Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính bị chặn của một số toán tử trên không gian hardy kiểu mới

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:137

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích chính của luận án là nghiên cứu tính bị chặn của một số toán tử quan trọng trong giải tích điều hòa cũng như các hoán tử của chúng trên các không gian Hardy và các không gian loại Hardy. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính bị chặn của một số toán tử trên không gian hardy kiểu mới

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN DƯƠNG QUỐC HUY TÍNH BỊ CHẶN CỦA MỘT SỐ TOÁN TỬ TRÊN KHÔNG GIAN HARDY KIỂU MỚI LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN DƯƠNG QUỐC HUY TÍNH BỊ CHẶN CỦA MỘT SỐ TOÁN TỬ TRÊN KHÔNG GIAN HARDY KIỂU MỚI Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 9460102 Phản biện 1: PGS. TS. Lê Xuân Trường Phản biện 2: TS. Đào Văn Dương Phản biện 3: TS. Bùi Trọng Kiên Tập thể Hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Lương Đăng Kỳ PGS. TS. Thái Thuần Quang BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020
Lời cam đoan Luận án này được hoàn thành tại Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lương Đăng Kỳ và PGS. TS. Thái Thuần Quang. Tôi xin cam đoan rằng các kết quả được trình bày trong luận án là mới và độc đáo. Nhiều kết quả của luận án đã được công bố trên các tạp chí uy tín, có phản biện, các kết quả còn lại vẫn chưa được công bố ở bất cứ đâu. Việc sử dụng các kết quả từ các bài báo liên quan đã được sự đồng ý của các đồng tác giả. TM. Tập thể hướng dẫn Nghiên cứu sinh PGS. TS. Lương Đăng Kỳ Dương Quốc Huy i
Lời cảm ơn Trước hết, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn của mình đến hai cơ quan: Trường Đại học Tây Nguyên, nơi tôi công tác, và Trường Đại học Quy Nhơn, nơi tôi học tập và nghiên cứu trong một thời gian dài. Tôi xin cảm ơn tất cả quý thầy/cô công tác tại Phòng Đào tạo Sau đại học và Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn. Tiếp theo, tôi muốn bày tỏ sự biết ơn của mình đến PGS. TS. Thái Thuần Quang vì sự hướng dẫn của thầy trong suốt thời gian tôi học cao học và cho đến giờ khi tôi là một nghiên cứu sinh. Nhờ thầy giới thiệu mà tôi được gặp và làm việc với PGS. TS. Lương Đăng Kỳ trong một lĩnh vực có rất nhiều vấn đề hấp dẫn của giải tích điều hòa. Tôi mang ơn PGS. TS. Lương Đăng Kỳ rất nhiều vì sự giúp đỡ và những bài học vô giá từ thầy. Tôi thực sự học được cách làm toán chuyên nghiệp từ thầy và luận án này sẽ không có giá trị nếu không có sự giúp đỡ ấy. Một lần nữa tôi muốn gửi đến thầy lời cảm ơn sâu sắc nhất. Cuối cùng, tôi muốn gửi những lời cảm ơn đặc biệt cho gia đình mình và những người thân yêu. ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt vi Mở đầu 1 Chương 1. Toán tử tích phân bậc không nguyên trên không gian Hardy Musielak-Orlicz 6 1.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Trọng Muckenhoupt và một số không gian hàm . . . . . . . . . 8 1.2.1 Không gian loại thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Trọng Muckenhoupt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Hàm Musielak-Orlicz và trọng Muckenhoupt đều . . . . 10 1.2.4 Không gian Musielak-Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.5 Không gian Hardy Musielak-Orlicz . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Phân tích nguyên tử của H ϕ pRn q . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Đặc trưng phân tử của H ϕ pRn q . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Tính bị chặn của toán tử Iα trên không gian Hardy Musielak-Orlicz 20 iii
