Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính ổn định của một số lớp hệ vi phân có trễ và ứng dụng trong các mô hình sinh thái

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

——————–o0o———————

ĐOÀN THÁI SƠN

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP

HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ VÀ ỨNG DỤNG TRONG

CÁC MÔ HÌNH SINH THÁI

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI-2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

——————–o0o———————

ĐOÀN THÁI SƠN

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN CÓ TRỄ

VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC MÔ HÌNH SINH THÁI

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 9 46 01 03

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Tập thể hướng dẫn khoa học:

1. PGS.TS LÊ VĂN HIỆN

2. TS. TRỊNH TUẤN ANH

HÀ NỘI-2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn

thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Văn Hiện và TS. Trịnh Tuấn Anh.

Các kết quả trình bày trong luận án là trung thực, đã được sự nhất trí của các

đồng tác giả khi đưa vào luận án và chưa từng được công bố trong công trình,

luận văn, luận án nào khác.

Tác giả

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện tại bộ môn Giải tích, khoa Toán-Tin, trường

Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lê Văn Hiện

và TS Trịnh Tuấn Anh. Tôi xin tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các

thầy, đặc biệt là PGS.TS Lê Văn Hiện, đã có những định hướng đúng đắn và

chỉ dẫn sát sao cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành

luận án này. Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin

tưởng của các thầy dành cho tác giả là nguồn động lực lớn lao đem lại niềm say

mê, giúp tác giả vượt qua những khó khăn trong nghiên cứu.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà

Nội, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Toán-Tin cùng các thầy giáo, cô

giáo trong bộ môn Giải tích đã luôn giúp đỡ, động viên, tạo môi trường thuận

lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu của mình. Đồng thời, tôi cũng

xin chân thành cảm ơn các bạn nghiên cứu sinh và các thành viên trong xemina

Phương trình vi phân và tích phân của bộ môn Giải tích đã quan tâm, trao đổi

và góp ý cho tôi trong quá trình học tập và làm luận án.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc Sở Giáo dục và Đào tạo

Hải Phòng, Ban Giám hiệu trường Trung học phổ thông Chuyên Trần Phú, các

thầy giáo, cô giáo và các bạn đồng nghiệp tại tổ Toán-Tin, trường Trung học

phổ thông Chuyên Trần Phú, đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và động

viên tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Sau cùng, tôi xin dành những tình cảm và lòng biết ơn chân thành tới gia

đình, những người luôn yêu thương, chia sẻ, động viên tôi vượt qua khó khăn

để hoàn thành luận án này.

Tác giả

MỤC LỤC

Trang

Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. SƠ BỘ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.1. M-ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2. Hệ phương trình vi phân có trễ và tính ổn định Lyapunov . . . . . 16

1.3. Tính ổn định trong thời gian hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.1. Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn . . . . . . . . . . 18

1.3.2. Mối liên hệ giữa tính ổn định trong thời gian hữu hạn với

tính ổn định theo Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.3. Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của lớp hệ tuyến tính

với trễ hỗn hợp biến thiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4. Tính tiêu hao của một số lớp phương trình vi phân có trễ . . . . . 22

1.4.1. Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halanay và một số cải biên 23

1.4.2. Tính tiêu hao của một lớp phương trình vi phân với trễ tỉ

lệ: Cách tiếp cận bằng phương pháp đổi biến . . . . . . . . . 25

1.5. Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5.1. Đạo hàm Dini

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.5.2. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI

PHÂN MÔ TẢ MẠNG NƠRON HOPFIELD VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN

VÀ TRỄ TỈ LỆ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1. Mô hình mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ

. . . . . . . . . . . . . . 28

2.2. Tính ổn định hữu hạn của mô hình mạng nơron Hopfield với hệ số

biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất

. . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3. Dáng điệu tiệm cận: Sự đồng bộ nghiệm của mô hình (2.1) . . . . . 34

2.4. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.5. Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3. TÍNH TIÊU HAO CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ

TẢ MẠNG NƠRON KHÔNG DỪNG CHỨA TRỄ TỈ LỆ . . . . . . . . 43

3.1. Thiết lập sơ bộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2. Tính tiêu hao toàn cục của mô hình (3.1) . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.1. Trường hợp hệ số phản hồi chính quy . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.2. Trường hợp hệ số phản hồi suy biến . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4. Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4. TÍNH HÚT TOÀN CỤC CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN DƯƠNG CỦA

MỘT MÔ HÌNH NICHOLSON CÓ TRỄ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1. Kết quả sơ bộ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2. Nghiệm dương toàn cục và tính bền vững . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.1. Sự tồn tại của nghiệm dương toàn cục . . . . . . . . . . . . . 64

4.2.2. Tính bền vững đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.3. Tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương . . . . . . . . . . . 69

4.4. Điểm cân bằng dương và tính hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . 75

4.5. Ví dụ và mô phỏng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.6. Kết luận Chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Danh mục công trình công bố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

Tập hợp n số nguyên dương đầu tiên

Tập các số thực không âm

1, 2, . . . , n } { b là biểu thức định nghĩa của a

Không gian Euclide n chiều

[n] a , b R+ Rn

, chuẩn max của vectơ x = (xi)

Tập hợp các ma trận cấp m

Ma trận chuyển vị của ma trận A

x xi maxi [n] | ∈ | ∈ k∞ n k Rm n ×

A⊤

Sn +

x A > 0 ∀ 6

Ma trận A xác định dương, tức là x⊤Ax > 0, = 0 Tập các ma trận đối xứng xác định dương trong Rn × Ma trận đơn vị trong Rn n ×

Ma trận chéo với các phần tử a1, a2, . . . , an trên đường chéo

Phần tử tại dòng i và cột j của ma trận A

diag a1, . . . , an } { [A]ij

Ma trận không âm, tức là [A]ij

Ma trận dương, tức là [A]ij > 0 với mọi i, j Rn và y = (yi)

Rn, ξ

A 0 0 với mọi i, j (cid:23) ≥ A 0 ≻ y x xi yi, ≥ ∈ ∈ ∈ x [n], với x = (xi) Rn : x 0 i ∀ Orthant dương (cid:23) Rn + { (cid:23) 0 ξ+ (t.ư. ξ+) ∈ λ(A) ∈ } [n] ξi) với ξ [n] ξi (t.ư. mini maxi ≻ ∈ ∈ Tập hợp các giá trị riêng của ma trận A

, min Tập các hàm giá trị trong Rn liên tục trên [a, b]

v(t)

−

Reλ : λ Reλ : λ λ(A) λ(A) ∈ ∈ { } { } λmax(A), λmin(A) max C([a, b], Rn)

, đạo hàm Dini trên bên phải.

v(t+h) h

→

D+v(t) lim suph

MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài

Lý thuyết định tính các phương trình vi phân nói chung, lý thuyết ổn định

nghiệm nói riêng, là một hướng nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết điều

khiển hệ thống, góp phần giải quyết nhiều vấn đề đặt ra trong thực tiễn ứng

dụng từ cơ học, vật lý, hóa học, công nghệ thông tin đến các mô hình trong sinh

thái học quần thể, kinh tế và môi trường [1, 21]. Trong thực tiễn, rất nhiều mô

hình ứng dụng được mô tả bởi các lớp phương trình vi phân có trễ [12, 31, 38].

Sự xuất hiện của các độ trễ này ảnh hưởng đến dáng điệu tiệm cận nghiệm của

hệ nói chung và tính ổn định, một trong những tính chất phổ dụng của các hệ

trong các mô hình ứng dụng, nói riêng. Vì vậy, bài toán nghiên cứu tính ổn định

của các hệ phương trình vi phân có trễ và ứng dụng nó trong các mô hình thực

tiễn đã và đang là vấn đề nghiên cứu có tính thời sự thu hút sự quan tâm của

nhiều tác giả trong và ngoài nước trong những năm gần đây [13].

Đối với các lớp hệ có cấu trúc tương đối đơn giản như lớp hệ tuyến tính

dừng, hệ có trễ hằng số vv, phương pháp hàm Lyapunov là một công cụ quan

trọng và hiệu quả để nghiên cứu tính ổn định. Bằng việc xây dựng các phiếm

hàm Lyapunov-Krasovskii phù hợp, các điều kiện ổn định của hệ được thiết lập

thông qua các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs). Khi đó, các công cụ

giải số và một số thuật toán tối ưu lồi được vận dụng để tìm nghiệm chấp nhận

được của lớp điều kiện LMIs đó đảm bảo tính ổn định của hệ.

Tuy nhiên, nhiều lớp hệ từ các mô hình thực tiễn và nhân tạo, nhất là

các hệ trong sinh thái, thường có cấu trúc rất phức tạp, dạng phi tuyến không

dừng [30]. Việc nghiên cứu tính chất định tính nói chung, tính ổn định nói riêng,

cho các lớp hệ như vậy đòi hỏi phải tiếp tục phát triển các công cụ và phương

pháp nghiên cứu đặc thù. Nhiều vấn đề mở trong hướng nghiên cứu về lý thuyết

định tính và dáng điệu tiệm cận nghiệm nói chung, tính ổn định nói riêng, đối

với các hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ, đặc biệt là lớp phương trình

mô tả các mô hình trong sinh thái học, cần tiếp tục được nghiên cứu và phát

triển. Đó cũng là lí do và là động lực chính chúng tôi chọn chủ đề nghiên cứu về

tính ổn định của các hệ phương trình vi phân có trễ và ứng dụng trong các mô

hình sinh thái.

2. Đối tượng và nội dung nghiên cứu

2.1. Tính ổn định hữu hạn của một lớp phương trình vi phân phi tuyến mô tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ

Trong hai thập kỉ gần đây, các hệ động lực có cấu trúc mạng nơron đã được

nghiên cứu và ứng dụng thành công trong nhiều lĩnh vực như xử lí tín hiệu số,

nhận dạng mẫu, ước lượng tham số và đặc biệt trong lĩnh vực về trí tuệ nhân

tạo [28, 34]. Trong các mô hình đó, việc đảm bảo tính ổn định của mạng nơron

đã được thiết kế là hết sức quan trọng [40]. Mặt khác, trong các mô hình mạng

nơron, yếu tố trễ truyền tải là không tránh khỏi do quá trình xử lí và truyền tín

hiệu qua các kênh với băng thông hạn chế. Sự xuất hiện của trễ thời gian thường

dẫn đến hiệu suất kém và nguy cơ làm mất tính ổn định của mạng. Trong các

công trình đã công bố, tính ổn định và tính đồng bộ mới chỉ được nghiên cứu

cho một số mô hình mạng nơron với trọng số kết nối các nơron là hằng và trễ

bị chặn. Các kết quả đó hầu như không áp dụng được cho các mô hình mạng

nơron với trễ tỉ lệ, một lớp trễ được sử dụng rất phổ biến trong mô tả động lực

các hệ có cấu trúc mạng [41]. Chẳng hạn, với cấu trúc một mạng nơron có nhiều

tầng (layers), quá trình xử lí và truyền tín hiệu giữa các tầng thường được mô

tả bằng các tín hiệu trễ mà thời gian trễ tỉ lệ với thời gian hiện tại. Về dáng

điệu tiệm cận, trễ tỉ lệ thuộc lớp trễ biến thiên không bị chặn, tăng trưởng tỉ lệ

với khoảng thời gian. Bởi vậy, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm các

mô hình mạng nơron với trễ tỉ lệ thường gặp nhiều khó khăn so với các lớp trễ

khác, kể cả lớp trễ không bị chặn ở dạng phân phối.

Mặc dù khái niệm ổn định theo Lyapunov đã được ứng dụng rất thành

công trong nhiều bài toán thực tiễn và đã được phát triển một cách sâu rộng,

khái niệm ổn định với thời gian hữu hạn (hay tính ổn định trong khoảng thời

gian ngắn) mang ý nghĩa thực tiễn quan trọng [2]. Ra đời từ nửa sau của thế kỉ

XX [20], khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn tìm thấy nhiều ứng dụng

trong thực tiễn kĩ thuật, đặc biệt là trong các mô hình điều khiển cơ học [2]. Một

hệ động lực gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn nếu cho trước một ngưỡng

của điều kiện đầu (chẳng hạn một lân cận của trạng thái cân bằng), mọi quỹ

đạo nghiệm tương ứng của hệ không vượt quá một ngưỡng cho trước trên một

khoảng thời gian xác định trước. Như vậy, khác với tính ổn định theo Lyapunov

(LS), một khái niệm thiên về định tính, xác định dáng điệu của nghiệm tại vô

hạn, ổn định hữu hạn (FTS) là khái niệm có tính định lượng. Hơn nữa, LS và

FTS là hai khái niệm độc lập theo nghĩa một hệ là FTS nhưng có thể không ổn

định theo Lyapunov và ngược lại (xem phản ví dụ trong [16]). Trước bài báo [1]

trong Danh mục công bố của luận án này, chúng tôi chưa tìm thấy một kết quả

nghiên cứu nào đề cập đến tính ổn định hữu hạn của mô hình mạng nơron với

hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ. Đây sẽ là chủ đề được chúng tôi nghiên cứu và trình

bày trong Chương 2 của luận án này. Cụ thể hơn, dựa trên bài báo [1] trong

Danh mục công trình công bố, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định hữu hạn của

mô hình mạng nơron Hopfield với hệ số kết nối biến thiên chứa đa trễ tỉ lệ dạng

sau đây

j=1 X

(1)

bij(t)fj(xj(t)) ai(t)xi(t) + x′i(t) = −

j=1 X

Dựa trên một số kĩ thuật so sánh bằng các bất đẳng thức vi phân, chúng tôi

[n], t > 0. + cij(t)gj(xj(qijt)) + Ii(t), i ∈

thiết lập các điều kiện đảm bảo tính ổn định của hệ (1) trong một khoảng thời

gian hữu hạn cho trước.

2.2. Tính tiêu hao của lớp phương trình vi phân với trễ tỉ lệ trong mô hình mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên

Rất nhiều bài toán trong vật lí và kĩ thuật được mô tả bởi các hệ phương

trình vi phân hàm có tính tiêu hao [32]. Đặc tính tiêu hao của các hệ vi phân

đó được thể hiện qua sự tồn tại của một compact gọi là tập hấp thụ bị chặn mà

mọi quỹ đạo trạng thái của hệ đi vào và ở nguyên trong đó sau thời gian hữu

hạn. Các nghiên cứu về tính tiêu hao của hệ cũng cho biết dáng điệu tiệm cận

của nghiệm, một trong những vấn đề trọng tâm trong nghiên cứu định tính các

hệ phương trình vi phân và ứng dụng.

Trong Chương 3 của luận án chúng tôi nghiên cứu bài toán phân tích tính

tiêu hao của lớp hệ phương trình vi phân trong mô hình mạng nơron Hopfield

với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất dạng sau đây

(2)

j=1 X n

bij(t)fj(xj(t)) ai(t)xi(t) + x′i(t) = −

j=1 X

Để phân tích tính tiêu hao của các hệ phương trình vi phân dạng (2), chúng

tôi phát triển một số kĩ thuật so sánh dựa trên lý thuyết M-ma trận để thiết lập

các điều kiện đảm bảo sự tồn tại của các tập hấp thụ dạng mũ suy rộng trong

cả hai trường hợp: (i) các hệ số tự phản hồi (tốc độ tự ức chế của nơron) thỏa

mãn điều kiện chính quy, ai(t)

[n]. + cij(t)gj(xj(qijt)) + Ii(t), t > 0, i ∈

tức là ai(t) > 0 và inft

0 ai(t) = 0. Nội dung của chương này được trình bày dựa

≥

trên bài báo [2] trong Danh mục công trình công bố.

ai > 0, và (ii) các hệ số tự phản hồi suy biến, ≥

2.3. Sự tồn tại và tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương của một mô hình Nicholson có trễ với hàm suy giảm phi tuyến

Các mô hình toán học đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả động lực

các mô hình thực tiễn [11,30]. Ví dụ, trong [29], Nicholson sử dụng phương trình

vi phân

γN (t

τ ),

(3)

−

ở đó α, β, γ là các hằng số dương, để mô tả sự sinh trưởng của quần thể loài ve

châu Úc. Mô hình (3) sau đó thường được gọi là mô hình Nicholson và được sử

dụng rất phổ biến trong các lĩnh vực về động lực học dân số và sinh thái học

quần thể.

Trong những năm gần đây, lý thuyết định tính về mô hình Nicholson và các

biến thể của nó đã được nghiên cứu và phát triển một cách rộng rãi [3,4]. Chẳng

hạn, dáng điệm tiệm cận của nghiệm tuần hoàn dương của một số mô hình

Nicholson có trễ đã được nghiên cứu trong [22,25,26] và [17]. Mô hình Nicholson

với số hạng mô tả yếu tố đánh bắt hay thu hoạch cũng đã được nghiên cứu

trong [10, 23, 27, 35]. Gần đây, trong bài báo [6], các vấn đề về tính ổn định và

tính hút đã được nghiên cứu cho một lớp hệ Nicholson n chiều với hệ số hằng

số và trễ biến thiên.

Hầu hết các kết quả đã công bố đều được nghiên cứu cho mô hình Nicholson

với tốc độ suy giảm (mortality rate) số lượng cá thể (sau đây gọi tắt là dân số)

tuyến tính. Như chỉ ra trong [3], một mô hình với tốc độ suy giảm phụ thuộc

tuyến tính vào mật độ thường chỉ đúng đối với các quần thể có mật độ thấp.

Theo các nhà hải dương học, nhiều mô hình trong thủy sản như khu bảo tồn

biển được mô tả bằng các phương trình vi phân trễ trong mô hình Nicholson

với tốc độ suy giảm phụ thuộc phi tuyến vào mật độ [3] dạng

γN (t

τ ),

αN(t) + βN(t N ′(t) = τ )e− − −

−

ở đó tỉ lệ tử vong D(N) có một trong các dạng D(N) = a

N (type-I) hoặc

D(N(t)) + βN(t N ′(t) = τ )e− − −

be− −

b+N (type-II) với a, b là các hằng số dương.

Trong Chương 4 của luận án này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại duy nhất

và tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương đối với mô hình Nicholson có

trễ

γk(t)N (t

τk(t))

D(N) = aN

(4)

−

k=1 X

với tốc độ suy giảm dân số phụ thuộc phi tuyến vào trạng thái, D(t, N) =

D(t, N(t)) + N ′(t) = βk(t)N(t τk(t))e− − −

N . Dựa trên một số kĩ thuật so sánh mới bằng các bất đẳng thức

vi-tích phân, trước hết chúng tôi chỉ ra tính bền vững và tính tiêu hao đều của

mô hình Nicholson (4). Trên cơ sở tính tiêu hao và bền vững đều, chúng tôi

chứng minh sự tồn tại và tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương duy

nhất của phương trình vi phân phi tuyến dạng (4). Áp dụng kết quả tổng quát

cho mô hình Nicholson với hệ số hằng số, chúng tôi thu được một số kết quả về

sự tồn tại, duy nhất và tính hút toàn cục của điểm cân bằng dương của mô hình

tương ứng. Nội dung chương này được viết dựa trên bài báo [3] trong Danh mục

công trình công bố.

a(t) b(t)e− −

3. Phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng kết hợp các công cụ trong giải tích cổ điển, phương trình

vi phân thường, lý thuyết bất đẳng thức vi-tích phân và nguyên lí so sánh, lý

thuyết ổn định Lyapunov và phương pháp sử dụng phiếm hàm năng lượng kiểu

Lyapunov. Đặc biệt, trong luận án, chúng tôi phát triển một số kĩ thuật so sánh

mới để thiết lập các điều kiện thông qua lý thuyết M-ma trận đảm bảo tính ổn

định, tính tiêu hao cũng như các điều kiện cho sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn

dương đối với các lớp phương trình vi phân được nghiên cứu trong luận án.

4. Kết quả đạt được của luận án

Luận án đã đạt được các kết quả sau đây:

1. Thiết lập được các điều kiện thông qua tính chất phổ của M-ma trận đảm

bảo tính ổn định hữu hạn và tính đồng bộ với tốc độ lũy thừa của mô hình

mạng nơron Hopfiled với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ.

2. Chứng minh được tính tiêu hao toàn cục của lớp hệ phương trình vi phân

mô tả lớp mạng nơron dạng Hopfiled trong cả hai trường hợp khi các hệ số

phản hồi thỏa mãn điều kiện chính quy và khi các hệ số phản hồi suy biến.

3. Chứng minh sự tồn tại toàn cục, tính bền vững và tính tiêu hao đều của

nghiệm dương đối với một mô hình Nicholson có trễ với hàm suy thoái phi

tuyến.

4. Đưa ra điều kiện và chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghiệm tuần hoàn

dương hút toàn cục đối với mô hình Nicholson nói trên. Một áp dụng với

mô hình Nicholson hệ số hằng số và chứng minh sự tồn tại của điểm cân

bằng dương hút toàn cục cũng được đưa ra.

Các kết quả trên đây của luận án được công bố trong 03 bài báo trên các

tạp chí quốc tế trong danh mục ISI và đã được báo cáo tại:

Xemina Phương trình vi phân và tích phân, Bộ môn Giải tích, khoa Toán-

Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội.

Hội nghị khoa học của nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học

•

Sư phạm Hà Nội.

Xemina Phòng Tối ưu và Điều khiển, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa

•

học và Công nghệ Việt Nam.

•

5. Cấu trúc của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình công bố và tài liệu

tham khảo, luận án gồm 4 chương.

Chương 1 trình bày một số kết quả liên quan về tính ổn định hữu hạn, tính

tiêu hao của hệ phương trình vi phân có trễ và một số kết quả bổ trợ cho

việc trình bày nội dung chính trong các chương sau của luận án.

Chương 2 nghiên cứu tính ổn định hữu hạn của một lớp phương trình vi

•

phân phi tuyến mô tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ

không đồng nhất.

Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu tính tiêu hao toàn cục của lớp

•

phương trình vi phân trong mô hình mạng nơron Hopfiled với hệ số biến

thiên và trễ tỉ lệ.

Chương 4 nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm tuần

•

hoàn dương của một mô hình Nicholson có trễ với tốc độ suy thoái phi

tuyến.

•

Chương 1

SƠ BỘ MỘT SỐ KẾT QUẢ LIÊN QUAN

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả bổ trợ về giải tích

ma trận, phương trình vi phân và lý thuyết ổn định theo Lyapunov. Đồng thời,

chúng tôi cũng trình bày sơ bộ một số kết quả liên quan về tính ổn định trong

thời gian hữu hạn đối với lớp phương trình vi phân hàm tuyến tính làm cơ sở

cho việc trình bày nội dung chính của luận án trong các chương sau.

