TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ ---------------------
NGUYỄN THỊ THANH TÂM
TENSOR ĐỀ-CÁC VÀ ỨNG DỤNG TRONG
VẬT LÝ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
HÀ NỘI - 2017
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy TS. Hà Thanh Hùng đã tận
tình hƣớng dẫn, tạo mọi điều kiện thuận lợi và thƣờng xuyên động viên để tôi
hoàn thành khóa luận này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo của trƣờng Đại học Sƣ
phạm Hà Nội 2 và các thầy cô trong khoa Vật Lý đã quan tâm, giúp đỡ và tạo
điều kiện thuận lợi trong suốt thời gian tôi học tập và nghiên cứu tại khoa.
Tôi xin cảm ơn các thầy, cô giáo, các cán bộ của Trƣờng Đại học Sƣ
phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè thân thiết, những
ngƣời đã luôn ở bên cạnh động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận này.
Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2017
Sinh viên
Nguyễn Thị Thanh Tâm
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là do tự bản thân thực hiện
có sự hỗ trợ từ giáo viên hƣớng dẫn và không sao chép các công trình nghiên
cứu của ngƣời khác. Các dữ liệu thông tin thứ cấp sử dụng trong khóa luận là
có nguồn gốc và đƣợc trích dẫn rõ ràng.
Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về lời cam đoan này!
Hà Nội, ngày 20 tháng 4 năm 2017
Sinh viên
Nguyễn Thị Thanh Tâm
MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ................................................................. 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ............................................................................... 2
6. Bố cục của khóa luận .................................................................................... 2
NỘI DUNG ....................................................................................................... 4
CHƢƠNG 1: CÁCH PHÂN LOẠI VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI CỦA
TENSOR ĐỀ-CÁC ........................................................................................... 4
1.1. Khái niệm về Tensor ................................................................................. 4
1.1.1. Một số ký hiệu ....................................................................................... 4
1.1.2. Sự chuyển cơ sở trong các trục tọa độ ................................................. 8
1.2. Tensor Đề-các ............................................................................................ 9
1.2.1. Phép biến đổi tọa độ .............................................................................. 9
1.2.2. Cách phân bậc của tensor Đề-các. ....................................................... 11
1.3. Đại số Tensor ........................................................................................... 14
1.3.1. Phép cộng và phép trừ tensor. .............................................................. 14
1.3.2. Phép nhân tensor: Tích ngoài, tích trong và phép cuộn. ...................... 14
1.3.2.1. Phép nhân ngoài (tích ngoài) của tensor. .......................................... 14
1.3.2.2. Phép cuộn tensor. ............................................................................... 15
1.3.2.3. Phép nhân trong (tích trong) của tensor. .......................................... 16
1.3.3. Phép hoán vị chỉ số. .............................................................................. 16
1.3.4. Dấu hiệu ngược của tensor. .................................................................. 16
1.3.5. Gradien của một tensor. ........................................................................ 17
1.3.6. Định luật co chỉ số của tensor. ............................................................. 18
1.4. Tensor Levi-Civita và Isotropic. .............................................................. 19
1.4.1. Tensor Isotropic (Tensor đẳng hướng) ................................................. 19
1.4.2. Tensor Levi – Civita. ............................................................................. 21
1.4.2.1. Định nghĩa: ....................................................................................... 21
1.4.2.2. Tính chất: .......................................................................................... 22
1.4.2.3. Đồng nhất thức. ................................................................................. 22
1.5. Giả tensor ................................................................................................. 23
1.5.1. Phép quay riêng và phép quay riêng ngược ......................................... 23
1.5.2: Giả tensor.............................................................................................. 25
1.6. Tensor kép. ............................................................................................... 26
CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG VẬT LÝ CỦA TENSOR ĐỀ-CÁC ................... 33
2.1. Ứng dụng của tensor trong việc tính mômen động lƣợng ....................... 33
2.2. Ứng dụng của tensor trong việc tính mômen quán tính ........................... 34
2.3. Ứng dụng của tensor trong việc tính độ điện dẫn của mạng tinh thể ...... 35
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 44
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Tensor là khái niệm trong toán học phục vụ cho việc thiết lập và giải
quyết các vấn đề vật lý trong nhiều lĩnh vực nhƣ cơ học môi trường liên tục,
lý thuyết đàn hồi và đặc biệt là thuyết tương đối rộng... Tensor lần đầu tiên
đƣợc nghiên cứu bởi các nhà toán học Tullio Levi-Civita và Gregorio Ricci-
Curbastro, những ngƣời tiếp tục các công trình sơ khởi của Bernhard
Riemann và Elwin Bruno Christoffel cùng một số nhà toán học khác, trong
một nhánh mà họ gọi là phép tính vi phân tuyệt đối.
Để giải các bài toán trong lý thuyết đàn hồi, ngƣời ta thƣờng sử dụng
hệ các phƣơng trình cân bằng, phƣơng trình chuyển động...Việc thiết lập các
phƣơng trình đó dựa trên các hệ tọa độ cong nhƣ hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ
cầu...là tƣơng đối phức tạp.
Tensor cũng có ứng dụng hữu ích trong những lĩnh vực khác nhƣ cơ
học môi trường liên tục. Đại số ngoài (exterior algebra) do Hermann
Grassmann phát triển từ giữa thế kỷ XIX cũng là một lý thuyết tensor mang
nhiều đặc tính hình học trong thời gian đầu, cho đến khi nó đƣợc nhận ra cùng
với các dạng vi phân, đƣợc thống nhất về bản chất với phép tính tensor.
Vật lý và toán học luôn luôn có mối quan hệ mật thiết với nhau, vật lý
sử dụng những công cụ toán học có sẵn đồng thời đặt ra những yêu cầu mới
đối với toán học. Để tìm hiểu rõ hơn về vai trò của tensor Đề-các trong vật lý
tôi đã quyết định chọn đề tài : Tensor Đề-các và ứng dụng trong vật lý.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu : “Tensor Đề-các và ứng dụng trong vật lý” trên cơ
sở đó tìm hiểu rõ hơn về Tensor Đề-các và các ứng dụng của nó trong vật lý.