Chương 2. Ước lượng điểm cuối có trọng cho hoán tử của toán tử Calderón-Zygmund 32 2.1 Toán tử Calderón-Zygmund và hoán tử . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Không gian Hardy có trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1 Không gian BMOw,p pRn q . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.2 Tính bị chặn của hoán tử rb, T s trên không gian Hardy có trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Không gian Hardy-Orlicz có trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 w pR q . . . . . . . . . . . . . . . . . . Không gian BMOΦ n 2.3.1 48 2.3.2 Tính bị chặn của hoán tử rb, T s trên không gian Hardy- Orlicz có trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.4 Không gian Hardy Musielak-Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.4.1 Không gian BMOϕ pRn q . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.4.2 Tính bị chặn của hoán tử rb, T s trên không gian Hardy Musielak-Orlicz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Chương 3. Các đặc trưng không gian có liên hệ với các không gian đối ngẫu và tiền đối ngẫu 79 3.1 Không gian Campanato Musielak-Orlicz trên không gian loại thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.1.1 Không gian Campanato Musielak-Orlicz . . . . . . . . . 80 3.1.2 Các bất đẳng thức loại John-Nirenberg và các đặc trưng tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.1.3 Sự trùng nhau giữa BM OpX q và BM Ow pX q . . . . . . . 91 3.2 Sự hội tụ yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Chương 4. Toán tử Hausdorff đa tham số trên H 1 và Lp 100 4.1 Đặt vấn đề và các kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.2 Chuẩn của toán tử Hausdorff trên Lp . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.3 Chuẩn của toán tử Hausdorff trên H 1 . . . . . . . . . . . . . . . 106 iv
Kết luận 116 Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận án 118 Tài liệu tham khảo 119 Chỉ mục 125 v
DANH MỤC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT R : Tập hợp số thực N : Tập hợp các số tự nhiên t1, 2, . . .u Z : Tập hợp các số nguyên không âm t0, 1, 2, . . .u p1 : Lũy thừa liên hợp của p P r1, 8s, tức là, p1 pp 1 C : Hằng số dương độc lập với các tham số chính, nhưng có thể khác nhau mỗi khi xuất hiện AÀB : A ¤ CB với hằng số dương C nào đó AÁB : A ¥ CB với hằng số dương C nào đó AB : A À B và A Á B |E | : Độ đo Lebesgue của tập E Rn |β | : Tổng các thành phần của β pβ1 , . . . , βn q P Zn | | Dβ φpxq Đạo hàm riêng B φpxq với β pβ1 , . . . , βn q P Zn β : Bx ...Bx β1 1 βn n B pxB , rB q : Hình cầu có tâm xB P X và bán kính rB P p0, 8q λB pxB , rB q : Hình cầu B pxB , λrB q với λ ¡ 0 fB : Trung bình của f trên B fB,w : Trung bình có trọng của f trên B wpE q : Tích phân Lebesgue của w trên tập E ϕpE, tq : Tích phân Lebesgue của ϕp, tq trên tập E χE : Hàm đặc trưng của tập E Ec : Phần bù của E trong Rn ipΦq, I pΦq : Kiểu dưới và kiểu trên tới hạn của Φ ipϕq, I pϕq : Kiểu dưới và kiểu trên tới hạn của ϕ qw , rw : Lũy thừa trọng tới hạn của w q pϕq, rpϕq : Các lũy thừa trọng tới hạn của ϕ q 1 pϕq, r1 pϕq : Các lũy thừa liên hợp của q pϕq và rpϕq F, x : Biến đổi Fourier Rj : Biến đổi Riesz thứ j ∇ : Toán tử gradient pB{Bx1, ..., B{Bxnq T : Toán tử Calderón-Zygmund cổ điển Iα : Toán tử tích phân bậc không nguyên Hϕ : Toán tử Hausdorff đa tham số vi