1.1. M-ma trận

Trong mục này chúng tôi giới thiệu sơ bộ một vài tính chất của M-ma

n được gọi là một M-ma trận

trận từ cuốn sách [5]. Ma trận A = (aij)

nếu aij

n là một ma trận không âm, kí hiệu B

∈ = j và các định thức con chính của A dương. Ma trận 6 0 với mọi i Rm 0 với mọi 0, nếu bij ≤ B = (bij) (cid:23) ≥ ∈ i, j. Tính chất sau được sử dụng trong chứng minh kết quả ở Chương 2.

Mệnh đề 1.1.1. Cho A = (aij) là một ma trận với aii > 0, i

định sau là tương đương:

(i) A là một M-ma trận không suy biến;

(ii) Reλj > 0 với mọi giá trị riêng λj của ma trận A;

(iii) Tồn tại một ma trận B

[n]. Các khẳng ∈

là bán kính phổ của ma trận B;

B, ở đó 0 và hằng số s > ρ(B) sao cho A = sIn − ρ(B) = max (cid:23) λ(B) λj : λj {| | ∈

(iv) Tồn tại một vectơ ξ

Rn, η

(v) Tồn tại một vectơ η

} Rn, ξ 0, sao cho Aξ 0; ∈ ≻

≻ 0, sao cho AT η 0. ∈ ≻ ≻

n là một M-ma trận không suy biến. Khi đó,

Mệnh đề 1.1.2. Giả sử A Rn, χ

tồn tại một vectơ χ

∈ χ 0, sao cho = 1 và Aχ 0. ≻ ∈ k k∞ ≻

1.2. Hệ phương trình vi phân có trễ và tính ổn định Lyapunov

Với số thực r

các hàm liên tục trên đoạn [

. Xét bài

−

≤

0 k

(1.1)

= C([ 0 cho trước, kí hiệu r, 0], Rn) là không gian Banach C ≥ − φ = sup φ(s) r, 0] với chuẩn kC k k − ≤ toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân hàm sau đây

x′(t) = f (t, xt), t t0, xt0 = φ, ≥

Rn và φ

là hàm ban đầu. Sự tồn tại duy nhất

ở đó f : D = [t0,

nghiệm địa phương của bài toán (1.1) được cho trong định lí dưới đây.

Định lí 1.2.1 ([15]). Giả sử f : D

Rn là hàm liên tục, Lipschitz địa phương

) ∞ × C → ∈ C

theo biến thứ hai trên D. Khi đó, với mỗi φ

, tồn tại một tφ ∈

(i) Tồn tại nghiệm x(t, φ) của (1.1) trên khoảng [t0, tφ);

(ii) Trên mọi đoạn [t0, t1]

→ ] sao cho (t0, ∈ C ∞

(iii) [t0, tφ) là khoảng tồn tại cực đại của nghiệm x(t, φ);

(iv) Nghiệm x(t, φ) phụ thuộc liên tục vào φ, f .

Trong Định lí 1.2.1, nếu hàm f thỏa mãn thêm điều kiện kiểu tăng trưởng

tuyến tính

[t0, tφ), nghiệm x(t, φ) là duy nhất; ⊂

(1.2)

ở đó a(.), b(.) là các hàm liên tục, thì nghiệm x(t, φ) tồn tại toàn cục, tức là

. Tổng quát hơn, nếu hàm f thỏa mãn điều kiện dạng Nagumo

φ f (t, φ) a(t) + b(t), k ≤ k kC k

tφ = ∞

(1.3)

R+

φ D, f (t, φ) Φ (t, ) , (t, φ) k k ≤ k kC ∈

ở đó Φ : [t0,

0 Z

) (0, ) là hàm liên tục, không giảm theo t và thỏa mãn ∞ × → ∞ ∞ , t < , = ds Φ(t, s) ∞ t0 ≤ ∞

thì nghiệm x(t, φ) tồn tại và xác định trên [t0,

). ∞

Giả sử hàm f (t, φ) thỏa mãn các điều kiện sao cho với mỗi t0 ∈ , bài toán (1.1) có nghiệm duy nhất xác định trên [t0,

[0, ) và ∞ φ ). Để xét tính ổn ∞ ∈ C

x∗ −

định của một nghiệm x∗(t) nào đó của hệ (1.1), sử dụng phép biến đổi z = x ta đưa đến hệ dạng (1.1) với hàm vế phải là ˜f (t, zt) = f (t, zt + x∗t ) f (t, x∗t ). Rõ ràng ˜f (t, 0) = 0. Do đó, để đơn giản kí hiệu, chúng tôi giả sử rằng f (t, 0) = 0, tức

là (1.1) có nghiệm x = 0.

−

R+, tồn tại δ(t0, ǫ) > 0 sao cho

Định nghĩa 1.2.1 ([13, 15]). Nghiệm x = 0 của (1.1) được gọi là ổn định (theo nghĩa Lyapunov) nếu với mọi ǫ > 0, t0 ∈ δ(t0, ǫ) kéo theo x(t, φ) ≥

ổn định đều nếu số δ nói trên không phụ thuộc t0.

Định nghĩa 1.2.2 ([13]). Nghiệm x = 0 của (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận

đều nếu x = 0 ổn định đều và tồn tại một số δa > 0 sao cho với mọi η > 0 tồn tại

< φ kC k < ǫ với mọi t t0. Nghiệm x = 0 của (1.1) được gọi là k k

Hơn nữa, nếu số δa có thể chọn tùy ý thì nghiệm x = 0 được gọi là ổn định tiệm

cận toàn cục đều.

Định nghĩa 1.2.3. Nghiệm x = 0 được gọi là ổn định mũ toàn cục đều (GES)

nếu tồn tại các hằng số dương α, β sao cho mọi nghiệm x(t, φ) của (1.1) thỏa

mãn đánh giá mũ

α(t

φ x(t, φ) < η với mọi t T = T (δa, η) > 0 sao cho < δa kéo theo t0 + T (δa, η). k k ≥ k kC

t0),

(1.4)

−

Giả sử V : R+

R là hàm liên tục và x(t, φ) là một nghiệm của (1.1)

β φ t x(t, φ) e− t0. k kC k ≤ k ≥

đi qua (t0, φ). Đạo hàm của V (t, φ) dọc theo nghiệm x(t, φ) được xác định bởi

× C →

→

, V (t, φ) V (t + h, xt+h(t, φ)) 1 h − V ′(t, φ) = lim sup 0+

ở đó xt(.) là kí hiệu đoạn quỹ đạo

x(t + θ) : θ r, 0] [ − ∈ } {

× C →

Rn biến , thành tập bị chặn trong Rn và Ω, ở đó Ω là tập bị chặn trong C R+ là các hàm liên tục, không giảm, u(0) = 0, v(0) = 0 và u(s) > 0,

Định lí 1.2.2 (Định lí Lyapunov-Krasovskii [13]). Giả sử f : R mỗi tập R u, v, w : R+ →

R+ thỏa mãn

v(s) > 0 khi s > 0. Nếu tồn một phiếm hàm liên tục V : R × C →

(1.5)

và đạo hàm của V (t, φ) dọc theo hệ (1.1) xác định âm theo nghĩa

φ φ , u( φ(0) ) V (t, φ) v( ), k k ≤ k kC ∀ ≤ ∈ C

(1.6)

Khi đó, nghiệm x = 0 của (1.1) là ổn định đều. Nếu w(s) > 0 với mọi s > 0 thì

w( φ(0) ). V ′(t, φ) ≤ − k k

nghiệm x = 0 của (1.1) là ổn định tiệm cận đều. Hơn nữa, nếu lims

→∞

thì nghiệm x = 0 là ổn định tiệm cận toàn cục đều.

u(s) = ∞

1.3. Tính ổn định trong thời gian hữu hạn

1.3.1. Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn

Ra đời từ nửa sau của thế kỉ XX [20], khái niệm ổn định trong thời gian

hữu hạn tìm thấy nhiều ứng dụng trong thực tiễn kĩ thuật, đặc biệt là trong các

mô hình điều khiển cơ học [2]. Khác với tính ổn định theo Lyapunov, một khái

niệm thiên về định tính, xác định dáng điệu của nghiệm tại vô hạn, ổn định hữu

hạn là khái niệm có tính định lượng. Cụ thể hơn, một hệ là ổn định trong thời

gian hữu hạn nếu cho trước một ngưỡng của điều kiện đầu, mọi quỹ đạo nghiệm

tương ứng của hệ không vượt quá một ngưỡng cho trước trên một đoạn thời

gian xác định trước. Để minh họa rõ hơn, ta xét lớp hệ phương trình vi phân

thường sau đây

(1.7)

ở đó x(t)

Rn là vectơ trạng thái của hệ.

x′(t) = f (t, x(t)), x(t0) = x0,

Định nghĩa 1.3.1 ([2]). Cho trước một số dương T và các tập

∈

hệ (1.7) được gọi là ổn định hữu hạn đối với (t0, T,

t trong Rn, X t) nếu với bất kì x0 ∈ X0, X

X0,

quỹ đạo nghiệm tương ứng x(t; t0, x0) của (1.7) thỏa mãn

X0,

x(t; t0, x0) [t0, t0 + T ]. ∈ X t ∀ ∈

Trong Định nghĩa 1.3.1, để đảm bảo tính đặt chỉnh ta giả thiết

t0.

Chú ý rằng, nói chung, ta không cần hạn chế

t với t > t0. Tuy nhiên,

trong nhiều trường hợp, các tập

t (tập quỹ đạo) được

X0 ⊂ X

cho dưới dạng các ellipsoid

, ở đó R

R(ρ) =

Sn + là một ma trận đối xứng xác định dương. Định nghĩa 1.3.1 có thể phát biểu dưới dạng sau.

Định nghĩa 1.3.2 ([2]). Cho trước một cận T > 0 (xác định khoảng thời gian),

x⊤Rx < ρ : x ∈ ∈ E X0 ⊂ X X0 (trạng thái đầu) và Rn } {

Sn + và các số dương r1 < r2. Hệ (1.7) được gọi là ổn định hữu R(r1), quỹ đạo nghiệm tương ứng

∈

một ma trận R hạn đối với (t0, T, r1, r2, R) nếu với bất kì x0 ∈ E x(t) = x(t; t0, x0) của (1.7) thỏa mãn x⊤(t)Rx(t) < r2 với mọi t

Về ý nghĩa hình học, khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn chỉ ra rằng

với các tập trong

t cố định, mọi quỹ đạo nghiệm của hệ xuất

[t0, t0 + T ]. ∈

phát từ

t trên toàn khoảng thời gian [t0, t0 + T ]

X0 và tập ngoài X

X0 sẽ không vượt ra ngoài vùng

. k∞ k

bài toán ứng dụng thực tiễn.

X cho trước. Hình 1.1 dưới đây minh họa cho khái niệm ổn định trong thời gian trên Rn, cho trước các hình cầu Br1, Br2 trong hữu hạn. Cụ thể, với chuẩn Rn với bán kính r1 < r2, bất kì quỹ đạo nghiệm của hệ xuất phát từ Br1 sẽ luôn chứa trong Br2 trên toàn khoảng thời gian hữu hạn [0, T ] xác định trước từ các

1.3.2. Mối liên hệ giữa tính ổn định trong thời gian hữu hạn với tính ổn

định theo Lyapunov

Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn (viết tắt là FTS) và khái niệm

ổn định theo Lyapunov là hai khái niệm độc lập. Cụ thể hơn, một hệ là FTS,

thậm chí với bất kì thời gian T > 0, có thể không ổn định theo Lyapunov [2,16].

Ngược lại, tính ổn định, ổn định tiệm cận theo Lyapunov không suy ra tính ổn

định hữu hạn của hệ.

Ví dụ 1.3.1 ([16]). Xét các phương trình vi phân có trễ sau

(1.8)

t 1.2x(t) + x(t 1), 0, x′(t) = t + 2 t + 1 − − ≥

kx(t)k∞ < r2, t ∈ [0, T ]

kx0k∞ ≤ r1

Hình 1.1: Ổn định trong khoảng thời gian [0, T ]

và

(1.9)

Phương trình (1.8) ổn định tiệm cận toàn cục theo Lyapunov. Tuy nhiên

(1.8) không ổn định hữu hạn đối với (r1, r2, T ), ở đó r1 = 1, r2 = 1.25 và T = 10.

Ngược lại, (1.9) là ổn định hữu hạn đối với r1 = 1, r2 = 1.5 và T = 10 nhưng

không ổn định tiệm cận. Quỹ đạo nghiệm của (1.8) và (1.9) với điều kiện đầu

t 0.8x(t) + x(t 1), 0. x′(t) = t t + 6 − − ≥

φ(t) = 1, t 1, 0], được minh họa trong Hình 1.2 và Hình 1.3. [ − ∈

1.3.3. Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của lớp hệ tuyến tính với

trễ hỗn hợp biến thiên

Trong mục này chúng tôi trình bày một kết quả về tính ổn định hữu hạn

của lớp hệ tuyến tính với trễ biến thiên dạng phân phối từ bài báo [16]. Sử dụng

các hàm dạng Lyapunov-Krasovskii, các điều kiện ổn định hữu hạn được thiết

lập thông qua bất đẳng thức ma trận tuyến tính.

1.5

1.4

0.8

1.3

0.6

1.2

0.4

) t ( x e s n o p s e R

1.1

0.2

Time (sec)

1.5

2.5

1.5

0.5

) t ( x e s n o p s e R

0.5

100

Time (sec)

Hình 1.2: Một quỹ đạo nghiệm của (1.8)

Hình 1.3: Một quỹ đạo nghiệm của (1.9)

Xét lớp hệ tuyến tính có trễ biến thiên sau đây

κ(t)

(1.10)

−

τ (t)) + G x(s)ds, t 0, x′(t) = Ax(t) + Dx(t − ≥

t x(t) = φ(t), h, 0], [ − ∈

ở đó x(t)

Rn là vectơ trạng thái, φ

C([ h, 0], Rn) là hàm ban đầu, A, D, G ∈ − ∈ ∈ n là các ma trận thực cho trước, τ (t), k(t) là các hàm trễ thỏa mãn điều kiện

với µ là hằng số xác định tốc độ biến thiên của trễ rời rạc τ (t), τ1, τ2, κ1, κ2 là

các cận trên của trễ, h = max {

µ 0 τ (t) 1, 0 κ(t) τ ′(t) τ2, κ2, τ1 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ κ1 ≤ ≤ ≤

τ2, κ2}

Định nghĩa 1.3.3. Cho trước số các số dương T, r1, r2, với r1 < r2. Hệ (1.10) h, 0], Rn),

được gọi là ổn định hữu hạn đối với (r1, r2, T ) nếu với mọi φ

Tính ổn định của (1.10) trong thời gian [0, T ] được trình bày trong định lí

dưới đây.

Định lí 1.3.1 ([16]). Với các số dương cho trước T, r1, r2, r1 < r2, hệ (1.10) là

ổn định hữu hạn đối với (r1, r2, T ) nếu tồn tại các số dương α, ρi, i = 1, 2, 3, 4, và n thỏa mãn các điều kiện sau

các ma trận đối xứng xác định dương P, Q, R

C([ ∈ − φ x(t, φ) [0, T ]. r1, ta có < r2 với mọi t k kC ≤ k k∞ ∈

∈

(1.11a)

Π = Π0 + Π1 + Π2 < 0,

(1.11b)

−

αT ,

(1.11c)

(cid:18)

ở đó

P ρ2In, Q ρ4In, ≤ ≤ ρ3In, R 2 ρ1In ≤ ρ2 + τ2eατ2ρ3 + eακ2 ≤ ρ4 < e− ρ1 r2 r1 (cid:19)

1)n In 0n

i)n

−

, i = 1, 2, 3, ei = 0n

= Ae1 + De2 + Ge3,

⊤P e1 − A (1

+ A Π0 = e⊤1 P A

αe⊤1 P e1, µ)eατ1e⊤2 Qe2,

Chi tiết chứng minh của định lí này đã được trình bày trong [16]. Chúng

tôi xin không nhắc lại ở đây.

e⊤3 Re3. Π1 = e⊤1 Qe1 − Π2 = κ2e⊤1 Re1 − − 1 κ2

1.4. Tính tiêu hao của một số lớp phương trình vi phân có trễ

Rất nhiều bài toán trong vật lí và kĩ thuật được mô tả bởi các hệ phương

trình vi phân hàm có tính tiêu hao [32]. Đặc tính tiêu hao của các hệ vi phân

đó được thể hiện qua sự tồn tại của một tập hấp thụ bị chặn mà mọi quỹ đạo

trạng thái của hệ đi vào và ở nguyên trong đó sau thời gian hữu hạn. Các nghiên

cứu về tính tiêu hao của hệ cũng cho biết dáng điệu tiệm cận của nghiệm, một

trong những vấn đề trọng tâm trong nghiên cứu định tính các hệ phương trình

vi phân và ứng dụng. Trong mục này, chúng tôi trình bày một số kết quả về tính

tiêu hao của một số lớp phương trình vi phân có trễ bổ trợ cho việc trình bày

kết quả chính trong Chương 3 của luận án.

Xét hệ phương trình vi phân có trễ sau đây

(1.12)

t [0, ), x′(t) = F (t, x(t), x(t τm(t))), τ1(t)), . . . , x(t − ∞ ∈

t x(t) = φ(t), − τ, 0], [ − ∈

ở đó τk(.) là các hàm trễ liên tục thỏa mãn 0 Rn

với τ > 0 là một hằng số. Hàm F : [0,

và thỏa mãn điều kiện [19, 36]

τk(t) ≤ ≥ ≤ τ, ) (C([ τ với mọi t ), Rn))m 0, k [m], ∈ Rn liên tục × ∞ × − ∞ →

2 +

(1.13)

k=1 X

u 2 γ(t) + α(t) u, F (t, u, ψ1(.), . . . , ψm(.)) βk(t) ψk(t τk(t)) h k k i ≤ k − k

Rn và ψk(.)

với mọi t trên Rn,

thêm rằng hàm F thỏa mãn điều kiện sao cho với mỗi φ(.)

là tích vô hướng Rn. Giả thiết τ, 0], Rn), bài

toán (1.12) có nghiệm duy nhất x(t, φ) trên [

Định nghĩa 1.4.1 ([36]). Hệ (1.12) được gọi là tiêu hao toàn cục nếu tồn tại

τ, ., . [0, C([ ), u ), Rn), ở đó − h i Rn và b = (bi) ∞ ∈ = a⊤b = ∞ ∈ n i=1 aibi với a = (ai) ∈ ∈ a, b i h ∈ C([ ∈ − τ, ). − ∞

một tập bị chặn

Rn sao cho với bất kì tập bị chặn B

Rn, tồn tại t ∗

có tính chất với mọi hàm ban đầu φ(.)

như vậy được gọi là

một tập hấp thụ của (1.12).

(B) = t ∗ B ⊂ C([ ⊂ τ, 0], Rn) mà φ(t) B với mọi ∈ t ∈ với mọi t − (B). Tập τ, 0] thì nghiệm x(t, φ) t ∗ ≥ B ∈ B [ − ∈

1.4.1. Cách tiếp cận bằng bất đẳng thức Halanay và một số cải biên

Để chứng minh sự tồn tại của tập hấp thụ đối với các hệ phương trình vi

phân có trễ dạng (1.12), một cách tiếp cận rất phổ biến là sử dụng bất đẳng

thức Halanay và một số cải biên của nó [19, 36]. Trước hết, theo Mệnh đề 3.1

trong [36], nếu hàm F (.) ở (1.12) thỏa mãn điều kiện (1.13) thì γ(t)

2 =

. Từ

hàm ban đầu x(t) = φ(

(1.12)-(1.13), ta có

0 và ≥ [0, 0 với mọi t ). Bây giờ, cho x(t) là một nghiệm bất kì của (1.12). βk(t) ≥ ∈ , ∞ Trong một số áp dụng, x(t) có thể mở rộng trên ( ) bằng cách thác triển ∞ , x(t) x(t), x(t) ( −∞ τ ]. Đặt u(t) = τ ) với t k k h i ∈ −∞ − −

x(t), F (t, x(t), x(t u′(t) = 2 τm(t))) h − − i τ1(t)), . . . , x(t m

2 +

k=1 X

x(t γ(t) + α(t) x(t) βk(t) τk(t)) k − k ≤ k k

(1.14)

−

≤

k=1 X 23

u(s). γ(t) + α(t)u(t) + βk(t) ≤ sup τk(t)

Đánh giá (1.14) là cơ sở đưa đến phương pháp sử dụng bất đẳng thức Halanay

cho việc nghiên cứu tính tiêu hao của (1.12) [36]. Để đơn giản hóa các kí hiệu,

dưới đây chúng tôi xét trường hợp đơn trễ trong (1.12) (tức là m = 1).

