Luận án Tiến sĩ Toán học: Dáng điệu nghiệm của các bất đẳng thức vi biến phân

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN 5

LỜI CẢM ƠN 6

DANH SÁCH KÝ HIỆU 7

MỞ ĐẦU 8

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 20

1.1 NỬA NHÓM MỘT THAM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.1 Nửa nhóm tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.2 Nửa nhóm phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2 ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT (MNC) VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG . 27

1.3 GIẢI TÍCH ĐA TRỊ, ÁNH XẠ NÉN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM

BẤT ĐỘNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.3.1 Một số vấn đề về giải tích đa trị . . . . . . . . . . . . . . 33

1.3.2 Ánh xạ nén và một số định lý điểm bất động . . . . . . . 35

1.4 TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA NỬA DÒNG ĐA TRỊ . . . . . . . 36

1.5 MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.5.1 Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . 37

1.5.2 Một số bổ đề và định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.5.3 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Chương 2 BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN

HỮU HẠN CHIỀU 41

2.1 ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM PHÂN RÃ . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4 TẬP HÚT TOÀN CỤC CHO NỬA DÒNG ĐA TRỊ SINH BỞI

DVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Chương 3 BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN DẠNG PARABOLIC-

ELLIPTIC TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU 57

3.1 ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT TOÀN CỤC . . . . . . . . . . . . . . 69

3.4 ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Chương 4 BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN DẠNG PARABOLIC-

PARABOLIC TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU 78

4.1 ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT TOÀN CỤC . . . . . . . . . . . . . . 94

4.4 ÁP DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 103

1 Những kết quả đã đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . 103

TÀI LIỆU THAM KHẢO 106

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận án Dáng điệu nghiệm

của các bất đẳng thức vi biến phân là công trình nghiên cứu của riêng tôi, hoàn

thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Trần Đình Kế. Các kết quả trong luận

án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công

trình nghiên cứu nào khác mà tôi biết.

Hà Nội, ngày ... tháng ... năm 2019

Nghiên cứu sinh

Nguyễn Thị Vân Anh

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo

của PGS.TS. Trần Đình Kế. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu

sắc tới Thầy vì sự tận tâm hướng dẫn mà Thầy dành cho tác giả trong suốt quá

trình học tập. Thầy đã luôn sẵn sàng đón nhận những ý kiến, luôn sát sao giải

thích và chỉ dẫn cho tác giả. Tác giả xin cảm ơn Thầy mỗi chiều thứ tư hàng

tuần đã dành thời gian của mình, không ngần ngại chỉ bảo, chia sẻ, trao đổi

các vấn đề mới, các phương pháp, đường hướng cho tác giả và cho nhóm nghiên

cứu. Ngoài những hành trang quý báu về mặt khoa học, sự động viên của Thầy

dành cho tác giả là nguồn động lực lớn giúp tác giả say mê trong nghiên cứu.

Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại

học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin và các thầy cô Bộ môn Giải tích, khoa

Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, nơi tác giả học tập và công tác,

đã luôn giúp đỡ, động viên, tạo môi trường thuận lợi cho tác giả. Tác giả xin

đặc biệt cảm ơn TS. Trần Thị Loan, PGS.TS. Cung Thế Anh, TS. Nguyễn Như

Thắng, TS. Dương Anh Tuấn vì sự khích lệ và sự tận tình góp ý luận án.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến các thầy cô trong các Hội đồng, đã

dành nhiều thời gian, công sức và tâm huyết để đóng góp những ý kiến quý báu

giúp cho luận án của tác giả được hoàn thành tốt nhất.

Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các bạn bè, những người cùng

chung chí hướng, luôn giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu.

Sau cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn từ tận đáy lòng đến gia đình, nơi luôn

dành cho tác giả tình yêu thương vô hạn. Nếu không có sự gánh vác và san sẻ

từ gia đình, tác giả không thể có được những kết quả này.

Nguyễn Thị Vân Anh

DANH SÁCH KÝ HIỆU

R tập hợp các số thực

R+ tập hợp các số thực không âm

J = [0, T ] với T>0

(E, (cid:107) · (cid:107)E) không gian Banach với chuẩn (cid:107) · (cid:107)E 2E họ các tập con của E = {A ∈ 2E : A (cid:54)= ∅} P(E)

= {A ∈ P(E) : A là tập bị chặn}

= {A ∈ P(E) : A là tập đóng}

Pb(E) Pc(E) K(E) = {A ∈ P(E) : A là compact}

Kv(E) = {A ∈ P(E) : A là tập lồi và compact}

L(E) không gian các toán tử tuyến tính, bị chặn trên

không gian Banach E

C(X; Y ) không gian các hàm liên tục từ X vào Y

= C([−τ, 0]; E)

= {x ∈ E : (cid:107)x − a(cid:107) ≤ r}

Cτ BE[a, r] I ánh xạ đồng nhất

→ hội tụ mạnh

(cid:42) hội tụ yếu

h. k. n. hầu khắp nơi

DI bao hàm thức vi phân

DVI bất đẳng thức vi biến phân

VI bất đẳng thức biến phân

DVI-PE bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-

elliptic

DVI-PP bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-

parabolic

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết định tính của phương trình vi phân (ODE) trải qua hơn một

thế kỷ phát triển, đã chứng tỏ vai trò quan trọng của nó trong việc mô hình

hóa và giải quyết nhiều bài toán của tự nhiên và kĩ thuật. Trong những thập

kỉ cuối thế kỉ XX, phương trình vi phân đại số được quan tâm nghiên cứu và

nhiều kết quả quan trọng đã được thiết lập (xem [12, 47]). Theo đó, các phương

trình vi phân đại số (DAE) đã được sử dụng trong nghiên cứu bài toán về hệ

thống mạng điện, hệ cơ học có ràng buộc, các phản ứng hóa học,... ở đó việc sử

dụng phương trình vi phân thường không thể mô tả được hết các yếu tố ràng

buộc. Tuy nhiên, khi nghiên cứu hệ động lực tiếp xúc có ma sát của vật thể đa

diện hay các hệ lai ghép cơ học, các ODE và DAE lại trở nên hạn chế, do phát

sinh điều kiện ràng buộc nằm ở dạng bất đẳng thức (ràng buộc một phía), và

điều kiện về ngắt quãng trong cơ học tiếp xúc hoặc trong các bài toán kĩ thuật

chuyển mạch (xem [4, 22]). Chính vì vậy, để nghiên cứu các hệ vi phân với ràng

buộc thỏa mãn yêu cầu từ thực tiễn như trên đòi hỏi các nhà toán học phải

khảo sát lớp bài toán rộng hơn, đó là các bất đẳng thức vi biến phân, trong đó

bao gồm một lớp bài toán quan trọng là các hệ bù vi phân.

Thuật ngữ bất đẳng thức vi biến phân (Differential variational inequality -

DVI) được sử dụng lần đầu tiên bởi Aubin và Cellina [5] năm 1984 trong cuốn

sách chuyên khảo về bao hàm thức vi phân. Trong đó các tác giả xét bài toán

 ∀t ≥ 0, x(t) ∈ K,

(1) supy∈K(cid:104)x(cid:48)(t) − f (x(t)), x(t) − y(cid:105) = 0,

x(0) = x0,  

với K là một tập lồi, compact khác rỗng trong Rn. Bằng việc sử dụng hàm nón

pháp tuyến của tập K, bài toán trên được đưa về bao hàm thức vi phân

f (cid:48)(t) ∈ F (x(t)),  

 x(0) = x0.

Từ đó, các tác giả đã sử dụng công cụ của giải tích đa trị để nghiên cứu tính

giải được của bài toán (1). Đến năm 1997, bài toán bất đẳng thức vi biến phân

được mở rộng bởi Avgerinous và Papageorgiou trong bài báo [6]. Hai nhà toán

học đã nghiên cứu về nghiệm tuần hoàn cho lớp DVI khi tập lồi, đóng, compact

K biến thiên theo thời gian t

  −x(cid:48)(t) ∈ NK(t)(x(t)) + F (t, x(t)), h.k.n t ∈ [0, b],

 x(0) = x(b).

ở đó NK(t)(x(t)) là nón pháp tuyến của tập lồi K(t) tại điểm x(t).

Một trong những công trình có ý nghĩa tiên phong trong nghiên cứu các DVI

một cách có hệ thống là của nhóm tác giả J.S. Pang và D.E. Stewart năm 2008

(xem [49]). Bằng việc xem xét bất đẳng thức vi biến phân là mô hình kết hợp

giữa phương trình vi phân có ràng buộc thỏa mãn một bất đẳng thức biến phân,

các DVI đã cho phép mô tả các quá trình có sự kết hợp của hai yếu tố: yếu tố

động lực và yếu tố ràng buộc dạng biến phân. Bài toán DVI [49] đã được phát

biểu tổng quát với mô hình cụ thể như sau: Tìm cặp hàm (x, u), trong đó x là

hàm liên tục tuyệt đối và u là hàm khả tích thỏa mãn hệ:

x(cid:48)(t) = f (t, x(t), u(t)), (2)

(cid:104)v − u(t), F (t, x(t), u(t)(cid:105) ≥ 0, h.k.n t ∈ [0, T ]; ∀v ∈ K. (3)

Đặt SOL(K, φ) là tập nghiệm của bài toán biến phân (cid:104)v − u, φ(u)(cid:105) ≥ 0,

∀v ∈ K. Khi đó ta chuyển (2)-(3) về dạng

x(cid:48)(t) = f (t, x(t), u(t)),

u(t) ∈ SOL(K, F (t, x(t), ·)).

Từ đó dẫn đến hệ vi phân đối với x(·) liên kết với bất đẳng thức vi biến phân

(2)-(3)

x(cid:48)(t) ∈ f (t, x(t), SOL(K, F (t, x(t), ·)).

Điều kiện cho bởi phương trình đại số

Γ(x(0), x(T )) = 0, (4)

cho phép chúng ta xác định được điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên.

Một trong những lớp bài toán đặc biệt của các bất đẳng thức vi biến phân

là bài toán bù vi phân, khi K = C là một nón. Trong trường hợp này, bất đẳng

thức vi biến phân (2)-(3) được viết dưới dạng

x(cid:48)(t) = f (t, x(t), u(t)),

C (cid:51) u(t) ⊥ F (t, x(t), u(t)) ∈ C∗,

với C∗ là nón đối ngẫu của C.

Công trình [49] của J.S. Pang và D.E. Stewart đã chỉ rõ được tầm quan trọng

của các DVI trong rất nhiều lĩnh vực: động lực học tiếp xúc (Contact Dynamics),

mạng điện (Electric Circuit), động lực học kinh tế (Economic Dynamics), bài

toán trò chơi vi phân Nash... Bằng việc đề xuất mô hình (2)-(3), J.S. Pang và

D.E. Stewart đã đưa DVI trở thành mô hình tổng quát của nhiều bài toán quan

trọng được nghiên cứu trước đó như phương trình vi phân đại số, bài toán bù

vi phân, bất đẳng thức biến phân tiến hóa,...

Sau công trình của J.S. Pang và D.E. Stewart, đã có khá nhiều nghiên cứu

sâu sắc về DVI. Các DVI cùng với những ứng dụng của chúng trở thành một vấn

đề mở thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Công trình của Z. Liu và

các cộng sự năm 2013 đã nghiên cứu về bài toán tồn tại và tính rẽ nhánh toàn

cục của nghiệm tuần hoàn cho một lớp các bất đẳng thức vi biến phân trong

không gian Euclid hữu hạn chiều bằng phương pháp bậc tô-pô cho ánh xạ đa

trị (xem [37]). Một số kết quả về tính giải được và điều kiện rẽ nhánh cho các

DVI có thể được tham khảo trong các công trình [26, 35, 37, 41]. Cùng với đó,

Gwinner thu được các kết quả về tính ổn định cho một lớp mới các DVI (xem

[27]). Tính ổn định cấu trúc của một số lớp DVI cũng được nghiên cứu trong

[25, 50] và các tài liệu tham khảo trong đó.

Các ứng dụng cụ thể của mô hình DVI cũng được các nhà toán học quan

tâm. Công trình của Chen và Wang năm 2014 sử dụng mô hình DVI tổng quát

để khảo sát bài toán cân bằng Nash động với ràng buộc chia sẻ (xem [19]). Liên

quan đến ứng dụng này là mô hình trò chơi vi phân Nash, mô hình được mở

rộng từ bài toán cân bằng Nash (xem [10, 19, 52]). Chú ý rằng, đối với trường

hợp bài toán cân bằng Nash, người ta phải giải quyết bài toán điều khiển tối ưu

được thiết lập bởi hàm quan sát riêng lẻ (tương ứng cho một đối tượng đưa ra

quyết định). Tuy nhiên trên thực tế, có những tình huống đòi hỏi phải có nhiều

hơn một đối tượng tham gia quyết định, theo đó mỗi phương án quan sát đều

cố gắng đạt được trạng thái tối ưu thỏa mãn ràng buộc ở dạng phương trình vi

phân. Từ đó, lý thuyết trò chơi vi phân được ra đời mà mô hình hóa toán học

của nó chính là các DVI (có thể xem chi tiết trong [52]). Ngoài ra có thể kể đến

các ứng dụng của DVI mô tả các hệ lai ghép trong kỹ thuật với cấu trúc biến

thiên (xem [17, 20, 30]), động lực học chất rắn với tiếp xúc ma sát (xem [4, 49]),

mạch điện có diode,...

Bên cạnh những ứng dụng phong phú vừa được kể đến của các DVI hữu

hạn chiều, việc xét bài toán DVI trên không gian vô hạn chiều cũng giữ một vai

trò quan trọng. Điều này hoàn toàn tự nhiên do các bài toán nảy sinh trong kĩ

thuật, trong nghiên cứu giải phẫu, hệ động lực kinh tế, cơ học tiếp xúc,... được

mô tả bởi các hệ phương trình đạo hàm riêng. Có hai mô hình DVI vô hạn chiều

được quan tâm nghiên cứu gần đây. Mô hình thứ nhất là DVI với ràng buộc

dạng elliptic, được mô tả bởi hệ

x(cid:48)(t) − Ax(t) = f (t, x(t), u(t)), (5)

Bu(t) + ∂φ(u(t)) (cid:51) g(x(t), u(t)), (6)

trong đó A và B là các toán tử trên các không gian vô hạn chiều, ∂φ là ký hiệu

dưới vi phân của phiếm hàm φ. Chú ý rằng (6) có thể viết dưới dạng bất đẳng

thức biến phân suy rộng

(cid:104)Bu(t) − g(x(t), u(t)), v − u(t)(cid:105) + φ(v) − φ(u(t)) ≥ 0, với mọi v ∈ D(φ). (7)

Khi B là toán tử đạo hàm riêng loại elliptic, bất đẳng thức biến phân (7) đã

được nghiên cứu trong [9]. Trong trường hợp A và B là các toán tử đạo hàm

riêng elliptic và φ là hàm trơn, (5)-(6) là một hệ phương trình đạo hàm riêng

kiểu parabolic-elliptic, được sử dụng trong mô hình hóa các bài toán sinh-hóa

[31], bài toán khôi phục hình ảnh [32],...

Khác với mô hình DVI thứ nhất, mô hình DVI thứ hai chứa ràng buộc động

lực dạng parabolic, được xác định như sau

x(cid:48)(t) − Ax(t) = f (t, x(t), u(t)), (8)

u(cid:48)(t) + Bu(t) + ∂φ(u(t)) (cid:51) g(x(t), u(t)), (9)

với A, B và φ được giả thiết như trong mô hình thứ nhất. Trong mô hình này,

(9) chính là một bất đẳng thức biến phân tiến hóa mà trường hợp tiêu biểu khi

B = −∆, g = g(t) và đã được nghiên cứu trong [8, 9]. Cũng như đối với mô

hình parabolic-elliptic, khi φ là hàm trơn và A, B là các toán tử đạo hàm riêng

elliptic, (8)-(9) là một hệ phương trình đạo hàm riêng dạng parabolic-parabolic.

Gần đây, một số kết quả về tính giải được của các DVI vô hạn chiều đã được

thiết lập trong các công trình [42, 40, 38, 39, 44, 55]. Nhìn chung, những kết quả

nghiên cứu định tính cho các DVI vô hạn chiều chưa được biết đến nhiều.

Một trong những vấn đề quan trọng liên quan đến hệ động lực liên kết với

các DVI, đó là nghiên cứu dáng điệu của các hàm trạng thái của hệ khi biến

thời gian đủ lớn. Theo hiểu biết của chúng tôi, các kết quả theo hướng này cho

các DVI còn khá hạn chế. Kết quả gần đây về dáng điệu nghiệm cho các DVI

trong không gian hữu hạn chiều đã được công bố trong công trình [34]. Còn rất

nhiều câu hỏi mở được đặt ra trong những nghiên cứu định tính với các DVI,

bao gồm: tính ổn định nghiệm theo nghĩa Lyapunov, sự tồn tại tập hút toàn cục

cho hệ động lực liên kết với DVI, sự tồn tại các lớp nghiệm đặc biệt của DVI

như nghiệm dao động, nghiệm phân rã,... Đặc biệt, bài toán DVI trong không

gian vô hạn chiều hiện đang là vấn đề mới, có tính thời sự. Khó khăn chính

trong nghiên cứu các DVI vô hạn chiều nằm ở việc xác định tính giải được của

bất đẳng thức biến phân (VI) đi kèm, sau đó là việc xác định tính chất của ánh

xạ nghiệm của nó. Nếu ánh xạ nghiệm này không có tính chính quy, việc nghiên

cứu dáng điệu nghiệm cho hệ DVI sẽ không khả thi.

Từ những phân tích trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu dáng điệu nghiệm

cho các bất đẳng thức vi biến phân, bao gồm một số lớp tiêu biểu trong cả không

gian hữu hạn và vô hạn chiều.

Trong nội dung luận án này, chúng tôi xét ba lớp bài toán DVI:

• Bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều,

• Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-elliptic trong không gian vô

hạn chiều, và

• Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-parabolic trong không gian vô

hạn chiều.

Mục tiêu chính của chúng tôi là nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các lớp

bài toán nói trên thông qua sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa dòng đa trị sinh

bởi hệ động lực liên kết với các DVI. Ngoài ra chúng tôi cũng chỉ ra điều kiện

đủ cho sự tồn tại nghiệm phân rã của hệ động lực sinh bởi một lớp các DVI.

2 Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Mục đích luận án: Nghiên cứu các vấn đề định tính của một số lớp DVI,

bao gồm tính ổn định nghiệm theo nghĩa Lyapunov, dáng điệu nghiệm

thông qua lý thuyết tập hút toàn cục và các lớp nghiệm đặc biệt như

nghiệm phân rã.

• Đối tượng nghiên cứu: Bài toán bất đẳng thức vi biến phân trong trường

hợp được đưa về bao hàm thức vi phân. Chúng tôi nghiên cứu một số lớp

DVI hữu hạn chiều và hai lớp DVI vô hạn chiều dạng parabolic-elliptic,

dạng parabolic-parabolic.

• Phạm vi nghiên cứu:

(cid:63) Nội dung 1: Bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều.

Đối với vấn đề nghiên cứu dáng điệu nghiệm của các bất đẳng thức vi biến

phân hữu hạn chiều, chúng tôi xét bài toán cụ thể như sau:

(10) x(cid:48)(t) = Ax(t) + h(x(t)) + B(x(t), xt)u(t), t ∈ [0, T ],

(cid:104)v − u(t), F (x(t)) + G(u(t))(cid:105) ≥ 0, ∀v ∈ K, với hầu khắp t ∈ J, (11)

x(s) = ϕ(s), s ∈ [−τ, 0], (12)

ở đây x là hàm nhận giá trị trong không gian Rn, ràng buộc biến phân u(t) ∈ K với K là một tập con đóng lồi trong Rm, xt kí hiệu là hàm quá khứ của trạng thái tính đến thời điểm t. Trong bài toán này, A : Rn → Rn là một toán tử tuyến tính. Các hàm B : Rn × Cτ → Rn×m, F : Rn → Rm, G : K → Rm là các hàm liên tục với giả thiết F bị chặn đều và G là hàm đơn điệu trên K.

Trong lý thuyết phương trình vi phân, hệ (10)-(12) được gọi là một hệ vi

phân với ràng buộc một phía (unilateral constrain). Bất đẳng thức vi biến phân

(10)-(12) được mở rộng khi xét thêm điều kiện trễ lên hàm trạng thái x(·). Trong

trường hợp bài toán không có trễ, J.S. Pang và các cộng sự đã giải quyết nhiều

lớp bài toán liên quan đến vấn đề tồn tại nghiệm, tính duy nhất của nghiệm và

sự phụ thuộc nghiệm vào các dữ kiện ban đầu (xem [49, 18]). Những kết quả về

+ , được ứng dụng rộng rãi trong kĩ thuật mạch điện (xem [15, 16, 20, 22, 30]). Trong những

tính chính quy và ổn định cho lớp bài toán bù vi phân cũng được nghiên cứu bởi J.S. Pang và các cộng sự, tương ứng với trường hợp đặc biệt K = Rm

công trình này, công cụ chính được sử dụng là giải tích biến phân, phương pháp

lặp Euler, phương pháp lặp Newton, nhằm rời rạc hóa bài toán để vượt qua

các điều kiện khi mà tính chính quy của ánh xạ nghiệm của bất đẳng thức biến

phân bị phá vỡ.

Trong bài toán (10) - (12), chúng tôi chứng minh được sự tồn tại nghiệm, sự

tồn tại nghiệm phân rã tốc độ mũ, và sự tồn tại tập hút của nửa dòng đa trị

cho hệ động lực sinh bởi (10) - (12).

(cid:63) Nội dung 2: Bài toán bất đẳng thức vi biến phân trong không gian vô

hạn chiều dạng parabolic-elliptic.

Cho X là một không gian Banach và U là một không gian Banach phản xạ.

Chúng tôi xét bài toán sau:

x(cid:48)(t) − Ax(t) ∈ F (x(t), u(t)), t > 0, (13)

Bu(t) + ∂φ(u(t)) (cid:51) g(x(t), u(t)), t ≥ 0, (14)

x(0) = ξ, (15)

ở đó (x(·), u(·)) nhận giá trị trong X × U ; hàm φ : U → R là hàm chính thường, lồi và nửa liên tục dưới trên U ; F : X × U → P(X) là một ánh xạ đa trị; A là toán tử tuyến tính đóng sinh ra C0-nửa nhóm trên X; B : U → U ∗ là một toán tử tuyến tính liên tục được xác định thông qua phiếm hàm song tuyến tính, trong đó U ∗ là không gian đối ngẫu của U .

Trong trường hợp K là một tập lồi đóng trong U , φ = IK là hàm chỉ trên tập K, các không gian X = Rn, U = Rm và F là hàm đơn trị thì bài toán (13) -

(15) có dạng bất đẳng thức vi biến phân được nghiên cứu trong [49]. Gần đây,

bài toán trên không gian vô hạn chiều với mô hình tương tự cũng được xem

xét bởi Liu, Zeng, và Motreanu trong [39]. Các tác giả đã nghiên cứu một lớp

phương trình tiến hóa với ràng buộc ở dạng bất đẳng thức biến phân tổng quát

x(cid:48)(t) = Ax(t) + f (t, x(t), u(t)),

(cid:104)g(t, x(t), u(t)), v − u(t)(cid:105) + φ(v) − φ(u(t)) ≥ 0, ∀v ∈ K, t ∈ [0, T ],

x(0) = x0,

trong đó x(t) ∈ E và u(t) ∈ K ⊂ E1 với E, E1 là các không gian Banach, K là

một tập lồi khác rỗng. Trong công trình này, các kết quả về tính giải được và

tính chất của tập nghiệm với giả thiết tập K là compact được chứng minh. Ở

đây, điều kiện về tính compact của tập K đảm bảo rằng ánh xạ nghiệm của bất

đẳng thức biến phân có tính nửa liên tục trên. Chúng ta biết rằng khi sử dụng

những phương pháp giải tích nhằm đưa DVI về một phương trình vi phân hoặc

bao hàm thức vi phân, tính chính quy của ánh xạ nghiệm như tính đo được,

tính nén, tính liên tục là các điều kiện cần thiết.

Liên quan đến bài toán của chúng tôi, có thể chỉ ra nhiều mô hình được sinh

bởi các phương trình đạo hàm riêng khi X và U là các không gian vô hạn chiều.

Cho X = U = L2(Ω) với Ω là một miền trong Rn. Xét hệ phương trình kiểu

parabolic-elliptic:

(16) Zt = ∆Z + F (Z, u), trên Ω × (0, ∞),

− ∆u + h(u) = g(Z, u), trên Ω × (0, ∞), (17)

(18) Z(x, 0) = Z0, x ∈ Ω,

ở đó Z = Z(x, t) và u = u(x, t) là các hàm được xác định trên Ω × R+ thỏa mãn

điều kiện biên Dirichlet thuần nhất hoặc điều kiện biên Neumann thuần nhất.

Bài toán này xuất hiện trong nghiên cứu về sự di chuyển của vi khuẩn dưới tác

động của hóa chất (xem [31]), hoặc trong xử lý khôi phục hình ảnh kỹ thuật số

(xem [32]). Dưới những điều kiện thích hợp, hàm h trong (17) được viết ở dạng

h(u) = ∂j(u)

Ω H(u(x))dx, nếu H(u) ∈ L1(Ω), +∞, trong các trường hợp còn lại

0 h(s)ds. Có thể thấy rằng (16)- (18) là một trường hợp riêng của

(cid:82)   j(u) = 

ở đó H(u) = (cid:82) u bài toán (13)-(15).

Kết quả thu được đối với bài toán (13)-(15) bao gồm sự tồn tại nghiệm, các

tính chất của tập nghiệm và sự tồn tại một tập hút toàn cục cho hệ động lực

sinh bởi bài toán này.

(cid:63) Nội dung 3: Bài toán bất đẳng thức vi biến phân trong không gian vô

hạn chiều dạng parabolic-parabolic.

Trong phần này chúng tôi nghiên cứu một lớp bất đẳng thức vi biến phân

khi ràng buộc dạng biến phân có tính chất của một hệ động lực dạng parabolic.

Bài toán DVI dạng parabolic-parabolic được mô tả như sau

x(cid:48)(t) − Ax(t) ∈ F (x(t), u(t)), (19)

u(cid:48)(t) + Bu(t) + ∂φ(u(t)) (cid:51) h(x(t)), (20)

(21) x(0) = x0 và u(0) = u0,

trong đó x(t) ∈ X với X là một không gian Banach và u(t) được xét trên các không gian Hilbert của bộ ba tiến hóa U ⊂ H = H (cid:48) ⊂ U (cid:48). Do sự xuất hiện của dưới vi phân ∂φ, bao hàm thức (20) được hiểu như một bất đẳng thức biến

phân tiến hóa. Bài toán (19)-(21) được viết lại như sau

x(cid:48)(t) − Ax(t) ∈ F (x(t), u(t)),

(cid:104)u(cid:48)(t) + Bu(t) − h(x(t)), v − u(t)(cid:105) + φ(v) − φ(u(t)) ≥ 0, ∀v ∈ H,

x(0) = x0 và u(0) = u0.

Một trong những ứng dụng của bài toán parabolic-parabolic là mô hình hóa các

hiện tượng trong sinh học (xem [51]). Ta xét hệ diễn tả quá trình phân cực tế

bào như sau:

(22) yt − σ1∆y = −f (y) + u,

(23) ut − σ2∆u + u = f (y).

(cid:107)u(cid:107)2 1 2 Hệ (22)-(23) được Morita và Ogawa nghiên cứu trong [45]. Bằng cách đặt X = H = L2(Ω), A = σ1∆, F (y, u) = −f (y) + u, B = −σ2∆, φ(u) = H và h(y) = f (y) ta thấy hệ (22)-(23) là một trường hợp đặc biệt của bài toán (19)-

(20). Trường hợp riêng này tương ứng với φ là hàm trơn và A, B là các toán tử

đạo hàm riêng elliptic.

Kết quả gần đây về tính giải được của bài toán (19)-(21) được trình bày

trong công trình [44]. Ngoài ra, theo khảo sát của chúng tôi, chưa có kết quả

nào đề cập đến tính chất định tính của nghiệm đối với hệ (19)-(21). Trong luận

án này, chúng tôi sẽ trình bày các kết quả về tính giải được và sự tồn tại một tập

hút toàn cục của một nửa dòng đa trị sinh bởi hệ động lực liên kết với (19)-(21).