Hj : Biến đổi Hilbert ứng với biến thứ j X : Không gian loại thuần nhất Aq pRn q : Lớp trọng Muckenhoupt Aq trên Rn A8 pRn q : Tập hợp q Pr1,8q Aq pRnq Aq pX q : Lớp trọng Muckenhoupt Aq trên X A8 pX q : Tập hợp q Pr1,8q Aq pX q Aq pRn q : Lớp trọng Muckenhoupt Aq đều trên Rn A8 pRn q : Tập hợp q Pr1,8q Aq pRnq Aq pX q : Lớp trọng Muckenhoupt Aq đều trên X A8 pX q : Tập hợp q Pr1,8q Aq pX q RHr pRn q : Lớp H¨older ngược RHr trên Rn RHr pX q : Lớp H¨older ngược RHr trên X RHr pRn q : Lớp H¨older ngược RHr đều trên Rn RHr pX q : Lớp H¨older ngược RHr đều trên X Lp pRn q : Không gian Lebesgue các hàm bậc p khả tích Lpw pRn q : Không gian Lebesgue có trọng các hàm bậc p khả tích w pR q LΦ n : Không gian Orlicz có trọng Lϕ pRn q : Không gian Musielak-Orlicz S pRn q : Lớp Schwartz các hàm thử trên Rn S 1 pRn q : Không gian các phân bố trên Rn H 1 pRn q : Không gian Hardy H 1 pRn q h1 pRn q : Không gian Hardy địa phương h1 pRn q H p pRn q : Không gian Hardy H p pRn q Hwp pRn q : Không gian Hardy có trọng Hwp pRn q HwΦ pRn q : Không gian Hardy-Orlicz có trọng HwΦ pRn q H ϕ pRn q : Không gian Hardy Musielak-Orlicz H ϕ pRn q ϕ,q,s Hat pRnq : Không gian Hardy nguyên tử loại Musielak-Orlicz ϕ,q,s Hfin pRnq : Không gian véc-tơ tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các pϕ, q, sq-nguyên tử q,s,ε Hϕ,mol pRn q : Không gian Hardy Musielak-Orlicz phân tử H 1 pR Rq : Không gian Hardy hai tham số H 1 pR Rq: Không gian Hardy n-tham số BM OpRn q : Không gian các hàm có dao động trung bình bị chặn vii
V M OpRn q : Không gian các hàm có dao động trung bình suy biến bmopRn q : Không gian các hàm có dao động trung bình địa phương bị chặn vmopRn q : Không gian các hàm có dao động trung bình địa phương suy biến Lϕ,q,s pRn q : Không gian Campanato Musielak-Orlicz trên Rn Lϕ,q pX q : Không gian Campanato Musielak-Orlicz trên X Cc pRn q : Không gian các hàm liên tục có giá compact trong Rn f : Hàm cực đại lớn không tiếp xúc của phân bố f Mφ f : Hàm cực đại của phân bố f t.ư. : Tương ứng tr. : Trang viii
Mở đầu Mục đích chính của luận án là nghiên cứu tính bị chặn của một số toán tử quan trọng trong giải tích điều hòa cũng như các hoán tử của chúng trên các không gian Hardy và các không gian loại Hardy. Chúng tôi đặc biệt quan tâm đến các nghiên cứu như vậy trên các không gian Hardy Musielak-Orlicz H ϕ pRn q đã được giới thiệu và nghiên cứu bởi Ky [46] vào năm 2014. Nói riêng, khi các toán tử và không gian hàm đủ tốt, chúng tôi sẽ cố gắng đưa ra các chuẩn chính xác của chúng. Việc giải các bài toán này dẫn dắt một cách tự nhiên đến việc nghiên cứu các đặc trưng không gian hàm của các không gian Hardy Musielak-Orlicz H ϕ pRn q mà nó bao gồm các tính chất nội tại của không gian và các đặc trưng có liên quan đến không gian đối ngẫu và không gian tiền đối ngẫu của nó. Để đạt được các mục đích này, ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình của tác giả và các tài liệu tham khảo, luận án được sắp xếp thành 4 chương: • Chương 1: Toán tử tích phân phân số trên không gian Hardy Musielak- Orlicz. • Chương 2: Ước lượng điểm cuối có trọng cho hoán tử của toán tử Calderón-Zygmund. • Chương 3: Các đặc trưng không gian có liên hệ với các không gian