
i
Hôn nöõa, ta coù
(ρ
Δβ )ρ
ρ
+
2
i
j
j
i
e
ρ ee
Ο(Δβ
)
=
+
phaàn, ta ñöôïc:
β/N
Δβ =
(2.17)
t
e
tNHˆ Δβ - )
(e
Hˆβ =−
ñeå coù: Ta taùch β thaønh Nt phaàn coù ñoä lôùn
(2.18)
αnσ . Sai soá ñöôïc giôùi haïn vì tính giao hoaùn cuûa toaùn töû
iρ giaûm khi Nt taêng.
Ta thöïc hieän vieäc tuyeán tính hoaù cho moãi phaàn n=1,…,Nt vôùi tröôøng phuï
X
σ
X
∫=
Vieäc tính toaùn caùc giaù trò coù theå ñöôïc vieát nhö laø tæ soá cuûa hai tích phaân:
W)D( σ σ ∫ W)D( σσ
(2.19)
2
Δβ
−
α σV
n
α
∑
n α
G
e
≡
TrUGW ≡
ÔÛ ñaây:
α
σ
σ
α
N
t
X
)
dσ
dσ
(
≡
,
( ) σD
* n α
n α
X ≡ α
∏∏
VΔβ α 2π
TrU α TrU
α
1n =
α
,
n σh Δβ
U
−= e
U
U
..........
=
Vaø:
σ
N
UU 1 2
n
t
h
+
+
+
( ε
n σ
σ
σVs α α
n α
) ρ α
α
σVs α α
n α
) α ρ
( = ∑ ∗ ε
α
vôùi
n σh
σU ñöôïc vieát döôùi
h α
β
Khi laø toaùn töû ñôn haït, trong cô sôû ñôn haït toaùn töû
n σ
s NN ×
s
vôùi caùc yeáu toá ma traän daïng ma traän , Ns laø soá traïng thaùi cô baûn.
25
Hình 2.4: Soá yeáu toá ma traän vôùi caùc khoâng gian maãu khaùc nhau.
2.5.4 Phöông phaùp SMMC
Töø phaàn treân ta thaáy caùc vaán ñeà haït nhaân coù theå giaûi quyeát baèng caùch giaûi
caùc tích phaân ña bieán treân tröôøng phuï. Ta seõ giaûi quyeát vaán ñeà naøy baèng tích phaân
Monte Carlo cô baûn, ñoù laø löïa choïn khaû thi ñoái vôùi nhöõng tích phaân coù soá bieán
2
khoång loà. Hôn nöõa, vieäc laáy maãu ñöôïc thöïc hieän baèng thuaät toaùn Metropolis.
s NND ≤
t
. Thöû hình dung moät pheùp tính vôùi Chieàu cuûa nhöõng tích phaân laø
N
40
NN =
+
=
khoâng gian cô baûn coù 20 traïng thaùi cô baûn ñoái proton vaø neutron töông öùng soá lôùp
s
proton s
neutron s
510≈
ñôn haït laø . Ngöôøi ta thöôøng choïn soá laùt caét laø Nt = 64, vaø
. Nhö theá ñoàng nghóa raèng nhö theá baäc cuûa nhöõng tröôøng phuï coù theå leân ñeán
khoâng coù caùch naøo ñeå ta coù theå tính tích phaân khoång loà nhö vaäy baèng phöông
phaùp tích phaân soá thuaän lôïi. Neáu tính nhö vaäy ta seõ maát khoaûng ND laàn vieäc tính
tích phaân thöôøng, ôû ñaây N laø soá ñieåm maéc xích. Vaán ñeà chuû yeáu ôû ñaây laø thang
)
Ο(
ño sai soá nhö laø moät haøm cuûa N ñieåm maéc xích ñöôïc duøng cho vieäc laáy tích phaân.
1 4/D trong khi duøng tích phaân N
Ví duï, khi duøng ñònh luaät Simpson thì sai soá laø
26
O(
)
1 1/2 N
Monte Calo thì sai soá giaûm coøn . Chuù yù raèng ñieàu naøy ñoäc laäp vôùi chieàu
cuûa tích phaân.
Tích phaân Monte Carlo tính caùc tích phaân baèng caùch xaáp xæ tích phaân vôùi
laáy toång treân maãu N ñieåm maø maãu naøy tuaân theo phaân boá P(σ) - phuï thuoäc vaøo
X
∫=
bieán phaân tích phaân. Vôùi haøm cho tröôùc X(σ), giaù trò caàn tính ñöôïc vieát nhö sau:
( ) ( ) ( ) σXσWσD ( ) ( ) ∫ σWσD
(2.20)
≡
Baèng caùch xaùc ñònh:
( ) σP
( ) σW ( )σWσD ( )
∫
(2.21)
0
và
≥
Khi phaân boá xaùc suaát thoaõ:
( ) σP
( ) ( ) 1 =
∫ σPσD
(2.22)
N
X
≈
Ta coù theå tính X baèng caùch laáy trung bình N maãu ñoäc laäp.
( )σP
σi ∈
( )∑ iσX
1 N
1i =
, (2.23)
Maø ôû ñaây caùc maãu ñoäc laäp thoáng keâ tuaân theo phaân boá P( )σ . Ñieàu naøy coù
theå ñöôïc taïo baèng chuoãi Markov vaø tính baèng thuaät toaùn Metropolis hay nhöõng
phöông phaùp töông töï. Giaù trò cuûa toång treân khaùc nhau vôùi vieäc laáy maãu khaùc
nhau. Vì vaäy, toång naøy coù phaân boá xaùc suaát cho rieâng noù.
27
Chöông 3
MOÂ PHOÛNG MAÃU LÔÙP
3.1 Môû ñaàu
Ở chương 2, chuùng ta ñaõ tìm hiểu về phương phaùp moâ phỏng SMMC cho
mẫu lớp. Trong chương 3 naøy, chuùng ta seõ vaän duïng noù ñeå xaây döïng chöông trình
moâ phoûng maãu lôùp. Tuy nhieân, khi aùp duïng vaøo thöïc teá, chuùng ta phaûi vaän linh
hoaït kyõ thuaät naøy, khoâng theå aùp duïng moät caùch maùy moùc vaøo baøi toaùn cuûa mình.
ÔÛû ñaây, chuùng toâi chæ vieát chöông trình cho haït nhaân chaün – chaün. Do ñoù, phaàn ñaàu
tieân trong chöông naøy chuùng ta seõ tìm hieåu veà pheùp nghòch ñaûo ma traän. Tieáp
theo, seõ vaän duïng tính toaùn cho maãu lôùp. Ñaëc bieät, caàn chuù yù ñeán phaàn ”nhöõng
traïng thaùi rieâng gaàn ñuùng”, vì ta khoâng theå tính noù chính xaùc. Vaø chuùng toâi seõ
duøng kyõ thuaät naøy cho pheùp tính maãu lôùp cuûa mình. Phaàn cuoái cuûa chöông, chuùng
toâi xin trình baøy veà sô ñoà cuûa chöông trình moâ phoûng cuûa mình cho haït nhaân chaün
– chaün. Do coù nhieàu haïn cheá (nhö söï giao thoa giöõa caùc lôùp quaù phöùc taïp, söï taïo
caëp cuûa caùc nucleon,…) , chöông trình chæ goàm He4, He6, He8.