3 Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các công cụ của giải tích đa trị, lý thuyết nửa nhóm (xem

[46]), lý thuyết điểm bất động, lý thuyết ổn định để thực hiện các nội dung

nghiên cứu nêu trên. Ngoài ra đối với các nội dung cụ thể chúng tôi sử dụng

một số kỹ thuật tương ứng:

• Nghiên cứu tính giải được của các bài toán phi tuyến: Phương pháp ước

lượng theo độ đo không compact [3] và các định lý điểm bất động.

• Nghiên cứu dáng điệu nghiệm của bất đẳng thức vi biến phân thông qua

nghiên cứu sự tồn tại nghiệm phân rã, sử dụng các định lý điểm bất động

cho ánh xạ nén.

• Nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàn cục theo lược đồ của Melnik và Valero

[43].

4 Cấu trúc và các kết quả của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình được công bố và

danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương:

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi nhắc lại các

kết quả về lý thuyết nửa nhóm, lý thuyết độ đo không compact, ánh xạ

nén và các định lý điểm bất động, một số kiến thức về giải tích đa trị, lý

thuyết ổn định của các hệ vi phân.

• Chương 2: Bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều.

Trong chương này, chúng tôi chứng minh tính ổn định của nghiệm cho một

lớp các bất đẳng thức vi biến phân với trễ hữu hạn. Chúng tôi chỉ ra sự

tồn tại một tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị liên kết với bất đẳng

thức vi biến phân và sự tồn tại nghiệm phân rã.

• Chương 3: Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-elliptic trong không

gian vô hạn chiều. Trong chương này, chúng tôi đưa ra lớp bất đẳng thức

vi biến phân dạng parabolic-elliptic và chứng minh kết quả về sự tồn tại

nghiệm, sự tồn tại một tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị sinh bởi

nghiệm của lớp bài toán này.

• Chương 4: Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-parabolic trong không

gian vô hạn chiều. Trong chương này, chúng tôi xét một lớp bất đẳng thức

vi biến phân dạng parabolic-parabolic và chứng minh kết quả về tính giải

được, sự tồn tại một tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị sinh bởi nghiệm

của lớp hệ này.

5 Ý nghĩa của các kết quả trong luận án

Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, và góp phần vào

việc hoàn thiện lý thuyết về dáng điệu nghiệm cho các bất đẳng thức vi biến

phân, trong cả trường hợp hữu hạn chiều và vô hạn chiều.

Các kết quả chính đạt được đã được công bố trong 02 bài báo trên các tạp

chí khoa học quốc tế uy tín (trong danh mục ISI), 1 bài báo ở dạng tiền ấn

phẩm và đã được báo cáo tại:

• Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội;

• Hội thảo cho Nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm

Hà Nội, năm 2017;

• Hội nghị khoa học khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, năm

2019.

• Mini-workshop "PDE 2019 Analysis and Numerics", VIASM, Hanoi 09/2019.

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, E là một không gian Banach và L(E) là không gian các

toán tử tuyến tính bị chặn trên E.

1.1 NỬA NHÓM MỘT THAM SỐ

Trong mục này, ta trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản của lý

thuyết nửa nhóm một tham số. Nội dung trong mục này có thể xem trong các

tài liệu chuyên khảo [7, 23, 36, 46, 54].

1.1.1 Nửa nhóm tuyến tính

Định nghĩa 1.1.1. Một họ các ánh xạ S(t) ∈ L(E), 0 ≤ t < ∞, được gọi là nửa

nhóm tuyến tính trên E nếu nó thỏa mãn

(i) S(0) = I,

(ii) S(t + s) = S(t)S(s) với mọi t, s ≥ 0.

Định nghĩa dưới đây cho phép ta xác định toán tử sinh của một nửa nhóm

cho trước.

Định nghĩa 1.1.2. Cho nửa nhóm tuyến tính một tham số {S(t)}t≥0. Khi đó toán tử tuyến tính A được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm {S(t)}t≥0 nếu

, Ax = lim t→0 S(t)x − x t

với mọi x ∈ D(A), trong đó D(A) là miền xác định của toán tử A

(cid:26) (cid:27) D(A) = . tồn tại x ∈ E : lim t→0 S(t)x − x t

Định nghĩa 1.1.3. Nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh (C0-nửa nhóm) nếu

S(t)x = x, với mọi x ∈ E. lim t→0

Định lý sau đây cho ta một điều kiện cần để toán tử tuyến tính A sinh ra

một C0-nửa nhóm.

Định lý 1.1.4. [23, Định lý 1.4] Nếu A là một toán tử sinh của một C0-nửa nhóm thì A là một toán tử tuyến tính đóng và D(A) trù mật trong E.

Mệnh đề dưới đây đưa ra ước lượng về chuẩn toán tử của một C0-nửa nhóm.

Mệnh đề 1.1.5. [23, Mệnh đề 5.5] Giả sử {S(t)}t≥0 là một C0-nửa nhóm. Khi đó tồn tại các hằng số ω ≥ 0 và M ≥ 1 sao cho

(cid:107)S(t)(cid:107) ≤ M eωt, với mọi t ≥ 0.

Đặc biệt, nếu ω < 0 thì nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm ổn định

mũ ; nếu ω ≤ 0, M = 1 thì nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm co.

Định nghĩa 1.1.6. Cho {S(t)}t≥0 là một C0-nửa nhóm trên E. Nửa nhóm {S(t)}t≥0

được gọi là:

(a) nửa nhóm liên tục theo chuẩn nếu ánh xạ (0, ∞) (cid:51) t (cid:55)→ S(t) ∈ L(E) liên

tục theo chuẩn trong L(E);

(b) nửa nhóm khả vi nếu với mỗi x ∈ E thì ánh xạ t (cid:55)→ S(t)x khả vi tại mọi

t > 0;

Nếu toán tử sinh của một nửa nhóm tuyến tính là toán tử bị chặn, nghĩa là

∞ (cid:88)

A ∈ L(E), nửa nhóm {S(t)}t≥0 sinh bởi A được định nghĩa bởi

n=0

S(t) = etA = , với mỗi t ≥ 0. tnAn n!

Khi đó

(i) D(A) = E và {etA}t≥0 là nửa nhóm compact.

(ii) {etA} là nửa nhóm khả vi.

Đặc biệt, nếu E = Rn, do mọi toán tử tuyến tính trên E đều bị chặn nên A được biểu diễn thông qua ma trận cấp n × n. Khi đó ta cũng có dạng biểu diễn

của nửa nhóm sinh bởi A theo biểu diễn chuỗi lũy thừa như trên. Trường hợp

này được xem xét trong chương đầu tiên của luận án.

Ví dụ 1.1.7. (1) Nửa nhóm tịnh tiến: Xét họ các toán tử tuyến tính.

S(t) : E → E

(S(t)f )(s) = f (t + s), s ∈ R+.

Khi đó {S(t)}t≥0 là một C0-nửa nhóm và có toán tử sinh là

Af := f (cid:48),

với miền xác định

(i) D(A) = {f ∈ Cub(R+) : f khả vi và f (cid:48) ∈ Cub(R+)} nếu E := Cub(R+)

và

(ii) D(A) = {f ∈ Lp(R+) : f liên tục tuyệt đối và f (cid:48) ∈ Lp(R+)} nếu

E := Lp(R+), 1 ≤ p < +∞.

(2) Nửa nhóm sinh bởi toán tử Laplace: Cho Ω là miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω thuộc lớp C 2. Xét toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet

0 (Ω).

A := ∆; D(A) = H 2(Ω) ∩ H 1

Khi đó nửa nhóm {etA}t≥0 trên E := L2(Ω) là compact và ổn định mũ.

Thật vậy, khẳng định được suy ra từ Định lý 7.2.5 và Định lý 7.2.8 trong [54]. Cụ thể, tính compact của {S(t)} := {etA} nhận được bởi định lý

Sobolev-Rellich-Kondrachov. Tính ổn định mũ được chứng minh trực tiếp bởi công thức Green. Với ξ ∈ D(A), đặt u(t) = S(t)ξ. Gọi f : R+ → R+

sao cho f (t) = (eλt(cid:107)S(t)ξ(cid:107)L2(Ω))2, trong đó λ là giá trị riêng đầu tiên của toán tử −∆ với điều kiện biên Dirichlet. Ta có

Ω

(cid:90) (cid:90) u(t)u(cid:48)(t)dt u(t)2dx + 2 e−2λtf (cid:48)(t) = 2λ

Ω

(cid:90) (cid:90) u(t)∆u(t)dx u(t)2dx + 2 = 2λ

Ω

(cid:90) (cid:90) (cid:107)∇u(t)(cid:107)2dx ≤ 0. u(t)2dx − 2 = 2λ

Từ đó dẫn đến (cid:107)S(t)ξ(cid:107)L2(Ω) ≤ e−λt(cid:107)ξ(cid:107)L2(Ω) với mỗi ξ ∈ D(A) và t ≥ 0. Vậy {S(t)}t≥0 là ổn định mũ.

1.1.2 Nửa nhóm phi tuyến

Cho tập hợp D sao cho ∅ (cid:54)= D ⊂ E. Dưới đây ta trình bày các khái niệm

về nửa nhóm phi tuyến không giãn, toán tử sinh của một nửa nhóm phi tuyến.

Chú ý rằng một nửa nhóm là phi tuyến khi mỗi thành phần của nó không còn

thuộc lớp các ánh xạ tuyến tính trên E.

Định nghĩa 1.1.8. Một họ {S(t)}t≥0 các hàm S(t) : D → D được gọi là một nửa nhóm các ánh xạ không giãn trên D nếu

S(t + s) = S(t)S(s), ∀t, s ≥ 0,

S(0) = I,

S(t)x = x, ∀x ∈ D, lim t→0+

(cid:107)S(t)x − S(t)¯x(cid:107) ≤ (cid:107)x − ¯x(cid:107), ∀t ≥ 0, x, ¯x ∈ D.

Nếu bất đẳng thức cuối cùng được thay bởi

(cid:107)S(t)x − S(t)¯x(cid:107) ≤ eωt(cid:107)x − ¯x(cid:107), ∀t ≥ 0, x, ¯x ∈ D,

ta gọi {S(t)}t≥0 là nửa nhóm không giãn kiểu ω.

Tương tự như trong trường hợp nửa nhóm tuyến tính, ta cũng có khái niệm

về toán tử sinh của một nửa nhóm phi tuyến. Toán tử A0 được gọi là toán tử sinh của nửa nhóm {S(t)}t≥0 nếu nó xác định bởi

, A0x = lim h→0+ S(h)x − x h

với những x ∈ D sao cho giới hạn trên tồn tại.

Ta nêu ra định nghĩa về toán tử tăng trưởng và ω-tăng trưởng trên không

gian Banach E. Trước hết, với X, Y là hai không gian tuyến tính, kí hiệu X × Y

là tích Cartesian của chúng. Nếu T là một ánh xạ đa trị từ X vào Y , ta có

thể đồng nhất T với đồ thị của nó {(x, y) : x ∈ D(A), y ∈ T x}. Ngược lại

nếu T ⊂ X × Y thì ta xác định được ánh xạ đa trị T trên D(T ) ⊂ X bởi

T x = {y ∈ Y : (x, y) ∈ T }. Gọi E∗ là không gian đối ngẫu của E với chuẩn (cid:107) · (cid:107)∗, và (cid:104)·, ·(cid:105) là tích vô hướng của cặp đối ngẫu E, E∗. Ta kí hiệu J : E → P(E∗) là ánh xạ đối ngẫu của E,

tức là

∗}.

J(x) = {x∗ ∈ E∗ : (cid:104)x, x∗(cid:105) = (cid:107)x(cid:107)2 = (cid:107)x∗(cid:107)2

Định nghĩa 1.1.9. Toán tử A : D(A) ⊂ E → P(E) (hay tập A ⊂ E × E) được

gọi là

(i) tăng trưởng nếu với mọi (x1, y1), (x2, y2) ∈ A, tồn tại w ∈ J(x1 − x2) sao

cho

(cid:104)y1 − y2, w(cid:105) ≥ 0.

Khi đó nếu A là toán tử tăng trưởng thì ta gọi −A là toán tử tiêu hao;

(ii) ω-tăng trưởng (với ω ∈ R) nếu A + ωI là toán tử tăng trưởng;

(iii) m-tăng trưởng nếu nó tăng trưởng và R(A + I) = E;

(iv) ω-m-tăng trưởng nếu nó là ω-tăng trưởng và m-tăng trưởng.

Về mặt thuật ngữ, ta có thể gọi toán tử A tăng trưởng (ω-tăng trưởng,

m-tăng trưởng, ω-m-tăng trưởng) trên E × E.

Định nghĩa 1.1.10. Toán tử A : D(A) ⊂ E → P(E∗) (hay tập A ⊂ E × E∗)

được gọi là

(i) đơn điệu nếu (cid:104)x1 − x2, y1 − y2(cid:105) ≥ 0, ∀(x1, y1), (x2, y2) ∈ A;

(ii) đơn điệu cực đại nếu nó không bị chứa trong bất kì một tập đơn điệu nào

của E × E∗.

Trong trường hợp E = H là một không gian Hilbert ta có mệnh đề nói lên

mối liên hệ giữa toán tử m-tăng trưởng và toán tử đơn điệu cực đại.

Mệnh đề 1.1.11 (Định lý Minty). Cho H là một không gian Hilbert và A là một

toán tử (đa trị) tăng trưởng trên H. Khi đó A là m-tăng trưởng nếu và chỉ nếu

nó là toán tử đơn điệu cực đại.

Ta thấy rằng nếu nửa nhóm không giãn {S(t)}t≥0 nhận A làm một toán tử sinh thì A có tính chất tiêu hao (xem [7]). Bây giờ để nói lên mối quan hệ giữa

nửa nhóm phi tuyến không giãn {S(t)}t≥0 và toán tử m-tăng trưởng, ta xét bài toán Cauchy thuần nhất sau:

x(cid:48)(t) + Ax(t) (cid:51) 0, (1.1)

(1.2) x(0) = x0.

Với mỗi x, y ∈ E, ta định nghĩa

. [x, y]+ = lim h↓0 (cid:107)x + hy(cid:107) − (cid:107)x(cid:107) h

Theo [9, trang 102], giới hạn vế phải tồn tại và ta gọi [x, y]+ là tích của hai phần tử x và y. Sau đây ta đưa ra định nghĩa nghiệm tích phân của bài toán

(1.1)-(1.2).

Định nghĩa 1.1.12. [9, trang 132] Một hàm x ∈ C([0, T ]; E) với x(0) = x0 được

gọi là nghiệm tích phân của bài toán (1.1)-(1.2) nếu

(cid:90) t (cid:107)x(t) − u(cid:107) ≤ (cid:107)x(s) − u(cid:107) + [x(τ ) − u, v]+dτ, 0 ≤ s ≤ t ≤ T, ∀(u, v) ∈ A.

Mệnh đề sau được suy ra từ [9, Định lý 4.1].

Mệnh đề 1.1.13. Giả sử A là một toán tử ω-m-tăng trưởng. Với mỗi x0 ∈ D(A), tồn tại nghiệm tích phân duy nhất của bài toán (1.1)-(1.2).

Khi đó ta định nghĩa họ các ánh xạ {SA(t)}t≥0 bởi

SA(t) : D(A) → D(A);

SA(t)x0 = {x(t, x0), với x là nghiệm tích phân của (1.1) − (1.2).}

Mệnh đề 1.1.14. {SA(t)}t≥0 được xác định ở trên là một nửa nhóm không giãn kiểu ω trên D(A). Khi đó {SA(t)}t≥0 là nửa nhóm sinh bởi toán tử đa trị −A.

Mệnh đề dưới đây là trường hợp đặc biệt khi toán tử sinh của nửa nhóm là

m-tăng trường, tuyến tính và có miền xác định trù mật.

Mệnh đề 1.1.15. Giả sử A là toán tử tuyến tính, m-tăng trưởng, có miền xác

định D(A) trù mật trong E. Khi đó nửa nhóm sinh bởi −A là C0-nửa nhóm tuyến tính không giãn trên E và ánh xạ S(t) là toán tử bị chặn với mỗi t ≥ 0.

(i) Cho A là một toán tử đơn điệu cực đại Định lý 1.1.16 (Định lý Komura).

trên không gian Hilbert H. Khi đó, D(A) là một tập con lồi, đóng của H

và D(SA) = D(A).

(ii) Giả sử C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert H và {S(t)}t≥0 là nửa nhóm không giãn trên C. Khi đó, tồn tại duy nhất toán tử đơn điệu

cực đại A trên H sao cho D(A) = C và SA(t) = S(t) với mọi t ≥ 0.

Ví dụ 1.1.17. Đặt

max(0, x − t) với x > 0   S(t)x =  x với x ≤ 0.

Khi đó {S(t)}t≥0 là nửa nhóm các ánh xạ phi tuyến không giãn trên R với toán tử sinh xác định bởi  −1 với x > 0

Ax = [−1, 0] với x = 0

0 với x < 0.  

Một trong những lớp toán tử m-tăng trưởng là các toán tử dưới vi phân, vốn

được mở rộng từ khái niệm đạo hàm Gateaux của một ánh xạ. Gọi H là một

không gian Hilbert với tích vô hướng (·, ·). Giả sử φ : H → (−∞, +∞] là một hàm chính thường (tức là D(φ) ∩ R (cid:54)= ∅), lồi và nửa liên tục dưới. Khi đó ta định nghĩa dưới vi phân ∂φ : H → P(H) là hàm tập

∂φ(x) = {y ∈ H : φ(z) − φ(x) ≥ (cid:104)y, z − x(cid:105) với mọi z ∈ H}.

Khi đó bởi [9, Mệnh đề 1.1, Định lý 2.8] và [53, Mệnh đề 2.2.2], ta suy ra

các mệnh đề sau.

Mệnh đề 1.1.18. Hàm φ bị chặn dưới bởi một hàm affin, nghĩa là tồn tại số α ∈ R và một phần tử x∗ ∈ H sao cho

φ(x) ≥ (x∗, x) + α.

Mệnh đề 1.1.19. Dưới vi phân ∂φ là toán tử m-tăng trưởng trên H × H.

Mệnh đề 1.1.20. Nửa nhóm phi tuyến {S(t)} sinh bởi −∂φ là đồng liên tục trên

H, tức là với mọi 0 < a < b và mọi tập D bị chặn trong H, tập S(·)D là một tập đồng liên tục trong C([a, b]; H). Nếu tập mức Hr = {u ∈ H : (cid:107)u(cid:107)2 H + φ(u) ≤ r} là tập compact trong H với mỗi r > 0, thì nửa nhóm này là compact, tức là S(t)

là compact với mỗi t > 0.

1.2 ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT (MNC) VÀ CÁC ƯỚC

LƯỢNG

Độ đo không compact (measure of noncompactness - MNC) là một trong

những khái niệm quan trọng trong lý thuyết giải tích đa trị. Trong mục này, ta

đưa ra khái niệm về độ đo không compact, các tính chất của một độ đo không

compact và một số ước lượng liên quan (xem [3, 33]).

Định nghĩa 1.2.1. Hàm β : Pb(E) → R+ được gọi là một độ đo không compact trong E nếu

β(co Ω) = β(Ω) với mọi Ω ∈ Pb(E),

trong đó co Ω là bao lồi đóng của Ω.

Độ đo β được gọi là

(i) đơn điệu nếu Ω1, Ω2 ∈ Pb(E), Ω1 ⊂ Ω2 kéo theo β(Ω1) ≤ β(Ω2);

(ii) không suy biến nếu β({x} ∪ Ω) = β(Ω) với mỗi x ∈ E, Ω ∈ Pb(E);

(iii) bất biến với nhiễu compact nếu β(K ∪ Ω) = β(Ω) với mọi tập compact

tương đối K ⊂ E và Ω ∈ Pb(E);

(iv) nửa cộng tính nếu β(Ω0 ∪ Ω1) ≤ max{β(Ω0), β(Ω1)} với mọi Ω0, Ω1 ∈

Pb(E);

(v) nửa cộng tính đại số nếu β(Ω1 + Ω2) ≤ β(Ω1) + β(Ω2) với mỗi Ω1, Ω2 ∈

Pb(E);

(vi) chính quy nếu β(Ω) = 0 tương đương với tính compact tương đối của Ω.

Dưới đây ta chỉ ra hai ví dụ về các độ đo không compact thỏa mãn tất cả

các tính chất trên. Đó là độ đo Hausdorff và độ đo Kuratowski, cho phép chúng

ta quan sát một tập bị chặn "gần với" một tập compact như thế nào.

Ví dụ 1.2.2. (1) Hàm χ : Pb(E) → R+ xác định bởi

χ(B) = inf{(cid:15) > 0 : B có một (cid:15)-lưới hữu hạn},

được gọi là độ đo không compact Hausdorff trên E.

(2) Hàm β : Pb(E) → R+ xác định bởi

β(B) = inf{d > 0 : B được phủ bởi hữu hạn các tập có

đường kính nhỏ hơn d},

được gọi là độ đo không compact Kuratowski trên E.

Từ cách xác định như trên, độ đo χ và β có mối liên hệ với nhau bởi

χ(B) ≤ β(B) ≤ 2χ(B).

Độ đo không compact Hausdorff còn được sử dụng để xác định một trong

những đặc trưng quan trọng của toán tử tuyến tính trên không gian Banach.

Đó là chuẩn toán tử theo độ đo như sau.

Định nghĩa 1.2.3. Cho L : E → E là một toán tử tuyến tính bị chặn, B ⊂ E là

hình cầu đơn vị trong E. Khi đó

(1.3) (cid:107)L(cid:107)χ := χ(L(B)),

được gọi là χ-chuẩn của toán tử L .

Ta có mệnh đề sau về ước lượng độ đo không compact của một tập bị chặn

thông qua một dãy trong tập đó.

Mệnh đề 1.2.4. Cho Ω ⊂ E là một tập bị chặn. Khi đó, với mọi (cid:15) > 0, tồn tại

một dãy {xn} ⊂ Ω sao cho

χ(Ω) ≤ 2χ({xn}) + (cid:15).

Ở phần tiếp theo trong mục này, ta kí hiệu J = [0, T ].

Định nghĩa 1.2.5. Cho D ⊂ L1(J; E). Ta gọi D là tập bị chặn tích phân nếu tồn tại hàm ν ∈ L1(J) := L1(J; R+) sao cho

(cid:107)f (t)(cid:107) ≤ ν(t),

với mọi f ∈ D và với hầu khắp t ∈ J.

Mệnh đề 1.2.6 ([33], Định lý 4.2.2). Nếu {wn} ⊂ L1(J; E) bị chặn tích phân, thì

(cid:90) t (cid:111)(cid:17) (cid:16)(cid:110) (cid:90) t ≤ 2 χ wn(s)ds χ({wn(s)})ds,

với t ∈ J.

Áp dụng Mệnh đề 1.2.4 và Mệnh đề 1.2.6, ta có mệnh đề sau đây.

Mệnh đề 1.2.7. Nếu D ⊂ L1(J; E) sao cho D bị chặn tích phân và

χ(D(t)) ≤ q(t), với hầu khắp t ∈ J,

và q ∈ L1(J; R+), thì

(cid:19) (cid:90) t (cid:18)(cid:90) t D(s)ds ≤ 4 q(s)ds χ

(cid:27) (cid:90) t (cid:26)(cid:90) t với t ∈ J, ở đây D(s)ds = ξ(s)ds : ξ ∈ D .

Chứng minh. Với (cid:15) > 0, tồn tại một dãy {ξn} ⊂ D sao cho

(cid:17) (cid:16)(cid:110) (cid:90) t (cid:111)(cid:17) (cid:16) (cid:90) t + (cid:15), D(s)ds ≤ 2χ χ ξn(s)ds

do Mệnh đề 1.2.4. Áp dụng Mệnh đề 1.2.6, ta có

0 (cid:90) t

(cid:90) t (cid:16) (cid:90) t (cid:17) χ D(s)ds ≤ 4 χ({ξn(s)})ds + (cid:15)

≤ 4 q(s)ds + (cid:15).

Do (cid:15) là bất kì, ta có điều phải chứng minh.

Hệ quả 1.2.8. Giả sử các giả thiết của Mệnh đề 1.2.7 thỏa mãn. Thêm vào đó,

giả sử E là một không gian Banach phản xạ. Khi đó ta có

(cid:19) (cid:18)(cid:90) t (cid:90) t χ D(s)ds ≤ 2 q(s)ds.

Ta xét các độ đo không compact trên các không gian hàm C(J; E) và

BC([0, ∞); E) sẽ được sử dụng trong các chương sau. Cho trước L > 0 và

D ⊂ C(J; E), đặt

e−Ltχ(D(t)), với D(t) := {x(t) : x ∈ D}, ωT (D) = sup t∈[0,T ]

(cid:107)x(t) − x(s)(cid:107). modT (D) = lim δ→0 max t,s∈[0,T ],|t−s|<δ sup x∈D

Theo [33, Ví dụ 2.1.2, 2.1.4], ωT và modT là các độ đo không compact thỏa

mãn tất cả các tính chất phát biểu trong Định nghĩa 1.2.1, ngoại trừ tính chính

quy. Rõ ràng, hai độ đo tương ứng lần lượt đặc trưng cho tính chất compact

tương đối của lát cắt D(t) và tính đồng liên tục của tập D. Từ đó nếu

χT (D) = ωT (D) + modT (D),

thì χT là một độ đo không compact chính quy trên C(J; E).

Bây giờ cho E = Rn. Xét không gian BC([0, ∞); Rn) các hàm liên tục bị chặn trên đoạn [0, ∞) lấy giá trị trong Rn. Kí hiệu πT là toán tử hạn chế trên BC([0, ∞); Rn), tức là πT (x) là hạn chế của x trên J. Khi đó

(1.4) χT (πT (D)), D ⊂ BC([0, ∞); Rn), χ∞(D) = sup T >0

là một độ đo không compact thỏa mãn các tính chất được đưa ra trong Định nghĩa 1.2.1, trừ tính chính quy. Thật vậy, lấy {fk} ⊂ BC([0, ∞); Rn) như sau

 t /∈ [k, k + 1], 0,

fk(x) = 2t − 2k, t ∈ [k, k + 1/2],

−2t + 2k + 2, t ∈ [k + 1/2, k + 1].  

Khi đó {πT (fk)} là một dãy compact (hội tụ về 0 trong C(J; R)) với mọi

T > 0 nhưng

k (cid:54)= l, |fk(t) − fl(t)| = 1, sup t≥0

do đó {fk} không là một dãy Cauchy trong BC([0, ∞); R. Từ đó χT (πT ({fk})) = 0 với mọi T > 0, suy ra χ∞({fk}) = 0, nhưng fk không phải là một dãy compact

tương đối.

Chúng ta thiết lập một độ đo không compact trên không gian BC([0, ∞); Rn). Ta gọi lại các độ đo không compact trên BC([0, ∞); Rn) (xem [10, Ví dụ 2.1.4]).

(cid:107)x(t)(cid:107), (1.5) dT (D). d∞(D) = lim T →∞ dT (D) = sup x∈D sup t≥T

Định nghĩa

(1.6) χ∗(D) = χ∞(D) + d∞(D).

Khi đó χ∗ là một độ đo không compact trên BC([0, ∞); Rn). Ta sẽ chứng minh rằng độ đo χ∗ có tính nửa chính quy, tức là χ∗(D) = 0 kéo theo D là tập compact tương đối trong BC([0, ∞); Rn).

Bổ đề 1.2.9. Độ đo không compact χ∗ có tính chất nửa chính quy.

Chứng minh. Cho D ⊂ BC([0, ∞); Rn) là một tập con bị chặn sao cho χ∗(D) = 0. Ta sẽ chỉ ra rằng D là một tập compact tương đối. Lấy P BC([0, ∞); Rn) là không gian các hàm bị chặn, liên tục từng khúc trên R+, nhận giá trị trong Rn. Khi đó, P BC([0, ∞); Rn) là một không gian Banach với chuẩn

(cid:107)x(t)(cid:107), (cid:107)x(cid:107)P BC = sup t≥0

và chứa không gian con đóng BC([0, ∞); Rn).

Với (cid:15) > 0, vì d∞(D) = 0 nên ta có thể chọn T > 0 sao cho supt≥T (cid:107)x(t)(cid:107) < (cid:15)/2

với mọi x ∈ D. Từ đó

∀x ∈ D, (cid:107)x − πT (x)(cid:107)P BC < (cid:15)/2,

ở đó πT là hàm của P BC([0, ∞); Rn) xác định bởi

x(t), t ∈ [0, T ],   πT (x)(t) =  0, t > T.