đối ngẫu và không gian tiền đối ngẫu. • Chương 4: Toán tử Hausdorff đa tham số trên H 1 và Lp . Trong Chương 1, chúng tôi nghiên cứu tính bị chặn của các toán tử tích phân phân số Iα , 0 α n, giữa các không gian Hardy Musielak-Orlicz H ϕ pRn q. Bài toán này đã được xem xét lần đầu tiên bởi Hardy, Littlewood và Sobolev giữa các không gian Lebesgue Lp pRn q; và sau đó, nó đã được tổng quát đến các bối cảnh khác nhau của các không gian hàm, xem [1, 15, 61, 64, 68, 71]. Gần đây, năm 2013, Cao và cộng sự [12] đã đưa ra một điều kiện đủ cho tính bị chặn của toán tử Iα giữa các không gian Orlicz-Hardy có trọng HwΦ pRn q. Ngoài việc 1
được tạo cảm hứng bởi các công trình trên, một lí do quan trọng khác thúc đẩy nghiên cứu này xuất phát từ chính các không gian H ϕ pRn q mà chúng có liên hệ mật thiết với việc nghiên cứu tích theo từng điểm của các hàm trong H 1 pRn q và BM OpRn q. Cụ thể hơn, năm 2007, Bonami, Iwaniec, Jones và Zinsmeister đã chỉ ra trong [6] rằng tích này có thể được phân tích thành tổng của một hàm khả tích và một hàm thuộc không gian Hardy-Orlicz có trọng HwΦ pRn q. Ở đây, hàm Orlicz Φ và trọng Muckenhoupt w được cho bởi t Φptq , @t P r0, 8q, logpe tq và 1 wpxq , @x P Rn . logpe |x|q Tuy nhiên, không gian HwΦ pRn q không phải là không gian tốt nhất cho phân tích này. Năm 2012, Bonami, Grellier và Ky [5] đã giới thiệu không gian H log pRn q mà nó là không gian tốt nhất cho phân tích này theo nghĩa là người ta không thể thay thế nó bởi một không gian nhỏ hơn. Không gian H log pRn q là một ví dụ tự nhiên của các không gian Hardy rất tổng quát loại Musielak-Orlicz H ϕ pRn q đã được giới thiệu và nghiên cứu bởi Ky trong [46]. Trong khi hầu hết các kết quả nghiên cứu về các toán tử Iα chỉ cung cấp các điều kiện đủ cho tính bị chặn, các kết quả chính của chúng tôi trong chương này cung cấp các điều kiện cần và đủ cho tính bị chặn của các toán tử này. Kết quả của chúng tôi tổng quát hơn nhiều so với kết quả của Cao và cộng sự [12] thậm chí trong trường hợp các không gian Orlicz-Hardy có trọng. Thay vì tiếp tục với việc nghiên cứu các hoán tử rb, Iα s của các BMO-hàm b và các toán tử tích phân phân số Iα , chúng tôi xét bài toán thú vị hơn sau đây. Cho b là một BMO-hàm và T là một toán tử Calderón-Zygmund. Một định lí cổ điển của Coifman, Rochberg và Weiss [17] phát biểu rằng hoán tử tuyến tính rb, T s bị chặn trên các không gian Lebesgue LppRnq với mọi p P p1, 8q. Điểm gây bất ngờ trong chứng minh của định lí này là người ta không thể sử dụng lí thuyết nội suy bởi vì nó không có tính chất p1, 1q kiểu yếu (xem [65] để biết chi tiết). Thay vào đó, một lí thuyết điểm cuối được nảy sinh cho các toán tử này. Năm 2013, Ky [45] đã đưa ra một toán tử song tuyến tính R : RT ánh xạ liên tục H 1 pRn q BM OpRn q vào L1 pRn q sao cho rb, T spf q Rpf, bq T pSpf, bqq, () 2
trong đó S là một toán tử song tuyến tính bị chặn từ H 1 pRn q BM OpRn q vào L1 pRn q và nó độc lập với T . Phân tích song tuyến tính () cho ta một cái nhìn tổng quan về tất cả các ước lượng điểm cuối đã biết. Hơn nữa, Ky cũng đã chỉ ra không gian con lớn nhất của H 1 pRn q sao cho tất cả các hoán tử rb, T s của các toán tử Calderón-Zygmund bị chặn từ không gian con này vào L1 pRn q. Một tình huống tương tự cũng có thể xuất hiện trong các không gian Hardy có trọng Hwp pRn q. Tuy nhiên, rất gần đây, Liang, Ky và Yang đã chỉ ra trong [52] một không gian con