3.2 Pheùp nghòch ñaûo ma traän
Ta xeùt heä phöông trình:
Ax = b (3.1)
Vôùi: x: vectô chöa bieát, b: vectô ñaõ bieát
Moät caùch töï nhieân, ñeå giaûi phöông trình naøy, ta duøng pheùp tính ñaïi soá cô
baûn vaø quy taéc Cramer, …. Ñeå tính A-1 phaûi thöïc hieän N2 ñònh thöùc cuûa ma traän
P
detA
...A
=
(N-1) (N-1) chieàu. Neáu nhöõng vieäc naøy ñöôïc tính toaùn theo leõ töï nhieân ta seõ tính:
NP
AA 1P 1
2P 2
N
( )∑ −
P
(3.2)
28
cho ñònh thöùc cuûa ma traän AN× N maø P laø moät trong nhöõng hoaùn vò N! cuûa N coät, Pi
laø phaàn töû thöù i cuûa P vaø (-)P laø daáu cuûa P, nhö theá coâng vieäc tính toaùn trôû neân
khuûng khieáp. Ví duï, ñoái vôùi N=20, coù khoaûng 2.108 pheùp tính. Ñoái vôùi moät maùy
tính coù theå tính 108 pheùp tính treân giaây thì phaûi maát 103 naêm ñeå tính nghòch ñaûo
ma traän 20× 20 naøy. Roõ raøng ñaây khoâng phaûi laø caùch tính nhöõng ñònh thöùc. Moät
trong nhöõng phöông phaùp thöïc tieãn ñôn giaûn nhaát ñeå tính A-1 laø phöông phaùp
Gauss Jordan. YÙ töôûng ôû ñaây laø xeùt caùch tính treân doøng cô baûn cuûa ma traän A.
Ñieàu naøy ñoàng nghóa vôùi vieäc nhaân moät haèng soá vaøo doøng ñaëc bieät cuûa ma traän
A, hoaùn ñoåi hai doøng hoaëc theâm vaøo boäi soá cuûa moät doøng bieán ñoåi thaønh doøng
khaùc. Moãi pheùp tính trong ba pheùp tính naøy coù theå ñöôïc thöïc hieän baèng nhaân ma
1 0 1/2
00 01 10
−
001 ⎡ ⎢ 010 ⎢ ⎢ 200 ⎣
010 ⎡ ⎢ , 001 ⎢ ⎢ 100 ⎣
⎡ ⎢ , ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
traän A vôùi ma traän ñôn giaûn T. Ví duï N=3, ta coù caùc ma traän:
Ñaàu tieân, ta nhaân doøng thöù ba vôùi 2, ñoåi choã doøng ñaàu tieân vaø doøng thöù
hai, vaø laáy doøng thöù 3 tröø ½ cuûa doøng thöù nhaát.
Phöông phaùp Gauss Jordan tìm thaáy moät chuoãi pheùp tính:T = … T3 T2 T1
taùc duïng leân A ta ñöôïc ma traän ñôn vò:
⇒ T = A-1 laø ma traän ñaûo caàn tìm.
TA = (… T3 T2 T1) A = I
Caùch toát nhaát ñeå tìm chuoãi pheùp tính phuø hôïp ñöôïc cho bôûi ví duï sau. Haõy
A
I
=
=
xeùt ma traän A vaø ma traän ñôn vò sau:
121 224 142
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
001 ⎡ ⎢ 010 ⎢ ⎢ 100 ⎣
,
29
Ñaàu tieân, ta thöïc hieän vieäc chuyeån ñoåi taát caû thaønh soá 0 ngoaïi tröø soá haïng
ñaàu tieân cuûa coät ñaàu tieân cuûa traän A baèng caùch laáy doøng thöù 2 tröø ñi 4 laàn cuûa
TA
TI
=
doøng ñaàu.
2 6 − 4
1 2 − 1
1 0 2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
1 00 ⎡ ⎢ 014 −= ⎢ ⎢ 10 0 ⎣
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
,
2
1
1
00
TA
TI
=
Sau ñoù, laáy doøng thöù ba tröø ñi 2 laàn doøng thöù nhaát.
6 − 0
2 1
014 102
0 0
− −
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ −= ⎢ ⎢ − ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
,
Tieáp theo, laáy doøng thöù nhaát coäng 1/3 cuûa doøng thöù hai, chuùng ta coù theå
0
1/3
1/3
1/3
0
−
TA
TI
=
=
bieán taát caû thaønh 0:
0 0
6 − 0
2 1
4 2
0 1
1 0
− −
− −
1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
,
1/3
1/3
0
TA
TI
=
=
−
Sau ñoù, nhaân -1/6 cho doøng thöù hai:
10 00
1/6 0
− 2/3 2 −
01 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
1/3 ⎤ ⎥ 1/3 ⎥ ⎥ 1 − ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 1 − ⎦
,
Cuoái cuøng, laáy doøng thöù nhaát coäng 1/3 cuûa doøng thöù 3, töông töï cuõng laáy
TA
TI
=
=
−
doøng thöù hai coäng 1/3 cuûa doøng thöù 3 ta coù:
1 − 0 2
1/3 1/6 0
−
−
0 ⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 1 ⎦
1/3 ⎤ ⎥ 1/3 ⎥ ⎥ 1 ⎦
01 ⎡ ⎢ 10 ⎢ ⎢ 00 ⎣
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
,
001
1
1/3
TA
TI
=
=
−
Roài nhaân doøng thöù 3 cho -1 ta ñöôïc ma traän nghòch ñaûo caàn tìm.
010 100
− 0 2
1/6 0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
1/3 ⎤ ⎥ 1/3 ⎥ ⎥ 1 − ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
,
30
Baây giôø, ta seõ ñöa ra thuaät toaùn toång quaùt cho ma traän N×N. nhöng neáu
nhö N lôùn thì ta caàn thöïc hieän N3 pheùp tính nhaân vaø coäng. Vì vaäy, vieäc tính toaùn
deã daøng hôn neáu nhö N khoâng quaù lôùn. Trong thöïc teá, moät vaøi söï kheùo leùo laø
quan troïng. Ví duï coù theå xaûy ra tröôøng hôïp taïi moät ñieåm naøo ñoù trong tieán trình,
phaàn töû ñöôøng cheùo cuûa TA thay ñoåi trong quaù trình maø ta ñang tính. Trong
tröôøng hôïp naøy vieäc ñoåi choã hai doøng seõ mang laïi moät giaù trò khoâng ñoåi cho phaàn
töû “then choát” naøy. (Neáu khoâng ñoåi choã maø vaãn laøm ñöôïc ñieàu naøy thì A laø ma
traän suy bieán). Thöïc ra ñoä chính xaùc cuûa nhöõng con soá ñoøi hoûi raèng nhöõng doøng
naøy phaûi ñöôïc ñoåi ñeå ñöa vaøo vò trí then choát maø phaàn töû trong coät ñang tính toaùn
treân vò trí ñoù coù giaù trò tuyeät ñoái lôùn nhaát. Nhöõng baøi toaùn lieân quan ñeán vieäc laøm
troøn coù theå naûy sinh trong quaù trình nghòch ñaûo neáu nhöõng yeáu toá ma traän sai bieät
khaù lôùn. Vì lyù do naøy, thaät laø höõu duïng ñeå tính toaùn nhöõng doøng hay coät ñeå moïi
phaàn töû coù ñoä lôùn gaàn baèng nhau (“söï caân baèng”). Nhöõng tröôøng hôïp ñaëc bieät
khaùc (nhö ma traän A ñoái xöùng hay khi chuùng ta chæ quan taâm ñeán vieäc giaûi (3.1)
cho b maø khoâng quan taâm ñeán ma traän ñaûo cuûa noù) coù theå daãn ñeán nhöõng con soá
goïn hôn. Ví duï, ñoái vôùi tröôøng hôïp sau nöõa, ta coù theå chæ tính T töø vectô b hôn laø
toaøn boä ma traän ñôn vò. Cuoái cuøng, neáu chuùng ta chæ quan taâm ñeán vieäc tính toaùn
A, nhöõng bieán ñoåi doøng coù moät hieäu suaát tính toaùn ñôn giaûn vaø deã daøng treân ñònh
thöùc, coù theå ñöôïc söû duïng ñeå ñöa TA veà daïng cheùo thaáp hôn hay cao hôn (moïi
yeáu toá bieán ñoåi treân hay döôùi ñöôøng cheùo), vaø ñònh thöùc coù theå tính ñôn giaûn baèng
caùch laáy tích cuûa caùc phaàn töû treân ñöôøng cheùo.
