Luận văn: NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI

Chia sẻ: Greengrass304 Greengrass304 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

64
lượt xem 15
download

Luận văn: NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI

Mô tả tài liệu

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong giải tích phức một biến số, ngoài nguyên lý cực đại cổ điển, còn có nguyên lý khác, ít được biết đến nhưng khá là quan trọng. Đó là việc tìm cận dưới đúng của môđun các hàm chỉnh hình trên một đĩa mở đã cho tại mọi điểm của một đĩa nhỏ hơn, trừ ra những điểm thuộc về một tập con đặc biệt chứa 0, theo nghĩa cực đại của nó trên đĩa đã cho. Kích thước của những tập đặc biệt được ước lượng một cách chính xác theo nghĩa của dung lượng hoặc dung lượng Hausdorff một chiều....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn: NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ HỒNG NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2009 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ HỒNG Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU ĐỐI VỚI HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƯỚI Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. PHẠM HIẾN BẰNG THÁI NGUYÊN – 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS-TS. Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - ĐHTN, Trường THPT Bắc Kạn cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, tháng 09 năm 2009 Tác giả Lê Thị Hồng Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
MỤC LỤC Trang M Ở ĐẦU 1 Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1. Hàm đa điều hoà dưới 4 1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại 10 1.3. Hàm cực trị tương đối. 15 1.4. Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu 19 1.5. Toán tử Monge-Ampe 21 1.6. Khối lượng xạ ảnh và các số Lelong 21 Chương 2. NGUYÊN LÝ CỰC TIỂU ĐỐI VỚI CÁC HÀM ĐA 24 ĐIỀU HÒA DƯỚI 2.1. Nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit 24 2.2. Cận dưới đối với hàm đa điều hoà dưới 33 2.3. Nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới 40 2.4. Nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa điều hoà dưới 45 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong giải tích phức một biến số, ngoài nguyên lý cực đại cổ điển, còn có nguyên lý khác, ít được biết đến nhưng khá là quan trọng. Đó là việc tìm cận dưới đúng của môđun các hàm chỉnh hình trên một đĩa mở đã cho tại mọi điể m của một đĩa nhỏ hơn, trừ ra những điểm thuộc về một tập con đặc biệt chứa 0, theo nghĩa cực đại của nó trên đĩa đã cho. Kích thước của những tập đặc biệt được ước lượng một cách chính xác theo nghĩa của dung lượng hoặc dung lượng Hausdorff một chiều. Đó là nguyên lý môđun cực tiểu đối với hàm chỉnh hình. Nguyên lý này đóng vai trò quan trọng trong nhiều bài toán bao gồ m các hàm hữu tỷ hoặc các hàm phân hình, có thể có nhiều cực trong một miền đã cho và từ đó cần tìm cận trên của những hàm như thế. Đã có nhiều người quan tâm nghiên cứu đến nguyên lý này như B.Ya.Levin, A.Yger, A.Zeriahi,... Ở đây chúng tôi chọn đề tài “Nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hoà dưới” , trình bày các kết quả của A. Zeriahi về tổng quát hóa nguyên lý mô đun cực tiểu cổ điển đối với các hàm chỉnh hình một biến phức cho các lớp khác nhau c ủa hàm đa điều hòa dưới, dựa vào bổ đề nổi tiếng của Cartan-Boutroux. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích chính của Luận văn là trình bày việc tổng quát hoá các lớp khác nhau các hàm đa điều hoà dưới đối với nguyên lý mô đun cực tiểu cổ điển các hàm chỉnh hình một biến phức, dựa vào bổ đề Cartan – Boutroux: - Tổng quát hóa bổ đề Cartan-Boutroux về thế vị lôgarit trong £ n cũng như trình bày nguyên lý cực tiểu các hàm đa điều hòa dưới trên hình cầu Euclid trong £ n . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 1
- Từ nguyên lý cực tiểu về thế vị lôgarit trong £ n suy ra bất đẳng thức so sánh giữa dung lượng Hausdorff thích hợp với dung lượng lôgarit cổ điển trong £ n . - Đồng thời áp dụng các kết quả trên để tìm các ước lượng chính xác về cỡ của “Lemniscates đa điều hoà dưới” theo nghĩa xấp xỉ dung lưa Hausdorff. (Ước lượng đều trên cỡ của tập mức con của lớp của các hàm đa điều hòa dưới, được gọi là các lemniscat đa điều hòa dưới.) 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ trình bày: - Tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, hàm cực trị tương đối. - Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý c ực tiểu, khối lượng xạ ảnh và các số Lelong. - Nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit, nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa điều hoà dưới. 3. Phương pháp nghiên cứu Để giải quyết các nhiệ m vụ đặt ra, chúng tôi đã đọc tham khảo các tài liệu trong và ngoài nước. Sử dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức. Đồng thời kế thừa các kết quả và phương pháp của các tác giả đã nêu ở trên để giải quyết các bài toán đã nêu ra. Sử dụng phương pháp đã biết giống như phương pháp của “hình cầu loại trừ” trong lý thuyết thế vị thực khi ước lượng thế vị tích phân, phương pháp cho phép chúng ta đạt được ước lượng dưới tổng quát đối với các hàm đa điều hoà dưới trên hình cầu đơn vị, mà nó kéo theo “nguyên lý cực tiểu 3– vòng tròn” đối với các hàm đa điều hoà dưới, và có thể thấy nó giống như đối ngẫu của bất đẳng thức 3- vòng tròn Hadamard. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 2
4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 52 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chư- ơng nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại và hàm cực trị tương đối. Bổ đề Cartan –Boutroux và nguyên lý cực tiểu, khối lượng xạ ảnh và các số Lelong. Chương 2: Trình bày nguyên lý cực tiểu đối với thế vị logarit, nguyên lý cực tiểu đối với hàm đa điều hòa dưới, nguyên lý cực tiểu đối với hàm tựa đa điều hoà dưới. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 3
Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm đa điều hoà dưới 1.1.1. Định nghĩa. Cho W là một tập con mở của £ n và u : W® [ ¥ , ¥ ) - là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với - ¥ trên bất kỳ thành phần liên thông nào của W. Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a Î W và b Î £ n , hàm l a u(a + l b) là điều hoà dưới hoặc trùng - ¥ trên mỗi thành phần của tập hợp { Î £ : a + l b Î W . Trong trường hợp } l này, ta viết u Î P SH (W . ( ở đây P SH (W là lớp hàm đa điều hoà dưới ) ) trong W). 1.1.2. Định lý. Cho u : W® [ ¥ , ¥ ) là một hàm nửa liên tục trên và - không trùng - ¥ trên bất kỳ thành phần liên thông của WÐ £ n . Khi đó u Î P SH (W khi và chỉ khi với mỗi a Î W và b Î £ n sao cho ) { + l b : l Î £ , l £ 1}Ð W, a u(a ) £ l(u;a, b) , ta có 2p 1 ò u(a + e b)dt . trong đó it l(u ;a, b) = 2p 0 Ngoài ra, tính đa điều hoà dưới là một tính chất địa phương. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 4
Một số tính chất quan trọng của những hàm đa điều hoà dưới có thể được suy ra từ kết quả tiếp theo. Tương tự như trường hợp của những hàm điều hoà dưới, ta gọi nó là định lý xấp xỉ chính cho những hàm đa điều hoà dưới. Cho W là một tập con mở của £ n và u Î P SH (W . Nếu 1.1.3. Định lý. ) e > 0 sao cho W ¹ Æ, thì u * l e Ð C ¥ Ç P SH (W )  Hơn nữa, u * l e đơn e e điệu giảm khi e giảm, và lim u * l e (z ) = u(z ) với mỗi z Î W. e® 0 Phép chứng minh giống như chứng minh của định lý xấp xỉ chính cho các hàm điều hoà dưới. Trước tiên ta cần bổ đề sau: 1.1.4. Bổ đề. Cho WÐ £ n là một tập mở và u Î L1 (W . Giả thiết rằng ) loc a Î W, b Î £ n , và { + l b : l Î £ , l £ 1}Ð W . Khi đó a (l(u;., b) * c e )(a ) = l(u * l e ;a, b) . Chứng minh. Vế trái của đẳng thức bằng æ1 ö 2p ÷ ç ÷c e ( w)d l ( w) . òn ç2p ò u (a + e b - w)dt ÷ it ç ÷ ç £è ø 0 Do định lý Fubini, nó bằng vế phải của đẳng thức trên. Bây giờ chúng ta có thể chứng minh định lý. Chứng minh. Do [7], Mệnh đề 2.5.2 tr44 (i ) , u * l e Î C ¥ (W ) . Định lý e 1.2.2 kết hợp với bổ đề trên, suy ra u * l e Î P SH (W ) . Sử dụng lập luận đó e như trong [7], bổ đề 2.5.3 tr 46, đối với mỗi biến riêng, chúng ta có thể chứng minh (bằng qui nạp theo j ) ước lượng sau : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 5
ò I (w ,...., w u * l e1 ³ , wj + 1,..., wn )d l ( w1,..., wj - 1, wj + 1,...., wn ) , 1 j- 1 n- 1 C trongđó I ( w1,...., wj - 1, wj + 1,..., wn ) = ò u (z + e2w1,....., z j + e2wj , z j + 1 + e1wj + 1,..., z n + e1wn )c (w)d l (wj ), 1 C z = (z1,..., z n ) Î W1 0 £ e2 < e1 Từ đó và . e (u * l e1 )(z ) ³ (u * l e2 )(z ) ³ u(z ) . Phần còn lại của chứng minh cũng như trong [7], Định lý 2.5.5 tr47. Bây giờ chúng ta sẽ trình bày vài hệ quả của định lý xấp xỉ chính. ¢ 1.1.5. Hệ quả. Cho W và W là những tập mở trong £ n và £ k , tương ứng. ¢ Nếu u Î P SH (W và f : W ® W là một ánh xạ chỉnh hình, thì u o f là đa ) ¢ điều hoà dưới trong W . Chứng minh. Nếu u và - u là đa điều hoà dưới, thì do Hệ quả 1.2.6 và (3), u Î C 2 (W . Bởi vậy Lu (a )b,b = 0 với mọi a, b thích hợp, và như vậy ) u Î P H (W . Điều ngược lại là tầm thường. ) Vì hàm đa điều hoà dưới là điều hoà dưới nên ta có thể phát biểu vài tính chất khác: 1.1.6. Hệ quả. Nếu u, v Î P SH (W và u = v hầu khắp nơi trong W, thì ) u º v. 1.1.7. Hệ quả. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền bị chặn, tức là nếu W là một tập con mở liên thông bị chặn của £ n và u Î P SH (W , thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z Î W. ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 6