Bổ đề 1.4.1 (Bất đẳng thức Halanay [14,36]). Giả sử hàm u(t)

thỏa mãn

, ( 0, t ), ≥ ∈ −∞ ∞

(1.15)

−

≤

u(s), t u′(t) γ(t) + α0u(t) + β0 t0, u(t) = θ(t), t t0, ≥ ≤ ≤ sup s τ

ở đó θ

BC(( , t0], R+) là hàm liên tục bị chặn. Khi đó, nếu α0 + β0 < 0 thì ∈ −∞ tồn tại một hằng số λ > 0 sao cho

λ(t

t0), t

(1.16)

−

∗ (α0 + β0)

γ θ u(t) + e− t0, ≤ k k∞ ≥

ở đó γ

t0 γ(t) và

∗

≥

≤

t0 |

Nhận xét 1.4.1. Nếu α0 = supt

0 α(t), β0 = supt

0 β(t) và α0 + β0 < 0 thì theo

≥

Bổ đề 1.4.1, hệ (1.12) là tiêu hao toàn cục (xem [37], Định lí 3.1). Cụ thể hơn,

− θ θ(t) = supt = supt | k k∞

từ (1.13)-(1.14), với bất kì ǫ > 0 cho trước, tồn tại t ∗

φ ( , ǫ) > 0 sao cho = t ∗ k k∞

2 <

∗ (α0 + β0)

γ . x(t) + ǫ, t > t ∗ k k −

Do đó, hệ (1.12) tiêu hao toàn cục với tập hấp thụ

∗

(cid:16)

(cid:17) ở đó ǫ là một số dương cho trước tùy ý và B(0, r) là hình cầu mở tâm x = 0 bán kính r trong Rn. Hơn nữa, đánh giá (1.16) đảm bảo tính hút mũ của

γ = B 0, /(α0 + β0) + ǫ B −

Định lí 1.4.1 ([36], Định lí 2.3). Giả sử u(t)

, ( 0, t ), và ∈ −∞ ∞ ≥

(1.17)

−

≤

γ(t) + α(t)u(t) + β(t) u(s) (t u(t) = θ(t) (t u′(t) t0), t0), ≥ ≤ ≤ sup τ (t)

ở đó θ

và τ (t)

khi t

. Khi đó, nếu tồn tại σ > 0 sao cho

BC(( 0 0, γ(t) , t0], R+), α(t), β(t), γ(t) là các hàm liên tục, β(t) ∈ ≥ ≥ τ (t) −∞ 0 thỏa mãn t ≥ − → ∞ → ∞

(1.18)

α(t) + β(t) σ < 0, t t0, ≤ − ≥

thì ta có u(t)

, t

số 0 < δ < 1 sao cho δα(t) + β(t) < 0, t

θ + ). Nếu giả thiết thêm rằng tồn tại một [t0, γ ∗ σ ≤ k k∞ ∈ ∞

t0, thì với mọi ǫ > 0, tồn tại một ≥

θ ( , ǫ) > t0 sao cho t ∗ = t ∗ k k∞

Nhận xét 1.4.2. Với điều kiện (1.3), theo Định lí 1.4.1, hệ (1.2) là tiêu hao toàn

cục nếu tồn tại các hằng số σ > 0, 0 < δ < 1 sao cho

t . + ǫ, u(t) t ∗ γ ∗ σ ≥ ≤

(1.19)

α(t) + β(t) σ < 0, δα(t) + β(t) < 0, t0. ≤ − t ∀ ≥

Hơn nữa, với bất kì ǫ > 0 cho trước,

là một tập hấp thụ

∗

(cid:16)

(cid:17)

của (1.2) (xem [36], Định lí 3.3). Các kết quả trên đây chỉ áp dụng được cho

γ = B 0, /σ + ǫ B

trường hợp hệ số tiêu hao α(t) xác định âm đều (α(t)

đây, trong bài báo [19], dựa trên khái niệm mới về sự hội tụ mũ (gọi là hội tụ

mũ suy rộng), các tác giả đã mở rộng bất đẳng thức Halanay và thu được các

điều kiện tiêu hao của hệ (1.2) mà không cần hạn chế về tính xác định âm của

hệ số tiêu hao.

σ < 0, 0). Gần t ∀ ≥ ≤ −

1.4.2. Tính tiêu hao của một lớp phương trình vi phân với trễ tỉ lệ: Cách

tiếp cận bằng phương pháp đổi biến

Xét lớp phương trình vi phân với trễ tỉ lệ dạng sau đây [43]

(1.20)

t0 > 0, x′(t) = g(x(t), x(qt)), t ≥

 

x(t) = ϕ(t), t [qt0, t0], ∈



ở đó q là một hằng số, 0 < q < 1, b

thỏa mãn điều kiện

ϕ(t) là hàm xác định điều kiện đầu và hàm g

2 + β

(1.21)

b i ≤

với α, β, γ là các hằng số. Để đơn giản trong việc trình bày, ta xét t0 = 1. Bằng phép đổi biến y(t) = x(et), phương trình (1.20) được chuyển về dạng phương

trình vi phân với trễ hằng sau đây

u v 2 u, g(u, v) γ + α h k k k k

(1.22)

τ )), t 0, y′(t) = f (t, y(t), y(t − ≥

 



y(t) = ϕ(t), t τ, 0], [ − ∈

ở đó τ =

ln(q) > 0 và −

(1.23)

Từ (1.21) và (1.23) ta có

f (t, y(t), y(t τ )) = etg(y(t), y(t τ )). − −

2 + β

(1.24)

(cid:1)

(cid:0) Định lí 1.4.2 ([43], Định lí 3.3). Giả sử y(t) là một nghiệm của (1.22) thỏa mãn

điều kiện (1.24) và α + β < 0. Khi đó, với bất kì ǫ > 0 cho trước, tồn tại một

et u v . 2 u, f (t, u, v) γ + α i ≤ k k h k k

ϕ ( , ǫ) > 0 sao cho t ∗ = t ∗ k k∞

2 <

. + ǫ, y(t) t > t ∗ γ α + β ∀ k k −

Do đó, hệ (1.22) tiêu hao toàn cục và

là một tập hấp

(cid:16)

γ α+β + ǫ (cid:17)

thụ với ǫ > 0 cho trước.

Nhận xét 1.4.3. Cách tiếp cận bằng phương pháp đổi biến để chuyển về hệ

phương trình vi phân với trễ hằng như trong [43] không thể mở rộng được cho

trường hợp hệ số biến thiên trong (1.21). Nói cách khác, các kết quả trong [43]

chỉ áp dụng được cho lớp hệ nơron chứa trễ tỉ lệ với hệ số là hằng số. Cho đến

nay, vấn đề nghiên cứu về tính tiêu hao của các hệ vi phân nói chung, mô hình

mạng nơron nói riêng, với hệ số biến thiên chứa trễ tỉ lệ vẫn còn là một thách

thức. Đó là động lực của kết quả nghiên cứu mà chúng tôi trình bày ở Chương

3 của luận án này.

= B 0, B −

1.5. Một số kết quả bổ trợ

1.5.1. Đạo hàm Dini

Cho hàm số v : [0,

R. Đạo hàm Dini trên bên phải D+v(t) được xác

định bởi

) ∞ →

→

v(t) , t [0, ). − v(t + h) h ∞ ∈ D+v(t) = lim sup 0+

Nếu v(t) khả vi theo nghĩa thông thường tại t0 thì D+v(t0) = v′(t0). Đạo hàm

Dini là khái niệm mở rộng của đạo hàm thường. Tuy nhiên tính chất đơn điệu

sau đây vẫn đúng cho đạo hàm Dini.

Mệnh đề 1.5.1. Nếu D+v(t)

trên khoảng [0,

Giả sử f : (a, b)

R là một hàm khả vi. Hàm dấu suy rộng σf của f được

0, t [0, ) thì v(t) là hàm đơn điệu không giảm ∈ ∞ ≥ ). ∞

định nghĩa như sau

→

nếu f (t) > 0 hoặc (f (t) = 0 và f ′(t) > 0),



nếu f (t) = 0 và f ′(t) = 0,

nếu f (t) < 0 hoặc (f (t) = 0 và f ′(t) < 0).

σf (t) = 0

1 −

Khi đó,

  D+

ở đó D+ là đạo hàm Dini trên bên phải.

1.5.2. Một số bổ đề bổ trợ

Bổ đề 1.5.1 (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [1]). Cho M

n là ma trận

đối xứng xác định dương. Khi đó với mọi x, y

Rn ta có

∈

1y.

(1.25)

∈

Bổ đề 1.5.2 ([18]). Cho u : R+

2x⊤y x⊤Mx + y⊤M −

t 0 u(s)ds

→∞

≤ Rn là một hàm liên tục đều. Nếu limt

→∞ k

Rn là hàm bị chặn và liên tục đều. Giả sử tồn

Bổ đề 1.5.3 ([18]). Cho u : R+

u(t) = 0. → tồn tại và hữu hạn thì ta có limt k

tại một số ω > 0 thỏa mãn

∞

→

Khi đó, tồn tại một hàm ω-tuần hoàn liên tục u∗(t) thỏa mãn

dt < . u(t + ω) u(t) k − k ∞

u(t) = 0. u∗(t) k k − lim t →∞

Chương 2

TÍNH ỔN ĐỊNH HỮU HẠN CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN MÔ TẢ MẠNG NƠRON HOPFIELD VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN VÀ TRỄ TỈ LỆ

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định trong khoảng thời

gian hữu hạn đối với lớp hệ phương trình trình vi phân mô tả mạng nơron

Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ. Dựa trên một số kĩ thuật trong nguyên

lý so sánh, chúng tôi thiết lập các điều kiện thông qua tính chất phổ của M-ma

trận để đảm bảo mọi quỹ đạo nghiệm của hệ không vượt quá một ngưỡng cho

trước trên một khoảng thời gian hữu hạn (Định lí 2.2.1). Nội dung được trình

bày trong chương này dựa trên bài báo [1] trong Danh mục công trình công bố

của luận án.

2.1. Mô hình mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ

Xét lớp hệ phương trình vi phân mô tả mạng nơron dạng Hopfield với hệ

số biến thiên chứa đa trễ tỉ lệ dạng

j=1 X

(2.1)

ai(t)xi(t) + bij(t)fj(xj(t)) x′i(t) = −

+ cij(t)gj(xj(qijt)) + Ii(t), t > 0,

j=1 X i , i

ở đó n là số nơron trong mạng, xi(t) là biến trạng thái của nơron thứ i tại thời

điểm t, Ii(t) là tín hiệu đầu vào của nơron thứ i, ai(t) > 0 là tốc độ tự ức chế

của nơron thứ i, đó là tốc độ mà khi không được kết nối với các nơron khác và

[n], xi(0) = x0 ∈

không có tín hiệu đầu vào, nơron i tự giải phóng năng lượng, bij(t) và cij(t) là

các trọng số kết nối giữa các nơron, fj(.), gj(.), j

nơron, qij

[n], là các hàm kích hoạt của ∈

Trong mô hình (2.1), động lực của hệ được xác định bởi các trạng thái

∈ 1, . . . , x0 và x0 = (x0 (0, 1), i, j [n], là các hằng số diễn tả độ trễ tín hiệu trên trạng thái ∈ Rn là vectơ các giá trị ban đầu. n)⊤ ∈

và quá khứ qijt. Vì đại lượng thời gian quá khứ qijt có thể biểu diễn dưới dạng

khi t

x(t) và x(qijt), ở đó 0 < qij < 1 là các hằng số liên hệ giữa thời gian hiện tại t

nên trễ tỉ lệ qijt thuộc lớp

trễ tỉ lệ trở nên khó khăn hơn nhiều do cách tiếp cận truyền thống với lớp trễ

hằng số hay trễ biến thiên bị chặn thường rất khó áp dụng. Với các hệ dừng có

trễ tỉ lệ (các ma trận hệ số là hằng), phương pháp tiếp cận phổ biến là sử dụng

phép biến đổi trạng thái ˆx(ξ) = x(t) với t = eξ (xem [44, 45]). Tuy nhiên, cách

tiếp cận này rất khó phát triển cho các mô hình không dừng (hệ số biến thiên)

dạng (2.1) bởi cấu trúc tự nhiên của các ma trận hệ số biến thiên. Vì vậy, trong

chương này, chúng tôi phát triển các kĩ thuật trong nguyên lí so sánh để tìm các

điều kiện ổn định cho lớp phương trình vi phân phi tuyến dạng (2.1).

Đối với mô hình (2.1), chúng tôi giả thiết các hệ số bij(t), cij(t), ai(t) và đầu

vào Ii(t) là các hàm liên tục trên R+.

(A2.1) Tồn tại các số thực l−ik, l+

ik, k = 1, 2, sao cho

qijt = t τij(t), với τij(t) = (1 qij)t − → ∞ − → ∞ hàm trễ biến thiên không bị chặn. Vấn đề nghiên cứu định tính các mô hình có

R, x

(2.2)

Rn xác định bởi F (t, u, v) =

× n và

x, y = y. l+ i2, l+ i1, fi(y) y fi(x) x l−i1 ≤ ≤ ≤ ∀ ∈ 6 − − − − gi(x) x Rn gi(y) y Rn → × Rn l−i2 ≤ Nhận xét 2.1.1. Xét hàm F : R+ × Rn, v = (vij) (Fi(t, u, v)) với u = (ui) ∈ ∈

j=1 X

n. Do đó, với mỗi vectơ ban đầu x0

cij(t)gj(vij) + Ii(t). bij(t)fj(uj) + Fi(t, u, v) = ai(t)ui + −

Do giả thiết (A2.1), F (t, u, v) là hàm liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipschitz Rn, tồn tại duy nhất trên R+ × một nghiệm x(t) = x(t, x0) của hệ (2.1) xác định trên [0,

× ∈ ) [15]. ∞

2.2. Tính ổn định hữu hạn của mô hình mạng nơron Hopfield

với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất

Trong mục này, chúng tôi phát triển khái niệm ổn định với thời gian hữu

hạn đối với hệ (2.1). Cụ thể hơn, dựa trên một số kĩ thuật trong nguyên lý so

sánh, chúng tôi thiết lập các điều kiện đảm bảo tính ổn định của hệ (2.1) trong

một khoảng thời gian hữu hạn cho trước. Tương tự khái niệm ổn định hữu hạn

đã trình bày trong Chương 1, chúng tôi nhắc lại định nghĩa sau.

Định nghĩa 2.2.1. Cho trước một thời điểm T > 0 và các số dương r1 < r2. Một

nghiệm x∗(t) của (2.1) được gọi là ổn định hữu hạn đối với (r1, r2, T ) nếu nghiệm

bất kì x(t) của (2.1) thỏa mãn nếu

với mọi t

Hệ (2.1) được gọi là ổn định hữu hạn đối với (r1, r2, T ) nếu nghiệm bất kì

x(0) x(t) r1 thì < r2 x∗(0) x∗(t) k − k∞ ≤ k − k∞ [0, T ]. ∈

chúng tôi kí hiệu các hằng số không âm Lf

i = max {

x∗(t) của (2.1) là ổn định hữu hạn đối với (r1, r2, T ).

Để tiện cho việc phát biểu các điều kiện ổn định, dưới giả thiết (A2.1), l+ l−i2} i2, { − 2, . . . , Lg .

, Lg i = max 1, Lg Lg

2 , . . . , Lf

1 , Lf Lf

(A2.2) Giả sử các ma trận A(t) = diag

, B(t) = (bij(t)) và

i l+ l−i1} i1, − , Lg = diag [n], và các ma trận Lf = diag } } { { ∈

a1(t), a2(t), . . . , an(t) } { C(t) = (cij(t)) thoả mãn các điều kiện sau

(2.3)

ở đó ai, bij và cij là các hằng số biết trước.

Từ các giả thiết (A2.1) và (A2.2), chúng tôi kí hiệu các ma trận sau đây

0, i, j [n], ai(t) bij, cij(t) cij, bij(t) ai > 0, ≥ | t ∀ ≥ | ≤ ∈ | | ≤

, = diag = (bij), = (cij), B C A

Kết quả chính của mục này được trình bày trong định lí dưới đây.

Định lí 2.2.1. Giả sử các giả thiết (A2.1) và (A2.2) được thỏa mãn. Cho trước

. = a1, a2, . . . , an} Lg { Lf + M B C − A

các số thực 0 < r1 < r2 và thời gian T > 0, hệ (2.1) là ổn định hữu hạn đối với

Rn, ξ

điều kiện sau

0, thỏa mãn các (r1, r2, T ) nếu tồn tại một số dương γ và một vectơ ξ ∈ ≻

(2.4a)

( 0,

(2.4b)

ở đó C(ξ) = ξ+ξ−

+ là hằng số xác định mức độ “đồng đều” của các thành phần

của vectơ ξ.

M − C(ξ) < ≺ γT , e− γI) ξ r2 r1

Rn, ξ

Chứng minh. Cho ξ = (ξi)

Khi đó, ta có

0, là một vectơ thỏa mãn điều kiện (2.4a). ∈ ≻

(2.5)

j + cijLg

j=1 (cid:16) X

và x(t)

(cid:17) Giả sử x∗(t) là một nghiệm của (2.1) với điều kiện đầu x∗(0) = x0 ∗

là nghiệm bất kì của (2.1), x(0) = x0. Từ phương trình (2.1) ta có

[n]. bijLf ξj < (γ + ai)ξi, i ∈

j=1 X

(cid:3)

bij(t) fj(xj(t)) (xi(t) ai(t) [xi(t) fj(x∗j (t)) x∗i (t)) = x∗i (t)] + d dt − − − −

(2.6)

(cid:2) gj(x∗j (qijt))

j=1 X

Rn.

Kí hiệu zi(t) = xi(t)

(cid:3) [n], và z0 = (zi(0))

(cid:2) x∗i (t), t > 0, zi(0) = xi(0)

, t > 0. + cij(t) gj(xj(qijt)) −

Chúng tôi nhắc lại hàm dấu suy rộng σzi của zi(.) cho bởi

x∗i (0), i − − ∈ ∈

nếu zi(t) > 0 hoặc (zi(t) = 0 và z′i(t) > 0),



nếu zi(t) = 0 và z′i(t) = 0,

nếu zi(t) < 0 hoặc (zi(t) = 0 và z′i(t) < 0).

σzi(t) = 0

 

Khi đó,

1 −

zi(t) = zi(t)σzi(t) và ta có | |

, lim sup 0+ ǫ →

zi(t) D+ | | zi(t) = z′i(t)σzi(t). zi(t + ǫ) | − | ǫ | |

Do đó, từ phương trình (2.6) và giả thiết (A2.1), với bất kì i

[n], ta có ∈

j=1 X

D+ + bij(t) fj(xj(t)) zi(t) ai(t) zi(t) fj(x∗j (t)) − | | || | | ≤ − | |

+ cij(t) gj(xj(qijt)) gj(x∗j (qijt)) | | || −

(2.7)

j=1 X ai|

j=1 X

, t + + [0, T ]. zi(t) zj(t) zj(qijt)) Lf j bij Lg j cij | ≤ − | | | | ∈

Xét các hàm vi(t), i

[n], định nghĩa bởi ∈

(2.8)

1 l k

Chú ý rằng, với bất kì t

z0 0. ξieγt, t vi(t) = ξ− k∞ ≥

γ(1

qij )t

0, i, j [n], ta có ≥ ∈

(2.9)

−

1 l k

Do đó, từ (2.8) và (2.9) suy ra

z0 vj(qijt) = ξ− ξjeγqij t = vj(t)e− vj(t). k∞ ≤

j cijvj(qijt)

j bijvj(t) +

j=1 X

Lg Lf aivi(t) + −

j cij

j=1 X j bij + Lg Lf

vj(t) aivi(t) + ≤ −

j=1 (cid:16) X eγt

j cij

(cid:17) j bij + Lg Lf

1 ξ− l k

(cid:20)

(cid:21)

(cid:17)

j=1 (cid:16) X

Kết hợp với (2.5) ta được

z0 . ξj aiξi + − k∞ ≤

(2.10)

j=1 X

0. aivi(t) + v′i(t) Lg j cijvj(qijt), t Lf j bijvj(t) + ≥ ≥ −

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh

[0, T ], i [n]. Thật vậy, với zi(t) vi(t), | t ∀ ∈ ∈ | ≤ một số λ > 1 cho trước tùy ý, ta xét hàm

Vì

[0, T ], i [n]. zi(t) λvi(t), t ρλ i (t) = | | − ∈ ∈

1 ξ− l ξi

z0 z0 zi(0) < λvi(0) | | ≤ k k∞ ≤ k k∞

nên ρλ

i (0) < 0 với mọi i (0, T ) sao cho ρλ

j (t)

i (t t ∗ ∈ ∗ từ (2.7) và (2.10) ta có

[n]. Lập luận phản chứng, giả sử tồn tại i [n] và một ∈ 0, ∈ ) = 0 và ρλ ], j [n]. Khi đó, với t ), [0, t ∗ [0, t ∗ t ∀ ∈ ≤ ∈ ∈

i (t) = D+

D+ρλ zi(t) λv′i(t) | | −

j=1 X

(cid:3)

(cid:2)

(cid:2) n

+ zj(t) λvj(t) zi(t) λvi(t) ai Lf j bij − | | − | ≤ −

(cid:3) zj(qijt)

j (qijt)

j (t) +

j=1 X aiρλ

(cid:2) i (t) +

(cid:3) Lg j cijρλ

+ λvj(qijt) Lg j cij | − |

j=1 X

i (t).

Lf j bijρλ ≤ −

Đánh giá trên dẫn đến

ait, t

aiρλ ≤ −

Cho t

ta thu được

). ρλ i (t) ρλ i (0)e− [0, t ∗ ≤ ∈

ait∗ < 0.

t ∗ ↑

i (t ∗

0 = ρλ ) ρλ i (0)e− ≤

Mâu thuẫn trên chứng tỏ ρλ

i (t)

[0, T ], i 0 và do đó zi(t) λvi(t) với mọi t | | ≤ ∈ ∈ ≤ [n]. Cho λ 1+ ta được →

(2.11)

1 l k

Từ (2.11) ta có

z0 [0, T ], i [n]. zi(t) vi(t) = ξ− ξieγt, t | | ≤ k∞ ∈ ∈

x(t) x∗(t) zi(t) k − k∞ |

1 + k x0

z0 eγt = max [n] | i ∈ ξ+ξ− ≤

(2.12)

eγt, t C(ξ) [0, T ]. k − ≤ ∈ k∞ x0 ∗k∞

Bây giờ cho

x0 r1, do (2.12) và điều kiện (2.4b), ta có k − x0 ∗k∞ ≤

x0 eγt x(t) C(ξ) [0, T ]. x∗(t) C(ξ)r1eγT < r2, k − k∞ ≤ k − x0 ∗k∞ ≤ t ∀ ∈

Kết quả này chứng tỏ hệ (2.1) là ổn định hữu hạn đối với (r1, r2, T ). Định lí được

chứng minh.

Nhận xét 2.2.1. Điều kiện (2.4a) trong Định lí 2.2.1 không đảm bảo tính ổn

định tiệm cận của hệ (2.1) theo nghĩa Lyapunov. Cụ thể hơn, như đã trình trong

chứng minh Định lí 2.2.1, điều kiện (2.4a) cho phép nghiệm tăng trưởng không

do ràng buộc (2.4b). Điều đó đảm bảo tính ổn định hữu

quá một hàm mũ với chỉ số mũ γ. Tuy nhiên, trên cả đoạn [0, T ], sự tăng trưởng ấy không vượt quá r2 r1

hạn trên đoạn [0, T ]. Cần lưu ý thêm rằng ngay cả khi các điều kiện (2.4a) và

(2.4b) thỏa mãn với bất kì T > 0, r2 > r1 > 0, hệ (2.1) có thể vẫn không ổn định

tiệm cận [16] (xem ví dụ ở mục sau).

Nhận xét 2.2.2. Do

là một M-ma trận, điều kiện (2.4a) trong

γ , γI

Định lí 2.2.1 có thể kiểm tra bằng nhiều tiêu chuẩn khác nhau, chẳng hạn như

các điều kiện tương đương (i)-(v) trong Mệnh đề 1.1.1.