3.3 Caùch tính cho maãu lôùp
Giaû thuyeát veà nhöõng haït ñoäc laäp trong gieáng theá cho tröôùc laø pheùp tính gaàn
ñuùng phoå bieán trong caùc baøi toaùn heä nhieàu haït cuûa cô hoïc löôïng töû. Tuy nhieân, noù
chæ laø pheùp tính gaàn ñuùng trong nhieàu tröôøng hôïp vaø vieäc mieâu taû chính xaùc traïng
thaùi löôïng töû rieâng cuûa heä ñoøi hoûi phaûi xeùt ñeán “töông taùc dö” giöõa caùc haït taïo
31
neân heä. Trong nguyeân töû vaø hadron, töông taùc dö khoâng ñuû maïnh ñeå gaây ra söï
thay ñoåi tính chaát trong phoå vaø ñöôïc tính toaùn moät caùch ñôn giaûn baèng vieäc ñoåi
choã caùc haït treân nhöõng quyõ ñaïo khaùc nhau. Tuy nhieân, trong haït nhaân, söï chaët
cheõ vaø maïnh meõ cuûa töông taùc dö aûnh höôûng ñeán bieåu hieän toång theå cuûa caùc
nucleon tham gia vaøo söï kích thích, vaø ñaëc tính cuûa nhöõng traïng thaùi rieâng hoaøn
toaøn khaùc vôùi caùc pheùp tính thoâng thöôøng.
Nhöõng pheùp tính veà hieäu öùng töông taùc dö thì phöùc taïp vaø lieân quan ñeán
vieäc cheùo hoaù ma traän lôùn bieåu thò caùch thöùc töông taùc vaän chuyeån haït giöõa caùc
quyõ ñaïo. Tuy nhieân, hieän töôïng taùc ñoäng leân toång theå coù theå ñöôïc giaûi thích baèng
sô ñoà maãu lôùp maø ta seõ xeùt trong phaàn naøy. Maãu naøy thì bình thöôøng, vì vaäy noù
ñuû ñôn giaûn ñeå cheùo hoaù. Cho neân, noù ñöôïc keå ñeán nhö pheùp kieåm cô baûn cho söï
xaáp xæ ñöôïc duøng ñeå tính heä nhieàu haït vaø cuõng laø kieåu tính toaùn cho maãu lyù
thuyeát nhoùm phöùc taïp hôn cuûa phoå haït nhaân.
3.3.1 Xaùc ñònh maãu
Sô ñoà maãu goàm N haït phaân bieät ñöôïc ñaùnh soá thöù töï bôûi n = 1, 2, …., N.
Moãi haït coù theå chieám bôûi moät trong hai quyõ ñaïo thaáp hôn hoaëc cao hôn, coù naêng
löông laø -1/2 hay +1/2 vaø ñöôïc phaân bieät bôûi s= -1 vaø s= +1( xem hình 3.1). Coù
ñeán 2N traïng thaùi trong maãu, moãi traïng thaùi ñöôïc xaùc ñònh bôûi nhöõng haït höôùng
leân hoaëc höôùng xuoáng, moãi haït coù moät möùc naêng löôïng rieâng( xeùt ñeán töông taùc
dö) baèng 1/2 ñoä sai bieät giöõa soá treân vaø soá döôùi.
Hình 3.1: Minh hoaï nhöõng quyõ ñaïo cuûa sô ñoà maãu lôùp
32
Töông taùc dö trong maãu sô ñoà laø thöù laøm thay ñoåi traïng thaùi cuûa caëp haït
baát kyø. Seõ thuaän tieän neáu ta ñöa ra ñoä lôùn cuûa töông taùc dö –V cho hai haït baát kyø
cuøng höôùng leân hoaëc höôùng xuoáng, nhö hình 3.2. Söï töông taùc taêng ôû haït naøy
nhöng laïi giaûm ôû haït khaùc cuõng coù theå ñöôïc keå ñeán nhöng noù khoâng aûnh höôûng
ñeán nhöõng ñaëc tính môùi.
Hình 3.2: Töông taùc dö trong maãu sô ñoà
+
Ñeå xaùc ñònh maãu caùch deã nhaát laø söû duïng löôïng töû hoaù laàn hai vaø ñöa ra
nsaˆ
nsaˆ
vaø laàn löôït laø toaùn töû sinh vaø huyû haït treân quyõ ñaïo ns. Khi maãu hai toaùn töû
ñöôïc xaây döïng sao cho khoâng coù treân moät haït toàn taïi treân quyõ ñaïo thì deã daøng
lieân heä caùc toaùn töû naøy vôùi tính chaát phaûn giao hoaùn thoâng thöôøng cuûa caùc
fermion[4] nhö sau:
, (3.3)
] 0 =+ s'n' ] 0 = , (3.4)
[ + aˆ,aˆ ns [ aˆ,aˆ ns
s'n'
=
]
[ + aˆ,aˆ ns
s'n'
δδ nn'
ss'
+
. (3.5)
nsaˆaˆ +
ns
n1aˆaˆ
1n −
thì ñeám soá haït treân quyõ ñaïo ns, trong khi ñoù nhöõng toaùn töû Toaùn töû
aˆ + n1n aˆ
−
bieåu thò vieäc taêng hay giaûm haït thöù n’. Chæ bao goàm nhöõng toaùn töû naøy, vaø
N
N
N
Hˆ
aˆ
V
aˆ
=
−
−
−
Hamiltonian[4] coù theå vieát döôùi daïng
)
( + aˆaˆ n1
n1
+ aˆaˆ( n1
+ aˆaˆ n'1
aˆaˆ n1
)aˆ n'
+ aˆ 1n1n −
−
1n −
1n' −
+ 1n −
+ 1n' −
∑
∑∑
1 2
1 2
1n =
1n =
1n' =
, (3.6)
33
ÔÛ ñaây, ta khoâng caàn quan taâm ñeán thaønh phaàn phi vaät lyù n = n’ trong töông
taùc dö vì hai haït cuøng taêng hoaëc cuøng giaûm thì traïng thaùi khoâng toàn taïi.
3.3.2 Nhöõng traïng thaùi rieâng chính xaùc
Hamiltonian ñöôïc moâ taû ôû treân ñöôïc vieát döôùi daïng ma traän keát caëp trong
soá 2N traïng thaùi. Xuaát phaùt töø tính ñoái xöùng vaø söï bieán ñoåi cuûa nhieàu yeáu toá, ma
traän naøy khoâng ñaëc bieät sao cho vieäc cheùo hoaù ñeå tìm thaáy nhöõng trò rieâng vaø
traïng thaùi rieâng laø moät vaán ñeà chuû yeáu ñoái vôùi nhöõng giaù trò nhoû nhaát cuûa N. May
maén laø caáu truùc ñôn giaûn cuûa vaán ñeà cho pheùp noù ñöôïc tính toaùn moät caùch ñôn
giaûn baèng phöông phaùp nhoùm quen thuoäc( nhöõng toaùn töû xung löôïng goùc löôïng
töû), moät pheùp chuyeån bieán cho ta caùch cheùo hoaù chính xaùc ñeå giaûi quyeát vaán ñeà.
Jˆ
aˆ
=
−
Chuùng ta haõy xaùc ñònh caùc toaùn töû[4]
)
z
( + aˆaˆ n1
n1
+ aˆ 1n1n −
−
∑
1 2
N
+
Jˆ
, (3.7)
n1aˆaˆ
+ =
1n −
∑
1n =
N
+
+
Jˆ
)Jˆ(
aˆ
=
=
, (3.8)
1n aˆ
n1
−
+
−
∑
1n =
. (3.9)
zJˆ bieåu thò söï khaùc bieät giöõa soá haït taêng vaø soá haït giaûm coøn
+Jˆ
Vì vaäy,
−Jˆ bieåu thò cho toaøn boä soá haït giaûm. söû
bieåu thò cho toaøn boä soá haït taêng töông töï
JˆV(
)Jˆ
Jˆ
JˆV(
)Jˆ
JˆHˆ =
−
+
=
−
−
duïng nhöõng toaùn töû naøy, Hamiltonian ôû treân coù theå ñöôïc vieát laïi
z
z
2 x
2 y
2 +
2 −
1 2
(3.10)
Jˆ
Jˆ
=
ÔÛ ñaây, ta ñöa ra toaùn töû
x
+ +
)−
( Jˆ
1 2
Jˆ
Jˆ
−=
(3.11)
y
+ −
( Jˆi
)−
1 2
. (3.12)
34
Söû duïng quy taéc phaûn giao hoaùn cô baûn ôû phaàn 2a trong chöông naøy, deã
zJˆ vaø
±Jˆ thoaû quy taéc giao hoaùn cuûa xung löôïng goùc
daøng thaáy ñöôïc ba toaùn töû
±= Jˆ
löôïng töû:
]Jˆ,Jˆ[ z
±
±
, (3.13)
zJˆ2]Jˆ,Jˆ[ =−
+
. (3.14)
Vì vaäy, maëc duø nhöõng toaùn töû gioáng spin naøy khoâng gioáng nhö xung löôïng
goùc vaät lyù nhöng moïi kyõ thuaät vaø thöïc nghieäm ñeå xöû lyù nhöõng toaùn töû spin löôïng
töû coù theå ñöôïc öùng duïng ñeå giaûi quyeát vaán ñeà naøy.