thực sự BMOw pRn q của BM OpRn q sao cho hoán tử rb, T s bị chặn từ Hw1 pRnq vào L1w pRnq nếu và chỉ nếu b P BMOw pRnq. Hơn nữa, họ cũng đã nhận được tính bị chặn của rb, T s trên Hw1 pRn q khi b P BMOw pRn q và T có thêm tính chất T 1 0. Do đó, một vấn đề tự nhiên là mở rộng các kết quả này tới các không gian Hardy có trọng Hwp pRn q với p P p0, 1s thích hợp. Chính xác hơn, chúng tôi tìm một không gian con thực sự BMOw,p pRn q của BM OpRn q sao cho hoán tử rb, T s bị chặn từ Hwp pRn q vào Lpw pRn q nếu và chỉ nếu b P BMOw,p pRn q. Tương tự, chúng tôi cũng tìm các không gian con thực sự BMOΦ w pR q (t.ư., BMO ϕ pR q) của BM O pR q sao cho hoán tử rb, T s bị chặn n n n từ các không gian Hardy-Orlicz có trọng HwΦ pRn q (t.ư., các không gian Hardy Musielak-Orlicz H ϕ pRn q) vào các không gian Orlicz có trọng LΦ w pR q (t.ư., các n không gian Musielak-Orlicz Lϕ pRn q). Một điểm thú vị khác của bài toán này khi xét trên các không gian Hardy-Orlicz có trọng hoặc trên các không gian Hardy Musielak-Orlicz là ta phải chỉ ra tính bị chặn của các toán tử Calderón- Zygmund trên các không gian này mà chúng là các kết quả mới. Phương pháp được sử dụng để chứng minh các kết quả này là lí thuyết nội suy thay vì lí thuyết điểm cuối. Tất cả các nội dung vừa đề cập ở trên sẽ được chúng tôi trình bày trong Chương 2. Các công cụ chính để chúng tôi nghiên cứu tính bị chặn của toán tử Iα trong Chương 1 và các hoán tử rb, T s trong Chương 2 là các phân tích nguyên tử và các đặc trưng phân tử của các không gian Hardy Musielak-Orlicz H ϕ pRn q. Chúng tôi tiếp tục với các nghiên cứu sâu hơn về tính chất không gian mà chúng có liên hệ với các không gian đối ngẫu và không gian tiền đối ngẫu của H ϕ pRn q trong Chương 3. Trước hết, các không gian đối ngẫu của các không gian H ϕ pRn q là các không gian BM Oϕ pRn q đã được giới thiệu và nghiên cứu bởi Ky [46] vào năm 2014 cho trường hợp mpϕq : rnp qippϕϕqq 1qs 0, trong đó ϕ là một hàm tăng 3
trưởng và rxs là phần nguyên của x. Mở rộng trường hợp này tới mpϕq P N, năm 2013, Liang và Yang [53] đã đưa ra các không gian Campanato Musielak-Orlicz Lϕ,q,s pRn q, trong đó q P r1, 8q và s P Z . Ở đó, các tác giả đã thiết lập các bất đẳng thức loại John-Nirenberg cho các hàm thuộc Lϕ,1,s pRn q. Ngoài ra, họ cũng đã nhận được một số đặc trưng tương đương của Lϕ,q,s pRn q. Chúng tôi tổng quát các kết quả này bằng cách thay thế không gian nền Rn bởi không gian loại thuần nhất X. Chính xác hơn, chúng tôi đã giới thiệu các không gian Campanato Musielak-Orlicz Lϕ,q pX q trên các không gian loại thuần nhất và đã chỉ ra một số đặc trưng không gian về bất đẳng thức loại John-Nirenberg cho các không gian này. Như một ứng dụng của các kết quả này, chúng tôi chứng minh các không gian BM OpX q và BM Ow pX q trùng nhau khi w P A8pX q. Tiếp theo, chúng tôi khảo sát sự hội tụ yếu trong không gian Hardy địa phương h1 pRn q. Bài toán này đã được xem xét lần đầu tiên bởi Coifman và Weiss [18] trong không gian H 1 pRn q. Cụ thể hơn, nếu ta ký hiệu V M OpRn q là bao đóng của không gian Cc pRn q các hàm liên tục có giá compact trong BM OpRn q thì Coifman và Weiss đã chỉ ra trong [18] rằng H 1 pRn q là không gian đối ngẫu của V M OpRn q. Hơn nữa, sự hội tụ yếu đúng trong H 1 pRn q. Sự kiện này rất hữu ích trong ứng dụng của các không gian Hardy vào tính compact bù (xem [16]) và trong nghiên cứu các ước lượng điểm cuối đối với hoán