Luận án Tiến sĩ Cơ học: Xấp xỉ tương đương cơ tính vật liệu tổ hợp có các cốt liệu phức hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -----------------------------

NGUYỄN THỊ HƯƠNG GIANG

XẤP XỈ TƯƠNG ĐƯƠNG CƠ TÍNH VẬT LIỆU TỔ HỢP CÓ CÁC CỐT LIỆU PHỨC HỢP

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Hà Nội – Năm 2020

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -----------------------------

NGUYỄN THỊ HƯƠNG GIANG

XẤP XỈ TƯƠNG ĐƯƠNG CƠ TÍNH VẬT LIỆU TỔ HỢP CÓ CÁC CỐT LIỆU PHỨC HỢP

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 9 44 01 07

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. PGS. TSKH. Phạm Đức Chính 2. PGS.TS. Trần Bảo Việt

Hà Nội – Năm 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu riêng của tôi, mọi số liệu

và kết quả trong luận án là trung thực và cũng chưa có tác giả khác công bố ở

bất cứ công trình nghiên cứu nào từ trước tới nay.

Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về nội dung khoa học của công trình

này.

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Thị Hương Giang

LỜI CẢM ƠN

Với lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin chân thành cảm ơn PGS. TSKH. Phạm

Đức Chính, TS. Trần Bảo Việt – những người thày đã tận tình hướng dẫn,

động viên giúp đỡ và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận án này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thày, Cô đã giảng dạy tôi trong

thời gian học chuyên đề trong khuôn khổ chương trình đào tạo Tiến sĩ, các cán

bộ của Học viện Khoa học & Công nghệ, nhóm nghiên cứu tại Viện Cơ học đã

giúp đỡ hỗ trợ tôi tài liệu, kinh nghiệm để hoàn thiện luận án.

Các nghiên cứu trong luận án cũng được hỗ trợ bởi Quỹ phát triển Khoa

học và Công nghệ quốc gia (NAFOSTED).

Xin gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Giao thông Vận tải, nơi tôi công

tác, đã hỗ trợ học phí và tạo mọi điều kiện về thời gian cho tôi hoàn thành luận

án.

Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình nhỏ của tôi, những người luôn

gần gũi và là động lực cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để

hoàn thành luận án này.

MỤC LỤC

Lời cam đoan .................................................................................................... 2

Lời cảm ơn ...................................................................................................... 3

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt ............................................................ 7

Danh mục các bảng .......................................................................................... 8

Danh mục các hình vẽ, đồ thị ........................................................................... 10

MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 13

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN ........................................................................... 18

1.1. Phân loại vật liệu Composite...................................................... 18

1.2. Hệ số dẫn .................................................................................... 19

1.3. Các mô đun đàn hồi .................................................................... 21

1.4. Phần tử thể tích đặc trưng .......................................................... 23

1.5. Các xấp xỉ và đánh giá xác định các giá trị hiệu dụng của

vật liệu ........................................................................................ 24

1.5.1. Phương pháp xấp xỉ trung bình ....................................... 24

1.5.2. Đường bao của các giá trị hiệu dụng ............................. 29

1.5.3. Phương pháp cốt tương đương ....................................... 30

1.6. Phương pháp số .......................................................................... 34

1.7. Kết luận ...................................................................................... 35

CHƯƠNG 2. XẤP XỈ CỐT TƯƠNG ĐƯƠNG HỆ SỐ DẪN VĨ MÔ VẬT LIỆU

CÓ CỐT LIỆU PHỨC HỢP ........................................................................... 36

2.1. Vật liệu cốt sợi phức hợp đồng phương, lớp phủ quanh

cốt đẳng hướng ............................................................................ 37

2.1.1. Mô hình vật liệu ................................................................ 37

2.1.2. Các công thức đánh giá hệ số dẫn của vật liệu cốt tròn .. 38

2.1.3. Xấp xỉ tương đương với cốt tròn được phủ ...................... 43

2.1.4. So sánh với kết quả thực nghiệm ...................................... 52

2.2. Vật liệu cốt sợi phức hợp đồng phương, lớp phủ quanh

cốt dị hướng ................................................................................ 55

2.2.1. Mô hình vật liệu ................................................................ 55

2.2.2. Xấp xỉ tương đương với cốt tròn được phủ, lớp phủ

dị hướng ...................................................................................... 55

2.3. Kết luận ...................................................................................... 58

CHƯƠNG 3. XẤP XỈ CỐT TƯƠNG ĐƯƠNG MÔ ĐUN ĐÀN HỒI VĨ MÔ VẬT

LIỆU CÓ CỐT LIỆU PHỨC HỢP ................................................................. 59

3.1. Mô đun đàn hồi của vật liệu Composite cốt hạt hình cầu với

cốt phức hợp .......................................................................................... 59

3.1.1. Mô hình vật liệu ................................................................ 59

3.1.2. Mô đun đàn hồi thể tích.................................................... 59

3.1.3. Mô đun đàn hồi trượt ....................................................... 63

3.1.4. Công thức tổng quát ......................................................... 70

3.1.5. Kiểm tra và so sánh .......................................................... 71

3.2. Mô đun đàn hồi của vật liệu Composite cốt sợi phức hợp đồng

phương .................................................................................................. 79

3.2.1. Mô hình vật liệu ................................................................ 79

3.2.2. Mô đun đàn hồi diện tích hiệu dụng ................................. 80

3.2.3. Mô đun đàn hồi trượt doc hiệu dụng ................................ 81

3.2.4. Mô đun đàn hồi Young dọc trục và hệ số Poisson ........... 82

3.2.5. Mô đun đàn hồi trượt ngang ............................................ 84

3.3. Kết luận .......................................................................................... 85

CHƯƠNG 4. MÔ PHỎNG SỐ PHẦN TỬ HỮU HẠN VẬT LIỆU PHỨC

HỢP…………………………………………………………………………...86

4.1. Vật liệu tuần hoàn .......................................................................... 86

4.2. Các công thức xuất phát ................................................................. 86

4.2.1. Mô đun đàn hồi ................................................................ 87

4.2.2. Hệ số dẫn .......................................................................... 88

4.3. Phần mềm Cast3M ......................................................................... 89

4.4. Tính toán cho mô hình vật liệu cụ thể và so sánh kết quả ............. 91

4.4.1. Vật liệu Composite cốt sợi phức hợp đồng phương

4.4.1.1. Hệ số dẫn ngang khi các pha đồng nhất, đẳng

hướng .................................................................................. 91

4.4.1.2. Hệ số dẫn ngang khi lớp vỏ bọc dị hướng ............ 96

4.4.1.3. Mô đun đàn hồi ..................................................... 99

4.4.2. Vật liệu Composite với cốt hình cầu ................................ 106

4.5. Kết luận .......................................................................................... 118

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.......................................................................... 119

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ................................................ 121

TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................ 122

PHỤ LỤC .................................................................................................... 130

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Ten xơ mật độ biến dạng A

Trường ứng suất σ

Toán tử Krӧnecker

Hệ số dẫn nhiệt, hệ số dẫn nhiệt hiệu dụng c, ceff

Ten xơ độ cứng hiệu dụng Ceff

Trường biến dạng vi mô, vĩ mô ε, E

Mô đun đàn hồi Young hiệu dụng Eeff

Véc tơ dòng nhiệt q

keff, Keff Mô đun đàn hồi thể tích, diện tích hiệu dụng

Nhiệt độ T

Trường chuyển vị u

Mô đun đàn hồi trượt hiệu dụng μeff

Hệ số nở ngang hiệu dụng νeff

Tỉ lệ thể tích pha α

Trung bình các đại lượng <·>

Toán tử gradient

Toán tử Laplace (Δ = ) Δ

HSU, HSL Kết quả đường bao trên và dưới của Hashin – Strickman

Phần tử hữu hạn PTHH

Phần tử thể tích đặc trưng RVE

Kết quả thí nghiệm TN

Cốt tương đương CTĐ

Cốt tương đương đơn giản CTĐĐG

Xấp xỉ vi phân sử dụng cốt tương đương VP-CTĐ

Xấp xỉ theo mô hình đĩa tròn lồng nhau TĐLN

TT3Đ-CTĐ Xấp xỉ tương tác ba điểm sử dụng cốt tương đương.

MA Xấp xỉ Maxwell

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1. Mối quan hệ giữa các mô đun đàn hồi

Bảng2.1. Thông tin hình học bậc ba của vật liệu có cốt dạng đĩa tròn phân bố ngẫu

nhiên (không chồng lấn)

Bảng 2.2. Hệ số dẫn hiệu dụng khi

Bảng 2.3. Hệ số dẫn hiệu dụng khi

Bảng 2.4. Kết quả thí nghiệm hệ số dẫn của composite sợi abaca

Bảng 2.5. Hệ số dẫn của composite sợi abaca

Bảng 3.1. Mô đun đàn hồi thể tích hiệu dụng

Bảng 3.2. Mô đun đàn hồi trượt hiệu dụng

Bảng 3.3. Mô đun đàn hồi thể tích hiệu dụng

Bảng 3.4. Mô đun đàn hồi trượt hiệu dụng

Bảng 4.1. Hệ số dẫn hiệu dụng khi

Bảng 4.2. Hệ số dẫn hiệu dụng khi

Bảng 4.3. Hệ số dẫn hiệu dụng khi Bảng

4.4. Hệ số dẫn hiệu dụng khi

Bảng 4.5. Các giá trị của mô đun đàn hồi hiệu dụng khi

Bảng 4.6. Các giá trị của mô đun đàn hồi hiệu dụng khi

Bảng 4.7. Các giá trị của mô đun đàn hồi hiệu dụng khi

Bảng 4.8. Các giá trị của mô đun đàn hồi hiệu dụng khi

Bảng 4.9. Các giá trị của mô đun đàn hồi hiệu dụng của nhân tử lập phương đơn giản

khi

Bảng 4.10. Các giá trị của mô đun đàn hồi hiệu dụng của nhân tử lập phương tâm

khối khi

Bảng 4.11. Các giá trị của mô đun đàn hồi hiệu dụng của nhân tử lập phương tâm mặt

khi

Bảng 4.12. Các giá trị của mô đun đàn hồi hiệu dụng của nhân tử lập phương đơn

giản khi

Bảng 4.13. Các giá trị của mô đun đàn hồi hiệu dụng của nhân tử lập phương tâm

khối khi

Bảng 4.14. Các giá trị của mô đun đàn hồi hiệu dụng của nhân tử lập phương tâm mặt

khi

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 0.1. Ứng dụng của vật liệu Composite trong máy bay Boeing 787 ...... 13

Hình 0.2. Hình ảnh vật liệu Geopolymers có sợi alumina tráng Monazite ..... 14

Hình 1.1. (a) - Bê tông cốt sợi, (b) – sợi polypropylene ................................. 18

Hình 1.2. Bê tông nhựa ............................... .................................................... 19

Hình 1.3. Phần tử thể tích đặc trưng RVE . .................................................... 23

Hình 1.4. Mô hình cốt tương đương ................................................................ 30

Hình 1.5. (a) – phần tử tam giác, (b) – phần tử tứ giác .................................... 34

Hình 2.1. Vật liệu cốt sợi đồng phương ........................................................... 37

Hình 2.2. Hệ số dẫn hiệu dụng khi ........................................... 42

Hình 2.3. Hệ số dẫn hiệu dụng khi ........................................... 42

Hình 2.4. Mô hình cốt tròn hai lớp đặt trong pha nền vô tận ........................... 43

Hình 2.5. Hệ số dẫn hiệu dụng khi ............................... 51

Hình 2.6. Hệ số dẫn hiệu dụng khi ............................... 51

Hình 2.7. Mô hình vật liệu composite sợi abaca .............................................. 52

Hình 2.8. Hệ số dẫn của composite sợi abaca .................................................. 53

Hình 2.9. Vật liệu cốt sợi phức hợp đồng phương, lớp phủ quanh cốt dị

hướng ............................................................................................................... 55

Hình 3.1. (a) - Mô hình vật liệu composite với cốt hình cầu được phủ,

(b) - Mô hình cốt tương đương ........................................................................ 59

Hình 3.2. Mô đun đàn hồi thể tích hiệu dụng khi

............................................ 76

Hình3.3. Mô đun đàn hồi trượt hiệu dụng khi

............................................ 76

Hình 3.4. Mô đun đàn hồi thể tích hiệu dụng khi

............................................... 77

Hình 3.5. Mô đun đàn hồi trượt hiệu dụng khi

. .............................................. 77

Hình 3.6. Mô hình vật liệu cốt sợi dọc trục 3 pha ........................................... 79

Hình 4.1. Ảnh vi mô có độ tương phản cao của mặt cắt ngang của vật liệu

B/Al composite và RVE với phân bố tuần hoàn dạng lục giác ........................ 86

Hình 4.2. Một số nhân tử tuần hoàn ................................................................. 87

Hình 4.3. Sơ đồ khối chương trình tính toán bằng phương pháp PTHH ......... 90

Hình 4.4. Một nửa nhân tử tuần hoàn mặt cắt ngang vật liệu cốt sợi đồng phương,

(a) - mảng lục giác với cốt tròn, (b) - mảng hình vuông với cốt tròn .............. 91

Hình 4.5. Trường nhiệt ..................................................................................... 92

Hình 4.6. Hệ số dẫn hiệu dụng của mảng hình vuông, (a) - khi

(b) – khi ............................... 95

Hình 4.7. Hệ số dẫn hiệu dụng của mảng lục giác, (a) - khi

(b) – khi .............................. 96

Hình 4.8. (a) - nhân tử tuần hoàn với lớp vỏ bọc dị hướng, (b) – phần tử lớp

vỏ bọc ............................................................................................................. 97

Hình 4.9. Hệ số dẫn ngang hiệu dụng của vật liệu với lớp vỏ bọc dị hướng,

(a) - khi , (b) - khi

............................................................................. 98

Hình 4.10. (a) - Nhân tử tuần hoàn vật liệu cốt sợi dọc trục mảng lục giác,

(b) - Sơ đồ rời rạc hóa ...................................................................................... 99

Hình 4.11. Các mô đun đàn hồi khi

......................................................................................... 103

Hình 4.12. Các mô đun đàn hồi khi

............................................................................................ 104

Hình 4.13. (a) - Nhân tử tuần hoàn lập phương đơn giản, (b) - Sơ đồ rời rạc

hóa .................................................................................................................. 106

Hình 4.14. Các mô đun đàn hồi của lập phương đơn giản khi

............................................................... 111

Hình 4.15. Các mô đun đàn hồi của lập phương tâm khối khi

............................................................... 112

Hình 1.16. Các mô đun đàn hồi của lập phương tâm mặt khi

............................................................... 113

Hình 1.17. Các mô đun đàn hồi của lập phương đơn giản khi

................................................................. 114

Hình 1.18. Các mô đun đàn hồi của lập phương tâm khối khi

................................................................. 115

Hình 1.19. Các mô đun đàn hồi của lập phương tâm mặt khi

................................................................. 116

MỞ ĐẦU

Cơ sở khoa học và ý nghĩa của luận án

Vật liệu tổ hợp nhiều thành phần (hay gọi là vật liệu Composite) là loại vật

liệu được tổng hợp từ hai hay nhiều loại vật liệu khác nhau, để tạo nên vật liệu mới

có tính năng hơn hẳn vật liệu ban đầu. Các vật liệu thành phần gọi là các pha, trong

đó pha gián đoạn gọi là pha cốt, dùng để tăng cường cơ tính, chống mòn, chống xước

v…v, pha liên tục làm nhiệm vụ kết dính gọi là pha nền.

Do có nhiều ưu điểm nên vật liệu Composite được ứng dụng rất rộng rãi trong

các ngành công nghiệp chế tạo: ô tô, xe máy, máy bay, tàu thuyền (Composite dùng

làm bộ vỏ, khung trần, thùng xe, mũi tàu, khung và cánh máy bay, v…v), trong lĩnh

vực xây dựng dân dụng (dùng để gia cố sàn, gia cố dầm, gia cố cột, vật liệu trang trí

nội ngoại thất, v…v), sản xuất các đồ gia dụng (sản xuất khung của điều hòa, máy

giặt, tủ lạnh, v…v) và còn nhiều ứng dụng khác trong lĩnh vực đời sống. Vì vậy việc

nghiên cứu các đặc trưng cơ –lý tính của loại vật liệu này là rất cần thiết và có tính

thời sự cho việc ứng dụng thực tế.

Hình 0.1. Ứng dụng của vật liệu Composite trong máy bay Boeing 787 [1]

(chiếm 50% theo trọng lượng)

Ở cấp độ vi mô, các thành phần vật liệu có tính chất khác nhau. Tuy nhiên, khi

xem xét ở cấp độ vĩ mô có thể coi vật liệu là đồng nhất và được đặc trưng bởi các giá

trị hiệu dụng (effective modulus). Các giá trị đó phụ thuộc vào tính chất của từng pha,

tỉ lệ thể tích, cấu trúc hình học, liên kết giữa các pha.

Trong quá trình sản xuất do phản ứng hóa học giữa nền – cốt hoặc do kỹ thuật

tráng sợi làm hình thành pha trung gian (lớp vỏ bao quanh cốt – interface), mà trong

luận án gọi là vật liệu có cốt phức hợp. Cốt phức hợp được hiểu là cốt cùng lớp vỏ

bao quanh cốt. Lớp vỏ này có cơ – lý tính không giống pha nền hay cốt và làm ảnh

hưởng đến tính chất hiệu dụng vĩ mô của vật liệu. Khi đó, nếu sử dụng phương pháp

đường bao (đánh giá trên và dưới) để xác định các giá trị hiệu dụng thì các đường bao

thường xa nhau, ít có giá trị thực tế. Các phương pháp xấp xỉ trung bình phân tích

theo mô hình trụ tròn hoặc hình cầu nhiều lớp tương đối phức tạp khi dùng cho kỹ sư

tính toán. Vì vậy, hướng nghiên cứu trong luận án tập trung vào việc xác định các

tính chất cơ – lý tính vĩ mô vật liệu tổ hợp có cốt phức hợp, sử dụng phương pháp cốt

tương đương để đưa ra các công thức xấp xỉ đơn giản phù hợp với kỹ sư để bước đầu

đánh giá tính chất cơ tính của vật liệu sử dụng. Mô phỏng số bằng phương pháp phần

tử hữu hạn cũng đươc áp dụng để kiểm nghiệm tính đúng đắn của công thức xấp xỉ.

Hình 0.2. Hình ảnh vật liệu Geopolymers có sợi alumina tráng Monazite [2]

Mục tiêu của luận án

Xây dựng các công thức xấp xỉ sử dụng mô hình cốt tương đương để xác định

các giá trị hiệu dụng của hệ số dẫn, hệ số đàn hồi vật liệu Composite với cốt phức

hợp và áp dụng phương pháp số sử dụng phần tử hữu hạn (PTHH) tính toán cho một

số mô hình vật liệu cụ thể.

Đối tượng của luận án

Hệ số dẫn, mô đun đàn hồi thể tích, mô đun đàn hồi trượt hiệu dụng của vật

liệu nhiều thành phần, đẳng hướng hoặc có lớp vỏ bao quanh cốt dị hướng.

Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp giải tích và phương pháp số.

 Phương pháp giải tích:

- Bước 1: Xây dựng lời giải trực tiếp từ các phương trình dựa trên bài toán phân

bố thưa của cốt liệu được phủ trong pha nền vô tận và cốt tương đương trong

pha nền vô tận. Sau đó đồng nhất hai kết quả để tìm các đặc trưng cơ-lý tính

tương ứng của cốt tương đương.

- Bước 2: Sử dụng các công thức có sẵn của vật liệu 2 pha để tìm ra các giá trị

hiệu dụng của vật liệu ban đầu theo mô hình nền-cốt tương đương.

 Phương pháp số: Sử dụng sự hỗ trợ của chương trình MATLAB trong quá

trình thiết lập công thức và giải hệ phương trình phức tạp. Ứng dụng phần

mềm CAST3M (thiết lập theo phương pháp PTHH) để áp dụng tính toán cho

một số mô hình vật liệu cụ thể.

Những đóng góp của luận án

 Xây dựng được công thức xác định hệ số dẫn hiệu dụng của vật liệu Composite

cốt sợi phức hợp đồng phương, lớp vỏ bao quanh cốt đẳng hướng hoặc dị

hướng.

 Xây dựng được công thức xác định các mô đun đàn hồi hiệu dụng của vật liệu

Composite cốt hạt hình cầu phức hợp và Composite cốt sợi phức hợp đồng

phương.

 Áp dụng phương pháp PTHH cho bài toán đồng nhất hóa và tính toán số cho

một số dạng hình học tuần hoàn nhiều thành phần.

 So sánh kết quả đạt được với kết quả thí nghiệm, kết quả lý thuyết của các

nhóm nghiên cứu đi trước.

Các kết quả chính của luận án đã được công bố trên các tạp chí quốc tế (01 bài

SCIE - Archive of Applied Mechanics , 01 bài ESCI - Computational Thermal

Sciences), tạp chí trong nước (01 bài trên tạp chí Vietnam Journal of

Mechanics, 01 bài trên tạp chí Khoa học Giao thông Vận tải) và tuyển tập các

báo cáo hội nghị trong nước (04 báo cáo hội nghị).

Cấu trúc của luận án

Nội dung của luận án bao gồm phần mở đầu, bốn chương, kết luận. Cụ thể:

Chương 1: Tổng quan

Trình bày cách phân loại vật liệu Composite, định nghĩa hệ số dẫn, hệ số đàn

hồi, lý thuyết đàn hồi.

Tìm hiểu về lịch sử, các kết quả nghiên cứu nổi bật của các tác giả trong và

ngoài nước trong lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu liên quan tới nội dung nghiên cứu.

Cách tiếp cận theo phương pháp cốt tương đương của các vật liệu có tính đến sự ảnh

hưởng của pha trung gian giữa nền - cốt và lý do lựa chọn đề tài.

Chương 2: Xấp xỉ tương đương hệ số dẫn vĩ mô vật liệu có cốt liệu phức

hợp

Trong chương này gồm 2 nội dung chính: xác định hệ số dẫn vĩ mô (hiệu dụng)

của vật liệu cốt sợi phức hợp đồng phương khi các pha đẳng hướng và khi lớp vỏ bọc

quanh cốt dị hướng.

Đồng nhất cốt có lớp vỏ bọc thành một pha gọi là cốt tương đương, có tỉ lệ thể

tích bằng hai pha cộng lại.

Khi các pha đẳng hướng, hệ số dẫn của cốt tương đương được xác định dựa

trên lời giải của bài toán phân bố thưa cho mô hình vật liệu thực và mô hình sử dụng

cốt tương đương. Công thức xác định hệ số dẫn hiệu dụng của vật liệu ban đầu theo

mô hình nền-cốt tương đương được đưa ra với sự hỗ trợ của các công thức xấp xỉ vi

phân, xấp xỉ tương tác ba điểm, mô hình đĩa tròn lồng nhau của Hashin.

Tính toán cho một số trường hợp cụ thể và so sánh kết quả với kết quả thực

nghiệm trên sợi abaca.

Khi lớp vỏ bọc dị hướng, hệ số dẫn của cốt tương đương được xác định tương

tự sơ đồ vi phân.

Chương 3: Xấp xỉ tương đương mô đun đàn hồi vĩ mô vật liệu có cốt liệu

phức hợp

Chương 3 gồm 2 nội dụng chính: xác định mô đun đàn hồi vĩ mô (hiệu dụng)

của vật liệu Composite cốt hạt với cốt phức hợp và Composite cốt sợi phức hợp đồng

phương.

Dựa trên lời giải của bài toán phân bố thưa đưa ra công thức tính các mô đun

đàn hồi của cốt tương đương.

Dựa theo mô hình quả cầu (đĩa tròn) lồng nhau của Hashin (hoặc xấp xỉ

Maxwell) đưa ra công thức tương đương đơn giản cho các mô đun đàn hồi của cốt

tương đương.