−M − M

2.3. Dáng điệu tiệm cận: Sự đồng bộ nghiệm của mô hình (2.1)

Như đã chỉ ra ở Nhận xét 2.2.2 rằng nếu tồn tại một vectơ ξ

Rn, ξ

sao cho

là một M-ma trận không suy biến) thì hệ (2.1) là

ổn định hữu hạn với bất kì (r1, r2, T ) mà 0 < r1 < r2 và T > 0. Trong mục này

chúng tôi chỉ ra rằng nếu

là một M-ma trận không suy biến thì các nghiệm

0, ≻ ∈ ξ 0 (tức là M ≺ −M

của (2.1) sẽ đồng bộ với tốc độ lũy thừa khi thời gian dần tới vô hạn. Cụ thể,

chúng tôi có kết quả sau.

Định lí 2.3.1. Giả sử các giả thiết (A2.1), (A2.2) được thỏa mãn và

là một

−M

M-ma trận không suy biến. Khi đó, tồn tại các hằng số β > 0 và σ0 > 0 sao cho

hai nghiệm bất kì x(t) và x∗(t) của (2.1) thỏa mãn đánh giá

−M

(2.13)

x(0) x(t) β k − k∞ x∗(t) x∗(0) (1 + t)σ0 k − k∞ ≤

với mọi t

[0, ). ∞ ∈

Nhận xét 2.3.1. Xét một quỹ đạo nghiệm cố định x∗(t) của (2.1). Đánh giá

(2.13) chỉ ra rằng một quỹ đạo nghiệm bất kì x(t) của (2.1) sẽ có dáng điệu

tương tự x∗(t) khi thời gian đủ lớn. Do đó, bó các quỹ đạo nghiệm của (2.1)

cũng sẽ có dáng điệu tương tự x∗(t) khi t dần ra vô hạn. Trong lý thuyết hệ thống

và điều khiển mạng, đặc tính này thường được gọi là tính đồng bộ nghiệm.

Chứng minh. Do giả thiết

là một M-ma trận không suy biến nên, theo

Mệnh đề 1.1.1, tồn tại một vectơ ξ

Rn, ξ

−M )ξ 0, sao cho ( 0. Do đó, −M ≻ ≻

j cij

(cid:17)

j=1 (cid:16) X

Kí hiệu

[n]. ξj < 0, aiξi + ∈ j bij + Lg Lf − i ∀ ∈

j cij

j bij + Lg Lf

)

j=1 X

(cid:1)

(cid:0)

Khi đó, η > 0 và ta có

. ξj aiξi − η = min [n] ( i ∈

j cij

j bij + Lg Lf

(cid:17)

Với mỗi i

j=1 (cid:16) X [n], hàm số Hi(σ) xác định bởi

η, i [n]. ξj aiξi + − ≤ − ∈

σ ln 1 qij e

∈

j cijξj

(cid:20)

(cid:21)

j=1 X

là một hàm liên tục và đơn điệu tăng ngặt trên [0,

η Lg 1 Hi(σ) = σξi + − −

khi σ

), Hi(0) < 0 và Hi(σ) ∞

→ ∞ . Do đó, phương trình Hi(σ) = 0 có một nghiệm dương duy nhất σ∗i .

0, [n]. Hơn nữa, các đánh giá → ∞ [n] σ∗i khi đó Hi(σ0) Kí hiệu σ0 = mini ∈ ≤

(cid:19)

(cid:18)

đúng với mọi t

, ln ln σ0ξi, ≤ σ0ξi 1 + t ≤ i ∀ ∈ 1 + t 1 + qijt 1 qij

σ0 ln(cid:16)

1+t 1+qij t (cid:17)

0, i, j ∈ [n]. Do đó, ta có n

(2.14)

j=1 X

j=1 X Cho x(t) và x∗(t) là hai nghiệm bất kì của (2.1) với các điều kiện đầu

0. Gjcijξje aiξi + Lf j bijξj + ≥ σ0ξi 1 + t − ≤

. Ta xét các hàm hàm số ϕi(t), i

[n], xác định bởi ∈ x(0) = x0 và x∗(0) = x0 ∗

σ ln(1+t), t

1 l k

x0 0. ϕi(t) = ξ− ξie− x0 ∗k∞ − ≥

Tương tự đánh giá cho ở (2.10) ta cũng có

(2.15)

j=1 X

Lập luận tương tự trong (2.12), từ (2.15) ta được

σ ln(1+t)

0. ϕ′i(t) aiϕi(t) + Lg j cijϕj(qijt), t Lf j bijϕj(t) + ≥ ≥ −

β x(t) x∗(t) e− k − k∞ ≤ k −

ở đó β = C(ξ) = ξ+ξ−

+ . Định lí được chứng minh.

Nhận xét 2.3.2. Hằng số σ0 trong chứng minh của Định lí 2.3.1 xác định tốc

độ đồng bộ kiểu lũy thừa đối với nghiệm của (2.1). Tốc độ đồng bộ σmax được

cho bởi thuật toán sau:

, t 0, = β k x0 ∗k∞ x0 ∗k∞ x0 x0 − (1 + t)σ0 ≥

Xác định vectơ ξ

Rn, ξ

Tính

ξ 0, thỏa mãn 0; ∈ ≻ M ≺ •

(2.16)

j + cijLg

(cid:26)

(cid:27)

j=1 X

(cid:0)

(cid:1)

Tốc độ đồng bộ kiểu lũy thừa σmax được tính lặp bởi

• η = ( ; ξj bijLf aiξi −M − ξ)l = min [n] i ∈

•

σ ln 1 qij e

j cijξj

(cid:20)

(cid:21)

j=1 X

Lg η 1 0, [n]. (2.17) max σ > 0 : Hi(σ) = σξi + − − ≤ i ∀ ∈

2.4. Ví dụ minh họa

Trong mục này, chúng tôi đưa ra một số ví dụ minh họa cho tính hiệu quả

của các điều kiện ổn định trình bày trong các mục trước. Trước hết, chúng tôi

xét trường hợp đặc biệt của hệ (2.1), ở đó các hệ số kết nối được giả thiết là

hằng số, để chỉ ra tính vượt trội của các điều kiện thu được so với một số công

bố trước đó. Phần sau của mục này là các mô phỏng số cho các kết quả trình

bày ở các Định lí 2.2.1 và 2.3.1.

Trước hết, có thể thấy rằng, mô hình (2.1) là dạng tổng quát của mô hình

mạng nơron với trễ tỉ lệ. Một số dạng đặc biệt của (2.1) đã được nghiên cứu

trong [42,44,45] về tính ổn định kiểu đa thức như trong phần cuối mục 2.3. Hơn

nữa, vì qijt = t

khi t

τij(t), ở đó τij(t) = (1 qij)t là hàm trễ truyền tải, và τij(t)

, qij

nữa, có thể thấy từ Định lí 2.3.1 rằng các điều kiện đưa ra trong Định lí 2.3.1

đảm bảo tính ổn định dạng đa thức đối với lớp mạng nơron có trễ không bị chặn

được xét trong [8].

Bây giờ ta xét một lớp đặc biệt của (2.1) với hệ số hằng số cho bởi

→ ∞ − [n], là các hàm trễ không bị chặn. Thêm − = 1. Vì vậy τij(t), i, j → ∞ ∈ 6

(2.18)

j=1 X

t > 0, cijgj(xj(qijt)) + Ii, bijfj(xj(t)) + aixi(t) + x′i(t) = −

i , i

ở đó các hàm kích hoạt fj(.) và gj(.), j

[n], xi(0) = x0 ∈

[n], thỏa mãn giả thiết (A2.1), ai, Ii,

[n]. bij, cij, i, j ∈ [n], là các hằng số và ai > 0, i ∈ ∈

Ta kí hiệu

Rn, ξ

f 0 thì hệ (2.18) có ít

B C = diag = ( = ( = + ), ) và bij cij a1, a2, . . . , an A { } | | | | | | | | M − A B C Lg. Bằng các lập luận tương tự trong [8] (Bổ đề 2) ta có thể chỉ ra Lf + | | | | rằng nếu tồn tại một vectơ ξ 0, thỏa mãn ≺ ∈ ξ M

và ổn định dạng đa thức. Do đó Định lí 2.3.1 suy ra Định lí 2 trong [8]. Mặt

khác, các điều kiện đưa ra trong [42] thực chất cũng chỉ đảm bảo tính ổn định

tiệm cận với tốc độ lũy thừa của nghiệm. Đối với hệ (2.18), các điều kiện đưa

ra trong [42] (Định lí 3.3) đó là, tồn tại σ > 1 và ξ

Rn, ξ

≻ nhất một điểm cân bằng ¯x∗. Theo Định lí 2.3.1, điểm cân bằng ¯x∗ là duy nhất

0, sao cho ∈ ≻

(2.19)

i +

(cid:17)

(cid:16)

j=1 X

, i Lf [n], σ) > ξi(ai cji ξj bji Lg i eστi ∈ − | | | |

ở đó qij = qi,

1. Do đó (2.19) suy ra [n], và τi = j ∀ ∈ − ln qi. Rõ ràng eστi = 1 qσ i ≥

(cid:16)

(cid:17)

j=1 X

σ) > ξj bji cji ξiai > ξi(ai Lf i + Lg i eστi | | | | −

(cid:17)

(cid:16)

j=1 X

Điều này chứng tỏ

là một M-ma trận không suy biến. Như vậy điều kiện

, [n]. cji ξj bji Lg i Lf i + i ∀ ∈ | | | | ≥

đưa ra trong Định lí 2.3.1 tốt hơn điều kiện trong [42].

Dưới đây chúng tôi xét một số ví dụ và mô phỏng để minh họa cho các

điều kiện ổn định đưa ra trong mục trước.

Ví dụ 2.4.1. Xét hệ (2.1), ở đó

− M

, a2(t) = 3 + cos2 2t, a1(t) = 4 + sin 3t | |









sin2 t 2 cos 2t | | , B(t) = , C(t) = 0 0 sin 3t | | 2 cos2 2t

1, f2(x2) = ln(1 + exp(x2)),

0 sin2 √2t  1 + x2 f1(x1) =

g1(x1) = cos(x1), g2(x2) = tanh(x2),



. , I(t) = (qij) =



 Rõ ràng các giả thiết (A2.1)-(A2.2) được thỏa mãn. Hơn nữa, ta có

0.5 0.8 0.6 0.9  0 0 



1 1 = diag 4, 3 , B = , C = , Lf = Lg = I2, { } A 0 2



2 0  0 1 

và do đó

. Do định thức det(

là một





M-ma trận suy biến. Tuy nhiên, với bất kì γ > 0, ma trận

= ) = 0 nên rõ ràng M M −M 2 − 2 − 2 2 

γ = γI





là một M-ma trận không suy biến. Miền nghiệm của (2.4a) được cho bởi

2 + γ = − M −M 2 − 2 − 2 + γ 

R2 : ξ1 > 0, ξ2 > 0,



 







. ξ = ξ1 < ξ2 < 2 2 + γ 2 + γ 2 ∈ ξ1  ξ1 ξ2 

Để minh họa, chúng tôi lấy r1 = 1, r2 = 1.2 và γ = 0.01 thì điều kiện (2.4b),

tương đương với điều kiện 0.995 < C(ξ) < 1.005, đúng với mọi nghiệm ξ

thỏa mãn

γξ

0 ≻

phỏng trên Hình 2.1, mọi quỹ đạo nghiệm của hệ với điều kiện đầu

đều không vượt quá ngưỡng r2 trên đoạn [0, T ].

1.2

(t)| |x 1

(t)| |x 2

0.8

) t ( x e s n o p s e R

0.4

Time (sec)

Hình 2.1: Một quỹ đạo

của hệ (2.1) trên đoạn [0, 15]

x1(t) |

x2(t) |

Trong ví dụ tiếp theo, chúng tôi chỉ ra rằng, ngay cả khi các điều kiện trong

Định lí 2.2.1 thỏa mãn với bất kì r1, r2, T > 0, hệ (2.1) vẫn không ổn định tiệm

cận theo nghĩa Lyapunov.

Ví dụ 2.4.2. Xét phương trình sau

t)x(t) + (1

(2.20)

0. Do đó, hệ (2.1) là ổn định hữu hạn đối với (r1, r2, T ), ở đó M ≺ 0 < T Tmax = 18.73. Trong kết quả mô phỏng chúng tôi lấy T = 15. Như mô ≤ x(0) r1 k k ≤

t)x(0.5t), t > 0, x(0) = x0.

Có thể kiểm tra được rằng các điều kiện (2.4a), (2.4b) trong Định lí 2.2.1

thỏa mãn với bất kì 0 < r1 < r2 và T > 0. Do đó (2.20) là ổn định hữu hạn với

bất kì (r1, r2, T ) mà 0 < r1 < r2, T > 0. Bây giờ ta chứng minh (2.20) không ổn

định tiệm cận theo nghĩa Lyapunov. Dựa trên một số kĩ thuật so sánh bằng các

bất đẳng thức vi phân như trong [19], có thể chỉ ra từ (2.20) rằng nghiệm bất

kì x(t) của (2.20) thỏa mãn x(t) > 0 với mọi t > 0 nếu x0 > 0. Giả sử x(t) là một

x′(t) = (1 + e− e− − −

−t

1), t

nghiệm của (2.20) với x0 > 0. Xét hàm v(t) = x0e2(e

−

t)v(t) + (1

t)v(0.5t),

0. Khi đó, ≥

−t

Lập luận tương tự chứng minh Định lí 2.3.1, ta được x(t)

0. v′(t) (1 + e− e− ≤ − − t ∀ ≥

−

với mọi t

v(t) = x0e2(e ≥ 0. Điều đó suy ra ≥

2 > 0.

Do đó, nghiệm x = 0 của (2.20) không ổn định tiệm cận theo nghĩa Lyapunov.

Hơn nữa, như chỉ ra trong Hình 2.2, nghiệm x(t) của (2.20) hội tụ tới x(0)e−

x(t)

0.5

) t ( x e s n o p s e R

x = x0e−2 = 0.1353

0.2

0.1

Time (sec)

Hình 2.2: Một quỹ đạo của (2.20) với x(0) = 1

Các ví dụ tiếp theo để chỉ ra các điều kiện ổn định đưa ra trong các Định

lí 2.2.1 và 2.3.1 của các mục trước là hiệu quả hơn so với một số công bố gần

đây, chẳng hạn trong [42, 44, 45].

Ví dụ 2.4.3. Xét hệ (2.1) với các dữ liệu

x(t) x0e− ≥ lim inf t →∞



2 1 , = diag 4, 3 , B = , C = , I = { } A 0 0



 ) và qij = q = 0.5, i, j = 1, 2.

 −

1 1  2 1  0 0  1 xi xi + 1 | fi(xi) = gi(xi) = 0.5 ( | | − |

Rõ ràng giả thiết (A2.1) thỏa mãn với Lf

i = 1 và

i = Lg

là một M-ma trận không suy biến. Hơn nữa, dễ thấy rằng

= − M 1  0

f ξ ≺

3 − 1    0, ở đó ξ = M

độ lũy thừa khi thời gian ra vô hạn. Nói cách khác, nghiệm bất kì của (2.1) ổn

định tiệm cận theo nghĩa Lyapunov với tốc độ hút kiểu lũy thừa.

Với ví dụ này, các điều kiện ổn định đưa ra trong [42] không thỏa mãn.

Cụ thể hơn, với bất kì σ

(1 0.25)⊤. Do đó, theo Định lí 2.3.1, các nghiệm của hệ (2.1) đồng bộ với tốc

2+eσ ln 2

ln q, ta được kij = (ai bij cij σ)− Lf j + (1, 3), bằng cách tính ma trận K = (kij), ở đó ∈ Lg j eστi) và τi = | | − | |

− 1+2eσ ln 2

− 1+eσ ln 2





− 0

−



và do đó ρ(K) > 1 với mọi σ

 (1, 3). Do vậy, các điều kiện ổn định trong [42]

, K =

không có hiệu lực. Ví dụ này chỉ ra tính vượt trội của cách tiếp cận dựa trên

nguyên lí so sánh so với việc sử dụng hàm Lyapunov toàn phương như trong [42].

Ví dụ 2.4.4. Xét hệ (2.1) với các dữ kiện

∈

= γI2, ở đó γ > 0 là một hằng số

nào đó, B = W1 = I2, fi(xi) = gi(xi) = 0.5 (

kì γ > 2 và q

Ta sẽ chỉ ra rằng, các điều kiện trong Định lí 2.3.1 hiệu quả hơn so với các

điều kiện trong [44, 45]. Cụ thể, không mấy khó khăn có thể kiểm chứng rằng

Định lí 3.1 trong [45] bao hàm Định lí 3.1 trong [44]. Theo Định lí 3.1 trong [45],

hệ đã cho là ổn định tiệm cận toàn cục nếu tồn tại một số thực β > 0, các ma

trận chéo M, N1, N2 với các phần tử trên đường chéo dương thỏa mãn bất đẳng

thức ma trận sau đây

1 (0, 1), xi ) và qij = q | − | − | A xi + 1 | e = ∈ i, j = 1, 2. Rõ ràng giả thiết (A2.1) thỏa mãn với F = G = I2, và do đó M (2 γ)I2. Theo Định lí 2.3.1, nghiệm của hệ đồng bộ với tốc độ đa thức với bất − (0, 1). ∈

(2.21)

1MBriN −

i B⊤riM

(cid:19)

i=1 (cid:18) X

2(1 γ)M + < 0, Ni + β− β q −

. Chú ý rằng

ở đó Br1 =

và Br2 =



1 0



0 0

 1MBriN −

(cid:0)

(cid:1)

, 0 0  Ni + β− MBri + B⊤riM 0 1  i B⊤riM β q ≥ 1 √q

và do đó (2.21) kéo theo

(2.22)

Điều kiện (2.22) thỏa mãn với một ma trận chéo M > 0 nào đó khi và chỉ khi

M < 0. 2(1 γ)M + − 2 √q

√q > 2 và q > 1

(γ

−

1 1)2 . Như vậy, điều kiện √q < γ ổn định đưa ra trong [44, 45] ngặt hơn hơn rất nhiều so với điều kiện ổn định

trình bày trong Định lí 2.3.1.

1. Kết quả này suy ra γ > 1 + 1 −

2.5. Kết luận Chương 2

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định trong thời gian hữu

hạn đối với một lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến mô tả mạng nơron

Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất. Dựa trên một số kĩ

thuật so sánh bằng các bất đẳng thức vi-tích phân, chúng tôi thiết lập các điều

kiện ổn định (trong thời gian hữu hạn) và một mở rộng cho tính đồng bộ (khi

thời gian ra vô hạn). Các kết quả đạt được trong chương này bao gồm:

1. Thiết lập được một lớp điều kiện đủ thông qua tính chất phổ của M-ma

trận đảm bảo rằng mọi quỹ đạo trạng thái của hệ không vượt quá một

ngưỡng cho trước trong khoảng thời gian hữu hạn (Định lí 2.2.1);

2. Với một số điều kiện hạn chế hơn so với điều kiện ổn định trong thời gian

hữu hạn, chúng tôi chỉ ra tính ổn định của hệ với thời gian hữu hạn bất kì.

Đồng thời, trong trường hợp này, chúng tôi chứng minh được sự đồng bộ

của nghiệm với tốc độ lũy thừa (Định lí 2.3.1);

3. Tính hiệu quả của các điều kiện ổn định và đồng bộ đưa ra trong chương

này được minh họa qua các ví dụ và mô phỏng số. Các kết quả mô phỏng

chỉ ra tính ưu việt của cách tiếp cận mà chúng tôi sử dụng so với một số

công bố trước đó.

Chương 3

TÍNH TIÊU HAO CỦA LỚP HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

MÔ TẢ MẠNG NƠRON KHÔNG DỪNG CHỨA TRỄ TỈ LỆ

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu bài toán phân tích tính tiêu hao

của một lớp hệ phương trình vi phân trong mô hình mạng nơron Hopfield với

hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ. Cụ thể, chúng tôi phân tích tính tiêu hao của lớp

hệ phương trình vi phân dạng sau đây

(3.1)

j=1 X n

bij(t)fj(xj(t)) ai(t)xi(t) + x′i(t) = −

j=1 X

trong hai trường hợp: (i) các hệ số tự phản hồi (tốc độ ức chế nơron) thỏa mãn

điều kiện chính quy ai(t)

[n], + cij(t)gj(xj(qijt)) + Ii(t), t > 0, i ∈

0 ai(t) = 0. Như đã trình bày sơ bộ ở Chương 1, cách tiếp cận

≥

dựa trên phương pháp đổi biến [43] hay sử dụng các biến thể của bất đẳng thức

Halanay [19, 36] không còn phù hợp với mô hình (3.1) bởi cấu trúc tự nhiên của

nó. Vì vậy, để phân tích tính tiêu hao của các hệ phương trình vi phân dạng

(3.1), chúng tôi phát triển một số kĩ thuật so sánh dựa trên lý thuyết M-ma trận

để thiết lập các điều kiện đảm bảo sự tồn tại của các tập hấp thụ dạng mũ suy

rộng. Nội dung của chương này được trình bày dựa trên bài báo [2] trong Danh

mục công trình công bố.

ai > 0, và (ii) các hệ số tự phản hồi suy biến, tức là ≥ ai(t) > 0 và inft

3.1. Thiết lập sơ bộ

Rn là vectơ trạng thái của các nơron,

Xét hệ (3.1), ở đó x(t) = (xi(t))

R+, i

(xem diễn giải trong Chương 2), bij(t)

nơron tại t, fj(.), gj(.), j

vào của hệ và qij

đầu của hệ (3.1) được cho bởi

∈ ai(t) ∈ ∈ [n], là các hệ số tự phản hồi hay tốc độ tự ức chế của các nơron R là các trọng số liên kết R và cij(t) ∈ ∈ [n], là các hàm kích hoạt nơron, (Ii(t)) là vectơ đầu ∈ (0, 1), i, j [n], là các hằng số biểu thị trễ tỉ lệ. Điều kiện ∈ ∈

(3.2)

i , i

Rn là vectơ cho trước.

ở đó x0 = (x0 i )

[n], xi(0) = x0 ∈

Giả thiết (A3.1): Tồn tại các hằng số Lf

∈

j ≥

0, Lg 0, j [n], thoả mãn

(3.3)

với mọi a, b

a a , gj(a) gj(b) fj(a) fj(b) ∈ Lg j | b | − Lf j | b | − | − | ≤ − | ≤

| R. ∈

Giả thiết (A3.2): Các trọng số liên kết bij(t), cij(t), i, j

[n], và tín hiệu đầu vào ∈ [n], Ii(t), i [n], là các hàm bị chặn, tức là tồn tại các hằng số bij, cij và I i, i, j ∈ ∈ sao cho

Trước hết, chúng tôi trình bày các định nghĩa sau đây.

Định nghĩa 3.1.1. Một tập compact Ω

Rn được gọi là tập hút toàn cục đối

0, i, j [n]. bij(t) bij, cij(t) cij, Ii(t) I i, | | ≤ | | ≤ | t ∀ ≥ | ≤ ∈

với (3.1) nếu nghiệm bất kì x(t) = x(t, x0) của (3.1) thỏa mãn

⊂

→∞

lim sup ρ(x(t), Ω) = 0,

là khoảng cách từ điểm x

Rn đến Ω.

ở đó ρ(x, Ω) = infy

Ω k ∈

Định nghĩa 3.1.2. Tập compact Ω

Rn được gọi là hút mũ suy rộng đối

x y − k∞ ∈

với (3.1) nếu tồn tại một hàm κ(

, sao cho nghiệm bất kì x(t) = x(t, x0) của (3.1) thỏa mãn

→∞

⊂ x0 ) 0, một hàm không giảm σ(t) 0, k k∞ ≥ ≥ σ(t) = limt ∞

σ(t), t

(3.4)

x0 ρ(x(t), Ω) κ( 0. )e− ≤ k k∞ ≥

Nếu σ(t) = αt, ở đó α > 0 là hằng số, thì Ω được gọi là một tập hút mũ của (3.1).

Tương tự Chương 1, chúng tôi định nghĩa tính tiêu hao của (3.1) như sau.

Định nghĩa 3.1.3. Hệ (3.1) được gọi là tiêu hao toàn cục nếu tồn tại một tập

bị chặn

Rn sao cho với bất kì tập bị chặn B

Rn, tồn tại t ∗

tính chất với mọi vectơ ban đầu x0

trong

với mọi t

Tập

như vậy được gọi là một tập hấp thụ của hệ (3.1).

(B) có = t ∗ B ⊂ ⊂ B, quỹ đạo nghiệm tương ứng x(t, x0) chứa ∈ (B). t ∗ B ≥

Nhận xét 3.1.1. Nếu tồn tại một tập hút mũ suy rộng Ω và hàm κ(.) cho ở (3.4)

không giảm thì hệ (3.1) tiêu hao toàn cục. Thật vậy, nếu Ω là tập hút mũ suy

rộng của (3.1) thì với một tập bị chặn bất kì B

Rn, đặt r(B) = supx0

B k ∈

ta có

σ(t), t

x0 ⊂ k∞

Cho trước ǫ > 0. Kí hiệu

ρ(x(t), Ω) 0. κ(r(B))e− ≤ ≥

Rn : ρ(x, Ω)

ǫ =

x B { ∈ ǫ } ≤

thì rõ ràng

, ở đó

ǫ là tập bị chặn chứa quỹ đạo

B x(t, x0) : t (B), x0 t ∗ B ∈ } {

(cid:26)

(cid:27)

Do đó,

ǫ là một tập hấp thụ của (3.1) và hệ (3.1) tiêu hao toàn cục.

. (B) = inf t > 0 : σ(t) ln t ∗ ≥ κ(r(B)) ǫ ≥

Mục đích chính của chương này là thiết lập các điều kiện cho sự tồn tại

của các tập hút mũ suy rộng đảm bảo tính tiêu hao toàn cục của hệ (3.1). Dựa

trên nguyên lí so sánh bằng các bất đẳng thức vi phân, chúng tôi thiết lập các

điều kiện thông qua các M-ma trận đối với hai trường hợp: (i) hệ số tự phản hồi

một cách tùy ý trên khoảng (0,

ai(t) dương đều; và (ii) các hệ số ai(t), i [n], suy biến, tức là ai(t) có thể gần 0 ∈ ). ∞

3.2. Tính tiêu hao toàn cục của mô hình (3.1)

3.2.1. Trường hợp hệ số phản hồi chính quy

Trong mục này chúng tôi thiết lập điều kiện tiêu hao toàn cục của hệ (3.1)

dưới giả thiết sau đây.

Giả thiết (A3.3): Tồn tại các số dương ai, i

[n], sao cho ∈

(3.5)

0, i [n]. ai(t) ai, t ∀ ≥ ∈ ≥

Kí hiệu

n).

1 , Lf

1, Lg

Định lí 3.2.1. Giả sử các giả thiết (A3.1)-(A3.3) được thỏa mãn. Khi đó, nếu

là một M-ma trận không suy biến thì ta có các khẳng định sau:

= CLg, ở đó B = (bij), A A − M n) và Lg = diag(Lg C = (cij), Lf = diag(Lf = diag(a1, a2, . . . , an) và 2 , . . . , Lf BLf − 2, . . . , Lg

(1) Tập Ω xác định bởi

Rn :

x x Ω = ( ∈ k k∞ ≤ γ χ)+

o Rn + thỏa mãn ;

[n]

n j=1(bij

nP (2) Hệ (3.1) tiêu hao toàn cục.

χ M là một tập hút mũ suy rộng của hệ (3.1), ở đó χ = 1, k k∞ χ fj(0) + cij ∈ gj(0) ) + I i 0 và γ = maxi ∈ | | | | M ≻

Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.1.2, tồn tại một vectơ χ

Rn, χ

sao cho

χ = 1 0 với ∈ k k∞ ≻ χ 0. Do đó, M ≻

(3.6)

j + cijLg

j=1 X

(cid:1)

(cid:0)

Kí hiệu

[n]. bijLf χj > 0, aiχi i ∀ ∈ −

j + cijLg

j )χj

i ∈

j=1 X

(cid:9)

(cid:8)

Khi đó, m∗ là một số dương thỏa mãn điều kiện

. (bijLf aiχi m∗ = min [n] −

(3.7)

j + cijLg

(cid:17)

j=1 (cid:16) X

[n]. m∗, bijLf χj aiχi + − i ∀ ∈ ≤ −

Giả sử x(t) = x(t, x0) là một nghiệm của hệ (3.1) với điều kiện đầu x(0) = x0

γ m∗ χ+ thì ta có

γ m∗ với mọi i | ≤ [n] và một t > 0 sao cho

[n]. χi | ∈ k k∞ ≤

γ m∗ và

γ m∗ ,

(0, t], j [n]. Khi đó D+ 0. Mặt xj(t) θχj = θχi0 xi0(t) t ∀ ∈ ∈ | | | | ≥ x0 xác định bởi (3.2). Nếu xi(0) Với θ > 1 cho trước tùy ý, giả sử tồn tại một chỉ số i0 ∈ xi0(t) | | ≤ khác, tương tự chứng minh Định lí 2.2.1, từ (3.1) ta có

(cid:16)

(cid:17)

j=1 X

D+ + + xj(t) fj(0) xi0(t) xi0(t) bi0j | | ≤ − ai0| | Lf j | | | |

(3.8)

j=1 X

(cid:0)

(cid:1)

Do đó

+ (0, t]. + xj(qijt) gj(0) ci0j + I i0, t Lg j | | | | ∈

j ci0j)χj

j bi0j + Lg

j=1 X

D+ + γ (Lf xi0(t) ai0χi0 + | | ≤ θγ m∗ "−

(3.9)

(1 θ)γ < 0. ≤

mọi t

γ m∗ với [n]. Từ đó suy ra

γ m∗ ,

γ m∗ và x(t)

xi(t) < θχi − Đánh giá (3.9) mâu thuẫn với giả thiết về i0 và ¯t. Do đó, | | 0, i [n]. Cho θ 1+ ta được xi(t) χi ≥ ∈ | | ≤ i ∀ ∈ Ω, x(t) 0. k k∞ ≤

Bây giờ ta xét

∈ x0 [n], ta định nghĩa hàm Hi(α) bởi k k∞ ∈ → t ≥ ∀ > γ m∗ χ+. Với mỗi i n

(cid:19)

(cid:18)

j=1 X

và xét phương trình

(3.10)

1 [0, ) m∗, α Hi(α) = αχi + Lg j cijχj − ∞ ∈ 1 qα ij −

Vì Hi(α) là một hàm liên tục, đơn điệu tăng ngặt trên [0,

Hi(α) = 0.

khi α

nên phương trình (3.10) có một nghiệm dương duy nhất

[n] α∗i thì ta có Hi( ˆα) (0, α∗i ]. Đặt ˆα = mini ∈

), Hi(0) < 0 và ∞ Hi(α) → ∞ 0 0 với mọi α ≤ ∈ ≤ → ∞ α∗i . Hơn nữa, Hi(α) với mọi i [n]. ∈

Ta định nghĩa các hàm vi(t), i

ˆα ln(1+t), t

[n], như sau

(3.11)

(cid:18)

κx0

} 47

[0, ). k vi(t) = χie− ∞ ∈ x0 k∞ χ+ − ∈ γ m∗ (cid:19)

Chú ý rằng

ˆα ln

1+t 1+qij t

(cid:1)

(cid:0)

Do đó, từ (3.7), (3.10) và (3.11) ta có

(3.12)

vj(t). vj(qijt) = vj(t)e ≤ 1 q ˆα ij

j=1 X

Tiếp theo, sử dụng phép biến đổi

v′i(t) aivi(t) + Lg j cijvj(qijt). Lf j bijvj(t) + ≥ −

và bằng các lập luận tương tự trong chứng minh (3.8), ta có

, t 0, i [n] ui(t) = xi(t) χi | − | ≥ ∈ γ m∗

j cijuj(qijt)

j bijuj(t) + Lg Lf

j=1 X

(cid:1)

D+ui(t) aiui(t) + ≤ −

(cid:0) aiχi +

j cij

j bij + Lg Lf

(cid:17)

(cid:3)

(3.13)

(cid:2) aiui(t) +

j=1 (cid:16) X Lf j bijuj(t) +

+ γ + χj − γ m∗

j=1 X

Lg j cijuj(qijt), t > 0. ≤ −

Ta sẽ chứng minh ui(t)

j=1 X vi(t),

0, i [n]. Thật vậy, ta kí hiệu ≤ t ∀ ≥ ∈

i (t) = ui(t)

ở đó λ > 1 là một số cho trước tùy ý. Khi đó,

ψλ t [0, ), λvi(t), − ∞ ∈

và do đó ψλ

ui(0) = χi < λvi(0) x0 i | − | γ m∗

i (0) < 0,

j (t) < 0,

và (3.13) suy ra rằng

[n]. Giả sử ngược lại rằng tồn tại một chỉ số i [n] và ∈ ∈ [n]. Khi đó, từ (3.12) [0, t1), j i ∀ i (t1) = 0 và ψλ một t1 > 0 sao cho ψλ t ∀ ∈ ∈

j (t) +

j (qijt)

i (t) +

i (t)

j=1 X

D+ψλ aiψλ Lg j cijψλ Lf j bijψλ ≤ −

i (t).

aiψλ ≤ −

Vì vậy D+

i (t)eait

i (t)eait ψλ

(cid:1)

ta thu được (cid:0)

0. Theo Mệnh đề 1.5.1, ta có ψλ t1 ψλ i (0). Cho t ≤ ≤ ↑

ait1 < 0.

i (t1)

i (0)e−

Điều này rõ ràng là một mâu thuẫn. Chứng tỏ rằng ψλ

ψλ ψλ ≤

i (t) < 0 với mọi t

ˆα ln(1+t),

0 và ≥ i [n]. Cho λ 0. Hệ quả là 1 ta được ui(t) vi(t), ∈ ↓ t ∀ ≥

và từ đó ta thu được

ˆα ln(1+t), t

0 χi xi(t) + κx0χie− | | ≤ t ∀ ≥ ≤ γ m∗

(3.14)

0. x(t) + κx0e− ≥ k k∞ ≤ γ m∗

Chứng minh của (1): Ta định nghĩa hàm κ(

x0 ) bởi k

nếu

m∗ χ+

nếu

γ m∗ χ+.

Do (3.14), ta có

k∞ > γ x0 κx0 k∞ k x0 κ( k k∞ x0 0 ) =   k∞ ≤ k

ˆα ln(1+t), t

 κ(

x0 ρ(x(t), Ω) 0. )e− k∞ ≥ k

≤ Điều này chứng tỏ Ω là một tập hút mũ suy rộng của hệ (3.1).

Chứng minh của (2): Rõ ràng hàm κ(

. Do đó chứng minh của phát biểu (2) suy ra từ Nhận

không giảm theo

xác định bởi

(

γ χ)+

(cid:17)

(cid:16) x

x0 ) xác định như trên là hàm k k∞ x0 k∞ 0, + ǫ k xét 3.1.1. Hơn nữa, hình cầu mở B

M Rn :

(cid:17)

(cid:16)

là một tập hấp thụ của (3.1) với bất kì ǫ > 0 cho trước. Định lí được chứng

minh.

Để tiện so sánh cách tiếp cận của chúng tôi với một số công bố trước đó,

chúng tôi đưa ra hệ quả sau đây.

Hệ quả 3.2.1. Với các giả thiết (A3.1)–(A3.3), nếu

x < B + ǫ = + ǫ 0, ( ( ∈ k k∞ γ χ)+ γ χ)+ M M

(3.15)

j=1 X

[n], cji, i ai > Lf bji + Lg i ∈

thì tập

Rn :

là tập hút mũ suy rộng của (3.1) và hệ (3.1) tiêu hao toàn cục, ở đó

x x Ω = ∈ k k∞ ≤ γ σ∗

j=1 X

Chứng minh. Rõ ràng nếu (3.15) được thỏa mãn thì

Rn là

. bji cji Lf i Lg i ai − − σ∗ = min [n] i ∈

vectơ có các phần tử bằng 1. Do đó,

còn lại của chứng minh suy ra từ Định lí 3.2.1.

Nhận xét 3.2.1. Kí hiệu τij(t) = (1

1n 0, ở đó 1n M ∈ ≻ là một M-ma trận không suy biến. Phần M

(3.1) được viết dưới dạng một hệ nơron có hệ số biến thiên và trễ không bị chặn

qij)t thì x(qijt) = x(t τij(t)). Vì vậy, hệ − −

[n] qij. Theo ∈

(3.16)

τij(t). Chú ý rằng 0 qij τM < 1, ở đó τM = 1 mini,j τ ′ij(t) = 1 ≤ ≤ − − Định lí 3.1 trong [33], hệ (3.1) tiêu hao toàn cục nếu điều kiện

j=1 X

j=1 X [n]. Rõ ràng, điều kiện (3.16) kéo theo điều kiện (3.15) vì

đúng với mọi i

bji + cji ai > Lf 1 Lg i τM −

quả của Định lí 3.1 trong [33].

∈ 0 < 1 1. Do đó, Hệ quả 3.2.1 trình bày trong chương này bao hàm kết τM − ≤

3.2.2. Trường hợp hệ số phản hồi suy biến

Trong mục này chúng tôi thiết lập các điều kiện đảm bảo tính tiêu hao

toàn cục của hệ (3.1) trong trường hợp các hệ số phản hồi ai(t) không thỏa mãn

điều kiện về tính dương đều (chính quy).

Để tiện sử dụng, chúng tôi giới thiệu các giả thiết sau đây.

Giả thiết (A3.4): Tồn tại một hàm ϕ(t) > 0 và các số dương ˆai, i

[n], sao cho ∈

(3.17)

qij t

≥

0 Z

. , ϕ(s)ds = ϕ(s)ds < ai(t) ˆaiϕ(t), ∞ ∞ ≥ sup t lim t →∞ Z

Giả thiết (A3.5): Tồn tại các hằng số ˆbij

0 sao cho 0, ˆcij 0 và ˆIi ≥ ≥

(3.18)

, i, j

, ˆcij = cija− i

Nhận xét 3.2.2. Các giả thiết (A3.4) và (A3.5) hiển nhiên thỏa mãn với ˆai = ai, ˆbij = bija− i

1+t nếu các giả thiết (A3.2) và (A3.3) được thỏa mãn (trường hợp hệ số phản hồi chính quy). Vì vậy, (A3.4) và (A3.5)

là các điều kiện mở rộng của các giả thiết (A3.2) và (A3.3).

Chúng tôi kí hiệu các ma trận sau đây

[n], và ϕ(t) = 1 ∈

ở đó, để phân biệt, chúng tôi kí hiệu En là ma trận đơn vị trong Rn ×

Định lí 3.2.2. Giả sử các giả thiết (A3.1), (A3.4), và (A3.5) được thỏa mãn và

là một M-ma trận không suy biến. Khi đó, hệ (3.1) tiêu hao toàn cục và hình

( B = (ˆbij), C = (ˆcij), = En CLg), BLf + H −

là một tập hấp thụ của (3.1) với bất kì ǫ > 0 cho trước, ở đó

ˆm + ǫ

(cid:16)

(cid:17)

0, ˆγ H cầu B

)

ˆm = ( ) (ˆbij fj(0) + ˆcij gj(0) ˆIi + η)+, H | | | | ˆγ = max [n] ( i ∈

và η

Rn là một vectơ thỏa mãn

j=1 X = 1 và

Chứng minh. Tương tự (3.7), ta có

η η 0. ∈ k k∞ H ≻

(3.19)

j ˆcij

j=1 X

(cid:1)

(cid:0)

Giả sử x(t) = x(t, x0) là một nghiệm bất kì của (3.1). Khi đó,

ˆm. ˆbij + Lg ηj ηi + Lf j ≤ − −

j=1 X

D+ + bij(t) xj(t) xi(t) ai(t) xi(t) | Lf j | | | | | ≤ − | |

(3.20)

+ cij(t) xj(qijt) + ˆγai(t). | Lg j | | |

Với bất kì t1 > 0, nếu

j=1 X ˆγ ˆm ηj, t

[n], thì do (3.20) ta có xj(t) (0, t1), j ∈ ∈ | | ≤

D+ + xi(t) ai(t) xi(t) ηiai(t), t (0, t1) ˆγ ˆm | | ≤ − | | ∈

và do đó

0 ai(s)ds.

(cid:1)

e− R xi(t) ηi + xi(0) ηi | | − |

Điều này chứng tỏ rằng

ˆm. Bằng các lập luận tương tự trong chứng minh của Định lí 3.2.1 ta có thể kiểm chứng được rằng

ˆγ ˆm không vượt quá ngưỡng ˆγ (cid:0) ˆγ ˆm | ≤ x(t1) k∞ k

nếu

ˆγ ˆm η+ thì

ˆγ ˆm với mọi t

x0 x(t) 0. k k∞ ≤ ≥ k k∞ ≤

Trong phần chứng minh tiếp theo ta giả sử

ˆmη+. Sử dụng phép

biến đổi

x0 > ˆγ k k∞

từ (3.20) suy ra

zi(t) = xi(t) ηi, ˆγ ˆm | | −

j=1 X

D+zi(t) ai(t)zi(t) + bij(t) zj(t) ≤ − Lf j | |

(3.21)

j=1 X

Ta kí hiệu

+ cij(t) zj(qijt)), t > 0. | Lg j |

qij t

ϕ(s)ds

0 Z

và với mỗi i

θij = sup ≥

[n] xét hàm số n

j ˆcijeλθij

j=1 X

(cid:1)

λ [0, ). λ + ∈ ˆHi(λ) = ηj ηi, ˆbij + Lg Lf j − ∞ ∈ ηi ˆai

), ˆHi(0) ≤ − ∞

(cid:0) Rõ ràng ˆHi(λ) là hàm liên tục và đơn điệu tăng ngặt trên [0, ˆHi(ˆai) > 0. Do đó, tồn tại duy nhất một số λ∗i ∈ [n] λ∗i thì ta có ˆHi(λ0) λ0 = mini ∈ ∈

Bây giờ ta định nghĩa các hàm sau đây

0 ϕ(s)ds, t

ˆm và (0, ˆai) sao cho ˆHi(λ∗i ) = 0. Đặt [n]. 0 với mọi i ∀ ≤

λ0 R

(cid:18)

(cid:19)

Ta thấy rằng

0. k wi(t) = ηie− ˆγ ˆm ≥ x0 k∞ η+ −

j=1 X

bij(t) wj(t) ai(t)wi(t) + w′i(t) Lf j | | ≥ −

(3.22)

j=1 X

+ cij(t) wj(qijt), t > 0. | Lg j |

Bằng các lập luận tương tự trong chứng minh của (3.14) ta được zi(t)

với t

0 ϕ(s)ds, t

wi(t) ≤ 0, i [n]. Hệ quả là ≥ ∈

(3.23)

λ0 R

(cid:19)

(cid:18)

Đánh giá (3.23) đảm bảo tính tiêu hao toàn cục của hệ (3.1). Định lí được chứng

minh.

Kết quả sau đây suy trực tiếp từ chứng minh của Định lí 3.2.2.

Hệ quả 3.2.2. Với các giả thiết (A3.1), (A3.4) và (A3.5), nếu

là một M-ma

0. + x(t) k e− ˆγ ˆm ˆγ ˆm ≥ k k∞ ≤ x0 k∞ η+ −

trận không suy biến thì bó các nghiệm của (3.1) đồng bộ toàn cục. Cụ thể hơn,

bất kì hai nghiệm x(t) và x∗(t) của (3.1) thỏa mãn đánh giá

0 ϕ(s)ds, t

(3.24)

λ0 R

0, x(0) x(t) x∗(0) e− x∗(t) ≥ − k∞ k k∞ ≤ −

ở đó η

Nhận xét 3.2.3. Nếu các giả thiết (A3.1)-(A3.3) được thỏa mãn và

là một

η η 1 η+ k Rn là một vectơ thỏa mãn = 1 và 0. ∈ k k∞ H ≻

M-ma trận không suy biến thì các điều kiện trong Hệ quả 3.2.2 hiển nhiên được

thỏa mãn, ở đó

−

(cid:16)

và ϕ(t) =

(cid:17) . Do (3.24), hai nghiệm bất kì x(t) và x∗(t) của (3.1) thỏa mãn

= = En CLg BLf + H − A M

1 1 + t

1 k

Do đó, từ Hệ quả 3.2.2 chúng tôi thu lại được kết quả của Định lí 2.3.1. Như đã

chỉ ra trong Chương 2, kết quả này cải tiến các kết quả của Định lí 3.3 trong [42],

Định lí 3.1 trong [44] và Định lí 3.1 trong [45].

Trong phần cuối của mục này chúng tôi xét bất đẳng thức kiểu Halanay

với trễ tỉ lệ dạng

x(0) , t 0. x(t) − k∞ x∗(t) (η+)− ≥ k − k∞ ≤ x∗(0) (1 + t)λ0

(3.25)

j=1 X

D+u(t) a(t)u(t) + bj(t)u(qjt) + d(t), t > 0, ≤ −

ở đó a(t) > 0, bj(t), j

hằng số.