tử của các toán tử tích phân kỳ dị (xem [45, 47]). Gần đây, Dafni đã chứng minh trong [19] rằng không gian Hardy địa phương h1 pRn q của Goldberg [27] thực tế là không gian đối ngẫu của vmopRn q, bao đóng của Cc pRn q trong bmopRn q. Hơn nữa, sự hội tụ yếu đúng trong h1 pRn q. Chúng tôi đưa ra các chứng minh rất đơn giản cho hai kết quả trên của Dafni. Cần nói thêm rằng phương pháp của chúng tôi khác với phương pháp của Dafni và ta có thể mở rộng nó để sử dụng cho các không gian loại thuần nhất. Chương 4 được dành cho việc trình bày bài toán tìm chuẩn chính xác của các toán tử Hausdorff đa tham số Hϕ trên các không gian Hardy đa tham số H 1 pR Rq và trên các không gian Lebesgue Lp pRn q với p P r1, 8s. Nhắc lại rằng trong thiết lập hai tham số, Liflyand và Móricz đã chứng tỏ trong [57] rằng Hϕ bị chặn trên H 1 pR Rq miễn là ϕ P L1 pp0, 8q2 q. Trong thiết lập n-tham số, một trong các kết quả quan trọng của Weisz (xem [78, Định lí 7]) khẳng định ±n rằng Hϕ bị chặn trên H 1 pR Rq miễn là ϕpt1 , . . . , tn q i1 ϕi ptiq trong 4
đó ϕi P L1pRq với mọi 1 ¤ i ¤ n. Năm 2015, trong thiết lập hai tham số, Fan và Zhao đã chỉ ra trong [21] rằng điều kiện ϕ P L1 pp0, 8q2 q cũng là điều kiện cần cho tính H 1 pR Rq-bị chặn của Hϕ nếu ϕ là hàm không âm. Tuy nhiên, dường như ta không thể sử dụng phương pháp của Fan-Zhao để thu được chuẩn chính xác của Hϕ trên không gian H 1 pR Rq. Vì vậy, trong thiết lập n-tham số, một câu hỏi tự nhiên nảy sinh là: Ta có thể tìm chuẩn chính xác của Hϕ trên H 1 pR Rq hay không? Rất gần đây, trong thiết lập một tham số, câu hỏi này đã được giải quyết bởi Hung, Ky và Quang [32]. Chúng tôi mở rộng các kết quả này bằng cách đưa ra đặc trưng của các hàm hạch không âm ϕ để các toán tử Hausdorff đa tham số Hϕ được sinh bởi ϕ bị chặn trên các không gian Lebesgue Lp pRn q với p P r1, 8s và trên không gian Hardy đa tham số H 1 pR Rq; hơn nữa, chúng tôi cũng đưa ra các chuẩn tương ứng của chúng. Luận án được viết dựa trên các ấn phẩm [31, 34, 35] và các tiền ấn phẩm [36–39]. Nhiều kết quả của luận án đã được báo cáo tại: • Hội nghị Toán học Miền Trung-Tây Nguyên lần thứ 2, Trường Đại học Đà Lạt, tháng 12 năm 2017. • Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ 9 - Nha Trang, tháng 8 năm 2018. • Seminar tại Khoa Toán, Trường Đại học Quy Nhơn, tháng 3 năm 2019. • Hội nghị Toán học Miền Trung-Tây Nguyên lần thứ 3, Trường Đại học Tây Nguyên, tháng 8 năm 2019. 5
Chương 1 Toán tử tích phân bậc không nguyên trên không gian Hardy Musielak-Orlicz Trong chương này, chúng tôi nhắc lại khái niệm không gian loại thuần nhất theo nghĩa của Coifman và Weiss [18], sau đó đưa ra khái niệm hàm tăng trưởng trên lớp không gian này. Dựa vào đó, chúng tôi nhắc lại định nghĩa của không gian Hardy Musielak-Orlicz được giới thiệu và nghiên cứu bởi Ky [46]. Cuối cùng, nhưng cũng là mục tiêu chính của chương này, chúng tôi thiết lập một số điều kiện cần và đủ cho tính bị chặn của toán tử tích phân bậc không nguyên Iα giữa các không gian Hardy Musielak-Orlicz cũng như từ một không gian Hardy Musielak-Orlicz H ϕ1 pRn q vào một không gian Musielak-Orlicz Lϕ2 pRn q. Các kết quả của chương này được trích dẫn chủ yếu từ [36]. 1.1 Đặt vấn đề Cho α P p0, nq và Iα là toán tử tích phân bậc không nguyên được định nghĩa đối với các hàm thích hợp f trên Rn bởi công thức » f py q Iα f pxq @x P R n . Rn |x y|nα dy, Một kết quả cổ điển của Hardy, Littlewood và Sobolev (xem, chẳng hạn, [71]) phát biểu rằng Iα ánh xạ liên tục Lp pRn q vào Lq pRn q nếu 1 p n α và 6