u (z ) < sup lim sup u (y ) . wÎ ¶ W y® w yÎ W 1.1.8. Định nghĩa. Tập hợp E Ð £ n được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm a Î E đều có một lân cận V của a và một hàm u Î P SH (V ) sao cho E ÇV Ð { Î V : u(z ) = - ¥ }. z Cho W là một tập con mở trong £ n . Ta nói rằng một ánh xạ chỉnh hình f : W® £ m là không suy biến trong W nếu trong mỗi thành phần liên thông của W có thể tìm được một điểm z sao cho hạng của ¶ z f là m . 1.1.9. Mệnh đề. Cho f : W® £ m là một ánh xạ chỉnh hình không suy biến ¢ trên một tập mở WÐ £ m và W là một lân cận mở của f (W trong £ m . Cho ) ¢ { a }a Î A Ð P SH (W) sao cho bao trên của nó u = sup u a là bị chặn trên địa u aÎ A phương. Khi đó (u o f )* = (u * o f ). Chứng minh. Đặt A = { Î W: det ¶ z f = 0}. z Vì z a d et ¶ z f là một hàm chỉnh hình, A là đa cực nên A có độ đo Lebesgue bằng không. Hạn chế của ánh xạ f trên W\ A là mở (do định lý ánh xạ ngược) và liên tục nên ta có (u o f )* = lim sup { ( f (z )) : z Î B (a, e)} u e® 0 = lim sup { ( w) : w Î f ( B( a, e)) } u e® 0 = (u * o f )(a ), với bất kỳ a Î W\ A . Bởi vậy (u o f )* = (u * o f ) hầu khắp nơi trong W. Cũng vậy (u o f )*,(u * o f ) Î P SH( W . Do đó (u o f )* = (u * o f ) trong W. ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 7
1.1.10. Mệnh đề. Cho dãy { j }j Î ¥ Ð P SH (W bị chặn đều địa phương. u ) Đặt u (z ) = lim sup u j (z ) . Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên u * là đa j® ¥ zÎ W điều hoà dưới trong W. 1.1.11. Định lý. Cho dãy { j }j Î ¥ Ð P SH (W bị chặn đều địa phương trong u ) WÐ £ n . Giả sử lim sup u j (z ) £ M j® ¥ với mỗi z Î W và một hằng số M nào đó. Khi đó với mỗi e > 0 và mỗi tập compact K Ð W tồn tại một số tự nhiên j 0 sao cho, với j ³ j 0 , sup u j (z ) £ M + e . zÎ K 1.1.12. Định lý. Cho W là một tập con mở của £ n và F = { Î W: v(z ) = - ¥ } z là một tập con đóng của W ở đây v Î P SH (W . Nếu u Î P SH (W\ F ) là bị ) chặn trên, thì hàm u xác định bởi í (z Î W\ F ) ï u (z ) ï ï u (z ) = ï lim sup u (y ) (z Î F ) ì ï ï y® z ï ï î yÏ F là đa điều hoà dưới trong W. Nếu u là đa điều hoà và bị chặn trong W\ F , thì u là đa điều hoà trong W. Nếu W là liên thông, thì W\ F cũng liên thông. 1.1.13. Mệnh đề. Nếu u Î P SH ( £ n ) và u là bị chặn trên, thì u là hằng số. ,¢ ¢ Cho WW là những tập mở liên thông trong £ n và f : W® W là một ánh xạ riêng. Dễ kiể m tra rằng f là ánh xạ đóng. Ngoài ra, nếu f là chỉnh hình thì : Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 8
¢ (i ) f là mở và đặc biệt là f (W = W (vì f cũng đóng); ) ¢ (ii ) nếu A = { Î W: ¶ z f = 0}, thì với mỗi a Î W có một hình cầu mở B , z ¢ tâm tại a và chứa trong W , và một hàm g Î O (B ) sao cho g º/ 0 và f (A ) Ç B = g- 1(0) ; ¢ (iii ) các thớ của f , đó là các tập hợp f - 1( w) trong đó w Î W , là hữu hạn. Chú ý rằng (ii ) là trường hợp đặc biệt của định lý ánh xạ riêng của Remmert . ¢ 1.1.14. Mệnh đề. Cho f : W® W là một toàn ánh chỉnh hình riêng giữa hai tập mở trong £ n . Nếu u Î P SH (W , thì công thức ) ¢ v(z ) = max { ( w) : w Î f - 1(z )} (z Î W) u xác định một hàm đa điều hoà dưới. ¢ Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng W là liên thông. Nếu G là một tập con mở compact tương đối trong W , thì tập mở f –1(G) ¢ là compact tương đối trong W, vì f là ánh xạ riêng. Bởi vậy, theo định lý xấp xỉ chính, chỉ cần chứng minh mệnh đề là đúng đối với các hàm đa điều hoà dưới liên tục. Giả sử rằng u Î £ (W Ç P SH (W . Nếu a và b là các số thực sao cho ) ) a < b , thì v - 1((a, b)) = f (u - 1((a, ¥ ))) \ f (u - 1([ , ¥ ))). b ¢ Do đó v là liên tục trong W . Do đó ¢ ¢ : f - 1(W \ f (A )) ® W \ f (A ) f ¢ f - 1 ( W \ f ( A )) là song chỉnh hình địa phương. Bởi vậy tồn tại duy nhất một số k Î ¥ sao ¢ ¢ cho với mỗi z Î W \ f (A ) tồn tại một lân cận V Ð W \ f (A ) của z và những lân cận rời nhau Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 9
của w1,..., wk , trong đó { 1,..., wk }= f - 1(z ) , w U 1,...,U k sao cho f U j : U j ® V là ánh xạ song chỉnh hình, (i ) (ii ) f - 1(V ) = U 1 È ... È U k . ¢ Do đó v Î P SH (W \ f (A )) . Vì v là liên tục và f (A ) là đa cực nên suy ra tính đa điều hoà dưới của v . 1.2. Hàm đa điều hoà dưới cực đại 1.2.1.Định nghĩa. Cho W là một tập con mở của £ n và u : W® ¡ là hàm đa điều hoà dưới. Ta nói rằng u là cực đại (hoặc cực trị) nếu với mỗi tập con mở compact tương đối G của W, và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên G sao cho v Î P SH (G ) và v £ u trên ¶ G , đều có v £ u trong G. Ký hiệu M P SH (W là họ tất cả các hàm đa điều hoà dưới cực đại trên W. ) Sau đây chúng ta sẽ xem xét một số tính chất tương đương của tính cực đại. 1.2.2. Mệnh đề. Cho WÐ £ n là mở và u : W® ¡ là hàm đa điều hoà dưới. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: (i ) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của W và với mỗi hàm v Î P SH (W , nếu lim inf(u (z ) - v(z )) ³ 0, với mọi x Î ¶ G , thì u ³ v ) z® x trong G ; (ii ) Nếu v Î P SH (W và với mỗi e > 0 tồn tại một tập compact K Ð W ) sao cho u - v ³ - e trong W\ K , thì u ³ v trong W. (iii ) Nếu v Î P SH (W , G là một tập con mở compact tương đối của W, và ) u ³ v trên ¶ G thì u ³ v trong G ; (iv ) Nếu v Î P SH (W , G là một tập con mở compact tương đối của W, và ) lim inf(u (z ) - v(z )) ³ 0, với mỗi x Î ¶ G , thì u ³ v trong G ; z® x (v ) u là hàm cực đại. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 10
Chứng minh. (i ) Þ (ii ) : Cho v là một hàm đa điều hoà dưới có tính chất: với mỗi e > 0 tồn tại một tập compact K Ð W sao cho u - v ³ - e trong W\ K . Giả sử rằng u(a ) - v(a ) = h < 0 tại một điểm a Î W. Bao đóng của tập hợp h { } E = z Î W: u (z ) < v(z ) + 2 là tập con compact của W. Bởi vậy có thể tìm được tập mở G chứa E và h compact tương đối trong G . Theo (i ) ta có u ³ v + trong G , điều đó 2 mâu thuẫn với a Î E . Phần còn lại được suy ra từ khẳng định: hàm í max { (z ), v(z )} (z Î G ) ï u ï w(z ) = ì ï (z Î W\ G ) u (z ) ï ï î là đa điều hoà dưới trong W (xem Hệ quả 1.2.16) theo các giả thiết (iii ) , (iv ) , (v ) , và (i ) . Bây giờ chúng ta sẽ xem xét một lớp quan trọng các hàm cực đại liên tục. Trước hết, chúng ta cần một số định nghĩa. Cho W là một miền bị chặn trong £ n và f Î C (¶ W . Bài toán Dirichlet suy rộng là tìm một hàm nửa ) liên tục trên u : W® ¡ sao cho u W Î M P SH (W và u ¶ W º f . ) Cho W là miền bị chặn trong £ n và f Î C (¶ W . Ta sẽ ký hiệu U (W f ) là ) , họ của tất cả các hàm u Î P SH (W sao cho u * £ f trên ¶ W, trong đó ) u * (z ) = lim sup u ( w) w® z wÎ W Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 11
với mọi z Î W. Đặt y W, f (z ) = sup { (z ) : u Î U (W f )}, zÎ W u , . Hàm y W, f (z ) được gọi là hàm Perron – Bremermann đối với W và f ; hàm này được Bremermann (1959) nghiên cứu và nó là một hàm Perron cổ điển được sử dụng trong lý thuyết thế vị (thực) ( Hayman và Kennedy 1976). Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng y W, f (z ) nghiệ m của bài toán Dirichlet suy rộng khi W là một hình cầu Euclid. 1.2.3. Định lý. Cho f Î C (¶ B ) , trong đó B = B (a, r ) là một hình cầu mở trong £ n . Khi đó hàm y xác định bởi í y B , f (z ) (z Î B ) ï y (z ) = ï ì ï f (z ) (z Î ¶ B ) ï ï î là một nghiệm của bài toán Dirichlet suy rộng đối với tập B và hàm f . Hơn nữa, y là liên tục. Chứng minh. Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng a = 0 . Giả sử h là nghiệ m của bài toán Dirichlet cổ điển đối với B và f . Vì hàm đa điều hoà dưới là điều hoà dưới, nên suy ra y B , f £ h trong B theo nguyên lý cực đại đối với những hàm điều hoà dưới. Do h liên tục trong B , nên ta có ( y B , f )* £ h trong B . Đặc biệt, điều đó có nghĩa là ( y B , f )* Î U (B , f ) và như vậy ( y B , f )* º y trong B Þ y Î P SH (B ) . Để hoàn thành chứng minh kết luận thứ nhất của định lý, ta chỉ cần chứng minh ( y B , f )* ³ f trên ¶ B . Ta sẽ chứng minh một tính chất mạnh hơn: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 12
với z 0 Î ¶ B bất kỳ, thì lim inf y B , f (z ) ³ f (z 0 ) . z ® z0 zÎ B Thật vậy, lấy z 0 Î ¶ B và e > 0 . Chứng minh sẽ được hoàn thành nếu ta có thể tìm được một hàm liên tục v : B ® ¡ sao cho v B Î U (B , f ) và v(z 0 ) = f (z 0 ) - e . Điều đó có thể đạt được bằng cách định nghĩa v(z ) = c é z , z 0 - r 2 ù+ f (z 0 ) - e, Re ë û trong đó c > 0 là hằng số, được chọn để v £ f trên ¶ B . (Chú ý rằng biểu thức trong những dấu móc vuông là âm trên B \ { 0 }). z Từ đó với mỗi z 0 Î ¶ B , ta có lim y (z ) = y (z 0 ) , z ® z0 zÎ B tức là y liên tục tại mỗi điể m biên. Tính cực đại của y là hiển nhiên. Thực vậy, nếu G là một tập con mở compact tương đối của B , v : G ® [ ¥ , ¥ ) là nửa liên tục trên, - v G Î P SH (W và v £ y trên ¶ G , thì hàm ) í max { , y } zÎG ï v ï V=ì ï zÎ B\G y ï ï î thuộc U (B , f ) Þ V £ y . Đặc biệt, v £ y trong G . (đpcm) Để chứng minh rằng y là liên tục, chỉ cần chứng tỏ nó nửa liên tục dưới. Thật vậy, lấy e > 0 . Khi ¶ B là compact, y = f là liên tục đều. Điều đó B Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 13