Bằng chứng minh tương tự của Định lí 3.2.2 chúng tôi thu được kết quả

sau đây.

(0, 1), j [n], là các [n], và d(t) là các hàm liên tục, qj ∈ ∈ ∈

Hệ quả 3.2.3. Cho u(t) là một hàm không âm thỏa mãn (3.25). Giả sử rằng tồn tại các hằng số l > 0, µ0 ∈ mãn các điều kiện sau

0, một hàm as(t) > 0 và một t0 > 0 thỏa (0, 1), µ1 ≥

(3.26a)

a(t) t0, ≥ ≥ las(t), t t

(3.26b)

qj t

t0 Z ≥ n

, , as(θ)dθ < as(θ)dθ = ∞ ∞ sup t lim t →∞ Z

(3.26c)

j=1 X

0, d(t) bj(t) µ0a(t) µ1a(t), t t0. | | − ≤ | | ≤ ≥

. Cụ thể hơn, tồn tại

µ1

Khi đó, u(t) hội tụ dạng mũ suy rộng đến ngưỡng một số dương ˜λ sao cho u(t) thỏa mãn đánh giá

1 µ0 −

˜λ

0 as(θ)dθ, t

(3.27)

Nhận xét 3.2.4. Trong các bài toán liên quan đến đánh giá trạng thái các hệ

có trễ biến thiên, việc sử dụng các hàm năng lượng kiểu Lyapunov thường đưa

đến các bất đẳng thức dạng (3.25). Như chỉ ra trong [19], vấn đề thiết lập các

đánh giá mũ (hoặc mũ suy rộng) đối với các bất đẳng thức kiểu Halanay với trễ

tỉ lệ dạng (3.25), ở đó số hạng a(t) có thể không chính quy, vẫn còn là một thách

thức lớn. Vì vậy, kết quả trong Hệ quả 3.2.3 dựa trên kĩ thuật đánh giá độ tiêu

hao trình bày trong chương này cho một công cụ hữu ích đối với bài toán phân

tích định tính các hệ không dừng có trễ tỉ lệ. Hơn nữa, cũng cần chỉ ra rằng các

điều kiện đề xuất trong Hệ quả 3.2.3 cũng vẫn áp dụng được cho trường hợp

tổng quát mà ở đó hệ số a(t) có thể là hằng số, có thể chính quy hoặc không

chính quy.

µ1 µ1 u(t) + max u(0) , 0 0. e− 1 1 ≤ − ≥ µ0 µ0 − −

3.3. Ví dụ minh họa

Trong mục này chúng tôi trình bày một số ví dụ mô phỏng các kết quả

phân tích lý thuyết trình bày ở các mục trước.

Ví dụ 3.3.1. Xét hệ (3.1) với A = diag(4.5, 6.5),



 độ trễ qij = 0.8 và các hàm kích hoạt fi(u) = 1

 2 u+sin( 1

2 u), gi(u) = 1 2(

1.15 1.21 , B = , C = 0.56 0.98 − 1.89 1.24  0.64 − 2.11   u u+1 1 ), | |−| − | i = 1, 2.

và C =

. Do đó, các điều kiện đưa ra trong

Ta có Lf = Lg = E2, B =

Hệ quả 3.2.1 được thỏa mãn. Theo Hệ quả 3.2.1, hệ đã cho tiêu hao toàn cục.

Cho I(t) = (sin(2t), cos(2t))⊤ thì γ = 1 và hình cầu B (0, 1.67 + ǫ) là một tập hấp

thụ với bất kì ǫ > 0 cho trước. Kết quả này được mô phỏng trên Hình 3.1.

Để so sánh với các kết quả trong [33] và [43], trước hết ta chú ý rằng điều

kiện (3.15) không thỏa mãn. Vì vậy, Định lí 3.1 trong [33] không cho kết luận

về tính tiêu hao của hệ trong ví dụ này. Mặt khác, Định lí 3.3 trong [43] khẳng

định rằng hệ đã cho là tiêu hao toàn cục nếu tồn tại các số dương σ1, σ2 và σ3

sao cho

C B | | | |

(3.28)

2l2 2 g

1 + σ−

2 + σ−

3 ) < 0,

2l2 2 f + σ2k

(cid:1)

i . Rõ ràng, điều kiện (3.28) kéo theo

B C + (σ− λmin(A) + 1 2 − σ1k k

1 2 k (cid:0) [n] Lg [n] Lf i vàlg = maxi ở đó lf = maxi ∈ ∈

(3.29)

B C λmin(A) > lf k k2 + lg k k2

bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy ma trận. Vì

2 2 = 5.6542,

2 2 = 5.4201, lf = lg = 1 và λmin(A) = 4.5, điều kiện (3.29) không thỏa mãn. Do đó, các

điều kiện đưa ra trong Định lí 3.3 và các Hệ quả 3.4, 3.5 trong [43] không áp

dụng được cho ví dụ này. Điều này chỉ ra tính hiệu quả của cách tiếp cận của

chúng tôi trong Định lí 3.2.1 và Hệ quả 3.2.1.

B C k k k k

0.5

t s

−0.5

−1 −2

−1 state x

150

i m e

100 t

200

Hình 3.1: Quỹ đạo pha của hệ trong Ví dụ 3.3.1

Ví dụ 3.3.2. Xét hệ (3.1) với các ma trận trọng số kết nối

A(t) = diag(5 + sin(t), 4 + 0.5 cos(2t) , 4 + 0.5 cos(4t)) |





cos(t)

−|

− | 0.5 cos(t) 1 2 + 0.5 sin(t) 1 + 1 cos(2t) | | cos(3t) 1 + sin(t) 3 + sin(t) sin(t) 0 B(t) =

     

     

sin(2t) 0 1 + sin(3t) 2 − sin(t) 1 − 3 + cos(t) |





0 cos(t) | 1 + sin(t) 3 + cos(t)

     

. C(t) = 0 cos2(t) − 2 + sin(t) sin(t) 0.5 cos(t) 2 − sin(2t) 0 − 1 + cos(t) 1 + 0.5 sin(2t) 0.5 cos(2t) 3 − cos(t) 1 3 + sin(t)

     |  Các hàm kích hoạt được cho bởi fi(u) = 1 2(

u | u + 1 1 ) and gi(u) = tanh(u), | | − | − | i = 1, 2, 3.

Ta có Lf = Lg = E3, A(t)

= diag(4.0, 4.0, 3.5) và (cid:23) A

0.5 0.8239 1.0



, B(t) 1.0 0 0.5774 B =  | (cid:22) |

  

  

1.0 0.75 0

0.75 0 0



. C(t) 0.5164 0 0.5213 C =  | (cid:22) |

  

  

Do vậy

1.0 0.75 0



   χ

Rõ ràng

   là một M-ma trận không suy biến. Hơn nữa,

3.5 1.5739 1.0 − . = BLf − 1.0987 1.5164 4.0 CLg =  M A − − − − 2.0 0 1.5 −

0 với χ = M M ≻

quả mô phỏng với I(t) = 2(sin(0.5t), 2 cos(0.6t), sin(0.2t))⊤ và các độ trễ qii = 0.5,

(0.6418, 0.5953, 1.0)⊤. Theo Định lí 3.2.1, hệ đã cho tiêu hao toàn cục. Một kết

, qij = 0.8, i, j

đầu vào bằng không, hệ đã cho ổn định mũ toàn cục suy rộng (Hệ quả 3.2.2).

Điều này được minh họa trên Hình 3.3.

Ví dụ 3.3.3. Xét phương trình vi phân hàm (pantograph-type equation) sau

đây

, i i 1, 2, 3 1, 2, 3 = j, được cho trên Hình 3.2. Thêm nữa, khi ∈ { } ∈ { } 6

(3.30)

ở đó a(t) =

, b1(t) =

x(0.5t) ˙x(t) = a(t)x(t) + b1(t) 1 + x(0.5t) − | x(0.7t) | , t > 0, + b2(t) 1 + x(0.7t) |

Tương tự Ví dụ 3.1 trong [19], có thể kiểm chứng rằng nếu x(t) là một

| và b2(t) = 1 √2 + t 1 t) + 4√t exp( 1 1 + 4√t −

nghiệm của (3.30) với điều kiện ban đầu x0 thì u(t) =

thỏa mãn bất đẳng

thức

x(t) | |

(3.31)

Rõ ràng, trong trường hợp này, các điều kiện trong Hệ quả 3.2.3 được thỏa mãn

D+u(t) a(t)u(t) + b1(t)u(0.5t) + b2(t)u(0.7t), t > 0. ≤ −

(t) 1 (t) 2 (t) 3

) t ( x

e a S

−1

−2

150

200

100 time t

Hình 3.2: Sự hội tụ vào tập hấp thụ

−4

x 10

0.5

(t) 1 (t) 2 (t) 3

) t ( x e t a t S

−0.5

−1

100

time t

Hình 3.3: Các quỹ đạo trạng thái của hệ với đầu vào bằng không

và

với as(t) =

1 1 + t

→∞

Do đó, phương trình (3.30) ổn định mũ dạng suy rộng, cụ thể, tồn tại các hằng

. = b1(t) + b2(t) a(t) 1 2 µ0 = lim sup t

số α > 0, β > 0 sao cho nghiệm bất kì x(t, x0) của (3.30) thỏa mãn

α ln(1+t), t

Sự hội tụ của nghiệm của (3.30) đến điểm gốc được mô phỏng trên Hình 3.4.

−5

x 10

0.5

) t ( x e

a S

−0.5

−1

time t

10 5 x 10

Hình 3.4: Sự hội tụ của (3.30)

β x0 x(t, x0) 0. e− | | ≤ | | ≥

3.4. Kết luận Chương 3

Chương này trình bày các kết quả nghiên cứu về tính tiêu hao của một

lớp hệ phương trình vi phân trong mô hình mạng nơron Hopfield với hệ số biến

thiên và trễ tỉ lệ. Dựa trên một số kĩ thuật đánh giá cải tiến từ nguyên lí so

sánh với các bất đẳng thức vi phân, dựa trên cách tiếp cận bằng lý thuyết M-ma

trận, các điều kiện đủ được thiết lập cho sự tồn tại của các tập hút mũ suy rộng

đảm bảo tính tiêu hao của hệ. Các kết quả đạt được bao gồm:

1. Đưa ra các điều kiện và chứng minh tính tiêu hao toàn cục của hệ trong

trường hợp các hệ số phản hồi thỏa mãn điều kiện chính quy (Định lí 3.2.1).

2. Thiết lập được điều kiện cho sự tồn tại các tập hấp thụ và chứng minh được

tính tiêu hao của hệ khi các hệ số phản hồi suy biến (Định lí 3.2.2).

3. Phát triển được một đánh giá mũ suy rộng đối với một lớp bất đẳng thức

vi phân dạng Halanay với trễ tỉ lệ (Hệ quả 3.2.3).

Các kết quả trên đây được chúng tôi kiểm chứng và minh họa bằng các ví dụ

số. Các kết quả mô phỏng đó chỉ ra tính vượt trội của các kết quả lý thuyết

nhận được. Điều này khẳng định tính hiệu quả của cách tiếp cận mà chúng tôi

sử dụng trong chương này.

Chương 4

TÍNH HÚT TOÀN CỤC CỦA NGHIỆM TUẦN HOÀN DƯƠNG

CỦA MỘT MÔ HÌNH NICHOLSON CÓ TRỄ

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại duy nhất và tính hút

toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương đối với mô hình Nicholson có trễ

γk(t)N (t

τk(t))

(4.1)

−

k=1 X

với tốc độ suy giảm dân số phi tuyến (nonlinear density-dependent mortality

term) D(t, N) = a(t)

N . Dựa trên một số kĩ thuật so sánh mới bằng các

D(t, N(t)) + N ′(t) = βk(t)N(t τk(t))e− − −

bất đẳng thức vi-tích phân, trước hết chúng tôi thiết lập các điều kiện bền vững

(permanence) và tiêu hao đều của mô hình Nicholson (4.1). Trên cơ sở tính tiêu

hao và bền vững đều, chúng tôi chứng minh sự tồn tại và tính hút toàn cục của

nghiệm tuần hoàn dương duy nhất của phương trình vi phân phi tuyến dạng

(4.1). Áp dụng kết quả tổng quát cho mô hình Nicholson với hệ số hằng số,

chúng tôi thu được một số kết quả về sự tồn tại, duy nhất và tính hút toàn cục

của điểm cân bằng dương của mô hình tương ứng. Nội dung chương này được

viết dựa trên bài báo [3] trong danh mục công trình công bố.

b(t)e− −

4.1. Kết quả sơ bộ

Với một số ω > 0, hàm f : R+ →

R là một hàm liên tục và f

R được gọi là ω-tuần hoàn nếu f (t + ω) = 0. Kí hiệu Pω(R+) là tập tất cả các hàm ω-tuần hoàn trên R+. Pω(R+) với ω > 0 nào đó

≥

∈ ), chúng tôi f (t) với mọi t Rõ ràng, nếu f : R+ → thì f bị chặn trên R+. Để cho tiện, với một hàm f bị chặn trên [0, ∞

kí hiệu

Xét mô hình Nicholson có trễ dạng

γk(t)N (t

τk(t)), t

f (t). f (t), f − = inf 0 ≥ f + = sup 0 ≥

(4.2)

−

D(t, N(t)) + N ′(t) = βk(t)N(t τk(t))e− t0, − ≥ −

(4.3)

k=1 X τM , t0],

ở đó hàm tốc độ suy giảm dân số D(t, N) có dạng

N(t) = ϕ(t), t [t0 − ∈

(4.4)

p τ +

với τM = max1

≤

k là cận trên của độ trễ. Để có các diễn giải ý nghĩa sinh học của các hệ số trong mô hình (4.2)-(4.4) cũng như các hàm trễ τk(t) (khoảng

thời gian vòng đời từ khi trứng được sinh ra tới khi trưởng thành), chúng tôi

chỉ dẫn độc giả các bài báo [3, 6, 39].

, C([

Kí hiệu

D(t, N) = a(t) b(t)e− −

và

+ là nón dương của

, tức là,

[ − ∈

τM ,0] |

τM , 0], R) là không gian Banach các hàm liên tục trên C − ϕ ϕ(t) τM , 0] với chuẩn = supt [ − k kC | C C

+ =

Ta viết ϕ

ϕ . C([ 0 τM , 0], R) : ϕ(t) C { ∈ − } ≥

+. Thêm nữa, ta nói hàm ϕ

là dương, kí

chấp nhận được của các hàm ban đầu trong (4.3) được xét bởi

0 với các hàm ϕ ≥ ∈ C ∈ C hiệu ϕ > 0, nếu ϕ(t) > 0 với mọi t τM , 0]. Do ý nghĩa thực tiễn sinh học, tập [ − ∈

+ : ϕ(0) > 0

+ 0 = C

(cid:8)

(cid:9)

Giả thiết (A):

ϕ . ∈ C

(A4.1) a, b, γk : [0,

các hàm liên tục và bị chặn, ở đó τM là một hằng số dương.

(A4.2) Tồn tại ω > 0 sao cho a(.), b(.), βk(.), γk(.) và τk(.) thuộc vào Pω(R+).

Điều kiện (C):

) (0, ) [0, ) [0, τM ] là ), βk : [0, ) và τk : [0, ∞ → ∞ ∞ → ∞ ∞ →

(C4.1)

a) b(t)

b) θ , lim inf →∞

a(t) > 1. a− > 0 b(t) a(t) ≥ ≥ p

(C4.2)

→∞

k=1 X

(C4.3)

1 lim sup = σ, > 0. σ e 1 a(t) − βk(t) γk(t)

k=1 X

−

a+ > 0, > 0. ̺ , a− 1 e − b− − β+ γ−k

∗

(C4.4)

b a+

∗

k=1 X

(cid:0)

(cid:1)

Các kết quả của chúng tôi trong chương này được trình bày sơ bộ trong

bảng dưới đây.

Điều kiện (A4.1), (C4.1)

Kết quả Tính bền vững đều

ln(θ)

+ 0 , lim inf t→∞ N (t, t0, ϕ)

≥

(A4.1), (C4.1a), (C4.2) Tính tiêu hao đều trong

+ 0 , lim supt→∞ N (t, t0, ϕ)

≤

(cid:17)

lim inf t→∞ N (t, t0, ϕ)

b− a+

b+ a−(1− σ e ) b+ ln ̺

≤

(cid:16) lim supt→∞ N (t, t0, ϕ) ≤

≤

(cid:1)

(cid:0)

(cid:1)

(cid:0)

(A4.1), (C4.3) (A4.1), (A4.2), (C4.3) và (C4.4)

ln Tồn tại duy nhất nghiệm ω-tuần hoàn dương N ∗(t) và tính hút toàn cục của N ∗(t) trong

+ 0 .

Diễn giải ý nghĩa sinh học cho việc áp đặt các điều kiện như trên ta thấy

rằng khi dân số suy thoái thì tỉ lệ tiêu vong không dương (i.e. D(t, 0)

1 < r = ln β+ k max 1 e2 , ̺b− b+ , γ−k r − k r∗ − eγ

trong hầu hết các mô hình dân số, luôn tồn tại một ngưỡng dân số liên quan

đến sức chứa môi trường (carrying capacity). Khi dân số rất lớn, vượt quá sức

chứa môi trường, thì tốc độ tiêu vong có thể lớn hơn tốc độ sinh cực đại. Đại

lượng

diễn tả tốc độ sinh cực đại của mô hình (4.2). Thêm nữa,

p k=1

0) và ≤ D(t, N) luôn dương khi N > 0. Điều này dẫn đến điều kiện (C4.1). Mặt khác,

khi N rất lớn D(t, N) xấp xỉ a(t). Với các quan sát này chúng tôi đặt điều kiện

βk(t) γk(t)e

p k=1

P βk(t) γk(t)e

nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của mô hình. (C4.3) là dạng điều kiện để kiểm P

chứng của (C4.2) và (C4.1a) khi xét đến cận trên của các hệ số về tốc độ. Trong

khi điều kiện (C4.3) chỉ đảm bảo sự không tuyệt chủng cũng như không bùng nổ

)

p k=1

< a(t). Điều này tiết lộ lí do việc thiết lập điều kiện (C4.2) khi

dân số, điều kiện (C4.4) tiết lộ rằng khi tốc độ đẻ trứng hàng ngày cực đại bé hơn β+ khoảng cách giữa tốc độ sinh và tốc độ tử vong cực đại (i.e. ̺ = a− − γ−k

1 e

thì dân số có thể sẽ ổn định quanh một quỹ đạo tuần hoàn trong môi trường

phát triển tuần hoàn (hệ số tuần hoàn) hoặc quanh một điểm cân bằng dương

(với mô hình bất biến).

Trong phần còn lại của mục này chúng tôi trình bày một kết quả về sự

bởi

tồn tại nghiệm của hệ (4.2)-(4.4). Với t > 0, ta định nghĩa hàm Nt

(4.5)

∈ C Nt(θ) = N(t + θ), θ τM , 0]. Khi đó, hệ (4.2) viết được dưới dạng trừu tượng [ − ∈

ở đó hàm F : R+

R được cho bởi

N ′(t) = F (t, Nt), t t0, Nt0 = ϕ, ≥

γk(t)ϕ(

τk(t)).

× C →

(4.6)

−

k=1 X

F (t, ϕ) = D(t, ϕ(0)) + βk(t)ϕ( τk(t))e− − −

, tồn tại duy nhất một nghiệm N(t, t0, ϕ) của hệ (4.2)-(4.3) xác

Mệnh đề 4.1.1 ([15]). Giả sử giả thiết (A4.1) được thỏa mãn. Khi đó, với mọi t0 ≥ định trên khoảng cực đại [t0, η(ϕ)).

0, ϕ ∈ C

4.2. Nghiệm dương toàn cục và tính bền vững

4.2.1. Sự tồn tại của nghiệm dương toàn cục

Trong mục này chúng tôi chỉ ra rằng các nghiệm của (4.2)-(4.4) xuất phát

từ tập chấp nhận được

+ 0 là các nghiệm dương và tồn tại toàn cục. C

Định lí 4.2.1. Giả sử giả thiết (A4.1) được thỏa mãn và b(t)

+ 0 nghiệm N(t, t0, ϕ) của bài toán (4.2)-(4.4)

thỏa mãn N(t, t0, ϕ) > 0, t

Bổ đề sau đây được sử dụng trong chứng minh của Định lí 4.2.1.

Bổ đề 4.2.1. Cho a(.), b(.) là các hàm liên tục, b(t)

a(t) với mọi ≥ t [0, ). Khi đó, với bất kì ϕ ∈ ∞ ∈ C [t0, η(ϕ)), và xác định toàn cục, tức là, η(ϕ) = ∈ ∞

nghiệm duy nhất của bài toán

x, t

(4.7)

0 trên [0, ). Khi đó, ≥ ∞

x′ = a(t) + b(t)e− 0, x(t0) = x0, − t0 ≥ ≥

được cho bởi

a(θ)dθ

s t0

(4.8)

(cid:18)

(cid:19)

Chứng minh. Ta đổi biến ˆx = ex thì (4.7) được viết dưới dạng

eR . a(s)ds + ln ex0 + b(s)ds x(t, t0, x0) = −

(4.9)

Phương trình (4.9) là một bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình vi phân

tuyến tính. Do đó, từ (4.9) ta có

a(s)ds

a(θ)dθ

t t0

s t0

a(t)ˆx + b(t), t ˆx′ = t0, ˆx(t0) = ex0. − ≥

(cid:18)

(cid:19)

và từ đó ta thu được (4.8).

Chứng minh. (Định lí 4.2.1) Do N(t0, t0, ϕ) = ϕ(0) > 0 nên với t

eR ˆx(t) = e− R b(s)ds > 0, ˆx(t0) + t0, t ∀ ≥

nhỏ, N(t, t0, ϕ) > 0. Trước hết, ta sẽ chứng minh N(t, t0, ϕ) > 0 trên [t0, η(ϕ)).