1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Giới thiệu về tensor Đề-các.
- Phân loại tensor Đề-các.
- Trình bày các phép tính của tensor Đề-các.
- Ứng dụng của tensor Đề-các trong vật lý.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tƣợng nghiên cứu: Tensor.
- Phạm vi nghiên cứu: Tensor trong hệ tọa độ Đề-các.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Đọc sách và tham khảo tài liệu,
- Phƣơng pháp phân tích, tổng hợp,
- Trao đổi ý kiến với giáo viên.
6. Bố cục của khóa luận
PHẦN I: MỞ ĐẦU
PHẦN II: NỘI DUNG
Chƣơng : Cách phân loại và các ph p iến đ i của tensor Đề-các
1.1: Khái niệm về tensor.
- Một số kí hiệu.
- Sự chuyển đổi cơ sở.
1.2: Tensor Đề-các.
- Cách phân bậc của tensor Đề-các.
1.3: Đại số tensor.
1.4: Tensor Isotropic và Levi – Civita.
1.5: Giả tensor.
1.6: Tensor kép.
Chƣơng 2: Ứng dụng vật lý của Tensor.
2.1: Ứng dụng của tensor trong việc tính mômen động lƣợng.
2
2.2: Ứng dụng của tensor trong việc tính mômen quán tính.
2.3: Ứng dụng của tensor trong việc tính độ điện dẫn của mạng tinh
thể.
PHẦN III. KẾT LUẬN
3
NỘI DUNG
CHƢƠNG : CÁCH PHÂN LOẠI VÀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI
CỦA TENSOR ĐỀ-CÁC
1.1. Khái niệm về Tensor
Tensor là đối tƣợng hình học miêu tả quan hệ tuyến tính giữa các đại
lƣợng vectơ, vô hƣớng, và các tensor với nhau. Những ví dụ cơ bản về liên hệ
này bao gồm tích vô hƣớng, tích vector, và ánh xạ tuyến tính. Đại lƣợng
vector và vô hƣớng theo định nghĩa cũng là tensor. Có nhiều cách biểu diễn
tensor, nhƣ mảng giá trị số đa chiều. Bậc (hay hạng) của một tensor bằng số
chiều của mảng cần để biểu diễn nó, hay tƣơng đƣơng với số chỉ số cần để
đánh dấu các thành phần của mảng. Ví dụ, một ánh xạ tuyến tính biểu diễn
dƣới dạng ma trận 2 chiều, mảng 2 chiều, do đó nó là tensor bậc (hạng) 2.
Vector có thể coi là mảng một chiều và là tensor bậc (hạng) 1. Đại lƣợng vô
hƣớng là các giá trị số và là tensor bậc (hạng) 0.
1.1.1. Một số ký hiệu
Ta sẽ kí hiệu một đại lƣợng vật lý nào đó bằng một hoặc một tập kí tự
(chữ La mã, chữ La tinh viết thƣờng hoặc in hay bằng bất kỳ một kí hiệu nào
tùy ý, là tên của đại lƣợng vật lý nào đấy cần khảo sát, ví dụ )
kèm theo các chỉ số dƣới hoặc trên hoặc hỗn hợp. Các chỉ số này có thể là số
tự nhiên, các chữ (Hy lạp hoặc Latinh), ví dụ . Đại lƣợng
vật lý thì là kí tự, tên của đại lƣợng vật lý; là chỉ số trên; là chỉ số
dƣới. Sau này ngƣời ta gọi các đại lƣợng có kí hiệu nhƣ vậy là đại lƣợng
tensor. Trong lý thuyết tổng quát về tensor cần phân biệt chỉ số trên và chỉ số
dƣới. Các tensor trong tọa độ Đề-các thì các chỉ số trên và dƣới không có
4
phân biệt gì, và ngƣời ta thƣờng viết một loại chỉ số, thƣờng là chỉ số dƣới và
các chỉ số thƣờng bằng chữ Latinh. Dƣới đây khi nói đến tensor, ta hiểu là
tensor Đề-các nếu không có chú thích gì đặc biệt.
Để sử dụng một cách thống nhất các đại lƣợng vật lý, ta có những quy
ƣớc sau đây:
Quy ƣớc 1: Nếu một đại lƣợng (hoặc một biểu thức đơn, ví dụ ) với
các chỉ số bằng chữ Latinh gặp một lần thì chỉ số ấy là các giá trị từ 1 đến 3
và nó có thể xuất hiện trên tử số hoặc mẫu số của một số hạng trong một biểu
thức.
Ví dụ:
- Đại lƣợng có thành phần là
- Đại lƣợng có thành phần là:
- Đại lƣợng có thành phần là:
- Đại lƣợng có thành phần.
- Đại lƣợng có thành phần.
Chỉ số lặp lại một lần trong một đại lƣợng (hoặc một biểu thức đơn) gọi
là chỉ số tự do.
Quy ƣớc 2: Chỉ số bằng chữ (Latinh) gặp hai lần trong một đại lƣợng hoặc
trong một biểu thức đơn đƣợc lấy tổng từ 1 đến 3.
5
Ví dụ:
Chỉ số lặp lại hai lần trong một đại lƣợng hoặc trong một biểu thức đơn
gọi là chỉ số câm và có thể thay bằng bất kỳ một chữ nào khác mà kết quả đều
nhƣ nhau.
Lƣu ý:
- Sẽ không bao giờ gặp trong đại lƣợng (hoặc một biểu thức đơn) lại có
quá hai chỉ số trùng nhau, chẳng hạn đại lƣợng là không có
nghĩa (tất nhiên đại lƣợng lại có nghĩa).
- Hai quy ƣớc trên là quy ƣớc chỉ số Anh-xtanh, trong nhiều ứng dụng nó
có thể mở rộng đến tùy ý mà không nhất thiết chỉ đến 3, ví dụ có
thể có đến thành phần là :
Quy ƣớc 3: Ký hiệu Krônecker:
Nhƣ vậy đại lƣợng có 9 thành phần trong đó ba thành phần bằng 1
đó là ; 6 thành phần còn lại đều bằng 0 đó là:
Lƣu ý, các đại lƣợng đều gắn với một đại lƣợng vật lý nào đó mà
các đại lƣợng vật lý lại đƣợc xác định trong một hệ tọa độ (Đề-các) xác định,
nên để phù hợp với các kí hiệu trên đây, các trục tọa độ sẽ đƣợc đánh số từ 1
đến 3 tƣơng ứng với các trục . Ta sẽ nói hệ trục tọa độ có các vectơ
đơn vị tƣơng ứng với cách nói đã quen thuộc là hệ trục tƣơng ứng
6
với các vectơ đơn vị tức là:
Từ quy ƣớc 3 và các lƣu ý trên ta có các hệ quả sau:
- Hệ quả 1:
- Hệ quả 2:
- Hệ quả 3:
- Hệ quả 4:
- Hệ quả 5:
Quy ƣớc 4: Kí hiệu Levi-Civita.
khi các chỉ số lập thành hoán vị chẵn của 1 2 3,
khi các chỉ số lập thành hoán vị lẻ của 1 2 3,
khi hai chỉ số bất kỳ bằng nhau.
Đại lƣợng có thành phần, có 3 thành phần bằng là ;
3 thành phần bằng là và 21 thành phần còn lại đều bằng 0.
Từ quy ƣớc trên với lƣu ý ở quy ƣớc 2, ta có các hệ quả sau:
- Hệ quả 1:
- Hệ quả 2:
Từ đó ta có ngay:
- Hệ quả 3:
7
- Hệ quả 4:
1.1.2. Sự chuyển cơ sở trong các trục tọa độ
Vì tensor thể hiện mối quan hệ giữa các vector, tensor phải độc lập với
bất kỳ sự lựa chọn hệ tọa độ nào. Khi chọn một cơ sở tọa độ hoặc hệ quy
chiếu và áp dụng tensor vào, nó sẽ cho kết quả là một mảng đa chiều đƣợc tổ
chức đại diện cho tensor đó trong cơ sở hay hệ quy chiếu đó.
Một vector tùy ý trong hệ tọa độ Đề-các đã cho với 3 thành phần
trên các trục tọa độ . Ta có thể viết (lƣu ý đây là cách viết mới,
không nên hiểu một đại lƣợng vector tƣơng đƣơng với các đại lƣợng vô
hƣớng). Cách viết này cũng có thể hiểu việc sắp xếp các thành phần của
vector thành hàng hoặc cột là không quan trọng, sau này sẽ thấy rõ hơn việc
nhân các đại lƣợng tensor là các phép nhân theo quy ƣớc (định nghĩa), việc
mở rộng các phép tính này hoàn toàn phù hợp với phép tính vector đã quen
biết khi xếp nó thành hàng hoặc thành cột theo kiểu ma trận.
Giả sử có một tập hợp các vector cơ sở thuộc không gian ba
chiều (vector). Trong cơ sở này, bằng cách sử dụng quy ƣớc lấy tổng, vector
đƣợc mô tả:
Nếu có một cơ sở mới liên quan với cơ sở cũ bởi biểu thức:
(tổng trên ) (1.1)
Trong đó là thành phần thứ của vector đối với cơ sở .
Trong cơ sở mới này, (tổng trên )
Nếu ký hiệu bởi ma trận thì (tổng trên )
Bằng quy ƣớc lấy tổng, có một tổng ẩn trên từ tới
Trong trƣờng hợp đặc biệt, phép biến đổi là phép quay của trục tọa độ.
8
Các ma trận biến đổi là trực giao và ta có:
(tổng trên )
Tuy nhiên, biến đổi vô hƣớng diễn ra khác nhau thì nó vẫn không thay đổi.
Các phép tính vector thƣờng gặp:
(i) Phép cộng (trừ) các vector:
(ii) Phép nhân vô hƣớng hai vector:
(iii) Phép nhân có hƣớng hai vector:
.
(iv) Tích hỗn hợp của 3 vector:
1.2. Tensor Đề-các 1.2.1. Phép biến đổi tọa độ
9
Hình 1
Giả sử hai hệ tọa độ Đề-các trực giao có chung gốc tọa độ tùy ý
và (Hình 1). Vì hai hệ trục và
đều trực giao có chung gốc nên có thể hệ trục này nhận đƣợc từ hệ trục kia
bằng phép quay các trục quanh gốc tọa độ hoặc bằng phép chiếu gƣơng các
trục đối với một mặt tọa độ nào đấy, hoặc có thể kết hợp cả hai cách. Gọi
và là các vector đơn vị trên các trục tọa độ tƣơng ứng và cosin của góc
giữa hai trục và kí hiệu là . Rõ ràng ta có:
(1.2)
Và có 9 đại lƣợng nhƣ vậy.
Ta lập bảng:
Hoặc ma trận biến đổi hệ trục tọa độ:
(1.3)
Nhờ ma trận biến đổi này mà các vector đơn vị trên hệ trục tọa độ
(tạm gọi là hệ trục tọa độ cũ) là có thể biểu diễn qua các vector đơn
vị của hệ trục tọa độ mới và ngƣợc lại:
; (1.4)
10
(lƣu ý đến quy ƣớc về chỉ số)
Nói cách khác, khi cho trƣớc một hệ trục tọa độ Đề-các (tƣơng ứng với
cho tập các vector đơn vị hay hệ các vector cơ sở) và ma trận cosin chỉ
phƣơng thì hệ vector cơ sở mới (tƣơng ứng với hệ trục tọa độ mới) là hoàn
toàn xác định theo (1.4).
Dễ dàng thấy rằng các hàng và các cột của ma trận đều là những
vector trực giao và trực chuẩn, nghĩa là các vector vuông góc với nhau có độ
lớn (chuẩn) bằng đơn vị.
