Luận văn: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN

Chia sẻ: Greengrass304 Greengrass304 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:36

Thêm vào BST

Báo xấu

161
lượt xem 42
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuyết biểu diễn nhóm có nguồn gốc từ lý thuyết đặc trưng của nhóm abel được phát biểu cho các nhóm cyclic bởi Gauss, Dirichlet và sau đó mở rộng sang cho nhóm abel hữu hạn bởi Frobenius và Stickelberger. Lý thuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn được phát biểu vào cuối thế kỷ XIX trong các công trình của Frobenius, Schur và Burnside.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ***************** MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ THẾ KHÔI Người thực hiện: TRẦN DANH TUYÊN Thái Nguyên - 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Môc lôc Lêi nãi ®Çu 2 1 Mét sè vÝ dô vÒ nhãm vµ t¸c ®éng nhãm 4 1.1 Nhãm ma trËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 T¸c ®éng nhãm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Nhãm ®èi xøng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 C¸c kh¸i niÖm ®¹i sè c¬ së cña phÐp biÓu diÔn nhãm 10 2.1 PhÐp biÓu diÔn tuyÕn tÝnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 BiÓu diÔn t¬ng ®¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 C¸c vÝ dô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Tæng vµ tÝch tenx¬ cña phÐp biÓu diÔn - PhÐp biÓu diÔn th¬ng 16 2.4.1 Tæng cña phÐp biÓu diÔn . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4.2 TÝch tenx¬ cña phÐp biÓu diÔn . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4.3 PhÐp biÓu diÔn ®èi ngÉu . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.4.4 PhÐp biÓu diÔn th¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5 Ph©n tÝch bÊt kh¶ quy cña mét phÐp biÓu diÔn . . . . . . . . . 19 2.6 §Æc trng cña phÐp biÓu diÔn h÷u h¹n . . . . . . . . . . . . . 23 3 BiÓu diÔn cña nhãm h÷u h¹n vµ c«ng thøc Frobenius 24 3.1 §Æc trng hÖ trùc chuÈn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.2 BiÓu diÔn chÝnh quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.3 HÖ trùc chuÈn c¸c ®Æc trng vµ sè c¸c biÓu diÔn bÊt kh¶ quy . 29 ø 3.4 ng dông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