Phản chứng, giả sử kết luận không đúng. Khi đó, tồn tại một t1 > t0 sao cho

t0 > 0 đủ −

đầu, ϕ

[t0, t1). Từ tính chất của hàm ban

+ 0 , ta có N(t, t0, ϕ)

0, t ∈ τM , t1]. Do vậy, từ (4.2) suy ra ∈ C ≥ ∈

(4.10)

Bởi nguyên lí so sánh, và áp dụng Bổ đề 4.2.1, từ (4.10) ta thu được

a(θ)dθ

s t0

N(t1, t0, ϕ) = 0 và N(t, t0, ϕ) > 0 với mọi t [t0 − D(t, N(t)), t N ′(t) [t0, t1). ≥ − ∈

(cid:18)

(cid:19)

t0 t

a(s)ds

t t0

eR a(s)ds + ln eϕ(0) + b(s)ds N(t, t0, ϕ) ≥ −

(4.11)

(cid:17)

(cid:16)

Cho t

. eϕ(0) a(s)ds + ln 1 + eR − ≥ −

a(s)ds

t1 t0

t1 trong (4.11) ta thu được ↑

(cid:17)

(cid:0)

(cid:1)

(cid:16) Điều này là một mâu thuẫn. Chứng tỏ rằng N(t, t0, ϕ) > 0 với mọi t

eϕ(0) e− R ln 1 + 1 > 0. 0 = N(t1, t0, ϕ) ≥ −

γx = 1

Tiếp theo, sử dụng kết quả supx

0 xe−

γe với mọi γ > 0, phương trình

≥

(4.2) cho

N (t)

[t0, η(ϕ)). ∈

(4.12)

k=1 X

, t a(t) + N ′(t) b(t)e− t0. 1 e ≤ − ≥ βk(t) γk(t)

Nếu η(ϕ) <

thì ta phải có (xem [15], Định lí 3.2)

∞

Mặt khác, tương tự (4.8), từ đánh giá (4.12) ta có

ψ(θ)dθ

s t0

. N(t, t0, ϕ) = ∞ lim η(ϕ) ↑

(cid:19)

(cid:18)

ở đó

eR , t ψ(s)ds + ln eϕ(0) + b(s)ds [t0, η(ϕ)), (4.13) N(t, t0, ϕ) ∈ ≤ −

do η(ϕ) <

k=1 X . Mâu thuẫn này chứng tỏ η(ϕ) =

Vì vậy, limt

η(ϕ) N(t, t0, ϕ) < ↑

. ψ(t) = a(t) 1 e − βk(t) γk(t)

Định lí được chứng minh.

Nhận xét 4.2.1. Nói chung, đánh giá (4.13) không đảm bảo tính bị chặn của

nghiệm N(t, t0, ϕ) trên khoảng [0,

∞ ∞ ∞

ta cần áp đặt bổ sung một số điều kiện. Chẳng hạn, nếu tồn tại một số dương

). Để thu được tính bị chặn của N(t, t0, ϕ), ∞

M sao cho

(cid:8)

(cid:9)

ψ(t) < 0, b(t)e− − sup t 0

≥ ở đó ψ(t) là hàm xác định ở (4.13), thì N(t, t0, ϕ) < M,

lí 4.2.3 trong phần sau của chương này.

Nhận xét 4.2.2. Để đảm tính dương của nghiệm của (4.2)-(4.4) với các điều

kiện đầu trong

), với một [tϕ, t ∀ ∈ ∞ tϕ > 0 nào đó [9,24]. Một số lớp điều kiện khác được chúng tôi trình bày ở Định

+ 0 , điều kiện b(t) C dụ, ta xét n = 1 và giả sử rằng

a(t) không thể bỏ được. Để cho một phản ví ≥

≥

Khi đó, từ (4.8) ta có

a(s)ds

t t0

−R

ϕ(0) e

, t . = δ [0, 1), a(s)ds b(t) a(t) ∈ → ∞ → ∞ sup t 0

(cid:16)

(cid:17)(cid:17)

e− R . ln + δ 1 ln(δ) < 0 khi t N(t, t0, ϕ) ≤ − → → ∞

4.2.2. Tính bền vững đều

Trong mục này chúng tôi đưa ra điều kiện và chứng minh tính bền vững

của mô hình (4.2).

Định lí 4.2.2. Giả sử giả thiết (A4.1) được thỏa mãn, b(t)

a(t) a− > 0 và ≥ ≥

(4.14)

Khi đó, với bất kì ϕ

+ 0 , ta có

eℓm > 1. b(t) a(t) ≥ lim inf t →∞

∈ C

ℓm > 0. N(t, t0, ϕ) ≥ lim inf t →∞

Chứng minh. Theo Định lí 4.2.1, N(t, t0, ϕ) > 0 với mọi t

). Mặt khác, với [t0, ∞ ∈ ǫ > 0 đủ nhỏ, từ (4.14) suy ra tồn tại một T > t0 sao cho

Tương tự (4.11), ta có

t T a(s)ds

T. b(t) (eℓm ǫ)a(t), ≥ − t ∀ ≥

T a(s)ds + (eℓm

−R

(cid:17)(cid:17)

(cid:16)

Chú ý thêm rằng

. eN (T,t0,ϕ) ln ǫ) 1 e− R N(t, t0, ϕ) ≥ − −

khi t

Do đó, cho t

và ǫ

. a(s)ds → ∞ → ∞

0, ta được → ∞ ↓

Định lí được chứng minh.

Nhận xét 4.2.3. Một trường hợp đặc biệt của (4.14), với các hàm bị chặn a(.),

ℓm. N(t, t0, ϕ) ≥ lim inf t →∞

b(.), nếu b− > a+ thì hằng số ℓm trong (4.14) có thể cho bởi

(cid:19)

(cid:18)

Do đó, Định lí 4.2.2 bao hàm kết quả của Bổ đề 1 trong [39].

Kết quả sau đây chỉ ra tính tiêu hao đều của hệ (4.2)-(4.4) trong

+ 0 theo C ℓM (xem [6]).

. ℓm = ln b− a+

nghĩa tồn tại một hằng số ℓM > 0 sao cho lim supt

→∞

N(t, t0, ϕ) ≤

Định lí 4.2.3. Giả sử giả thiết (A4.1) và các điều kiện sau được thỏa mãn

(4.15)

b+ b(t) [0, ), a− > 0, t ≥ ∞ ∈ a(t) p

(4.16)

→

∞

k=1 X

Khi đó, hệ (4.2)-(4.4) tiêu hao đều trong

+ 0 . Cụ thể hơn, với bất kì hàm ban C

đầu ϕ

+ 0 , nghiệm tương ứng N(t, t0, ϕ) của (4.2)-(4.4) thỏa mãn

= σ, 1 > 0. σ e ≥ 1 a(t) − ≥ βk(t) γk(t) lim sup t +

∈ C

σ e

→∞

(cid:18)

(cid:1)

(cid:0)

Chứng minh. Tương tự chứng minh của Định lí 4.2.1, từ (4.13), ta có

ψ(θ)dθ

s t0

lim sup ℓM , ln N(t, t0, ϕ) ≤ b+ 1 a− . (cid:19) −

(cid:18) ψ(s)ds

Z ψ(s)ds

(cid:19) ψ(θ)dθ

t t0

s t0

eR ds ψ(s)ds + ln eϕ(0) + b+ N(t, t0, ϕ) ≤ −

(cid:18)

(cid:19)

eϕ(0)e− R eR ds , t = ln + b+e− R ). [t0, ∈

Mặt khác, do (4.16), tồn tại T > 0 sao cho

∞ (4.17)

k=1 X

Do đó,

βk(t) T. 1 > 0, 1 1 e σ e − t ∀ ≥ − a(t)γk(t) ≥

(cid:19)

ψ(t) = a(t) 1 e − βk(t) a(t)γk(t) 1 (cid:18)

k=1 X > 0, t

T. 1 a− σ e ≥ − ≥

Bởi điều này ta có

. Từ đó có

khi t

t t0

(cid:17) → ∞

(cid:16) → ∞

ψ(θ)dθ

ψ(s)ds

s t0

t t0

ψ(s)ds

R lim sup

→∞

eR e− R 1 ψ(t) ds = lim sup t

→∞ 1 1

σ e

(cid:1)

Cho t

. ≤ a−

, từ (4.17) ta thu được lim supt

→∞

(cid:0) ≤

minh.

Kết quả sau đây suy ra từ các Định lí 4.2.2 và 4.2.3.

− ℓM . Định lí được chứng N(t, t0, ϕ) → ∞

Hệ quả 4.2.1. Giả sử giả thiết (A4.1) được thỏa mãn, ở đó a, b, βk và γk là các

hàm bị chặn, γ−k > 0. Nếu các điều kiện sau được thỏa mãn

(4.18a)

> 0, ̺ , a− 1 e − β+ k γ−k

(4.18b)

k=1 X b−

thì với mọi ϕ

+ 0 ta có

a+ > 0, −

∈ C

(4.19)

→

∞

(cid:18)

(cid:19)

(cid:18)

Nhận xét 4.2.4. Với các hệ số bị chặn a, b, βk, γk, từ (4.6) suy ra rằng hàm F (., .) thành tập bị chặn F (t, B) trong R. Khi đó, dưới các

biến mỗi tập bị chặn B

. ln ln N(t, t0, ϕ) N(t, t0, ϕ) b− a+ b+ ̺ ≤ ≤ ≤ lim sup t + lim inf t →∞

giả thiết của Hệ quả 4.2.1, với bất kì ϕ

+ 0 , F (t, Nt) bị chặn. Do vậy, nghiệm

⊂ C

tương ứng N(t, t0, ϕ) là hàm liên tục đều trên khoảng [0,

∈ C ). ∞

4.3. Tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương

Trong mục này chúng tôi giả sử rằng các giả thiết (A4.1), (A4.2) và các

điều kiện (4.18a)-(4.18b) được thỏa mãn. Để tiện sử dụng, chúng tôi kí hiệu

∗

(cid:18)

(cid:27)

(cid:19)

(cid:26)

(cid:19)

(cid:18)

−

1 r . = ln , r∗ = ln , νk = max b− a+ b+ ̺ 1 e2 , γ−k r − k r∗ − eγ

Chu ý rằng, do (4.18b), b

a+ > 1 và dẫn đến r

∗

> 0. Thêm nữa, do điều kiện

không được áp đặt nên 1

có thể là số dương, âm hoặc bằng

− k

∗ 0, ta có νk = 1 e2 .

∗ ≤

Định lí dưới đây chỉ ra sự tồn tại, duy nhất và tính hút toàn cục của nghiệm

tuần hoàn dương đối với hệ (4.2)-(4.4).

Định lí 4.3.1. Giả sử các giả thiết (A4.1), (A4.2), các điều kiện (4.18a), (4.18b)

và các điều kiện sau được thỏa mãn

r γ−k r − k < 1 max γ ∗ không. Với 1 p mà 1 γ−k r ≤ ≤ −

(4.20)

(cid:8)

(cid:9)

1 = µ > 0, τ ′k(t) − inf t 0 ≥

(4.21)

k < µ

k=1 X

ở đó ̺ được định nghĩa ở (4.18a). Khi đó, hệ (4.2)-(4.4) có duy nhất một nghiệm

νkβ+ ̺b− b+ ,

+ 0 . C

Chứng minh. Chúng tôi chia chứng minh thành ba bước sau đây.

Bước 1. Trước hết ta lưu ý rằng điều kiện (4.21) có thể viết ở dạng

∗

ω-tuần hoàn dương N ∗(t) hút toàn cục trong

k −

k=1 X

Do đó, với ǫ > 0 đủ nhỏ cố định sao cho r

b− < 0. µe− νkβ+

∗ −

∗

ǫ > 0, ta có

+ǫ)b− < 0,

k −

k=1 X

ở đó

µe− νǫ kβ+

∗ − ǫ) −

(cid:27)

(cid:26)

Giả sử N(t) = N(t, t0, ϕ) là một nghiệm cố định của hệ (4.2)–(4.4) với điều

kiện đầu ϕ

+ 0 . Khi đó, do Hệ quả 4.2.1, tồn tại một T > t0 sao cho

ǫ) 1 . νǫ k = max 1 e2 , γ−k (r − − k (r∗ eγ

∈ C

∗ −

r ǫ T N(t) r∗ + ǫ, τM . ≤ t ∀ ≥ − ≤

Ta định nghĩa Nω(t) = N(t + ω)

N(t) và xét hàm Lyapunov-Krasovskii sau đây −

(4.22)

kβ+ νǫ k µ

τk(t) |

−

V1(t)

k=1 X

| {z }

ds. V (t) = + Nω(t) Nω(s) | | |

Do tính tuần hoàn của τk, γk và các hệ số, đạo hàm của V1(t) được cho bởi

N (t)

N ′(t)) D+V1(t) = σNω (t)(N ′(t + ω)

(cid:26)

(cid:17)

γk(t+ω)N (t+ω

τk(t+ω))

(cid:16) N(t + ω

− N (t+ω) b(t) e− e− = σNω (t) −

−

γk(t)N (t

τk(t))

k=1 X N(t

−

h τk(t))e−

+ βk(t) τk(t + ω))e− −

i(cid:27)

N (t+ω)

N (t)

− −

τk(t))

e− e− − ≤ σNω (t)b(t) p

−

(cid:16) βk(t)

(cid:17) γk(t)N (t+ω τk(t))e−

γk(t)N (t

τk(t))

N(t + ω + −

k=1 X N(t

(4.23)

−

(cid:12) (cid:12) (cid:12) τk(t))e−

Theo định lí giá trị trung bình,

(cid:12) (cid:12) (cid:12)

N (t+ω)

N (t)

ζ(t),

. − −

(cid:16)

(cid:17)

ở đó ζ(t) là một giá trị giữa N(t) và N(t + ω). Do đó,

∗

N (t+ω)

N (t)

+ǫ)

= e− e− b(t)σNω (t) b(t)σNω (t)Nω(t)e− − −

(4.24)

(cid:16)

(cid:17)

, T. e− e− b−e− Nω(t) b(t)σNω (t) − ≤ − t ∀ ≥ | |

γx

(4.25)

(cid:27)

(cid:26)

đúng với mọi x

θ2, đánh giá sau đây − Với 0 < θ1 ≤ 1 γ−θ1 1 max e− 1 e2 , | − γx | ≤ − eγ−θ1

γk(t)x

γk(t)y

[θ1, θ2] và γ γ− > 0. Do đó, từ (4.25), ta có ∈ ≥

∗ −

Các kết quả đánh giá trên cho ta

(cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) (cid:12) γk(t)N (t+ω

τk(t))

γk(t)N (t

τk(t))

x y , 0, x, y [r xe− ye− ǫ, r∗ + ǫ]. − νǫ k| ≤ | t ∀ − ≥ ∈

−

(4.26)

N(t + ω N(t τk(t))e− τk(t))e− − − −

(cid:12) (cid:12) (cid:12)

(cid:12) (cid:12) . (cid:12)

Kết hợp (4.23)–(4.26) ta được

∗

+ǫ)

Nω(t τk(t)) νǫ k | ≤ − |

(4.27)

k νǫ β+ k |

k=1 X

. + b−e− Nω(t Nω(t) D+V1(t) τk(t)) − | ≤ − | |

Tương tự (4.23), với

kβ+ νǫ k µ

τk(t) |

−

k=1 X

ta có

ds, Nω(s) V2(t) = |

kβ+ νǫ k µ

(cid:1)

k=1 X p

(1 Nω(t) Nω(t τk(t)) D+V2(t) = τ ′k(t)) | − − | − | |

(4.28)

(cid:0) 1 µ|

(cid:16)

(cid:17)

k=1 X

Từ (4.27) và (4.28) ta suy ra

∗

+ǫ)

. Nω(t) Nω(t τk(t)) νǫ kβ+ k ≤ | − | − |

(4.29)

k=1 X

Vì ρ > 0 nên từ (4.29) ta thu được

− {z

}

∞

. D+V (t) b−e− Nω(t) νǫ k | | ≤ β+ k µ −

Z bị chặn do vế phải của (4.2) bị chặn. Do vậy N(t) là

Chú ý thêm rằng

dt < . Nω(t) V (T ) ρ | | ≤ ∞

hàm liên tục đều. Theo Bổ đề 1.5.3, tồn tại một hàm ω-tuần hoàn N ∗(t) sao cho

N ′(t) | |

Bước 2. Từ (4.5), ta có

N(t) 0 khi t N ∗(t) | − | → → ∞

Vì vậy, với bất kì n

N(t) = N(0) + F (λ, Nλ)dλ.

t+nω

∈

t+nω

Z = N(nω) +

N(t + nω) = N(0) + F (λ, Nλ)dλ

nω t

F (λ, Nλ)dλ

(4.30)

do tính tuần hoàn của các hàm a, b, βk và γk. Vì N ∗(t) là hàm ω-tuần hoàn, khi

= N(nω) + F (λ, Nλ+nω)dλ

, ta có

n → ∞

N(nω) = N(nω) N ∗(nω) + N ∗(0) N ∗(0), → −

Cho n

trong (4.30) ta thu được

N ∗λ. Nλ+nω = Nλ+nω − N ∗λ+nω + N ∗λ →

→ ∞

Điều này chứng tỏ N ∗(t) là một nghiệm ω-tuần hoàn của (4.2), và cũng là nghiệm

dương của (4.2) theo Hệ quả 4.2.1.

Bước 3. Bây giờ ta chứng minh nghiệm ω-tuần hoàn N ∗(t) của (4.2) là duy nhất. Giả sử ˆN ∗(t) cũng là một nghiệm ω-tuần hoàn của (4.2). Xét phiếm hàm

[0, ω]. N ∗(t) = N ∗(0) + F (λ, N ∗λ)dλ, t ∈

(4.31)

kβ+ νǫ k µ

τk(t) |

−

k=1 X

Tương tự (4.29), ta có

(r+ǫ)

ds. W (t) = + N ∗(t) ˆN ∗(t) N ∗(s) ˆN ∗(s) | | − − |

k=1 X

D+W (t) + N ∗(t) ˆN ∗(t) b−e− N ∗(t) ˆN ∗(t) νǫ k | − β+ k µ | | − | ≤ −

Điều này dẫn đến

∞

, t T. N ∗(t) ˆN ∗(t) ρ | − ≤ − | ≥

dt < . ˆN ∗(t) N ∗(t) ∞ − |

| Vì N ∗(t) và ˆN ∗(t) liên tục đều (Hệ quả 4.2.1), do Bổ đề 1.5.2,

= 0. ˆN ∗(t) N ∗(t) | − |

Với bất kì t

> 0 sao cho < δ với mọi t ˆN ∗(t) N ∗(t) lim t →∞ Vì vậy, với mọi δ > 0 tồn tại T ∗ T ∗ ≥ | 0 và n − , ta có | N thỏa mãn t + nω > T ∗ ≥ ∈

(4.32)

Cho δ

< δ. = ˆN ∗(t) N ∗(t) ˆN ∗(t + nω) N ∗(t + nω) | | | | − −

Cuối cùng, với nghiệm bất kì N(t, t0, ϕ) của (4.2)-(4.4), có thể kết luận từ

các lập luận ở Bước 1 và 3 rằng

0 trong (4.32) ta thu được ˆN ∗(t) = N ∗(t). ↓

. Điều này chỉ

ra tính hút toàn cục của N ∗(t). Định lí được chứng minh.

0 khi t N(t, t0, ϕ) N ∗(t) | − | → → ∞

Nhận xét 4.3.1. Các điều kiện (4.20) và (4.21) bị ràng buộc bởi hằng số µ > 0

liên quan đến tốc độ độ biến của các hàm τk(t). Tuy nhiên, hằng số này có thể

bỏ được và các điều kiện (4.20), (4.21) trở thành điều kiện sau

(4.33)

k <

k=1 X

Chính xác hơn, chúng tôi sẽ phát biểu trong định lí dưới đây.

Định lí 4.3.2. Với các giả thiết (A4.1), (A4.2), giả sử các điều kiện (4.18a),

(4.18b) và (4.33) được thỏa mãn. Khi đó, hệ (4.2)-(4.4) có một nghiệm ω-tuần

hoàn dương duy nhất N ∗(t) hút toàn cục trong

+ 0 . C

νkβ+ ̺b− b+ .

Chứng minh. Kí hiệu

, tương tự (4.27), ta có

∗

+ǫ)

V (t) = N(t + ω) N(t) | − | p

k νǫ β+ k|

e ≤ −

∗

+ǫ)

D+ V (t) + b−e− Nω(t Nω(t) τk(t)) − | | |

(4.34)

k=1 X k νǫ β+

−

≤

k=1 X

∗

+ǫ), áp dụng kết quả đánh giá bằng bất đẳng thức

Vì 0

k < b−e−

k νǫ

k=1 β+

V (t + s). V (t) + b−e− ≤ − sup s τM

Halanay trong Hệ quả 3.1 của [19], tồn tại λ > 0 sao cho

λ(t

T ), t

≤

(4.35)

−

Từ (4.35) suy ra

∞

T. V (t) V (T )e− ≥ ≤

và do đó

∞

dt Nω(t) V (T ) λ | | ≤

Phần còn lại của chứng minh được trình bày tương tự Định lí 4.3.1.

Nhận xét 4.3.2. Dựa trên lý thuyết bậc trong giải tích hàm phi tuyến, có thể

chỉ ra bằng cách sử dụng phương pháp trong Định lí 2.1 trong [7] rằng phương

trình (4.2) có nghiệm tuần hoàn dương duy nhất N ∗(t) nếu (A4.1), (A4.2) và

dt < . Nω(t) | | ∞

các điều kiện

k=1 X

được thỏa mãn. Điều kiện sau chính là điều cho bởi (4.18). Tuy nhiên, phương

pháp trong [7] không chỉ ra được tính hút của nghiệm N ∗(t). Vì vậy, các Định lí

4.3.1, 4.3.2 trong chương này hoàn thiện kết quả của [7].

a− > b− a+ > 0, 1 e β+ k γ−k

4.4. Điểm cân bằng dương và tính hút toàn cục

Trong mục này chúng tôi áp dụng kết quả tổng quát trình bày ở các mục

trước cho mô hình Nicholson mô tả bởi

γkN (t

τk(t)), t

(4.36)

−

k=1 X 0, γk > 0 là các hệ số biết trước,

ở đó βk ≥ dân số được cho bởi D(N) = a

p k=1 βk > 0. Hàm tốc độ suy giảm N với a > 0 và b > 0 là các hằng số. Trễ biến

0, D(N(t)) + N ′(t) = βkN(t τk(t))e− − t0 ≥ ≥ −

thiên τk(t) là các hàm liên tục với giá trị trong đoạn [0, τM ].

Với mô hình (4.36), các điều kiện (4.18a) và (4.18b) được quy về điều kiện

kép sau đây

be− −

(4.37)

k=1 X

Mệnh đề 4.4.1. Giả sử điều kiện (4.37) được thỏa mãn. Khi đó, với bất kì

< a < b. 1 e βk γk

+ 0 , ta có

ϕ ∈ C

(4.38)

1 e

p k=1

→

∞

(cid:18)

(cid:19)

(cid:18)

Chứng minh. Kết quả trên được suy ra từ (4.19).