Sử dụng công thức có sẵn cho vật liệu hai pha để tính các mô đun đàn hồi hiệu

dụng của vật liệu ban đầu theo mô hình nền-cốt tương đương.

Tính toán cho một số ví dụ cụ thể, so sánh với các nghiên cứu trước.

Chương 4: Mô phỏng số phần tử hữu hạn vật liệu phức hợp

Trình bày về vật liệu tuần hoàn, phần mềm Cast 3M.

Dưới sự hỗ trợ của phần mềm Cast3M, tính toán xác định các giá trị hiệu dụng

cho một số mô hình của vật liệu Composite với điều kiện biên tuần hoàn và so sánh

kết quả với các kết quả nghiên cứu trong chương 2, 3.

Kết luận chung

Trình bày các kết quả chính đã thu được trong luận án và các vần đề cần nghiên

cứu tiếp.

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN

1.1. Phân loại vật liệu Composite

1.1.1. Theo hình dạng cốt liệu

Theo hình dạng cốt liệu, Composite được chia làm hai loại là Composite cốt

sợi và Composite cốt hạt.

Composite cốt sợi: Sợi là loại kết cấu có một kích thước lớn hơn nhiều so với hai kích

thước còn lại. Cốt sợi bao gồm các sợi như sợi khoáng chất (sợi thủy tinh, sợi cacbon,

sợi gốm), sợi tổng hợp (sợi Kermel, sợi Nomex, sợi Kynol, sợi Apyeil,… ), sợi nhựa

tổng hợp (sợi polyester, sợi polyamit,… ), sợi kim loại (thép, đồng, nhôm,…). Các

sợi có thể được sắp xếp theo một chiều (vật liệu cốt sợi đồng phương), dệt hai chiều

vuông góc trong một mặt phẳng, rối ngẫu nhiên trong một mặt phẳng hoặc đan quấn

ba chiều vuông góc. Trên hình 1.1. là hình ảnh của bê tông cốt sợi với sợi

polypropylene phân bố rối ngẫu nhiên.

Hình 1.1. (a) - Bê tông cốt sợi, (b) – sợi polypropylene [3]

Composite cốt hạt: Hạt là loại kết cấu gián đoạn, khác sợi là không có kích thước ưu

tiên. Composite cốt hạt như hợp kim cứng, bê tông, bê tông nhựa (hình 1.2).

1.1.2. Theo bản chất vật liệu nền

Theo bản chất của vật liệu nền, Composite có 3 dạng cơ bản sau:

- Composite nền hữu cơ: nền giấy, nền nhựa, nền nhựa đường, v…v.

- Composite nền khoáng chất: bê tông, bê tông cốt thép, gốm, v...v.

- Composite nền kim loại: hợp kim titan, hợp kim nhôm, thép, v…v.

Trong luận án này tác giả sử dụng cách phân loại vật liệu Composite theo hình dạng

cốt liệu: sợi và hạt.

Hình 1.2. Bê tông nhựa

1.2. Hệ số dẫn

Hệ số dẫn được biểu diễn là đại lượng vô hướng với vật liệu đẳng hướng, ten

xơ bậc hai với vật liệu dị hướng.

Hệ số dẫn nhiệt c đặc trưng cho khả năng dẫn nhiệt của vật liệu, được biểu

diễn thông qua định luật Fourier

( hoặc với vật liệu dị hướng), (1.1)

trong đó là véc tơ dòng nhiệt, là gradient nhiệt độ. Điều kiện biên cho trước

có thể là trường nhiệt độ hoặc dòng nhiệt trên toàn bộ hoặc một

phần biên của vật thể, n – véc tơ pháp tuyến ngoài, và là các giá trị cho trước.

q thỏa mãn phương trình cân bằng nhiệt:

. (1.2)

Mặt tiếp xúc giữa các thành phần được giả thiết là lý tưởng, nghĩa là trường nhiệt độ,

dòng nhiệt là liên tục.

Hệ số dẫn điện c thỏa mãn định luật Ohm

(hoặc với vật liệu dị hướng), (1.3)

trong đó J - là trường dòng điện, E – trường điện

, (1.4)

- trường điện thế.

J thỏa mãn phương trình cân bằng:

. (1.5)

Hệ số khuếch tán D đặc trưng cho khả năng lan truyền của dòng vật chất (đổi

hướng lan truyền của dòng vật chất khi đi qua một đơn vị độ dày), được xác định

thông qua định luật Fick:

(hoặc với vật liệu dị hướng), (1.6)

trong đó J – dòng lan truyền thỏa mãn phương trình cân bằng (1.5), là mật độ vật

chất.

Hệ số thấm nước k được xác định thông qua định luật Darcy

(hoặc (1.7) theo hướng n của vật liệu dị hướng),

trong đó P là áp lực nước, η là hệ số nhớt của nước, q là trường dòng ( tỉ lệ với tốc

độ thấm v và độ rỗng của môi trường vật chất ρ, q = ρv) thỏa mãn phương trình cân

bằng (1.2).

Hệ số điện môi (thấm điện) ϵ đặc trưng cho tính chất điện của môi trường điện

môi được xác định qua phương trình:

D = ϵE, (1.8)

trong đó D là véc tơ cảm ứng điện thỏa mãn phương trình cân bằng , E là

điện trường.

Hệ số thấm từ (độ từ thẩm) μ là đại lượng đặc trưng cho tính thấm từ của từ

trường vật liệu, nói lên khả năng phản ứng của vật liệu dưới tác dụng của từ trường

ngoài. Thỏa mãn phương trình:

B = μH, (1.9)

trong đó B là cảm ứng từ thỏa mãn phương trình cân bằng , H là từ trường.

Các hệ số dẫn có công thức toán học dạng giống nhau và đều thỏa mãn phương

trình cân bằng giống nhau. Vì thế trong luận án sử dụng hệ số dẫn nhiệt trong các

tính toán và ví dụ minh họa làm đặc trưng cho hệ số dẫn.

1.3. Các mô đun đàn hồi

Mô đun đàn hồi Young E là thước đo độ cứng của vật liệu, mô tả xu hướng

của vật thể bị biến dạng dọc theo một trục

(1.10)

trong đó σ - ứng suất pháp, ε - tỉ đối biến dạng.

Mô đun đàn hồi trượt µ miêu tả xu hướng của một vật thể bị cắt (hình dạng

của biến dạng với thể tích không đổi) khi bị tác động bởi các lực

(1.11)

với τ - ứng suất tiếp, γ – biến dạng góc.

Mô đun đàn hồi thể tích k mô tả biến dạng thể tích, hoặc xu hướng thể tích

của một vật thể bị biến dạng dưới một áp lực.

(1.12)

– biến dạng thể tích. với σ0 – ứng suất thủy tĩnh,

Hệ số Poisson ν : Khi một mẫu vật liệu bị nén (hoặc kéo) theo một phương thì

nó thường có xu hướng giãn ra hoặc co lại theo phương vuông góc với phương tác

dụng của lực, nhưng cũng có trường hợp vật liệu giãn ra khi kéo và co vào khi nén.

Hệ số Poisson là để miêu tả cho xu hướng này.

(1.13)

với ε’ – biến dạng tỉ đối theo phương vuông góc, ε – biến dạng tỉ đối theo phương tác

dụng của lực.

Trong nghiên cứu khi tính các mô đun đàn hồi hay sử dụng khái niệm k, μ.

Còn với các kĩ sư hay dùng E, ν. Ngoài ra, biểu diễn về mặt toán học còn dùng khái

niệm hằng số Lame λ và μ. Ta có mối liên hệ giữa các đại lượng thể hiện trên bảng

1.1.

Bảng 1.1. Mối quan hệ giữa các mô đun đàn hồi

Đôi chính Hằng số

đàn hồi

k k

E E E

Theo lý thuyết đàn hồi, mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng thể hiện thông

qua định luật Hooke

(1.14) .

trong đó dấu “ : ” biểu thị tích giữa hai ten xơ bậc cao. C là ten xơ độ cứng bậc 4,

trong trường hợp vật liệu đẳng hướng có dạng:

(1.15) hoặc

là toán tử Krӧnecker, d là số chiều không gian (d = 2 hoặc 3).

Với biến dạng nhỏ, trường biến dạng ε được biểu diễn qua trường chuyển vị u :

(1.16)

và thỏa mãn phương trình cân bằng:

(1.17)

Điều kiện biên trên biên có thể là chuyển vị hoặc lực mặt:

(1.18)

(1.19)

- chuyển vị trên biên, lực mặt trên biên.

1.4. Phần tử thể tích đặc trưng

Để đánh giá các tính chất hiệu dụng vĩ mô của vật liệu tổ hợp chỉ cần xét trên

phần tử thể tích đặc trưng V (RVE: Representative Volume Element) của vật liệu đó.

Phần tử thể tích đặc trưng phải đủ lớn so với các cấu trúc vi mô để đại diện cho các

tính chất của vật liệu thành phần và đồng thời phải đủ nhỏ so với kích thước của vật

thể để việc xác định các tính chất vĩ mô có ý nghĩa. Phần tử đặc trưng V được cấu

thành bởi N thành phần chiếm các không gian có hệ số dẫn nhiệt , mô đun

đàn hồi , (α = 1,…, n). Phần tử đặc trưng V ( thể tích V được coi bằng 1) được

gắn với hệ tọa độ Đề các {x1, x2, x3}. Ở cấp độ vĩ mô ta coi vật liệu là đồng nhất, đẳng

hướng và liên tục.

Hình 1.3 . Phần tử thể tích đặc trưng RVE [4]

Các giá trị trung bình của ứng suất < σ >, biến dạng < ε >, nhiệt lượng < q >, gradient

nhiệt độ trên RVE được biểu diễn:

(1.20)

(1.21)

Và mối quan hệ giữa các đại lượng:

(1.22)

(1.23)

là ten xơ độ cứng hiệu dụng, phụ thuộc vào các mô đun đàn hồi hiệu dụng

, còn là ten xơ hệ số dẫn hiệu dụng.

Có nhiều phương pháp để xác định các giá trị hiệu dụng vĩ mô như việc tìm

lời giải trực tiếp từ các phương trình (1.22), (1.23) hoặc xây dựng các đánh giá trên,

đánh giá dưới theo đường hướng biến phân sử dụng nguyên lý năng lượng cực tiểu,

bù cực tiểu, các phương pháp xấp xỉ trung bình, xấp xỉ tương đương hoặc phương

pháp số (FFT, FEM…).

Trong phần tổng quan này, tác giả sẽ trình bày một số những công bố nổi bật

của các nhà khoa học đi trước trong việc xác định các giá trị hiệu dụng vĩ mô của vật

liệu .

1.5. Các xấp xỉ và đánh giá xác định các giá trị hiệu dụng của vật liệu

1.5.1. Phương pháp xấp xỉ trung bình

Vào năm 1928, Voight [5] đã đưa ra các công thức trung bình cộng số học để

tính xấp xỉ các tính chất hiệu dụng của vật liệu tổ hợp đẳng hướng:

(1.24)

Năm 1929, Reuss [6] chỉ ra rằng trong một số các trường hợp thì công thức

trung bình cộng điều hòa cho được kết quả xấp xỉ tốt hơn:

(1.25)

Các công thức xấp xỉ trên khá thô, chưa quan tâm đến hình học pha mà chỉ có

tỉ lệ thể tích giữa các pha. Các xấp xỉ này cho kết quả tương đối tốt khi các pha có

tính chất gần nhau. Còn khi các pha có tính chất xa nhau thì sai số nhiều. Tuy vậy,

chúng được sử dụng khá phổ biến do dễ áp dụng.

Xấp xỉ Maxwell (hay đôi khi gọi là xấp xỉ Maxwell – Garnett) [7, 8] đã đưa

ra công thức tìm các giá trị hiệu dụng của vật liệu hai thành phần dạng nền - cốt :

(1.26)

(1.27)

(1.28)

Với

(1.29)

Chỉ số (I) – là các giá trị của pha cốt, chỉ số (M) – là các giá trị của pha nền, d - không

gian d chiều (d = 2, 3).

Ngoài các xấp xỉ trên, phần lớn các công xấp xỉ được xây dựng trên nền tảng

của phân bố thưa (dilute suspension) của cốt liệu elip trong pha nền vô tận của

Eshelby [9]. Có thể kể đến một số xấp xỉ có ứng dụng rộng rãi như xấp xỉ tự tương

hợp (self – consistent), xấp xỉ Mori – Tanaka, sơ đồ vi phân (differential scheme).

Trong trường hợp phân bố thưa, tỉ lệ thể tích pha cốt nhỏ và các hạt cốt

liệu ở xa nhau, Eshelby đã thiết lập mối quan hệ giữa biến dạng đồng nhất của môi

trường gồm một hạt cốt liệu dạng elip đặt trong miền vô hạn của pha nền với biến

dạng của pha nền ở miền xa vô cùng (trường không có cốt liệu). Trên cơ sở đó để tìm

ra các hệ số đàn hồi vĩ mô:

(1.30)

trong đó là trung bình biến dạng trượt đồng nhất của các hạt cốt liệu,

- trung bình biến dạng đồng nhất của các cốt, - là các biến dạng tại miền

xa vô cùng .

Công thức xấp xỉ có thể được biểu diễn dưới dạng:

(1.31)

(1.32)

Tương tự hệ số dẫn vĩ mô trong trường hợp phân bố thưa của cốt liệu hình elip trong

pha nền liên tục có dạng:

(1.33)

trong đó biểu diễn qua ten xơ Eshelby [9].

1.5.1.1. Sơ đồ vi phân

Dựa trên kết quả của Eshelby, sơ đồ vi phân phát triển cho vật liệu có các thành

phần phân bố hỗn độn và tỷ lệ thể tích không nhỏ. Nội dung chính của phương pháp

là cho một tỷ lệ nhỏ pha cốt vào pha nền rồi tính mô đun vĩ mô của hỗn hợp. Bước

sau sử dụng hỗn hợp đó làm pha nền và thêm vào tỷ lệ nhỏ pha cốt rồi tính mô đun

vĩ mô của hỗn hợp thứ 2…và tiếp tục cho tới bước thứ N khi ta nhận được tỷ lệ thể

tích phải có của pha cốt.

Sơ đồ vi phân được đề xuất đầu tiên bởi Bruggeman [10] và Roscoe [11], sau

đó có Boucher [12]. McLaughlin [13] đã thể hiện được đánh giá độ cứng của vật liệu

hai pha với cốt hình cầu, cốt sợi nằm trong đường bao của Hashin – Strickman. Norris

và cộng sự [14] đã mở rộng lý thuyết cơ bản của phương pháp, kiểm tra các giới hạn

có thể được thực hiện của vật liệu hai pha. Hashin [15] áp dụng sơ đồ vi phân cho vật

liệu có vết nứt phân bố.

Công thức mô tả các bước được thể hiện qua hệ phương trình vi phân

, (1.34)

và hệ phương trình cho k, μ

. (1.35)

. (1.36)

Với điều kiện ban đầu . - tính

theo ten xơ Eshelby tương ứng với cốt thứ α.

Giá trị hiệu dụng của các mô đun là lời giải của các phương trình tương ứng

khi t=1:

(1.37)

1.5.1.2. Phương pháp tự tương hợp

Ý tưởng ban đầu của phương pháp này được cho là của Einstein [16]. Sau đó

Bruggeman [17] đã mở rộng và thực hiện đánh giá với các hệ số dẫn và hệ số đàn hồi

của vật liệu composite. Tiếp đó Hershey [18], Kerner [19], Hill [20] áp dụng phương

pháp này cho vật liệu đa tinh thể. Laws [21, 22] mở rộng với các vấn đề đàn – nhiệt.

Những đánh giá tự tương hợp khác cũng được tìm ra bởi Christensen và Waals [23],

Berryman [24], Walpole [25].

Nội dung của phương pháp này là tính trường biến dạng hoặc ứng suất của

một pha nào đó thì xem xét đại diện của pha đó như hạt cốt liệu cầu hay bầu dục nằm

trong miền đồng nhất vô hạn với tính chất trùng với tính chất hiệu dụng mà ta chưa

biết, sử dụng kết quả của Eshelby, từ đó dẫn đến phương trình tính:

, (1.38)

và hệ phương trình

. (1.39)

Trong đó ( chỉ số SA: giá trị hiệu dụng của hỗn hợp

gồm các hạt tính theo phương pháp tự tương hợp).

Hạn chế của phương pháp này là chỉ tương ứng với với mô hình gồm các hạt

phân bố theo trật tự nhất định, gắn kết rời rạc không có pha nền liên tục.

1.5.1.3. Phương pháp Mori – Tanaka

Phương pháp Mori – Tanaka [26] được áp dụng cho kĩ thuật và kim loại học

khi xem xét vật liệu nhiều pha dạng nền – cốt. Nội dung chính của phương pháp là

để tính trường ứng suất và biến dạng của các pha, tác giả xem xét riêng một hạt cốt

liệu hình bầu dục trong pha nền xa vô cùng với các điều kiện biên ở vô cùng được

lấy từ các trung bình của ứng suất và biến dạng trong pha nền (chưa biết) và sử dụng

kết quả của Eshelby. Một dạng khác của phương pháp cũng được đề nghị bởi Weng

[27], Benveniste và cộng sự [28], Chen và cộng sự [29].

Với vật liệu đẳng hướng hai thành phần, kết quả tính các mô đun hiệu dụng

theo phương pháp Mori – Tanaka được biểu diễn:

. (1.40)

Trong đó pi – các thành phần trên đường chéo của ten xơ khử cực đối xứng p của elip

d chiều, được xác định:

. (1.41)

- bán trục của elip theo phương .

được xác định từ các thành phần của ten xơ Eshelby P:

, khi d=3, (1.42)

, khi d=2. (1.43)

1.5.1.4. Một số phương pháp xấp xỉ khác

- Xấp xỉ tương tác 3 điểm của Pham & Torquato [30] chứa đựng các thông tin bậc 3

về hình học pha của vật liệu.

- Xấp xỉ phân cực: xuất phát từ nguyên lý năng lượng cực tiểu và trường khả dĩ phân

cực dạng Hashin-Strickman, xây dựng các công thức xấp xỉ tính hệ số dẫn hiệu dụng

và các mô đun đàn hồi hiệu dụng của vật liệu tổ hợp đẳng hướng. Cụ thể có thể xem

trong các tài liệu Pham & Nguyen [31], Pham và cộng sự [32], Tran & Pham [33].

1.5.2. Đường bao của các giá trị hiệu dụng

1.5.2.1. Đường bao Hill – Paul

Xuất phát từ các nguyên lý năng lượng cực tiểu và bù cực tiểu và chọn trường

khả dĩ là hằng số, Hill [34] và Paul [35] đã chứng minh được rằng các tính chất hiệu

dụng của vật liệu tổ hợp đẳng hướng dù hình học pha thế nào luôn nằm ở giữa các

giá trị ở (1.24), (1.25). Cụ thể:

(1.44)

1.5.2.2. Đường bao Hashin – Strikman

Hashin và Strikman [36, 37] đã xây dựng nguyên lý biến phân riêng và đưa

vào trường khả dĩ phân cực (polarization fields) với các giá trị trung bình khác nhau

trên các pha khác nhau và đưa ra đánh giá mới tốt hơn đánh giá của Hill – Paul. Tổng

quát:

(1.45)

(1.46)

(1.47)

Trong đó :

(1.48)

(1.49) ,

(1.50)

hoặc

d – không gian d chiều (d = 2, d = 3).

1.5.2.3. Đánh giá bậc 3 của Phạm Đức Chính

Cũng xuất phát từ các nguyên lý năng lượng cực tiểu và xây dựng trường khả

dĩ phân cực tương tự trường Hashin, Pham [38-50] đã tìm được đánh giá hẹp hơn

đánh giá của Hashin nhờ thành phần nhiễu chứa thông tin bậc ba về hình học pha của

vật liệu. Tổng quát:

(1.51)

(1.52)

(1.53)

Trong đó:

- là hằng số dương tùy ý được chọn để , - là hằng số dương tùy ý được

chọn để .

(1.54)

(1.55)

(1.56)

(1.57)

, là các thông tin hình học bậc 3 của vật liệu.

1.5.3. Phương pháp cốt tương đương

Phương pháp cốt tương đương đầu tiên xuất hiện trong nghiên cứu của Eshelby

[9], người đưa ra giải pháp cho bài toán một hạt cốt liệu elip không đồng nhất đặt

trong pha nền vô tận bằng cách đưa vào một cốt tương đương đồng nhất với biến

dạng riêng thích hợp (hình 1.4). Biến dạng riêng phải làm cho biến dạng chung

của cốt đồng nhất bằng với biến dạng trong trường hợp không đồng nhất .

Hình 1.4. Mô hình cốt tương đương

Moschovidis và Mura [51] đã phát triển mô hình của Eshelby để tìm giải pháp

gần đúng cho trường hợp hai ellip không đồng nhất, không giao nhau và chiếm các

điểm khác nhau trong không gian trong pha nền vô tận. Tương tự như vậy, mỗi cốt

liệu không đồng nhất sẽ được thay thế bởi một cốt tương đương đồng nhất. Các biến

dạng riêng được tìm bằng cách giải một hệ các phương trình tuyến tính bằng Taylor

mở rộng.

Dựa trên phương pháp tương đương của Eshelby, Moschovidis và Miru, định

lý Hill về sự gián đoạn của trường đàn hồi qua bề mặt, Shodja và cộng sự [52] đã phát

triển lý thuyết tính toán mật độ ứng suất các vết nứt tương tác theo hướng tùy ý.

Trong quá trình sản xuất do phản ứng hóa học giữa nền – cốt hoặc do kỹ thuật

tráng sợi làm hình thành pha trung gian (lớp vỏ bao quanh cốt – interface), ảnh hưởng

đến tính chất cơ học của vật liệu. Một trong những hướng giải quyết bài toán dạng

này là tìm cách thay thế cốt cùng lớp vỏ bọc bằng một cốt tương đương có cùng kích

thước và có các đặc trưng cơ học tương ứng. Có thể kể đến một số công trình:

Hashin [53], khi tính các tính chất đàn nhiệt của vật liệu composite cốt sợi, với

lớp cốt được bao bọc bởi một lớp mỏng (thin interphase) theo mô hình vật liệu dạng

trụ tròn được đề xuất bởi Hashin và Rosen (1964) và mô hình tự tương hợp tổng quát

(generalized self consistent scheme) đề xuất bởi Christensen và Lo (1979). Tính chất

tương đương của lớp cốt được bọc ,v…v. Tính chất hiệu dụng đàn

nhiệt ,v..v, được biểu diễn , ,v…v.

Trong đó chỉ số M – pha nền, EI – cốt được bọc (cốt tương đương) , I1- lớp vỏ bọc, I2

– cốt sợi và:

(1.58)

(1.59)

(1.60)

(1.61)

Chỉ số A – chỉ các tính chất theo phương dọc trục. Còn mô đun trượt trong mặt

phẳng ngang vuông góc với trục có biểu diễn vô cùng phức tạp.

Qui và Weng [54], cũng đã sử dụng mô hình cốt tương đương giải quyết bài

toán tìm mô đun đàn hồi thể tích của vật liệu Composite cốt hạt với cốt được phủ một

lớp mỏng và kết quả nhận được:

(1.62)

Kí hiệu chỉ số 1 - pha cốt, 2- lớp vỏ bọc, 3- pha nền.

D. C. Pham và B. V. Tran [55], sử dụng công thức xấp xỉ Maxwell và mô hình

cốt tương đương giải quyết bài toán tìm hệ số dẫn của vật liệu Composite cốt hạt với

cốt được phủ.