2 Lêi nãi ®Çu Lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm cã nguån gèc tõ lý thuyÕt ®Æc trng cña nhãm abel ®îc ph¸t biÓu cho c¸c nhãm cyclic bëi Gauss, Dirichlet vµ sau ®ã më réng sang cho nhãm abel h÷u h¹n bëi Frobenius vµ Stickelberger. Lý thuyÕt biÓu diÔn cña nhãm h÷u h¹n ®îc ph¸t biÓu vµo cuèi thÕ kû XIX trong c¸c c«ng tr×nh cña Frobenius, Schur vµ Burnside. Nãi mét c¸ch ®¬n gi¶n, lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm nghiªn cøu c¸c c¸ch mµ mét nhãm t¸c ®éng trªn kh«ng gian vÐct¬ b»ng c¸c tù ®¼ng cÊu tuyÕn tÝnh. Lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm kh«ng chØ lµ mét phÇn quan träng trong ®¹i sè hiÖn ®¹i mµ cßn cã nhiÒu øng dông quan träng trong lý thuyÕt sè, tæ hîp vµ c¶ vËt lý. Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ ®äc hiÓu vµ tr×nh bµy l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n trong lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm h÷u h¹n vµ tr×nh bµy chøng minh cña B.Zagier c«ng thøc Frobenius. Bè côc cña luËn v¨n cña chóng t«i gåm ba ch¬ng: Ch¬ng 1 Mét sè vÝ dô vÒ nhãm vµ t¸c ®éng nhãm. Trong ch¬ng nµy chóng t«i nh¾c l¹i mét sè kh¸i niÖm c¬ b¶n nh: Nhãm ma trËn, t¸c ®éng nhãm, nhãm ®èi xøng. Nh÷ng kiÕn thøc nµy sÏ ®îc sö dông trong phÇn cßn l¹i cña luËn v¨n. Ch¬ng 2 C¸c kh¸i niÖm ®¹i sè c¬ së cña phÐp biÓu diÔn nhãm. Trong ch¬ng nµy chóng t«i tr×nh bµy c¸c kh¸i niÖm vµ mét sè vÝ dô ®¬n gi¶n ®Ó minh ho¹ cho c¸c kh¸i niÖm cña phÐp biÓu diÔn nhãm. Ch¬ng 3 BiÓu diÔn cña nhãm h÷u h¹n vµ c«ng thøc Frobenius. §©y lµ ch¬ng chÝnh cña luËn v¨n. Trong ch¬ng nµy chóng t«i tr×nh bµy l¹i mét sè kÕt qu¶ c¬ b¶n cña lý thuyÕt biÓu diÔn cña nhãm h÷u h¹n vµ ®Æc biÖt lµ chóng t«i d· tr×nh bµy l¹i mét chøng minh cña c«ng thøc Frobenius th«ng qua lý thuyÕt biÓu diÔn nhãm. Qua ®©y, t¸c gi¶ còng xin ®îc bµy tá lßng biÕt ¬n s©u x¾c tíi ngêi thÇy, ngêi híng dÉn khoa häc cña m×nh, TS. Vò ThÕ Kh«i, nhê sù híng dÉn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
3 chØ b¶o tËn t×nh vµ nghiªm kh¾c cña thÇy mµ luËn v¨n ®· ®îc hoµn thµnh mét c¸ch khoa häc vµ ®óng tiÕn ®é. Xin ch©n thµnh c¶m ¬n c¸c thÇy c« c«ng t¸c t¹i ViÖn To¸n, t¹i c¸c trêng §¹i häc thuéc §¹i häc Th¸i Nguyªn ®· trùc tiÕp gi¶ng d¹y vµ quan t©m. Xin c¶m ¬n anh Ph¹m Hång Nam, gi¶ng viªn khoa To¸n - Tin trêng §¹i häc Khoa häc Th¸i Nguyªn, c¶m ¬n b¹n bÌ ®ång nghiÖp vµ gia ®×nh ®· ®éng viªn, gióp ®ì t¸c gi¶ trong suèt thêi gian häc tËp vµ nghiªn cøu. Th¸i Nguyªn, th¸ng 09 n¨m 2009 Häc Viªn TrÇn Danh Tuyªn Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Ch¬ng 1 Mét sè vÝ dô vÒ nhãm vµ t¸c ®éng nhãm Ta nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc cÇn dïng trong luËn v¨n. 1.1 Nhãm ma trËn Mm,n (C) C Cho lµ trêng sè phøc, kÝ hiÖu lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c ma trËn m×n m×n Mm,n (C) C. C-kh«ng cÊp trªn lËp nªn mét gian vÐc t¬ chiÒu, m=n Mn (C) Mn,n (C) trong trêng hîp th× ta kÝ hiÖu thay cho . Ta x¸c nhãm tuyÕn tÝnh: ®Þnh ®îc mét GL(n, C) := {A ∈ Mn (C), detA = 0}. nhãm tuyÕn