Định lí 4.4.1. Giả sử rằng

b ln ln N(t, t0, ϕ) N(t, t0, ϕ) b a ≤ ≤ ≤ lim sup t + a lim inf t + ∞ → . βk γk (cid:19) −

(4.39)

< a < b, ˆνk + βk

(cid:18)

k=1 X

1 eγk (cid:19)

ở đó

(cid:27)

1 . ˆνk = max γk ln( b a ) − eγk ln( b a )

+ 0 . C

Chứng minh. Chú ý rằng một điểm cân bằng của (4.36) là nghiệm của phương

trình phi tuyến

1 e2 , (cid:26) Khi đó, mô hình (4.36) có điểm cân bằng duy nhất N ∗ hút toàn cục trong

γkN = 0.

(4.40)

k=1 X

Do (4.38), một điểm cân bằng của (4.36), nếu có, thuộc đoạn [θ1, θ2], ở đó

Φ(N) , D(N) + βkNe− −

and θ2 = ln

(cid:18)

(cid:19)

(cid:18)

k=1 X γkθ1 > 0 và

(cid:19) Vì Φ(N) là hàm liên tục trên [θ1, θ2], Φ(θ1) =

p k=1 βkθ1e−

γkθ2

. , ˆ̺ = a θ1 = ln b a 1 e b ˆ̺ − βk γk

P −

(cid:18)

< 0, θ2e− Φ(θ2) = βk

k=1 X

1 eγk (cid:19)

nên tồn tại N ∗ ∈

(θ1, θ2) sao cho Φ(N ∗) = 0.

Với bất kì N1, N2 ∈

γkN1

γkN2

(θ1, θ2), ta có

k=1 X

(cid:1)

(cid:0)

(cid:0) γkξ2 (1

+ e− e− N1e− N2e− Φ(N1) Φ(N2) = b βk − − −

ξ1 +

(cid:1) βke−

k=1 X

ở đó ξ1, ξ2 là các giá trị trung gian giữa N1 và N2. Chú ý rằng

ln( b

= be− N2), γkξ2) − (N1 − −

γkξ2(1

ξ1 +

ˆ̺ ) +

k=1 X

be− be− βke− ˆνkβk γkξ2) < − − −

(cid:16)

(cid:17)

k=1 X

Vì vậy, Φ(N1) = φ(N2) khi và chỉ khi N1 = N2. Điều này chứng tỏ điểm cân bằng

= a + < 0. βk ˆνk + − 1 eγk

Định lí 4.3.2, có thể kết luận rằng

N ∗ là duy nhất. Thêm nữa, bằng các lập luận tương tự trong chứng minh của

= 0 N ∗ N(t, t0, ϕ) | − | lim t →∞

với bất kì ϕ

+ 0 . Điều này chỉ ra tính hút của điểm cân bằng N ∗ trong

+ 0 . C

Định lí được chứng minh.

Nhận xét 4.4.1. Khi γk = 1, điều kiện (4.39) trở thành điều kiện sau

∈ C

(cid:16)

β∗ < a < b, ˆν0 + 1 e

ở đó ˆν0 = max

(cid:17) và β∗ =

p k=1 βk.

e2 , a

(cid:0)

(cid:1)o

Nhận xét 4.4.2. Theo các phương pháp trong [9,24], mô hình (4.2) có duy nhất

một nghiệm tuần hoàn dương N ∗(t) hút toàn cục nếu tồn tại một hằng số M

sao cho

1 ln b a −

(4.41a)

, k = 1, 2, . . . , p, ˜κ M γ+ k ≤

M + 1 e

p k=1

βk(t) γk(t)

≥

(4.41b)

P s +

0,s

[0,κ]

p k=1

o βk(t) γk(t) se−

 

≥

n ∈



P < 0,

M +

(4.41c)

n b(t)e−

< 0 a(t) + b(t)e− supt − , > 0 a(t) + b(t)e− inft −

≥

k=1 X

βk(t) 1 e2 − sup t 0

˜κ. Rõ

ở đó κ

κ = ˜κe−

−

1 (0, 1) và ˜κ > 0 là các hằng số thỏa mãn κ eκ = − ∈

ràng điều kiện (4.41b) kéo theo cả (C4.1) và (C4.2), ở đó

(cid:18)

(cid:19)

Hơn nữa, để có được các điều kiện có thể kiểm chứng thông qua các cận của hệ

số, điều kiện (4.41b) và (4.41c) dẫn đến

M +

1 e2 và κe− 1 e− b a σ e ≤ −



k=1 X

b+e− < a− 1 e β+ k γ−k

M .

a+ > 0

k=1 X

Từ đó suy ra

 

β+ k < b−e− b− − 1 e2

k=1 X

Do vậy, các điều (C4.3) và (C4.4) cũng được thỏa mãn. Các kiểm chứng trên chỉ

ra rằng, đối với sự tồn tại của nghiệm dương, tính bền vững, tính tiêu hao đều

> a− β+ k . b− b+ 1 e 1 e2 − β+ k γ−k !

và tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương của (4.2), phương pháp của

chúng tôi cho các điều kiện hiệu quả hơn với các chứng minh đơn giản hơn so

với phương pháp của [9, 24].

4.5. Ví dụ và mô phỏng

Trong mục này chúng tôi trình bày hai ví dụ để minh họa cho các kết quả

lý thuyết đưa ra trong chương này.

Ví dụ 4.5.1. Xét mô hình (4.2) với các tham số sau đây

a(t) = 1 + λa sin2(ω0t), b(t) = 2 + λb cos2(ω0t),

, sin(ω0t) sin(2ω0t) , β2(t) = β2| |

ở đó ω0 > 0, τM > 0 và các hằng số không âm cho trước λa, λb, β1, β2.

Rõ ràng, các giả thiết (A4.1) và (A4.2) được thỏa mãn. Hơn nữa, ta có

| cos(ω0t) β1(t) = β1| γk(t) = 1 + 0.1 , τk(t) = τM sin2(ω0t), k = 1, 2, | |

a− = 1, b− = 2, a+ = 1 + λa, b+ = 2 + λb,

Do vậy, các điều kiện đưa ra ở Định lí 4.3.1 được thỏa mãn nếu và chỉ nếu

β+ k = βk, γ−k = 1, k = 1, 2.

(4.42a)

0 < 1, λa < 1, β1 + β2 e ≤

(4.42b)

(cid:17)

(cid:16)

ở đó

, 1 ν(β1 + β2) < (1 ω0τM ) β1 + β2 e − − 2 2 + λb

(cid:17)o

(cid:16) Cho τM = 1, ω0 = 0.5 và β1 + β2 = 1. Có thể kiểm chứng rằng các điều

kiện (4.42a) và (4.42b) thỏa mãn với λa = 0.1 và λb = 0.25. Theo Định lí 4.3.1,

hệ (4.2)–(4.4) có một nghiệm 2π-tuần hoàn dương duy nhất N ∗(t) hút toàn cục

trong

+ 0 . C

. ν = max 1 ln 1 e2 , 1 + λa 2 − 2 1 + λa

Kết quả mô phỏng cho trên Hình 4.1 được thực hiện với β1 = β2 = 0.5 và

các giá trị khác nhau của điều kiện trong khoảng [0.5, 1.5]. Như ta thấy trên Hình

4.1 rằng các quỹ đạo tương ứng của hệ (4.2)–(4.4) bị chặn chung cuộc trong dải

∗

các kết quả lý thuyết trong Hệ quả 4.2.1 và Định lí 4.3.1.

1.5

1.25

) t (

Eventually upper bound r* = 1.2696

N s e i r o t c e a r t e t a t S

0.75

Eventually lower bound r

= 0.5978

0.5

Hình 4.1: Sự hội tụ về nghiệm tuần hoàn dương

Ví dụ 4.5.2. Xét mô hình (4.36) với γk = 1 và

p k=1 βk = 1. Khi đó, điều kiện

(4.39) được thỏa mãn nếu và chỉ nếu

[r , r∗] và hội tụ tới nghiệm tuần hoàn dương duy nhất. Điều này minh họa cho

(4.43)

(cid:16)

(cid:17)o

là nghiệm dương duy nhất của phương trình

Gọi κ ∗

< a < b. + max 1 ln 1 e 1 e2 , a b b a −

1 = ln κ − κ 1 e2 .

Khi đó, 1 < κ ∗

∗ ≃

< e (κ 2.0576) và (4.43) tương đương với b = κa, ở đó

if κ

ln κ 1 e + 1 − κ

) (1, κ ∗ ∈

if κ

e + 1 1 e2

 Miền chấp nhận được của (a, b) được chỉ ra trên Hình 4.2.

. a >   κ ∗ ≥

b

a

Hình 4.2: Admissible region of (a, b)

, b = 3. Theo Định lí 4.4.1, điểm cân bằng dương

Để minh họa, ta cho a =

4 e

duy nhất N ∗ = 1 của (4.36) hút toàn cục với bất kì độ trễ τk(t)

quả mô phỏng cho trên Hình 4.3 được lấy với τk(t) = τ (t). Có thể thấy rằng các

quỹ đạo nghiệm tương ứng của (4.36) hội tụ đến N ∗, điều này kiểm chứng kết

quả lý thuyết thu được.

Chú ý thêm rằng, với ví dụ này, các điều kiện trong [39] trở thành

[0, τM ]. Kết ∈

e ≥

(cid:16)

(cid:17)

Do vậy, phương pháp của [39] (Định lí 2.6) không cho bất kì nghiệm khả dụng

hoặc 1 <

a > , ln > 1. τM , 1 e b a 1 a + 1

nào khi τM >

e. Điều này minh họa cho tính hữu hiệu của e 2 b a ≤ phương pháp của chúng tôi so với phương pháp trong [39].

4.6. Kết luận Chương 4

Chương này trình bày một số kết quả về sự tồn tại duy nhất và tính hút

toàn cục của nghiệm tuần hoàn dương của một mô hình Nicholson có trễ với

1.2

1.1

) t (

0.9

N e s n o p s e R

τ (t) = 10| sin(t)| τ (t) = 5 + | cos(t)| τ (t) = 1 + 10 sin2(4t)

0.7

0.6

Hình 4.3: Tính hút toàn cục của điểm cân bằng N ∗

hàm tốc độ suy thoái phi tuyến. Dựa trên các kĩ thuật cải tiến từ nguyên lí so

sánh bằng các bất đẳng thức vi-tích phân, chúng tôi thiết lập các điều kiện đảm

bảo tính bền vững, tính tiêu hao đều và tính hút toàn cục của nghiệm tuần hoàn

dương duy nhất của mô hình. Các kết quả đạt được bao gồm:

1. Chứng minh sự tồn tại toàn cục của nghiệm dương, tính bền vững và tính

tiêu hao đều trong

+ 0 (các Định lí 4.2.1-4.2.3, và Hệ quả 4.2.1); C

2. Chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghiệm tuần hoàn dương hút toàn cục

(Định lí 4.3.1).

3. Chỉ ra sự tồn tại và chứng minh tính hút toàn cục của điểm cân bằng dương

đối với một mô hình Nicholson với hệ số hằng và hàm suy thoái phi tuyến

(Định lí 4.4.1).

KẾT LUẬN CHUNG

Luận án nghiên cứu tính ổn định nghiệm của một số lớp hệ phương trình vi

phân có trễ xuất hiện trong các mô hình sinh thái. Cụ thể, luận án nghiên cứu

ba vấn đề sau: (1) Tính ổn định trong thời gian hữu hạn của một lớp phương

trình vi phân phi tuyến mô tả mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ

tỉ lệ; (2) tính tiêu hao của lớp hệ phương trình vi phân trong mô hình mạng

nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ; và (3) sự tồn tại và dáng điệu

tiệm cận của nghiệm tuần hoàn dương của một mô hình Nicholson có trễ với

hàm tốc độ suy thoái phi tuyến. Phương pháp chính được chúng tôi sử dụng

xuyên suốt luận án là những phát triển và cải tiến từ nguyên lí so sánh với các

bất đẳng thức vi-tích phân. Các điều kiện ổn định được thiết lập dựa trên cách

tiếp cận bằng lý thuyết M-ma trận.

Các kết quả đạt được

1. Thiết lập được một số điều kiện đủ thông qua tính chất phổ của M-ma trận

đảm bảo tính ổn định hữu hạn (Định lí 2.2.1) và tính đồng bộ của nghiệm

với tốc độ lũy thừa (Định lí 2.3.1).

2. Đưa ra các điều kiện và chứng minh tính tiêu hao toàn cục của hệ trong cả

hai trường hợp khi các hệ số phản hồi thỏa mãn điều kiện chính quy (Định

lí 3.2.1) và khi các hệ số phản hồi suy biến (Định lí 3.2.2).

3. Thiết lập được một đánh giá mũ suy rộng đối với một lớp bất đẳng thức vi

phân dạng Halanay với trễ tỉ lệ (Hệ quả 3.2.3).

4. Chứng minh sự tồn tại toàn cục, tính bền vững và tính tiêu hao đều trong

+ 0 của nghiệm dương đối với một mô hình Nicholson có trễ với hàm tốc độ C suy thoái phi tuyến (Định lí 4.2.1-4.2.3, Hệ quả 4.2.1).

5. Chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghiệm tuần hoàn dương hút toàn

cục đối với mô hình Nicholson nói trên (Định lí 4.3.1). Một áp dụng với mô

hình Nicholson hệ số hằng số và chứng minh sự tồn tại của điểm cân bằng

dương hút toàn cục cũng được đưa ra (Định lí 4.4.1).

Các kết quả trên đây đều được chúng tôi kiểm chứng và minh họa bằng

các ví dụ số. Các kết quả mô phỏng đó chỉ ra tính vượt trội của các kết quả

lý thuyết nhận được. Điều này khẳng định tính hiệu quả của cách tiếp cận mà

chúng tôi sử dụng trong luận án này.

Một số vấn đề nghiên cứu tiếp theo

Bên cạnh các kết quả đạt được trong luận án, một số vấn đề mở liên quan

cần được tiếp tục nghiên cứu như:

Tính tiêu hao, tính đồng bộ nghiệm của các hệ phương trình vi phân mô tả

mạng nơron khuếch tán với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ.

Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm tuần hoàn, hầu tuần hoàn

•

dương đối với mô hình Nicholson có trễ và hàm tốc độ suy thoái dạng phân

thức D(t, N) =

•

a(t)N N + b(t)

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN

[1] L.V. Hien, D.T. Son (2015), Finite-time stability of a class of non-autonomous

neural networks with heterogeneous proportional delays, Applied Mathemat-

ics and Compution, vol. 251, pp. 14–23 (SCIE)

[2] L.V. Hien, D.T. Son, H. Trinh (2018), On global dissipativity of nonau-

tonomous neural networks with multiple proportional delays,IEEE Trans-

actions on Neural Network and Learning Systems, vol. 29, pp. 225–231 (SCI)

[3] D.T. Son, L.V. Hien, T.T. Anh (2019), Global attractivity of positive peri-

odic solution of a delayed Nicholson model with nonlinear density-dependent

mortality term, Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential

Equations, No. 8, pp. 1-21 (SCIE)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Lê Văn Hiện, Tính ổn định của một số lớp hệ phương trình vi phân và điều

khiển, Luận án Tiến sĩ Toán học, Trường ĐHSP Hà Nội, 2010.

[2] F. Amato, R. Ambrosino, M. Ariola, C. Cosentino, G. De Tommasi, Finite-

Time Stability and Control, Springer-Verlag, London, 2014.

[3] L. Berezansky, E. Braverman, L. Idels, Nicholson’s blowflies differential equations revisited: Main results and open problems, Appl. Math. Model. 34 (2010) 1405–1417.

[4] L. Berezansky, L. Idels, L. Troib, Global dynamics of Nicholson-type delay systems with applications, Nonlinear Anal. Real World Appl. 12 (2011) 436– 445.

[5] A. Berman, R.J. Plemmons, Nonnegative Matrices in the Mathematical Sci-

ences, SIAM, Philadelphia, 1994.

[6] D. Caetano, T. Faria, Stability and attractivity for Nicholson systems with time-dependent delays, Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ. No. 63 (2017) 1–19.

[7] Z. Chen, Periodic solutions for Nicholson-type delay system with nonlinear density-dependent mortality terms, Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ. No. 1 (2013) 1–10.

[8] T. Chen, L. Wang, Power-rate global stability of dynamical systems with unbounded time-varying delays, IEEE Trans. Circuit Syst.-II 54 (2007) 705– 709.

[9] W. Chen, W. Wang, Almost periodic solutions for a delayed Nicholson’s blowflies system with nonlinear density-dependent mortality terms and patch structure, Adv. Differ. Equ. No. 205 (2014) 1–19.

[10] L. Duan, L. Huang, Pseudo almost periodic dynamics of delay Nicholson’s blowflies model with a linear harvesting term, Math. Meth. Appl. Sci. 38 (2015) 1178–1189.

[11] L. Edelstein-Keshet, Mathematical Models in Biology, SIAM, Philadelphia,

2004.

[12] T. Erneux, Applied Delay Diferential Equations, Springer, Berlin, 2009.

[13] E. Fridman, Introduction to Time-Delay Systems: Analysis and Control,

Birkh¨auser, 2014.

[14] A. Halanay, Differential Equations, Academic Press, New York, 1996.

[15] J.K. Hale, S.M. Verduyn Lunel, Introduction to Functional Differential

Equations, Springer-Verlag, New York, 1993.

[16] L.V. Hien, An explicit criterion for finite-time stability of linear nonau-

tonomous systems with delays, Appl. Math. Lett. 30 (2014) 12–18.

[17] L.V. Hien, Global asymptotic behaviour of positive solutions to a non- autonomous Nicholson’s blowflies model with delays, J. Biol. Dyn. 8 (2014) 135–144.

[18] L.V. Hien, T.T. Loan, B.T. Huyen-Trang, H. Trinh, Existence and global asymptotic stability of positive periodic solution of delayed Cohen– Grossberg neural networks, Appl. Math. Comput. 240 (2014) 200–212.

[19] L.V. Hien, V.N. Phat, H. Trinh, New generalized Halanay inequalities with applications to stability of nonlinear non-autonomous time-delay systems, Nonlinear Dyn. 82 (2015) 563–575.

[20] G. Kamenkov, On stability of motion over a finite interval of time, J. Appl.

Math. Mech. 17 (1953) 529–540.

[21] X. Liao, L. Wang, P. Yu, Stability of Dynamical Systems, Elservier, New

York, 2007.

[22] B. Liu, The existence and uniqueness of positive periodic solutions of Nicholson-type delay systems, Nonlinear Anal. Real World Appl. 12 (2011) 3145–3151.

[23] B. Liu, Global dynamic behaviors for a delayed Nicholson’s blowflies model with a linear harvesting term, Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ., No. 45(2013) 1–13.

[24] B. Liu, Almost periodic solutions for a delayed Nicholson’s blowflies model with a nonlinear density-dependent mortality term, Adv. Differ. Equ. No. 72 (2014) 1–16.

[25] B. Liu, Global exponential stability of positive periodic solutions for a de- layed Nicholson’s blowflies model, J. Math. Anal. Appl. 412 (2015) 212–221.

[26] Q.L. Liu, H.S. Ding, Existence of positive almost-periodic solutions for a Nicholson’s blowflies model, Electron. J. Differ. Equ. No. 56 (2013) 1–9.

[27] F. Long, Positive almost periodic solution for a class of Nicholson’s blowflies model with a linear harvesting term, Nonlinear Anal. Real World Appl. 13 (2012) 686–693.

[28] C. Modi, D. Patel, B. Borisaniya, H. Patel, A. Patel, M. Rajarajan, A survey of intrusion detection techniques in Cloud, J. Netw. Comput. Appl. 36 (2013) 42–57.

[29] A.J. Nicholson, An outline of the dynamics of animal populations, Aust. J.

Zool. 2(1954) 9–65.

[30] H. Smith, An Introduction to Delay Differential Equations with Applications

to the Life Sciences, Springer-Verlag, New York, 2011.

[31] T. Insperger, T. Ersal, G. Orosz, Time Delay Systems: Theory, Numerics,

Applications, and Experiments, Springer, Switzerland, 2017.

[32] R. Temam, Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and

Physics, Springer, Berlin, 1988.

[33] Z. Tu, J. Jian, B. Wang, Positive invariant sets and global exponential attractive sets of a class of neural networks with unbounded time-delays, Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 16 (2011) 3738–3745.

[34] P. Venketesh, R. Venkatesan, A survey on applications of neural networks and evolutionary techniques in web caching, IETE Tech. Rev. 26 (2009) 171–180.

[35] L. Wang, Almost periodic solution for Nicholson’s blowflies model with patch structure and linear harvesting terms, Appl. Math. Model. 37 (2013) 2153–2165.

[36] L. Wen, Y. Yu, W. Wang, Generalized Halanay inequalities for dissipativity of Volterra functional differential equations, J. Math. Anal. Appl. 347 (2008) 169–178.

[37] L. Wen, S. Li, Dissipativity of Volterra functional differential equations, J.

Math. Anal. Appl. 324 (2006) 696–706.

[38] E. Witrant, E. Fridman, O. Sename, L. Dugard (Eds.), Recent Results on

Time-Delay Systems: Analysis and Control, Springer, Basel, 2016.

[39] W. Xiong, Delay effect in the Nicholson’s blowflies model with a nonlinear density-dependent mortality term, Electron. J. Qual. Theory Differ. Equ. No. 20 (2017) 1–11.

[40] H. Zhang, Z. Wang, and D. Liu, A comprehensive review of stability analysis of continuous-time recurrent neural networks, IEEE Trans. Neural Netw. Learn. Syst. 25 (2014) 1229–1262.

[41] L. Zhou, Global asymptotic stability of cellular neural networks with pro-

portional delays, Nonlinear Dyn. 77 (2014) 41–47.

[42] L. Zhou, Delay-dependent exponential stability of cellular neural networks with multi-proportional delays, Neural Process. Lett. 38 (2013) 347–359.

[43] L. Zhou, Dissipativity of a class of cellular neural networks with proportional

delays, Nonlinear Dyn. 73 (2013) 1895–1903.

[44] L. Zhou, Global asymptotic stability of cellular neural networks with pro-

portional delays, Nonlinear Dyn. 77 (2014) 41–47.

[45] L. Zhou, X. Chen, Y. Yang, Asymptotic stability of cellular neural networks with multiple proportional delays, Appl. Math. Comput. 229 (2014) 457–466.