Bây giờ vì D là bị chặn và χT (D) = 0 nên theo định lý Arzelà-Ascoli, πT (D) là một tập compact tương đối trong C([0, T ]; Rn), do đó ta có

i=1BT (xi, (cid:15)/2),

πT (D) ⊂ ∪N

ở đó xi ∈ C([0, T ]; Rn), i = 1, . . . , N, và BT (x, r) là hình cầu trong C([0, T ]; Rn) tâm x, bán kính r. Đặt

t ∈ [0, T ], xi(t),   ˆxi =  0, t > T ;

i=1 ⊂ P BC([0, ∞); Rn). Ta suy ra rằng

khi đó {ˆxi}N

i=1B∞(ˆxi, (cid:15)),

D ⊂ ∪N

ở đây B∞(x, r) là hình cầu trong P BC([0, ∞); Rn) tâm x bán kính r. Ta thấy rằng nếu x ∈ D thì tồn tại k ∈ {1, 2, . . . , N } sao cho

(cid:107)πT (x) − xk(cid:107)C < (cid:15)/2,

ở đó (cid:107) · (cid:107)C là chuẩn trong C(J; Rn). Ta suy ra

(cid:107)πT (x) − ˆxk(cid:107)P BC < (cid:15)/2.

Từ đó dẫn đến

(cid:107)x − ˆxk(cid:107)P BC ≤ (cid:107)x − πT (x)(cid:107)P BC + (cid:107)πT (x) − ˆxk(cid:107)P BC ≤ (cid:15)/2 + (cid:15)/2 = (cid:15).

Vì vậy x ∈ B∞(ˆxk, (cid:15)). Ta có D ⊂ ∪N i=1B∞(ˆxi, (cid:15)) và do đó D là tập com- pact tương đối trong P BC([0, ∞); Rn). Để chỉ ra D cũng compact tương đối trong BC([0, ∞); Rn), ta thấy rằng với mỗi {xn} ⊂ D, tồn tại một hàm x ∈ P BC([0, ∞); Rn) sao cho

(cid:107)xn(t) − x(t)(cid:107) = 0. lim n→∞ (cid:107)xn − x(cid:107)P BC = lim n→∞ sup t≥0

Vậy dãy {xn} hội tụ đến x đều trên R+. Vì xn liên tục nên x liên tục, do đó x ∈ BC([0, ∞); Rn). Bổ đề được chứng minh.

1.3 GIẢI TÍCH ĐA TRỊ, ÁNH XẠ NÉN VÀ CÁC ĐỊNH

LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

Trong mục này, một số khái niệm và kết quả của giải tích đa trị và định lý

điểm bất động được trình bày, chi tiết hơn có thể xem trong [33]. Cho Y là một

không gian metric.

1.3.1 Một số vấn đề về giải tích đa trị

Định nghĩa 1.3.1. Ánh xạ đa trị F : Y → P(E) được gọi là:

(i) nửa liên tục trên nếu F −1(V ) = {y ∈ Y : F(y) ∩ V (cid:54)= ∅} là tập con đóng

của Y với mọi tập đóng V ⊂ E;

(ii) nửa liên tục trên yếu nếu F −1(V ) là tập con đóng của Y với mọi tập đóng

yếu V ⊂ E;

(iii) đóng nếu đồ thị ΓF = {(y, z) : z ∈ F(y)} là tập đóng trong Y × E;

(iv) compact nếu F(Y ) compact tương đối trong E;

(v) tựa compact nếu ánh xạ hạn chế trên một tập con compact A ⊂ Y bất kì

là compact.

Ta có kết quả sau về điều kiện đủ cho tính nửa liên tục trên của một ánh xạ

đa trị.

Bổ đề 1.3.2 ([33, Định lý 1.1.12]). Cho G : Y → P(E) là ánh xạ đa trị đóng,

tựa compact và có giá trị compact. Khi đó G là nửa liên tục trên.

Bổ đề 1.3.3 ([11, Mệnh đề 2]). Cho E là một không gian Banach và Ω là một

tập khác rỗng của một không gian Banach X. Giả sử rằng G : Ω → P(E) là

ánh xạ đa trị có giá trị lồi, compact yếu. Khi đó, G nửa liên tục trên yếu nếu

và chỉ nếu {xn} ⊂ Ω với xn → x0 ∈ Ω và yn ∈ G(xn) kéo theo tồn tại dãy con của yn hội tụ yếu về y0 ∈ G(x0).

Sau đây, ta nhắc lại khái niệm hàm chọn và nêu một số kết quả được dùng

trong các chương sau của luận án.

n=1 sao cho

Định nghĩa 1.3.4. Hàm F : [0, T ] → K(E) được gọi là hàm đo được mạnh nếu tồn tại một dãy các hàm đa trị bậc thang {Fn}∞

h(Fn(t), F (t)) → 0, khi n → ∞, h. k. n. t ∈ J,

trong đó h là khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp trên K(E).

Định nghĩa 1.3.5. Hàm f : [0, T ] → E được gọi là hàm chọn đo được (tương

ứng, đo được mạnh) của hàm đa trị F : [0, T ] → Kv(E) nếu f đo được (tương

ứng, đo được mạnh) và

f (t) ∈ F (t) h.k.n. t ∈ [0, T ].

Ta kí hiệu tập các hàm chọn đo được của F bởi SF .

Định nghĩa 1.3.6. Một tập con D ⊂ L1(J; E) được gọi là nửa compact nếu D bị chặn tích phân và D(t) = {f (t) : f ∈ D} là compact tương đối trong E với hầu

khắp t ∈ J.

Nhắc lại rằng nếu {fn} là một dãy nửa compact trong L1(J; E) thì {fn}

n=1 ⊂ SF

compact yếu (xem [33]).

Định nghĩa 1.3.7. [33, Định nghĩa 1.3.3] Một họ đếm được các hàm {fn}∞ được gọi là một biểu diễn Castaing của F nếu

n=1fn(t) = F (t)

∪∞ t ∈ J. hầu khắp

Bổ đề sau được suy ra từ [33, Bổ đề 1.3.3].

Bổ đề 1.3.8. Nếu E là không gian Banach và F : J → K(E) là hàm đa trị đo

được mạnh thì F có biểu diễn Castaing.

1.3.2 Ánh xạ nén và một số định lý điểm bất động

Định nghĩa 1.3.9. Ánh xạ F : Z ⊆ E → P(E) được gọi là một ánh xạ nén theo

độ đo β (β-nén) nếu với tập bị chặn Ω ⊂ Z, bất đẳng thức

β(Ω) ≤ β(F(Ω))

suy ra tính compact tương đối của Ω.

Với β là một độ đo đơn điệu và không suy biến trong E, từ Hệ quả 3.3.1 và

Mệnh đề 3.5.1 trong [33] ta có định lý điểm bất động sau.

Định lý 1.3.10. Cho M là một tập con khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn của E và

F : M → Kv(M) là ánh xạ đóng và β-nén. Khi đó, Fix(F) := {x ∈ F(x)} là

tập khác rỗng và compact.

Các nguyên lý điểm bất động sau đây được coi là hệ quả của Định lý 1.3.10.

Định lý 1.3.11. Cho M là một tập con khác rỗng, lồi, compact trong E và

F : M → P(M) là một ánh xạ đa trị đóng với giá trị lồi. Khi đó, Fix(F) là tập

khác rỗng.

Định lý 1.3.12. Cho M là một tập con khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn của E và

F : M → M là một ánh xạ liên tục và β-nén. Khi đó, Fix(F) là một tập

compact khác rỗng.

Định lý điểm bất động sau đây là một trường hợp đặc biệt của [33, Hệ quả

3.3.1].

Định lý 1.3.13. Cho M là một tập khác rỗng, lồi, đóng và bị chặn của không

gian Banach E và giả sử ánh xạ đa trị F : M → P(M) là một ánh xạ compact,

nửa liên tục trên với giá trị lồi, compact. Khi đó Fix(F) là một tập compact

khác rỗng.

1.4 TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA NỬA DÒNG ĐA TRỊ

Trong mục này, ta nhắc lại các khái niệm về nửa dòng đa trị và tập hút toàn

cục cho nửa dòng đa trị theo lược đồ của Melnik và Valero (xem [43]). Giả sử Γ

là một nửa nhóm con không tầm thường của nửa nhóm cộng tính các số thực R và Γ+ = Γ ∩ [0, ∞).

Định nghĩa 1.4.1. Ánh xạ G : Γ+ × E → P(E) được gọi là một nửa dòng đa trị

nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

1. G(0, w) = {w}, với mọi w ∈ E,

2. G(t1 + t2, x) ⊂ G(t1, G(t2, x)), với mọi t1, t2 ∈ Γ+, x ∈ E,

T (B)(B) là bị chặn. Ở đây, γ+ T (B)(B) = (cid:83)

t≥T (B)

trong đó G(t, B) = ∪x∈BG(t, x), B ⊂ E. Nửa dòng đa trị G được gọi là ngặt nếu G(t1 + t2, w) = G(t1, G(t2, w)) với mọi w ∈ E và t1, t2 ∈ Γ+. G được gọi là bị chặn chung cuộc nếu với mỗi tập bị chặn B ⊂ E, tồn tại số T (B) > 0 sao cho γ+ T (B)(B) là tập các quỹ đạo sau thời điểm T (B) : γ+ G(t, B). G được gọi là

tiệm cận trên nửa compact nếu với mỗi B là một tập đóng trong E sao cho với T (B) > 0, γ+ T (B)(B) bị chặn, thì mỗi dãy {ξn}, ξn ∈ G(tn, B) với tn → ∞ là tiền

compact trong E.

Mệnh đề 1.4.2. [43, Mệnh đề 1] Giả sử G(t, ·) : E → P(E) là compact khi t = t1 với t1 ∈ Γ \ {0} nào đó. Khi đó nửa dòng đa trị G là nửa compact tiệm cận trên.

Định nghĩa 1.4.3. Một tập bị chặn B1 ⊂ E được gọi là tập hấp thụ của nửa dòng đa trị G nếu với mỗi tập bị chặn B ⊂ E, tồn tại τ = τ (B) ≥ 0 sao cho γ+ τ (B)(B) ⊂ B1.

Định nghĩa 1.4.4. Tập con A ⊂ E được gọi là tập hút toàn cục của nửa dòng

đa trị G nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

1. A hút mọi tập B ∈ B(E), nghĩa là dist(G(t, B), A) → 0 khi t → ∞,

với mọi tập bị chặn B ⊂ E, trong đó dist(·, ·) kí hiệu nửa khoảng cách

Hausdorff của hai tập con trong E;

2. A là nửa bất biến âm, tức là A ⊂ G(t, A), ∀t ∈ Γ+.

Định lý sau đây cho chúng ta một điều kiện đủ về sự tồn tại tập hút toàn

cục của một nửa dòng đa trị G.

Định lý 1.4.5. Giả sử nửa dòng đa trị G thỏa mãn các tính chất:

1) G(t, ·) là nửa liên tục trên và có giá trị đóng với mỗi t ∈ Γ+;

2) G là tiêu hao điểm, tức là tồn tại K > 0 sao cho với w ∈ E, u(t) ∈ G(t, w),

thì (cid:107)u(t)(cid:107)E ≤ K với t ≥ t0((cid:107)w(cid:107)E);

3) G là tiệm cận trên nửa compact.

Nếu G là bị chặn chung cuộc, thì nó có một tập hút toàn cục compact A trong

E. Hơn nữa, nếu G là một nửa dòng ngặt, thì A là bất biến, tức là A = G(t, A)

với mỗi t ∈ Γ+.

1.5 MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ

1.5.1 Một số bất đẳng thức thường dùng

Ta đưa ra một vài bất đẳng thức quan trọng được sử dụng trong luận án: bất

đẳng thức Gronwall , bất đẳng thức Halanay ([28, 29]), bất đẳng thức Poincaré

([48]).

(cid:63) Bất đẳng thức Gronwall: Giả sử x(t) là một hàm liên tục tuyệt đối

trên [0; T ] và thỏa mãn

≤ g(t)x + h(t), h.k.n. t ∈ [0, T ], dx dt

trong đó g(t) và h(t) là các hàm khả tích trên [0; T ]. Khi đó

(cid:90) x(t) ≤ x(0)eG(t) + eG(t)−G(s)h(s)ds,

với mọi 0 ≤ t ≤ T , ở đó

(cid:90) G(t) = g(θ)dθ.

(cid:63) Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: Cho x(t) là một hàm khả tích,

không âm trên [0; T ] và thỏa mãn bất đẳng thức tích phân

(cid:90) x(s)ds, x(t) ≤ C1 + C2

với hầu khắp t và với C1, C2 là các hằng số không âm. Khi đó

x(t) ≤ C1(1 + C2teC2t),

với hầu khắp t, 0 ≤ t ≤ T.

(cid:63) Bất đẳng thức Halanay: Giả sử f : [t0 −τ, T ) → R+, 0 ≤ t0 < T < +∞

thỏa mãn phương trình vi phân hàm sau

s∈[t−τ,t]

f (cid:48)(t) ≤ −γf (t) + ν sup f (s),

với t ≥ t0, ở đó γ > ν > 0. Khi đó

f (t) ≤ κe−(cid:96)(t−t0), t ≥ t0,

s∈[t0−τ,t0]

ở đây κ = sup f (s) và (cid:96) là một nghiệm của phương trình γ = (cid:96) + νe−(cid:96)τ .

(cid:63) Bất đẳng thức Poincaré: Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn có đường

kính không quá d. Khi đó tồn tại hằng số C chỉ phụ thuộc k và d sao cho

|α|=k

Ω

(cid:90) (cid:90) (cid:88) u2dx ≤ C |Dαu|2dx

0 (Ω). Trong trường hợp k = 1, C = λ−1 1

trong đó λ1 chính là giá

với mọi u ∈ H k trị riêng đầu tiên của toán tử Laplace −∆D với điều kiện biên Dirichlet.

1.5.2 Một số bổ đề và định lý

Bổ đề 1.5.1 (Bổ đề Mazur). [48, Bổ đề 10.19] Cho X là một không gian Banach

và giả sử

un (cid:42) ¯u,

k=n sao cho (cid:80)N (n)

k=n αk(n) = 1 thỏa mãn

N (n) (cid:88)

trong X. Khi đó tồn tại một hàm N : N → N và một dãy các tập của các số thực không âm {α(n)k}N

k=n

vn := α(n)kuk

hội tụ mạnh đến ¯u trong X.

Định lý sau nêu ra một tiêu chuẩn để xác định tính compact của một tập

con trong không gian các hàm liên tục.

Định lý 1.5.2 (Định lý Arzelà-Ascoli). Cho X là một không gian metric compact

và Y là một không gian metric đầy. Khi đó, một tập con D của C(X; Y ) là

compact tương đối trong C(X; Y ) nếu và chỉ nếu nó đồng liên tục và có lát cắt

hoàn toàn bị chặn.

1.5.3 Một số không gian hàm

Cho Ω là một miền bị chặn trong Rn. Trong luận án này, ta sử dụng một số

không gian hàm Sobolev quan trọng sau đây:

1. L2(Ω) là không gian bao gồm tất cả những hàm u khả tích cấp 2 theo

Lebesgue trong Ω với chuẩn

Ω

(cid:19)1/2 (cid:18)(cid:90) |u|2dx ; (cid:107)u(cid:107)L2(Ω) =

2. L∞(Ω) là không gian bao gồm các hàm đo được và bị chặn hầu khắp nơi

trên Ω với chuẩn

|u(x)|; (cid:107)u(cid:107)∞ = ess sup x∈Ω

3. H 1(Ω) là không gian bao gồm tất cả những hàm u ∈ L2(Ω) sao cho uxi(x) ∈

L2(Ω), ∀1 ≤ i ≤ n và có chuẩn được cho bởi công thức

Ω

(cid:19)1/2 (cid:18)(cid:90) (|u|2 + |∇u|2)dx ; (cid:107)u(cid:107)H 1(Ω) =

0 (Ω) trong chuẩn của H 1(Ω);

0 (Ω) là bao đóng của C∞

4. H 1

0 (Ω).

5. H −1(Ω) là không gian đối ngẫu của H 1

Ngoài ra, ta cần sử dụng một số không gian hàm phụ thuộc thời gian sau:

1. Lp(0, T ; E), 1 ≥ p < ∞ là không gian với chuẩn

(cid:33)1/p (cid:32)(cid:90) T (cid:107)u(cid:107) = |u|pdx ;

2. W 1,p([0, T ]; E) là không gian bao gồm các hàm u : (0, T ) → E sao cho

u ∈ Lp(0, T ; E) và u(cid:48) ∈ Lp(0, T ; E) với chuẩn

(cid:33)1/p (cid:32)(cid:90) T (|u|p + |u(cid:48)|p)dx ; (cid:107)u(cid:107)W 1,p([0,T ];E) =

3. W 1,p((0, T ]; E) là không gian bao gồm các hàm u : (0, T ) → E sao cho

u ∈ Lp(0, T ; E) và u(cid:48) ∈ Lp(δ, T ; E), ∀δ ∈ (0, T ).

Chương 2

BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN TRONG

KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu một lớp các bất đẳng thức vi biến

phân trong không gian hữu hạn chiều. Trong đó, mô hình bất đẳng thức vi biến

phân được thiết kế bởi bất đẳng thức biến phân liên kết với hệ động lực nửa

tuyến tính có trễ. Chúng tôi nghiên cứu dáng điệu nghiệm thông qua việc chứng

minh sự tồn tại nghiệm phân rã cấp độ mũ và sự tồn tại một tập hút toàn cục

cho nửa dòng đa trị sinh bởi hệ.

Nội dung của phần này dựa trên kết quả bài báo số [1] trong Danh mục công

trình khoa học của tác giả có liên quan đến luận án.

2.1 ĐẶT BÀI TOÁN

Ta xét bất đẳng thức vi biến phân có dạng như sau:

(2.1) x(cid:48)(t) = Ax(t) + h(x(t)) + B(x(t), xt)u(t), t ∈ [0, T ],

(cid:104)v − u(t), F (x(t)) + G(u(t))(cid:105) ≥ 0, ∀v ∈ K, với hầu khắp t ∈ [0, T ], (2.2)

x(s) = ϕ(s), s ∈ [−τ, 0], (2.3)

ở đó T > 0, τ > 0, x(t) ∈ Rn, u(t) ∈ K với K là một tập con lồi đóng trong Rm, xt là hàm quá khứ của trạng thái tính tới thời điểm t, tức là xt(s) = x(t + s) với s ∈ [−τ, 0]; A, B, F, G và h là các ánh xạ cho trước.

2.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM

Kí hiệu

J = [0, T ], CT = C([0, T ]; Rn), Cτ = C([−τ, 0]; Rn), C = C([−τ, T ]; Rn).

Chúng tôi đưa ra các giả thiết sau để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán.

(H1) Toán tử A : Rn → Rn là tuyến tính trên Rn.

(H2) Ánh xạ B : Rn × Cτ → Rn×m là liên tục sao cho tồn tại các hằng số dương

ηB và ζB thỏa mãn

(cid:107)B(v, w)(cid:107) ≤ ηB((cid:107)v(cid:107) + (cid:107)w(cid:107)Cτ ) + ζB, với mọi v ∈ Rn, w ∈ Cτ .

(H3) Hàm F : Rn → Rm liên tục và tồn tại số ηF dương sao cho (cid:107)F (v)(cid:107) ≤ ηF

với mọi v ∈ Rn.

(H4) Hàm G : K → Rm là liên tục thỏa mãn:

1. G đơn điệu trên K, nghĩa là:

(cid:104)u − v, G(u) − G(v)(cid:105) ≥ 0, ∀u, v ∈ K;

2. tồn tại v0 ∈ K sao cho

> 0. lim v∈K,(cid:107)v(cid:107)→∞ (cid:104)v − v0, G(v)(cid:105) (cid:107)v(cid:107)2

(H5) Hàm h : Rn → Rn là liên tục sao cho tồn tại hai hằng số dương ηh và ζh

thỏa mãn

(cid:107)h(u)(cid:107) ≤ ηh(cid:107)u(cid:107) + ζh, ∀u ∈ Rn.

Nghiệm của bài toán (2.1)-(2.3) được cho bởi định nghĩa sau đây.

Định nghĩa 2.2.1. Cặp hàm (x, u) trong đó x : [−τ, T ] → Rn là hàm liên tục tuyệt đối và u : [0, T ] → K là hàm khả tích được gọi là nghiệm của bất đẳng

thức biến phân (2.1)-(2.3) nếu

(cid:90) (cid:90) x(t) = etAϕ(0) + e(t−s)Ah(x(s))ds, t ∈ J, e(t−s)AB(x(s), xs)u(s)ds +

(cid:104)v − u(t), F (x(t)) + G(u(t))(cid:105) ≥ 0, với hầu khắp t ∈ J và với mọi v ∈ K,

x(s) = ϕ(s), s ∈ [−τ, 0].

Với mỗi hàm Q : Rm → Rm, kí hiệu SOL(K, Q) là tập nghiệm của bất đẳng

thức biến phân

(cid:104)w − v, Q(v)(cid:105) ≥ 0, ∀w ∈ K.

Dựa vào [49, Mệnh đề 6.2], ta thu được tính chất sau của tập nghiệm SOL(K, Q).

Bổ đề 2.2.2. Giả sử điều kiện (H4) được thỏa mãn. Khi đó với mọi z ∈ Rm, tập nghiệm SOL(K, z + G(·)) là khác rỗng, lồi và compact. Hơn nữa, tồn tại số

ηG > 0 sao cho

(2.4) (cid:107)v(cid:107) ≤ ηG(1 + (cid:107)z(cid:107)), ∀v ∈ SOL(K, z + G(·)).

Để đưa ra lược đồ cho tính giải được của hệ (2.1)-(2.3), chúng ta biến đổi

DVI đã cho về một bao hàm thức vi phân. Đặt

U (z) = SOL(K, z + G(·)), z ∈ Rm.

Khi đó theo Bổ đề 2.2.2 toán tử U : Rm → P(Rm) có giá trị lồi, đóng. Ngoài ta, ta thấy rằng U là một ánh xạ đóng. Nhờ có (2.4), toán tử U là bị chặn địa

phương, do đó theo Bổ đề 1.3.2 nó có tính chất nửa liên tục trên.

Bây giờ ta định nghĩa Φ : Rn × Cτ → P(Rn) như sau:

Φ(v, w) = {B(v, w)y + h(v) : y ∈ U (F (v))}.

Do toán tử B(v, w) là tuyến tính với mỗi v ∈ Rn, w ∈ Cτ và U có giá trị lồi, đóng, ta suy ra Φ cũng có giá trị lồi đóng. Hơn nữa do tính liên tục của các ánh

xạ B, F , h và tính nửa liên tục trên của ánh xạ đa trị U , ta suy ra ánh xạ đa

trị hợp thành Φ cũng có tính chất nửa liên tục trên.

Từ các thiết lập trên, bất đẳng thức vi biến phân (2.1)-(2.3) được chuyển về

bao hàm thức vi phân sau

(2.5) x(cid:48)(t) ∈ Ax(t) + Φ(x(t), xt), t ∈ J,

x(t) = ϕ(t), t ∈ [−τ, 0], (2.6)

u(t) ∈ U (x(t)). (2.7)

Kí hiệu

PΦ(x) = {f ∈ L1(J; Rn) : f (t) ∈ Φ(x(t), xt)}, với x ∈ C.

Khi đó, ta nhận thấy rằng nếu (x, u) là một nghiệm của (2.1)-(2.3) thì x ∈ C

được cho bởi công thức dưới đây

(cid:90) x(t) = etAϕ(0) + (2.8) e(t−s)Af (s)ds, f ∈ PΦ(x), t ∈ J,

x(t) = ϕ(t), t ∈ [−τ, 0]. (2.9)

Ngược lại, nếu x ∈ C là nghiệm của (2.8)-(2.9) thì bất đẳng thức vi biến phân

(2.1)-(2.3) có một nghiệm (x, u). Thật vậy, vì ánh xạ đa trị U là nửa liên tục

trên và hàm F liên tục nên theo [33, Định lý 1.3.5], tồn tại hàm khả tích u(·)

trên [0, T ] sao cho u(t) ∈ U (F (x(t))). Nói cách khác, hàm u là khả tích và thỏa

mãn bất đẳng thức biến phân (??).

Cho y ∈ CT và ϕ ∈ Cτ , ta định nghĩa hàm y[ϕ] ∈ C như sau

y(t), nếu t ∈ J,   y[ϕ](t) =  ϕ(t), nếu t ∈ [−τ, 0].

Xét toán tử Cauchy

W : L1(J; Rn) → CT

(cid:90) W(f )(t) = e(t−s)Af (s)ds. (2.10)

Với mỗi ϕ ∈ Cτ cho trước, ta định nghĩa toán tử nghiệm F : CT → P(CT ) như

F(y)(t) = {etAϕ(0) + W(f )(t) : f ∈ PΦ(y[ϕ])}, t ∈ J.

Khi đó y ∈ CT là một điểm bất động của ánh xạ F nếu và chỉ nếu y[ϕ] là một

nghiệm của (2.8)-(2.9).

Bổ đề 2.2.3. Với các giả thiết (H2)-(H5), ánh xạ PΦ được xác định và có tính chất nửa liên tục trên yếu.

Chứng minh. Dựa trên kết quả của Bổ đề 2.2.2, ta có

(cid:107)Φ(v, w)(cid:107) := sup{(cid:107)z(cid:107) : z ∈ Φ(v, w)}

≤ (cid:107)B(v, w)(cid:107)ηG(1 + (cid:107)F (v)(cid:107)) + (cid:107)h(v)(cid:107)

(2.11) ≤ ηG(1 + ηF )[ηB((cid:107)v(cid:107) + (cid:107)w(cid:107)Cτ ) + ζB] + ηh(cid:107)v(cid:107) + ζh.

Vì Φ là nửa liên tục trên với giá trị lồi, compact nên ánh xạ đa trị Λ(t) =

Φ(x(t), xt) là đo được mạnh. Do đó, theo Bổ đề 1.3.8, Φ có biểu diễn Castaing, từ đó dẫn đến PΦ(x) (cid:54)= ∅ với x ∈ C.

Khẳng định thứ hai được chứng minh bằng cách sử dụng Bổ đề 1.3.3. Lấy {xk} ⊂ C sao cho xk → x∗ và lấy fk ∈ PΦ(xk). Do đó fk(t) ⊂ C(t) := Φ({xk(t), (xk)t)} và C(t) là một tập compact với mỗi t ∈ J. Hơn nữa, từ (2.11), {fk} là bị chặn tích phân ta suy ra {fk} là tập compact yếu trong L1(J; Rn). Vậy tồn tại f ∗ ∈ L1(J; Rn) sao cho fk (cid:42) f ∗ trong L1(J; Rn). Bởi Bổ đề Mazur, tồn tại ¯fk ∈ co{fi : i ≥ k} sao cho ¯fk → f ∗ trong L1(J; Rn) và ¯fk(t) → f ∗(t) với hầu khắp t ∈ J (lấy theo một dãy con). Chúng ta thấy rằng trong trường hợp

này, tính nửa liên tục trên của ánh xạ đa trị Φ suy ra rằng với mỗi (cid:15) > 0 bé tùy

ý ta có

t ) + B(cid:15) với mọi số k đủ lớn,

Φ(xk(t), (xk)t) ⊂ Φ(x∗(t), x∗

ở đó B(cid:15) là hình cầu mở trong Rn tâm là gốc tọa độ và có bán kính (cid:15). Từ đó

t ) + B(cid:15) với hầu khắp t ∈ J,

fk(t) ∈ Φ(x∗(t), x∗

và

t ) + B(cid:15) với hầu khắp t ∈ J,

t ) + B(cid:15). Bao hàm thức cuối cùng dẫn đến f ∗(t) ∈ do tính lồi của Φ(x∗(t), x∗ Φ(x∗(t), x∗ t ) + B(cid:15) với hầu khắp t ∈ J. Do (cid:15) là một số dương được chọn tùy ý, ta thu được f ∗ ∈ PΦ(x∗). Từ đó suy ra tính nửa liên tục trên yếu của ánh xạ PΦ.

¯fk(t) ∈ Φ(x∗(t), x∗

Bổ đề 2.2.4. Toán tử W được xác định bởi (2.10) là một toán tử compact.

Chứng minh. Ta chứng minh rằng W(Ω) là compact tương đối trong CT với mọi tập bị chặn Ω ⊂ L1(J; Rn). Thật vậy, ta có W(Ω)(t) bị chặn trong Rn. Thêm vào đó, W(Ω) có tính chất đồng liên tục do nửa nhóm S(t) = etA liên tục theo chuẩn. Từ đó bởi định lý Arzelà-Ascoli, ta suy ra W(Ω) là compact tương đối

trong CT . Vậy W là một toán tử compact.