tÝnh ®Æc biÖt, Ta x¸c ®Þnh SL(n, C) := {A ∈ Mn (C); detA = 1}. trùc giao: Ta còng x¸c ®Þnh nhãm O(n) := {A ∈ Mn (R); t AA = En }, n=p+q vµ cho , th× ta cã: O(p, q ) := {A ∈ Mn (R); t ADp,q A = Dp,q }, aii = 1, ∀i = 1, p Dp,q trong ®ã lµ c¸c ma trËn ®êng chÐo mµ vµ c¸c aii = −1, ∀i = p + 1, n nhãm unita: . Vµ x¸c ®Þnh U (n) := {A ∈ Mn (C); t AA = En } 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
5 lµ nhãm kh¶ nghÞch. n=p+q Cho th× c¸c nhãm U (p, q ) := {A ∈ Mn (R); t ADp,q A = Dp,q }. O(n) SO(n) O(n) Tõ nhãm ta x¸c ®Þnh ®îc nhãm con cña nhãm nh sau: SO(n) := {A ∈ O(n); detA = 1}. A(n) := {D(a1 , ..., an ); a1 , ..., an ∈ C∗ } lµ ma trËn ®êng chÐo víi c¸c a1 , ..., an phÇn tö n»m trªn ®êng chÐo. 1.2 T¸c ®éng nhãm G e χ Trong phÇn nµy lu«n cho lµ mét nhãm, phÇn tö ®¬n vÞ lµ vµ lµ mét tËp. G χ §Þnh nghÜa 1.2.1. t¸c ®éng tr¸i trªn ®îc gäi lµ nÕu tån t¹i ¸nh x¹ G×χ→χ (g, x) → g · x tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: g · (g · x) = (gg ) · x i) e·x=x ii) g, g ∈ G, x ∈ χ víi mäi . Autχ χ χ Chó ý: §Æt lµ tËp hîp tÊt c¶ c¸c song ¸nh tõ vµo th× tõ ®Þnh nghÜa ta ®îc ®ång cÊu nhãm ϕ :G → Autχ g →g·x • G−tËp tr¸i G χ χ Trong trêng hîp t¸c ®éng tr¸i trªn ta còng gäi lµ . • x, x ∈ χ g∈G b¾c cÇu T¸c ®éng nhãm ®îc gäi lµ nÕu mäi cÆp th× tån t¹i x =g·x sao cho Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
6 • x0 ∈ χ G · x0 χ Víi mäi ta x¸c ®Þnh ®îc tËp con cña : G · x0 := {g · x0 ; g ∈ G}, G · x0 G quü ®¹o x0 ®îc gäi lµ (chøa ). • x0 ∈ χ χ Víi mäi ta x¸c ®Þnh ®îc nhãm con cña Gx0 := {g ∈ G, g · x0 = x0 } x0 nhãm ®¼ng híng nhãm æn ®Þnh cña vµ ®îc gäi lµ hay . χ ⊆ Cn G = GL(n, C) VÝ dô 1.2.2. Cho vµ , ta x¸c ®Þnh ®îc mét t¸c ®éng χ tr¸i trªn bëi ¸nh x¹: G×χ→χ (A, x) → A · x x ∈ Cn víi mäi . χ §Þnh nghÜa 1.2.3. kh«ng gian thuÇn nhÊt Mét tËp ®îc gäi lµ nÕu cã mét G χ nhãm t¸c ®éng b¾c cÇu trªn . G− G− χ/G χG §Þnh nghÜa 1.2.4. Víi mäi tËp, ta x¸c ®Þnh hay lµ tËp c¸c quü χG χ G tËp c¸c ®iÓm bÊt ®éng ®¹o trong vµ lµ cña , nghÜa lµ tËp c¸c phÇn tö x∈χ g·x=x g∈G sao cho víi mäi . χ χ Chó ý: NÕu cã cÊu tróc ®¹i sè, vÝ dô nÕu lµ kh«ng gian vÐc t¬ th× trong trêng hîp nµy ¸nh x¹: λ :G → χ x→g·x g∈G lµ tuyÕn tÝnh víi mçi . G− f :χ→χ χ χ §Þnh nghÜa 1.2.5. Cho vµ lµ c¸c tËp tr¸i vµ lµ mét ¸nh G−®ång cÊu g∈G f ®¼ng biÕn x¹. ¸nh x¹ ®îc gäi lµ hay nÕu víi mäi vµ x∈χ , ta cã : g · f (x) = f (g · x). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