2
Jˆ
Jˆ
Jˆ
Jˆ
=
+
+
Chuùng ta coù theå nhaän ra raèng vì toång cuûa caùc toaùn töû spin
2 x
2 y
2 z
(3.15)
zy,x,Jˆ
giao hoaùn vôùi , vôùi Hamiltonian vaø vì vaäy moãi traïng thaùi rieâng cuûa Hˆ coù theå
2Jˆ . Vì
ñöôïc vieát döôùi daïng toång cuûa caùc spin vaø j, ôû ñaây j(j+1) laø trò rieâng cuûa
vaäy, nhöõng traïng thaùi rieâng coù theå ñöôïc saép xeáp thaønh nhöõng boäi soá khoâng suy
bieán cuûa 2j + 1 traïng thaùi, moãi moät traïng thaùi trong moät boäi soá ñeàu coù cuøng j.
Hamiltonian coù yeáu toá ma traän baát bieán giöõa hai traïng thaùi chæ neáu chuùng theo
zJˆ neân chuùng seõ khoâng
moät boäi soá chung. Tuy nhieân, vì Hˆ khoâng giao hoaùn vôùi
coù cuøng traïng thaùi rieâng.
Ñeå thaáy raèng nhöõng giaù trò j ñöôïc pheùp, ta coù theå saép xeáp 2N traïng thaùi cuûa
zJˆ . Moät
maãu( khoâng phaûi traïng thaùi rieâng cuûa Hamiltonian) theo trò rieâng cuûa
zJˆ ) töông öùng vôùi trò rieâng
traïng thaùi coù taát caû haït treân( vôùi trò rieâng lôùn nhaát cuûa
1 2
1 2
m= N. Vì vaäy, ta coù theå tính moät boäi soá chung cuûa 2. N+1 = N+1 traïng thaùi
1 2
1 2
töông öùng vôùi j= N. Chuyeån ñeán traïng thaùi tieáp theo vôùi m= N -1, ta thaáy
raèng coù N traïng thaùi, töông öùng vôùi moät trong N haït höôùng xuoáng coøn taát caû haït
35
1 2
coøn laïi höôùng leân. Tuyeán tính hoaù N traïng thaùi naøy theo boäi soá j= N, cho thaáy
1 2
1 2
raèng coù N-1 boäi soá öùng vôùi j= N -1. tieáp tuïc caùch töông töï, coù N( N-1) traïng
1 2
thaùi vôùi m= N -2( hai haït höôùng xuoáng coøn laïi höôùng leân) maø tuyeán tính hoaù
1 2
nhöõng traïng thaùi naøy theo boäi soá j= N vaø N-1 tuyeán tính hoaù theo boäi soá
1 2
1 2
1 2
j= N – 1. Vì vaäy, coù N(N-3) boäi soá vôùi j= N – 2. Baèng vieäc tieáp tuïc caùch
1 2
naøy ta coù theå saép xeáp 2N traïng thaùi cuûa maãu vaøo nhöõng boäi soá vôùi j chaïy töø N
xuoáng 0 hay 1/2 töông öùng N chaün hay leû.
Vì Hˆ chæ lieân quan ñeán toaùn töû spin, neân vieäc tính toaùn vôùi moät boäi soá chæ
phuï thuoäc treân boäi j. Ñoái N cho tröôùc, phoå cuûa moät boäi soá tính cho taát caû j gioáng
nhau vaø thöïc söï, cuõng tính cho nhöõng boäi soá cuûa j naøy trong heä N lôùn hôn. Vì vaäy,
chuùng ta höôùng söï chuù yù tôùi boäi soá vôùi giaù lôùn nhaát cuûa j, 1/2N.
Baèng nhöõng suy luaän naøy, ta coù theå ruùt ra baøi toaùn cheùo hoaù cho
zJˆ
Hamiltonian hoaøn chænh töø vieäc cheùo hoaù (3.10) trong N+1 traïng thaùi rieâng cuûa
theo boäi soá vôùi j= 1/2N. ta coù theå vieát nhöõng traïng thaùi naøy daïng m , maø m chaïy
töø -j ñeán j vôùi böôùc chaïy nguyeân. Söû duïng nhöõng coâng thöùc bình thöôøng cho vieäc
tính toaùn nhöõng toaùn töû xung löôïng goùc taêng hoaëc giaûm[4],
1mCmJˆ = ± ± m
±
1 2
C
[j(j
1)
m(m
1)]
+
−
±
(3.16)
=± m
, (3.17)
mHˆm'
mδ
V[C
]
=
−
+
Ta coù theå vieát nhöõng yeáu toá cuûa Hˆ trong cô sôû naøy nhö sau: [4]
mm'
2mm'
2mm'
+ + δC 1mm +
+
− − δCC 1mm −
−
1 2
(3.18)
36
Vì vaäy, Hˆ laø ma traän cheùo ba trong cô sôû naøy vaø taùch thaønh hai baøi toaùn
lieân quan ñeán nhöõng traïng thaùi m= -j, -j +2, … , +j vaø m= -j +1, -j +3, …, +j -1 khi
N chaün( j laø soá nguyeân) vaø nhöõng traïng thaùi m= -j, -j +2, … , +j -1 vaø m= -j +1, -j
+3, … , +j khi N leû( j laø soá baùn nguyeân). Ñoái vôùi nhöõng giaù trò j nhoû, nhöõng ma
traän coù theå ñöôïc cheùo hoaù moät caùch töï nhieân trong khi ñoái vôùi heä lôùn hôn, phöông
phaùp soá thaûo luaän trong phaàn naøy coù theå ñöôïc söû duïng ñeå tìm nhöõng trò rieâng vaø
vectô rieâng.
Jˆ( iπ
Jˆ
)/
2
+
y
x
eRˆ =
Phöông phaùp spin cho pheùp ta tìm lôøi giaûi chính xaùc cho maãu. Haõy xeùt
2/yˆ
xˆ +
(3.19)
trong laø toaùn töû ñôn vò ñaëc tröng hieäu öùng quay moät goùc π so vôùi truïc
khoâng gian spin[4]. Thaät deã daøng nhaän raèng söï quay naøy laøm bieán ñoåi caùc toaùn töû
RˆJˆRˆ
Jˆ
=+
spin nhö sau
x
y
RˆJˆRˆ
Jˆ
=+
, (3.20)
y
x
RˆJˆRˆ
Jˆ
−=+
, (3.21)
z
z
. (3.22)
RˆHˆRˆ
Hˆ
−=+
ÔÛû ñaây Hamiltonian trong (3.10) chuyeån ñoåi nhö sau
(3.23)
laø moät haøm Vì vaäy, neáu ψ laø haøm rieâng cuûa Hˆ vôùi naêng löôïng E, thì ψRˆ
rieâng cuûa Hˆ vôùi trò rieâng laø –E. Do ñoù, trò rieâng cuûa Hˆ laø moät caëp coù cuøng ñoä lôùn
nhöng traùi daáu( hay baèng khoâng). Ñieàu naøy cuõng cho ta thaáy raèng neáu N chaün thì
ít nhaát moät traïng thaùi rieâng seõ baèng khoâng.