Thật vậy:
(1.5)
Ma trận gồm các hàng, các cột trực giao và trực chuẩn gọi là ma trận
trực giao. Các ma trận trực giao thỏa mãn đẳng thức:
1.2.2. Cách phân bậc của tensor Đề-các.
Vector tùy ý trên Hình 1 có thể biểu diễn qua các thành phần tƣơng
ứng trong hệ tọa độ mới và trong hệ tọa độ cũ nhƣ sau:
(1.6)
(1.7)
Các vector đơn vị và lại có quan hệ thông qua (1.4). Từ (1.4) và
(1.6) và (1.7) suy ra:
; (1.8)
Đẳng thức (1.8) chứng tỏ rằng nếu biết trƣớc ma trận cosin chỉ phƣơng
của hai hệ trục tọa độ và các thành phần của một vector nào đó trong một hệ
trục đã cho thì các thành phần của nó trong hệ trục kia cũng hoàn toàn xác
định. Quy luật này giống với quy luật biến đổi hệ trục tọa độ (1.4). Từ kết quả
11
đó cho phép ta có một định nghĩa mới về vector nhƣ sau:
Một hệ thống gồm thành phần cho trong một hệ tọa độ Đề-
các nào đó, khi hệ trục này thay đổi theo quy luật (1.4) thì các thành phần
này cũng thay đổi theo quy luật ấy (quy luật (1.8)), chúng lập thành một
tensor Đề-các bậc nhất.
Lƣu ý rằng quy luật biến đổi của tensor bậc nhất tỉ lệ bậc nhất với các
cosin chỉ phƣơng. Một vector là một tensor bậc nhất nhƣng không phải chỉ có
vector mới là tensor bậc nhất mà bất kỳ một tập 3 thành phần nào khi hệ trục
tọa độ thay đổi mà nó đƣợc xác định theo quy luật (1.8) đều là tensor bậc
nhất. Một mặt phẳng có phƣơng trình tổng quát cho trong hệ trục là:
, khi hệ trục thay đổi thành phƣơng trình của mặt
phẳng này trong hệ trục tọa độ mới là:
Quan hệ giữa tọa độ và nhƣ đã biết là: . Vậy thì:
hay .
Đây chính là quan hệ của biến đổi tensor bậc nhất (1.8). Vậy các hệ số
của mặt phẳng cũng là một tensor bậc nhất.
Tensor bậc nhất có một bất biến, đó là “độ dài” và “hƣớng” của nó
đƣợc xác định bằng tích trong hệ tọa độ cũ và trong hệ tọa độ mới là
không thay đổi (bằng nhau).
Thật vậy, ta có:
Để dẫn đến các tensor bậc cao hơn (chẳng hạn bậc 2) ta xét tích của 2
vector đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
(1.9)
nghĩa là lấy tập hợp các tích có thể có đƣợc của từng thành phần của hai
12
và . Ta có tất cả 9 tích nhƣ vậy. Kí hiệu: vector
(1.10)
Ta thử xem các thành phần sẽ thay đổi nhƣ thế nào khi chuyển sang
hệ trục tọa độ mới. Gọi là các thành phần của nó trong hệ trục mới và khi
chuyển sang hệ trục mới, đẳng thức (1.10) trở thành:
(1.11)
Do là thành phần của tensor bậc nhất nên sang hệ tọa độ mới
phải tuân theo quy luật (1.8):
(1.12)
Đẳng thức (1.12) chứng tỏ rằng việc chuyển đổi các thành phần
trong hệ tọa độ cũ sang các thành phần trong tọa độ mới là có quy luật xác
định dựa vào các thành phần của ma trận chuyển đổi và tỷ lệ bậc hai với
các thành phần cosin chỉ phƣơng này. Quy luật (1.12) dẫn đến định nghĩa
tensor bậc hai nhƣ sau:
Một hệ thống gồm thành phần cho trong một hệ trục tọa độ
Đề-các nào đấy, khi hệ trục tọa độ thay đổi theo quy luật (1.12) chúng lập
thành một tensor Đề-các bậc hai.
Dễ dàng thấy rằng các hệ số của mặt bậc hai tổng quát , là
một tensor bậc hai.
Trên cơ sở nghiên cứu quy luật biến đổi của tensor bậc nhất và tensor
bậc hai ta có thể mở rộng để định nghĩa một tensor Đề-các bậc bất kỳ
nhƣ sau:
Một hệ thống gồm thành phần cho trong một hệ trục tọa độ
Đề-các nào đấy, khi hệ trục tọa độ thay đổi theo quy luật (1.4) thì các thành
phần này thay đổi theo quy luật:
13
(1.13)
chúng lập thành một tensor Đề-các bậc .
Các thành phần của tensor trong hai hệ trục tỉ lệ bậc với các cosin
chỉ phƣơng.
Trƣờng hợp đặc biệt, các vô hướng là tensor bậc không.
1.3. Đại số Tensor
Đại số tensor nghiên cứu các phép tính đại số nhƣ: phép cộng, phép trừ,
phép nhân (tích trong, tích ngoài và phép cuộn) tensor.
1.3.1. Phép cộng và phép trừ tensor.
Giả sử và là các thành phần của cùng một tensor. Các tensor
Đề-các cùng bậc có thể cộng (hoặc trừ) các thành phần theo nguyên tắc sau:
(1.14)
Tensor tổng này sẽ cùng bậc với các tensor thành phần. Cần lƣu ý rằng
các chỉ số nhƣ nhau đƣợc sắp xếp theo một thứ tự nhất quán trong mỗi một
phần tử. Phép nhân tất cả các thành phần của tensor với một vô hƣớng cho
một tensor mới cùng bậc, chẳng hạn:
(1.15)
1.3.2. Phép nhân tensor: Tích ngoài, tích trong và phép cuộn.
1.3.2.1. Phép nhân ngoài (tích ngoài) của tensor.
Phép nhân ngoài (tích ngoài) của hai tensor có bậc tùy ý là một tensor
mới mà mỗi thành phần của nó đƣợc biểu diễn bằng tích có thể có của từng
thành phần tensor này với từng thành phần tensor kia. Bậc của tensor mới
bằng tổng bậc của hai tensor thành phần.