7 H G G H nhãm con cña trong Cho lµ mét nhãm con cña , ta ®Þnh nghÜa lµ NG (H ) := {g ∈ G; gHg −1 = H }. NG (H ) G H Râ rµng lµ nhãm con chuÈn t¾c tèi ®¹i cña trong vµ nhãm Aut(G/H ) NG (H )/H lµ ®¼ng cÊu víi . Ta còng x¸c ®Þnh ®îc nhãm con CG (H ) := {g ∈ G; ghg −1 = h, ∀h ∈ H } nhãm t©m chuÈn t¾c , ®îc gäi lµ H G ho¸ cña trong . H=G Trong trêng hîp ®Æc biÖt nhãm t©m ho¸ x¸c ®Þnh bëi: CG (G) = {g ∈ G; gh = hg, ∀h ∈ H } =: C (G). Hoµn toµn t¬ng tù nh vËy ta còng cã nhãm t¸c ®éng ph¶i cña mét nhãm G χ trªn tËp : G χ §Þnh nghÜa 1.2.6. t¸c ®éng ph¶i trªn ®îc gäi lµ nÕu tån t¹i ¸nh x¹ G×χ→χ (g, x) → x · g tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau: (x · g ) · g = x · (gg ) i) x · e = x ∀x ∈ χ, g, g ∈ G ii) , . Chó ý: Ta cã thÓ ®a nhãm t¸c ®éng ph¶i vÒ t¸c ®éng tr¸i vµ ngîc l¹i nhê ph¶n ®¼ng cÊu: G→G g → g −1 G− χ Do ®ã cho lµ tËp ph¶i th× ®îc t¸c ®éng tr¸i cho bëi: g · x := x · g −1 . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
8 1.3 Nhãm ®èi xøng Sn §Þnh nghÜa 1.3.1. Nhãm ®èi xøng lµ nhãm cña c¸c ho¸n vÞ, nghÜa lµ n nhãm t¹o bëi c¸c song ¸nh cña phÇn tö. Autχ χ χ χn := Râ rµng lµ nhãm song ¸nh tõ tËp vµo chÝnh tËp , chän {1, 2, ..., n} Sn = Autχn th× . Chó ý: • #Sn = n! Sn Sè phÇn tö cña nhãm lµ • σ ∈ Sn chuyÓn vÞ, Mçi phÇn tö ®Òu cã thÓ viÕt díi d¹ng tÝch cña c¸c nghÜa lµ ho¸n vÞ ë ®ã chØ cã hai phÇn tö chuyÓn chç cho nhau. • σ ∈ Sn σ hµm dÊu cña Cho , ta x¸c ®Þnh bëi: σ (i) − σ (j ) Sign(σ ) := ε(σ ) := . i−j 1≤i
9 n=3 VÝ dô 1.3.4. Cho v× 3=1+1+1 3=2+1 3=3 n=3 (1, 1, 1) (2, 1) (3) S3 nªn cã ph©n ho¹ch lµ ; ; . Suy ra cã ba líp liªn hîp lµ: C1 = {id} C2 = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)} C3 = {(1, 2, 3), (1, 3, 2)} . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
Ch¬ng 2 C¸c kh¸i niÖm ®¹i sè c¬ së cña phÐp biÓu diÔn nhãm 2.1 PhÐp biÓu diÔn tuyÕn tÝnh G V C- Cho lµ mét nhãm, lµ mét kh«ng gian vÐc t¬. π G V §Þnh nghÜa 2.1.1. phÐp biÓu diÔn tuyÕn tÝnh ®îc gäi lµ cña trong π G AutV nÕu lµ mét ®ång cÊu tõ ®Õn , nghÜa lµ ¸nh x¹ π :G → AutV g → π (g ), tho¶ m·n π (gg ) = π (g )π (g ), ∀g, g ∈ G. AutV GL(V ) V ®îc kÝ hiÖu bëi lµ nhãm tÊt c¶ c¸c tù ®¼ng cÊu cña . V C- Trong trêng hîp lµ mét kh«ng gian vÐc t¬ h÷u h¹n chiÒu víi dim V = n π n π n chiÒu cã bËc lµ phÐp biÓu diÔn th× ta nãi hoÆc lµ . B = (v1 , ..., vn ) F ∈ AutV V Cho lµ mét c¬ së cña th× víi mäi ®îc biÓu B n × n A := MB (F ) A diÔn trong c¬ së bëi mét ma trËn kh¶ nghÞch cÊp , , Cn V ta cã mét ®¼ng cÊu cña c¸c kh«ng gian vÐc t¬ vµ ®¼ng cÊu nhãm AutV GL(n, C) . Do ®ã ta cã mét ph¸t biÓu kh¸c t¬ng ®¬ng víi ®Þnh nghÜa tríc. 10 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