1 q p1 αn . Từ đó, kết quả này đã được tổng quát đến các không gian hàm khác nhau như là không gian Lorentz, không gian Orlicz, không gian Morrey và các không gian khác (xem [1, 15, 61, 64, 68]). Hơn nữa, Iα không bị chặn từ Lp pRn q vào Lq pRn q khi 0 p ¤ 1 và 1 q p1 αn . Trong trường hợp này, các không gian Hardy và không gian loại Hardy là các thay thế tốt cho các không gian Lebesgue Lp pRn q khi nghiên cứu tính bị chặn của Iα . Cụ thể hơn, Taibleson và Weiss đã chứng minh trong [74] rằng Iα ánh xạ liên tục H p pRn q vào H q pRn q khi 0 p ¤ 1 và 1 q p1 αn . Kết quả này đã được mở rộng đến phiên bản có trọng bởi Str¨omberg và Wheeden [73]. Vào năm 2013, Cao và cộng sự [12] đã đưa ra một điều kiện đủ cho tính bị chặn của Iα giữa các không gian Orlicz-Hardy có trọng HwΦ pRn q bao gồm các không gian Hardy-Orlicz cổ điển của Janson [42] (wpxq 1 trong trường hợp này) và các không gian Hardy có trọng cổ điển của García-Cuerva [24], Str¨omberg và Torchinsky [70] (Φptq tp với p P p0, 1s và 1{p w v với v P A8pR q trong trường hợp này). n Rất gần đây, khi nghiên cứu tích theo từng điểm của một hàm trong BM OpRn q và một hàm trong H 1 pRn q, Bonami, Grellier và Ky [5] đã giới thiệu không gian Hardy-Orlicz kiểu mới H log pRn q. Không gian H log pRn q xuất hiện một cách tự nhiên như là một trường hợp đặc biệt của các không gian Hardy Musielak-Orlicz H ϕ pRn q được đề xuất trong [46] bởi Ky. Các không gian H ϕ pRn q tổng quát hơn nhiều so với các không gian Orlicz-Hardy có trọng HwΦ pRn q của Cao và cộng sự. Do đó, một câu hỏi tự nhiên là toán tử Iα có bị chặn giữa các không gian Hardy Musielak-Orlicz H ϕ pRn q hay không? Mục tiêu chính của chúng tôi ở đây là đưa ra một câu trả lời khẳng định cho câu hỏi trên. Cụ thể hơn, chúng tôi cung cấp một điều kiện mà nó không chỉ là điều kiện đủ mà còn là điều kiện cần cho tính bị chặn của Iα giữa các không gian Hardy Musielak-Orlicz. Kết quả chính của chúng tôi tổng quát hơn nhiều so với kết quả của Cao và cộng sự [12] thậm chí trong trường hợp các không gian Orlicz-Hardy có trọng HwΦ pRn q (xem Định lí 1.4.1 và Nhận xét 1.4.2(iii)). Chúng tôi sử dụng phân tích nguyên tử và đặc trưng phân tử của các không gian Hardy Musielak-Orlicz để chứng minh kết quả này. Cũng cần nói thêm rằng lí thuyết phân tích nguyên tử của các không gian Hardy Musielak-Orlicz H ϕ pRn q đã được đề xuất bởi Ky [46] vào năm 2014; sau đó, nó đã được cải tiến bởi Bonami và cộng sự [8] (cũng xem [80]). Trong khi đó, đặc trưng phân tử 7
của các không gian Hardy Musielak-Orlicz H ϕ pRn q đã được phát triển bởi Hou và cộng sự [30] vào năm 2013. Để phát biểu và chứng minh các kết quả chính của chương, ta cần nhắc lại một số định nghĩa, khái niệm và kết quả bổ trợ cần thiết trong hai mục tiếp theo. Hơn nữa, các kiến thức này cũng là các kiến thức cơ sở sẽ được sử dụng trong các chương sau. 1.2 Trọng Muckenhoupt và một số không gian hàm Trong mục này, chúng tôi nhắc lại khái niệm không gian loại thuần nhất, lớp trọng Muckenhoupt và đưa ra khái niệm hàm tăng trưởng trên không gian loại thuần nhất. Từ đó, chúng tôi giới thiệu lớp trọng Muckenhoupt đều, không gian Musielak-Orlicz và không Hardy Musielak-Orlicz. 1.2.1 Không gian loại thuần nhất Một hàm tựa metric d trên tập khác rỗng X là một hàm đối xứng, không âm và thỏa mãn hai điều kiện sau: (i) dpx, y q 0 nếu và chỉ nếu x y; (ii) tồn tại hằng số κ1 ¥ 1 sao cho với mọi x, y, z thuộc X, ta có dpx, y q ¤ κ1 rdpx, z q dpy, z qs. Ta giả sử mọi hình cầu B px, rq : tyP X : dpx, yq ru có tâm x và bán kính r ¡ 0 là tập mở. Do đó, các hình cầu tB px, rq : r ¡ 0u tạo thành một cơ sở lân cận mở của điểm x. Cho µ là một độ đo Borel chính quy trên X. Ta nói rằng độ đo µ thỏa mãn tính chất kép nếu tồn tại một hằng số κ2 ¡ 1 sao cho µpB px, 2rqq ¤ κ2 µpB px, rqq (1.1) với mọi x P X và r P p0, 8q. Nói riêng, ta giả sử µpB px, rqq ¡ 0 mỗi khi r ¡ 0. 8
Định nghĩa 1.2.1 ([18, tr. 587]). Tập hợp X được trang bị tựa metric d và độ đo Borel chính quy µ có tính chất kép được gọi là một không gian loại thuần nhất. °n 1{2 Ví dụ 1.2.2 ([18, tr. 588]). (i) X Rn, dpx, yq i1 pxi yiq2 và µ là độ đo Lebesgue. °n (ii) X Rn, dpx, yq i1 |xi yi|α i với các αi là các số dương và µ là độ đo Lebesgue. (iii) Ví dụ (i) có thể được tổng quát hơn nữa bằng cách xét X và d như trong (ii) và độ đo µ thỏa mãn (1.1). Một lớp quan trọng các độ đo như vậy có dạng dµpxq rdpx, 0qsβ dx với β ¡ 0 và dx là độ đo Lebesgue trong Rn. (iv) X r1, 1s, d là khoảng cách thông thường và µ là độ đo Lebesgue cho bởi dµpxq p1 xqα p1 xqβ dx với α, β ¡ 1. (v) X tr P R : r ¥ 0u, dµprq rn1dr và d là khoảng cách thông thường. Sau đây, ta luôn giả thiết X là không gian loại thuần nhất với các cấu trúc như trong Định nghĩa 1.2.1. 1.2.2 Trọng Muckenhoupt Một hàm khả tích địa phương không âm w được gọi là thuộc lớp trọng Muckenhoupt Aq pRn q với q P r1, 8q, ký hiệu w P Aq pRnq, nếu » " » * q 1 rwsAq pRnq : supn |B1 | wpxq dx 1 |B | rwpyqs1{pq1q dy 8 (1.2) B R B B khi q P p1, 8q hoặc » rwsA1pRnq : supn |B1 | wpxq dx ess sup rwpy qs1 8 (1.3) B R B y PB khi q 1. Ở đây các supremum được lấy trên tất cả các hình cầu B Rn và ký hiệu |B | là độ đo Lebesgue của hình cầu B. Ta có thể kiểm tra một cách trực tiếp các bao hàm thức A1 pRn q Ap pRn q Aq pRn q với mọi 1 p q 8. 9
Hơn nữa, theo [26, Định lí 2.6, tr. 399], nếu w P Aq pRnq với q P p1, 8q thì tồn tại p P p1, q q sao cho w P AppRnq. Đặt ¤ A8 pRn q Aq pRn q. q Pr1,8q older ngược RHr pRn q với r Một trọng w được gọi là thuộc lớp H¨ P p1, 8s, ký hiệu w P RHr pRnq, nếu tồn tại hằng số dương C sao cho với mọi hình cầu B Rn, ta có " » *1{r » 1 |B | rwpxqs dx r ¤ C |B1 | wpxqdx. B B Hơn nữa, nếu w P A8pRnq thì tồn tại q P r1, 8q và r P p1, 8q sao cho w P Aq pRn q X RHr pRn q (xem, chẳng hạn, [26, Chương IV, Bổ đề 2.5]) và tồn tại các hằng số dương C1 ¤ C2 , chỉ phụ thuộc vào rwsA pR q , sao cho với mọi tập đo q n được E B, ta có C1 |E | q ¤ wpE q ¤ C |E | pr1q{r (1.4) |B | wpB q 2 |B | (xem, chẳng hạn, [26, Chương IV, (1.6) và Định lí 2.9]). Ngoài ra, ta đặt qw : inf tq P r1, 8q : w P Aq pRnqu và rw : suptr P p1, 8s : w P RH r pRnqu và gọi chúng là các lũy thừa trọng tới hạn của w. Các định nghĩa và kết quả ở trên có thể được mở rộng một cách trực tiếp đến không gian loại thuần nhất bằng cách thay không gian nền Rn bởi không gian loại thuần nhất X (xem [70, Chương I] để biết thêm chi tiết). 1.2.3 Hàm Musielak-Orlicz và trọng Muckenhoupt đều Hàm φ : r0, 8q Ñ r0, 8q được gọi là Orlicz nếu nó không giảm và thỏa mãn các điều kiện sau: φp0q 0, φptq ¡ 0 khi t ¡ 0 và tlim φptq 8. Hàm Orlicz φ Ñ8 được gọi là có tính chất p kiểu dưới (t.ư., kiểu trên) nếu tồn tại hằng số dương C sao cho φpstq ¤ Csp φptq 10