Chứng minh:
Giả sử đối với hai tensor có bậc hai và bậc ba và . Tích có thể
của từng thành phần tensor này với từng thành phần tensor kia sẽ là .
14
Ta kí hiệu kết quả phép nhân này là , nghĩa là:
Bây giờ cần chứng minh là một tensor bậc năm. Thật vậy, trong
hệ tọa độ mới có:
Do giả thiết, và là hai tensor bậc hai và bậc ba nên ở hệ tọa độ
mới, các thành phần này biến đổi theo quy luật của tensor, vậy:
Theo định nghĩa đây là quy luật của tensor bậc năm.
1.3.2.2. Phép cuộn tensor.
Phép cuộn tensor theo hai chỉ số là phép tính khi hai chỉ số trùng nhau
và nhƣ vậy nó tuân theo quy tắc lấy tổng. Kết quả phép cuộn tensor đƣợc một
tensor mới (tích chập) có bậc giảm hai đơn vị so với tensor ban đầu.
Việc chứng minh kết quả của phép cuộn tensor là một tensor có bậc bé
hơn tensor ban đầu hai đơn vị hoàn toàn tƣơng tự nhƣ cách chứng minh tích
ngoài của hai tensor. Điều cần lƣu ý là để thực hiện phép cuộn tensor đòi hỏi
tensor ban đầu phải có bậc ít nhất là hai và có thể cuộn nhiều lần.
Ví dụ: Chỉ ra phép cuộn của một tensor bậc tạo ra tensor bậc .
Bài làm
là các thành phần của một tensor bậc thì: Giả sử
15
Nếu thì:
Thấy rằng là các thành phần (khác nhau) của một tensor Đề-
các bậc
1.3.2.3. Phép nhân trong (tích trong) của tensor.
Phép nhân trong là phép nhân ngoài và cuộn đồng thời của các tensor,
các chỉ số trùng nhau phải có mặt trong mỗi nhân tử.
Ví dụ phép nhân trong là còn lại không phải là
phép nhân trong vì chỉ số trùng nhau chỉ nằm ở nhân tử .
1.3.3. Phép hoán vị chỉ số.
Với tensor đã cho, hoán vị bất kì chỉ số nào đều nhận đƣợc tensor mới
cùng bậc với tensor đã cho. Tensor mới và tensor cũ có các thành phần nhƣ
nhau, không thay đổi nhƣng sắp xếp thứ tự các thành phần là khác nhau.
1.3.4. Dấu hiệu ngược của tensor.
Ta thƣờng gặp trƣờng hợp sau đây trong phép tính tensor:
Khi thực hiện phép tính tích các đại lƣợng một cách hình thức nhƣ các
phép tính tensor mà biết chắc một thành phần là tensor và kết quả của phép
tính ấy cũng là tensor. Vấn đề đặt ra là, thành phần còn lại trong phép tính ấy
có phải là tensor không. Trƣớc hết ta chứng minh cho trƣờng hợp riêng và sau
đó mở rộng cho trƣờng hợp tổng quát.
Giả thiết là hai tensor bậc 1 và có đẳng thức:
(1.16)
cần chứng minh là một tensor bậc hai.
16
Chứng minh:
Do là tensor bậc nhất (vector), không mất tính tổng quát ta chọn hệ
trục mới có một trục trùng với vector này, chẳng hạn trục đó là trục , khi đó
bằng độ dài của vector:
và khi
Chuyển sang hệ tọa độ mới, đẳng thức (1.16) trở thành:
(1.17)
Ở đây, là chỉ số lấy tổng, khi chạy đến thì , hai giá trị
khác bằng không. Đẳng thức (1.17) trở thành:
(1.18)
Theo giả thiết là tensor bậc nhất nên theo quy luật biến đổi tensor
phải có:
(1.19)
So sánh (1.18) và (1.19) nhận đƣợc:
Đây là quy luật của tensor bậc hai và là điều phải chứng minh.
Mở rộng cho các tensor bất kỳ thì trong một tích hình thức kiểu phép
nhân trong hai tensor mà có một thành phần là tensor (bậc bất kỳ), kết quả của
phép nhân là tensor thì thành phần kia cũng là tensor, bậc của tensor này bằng
chỉ số của nó.
1.3.5. Gradien của một tensor.
Đạo hàm riêng một lần theo một biến nào đó của tensor bậc bất kì
nhận đƣợc tensor có bậc cao hơn tensor ban đầu một đơn vị.
Ví dụ:
17
- Tensor bậc không: tensor bậc nhất:
- Tensor bậc nhất: tensor bậc hai:
- Tensor bậc hai: tensor bậc ba:
- Tensor bậc ba: tensor bậc bốn:
Lƣu ý: Chỉ số biến lấy đạo hàm không trùng với chỉ số của các thành phần
tenxơ.
1.3.6. Định luật co chỉ số của tensor.
Xét phƣơng trình:
(1.20)
Trong đó: 3 tensor lần lƣợt là các tensor bậc , , ;
k độc lập trong và .
Khi và là tensor bậc 2 bất kì, ta xét phƣơng trình:
(1.21)
ta có:
(chuyển từ (1.21))
(khi là một tensor)
(từ (1.21))
(khi là một tensor)
(khi )
Nếu và là chỉ số câm thì:
18
là một tensor bất kì thì cũng là một tensor bất kì nên:
đƣợc cho bởi công thức chung (1.12) vì thế là thành phần của
một tensor bậc 2, lúc này (1.21) đƣợc thay thế bằng:
(Định luật co chỉ số của tensor).
Định luật này đƣợc sử dụng để kiểm tra một tập hợp các số lƣợng là
một tensor một cách thuận tiện. Nó đƣợc áp dụng bằng cách quy ƣớc tập hợp
các số lƣợng (có kí hiệu ), với một tensor tùy ý bậc và xác định kết quả
là một vô hƣớng.