11 n G §Þnh nghÜa 2.1.2. phÐp biÓu diÔn tuyÕn tÝnh chiÒu Mét cña mét nhãm g∈G π (g ) = A(g ) ∈ GL(n, C) lµ mét phÐp liªn kÕt mçi víi mét ma trËn tho¶ m·n: A(gg ) = A(g )A(g ), ∀g, g ∈ G. V× mäi ®ång cÊu nhãm biÕn phÇn tö ®¬n vÞ cña nhãm nµy thµnh phÇn tö π En e ®¬n vÞ cña nhãm kia, nªn râ rµng biÕn ma trËn thµnh phÇn tö ®¬n vÞ G π (e) = idV cña nhãm vµ râ rµng ta cã trong trêng hîp tæng qu¸t. G ⊂ GL(n, C) G 1.1 NÕu lµ nhãm ma trËn nh trong phÇn , chóng ta cã π0 mét phÐp biÓu diÔn tù nhiªn cho bëi: π0 (A) = A A∈G víi mçi . π G Vπ §Þnh nghÜa 2.1.3. Cho lµ mét phÐp biÓu diÔn tuyÕn tÝnh cña trong . π− biÓu diÔn bÊt kh¶ quy ®îc gäi lµ nÕu nã kh«ng cã kh«ng gian con bÊt V0 V biÕn trong . V0 ⊂ V π− Mét kh«ng gian con lµ bÊt biÕn nÕu ta cã π (g )(v0 ) ∈ V0 , ∀g ∈ G, ∀v0 ∈ V0 . π0 := π |V0 G V0 Trong trêng hîp, lµ mét phÐp biÓu diÔn cña trong th× π0 phÐp biÓu diÔn con. ®îc gäi lµ π π biÓu diÔn bÊt kh¶ quy Do ®ã ta nãi r»ng lµ nÕu kh«ng cã phÐp biÓu diÔn con thùc sù. • V V Cho lµ kh«ng gian unita phøc, nghÜa lµ ®îc trang bÞ mét tÝch v« híng: < ., . >:V × V → C (v, v ) →< v, v > tho¶ m·n 3 tÝnh chÊt: i) TuyÕn tÝnh theo biÕn thø hai vµ ph¶n tuyÕn tÝnh theo biÕn thø nhÊt . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
12 v, v ∈ V d¹ng Hemitian, ii) Lµ nghÜa lµ víi mäi ta cã < v, v >= < v, v > ∀v ∈ V < v, v > ≥ 0 ”=” X¸c ®Þnh d¬ng iii) , nghÜa lµ: ta cã dÊu x¶y v=0 ra víi . V = Cn Cho th× ta thêng sö dông tÝch v« híng n xi yi , ∀x, y ∈ Cn . < x, y >:= i=1 π G V unita §Þnh nghÜa 2.1.4. Mét phÐp biÓu diÔn cña trong lµ nÕu mçi v, v ∈ V g∈G π (g ) lµ unita, nghÜa lµ víi mäi vµ ta cã: < π (g )v, π (g )v > = < v, v > . 2.2 BiÓu diÔn t¬ng ®¬ng C− π π G V Cho hai phÐp biÓu diÔn vµ cña trong kh«ng gian vÐc t¬ G− V t¬ng øng víi , ta cÇn t×m mét ¸nh x¹ ®¼ng cÊu víi F :V →V C− F :V →V §Þnh nghÜa 2.2.1. Mét ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh ®îc gäi lµ mét g∈G π π to¸n tö bÖn gi÷a vµ nÕu víi mäi , ta cã F π (g ) = π (g )F, nghÜa lµ biÓu ®å sau lµ giao ho¸n F V −→ V −    π (g) π (g ) F V −→ V − F :V →V π π π t¬ng ®¬ng vµ ®îc gäi lµ nÕu cã mét ®¼ng cÊu bÖn vµ π∼π π trong trêng hîp ®ã viÕt lµ . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
13 π π NhËn xÐt: Kh«ng gian cña nh÷ng to¸n tö bÖn gi÷a vµ lµ mét kh«ng C HomG (V, V ) gian vÐc t¬ trªn trêng . Nã ®îc ®Þnh nghÜa bëi hoÆc C (V, V ) C (V ) := C (V, V ) . H¬n n÷a chóng ta thêng sö dông kÝ hiÖu vµ c(π, π ) = c(V, V ) = dim C (V, V ) c(π, π ) π π mult(π, π ) béi cña trong vµ còng ®îc gäi lµ vµ kÝ hiÖu bëi . π π c(π, π ) = c(π , π ) = 0 rêi nhau. PhÐp biÓu diÔn vµ víi ®îc gäi lµ Ta cÇn x¸c ®Þnh c¸c líp t¬ng ®¬ng cña c¸c phÐp biÓu diÔn bÊt kh¶ quy bÊt G biÕn cña . 