Bổ đề 2.2.5. Giả sử các điều kiện (H1)-(H5) được thỏa mãn. Khi đó toán tử

nghiệm F là compact và có đồ thị đóng.

Chứng minh. Bởi vì W là compact, ta dễ dàng kiểm tra được F(B) là tập

compact tương đối với mỗi tập bị chặn B ⊂ CT . Vì vậy, F là một ánh xạ đa trị

compact.

Bây giờ lấy {xk} ⊂ CT , xk → x∗, yk ∈ F(xk[ϕ]) và yk → y∗. Chúng ta sẽ chỉ

ra rằng y∗ ∈ F(x∗). Lấy fk ∈ PΦ(xk[ϕ]) sao cho

(2.12) yk(t) = etAϕ(0) + W(fk)(t), t ∈ J.

Bởi tính nửa liên tục trên yếu của PΦ và tính compact của {xk}, ta suy ra {fk} là một dãy compact yếu, từ đó ta có thể giả sử rằng fk (cid:42) f ∗ trong L1(J; Rn). Hơn nữa, f ∗ ∈ PΦ(x∗[ϕ]). Do tính compact của W, ta thu được W(fk) → W(f ∗) trong CT . Từ đó chuyển qua giới hạn đẳng thức (2.12) khi k → ∞, ta nhận được

y∗(t) = etAϕ(0) + W(f ∗)(t), t ∈ J.

Vì vậy y∗ ∈ F(x∗) và F có đồ thị đóng.

Định lý 2.2.6. Giả sử rằng (H1)-(H5) được thỏa mãn. Khi đó bài toán (2.5)-(2.6)

có ít nhất một nghiệm trên [−τ, T ]. Hơn nữa, tập nghiệm của (2.5)-(2.6) là một

tập compact trong C. Từ đó suy ra tính giải được của bất đẳng thức vi biến phân (2.1)-(2.3) trong C × L1([0, T ]; K).

Chứng minh. Đầu tiên ta sẽ chứng tỏ rằng Fix(F) (cid:54)= ∅. Theo Bổ đề 2.2.5, khẳng

định này được chứng minh nếu tồn tại một tập lồi, đóng, bị chặn M0 ⊂ CT

thỏa mãn F(M0) ⊂ M0. Lấy y ∈ F(x). Khi đó từ định nghĩa toán tử nghiệm và ước lượng (2.11) của ánh xạ Φ, tồn tại f ∈ PΦ(x[ϕ]) thỏa mãn

(cid:90) (cid:107)y(t)(cid:107) = (cid:107)etAϕ(0) + e(t−s)Af (s)ds(cid:107)

(cid:90) ≤ M (cid:107)ϕ(0)(cid:107) + (cid:107)e(t−s)A(cid:107)(cid:107)f (s)(cid:107)ds

(cid:90) ≤ M (cid:107)ϕ(0)(cid:107) + M [(η + ηh)(cid:107)x(s)(cid:107) + η(cid:107)x[ϕ]s(cid:107)Cτ + ηG(1 + ηF )ζB + ζh] ds,

(cid:107)etA(cid:107), η = ηG(1 + ηF )ηB. với mọi t ∈ J, ở đó M = sup t∈J

Mặt khác, ta có

θ∈[−τ,0]

(cid:107)x(ρ)(cid:107), (cid:107)x[ϕ]s(cid:107)Cτ = sup (cid:107)x[ϕ](s + θ)(cid:107) ≤ (cid:107)ϕ(cid:107)Cτ + sup ρ∈[0,s]

từ đó suy ra

(cid:90) t (cid:107)x(ρ)(cid:107))ds (cid:107)y(t)(cid:107) ≤ M1 + M ((η + ηh)(cid:107)x(s)(cid:107) + η sup ρ∈[0,s]

(cid:90) t (cid:107)u(ρ)(cid:107)ds, ≤ M1 + M (2η + ηh) sup ρ∈[0,s]

ở đây M1 = M (cid:107)ϕ(0)(cid:107) + M T [η(cid:107)ϕ(cid:107)Cτ + ηG(1 + ηF )ζB + ζh]. Do vế phải của bất đẳng thức cuối cùng không giảm theo t, ta nhận được

(cid:90) (cid:107)x(ρ)(cid:107)ds. (2.13) (cid:107)y(ρ)(cid:107) ≤ M1 + M (2η + ηh) sup ρ∈[0,s] sup ρ∈[0,t]

Kí hiệu

(cid:107)x(s)(cid:107) ≤ ψ(t), t ∈ [0, T ]}, M0 = {x ∈ CT : sup s∈[0,t]

với ψ là nghiệm duy nhất của phương trình tích phân

(cid:90) t ψ(s)ds, t ∈ J. ψ(t) = M1 + M (2η + ηh)

Ta thấy rằng M0 là một tập đóng, lồi trong CT và ước lượng (2.13) suy ra rằng F(M0) ⊂ M0. Áp dụng Định lý 1.3.13, tồn tại hàm liên tục x trên [−τ, T ] là điểm bất động của ánh xạ F. Định lý được chứng minh.

2.3 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM PHÂN RÃ

Trong phần này, chúng tôi chứng minh bài toán (2.5) có một nghiệm phân

rã với tốc độ mũ. Với mỗi số dương γ và hàm ϕ ∈ Cτ , kí hiệu

ϕ(R) = {x ∈ C([0, ∞); Rn) : x(0) = ϕ(0), eγt(cid:107)x(t)(cid:107) ≤ R với mọi t ≥ 0}.

Bγ

ϕ(R) cùng với chuẩn supremum (cid:107) · (cid:107)BC là một tập con đóng của ϕ(R) là tập các hàm phân rã tốc độ mũ trong BC([0, ∞); Rn). ϕ(R). Để đưa ra được sự tồn tại nghiệm có tính phân rã, các giả thiết (H1), (H2) và (H5) được thay thế bởi những giả thiết

Khi đó, Bγ BC([0, ∞); Rn) và Bγ Ta sẽ xét toán tử nghiệm F trên Bγ

mạnh hơn như sau:

(H1*) Toán tử A là tuyến tính trên Rn sao cho tồn tại a > 0 : (cid:104)−Az, z(cid:105) ≥ a(cid:107)z(cid:107)2

với mọi z ∈ Rn.

(H2*) Ánh xạ B thỏa mãn (H2) với ζB = 0.

(H5*) Hàm h thỏa mãn (H5) với ζh = 0.

Bổ đề 2.3.1. Giả sử (H1*), (H2*), (H3)-(H4) và (H5*) được thỏa mãn. Khi đó

nếu

(2.14) ηG(1 + ηF )ηB(1 + eγτ ) + ηh + γ < a

ϕ(R)) ⊂ Bγ

ϕ(R) với số R > 0 nào đó.

thì F(Bγ

Chứng minh. Do (H1*) ta có

ϕ(n) và yn ∈ F(xn) với

(cid:107)etA(cid:107) ≤ e−at, t ≥ 0. (2.15)

ϕ(n). Khi đó tồn tại hàm khả tích fn ∈ PΦ(xn[ϕ]) sao cho

Giả sử ngược lại rằng: với mỗi số n ∈ N tồn tại xn ∈ Bγ yn (cid:54)∈ Bγ

(cid:90) ∀t ≥ 0. e(t−s)Afn(s)ds, yn(t) = etAϕ(0) +

Ta sử dụng (2.15) và ước lượng (2.11) để nhận được

(cid:90) e−a(t−s)((cid:107)xn(s)(cid:107) + (cid:107)xn[ϕ]s(cid:107)Cτ )ds (cid:107)yn(t)(cid:107) ≤ e−at(cid:107)ϕ(cid:107)Cτ + ηG(1 + ηF )ηB

(cid:90) (2.16) + ηh e−a(t−s)(cid:107)xn(s)(cid:107)ds.

Dễ thấy eγt(cid:107)xn(t)(cid:107) ≤ n với mọi t ≥ 0. Khi đó với mọi t ≥ τ , ta có

(cid:107)xn(t + ρ)(cid:107) eγt(cid:107)xn[ϕ]t(cid:107)Cτ = eγt sup ρ∈[−τ,0]

= eγt e−γ(t+ρ)eγ(t+ρ)(cid:107)xn(t + ρ)(cid:107) sup ρ∈[−τ,0]

≤ eγte−γ(t−τ ) eγ(t+ρ)(cid:107)xn(t + ρ)(cid:107) sup ρ∈[−τ,0]

≤ neγτ .

Mặt khác, với mỗi t ∈ [0, τ ] ta có eγt(cid:107)xn[ϕ]t(cid:107)Cτ ≤ eγτ (cid:107)ϕ(cid:107)Cτ . Vì vậy,

eγt(cid:107)xn[ϕ]t(cid:107)Cτ ≤ eγτ (n + (cid:107)ϕ(cid:107)Cτ ) với mọi t ≥ 0.

Kết hợp với (2.16) ta suy ra rằng

(cid:90) e−(a−γ)(t−s)eγs(cid:107)xn(s)(cid:107)ds eγt(cid:107)yn(t)(cid:107) ≤ e−(a−γ)t(cid:107)ϕ(cid:107)Cτ + [ηG(1 + ηF )ηB + ηh]

(cid:90) + ηG(1 + ηF )ηB e−(a−γ)(t−s)eγs(cid:107)xn[ϕ]s(cid:107)Cτ ds

≤ (cid:107)ϕ(cid:107)Cτ + {n[ηG(1 + ηF )ηB + ηh] + (n + (cid:107)ϕ(cid:107)Cτ )eγτ ηG(1 + ηF )ηB}I,

ở đó (cid:90) t I = e−(a−γ)(t−s)ds = (1 − e−(a−γ)t). 1 a − γ

Từ đó dẫn đến

(cid:3) + , (2.17) eγt(cid:107)yn(t)(cid:107) ≤ (cid:2)ηG(1 + ηF )ηB(1 + eγτ ) + ηh 1 n 1 a − γ C n sup t≥0

với

C = (cid:107)ϕ(cid:107)Cτ + (cid:2)(cid:107)ϕ(cid:107)Cτ ηG(1 + ηF )ηBeγτ (cid:3). 1 a − γ

Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức (2.17), khẳng định nhận được mâu thuẫn

với giả thiết (2.14). Bổ đề được chứng minh.

Ta phát biểu định lý chính trong phần này về sự tồn tại nghiệm phân rã

của hệ động lực liên kết với bất đẳng thức vi biến phân (2.1)-(2.3). Kí hiệu loc(R+; R) → BC([−τ, ∞]; Rn) xác định bởi phép chiếu Π : BC([−τ, ∞]; Rn) × L1 Π(x, u) := x.

Định lý 2.3.2. Giả sử rằng (H1*)-(H2*), (H3)-(H4), (H5*) thỏa mãn và tồn tại

một số γ > 0 sao cho

ηG(1 + ηF )ηB(1 + eγτ ) + ηh + γ < a.

Khi đó tập nghiệm S của DVI (2.1)-(2.3) là khác rỗng. Hơn nữa Π(S) là một tập compact, khác rỗng trên BC([−τ, ∞]; Rn) và

eγt(cid:107)x(t)(cid:107) = O(1) khi t → ∞,

với mọi x ∈ Π(S).

ϕ(R) → P(Bγ ϕ(R)), với số R > 0 được xác định trong Bổ đề 2.3.1. Bởi Định lý 1.3.13, để chỉ ra sự tồn tại điểm bất động của F trên Bγ ϕ(R) ta chỉ cần chỉ ra rằng F là compact và nửa liên tục trên. Đầu tiên ta chứng minh F là compact. Cho D ⊂ Bγ ϕ(R). Ta sẽ chứng minh F(D) là compact, tức là χ∗(F(D)) = 0.

Chứng minh. Xét ánh xạ F : Bγ

Bằng lập luận tương tự như trong chứng minh của Bổ đề 2.2.5, ta có

χT (πT (F(D))) = 0.

Vì vậy,

(2.18) χ∞(F(D)) = 0.

Ta còn phải chỉ ra rằng d∞(F(D)) = 0. Lấy x ∈ D và y ∈ F(x). Khi đó bởi Bổ đề 2.3.1 ta có

(cid:107)y(t)(cid:107) ≤ Ce−γt, ∀t ≥ 0,

ở đó C = C(R, a, γ, ηB, ηF , ηG, ηh). Vì vậy với mỗi T > 0, ta suy ra

(cid:107)y(t)(cid:107) ≤ Ce−γT , ∀y ∈ D. sup t≥T

dT (D) = 0. Kết hợp với (2.18)

Từ đó dT (D) ≤ Ce−γT , ta suy ra d∞(D) = lim T →∞ ta nhận được

χ∗(F(D)) = 0,

suy ra F(D) là một tập compact tương đối do tính nửa chính quy của độ đo χ∗

(Bổ đề 1.2.9).

Để chỉ ra F là nửa liên tục trên, ta cần chỉ ra F có đồ thị đóng. Quá trình

chứng minh tương tự như trong Bổ đề 2.2.5.

2.4 TẬP HÚT TOÀN CỤC CHO NỬA DÒNG ĐA TRỊ

SINH BỞI DVI

Trong phần này, ta nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàn cục cho thành phần

tiến hóa của bất đẳng thức vi biến phân (2.1)-(2.2). Cụ thể, ta khảo sát nửa

dòng đa trị sinh bởi bao hàm thức vi phân (2.5). Từ Định lý 2.2.6, đặt

G : R+ × Cτ → P(Cτ )

G(t, ϕ) = {xt : x[ϕ] là một nghiệm của (2.5) − (2.6) trên [−τ, T ] với mọi T > 0}.

Khi đó G là nửa dòng đa trị sinh bởi hệ vi phân (2.5)-(2.6). Bằng lập luận tương

tự như trong [43, Bổ đề 5], ta suy ra nửa dòng đa trị trên là ngặt, tức là

G(t1 + t2, ϕ) = G(t1, G(t2, ϕ)), với mọi t1, t2 ∈ R+, ϕ ∈ Cτ .

Với mỗi ϕ ∈ Cτ , ta kí hiệu

Σ(ϕ) = {x ∈ C([0, ∞); Rn) : x[ϕ] là một nghiệm của (2.5)-(2.6)

trên [−τ, T ] với mọi T > 0}.

Khi đó ta có

πt ◦ Σ(ϕ) ⊂ S(·)ϕ(0) + W ◦ PΦ(πt ◦ Σ(ϕ)[ϕ]).

Hơn nữa G(t, ϕ) = {x[ϕ]t : x ∈ Σ(ϕ)}. Mặt khác, do Định lý 2.2.6, πt ◦ Σ(ϕ) là tập con compact trong C([0, t]; Rn) với mỗi t > 0. Từ đó suy ra G(t, ϕ) cũng là tập compact trong Cτ . Vậy G(t, ·) có giá trị compact. Các tính chất của G(t, ·)

được cho trong các bổ đề dưới đây.

Bổ đề 2.4.1. Giả sử (H1)-(H5) được thỏa mãn. Khi đó ánh xạ đa trị G(t, ·) là

compact với mỗi t > τ .

Chứng minh. Lấy Ω là tập bị chặn trong Cτ và {zn} là dãy trong G(t, Ω). Khi đó với mỗi số n, ta có thể tìm được các hàm ϕn ∈ Ω và xn ∈ Σ(ϕn) sao cho zn = xn[ϕn]t.

Bởi vì t > τ ta có

zn = xn(t + ·) = e(t+·)Aϕn(0) + W(fn)(t + ·),

ở đây fn ∈ PΦ(xn[ϕn]). Do {ϕn(0)} ⊂ Rn là dãy bị chặn và A sinh ra nửa nhóm compact nên tập hợp {e(t+·)Aϕn(0)} compact tương đối trong Cτ . Mặt khác, theo ước lượng (2.11), vì {xn} là dãy bị chặn nên {fn} là bị chặn tích phân. Do W là một toán tử compact, ta suy ra {W(fn)} là compact tương đối trong Cτ . Từ đó suy ra dãy {zn} là dãy compact tương đối. Bổ đề được chứng minh.

Hệ quả 2.4.2. Giả sử (H1)-(H5) được thỏa mãn. Khi đó nửa dòng đa trị G là

nửa compact tiệm cận trên.

Chứng minh. Lấy t1 > τ , ta có G(t1, ·) là toán tử compact do Bổ đề 2.4.1. Từ Mệnh đề 1.4.2, ta suy ra G là nửa compact tiệm cận trên.

Bổ đề 2.4.3. Giả sử (H1)-(H5) được thỏa mãn. Khi đó G(t, ·) là nửa liên tục

trên với mỗi t ≥ 0.

Chứng minh. Theo Bổ đề 1.3.2, vì G(t, ·) là ánh xạ đa trị compact nên ta chỉ cần chứng minh rằng G(t, ·) là đóng với mỗi t ≥ 0. Lấy ϕn → ϕ∗ trong Cτ và zn ∈ G(t, ϕn) sao cho zn → z∗. Ta chỉ ra z∗ ∈ G(t, ϕ∗), tức là z∗ = x∗[ϕ∗]t với x∗ ∈ Σ(ϕ∗). Lấy dãy xn ∈ Σ(ϕn) sao cho zn = xn[ϕn]t, dấn đến tồn tại fn ∈ PΦ(xn[ϕn]) thỏa mãn

(2.19) xn = e(·)Aϕn(0) + W(fn).

Vì {ϕn} bị chặn trong Cτ nên {xn} là dãy bị chặn trong C(J; Rn). Do đó {fn} là bị chặn khả tích trong L1(0, T ; Rn). Từ tính compact của W suy ra {W(fn)} compact tương đối trong C(J; Rn). Thêm vào đó, {e(·)Aϕn(0)} là dãy hội tụ trong C([0, T ]; Rn), kết hợp với (2.19) ta nhận được {xn} có dãy con hội tụ (không giảm tổng quát ta vẫn kí hiệu dãy con đó là {xn}). Đặt x∗ = lim xn n→∞ trong C([0, T ]; Rn). Khi đó xn[ϕn] → x∗[ϕ∗] trong C([−τ, T ]; Rn). Do PΦ là nửa liên tục trên yếu và áp dụng Bổ đề 1.3.3, ta thu được sự hội tụ yếu theo dãy con: fn (cid:42) f ∗ ∈ PΦ(x∗[ϕ∗]). Từ đó chuyển qua giới hạn đẳng thức (2.19), ta có

x∗ = e(·)Aϕ∗(0) + W(f ∗),

trong đó f ∗ ∈ PΦ(x∗[ϕ∗]). Vậy x∗[ϕ∗] là một nghiệm của (2.5)-(2.6) và do đó x∗[ϕ∗]t ∈ G(t, ϕ∗). Hiển nhiên rằng zn = xn[ϕn]t → z∗ = x∗[ϕ∗]t và z∗ ∈ G(t, ϕ∗). Bổ đề được chứng minh.

Để áp dụng Định lý 1.4.5 với mục đích thu được kết quả về sự tồn tại tập hút

toàn cục của nửa dòng đa trị G, ta còn phải chỉ ra rằng G có một tập hấp thụ

trong Cτ . Kết quả này nhận được thông qua sử dụng bất đẳng thức Halanay.

Bổ đề 2.4.4. Giả sử (H1*) và (H2)-(H5) được thỏa mãn. Nếu

2ηBηG(1 + ηF ) + ηh < a,

thì tồn tại một tập hấp thụ cho nửa dòng đa trị G.

Chứng minh. Với t > 0 và ϕ ∈ Cτ , ta xét nghiệm x[ϕ] của bài toán được cho

0 x(t) = ϕ(t), t ∈ [−τ, 0],

bởi (cid:90) x(t) = etAϕ(0) + e(t−s)Af (s)ds,

với f ∈ PΦ(x[ϕ]). Sử dụng (H1*) và bất đẳng thức (2.11), ta thu được

(cid:107)x(t)(cid:107) ≤e−at(cid:107)ϕ(0)(cid:107)

(cid:90) + e−a(t−s)[(η + ηh)(cid:107)x(s)(cid:107) + η(cid:107)x[ϕ]s(cid:107)Cτ + ηG(1 + ηF )ζB + ζh]ds,

ở đây η = ηBηG(1 + ηF ). Vì a − (2η + ηh) > 0 nên ta có thể chọn R > 0 sao cho

η + ηG(1 + ηF )ζB + ζh R

= d < a − (η + ηh). Đầu tiên, ta chứng minh rằng với mỗi ϕ ∈ Cτ thỏa mãn (cid:107)ϕ(cid:107)Cτ ≤ C, nghiệm x[ϕ] có tính chất sau: ∃t0 > 0 sao cho (cid:107)x[ϕ]t0(cid:107)Cτ ≤ R. Thật vậy, giả sử ngược lại với mọi t > 0, ta có (cid:107)x[ϕ]t(cid:107)Cτ > R. Thế thì

η(cid:107)x[ϕ]s(cid:107)Cτ + ηG(1 + ηF )ζB + ζh ≤ d(cid:107)x[ϕ]s(cid:107)Cτ , ∀s ≥ 0.

Do đó ta có

(cid:90) (cid:107)x(t)(cid:107) ≤ e−at(cid:107)ϕ(0)(cid:107) + e−a(t−s)[(η + ηh)(cid:107)x(s)(cid:107) + d(cid:107)x[ϕ]s(cid:107)Cτ ]ds, t ≥ 0.

t (cid:82)

Đặt

e−at(cid:107)ϕ(0)(cid:107) + e−a(t−s)[(η + ηh)(cid:107)x(s)(cid:107) + d(cid:107)xs(cid:107)Cτ ]ds, t ≥ 0,   y(t) =

 (cid:107)x(t)(cid:107), t ∈ [−τ, 0].

Khi đó (cid:107)x(t)(cid:107) ≤ y(t), ∀t ≥ −τ , từ đó ta suy ra ước lượng sau

s∈[t−τ,t]

y(s). y(cid:48)(t) ≤ −[a − (η + ηh)]y(t) + d sup

Áp dụng bất đẳng thức Halanay, ta thu được

(cid:107)x(t)(cid:107) ≤ (cid:107)ϕ(cid:107)Cτ e−(cid:96)t ≤ Ce−(cid:96)t, ∀t ≥ 0,

ở đây (cid:96) là một số dương.

Từ đó ta có

θ∈[−τ,0]

(cid:107)x(t + θ)(cid:107) ≤ Ce(cid:96)τ e−(cid:96)t, ∀t ≥ 0. R < (cid:107)xt(cid:107)Cτ = sup

Vậy (cid:107)xt(cid:107)Cτ có giới hạn 0 khi t → ∞, suy ra tồn tại t1 > 0 sao cho (cid:107)xt1(cid:107)Cτ < R. Ta có mâu thuẫn.

Vì vậy với mỗi C > 0, nếu (cid:107)ϕ(cid:107)Cτ < C thì tồn tại t0 > 0 sao cho (cid:107)xt0(cid:107)Cτ ≤ R. Bằng phản chứng, ta chỉ ra rằng (cid:107)xt(cid:107)Cτ ≤ R, ∀t ≥ t0. Thật vậy giả sử ngược lại, tồn tại t1 ≥ t0 sao cho

(cid:107)xt1(cid:107)Cτ ≤ R nhưng đồng thời (cid:107)xt(cid:107)Cτ > R với mọi t ∈ (t1, t1 + θ),

ở đây θ > 0. Vì x[ϕ] là nghiệm của bài toán trên [t1, t1 + θ) nên ta có

(cid:90) x(t) = e(t−t1)Ax(t1) + e(t−s)Af (s)ds, f ∈ PΦ(x[ϕ]).

Khi đó

(cid:90) (cid:107)x(t)(cid:107) ≤ e−a(t−t1)(cid:107)ϕ(0)(cid:107) + e−a(t−s)[(η + ηh)(cid:107)x(s)(cid:107) + d(cid:107)xs(cid:107)Cτ ]ds, t ∈ [t1, t1 + θ).

Sử dụng lập luận tương tự như trên, ta thu được

(cid:107)x(t)(cid:107) ≤ (cid:107)xt1(cid:107)Cτ e−(cid:96)(t−t1) ≤ (cid:107)xt1(cid:107)Cτ ≤ R, ∀t ∈ [t1, t1 + θ).

Do đó với mỗi t ∈ [t1, t1 + θ), ta có

s∈[−τ,0]

r∈[t−τ,t]

(cid:107)x(t + s)(cid:107) = sup (cid:107)x(r)(cid:107) (cid:107)xt(cid:107)Cτ = sup

r∈[t1−τ,t]

≤ sup (cid:107)x(r)(cid:107)

= max{ (cid:107)x(r)(cid:107)} sup r∈[t1−τ,t1] (cid:107)x(r)(cid:107), sup r∈[t1,t]

(cid:107)x(r)(cid:107)} ≤ R. = max{(cid:107)xt1(cid:107)Cτ , sup r∈[t1,t]

Từ đây suy ra mâu thuẫn. Vậy tồn tại hình cầu nhận điểm gốc làm tâm, có bán

kính R là một tập hấp thụ của nửa dòng đa trị G, cụ thể R được chọn sao cho

R > . ηG(1 + ηF )ζB + ζh a − (2η + ηh)

Định lý 2.4.5. Giả sử (H1*), (H2)-(H5) được thỏa mãn. Khi đó tồn tại một tập

hút toàn cục cho nửa dòng đa trị G sinh bởi (2.5) nếu ta có ước lượng dưới đây

2ηBηG(1 + ηF ) + ηh < a.

Chứng minh. Kết luận của định lý được suy ra từ Hệ quả 2.4.2, Bổ đề 2.4.3 và

Bổ đề 2.4.4.

Kết luận Chương 2

Trong chương này, chúng tôi đã thu được các kết quả chính bao gồm:

1) Chứng minh được sự tồn tại nghiệm toàn cục và tính chất của tập nghiệm

đối với bài toán Cauchy (Định lý 2.2.6).

2) Chứng minh được sự tồn tại nghiệm phân rã của hệ động lực sinh bởi bất

đẳng thức vi biến phân với mỗi giá trị ban đầu bất kì (Định lý 2.3.2).

3) Chỉ ra được sự tồn tại một tập hút toàn cục trong Cτ của nửa dòng đa

trị liên kết với hệ động lực sinh bởi bất đẳng thức vi biến phân (Định lý

2.4.5).

Kết quả của chúng tôi trong chương này là tổng quát đối với lớp bài toán bù

vi phân tuyến tính với trễ. Cụ thể, chúng tôi vẫn nhận được các kết quả tương

tự cho bài toán

x(cid:48)(t) = Ax(t) + h(x(t)) + B(x(t), xt)u(t), t ∈ [0, T ],

0 ≤ u(t) ⊥ F (x(t)) + G(u(t)) ≥ 0, với hầu khắp t ∈ J,

x(s) = ϕ(s), s ∈ [−τ, 0].

Chú ý rằng, nếu hàm F còn phụ thuộc thêm xt, tức là F : Cτ × Rn → Rm thì ta vẫn nhận được các khẳng định về tính giải được, sự tồn tại nghiệm phân rã,

và sự tồn tại tập hút cho hệ động lực thu được bởi bất đẳng thức vi biến phân

với một số điều kiện thích hợp đặt lên F . Những kết quả chính trong chương đã

góp phần làm phong phú thêm các nghiên cứu về tính giải được cũng như về

dáng điệu nghiệm của các bất đẳng thức vi biến phân hữu hạn chiều.

Chương 3

BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN

DẠNG PARABOLIC-ELLIPTIC

TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bất đẳng thức vi biến phân dạng

parabolic-elliptic (DVI-PE) trong không gian vô hạn chiều. Kết quả thu được

bao gồm tính giải được và sự tồn tại một tập hút toàn cục của nửa dòng đa trị

sinh bởi hệ động lực liên kết với DVI-PE.

Nội dung chính của chương được trình bày dựa trên bài báo số [2] trong danh

mục các công trình khoa học liên quan đến luận án.

3.1 ĐẶT BÀI TOÁN

Cho (X, (cid:107) · (cid:107)X) là không gian Banach và (U, (cid:107) · (cid:107)U ) là không gian Banach

phản xạ. Chúng tôi xét bài toán sau

x(cid:48)(t) − Ax(t) ∈ F (x(t), u(t)), x(t) ∈ X, t ≥ 0, (3.1)

B(u(t)) + ∂φ(u(t)) (cid:51) g(x(t), u(t)), u(t) ∈ U, t ≥ 0, (3.2)

x(0) = ξ, (3.3)

ở đó x là hàm trạng thái lấy giá trị trong X, u là hàm ràng buộc lấy giá trị

trong U . Hàm đa trị F xác định trên X × U và A là toán tử tuyến tính đóng sinh ra một C0-nửa nhóm trong X. Hàm φ : U → R là hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới với dưới vi phân ∂φ ⊂ U × U ∗, trong đó U ∗ là đối ngẫu của U . Ta kí hiệu tích vô hướng của cặp đối ngẫu là (cid:104)·, ·(cid:105). Các hàm B : U → U ∗ và g : X × U → U ∗ được cho trước với điều kiện cụ thể trong phần sau.