3.3.3 Nhöõng traïng rieâng gaàn ñuùng
Baây giôø, ta quay trôû veà phöông phaùp xaáp xæ ñeå giaûi maãu sô ñoà vaø xeùt
zJˆ trong
Jˆ
Jˆ −
thuyeát nhieãu loaïn Schrodinger - Rayleigh cô sôû. Neáu ta tính thaønh phaàn
2 x
2 y
(3.10) nhö Hamiltonian khoâng nhieãu loaïn vaø laø thaønh phaàn nhieãu loaïn thì
37
E(0)
m
mJˆm 2
nhöõng traïng thaùi khoâng nhieãu loaïn laø m vôùi nhöõng naêng löôïng khoâng nhieãu loaïn
m =
±
. Coøn chuoãi nhieãu loaïn laø moät bieåu thöùc luyõ thöøa cuûa V. Vì ,
2
2
1/2V2m
mJˆ
1/2V2m
mJˆ
−
+
2 +
2 −
ΔE
+
=
naêng löôïng khoâng nhieãu loaïn ôû baäc ñaàu tieân vaø nhieãu loaïn baäc hai nhö sau[4]
(2) m
E
E
E
E
−
−
(0) m
(0) m
(0) 2m +
(0) 2m −
. (3.24)
Söû duïng phöông trình (3.18) cho nhöõng yeáu toá ma traän ñaõ keå, nhöõng bieåu
thöùc cuûa naêng löôïng baäc hai coù theå ñöôïc ruùt ra; nhöõng thaønh phaàn baäc boán cuõng
coù theå ñöôïc thöïc hieän vôùi pheùp toaùn phuø hôïp.
Trong khi giôùi haïn töông taùc yeáu( V nhoû) coù theå ñöôïc tính bôûi thuyeát nhieãu
loaïn moät caùch khoâng phöùc taïp, raéc roái thì pheùp xaáp xæ töông taùc maïnh( V lôùn)
khoâng thaät söï roõ raøng. Moät phöông phaùp xaáp xæ caàn thieát laø phöông phaùp baùn
phaân lôùp, coù theå tính giôùi haïn N lôùn. Vaán ñeà naøy ñöôïc baét ñaàu baèng caùch xeùt
i
Jˆ
phöông trình chuyeån ñoäng phuï thuoäc thôøi gian cuûa toaùn töû spin[4]:
i =
i
]Hˆ,Jˆ [
d dt
, (3.25)
iJˆ laø moät thaønh phaàn baát kyø trong ba thaønh phaàn cuûa toaùn töû
Trong ñoù,
spin. Söû duïng Hamiltonian ôû (3.10) vaø quy taéc giao hoaùn ôû (3.14), thaät deã daøng ta
Jˆ
Jˆ
JˆJˆV
JˆJˆ
−=
+
+
coù theå vieát laïi phöông trình treân cho ba thaønh phaàn[4]:
x
y
yz
zy
d dt
Jˆ
Jˆ
JˆJˆV
JˆJˆ
=
+
+
, (3.26)
y
x
xz
zx
d dt
Jˆ
JˆJˆV2
JˆJˆ
−=
+
, (3.27)
z
xy
yx
d dt
. (3.28)
Thaät khoâng may maén phöông trình naøy khoâng coù daïng heä kín vì ñaïo haøm
theo thôøi gian cuûa toaùn töû spin ñôn phuï thuoäc vaøo ñoä lôùn tích song tuyeán tính cuûa
nhöõng toaùn töû naøy. Tuy nhieân, neáu chuù yù raèng Jˆ laø nhöõng toaùn töû, chaúng haïn
38
JˆJˆ
Jˆ
Jˆ
=
yx
x
y
(3.29)
Jˆ
Jˆ
2V
Jˆ
Jˆ
−=
+
Ñoái vôùi heä kín phöông trình cho keát quả [4]:
x
y
z
y
d dt
Jˆ
Jˆ
2V
Jˆ
Jˆ
=
+
, (3.30)
y
x
z
x
d dt
Jˆ
4V
Jˆ
Jˆ
−=
, (3.31)
z
y
z
d dt
. (3.32)
2
2
2
2
J
Jˆ
Jˆ
Jˆ
≡
+
+
Deã daøng thaáy raèng nhöõng phöông trình treân baûo toaøn:
x
y
z
(3.33)
Jˆ
Jcosθ
Ñeå thuaän tieän cho vieäc bieán ñoåi, ta bieán ñoåi sau:
z =
Jˆ
Jsinθ ϕcos
, (3.34)
x =
Jˆ
Jsinθ
ϕsin
, (3.35)
y =
J
[j(j
1)]
1/2N
=
+
1/2 ≈
. (3.36)
(3.37) Trong ñoù,
1/2Ncosθ
p ≡
Neáu chuùng ta xaùc ñònh hôn nöõa nhöõng bieán soá
q
1/4π
+≡ϕ
, (3.38)
q0
2π
1/2N
≤≤
p ≤
. (3.39)
χ
NV
2JV
≡
≈
Ñeå thoaû , vaø töø treân ta coù haèng soá keát caëp thuaän tieän
. (3.40)
2
q)
2
2
(
p
)cos2q
=
−
−=
Nhöõng phöông trình treân coù theå vieát laïi
dp dt
χ N
N 4
E(p, ∂ p ∂
,
q)
21
psin2q
+=
=
(3.41)
dq dt
χ N
E(p, ∂ q ∂
,
39
E(p,
q)
Hˆ
Jˆ
JˆV(
Jˆ
)
≡
=
−
−
z
2 x
2 y
2
ÔÛû ñaây E laø giaù trò ñaùnh giaù töø Hamilonian:
2
p
)sìnq
(
p −=
−
χ N
N 4
(3.42)
Baèng chuoãi bieán ñoåi naøy, ta coù theå chuyeån baøi toaùn spin thaønh moät heä
phaân lôùp phuï thuoäc thôøi gian vôùi xung löôïng p vaø toaï ñoä q thoaû maõn phöông trình
chuyeån ñoäng (3.41).
Khi nhöõng phöông trình coù daïng kinh ñieån thì p vaø q lieân hôïp moät caùch
kinh ñieån vaø (3.42) coù theå ñöôïc xem nhö Hamiltonion cuûa heä coå ñieån.
Baây giôø chuùng ta coù theå ruùt ra nhöõng thuoäc tính cuûa traïng thaùi rieâng löôïng
töû baèng caùch phaân tích heä phaân lôùp naøy. Söû duïng phöông trình (3.42), ta coù theå
HE =
tính caùc hình chieáu trong khoâng gian pha, chaúng haïn, giaù trò p khi q cho tröôùc vaø
. Maët khaùc, ta cuõng coù theå suy ra nhöõng ñöôøng ñaúng trò cuûa E trong maët
1χ < ) vaø töông taùc maïnh(
1χ > ).
phaúng (p,q). Veà vieäc phaân tích nhöõng ñöôøng cong naøy thaät deã daøng phaân bieät giöõa
0.25
χ =
tröôøng hôïp töông taùc yeáu(
Hình 3.3: Nhöõng ñöôøng ñaúng trò cuûa Hamiltonian (3.42) ñoái vôùi N=8, .
Nhöõng ñöôøng cong ñi qua ñieåm (p=0, q=0) coù naêng löôïng baèng khoâng.
40
0.25
χ =
Hình 3.3 cho thaáy moät tröôøng hôïp töông taùc yeáu ñieån hình N= 8 vaø
. Hình chieáu vôùi traïng thaùi naêng löôïng thaáp nhaát cho pheùp ta coù theå xaùc
ñònh traïng thaùi cô baûn cuûa heä löôïng töû coù p= -1/2N, E= -1/2N vaø q thoaû maõn
phöông trình ñaïo haøm rieâng (3.41). Chuù yù raèng nhöõng hình chieáu naøy chaïy treân
2.5
χ =
moïi giaù trò cuûa q.
Hình 3.4: Töông töï hình 3.3 nhöng trong tröôøng hôïp töông taùc maïnh N=8, .
Nhöõng ñieåm A1,2, B1,2 laø nhöõng ñieåm cöïc tieåu vaø cöïc ñaïi, coøn C1-4,D1-4
ñöôïc laø nhöõng ñieåm döøng, maø nhöõng ñieåm naøy coù naêng löôïng 1/2N±
1χ > , hình troâng nhö hình 3.4, ôû ñaây xeùt
veõ baèng nhöõng ñöôøng chaám gaïch.