2.3 C¸c vÝ dô G G VÝ dô 2.3.1. Cho lµ nhãm c¸c ma trËn th× cã phÐp biÓu diÔn tù nhiªn G ⊂ GL(n, C) π0 , nghÜa lµ víi mçi nhãm ma trËn thùc (phøc) cã biÓu diÔn V = Cn A∈G trong liªn kÕt víi mäi . Râ rµng phÐp biÓu diÔn tù nhiªn lµ G = SO(n) SU (n) unita víi hoÆc nhng trong trêng hîp tæng qu¸t th× nã hoÆc kh«ng lµ unita hoÆc kh«ng lµ bÊt kh¶ quy, ®iÒu ®ã ®îc suy ra tõ vÝ dô sau: G = S3 id = (1) x := (1, 2) S3 VÝ dô 2.3.2. Cho , xÐt c¸c phÇn tö cña lµ: , , y := (1, 2, 3) râ rµng ta cã: 123 123 123 x2 = = = id (2.1) 213 213 123 123 123 123 y2 = = =132 (2.2) 231 231 312 123 123 123 xy = = =23 (2.3) 213 231 132 123 123 123 yx = = =13 (2.4) 231 213 321 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
14 123 123 123 123 xyx = = =123 (2.5) 213 231 213 231 123 123 123 123 y3 = = = id. (2.6) 321 321 321 123 g ∈ S3 Do ®ã mçi phÇn tö ®Òu cã thÓ biÓu diÔn thµnh tÝch cña c¸c luü x y S3 =< x, y > x y thõa cña vµ . Tõ ®ã suy ra lµ nhãm con sinh bëi vµ . V =C Do ®ã ta dÔ dµng t×m ®îc phÐp biÓu diÔn trong , ®ã lµ phÐp biÓu diÔn tÇm thêng π1 (g ) = 1, ∀g ∈ S3 vµ phÐp biÓu diÔn dÊu π2 (g ) = sign g ∈ {±1}, ∀g ∈ S3 . V = C3 π0 Ta còng t×m ®îc phÐp biÓu diÔn 3 chiÒu trªn bëi ma trËn ho¸n vÞ sau   001 π0 (y ) = A(y ) = 1 0 0 (2.7) 010 phÐp biÓu diÔn ho¸n vÞ. phÐp biÓu diÔn ®ã gäi lµ Ta cã 3 3 V =C = ei C i=1 víi ω = e1 z1 + e2 z2 + e2 z2 ∈ V e1 = t (1, 0, 0), e2 = t (0, 1, 0), e3 = t (0, 0, 1) z1 , z2 , z3 ∈ C trong ®ã vµ th× π0 ®îc cho bëi π0 (g )ω = eg(i) zi = ei zg−1 (i) . i π0 Nh ®· biÕt lµ phÐp biÓu diÔn unita, nhng kh«ng bÊt kh¶ quy: V1 := (e1 + e2 + e3 )C V §Æt lµ kh«ng gian con bÊt biÕn cña . ThËt vËy: π0 (g )(e1 + e2 + e3 ) = eg(1) + eg(2) + eg(3) = e1 + e2 + e3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
15 π0 |V1 = π1 V1 do ®ã lµ phÐp biÓu diÔn tÇm thêng trong . Cho ω= zi ei i th× < e1 + e2 + e3 , ω >= zi i V3 = {ω, zi = 0} Ta dÔ dµng chøng minh ®îc lµ kh«ng gian con i V V1 V cña vµ lµ phÇn bï cña trong , mÆt kh¸c ta cã zi = zg−1 (i) i i g ∈ S3 V3 víi mäi nªn lµ kh«ng gian con bÊt biÕn. a := e1 ξ + e2 + e3 ξ 2 b := e1 + e2 ξ + e3 ξ 2 ξ = e2πi/3 §Æt vµ víi , ta dÔ π2 := π0 |V3 a, b V3 dµng chøng minh ®îc lµ c¬ së cña . §Æt ta còng chØ ra π2 r»ng lµ bÊt kh¶ quy. π 1 π2 S3 NhËn xÐt: TÊt c¶ c¸c phÐp biÓu diÔn trong lµ t¬ng ®¬ng víi , π0 hoÆc . G− x → g·x V = F (χ) χ G VÝ dô 2.3.3. Cho lµ tËp víi t¸c ®éng tr¸i vµ f :χ→C f ∈V lµ kh«ng gian vÐc t¬ cña c¸c hµm phøc tho¶ m·n víi th× fg ∈ V fg trong ®ã x¸c ®Þnh bëi: fg (x) = f (g −1 x). (λ(g )f )(x) := f (g −1 x) λ NhËn xÐt: Hµm x¸c ®Þnh mét phÐp biÓu diÔn G V cña trong . (gg ) · x = g · g · x Chøng minh. ThËt vËy, vµ suy ra −1 −1 −1 λ(gg )f (x) = f ((gg )−1 · x) = f (g · g −1 · x) · x) = f (g g vµ −1 λ(g )λ(g )f (x) = λ(g )fg (x) = fg (g −1 · x) = f (g · g −1 · x). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