Chúng ta thấy rằng bài toán (3.1)-(3.3) có dạng một bất đẳng thức vi biến

phân suy rộng, trong đó hàm trạng thái x(·) thỏa mãn một bao hàm thức dạng

parabolic và ràng buộc u(·) thỏa mãn bất đẳng thức biến phân elliptic với điều

kiện phù hợp đặt lên toán tử B. Đặc biệt khi lấy K là tập lồi đóng trong U ,

φ = IK là hàm chỉ của K

0, nếu x ∈ K,   IK(x) =  +∞, trong các trường hợp còn lại,

bài toán (3.1)-(3.3) được viết ở dạng sau

x(cid:48)(t) − Ax(t) ∈ F (x(t), u(t)), x(t) ∈ X, t ≥ 0, (3.4)

(cid:104)v − u(t), B(u(t)) − g(x(t), u(t))(cid:105) ≥ 0, ∀v ∈ K, (3.5)

x(0) = ξ. (3.6)

Đối với bài toán (3.1)-(3.3), ta sẽ đưa ra những điều kiện phù hợp đảm bảo tính

giải được toàn cục cũng như nghiên cứu dáng điệu nghiệm của bài toán thông

qua sự tồn tại tập hút của nửa dòng đa trị sinh bởi hệ động lực của DVI-PE.

3.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM

Để nghiên cứu tính giải được cho bài toán (3.1)-(3.3), ta đưa ra các giả thiết

như sau.

(A) Toán tử A sinh ra một C0-nửa nhóm {S(t)}t≥0 trên X.

(B) Toán tử B : U → U ∗ được xác định bởi

(cid:104)u, Bv(cid:105) = b(u, v), ∀u, v ∈ U,

ở đó b : U × U → R là hàm song tuyến tính trên U × U sao cho tồn tại số

dương ηB thỏa mãn

U , ∀u ∈ U.

b(u, u) ≥ ηB(cid:107)u(cid:107)2

(F) Ánh xạ đa trị F : X × U → P(X) là nửa liên tục trên với giá trị lồi,

compact. Hơn nữa

(1) Nếu nửa nhóm S(·) không có tính compact, thì F thỏa mãn ước lượng

theo độ đo

χ(F (C, D)) ≤ pχ(C) + qU(D)

với mọi tập bị chặn C ⊂ X và D ⊂ U , ở đây p, q là các hằng số

dương; χ và U lần lượt là các độ đo không compact Hausdorff trên

các không gian X và U .

(2) Tồn tại các hằng số dương a, b, c sao cho

(cid:107)F (x, u)(cid:107) := sup{(cid:107)ξ(cid:107)X : ξ ∈ F (x, u)} ≤ a(cid:107)x(cid:107)X + b(cid:107)u(cid:107)U + c,

với mọi x ∈ X, y ∈ U .

(G) Hàm g : X × U → U ∗ là hàm liên tục Lipschitz, nghĩa là tồn tại hai số

dương η1 và η2 sao cho

(cid:107)g(y, v) − g(¯y, ¯v)(cid:107)U ∗ ≤ η1(cid:107)y − ¯y(cid:107)X + η2(cid:107)v − ¯v(cid:107)U ,

với mọi y, ¯y ∈ X và v, ¯v ∈ U .

Với mỗi T > 0, kí hiệu PF là một ánh xạ đa trị được xác định bởi

PF : C([0, T ]; X) × L1(0, T ; U ) → P(L1(0, T ; X)), PF (x, u) = {f ∈ L1(0, T ; X) : f (t) ∈ F (x(t), u(t)) với hầu khắp t ∈ [0, T ]}.

Như vậy, PF (x, u) là tập các hàm chọn khả tích của F (x(·), u(·)) với mỗi (x, u) ∈ C([0, T ]; X) × L1(0, T ; U ).

Chúng ta đưa ra định nghĩa cho nghiệm yếu của bài toán (3.1)-(3.3).

Định nghĩa 3.2.1. Một cặp hàm (x, u) trong đó x : [0, T ] → X liên tục và

u : [0, T ] → U khả tích được gọi là nghiệm yếu của bài toán (3.1)-(3.3) nếu tồn

tại hàm chọn f ∈ PF (x, u) sao cho (cid:90) t x(t) = S(t)ξ + S(t − s)f (s)ds, t ∈ [0, T ],

Bu(t) + ∂φ(u(t)) (cid:51) g(x(t), u(t)), t ∈ [0, T ].

Kí hiệu tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân elliptic bởi

S(z) = {u ∈ U : Bu + ∂φ(u) (cid:51) z}. (3.7)

Sử dụng [9, Định lý 2.13], ta suy ra bổ đề dưới đây.

Bổ đề 3.2.2. Giả sử điều kiện (B) được thỏa mãn. Khi đó với mỗi z ∈ U ∗, tập nghiệm S(z) là tập đơn trị. Hơn nữa, ánh xạ z (cid:55)→ S(z) là ánh xạ Lipschitz từ U ∗ vào U , cụ thể ta có

(3.8) (cid:107)S(z1) − S(z2)(cid:107)U ≤ (cid:107)z1 − z2(cid:107)U ∗, ∀z1, z2 ∈ U ∗. 1 ηB

Chứng minh. Do tính cưỡng của toán tử B nên ta suy ra

= ∞. lim (cid:107)y(cid:107)U →∞ (y, By) + φ(y) (cid:107)y(cid:107)U

Từ đó bởi [9, Định lý 2.13], tập S(z) là đơn trị với mỗi z ∈ U ∗. Tiếp theo, ta sẽ chỉ ra tương ứng z (cid:55)→ S(z) là liên tục Lipschitz.

Thật vậy, đặt u1 = S(z1), u2 = S(z2), sử dụng giả thiết (B) ta có

(3.9) b(u1, u1 − v) + φ(u1) − φ(v) ≤ (cid:104)u1 − v, z1(cid:105), ∀v ∈ U,

và

(3.10) b(u2, u2 − v) + φ(u2) − φ(v) ≤ (cid:104)u2 − v, z2(cid:105), ∀v ∈ U.

Lấy v = u2 trong (3.9) và v = u1 trong (3.10) sau đó cộng theo từng vế hai bất

đẳng thức lại với nhau ta thu được

U . Kết hợp với bất đẳng

b(u1 − u2, u1 − u2) ≤ (cid:104)u1 − u2, z1 − z2(cid:105).

Do giả thiết (B), ta có b(u1 − u2, u1 − u2) ≥ ηB(cid:107)u1 − u2(cid:107)2 thức (cid:104)u1 − u2, z1 − z2(cid:105) ≤ (cid:107)u1 − u2(cid:107)(cid:107)z1 − z2(cid:107), ta có

(cid:107)u1 − u2(cid:107)U ≤ (cid:107)z1 − z2(cid:107)U ∗. 1 ηB

Bổ đề được chứng minh.

Bây giờ với mỗi y ∈ X cho trước, ta xét bất đẳng thức biến phân sau:

Bu + ∂φ(u) (cid:51) g(y, u). (3.11)

Bổ để dưới đây chỉ ra sự tồn tại nghiệm và tính chất của ánh xạ nghiệm cho

bao hàm thức (3.11).

Bổ đề 3.2.3. Giả sử (B) và (G) được thỏa mãn. Hơn nữa giả sử rằng η2 < ηB. Khi đó, với mỗi y ∈ X, tồn tại nghiệm duy nhất u ∈ U của (3.11). Ngoài ra,

ánh xạ nghiệm

V : X → U

y (cid:55)→ u,

là liên tục Lipschitz, cụ thể ta có ước lượng sau

(3.12) (cid:107)y1 − y2(cid:107)X, ∀y1, y2 ∈ X. (cid:107)V(y1) − V(y2)(cid:107)U ≤ η1 ηB − η2

Chứng minh. Trước tiên ta sẽ chỉ ra rằng S ◦ g(y, ·) có một điểm bất động duy nhất. Lấy y cố định trong X, xét ánh xạ hợp thành S ◦ g(y, ·) : U → U . Do (3.8),

ta nhận được

(cid:107)S(g(y, u1)) − S(g(y, u2))(cid:107)U ≤ (cid:107)g(y, u1) − g(y, u2)(cid:107)U ∗

≤ (3.13) (cid:107)u1 − u2(cid:107)U . 1 ηB η2 ηB

Vì η2 < ηB nên ánh xạ S ◦ g(y, ·) là ánh xạ co. Theo nguyên lý ánh xạ co, S ◦ g(y, ·) có điểm bất động duy nhất. Từ đây ta suy ra tính duy nhất nghiệm

của (3.11).

Ta còn phải chỉ ra rằng tương ứng y (cid:55)→ u là Lipschitz. Đặt V(y1) = u1, V(y2) =

u2. Khi đó ta có

(cid:107)u1 − u2(cid:107)U = (cid:107)S(g(y1, u1)) − S(g(y2, u2))(cid:107)U

≤ (cid:107)g(x1, u1) − g(x2, u2)(cid:107)U ∗

≤ (cid:107)x1 − x2(cid:107)X + (cid:107)u1 − u2(cid:107)U . 1 ηB η1 ηB η2 ηB

Từ đó suy ra

(cid:107)u1 − u2(cid:107)U ≤ (cid:107)y1 − y2(cid:107)X. η1 ηB − η2

Bổ đề được chứng minh.

Nhận xét 3.2.4. Liên quan đến bất đẳng thức biến phân (3.7), trong trường hợp bài toán được xét trên không gian Hilbert U = V . Gọi V (cid:48) là đối ngẫu của V và gọi H là không gian Hilbert đồng nhất với đối ngẫu H (cid:48) của nó sao cho ta có bộ

ba tiến hóa

V ⊂ H = H (cid:48) ⊂ V.

Khi đó theo [9, Bổ đề 2.9], với mỗi z ∈ V (cid:48), tồn tại y ∈ V thỏa mãn (3.7) và By ∈ V (cid:48). Một trong những câu hỏi tự nhiên được đặt ra là khi nào thì By ∈ H.

Bằng cách định nghĩa toán tử BH : H → H bởi

BHy = By với mỗi y ∈ D(BH) = {u ∈ U ; Bu ∈ H},

và dựa vào [9, Định lý 2.14], ta thấy rằng nếu tồn tại phần tử h ∈ H, số C ∈ R

sao cho

(3.14) φ(I + λBH)−1(y + λh) ≤ φ(y) + Cλ, ∀λ > 0, y ∈ U,

thì với mỗi z ∈ H, bất đẳng thức biến phân elliptic (3.7) có nghiệm u ∈ D(BH).

Để giải bài toán (3.1)-(3.3), ta đưa nó về dạng bao hàm thức vi phân. Xét

ánh xạ đa trị

G(y) := F (y, V(y)), y ∈ X.

Ta có G : X → P(X) có giá trị lồi, compact. Thêm vào đó, nhờ giả thiết (F) và tính liên tục của V, ánh xạ hợp thành G là nửa liên tục trên. Hơn nữa, do ước

lượng (3.12) và tính chất của độ đo không compact Hausdorff, ta có

U(V(Ω)) ≤ χ(Ω), ∀Ω ∈ B(X). η1 ηB − η2

Trong trường hợp nửa nhóm S(·) không compact, ta có

χ(G(B)) = χ(F (B, V(B)))

≤ pχ(B) + qU(V(B))

)χ(B). ≤ (p + (3.15) qη1 ηB − η2

Về đánh giá tăng trưởng của G, sử dụng giả thiết (F)(2) ta có

(cid:107)G(y)(cid:107) := sup{(cid:107)z(cid:107)X, z ∈ G(y)} ≤ a(cid:107)y(cid:107)X + b(cid:107)V(y)(cid:107)U + c

≤ a(cid:107)y(cid:107)X + (cid:107)y(cid:107)X + (cid:107)V(0)(cid:107)U + c bη1 ηB − η2

≤ (a + (3.16) )(cid:107)y(cid:107)X + d. bη1 ηB − η2

ở đó d = (cid:107)V(0)(cid:107)U + c.

Từ quá trình thiết lập bài toán như trên, ta đưa bài toán đang xét về bao

hàm thức vi phân sau đây

x(cid:48)(t) − Ax(t) ∈ G(x(t)), t ∈ [0, T ], (3.17)

x(0) = ξ. (3.18)

Xét ánh xạ đa trị RG xác định bởi

RG : C([0, T ]; X) → P(L1(0, T ; X)), RG(x) = {f ∈ L1(0, T ; X) : f (t) ∈ G(x(t)) với hầu khắp t ∈ [0, T ]}.

Mệnh đề 3.2.5. Dưới các điều kiện (B), (F) và (G), ánh xạ RG là nửa liên tục trên yếu với giá trị khác rỗng, lồi và compact yếu.

Chứng minh. Chứng minh tương tự như [11, Định lý 1].

Xét toán tử Cauchy:

W : L1(0, T ; X) → C([0, T ]; X)

(cid:90) t W(f )(t) = S(t − s)f (s)ds.

Mệnh đề sau cho ta một tính chất của toán tử Cauchy W khi toán tử tuyến

tính A sinh ra một C0-nửa nhóm.

Mệnh đề 3.2.6. Giả sử điều kiện (A) được thỏa mãn. Nếu D ⊂ L1(0, T ; X) là tập nửa compact thì W(D) là tập compact tương đối trong C([0, T ]; X). Đặc biệt, nếu dãy {fn} là nửa compact và fn (cid:42) f ∗ trong L1(0, T ; X) thì W(fn) → W(f ∗) trong C([0, T ]; X).

Chứng minh. Lấy D ∈ L1(J; X) là một tập nửa compact. Thế thì D bị chặn tích phân và tồn tại hàm không âm ν ∈ L1(0, T ; X) sao cho

(cid:107)f (t)(cid:107)X ≤ ν(t), ∀f ∈ D,

và {f (t) : f ∈ D} ⊂ K(t) là tập compact trong X với hầu khắp t ∈ [0, T ]. Ta sẽ

chỉ ra rằng W(D) là tập compact tương đối trong C([0, T ]; X). Thật vậy lấy dãy {fn} trong D, {fn} là dãy nửa compact trong L1(J; X). Do [33, Hệ quả 5.1.1], {W(fn)} là compact tương đối trong C([0, T ]; X). Từ đó, {W(fn)} có một dãy con hội tụ. Ta suy ra W(D) là compact tương đối trong C([0, T ]; X).

Bây giờ giả sử dãy {fn} là nửa compact và fn (cid:42) f ∗ trong L1(0, T ; X). Khi đó {W(fn)} là tập compact tương đối trong C([0, T ]; X). Từ đó suy ra W(fn) → W(f ) trong C([0, T ]; X).

Với mỗi ξ ∈ X, kí hiệu Cξ là tập các hàm x(·) liên tục trên [0, T ] vào X sao

cho x(0) = ξ. xét toán tử nghiệm

F : Cξ → P(Cξ)

F(x) = {S(·)ξ + W(f ) : f ∈ RG(x)}.

Khi đó x ∈ Cξ là một điểm bất động của F nếu và chỉ nếu nó là một nghiệm

của (3.1)-(3.3). Định lý sau đây là kết quả chính của mục này.

Định lý 3.2.7. Giả sử (A), (B), (F) và (G) được thỏa mãn. Khi đó bài toán

(3.1)-(3.3) có ít nhất một nghiệm yếu với mỗi dữ kiện ban đầu ξ ∈ X.

Chứng minh. Từ công thức của F, ta có

F(x) = S(·)ξ + W ◦ RG(x).

Với mỗi x ∈ C([0, T ]; X), RG(x) là compact yếu trong L1(0, T ; X). Do đó, W ◦ RG(x) là compact trong C([0, T ]; X) theo Mệnh đề 3.2.6. Mặt khác, RG(x)

là lồi, nên tập W ◦ RG(x) cũng lồi. Từ đó suy ra ánh xạ đa trị F có giá trị lồi,

compact.

Trước tiên ta sẽ chỉ ra tồn tại một tập lồi, khác rỗng M0 ⊂ Cξ sao cho ánh

xạ nghiệm F thỏa mãn F(M0) ⊂ M0.

Lấy y ∈ F(x). Từ định nghĩa toán tử nghiệm và ước lượng (3.16), ta có:

(cid:90) t (cid:107)y(t)(cid:107)X ≤ (cid:107)S(t)ξ(cid:107)X + (cid:107) S(t − s)f (s)ds(cid:107)X

(cid:90) t ≤ M (cid:107)ξ(cid:107)X + (cid:107)S(t − s)(cid:107)L(X)(cid:107)f (s)(cid:107)Xds

(cid:90) t ) (cid:107)x(s)(cid:107)Xds ≤ M (cid:107)ξ(cid:107)X + dT + M (a + bη1 ηB − η2 (cid:90) t (3.19) ≤ M1 + M2 (cid:107)x(s)(cid:107)Xds,

). (cid:107)S(t)(cid:107)L(X), M1 = M (cid:107)ξ(cid:107)X + dT, M2 = M (a + bη1 ηB−η2 ở đây M = sup t∈[0,T ]

Kí hiệu

M0 = {x ∈ Cξ : (cid:107)x(t)(cid:107)X ≤ κ(t), ∀t ∈ [0, T ]},

ở đó κ là nghiệm duy nhất của phương trình tích phân

(cid:90) t κ(s)ds. κ(t) = M1 + M2

Ta thấy rằng M0 là tập con lồi, đóng của Cξ và từ ước lượng (3.19) suy ra

rằng F(M0) ⊂ M0.

Đặt

Mk+1 = coF(Mk), k = 0, 1, 2, . . .

ở đây kí hiệu co chỉ bao lồi đóng của một tập trong Cξ. Ta thấy Mk là tập lồi, đóng và Mk+1 ⊂ Mk với mọi k ∈ N.

∞ (cid:84) k=0

Lấy M = Mk, khi đó M là tập con lồi, đóng của Cξ và F(M) ⊂ M.

Mặt khác, với mỗi k ≥ 0, RG(Mk) là bị chặn tích phân do (3.16). Vì vậy, M

cũng bị chặn tích phân.

Tiếp theo, ta chỉ ra M(t) là compact với mỗi t ≥ 0. Do tính chất chính quy

của độ đo không compact, ta cần chỉ ra µk(t) = χ(Mk(t)) → 0 khi k → ∞.

Nếu {S(t)}t≥0 là compact, dễ thấy µk(t) = 0, ∀t ≥ 0. Khi đó ta có

0 (cid:90) t

(cid:90) t µk+1(t) = χ(Mk+1(t)) ≤ χ( S(t − s)RG(Mk)(s)ds)

≤ 4 χ(S(t − s)RG(Mk)(s))ds

= 0.

do Mệnh đề 1.2.7. Trường hợp ngược lại nếu {S(t)}t≥0 không compact, ta có

0 (cid:90) t

(cid:90) t µk+1(t) ≤ χ( S(t − s)RG(Mk)(s)ds)

0 (cid:90) t

≤ 4M χ(RG(Mk)(s))ds

0 (cid:90) t

≤ 4M (cid:2)pχ(Mk(s)) + qU(V(Mk)(s))(cid:3)ds

≤ 4M χ(Mk(s))(cid:3)ds qη1 ηB − η2 (cid:2)pχ(Mk(s)) + (cid:90) t (cid:3) = 4M (cid:2)p + χ(Mk(s))ds, qη1 ηB − η2

µk(t), ta thu được Đặt µ∞(t) = lim k→∞

(cid:90) t (cid:3) µ∞(t) ≤ 4M (cid:2)p + µ∞(s)ds. qη1 ηB − η2

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có µ∞(t) = 0 với mọi t ∈ [0, T ]. Từ đó

dẫn đến tính compact của M(t).

Vì vậy theo Mệnh đề 3.2.6, W(M) là tập compact tương đối trong C([0, T ]; X).

Ta suy ra F(M) = S(·)ξ + W(M) cũng là tập compact tương đối trong

C([0, T ]; X).

Đặt

D = coF(M).

Dễ thấy D là tập con lồi, compact khác rỗng của C([0, T ]; X) và F(D) ⊂ D do

F(D) = F(coF(M)) ⊂ F(M) ⊂ coF(M) = D.

Xét ánh xạ F : D → P(D). Để áp dụng nguyên lý điểm bất động trong Định lý 1.3.11, ta cần chỉ ra F có đồ thị đóng. Lấy {un} ⊂ D với un → u∗ và

vn ∈ F(un) với vn → v∗. Khi đó

vn(t) ∈ S(t)ξ + W ◦ RG(un)(t).

Lấy fn ∈ PG(un) sao cho

(3.20) vn(t) = S(t)ξ + W(fn)(t).

Sử dụng Mệnh đề 3.2.5, RG là nửa liên tục trên yếu. Do đó từ Mệnh đề 3.2.6 ta suy ra fn (cid:42) f ∗ trong L1(0, T ; X) và f ∗ ∈ RG(u∗). Hơn nữa, đặt K(t) = F ({un(t)}) thì {fn(t)} ∈ K(t) với hầu khắp t ∈ [0, T ] ở đây K(t) là compact trong X do tính nửa liên tục trên của F . Từ ước lượng (3.16), ta suy ra {fn} là dãy hàm bị chặn tích phân. Do đó {fn} là nửa compact. Áp dụng Mệnh đề 3.2.6 cho D = {fn}, ta suy ra tính compact của {W(fn)} trong C([0, T ]; X). Chuyển qua giới hạn trong (3.20), ta nhận được v∗(t) = S(t)ξ + W(f ∗)(t), ở đây f ∗ ∈ RG(u∗). Từ đó suy ra v∗ ∈ F(u∗). Vậy F có đồ thị đóng. Từ đó suy ra F có điểm bất động là nghiệm của (3.17)-(3.18).

Theo Bổ đề 3.2.3, ta suy ra tồn tại hàm u : [0, T ] → U là một hàm liên tục và

thỏa mãn bất đẳng thức biến phân

Bu(t) + ∂φ(u(t)) (cid:51) g(x(t), u(t)), với mọi t ∈ [0, T ].

Vậy bài toán (3.1)-(3.3) có nghiệm yếu.

Tiếp theo, ta xem xét tính chất tập nghiệm của bài toán (3.17)-(3.18). Nhận

xét rằng nếu x là nghiệm của (3.17)-(3.18) thì (x, Vx), với V : C([0, T ]; X) → C([0, T ], U ); V(x)(t) = V(x(t)) là nghiệm yếu của bài toán (3.1)-(3.3).

Với mỗi T > 0, ký hiệu πT là hàm cắt xác định trên C([0, +∞); X), nghĩa là

với mỗi z ∈ C([0, +∞); X), πT (z) là hạn chế của z trên [0, T ]. Kí hiệu

Σ(ξ) = {x ∈ C([0, +∞); X) : x(0) = ξ, x là nghiệm yếu

của (3.17)-(3.18) trên [0, T ] với mỗi T > 0}.

Ta có

(3.21) πT ◦ Σ(ξ) ⊂ S(·)ξ + W ◦ RG(πT ◦ Σ(ξ)),

với mọi T > 0 và πT ◦ Σ(ξ) =Fix(F), tập các điểm bất động của toán tử nghiệm F của (3.17)-(3.18) trong Cξ.

Bổ đề 3.2.8. Giả sử các giả thiết của Định lý 3.2.7 được thỏa mãn. Khi đó

πT ◦ Σ({ξn}) là compact tương đối trong C([0, T ]; X), nếu {ξn} ⊂ X là dãy hội tụ. Đặc biệt, πT ◦ Σ(ξ) là tập compact với mỗi ξ ∈ X.

Chứng minh. Lấy dãy xn ∈ πT ◦ Σ(ξn), n ∈ N. Khi đó ta có:

xn(t) ∈ S(t)ξn + W ◦ RG(xn)(t), t ∈ [0, T ].

Ta sẽ chỉ ra rằng {xn} là compact tương đối trong C([0, T ]; X). Vì toán tử A sinh ra một C0−nửa nhóm {S(t)}t≥0 nên tồn tại số dương M sao cho (cid:107)S(t)(cid:107)L(X) ≤ M, ∀t ∈ [0, T ]. Hơn nữa, bằng đánh giá tương tự như (3.19), ta thu được

(cid:90) t (3.22) (cid:107)xn(s)(cid:107)Xds, ∀t ≥ 0, (cid:107)xn(t)(cid:107)X ≤ M1 + M2

(cid:107)ξn(cid:107)X. trong đó M1 = dT + M sup n∈N

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta suy ra tính bị chặn của dãy {xn} trong

C([0, T ]; X). Lấy fn ∈ RG(xn) sao cho

xn(t) = S(t)ξ + W(fn)(t).

Nhờ đánh giá (3.16), ta suy ra {fn} là bị chặn tích phân. Nếu {S(t)}t≥0 là nửa nhóm compact thì {xn} là compact. Trường hợp ngược lại, khi nửa nhóm {S(t)}t≥0 không compact, ta có

χ({xn(t)}) ≤ χ(W(fn)(t))

(cid:90) t ≤ 2 χ({S(t − s)fn(s)})ds

0 (cid:90) t

(cid:90) t ≤ 2M χ({fn(s)})ds

≤ 2M (cid:2)p + ]χ({xn(s)})ds, qη1 ηB − η2

do (3.15).

Từ đây, áp dụng bất đẳng thức Gronwall một lần nữa, ta được χ({xn(t)}) =

0, ∀t ∈ [0, T ]. Từ đó suy ra

n=1 là dãy nửa compact trong L1(0, T ; X). Theo Mệnh đề 3.2.6, {W(fn)} Vậy {fn}∞ là tập compact tương đối trong C([0, T ]; X). Từ đó, {xn} là compact tương đối trong C([0, T ]; X).

χ({fn(t)}) ≤(cid:2)p + ]χ({xn(t)}) = 0, ∀t ∈ [0, T ]. qη1 ηB − η2

Tiếp theo ta chứng minh rằng πT ◦ Σ(ξ) là tập compact với mỗi ξ ∈ X. Từ kết quả trên ta chỉ cần chỉ ra πT ◦ Σ(ξ) là tập đóng. Giả sử dãy xn ∈ πT ◦ Σ(ξ), xn → x∗ trong C([0, T ]; X). Lập luận tương tự như trong chứng minh của Định lý 3.2.7, ta thu được x∗ ∈ πT ◦ Σ(ξ). Vậy πT ◦ Σ(ξ) đóng. Bổ đề được chứng minh.

3.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT TOÀN CỤC

Trong phần này, dáng điệu nghiệm của bất đẳng thức vi biến phân parabolic-

elliptic (3.1)-(3.2) được nghiên cứu thông qua sự tồn tại tập hút toàn cục của

nửa dòng đa trị sinh bởi hệ động lực liên kết với (3.1)-(3.2). Thành phần u(·)

được coi là một ràng buộc đại số của bài toán.

Từ định lý về sự tồn tại nghiệm yếu của (3.1)-(3.3), ta đặt

G : R+ × X → P(X),

G(t, ξ) = {x(t) : x là nghiệm yếu của (3.17) − (3.18), x(0) = ξ}.

Khi đó, G là một nửa dòng đa trị ngặt, tức là

G(t1 + t2, ξ) = G(t1, G(t2, ξ)), với mọi t1, t2 ∈ R+, ξ ∈ X.

Bổ đề dưới đây chỉ ra tính nửa liên tục trên của G(t, ·).

Bổ đề 3.3.1. Giả sử các giả thiết của Định lý 3.2.7 được thỏa mãn, khi đó G(t, ·)

là nửa liên tục trên và có giá trị compact với mỗi t > 0.

Chứng minh. Ta có πt ◦ Σ(ξ) là tập compact trong C([0, t]; X) với mỗi t > 0. Từ đó suy ra G(t, ξ) là tập compact với mỗi ξ ∈ X kéo theo G(t, ·) là ánh xạ đa

trị có giá trị compact. Từ Bổ đề 1.3.2, ta cần chỉ ra G(t, ·) là tựa compact và có

đồ thị đóng.

Trước tiên ta chỉ ra rằng G(t, ·) là tựa compact. Giả sử K ⊂ X là tập compact.

Lấy {zn} ⊂ G(t, K), khi đó tồn tại một dãy {ξn} ⊂ K sao cho zn ∈ G(t, ξn). Giả sử dãy {ξn} hội tụ đến ξ∗ trong X. Lấy xn ∈ Σ(ξn) thỏa mãn

(3.23) xn(0) = ξn, xn(t) = zn.