1.4. Tensor Levi-Civita và Isotropic.
1.4.1. Tensor Isotropic (Tensor đẳng hướng)
Một tensor mà các thành phần của nó có giá trị nhƣ nhau trong hệ tọa
độ Đề-các đƣợc gọi là tensor đẳng hƣớng. Cụ thể là tensor đồng nhất thức bậc
2, và tensor hoán vị bậc 3, . Chúng ta có thể phân loại tensor đẳng
hƣớng thành bốn bậc nhƣ sau:
Bậc 0: Tất cả các đại lƣợng vô hƣớng đều là tensor đẳng hƣớng, xét
với một tensor , trong hệ tọa độ Đề-các bất kì thì ta có thể viết
là:
Bậc 1: Không có vector không đẳng hƣớng bằng 0.
Bậc 2: Tensor đẳng hƣớng bậc 2 chung nhất là .
Bậc 3: Tensor đẳng hƣớng bậc 3 chung nhất là .
Bậc 4: Tensor đẳng hƣớng bậc 4 chung nhất là
19
Trong đó là các đại lƣợng vô hƣớng.
Ví dụ: Chứng minh nếu là một tensor đẳng hƣớng bậc 2 thì
Chứng minh
Xét một tensor bậc 2 có thành phần với các trục . Giả sử
là đẳng hƣớng, trong phép quay vuông góc với 3 trục, đối với trục mới thì:
Ma trận của phép quay này là:
Sử dụng phép biến đổi của ma trận, ta thấy rằng:
vì là đẳng hƣớng, , do đó:
sao cho
sao cho
Tƣơng tự xét trong phép quay vuông góc với 2 trục, ta thấy rằng
và , . Do đó phần tử ngoài đƣờng chéo của
20
là số và tất cả các phần tử đƣờng chéo bằng . Nên:
hay .
1.4.2. Tensor Levi – Civita.
1.4.2.1. Định nghĩa:
Kí hiệu Levi – Civita là một tensor bậc 3 và đƣợc định nghĩa bằng:
khi các chỉ số lập thành hoán vị lẻ của 1, 2, 3
khi các chỉ số lập thành hoán vị chẵn của 1, 2, 3
khi hai chỉ số bất kỳ bằng nhau.
Ký hiệu Levi – Civita là hệ thống phản đối xứng trên mỗi cặp của
chỉ số và là thành phần của một tensor Đề-các bậc ba hay tensor phản
xứng hoàn toàn. Sử dụng kí hiệu Levi-Civita chúng ta có thể viết đƣợc biểu
thức của một ma trận :
(1.22)
(tƣơng đƣơng với khai triển Laplace)
Định thức của ma trận với các phần tử có thể đƣợc viết trong điều
kiện của nhƣ:
Chú ý, kí hiệu Levi – civita có thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng định
21
thức, hay là tích hỗn tạp của 3 vector đơn vị bất kì :
Bây giờ, ta có thể định nghĩa tƣơng tự nhƣ định nghĩa của định thức của
1 tích:
Hay đối với mỗi tọa độ:
1.4.2.2. Tính chất:
Tensor Levi – Civita có thành phần, trong đó có:
thành phần bằng , -
- thành phần bằng 1,
- 3 thành phần bằng -1.
1.4.2.3. Đồng nhất thức.
Tích của 2 Tensor Levi – Civita có thể biểu thị nhƣ hàm của Kronecker
:
Đặt thì:
Chứng minh:
Ngoài là một kí hiệu cho định thức của một ma trận, còn đƣợc sử
dụng để viết các biểu thức quen thuộc của đại số vector. Và hệ thức quan
22
và đƣợc đƣa ra bởi đồng nhất thức: trọng giữa tensor
(1.23)
thì: Đặt
thì: (1.24) Đặt
Do đó:
Chứng minh:
Theo cùng một cách:
1.5. Giả tensor
1.5.1. Phép quay riêng và phép quay riêng ngược
Xét phép quay của các trục tọa độ đƣợc mô tả bởi một ma trận trực giao
23
với . Phép quay nhƣ vậy đƣợc gọi là phép quay riêng.
Bây giờ chúng ta mở rộng nghiên cứu phép biến đổi vẫn đƣợc mô tả
bởi ma trận trực giao nhƣng với và nó đƣợc gọi là phép quay riêng
ngược. Phép quay này có thể đƣợc coi là một phép nghịch đảo của trục tọa độ
qua gốc, đƣợc biểu diễn bởi phƣơng trình:
kết hợp với một phép quay riêng.
Ví dụ rõ ràng nhất là phép biến đổi với là ma trận tƣơng ứng
với chính nó, trong trƣờng hợp này:
Bất kì một vector vật lý thực nào cũng có thể coi là một đối tƣợng
hình học (tức là một mũi tên trong không gian), không phụ thuộc vào bất kì
hệ tọa độ nào, nó có hƣớng và độ lớn không thay đổi trong các hệ tọa độ khác
nhau. Vì vậy, các thành phần của biến đổi nhƣ:
- dƣới phép quay riêng.
- dƣới phép quay riêng ngƣợc.
Trong trƣờng hợp này, không hoàn toàn là thành phần của một
tensor Đề-các bậc nhất nhƣng thay vào đó là thành phần của một giả tensor
24
Đề-các bậc nhất hay giả vector.
1.5.2: Giả tensor
Hình 2
dƣới một phản xạ Hình 2 biểu diễn một vector và một giả vector
qua gốc của trục tọa độ qua trục tọa độ mới .
Điều quan trọng là một giả vector không phải là một đối tƣợng hình
học theo nghĩa thông thƣờng, đặc biệt nó không nên đƣợc gọi là một vector
vật lý thực vì hƣớng đi của nó bị đảo ngƣợc của trục tọa độ. Vì thế mà giả
đƣợc biểu diễn bằng nét đứt để chỉ ra rằng nó không phải là một
vector vector vật lý thực.
Tƣơng ứng với vector và giả vector, các đối tƣợng bậc 0 có thể đƣợc
chia thành vô hƣớng và giả vô hƣớng. Có thể mở rộng khái niệm vô hƣớng và
giả vô hƣớng, vector và giả vector để đối tƣợng có ít nhất là 2 chỉ số. Đối với
2 chỉ số, bất kì đối tƣợng biến đổi nhƣ:
dƣới mọi phép quay (riêng và riêng ngƣợc) đƣợc gọi là tensor Đề-các bậc 2.