(1.63)

với

. (1.64)

T. K. Nguyen và D. C. Pham [56] khi giải quyết bài toán tìm mô đun đàn hồi

của vật liệu trong không gian hai chiều với cốt phức hợp cũng đã sử dụng cốt tương

đương. Các mô đun đàn hồi của cốt tương đương được tính toán dựa trên công thức

xấp xỉ Maxwell, mô hình Christensen và công thức của Eshelby

(1.65)

(1.66)

Với hệ số a3 xác định từ các điều kiện liên tục về chuyển vị và lực mặt giữa

các pha.

Mô hình thay thế trên còn được phát triển mạnh trong những năm gần đây khi

nghiên cứu vật liệu nano, có thể kể đến các công trình Duan và cộng sự [57], Chen

và Dvorak [58].

Cũng với ý tưởng thay thế lớp cốt và vỏ bọc bằng một cốt tương đương có

cùng kích thước và các đặc trưng cơ học tương ứng, để đưa bài toán tính các giá trị

hiệu dụng của vật liệu nền – vỏ bọc – cốt về bài toán tính các giá trị hiệu dụng của

vật liệu nền – cốt tương đương, trong luận án này tác giả tiếp tục phát triển tính cho

bài toán xác định hệ số dẫn hiệu dụng của vật liệu composite cốt sợi phức hợp đồng

phương với lớp vỏ bọc đẳng hướng hoặc dị hướng (chương 2), xác định mô đun đàn

hồi hiệu dụng của vật liệu composite với cốt phức hợp (chương 3). Với mong muốn

đưa ra các công thức xấp xỉ dạng đơn giản phù hợp cho tính toán của kĩ sư , mà vẫn

đảm bảo độ chính xác cho phép.

Sự khác biệt của luận án này với các luận án của các tác giả đi trước trong lĩnh

vực đồng nhất hóa vật liệu là trong các luận án trước hoặc không tính đến lớp phủ

bao quanh cốt hoặc nếu tính đến lớp phủ theo dạng mô hình quả cầu lồng nhau 3 pha

trong luận án của Vũ Lâm Đông [59] và Nguyễn Văn Luật [60] thì sử dụng phương

pháp khác là xây dựng đường bao trên và dưới cho các giá trị hiệu dụng theo đường

hướng biến phân. Luận án của Vương Mỹ Hạnh [61] nghiên cứu vật liệu đa tinh thể.

Trong luận án của Đỗ Quốc Hoàng [62] có sử dụng phương pháp cốt tương đương,

khi đưa vật liệu có cốt liệu elip về dạng vật liệu có cốt liệu hình cầu.

1.6. Phương pháp số

Một hướng nghiên cứu rất được quan tâm trong lĩnh vực đồng nhất hóa vật

liệu đó là phương pháp số mà kỹ thuật số cổ điển đã xây dựng xấp xỉ các trường khả

dĩ động học. Phổ biến là phương pháp số sử dụng phần tử hữu hạn (PTHH). Lý thuyết

và ứng dụng của PTHH là một chủ đề rất rộng. Tài liệu tham khảo chung về chủ đề

này có thể xem [63 - 66]. Gần đây phương pháp biến đổi nhanh Fourier (FFT) cũng

được ứng dụng thành công cho bài toán đồng nhất hóa. Phương pháp FFT được đề

xuất đầu tiên bởi Moulinec và Suquet [67] để xác định tính chất vĩ mô của vật liệu

nhiều thành phần, ngoài ra còn có trong các nghiên cứu [68, 69].

Ý tưởng cơ bản của phương pháp PTHH là coi vật thể liên tục như là tổ hợp

của nhiều phần nhỏ liên kết với nhau bởi một số hữu hạn các điểm, gọi là nút. Các

phần nhỏ được hình thành gọi là các phần tử hữu hạn. Căn cứ vào hình dạng và tình

hình chịu lực của vật thể để chọn loại phần tử thích hợp. Đối với hệ thanh, lấy đoạn

dầm và thanh là PTHH. Với tấm phẳng thường sử dụng các phần tử hình tam giác,

phần tử hình chữ nhật, phần tử hình tứ giác có cạnh thẳng hoặc cong. Đối với vỏ,

ngoài các loại phần tử tấm phẳng còn sử dụng phần tử vỏ. Đối với vật thể khối, thường

dùng các loại phần tử hình tứ diện.

(a) (b)

Hình 1.5. (a) – Lưới phần tử tam giác, (b) – Lưới phần tử tứ giác

Dĩ nhiên, quan niệm rời rạc hóa như vậy chỉ là gần đúng. Khi thay thế vật thể thực

bằng tổ hợp các phần tử như trên, người ta thừa nhận rằng, năng lượng bên trong mô

hình thay thế phải bằng năng lượng trong vật thể thực. Trong mỗi phần tử, các đại

lượng cần tìm (ứng suất, chuyển vị) được lấy xấp xỉ theo một dạng hàm đơn giản gọi

là hàm xấp xỉ. Các hàm xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện liên tục trên biên các phần tử

tiếp xúc với nhau. Trong một số trường hợp, các điều kiện tương thích này chỉ thỏa

mãn một cách gần đúng.

Chi tiết cụ thể hơn khi áp dụng phương pháp PTHH trong bài toán đồng nhất

hóa sẽ được đề cập đến trong chương 4 của luận án.

1.7. Kết luận

Đồng nhất hóa vật liệu tổ hợp là lĩnh vực rộng lớn và trong khuôn khổ luận án

tác giả chỉ trình bày trọng tâm vấn đề mà tác giả đang nghiên cứu, cụ thể là xác định

các đặc trưng cơ – lý tính của vật liệu với cốt phức hợp theo hướng sử dụng phương

pháp cốt tương đương, phương pháp xấp xỉ và phương pháp PTHH.

Tìm hiểu lịch sử phát triển của ngành khoa học vật liệu đối với việc xác định

các đặc trưng cơ – lý tính vĩ mô giúp tác giả có cái nhìn tổng quan, xuyên suốt với

hướng nghiên cứu đặt ra và có kiến thức cơ sở vững chắc. Với việc lựa chọn nghiên

cứu theo phương pháp cốt tương đương tác giả mong muốn có được đánh giá dễ hiểu,

phù hợp với việc áp dụng rộng rãi cho kĩ sư tính toán và sẽ được trình bày cụ thể

trong các chương sau của luận án.

CHƯƠNG 2. XẤP XỈ CỐT TƯƠNG ĐƯƠNG HỆ SỐ DẪN VĨ MÔ VẬT

LIỆU CÓ CỐT LIỆU PHỨC HỢP

Trong chương 2, tác giả xem xét và giải quyết bài toán tính hệ số dẫn ngang

của vật liệu cốt sợi phức hợp đồng phương trong 2 trường hợp: trường hợp 1 là khi

tất cả các pha giả thiết là đồng nhất, đẳng hướng và trường hợp 2 giả thiết lớp vỏ bọc

bao quanh cốt dị hướng theo phương bán kính và phương tiếp tuyến. Cùng với các

giả thiết khác để giới hạn bài toán như :

- Vật liệu mang tính liên tục, liên kết giữa các pha là lý tưởng (các điều kiện

liên tục về nhiệt độ và dòng nhiệt giữa các pha được thỏa mãn).

- Quan hệ giữa dòng nhiệt và gradient nhiệt độ tuân theo định luật Fourier.

- Vật liệu tổ hợp là đẳng hướng vĩ mô.

2.1. Vật liệu cốt sợi phức hợp đồng phương, lớp phủ quanh cốt đẳng hướng

2. 1.1. Mô hình vật liệu

Hình 2.1 (a) minh họa vật liệu cốt sợi đồng phương, các cốt có dạng hình học

là trụ tròn. Các pha cấu thành được giả thiết là đồng nhất, đẳng hướng. Vật liệu có hệ

số dẫn hiệu dụng dọc trục , hệ số dẫn ngang hiệu dụng . Hình 2.1 (b) thể hiện

mặt cắt ngang của vật liệu nền-cốt với hệ số dẫn của pha nền là c1, pha cốt là cα (α =

2,…, n). Hình 2.1 (c) thể hiện mặt cắt ngang của vật liệu nền-lớp phủ-cốt (cốt phức

, pha cốt là (nếu các pha cốt giống hợp) với hệ số dẫn của pha nền là c1, lớp phủ

nhau kí hiệu lần lượt là , ).

Hình 2.1. Vật liệu cốt sợi dọc trục

Để tìm hệ số dẫn hiệu dụng của vật liệu dạng nền – cốt liệu (hình 2.1.b), ta xét

trên phần tử thể tích đặc trưng V. Gọi V1 là thể tích pha nền, Vα là thể tích của pha cốt

α. Khi đó tỉ lệ thể tích của các pha tương ứng được xác định:

(2.1)

(2.2)

Hệ số dẫn dọc hiệu dụng có thể tính qua công thức trung bình cộng số học của

Voight [5]:

(2.3)

Còn hệ số dẫn ngang phức tạp hơn, trong mục 2.1.2 tác giả sẽ phân tích lại một

số đánh giá cho hệ số dẫn hiệu dụng tương ứng ở hình 2.1(b) của các tác giả đi trước

và mục 2.1.3 là phát triển của luận án cho mô hình 2.1(c).

2.1.2. Các công thức đánh giá hệ số dẫn của vật liệu cốt tròn

Trong mục này, tác giả thống kê lại một số đánh giá nổi bật của các tác giả

trong và ngoài nước khi xác định hệ số dẫn hiệu dụng của vật liệu Composite với cốt

liệu tròn.

2.1.2.1. Đường bao Hashin-Shtrikman (HS)

Với vật liệu Composite n-thành phần, sử dụng nguyên lý năng lượng cực tiểu,

bù cực tiểu và đưa vào trường khả dĩ phân cực trong đó phụ thuộc vào một tham số

tự do và hàm thế điều hòa φα có liên quan đến thông tin hình học pha của vật liệu,

Hashin – Shtrikman (HS) [36] đã xây dựng được đường bao trên và dưới của giá trị

hệ số dẫn hiệu dụng. Có thể khái quát như sau:

Nguyên lý năng lượng cực tiểu

(2.4)

trong đó trường véc tơ E(x) (trường điện, gradient nhiệt độ…) là gradient của một

hàm số liên tục trên V thỏa mãn các ràng buộc:

(2.5)

Hệ số dẫn địa phương được xác định như sau:

(2.6)

Chọn trường khả dĩ dạng:

(2.7)

Chỉ số Latin sau dấu phảy ở phương trình (2.7) là tích phân tương ứng với hệ

tọa độ Đề các. Ở đây, các chỉ số Latin lặp từ 1 tới 2. Trường phân cực có dạng:

(2.8)

Hàm thế điều hòa:

(2.9)

- là chỉ số Krӧneker.

Tìm cực trị của phiếm hàm W(E) trong biểu thức (2.4) với trường khả dĩ đã

chọn ở (2.7), biến đổi nhận được biểu thức tổng quát của đánh giá trên:

(2.10)

(2.11)

Tương tự như vậy khi xây dựng đánh giá dưới HS sử dụng nguyên lý năng

lượng bù cực tiểu:

(2.12)

trong đó véc tơ dòng J(x) (điện, nhiệt…) thỏa mãn các ràng buộc:

(2.13)

Chọn trường khả dĩ có dạng:

(2.14)

(2.15)

Tìm cực trị của hàm , nhận được biểu thức tổng quát của đánh giá dưới:

(2.16)

Trong luận án này, đường bao HS dùng để kiểm tra kết quả tính toán. Các giá

trị hiệu dụng tìm được phải nằm trong giới hạn của đường bao.

2.1.2.2. Xấp xỉ vi phân (VP)

Các công thức xấp xỉ phần lớn dựa trên nền tảng phân bố thưa của Eshelby

[9]. Eshelby đã tách một hạt cốt liệu ellip đặt trong miền vô tận của pha nền (bỏ qua

sự tương tác giữa các hạt), trên cơ sở đó ông xây dựng hệ số dẫn vĩ mô trong vùng

thể tích pha cốt nhỏ. Với vật liệu 2 thành phần (pha cốt có hệ số dẫn tỉ lệ thể tích

là ), hệ số dẫn hiệu dụng của phân bố thưa được biểu diễn:

(2.17)

Trong đó - gọi là ten xơ Eshelby, với cốt tròn có dạng:

(2.18)

Sử dụng xấp xỉ vi phân, Pham [49] tính hệ số dẫn cho vật liệu 2 pha với cốt

liệu tròn có tỉ lệ thể tích tùy ý. Phương trình vi phân có dạng:

(2.19)

Hàm D trong biểu thức (2.19) có dạng giống như biểu thức (2.18), nên:

(2.20)

Với điều kiện:

(2.21)

Kết hợp (2.19), (2.20), (2.21) ta có:

. (2.22)

Vì , nên từ (2.22) ta có:

(2.23)

Giải phương trình (2.23) nhận được giá trị hiệu dụng ceff của vật liệu.

2.1.2.3. Xấp xỉ tương tác 3 điểm (TT3Đ)

Một đánh giá khá chính xác nữa cho vật liệu hai thành phần có thể kể đến là

xấp xỉ tương tác 3 điểm ( 3- point correlation approximation) của Pham và Torquato

[70]. Ở đó đã bao gồm tính chất, tỉ lệ thể tích của các thành phần cũng như thông tin

hình học bậc ba ξ1, ξ2 của các cấu trúc vi mô của vật liệu:

(2.24)

c0 là lời giải của phương trình:

(2.25)

có dạng giống như trong (2.11), với tương ứng như (α = 1, 2). Các

giá trị thông tin hình học bậc ba ( ) được xác định bằng

phương pháp số của Torquato [71], thể hiện trong bảng 2.1:

Bảng2.1. Thông tin hình học bậc ba của vật liệu có cốt

dạng đĩa tròn phân bố ngẫu nhiên (không chồng lấn)

0.1 0.033 0.5 0.152

0.2 0.064 0.6 0.179

0.3 0.095 0.7 0.205

0.4 0.124

Để minh họa cho các đánh giá trên, tác giả lấy ví dụ cho vật liệu hai thành

phần với hệ số dẫn lần lượt là và (đơn vị W.m-1.K-1).

Hình 2.2. Hệ số dẫn hiệu dụng khi

Trên hình 2.2, 2.3 thể hiện sự biến thiên của theo tỉ lệ thể tích của pha cốt,

với các kí hiệu HSU - kết quả biên trên của Hashin-Strikman, HSL - kết quả biên

dưới, VP – xấp xỉ vi phân, TT3Đ – xấp xỉ tương tác 3 điểm.

Hình 2.3. Hệ số dẫn hiệu dụng khi c1= 1, c2 =10

Với kết quả minh họa thể hiện trên hình 2.2. và 2.3 ta thấy các kết quả xấp xỉ

đều nằm trong giới hạn của đường bao Hashin – Strikman và khi pha nền có tính dẫn

tốt hơn pha cốt thì các giá trị hiệu dụng tiệm cận với biên trên. Còn khi pha cốt có

tính dẫn tốt hơn pha nền thì các giá trị tiệm cận với biên dưới.

2.1.3. Xấp xỉ cốt tương đương với cốt tròn được phủ

Sử dụng mô hình phân bố thưa, hình 2.4 (a) thể hiện cốt tròn 2 lớp đặt trong

pha nền vô tận. Lớp cốt lõi có bán kính r3 (pha 3), lớp phủ quanh cốt giới hạn bởi hai

đường tròn đồng tâm bán kính r3 và r2 (pha 2) và pha nền (pha 1) giới hạn bởi đường

tròn bán kính r2 và r1 (r1→ ∞ ). Tương ứng các pha là hệ số dẫn c1, c2, c3 và tỉ lệ thể

tích :

(2.26)

(2.27)

(2.28)

Từ định luật truyền nhiệt của Fourier:

(2.29)

trong đó q là véc tơ dòng nhiệt, - gradient nhiệt độ,

và phương trình cân bằng :

(2.30)

ta có phương trình Laplace:

(2.31)

(a) (b)

Hình 2.4. (a)- Cốt tròn hai lớp đặt trong pha nền vô tận

(b)- Cốt tương đương đặt trong pha nền vô tận

Gọi là nhiệt độ trên các pha (1), (2), (3). Trong hệ tọa độ trụ

với tọa độ r, θ , phương trình (2.31) có dạng:

(2.32)

(2.33)

. (2.34)

Để thỏa mãn phương trình Laplace có dạng:

(2.35)

(2.36)

(2.37)

Các hằng số được xác định nhờ vào các điều kiện biên sau:

- Điều kiện liên tục về nhiệt độ giữa các pha:

(2.38)

- Điều kiện liên tục về dòng nhiệt giữa các pha:

(2.39)

- Và nhiệt độ trên biên r1:

(2.40)

Với β – gradient nhiệt độ, β<<1.

Từ các điều kiện (2.38), (2.39), (2.40) ta có hệ phương trình:

(2.41)

Hoặc gộp cả hai điều kiện (2.38) và (2.39) trên biên 𝒓 = 𝒓𝒌 (k = 2, 3) giữa pha

k và (k-1) ta có:

(2.42)

trong đó :

(2.43)

(2.44)

Từ (2.42) suy ra:

(2.45)

hay:

(2.46)

Từ (2.46) ta có mối liên hệ giữa các hệ số A, B của pha (1) và pha (3):

(2.47)

Do B3 =0, suy ra:

(2.48)

(2.49)

hay :

(2.50)

(2.51)

Tương tự thay k = 3, vào biểu thúc (2.46) rút ra được:

(2.52)

(2.53)

Với vật liệu đẳng hướng, ta tính trung bình gradient nhiệt độ trên mỗi pha theo

phương x2, nhận được :

(2.54)

Trung bình gradient nhiệt độ trên toàn miền:

(2.55)

Trung bình dòng nhiệt trên mỗi pha:

(2.56)

Trung bình gradient nhiệt độ trên toàn miền:

(2.57)

(2.58)

Hệ số dẫn hiệu dụng:

(2.59)

Biến đổi (2.59) nhận được:

(2.60)

Nếu thay lớp cốt được phủ bằng một cốt tương đương có tỉ lệ thể tích ,

hệ số dẫn (hình 2.4b). Giải tương tự theo trình tự trên, nhận được hệ số dẫn hiệu

dụng của vật liệu:

(2.61)

(2.62)

Đồng nhất (2.60) và (2.62) tìm được:

(2.63)

Biểu thức (2.63) có thể viết dưới dạng:

(2.64)

Với

(2.65)

Với hệ số dẫn của cốt tương đương tìm được theo công thức (2.64), ta thay trở lại

(2.62), sẽ tìm được hệ số dẫn hiệu dụng của vật liệu. Có thể viết dưới dạng:

(2.66)

Với giá trị tìm được của cốt tương đương theo công thức (2.64) nếu áp

dụng vào công thức (2.23) của phương pháp sơ đồ vi phân thì khi đó hệ số dẫn hiệu

dụng là kết quả của phương trình:

(2.67)

Khi bổ sung thêm thông tin hình học bậc ba cho cấu trúc vi mô của mô hình

nền – cốt tương đương, dựa theo công thức (2.24), (2.25) có thể đề xuất xấp xỉ tương

tác 3 điểm khi tính hệ số dẫn hiệu dụng:

(2.68)

trong đó c0 là nghiệm của phương trình:

(2.69)

với là các thông tin hình học bậc ba, còn tính theo công thức (2.63).

Tổng quát, các cốt tròn được phủ làm từ các vật liệu khác nhau hoặc có thể

cùng một loại vật liệu nhưng khác nhau tỉ lệ thể tích (hình 2.1 c). Sau khi đồng nhất

các cốt được phủ bằng các cốt tương đương, chúng ta được vật liệu nhiều thành phần

với các cốt tương đương có hệ số dẫn khác nhau (tỉ lệ thể tích ), (tỉ lệ

thể tích ),…, (tỉ lệ thể tích ) trong pha nền có hệ số dẫn c1 (tỉ lệ thể tích

). Hệ số dẫn (α = 1,…,n) được xác định theo công thức (2.64). Sau đó, có thể

sử dụng xấp xỉ Maxwell đơn giản để xác định hệ số dẫn hiệu dụng của vật liệu nền –

cốt tương đương [72]:

(2.70)

Phép tính xấp xỉ trên thích hợp khi tỉ lệ thể tích pha nền là đáng kể và các

cốt tách biệt nhau (không chồng lấn). Còn khi tỉ lệ thể tích pha nền nhỏ và các cốt

gần sát nhau thì sai số là không thể tránh. Trong trường hợp nếu hỗn hợp chỉ gồm các

cốt liệu mà không có pha nền ( = 0), xấp xỉ tự tương hợp cho hỗn hợp tương đương

là phù hợp. Khi đó là nghiệm của phương trình:

(2.71)

Lấy ví dụ (tất cả cùng đơn vị W. m-1.K-1). Hệ số dẫn hiệu

dụng thay đổi theo tỉ lệ thể tích giữa các pha, giả sử , kết quả thể hiện trên

bảng 2.2.

Bảng 2.2. Hệ số dẫn hiệu dụng khi

HSU HSL VP-CTĐ ĐTLN TT-CTĐ

0.1 1.689 1.171 1.181 1.175 1.179

0.2 2.424 1.373 1.410 1.384 1.4

0.3 3.211 1.617 1.704 1.637 1.678

0.4 4.055 1.917 2.086 1.951 2.030

0.5 4.963 2.294 2.589 2.349 2.484

0.6 5.942 2.784 3.259 2.871 3.08

0.7 7 3.444 4.158 3.586 3.886

Tương tự khi (tất cả cùng đơn vị W. m-1.K-1), hệ số dẫn

hiệu dụng thay đổi theo tỉ lệ thể tích giữa các pha, giả sử , kết quả thể hiện

trên bảng 2.3.

Bảng 2.3. Hệ số dẫn hiệu dụng khi

HSU HSL VP-CTĐ ĐTLN TT-CTĐ

0.1 17.201 12.125 17.035 17.113 17.063

0.2 14.768 8.545 14.360 14.615 14.461

0.3 12.634 6.5 11.972 12.432 12.162

0.4 10.747 5.176 9.866 10.508 10.144

0.5 9.066 4.25 8.033 8.8 8.379

0.6 7.559 3.565 6.465 7.273 6.841

0.7 6.201 3.038 5.899 5.507 5.147

Kết quả trên bảng 2.3, 2.4 được thể hiện trên đồ thị hình 2.5, 2.6 để so sánh.

Hình 2.5. Hệ số dẫn hiệu dụng khi

Hình 2.6. Hệ số dẫn hiệu dụng khi

Với HSU, HSL - đường bao trên và dưới của Hashin-Strickman cho vật liệu

ban đầu theo công thức [(2.10), (2.16)], VP-CTĐ : xấp xỉ vi phân cho mô hình nền -

cốt tương đương theo công thức (2.67), ĐTLN: xấp xỉ theo mô hình đĩa tròn lồng

nhau ở công thức (2.66) , TT-CTĐ: xấp xỉ tương tác 3 điểm của mô hình nền - cốt

tương đương theo công thức (2.68) với phân bố ngẫu nhiên .

Các kết quả xấp xỉ đều nằm trong giới hạn đường bao của Hashin – Strickman,

chứng tỏ độ tin cậy của các công thức được xây dựng. Khi pha nền có tính dẫn tốt

hơn pha cốt thì các giá trị hiệu dụng tiệm cận với biên trên. Còn khi pha cốt có tính

dẫn tốt hơn pha nền thì các giá trị tiệm cận với biên dưới.

2.1.4. So sánh với kết quả thực nghiệm

Trong mục này, tác giả sử dụng kết quả thực nghiệm của Liu và cộng sự [73]

để so sánh với kết quả tính theo các công thức giải tích xây dựng được trong mục

2.1.3. Liu và cộng sự đã đo hệ số dẫn ngang của sợi abaca – nền epoxy bằng kỹ thuật

khuếch tán flash. Sợi abaca được chiết xuất từ cây abaca (một loại cây chuối) bằng

phương pháp phân hủy, có thể phục hồi toàn bộ sợi. Sợi abaca dài có đường kính

trung bình 185 μm được cọ xát để loại trừ lớp biểu bì gắn trên bề mặt và sau đó duỗi

thẳng quanh một tấm nhôm mỏng một chiều dưới dòng nước chảy. Cuối cùng sợi

được sấy khô tại 50°C trong 10h và cắt thành 11 cm. Trên hình 2.7 thể hiện mặt cắt

ngang và mặt cắt dọc của vật liệu composite sợi abaca một chiều.