Từ Mệnh đề 3.2.8, ta thu được πt ◦Σ({ξn}) compact tương đối trong C([0, t]; X). Do đó tồn tại dãy con của {xn} (ta vẫn kí hiệu là {xn}) sao cho

πt(xn) → x∗ trong C([0, t], X).

Kết hợp với (3.23), ta suy ra {zn} hội tụ đến x∗(t) trong X và x∗(0) = ξ∗.

Ta sẽ chỉ ra G(t, ·) có đồ thị đóng. Lấy dãy {ξn} trong X hội tụ đến ξ∗ và ηn ∈ G(t, ξn) sao cho ηn → η∗. Khi đó η∗ ∈ G(t, ξ∗). Thật vậy, chọn xn ∈ Σ(ξn) sao cho ηn = xn(t). Theo Bổ đề 3.2.8, {xn} có dãy con hội tụ (vẫn kí hiệu bởi {xn}). Giả sử x∗ = lim xn, khi đó xn(t) → x∗(t) trong C([0, t]; X) và η∗ = x∗(t). n→∞ Ta sẽ chứng minh x∗ ∈ πt ◦ Σ(ξ∗). Lấy fn ∈ RG(un) sao cho

(3.24) xn(r) = S(t)ξn + W(fn)(r), r ∈ [0, t].

Do (3.16) và {xn} bị chặn, ta có {fn} ⊂ L1(0, t; X) bị chặn tích phân. Hơn nữa, K(r) = F ({xn(r)}) là compact và {fn(r)} ⊂ K(r) với mỗi r ∈ [0, t]. Vậy {fn} là dãy nửa compact. Áp dụng Bổ đề 3.2.6, ta có fn (cid:42) f ∗ và W(fn) → W(f ∗). Chuyển qua giới hạn đẳng thức (3.24), ta nhận được

x∗(r) = S(t)ξ∗ + W(f ∗)(r), r ∈ [0, t].

Vì RG là nửa liên tục trên yếu nên f ∗ ∈ RG(u∗). Từ đây suy ra x∗ ∈ πt ◦ Σ(ξ∗). Bổ đề được chứng minh.

Để đưa ra các kết quả về sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa dòng đa trị

được sinh ra bởi hệ động lực liên kết với (3.1)-(3.2), ta cần đưa vào điều kiện

chặt chẽ hơn đối với toán tử A.

(A∗) C0-nửa nhóm {S(t)}t≥0 ổn định tiệm cận với tốc độ mũ α, và χ-giảm với

tốc độ mũ β, tức là

(cid:107)S(t)(cid:107)L(X) ≤ N e−αt, (cid:107)S(t)(cid:107)χ ≤ P e−βt, ∀t > 0,

ở đây α, β > 0, N, P ≥ 1, (cid:107) · (cid:107)χ là chuẩn toán tử theo độ đo χ được xác định trong (1.3).

Nếu {S(t)}t≥0 là nửa nhóm compact thì (cid:107)S(t)(cid:107)χ = 0, ∀t > 0. Khi đó ta có

β = +∞.

Với T > 0, định nghĩa toán tử tịnh tiến GT = G(T, ·). Ta sẽ chỉ ta tính nén của toán tử GT từ đó suy ra sự tồn tại tập hút toàn cục compact của nửa dòng đa trị G trên X.

qη1 ηB−η2

Bổ đề 3.3.2. Giả sử (A∗), (B), (F) và (G) được thỏa mãn. Nếu β − 4P (p + ) > 0 thì tồn tại T0 > 0 và một số ζ ∈ [0, 1) sao cho với mọi T ≥ T0 ta có

χ(GT (B)) ≤ ζ · χ(B), với mọi tập bị chặn B ⊂ X.

Chứng minh. Lấy B là tập bị chặn trong X. Đặt D = Σ(B), ta có

(cid:90) t D(t) ⊂ S(t)B + (3.25) S(t − s)RG(D)(s)ds, t ≥ 0.

Ta có πt(D) bị chặn trong C([0, t]; X) với mỗi t > 0. Vì vậy nếu {S(t)}t≥0 là nửa nhóm compact thì χ(D(t)) = 0. Xét trường hợp {S(t)}t≥0 là nửa nhóm

không compact. Từ (3.25) ta có

0 (cid:90) t

(cid:90) t χ(D(t)) ≤ P e−βtχ(B) + χ( S(t − s)RG(D)(s)ds)

0 (cid:90) t

≤ P e−βtχ(B) + 4P e−β(t−s)χ(RG(D)(s))ds

≤ P e−βt(cid:2)χ(B) + 4 eβs(p + )χ(D(s))ds(cid:3). qη1 ηB − η2

Do đó ta có

(cid:90) t eβsχ(D(s))ds. ) eβtχ(D(t)) ≤ P χ(B) + 4P (p + qη1 ηB − η2

ηB −η2

)tχ(B).

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta có

eβtχ(D(t)) ≤ P e4P (p+ qη1

ηB −η2

Từ đây suy ra ước lượng sau

))tχ(B).

χ(D(t)) ≤ P e−(β−4P (p+ qη1

Điều này dẫn đến

ηB −η2

))t.

χ(Gt(B)) ≤ ζtχ(B),

ln P β−4P (p+ qη1

) và ζ = ζT0, ta nhận được kết luận của

ηB −η2

ở đây ζt = P e−(β−4P (p+ qη1 Cuối cùng, chọn T0 >

bổ đề.

). Bổ đề 3.3.3. Giả sử các giả thiết trong Bổ đề 3.3.2 được thỏa mãn. Khi đó G có một tập hấp thụ nếu α > N (a + bη1 ηB−η2

Chứng minh. Lấy t > 0 và B là tập bị chặn trong X. Lấy ξ ∈ B, khi đó tồn tại

số dương C sao cho (cid:107)ξ(cid:107) ≤ C, giả sử x là nghiệm của bài toán được cho bởi

(cid:90) t x(t) = S(t)ξ + S(t − s)f (s)ds,

với f ∈ PG(x). Sử dụng ước lượng (3.16) và giả thiết (A∗), ta có

(cid:90) t e−α(t−s)(cid:2)(cid:0)a + (cid:107)x(t)(cid:107)X ≤ N e−αt(cid:107)ξ(cid:107)X + N (cid:1)(cid:107)x(s)(cid:107)X + d(cid:3)ds. bη1 ηB − η2

Bởi đánh giá tương tự như Bổ đề 3.3.2, ta thu được

(cid:90) t (eαt − 1)) + N (a + ) eαt(cid:107)x(t)(cid:107)X ≤ N ((cid:107)ξ(cid:107)X + eαs(cid:107)x(s)(cid:107)Xds. d α bη1 ηB − η2

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta được:

ηB −η2

)(t−s)eαsds.

(cid:90) t ) eN (a+ bη1 eαt(cid:107)x(t)(cid:107)X ≤ N (cid:107)ξ(cid:107)X + dN (a + bη1 ηB − η2

Từ đó suy ra

)−α]t

ηB −η2

)−α)sds

(cid:90) t e−(N (a+ bη1 )e[N (a+ bη1 (cid:107)x(t)(cid:107)X ≤ N (cid:107)ξ(cid:107)Xe−αt + dN (a + bη1 ηB − η2

ηB −η2

)−α]t(−1 + e−(N (a+ bη1

)−α)t)

) ≤ N Ce−αt + e[N (a+ bη1

≤ 1 + dN (a + bη1 ηB−η2 α − N (a + bη1 ) ηB−η2 dN (a(ηB − η2) + bη1) (α − N a)(ηB − η2) − N bη1

với mọi t ≥ τ (B) := ln(N d(B)) , ở đó d(B) = sup{(cid:107)ξ(cid:107)X : ξ ∈ B}. Vì vậy, ta có thể lấy hình cầu tâm O bán kính R là tập hấp thụ của nửa dòng đa trị G với R

được chọn sao cho R > 1 + . dN (a(ηB − η2) + bη1) (α − N a)(ηB − η2) − N bη1

Bổ đề 3.3.4. Giả sử (A∗), (B), (F) và (G) được thỏa mãn. Nếu β − 4P (p +

qη1 ηB−η2

) > 0 thì G là nửa compact tiệm cận trên.

Chứng minh. Lấy B là tập bị chặn trong X và ΞB là hợp của tất cả các dãy {ξk : ξk ∈ G(tk, B), tk → ∞}. Kí hiệu

µ = sup{χ(Ω) : Ω ∈ ΞB}.

Ta sẽ chứng minh µ = 0. Giả sử ngược lại có θ ∈ (0, (1 − ζ)µ), tồn tại Ωθ = {ξk} ∈ ΞB sao cho

χ(Ωθ) > µ − θ.

ở đây ζ được cho bởi Bổ đề 3.3.2. Cố định T > 0, với mỗi tk ∈ (T, ∞) tồn tại số mk ∈ N sao cho tk = mkT + rk, rk ∈ [0, T ). Đặt τk = (mk − 1)T + rk, thì ξk ∈ G(tk, B) = G(T + τk, B) = GT (G(τk, B)), từ đó ta lấy ηk ∈ G(τk, B) sao cho ξk ∈ GT (ηk). Điều này kéo theo

χ(Ωθ) = χ({ξk})

≤ χ(GT ({ηk})) ≤ ζχ({ηk}) ≤ ζµ < µ − θ.

Từ đó dẫn đến mâu thuẫn.

Kết hợp các Bổ đề 3.3.1, 3.3.3 và 3.3.4, ta có kết luận sau về sự tồn tại tập

hút của nửa dòng đa trị sinh bởi bài toán.

Định lý 3.3.5. Giả sử (A∗), (B), (F) và (G) được thỏa mãn. Khi đó tồn tại một tập hút toàn cục compact của nửa dòng đa trị G sinh bởi hệ động lực liên kết với

bất đẳng thức vi biến phân (3.1)-(3.2) nếu

min{α − N (a + ), β − 4P (p + )} > 0. bη1 ηB − η2 qη1 ηB − η2

3.4 ÁP DỤNG

Cho Ω là miền bị chặn trong Rn với biên ∂Ω trơn thuộc lớp C 2. Xét bài toán

(3.26) (t, x) − ∆xZ(t, x) = f (t, x), t ≥ 0, x ∈ Ω,

(3.27) ∂Z ∂t f (t, x) ∈ [f1(x, Z(t, x), u(t, x)), f2(x, Z(t, x), u(t, x))], t > 0, x ∈ Ω,

(3.28) ∆xu(t, x) + β(u(t, x) − ψ(x)) (cid:51) g(x, Z(t, x), u(t, x)), t ≥ 0, x ∈ Ω,

Z(t, x) = u(t, x) = 0, t ≥ 0, x ∈ ∂Ω, (3.29)

Z(0, x) = ϕ(x), x ∈ Ω, (3.30)

trong đó f1, f2, g : Ω × R × R → R là các hàm liên tục, ψ ∈ H 2(Ω), ψ(x) ≤ 0, ∀x ∈ Ω và β : R → 2R là ánh xạ đa trị đơn điệu cực đại

 0 nếu r > 0,

R− β(r) = nếu r = 0,

∅ nếu r < 0.  

0 (Ω), H = L2(Ω), V (cid:48) = H −1(Ω). Chuẩn trong X và

Cho X = L2(Ω), V = H 1

V lần lượt được cho bởi

Ω

(cid:115)(cid:90) |u(y)|2dy, ∀u ∈ L2(Ω), |u|2 =

0 (Ω),

Ω

(cid:115)(cid:90) |∇u(y)|2dy, ∀u ∈ H 1 (cid:107)u(cid:107) =

Ta định nghĩa hàm đa trị sau:

F : X × V → P(X), F ( ¯Z, ¯u)(x) = {λf1(x, ¯Z(x), ¯u(x)) + (1 − λ)f2(x, ¯Z(x), ¯u(x)) : λ ∈ [0, 1]}.

Khi đó bài toán (3.26) và (3.27) được viết lại thành

Z (cid:48)(t) − AZ(t) ∈ F (Z(t), u(t)), t ≥ 0,

ở đó A = ∆, D(A) = H 2(Ω) ∩ H 1 0 (Ω), Z(t) ∈ X, u(t) ∈ V sao cho Z(t)(x) = Z(t, x), u(t)(x) = u(t, x). Do Định lý 7.2.5 và Định lý 7.2.8 trong [54], nửa nhóm S(t) = etA được sinh bởi toán tử A là compact và ổn định mũ, cụ thể

0 (Ω), (cid:107)u(cid:107)X = 1}. Điều kiện (A∗) được thỏa mãn

X : u ∈ H 1

(cid:107)S(t)(cid:107)L(X) ≤ e−λ1t,

với λ1 := inf{(cid:107)∇u(cid:107)2 với α = λ1.

Giả sử tồn tại các hàm không âm a1, a2, b1, b2 ∈ L∞(Ω), c1, c2 ∈ L2(Ω) sao

cho

|f1(x, p, q)| ≤ a1(x)|p| + b1(x)|q| + c1(x), |f2(x, p, q)| ≤ a2(x)|p| + b2(x)|q| + c2(x), ∀x ∈ Ω, p, q ∈ R.

Ta thấy rằng ánh xạ đa trị F có giá trị lồi, compact. Hơn nữa ta còn có

(cid:107)F ( ¯Z, ¯u)(cid:107) ≤ max{(cid:107)a1(cid:107)∞, (cid:107)a2(cid:107)∞}(cid:107) ¯Z(cid:107)

+ (cid:107)¯u(cid:107) + max{|c1|, |c2|}. + max{(cid:107)b1(cid:107)∞, (cid:107)b2(cid:107)∞}|¯u| + max{|c1|, |c2|} ≤ max{(cid:107)a1(cid:107)∞, (cid:107)a2(cid:107)∞}(cid:107) ¯Z(cid:107) max{(cid:107)b1(cid:107)∞, (cid:107)b2(cid:107)∞} √ λ1

Ta có, vì f1 và f2 liên tục nên F có đồ thị đóng. Thêm vào đó, nếu { ¯Zn} ⊂ X và {¯un} ⊂ V , ta có thể tìm được dãy fn ∈ F ( ¯Zn, ¯un) hội tụ trong X do định lý hội tụ trội Lebesgue. Theo Bổ đề 1.3.2, F là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên.

Vậy điều kiện (F) được thỏa mãn.

Ta xét bất đẳng thức biến phân elliptic (3.28). Đặt B := −∆ : V → V (cid:48), ở

đây −∆ là toán tử Laplace được xác định như sau

0 (Ω).

Ω

0 (Ω). Từ đó, giả thiết (B) được thỏa mãn với ηB = 1. H 1

(cid:90) (cid:104)u, −∆v(cid:105) := ∇u∇vdy, với mỗi u, v ∈ H 1

Dễ thấy (cid:104)u, Bu(cid:105) = (cid:107)u(cid:107)2 Đối với g, giả sử tồn tại các hàm không âm η1, η2 ∈ L∞(Ω) sao cho:

Ta viết lại g dưới dạng sau:

g : X × V → H, g( ¯Z, ¯u)(x) = g(x, ¯Z(x), ¯u(x)),

Từ đó ta nhận được

(cid:107)g( ¯Z1, ¯u1) − g( ¯Z2, ¯u2)(cid:107)2 ≤ (cid:107)η1(cid:107)∞(cid:107) ¯Z1 − ¯Z2(cid:107)X + (cid:107)η2(cid:107)∞(cid:107)¯u1 − ¯u2(cid:107)X,

(cid:107)¯u1 − ¯u2(cid:107)V , ≤ (cid:107)η1(cid:107)∞(cid:107) ¯Z1 − ¯Z2(cid:107)X + (cid:107)η2(cid:107)∞√ λ1

với mọi ¯Z1, ¯Z2 ∈ X, ¯u1, ¯u2 ∈ V . Từ đó suy ra giả thiết (G) được thỏa mãn. Biến đổi tương tự như Mệnh đề 2.11 trong [9], bất đẳng thức biến phân (3.28) được

viết lại thành

Bu(t) + ∂IK(u(t)) (cid:51) g(Z(t), u(t)),

trong đó

0 (Ω); u(x) ≥ ψ(x) với hầu khắp x ∈ Ω}.

K = {u ∈ H 1

Chúng ta đi đến kết quả dưới đây nhờ áp dụng Định lý 3.3.5.

∞ < λ1 và

Định lý 3.4.1. Nếu (cid:107)η2(cid:107)2

√ λ1 > max{(cid:107)a1(cid:107)∞, (cid:107)a2(cid:107)∞} + max{(cid:107)b1(cid:107)∞, (cid:107)b2(cid:107)∞(cid:107)} (cid:107)η1(cid:107)∞ λ1 − (cid:107)η2(cid:107)∞

thì tồn tại một tập hút toàn cục compact trong L2(Ω) của nửa dòng đa trị sinh

bởi bài toán (3.26)-(3.30).

Kết luận Chương 3

Trong Chương 3, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu nghiệm của một lớp bất

đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-elliptic. Các kết quả thu được bao gồm:

1) Chứng minh được sự tồn tại nghiệm toàn cục (Định lý 3.2.7).

2) Xây dựng nửa dòng đa trị của hệ động lực sinh bởi bài toán và các tính

chất của nửa dòng đa trị đó (Bổ đề 3.3.1, Bổ đề 3.3.2).

3) Chỉ ra sự tồn tại một tập hút toàn cục compact của nửa dòng đa trị cho

hệ động lực liên kết với bài toán (Định lý 3.3.5).

Trong Chương 3, dưới các giả thiết phù hợp, chúng tôi đã đưa bất đẳng thức

vi biến phân dạng parabolic-elliptic về bao hàm thức vi phân. Từ đó, chúng tôi

sử dụng các kĩ thuật của giải tích đa trị, các đánh giá thông qua độ đo không

compact để nhận được kết quả về sự tồn tại nghiệm và sự tồn tại một tập hút

toàn cục của nửa dòng đa trị sinh bởi bài toán. Yếu tố ràng buộc u được xác

định duy nhất thông qua hàm trạng thái. Đó là cơ sở để nghiên cứu hệ động lực

đối với thành phần động lực x(·) của nghiệm bất đẳng thức vi biến phân. Các

khảo sát được thực hiện khi bài toán được chuyển về bao hàm thức vi phân nửa

tuyến tính với toán tử tuyến tính sinh ra một C0-nửa nhóm.

Chương 4

BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN

DẠNG PARABOLIC-PARABOLIC

TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU

Cho X là không gian Banach với chuẩn (cid:107) · (cid:107)X, U và H là các không gian Hilbert thực, U trù mật trong H và phép nhúng U ⊂ H là liên tục. Chuẩn của

U và H lần lượt là (cid:107) · (cid:107)U và | · |. Không gian Hilbert H đồng nhất với không gian đối ngẫu của nó và gọi U (cid:48) là không gian đối ngẫu của U . Ta có bộ ba tiến hóa

U ⊂ H = H (cid:48) ⊂ U (cid:48).

Kí hiệu tích vô hướng trong H và tích vô hướng của cặp đối ngẫu (U, U (cid:48)) là (cid:104)·, ·(cid:105). Bài toán được nghiên cứu trong chương này là một DVI khi ràng buộc u(·) là

nghiệm của bất đẳng thức biến phân tiến hóa dạng parabolic. Do đó ta gọi đây

là bất đẳng thức vi biến phân kiểu parabolic-parabolic.

Hệ parabolic-parabolic là một mô hình với nhiều ứng dụng trong hóa sinh

(các hệ Keller-Segel), trong các bài toán tương tác quần thể, các quá trình hóa

học có số hạng bình lưu,... Điểm đặc biệt trong mô hình parabolic-parabolic của

chúng tôi là tổng quát hóa được một lớp bài toán parabolic-parabolic trước đó

thông qua dạng hệ hai bao hàm thức vi phân. Trong đó, DVI-PP bao gồm bao

hàm thức parabolic theo nghĩa Fillipov (xem [24]) liên kết với bao hàm thức

parabolic phi tuyến chứa toán tử tăng trưởng ở dạng dưới vi phân (xem [7]).

Đây là lần đầu tiên mô hình như vậy được xét đến.

Mục đích của chương này nhằm thiết lập kết quả về tính giải được và sự tồn

tại một tập hút toàn cục của nửa dòng đa trị liên kết với bài toán. Các kết quả

được trình bày dựa trên công trình ở dạng tiền ấn phẩm [3] trong Danh mục

các công trình khoa học liên quan đến luận án.

4.1 ĐẶT BÀI TOÁN

Xét bài toán DVI dạng parabolic-parabolic như sau

x(cid:48)(t) − Ax(t) ∈ F (x(t), u(t)), (4.1)

u(cid:48)(t) + Bu(t) + ∂φ(u(t)) (cid:51) h(x(t)), (4.2)

(4.3) x(0) = x0 và u(0) = u0,

trong đó φ : H → R là hàm chính thường, lồi và nửa liên tục dưới, A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính, B : U → U (cid:48) và h : X → H là các hàm liên tục cho trước. Hàm F là hàm đa trị xác định trên X × U .

Từ khái niệm của dưới vi phân ∂φ, bao hàm thức tiến hóa (4.2) có thể được

viết lại ở dạng bất đẳng thức như sau

(cid:104)u(cid:48)(t) + Bu(t) − h(x(t)), v − u(t)(cid:105) + φ(v) − φ(u(t)) ≥ 0, ∀v ∈ H.

Trong trường hợp đặc biệt φ = IK với K là tập lồi, khác rỗng và đóng trong

H, bài toán có dạng như sau

x(cid:48)(t) ∈ Ax(t) + F (x(t), u(t)), t > 0, x(t) ∈ X,

u(t) ∈ K, ∀t > 0,

(cid:104)u(cid:48)(t) + Bu(t), u(t) − z) ≤ (h(x(t)), u(t) − z(cid:105), ∀z ∈ K,

x(0) = x0, u(0) = u0.

Kí hiệu BH là toán tử hạn chế của toán tử B sao cho tập giá trị của nó nằm

trong H, tức là

BH : D(BH) ⊂ U → H,

BHu = Bu với u ∈ D(BH),

D(BH) = {u ∈ U : Bu ∈ H}.

Ta xét các giả thiết cho bài toán (4.1)-(4.3) như sau:

(A) Toán tử A sinh ra một C0-nửa nhóm {S(t)}t≥0 trên X.

(B) Toán tử B : U → U (cid:48) là toán tử tuyến tính liên tục, đối xứng thỏa mãn

(B1) điều kiện cưỡng

(cid:104)Bu, u(cid:105) ≥ ω(cid:107)u(cid:107)2 U ;

với số ω > 0 nào đó;

(B2) D(BH) ∩ D(φ) (cid:54)= ∅ và tồn tại θ ∈ H sao cho

φ((I + λBH)−1(x + λθ)) ≤ φ(x) + Cλ(1 + φ(x)), ∀x ∈ D(φ), λ > 0.

(F ) Ánh xạ đa trị F : X ×H → P(X) nửa liên tục trên với giá trị lồi, compact,

khác rỗng và thỏa mãn các điều kiện

(F 1) tồn tại các hằng số η1F > 0, η2F > 0, a ≥ 0, sao cho bất đẳng thức

sau được thỏa mãn với mọi x ∈ X, u ∈ H

(cid:107)F (x, u)(cid:107) := sup{(cid:107)ξ(cid:107)X : ξ ∈ F (x, u)} ≤ η1F (cid:107)x(cid:107)X + η2F |u| + a;

(F 2) tồn tại các hằng số p > 0 và q > 0 sao cho

χ(F (B, D)) ≤ pχ(B) + qϑ(D), ∀B ∈ Pb(X), D ∈ Pb(H);

trong đó χ và ϑ lần lượt là kí hiệu các độ đo không compact Hausdorff

trên không gian X và H.

(H) Ánh xạ h : X → H liên tục, thỏa mãn điều kiện h(0) ∈ ∂φ(0) và tồn tại

các số ηh > 0, b ≥ 0 sao cho

|h(x)| ≤ ηh(cid:107)x(cid:107)X + b.

Nhận xét 4.1.1.

(1) Trong trường hợp φ = IK, với K là tập con lồi, đóng khác rỗng của H, (H) được thay thế bởi điều kiện sau: Tồn tại phần

tử θ ∈ H sao cho

(I + (cid:15)B)−1(y + (cid:15)θ) ∈ K, ∀(cid:15) > 0, ∀y ∈ K. (4.4)

(2) Giả thiết (H) đối với vế phải của bất đẳng thức biến phân parabolic

chỉ cần liên tục và tăng trưởng dưới tuyến tính. Ta giản lược được

điều kiện Lipschitz so với vế phải của bất đẳng thức biến phân elliptic

ở Chương 3.

Với mỗi T > 0, xét ánh xạ SF được định nghĩa bởi

SF : C([0, T ]; X) × C([0, T ]; H) → P(L1(0, T ; X)), SF (x, u) = {f ∈ L1(0, T ; X) : f (t) ∈ F (x(t), u(t)), h.k.n. t ∈ [0, T ]}.

Ta đưa ra định nghĩa nghiệm yếu của bài toán (4.1)-(4.3).

Định nghĩa 4.1.2. Một cặp hàm (x, u) trong đó x ∈ C([0, T ]; X) và u ∈ L2(0, T ; U )∩ C([0, T ]; H) ∩ W 1,2((0, T ]; U (cid:48)) là nghiệm yếu của bài toán (4.1)-(4.3) nếu tồn tại một hàm chọn f ∈ SF (x, u) sao cho

(cid:90) t S(t − s)f (s)ds, t ∈ [0, T ], x(t) = S(t)x0 +

u(cid:48)(t) + Bu(t) + ∂φ(u(t)) (cid:51) h(x(t)), h.k.n. t,

u(0) = u0.

Một định nghĩa tương đương với Định nghĩa 4.1.2, được suy ra khi ta quan

sát dưới vi phân ∂φ như một ánh xạ đa trị, được phát biểu như sau.

Định nghĩa 4.1.3. Một cặp hàm (x, u) trong đó x ∈ C([0, T ]; X) và u ∈ L2(0, T ; U )∩ C([0, T ]; H) ∩ W 1,2((0, T ]; U (cid:48)) là một nghiệm yếu của bài toán nếu tồn tại hàm chọn f ∈ SF (x, u) và hàm k(t) ∈ ∂φ(u(t)) hầu khắp t ∈ [0, T ] sao cho

(cid:90) t S(t − s)f (s)ds, t ∈ [0, T ], x(t) = S(t)x0 +

u(cid:48)(t) + Bu(t) + k(t) = h(x(t)), h.k.n. t ∈ [0, T ],

u(0) = u0.

Để xét tính giải được của bài toán (4.1)-(4.3), trước tiên ta xét bất đẳng

thức biến phân sau

u(cid:48)(t) + Bu(t) + ∂φ(u(t)) (cid:51) f (t),

u(0) = u0.

Ta gọi V I(u0, f ) là bài toán tìm hàm u thỏa mãn bất đẳng thức biến phân trên với mỗi u0 và f cho trước. Kí hiệu toán tử φ0 : H → (−∞, ∞] xác định bởi

1 2(cid:104)Bu, u(cid:105),

u ∈ U,   φ0(u) =  +∞, trong các trường hợp còn lại.

U với

√ Gọi θ = ν là hệ số của phép nhúng U ⊂ H, cụ thể ta có |u|2 ≤ ν(cid:107)u(cid:107)2

mọi u ∈ U .

Mệnh đề 4.1.4. Ta có các khẳng định sau:

(a) BH là toán tử đơn điệu cực đại trên H × H (tăng trưởng cực đại trên

ν -m-tăng trưởng trên H × H và BH = ∂φ0;

H × H). Hơn nữa, BH là ω

(b) BH + ∂φ là toán tử đơn điệu cực đại trên H × H, từ đó suy ra BH + ∂φ

ν -m-tăng trưởng trên H × H với miền xác định

là ω

D(BH + ∂φ) = D(BH) ∩ D(φ);

1 2(cid:104)Bu, u(cid:105) + φ(u),

u ∈ U,   ψ(u) =  +∞, trong các trường hợp còn lại;

(d) −(BH + ∂φ) sinh ra nửa nhóm S1(t) đồng liên tục trên D(BH + ∂φ);

(e) −(BH + ∂φ) sinh ra nửa nhóm S1(t) compact trên D(BH + ∂φ);

ν -ổn định mũ trên D(BH + ∂φ).

(f) S1(t) là nửa nhóm ω

Chứng minh. a) Khẳng định về tính đơn điệu cực đại của BH trên H × H và BH = ∂φ0 được suy ra từ [9, trang 74]. Ta kiểm tra lại BH là toán tử ω ν -m-tăng trưởng trên H × H. Thật vậy từ điều kiện (B1) về tính cưỡng của toán tử B,

ta có

U ≥

|u|2, (cid:104)Bu, u(cid:105) = (cid:104)BHu, u(cid:105) ≥ ω(cid:107)u(cid:107)2 ∀u ∈ D(BH), ω ν

ν -m-tăng trưởng trên H × H của toán tử BH.

kéo theo tính ω

b) Do điều kiện (B2) và do [9, Định lý 2.11], suy ra BH + ∂φ là toán tử ν -m-tăng trưởng trên H × H của toán tử ν -m-tăng trưởng trên H × H của toán tử BH và

đơn điệu cực đại trên H × H. Tính ω BH + ∂φ được suy ra từ tính ω tính đơn điệu cực đại của dưới vi phân ∂φ.

c) Dễ thấy BH + ∂φ ⊂ ∂ψ. Do ψ là một hàm chính thường, có các tính chất lồi, nửa liên tục dưới, nên sử dụng Mệnh đề 1.1.19 ta có ∂ψ là một toán tử đơn

điệu cực đại trên H × H. Vậy BH + ∂φ = ∂ψ.

d) Do toán tử m-tăng trưởng BH + ∂φ trên H × H được biểu diễn bằng dưới vi phân của ψ với ψ là chính thường, lồi, nửa liên tục dưới trên H nên

−(BH + ∂φ) sinh ra một nửa nhóm S1(t) đồng liên tục trên H (theo Mệnh đề

1.1.20).

e) Ta áp dụng Mệnh đề 1.1.20 để chứng tỏ −(BH + ∂φ) = −∂ψ sinh ra một nửa nhóm compact trên D(BH + ∂φ) bằng việc chứng tỏ tập mức Hr := {u ∈ H : |u|2 + ψ(u) ≤ r} là một tập compact trong H với mỗi r > 0. Trước tiên do φ là hàm chính thường, lồi, nửa liên tục dưới trên H nên nó bị chặn dưới bởi một hàm affin bởi Mệnh đề 1.1.18. Vậy tồn tại ¯u0 ∈ H và một số α1 ∈ R sao cho

φ(u) ≥ (cid:104)¯u0, u(cid:105) + α1.

Lấy u ∈ Hr, ta có

|u|2 + ψ(u) = |u|2 + (cid:104)Bu, u(cid:105) + φ(u)

U + (cid:104)¯u0, u(cid:105) + α1.

≥ |u|2 + (cid:107)u(cid:107)2

≥ |u|2 + (cid:107)u(cid:107)2 |u|2 + α1

U −

≥ |u|2 + (cid:107)u(cid:107)2 ω 4ν (cid:107)u(cid:107)2 + C2

U − C1 − ω 4 (cid:107)u(cid:107)2 + C2.

≥ |u|2 + 1 2 ω 2 ω 2 ω 2 ω 4

ν -tăng trưởng của toán tử (BH + ∂φ)

Từ đó suy ra Hr là một tập bị chặn trong U . Do U nhúng compact vào H, nên Hr là một tập compact trong H. Vậy nửa nhóm sinh bởi −(BH + ∂φ) là một nửa nhóm compact trên D(BH + ∂φ). f) Khẳng định được suy ra từ tính chất ω

trên H × H.

Mệnh đề sau được suy ra từ [7, Định lý 3.1] và [9, Mệnh đề 5.10].

Mệnh đề 4.1.5. Giả sử điều kiện (B) được thỏa mãn. Cho u0 ∈ D(φ) ∩ U và f ∈ L2(0, T ; H).

Khi đó bài toán

u(cid:48)(t) + Bu(t) + ∂φ(u(t)) (cid:51) f (t),

có một nghiệm duy nhất u sao cho u(t) ∈ D(BH) với hầu khắp t ∈ [0, T ] và u ∈ L2(0, T ; U ) ∩ C([0, T ]; H) ∩ W 1,2((0, T ]; H).

Nhờ việc sử dụng kết quả này ta nhận được sự tồn tại nghiệm của bất đẳng

thức biến phân (4.2).

Bổ đề 4.1.6. Giả sử điều kiện (B), (H) được thỏa mãn. Khi đó với mỗi x(·) ∈

C([0, T ]; X) và u0 ∈ D(φ) ∩ U , bài toán

u(cid:48)(t) + Bu(t) + ∂φ(u(t)) (cid:51) h(x(t)),

u(0) = u0,

có nghiệm u(·) với u(t) ∈ D(BH) hầu khắp t ∈ [0, T ] và u ∈ L2(0, T ; U ) ∩ C([0, T ]; H) ∩ W 1,2((0, T ]; H).

parabolic thông qua tính chất ω Tiếp theo ta sử dụng ước lượng nghiệm của bất đẳng thức biến phân dạng ν -tăng trưởng của (BH + ∂φ). Bởi [9, Mệnh đề

4.1] và Bổ đề 4.1.6, ta nhận được bổ đề sau.

Bổ đề 4.1.7. Giả sử các điều kiện (B), (H) được thỏa mãn. Với mỗi x ∈

C([0, T ]; X), bất đẳng thức biến phân parabolic

(4.5) u(cid:48)(t) + Bu(t) + ∂φ(u(t)) (cid:51) h(x(t)), u(0) = u0,

có duy nhất nghiệm u(·) và ta có đánh giá

ν t|u0| +

ν (t−s)(cid:107)x(s)(cid:107)Xds.

(cid:90) t |u(t)| ≤ e− ω e− ω (4.6) bν + ηh 1 − e− ω ν t ω

Chứng minh. Bởi Bổ đề 4.1.6, bài toán (4.5) có nghiệm u ∈ L2(0, T ; U ) ∩ C([0, T ]; H) ∩ W 1,2((0, T ]; H). Áp dụng [9, Mệnh đề 4.1] và sử dụng giả thiết (H), ta có ước lượng sau

ν (t−s)|h(x(s))|ds

ν t|u0| +

0 (cid:90) t

(cid:90) t |u(t)| ≤ e− ω e− ω

ν t|u0| +

ν (t−s)(ηh(cid:107)x(s)(cid:107)X + b)ds

≤ e− ω e− ω

ν t|u0| +

ν (t−s)(cid:107)x(s)(cid:107)Xds.

0 1 − e− ω ν t ω

(cid:90) t ≤ e− ω e− ω bν + ηh

Ta nhận được điều phải chứng minh.

4.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM

Đặt

CX x0 = {x ∈ C([0, T ]; X) : x(0) = x0};

CH u0 = {u ∈ C([0, T ]; H) : u(0) = u0}.

Bằng lập luận tương tự như trong [11, Định lý 1], ta chỉ ra các tính chất của

ánh xạ đa trị SF (·, ·) bởi mệnh đề dưới đây.

x0, u ∈ CH lồi và compact yếu.

Mệnh đề 4.2.1. Giả sử giả thiết (F ) thỏa mãn. Khi đó SF (x, u) (cid:54)= ∅ với mỗi x ∈ CX u0. Hơn nữa, ánh xạ đa trị SF là nửa liên tục trên yếu với giá trị

Ta đưa vào kí hiệu toán tử nghiệm

u0 → P(CX

u0),

x0 × CH

Φ : CX

x0 × CH S(t)x0 + (cid:82) t

(cid:34) (cid:35) 0 S(t − s)f (s)ds, f ∈ SF (x, u) Φ(x, u)(t) := , W ◦ h(x)(t)

trong đó

W : L1(0, T ; X) → C([0, T ]; X),

W (g)(t) = {u(t, u0, g), u là nghiệm duy nhất của bài toán V I(u0, g)}.

Do Mệnh đề 4.1.4 và do tính lồi đều của không gian Hilbert H nên theo [11,

Định lý 1], ta có mệnh đề sau về tính chất của toán tử W .

(1) Nếu Ω ⊂ L1(0, T ; H) là bị chặn tích phân thì W (Ω) là một Mệnh đề 4.2.2.

tập đồng liên tục trong C([0, T ]; H);

(2) W là một toán tử compact.

Xét toán tử Cauchy

Q : L1(0, T ; X) → C([0, T ]; X),

(cid:90) T Q(f )(t) = S(t − s)f (s)ds.

Toán tử nghiệm Φ được viết lại bởi

(cid:34) (cid:35)

Φ(x, u) := . S(·)x0 + Q ◦ SF (x, u) W ◦ h(x(·))

Bổ đề sau được suy ra tương tự như Bổ đề 3.2.6 ở Chương 3.

Mệnh đề 4.2.3. Giả sử (A) thỏa mãn. Nếu D ⊂ L1(0, T ; X) là nửa compact thì Q(D) là tập compact tương đối trong C([0, T ]; X). Đặc biệt, nếu dãy {fn} là nửa compact và fn (cid:42) f ∗ trong L1(0, T ; X) thì Q(fn) → Q(f ∗) trong C([0, T ]; X).

Định lý 4.2.4. Giả sử các điều kiện (A), (B), (F ) và (H) được thỏa mãn. Khi

đó bài toán (4.1)-(4.3) có nghiệm yếu (x(·), u(·)) với mỗi x0 ∈ X, u0 ∈ D(φ) ∩ U .

Chứng minh. Đầu tiên từ cách xây dựng hàm F ta suy ra ánh xạ đa trị Φ có giá trị lồi. Ta sẽ chỉ ra rằng tồn tại một tập con lồi, đóng, khác rỗng M0 ⊂ CX x0 × CH u0 sao cho Φ(M0) ⊂ M0.

Lấy (y, v) ∈ Φ(x, u), khi đó tồn tại f ∈ SF (x, u) sao cho

(cid:90) t S(t − s)f (s)ds(cid:107) (cid:107)y(t)(cid:107)X ≤ (cid:107)S(t)x0(cid:107)X + (cid:107)

(cid:90) t ≤ M (cid:107)x0(cid:107)X + (cid:107)S(t − s)(cid:107)L(X)(cid:107)(cid:107)f (s)(cid:107)Xds

(cid:90) t (η1F (cid:107)x(s)(cid:107)X + η2F |u(s)| + a)ds ≤ M (cid:107)x0(cid:107)X + M

trong đó M = sup{(cid:107)S(t)(cid:107)L(X) : t ∈ [0, T ]}.

Mặt khác theo bất đẳng thức (4.6) ta suy ra

(cid:90) t |v(t)| ≤ |u0| + + ηh (cid:107)x(s)(cid:107)Xds. bν ω

Từ đó suy ra

+ M aT (cid:107)y(t)(cid:107)X + |v(t)| ≤M (cid:107)x0(cid:107)X + |u0| + bν ω (cid:90) t + (M η1F + M η2F + ηh) ((cid:107)x(s)(cid:107)X + |u(s)|)ds.

Kí hiệu

u0 : (cid:107)x(t)(cid:107)X + |u(t)| ≤ κ(t), ∀t ∈ [0, T ]},

x0 × CH

M0 = {(x, u) ∈ CX

trong đó κ là nghiệm duy nhất của phương trình tích phân

x0 × CH

u0 và Φ(M0) ⊂ M0.

+ M aT κ(t) = M (cid:107)x0(cid:107)X + |u0| + bν ω (cid:90) t κ(s)ds. + (M η1F + M η2F + ηh)

Ta thấy rằng M0 là một tập con lồi đóng của CX Đặt

x0 × CH

u0. Ta thấy Mk là

Mk+1 = coΦ(Mk), k = 0, 1, 2, . . .

ở đây kí hiệu co chỉ bao lồi đóng của một tập trong CX một tập lồi, đóng và Mk+1 ⊂ Mk với mọi k ∈ N.

u0 và

x0 × CH

∞ (cid:84) k=0

Lấy M = Mk, khi đó M là một tập con lồi đóng của CX

Φ(M) ⊂ M.

Chú ý rằng, với mỗi k ≥ 0, SF (Mk) là bị chặn tích phân do giả thiết (F 1).

Vì vậy, M cũng bị chặn tích phân.

Tiếp theo, ta chỉ ra M(t) là compact với mỗi t ≥ 0. Do tính chất chính quy của độ đo không compact, ta cần chỉ ra µk(t) = χ∗(Mk(t)) → 0 khi k → ∞, trong đó χ∗ là độ đo không compact trong không gian tích X × H và được xác định bởi χ∗(B, D) = χ(B) + ϑ(D).

(cid:34) (cid:35)

Giả sử M(t) = , MX(t) MH(t)

k (t) + µH

k (t) = χ(MX

k (t)) + ϑ(MH

k (t)).

µk(t) = µX

k (t) bị chặn trong X và do giả thiết (H) nên tập {h(x(t)) : x ∈ MX k } cũng bị chặn trong H. Vì W là toán tử compact nên W (h(MX k (t))) là tập compact tương đối trong H. Vậy MH(t) là tập compact tương đối trong H, ta

Do MX

k (t) = ϑ(MH µH

k (t)) = 0, ∀k ≥ 1.

suy ra

Nếu {S(t)}t≥0 là compact, dễ thấy µk(t) = 0, ∀t ≥ 0. Khi đó ta có

k , MH

k )(s)ds)

0 (cid:90) t

(cid:90) t µk+1(t) = χ∗(Mk+1(t)) ≤ χ( S(t − s)SF (MX

k , MH

k )(s))ds

≤ 4 χ(S(t − s)(SF (MX

k (t) là tập compact, từ đó suy ra tính compact

= 0,

do Mệnh đề 1.2.7. Khi đó mỗi MX của MX(t). Trường hợp ngược lại nếu {S(t)}t≥0 không compact, ta có

k )(s)ds

k , MH

0 (cid:90) t

(cid:19) (cid:18)(cid:90) t S(t − s)SF (MX µX k+1(t) ≤ χ

k , MH

k )(s))ds

0 (cid:90) t

≤ 4M χ(SF (MX

k (s)) + qϑ(MH

k (s))(cid:3)ds

0 (cid:90) t

(cid:2)pχ(MX ≤ 4M

k (s))(cid:3)ds.

≤ 4M (cid:2)pχ(MX

Vậy (cid:90) t (4.7) µX k+1(t) ≤ 4M p µX k (s)ds.

Từ đó suy ra (cid:90) t µk(s)ds. µk+1(t) ≤ 4M p

µk(t) và chuyển qua giới hạn bất đẳng thức trên ta thu được Đặt µ∞(t) = lim k→∞

(cid:90) t µ∞(t) ≤ 4M p µ∞(s)ds.

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có µ∞(t) = 0 với mọi t ∈ J. Từ đó dẫn

đến tính compact của M(t). Theo Mệnh đề 4.2.3, Q(MX) là một tập compact tương đối trong C([0, T ]; X). Ta suy ra Φ(M) cũng là một tập compact tương đối trong C([0, T ]; X) ×

C([0, T ]; H).

Kí hiệu

D = coΦ(M).

Dễ thấy D là một tập con lồi, compact khác rỗng của C([0, T ]; X) × C([0, T ]; H)

và Φ(D) ⊂ D do Φ(D) = Φ(coΦ(M)) ⊂ Φ(M) ⊂ coΦ(M) = D.

Bây giờ xét toán tử Φ : D → P(D). Ta còn phải chỉ ra Φ có đồ thị đóng. Thật vậy lấy (xn, un) ∈ D với xn → x∗, un → u∗ và (yn, vn) ∈ Φ(xn, un) sao cho yn → y∗, vn → v∗. Khi đó ta có thể lấy fn ∈ SF (xn, un) sao cho yn(t) = S(t)x0 + (cid:82) t 0 S(t − s)fn(s)ds và vn(t) = W (h(xn(t))). Do SF là nửa liên tục trên yếu có giá trị lồi, compact yếu nên ta có fn (cid:42) f ∗ lấy theo dãy con. Từ đó áp dụng Bổ đề 1.3.3, Bổ đề 4.2.3 và do W là ánh xạ compact ta có thể chuyển qua

giới hạn để nhận được

(cid:90) t S(t − s)f ∗(s)ds, v∗(t) = W (h(x∗(t))). y∗(t) = S(t)x0 +

Áp dụng Định lý 1.3.11, ta được ánh xạ đa trị Φ có một điểm bất động (x, u). Nhờ Bổ đề 4.1.6 suy ra u ∈ L2(0, T ; U ) ∩ W 1,2(0, T ; H) ∩ C([0, T ]; H) và u ∈ D(BH). Vậy (x, u) là nghiệm yếu của bất đẳng thức vi biến phân (4.1)-

(4.3).

(cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) x −A 0 g(x, u) + F (x) , A = , F(Y ) = Bằng cách đặt Y = , , Y0 = u 0 B h(x) + ∂φ(u) x0 u0

bài toán đang xét được chuyển về dạng

+ AY ∈ F(Y ) (4.8) dY dt

(4.9) Y (0) = Y0,

Ta đưa ra không gian phổ quát (universal space) để nghiên cứu dáng điệu

nghiệm của bài toán (4.8)-(4.9) như sau

X := X × D(φ) ∩ U .

Từ định lý về sự tồn tại nghiệm yếu, ta định nghĩa được ánh xạ đa trị liên

kết với (4.8)-(4.9) bởi:

G : R+ × X → X ,

G(t, x0, u0) = {Y (t) = (x(t), u(t)) : Y là một nghiệm yếu của (4.8) − (4.9),

x(0) = x0, u(0) = u0}.

Giả sử Σ(x0, u0, T ) là tập tất cả các nghiệm yếu của bài toán trên [0, T ] với

điều kiện ban đầu (x0, u0) và đặt

Σ(x0, u0) = ∪T >0Σ(x0, u0, T ).

Khi đó rõ ràng ta có

G(t, x0, u0) = {(x(t), u(t)) : (x(·), u(·)) ∈ Σ(x0, u0), t ≥ 0, x0 ∈ X,

u0 ∈ D(φ) ∩ U }.

Mệnh đề dưới đây nói lên tính chất của toán tử Σ.

Mệnh đề 4.2.5. Giả sử các giả thiết của Định lý 4.2.4 được thỏa mãn. Giả sử

rằng dãy {(ξn, ηn)} ⊂ X thỏa mãn ξn → ξ, ηn → η lần lượt trong X và H. Khi đó Σ({(ξn, ηn, T )}) là một tập compact tương đối trong C([0, T ]; X) × C([0, T ]; H). Nói riêng, Σ(ξ, η, T ) là một tập compact với mỗi (ξ, η) ∈ X .

Chứng minh. Lấy (xn, un) ∈ Σ({(ξn, ηn, T )}), ta có

xn(t) = S(t)ξn + Q ◦ SF (xn, un)(t),

un(t) = W ◦ h(xn(t)),

un(0) = ηn.

Ta sẽ chỉ ra {xn} compact tương đối trong C([0, T ]; X) và {un} compact

tương đối trong C([0, T ]; H).

Tương tự như chứng minh trong Định lý 4.2.4, ta có

+ M aT (cid:107)xn(t)(cid:107)X + |un(t)| ≤M (cid:107)x0(cid:107)X + |u0| + bν ω (cid:90) t + (M η1F + M η2F + ηh) ((cid:107)xn(s)(cid:107)X + |un(s)|)ds.

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall suy ra tính bị chặn của {(xn, un)} trong

C([0, T ]; X) × C([0, T ]; H). Lấy fn ∈ SF (xn, un) sao cho xn = S(·)ξn + Q(fn).

Do {(xn, un)} bị chặn và do giả thiết (F 1) nên {fn} là bị chặn tích phân. Ta thấy rằng vì W là toán tử compact và un = W h(xn) nên {un} là một dãy compact tương đối. Đối với {xn}, nếu {S(t)}t≥0 compact thì {xn} là tập compact tương đối. Trường hợp nửa nhóm {S(t)}t≥0 không compact, sử dụng giả thiết (F 2), ta có đánh giá

χ({xn(t)}) ≤ χ(Q(fn)(t))

(cid:90) t ≤ 2 χ(S(t − s)fn(s))ds

0 (cid:90) t

(cid:90) t ≤ 2M χ{fn(s)}ds

0 (cid:90) t

≤ 2M [pχ({xn(s)}) + qϑ({un(s)})]ds

= 2M pχ({xn(s)})ds.

Từ đây sử dụng bất đẳng thức Gronwall ta nhận được χ({xn(t)}) = 0, dẫn

đến χ({fn(t)}) = 0 với mọi t ∈ [0, T ].

Vậy {fn} là nửa compact trong L1(0, T ; X). Từ đó suy ra {xn} là tập compact

tương đối trong C([0, T ]; X).

Khẳng định còn lại của mệnh đề được sáng tỏ nếu ta chứng minh được tập

Σ(ξ, η, T ) đóng trong C([0, T ]; X)×C([0, T ]; H). Giả sử (xn, un) ∈ Σ(ξ, η, T ) sao cho xn → x∗, un → u∗. Lập luận tương tự như trong chứng minh Định lý 4.2.4, ta suy ra (x∗, u∗) ∈ Σ(ξ, η, T ).

Mệnh đề được chứng minh.

Từ mệnh đề trên ta nhận được hệ quả dưới đây.

Hệ quả 4.2.6. Ánh xạ đa trị G có giá trị compact trong X × H.

Bổ đề sau đây chỉ ra ánh xạ đa trị G là một nửa dòng liên kết với bài toán

(4.1)-(4.2).

Bổ đề 4.2.7. G là nửa dòng đa trị ngặt.

Chứng minh. Lấy (y, v) ∈ G(t1 + t2, x0, u0) bất kì. Khi đó y = x(t1 + t2), v = u(t1 + t2) với (x(·), u(·)) ∈ Σ(x0, u0, T ), T ≥ t1 + t2, và tồn tại các hàm f ∈ SF (x, u), k(t) ∈ ∂φ(u(t)), t ∈ [0, T ] sao cho

(cid:90) t S(t − s)f (s)ds, t ∈ [0, T ], x(t) = S(t)x0 +

u(cid:48)(t) + Bu(t) + k(t) = h(x(t)), h.k.n. t ∈ [0, T ],

u(0) = u0.

Xét các hàm ˆx, ˆu, với ˆx(t) = x(t + t1), ˆu(t) = u(t + t1), ta có

(cid:90) t S(t − s) ˆf (s)ds, ˆx(t) = S(t)x(t1) +

ˆf (s) = f (s + t1), ˆf (s) ∈ SF (ˆx, ˆu)(s + t1), h.k.n. t ∈ [0, T − t1],

ˆu(cid:48)(t) + B ˆu(t) + ˆk(t) = h(ˆx(t)), ˆk(t) = k(t + t1) ∈ ∂φu(t + t1),

ˆu(0) = u(t1).

Từ đó, (ˆx(·), ˆu(·)) ∈ Σ(x(t1), u(t1)). Vậy

(y, v) = (ˆx(t2), ˆu(t2)) ∈ G(t2, ˆx(t1), ˆu(t1)) ⊂ G(t2, G(t1, x0, u0)).

Ta suy ra bao hàm G(t1 + t2, x0, u0) ⊂ G(t2, G(t1, x0, u0)).

Ngược lại ta chỉ ra G(t2, G(t1, x0, u0)) ⊂ G(t1 + t2, x0, u0). Lấy (y, v) ∈

G(t2, G(t1, x0, u0)). Khi đó y = x2(t2), v = u2(t2) với

(x2(·), u2(·)) ∈ Σ(x2(0), u2(0), T2), T2 ≥ t2,

và

(x2(0), u2(0)) ∈ G(t1, x0, u0).

Hiển nhiên ta có x2(0) = x1(t1), u2(0) = u1(t1) với (x1(·), u1(·)) ∈ Σ(x0, u0, T1), T1 ≥ t1. Đặt

x1(t), nếu 0 ≤ t ≤ t1   x(t) =  x2(t − t1), nếu t1 ≤ t ≤ t1 + T2

u1(t), nếu 0 ≤ t ≤ t1   u(t) =  u2(t − t1), nếu t1 ≤ t ≤ t1 + T2

f1(t), nếu 0 ≤ t ≤ t1   f (t) =  f2(t − t1), nếu t1 ≤ t ≤ t1 + T2,

ở đó f1(t) ∈ SF (x1, u1)(t) và f2(t) ∈ SF (x2, u2)(t) tương ứng là các hàm chọn của nghiệm yếu (x1, u1), (x2, u2).

k1(t), nếu 0 ≤ t ≤ t1   k(t) =  k2(t − t1), nếu t1 ≤ t ≤ t1 + T2,

trong đó k1(t) ∈ ∂φ(u1(t)) và k2(t) ∈ ∂φ(u2(t)).

Khi đó ta kiểm tra được (x(·), u(·)) thỏa mãn

(cid:90) t x(t) = S(t)x0 + S(t − s)f (s)ds, 0 ≤ t ≤ t1 + T2,

u(cid:48)(t) + Bu(t) + k(t) = h(x(t)), 0 ≤ t ≤ t1 + T2,

u(0) = u0.

Điều đó chứng tỏ (x(·), u(·)) ∈ Σ(x0, u0) và cặp (y, v) = (x(t1 + t2), u(t1 + t2)) ∈ G(t1 + t2, x0, u0). Từ đó suy ra G(t2, G(t1, x0, u0)) ⊂ G(t1 + t2, x0, u0).

Vậy G là nửa dòng đa trị ngặt.

4.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT TOÀN CỤC

Để nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa dòng đa trị sinh bởi bài

toán, chúng ta đưa thêm giả thiết sau.

(A∗) Nửa nhóm {S(t)}t≥0 ổn định tiệm cận với tốc độ mũ α, và χ-giảm với mũ

β, tức là

(cid:107)S(t)(cid:107)L(X) ≤ N e−αt, (cid:107)S(t)(cid:107)χ ≤ P e−βt, ∀t > 0,

ở đây α, β > 0, N, P ≥ 1, (cid:107) · (cid:107)χ là chuẩn toán tử theo độ đo χ được xác

định trong (1.3).

Sau đây ta sẽ chỉ ra tính chất dạng nén của G dưới giả thiết (A∗).

Bổ đề 4.3.1. Giả sử các điều kiện (A∗), (B), (F ) và (H) được thỏa mãn. Khi đó nếu

β > 4P p,

thì tồn tại số T0 > 0 và một số ζ ∈ [0, 1) sao cho với mọi T ≥ T0, ta có

χ∗(G(T, C, D)) ≤ ζχ(C),

với mọi tập bị chặn (C, D) ∈ X .

Chứng minh. Lấy (C, D) là tập bị chặn trong X . Đặt D = Σ(C, D), ta có

0 S(t − s)SF (D1, D2)(s)ds W ◦ h(D1(t))

(cid:34) (cid:35) (cid:34) (cid:35) S(t)C + (cid:82) t . D(t) = ⊂ D1(t) D2(t)

Do điều kiện (H), ta suy ra tập h(D1(t)) bị chặn trong H. Do toán tử W là

compact nên W h(D1(t)) là một tập compact tương đối trong H.

Đối với D1(t), ta có đánh giá

0 (cid:90) t

(cid:90) t e−β(t−s)χ(SF (D1(s), D2(s)))ds χ(D1(t)) ≤ P e−βtχ(C) + 4P

0 (cid:90) t

≤ P e−βtχ(C) + 4P e−β(t−s)(pχ(D1(s)) + qϑ(D2(s)))ds

≤ P e−βtχ(C) + 4P e−β(t−s)pχ(D1(s))ds.

Từ đó ta có

(cid:90) t eβtχ(D1(t)) ≤ P χ(C) + 4P eβspχ(D1(s))ds.

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta nhận được

eβtχ(D1(t)) ≤ P χ(C)e4P pt,

β−4P p. Từ đó dẫn đến khẳng định của bổ

χ(D1(t)) ≤ P χ(C)e−(β−4P p)t.

Vì β > 4P p nên ta chọn số T0 > ln P đề.

Bổ đề 4.3.2. Với các giả thiết của Bổ đề 4.3.1, G là nửa compact tiệm cận trên.

Chứng minh. Chứng minh tương tự như Bổ đề 3.3.4 ở Chương 3.

Bổ đề 4.3.3. Với mỗi t > 0, nửa dòng đa trị G(t, ·, ·) là nửa liên tục trên.

Chứng minh. Vì G(t, ·, ·) nhận giá trị compact (Hệ quả 4.2.6) nên theo Bổ đề

1.3.2 ta chỉ cần chứng minh G(t, ·, ·) là tựa compact và có đồ thị đóng.

Giả sử K ⊂ X là một tập compact. Lấy {(yn, vn)} ⊂ G(t, K). Khi đó ta có

thể tìm một dãy {(ξn, ηn)} ⊂ K sao cho

ξn → ξ∗ trong X,

ηn → η∗ trong H.

Lấy (xn, un) ∈ Σ(ξn, ηn) sao cho

xn(0) = ξn, un(0) = ηn,

xn(t) = yn, un(t) = vn.