Nếu: dƣới mọi phép quay riêng,
25
dƣới mọi phép quay riêng ngƣợc,
thì là thành phần của một giả tensor Đề-các bậc 2.
Nhìn chung, các thành phần của giả tensor Đề-các thay đổi tùy ý khi:
với là định thức của ma trận biến đổi.
Ví dụ từ (1.22), ta có:
Nhƣng khi , ta có thể viết:
Từ ví dụ trên, ta thấy rằng, mặc dù nhƣ là một tensor dƣới phép
quay riêng, nhƣ đã tìm hiểu thì nó đƣợc coi là một giả tensor Đề-các bậc 3.
Ví dụ: Nếu và là thành phần của các vector thì số lƣợng
tạo nên các thành phần của một giả vector?
Chứng minh:
Trong một hệ tọa độ mới ta có:
Vậy số lƣợng tạo ra thành phần của một giả vector.
1.6. Tensor k p.
Xét các giả tensor liên kết với mỗi phản đối xứng của tensor bậc hai
26
đƣợc cho bởi: (3 chiều), một giả vector
(1.25)
Nếu gọi tensor phản đối xứng A bằng các ma trận:
thì các thành phần của giả vector kép của nó là
Ví dụ: Từ (1.25), hãy chứng minh rằng: .
Chứng minh:
Nhân 2 vế của (1.25) với , ta đƣợc:
Sử dụng đồng nhất thức (1.23) ta đƣợc:
Bằng phép mở rộng đơn giản, kết hợp 2 giả vô hƣớng với mỗi tensor
bậc 3 phản đối xứng:
(1.26)
là một phản đối xứng hoàn toàn của 3 chỉ số dƣới và nó bằng bội
27
số nào đó của .
Thực thế: , có thể chứng minh bằng cách thay thế biểu thức
28
này vào (1.26) và sử dụng (1.24).
CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG VẬT LÝ CỦA TENSOR ĐỀ-CÁC
2.1. Ứng dụng của tensor trong việc tính mômen động lƣợng
Xét tập hợp các hạt liên kết chặt chẽ với nhau với vận tốc góc , trong
đó hạt thứ có khối lƣợng và đƣợc đặt ở vị trí đối với gốc tọa độ
. Mômen động lƣợng đƣợc cho bởi: xung quanh
Mà và ( bất kỳ). Nên các thành phần
của mômen động lƣợng đƣợc cho bởi:
(2.1)
Ví dụ: Vận tốc một điểm nào đó thuộc vật rắn quay quanh một điểm cố
định là , ở đây là vector vận tốc góc. Hãy tính mômen động
lƣợng của vật rắn đối với điểm quay này .
Lời giải
Mômen động lƣợng của vật rắn đối với điểm quay đƣợc tính theo công
33
thức:
Thay biểu thức của vận tốc nhƣ đầu bài cho vào biểu thức
trên nhận đƣợc:
Biểu thức của tích phân là tensor mômen quán tính , vậy .
2.2. Ứng dụng của tensor trong việc tính mômen quán tính
Từ biểu thức (2.1) ta thấy là một tensor đối xứng bậc hai. Tensor
phân bố này đƣợc gọi là tensor quán tính tại của hệ, nó phụ thuộc vào sự
phân bố của nó trong hệ và không phụ thuộc vào hƣớng hay độ lớn của .
Cụ thể, ta xét một vật rắn đƣợc liên kết chặt chẽ, có khối lƣợng
( ) , lúc này phép lấy tổng đƣợc thay thế bằng phép lấy tích phân theo khối lƣợng của vật. Trong hệ tọa độ Đề-các, các tensor quán tính
đối với một hệ liên tục sẽ có dạng:
Trong đó: là sự phân bố khối lƣợng,
.
Các phần tử đƣờng chéo của tensor này đƣợc gọi là mômen quán tính
và phần tử ngoài đƣờng chéo không có dấu trừ đƣợc gọi là tích quán tính.
Ví dụ: Chứng minh rằng động năng của hệ quay đƣợc cho bởi:
Chứng minh
34
Ta có động năng:
∑ ( ̇ ̇ )
∑
∑ ( )
] ∑ [ ( )
Ngoài ra, khi , ta có thể viết động năng của các hệ tọa độ quay là:
Nhận xét: Ví dụ trên cho thấy động năng của cơ hệ quay là một vô
hƣớng thu đƣợc bằng hai lần rút gọn với tensor quán tính. Nó cũng cho
thấy mômen quán tính của cơ hệ theo một chiều đƣợc cho bởi vector đơn vị
là: Khi là một tensor đối xứng bậc hai, nó liên kết với ba
hƣớng vuông góc với nhau, đó là ba trục chính và có các tính chất sau:
- Tính chất 1: Với mỗi trục chính liên kết với một mômen quán tính
, .
- Tính chất 2: Khi cơ hệ quay quanh một trục, vận tốc góc và mômen
động lƣợng song song và đƣợc cho bởi: , là một vector đặc
trƣng của và có giá trị riêng là .
- Tính chất 3: Coi các trục này nhƣ các trục tọa độ, các tensor quán
tính là các phần tử đƣờng chéo .
2.3. Ứng dụng của tensor trong việc tính độ điện dẫn của mạng tinh thể
Ta xét 2 ví dụ của vật lý đƣợc biểu diễn bởi tensor bậc 2 đó là độ cảm
từ và khả năng dẫn điện.
35
Trong trƣờng hợp thứ nhất ta có:
(2.2)
Và trong trƣờng hợp thứ hai, ta có:
(2.3)
Trong đó: là mômen từ trên mỗi đơn vị thể tích
là mật độ dòng điện (dòng điện trên mỗi đơn vị diện tích).