Hình 2.7. Mô hình vật liệu composite sợi abaca

Lumen có hệ số dẫn c3 = 0.026 (W. m-1.K-1), vách tế bào (cell wall) hệ số dẫn

c2= 0.43 (W. m-1.K-1), nền epoxy hệ số dẫn c1 = 0,298 (W. m-1.K-1), tỷ lệ thể tích giữa

lumen và sợi là 0.45. Kết quả thí nghiệm (TN) thể hiện trên bảng 2.4.

Bảng 2.4. Kết quả thí nghiệm hệ số dẫn của composite sợi abaca

ceff ceff Vfiber Vfiber

0 0.295 0.38 0.252

0.13 0.287 0.51 0.229

0.27 0.265

Khi sử dụng công thức (2.66), (2.68) trong mục 2.1.3 để tính toán, ta nhận được kết

quả trong bảng 2.5.

Bảng 2.5. Hệ số dẫn của composite sợi abaca

ĐTLN TT- CTĐ Vfiber

0 0.295 0.295

0.1 0.284 0.284

0.2 0.271 0.271

0.3 0.259 0.259

0.4 0.247 0.247

0.5 0.236 0.236

0.6 0.224 0.224

0.7 0.214 0.214

Để so sánh, kết quả trên bảng 2.4 và 2.5 thể hiện trên hình 2.8.

Trên hình 2.8, ta thấy kết quả kết quả thực nghiệm tính hệ số dẫn trên sợi abaca

rất sát với kết quả thu được theo các công thức xấp xỉ xây dựng trong mục 2.1.3.

Hình 2.8. Hệ số dẫn của composite sợi abaca

Như vậy trọng mục 2.1 ta đã xây dựng được các công thức tính xấp xỉ giá trị

hiệu dụng của hệ số dẫn ngang vật liệu cốt sợi dọc trục với cốt phức hợp theo hướng

thay thế lớp cốt và lớp phủ quanh nó bằng một cốt tương đương tương ứng có hệ số

dẫn theo công thức (2.64) và hệ số dẫn hiệu dụng của vật liệu ban đầu được tìm theo

các công thức (2.66), (2.67), (2.68). Dựa trên các ví dụ tính toán và so sánh với thực

nghiệm, rút ra nhận xét như sau:

 Các kết quả xấp xỉ đều nằm trong giới hạn đường bao của Hashin – Strickman

và sát với kết quả thực nghiệm, chứng tỏ độ tin cậy của các công thức được

xây dựng.

 Khi tỉ lệ thể tích pha cốt nhỏ, kết quả giữa các phương pháp xấp xỉ cũng gần

nhau hơn khi thể tích pha cốt lớn. Điều đó cũng hoàn toàn phù hợp vì các

phương pháp xấp xỉ dựa trên nền tảng phân bố thưa.

 Kết quả sử dụng xấp xỉ tương tác 3 điểm cho cốt tương đương có kết quả sát

với xấp xỉ sử dụng mô hình đĩa tròn lồng nhau hơn là xấp xỉ vi phân cho cốt

tương đương.

2.2. Vật liệu cốt sợi dọc trục với cốt phức hợp, lớp phủ quanh cốt dị hướng.

Trong mục 2.1 tác giả đã nghiên cứu hệ số dẫn của vật liệu cốt sợi phức hợp

đồng phương cùng giả thiết các pha đồng nhất, đẳng hướng. Để mở rộng lý thuyết

tính toán trong mục 2.2 này tác giả giả sử lớp phủ quanh cốt dị hướng, nền và cốt

đẳng hướng.

2.2.1. Mô hình vật liệu

Hình 2.9 minh họa mặt cắt ngang vật liệu cốt sợi phức hợp đồng phương. Pha

nền đồng nhất đẳng hướng có hệ số dẫn , tỉ lệ thể tích ; pha cốt đồng nhất đẳng

hướng hệ số dẫn , tỉ lệ thể tích ; lớp phủ quanh cốt (hình 2.9b) dị hướng với hệ

số dẫn theo phương pháp tuyến , theo phương tiếp tuyến là tỉ lệ thể tích .

Đồng nhất hóa coi vật liệu là đẳng hướng với hệ số dẫn hiệu dụng ceff.

(b) (a)

Hình 2.9. Vật liệu cốt sợi dọc trục với cốt phức hợp, lớp phủ

quanh cốt dị hướng

2.2.2. Xấp xỉ tương đương với cốt tròn được phủ, lớp phủ dị hướng

Dựa vào kết quả nghiên cứu trong mục 2.1.2, với mô hình hình tròn lồng nhau

của vật liệu 2 pha, xét trường hợp tỉ lệ thể tích pha nền nhỏ , khi đó:

(2.72)

Ở hình 2.9 (b), giả thiết lớp phủ quanh cốt mỏng, có tỉ lệ thể tích .

Chia lớp đó thành 2m lớp đồng tâm vô cùng mỏng với tỉ lệ thể tích , hệ số

, . Khi thực hiện đồng nhất hóa cốt có hệ số dẫn dẫn luân phiên ở các lớp là

và lớp phủ quanh cốt, sử dụng công thức (2.72) ta nhận được tiệm cận của hệ số dẫn

hiệu dụng của hỗn hợp cốt được phủ (cốt tương đương) :

(2.73)

Hay có thể viết:

(2.74)

Với

(2.75)

(2.76)

cN, cT trong biểu thức (2.75) là hệ số dẫn theo phương pháp tuyến và tiếp tuyến

với đường tròn. Các hệ số dẫn này có thể là hàm của bán kính cN (r), cT (r) hoặc biến

đổi theo tỉ lệ thể tích của lớp vỏ bọc cN (υ), cT (υ).

Khi lớp phủ có tỉ lệ thể tích đáng kể, tương tự phương pháp xấp xỉ vi phân, từ

(2.74) ta xây dựng được:

(2.77)

Với điều kiện:

(2.78)

𝑐(0) = 𝑐3, 𝑐23 = 𝑐(𝑣2) Trường hợp cN = const, cT =const từ phương trình (2.77):

(2.79)

(2.80)

Vật liệu ba pha ban đầu có thể thay thế bằng vật liệu hai pha với pha cốt tương

đương có hệ số dẫn (tính theo công thức (2.80)), tỉ lệ thể tích , đặt

trong pha nền có hệ số dẫn , tỷ lệ thể tích thay thế vào công thức

(2.66) ta nhận được hệ số dẫn hữu hiệu của vật liệu đồng nhất 3 pha nền, cốt và

lớp phủ dị hướng.

(2.81)

Khi , chúng ta có được kết quả biểu diễn của phân bố thưa của cốt

tròn được phủ trong pha nền liên tục

(2.82)

Như vậy trong mục 2.2 này ta đã xây dựng được công thức giải tích xác định

hệ số dẫn ngang của vật liệu cốt sợi dọc trục với cốt phức hợp có lớp vỏ bọc dị hướng

theo công thức (2.81) với cốt tương đương có hệ số dẫn theo công thức (2.80). Để so

sánh và kiểm nghiệm sự đúng đắn, trong chương 4 tác giả xây dựng kết quả số bằng

phương pháp phần tử hữu hạn để so sánh.

2.3. Kết luận

Xuất phát từ bài toán phân bố thưa của cốt liệu tròn được phủ và sử dụng mô hình đĩa

tròn lồng nhau, cùng sự hỗ trợ của các công thức xấp xỉ vi phân, xấp xỉ tương tác 3

điểm của vật liệu hai pha nền – cốt, luận án đã đạt được:

 Thay thế cốt có lớp phủ bằng một cốt tương đương có cùng kích thước và

có hệ số dẫn phụ thuộc vào tỉ lệ thể tích và hệ số dẫn của các pha.

 Tìm được các công thức xấp xỉ cho việc xác định giá trị hiệu dụng của hệ

số dẫn ngang vật liệu cốt sợi phức hợp đồng phương theo cách tiếp cận cốt

tương đương.

 Với các công thức giải tích tìm được, tính toán cho mô hình phân bố ngẫu

nhiên của cốt liệu và so sánh với kết quả của đường bao Hashin-Strickman.

Đồng thời so sánh với kết quả thực nghiệm trên sợi abaca của Liu và rất sát

với kết quả thực nghiệm.

 Các so sánh chứng tỏ độ tin cậy của các công thức tìm được. Riêng trường

hợp lớp phủ dị hướng , sẽ được so sánh với kết quả số trong chương 4.

 Các công thức đạt được đều dễ sử dụng, phù hợp cho các kỹ sư bước đầu

đánh giá hệ số dẫn của vật liệu sử dụng.

Kết quả nghiên cứu trong chương này đã được tác giả công bố trong các công trình

khoa học [2, 4, 7, 8].

CHƯƠNG 3. XẤP XỈ CỐT TƯƠNG ĐƯƠNG HỆ SỐ ĐÀN HỒI VĨ MÔ VẬT

LIỆU CÓ CỐT LIỆU PHỨC HỢP

Trong chương 3, tác giả xem xét và giải quyết bài toán tính các mô đun đàn

hồi hiệu dụng của vật liệu Composite cốt hạt hình cầu với cốt phức hợp và các mô

đun đàn hồi hiệu dụng của vật liệu Composite cốt sợi phức hợp đồng phương. Cùng

với các giả thiết khác để giới hạn bài toán như :

- Vật liệu mang tính liên tục, liên kết giữa các pha là lý tưởng (các điều kiện

liên tục về chuyển vị và ứng suất giữa các pha được thỏa mãn).

- Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tuân theo định luật Hooke.

- Vật liệu tổ hợp là đẳng hướng vĩ mô.

3.1. Mô đun đàn hồi của vật liệu composite cốt hạt hình cầu với cốt phức hợp

3.1.1. Mô hình vật liệu

Composite cốt hạt với cốt hình cầu (I2), có mô đun đàn hồi thể tích mô

đun đàn hồi trượt , tỉ lệ thể tích . Lớp phủ quanh cốt giới hạn bởi hai hình cầu

(I1), mô đun đàn hồi , tỉ lệ thể tích ( hình 3.1a). Đặt trong pha nền liên

, tỉ lệ thể tích . Các mô đun cần tìm là mô đun tục với mô đun đàn hồi

đàn hồi thể tích hiệu dụng , mô đun đàn hồi trượt hiệu dụng .

(b) (a)

Hình 3.1. (a). Mô hình vật liệu composite với cốt hình cầu được phủ

(b). Mô hình cốt tương đương

Hình 3.1b là mô hình của nền – cốt tương đương. Giả sử đồng nhất pha cốt và

lớp vỏ bọc làm một, được một pha tương đương có cùng kích thước, với các mô đun

. đàn hồi

3.1.2. Mô đun đàn hồi thể tích

Đầu tiên chúng ta xây dựng công thức tính cho phân bố thưa của một hạt cốt

liệu ( hình 3.1) đặt trong pha nền vô tận dưới tác dụng của tải trọng áp lên mẫu vật

liệu được xác định qua ten xơ E đặc trưng cho biến dạng ở cấp độ vĩ mô. Trường ứng

suất và biến dạng tuyến tính phụ thuộc vào E.

Dưới tác dụng của áp lực thủy tĩnh lên pha nền vô tận, một phương trình cân bằng

duy nhất cần thỏa mãn là [74]:

(3.1)

với . Phương trình (3.1) dưới dạng chuyển vị:

(3.2)

Giải phương trình (3.2), nghiệm có dạng:

(3.3)

Đối với từng pha trên mô hình 3.1a:

(3.4)

Ứng suất tương ứng trên các pha:

(3.5)

Với điều kiện biên:

Khi thì nên suy ra .

. Với E0 là hằng số thỏa mãn E = E01. Khi 𝑟 → ∞ thì

Các hệ số A, B còn lại được tìm dựa vào điều kiện liên tục về chuyển vị và biến dạng

giữa các pha:

(3.6)

(3.7)

Thay (3.4), (3.5) vào (3.6), (3.7) nhận được:

(3.8)

Giải hệ phương trình trên nhận được:

(3.9)

(3.10)

(3.11)

(3.12)

Tương tự đối với mô hình 3. 1b, chuyển vị trên các pha:

(3.13)

Với còn các hệ số khác được tính theo điều kiện liên tục về chuyển

vị và biến dạng:

. (3.14)

Thay (3.13) vào (3.14), ta có:

(3.15)

(3.16)

Chuyển vị trên biên RI1 ở cả 2 mô hình là như nhau, từ đó ta có:

(3.17)

Thay (3.10), (3.11), (3.16) vào (3.17), kết quả nhận được:

(3.18)

Nếu , biểu thức (3.18) viết lại thành:

(3.19)

Khi tỉ lệ thể tích pha cốt nhỏ , dựa theo kết quả phân bố thưa của

Eshelby [9], suy ra:

(3.20)

Ngoài ra, dựa theo mô hình quả cầu lồng nhau 2 pha của Hashin [34], tác giả

và cộng sự đề xuất công thức tính mô đun đàn hồi thể tích của cốt tương đương với

lớp phủ giống pha nền, như sau:

(3.21)

với

(3.22)

Dễ dàng thấy trong biểu thức (3.22) chính bằng a trong biểu thức (3.19). Biến

đổi vế phải của biểu thức (3.21), thật trùng hợp là bằng với vế phải của biểu thức

(3.19). Như vậy

nhận được theo hai cách tiếp cận khác nhau có kết quả trùng

khớp nhau.

3.1.3. Mô đun đàn hồi trượt

Ten xơ biến dạng vi mô ε(z) và ten xơ biến dạng vĩ mô E có mối liên hệ với

nhau qua biểu thức:

(3.23)

A(z): ten xơ mật độ biến dạng.

Trong trường hợp vật liệu đồng nhất, đẳng hướng, ten xơ độ cứng hiệu dụng

biểu diễn qua các mô đun thể tích và mô đun trượt hiệu dụng:

(3.24)

với J, K là các ten xơ bậc 4 được xác định:

(3.25)

I, 1 tương ứng lần lượt là các ten xơ đơn vị bậc 4 và bậc 2. Mật độ biến dạng trên mỗi

pha được biểu diễn:

với (i = EI, I1, I2, M) (3.26)

Mô đun đàn hồi trượt của mô hình cốt tương đương (hình 1.1b) theo kết quả

phân bố thưa của Eshelby có dạng:

(3.27)

hay

(3.28)

So sánh (3.27) và (3.28) ta có:

(3.29)

Với mô hình cốt được phủ (hình 3.1a), tác giả đề xuất một dạng tương tự cho

mô đun đàn hồi trượt giống công thức (3.27):

(3.30)

Đồng nhất (3.27) và (3.30), ta có:

(3.31)

Biến đổi biểu thức (3.31) nhận được:

(3.32)

với

(3.33)

Để xác định mô đun trượt hiệu dụng của cốt tương đương theo công thức

(3.32), cần xác định các thành phần của biến dạng lệch .

Xem xét vật liệu ở trạng thái trượt thuần túy. Các thành phần chuyển vị trong

hệ tọa độ cầu có dạng [74]:

(3.34)

Trong đó là các hàm theo bán kính r được xác định từ các

phương trình cân bằng Cauchy trong biến dạng nhỏ. Phương trình cân bằng trong hệ

tọa độ cầu có dạng [74]:

(3.35)

(3.36)

(3.37)

Thay (3.34) vào (3.35) – (3.37) và cho các hệ số trước và các hệ số không

phụ thuộc vào bằng 0, cuối cùng nhận được 3 phương trình:

(3.38)

(3.39)

(3.40)

Trong đó dấu phẩy là đạo hàm theo biến r. Giải các phương trình trên nhận được:

(3.41)

(3.42)

(3.43)

Với các điều kiện biên:

- Khi r = 0 : .

- Khi r → ∞ : Với - là một giá trị biến dạng

cho trước.

: từ điều kiện liên tục về ứng suất và chuyển vị Khi

giữa các pha ta có các phương trình để xác định 8 hệ số còn lại:

(3.44)

(3.45)

(3.46)

(3.47)

(3.48)

(3.49)

(3.50)

(3.51)

Các phương trình từ (3.44) – (3.51), có thể viết gọn dưới dạng tổng quát:

(3.52)

với

(3.53)

(3.54)

Chỉ số k = 0 (tương ứng pha nền, M), k = 1 (tương ứng pha I1), k+1 =2 ( tương ứng

pha I2).

Từ (3.52) suy ra:

(3.55)

(3.56)

với

(3.57)

Bởi vậy cuối cùng ta có:

(3.58)

Khi k = 0, từ (3.58) suy ra:

. (3.59)

Khi k = 1, từ (3.58) suy ra:

(3.60)

Kết quả cuối cùng nhận được:

(3.61)

và

(3.62)

Véc tơ chuyển vị ở mỗi pha tương ứng:

(3.63)

Trung bình biến dạng ở pha I2 được xác định qua biểu thức:

(3.64)

Thay (3.41)- (3.43), (3.63) tương ứng với pha I2 vào (3.64) ta có:

(3.65)

(3.66)

(3.67)

Tương tự, trung bình biến dạng trên pha I1+I2:

(3.68)

(3.69)

Trong biểu thức (3.67), (3.69) với các hệ số a, b, d xác định ở (3.61), (3.62)

biểu diễn theo E0 , nên kết quả thu được cuối cùng của không còn E0, mà

chỉ phụ thuộc vào các đặc trưng cơ học và tỉ lệ thể tích giữa các pha.

Mặt khác:

(3.70)

nên suy ra:

(3.71)

Với nhận được trong (3.67), (3.71) thay trở lại (3.32), (3.33) ta sẽ nhận được

mô đun đàn hồi trượt của cốt tương đương , và thay vào công thức (3.28) tính

được mô đun trượt hiệu dụng của mô hình nền – cốt tương đương. Dưới sự hỗ trợ của

phần mềm tính toán Maple, đưa ra được công thức cuối cùng của phụ thuộc vào

các đặc trưng cơ học và tỉ lệ thể tích giữa pha cốt và lớp vỏ bọc. Tuy nhiên, do công

thức nhận được quá lớn nên chúng tôi sẽ đưa vào phần phụ lục.

Với cách tìm như trên thực sự phức tạp, khối lượng tính toán lớn, gây khó

khăn cho kĩ sư trong quá trình tính toán. Vì thế, để có một công thức xấp xỉ đơn giản

cho mô đun đàn hồi trượt của cốt tương đương, ta quan sát trong mục 3.1.2: kết quả

trong công thức (3.21) của kEI trong công thức số (3.19) trùng với kết quả của

khi biểu diễn tương tự như xấp xỉ Maxwell cho vật liệu hai thành phần nền – cốt, với

mô đun pha nền là mô đun pha cốt là và tỉ lệ thể tích tương ứng

. Biểu diễn của mô đun thể tích kEI gợi ý cho chúng tôi một công thức tương

tự xấp xỉ Maxwell cho mô đun đàn hồi trượt :

(3.72)

Với giá trị được đưa ra trong công thức (3.21) và (3.72), sẽ được sử

dụng như các mô đun đàn hồi của cốt tương đương đơn giản trong phương pháp của

tác giả và cộng sự để tìm các giá trị hiệu dụng của vật liệu ban đầu với cốt hình cầu

được phủ. Các công thức đó thuận lợi khi thực hành.

3.1.4. Công thức tổng quát

Ở trên mục 3.1.2 và 3.1.3 xét cho các cốt có kích thước giống nhau và cùng

một loại vật liệu. Một cách tổng quát, giả sử các cốt được phủ khác nhau. Có thể làm

từ các vật liệu khác nhau (hoặc cùng một loại), nhưng khác nhau về tỉ lệ thể tích giữa

pha cốt và lớp phủ ( khác nhau). Sau khi đồng nhất tất cả các cốt được phủ

đó bằng cốt tương đương tương ứng, chúng ta nhận được hỗn hợp nhiều thành phần

với mô đun tương đương khác nhau (tỉ lệ thể tích ), (tỉ lệ

thể tích ) ,..., (tỉ lệ thể tích ) trong pha nền có mô đun và

tỉ lệ thể tích . Sau đó chúng ta sử dụng phương pháp xấp xỉ phân cực đơn giản để

tính mô đun hiệu dụng của vật liệu tương đương ‘‘( Phạm và cộng sự [75])’’.

(3.73)

(3.74)

Các công thức xấp xỉ trong (3.73), (3.74) được kì vọng là phù hợp với vật liệu

có tỉ lệ thể tích pha nền đáng kể và các pha cốt rời rạc. Nếu tỉ lệ thể tích pha nền nhỏ

và các cốt gần sát nhau, sai số chắc chắn sẽ xảy ra. Còn trong trường hợp nếu hỗn

hợp chỉ bao gồm các cốt được phủ ( ), áp dụng xấp xỉ tự tương hợp với hỗn

hợp tương đương sẽ phù hợp:

(3.75)

(3.76)

3.1.5. Kiểm tra và so sánh

Để kiểm tra độ tin cậy của các công thức tính keff, μeff khi sử dụng xấp xỉ cốt

tương đương trong công thức (3.19), (3.32) hay xấp xỉ cốt tương đương đơn giản

trong công thức (3.21), (3.72). Tác giả so sánh với các kết quả đạt được trong nghiên

cứu của các tác giả khác như Qui và Weng [54], Sarvestani [76], Hori và Nemat-

Nasser [77]. Trong nghiên cứu của Sarvestani, Hori và Nemat-Nasser đều sử dụng

phương pháp tiếp cận cốt tương đương đồng nhất bằng cách bổ sung biến dạng riêng

thích hợp. Còn trong nghiên cứu của Qui và Weng, khi tính mô đun đàn hồi thể tích

tác giả sử dụng mô hình cốt tương đương và đưa ra giá trị mô đun đàn hồi thể tích

của cốt tương đương, còn mô đun đàn hồi trượt tác giả xây dựng đường bao dựa trên

nguyên lý năng lượng cực tiểu và bù cực tiểu.

Trường hợp thứ nhất khi , hệ số

Poisson cho tất cả các pha là 0.3 và tỉ lệ thể tích . Kết quả thể hiện trên

bảng 3.1 cho giá trị của mô đun đàn hồi thể tích hiệu dụng, bảng 3.2 cho mô đun đàn

hồi trượt hiệu dụng của các nghiên cứu. Kí hiệu (U) - kết quả theo giới hạn trên và

(L)- giới hạn dưới cho mô đun đàn hồi trượt hiệu dụng μeff trong nghiên cứu của Qui

và Weng.

Trường hợp thứ hai khi , hệ số

Poisson cho tất cả các pha là 0.3 và tỉ lệ thể tích . Kết quả thể hiện trên

bảng 3.3 cho giá trị của mô đun đàn hồi thể tích hiệu dụng, bảng 3.4 cho mô đun đàn

hồi trượt hiệu dụng.