2.5
χ =
Trong tröôøng hôïp töông taùc maïnh,
1/2
p −=
,
q =
N= 8, . Baây giôø, ta coù caùc giaù trò nhoû nhaát trong beà maët naêng löôïng taïi
N χ
π 4
5π 4
, , baèng caùch söû duïng nhöõng phöông trình chuyeån ñoäng (3.41),
ta coù theå suy ra nhöõng ñieåm coá ñònh (chaúng haïn nhöõng nghieäm ñoäc laäp thôøi gian
E
N(χ
)/4
−=
1−+ χ
trong phöông trình chuyeån ñoäng). Naêng löôïng taïi caùc ñieåm naêng löôïng nhoû nhaát
, vaø ta coù theå xem ñaây laø naêng löôïng cuûa traïng thaùi cô baûn. laø
41
1χ = maø traïng thaùi cô baûn thay ñoåi töø vò
1/2N
1/2N
p −=
p −>
Cho neân, coù moät vò trí pha taïi ñoù
ñeán vò trí , naêng löôïng lieân tuïc qua vò trí naøy. Söï thay ñoåi trí
veà baûn chaát töï nhieân cuûa traïng thaùi cô baûn laø moät ngoaïi suy tröïc tieáp veà tình beàn
vöõng vaø ñoä maïnh giöõa caùc haït. Cuõng neân chuù yù raèng, veà vieäc phaân tích tröïc tieáp
baøi toaùn taïo caëp löôïng töû bình thöôøng, coù maët cuûa hai cöïc tieåu suy bieán trong hình
3.4 cho thaáy raèng nhöõng traïng thaùi cô baûn vaø kích thích ñaàu tieân cuûa chuùng seõ gaàn
nhö suy bieán, vieäc taùch ra giöõa chuùng chæ ñöôïc gaây ra bôûi haøng xuyeân qua giöõa
caùi gieáng.
Nhöõng phaân tích baùn phaân lôùp coù theå ñöôïc duøng ñeå tìm nhöõng naêng löôïng
cuûa caùc traïng thaùi kích thích moät caùch khaû thi, chuû yeáu laø öùng duïng quy luaät
löôïng töû hoaù Borh - Sommerfeld. Ngöôøi ta tìm thaáy raèng soá haït N ñieàu khieån baûn
chaát töï nhieân cuûa vaán ñeà, vôùi vieäc heä trôû neân phaân lôùp hôn khi soá haït taêng. Trong
tröôøng hôïp töông taùc yeáu, nhöõng hình chieáu xuaát hieän treân toaøn mieàn cuûa q. Tuy
nhieân ñoái vôùi töông taùc maïnh coù hai loaïi hình chieáu: moät thì chuyeån ñoäng xung
caùc cöïc ñaïi vaø cöïc tieåu naêng löôïng( vaø vì vaäy noù khoâng toát trong mieàn giôùi haïn
JE = ( chaúng
cuûa q), coøn moät loaïi coù khuynh höôùng qua toaøn boä giaù trò cuûa q. Ta coù theå deã
daøng thaáy töø (3.42) söï chuyeån ñoåi giöõa hai traïng thaùi xuaát hieän taïi
haïn nhöõng ñöôøng chaám gaïch ôû hình 3.4). Veà vieäc phaân tích vaán ñeà taïo caëp löôïng
töû thoâng thöôøng ta tính nhöõng traïng thaùi lieân keát vôùi nhöõng hình chieáu bò haïn cheá
ñeå xuaát hieän nhöõng caëp gaàn nhö suy bieán. Söï suy bieán bò phaù vôõ maïnh meõ hôn
khi naêng löôïng taêng treân caùc cöïc tieåu hay giaûm döôùi caùc cöïc ñaïi.
3.3.4 Caùc böôùc tieán haønh moâ phoûng
Böùc tranh baùn phaân lôùp ñôn giaûn maø ta ñaõ thaûo luaän ôû treân coù theå ñöôïc
kieåm tra baèng caùch phaân tích nhöõng traïng thaùi rieâng chính xaùc cuûa maãu. Ñieàu naøy
coù theå ñöôïc thöïc hieän thoâng qua nhöõng böôùc sau:
42
(cid:190) Böôùc 1:
Xeùt laïi nhöõng thuaät toaùn maø ñaõ thaûo luaän ôû treân. Ñaëc bieät töø phöông trình
(3.10) ta thaáy söï hieän dieän caùc giaù trò cuûa Hamiltonian. Tieáp laø tính caùc naêng
löôïng nhieãu baäc hai töø phöông trình (3.24).
(cid:190) Böôùc 2:
Tính ñoä chính xaùc cuûa nhöõng phöông trình (3.38) ñeán (3.42). Trong tröôøng
hôïp töông taùc maïnh tuyeán tính hoaù caùc phöông trình chuyeån ñoäng veà nhöõng cöïc
1)
2(χ 2 −
tieåu vaø cöïc ñaïi vaø chæ ra raèng taàn soá cuûa phöông trình dao ñoäng trong khoaûng
. Ñaây laø khoaûng mong ñôïi trong nhöõng caêp traïng thaùi gaàn nhö phaân huyû
trong phoå chính xaùc.
(cid:190) Böôùc 3:
Vieát chöông trình maø chöông trình naøy tìm caùc trò rieâng cuûa ma traän cheùo
hoaù Hamiltonian (3.10). Chuù yù raèng coâng vieäc tính toaùn coù theå ñöôïc ruùt ngaén bôûi
vieäc tính toaùn nhöõng traïng thaùi cô sôû vôùi m chaün vaø leû moät caùch rieâng bieät vaø
baèng vieäc söû duïng tính ñoái xöùng cuûa phoå xung quanh giaù trò E= 0.
(cid:190) Böôùc 4:
χ ñöôïc choïn. So saùnh naêng löôïng traïng thaùi cô baûn vôùi nhöõng pheùp tính baùn phaân
Söû duïng chöông trình ñaõ vieát ôû 3 tính phoå cho maãu vôùi nhöõng giaù trò N vaø
lôùp vaø tính söï suy bieán cuûa nhöõng traïng thaùi thaáp hôn.
(cid:190) Böôùc 5:
Vieát moät chöông trình tính nhöõng trò rieâng ñaõ ñöôïc tìm thaáy ôû böôùc 2 vaø
χ , ñeå tính nhöõng giaù trò cuûa Jz ñoái vôùi moãi vectô rieâng.
giaûi nhöõng vectô rieâng töø caùc tích phaân vectô nghòch ñaûo. Choïn nhöõng giaù trò N vaø
43
3.4 Chöông trình
Chöông trình tính toaùn caùc möùc naêng löôïng cuûa haït nhaân theo phöông phaùp
Monte Carlo maãu lôùp (SMMC) ñöôïc vieát baèng ngoân ngöõ laäp trình Borland C++
Builder.
44
Giaûi thích sô ñoà:
• Input: chöông trình nhaäp ban ñaàu.( Nhaäp soá voøng laëp N)
• Thieát laäp thoâng soùâ ñaàu vaøo: töø soá lieäu cuûa haït nhaân maø ta ñaõ thieát
laäp (soá proton, soá neutron), chöông trình naøy seõ taïo ra caùc thoâng soá
caàn thieát cho tính toaùn. Chöông trình ñöôïc thöïc hieän baèng haøm
para().
• Tính naêng löôïng: töø soá voøng laëp keát hôïp vôùi chöông trình tìm trò
rieâng (find_eigen()), vaø chöông trình tìm vectô rieâng (eigenvectô()),
ta tính ñöôïc caùc möùc naêng löôïng cuûa haït nhaân. Haøm hamiltonian()
thöïc hieän coâng vieäc naøy.
• Caùc chöông trình nhö: tìm trò rieâng, tìm vectô rieâng, ñeám soá trò rieâng,
tính ma traän nghòch ñaûo ñöôïc thöïc hieän töø caùc döõ lieäu maø ta ñaõ thieát
ngay trong chöông trình. Caùc haøm thöïc hieän caùc chöông trình naøy
laàn löôït nhö sau: find_eigen(), eigenvectô(), count_eigen(), vaø
inverse_matrix().