Theo Mệnh đề 4.2.5, Σ({(ξn, ηn, t)}) là tập compact tương đối trong C([0, t]; X)×

C([0, t]; H) nên tồn tại dãy con của {(xn, un)} (ta vẫn kí hiệu bởi {(xn, un)})

sao cho

πt(xn) → x∗ trong C([0, t]; X),

πt(un) → u∗ trong C([0, t]; H),

trong đó πt là kí hiệu toán tử cắt trên [0, t].

Vậy (yn, vn) hội tụ tới (x∗(t), u∗(t)) trong X × H và (x∗(0), u∗(0)) = (ξ∗, η∗).

Từ đó dẫn đến G(t, ·, ·) là tựa compact.

Ta còn phải chỉ ra G(t, ·, ·) có đồ thị đóng. Thật vậy lấy {(ξn, ηn)} là một dãy trong X và (ξn, ηn) hội tụ tới (ξ∗, η∗). Lấy (yn, vn) ∈ G(t, ξn, ηn) sao cho yn → y∗ trong X, vn → v∗ trong H. Ta sẽ chứng tỏ rằng (y∗, v∗) ∈ G(t, ξ∗, η∗).

Lấy (xn, un) ∈ Σ(ξn, ηn) sao cho

xn(t) = yn, un(t) = vn.

Theo Mệnh đề 4.2.5, {(xn, un)} có một dãy con hội tụ (vẫn kí hiệu là

{(xn, un)}). Giả sử

xn = x∗ trong C([0, t]; X), lim n→∞

un = u∗ trong C([0, t]; H). lim n→∞

Vậy y∗ = x∗(t), v∗ = u∗(t). Để nhận được (y∗, v∗) ∈ G(t, ξ∗, η∗), ta sẽ chứng minh (x∗, u∗) ∈ πt ◦ Σ(ξ∗, η∗).

Lấy fn ∈ SF (xn, un) sao cho

(4.10) xn = S(·)ξn + Q(fn),

(4.11) un = W h(xn),

(4.12) un(0) = ηn.

Vì {(xn, un)} bị chặn và do giả thiết (F 1) nên {fn} ⊂ L1(0, t; X) là bị chặn tích phân. Ngoài ra, {fn(r)} ⊂ K(r) = F ({xn(r), un(r)}), r ∈ [0, t] là compact. Vậy {fn} là dãy nửa compact. Từ đó fn hội tụ yếu đến f ∗ và áp dụng Mệnh đề 4.2.3 ta nhận được Q(fn) → Q(f ∗). Chuyển qua giới hạn trong (4.10) ta có

x∗ = S(·)ξ∗ + Q(f ∗).

Vì SF là nửa liên tục trên yếu nên f ∗ ∈ SF (x∗, u∗). Khi đó, chuyển qua giới

hạn trong (4.11) và (4.12) ta được

u∗ = W h(x∗), u∗(0) = η∗.

Vậy (x∗, u∗) ∈ πt ◦ Σ(ξ∗, η∗). Bổ đề được chứng minh.

Bổ đề 4.3.4. Giả sử các điều kiện (A∗), (B), (F ) và (H) được thỏa mãn. Khi đó, tồn tại tập hấp thụ cho nửa dòng đa trị G liên kết với (4.8)-(4.9) nếu các hệ

số dương α, η1F , η2F , ηh, ω thỏa mãn

min{ , α} > max{η1F + ηh, η2F }. ω ν

Chứng minh. Lấy tập (B, D) bị chặn trong X . Với (x(t), u(t)) là nghiệm yếu

của bài toán, x(0) = x0, u(0) = u0, (x0, u0) ∈ (B, D), ta có

(cid:90) t (cid:107)S(t − s)f (s)(cid:107)Xds, f ∈ SF (x, u). (cid:107)x(t)(cid:107)X ≤ (cid:107)S(t)(cid:107)L(X)(cid:107)x0(cid:107) +

Áp dụng tính chất ổn định mũ của nửa nhóm {S(t)}t≥0 và giả thiết của các

ánh xạ F ta có các đánh giá sau

0 (cid:90) t

(cid:90) t (cid:107)x(t)(cid:107)X ≤ e−αt(cid:107)x0(cid:107)X + e−α(t−s)(cid:107)f (s)(cid:107)Xds

e−α(t−s)(η1F (cid:107)x(s)(cid:107)X + η2F |u(s)| + a)ds ≤ e−αt(cid:107)x0(cid:107) +

Theo bất đẳng thức (4.6), ta có

ν t|u0| +

ν (t−s)(cid:107)x(s)(cid:107)Xds.

(cid:90) t |u(t)| ≤ e− ω e− ω b + ηh 1 − e− ω ν t ω ν

ν , cộng theo từng vế hai bất đẳng thức

Không giảm tổng quát, giả sử α > ω

trên ta nhận được

ν t((cid:107)x0(cid:107)X + |u0|) +

ν (t−s)(cid:107)x(s)(cid:107)ds

+ + (cid:107)x(t)(cid:107)X + |u(t)| ≤e− ω b α bν ω a α (cid:90) t e− ω + (η1F + ηh)

ν (t−s)|u(s)|ds,

(cid:90) t e− ω + η2F

ν t((cid:107)x0(cid:107)X + |u0|) + c

≤e− ω

ν (t−s)((cid:107)x(s)(cid:107)X + |u(s)|)ds,

(cid:90) t e− ω + d

α + bν

ω + a

α; d = max{η1F + ηh; η2F }. Từ đó ta có

trong đó c = b

ν t + d

ν t((cid:107)x(t)(cid:107)X + |u(t)|) ≤ (cid:107)x0(cid:107)X + |u0| + c.e

ν s((cid:107)x(s)(cid:107)X + |u(s)|)ds.

(cid:90) t e e

ω ν t

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta có:

ν t((cid:107)x(t)(cid:107)X + |u(t)|) ≤(cid:107)x0(cid:107)X + |u0| + c.e

ν s)ed(t−s)ds

ω ν t

(cid:90) t + ((cid:107)x0(cid:107)X + |u0| + c.e

≤(cid:107)x0(cid:107)X + |u0| + c.e

+ . + ((cid:107)x0(cid:107)X + |u0|) edt − 1 d c(e ω ν t − edt) ω ν − d

Vậy

ν t + c e−( ω

ν −d)t)

(cid:107)x(t)(cid:107)X + |u(t)| ≤((cid:107)x0(cid:107)X + |u0|)e− ω

ν −d)t − e− ω ν t d

+ . + ((cid:107)x0(cid:107)X + |u0|) c(1 − e−( ω ω ν − d

ν > d, bất đẳng thức cuối cùng dẫn đến hình cầu tâm

Từ đây sử dụng giả thiết ω

tại điểm gốc với bán kính

R = c + + 1, cν ω − νd

là tập hấp thụ cho nửa dòng đa trị G trong X × H. Bổ đề được chứng minh.

Từ các Bổ đề 4.3.2, 4.3.3 và 4.3.4 ta nhận được kết quả chính về sự tồn tại tập

hút toàn cục của nửa dòng đa trị sinh bởi bài toán DVI dạng parabolic-parabolic.

Định lý 4.3.5. Giả sử các điều kiện (A∗), (B), (F ) và (H) được thỏa mãn. Khi đó nếu

β > 4P p và min{ , α} > max{η1F + ηh, η2F } ω ν

thì tồn tại một tập hút toàn cục của nửa dòng đa trị G trên X .

Một hệ quả được suy ra trực tiếp từ Định lý 4.3.5 cho tính ổn định tiệm cận

của nghiệm 0 của hệ được phát biểu dưới đây.

Hệ quả 4.3.6. Giả sử a = b = 0, 0 ∈ F (0, 0) và các điều kiện của Định lý 4.3.5

thỏa mãn. Khi đó nghiệm 0 của hệ là ổn định mũ. Nói riêng, tồn tại nghiệm

phân rã tốc độ mũ của bài toán (4.1)-(4.3).

4.4 ÁP DỤNG

Cho Ω ⊂ Rn là một miền có biên trơn thuộc lớp C 2. Xét hệ parabolic-

parabolic dưới đây

(4.13) (t, x) − ∆xZ(t, x) = f (t, x), t > 0, x ∈ Ω,

(4.14)

(4.15) (t, x) − ∆xu(t, x) + β(u(t, x) − ψ(x)) (cid:51) h(x, Z(t, x)),

∂Z ∂t f (t, x) ∈ [f1(x, Z(t, x), u(t, x)), f2(x, Z(t, x), u(t, x))], ∂u ∂t Z(t, x) = u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t ≥ 0, (4.16)

(4.17) Z(0, x) = Z0(x), u(0, x) = u0(x).

ở đó f1, f2, h : Ω × R → R là các hàm liên tục, hàm ψ ∈ H 2(Ω) sao cho ψ ≤ 0 trên ∂Ω theo nghĩa vết và β : R → 2R là một hàm đơn điệu cực đại được cho bởi  0 nếu r > 0,

R− β(r) = nếu r = 0,

∅ nếu r < 0.  

Chú ý rằng (4.15) có thể được viết lại bởi

(t, x) − ∆xu(t, x) = h(x, Z(t, x)) trong {(t, x) ∈ Q := (0, T ) × Ω : u(t, x) ≥ ψ(x)},

(t, x) − ∆xu(t, x) ≥ h(x, Z(t, x)) trong Q,

∂u ∂t ∂u ∂t u(t, x) ≥ ψ(x), ∀(t, x) ∈ Q,

mô tả quá trình khuyếch tán trên biên tự do hoặc dịch chuyển. Mô hình này còn

0 (Ω) và U (cid:48) = H −1(Ω), chuẩn trong X và H là

được gọi là bài toán parabolic có chướng ngại (xem [9]).

Ω

Đặt X = H = L2(Ω), U = H 1 (cid:115)(cid:90) |u| = u2(x)dx, u ∈ L2(Ω).

0 (Ω) được cho bởi (cid:115)(cid:90)

Chuẩn trong H 1

0 (Ω).

Ω

|∇u(x)|2dx, u ∈ H 1 (cid:107)u(cid:107) =

100

1 với

(cid:107)u(cid:107). Từ đó ν = λ−1

0 (Ω), |u| = 1}.

Vậy theo bất đẳng thức Poincaré, ta có |u| ≤ λ−1/2 λ1 = inf{(cid:107)u(cid:107)2 : u ∈ H 1

Định nghĩa ánh xạ đa trị

F : X × H → P(X)

F (¯u, ¯y) = {λf1(x, ¯u(x), ¯y(x)) + (1 − λ)f2(x, ¯u(x), ¯y(x)) : λ ∈ [0, 1]},

và toán tử

0 (Ω).

A = ∆ : D(A) → X; D(A) = H 2(Ω) ∩ H 1

Gọi Z(t) ∈ X, u(t) ∈ H sao cho Z(t)(x) = Z(t, x) và u(t)(x) = u(t, x). Khi

đó nửa nhóm {S(t)}t≥0 sinh bởi A là compact và ổn định mũ. Cụ thể ta có

(cid:107)S(t)(cid:107)L(X) ≤ e−λ1t.

Vậy điều kiện (A∗) được thỏa mãn.

Tiếp theo chúng ta giả sử tồn tại các hàm không âm a1, a2 ∈ L∞(Ω) và

c1, c2 ∈ L2(Ω) sao cho

|f1(x, p, q)| ≤ a1(x)|p| + b1(x)|q| + c1(x), |f2(x, p, q)| ≤ a2(x)|q| + b2(x)|q| + c2(x), ∀x ∈ Ω, p ∈ R.

Lập luận tương tự như phần áp dụng ở Chương 3, ta có ánh xạ đa trị F là nửa

liên tục trên với giá trị compact. Hơn nữa ta có

(cid:107)F ( ¯Z, ¯u)(cid:107) ≤ max{(cid:107)a1(cid:107)∞, (cid:107)a2(cid:107)∞}(cid:107) ¯Z(cid:107)X + max{(cid:107)b1(cid:107)∞, (cid:107)b2(cid:107)∞}(cid:107)¯u(cid:107)H

+ max{|c1|, |c2|}.

Từ đó dẫn đến điều kiện (F ).

Chúng ta xét bất đẳng thức biến phân (4.15), đặt B = −∆, ở đó −∆ là toán

tử Laplace xác định bởi

Ω

(cid:90) (cid:104)u, −∆v(cid:105) := ∇u(x)∇v(x)dx, ∀u ∈ U,

. từ đó ta có (cid:104)Bu, u(cid:105) ≥ λ1(cid:107)u(cid:107)2 H. Thêm vào đó, giả thiết không dương của hàm ψ trên ∂Ω đảm bảo điều kiện (B2) được thỏa mãn (xem [9, Mệnh đề 2.11]). Vậy ta có (B) với ω = 1 và ν = 1 λ1

101

Ánh xạ h : Ω × R → R được giả thiết h(x, 0) = 0, ∀x ∈ Ω và

|h(x, p)| ≤ b(x)|p| + c(x), ∀x ∈ Ω, p ∈ R,

với b, c là lần lượt là các hàm không âm thuộc L∞(Ω) và L2(Ω). Bằng cách đặt h : X → H, h( ¯Z)(x) = h(x, ¯Z(x)), ta có

|h( ¯Z)|H ≤ (cid:107)b(cid:107)∞(cid:107) ¯Z(cid:107)X + |c|.

Khi đó bất đẳng thức biến phân (4.15) tương đương với

u(cid:48)(t) + Bu(t) + ∂IK(u(t)) (cid:51) h(Z(t)),

trong đó

Ω

K = {u ∈ L2(Ω) : u(x) ≥ ψ(x), với hầu khắp x ∈ Ω}; (cid:90) v(x)(u(x) − z(x))dx ≥ 0, ∀z ∈ K}; ∂IK(u) = {v ∈ L2(Ω);

= {v ∈ L2(Ω); v(x) ∈ β(u(x) − ψ(x)), với hầu khắp x ∈ Ω}.

Ta kiểm tra được rằng h(0) = 0 ∈ ∂IK(0). Vậy điều kiện (H) được thỏa

mãn. Bài toán (4.13)-(4.17) được viết lại như sau

Z (cid:48)(t) − AZ(t) ∈ F (Z(t), u(t)),

u(cid:48)(t) + Bu(t) + ∂IK(u(t)) (cid:51) h(Z(t)),

Z(0) = Z0, u(0) = u0.

Vậy các giả thiết đã được kiểm tra, ta suy ra kết quả về sự tồn tại nghiệm

của bài toán (4.13)-(4.17) và sự tồn tại một tập hút toàn cục của nửa dòng đa

trị liên kết với bài toán (4.13)-(4.17).

Định lý 4.4.1. Tồn tại một tập hút toàn cục của nửa dòng đa trị sinh bởi hệ (4.13)-(4.17) trong L2(Ω) × K được cảm sinh từ tôpô trên L2(Ω) × L2(Ω), nếu ta có

λ1 > max(cid:8)(cid:107)b(cid:107)∞ + max{(cid:107)a1(cid:107)∞, (cid:107)a2(cid:107)∞}; max{(cid:107)b1(cid:107)∞, (cid:107)b2(cid:107)∞}(cid:9).

102

Kết luận Chương 4

Mục đích chính của Chương 4 là nghiên cứu dáng điệu nghiệm của một lớp

bài toán bất đẳng thức vi biến phân với ràng buộc thỏa mãn một bất đẳng thức

biến phân tiến hóa parabolic. Các kết quả thu được bao gồm:

1) Chứng minh tính giải được (Định lý 4.2.4) và tính chất của tập nghiệm

của hệ (Mệnh đề 4.2.5).

2) Xây dựng nửa dòng đa trị liên kết với bài toán và các tính chất chính quy

của nửa dòng đa trị đó (Hệ quả 4.2.6, Bổ đề 4.2.7, Bổ đề 4.3.1, Bổ đề 4.3.2,

Bổ đề 4.3.3, Bổ đề 4.3.4).

3) Chứng minh được sự tồn tại một tập hút toàn cục compact của nửa dòng

đa trị liên kết với bài toán (Định lý 4.3.5).

4) Áp dụng cho một lớp hệ phương trình đạo hàm riêng và thu được kết quả

về dáng điệu nghiệm cho hệ đó (Định lý 4.4.1).

Mặc dù hai Chương 3 và Chương 4 đều dành cho việc nghiên cứu các bất

đẳng thức vi biến phân trong không gian vô hạn chiều, nhưng cách tiếp cận bài

toán ở Chương 4 là tương đối khác biệt. Lý do chính nằm ở việc ràng buộc u(·)

trong Chương 4 xác định bởi hệ động lực. Từ đó, chúng ta phải xét hệ DVI-PP

trên không gian tích với nghiệm là cặp (x(·), u(·)). Các kết quả về sự tồn tại

nghiệm và sự tồn tại tập hút toàn cục nhận được khi toán tử A chỉ sinh ra một

C0-nửa nhóm và điều kiện hàm vế phải của bất đẳng thức biến phân tiến hóa

không nhất thiết liên tục Lipschitz. Theo hiểu biết của chúng tôi, đây là lần đầu

tiên mô hình DVI-PP (4.1)-(4.3) được khảo sát.

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 Những kết quả đã đạt được

Luận án Dáng điệu nghiệm của các bất đẳng thức vi biến phân nghiên cứu

về tính ổn định nghiệm của một số lớp các bất đẳng thức vi biến phân, bao gồm

lớp bài toán trong không gian hữu hạn chiều và trong không gian vô hạn chiều.

Luận án đã đạt được các kết quả sau:

• Sự tồn tại nghiệm của các bất đẳng thức vi biến phân.

• Dáng điệu nghiệm của lớp các bất đẳng thức biến phân hữu hạn chiều

thông qua sự tồn tại nghiệm phân rã và sự tồn tại một tập hút toàn cục

cho nửa dòng đa trị liên kết với hệ động lực của bài toán.

• Sự tồn tại một tập hút toàn cục cho nửa dòng đa trị sinh bởi hệ động

lực liên kết với các bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-elliptic và

parabolic-parabolic trong các không gian vô hạn chiều.

2 Đề xuất một số hướng nghiên cứu tiếp theo

Bên cạnh các kết quả đã đạt được trong luận án, một số vấn đề mở cần tiếp

tục nghiên cứu như:

• Nghiên cứu tính ổn định nghiệm, tính hút của nghiệm trong thời gian hữu

hạn của các bất đẳng thức vi biến phân. Nghiên cứu các lớp nghiệm đặc

biệt như nghiệm tuần hoàn, nghiệm đối tuần hoàn...

• Trường hợp vô hạn chiều, nghiên cứu dáng điệu nghiệm của DVI với ràng

buộc biến phân không duy nhất nghiệm.

103

104

• Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của bất đẳng thức vi biến phân với đạo

hàm bậc cao và đạo hàm bậc phân số cũng như các bất đẳng thức biến

phân gắn với hệ động lực trung tính.

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC

LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

[1] N.T.V. Anh, T.D. Ke (2015), "Asymptotic behavior of solutions to a class

of differential variational inequalities", Annales Polonici Mathematici, 114.2,

147-164.(SCIE)

[2] N.T.V. Anh, T.D. Ke (2017), "On the differential variational inequalities

of parabolic-elliptic type", Mathematical Methods in the Applied Sciences,

40(13), 4683–4695.(SCIE)

[3] N.T.V. Anh, T.D. Ke, "On the differential variational inequalities of parabolic-

parabolic type", submitted.

105

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] Cung Thế Anh (2012), Cơ sở lý thuyết các hệ động lực vô hạn chiều, NXB Đại

học Sư phạm, Hà Nội.

[2] Cung Thế Anh, Trần Đình Kế (2016), Nửa nhóm các toán tử tuyến tính và

ứng dụng, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội.

Tiếng Anh

[3] R.R. Akhmerov, M.I. Kamenskii, A.S. Potapov, A.E. Rodkina, B.N. Sadovskii (1992), Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Birkh¨auser, Boston-Basel-Berlin.

[4] M. Anitescu, G.D. Hart (2004), "A constraint-stabilized time-stepping ap- proach for rigid multibody dynamics with joints, contact and friction.". In- ternat. J. Numer. Methods Engrg. 60(14), 2335–2371.

[5] J.P. Aubin, A. Cellina (1984), Differential Inclusions. Set-Valued Maps and Viability Theory. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Funda- mental Principles of Mathematical Sciences], 264. Springer-Verlag, Berlin.

[6] E.P. Avgerinos, N.S. Papageorgiou (1997), "Differential variational inequalities

in RN ", Indian J. Pure Appl. Math. 28(9), 1267-1287.

[7] V. Barbu (1976), Nonlinear semigroups and differential equations in Banach

spaces, Noordhoff, Leyden.

[8] V. Barbu (1993), Analysis and control of nonlinear infinite-dimensional sys-

tems, Academic Press, Inc., Boston, MA.

[9] V. Barbu (2010), Nonlinear Differential Equations of Monotone Types in Ba-

nach Spaces , Springer Monographs in Mathematics, London.

[10] T. Basar, G.J. Olsder (1999), Dynamic Noncooperative Game Theory. SIAM

Series in Classics in Applied Mathematics (Philadelphia).

106

[11] D. Bothe (1998), "Multivalued Perturbations of m-Accretive Differential In-

clusions", Israel J. Math. 108, 109-138.

[12] K.E. Brenan, S.L. Campbell, L.R. Petzold (1996), Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential Algebraic Equations. vol. 14, SIAM Pub- lications Classics in Applied Mathematics, Philadelphia.

[13] T. Caraballo, P.E. Kloeden (2009), "Non-autonomous attractors for integro- differential evolution equations", Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S 2(1), 17-36.

[14] F.H. Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Willey, New York.

[15] M.K. Camlibel, W.P.M.H. Heemels, J.M. Schumacher (1999), "The nature of solutions to linear passive complementarity systems". In Proc. of the 38th IEEE Conference on Decision and Control, 3043-3048, Phoenix (USA).

[16] M.K. Camlibel, W.P.M.H. Heemels, J.M. Schumacher (2000), "Well-posedness of a class of linear network with ideal diodes".Proc. International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS) in Perpignan, France.

[17] M.K. Camlibel (2001), Complementarity methods in the analysis of piecewise linear dynamical systems. Ph.D. Thesis, Center for Economic Research, Tilburg University, The Netherlands.

[18] M. K. Camlibel, J.S. Pang, J. Shen (2006), "Lyapunov stability of complemen-

tarity and extended systems", SIAM J. Optim. 17(4), 1056-1101.

[19] X. Chen; Z. Wang (2014), "Differential variational inequality approach to dy- namic games with shared constraint", Math. Program. 146(1-2), 379-408.

[20] R.W. Cottle, J.S. Pang, and R.E. Stone (1992), The Linear Complementarity

Problem. Academic Press, Boston, MA.

[21] J. Diestel, W. M. Ruess, W. Schachermayer (1993), " Weak compactness in

Ll(µ, X)", Proc. Amer. Math. Soc. 118, 447 - 453.

[22] J.T.J. Eijndhoven (1986), "Solving the linear complementarity problem in cir-

cuit simulation", SIAM J. Control Optim., 24(5), 1050-1062.

[23] K.-J. Engel, R. Nagel (2000), One-parameter Semigroups for Linear Evolu- tion Equations, with contributions by S. Brendle, M. Campiti, T. Hahn, G. Metafune, G. Nickel, D. Pallara, C. Perazzoli, A. Rhandi, S. Romanelli and R. Schnaubelt. Graduate Texts in Mathematics, 194. Springer-Verlag, New York.

107

[24] A.F. Filippov (1988), Differential equations with discontinuous right hand sides, Translated from the Russian, Mathematics and its Applications (Soviet Series), Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht.

[25] J. Gwinner (2007), "On differential variational inequalities and projected dy- namical systems - equivalence and a stability result". Discrete Contin. Dyn. Syst., Dynamical systems and differential equations. Proceedings of the 6th AIMS International Conference, suppl., 467–476.

[26] J. Gwinner (2013), "A Note on Linear Differential Variational Inequalities in

Hilbert Spaces". Syst. Model. Opt. 391, 85-91.

[27] J. Gwinner (2013), "On a new class of differential variational inequalities and

a stability result".Math. Program. 139(1-2), Ser. B, 205-221.

[28] A. Halanay (1996), Differential equations, stability, oscillations, time lags, Aca-

demic Press, New York, London.

[29] A. Halanay, and Vl Rasvan (2012), Applications of Liapunov methods in sta-

bility, Vol. 245, Springer Science & Business Media.

[30] W.P.M.H. Heemels, J.M. Schumacher, S. Weiland (2000), "Linear complemen-

tarity systems", SIAM J. Appl. Math. 60, 1234–1269.

[31] W. J¨ager, S. Luckhaus (1992), "On explosions of solutions to a system of partial differential equations modelling chemotaxis". Trans. Amer. Math. Soc. 329, 819–824.

[32] Z. Jin, X. Yang (2010), "Weak solutions of a parabolic-elliptic type system for

image inpainting", ESAIM Control Optim. Calc. Var. 16, 1040–1052.

[33] M. Kamenskii, V. Obukhovskii, P. Zecca (2001), Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, in: de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, vol. 7, Walter de Gruyter, Berlin, New York.

[34] T.D. Ke, N.V. Loi, V. Obukhovskii (2015), "Decay solutions for a class of fractional differential variational inequalities", Fract. Calc. Appl. Anal. 18(3), 531-553.

[35] T.D. Ke, N.V. Loi, V. Obukhovskii, P. Zecca (2016), "Topological methods for some classes of differential variational inequalities", J. Nonlinear Convex Anal. 17(3), 403-419.

108

[36] Y. Komura (1967), "Nonlinear semigroup in Hilbert spaces", J. Math. Soc.

Japan. 19(4), 493-507.

[37] Z. Liu, N.V. Loi, V. Obukhovskii (2013), "Existence and global bifurcation of periodic solutions to a class of differential variational inequalities", Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 23(07), 1350125, 10pp.

[38] Z. Liu, S. Zeng (2017), "Differential variational inequalities in infinite Banach

spaces", Acta Math. Sci. Ser. B (Engl. Ed.) 37(1), 26-32.

[39] Z. Liu, S. Zeng, D. Motreanu (2016), "Evolutionary problems driven by vari-

ational inequalities", J. Differential Equations 260, 6787-6799.

[40] Z. Liu, S. Mig´rski, S. Zeng (2017), "Partial differential variational inequali- ties involving nonlocal boundary conditions in Banach spaces", J. Differential Equations 263(7), 3989-4006.

[41] N.V. Loi (2015), "On two-parameter global bifurcation of periodic solutions to a class of differential variational inequalities", Nonlinear Anal. 122, 83-99.

[42] L. Lu, Z. Liu, V. Obukhovskii (2019), "Second order differential variational inequalities involving anti-periodic boundary value conditions", J. Math. Anal. Appl. 473(2), 846-865.

[43] V.S. Melnik, J. Valero (1998), "On attractors of multivalued semi-flows and

differential inclusions", Set-Valued Anal. 6, 83-111.

[44] S. Migórski, S. Zeng (2018), "A class of differential hemivariational inequalities

in Banach spaces", J. Global Optim. 72(4),761-779.

[45] Y. Morita, T. Ogawa (2010), "Stability and bifurcation of nonconstant solu- tions of a reaction-diffusion system with conservation of mass". Nonlinearity 23, 1387–1411.

[46] A. Pazy (1983), Semigroups of linear operators and applications to partial dif-

ferential equations, Springer-Verlag, New York.

[47] L.R. Petzold, U.M. Ascher (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations. SIAM Publications, Philadel- phia.

[48] M. Renardy, R.C. Rogers (2004), An introduction to partial differential equa- tions. Texts in Applied Mathematics 13 (Second ed.) New York: Springer- Verlag.

109

[49] J.S. Pang, D.E. Stewart (2008), "Differential variational inequalities", Math.

Program. 113, Ser. A, 345-424.

[50] J.S. Pang, D.E. Stewart (2009), "Solution dependence on initial conditions in differential variational inequalities", Math. Program. 116(1-2), Ser. B, 429-460.

[51] B. Perthame (2015), Parabolic Equations in Biology: Growth, reaction, move- ment and diffusion, Lecture Notes on Mathematical Modelling in the Life Sci- ences, Springer.

[52] P.S. Suresh, L.T. Gerald (2006), Optimal control theory: Applications to man- agement science and economics, Springer Science and Business Media.

[53] I.I. Vrabie (1987), Compactness Methods for Nonlinear Evolutions, Pitman,

London.

[54] I.I. Vrabie (2003), C0-Semigroup and Applications, North-Holland Publishing

Co., Amsterdam.

[55] S. Zeng , Z. Liu, S. Migorski (2018), "A class of fractional differential hemi- variational inequalities with application to contact problem", Z. Angew. Math. Phys. 69(2), Art. 36, 23pp.

110