Bảng 3.1. Mô đun đàn hồi thể tích hiệu dụng

Qui – Weng Sarvestani Hori-Nemat- Xấp xỉ cốt Xấp xỉ cốt

(1991) (2003) Nasser (1993) tương đương tương đương

đơn giản

keff keff keff keff keff

0 2.167 0 2.167 0 2.167 0 2.167 0 2.167

0.03 2.480 0.03 2.488 0.03 2.479 0.03 2.439 0.03 2.439

0.06 2.761 0.06 2.769 0.06 2.765 0.06 2.757 0.06 2.757

0.1 3.254 0.1 3.254 0.1 3.242 0.1 3.274 0.1 3.274

0.15 4.010 0.15 3.993 0.15 3.977 0.15 4.140 0.15 4.140

0.19 5.025 0.19 4.948 0.19 4.880 0.19 5.109 0.19 5.109

0.24 7.433 0.24 7.319 0.255 8.103 0.24 6.94 0.24 6.94

0.27 9.323 0.27 9.126 0.281 9.568 0.27 8.64 0.27 8.64

0.3 11.174 0.3 10.91 0.3 10.630 0.3 11.220 0.3 11.220

Bảng 3.2. Mô đun đàn hồi trượt hiệu dụng

Qui - Weng Sarvestani Hori-Nemat-

(1991) (2003) Nasser (1993)

μeff(U) μeff (L) μeff μeff

0 1 0 1 0 1 0 1

0.03 1.222 0.032 1.084 0.032 1.169 0.03 1.276

0.053 1.375 0.054 1.138 0.057 1.295 0.062 1.551

0.073 1.509 0.073 1.211 0.072 1.380 0.088 1.807

0.1 1.772 0.1 1.349 0.1 1.593 0.1 1.937

0.125 2.051 0.129 1.536 0.152 2.036 0.13 2.303

0.17 0.15 2.322 0.161 1.761 2.223 0.15 2.552

0.19 0.175 2.693 0.186 2.055 2.471 0.173 2.907

0.2 2.999 0.195 2.204 0.19 3.209 2.727 0.19

2.999 2.303 0.213 0.2 3.4 0.2 3.190 0.2

2.972 0.233 3.553 0.216 3.74 0.22 3.625 0.23

4.38 0.245 4.473 0.254 3.663 0.254 4.191 0.24

0.27 5.283 0.28 4.447 0.278 4.951 0.265 5.058

0.3 6.261 0.3 5.065 0.3 5.646 0.3 6.062

Xấp xỉ cốt tương đương đơn giản Xấp xỉ cốt tương đương

μeff μeff

0 1 0 1

0.03 1.154 0.03 1.156

0.06 1.332 0.06 1.337

0.09 1.541 0.09 1.549

0.1 1.619 0.1 1.628

0.12 1.789 0.12 1.802

0.15 2.089 0.15 2.108

0.17 2.326 0.17 2.351

0.2 2.756 0.2 2.793

0.22 3.108 0.22 3.156

0.24 3.530 0.24 3.594

0.27 4.351 0.27 4.452

0.3 5.526 0.3 5.693

Bảng 3.3. Mô đun đàn hồi thể tích hiệu dụng

Qui – Weng Sarvestani Hori-Nemat- Xấp xỉ cốt Xấp xỉ cốt

(1991) (2003) Nasser (1993) tương đương tương đương

đơn giản

Keff Keff Keff Keff Keff

0 54.167 0 54.167 0 54.167 0 54.167 0 54.167

0.023 48.529 0.04 44.754 0.023 48.529 0.03 45.667 0.03 45.667

0.044 43.343 0.059 40.519 0.044 43.343 0.06 38.671 0.06 38.671

0.062 39.047 0.074 36.898 0.062 39.047 0.08 34.658 0.08 34.658

0.083 34.413 0.087 33.983 0.083 34.413 0.1 31.069 0.1 31.069

0.1 31.037 0.1 31.742 0.1 31.037 0.12 27.839 0.12 27.839

0.132 25.696 0.132 26.616 0.113 28.551 0.14 24.918 0.14 24.918

0.15 23.209 0.15 23.975 0.132 25.696 0.16 22.263 0.16 22.263

0.177 20.015 0.173 21.395 0.15 23.209 0.18 19.840 0.18 19.840

0.2 17.496 0.2 18.477 0.177 20.015 0.2 17.618 0.2 17.618

0.224 15.130 0.22 16.511 0.2 17.496 0.22 15.575 0.22 15.575

0.243 13.348 0.239 14.729 0.224 15.130 0.24 13.690 0.24 13.690

0.26 11.934 0.254 13.438 0.26 11.934 0.26 11.944 0.26 11.944

0.28 10.305 0.279 11.440 0.28 10.305 0.28 10.324 0.28 10.324

0.3 8.768 0.3 9.750 0.3 8.768 0.3 9.557 0.3 9.557

Bảng 3.4. Mô đun đàn hồi trượt hiệu dụng

Qui – Weng Sarvestani Hori-Nemat-Nasser

(1993) (1991) (2003)

μeff μeff(U) μeff (L) μeff

25 25 0 0 0 25 0 25

0.034 22.044 0.024 22.226 0.038 21.513 0.029 22.832

0.058 19.997 0.046 19.634 0.051 20.255 0.053 20.937

0.077 18.481 0.067 17.360 0.073 18.299 0.074 19.299

0.100 16.662 0.100 14.071 0.100 16.025 0.100 17.525

0.119 15.252 0.124 12.100 0.123 14.267 0.122 16.024

0.145 13.523 0.148 10.462 0.147 12.690 0.146 14.402

0.165 12.204 0.170 9.143 0.172 11.234 0.170 12.870

0.184 11.066 0.192 7.990 0.189 10.278 0.190 11.627

0.200 10.096 0.200 7.535 0.200 0.200 10.975 9.596

0.215 9.277 0.223 6.504 0.217 8.747 0.226 9.443

0.237 8.109 0.247 5.548 0.244 7.427 0.245 8.427

0.262 6.790 0.268 4.774 0.270 6.229 0.264 7.320

0.281 5.759 0.286 4.152 0.289 5.394 0.286 6.046

0.300 4.788 0.300 3.682 0.300 4.924 0.300 5.318

Xấp xỉ cốt tương đương đơn giản Xấp xỉ cốt tương đương

μeff μeff

0 25 0 25

0.03 21.849 0.03 21.869

0.05 19.951 0.05 19.982

0.07 18.193 0.07 18.233

0.1 15.788 0.1 15.839

0.12 14.32 0.12 14.378

0.14 12.949 0.14 13.012

0.16 11.664 0.16 11.732

0.18 10.459 0.18 10.531

0.2 9.3258 0.2 9.4008

0.22 8.2582 0.22 8.336

0.24 7.2508 0.24 7.3309

0.26 6.2985 0.26 6.3807

0.28 5.3971 0.28 5.4809

4.5425 0.3 4.6277 0.3

Để tiện so sánh, các kết quả trên bảng 3.1 – 3.4, được thể hiện trên đồ thị từ

hình 3.2 đến hình 3.5.

Hình 3.2. Mô đun đàn hồi thể tích hiệu dụng khi

Hình 3.3. Mô đun đàn hồi trượt hiệu dụng khi

Hình 3.4. Mô đun đàn hồi thể tích hiệu dụng khi

Hình 3.5. Mô đun đàn hồi trượt hiệu dụng khi

Như vậy trong mục 3.1, dựa trên nền tảng phân bố thưa của Eshelby cùng

đường lối giải trực tiếp các phương trình trên mô hình vật liệu thực và mô hình sử

dụng cốt tương đương ta đã xây dựng được các công thức tính mô đun đàn hồi của

cốt tương đương theo các công thức (3.19), (3.32). Đồng thời sử dụng mô hình quả

cầu lồng nhau của Hashin – Strickman (xấp xỉ Maxwell) đưa ra công thức dạng đơn

giản cho mô đun đàn hồi của cốt tương đương theo công thức (3.21), (3.72). Sau đó

sử dụng các công thức có sẵn của vật liệu 2 pha nền – cốt để tính mô đun đàn hồi hiệu

dụng của vật liệu ban đầu theo công thức (3.20), (3.28) hay công thức tổng quát

(3.73), (3.74). Các kết quả đạt được so sánh với kết quả nghiên cứu của các nhà khoa

học đi trước và rút ra nhận xét như sau:

 Với mô đun đàn hồi thể tích hiệu dụng, giá trị tính được khi sử dụng cốt tương

đương và cốt tương đương đơn giản đạt được là hoàn toàn trùng khớp và cũng

rất gần với các nghiên cứu của các tác giả khác.

 Còn với mô đun đàn hồi trượt hiệu dụng, kết quả đạt được nằm trong giới hạn

của Qui và Weng, và gần với kết quả của Sarvestani. Điều đó chứng tỏ độ tin

cậy của các công thức theo hướng tiếp cận cốt tương đương mà tác giả và cộng

sự xây dựng ở trên.

3.2. Mô đun đàn hồi của vật liệu composite cốt sợi phức hợp đồng phương

3.2.1. Mô hình vật liệu

Xét mẫu vật liệu cốt sợi dọc trục với pha cốt đồng nhất đẳng hướng có các hệ

số đàn hồi trong không gian 3 chiều lần lượt là mô đun thể tích , mô đun đàn hồi

trượt (tương ứng là mô đun đàn hồi Young , hệ số Poisson ), tỷ lệ thể

tích được bao bọc bởi lớp phủ đồng nhất đẳng hướng có mô đun thể tích ,

mô đun đàn hồi trượt (tương ứng là mô đun đàn hồi Young , hệ số Poisson

), tỷ lệ thể tích và đặt trong pha nền đồng nhất đẳng hướng có mô đun thể tích

, mô đun đàn hồi trượt (mô đun đàn hồi Young , hệ số Poisson ) tỷ

lệ thể tích (hình 3.6). Hệ trục tọa độ Đề các x1x2x3 gắn với mẫu, với trục x1 nằm

dọc theo trục, x2x3 là mặt cắt ngang vuông góc với trục.

Hình 3.6. Mô hình vật liệu cốt sợi dọc trục 3 pha

Mẫu phải chịu một trong các điều kiện biên sau:

(3.77)

𝟎- các thành phần của véc tơ chuyển vị và lực kéo, 𝒙𝒋- tọa độ theo bề

𝟎 𝑻𝒊

(3.78)

𝟎 - biến dạng, ứng

trong đó 𝒖𝒊 ,

𝟎 và 𝝈𝒊𝒋

mặt và 𝒏𝒋- thành phần của véc tơ pháp tuyến bề mặt S , 𝜺𝒊𝒋

suất cho trước.

Với vật liệu cốt sợi dọc trục, có 5 mô đun đàn hồi hiệu dụng: mô đun đàn hồi

), mô đun đàn hồi diện tích, mô đun đàn hồi trượt trên mặt cắt ngang x2x3 (

trượt dọc trục ( ), mô đun đàn hồi Young dọc trục , hệ số Poisson

Cũng với ý tưởng thay thế lớp cốt được phủ bằng một cốt tương đương tương

ứng như trong mục 3.1, ta có mô hình cốt tương đương thể hiện trên hình 3.7

Hình 3.7. Mô hình cốt tương đương

(a) – mặt cắt ngang, (b) – mặt cắt dọc

3.2.2. Mô đun đàn hồi diện tích hiệu dụng

Trong công thức (3.21), sử dụng mô hình quả cầu lồng nhau 2 pha của Hashin

(hay xấp xỉ Maxwell) để tính mô đun đàn hồi thể tích của cốt tương đương, với lớp

phủ coi như pha nền. Cũng với ý tưởng đó, khi tìm mô đun đàn hồi diện tích của đĩa

tròn lồng nhau trong mô hình 3.7a, ta có:

(3.79)

trong đó KI1, KI2 là các mô đun đàn hồi diện tích của pha I1, I2. Chúng có mối liên hệ

với mô đun đàn hồi thể tích qua công thức:

(3.80)

(3.81)

và

(3.82)

Mô đun đàn hồi diện tích hiệu dụng:

(3.83)

với KEI được tính theo công thức (3.79).

Khi tỉ lệ thể tích pha cốt nhỏ , dựa theo kết quả phân bố thưa của Eshelby, suy

ra:

(3.84)

3.2.3. Mô đun đàn hồi trượt dọc hiệu dụng

Để xác định mô đun trượt , biến dạng áp lên mẫu thỏa mãn:

(3.85)

Phương trình cân bằng:

(3.86)

với

(3.87)

Gọi là các hàm trên pha I1, I2, M . Trong hệ tọa độ trụ với tọa độ r, θ

, phương trình (3.86) có dạng:

(3.88)

(3.89)

. (3.90)

Điều kiện liên tục về chuyển vị giữa các pha:

(3.91)

Điều kiện liên tục về ứng suất (lực kéo) giữa các pha:

(3.92)

Chuyển vị trên biên:

(3.93)

Dễ dàng nhận thấy các phương trình để tính từ (3.86) - (3.93) có dạng toán học

giống với các phương trình (2.31) – (2.40) trong chương 2 tính hệ số dẫn ngang hiệu

dụng của vật liệu cốt sợi dọc trục, trong đó:

(3.94)

Do vậy, có thể dựa vào công thức đã tính ceff để suy ra như sau:

(3.95)

với

(3.96)

3.2.4. Mô đun đàn hồi Young dọc trục và hệ số Poisson

Xác định dưới tác dụng của lực kéo theo phương 1-1, khi đó:

(3.97)

Chuyển vị của các pha dưới dạng hệ trục tọa độ trụ [74]:

(3.98)

Với điều kiện biên:

Khi thì nên suy ra (3.99)

Khi thì . (3.100)

Điều kiện liên tục về chuyển vị và biến dạng giữa các pha.

(3.101)

Mô đun đàn hồi Young dọc trục hiệu dụng:

(3.102)

Hệ số Poisson :

(3.103)

Với vật liệu 2 pha nền-cốt, giải các phương trình từ (3.98) – (3.103), Hashin [78] đã

tính được:

(3.104)

(3.105)

hay:

(3.106)

Áp dụng công thức (3.106) – (3.107) cho mô hình cốt tương đương ở hình 3.7, với

(3.107)

lớp phủ I1 đóng vai trò như pha nền M, nhận được các mô đun của cốt tương đương:

(3.108)

(3.109)

Đặt cốt tương đương vào pha nền ban đầu, mô đun đàn hồi Young dọc trục và hệ số

Poisson khi tác dụng lực kéo theo phương dọc trục của vật liệu ban đầu được biểu

diễn:

(3.110)

(3.111)

3.2.5. Mô đun đàn hồi trượt ngang

Việc xác định mô đun đàn hồi trượt trong mặt cắt ngang của vật liệu cốt sợi

phức hợp đồng phương khá phức tạp tương tự như việc xác định mô đun đàn hồi trượt

trong mục 3.1.3 của vật liệu composite cốt hạt. Với mong muốn tìm một công thức

dễ áp dụng cho tính toán của kĩ sư, nên trong phần này tác giả chỉ đưa ra công thức

đề xuất theo mô hình tương đương đơn giản giống công thức (3.72) dựa theo xấp xỉ

Maxwell cho không gian 2 chiều. Kết quả nhận được:

(3.112)

với

(3.113)

Như vậy trong mục 3.2 này cũng đã đề xuất tính các mô đun hiệu dụng của vât

liệu cốt sợi dọc trục với cốt phức hợp theo hướng thay thế lớp cốt được phủ bằng một

cốt tương đương tương ứng. Dựa trên các kết quả nghiên cứu của vật liệu 2 pha nền

– cốt của các tác giả đi trước, các mô đun của cốt tương đương được tính theo công

thức (3.79), (3.96), (3.108), (3.109), (3.113). Để kiểm nghiệm và so sánh, tác giả đã

thực hiện phần tính toán số trong chương 4, đồng thời so sánh với kết quả của đường

bao Hashin-Strickman.

3.3. Kết luận

Xuất phát từ bài toán phân bố thưa của cốt liệu cầu và cốt liệu hình trụ tròn

được phủ, cùng sự hỗ trợ của các công thức xấp xỉ Maxwell, mô hình quả cầu lồng

nhau hai pha của Hashin, chương 3 đã đạt được:

 Thay thế cốt có lớp phủ bằng một cốt tương đương có cùng kích thước và

xác định được các đặc trưng cơ học của cốt tương đương.

 Tìm được các công thức xấp xỉ xác định giá trị hiệu dụng mô đun đàn hồi

của vật liệu Composite có cốt phức hợp với cốt hình cầu hoặc trụ tròn theo

phương pháp tiếp cận cốt tương đương.

 Với các công thức giải tích tìm được cho cốt hình cầu được phủ, trong luận

án đã tính toán , so sánh với kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học như

Qui –Weng, Sarvestani, Hori-Nemat-Nasser. Các so sánh chứng tỏ độ tin

cậy của các công thức tìm được.

 Các công thức xấp xỉ cốt tương đương đơn giản dựa theo xấp xỉ Maxwell

có dạng đơn giản, phù hợp cho các kỹ sư bước đầu đánh giá các mô đun đàn

hồi của vật liệu sử dụng.

Kết quả nghiên cứu trong chương này đã được tác giả công bố trong các công

trình khoa học [1, 3, 5, 6].

CHƯƠNG 4. MÔ PHỎNG SỐ PHẦN TỬ HỮU HẠN VẬT LIỆU PHỨC HỢP

Bên cạnh các phương pháp giải tích, bán giải tích, thực nghiệm thì cùng với

sự phát triển mạnh mẽ của khoa học máy tính một hướng nghiên cứu rất được quan

tâm trong lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu đó là phương pháp số mà kỹ thuật số cổ

điển đã xây dựng xấp xỉ các trường khả dĩ động học. Phổ biến là phương pháp số sử

dụng phần tử hữu hạn (PTHH). Trong chương 2, 3 tác giả đã xác định các đặc trưng

cơ lý tính của vật liệu Composite với cốt phức hợp theo phương pháp giải tích. Tiếp

đến trong chương 4 sẽ sử dụng phương pháp số để giải quyết bài toán này, đồng thời

so sánh kết quả giữa các phương pháp.

4.1. Vật liệu tuần hoàn

Hình 4.1. Ảnh vi mô có độ tương phản cao của mặt cắt ngang của vật liệu B/Al

composite và RVE với phân bố tuần hoàn dạng lục giác [79]

Để xác định các đặc trưng cơ lý tính của vật liệu, chúng ta xét trên phân tử thể

tích đặc trưng RVE (như đã giới thiệu trong chương 1). Cấu trúc vi mô của RVE là

phân bố ngẫu nhiên của các cốt cũng như vết nứt (lỗ rỗng). Tuy vậy trong nhiều

trường hợp RVE có cấu trúc vi mô có thể coi là phân bố tuần hoàn. Một phân bố hoàn

toàn đều đặn như vậy không tồn tại trong các trường hợp thực tế, nhưng mô hình này

được coi là gần đúng , hữu ích vì nó cung cấp các giá trị giới hạn cho các thuộc tính

vật liệu tổng thể khác nhau. Các mô hình vật liệu tuần hoàn có thể tìm thấy trong các

tài liệu [80-84], hay một ví dụ cụ thể được thể hiện ở hình 4.1 ở trên.

Trong chương này, tác giả sử dụng mô hình phân bố tuần hoàn của RVE vì

khó có thể biểu diễn hình học của RVE phân bố ngẫu nhiên.

Điều kiện biên cho RVE với vật liệu không đồng nhất được xác định bởi các

giá trị cục bộ của ứng suất và biến dạng vĩ mô trong tính liên tục của phần tử vật liệu

tương ứng. Tương tự vậy, có thể áp dụng cho mô hình vật rắn có cấu trúc tuần hoàn.

Nhưng nếu trong mô hình, tính tuần hoàn kéo dài đến vô tận theo mọi hướng

thì các điều kiện biên cần được quy định một cách chính xác. Cụ thể, các điều kiện

biên phải làm sao để dẫn đến sự tuần hoàn của các trường chuyển vị, biến dạng và

ứng suất. Do đó, một ô đơn vị đại diện được xem xét (hay gọi là nhân tử tuần hoàn –

unit cell), bao gồm các đặc tính hình học và tính chất vật liệu tuần hoàn, cũng như

tính tuần hoàn của các biến trường. Khi đó các tính chất hiệu dụng của vật rắn với

cấu trúc tuần hoàn được nghiên cứu qua tính chất hiệu dụng của ô đại diện này.

Một số dạng nhân tử tuần hoàn thể hiện trên hình 4.2 (a – e).

(e) (d)

Hình 4.2. Một số nhân tử tuần hoàn

(a) – lập phương đơn giản, (b) – lập phương tâm khối, (c) – lập phương tâm

mặt (cho mô hình 3D),

(d) – hình vuông , (e) – hình lục giác (cho mô hình 2D)

4.2. Các công thức tính xuất phát

4.2.1. Mô đun đàn hồi

Để giải quyết bài toán tìm các mô đun đàn hồi ta coi phần tử đặc trưng RVE

của vật liệu nghiên cứu ký hiệu Ω chịu tác động bởi một trường biến dạng đồng nhất

E. Trường biến dạng này được tạo bởi một trường ứng suất trên toàn miền Σ.

Trong trường hợp đàn hồi tuyến tính, ten xơ đàn hồi hiệu quả của vật liệu được

xác định dựa vào định luật Hook:

(4.1)

Như vậy vấn đề của bài toán là cần xác định giá trị ứng suất trung bình Σ. Giá

trị ứng suất Σ cân bằng với giá trị ứng suất trên toàn miền Ω của trường ứng suất vi

mô σ(x) với x Ω:

(4.2)

Ký hiệu nhân tuần hoàn là U, kích thước các cạnh trong không gian lần lượt là

a1, a2, a3. Trường ứng suất vi mô σ(x) có đặc điểm [85]:

. (4.3)

Trường chuyển vị tương ứng kí hiệu là u(x) với

(4.4)

trong đó u’(x) là trường chuyển vị rối loạn (nhiễu), được hình thành do sự xuất hiện

của pha cốt trên vật liệu nền và tuần hoàn. Điều kiện tuần hoàn là:

(4.5)

Trường biến dạng tương ứng:

(4.6)

Các phương trình phải thỏa mãn trên nhân tử tuần hoàn

- Phương trình cân bằng:

(4.7)

- Biến dạng nhỏ:

(4.8)

- Định luật Hook:

(4.9)

và

(4.10)

: phản tuần hoàn

n: véc tơ pháp tuyến trên

Giải hệ các phương trình (4.7) – (4.10), sẽ tính được các trường ứng suất trên các pha

khi biết biến dạng vĩ mô E và trường biến dạng nhiễu loạn 𝜺’(x). Từ đó xác định các

mô đun đàn hồi theo công thức (4.1).

4.2.2. Hệ số dẫn

Để tìm hệ số dẫn, giả sử tác dụng lên phần tử thể tích đặc trưng RVE của vật

liệu nghiên cứu (Ω) trường gradient nhiệt vĩ mô . Theo định luật Fourier :

. (4.11)

Với Q là véc tơ dòng nhiệt vĩ mô, được xác định bằng trung bình thể tích của các véc

tơ dòng nhiệt vi mô trên (Ω) :

(4.12)

Trên nhân tuần hoàn là U, kích thước các cạnh trong mặt phẳng lần lượt là a1, a2.

trường dòng nhiệt vi mô tuần hoàn và có dạng:

(4.13)

Do điều kiện tuần hoàn của dòng nhiệt vi mô, nên ta có trung bình của dòng nhiệt

trên U bằng với trung bình dòng nhiệt trên RVE.

(4.14)

Trên nhân tử tuần hoàn phải thỏa mãn các phương trình:

- Phương trình cân bằng:

(4.15)

- Định luật Fourier:

(4.16)

- Trường nhiệt độ:

, (4.17)

trong đó T0 là nhiệt độ bên trong vật liệu, là trường nhiệt nhiễu loạn do các

cốt sinh ra và thỏa mãn điều kiện tuần hoàn:

(4.18)

và

(4.19)

: phản tuần hoàn

Giải các phương trình từ (4.15) – (4.19) sẽ xác định được trường dòng nhiệt trên các

pha và dòng nhiệt trung bình trên U. Từ đó thay vào (4.11) để các định hệ số dẫn hiệu

dụng

4.3. Phần mềm Cast3M

Trong luận án này sử dụng phần mềm hỗ trợ là phần mềm có mã nguồn mở

Cast3M [86]. Cast3M là một mã tính toán để phân tích cấu trúc phần tử hữu hạn và

mô hình hóa cơ học chất lỏng. Ban đầu, mã này được phát triển tại Khoa Nghiên cứu

Cơ học và Nhiệt (SEMT) của Ủy ban Năng lượng Nguyên tử của Pháp (CEA). Sự

phát triển của Cast3M là một phần của hoạt động nghiên cứu trong lĩnh vực cơ học,

nhằm mục đích xác định một công cụ cấp cao có thể đóng vai trò hỗ trợ hợp lệ cho

việc thiết kế, định cỡ và phân tích các cấu trúc trong lĩnh vực hạt nhân như trong lĩnh

vực công nghiệp thông thường. Với ý nghĩ này, Cast3M trình bày một hệ thống hoàn

chỉnh, tích hợp không chỉ các chức năng tính toán mà còn cả cấu trúc mô hình (tiền

xử lý) và các chức năng xử lý kết quả (hậu xử lý).