• Output: Chương trình xuất dữ liệu ra màn hình sau khi tính toán.
3.5 Keát quaû vaø nhaän xeùt
3.5.1 Keát quaû thu ñöôïc
Chöông trình ñöôïc söû duïng moâ phoûng caùc möùc naêng löôïng nghieân cöùu caùc
möùc naêng löôïng kích thích cuûa He4, He6 vaø He8. Keát quaû tính toaùn ñöôïc so saùnh
vôùi thöïc nghieäm vaø caùc phöông phaùp moâ phoûng Monte Carlo haøm Green (GFMC)
vaø bieán phaân Monte Carlo (VMC). Ta coù baûng so saùnh nhö sau:
45
Baûng 3.1: So saùnh keát quaû giöõa thöïc nghieäm (TN), SM, GFMC vaø VMC
TN (MeV) SM (MeV) GFMC (MeV) VMC (MeV)
He4 -28.3 -28.2 -22.2 -27.9
He6 -29.1 -27.8 -27.0 -25.0
-27.6 -26.0 -22.5 -23.1
-23.8 -21.7
-19.8
He8 -31.1 -32.2 -26.2 -19.2
-29.0 -20.7 -17.1
-18.4 -16.1
-15.0
3.5.2 Nhaän xeùt
Töø baûng treân ta thaáy, keát quaû cuûa He4 sai bieät khaù nhieàu so vôùi thöïc
nghieäm vaø hai phöông phaùp moâ phoûng khaùc, coøn keát quaû He6 vaø He8 thì oån. Ñoái
vôùi He4 thì ta bò maát ñi moät möùc traïng thaùi traùi laïi He8 thì dö moät möùc traïng thaùi.
Coù leõ laø vì “theá töông taùc” ta choïn moâ phoûng chöa thaät söï phuø hôïp nhaát laø ñoái vôùi
heä He4. Tuy nhieân, so vôùi hai phöông phaùp kia thì keát quaû toát hôn.
46
Ñeå deã nhìn hôn, ta coù theå bieåu dieãn caùc soá lieäu treân baèng ñoà thò (3.1):
-5
TN SM GFMC
-10
VMC
-15
-20
-25
-30
He4
He6
He8
-35
Naêng löôïng haït nhaân
Ñoà thò 3.1: So saùnh keát quaû giöõa thöïc nghieäm (TN), SM, GFMC vaø VMC
47
KEÁT LUAÄN
Chöông trình tính toaùn maãu lôùp ñöôïc xaây döïng trong khoaù luaän naøy vaãn
coøn nhieàu haïn cheá:
(cid:190) Chöa tính ñeán söï khaùc bieät giöõa caùc töông taùc nn, np, pp.
(cid:190) Chæ tính ñöôïc vôùi caùc nhaân chaün – chaün.
(cid:190) Chöa tính ñöôïc vôùi caùc nhaân naëng hôn do coøn söï giao thoa giöõa
caùc lôùp heát söùc phöùc taïp.
Tuy nhieân, khoaù luaän cuõng ñaït ñöôïc moät soá thaønh coâng nhaát ñònh:
(cid:190) Böôùc ñaàu thieát laäp ñöôïc caùc phöông thöùc tính toaùn cô baûn baèng
maãu lôùp ñeå tính toaùn caùc möùc naêng löôïng cuûa haït nhaân nheï.
(cid:190) Ñaây cuõng laø cô sôû cho nhöõng khoaù luaän tieáp theo laøm veà höôùng
nghieân cöùu naøy.
KIEÁN NGHÒ
Khi nghieân cöùu tieáp ñeà taøi naøy caàn chuù yù ñeán:
(cid:190) Söï töông taùc giöõa caùc nucleon nhö nn, np, pp maø ôû khoùa luaän ñaõ
khoâng xeùt ñeán.
(cid:190) Caàn môû roäng theâm cho caùc haït nhaân khaùc ngoaøi caùc nhaân He.
Ngoaøi ra chöông trình naøy chæ tính ñeán caùc nhaân chaün – chaün, ñaây
laø moät söï thieáu soùt lôùn. Caàn xeùt theâm caùc haït nhaân leû – leû, chaún –
leû.
(cid:190) Caàn quan taâm hôn ñoái vôùi caùc nhaân naëng hôn vì söï giao thoa caùc
lôùp cuûa caùc nhaân naøy raát phöùc taïp.
48
TAØI LIEÄU THAM KHAÛO
Tieáng Vieät
[1] Mai Vaên Nhôn, Vaät lyù haït nhaân ñaïi cöông , NXB Ñaïi hoïc quoác gia TP. Hoà
Chí Minh, TP. Hoà Chí Minh, 2001.
[2] Mai Vaên Nhôn, Giaùo trình caáu truùc haït nhaân, Löu haønh noäi boä Boä moân Vaät
lyù haït nhaân, Tröôøng Ñaïi hoïc khoa hoïc töï nhieân TP.Hoà Chí Minh, 2006.
Tieáng Anh
[3] M. Hjorth – Jensen, Computational Physics, University of Oslo, U.S.A, 2003.
[4] Steven E. Koonin, Computational Physics, The Benjamin/Cummings
Publishing Company, U.S.A, 1986.
[5] S.E Koonin, D.J. Dean, K. Langanke, Shell Model Monte Carlo method,
California Institue of Technology, U.S.A, 1996.
[6] P. Van Isavker , The nuclear shell model, Ganil, France, 2003.
[7] Till Tobias B o&& hlen, Shell Model Monte Carlo, Seminar Presentation,
Technische Universt a&& t Darmstadt, U.S.A, 2007.
[8] http://en.wikipedia.org/wiki/Slater_determinant.
[9] http://en.wikipedia.org/wiki/Variational_Monte_Carlo.
[10] http://en.wikipedia.org/wiki/Diffusion_Monte_Carlo.
[11] http://phycomp.technion.ac.il/~phsorkin/Proposal/proposal/node22.html.
[12] http://en.wikipedia.org/wiki/Auxiliary_field_Monte_Carlo.
[13] http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=PR
BMDO000075000022224503000001&idtype=cvips&gifs=yes.
49
[14] http://www.physics.ohio-state.edu/~nucex/chargex/cooper_thesis/
node23.html#green_5.
[15] B.Alex Brown, The Shell Model Towards the Drip Lines, Michigan State
University, U.S.A, 2002.