r kết hợp với lim y ( z) = y ( z 0) suy ra tồn tại d = (0, ) sao cho nếu z Î B , z ® z0 2 zÎ B w Î ¶ B , và z - w < 3d , thì e . y (z ) - y (w) < 2 với bất kỳ y Î B (0, d) , đặt í max {y (z ), y (z + y ) - e} (z Î B Ç (- y + B ) ï ï H y (z ) = ï ì . ï (z Î B \ (- y + B ) y (z ) ï ï î Ta sẽ chứng minh rằng H y Î U (B , f ) . Thật vậy vì B B (0, r - d) Ð B Ç (- y + B ) = B (0, r ) Ç B (- y, r ) nên H y Î P SH ( B ( 0,r- d ) )là lớn nhất trong hai hàm đa điều hoà dưới. Mặt khác, H y = y trong B \ B (0, r - 2d) . Thực vậy, theo định nghĩa H y (z ) H y (z ) = y (z ), z Î B \ (- y + B ) . ta có Nếu z Î (B Ç (- y + B )) \ B (0, r - 2 d , thì ta chọn z 0 Î ¶ B ) sao cho z - z 0 < 2d . Ta có z + y - z 0 < 3d và do đó theo (11), e e y (z ) - y (z 0 ) < y (z + y ) - y (z 0 ) < và . 2 2 Þ H y Î P SH (B ) và Như vậy y (z ) ³ y (z + y ) - e Þ H y (z ) = y (z ) H y = f trên ¶ B Þ H y Î U (B , f ) Þ H y £ y . Từ đó nếu z , w Î B và z - w < d , thì Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 14
y (z ) ³ H w- z (z ) ³ y (z + w - z ) - e = y (w) - e . Vậy y là nửa liên tục dưới. (đpcm). 1.2.4. Hệ quả. Cho W là một tập con mở của £ n và u Î M P SH (W . Nếu ) B là một hình cầu mở sao cho B  W thì u B là giới hạn của một dãy giảm những hàm đa điều hoà dưới cực đại liên tục trong B . Chứng minh. Cho G là tập con mở compact tương đối của W chứa B . Do Định lý 1.2.3, có thể tìm được một dãy giảm { j }j Î ¥ Ð C ¥ (G ) Ç P SH(G ) u hội tụ tới u . Đặt íy ï ( ) (z Î B ) ï B ,u j ¶ B ( z ) ï v j (z ) = ì . ï u (z ) (z Î G \ B ) ï ï î j Î M P SH (B ) với mọi j , v j Î P SH (G ) và dãy v j giảm đến Khi đó v j B một hàm v Î P SH (G ) . Hiển nhiên, v ³ u trong G. Cũng vậy, v º u trong G \ B . Vì u cực đại nên ta có v £ u trong B . Từ đó lim v j (z ) = u (z ) với j® ¥ zÎ B. 1.3. Hàm cực trị tương đối. 1.3.1. Định nghĩa. Giả sử W là một tập con mở của £ n và E là tập con của W. Hàm cực trị tương đối đối với E trong W được định nghĩa là : uE ,W(z ) = sup { (z ) : v Î P SH(W v E £ - 1, v £ 0} ( z Î W). v ), * Hàm (u E ,W) là đa điều hoà dưới trong W. Xét trường hợp đặc biệt khi E là đóng trong W. Ta sẽ chứng minh u E ,W trùng với hàm Perron - Bremermann y W\ E ,- ( ở đây c E là hàm đặc trưng cE của E ). Thực vậy, giả sử u Î P SH (W\ E ) âm sao cho: Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 15
lim sup u (z ) £ - 1 với mỗi w Î ¶ E Ç W. z® w zÎ W E \ Khi đó hàm í -1 zÎ E ï ï v (z ) = ì ï max { 1, u } z Î W\ E - ï î âm và nửa liên tục trên trong W. Hơn nữa, nó là hàm đa điều hoà dưới trong W do Định lý 1.2.2 ([7]). Như vậy u £ v £ uE ,W trong W\ E . Từ đó y W\ E ,- c E £ u E ,W trong W\ E . Bất đẳng thức ngược lại là hiển nhiên. Bây giờ chúng ta sẽ trình bày một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối. 1.3.2. Mệnh đề. u E1,W1 ³ u E 2 ,W1 ³ u E 2 ,W2 Nếu E 1 Ð E 2 Ð W Ð W thì 1 2 1.3.3. Mệnh đề. Nếu W là siêu lồi và E là một tập con compact tương đối của W, thì tại điểm w Î ¶ W bất kỳ ta có lim u E ,W(z ) = 0 . z® w Chứng minh. Nếu  < 0 là một hàm vét cạn đối với W, thì với số M > 0 M r £ u E ,W trong W. Rõ ràng, nào đó, M r < - 1 trên E . Như vậy lim r (z ) = 0 và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm. z® w 1.3.4. Mệnh đề. Nếu WÐ £ n là siêu lồi và K Ð W là một tập compact sao cho u K ,W = - 1 thì u K ,W là hàm liên tục. * K Chứng minh. Lấy u = u E ,W và ký hiệu F  P SH (W là họ các hàm u . Giả ) sử  là hàm xác định của W sao cho 