Cast3M có thể xử lý các vấn đề đàn hồi tuyến tính trong các miền tĩnh và động,

các vấn đề về nhiệt, các vấn đề phi tuyến (chuyển vị lớn, biến dạng lớn, tiếp xúc, ma

sát ...), sự hủy hoại của các cấu trúc, các vấn đề khớp nối chất lỏng và tính toán kết

cấu, v.v.

Cast 3M được thực thi dựa vào họ của đối tượng (objects), liên quan đến cấu

trúc dữ liệu và thuật toán, tức là hoạt động cơ bản tác động lên các đối tượng nhất

định. Chúng cùng nhau tạo nên ngôn ngữ lập trình cụ thể gọi là gibiane. Các mã này

được viết bằng mã nguồn mở Fortran gọi là ESOPE mà cho phép xử lý trực tiếp của

các cấu trúc dữ liệu cụ thể.

Cũng như cấu trúc của một chương trình tính toán theo phương pháp PTHH

thông thường, chương trình tính toán cho bài toán đồng nhất hóa vật liệu theo phương

pháp PTHH cũng bao gồm các bước thể hiện trên hình 4.3.

Thông số cơ bản

- Bài toán đàn hồi, đẳng hướng. - Bài toán nhiệt, đẳng hướng. - Bài toán nhiệt, dị hướng.

Xây dựng phần tử (tạo lưới phần tử) Phần tử tam giác

Đặc trưng cơ – lý tính vật liệu

Hệ số dẫn c .

Mô đun đàn hồi k, μ, E, ν.

Đặt tải

. - Gradient nhiệt độ - Trường biến dạng E.

Điều kiện biên tuần hoàn

- Theo công thức (4.5) và (4.18)

Giải hệ các phương trình Theo công thức (4.9), (4.16)

Tính các mô đun hiệu dụng

và xuất kết quả

Hình 4.3. Sơ đồ khối chương trình tính toán bằng phương pháp PTHH

4.4. Tính toán cho mô hình vật liệu cụ thể và so sánh kết quả

4.4.1. Vật liệu Composite cốt sợi phức hợp đồng phương

4.4.1.1. Hệ số dẫn ngang khi các pha đồng nhất, đẳng hướng

a. Kết quả số

Chọn phần tử chia lưới là phần tử tam giác và xét cho cả hai mảng lục giác và

hình vuông của vật liệu tuần hoàn (hình 4.4).

Hình 4.4. Một nửa nhân tử tuần hoàn mặt cắt ngang vật liệu cốt sợi dọc trục

(a) - mảng lục giác với cốt tròn, (b) - mảng hình vuông với cốt tròn

Đưa các đặc trưng lý tính là các hệ số dẫn của các pha. Lấy ví dụ

(tất cả cùng đơn vị W. m-1.K-1), ,

đối với mảng hình vuông và

đối với mảng lục giác.

Do vật liệu đẳng hướng, nên ta chỉ cần tính theo một phương. Cho gradient

nhiệt độ vĩ mô , điều kiện tuần hoàn (4.18) và nhận được trường nhiệt độ. Ví

dụ trên (hình 4.5) là trường nhiệt của mảng lục giác.

Hình 4.5. Trường nhiệt

Do ,từ công thức (4.11) suy ra:

(4.20)

Dưới sự hỗ trợ của phần mềm Cast3M, giải phương trình (4.20), kết quả nhận

được thể hiện trên bảng 4.1. PTHH: kết quả số cho vật liệu ba pha ban đầu gồm nền

– lớp phủ - cốt với hệ số dẫn lần lượt là và PTHH – CTĐ: kết quả số cho mô

hình nền - cốt tương đương với hệ số dẫn là (thay ).

Bảng 4.1. Hệ số dẫn hiệu dụng khi

Mảng hình vuông Mảng hình lục giác

PTHH PTHH – CTĐ PTHH PTHH –

CTĐ

1.000 1.000 1.000 0 1.000

1.175 1.175 1.175 0.1 1.175

1.384 1.384 1.384 0.2 1.384

1.639 1.638 1.638 0.3 1.639

1.958 1.952 1.952 0.4 1.959

2.375 2.351 2.351 0.5 2.379

2.960 2.880 2.881 0.6 2.973

3.882 3.618 3.624 0.7 3.936

5.249 4.474 4.493 0.78 5.511

5.402 5.453 0.84

6.990 7.229 0.905

Tương tự như vậy, khi xét trường hợp (W. m-1.K-1),

kết quả hiển thị trên bảng 4. 2.

Bảng 4.2. Hệ số dẫn hiệu dụng khi

Mảng hình vuông Mảng hình lục giác

PTHH PTHH – CTĐ PTHH PTHH –

CTĐ

20 20 20 0 20

17.115 17.136 17.131 0.1 17.115

14.615 14.632 14.629 0.2 14.614

12.424 12.446 12.443 0.3 12.422

10.478 10.519 10.516 0.4 10.472

8.719 8.805 8.801 0.5 8.703

7.090 7.266 7.260 0.6 7.053

5.530 5.867 5.854 0.7 5.446

4.254 4.824 4.800 0.78 4.053

0.84 4.028 4.071

0.905 3.145 3.245

b. So sánh

Với kết quả số nhận được trong bảng 4.1, 4.2, ta so sánh với các kết quả xấp

xỉ xây dựng trong chương 2. Để tiện theo dõi, xin nhắc lại các công thức:

- Xấp xỉ vi phân cho mô hình nền - cốt tương đương:

(4.21)

- Xấp xỉ cho mô hình đĩa tròn lồng nhau:

(4.22)

- Xấp xỉ tương tác 3 điểm cho mô hình nền - cốt tương đương:

(4.23)

trong đó c0 là nghiệm của phương trình:

(4.24)

với là các thông tin hình học bậc ba.

là hệ số dẫn của cốt tương đương được tính theo công thức (2.64) trong chương

2, cụ thể:

(4.25)

Đồ thị hình 4.6, 4.7 thể hiện kết quả so sánh giữa kết quả theo phương pháp số

và kết quả theo các công thức xấp xỉ sử dụng cốt tương đương. HSU, HSL: kết quả

theo đường bao của Hashin-Strickman, VP-CTĐ: xấp xỉ vi phân cho nền – cốt tương

đương, ĐTLN: xấp xỉ cho mô hình đĩa tròn lồng nhau, TT-CTĐ: xấp xỉ tương tác 3

điểm cho nền – cốt tương đương.

(a)

(b)

Hình 4.6. Hệ số dẫn hiệu dụng của mảng hình vuông

(a) – khi ; (b) – khi .

(a)

(b)

Hình 4.7. Hệ số dẫn hiệu dụng của mảng lục giác

(a) – khi ; (b) – khi .

Từ đồ thị dễ dàng nhận thấy kết quả theo phương pháp số của cốt tròn được bọc

(theo mô hình vật liệu thực hay sử dụng cốt tương đương) và các phương pháp xấp

xỉ sử dụng cốt đương đương được xây dựng trong luận án này có kết quả rất gần nhau,

kể cả khi tỉ lệ thể tích lớn và các thành phần có tính chất khác xa nhau. Trong đó xấp

xỉ tương tác 3 điểm cho mô hình nền – cốt tương đương có kết quả gần nhất với kết

quả số.

4.4.1.2. Hệ số dẫn ngang khi lớp vỏ bọc dị hướng

a. Kết quả số:

Xét lớp vỏ bọc hình vành khăn dị hướng theo phương pháp tuyến n và phương

tiếp tuyến. Khi thiết lập lưới phần tử hữu hạn ta chia lớp này thành nhiều hình nhỏ

(càng nhỏ thì độ chính xác càng cao) và chọn phần tử tam giác cho toàn bộ nhân tử

mảng hình vuông (hình 4.8).

Đưa vào các đặc trưng cơ học của vật liệu. Với các pha đồng nhất chỉ có 1 hệ

số dẫn. Lớp vỏ bọc có hệ số theo phương pháp tuyến (x’1) là cN, phương tiếp tuyến

(x’2) là cT. Khi chuyển qua hệ tọa độ chung của cả nhân tử là (x1, x2) thì hệ số dẫn

của lớp vỏ bọc là:

. (4.26)

Trong đó L là ma trận định vị phần tử, được xác định:

(4.27)

(a) (b) Hình 4.8. (a) - nhân tử tuần hoàn với lớp vỏ bọc dị hướng

(b) – phần tử lớp vỏ bọc

Áp lên nhân tử gradient nhiệt độ , cùng các điều kiện tuần hoàn giống

trong công thức (4.18), ta cũng nhận được trường nhiệt độ T(x) và từ đó tính trung

bình dòng nhiệt để suy ra hệ số dẫn hiệu dụng của vật liệu ban đầu.

Lấy ví dụ (tất cả cùng đơn vị W. m-1.K-1). Hệ

số dẫn hiệu dụng thay đổi theo tỉ lệ thể tích giữa các pha, giả sử ( ) kết quả

thể hiện trên bảng 4.3. Với PTHH: kết quả số theo mô hình vật liệu thực, PTHH-

CTĐ: kết quả số theo mô hình nền – cốt tương đương.

Bảng 4.3. Hệ số dẫn hiệu dụng khi

PTHH PTHH-CTĐ PTHH PTHH-CTĐ

0.1 1.2173 1.2168 0.4 2.3027 2.302

0.2 1.4873 1.4784 0.5 2.988 2.9866

0.3 1.8342 1.8334 0.6 4.1422 4.1414

Tương tự (tất cả cùng đơn vị W. m-1.K-1), tỷ lệ

thể tích . Kết quả nhận được thể hiện trên bảng 4.4.

Bảng 4.4. Hệ số dẫn hiệu dụng khi

PTHH PTHH- PTHH PTHH-

CTĐ CTĐ

0.1 83.232 83.242 0.4 46.119 46.185

0.2 69.032 69.066 0.5 36.521 36.553

0.3 56.807 56.876 0.6 27.648 27.563

b. So sánh

Với kết quả theo phương pháp PTHH nhận được trong bảng 4.3 và 4.4, so sánh

với kết quả xấp xỉ của mô hình nền-cốt tương đương (CTĐ) tính hệ số dẫn hiệu dụng

theo công thức (2.80-2.81) xây dựng trong chương 2. Để tiện theo dõi, xin nhắc lại

công thức:

, (4.28)

trong đó: . (4.29)

Kết quả so sánh thể hiện trên hình 4.9. Dựa trên kết quả tính toán của các ví dụ

minh họa trên hình 4.9 chứng tỏ kết quả theo phuơng pháp số và giải tích gần giống

nhau khi tỉ lệ thể tích pha cốt được bọc nhỏ hơn 0.5 . Khi tỉ lệ thể tích pha cốt lớn hơn

0.5, sai số giữa hai phương pháp là đáng kể (> 5%).

(a) (b)

Hình 4.9. Hệ số dẫn ngang hiệu dụng của vật liệu với lớp vỏ bọc dị hướng

(a) Khi

(b) Khi

4.4.1.3. Mô đun đàn hồi

a. Kết quả số

Chọn phần tử tam giác cho nhân tử tuần hoàn mảng lục giác (hình 4.10)

(a) (b)

Hình 4.10. (a) Nhân tử tuần hoàn vật liệu cốt sợi dọc trục mảng lục giác

(b) Sơ đồ rời rạc hóa

Đưa các đặc trưng cơ học của từng pha gồm mô đun đàn hồi Young E, hệ số

Poisson ν. Sau đó tính mô đun đàn hồi diện tích K và mô đun đàn hồi trượt μ theo

công thức:

(4.30)

100

Các hằng số trong ten xơ độ cứng:

(4.31)

Các hệ số đàn hồi hiệu dụng của vật liệu được xác định như sau:

Mô đun diện tích : Đặt tải trọng trung bình

(4.32)

Mô đun đàn hồi trượt : đặt tải trọng trung bình

(4.33)

Hệ số Poisson : đặt tải trọng trung bình

(4.34)

Mô đun đàn hồi Young dọc trục : đặt tải trọng trung bình

(4.35)

Mô đun trượt dọc : đặt tải trọng trung bình

(4.36)

Lấy ví dụ với vật liệu có các đặc trưng cơ học của pha nền và pha cốt:

Kết quả tính thể hiện trên bảng 4.5.

Khi các đặc trưng cơ học của các pha là:

. Kết quả xuất ra thể hiện

trên bảng 4.6.

101

Bảng 4.5. Các giá trị của mô đun đàn hồi hiệu dụng khi

0.2 0.928 0.530 2.297 0.243 0.558

0.3 1.086 0.605 2.951 0.261 0.649

0.4 1.287 0.699 3.603 0.278 0.757

0.5 1.551 0.820 4.256 0.294 0.891

0.6 1.911 0.980 4.907 0.308 1.06

0.7 2.443 1.198 5.558 0.322 1.283

0.8 3.323 1.511 6.208 0.335 1.595

Bảng 4.6. Các giá trị của mô đun đàn hồi hiệu dụng khi

0.2 10.043 2.797 8.627 0.388 2.860

0.3 7.883 2.461 7.933 0.381 2.547

0.4 6.323 2.160 7.238 0.373 2.264

0.5 5.131 1.882 6.541 0.363 2.005

0.6 4.193 1.627 5.843 0.352 1.768

0.7 3.434 1.397 5.142 0.338 1.549

0.8 2.802 1.198 4.438 0.321 1.345

Nếu thay cốt được phủ bằng cốt tương đương theo công thức (3.108) – (3.109)

như trong chương 3, cụ thể:

(4.37)

102

. (4.38)

Khi

được thay thế bởi vật liệu với các đặc trưng

. Thay vào chương trình tính ta nhận được kết quả thể

hiện trên bảng 4.7.

Bảng 4.7. Các giá trị của mô đun đàn hồi hiệu dụng khi

0.558 0.243 0.2 0.929 0.530 2.301

0.649 0.262 0.3 1.088 0.605 2.954

0.758 0.279 0.4 1.290 0.699 3.606

0.892 0.294 0.5 1.555 0.820 4.259

1.061 0.309 0.6 1.919 0.980 4.910

1.285 0.322 0.7 3.457 1.198 5.561

1.600 0.335 0.8 3.360 1.511 6.211

Tương tự khi

sẽ được thay thế bởi vật liệu với đặc trưng

. Kết quả xuất ra thể hiện trên bảng 4.8.

Bảng 4.8. Các giá trị của mô đun đàn hồi hiệu dụng khi

2.858 0.386 0.2 10.216 2.813 8.616

2.547 0.378 0.3 8.094 2.486 7.922

2.266 0.368 0.4 6.539 2.190 7.228

2.008 0.358 0.5 5.345 1.917 6.531

1.771 0.346 0.6 4.401 1.674 5.834

103

0.7 3.631 1.464 5.133 0.331 1.553

0.8 2.983 1.288 4.430 0.315 1.347

b. So sánh

Hình 4.11 và 4.12 thể hiện so sánh giữa kết quả xấp xỉ cho mô hình nền – cốt

tương đương (CTĐ) xây dựng trong chương 3 với kết quả PTHH trong bảng 4.5-4.6

cho mô hình vật liệu thực và PTHH-CTĐ trong bảng 4.7-4.8 cho mô hình nền – cốt

tương đương. Các giá trị K, μ đồng thời so sánh với giới hạn đường bao của Hashin-

Strickman.

104

Hình 4.11. Các mô đun đàn hồi khi

105

Hình 4.12. Các mô đun đàn hồi khi

Để tiện theo dõi, xin nhắc lại các công thức xấp xỉ tương đương tính các hệ số

đàn hồi của vật liệu cốt sợi dọc trục với cốt phức hợp xây dựng trong chương 3:

- Mô đun đàn hồi diện tích trên mặt cắt ngang:

(4.39)

với: (4.40)

- Mô đun đàn hồi trượt trên mặt cắt ngang:

(4.41)

với :

(4.42)

- Mô đun đàn hồi trượt dọc:

(4.43)

với :

106

(4.44)

- Mô đun đàn hồi Young dọc trục và hệ số Poisson:

(4.45)

(4.46)

Quan sát hình 4.11, 4.12 ta thấy kết quả đạt được theo phương pháp số và xấp

xỉ tương đương rất gần nhau. Các giá trị của K, μ nằm trong đường bao của Hashin –

Strickman. Khi pha cốt cứng hơn pha nền thì các giá trị K, μ gần với biên dưới và khi

pha nền cứng hơn pha cốt thì các giá trị của K, μ gần với biên trên.

4.4.2. Vật liệu Composite với cốt hạt hình cầu

a. Kết quả số

Để tính mô đun đàn hồi của vật liệu Composite với cốt hình cầu, tác giả sử dụng

mô hình vật liệu tuần hoàn với mảng lập phương đơn giản, lập phương tâm khối và

lập phương tâm mặt.

(a) (b)

Hình 4.13. (a) Nhân tử tuần hoàn lập phương đơn giản

(b) Sơ đồ rời rạc hóa

107

Trên hình 4.13 thể hiện nhân tuần hoàn lập phương đơn giản và sơ đồ rời rạc

hóa với phần tử tam giác.

Những cấu trúc này gần như không đẳng hướng trong tính chất đàn hồi nên

trong phần này tác giả sẽ tính hai mô đun đàn hồi trượt theo hướng cạnh khối ( ) và

theo đường chéo của mặt khối ( ). Xuất phát từ các công thức, điều kiện tuần hoàn

trong mục 4.2.1, kết quả ta có:

khi (4.47)

khi (4.48)

khi (4.49)

là giá trị tùy ý.

Ví dụ

. Kết quả số thể hiện trên bảng 4.9 với lập phương đơn giản, bảng 4.10

với lập phương tâm khối, bảng 4.11 với lập phương tâm mặt.

Trong đó PTHH: kết quả theo mô hình vật liệu thực, PTHH-CTĐ : kết quả số

cho mô hình nền - cốt tương đương với các đăc trưng cơ học của cốt tương đương

được xác định theo công thức (3.19), (3.32) trong chương 3, cụ thể :

(4.50)

. (4.51)

PTHH-CTĐĐG: kết quả số cho mô hình nền - cốt tương đương với các đăc

trưng cơ học của cốt tương đương dạng đơn giản theo công thức (3.21), (3.72):

(4.52)

(4.53)

108

Bảng 4.9. Các giá trị của mô đun đàn hồi hiệu dụng của nhân tử lập phương đơn

PTHH PTHH-

PTHH-

PTHH

PTHH-

PTHH

PTHH-

CTĐ

CTĐĐG

CTĐ

CTĐĐG

CTĐ

CTĐĐG

giản khi

0 1 1 1 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4

0.1 1.135 1.135 1.135 0.487 0.486 0.487 0.471 0.471 0.472

0.2 1.297 1.297 1.297 0.612 0.609 0.613 0.547 0.548 0.550

0.3 1.498 1.498 1.498 0.794 0.782 0.790 0.638 0.642 0.645

0.4 1.764 1.769 1.770 1.066 1.024 1.041 0.759 0.771 0.777

0.45 1.943 1.954 1.956 1.255 1.182 1.206 0.841 0.863 0.871

0.5 2.180 2.205 2.210 1.504 1.374 1.409 0.955 1.000 1.015

Bảng 4.10. Các giá trị của mô đun đàn hồi hiệu dụng của nhân tử lập phương tâm

PTHH PTHH-

PTHH-

PTHH

PTHH-

PTHH

PTHH-

CTĐ

CTĐĐG

CTĐ

CTĐĐG

CTĐ

CTĐĐG

khối khi

0 1.000 1.000 1.000 0.400 0.400 0.400 0.400 0.400 0.400

0.1 1.134 1.134 1.134 0.474 0.474 0.475 0.479 0.479 0.480

0.2 1.295 1.295 1.295 0.559 0.559 0.561 0.578 0.577 0.580

0.3 1.492 1.492 1.492 0.661 0.662 0.666 0.706 0.704 0.709

0.4 1.738 1.738 1.738 0.789 0.793 0.799 0.878 0.872 0.881

0.5 2.060 2.063 2.063 0.962 0.972 0.983 1.124 1.104 1.121

0.6 2.519 2.533 2.535 1.214 1.244 1.264 1.491 1.433 1.466

0.65 2.840 2.872 2.876 1.392 1.450 1.480 1.749 1.651 1.696

Bảng 4.11. Các giá trị của mô đun đàn hồi hiệu dụng của nhân tử lập phương tâm

mặt khi

109

PTHH PTHH-

PTHH-

PTHH

PTHH-

PTHH

PTHH-

CTĐ

CTĐĐG

CTĐ

CTĐĐG

CTĐ

CTĐĐG

0 1 1 1. 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4

0.1 1.133 1.133 1.133 0.475 0.475 0.476 0.480 0.480 0.481

0.2 1.294 1.294 1.294 0.561 0.561 0.564 0.579 0.579 0.581

0.3 1.490 1.489 1.489 0.665 0.665 0.669 0.707 0.705 0.710

0.4 1.735 1.735 1.735 0.799 0.801 0.808 0.880 0.875 0.884

0.5 2.053 2.054 2.054 0.980 0.986 0.998 1.120 1.102 1.120

0.6 2.492 2.500 2.501 1.252 1.264 1.286 1.467 1.421 1.451

0.7 3.171 3.210 3.215 1.673 1.697 1.742 1.989 1.873 1.928

Tương tự khi .

Kết quả số thể hiện trên bảng 4.12 với lập phương đơn giản, bảng 4.13 với lập phương

tâm khối, bảng 4.14 với lập phương tâm mặt.

Bảng 4.12. Các giá trị của mô đun đàn hồi hiệu dụng của nhân tử lập phương đơn

PTHH PTHH-

PTHH-

PTHH

PTHH-

PTHH

PTHH-

CTĐ

CTĐĐG

CTĐ

CTĐĐG

CTĐ

CTĐĐG

0.1 16.731 16.729

16.729 10.329 10.325

10.312 10.090 10.082

10.065

0.2 13.944 13.943

13.943

8.951

8.952

8.930

8.291

8.274

8.241

0.3 11.531 11.535

11.535

7.709

7.722

7.693

6.693

6.665

6.620

0.4

9.399

9.410

9.408

6.522

6.554

6.518

5.313

5.272

5.217

0.5

7.387

7.415

7.411

5.290

5.354

5.311

4.061

4.011

3.947

giản khi

Bảng 4.13. Các giá trị của mô đun đàn hồi hiệu dụng của nhân tử lập phương tâm

khối khi

110

PTHH PTHH-

PTHH-

PTHH

PTHH-

PTHH

PTHH-

CTĐ

CTĐĐG

CTĐ

CTĐĐG

CTĐ

CTĐĐG

0 20.000 20.000

20.000 12.000 12.000

12.000 12.000 12.000

12.000

0.1 16.795 16.794

16.794 10.194 10.188

10.172 10.267 10.261

10.247

0.2 14.020 14.017

14.017

8.508

8.496

8.466

8.702

8.695

8.668

0.3 11.667 11.664

11.664

7.031

7.011

6.971

7.295

7.289

7.253

0.4

9.631

9.628

5.746

5.715

5.668

5.992

5.989

5.944

0.5

7.841

7.842

7.841

4.646

4.603

4.550

4.788

4.786

4.733

0.6

6.230

6.238

6.236

3.715

3.659

3.602

3.681

3.679

3.619

0.65

5.453

5.468

5.466

3.293

3.231

3.173

3.143

3.142

3.079

Bảng 4.14. Các giá trị của mô đun đàn hồi hiệu dụng của nhân tử lập phương tâm

PTHH PTHH-

PTHH-

PTHH

PTHH-

PTHH

PTHH-

CTĐ

CTĐĐG

CTĐ

CTĐĐG

CTĐ

CTĐĐG

mặt khi

0 1 1 1. 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4 0.4

0.1 1.133 1.133 1.133 0.475 0.475 0.476 0.480 0.480 0.481

0.2 1.294 1.294 1.294 0.561 0.561 0.564 0.579 0.579 0.581

0.3 1.490 1.489 1.489 0.665 0.665 0.669 0.707 0.705 0.710

0.4 1.735 1.735 1.735 0.799 0.801 0.808 0.880 0.875 0.884

0.5 2.053 2.054 2.054 0.980 0.986 0.998 1.120 1.102 1.120

0.6 2.492 2.500 2.501 1.252 1.264 1.286 1.467 1.421 1.451

0.7 3.171 3.210 3.215 1.673 1.697 1.742 1.989 1.873 1.928

b. So sánh: Với các giá trị đạt được trong bảng 4.9 – 4.14, so sánh với kết quả

theo phương pháp xấp xỉ Maxwell cho mô hình nền – cốt tương đương (MA-CTĐ)

111

trong chương 3, đồng thời so sánh với đường bao Hashin-Strikman (HSU, HSL), thể

hiện trên hình 4.14 – 4.19.