50
Phuï luïc 1
void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender)
{
int Nproton=4,Nneutron=4,i,j;
double chi_p=10,chi_n=10;
fp=fopen("a.txt", "w+");
fprintf(fp," Proton:\n");
Npart=Nproton;
chi=chi_p;
para();
hamiltonian();
output(1);
fprintf(fp," Neutron:\n");
Npart=Nneutron;
chi=chi_n;
para();
hamiltonian();
output(2);
}
//---------------------------------------------------------------------------
51
void para()
{
jj=Npart/2;
jj1=jj*(jj+1);
V=chi/Npart;
}
//---------------------------------------------------------------------------
void hamiltonian()
{
int i,ilam,m,temp;
N=jj+1;
for(i=1;i<=N;i++)
{ m=-jj+2*(i-1);
diag[i]=m;
if(i==1)
continue;
temp=jj1-m*(m-1);
temp*=jj1-(m-1)*(m-2);
ldiag[i]=-V/2*sqrt(fabs(temp));
}
if(jj%2==0)
52
Nfind=1+jj/2;
else
Nfind=(jj+1)/2;
find_eigen();
for(ilam=1;ilam<=Nfind;ilam++)
{ eveven[ilam]=eval[ilam];
lambda=eval[ilam];
eigenvector();
for(i=1;i<=N;i++)
ceven[i][ilam]=tvector[i];
}
for(i=1;i<=N;i++)
{ m=-jj-1+2*(i-1);
diag[i]=m;
if(i==1)
continue;
temp=jj1-m*(m-1);
temp*=jj1-(m-1)*(m-2);
ldiag[i]=-V/2*sqrt(fabs(temp));
}
if(jj%2==0)
53
Nfind=1+jj/2;
else
Nfind=(jj+1)/2;
find_eigen();
for(ilam=1;ilam<=Nfind;ilam++)
{ eveven[ilam]=eval[ilam];
if(!vectors)
continue;
lambda=eval[ilam];
eigenvector();
for(i=1;i<=N;i++)
ceven[i][ilam]=tvector[i];
}
}
//---------------------------------------------------------------------------
void eigenvector()
{
int i,j;
double norm, sum;
for(i=1;i<=N;i++)
{ for(j=1;j<=N;j++)
a[i][j]=0;
a[i][j]=lambda-diag[i];
54
if(i a[i][i+1]=-ldiag[i+1]; if(i>1) a[i][i-1]=-ldiag[i]; tvector[i]=rnd(); } inverse_matrix(); for(i=1;i<=N;i++) { sum=0; for(j=1;j<=N;j++) sum+=a[i][j]*tvector[j]; nvector[i]=sum; } norm=0; for(i=1;i<=N;i++) { sum=0; for(j=1;j<=N;j++) sum+=a[i][j]*nvector[j]; tvector[i]=sum; norm+=sum*sum; } //fprintf(fp," %lf\n",norm); norm=1.0/sqrt(norm); 55 for(i=1;i<=N;i++) tvector[i]*=norm; //fprintf(fp," %lf\n",tvector[i]);} } //--------------------------------------------------------------------------- void find_eigen() { int ger,i,l; double lbound,ubound,rad,spacing,dlam; lbound=diag[1]-fabs(ldiag[2]); ubound=diag[1]+fabs(ldiag[2]); for(i=2;i<=N-1;i++) { rad=fabs(ldiag[i+1])+fabs(ldiag[i]); ger=diag[i]-rad; if(ger lbound=ger; ger=diag[i]+rad; if(ger>ubound) ubound=ger; } lambda=lbound; spacing=(ubound-lbound)/N; for(l=1;l<=Nfind;l++) { dlam=spacing; count=l-1; while(count { lambda+=dlam; 56 count_eigen(); } lambda-=dlam; while(dlam>0.00001) { count_eigen(); dlam=dlam/2; if(count<=l-1) { lambda+=dlam; break; } lambda-=dlam; } eval[l]=lambda; } } //--------------------------------------------------------------------------- void count_eigen() { int i; double t; double temp,temp1=1; double det=diag[1]/lambda; if(det<0) count=1; else count=0; 57 for(i=2;i<=N;i++) { temp=(diag[i]-lambda)*det-ldiag[i]*ldiag[i]*temp1; t=temp1; temp1=det; det=t; if(det*temp<0) count++; if(fabs(det)<100000) continue; det/=100000; temp1/=100000; } } //--------------------------------------------------------------------------- void inverse_matrix() { int i,j,k,big; double pivot1,test; for(i=1;i<=N;i++) r[i]=1; for(i=1;i<=N;i++) { k=0; big=0; for(j=1;j<=N;j++) { if(r[j]==0) 58 continue; test=fabs(a[j][j]); if(test<=big) continue; big=test; k=j; } if(k==0) break; if(i==1) pivot1=a[k][k]; if(fabs(a[k][k])/pivot1<1e-14) break; r[k]=0; q[k]=1.0/a[k][k]; p[k]=1; a[k][k]=0; if(k!=1) for(j=1;j<=k-1;j++) { p[j]=a[j][k]; q[j]=a[j][k]*q[k]; if(r[j]==1) q[j]=-q[j]; a[j][k]=0; } 59 if(k!=N) for(j=k+1;j<=N;j++) { p[j]=a[k][j]; q[j]=-a[k][j]*q[k]; if(r[j]==1) p[j]=-p[j]; a[k][j]=0; } for(j=1;j<=N;j++) for(k=j;k<=N;k++) a[j][k]+=p[j]*q[k]; } for(j=2;j<=N;j++) for(k=1;k<=j-1;k++) a[j][k]=a[k][j]; } //--------------------------------------------------------------------------- void output(int particle) { //FILE *fp; int i,ilam,k,col,row,m; double E,Jz; //fp=fopen("a.txt", "w+"); 60 if (fp!=NULL) { //Npart=8; // fprintf(fp," Number of particle: 8\n",Npart); // fprintf(fp," Coupling constant: %lf\n",chi); // fprintf(fp," The state of E<=0 as follow: \n"); for(ilam=1;ilam<=jj+1;ilam++) { if(ilam%2!=0) { k=(ilam+1)/2; E=eveven[k]; if(particle==1) energy_p[++p_level]=E; if(particle==2) energy_n[++n_level]=E; // tinh cho vectors Jz=0; for(i=1;i<=jj+1;i++) { m=-jj+2*(i-1); Jz+=ceven[i][k]*ceven[i][k]*m; } } if(ilam%2==0) { k=(ilam)/2; E=evodd[k]; if(particle==1) energy_p[++p_level]=E; 61 if(particle==2) energy_n[++n_level]=E; Jz=0; for(i=1;i<=jj+1;i++) { m=-jj-1+2*(i-1); Jz+=codd[i][k]*codd[i][k]*m; } } fprintf(fp," State = %d\tE = %lf\n",ilam,E); fprintf(fp,"\t\t } } } //--------------------------------------------------------------------------- 62 Thuaät toaùn Gauss-Jordan[5] Phaàn töû ma traän ñöôïc kí hieäu baèng aik, trong ñoù i laø chæ soá doøng coøn k laø chæ soá coät. Neáu haøng coù toaøn boä caùc phaàn töû ñeàu baèng khoâng, chuyeån xuoáng phía haøng cuoái cuûa ma traän. Tìm coät ñaàu tieân coù ít nhaát moät phaàn töû khaùc khoâng (caùc chæ soá coät ñöôïc kí hieäu bôûi k). Laàn löôït hoaùn vò hai doøng vôùi nhau sao cho phaàn töû khaùc khoâng naøy seõ laø phaàn töû ñaàu tieân trong coät. Neáu moät doøng khaùc coù phaàn töû khaùc khoâng cuõng ôû trong coät naøy, Ri, thöïc hieän pheùp toaùn: Ri # Ri * aik/a1k R1. Tieáp tuïc böôùc naøy cho ñeán khi taát caû caùc phaàn töû naèm döôùi a1k baèng khoâng. Neáu ma traän vaãn coøn chöa coù daïng baäc thang, di chuyeån ñeán coät keá tieáp coù phaàn töû khaùc khoâng döôùi möùc cuûa phaàn töû vöøa tính xong vaø thöïc hieän laïi pheùp bieán ñoåi töông töï. Sau khi coù ñöôïc ma traän baäc thang, chuaån hoaù caùc phaàn töû treân ñöôøng cheùo veà 1 vaø taát caû caùc phaàn töû döôùi chuùng veà 0. 63 Höôùng daãn söû duïng chöông trình Hình PL2.1: Giao dieän “Chöông trình tính naêng löôïng haït baèng SMMC” (cid:190) Böôùc 1 : Nhaäp soá voøng laëp N vaøo khung “Nhap N”. (cid:190) Böôùc 2 : Click vaøo trong khung “ Hat nhan”, choïn haït nhaân caàn tính naêng löôïng. (cid:190) Böôùc 3 : Click ñeå ra leänh cho maùy tính toaùn. Keát quaû seõ ñöôïc xuaát ra taïi khung “Ket qua”. 64 (cid:190) Böôùc 4 : Neáu muoán löu laïi keát quaû, ta choïn . Sau ñoù, choïn thö muïc caàn löu. (cid:190) Böôùc 5 : Neáu muoán tieáp tuïc tính tieáp vôùi soá lieäu khaùc,ta click (cid:190) Böôùc 6 : Neáu muoán keát thuùc chöông trình, ta click . ñeå xoaù döõ lieäu cuõ. Tieáp theo thöïc hieän caùc böôùc 1, 2, 3. Hình PL2.2 : Giao dieän tính thöû naêng löôïng cuûa nhaân He8 vôùi soá voøng laëp
N=1000.Phuï luïc 2
Phuï luïc 3