16 Suy ra λ(g.g )f (x) = λ(g )λ(g )f (x). G Hoµn toµn t¬ng tù ta còng cã thÓ x©y dùng mét phÐp biÓu diÔn cña G− V = F (χ)− V trong th«ng qua t¸c ®éng ph¶i víi kh«ng gian c¸c hµm f g = f (x · g ) (ρ(g )f )(x) := f (g · x) phøc vµ víi khi ®ã hµm x¸c ®Þnh mét ρ G V phÐp biÓu diÔn cña trong . ThËt vËy x · (gg ) = x · g · g do ®ã suy ra ρ(gg )f (x) = f (x · (gg )) = f (x · g · g ) vµ ρ(g )ρ(g )f (x) = ρ(g )f g (x) = f (x · g · g ). Suy ra ρ(gg )f (x) = ρ(g )ρ(g )f (x). 2.4 Tæng vµ tÝch tenx¬ cña phÐp biÓu diÔn - PhÐp biÓu diÔn th¬ng 2.4.1 Tæng cña phÐp biÓu diÔn (π, V ) (π , V ) G Cho vµ lµ c¸c phÐp biÓu diÔn (tuyÕn tÝnh) cña nhãm th× π⊕π π π tæng trùc tiÕp cña vµ ®îc cho bëi: (π ⊕ π )(g )(v ⊕ v ) := π (g )v ⊕ π (g )v , ∀v ⊕ v ∈ V ⊕ V . V = Cn V = Cm π (g ) = A(g ) ∈ GL(n, C) π (g ) = A (g ) ∈ Cho , vµ , GL(m, C) th× ta cã: A(g ) 0 (π ⊕ π )(g ) = ∈ GL(n + m, C). (2.8) 0 A (g ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
17 2.4.2 TÝch tenx¬ cña phÐp biÓu diÔn V ⊗V (π, V ) (π , V ) G Cho vµ lµ c¸c phÐp biÓu diÔn cña nhãm vµ tÝch π⊗π V V π π tÝch tenx¬ cña vµ tenx¬ cña vµ th× ®îc cho bëi: (π ⊗ π )(g )(v ⊗ v ) := π (g )v ⊗ π (g )v , ∀v ⊗ v ∈ V ⊗ V . V = Cn V = Cm π (g ) = A(g ) ∈ GL(n, C) π (g ) = A (g ) ∈ Cho , vµ , GL(m, C) A(g ) A (g ) tÝch Kronecker th× tÝch tenx¬ cho bëi cña ma trËn vµ : a1,1 A (g ) · · · a1,n A (g ) (π ⊗ π )(g ) = ∈ GL(nm, C). (2.9) an,1 A (g ) · · · an,n A (g ) V (ei )i∈I V (fj )j ∈J Chó ý: NÕu cã mét c¬ së lµ vµ cã mét c¬ së lµ th× V ⊗V (ei ⊗ fj )(i,j )∈I ×J cã c¬ së lµ . B»ng quy n¹p ta cã thÓ ®Þnh nghÜa ®îc tÝch tenx¬ cña nhiÒu h¬n hai nh©n tö vµ tÝch tenx¬ lu«n cã hai tÝnh chÊt giao ho¸n vµ kÕt hîp. V (e1 , e2 , e3 ) VÝ dô 2.4.1. Cho lµ mét kh«ng gian vÐc t¬ ba chiÒu víi c¬ së lµ th× ta cã: • ⊗2 V cã sè chiÒu lµ 9 víi mét c¬ së lµ (e1 ⊗ e1 , e1 ⊗ e2 , e1 ⊗ e3 , e2 ⊗ e1 , ..., e3 ⊗ e3 ) • S 2V cã sè chiÒu lµ 6 víi mét c¬ së lµ (e1 ⊗ e1 , e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e1 , e1 ⊗ e3 , e2 ⊗ e2 , e2 ⊗ e3 + e3 ⊗ e2 , e3 ⊗ e3 ) • ∧2 V cã sè chiÒu lµ 3 víi mét c¬ së lµ e1 ∧ e2 := e1 ⊗ e2 − e2 ⊗ e1 e1 ∧ e3 := e1 ⊗ e3 − e3 ⊗ e1 e2 ∧ e3 := e2 ⊗ e3 − e3 ⊗ e2 S pV ∧p V ⊗2 V Trong trêng hîp tæng qu¸t ta cã c¬ së cña vµ trong t¬ng øng lµ eig(1) ⊗ .... ⊗ eig(p) , i1 ≤ · · · ≤ ip . ei1 .....eip := g ∈Sp Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