Hình 4.14. Các mô đun đàn hồi của lập phương đơn giản khi

KM =1, μM =0.4, KI1 =4, μI1 =2, KI2 =20, μI2 =12 (GPa)

112

Hình 4.15. Các mô đun đàn hồi của lập phương tâm khối khi

KM =1, μM =0.4, KI1 =4, μI1 =2, KI2 =20, μI2 =12 (GPa)

Các công thức xấp xỉ Maxwell cho cốt tương đương (ở chương 3), xin nhắc lại

cho tiện theo dõi :

(4.54)

113

(4.55)

Hình 4.16. Các mô đun đàn hồi của lập phương tâm mặt khi

KM =1, μM =0.4, KI1 =4, μI1 =2, KI2 =20, μI2 =1 (GPa)

114

Hình 4.17. Các mô đun đàn hồi của lập phương đơn giản khi

KM =20, μM =12, KI1 =1, μI1 =0.4, KI2 =4, μI2 =2 (GPa)

115

Hình 4.18. Các mô đun đàn hồi của lập phương tâm khối khi

KM =20, μM =12, KI1 =1, μI1 =0.4, KI2 =4, μI2 =2 (GPa)

116

Hình 4.19. Các mô đun đàn hồi của lập phương tâm mặt khi

KM =20, μM =12, KI1 =1, μI1 =0.4, KI2 =4, μI2 =2 (GPa)

Dựa theo đồ thị từ hình 4.14 – 4.19, nhận thấy rằng mô đun đàn hồi thể tích

trong các nhân tử tuần hoàn khác nhau khi tính theo phương pháp giải tích và phương

117

pháp phần tử hữu hạn cho kết quả rất sát nhau và đều nằm trong giới hạn của Hashin-

Strickman. Còn đối với mô đun đàn hồi trượt:

- Khi pha cốt cứng hơn pha nền: Kết quả xấp xỉ tính theo mô hình nền – cốt

tương đương sử dụng công thức của cốt tương đương đơn giản và kết quả theo phương

pháp PTHH đều nằm trong giới hạn của đường bao HS và sát với biên dưới. Mô đun

đàn hồi trượt theo các cạnh (μ1) và kết quả xấp xỉ khá gần nhau trong trường hợp

nhân tử tuần hoàn dạng lập phương tâm khối hoặc lập phương tâm mặt. Còn với lập

phương đơn giản kết quả xấp xỉ gần với mô đun đàn hồi trượt theo đường chéo hình

hộp (μ2).

- Khi pha nền cứng hơn pha cốt: Với nhân tử lập phương đơn giản, mô đun

đàn hồi trượt theo đường chéo hình hộp tính theo PTHH và kết quả giải tích nằm

trong giới hạn của đường bao HS, tiệm cận với đường bao trên. Còn mô đun đàn hồi

trượt theo các cạnh của hình hộp chữ nhật nằm ngoài đường bao HS (các giá trị lớn

hơn đường bao trên, <6.5%).

Với nhân tử lập phương tâm khối và lập phương tâm mặt các kết quả theo các

phương pháp rất gần nhau và tiệm cận với biên trên của HS.

118

4.5. Kết luận

Trong chương 4 này, tác giả đã trình bày lý thuyết đồng nhất hóa cho vật liệu

tuần hoàn và với sự hỗ trợ của phần mềm Cast3M luận án đã :

 Xác định được hệ số dẫn hiệu dụng và mô đun đàn hồi hiệu dụng của vật liệu

composite cốt sợi đồng phương và composite cốt hạt với cốt phức hợp.

 Xây dựng đồ thị so sánh kết quả giữa các phương pháp (PTHH và giải tích),

đồng thời so sánh với đường bao Hashin – Strickman. Các kết quả đạt được

của phương pháp PTHH đều rất tốt, nằm trong các giới hạn và gần với kết quả

giải tích.

Điểm hạn chế trong phương pháp PTHH trong chương này là ta mới chỉ tính với các

vật liệu mang tính tuần hoàn, còn với vật liệu phân bố ngẫu nhiên do sự phức tạp nên

chưa tính toán được.

Kết quả nghiên cứu trong chương này đã được tác giả công bố trong các công

trình khoa học [1-8] .

119

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Luận án đã xây dựng được các công thức xấp xỉ tính hệ số dẫn vĩ mô và mô

đun đàn hồi vĩ mô của vật liệu nhiều thành phần với cốt phức hợp theo hướng thay

thế lớp cốt được phủ bằng một cốt tương đương tương ứng. Phương pháp PTHH cũng

được áp dụng để so sánh với kết quả của các công thức xấp xỉ.

Những đóng góp mới của luận án:

1. Xây dựng công thức xấp xỉ tính hệ số dẫn ngang hiệu dụng của vật liệu

Composite cốt sợi phức hợp đồng phương, lớp phủ quanh cốt đẳng hướng hoặc

dị hướng.

2. Xây dựng công thức xấp xỉ tính mô đun đàn hồi của vật liệu Composite cốt

hạt hình cầu phức hợp.

3. Xây dựng công thức xấp xỉ tính mô đun đàn hồi của vật liệu Composite cốt

sợi phức hợp đồng phương.

4. Áp dụng phương pháp số PTHH (sử dụng phần mềm CAST3M) tính toán cho

một số mô hình vật liệu tuần hoàn

Các kết quả số sử dụng PTHH được so sánh với kết quả của các công thức xấp

xỉ sử dụng mô hình thay thế cốt tương đương.

5. Các so sánh kết quả trong luận án đều rất tốt, điều đó thể hiện tính đúng đắn

của kết quả nghiên cứu.

6. Luận án đã xây dựng được các công thức tính giá trị vĩ mô ở dạng đơn giản,

dễ hiểu giúp cho các nhà kỹ thuật có thêm công cụ tính toán, thiết kế, dự đoán

các mẫu vật liệu mới theo mong muốn.

Luận án mở ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu

1. Xây dựng các công thức xấp xỉ tính các giá trị hiệu dụng theo cách tiếp cận

cốt tương đương cho cốt phức hợp với hình học pha phức tạp hơn (hình elip)

2. Mô phỏng số PTHH cho trường hợp tính hệ số dẫn của vật liệu Composite cốt

hạt phức hợp, với lớp vỏ bọc dị hướng.

120

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ

Các kết quả của luận án đã được công bố trên các tạp chí quốc tế (01 bài SCIE,

01 bài Scopus), tạp chí Khoa học Giao thông Vận tải (01 bài) và tuyển tập các báo

cáo hội nghị trong nước (04 báo cáo hội nghị). Cụ thể:

[1] Tran, B. V., Pham, D. C., & Nguyen, T. H. G., Equivalent-inclusion approach

and effective medium approximation for elastic moduli of compound-inclusion

composites, Archive of Applied Mechanics, 2015, 85(12), 1983-1995.

[2] Bao-Viet Tran, Duc-Chinh Pham, Thi-Huong-Giang Nguyen, Effective medium

approximation for conductivity of unidirectional coated-fiber composites,

Computational Thermal Sciences, 2017, 9(1), 63-76.

[3] Nguyễn Thị Hương Giang, Trần Bảo Việt, Phương pháp cốt tương đương xác

định hệ số đàn hồi của vật liệu cốt sợi dọc trục có cấu trúc phức hợp, Tạp chí Khoa

học Giao thông Vận tải, 2017, 59, 10-16.

[4] Trần Bảo Việt, Nguyễn Thị Hương Giang, Hệ số dẫn ngang vật liệu cốt sợi dọc

đa cốt liệu phức hợp, Hội nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc Đà nẵng, 03-05/08/2015,

328-333.

[5] Nguyễn Thị Hương Giang, Trần Bảo Việt, Phạm Đức Chính, Phương pháp xấp

xỉ tương đương xác định hệ số đàn hồi của vật liệu nhiều thành phần có cấu trúc

phức tạp, Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ XII Đại

học Duy Tân, TP Đà Nẵng, 7/8/2015, 480-487.

[6] Nguyễn Thị Hương Giang, Trần Bảo Việt, Mô đun đàn hồi Young dọc trục và hệ

số Poisson của vật liệu cốt sợi dọc trục với cốt phức hợp, Hội nghị Cơ học toàn quốc

lần thứ X, Hà Nội, 8-9/12/2017, 316-321.

[7] Nguyễn Thị Hương Giang, Trần Bảo Việt, Nghiên cứu ảnh hưởng của lớp vỏ dị

hướng tới hệ số dẫn nhiệt của vật liệu composite cốt sợi dọc trục nhiều pha, Hội nghị

Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn lần thứ XIV Đại học Trần Đại Nghĩa, TP Hồ Chí

Minh, 19-20/7/2018.

[8] Tran Bao Viet, Nguyen Thi Hương Giang, Pham Duc Chinh, Effective medium approximation for conductivity of coated-inclusion composites with anisotropic coating,Vietnam Journal of Mechanics, VAST, Vol. 41, No. 3 (2019), pp. 233 – 241

121

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] https://www.machinedesign.com

[2] Patrick R. Jackson, Triplicane A. Parthasarathy, Aric Ros, Donald W. Radford,

Use of interphase in geopolymer matrix composites for improved toughness,

Ceramics International , 2019, 45, 5139-5149.

[3] http://www.saigonxaydung.com/nhung-dieu-can-biet-ve-tong-cot-soi/

[4] J. D. Achenbach, H. A. Lauwerier, P. G. Saffman, L. Van Wijngaarden, J. R.

Willis, Applied mathematics and mechanics, 1993, North - Holland Amsterdam.

[5] W. Voigt, Lehrbuch der Krystallphysik., 1928, Teuber, Leipzig.

[6] A. Reuss, “Berechnung der Fliessgrenze von Mischkristallen auf Grund der

Plastizitatsbedingung fur Einkristalle”, ZAMM 9, 1929, pp.49-58.

[7]. J. C. M. Garnett, Colours in metal glasses and in metallic films, Philos. Trans. R.

Soc. London A 203, 1904,pp. 385–420.

[8]. J. C. M. Garnett, Colours in metal glasses, in metallic films, and in metallic

solutions II, Philos. Trans. R. Soc. London 205, 1906, pp. 237–288.

[9] J. D. Eshelby, “The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion,

and related problems”, Proc. R. Soc. Lond., 1957, A41, pp.376-396.

[10] D. A. G. Bruggeman, Berechnung verschiedener physikalisher Konstanten von

heterogenen Substanzen I, Annalen der Physik, 1935, 24, 636-663.

[11] R. Roscoe, The viscosity of suspensions of rigid spheres, British Journal of

Applied Physics, 1952, 3, 267-269.

[12] S. Boucher, On the effective moduli of isotropic two – phase elastic composites.

Journal of Composite Materials, 1974, 8, 82-89.

[13] R. McLaughlin, A study of the differential scheme for composite materials,

International Journal of Engineering Science, 1977, 15, 237-244.

[14] A. N. Norris, A differential scheme for effective moduli of composites. Mechanics

of Materials, 1985, 4, 1-16.

[15] Z. Hashin, The differential scheme and its application to cracked materials,

Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1988, 36, 719-734.

[16] A. Einstein, Eine neue Berechnung der Molekuldimention, Annales de Physique,

1905, 19, 289-306.

122

[17] D. A. G. Bruggeman, Berechnung verchiedener physikalisher Konstanten von

heterogenen Substanzen I, Annalen der Physik, 1935, 24, 636-663.

[18] A. V. Hershey, The elasticity of an isotropic aggregate of anisotropic cubic

crystals, ASME Journal of Applied Mechanics, 1954, 21, 236-240.

[19] E. H. Kerner, The elastic and thermo-elastic properties of composite media,

Proceedings of the Royal Society London, B, 1956, 69, 808-813.

[20] R. Hill, Continuum micromechanics of elastic – plastic polycrystal, Journal of

the Mechanics and Physics of Solid, 1965, 13, 89-101.

[21] N. Laws, On thermostatics of composite materials, Journal of the Mechanics and

Physics of Solid, 1973, 21, 9-17.

[22] N. Laws, The overall thermoelastic moduli of transversely isotropic composites

according to the self-consistent method, International Journal of Engineering

Science, 1974, 12, 79-87.

[23] R. M. Christensen, & F. M. Waals, Effective stiffness of randomly oriented fiber

composites, Journal of Composite Materials, 1972, 6, 518-532.

[24] J. G. Berryman, Long wavelength propagation in composite elastic media II,

Ellipsoidal inclusion, Journal of the Acoustical Society of America, 1980, 68, 1820-

1831.

[25] L. J. Walpole, Elastic behavior of composite materials. Theoretical foundation.

In Advanced in applied mechanics , 1981, (Vol. 21, pp. 169-242), New York:

Academic.

[26] T. Mori, & K. Tanaka, Average stress in matrix and average elastic energy of

materials with misfitting inclusions, Acta Metallurgica, 1973, 21, 571-574.

[27] G. J. Weng, Some elastic properties of reiforced solids, wwith special reference

to isotropic ones containing spherical inclusions, International Journal of

Engineering Science, 1984, 22, 845-856.

[28] Y. Benveniste, G. J. Dvorak, & T. Chen, Stress fields in composites with coated

inclusions, Mechanics of Materials, 1989, 7, 305-317.

[29] T. Chen, G. J. Dvorak, & Y. Benveniste, Mori-Tanaka estimates of the overall

elastic moduli of certain composite materials. ASME Journal of Applied Mechanics,

1992, 59, 539-546.

123

[30] D.C. Pham and S.Torquato, Strong-contrast expansions and approximations for

the effective conductivity of isotropic multiphase composites, J. Appl. Phys., 2003,

94, 6591-6602.

[31] D. C. Pham, T. K. Nguyen, Polarization approximations for macroscopic

conductivity of isotropic multicomponent materials, International Journal of

Engineering Science, 2015, 97, 26-39.

[32] Duc Chinh Pham, Nguyen Quyet Tran and Anh Binh Tran, Polarization

approximations for elastic moduli of isotropic multicomponent materials, Journal of

Mechanic of Materials and Structures, 2017, 12(4), 391-406.

[33] Bao Viet Tran, Duc Chinh Pham, Refined polarization approximations for

conductivity of isotropic composites, International Journal of Thermal Sciences,

2018, 131, 72-79.

[34] R. Hill, Theory of mechanical properties of fiber-strengthened materials: I.

Elastic behaviour, J. Mech. Phys. Solids , 1964, 12, 199.

[35] B. Paule, Prediction of elastic constants of multiphase materials, Trans. ASME

, 1960, 218, 36.

[36] Z. Hashin, S. Shtrickman, Avariational approach to the theory of the effective

magnetic permiability of multiphase materials, J. Appl. Phys. , 1962, 33, 3125-3131.

[37] Z. Hashin, S. Shtrickman, Avariational approach to the theory of the elastic

behaviour of polycrystals, J. Appl. Phys. , 1962, 10, 343.

[38] D. C. Pham, Bounds on the effective shear modulus of multiphase materials,

International Journal of Engineering Science, 1993, 31, 11-17.

[39] D. C. Pham, Bounds for the effective conductivity and elastic moduli of fully-

disordered multicomponent materials, Archive for Rational Mechanics and Analysis,

1994, 127, 191-198.

[40] D. C. Pham, Bounds on the effective properties of some multiphase matrix

mixtures of coated-sphere geometry, Mechanic of Materials, 1998, 27, 249-260.

[41] D. C. Pham, On macroscopic conductivity and elastic properties of perfectly-

random cell composites, International Journal of Solids and Structures, 1996, 33,

1745-1755.

[42] D. C. Pham, Estimation for the overall properties of some isotropic locally-

ordered composites, Acta Mechanica, 1997a, 121, 177-190.

124

[43] D. C. Pham, Overall properties of planar quasisymmetric randomly

inhomogeneuos media: estimates and cell models, Physical Review E, 1997b, 56,

652-660.

[44] D. C. Pham, N. Phan-Thien, Bounds and extremal elastic moduli of isotropic

multicomponent materials and random cell polycrystals, International Journal of

Solids and Structures, 1998, 49, 2646-2659.

[45] D. C. Pham, On the elastic constants of transversely isotropic, quasisymmetric

composites, ASME Journal of Applied Mechanics, 1999, 66, 262-264.

[46] D. C. Pham, Weighted self-consistent approximations for elastic completely

random mixtures, Mechanics of Materials, 2000a, 32, 463-470.

[47] D. C. Pham, Differential nonhomogeneous models for elastic randomly cracked

solids, International Journal of Solid and Structures, 2000b, 37, 7759-7768.

[48] D. C. Pham, Three-point interpolation approximation for the macroscopic

properties of isotropic two-component materials, Philosophical Magazine, 2007, 87,

3531-3544.

[49] D. C. Pham, Weighted effective medium approximations for conductivity of

random composites, International Journal of Heat and Mass Transfer, 2008, 51, 3355-

3361.

[50] D. C. Pham, Bounds on the elastic moduli of statistically isotropic

multicomponent materials and random cell polycrystals, International Journal of

Solid and Structures, 2012, 49, 2646-2659.

[51] Z. A. Moschovidis, T. Mura, Two ellipsoidal inhomogeneities by the equivalent

inclusion method, J. Appl. Mech., 1975, 42, 847-852.

[52] H. M. Shodja, I. Z. Rad, R. Soheilifard. Interacting cracks and ellipsoidal

inhomogeneities by the equivalent inclusion method, Journal of the Mechanics and

Physics of Solids, 2003, 51, 945-960.

[53] Z. Hashin, Thermoelastic properties of fiber composites with imperfect interface,

Mechanics of Materials, 1990, 8 ,333-348.

[54] Y. P. Qui, G. J. Weng, Elastic moduli of thickly coated particle and fiber-

reinforced composites, J. Appl. Mech, 1991, 58, 388-398.

125

[55] D. C. Pham, B. V. Tran, Equivalent-inclusion approach and effective medium

approximation for conductivity of coated-inclusion composites, European Journal of

Mechanics A/Solids, 2014, 47, 341-348.

[56] T. K. Nguyen, D. C. Pham, Equivalent-inclusion approach and effective

medium estimates for elastic moduli of two-dimensional suspensions of compound

inclusions, Philosophical Magazine, 2014, 94:36, 4138-4156.

[57] H. L. Duan, J. Wang, Z. P. Huang, B. L. Karihaloo, Size-dependent effective

elastic constants of solids containing nanoinhomogeneities with interface stress, J.

Mech. Phys. Solids, 2005, 53, 1574-1596.

[58] T. Chen, G. J. Dvorak, C. C. Yu, Size-dependent elastic properties of

unidirectional nano-composites with interface stresses, Acta. Mech. , 2007, 188, 39-

54.

[59] Vũ Lâm Đông, Đánh giá và mô phỏng mô đun đàn hồi vật liệu nhiều thành phần,

Luận án tiến sĩ cơ kỹ thuật, 2016, Hà Nội.

[60] Nguyễn Tiến Luật, Đánh giá các tính chất dẫn của vật liệu nhiều thành phần và

đa tinh thể hỗn độn, Luận án tiến sĩ cơ kỹ thuật, 2017, Hà Nội.

[61] Vương Mỹ Hạnh, Đánh giá và mô phỏng các hệ số đàn hồi đa tinh thể hỗn độn,

Luận án tiến sĩ cơ học vật rắn, 2019, Hà Nội.

[62] Đỗ Quốc Hoàng, Một cách tiếp cận xấp xỉ và mô hình hóa phần tử hữu hạn hệ

số dẫn và mô đun đàn hồi của vật liệu nhiều thành phần, Luận án tiến sĩ cơ kỹ thuật,

2019, Hà Nội.

[63] K. J. Bathe, Finite element procedures, 1996, Prentice-Hall.

[64] E. B. Becker, G. F. Carey and J. T. Oden, Finite elements: an introduction,

1980, Prentice-Hall.

[65] P. Wriggers, Nichtlineare Finite-Element-Methoden, 2001, Springer-Verlag.

[66] T. J. R. Hughes, The finite element method, 1989, Prentice Hall.

[67] H. Moulinec, P. Suquet, A fast numerical method for computing the linear and

nonlinear properties of composites, CR. Acad. Sc. Paris II, 1994, 318, 1417-1423.

[68] Nguyen Van Luat, Nguyen Trung Kien, FFT-simulation and multi-coated

inclusion model for macroscopic conductivity of 2D suspensions of compound

inclusions, Vietnam Journal of Mechanics, 2015, 37, 169-176.

126

[69] Nguyễn Văn Luật, Nguyễn Trung Kiên, Phạm Đức Chính, Các đánh giá bậc ba

và mô phỏng số FFT cho hệ số dẫn một số vật liệu nhiều thành phần, Hội nghị Khoa

học toàn quốc Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ XI Thành phố Hồ Chí Minh, 2013.

[70] D.C. Pham and S.Torquato, Strong-contrast expansions and approximations for

the effective conductivity of isotropic multiphase composites, J. Appl. Phys., 2003,

94, 6591-6602.

[71] S. Torquato, Random Heterogeneous Materials, Springer-Verlag, New York,

2002.

[72] H. Le-Quang, D.C. Pham, G. Bonnet, Q.C. He, Estimation of the effective

conductivity of anisotropic multiphase composites with imperfect interfaces, Int. J.

Heat. Mass Transf., 2013, 58, 175-187.

[73] D.S. Liu, D.Y. Chiou, Modeling of inclusions with interphases in heterogeneous

material using the infinite element method, Comput. Mater. Sci., 2004, 31, 405-420.

[74] R. M. Christensen, Mechanics of Composite Materials, 1979, New York: Wiley.

[75] D. C. Pham, A. B. Tran, Q. H. Do, On the effective medium approximations for

the properties of isotropic multicomponent matrix-based composites, Int. J. Eng. Sci,

2013, 68, 75-85.

[76] A. S. Sarvestani, On the overall elastic moduli of composites with spherical

coated fillers, Int. J. Solids Struct., 2003, 7553-7566.

[77] S. Nemat-Nasser, M. Hori, Micromechanics: Overall Properties of

Heterogeneous Materials, 1993, North-Holland, Amsterdam.

[78] Z. Hashin, Viscoelastic fiber reinforced materials, 1966, AIAA Journal, 4(8),

1411-1417.

[79] George J. Dvorak, Micromechanics of Composite Materials, 2013, New York.

[80] M. L. Accorsi, S. Nemat-Nasser, Bounds on the overall elastic and instantaneous

elastoplastic moduli of periodic composites, Mechanics of Materials, 1986, 5, 209-

220.

[81] J. L. Teply, J. N. Reddy, A unified formulation of micromechanics models of

fiber-reinforced composites, In G. J. Dvorak (Ed.), Inelastic deformation of

composite materials, 1990, 341-372. New York: Springer.

127

[82] J. Aboudi, Mechanics of composite materials – A unified micromechanical

approach, 1991, Amsterdam: Elsevier.

[83] S. Nemat – Nasser, M. Hori, Micromechanics: Overall properties of hetero-

geneous materials (2nd ed.), 1999, Amsterdam: Elsevier.

[84] J. Fish, K. Shek, M. S. Shephard, M. Pandheeradi, Computational plasticity for

composite structures based on mathematical homogenization: Theory and practice,

Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1997, 157, 69-94.

[85] L. Dormieux, D. Kondo, F. J. Ulm: Microporomechanics, 2006, Wiley, London.

[86] http://www-cast3m.cea.fr

PHỤ LỤC

1. Tính toán mô đun đàn hồi trượt của cốt tương đương theo công thức (3.32) bằng phần mềm

MATPLE.

> restart;

> ur:=A*R-6*(v/(1-2*v))*B*R^3+3*C/R^4+(5-4*v)/(1-2*v)*D/R^2:

128

up:=A*R-((7-4*v)/(1-2*v))*B*R^3-2*C/R^4+2*D/R^2:

>sr:=2*(A+3*(v/(1-2*v))*B*R^2-12*C/R^5-2*(5-v)/(1-2*v)*D/R^3)*m:

sp:=(A-((7+2*v)/(1-2*v))*B*R^2+8*C/R^5+2*(1+v)/(1-2*v)*D/R^3)*m:

> ur11:=subs({R=R1,A=A1,B=B1,C=C1,D=D1,v=v1},ur):

up11:=subs({R=R1,A=A1,B=B1,C=C1,D=D1,v=v1},up):

ur21:=subs({R=R1,A=A2,B=B2,C=C2,D=D2,v=v2},ur):

up21:=subs({R=R1,A=A2,B=B2,C=C2,D=D2,v=v2},up):

> ur22:=subs({R=R2,A=A2,B=B2,C=C2,D=D2,v=v2},ur):

up22:=subs({R=R2,A=A2,B=B2,C=C2,D=D2,v=v2},up):

ur32:=subs({R=R2,A=A3,B=B3,C=C3,D=D3,v=v3},ur):

up32:=subs({R=R2,A=A3,B=B3,C=C3,D=D3,v=v3},up):

> sr11:=subs({R=R1,A=A1,B=B1,C=C1,D=D1,v=v1,m=m1},sr):

sp11:=subs({R=R1,A=A1,B=B1,C=C1,D=D1,v=v1,m=m1},sp):

sr21:=subs({R=R1,A=A2,B=B2,C=C2,D=D2,v=v2,m=m2},sr):

sp21:=subs({R=R1,A=A2,B=B2,C=C2,D=D2,v=v2,m=m2},sp):

> sr22:=subs({R=R2,A=A2,B=B2,C=C2,D=D2,v=v2,m=m2},sr):

sp22:=subs({R=R2,A=A2,B=B2,C=C2,D=D2,v=v2,m=m2},sp):

sr32:=subs({R=R2,A=A3,B=B3,C=C3,D=D3,v=v3,m=m3},sr):

sp32:=subs({R=R2,A=A3,B=B3,C=C3,D=D3,v=v3,m=m3},sp):

> ex1:=ur11-ur21:

ex2:=up11-up21:

ex3:=ur22-ur32:

ex4:=up22-up32:

ex5:=sr11-sr21:

ex6:=sp11-sp21:

ex7:=sr22-sr32:

ex8:=sp22-sp32:

> C1:=0;D1:=0;A3:=E0;B3:=0;

>solus:=solve({ex1=0,ex2=0,ex3=0,ex4=0,ex5=0,ex6=0,ex7=0,ex8=0},{A1,B1,A2,B2,C2,D2,C3,

D3}):

>A1:=eval(A1,solus);B1:=eval(B1,solus);A2:=eval(A2,solus);B2:=eval(B2,solus);

C2:=eval(C2,solus);D2:=eval(D2,solus);C3:=eval(C3,solus);D3:=eval(D3,solus);

Equivalent

> ur2e:=subs({R=R2,A=Ae2,B=Be2,C=Ce2,D=De2,v=v2e},ur):

up2e:=subs({R=R2,A=Ae2,B=Be2,C=Ce2,D=De2,v=v2e},up):

ur3e:=subs({R=R2,A=Ae3,B=Be3,C=Ce3,D=De3,v=v3},ur):

up3e:=subs({R=R2,A=Ae3,B=Be3,C=Ce3,D=De3,v=v3},up):

129

> sr2e:=subs({R=R2,A=Ae2,B=Be2,C=Ce2,D=De2,v=v2e,m=m2e},sr):

sp2e:=subs({R=R2,A=Ae2,B=Be2,C=Ce2,D=De2,v=v2e,m=m2e},sp):

sr3e:=subs({R=R2,A=Ae3,B=Be3,C=Ce3,D=De3,v=v3,m=m3},sr):

sp3e:=subs({R=R2,A=Ae3,B=Be3,C=Ce3,D=De3,v=v3,m=m3},sp):

> exe1:=ur2e-ur3e:

exe2:=up2e-up3e:

exe3:=sr2e-sr3e:

exe4:=sp2e-sp3e:

Ce2:=0;De2:=0;Ae3:=E0;Be3:=0:

solue:=solve({exe1=0,exe2=0,exe3=0,exe4=0},{Ae2,Be2,Ce3,De3}):

Equivallent 2 - 3

> Meff2:=m3*(1+fe*Aed*(me-m3)/m3):

> Meff1:=m3*(1+f1*A1d*(m1-m3)/m3+f2*A2d*(m2-m3)/m3):

> Mtess:=m3*(1+fe*(me-m3)/(m3+beta*(me-m3))): beta:=6*(k3+2*m3)/(5*(3*k3+4*m3)):

> simplify(solve(Mtess-Meff1=0,me)):

> Aed:=(Ae2-21/5/(1-2*ve)*Be2*R2^2+4*(4-5*ve)/5/(1-2*ve)*De2/R2^3)/E0:

> A2d:=simplify((A12d-(R1/R2)^3*A1d)/(1-(R1/R2)^3)):

> A1d:=((A1-21/5/(1-2*v1)*B1*R1^2+4*(4-5*v1)/5/(1-2*v1)*D1/R1^3)/E0):

> A12d:=((A2-21/5/(1-2*v2)*B2*R2^2+4*(4-5*v2)/5/(1-2*v2)*D2/R2^3)/E0):

>Ae2:=eval(Ae2,solue);Be2:=eval(Be2,solue):Ce3:=eval(Ce3,solue):De3:=eval(De3,solue):

> A1:=eval(A1,solus):B1:=eval(B1,solus):A2:=eval(A2,solus):B2:=eval(B2,solus):

C2:=eval(C2,solus):D2:=eval(D2,solus):C3:=eval(C3,solus):D3:=eval(D3,solus):

> Meq:=simplify(solve(Meff1-Meff2=0,me));

2. Mô hình tính hệ số dẫn ngang vật liệu cốt sợi dọc trục với cốt phức hợp (khi các pha đồng

nhất đẳng hướng) – lập trình trên Cast3m

*Periodic-Homogeneization of Conductivity Properties

*2D Problem (2 spherical inclusion)

option dime 2 elem tri3 echo 1;

conm=1; N=0.05; conia=5; conib=20;

m=1.; l=(3.)**(1./2.); ll=(-1)*l;

listC=prog conm; listP=prog 0; nn=20;

j=0;

repere b1 nn;

j=j+1;

phii=0.05*j; phiib=(10./11.)*phii; phiia=phii-phiib;

130

a=((m*2.*l*phii/3.14)**(1./2.)); aa=(-1)*a;

b=((m*2.*l*phiib/3.14)**(1./2.)); bb=(-1)*b; vt=2.*l*m; vib=(3.14*b*b);

via=(3.14*a*a)-vib; vm=vt-via-vib; phiiaa=via/vt; phiibb=vib/vt; phim=vm/vt;

p1=ll 0; p2=l 0; p3=l m; p4=ll m; p5=aa 0; p6=0 a; p7=a 0; p8=bb 0; p9=0 b;

p10=b 0; p2a=l (m-a); p2b=l (m-b); p1a=ll (m-a); p1b=ll (m-b); p3a=(l-a) m;

p3b=(l-b) m; p4a=(ll+a) m; p4b=(ll+b) m;

l15=droi p1 p5 dini (N) dfin (N); l72=droi p7 p2 dini (N) dfin (N);

l22a=droi p2 p2a dini (N) dfin (N); l2a2b=droi p2a p2b dini (N) dfin (N);

l2b3=droi p2b p3 dini (N) dfin (N);

l23=l22a et l2a2b et l2b3;

l11a=droi p1 p1a dini (N) dfin (N); l1a1b=droi p1a p1b dini (N) dfin (N);

l1b4=droi p1b p4 dini (N) dfin (N); l14=l11a et l1a1b et l1b4;

l33b=droi p3 p3b dini (N) dfin (N); l3b3a=droi p3b p3a dini (N) dfin (N);

l3a4a=droi p3a p4a dini (N) dfin (N); l4b4a=droi p4b p4a dini (N) dfin (N);

l44b=droi p4 p4b dini (N) dfin (N); l58=droi p5 p8 dini (N) dfin (N);

l810=droi p8 p10 dini (N) dfin (N); l107=droi p10 p7 dini (N) dfin (N);

l567=cer3 p5 p6 p7 dini (N) dfin (N); l8910=cer3 p8 p9 p10 dini (N) dfin (N);

l3b=cerc p2b p3 p3b dini (N) dfin (N); l3a=cerc p2a p3 p3a dini (N) dfin (N);

l4b=cerc p1b p4 p4b dini (N) dfin (N); l4a=cerc p1a p4 p4a dini (N) dfin (N);

dm=l15 et l72 et l567 et l22a et l3a et l3a4a et l4a et l11a;

sm= surf dm; dia12=l567 et l107 et l8910 et l58;

sia12=surf dia12; dia3=l2a2b et l3b et l3b3a et l3a; sia3=surf dia3;

dia4=l1a1b et l4b et l4b4a et l4a; sia4=surf dia4; sia=sia12 et sia3 et sia4;

dib12=l8910 et l810; sib12=surf dib12; dib3=l2b3 et l33b et l3b; sib3=surf dib3;

dib4=l1b4 et l44b et l4b; sib4=surf dib4;

sib=sib12 et sib3 et sib4; s=sia et sm et sib;

*trac s;

modia=mode sia thermique; matia=mate modia k conia; modib=mode sib thermique;

matib=mate modib k conib; modm=mode sm thermique; matm=mate modm k conm;

cia=cond modia matia; cib=cond modib matib; cm=cond modm matm;cim=cia et cib et cm;

*blocage des periodicites

n1 = nbno l22a;

i = 1;

k22a = rela T (point 1 l22a) - T (point 1 l11a);

dk22a=depi k22a 2.*((3.)**(1./2.));

repeter bouc (n1-1);

i = i + 1;

tata=(rela T (point i l22a) - T (point i l11a)); toto=depi tata 2.*((3.)**(1./2.));

131

k22a=k22a et tata; dk22a=dk22a et toto;

fin bouc;

n1 = nbno l2a2b;

i = 1;

k2a2b = rela T (point 1 l2a2b) - T (point 1 l1a1b);

dk2a2b=depi k2a2b 2.*((3.)**(1./2.));

repeter bouc (n1-1);

i = i + 1;

tata=(rela T (point i l2a2b) - T (point i l1a1b)); toto=depi tata 2.*((3.)**(1./2.));

k2a2b=k2a2b et tata; dk2a2b=dk2a2b et toto;

fin bouc;

n1 = nbno l2b3;

i = 1;

k2b3 = rela T (point 1 l2b3) - T (point 1 l1b4); dk2b3=depi k2b3 2.*((3.)**(1./2.));

repeter bouc (n1-1);

i = i + 1;

tata=(rela T (point i l2b3) - T (point i l1b4)); toto=depi tata 2.*((3.)**(1./2.));

k2b3=k2b3 et tata; dk2b3=dk2b3 et toto;

fin bouc;

k11=k2a2b et k22a et k2b3; dk11=dk2a2b et dk22a et dk2b3;

c1=bloq p9 T; dc1=depi c1 0; ctot=cia et cib et cm et c1 et k11;

qtot=dk11 et dc1; r=reso ctot qtot;

*trac r s;

gria=grad modia r; grib=grad modib r; grm=grad modm r;

xiia=intg modia gria t,x; xiib=intg modib grib t,x; xim=intg modm grm t,x;

gria1=change chpo gria modia; gria2=vect gria1 0.2 t,x t,y rouge;

grib1=change chpo grib modib; grib2=vect grib1 0.2 t,x t,y vert;

grm1=change chpo grm modm; grm2=vect grm1 0.2 t,x t,y jaune;

*trac (grm2 et gria2 et grib2) s;

resm=(phim*conm*((xim/vm))); resa=(phiia*conia*((xiia/via)));

resb=(phiib*conib*((xiib/vib)));

res=resm+resa+resb;

mess"result";

mess (phiiaa+phiibb) res;

listC = listC 'ET' ('PROG' res);

listP=listP et (prog phii);

fin b1;

132

evo1 = 'EVOL' 'MANUEL' listP listC; dess evo1; list evo1;

fin;

3. Mô hình tính hệ số dẫn ngang vật liệu cốt sợi dọc trục với cốt phức hợp (khi lớp vỏ bọc dị

hướng) – lập trình trên Cast3m

*Periodic-Homogeneization of Conductivity Properties

*2D Problem (2 spherical inclusion with anisotropic coated)

option dime 2 mode plan elem tri3 echo 1;

conm=100;

conib=1;

*kt:he so dan tiep, kn: he so dan vuong goc cua inlusion a.

kn = 10; kt = 60; N=0.1;

l=1.;ll=(-1)*l;

phii= 0.5; phiib=(10./11.)*phii; phiia=phii-phiib;

a=((4.*phii/3.14)**(1./2.)); aa=(-1)*a; b=((4.*phiib/3.14)**(1./2.));

bb=(-1)*b; vt=2*l*l; vib=(3.14*b*b)/2; via=((3.14*a*a)/2)-vib;

vm=vt-via-vib; phiiaa=via/vt; phiibb=vib/vt; phim=vm/vt;

p0=0 0; p1=ll 0; p2=l 0; p3=l l; p4=ll l; p5=aa 0; p6=0 a; p7=a 0; p8=bb 0;

p9=0 b; p10=b 0;

pe = table; po = table; loe = table; co = table; ce = table; da = table; sa = table;

beta = table; modia = table; matia = table; k11d = table; k21d = table; k22d = table;

cia = table;

po.0 = p10; pe.0 = p7; loe.0 = droi po.0 pe.0 dini (N) dfin (N);

*kk: so diem chia, kk tang gia tri se chinh xac, de kiem tra code, de kk gia tri nho.

kk = 45;

i = 0;

repere b2 (2*kk);

i = i+1;

alpha = 90.0/kk; beta.i = (i*alpha)-(alpha/2.);

po.i=(b*(cos(i*alpha))) (b*(sin(i*alpha))); pe.i=(a*(cos(i*alpha))) (a*(sin(i*alpha)));

loe.i = droi po.i pe.i dini (N) dfin (N); co.i = cerc po.(i-1) p0 po.i dini (N) dfin (N);

ce.i = cerc pe.(i-1) p0 pe.i dini (N) dfin (N); da.i = loe.(i-1) et ce.i et loe.i et co.i;

sa.i = surf da.i; k11d.i = (kn*(cos(beta.i)**2))+(kt*(sin(beta.i)**2));

k22d.i = (kn*(sin(beta.i)**2))+(kt*(cos(beta.i)**2));

k21d.i = ((sin(beta.i))*(cos(beta.i)))*(kn-kt);

toto = (kn*(cos(beta.i)**2))+(kt*(sin(beta.i)**2));

tata = (kn*(sin(beta.i)**2))+(kt*(cos(beta.i)**2));

tete = ((sin(beta.i))*(cos(beta.i)))*(kn-kt);

modia.i=mode sa.i thermique anisotrope;

133

matia.i=mate modia.i direction (1. 0.) para k11 toto k21 tete k22 tata;

cia.i=cond modia.i matia.i;

fin b2;

cot = co.1; cet = ce.1; sia = sa.1; ciat = cia.1;

i = 1;

repere b3 (2*kk-1);

i = i+1;

cot = cot et co.i; cet = cet et ce.i; sia = sia et sa.i; ciat=ciat et cia.i;

fin b3;

l15 = droit pe.(2*kk) p1 dini (N) dfin (N); l72 = droit pe.0 p2 dini (N) dfin (N);

l810 = droit po.0 po.(2*kk) dini (N) dfin (N);

dm=l15 et l72 et cet et l23 et l34 et l41;

sm = surf dm; dib=cot et l810; sib=surf dib; s=sia et sm et sib;

*trac s;

modib=mode sib thermique; matib=mate modib k conib;modm=mode sm thermique;

matm=mate modm k conm;cib=cond modib matib; cm=cond modm matm;

cim=ciat et cib et cm;

*blocage des periodicites

n1 = nbno l23; i = 1;

k11 = rela T (point 1 l23) - T (point 1 l41);

dk11=depi k11 2;

repeter bouc (n1-1);

i = i + 1;

tata=(rela T (point i l23) - T (point i l41));

toto=depi tata 2; k11=k11 et tata; dk11=dk11 et toto;

fin bouc;

c1=bloq p9 T; dc1=depi c1 0;

ctot=ciat et cib et cm et c1 et k11;

qtot=dk11 et dc1; r=reso ctot qtot;

*trac r s;

grib=grad modib r; grm=grad modm r; xiib=intg modib grib t,x;

xim=intg modm grm t,x; resm=(phim*conm*((xim/vm)));

resb=(phiib*conib*((xiib/vib)));

gria=table; xiiax=table; xiiay=table; resaa=table;

resa=0;

i=0;

repere b4 (2*kk);

i=i+1;

134

gria.i=grad modia.i r; xiiax.i=intg modia.i gria.i t,x; xiiay.i=intg modia.i gria.i t,y;

resai=(phiia/(2*kk))*(((k11d.i*xiiax.i)+(k21d.i*xiiay.i))/(via/(2*kk)));

resa=resa+resai; resaa.i=resai;

fin b4;

res=resm+resb+resa;

mess"result";

mess (phiiaa+phiibb) res;

-fin;

Luận án Tiến sĩ Cơ học: Xấp xỉ tương đương cơ tính vật liệu tổ hợp có các cốt liệu phức hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -----------------------------

NGUYỄN THỊ HƯƠNG GIANG

XẤP XỈ TƯƠNG ĐƯƠNG CƠ TÍNH VẬT LIỆU TỔ HỢP CÓ CÁC CỐT LIỆU PHỨC HỢP

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

Hà Nội – Năm 2020

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ -----------------------------

NGUYỄN THỊ HƯƠNG GIANG

XẤP XỈ TƯƠNG ĐƯƠNG CƠ TÍNH VẬT LIỆU TỔ HỢP CÓ CÁC CỐT LIỆU PHỨC HỢP

Chuyên ngành: Cơ học vật rắn Mã số: 9 44 01 07

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. PGS. TSKH. Phạm Đức Chính 2. PGS.TS. Trần Bảo Việt

Hà Nội – Năm 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu riêng của tôi, mọi số liệu

và kết quả trong luận án là trung thực và cũng chưa có tác giả khác công bố ở

bất cứ công trình nghiên cứu nào từ trước tới nay.

Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về nội dung khoa học của công trình

này.

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Thị Hương Giang

LỜI CẢM ƠN

Với lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin chân thành cảm ơn PGS. TSKH. Phạm

Đức Chính, TS. Trần Bảo Việt – những người thày đã tận tình hướng dẫn,

động viên giúp đỡ và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành luận án này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thày, Cô đã giảng dạy tôi trong

thời gian học chuyên đề trong khuôn khổ chương trình đào tạo Tiến sĩ, các cán

bộ của Học viện Khoa học & Công nghệ, nhóm nghiên cứu tại Viện Cơ học đã

giúp đỡ hỗ trợ tôi tài liệu, kinh nghiệm để hoàn thiện luận án.

Các nghiên cứu trong luận án cũng được hỗ trợ bởi Quỹ phát triển Khoa

học và Công nghệ quốc gia (NAFOSTED).

Xin gửi lời cảm ơn đến Trường Đại học Giao thông Vận tải, nơi tôi công

tác, đã hỗ trợ học phí và tạo mọi điều kiện về thời gian cho tôi hoàn thành luận

án.

Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình nhỏ của tôi, những người luôn

gần gũi và là động lực cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu để

hoàn thành luận án này.

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN

Trong đó :

𝑐(0) = 𝑐3, 𝑐23 = 𝑐(𝑣2) Trường hợp cN = const, cT =const từ phương trình (2.77):

nhận được theo hai cách tiếp cận khác nhau có kết quả trùng

(3.73)

(3.74)

(3.76)

và

: phản tuần hoàn

n: véc tơ pháp tuyến trên

: phản tuần hoàn

Giải các phương trình từ (4.15) – (4.19) sẽ xác định được trường dòng nhiệt trên các

(a) (b) Hình 4.8. (a) - nhân tử tuần hoàn với lớp vỏ bọc dị hướng

(4.41)

(4.42)

(4.55)

Những đóng góp mới của luận án:

Luận án mở ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu

1. Tính toán mô đun đàn hồi trượt của cốt tương đương theo công thức (3.32) bằng phần mềm

MATPLE.

2. Mô hình tính hệ số dẫn ngang vật liệu cốt sợi dọc trục với cốt phức hợp (khi các pha đồng

nhất đẳng hướng) – lập trình trên Cast3m

3. Mô hình tính hệ số dẫn ngang vật liệu cốt sợi dọc trục với cốt phức hợp (khi lớp vỏ bọc dị

hướng) – lập trình trên Cast3m

Có thể bạn quan tâm

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Cơ sở lý luận và thực tiễn kiểm sát việc giải quyết các vụ án kinh doanh, thương mại về tranh chấp hợp đồng tín dụng theo thủ tục giám đốc thẩm của Viện kiểm sát nhân dân ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Cơ sở lý luận và thực tiễn kiểm sát việc giải quyết các vụ án kinh doanh, thương mại về tranh chấp hợp đồng tín dụng theo thủ tục giám đốc thẩm của Viện kiểm sát nhân dân ở Việt Nam

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Chất lượng công chức quản lý nhà nước về kinh tế cấp huyện ở thành phố Hà Nội

Luận án Tiến sĩ: Chất lượng công chức quản lý nhà nước về kinh tế cấp huyện ở thành phố Hà Nội

Luận án Tiến sĩ: Xây dựng đội ngũ giảng viên trẻ theo tư tưởng Hồ Chí Minh ở các trường sĩ quan quân đội hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Xây dựng đội ngũ giảng viên trẻ theo tư tưởng Hồ Chí Minh ở các trường sĩ quan quân đội hiện nay

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Các điều kiện thúc đẩy sự ra đời tiền kỹ thuật số (CBDC) của Ngân hàng Nhà nước Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Các điều kiện thúc đẩy sự ra đời tiền kỹ thuật số (CBDC) của Ngân hàng Nhà nước Việt Nam

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Xây dựng lối sống cho sinh viên các trường đại học ở Đồng bằng sông Cửu Long hiện nay theo tư tưởng Hồ Chí Minh

Luận án Tiến sĩ: Xây dựng lối sống cho sinh viên các trường đại học ở Đồng bằng sông Cửu Long hiện nay theo tư tưởng Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Hoàn thiện pháp luật về quyền thành lập tổ chức của người lao động tại doanh nghiệp ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Hoàn thiện pháp luật về quyền thành lập tổ chức của người lao động tại doanh nghiệp ở Việt Nam