Trong cả hai trƣờng hợp, ta có ở phía bên trái một vector và trên sự thu
hẹp của một tập hợp các số lƣợng bên phải với các vector khác. Do đó mỗi bộ
số lƣợng phải hình thành các thành phần của một tensor bậc hai.
Trong môi trƣờng đẳng hƣớng, và nhƣng đối với môi
trƣờng dị hƣớng nhƣ độ cảm từ và độ dẫn điện của tinh thể có thể khác nhau
theo các trục tinh thể khác nhau, làm cho và cùng là tensor bậc hai,
mặc dù chúng thƣờng đối xứng.
Ví dụ 1: Độ điện dẫn trong một tinh thể với các thành phần đƣợc cho bởi:
(2.4)
Hãy cho thấy một hƣớng dọc theo tinh thể có thể không có dòng điện
và dọc theo hai hƣớng vuông góc có dòng điện không bằng nhau.
Chứng minh
Mật độ dòng điện trong tinh thể đƣợc tính bằng:
với đƣợc cho bởi (2.4).
Khi là ma trận đối xứng, nó có 3 vector đặc trƣng cùng vuông
góc với nhau và tensor dẫn là đƣờng chéo với các phần tử đƣờng chéo
36
là các giá trị riêng của .
Giá trị riêng của đƣợc cho bởi:
Nhƣ vậy, ta phải có:
Từ đó ta tìm đƣợc:
Để đơn giản hơn, cho sao cho đối với mỗi trục chính của nó,
các tensor dẫn có các thành phần đƣợc cho bởi:
Khi , ta thấy rằng cùng một trục chính thì không có dòng điện
và dọc theo hai hƣớng vuông góc thì dòng điện không bằng nhau.
Ví dụ 2: Một tinh thể có độ điện dẫn với các thành phần đƣợc cho bởi:
Chứng minh rằng dọc theo ba hƣớng vuông góc của tinh thể có dòng
điện không bằng nhau.
Chứng minh
37
Mật độ dòng điện trong tinh thể đƣợc tính bằng:
Ma trận có 3 vector đặc trƣng cùng vuông góc với nhau và tensor
dẫn là đƣờng chéo với các phần tử đƣờng chéo là các giá trị riêng của
.
Giá trị riêng của đƣợc cho bởi:
Với là ma trận đơn vị cấp 3. Nhƣ vậy ta phải có:
Từ đó ta tìm đƣợc:
Giải phƣơng trình trên ta tìm đƣợc 3 nghiệm:
Nhƣ vậy, tensor dẫn có các thành phần đƣợc cho bởi:
Khi , ta thấy rằng cùng một trục chính thì dọc theo ba hƣớng
vuông góc của tinh thể có dòng điện không bằng nhau.
Chúng ta có thể mở rộng khái niệm của một tensor bậc hai thông qua
mối liên hệ giữa hai tensor bậc hai với một tensor bậc bốn và ta xét trong lý
thuyết đàn hồi tại điểm P bất kỳ ở trong đó có thể đƣợc mô tả bằng một
38
tensor bậc hai đối xứng gọi là tensor biến dạng và nó đƣợc cho bởi:
ở đây, là vector dịch chuyển mô tả sự thay đổi của một phần tử thể tích nhỏ
có vị trí không liên kết với gốc là . Tƣơng tự, chúng ta có thể mô tả ứng suất
của cơ hệ tại bằng tensor đối xứng bậc hai đó là tensor ứng suất . Số
lƣợng là -thành phần của vector ứng suất qua mặt phẳng ngang trực
giao theo hƣớng .
Một khái quát của định luật Húc có liên quan đến tensor ứng suất và
biến dạng bởi:
(2.5)
trong đó: là một tensor Đề-các bậc bốn.
Ví dụ 3: Giả sử có tensor bậc bốn:
(2.6)
Tìm dạng của (2.5) cho môi trƣờng đẳng hƣớng có môđun và hệ số
Poisson.
Bài làm
Đối với môi trƣờng đẳng hƣớng, ta phải có một tensor đẳng hƣớng
và ta giả thiết dạng của tensor bậc bốn:
Thay vào (2.5) ta đƣợc:
Nhƣng là đối xứng và nếu ta viết thì:
Trong đó: và là hằng số Lame.
Nếu khi thì các trục chính của tensor ứng suất và biến dạng
39
trùng nhau.
Xét một ứng suất đơn giản theo hƣớng , tức là , nhƣng tất cả
, thì ta có (tổng trên ) bằng . Trong phép cộng
có 3 phƣơng trình:
Cộng vào cho:
với:
(2.7)
Môđun đƣợc định nghĩa bởi
Ngoài ra hệ số Poisson đƣợc định nghĩa là:
(hoặc )
Do đó:
(2.8)
40
Giải (2.7) và (2.8) tìm và , cuối cùng ta có:
KẾT LUẬN
Đề tài này không chỉ có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà còn có ý nghĩa cả
về mặt thực tiễn. Nó cung cấp một phần lý thuyết về tensor Đề-các đó là: cách
phân bậc tensor Đề-các, đại số tensor, các loại tensor...Qua đó, chúng ta có
những ứng dụng của tensor vào trong vật lý để xác định mômen động lƣợng,
mômen quán tính và độ điện dẫn của mạng tinh thể.
Tuy nhiên do thời gian không có hạn và do trình độ của tôi còn hạn chế
nên đề tài này không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong đƣợc sự
đóng góp ý kiến của các thầy, các cô cùng các bạn sinh viên để đề tài này
43
ngày càng hoàn thiện.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Paul Bamberg & Shlomo Sternberg, A course in mathematics for
students of physics 1, Cambridge University Press 1988.
[2] Paul Bamberg & Shlomo Sternberg, A course in mathematics for
students of physics 2, Cambridge University Press 1988.
[3] K.F. Riley, M.P. Hobson and S.J. Bence, Mathematical methods
for physics and engineering, Cambridge University Press 2006.
[4] Cơ học môi trƣờng liên tục, Học viện Kỹ thuật Quân sự PGS-TS
44
Phan Nguyên Di, NXB Quân đội Nhân dân Hà Nội 2001.