18 ei1 ∧ ... ∧ eip := sign g eig(1) ⊗ .... ⊗ eig(p) , i1 < ... < ip . g ∈Sp Chó ý: S pV • V NÕu lµ kh«ng gian 3 chiÒu th× cã thÓ ®ång nhÊt víi kh«ng gian con C [u, v, w]p p π c¸c ®a thøc thuÇn nhÊt bËc cña c¸c kh«ng gian 3 biÕn. NÕu ei → π (g )ei G V lµ phÐp biÓu diÔn cña trong th× ¸nh x¹ c¶m sinh mét phÐp S pπ ∧p π S pV ∧p V biÓu diÔn tuyÕn tÝnh vµ trong t¬ng øng . • Mét tÝnh chÊt quan trong cña cÊu tróc cña phÐp biÓu diÔn víi chiÒu h÷u π0 h¹n tíi phÐp biÓu diÔn chiÒu tù nhiªn vµ tíi phÐp biÓu diÔn bÊt kh¶ quy bëi tÝch Tenx¬ vµ quy vÒ c¸c tæng cña c¸c thµnh phÇn bÊt kh¶ quy. 2.4.3 PhÐp biÓu diÔn ®èi ngÉu V∗ V kh«ng gian ®èi ngÉu cña C-kh«ng Cho lµ gian vÐc t¬ th×: V ∗ = Hom(V, C) = {ϕ : V → C, ϕ }. lµ C - tuyÕn tÝnh dim V ∗ < ∞ dim V ∗ = V ϕ(v ) =:< ϕ, v > NÕu th× dim . §Æt víi mäi ϕ ∈ V∗ v ∈ V. dim V = n (e1 , ..., en ) vµ NÕu víi mét c¬ së lµ th× do dim V ∗ = n (e∗ , ..., e∗ ) V∗ nªn tån t¹i mét c¬ së cña ®îc x¸c ®Þnh nh sau: 1 n < e∗ , ej >= δij (= 1 , i = j = 0 , i = j) vµ i (e∗ , ..., e∗ ) V∗ c¬ së ®èi ngÉu cña khi ®ã ta gäi lµ . 1 n π G V §Þnh nghÜa 2.4.2. phÐp biÓu Cho lµ mét phÐp biÓu diÔn cña trong th× π∗ V∗ diÔn ®èi ngÉu trong ®îc x¸c ®Þnh bëi: (π ∗ (g )ϕ)(v ) := ϕ(π (g −1 )v ), ∀ϕ ∈ V ∗ , v ∈ V. 2.4.4 PhÐp biÓu diÔn th¬ng (π1 , V1 ) (π, V ) G Cho lµ phÐp biÓu diÔn con cña phÐp biÓu diÔn cña . Khi V /V1 ππ phÐp biÓu diÔn th¬ng trong ®ã kÝ hiÖu lµ . ®îc x¸c ®Þnh nh sau: π (g ) = π (g ) + V1 , ∀g ∈ G. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
19 NhËn xÐt: Ta dÔ thÊy: π (g ) = 0 + V1 ⇔ π (g ) = π1 (g ) vµ π (g ) = 0 + V1 ⇔ π (g ) = π1 (g ) Mét tÝnh chÊt chÝnh cña phÐp biÓu diÔn lµ chóng ta cã thÓ ph©n tÝch ®îc chóng thµnh c¸c phÐp biÓu diÔn bÊt kh¶ quy. PhÇn tiÕp theo chóng ta sÏ giíi thiÖu vÒ ph©n tÝch bÊt kh¶ quy ®îc cña mét phÐp biÓu diÔn. 2.5 Ph©n tÝch bÊt kh¶ quy cña mét phÐp biÓu diÔn (π, V ) Nh¾c l¹i r»ng mét phÐp biÓu diÔn lµ bÊt kh¶ quy nÕu nã kh«ng cã phÐp biÓu diÔn con thùc sù nµo. (π, V ) (π, V ) §Þnh nghÜa 2.5.1. ph©n Cho lµ mét phÐp biÓu diÔn, ®îc gäi lµ V1 ⊂ V tÝch ®îc nÕu tån t¹i mét kh«ng gian con bÊt biÕn víi phÇn bï bÊt V = V1 ⊕ V2 V2 π = π1 + π2 π1 biÕn , nghÜa lµ . Th× khi ®ã ta cã trong ®ã lµ G V1 π2 G V2 phÐp biÓu diÔn trong vµ lµ phÐp biÓu diÔn trong . (π, V ) (π, V ) §Þnh nghÜa 2.5.2. kh¶ Cho lµ mét phÐp biÓu diÔn, ®îc gäi lµ (π, V ) quy ®Çy ®ñ nÕu mäi phÐp biÓu diÔn con kh«ng tÇm thêng cña ®Òu cã phÇn bï bÊt biÕn. (π, V ) lµ mét phÐp biÓu diÔn cña nhãm §Þnh lý 2.5.3 . Cho ([4], §Þnh lý 1.1) G vµ (π1 , V1 ) lµ mét phÐp biÓu diÔn con. Khi ®ã tån t¹i phÇn bï bÊt h÷u h¹n V2 . biÕn V Chøng minh. Cho lµ mét tÝch v« híng trong v× lu«n tån t¹i Ýt nhÊt Cn G− V kh«ng gian . Ta x¸c ®Þnh mét tÝch v« híng bÊt biÕn lµ: < π (g )v, π (g )v > ∀v, v ∈ G. < v, v >:= g ∈G V2 := {v ∈ V, < v, v1 >= 0, ∀v1 ∈ V1 } V2 §Æt . Râ rµng lµ kh«ng gian con V1 V2 π bï cña vµ lµ bÊt biÕn: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn