BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Lê Văn Ngôn
DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH
MŨ VÀ LOGARIT
Ở CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Lê Văn Ngôn
DẠY HỌC BẤT PHƯƠNG TRÌNH
MŨ VÀ LOGARIT
Ở CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số: 60 14 01 11
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS.NGUYỄN ÁI QUỐC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đếnTS.Nguyễn Ái Quốc, thầy đã
nhiệt tình hướng dẫn khoa học và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn đến quý thầy cô: PGS.TS.Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS.Lê
Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Vũ Như
Thư Hương, TS. Nguyễn Thị Nga đã nhiệt tình giảng dạy và cung cấp cho tôi những
tri thức khoa học về Didactic Toán.
Tôi xin chân thành cảm ơn đến:
- Ban lãnh đạo và chuyên viên Phòng Sau Đại Học, Khoa Toán - Trường Đại
Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt
nhất cho chúng tôi.
- Tập thể học sinh, sinh viên trường Đại học Tiền Giang đã giúp tôi hoàn
thành thực nghiệm.
- Các bạn học viên lớp cao học chuyên ngành Didactic Toán khóa 23 đã chia
sẻ những khó khăn và luôn động viên tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên
cứu khoa học.
- Gia đình và những người thân đã quan tâm và giúp đỡ cho tôi trong suốt thời
Lê Văn Ngôn
gian học tập.
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi làm dưới sự hướng dẫn của
TS.Nguyễn Ái Quốc, tôi không sao chép lại luận văn của người khác. Nếu lời cam
Người viết cam đoan
Lê Văn Ngôn
đoan của tôi không đúng sự thật thì tôi sẽ bị xử lý theo đúng pháp luật.
MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mục lục
Danh mục các thuật ngữ viết tắt
Danh mục các bảng
MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 1
Chương 1. MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
VÀ LOGARIT ....................................................................................... 7
1.Bất phương trình mũ và logarit trong thể chế dạy học ở THPT ........................... 7
1.1. Phân tích chương trình .................................................................................. 7
1.2.Phân tích sách giáo khoa. ............................................................................... 9
1.2.1.Bất phương trình mũ cơ bản. ................................................................... 9
1.2.2.Bất phương trình mũ đơn giản ............................................................... 13
1.2.3.Phân tích các TCTH liên quan đến BPT mũ. ......................................... 15
1.2.4.Bất phương trình logarit cơ bản ............................................................. 42
1.2.5.Bất phương trình logarit đơn giản. ......................................................... 45
1.2.6.Phân tích các TCTH liên quan đến BPT logarit. ................................... 46
2.Các dạng sai lầm mà HS thường gặp khi giải các bài tập BPT mũ và logarit. .. 69
2.1. Sai lầm có tính hệ thống và có thể dự đoán trước được. ............................. 69
2.1.1. Không xác định đúng TXĐ của hàm số mũ và logarit: ........................ 69
2.1.2. Học sinh không quan tâm đến TXĐ của BPT logarit. .......................... 71
2.1.3. Khi giải những bài toán BPT logarit, HS thường xuyên mắc phải các
sai lầm trong quá trình biến đổi BPT đã cho về dạng cơ bản hoặc BPT đại số
khi không tuân thủ các qui tắc tính logarit . .................................................... 71
2.2. Sai lầm do quan niệm .................................................................................. 74
2.3. Sai lầm do tồn tại qui tắc hành động ........................................................... 76
Kết luận chương 1 .................................................................................................. 78
Chương 2. THỰC NGHIỆM .................................................................................. 83
2.1. Giới thiệu thực nghiệm ................................................................................... 83
2.2. Phân tích tiên nghiệm (a priori) ...................................................................... 84
2.3.Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài toán thực nghiệm. ...................... 97
KẾT LUẬN ............................................................................................................ 104
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... 107
PHỤ LỤC
DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT
BPT Bất phương trình
Sách bài tập Giải tích 12 (2008), Vũ Tuấn E1 (Chủ biên), Nxb Giáo dục
Sách giáo viên Giải tích 12 (2008), Trần G1 Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nxb Giáo dục
Giáo viên GV
Học sinh HS
KNV Kiểu nhiệm vụ
Sách giáo khoa Giải tích 12 (2008), Trần M1 Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nxb Giáo dục
PT Phương trình
SBT Sách bài tập
SGK Sách giáo khoa
SV Sinh viên
SGV Sách giáo viên
TCTH Tổ chức toán học
THPT Trung học phổ thông
TXĐ Tập xác định
VP Vế phải
VT Vế trái
0
DANH MỤC CÁC BẢNG
Tên bảng Trang
Bảng 1.1 Thống kê các TCTH gắn liền với BPT mũ 33
Bảng 1.2 Thống kê bài tập ứng với mỗi KNV về BPT mũ 37
Bảng 1.3 Thống kê các TCTH liên quan đến PT mũ 38
Bảng 1.4 Thống kê các TCTH liên quan đến BPT logarit 61
Bảng 1.5 Thống kê bài tập ứng với mỗi KNV về BPT logarit 64
Bảng 1.6 Thống kê các TCTH liên quan đến PT logarit 68
Bảng 2.1 Thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 1 95
Bảng 2.2 Thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 2 96
Bảng 2.3 Thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 3 97
Bảng 2.4 Thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 4 99
1
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Thực tế giảng dạy ở lớp 12 cho thấy, khi học khái niệm bất phương trình mũ và
logarit, học sinh thường gặp nhiều khó khăn và phạm phải một số sai lầm khi giải
các bài tập liên quan đến khái niệm này. Những sai lầm này thường xuyên xảy ra và
lặp đi lặp lại nhiều lần ở một số học sinh. Chẳng hạn, sau đây là hai ví dụ về sai lầm
x
x
−
5
7
+ 1
mà chúng tôi ghi nhận được:
x
x
5
7
1
2
x ⇔ − > + ⇔ > .
x
x
x
x
+ > 1)
log
2
1
1
> Sai lầm 1: 1 2 1 2
x ⇔ + > ⇔ > − .
log (2 0.5
0.5
Sai lầm 2:
Chúng tôi tự hỏi những sai lầm này có nguồn gốc từ đâu? Có phải do ảnh hưởng
của những kiến thức liên quan đến khái niệm phương trình mũ và logarit mà trong
đó khi lũy thừa hay logarit hai vế có cùng cơ số dương khác 1 thì hai số mũ ở lũy
thừa bằng nhau, hay từ một nguyên nhân nào khác?
Xuất phát từ hiện tượng trên, chúng tôi đặt ra các câu hỏi sau: Q'
1:Trong hệ thống dạy học,BPT mũ và logarit được trình bày như thế nào? Với
cách trình bày như vậy có gây ra khó khăn và sai lầm cho HS khi giải bài tập BPT
mũ và logarit? Q'
2:Dạy học BPT mũ và logarit thừa hưởng những kiến thức, nội dung gì từ dạy học
phương trình mũ và logarit? Giữa chúng có mối liên hệ gì?Những dạng toán nào
gắn liền với hai đối tượng này? Q'
3:HS thường mắc phải những sai lầm gì khi học về BPT mũ và logarit? Đâu là
nguyên nhân dẫn đến những sai lầm này?
Trong đề tài “Nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit trong dạy học toán
ở bậc trung học phổ thông” củatác giả Nguyễn Viết Hiếu – luận văn thạc sĩ 2013
đã nghiên cứu được:
2
+ Logarit xuất hiện đầu tiên trong lịch sử với vai trò công cụ đơn giản hóa
nhân, chia, căn bậc hai, căn bậc ba các số thực dương. Trong định nghĩa
ban đầu, logarit thể hiện mối liên hệ giữa các phần tử CSN và CSC, logarit
tác động vào các phần tử CSN và biến chúng thành phần tử CSC tương ứng.
Từ đó nhân, chia, khai căn trên các phần tử CSN được thực hiện qua cộng,
trừ, chia hai, chia ba các phần tử CSC.
+ Theo tiến trình lịch sử, khái niệm logarit và hàm số logarit xuất hiện trước
và được sử dụng để định nghĩa khái niệm lũy thừa với số mũ thực.
+ Có hai cách tiếp cận khái niệm logarit: giá trị của hàm số logarit tại một
điểm và định nghĩa trực tiếp. Từ các cách tiếp cận, khái niệm logarit tồn tại
=
y
x
bốn nghĩa sau:
loga
tại điểm x • Nghĩa một, logarit cơ số a của b là giá trị của hàm số
< ≠ a
1,
b
0
> là số thực αthỏa
bằng b.
bα = . a
xa
b= .
• Nghĩa hai, logarit cơ số a của b với 0
dx
dx
• Nghĩa ba, logarit cơ số a của b là nghiệm của PT
1a x∫
1b x∫
1
1
dx
dx
và (hay • Nghĩa bốn, loga b là tỉ số giữa hai tích phân
loga b là tỉ số giữa hai diện tích có dấu
1a x∫
1b x∫
1
1
( ) g x
f xa ( )
b=
( ) f xa
và ).
b= ,
+ Logarit được ứng dụng để: giải các PT mũ ; tính độ
pH dung dịch; đo độ chấn động các trận động đất; đo độ lớn âm thanh; tính
=
∞ 0 1 , 0 ,
y
( )g x ( ) f x
0 ∞ ;
số các chữ số của một số nguyên dương, tính giới hạn vô định dạng
n
α 1
α 2
tính đạo hàm của các hàm số có dạng ,
( ) x f .
( ) x
( ) xα
1
2
n
= y f ... f và chuyển các hàm lũy thừa, mũ về các hàm tuyến
tính và bán tuyến tính. Từ các ứng dụng trên, logarit thể hiện ba vai trò công
cụ sau:
• Công cụ đơn giản các biểu thức phức tạp cho dưới dạng tích, thương, lũy
thừa về các biểu thức đơn giản hơn.
3
• Công cụ tính số các chữ số của một số nguyên dương cho trước.
• Công cụ chuyển các đại lượng có phạm vi quá rộng hay quá hẹp về phạm
vi có thể kiểm soát được.
Qua phân tích ở trên chúng tôi thấy một nghiên cứu đầy đủ về việc dạy học BPT mũ
và logarit ở cấp THPT là thật sự cần thiết.Vì lí đó nên chúng tôi chọn “Dạy học bất
phương trình mũ và logarit ở cấp trung học phổ thông ” làm tên đề tài nghiên cứu
của mình.
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic toán. Cụ thể là thuyết
nhân học bởi vì thuyết nhân học cho chúng tôi công cụ để phân tích chương trình và
sách giáo khoa.Từ phân tích đó chúng tôi sẽ chỉ ra những sai lầm có thể tồn tại nơi
học sinh.
Liên quan đến sai lầm của HS, didactic toán thừa nhận quan điểm: không phải mọi
sai lầm đều là ngẫu nhiên, tùy tiện mà có những sai lầm có thể dự đoán trước
được.Sai lầm kiểu này sinh ra từ kiến thức, những kiến thức đã từng có ích, nhưng
không còn đúng, hoặc không còn phù hợp nữa trong tình huống mới, tổng quát
hơn.Hiện tượng này sinh ra do cách học bằng thích nghi: ở đây, kiến thức được xây
dựng qua tình huống nên nó thường mang tính chất địa phương.Việc xây dựng một
kiến thức tổng quát hơn đòi hỏi phải loại bỏ kiến thức cũ.Kiến thức cũ ấy có thể dẫn
đến một quan niệm hay một cách thức hành động chỉ đúng trong một lớp tình huống
nào đó.Thừa nhận luận điểm này, didactic toán đưa ra ba mô hình để giải thích
những sai lầm liên quan đến một tri thức cụ thể đó là: sai lầm có tính hệ thống và có
thể dự đoán trước được; sai lầm do quan niệm; sai lầm do tồn tại qui tắc hành động,
hợp đồng dạy học.Vấn đề là các qui tắc hành động, quan niệm, hợp đồng dạy học
liên quan đến đối tượng tri thức O thường được hình thành từ quan hệ của thể chế
dạy học đối với đối tượng tri thức O.
Thuyết nhân học
Quan hệ thể chế là một khái niệm cơ bản của Thuyết nhân học trong diactic
toán.Theo thuyết nhân học, R(I,O) - mối quan hệ của thể chế I với đối tượng tri thức
O là tập hợp các tác động qua lại mà I có với O.Nó cho biết O xuất hiện ở đâu, như
4
thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì,...trong I.
Mối quan hệ cá nhân X với đối tượng tri thức O, kí hiệu là R(X,O) là tập hợp các
tác động qua lại mà X có với O.Nó cho biết X nghĩ gì, hiểu như thế nào, thao tác O
ra sao.
Trong thể chế I mà cá nhân X tồn tại và hoạt động, R(X,O) hình thành hay thay đổi
dưới các ràng buộc của R(I,O).Từ ràng buộc của thể chế, cá nhân X chỉ phô bày
công khai những gì làm với O mà cá nhân đánh giá là phù hợp với thể chế.
/
/
/
Câu hỏi mấu chốt là làm thế nào để nghiên cứu R(I,O) và R(X,O)? Khái niệm
T τ θ
praxéologie là chìa khóa giúp trả lời câu hỏi này.Mỗi praxéologie là một bộ tứ , trong đó T là kiểu nhiệm vụ được giải quyết nhờ kỹ thuật τ,θ là yếu tố Θ
công nghệ giải thích cho kỹ thuật, Θ là yếu tố lí thuyết giải thích cho công nghệ θ
.Khi T là một kiểu nhiệm vụ của toán học thì praxéologie đóđược gọi là
praxéologie toán học hay tổ chức toán học - OM.Các tổ chức toán học liên quan
đến O cho phép ta xác định R(I,O) vì R(I,O) hình thành và biến đổi bởi một tập hợp
những nhiệm vụ mà cá nhân phải thực hiện nhờ vào những kĩ thuật xác định.Đồng
thời, việc nghiên cứu các tổ chức toán học gắn liền với O còn cho phép hình dung
được một số yếu tố của quan hệ cá nhân với cùng đối tượng O này đã nảy sinh trong
lúc thực hiện những nhiệm vụ trong thể chế.
Qui tắc hành động
Qui tắc hành động được sử dụng để giải thích sai lầm của HS.Một cách cụ thể hơn,
qui tắc hành động là một mô hình được xây dựng nhằm giải thích và chỉ rõ những
kiến thức mà HS đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực hiện một nhiệm vụ xác
định.
Nếu như hợp đồng dạy học có nguồn gốc là quan hệ thể chế với đối tượng tri
thức mà ta đang bàn đến thì các qui tắc hành động được hình thành từ những kiến
thức địa phương đã từng có ích.Như vậy, các qui tắc đó có phạm vi hợp thức của
nó.Câu trả lời sai có thể đến từ việc áp dụng một qui tắc hành động ở ngoài phạm vi
hợp thức.(Những yếu tố cơ bản của Didactic toán (2009),tr 81)
Điều quan trọng là cần phải làm rõ sự cần thiết phải vận dụng những yếu tố
5
nêu trên vào trong luận văn này.Trước hết cần xác định luận văn xem xét đối tượng
tri thức O - BPT mũ và logarit, I là thể chế dạy học toán lớp 12, cá nhân X thâm
nhập vào trong I ở vị trí HS.
Câu hỏi về sai lầm của HS đòi hỏi phải nghiên cứu R(X,O).Nhưng quan hệ của
cá nhân X đối với một đối tượng tri thức lại chịu ảnh hưởng nhiều của quan hệ mà
thể chế duy trì với đối tượng này, nên việc nghiên cứu R(X,O) là điều cần thiết.
Điều đó được thực hiện thông qua việc nghiên cứu các tổ chức toán học liên quan
đến O. Việc xác định các mối liên hệ giữa các kỹ thuật giải, sự ưu tiên hay vắng mặt
của các kỹ thuật giúp xác định được đặc trưng của thể chế với việc dạy học O : thể
chế qui định dạy những gì liên quan đến đối tượng và dạy như thế nào,...Từ đó ta có
thể tìm thấy nguồn gốc của một số sai lầm của HS.
Do đó,chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi didactic toán. Cụ thể
là thuyết nhân học bởi vì thuyết nhân học cho chúng tôi công cụ để phân tích
chương trình và sách giáo khoa.Từ phân tích đó chúng tôi sẽ chỉ ra những sai lầm
có thể tồn tại nơi học sinh. Trên cơ sở phạm vi lý thuyết lựa chọn, chúng tôi đặt lại
câu hỏi nghiên cứu như sau:
Q1:Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy,BPT mũ và logarit được trình bày như thế nào?
Với cách trình bày như vậy có gây ra những khó khăn, sai lầm cho HS khi học về
BPT mũ và logarit?
Q2:Mối quan hệ thể chế giữa hai đối tượng PT với BPT mũ và logarit được xây
dựng như thế nào ở cấp trung học phổ thông? Đặc trưng của những tổ chức toán học
gắn liền với hai đối tượng này?Các dạng sai lầm mà HS thường gặp khi giải các bài
tập về BPT mũ và logarit ở cấp THPT?
Q3:Những quan niệm,những qui tắc hành động nào dẫn đến các sai lầm mà HS gặp
phải khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến BPT mũ và logarit?
3. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu
Đi tìm lời giải đáp cho những câu hỏi trên là mục tiêu nghiên cứu của luận văn
này.Để hiện thực hóa mục tiêu đó chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu như sau:
Phân tích chương trình, sách giáo khoa, sách giáo viên toán lớp 12 ban cơ bản
và các tổ chức toán học liên quan đến PT, BPT mũ và logarit ở cấp THPT để tìm
6
cách trả lời cho câu hỏi Q1 và Q2.
Phân tích sách giáo viên toán 12 và tổng hợp các bài báo chuyên môn để dự
đoán những sai lầm của học sinh gắn liền với đối tượng BPT và cố gắng giải
thích những sai lầm này theo quan điểm của thuyết nhân học. Sau đó tiến hành
một thực nghiệm để kiểm chứng các giả thuyết đưa ra. Thực hiện những
phương pháp này là tìm cách trả lời cho câu hỏi Q3.
4. Cấu trúc luận văn
Luận văn được chia làm các phần:
- Phần mở đầu.
- Chương 1: Mối quan hệ thể chế đối với bất phương trình mũ và logarit.
- Chương 2: Thực nghiệm.
- Phần kết luận.
7
Chương 1. MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ ĐỐI VỚI
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Để trả lời ba câu hỏi đã đặt ra ở phần mở đầu chúng tôi tiến hành phân tích chương
trình và sách giáo khoa Việt Nam hiện hành.Trước khi tiến hành phân tích, chúng
tôi đưa ra một số qui ước sau đây:
M1: Sách giáo khoa Giải Tích 12 ban cơ bản.
E1: Sách bài tập Giải Tích 12 ban cơ bản.
G1: Sách giáo viên Giải Tích 12 ban cơ bản.
1. Bất phương trình mũ và logarit trong thể chế dạy học ở THPT.
1.1. Phân tích chương trình.
Bất phương trình mũ và logarit được đưa vào giảng dạy ở lớp 12, chương trình
chuẩn và nâng cao.Ở đây chúng tôi phân tích sách giải tích 12 ban cơ bản.
Chương trình của môn giải tích 12 (chương trình cơ bản) gồm 4 chương:
Chương I.Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
Chương II.Hàm số lũy thừa.Hàm số mũ và hàm số logarit.
Chương III.Nguyên hàm-Tích phân và ứng dụng.
Chương IV.Số phức.
Bất phương trình mũ và logarit được trình bày trong chương II.Hàm số lũy
thừa.Hàm số mũ và hàm số logarit.(22 tiết).
Nội dung của chương II bao gồm các bài:
§1.Lũy thừa
§2.Hàm số lũy thừa
§3.Lôgarit
§4.Hàm số mũ.Hàm số lôgarit
§5.Phương trình mũ và phương trình lôgarit
§6.Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit
Theo sách G1 thì mục tiêu, nội dung, yêu cầu của chương II như sau:
8
Mục tiêu
Giới thiệu lũy thừa với số mũ nguyên, căn bậc n, lũy thừa với số mũ hữu tỉ, vô tỉ
và các tính chất của lũy thừa.
Trình bày khái niệm logarit và các qui tắc tính logarit.
Khảo sát hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit.
Giải các phương trình, bất phương trình mũ và logarit đơn giản.
[G1, tr.69]
Như vậy, G1 có đưa ra mục tiêu “Giải các phương trình, bất phương trình mũ và
logarit đơn giản.” liên quan đến thể chế mà chúng tôi nghiên cứu đó là: “Dạy học
bất phương trình mũ và logarit”.
Nội dung
Chương trình không cho phép trình bày tổng quát về hàm số ngược nên hàm số
lôgarit được định nghĩa độc lập với hàm số mũ, dựa vào khái niệm logarit.Phép
toán lấy logarit được xem như là phép toán ngược của phép nâng lên lũy thừa.
Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit được trình bày sau khi học sinh
đã biết cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bằng đạo hàm, nên
các hàm số này đều được nghiên cứu theo trình tự : nêu định nghĩa, công thức
tính đạo hàm, sau đó khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Theo yêu cầu của chương trình, sách giáo khoa chỉ giới thiệu các phương
trình,bất phương trình mũ và logarit đơn giản, không chứa ẩn ở cơ số và không
có tham số.
Để học sinh có thể hình dung được tập hợp nghiệm của phương trình, bất
phương trình mũ cơ bản, sách giáo khoa có phần minh họa bằng đồ thị khi giải
bài tập.
[G1, tr.69]
Như vậy, nội dung của chương có liên quan đến đối tượng mà chúng tôi nghiên cứu
là theo yêu cầu của chương trình, sách giáo khoa chỉ giới thiệu các PT, BPT mũ và
logarit đơn giản, không chứa ẩn ở cơ số và không có tham số.Để học sinh có thể
hình dung được tập hợp nghiệm của phương trình, bất phương trình mũ cơ bản, sách
giáo khoa có phần minh họa bằng đồ thị khi giải bài tập.
9
Yêu cầu
"Nắm được khái niệm, các tính chất, biết cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
của các hàm số lũy thừa, mũ, logarit.
Biết cách giải các phương trình, bất phương trình mũ và logarit cơ bản.
Biết cách giải một số phương trình, bất phương trình mũ và logarit đơn giản."
[G1, tr.69]
Như vậy, yêu cầu của chương có liên quan đến đối tượng mà chúng tôi nghiên cứu
đó là:biết cách giải các PT, BPT mũ và logarit dạng cơ bản và đơn giản.
Do có sự tương tự giữa cách trình bày về PT mũ và logarit với BPT mũ và logarit
nên chúng tôi tự hỏi rằng: BPT mũ và logarit trong chương trình lớp 12 được tiếp
cận như thế nào? Các phương pháp để giải BPT mũ và logarit dạng cơ bản và dạng
đơn giản có điểm nào tương tự với các phương pháp giải PT mũ và logarit dạng cơ
bảnvà dạng đơn giản? Để làm sáng tỏ điều này, chúng tôi tiến hành phân tích bộ
SGK Toán 12 ban cơ bản hiện hành. Phần phân tích của chúng tôi sẽ tập trung vào
hai đối tượng BPT mũ và BPT logarit. Tuy nhiên, trong quá trình phân tích chúng
tôi sẽ tham chiếu so sánh đến phần PT tương ứng với nó.
1.2. Phân tích sách giáo khoa
Phần lý thuyết
1.2.1. Bất phương trình mũ cơ bản.
Khi SGK không đưa ra khái niệm BPT mũ mà chỉ nêu các dạng của BPT mũ cơ bản
vậy liệu nó có ảnh hưởng gì đến các sai lầm của HS hay không?
“SGK không nêu khái niệm bất phương trình mũ và bất phương trình logarit.Ta
hiểu đó là các bất phương trình có chứa ẩn ở số mũ của lũy thừa hoặc trong biểu
thức lấy logarit.”
[G1, tr.97]
x
x
x
xa
a
≥
<
b a ,
b a ,
Các dạng BPT mũ cơ bản:
b> (hoặc
≤ ) b
a
a> 0,
“Bất phương trình mũ cơ bản có dạng
≠ ” 1
với
[M1, tr.85]
xa
b> như sau:
10
xa
b> .
Tiếp theo, M1đưa ra công thức nghiệm cho BPT mũ cơ bản dạng
xa
x
0
0≤b
Ta xét bất phương trình có dạng
b > ≥ ∀ ∈R. ,
loga b
xa
a>
0b > thì bất phương trình tương đương với
Nếu , tập nghiệm của bất phương trình là R vì
x
b
>
1a > ,nghiệm của bất phương trình là
. Nếu
loga
x
b
<
. Với
1a< < ,nghiệm của bất phương trình là
loga
Với 0 .
[M1, tr.85]
xa
Tiếp theo, M1đưa ra ví dụ để minh họa cho công thức nghiệm được trình bày ở trên
b> .
với BPT mũ cơ bản dạng
x
a
x
> ⇔ >
x ⇔ >
) 3
81
4
log 81 3
x
b
x
> ⇔ <
x ⇔ < −
)
32
5
1 2
log 32 1 2
Ví dụ 1
[M1, tr.85]
x
x
x
a
≥
<
b a ,
b a ,
Ta thấy M1 không đưa ra công thức nghiệm cũng như ví dụ cho các BPT mũ cơ bản
≤ . b
dạng
xa
b> thì M1 đã minh họa bằng đồ thị như sau:
Để giúp HS có một hình ảnh trực quan hơn về tập nghiệm của BPT mũ cơ bản dạng
x
y
a=
Minh họa bằng đồ thị
y
b= trên cùng một hệ trục tọa độ.
1a > ta nhận thấy:
Vẽ đồ thị hàm số và đường thẳng
xa
Trường hợp
0b ≤ thì
b> với mọi x.
x
b
>
xa
0b > thì
b> với
Nếu
loga
1a< < ,ta có:
(H.1.1) Nếu
xa
Trường hợp 0
0b ≤ thì
b> với mọi x.
x
b
<
xa
0b > thì
b> với
Nếu
loga
(H.1.2) Nếu
y
x
a
a
=
>
(
1)
y
11
x
a
=
a < <
(0
1)
y
loga b
loga b
y = b y = b b 1 b 1
xa
Hình 1.2 Hình 1.1
b> được cho trong bảng sau:
xa
Kết luận.Tập nghiệm của bất phương trình
b>
0
1a >
1a< <
0b ≤
Tập nghiệm
0b >
−∞
log
; loga b
(
R
) a b +∞ ;
)
R (
[M1, tr.86]
Cách tiếp cận này được sách giáo viên giải thích như sau:
Cũng như đối với các phương trình ở bài 5, khi giải các bất phương trình mũ
và bất phương trình logarit cơ bản, SGK chú trọng đến việc minh họa bằng
đồ thị. Lí do là phương pháp đồ thị giúp học sinh hình dung một cách trực
quan tập hợp nghiệm của bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm đó trên
trục số. Ngoài ra, qua đồ thị, học sinh nắm vững được các trường hợp bất
phương trình luôn nghiệm đúng hoặc vô nghiệm mà không cần ghi nhớ một
cách máy móc các kết quả trong bảng.
[G1, tr.97,98]
Như vậy, với PT, BPT mũ và logarit cơ bảnthì M1 đều có minh họahình ảnh trực
quan bằng đồ thị về nghiệm và tập nghiệm của PT, BPT.Hơn nữa chúng tôi thấy chỉ
có một dạng BPT mũ cơ bản với dấu “ > ” được giới thiệu và minh họa miền
nghiệm bằng đồ thị, M1 không có giới thiệu và minh họa miền nghiệm bằng đồ thị
12
x
x
x
a
b
≥
<
≤
b a ,
b a ,
đối với các BPT mũ cơ bản với dấu “<, , ” mà thay vào đó là hoạt động 1.
“Hoạt động 1.Hãy lập bảng tương tự cho các bất phương trình ≤ ≥
”
[M1, tr.86]
Đáp án của hoạt động 1:
xa
b≥ như sau:
Từ đồ thị ở hai hình 41 và 42 của SGK,ta có bảng tóm tắt tập nghiệm của BPT
xa
b≥
0
1a >
1a< <
Tập nghiệm
0b ≤
+∞
−∞
log
a b ;
0b >
)
(
; loga b
R R
Từ đồ thị ta có hai bảng sau đây:
xa
b<
0
1a >
1a< <
0b ≤
∅
∅
−∞
log
; loga b
0b >
(
)
(
) a b +∞ ;
Tập nghiệm
xa
b≤
0
1a >
1a< <
0b ≤
∅
∅
−∞
+∞
log
a b ;
0b >
(
)
; loga b
xa
Tập nghiệm
b> hoàn toàn tương tự như
xa
b= , nó được xác định qua dấu
Ta nhận thấy cấu trúc trình bày BPT mũ cơ bản dạng
cấu trúc trình bày đối với PT mũ cơ bản dạng
hiệu có tính hình thức mà ở đó ta chỉ việc thay dấu “=” trong PT mũ cơ bản thành
dấu “>” (hoặc dấu “<, ≤, ≥”) thì ta có dạng của BPT mũ cơ bản và M1 không nêu
khái niệm BPT mũ mà chỉ trình bày các dạng của BPT mũ cơ bản.
13
Để rèn luyện kĩ năng cho HS thì G1 đã đưa ra yêu cầu:
“Sau hoạt động 1 nên yêu cầu học sinh giải cụ thể một vài bất phương trình
mũ cơ bản để rèn luyện kĩ năng.Chẳng hạn,có thể yêu cầu học sinh chỉ ra tập
x
x
x
− 1
hợp nghiệm của các bất phương trình sau:
(
)
a ≤ > − ) 2 b) 3 c) 0,4 < − 1 ” 1 2 1 2
a
−∞
∅
; 0 b) R c)
[G1, tr.98]
Đáp số: ()
1.2.2.Bất phương trình mũ đơn giản.
Đối với BPT mũ đơn giản thì M1 đưa vào hai ví dụ và hoạt động 2 để minh họa về
dạng và phương pháp giải đối với BPT mũ đơn giản.
2
x
3
Dưới đây là một số ví dụ về BPT mũ đơn giản.
x− < 9
2
x
x− <
3
2 3
Ví dụ 2.Giải bất phương trình
2
x
2
x− < .
Giải.Bất phương trình đã cho có thể viết dưới dạng
Vì cơ số 3 lớn hơn 1 nên
2x
− < < .
Đây là bất phương trình bậc hai quen thuộc.Giải bất phương trình này ta
)1;2−
x
x
x
−
<
4
2 2.5
10
. được 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là khoảng (
Ví dụ 3.Giải bất phương trình .
x
x
Giải.Chia hai vế của bất phương trình cho 10 x ,ta được
x
− < 2 1 . 2 5 5 2
2
t
2
t
− < hay 1
< . 0
2 t
t − − t
0
t = > t ( 0) Đặt ,ta có bất phương trình 5 2
t > ,ta được 0
2t< < .Do đó
Giải bất phương trình này với điều kiện
x
14
x >
< < 0 2 2 5
2 5
log 2 2 5
Vì cơ số nhỏ hơn 1 nên
+∞ Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là log 2; 2 5
[M1, tr.87]
Như vậy, M1đã đưa vào 2 ví dụ ở trên với mục đích là rèn luyện kĩ năng cho HS về
phương pháp giải BPT mũ đơn giản.
Chúng tôi nhận thấy rằng với cách trình bày của M1 là cho 2 ví dụ để minh họa
không đưa ra được các phương pháp giải BPT mũ cụ thể như: đưa về cùng cơ số,
đặt ẩn phụ,…và liệu đó có phải là nguyên nhân gây khó khăn cho việc dạycủa GV,
việc học của HS nhưkhi các em giải các bài tậpBPT mũ tương tự thì các em không
biết biến đổi như thế nào và phải bắt đầu từ đâu nên HS thường gặp các sai lầm và
cho kết quả sai.
Tiếp theo, M1 đưa vào hoạt động 2 với mục đích củng cố và rèn luyện cho HS sau
x
x−+ 2
khi các em làm 2 ví dụ ở trên.
− < 3 0
Hoạt động 2.Giải bất phương trình 2
[M1, tr.87]
t
+
1
t
t
=
>
x t 2 (
0)
Đáp án của hoạt động 2:
+ − < hay 3 0
< 0
1 t
2 3 t − t
5
3
5
3
t < <
t
0
1 0
Đặt ,ta có bất phương trình
t > ,ta có 2 3 t−
+ < hay
− 2
+ 2
5
3
5
3
x
<
<
2
Với điều kiện
− 2
+ 2
3
5
5
3
x < <
log
log
Từ đó suy ra
2
2
+ 2
− 2
x
−
− < <
+
5
1
5
− 1
Vì cơ số 2 lớn hơn 1 nên
log 3 2
log 3 2
(
)
(
)
Hay
15
Vậy chúng tôi nhận thấy rằng đối với BPT mũ đơn giản thì M1 chỉ đưa ra 2 ví dụ
cùng với lời giải cho 2 ví dụ này mà không có một dạng hay một phương pháp cụ
thể để giải BPT mũ đơn giản.Vậy liệu rằng với cách trình bày như vậy có ảnh
hưởng gì cho GV và HS khi dạy và học đối với nội dung này hay không?Do đó, liệu
có cần một sự điều chỉnh về cách trình bày để việcdạyvà học nội dung này đạt được
kết quả tốt hơn và các em HS có thể tự tin hơn khi giải các bài tập dạng này hay
không?
1.2.3. Phân tích các TCTH liên quan đến BPT mũ
Trong phần này chúng tôi sẽ phân tích các TCTH liên quan đến đối tượng BPT mũ
cơ bản và BPT mũ đơn giản. Bên cạnh đó chúng tôi cũng phân tích các TCTH liên
quan đến PT mũ cơ bản và PT mũ đơn giản để làm cơ sở so sánh giữa hai đối tượng
BPT mũ với PT mũ tương ứng.
bptmu :Giải bất phương trình mũ cơ bản có dạng
x
x
x
a
xa
a> 0,
a
b
≥
<
b a ,
b a ,
b> (hoặc
≤ ) với
≠ . 1
a) - Kiểu nhiệm vụ T1
x
a
x
> ⇔ >
x ⇔ >
) 3
81
4
log 81 3
x
b
x
> ⇔ <
x ⇔ < −
)
32
5
1 2
log 32 1 2
Ví dụ 1
[M1, tr.85]
Qua ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích
a
xa
a> 0,
bptmuτ : Giải bất phương trình mũ có dạng
b> (
≠ ) 1
cho kĩ thuật đó như sau:
- Kỹ thuật 1
og
a
log>x
>xa
b được BPT log
b .
- Công cụ logarit: • Kỹ thuật 1. τbptmu CCL
a
a
+ Lấy logarit cơ số a hai vế của BPT
1a > thì
x
b .
log>
a
+ Nếu cơ số
1a< < thì
x
b .
log<
a
+ Nếu cơ số 0
og
log
loga b
a b
>
.
a
xa
a
- Đưa về cùng cơ số mũ logarit: • Kỹ thuật 1. τbptmu MuL
+ Biến đổi b thành đưa BPT đã cho về
log
x
a b
>
a
a
⇔ > x
log
16
1a > thì
b .
a
log
x
a b
>
a
a
⇔ < x
log
1a< < thì
b .
+ Nếu cơ số
a
+ Nếu cơ số 0
MuHuuTi - Đưa về cùng cơ số mũ hữu tỉ:
n
n
>x
b
a=
a
• Kỹ thuật 1.τbptmu
a .
+ Tìm số hữu tỉ n thỏa , biến đổi BPT đã cho thành
1a > thì >x n .
1a< < thì n . + Nếu cơ số bptmuθ : + Nếu cơ số 0 x a x R ≠ a
>
, a
1, 0, - Công nghệ 1 > ∀ ∈ . y a = > ≠ x
a a
( 0, 1) + Sử dụng tính chất của hàm số mũ: Với 1a > hàm số + Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm sốmũ . Khi 1a< < hàm số luôn nghịch biến. y a = > log x a
( 0, 1) 1a > ≠ . Khi luôn đồng biến.Khi 0 a + Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số logarit 1a< < hàm số luôn nghịch biến. loga b a a b
, a>
0, 1 hàm số luôn đồng biến.Khi 0 ≠ .Ta có b= . x x x a a>
0, 1 a b ≥ < b a
, b a
, ≤ với ≠ tương tự như + Sử dụng tính chất của logarit: với xa b> . Kỹ thuật giải các BPT mũ dạng BPT mũ dạng Tiếp theo chúng tôi phân tích KNV liên quan giải PT mũ cơ bản với mong muốn xa thấy được sự tương đồng với KNV giải BPT mũ cơ bản như sau: b= với a a>
0, ≠ .
1 x − 2 1 2 x
++
1
4 =
5 - Kiểu nhiệm vụ T1 Ví dụ 1.Giải phương trình x x x + = = .4 4.4 5 hay 4 1
2 10
9 x = log Giải.Đưa vế trái về cùng cơ số 4, ta được: 4 10
9 Vậy [M1,tr.80] Qua ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích 17 a xa a>
0, ptmuτ :Giải PT mũ cơ bản có dạng b= với ≠ .
1 cho kĩ thuật đó như sau: - Kỹ thuật 1 logτptmu CC - Công cụ logarit : • Kĩ thuật 1. =xa b . + Điều kiện cho PT (nếu có). =xa + Biến đổi, đưa PT đã cho về các dạng b được PT x b . log= a ptmu + Lấy logarit cơ số a hai vế của PT CCLogθ : • Công nghệ 1. + Tính biến thiên của hàm số logarit; tính chất của logarit. + Tính chất liên quan đến tập nghiệm của hai PT tương đương. MuLog - Đưa về cùng cơ số mũ logarit: =xa • Kĩ thuật 1.τptmu b . log loga b a b = . a xa a + Biến đổi, đưa PT đã cho về các dạng log a b = x log= b . xa a + Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ đưa PT + Biến đổi b thành đưa PT đã cho về a ptmu về MuLogθ : • Công nghệ 1. + Định nghĩa trực tiếp khái niệm logarit. 1a ≠ . Số α thỏa mãn a bα = được gọi là logarit cơ số a “Cho hai số dương a, b với α= bα
a
⇔ = )” của b và kí hiệu là loga b ( loga b x y a= [M1,tr.62] . + Tính đơn điệu của hàm số mũ MuHuuTi - Đưa về cùng cơ số mũ hữu tỉ: • Kĩ thuật 1.τptmu =xa b . + Điều kiện xác định PT (nếu có). n n =x a b a= + Biến đổi, đưa PT đã cho về các dạng a và =x n . ptmu
MuHuuTi + Tìm số hữu tỉ n thỏa , PT đã cho thành θ
• Công nghệ 1. x y a= + Tính chất lũy thừa với mũ số thực, phép biến đổi tương đương PT. + Tính đơn điệu của hàm số mũ . 18 Chúng tôi thấy rằng kỹ thuật giải giữa hai KNVgiải PT và BPT mũ cơ bản có sự tương tự chỉ khác nhau về mặt hình thức khi thay dấu “ = ”của PT thành dấu “>, <, ≥, ≤” để được BPT tương ứng và đối với BPT cần lưu ý đến cơ số vì hàm số mũ là hàm số đơn điệu để kết luận đúng tập nghiệm của BPT đã cho. Và liệu đó có phải là x > ⇔ > < ≠
a 1 , a b x log nguyên nhân gây ra các sai lầm của HS hay không?Và sai lầm này xảy ra có thể do b . Chúng a 1a > và nó không HS áp dụng qui tắc hành động sau: Với cơ số 0 tôi nhận thấy rằng qui tắc hành động này chỉ hợp thức khi cơ số 1a< < dẫn đến sai lầm. x hợp thức khi cơ số 0 . a x > > ⇔ > 1 , log a a b x b . • Với cơ số a x > ⇔ < < <
a a
1 , b x log b . a b x b a
< ≠ = ⇔ = 1 , log • Với cơ số 0 a • Với cơ số 0 f x g x ( ) ( ) a a a> a>
0, 1 b) - Kiểu nhiệm vụ T2 ≠ .(phương pháp đưa về cùng cơ số). với x x − 2 a > ) 2
5 2
5
Ví dụ 1.Giải các bất phương trình mũ sau: Bài giải 2
5 2x< ≤ .Khi đó bình phương hai x bé hơn 1 nên bất phương trình đã cho tương đương với 2 x − < . a)Vì cơ số Ta có điều kiện của bất phương trình này là 0 2 2 2 x x x x 2 2 0 < −
x
x
>
1 − < ⇔ + − > ⇔
vế,ta được 2x< ≤ Kết hợp với điều kiện,ta có nghiệm của bất phương trình đã cho là 1 [E1,trang 104] Qua ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích bptmuτ : cho kĩ thuật đó như sau: - Kỹ thuật 2 f x g x ( ) ( ) a a> 19 f x
( ) g x
( ) a a a > > ⇔ > 1, f x
( ) g x
( ) + Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng . f x
( ) g x
( ) a a a
< < > ⇔ < 0 1, f x
( ) g x
( ) . Với > < g x
( ) f x
( ) g x
( ) . Với bptmuθ :Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ + Khi đó ta đi giải BPT ( )
f x hoặc . 2 y a = > ≠ x
a a
( 0, 1) - Công nghệ 1a > hàm số luôn đồng biến. . + Khi 1a< < hàm số luôn nghịch biến. + Khi 0 f x g x ( ) ( ) a a a≥ a>
0, c) - Kiểu nhiệm vụ T3 ≠ .
1 với x + ≥
6 11 x
11 Bài 2.36.Giải các bất phương trình mũ sau: e) x bpt x x x ⇔ ⇔ + ≥ ⇔
6 ⇔ − ≤ ≤
6 3 x > − ≤ ≤
6
0
x
< ≤
3
0
2 x 0
x
+ ≥
6 ≤
x
0
x
≥ −
6
3x
− ≤ ≤ Bài giải Bất phương trình đã cho có nghiệm là 6 [E1,trang.107] Qua bài tập trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải bptmuτ : thích cho kĩ thuật đó như sau: f x g x ( ) ( ) a a≥ - Kỹ thuật 3 f x
( ) g x
( ) a a a > ≥ ⇔ ≥ 1, f x
( ) g x
( ) + Đưa bất phương trình đã cho về dạng f x
( ) g x
( ) a a a
< < ≥ ⇔ ≤ 0 1, f x
( ) g x
( ) . Với ≥ ≤ f x
( ) g x
( ) g x
( ) . Với bptmuθ :Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ + Khi đó ta đi giải bất phương trình hoặc ( )
f x . 3 - Công nghệ y a = > ≠ x
a a
( 0, 1) 20 1a > hàm số luôn đồng biến. . 1a< < hàm số luôn nghịch biến. + Khi f x
( ) g x
( ) f x
( ) g x
( ) a a a a < ≤ , + Khi 0 f x
( ) g x
( ) f x
( ) g x
( ) a a a > ≥ a
, Kỹ thuật giải các BPT mũ đơn giản có dạng tương tự như .
bptmuchúng ta đã giải bằng phương pháp đưa về cùng các BPT mũ đơn giản có dạng
bptmu T3 Các kiểu nhiệm vụ T2 cơ số. Đây là một phương pháp cơ bản để giải BPT dạng này nhưng chỉ giải được một số không nhiều các BPT mũ đơn giản. Tiếp theo chúng tôi phân tích KNV giải PT mũ đơn giản bằng phương pháp đưa về cùng cơ số với mong muốn thấy được sự tương đồng với KNV giải BPT mũ đơn giản. f x g x ( ) ( ) a a a= a>
0, 1 - Kiểu nhiệm vụ T2 ≠ .(phương pháp đưa về cùng cơ số) x +
1 x − 5 7 với ) x − 5 7 x
− −
1 1,5 “Ví dụ 2. Giải phương trình ( 2
3
=
3
2 x x x 1 7 = , ta được Giải.Đưa hai vế về cùng cơ số 3
2 3
2
− = − − ⇔ = .
1 1x = .” Do đó 5 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất [M1,trang 80] Qua ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích ptmuτ : cho kĩ thuật đó như sau: f x g x ( ) ( ) a a a= a>
0, - Kỹ thuật 2 ≠ .
1 = f x
( ) g x
( ) + Đưa phương trình về cùng cơ số dạng với N a M N a = ⇔ = a>
0, ptmuθ : M
a . + Giải phương trình ≠ .
1 2 với - Công nghệ Chúng tôi thấy rằng kỹ thuật giải giữa hai KNV giải PT và BPT mũ đơn giản bằng phương pháp đưa về cùng cơ số có dạng tương tự nhau chỉ khác nhau về mặt hình 21 thức khi thay dấu “ = ”của PT thành dấu “>,<, ≥, ≤” để được BPT tương ứng nhưng đối với BPT cần lưu ý đến cơ số vì hàm số mũ là hàm số đơn điệu để kết luận đúng tập nghiệm của BPT đã cho. Với kỹ thuật giải tương tự như vậy liệu rằng nó có gây ra nhầm lẫn và dẫn đến các sai lầm khi HS giải các bài tập về BPT mũ bằng phương pháp đưa về cùng cơ số f x
( ) g x
( ) > ⇔ > 0 < ≠
a 1 , a a f x
( ) hay không? Và sai lầm nàynếu xảy ra có thể do HS áp dụng qui tắc hành động sau: g x . Chúng tôi nhận thấy rằng qui tắc
( ) 1a< < 1a > và nó không hợp thức khi cơ số 0 Với cơ số hành động này chỉ hợp thức khi cơ số N M N a > ⇔ > 1a > , M
a 1a< < , .Khi 0 dẫn đến sai lầm. M N a M N a > ⇔ < . N a M N a = ⇔ = a>
0, + Tính chất đơn điệu của hàm số mũ: Khi ≠ .
1 + Tính chất đơn ánh của hàm số mũ: M
a với Việc giải quyết hai KNV không được giải thích rõ dựa trên hai tính chất trên cũng như cách trình bày kỹ thuật giải có phải là một trong những nguyên nhân dẫn đến các sai lầm của HS. f x
( ) f x
( ) P a
( P a
( d) - Kiểu nhiệm vụ T4 > (hoặc
) 0 ≥ ),trong đó
) 0 phương pháp đặt ẩn phụ có dạng P(t) là một đa thức theo t. x x + 1 b − > 2, 5 1, 5 ) ( ) (
) 0.4 Ví dụ 1.Giải các bất phương trình mũ sau: − = = 2,5 0,4 Bài giải ( ) 1 1
0,4 x x− − − 0, 4 1,5 0 > . ( ) (
2,5. 0, 4 ) x t t = > 0, 4 0 nên bất phương trình đã cho có thể viết lại thành b)Vì ( ) ( ) t t − 2 1,5
t
− 2,5 0
> ⇔ < −
1(loaïi)
t
>
2,5
x x − > > 0, 4 0, 4 2, 5 ,ta có bất phương trình Đặt ) ( ) 1 )0, 4 hay ( Khi đó,ta có ( 22 1 Đây là bất phương trình mũ cơ bản với cơ số nhỏ hơn 1. x < − . Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là [E1,trang .104] x x − 3.2 Bài 1 .Giải các bất phương trình mũ: + >
2 0 d) 4 x x x x 2 − + > ⇔ − 4 3.2 2 0 2 3.2 Bài giải + >
2 0 t = > x
t
2 ( 0) d) x Đặt 2 t x < < 1 0 < 1 t − ⇔ ⇔ t
3 + > ⇔
2 0 Bất phương trình trở thành 2
x t x > > 2 1 > 2 2
0
1 <
x
x
> Vậy [M1,tr.89] Qua ví dụ và bài tập trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ bptmuτ : giải thích cho kĩ thuật đó như sau: 4 f x
( ) f x
( ) P a
( P a
( > (hoặc
) 0 ≥ ).
) 0 - Kỹ thuật giải t a = > f x
( ) (
t 0) +Đưa BPT đã cho về dạng P t⇔ ( ) 0 + Đặt . > ,trong đó P(t) là một đa thức theo t. + BPT P t > là một BPT đại số với ẩn mới là t. f x ( ) t a= + BPT ( ) 0 ta sẽ được một BPT cơ bản + Giải BPT này tìm miền nghiệm t rồi thay bptmuθ : hoặc một BPT đơn giản hơn. 4 x y a x R a = > 0 (0 1 , < ≠ ∀ ∈ .
) - Công nghệ y a = > ≠ x
a a
( 0, 1) + Hàm số mũ R + . y a = > ≠ x
a a
( 0, 1) + Tính chất song ánh của hàm số mũ từ R 1a > hàm số + Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ .Khi 1a< < hàm số luôn nghịch biến. luôn đồng biến.Khi 0 23 f x
( ) f x ( ) P a
( 0 e) - Kiểu nhiệm vụ T5 ≤ (hoặc < ).
) 0 (
P a ) đặt ẩn phụ có dạng x x−
4 − ≤
6 0 Bài 2.36.Giải các bất phương trình mũ sau: h)16 x x x x 2 − − ≤ ⇔ − 16 4 6 0 4 4 Bài giải − ≤
6 0 t = > x
t
4 ( 0) h) t Đặt − − ≤ ⇔
6 0 ≤ −
t
2
t
≥
3 x Bất phương trình trở thành 2
t x +∞ t x ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ 3 4 3 Kết hợp với điều kiện ta được log 3
4 log 3;
4 ) ∈
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm [E1 ,tr.107] Qua bài tập trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải bptmuτ : thích cho kĩ thuật đó như sau: 5 f x
( ) f x
( ) P a
( P a
( < (hoặc
) 0 ≤ ).
) 0 - Kỹ thuật giải t a = > f x
( ) (
t 0) +Đưa BPT đã cho về dạng P t⇔ ( ) 0 . + Đặt ≤ ,trong đó P(t) là một đa thức theo t. + BPT P t ≤ là một BPT đại số với ẩn mới là t. f x ( ) t a= + BPT ( ) 0 ta sẽ được một BPT cơ bản + Giải BPT này tìm miền nghiệm t rồi thay - Công nghệ bptmuθ : 5 x y a x R a = > 0 (0 1 , < ≠ ∀ ∈ .
) hoặc một BPT đơn giản hơn. y a = > ≠ x
a a
( 0, 1) + Hàm số mũ R + . y a = > ≠ x
a a
( 0, 1) + Tính chất song ánh của hàm số mũ từ R 1a > hàm số 1a< < hàm số luôn nghịch biến. + Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ .Khi luôn đồng biến.Khi 0 f x
( ) f x
( ) < 0, 0 24 ≥ học sinh có thể (
P a ) (
P a ) f x
( ) f x
( ) > 0, ≤ .
0 Với kỹ thuật giải BPT mũ đơn giản có dạng (
P a ) (
P a ) bptmuđược gọi là giải BPT mũ đơn giản bằng phương pháp suy ra kỹ thuật giải tương tự với BPT có dạng bptmu; T5 Với các KNV T4 f x ( ) t a= đặt ẩn phụ. Với kỹ thuật dùng ẩn phụ này thì HS có thể thao tác khá dễ dàng vì điều cần làm là giải BPT theo biến t khi đã đặt và cách làm này khá quen thuộc với HS. Tiếp theo chúng tôi phân tích KNV giải PT mũ đơn giản bằng phương pháp đặt ẩn phụ với mong muốn thấy được điểm tương đồng cũng như điểm khác biệt với KNV giải BPT mũ đơn giản cũng bằng phương pháp đặt ẩn phụ như sau: f x ( ) = .
0 - Kiểu nhiệm vụ T3 (
P a ) x x − − 4.3 phụ có dạng =
45 0. = t x
3 , t 0 > , ta có phương trình Ví dụ 3.Giải phương trình: 9 2 − t t−
4 =
45 0. = = −
5. t
Giải phương trình bậc hai này, ta được hai nghiệm 1 t
29, 9 t = thoả mãn điều kiện t > .
0 Giải.Đặt Chỉ có nghiệm 1 x = Vậy
9. x = 2. Do đó 3 [M1,tr.81] Qua ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích ptmuτ : cho kĩ thuật đó như sau: f x ( ) = .
0 - Kỹ thuật giải 3 (
P a ) t a = > f x
( ) (
t 0) + Đưa PT đã cho về dạng + Đặt . P t = là một PT đại số với ẩn mới là t. f x ( ) t a= + Đưa PT đã cho về PT ( ) 0 ta sẽ được một BPT cơ bản + Giải BPT này tìm miền nghiệm t rồi thay ptmuθ : hoặc một BPT đơn giản hơn. 3 - Công nghệ x y a x R a = > 0 (0 1 , < ≠ ∀ ∈ .
) 25 y a = > ≠ x
a a
( 0, 1) + Hàm số mũ R + . + Tính chất song ánh của hàm số mũ từ R + Định nghĩa logarit. Như vậy, chúng tôi thấy rằng kỹ thuật giải giữa hai KNV giải PT và BPT mũ đơn x t a= 0 giản bằng phương pháp đặt ẩn phụ có sự tương tự nhau chỉ khác nhau về mặt hình t > khi đặt Nhưng HS cần chú ý phải có điều kiện thức khi thay dấu “ = ”của PT thành dấu “>,<, ≥, ≤” để được BPT tương ứng.
để loại những giá trị t không thích hợp và HS cũng thường mắc phải sai lầm trong trường hợp này. f x
2 ( ) f x
( ) f x
2 ( ) ab + + < a
α b
γ b
( ) 0 f) - Kiểu nhiệm vụ T6 x x x − < 4 2
2.5 10 bằng cách đặt ẩn phụ. Ví dụ 3.Giải bất phương trình x x Bài giải x − < 2. 1 Chia 2 vế của bất phương trình cho 10 x ,ta được 2
5 5
2
2 t 2 t − < hay
1 <
0 t = > t
( 0) Đặt 2
5
2
t t
− −
t 0 t > ,ta được 0 2t< < .Do đó Bất phương trình trở thành x Giải bất phương trình này với điều kiện x > < < 0 2 2
5
2
5 log 2
2
5 nhỏ hơn 1 nên Vì cơ số +∞ Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là log 2;
2
5
[M1,tr.87] Qua ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích cho kĩ thuật đó như sau: bptmuτ : 26 2. f x
( ) f x
( ) f x
2 ( ) - Kỹ thuật 6 b f x
( ) + + <
γ α
. b
. 0 ,ta được + Chia 2 vế cho a
b a
b
t 2
t
α bγ+ + <
0 t t = > , 0 + Đặt a
b
f x
( ) + BPT đã cho trở thành: t thế vào ta sẽ được một BPT cơ + Giải BPT bậc hai này tìm miền nghiệm a
b
=
bptmuθ : bản hoặc BPT đơn giản hơn. 6 x y a x R a = > 0 (0 1 , < ≠ ∀ ∈ .
) - Công nghệ y a = > ≠ x
a a
( 0, 1) + Hàm số mũ R + . y a = > ≠ x
a a
( 0, 1) + Tính chất song ánh của hàm số mũ từ R 1a > hàm số 1a< < hàm số luôn nghịch biến. + Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ .Khi luôn đồng biến.Khi 0 f x
2 ( ) f x
( ) f x
2 ( ) b a
αb + ab
γ+
( ) 0 < ta có thể suy ra kỹ thuật giải đối với các bất phương f x f x
2 ( ) f x
2 ( ) b + a
αb
. Với kỹ thuật giải bất phương trình mũ có dạng: ≤ .
0 (
ab
γ+ ) ( ) trình mũ đơn giản có dạng: f x
2 ( ) f x
( ) f x
2 ( ) b a
αb + ab
γ+
( ) 0 Chúng tôi không tìm thấy ví dụ hoặc bài tập nào ứng với KNV giải PT mũ đơn giản = trong M1 và E1.Do bằng phương pháp đặt ẩn phụ có đó không tồn tại KNV này ở PT mũ đơn giản. f x g x ( ) ( ) a b > a b= 0, 1 - Kiểu nhiệm vụ T4 ≠ bằng phương pháp logarit hóa. 2 x
3 .2 với x =
1 Ví dụ 4.Giải phương trình 2 x x x x = ⇔ + = .
0 log 1
3 log 3
3 log 2
3 Giải.Lấy logarit hai vế với cơ số 3 (còn gọi là logarit hóa), ta được 27 2 x x x x + = ⇔ + = .
0 log 2 0
3 log 2
3 ) (
1 Từ đó ta có x = − = − 1 x = và 2
0 log 3
2 1
log 2
3 Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: [M1,tr.81] Qua ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích ptmuτ : cho kĩ thuật đó như sau: - Kỹ thuật 4 4.τptmu MuHuuTi - Mũ hữu tỉ: • Kỹ thuật m ( )
f x ( )
m g x
. + Tìm điều kiện xác định hai vế PT (nếu có). a a= b a= ( )
( )
=
f x m g x . + Tìm số hữu tỉ m sao cho , đưa PT đã cho về và . ( )
( )
=
f x m g x : . , đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm của PT đã cho. + Giải PT MuHuuTi ptmu
θ
4. x y a= • Công nghệ . + Tính chất lũy thừa với mũ số thực, tính biến thiên của hàm mũ + Phép biến đổi tương đương hai PT đại số. CCLog ptmu
τ
4. - Công cụ logarit: • Kĩ thuật + Đặt điều kiện cho PT (nếu có). ( )
f x ( )
g x ( )
* a = .log b + Lấy logarit cơ số (hoặc cơ số b) hai vế PT chuyển về dạng . : + Giải PT (*), đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm PT. 𝑎 CCLogθ ptmu
4. • Công nghệ + Điều kiện xác định cho các biểu thức đại số, các tính chất của logarit. + Các kĩ thuật giải PT đại số. 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝑏 từ PT . Trong khi kĩ thuật Mục tiêu của kĩ thuật giảiT4 MuHuuTi chỉ dùng được khi “b đưa được về
𝑎 4.τptmu CCLog ptmu
τ
4. cho lời giải tối ưu thì lũy thừa 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑎 = 𝑏 mũ hữu tỉ”. Bằng cách lấy logarit cơ số hoặc b tác động vào hai vế , 𝑎
𝑓(𝑥) 𝑎 28 CCLog CCLog ptmu
τ
4. ptmu
τ
4. kĩ thuật chuyển về PT có thể giải được. Rõ ràng, kĩ thuật đã làm đơn 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) . giản hóa giải PT 𝑎 = 𝑏 Tuy nhiên trước khi logarit hóa, chúng ta cần biến đổi để rút gọn cả hai vế của PT về dạng gọn nhất.Phương pháp logarit hóa tỏ ra càng hiệu quả khi hai vế của PT có dạng tích của các lũy thừa. Khi gặp các PT có hai vế đều dương và là tích của nhiều lũy thừa có cơ số và số mũ khác nhau (không thể đưa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ được), nếu lấy logarit với cơ số thích hợp ta có thể đưa PT đã cho thành PT đơn giản hơn đã biết cách giải. f x g x ( ) ( ) a b > a b> 0, 1 Chúng tôi không tìm thấy ví dụ hoặc bài tập nào ứng với KNV “giải BPT mũ đơn ≠ bằng phương pháp logarit hóa trong M1 và E1. giảncó dạng với Do đó không tồn tại KNV này ở BPT mũ đơn giản. xa bx c bx c xa bx c xa bx c ≤ < > ≥ + hoặc ( + hoặc xa + hoặc + ) bằng phương g) - Kiểu nhiệm vụ T7 pháp đồ thị. x Ví dụ.Giải các bất phương trình sau bằng phương pháp đồ thị a x
≤ + ) 4 1
3
x Bài giải y 4 x= + trên cùng một hệ y và đường thẳng a)Vẽ đồ thị của hàm số 1
3
=
x trục tọa độ Oxy (H.1.3),ta thấy chúng cắt nhau tại một điểm duy nhất có 1 1 x = − .Từ đồ thị ta thấy:Khi x ≥ − thì đường cong y 4 x= + . y nằm hoành độ 1
3
=
phía dưới đường thẳng ) − +∞
1;
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là y y =
x+
4 4 x 29 3 y 1 1
3
=
x -1 O -4 Hình 1.3 [E1,tr.107] Qua ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích bptmuτ : cho kĩ thuật đó như sau: x y a= (C) y bx c = = + f x
( ) (d) - Kỹ thuật 7 + Vẽ đồ thị hàm số và đồ thị hàm số là một đường thẳng trên cùng hệ trục tọa độ Oxy. x x x x > < ≥ ≤ ( ) + Đồ thị hai hàm số (C) và (d) cắt nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x0. 0 x x
,
0 x x
,
0 0 thì (C) và (d) + Từ đó dựa vào đồ thị rút ra nhận xét khi như thế nào với nhau. + Kết luận tập nghiệm của bất phương trình. bptmuθ : 7 - Công nghệ > f x
( ) g x
( ) + Sự tương giao của hai đường cong. . xa bx c ≤ + bằng phương pháp đồ thị ta có + Miền nghiệm của BPT xa bx xa bx < > + ;
c + ;
c Từ kỹ thuật giải BPT mũ đơn giản có dạng xa bx c ≥ + bằng phương pháp đồ thị. thể suy ra kỹ thuật giải tương tự đối với các BPT mũ có dạng Với kỹ thuật giải BPT mũ bằng phương pháp đồ thị sẽ giúp cho HS có một hình ảnh trực quan hơn về tập nghiệm của BPT.Và giải BPT bằng phương pháp đồ thị thường được thực hiện trên máy tính. Tiếp theo chúng tôi phân tích KNV giải PT mũ đơn giản bằng phương pháp đồ thị với mong muốn thấy được điểm tương đồng cũng như điểm khác biệt với KNV giải BPT mũ đơn giản cũng bằng phương pháp đồ thị như sau: xa bx = 30 +
c - Kiểu nhiệm vụ T5 bằng phương pháp đồ thị. x x Ví dụ:Giải các phương trình sau bằng phương pháp đồ thị: a x
= − = − b
; ) . ) 3
x 1
2 1
3 1
2
x Giải y x= − trên cùng hệ trục tọa 1
2 y và đường thẳng a)Vẽ đồ thị hàm số 1
2
=
1x = .Thử lại,ta x độ Oxy (H.1.3), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ y y thấy giá trị này thỏa mãn phương trình đã cho.Mặt khác, là hàm 1
2
=
x= − là hàm số đồng biến nên phương trình đã cho có 1
2 1x = . nghịch biến, x nghiệm duy nhất y = − trên cùng hệ trục tọa độ Oxy 3
x 1 y b)Vẽ đồ thị các hàm số và 1
3
=
x = − . Thử lại, ta thấy y = − luôn (H.1.4), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ 3
x x giá trị này thỏa mãn phương trình đã cho.Mặt khác, hàm số 1 y đồng biến trên mỗi khoảng xác định, hàm số luôn nghịch biến nên 1
3
=
x = − . phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Ghi chú: Giải phương trình bằng đồ thị thường được thực hiện trên máy tính. y y x y 1
2
=
3 x y x y 1
2
=
3
= −
x x y 1
3 1
2 y 1
2
=
1
2
=
y
=
x- 1 31 -1 O 1 x O 1 x Hình 1.5 Hình 1.4 [E1,tr.95;96] Qua hai ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải ptmuτ : thích cho kĩ thuật đó như sau: x y a= (C) y bx c = = + f x
( ) (d) - Kỹ thuật 5 + Vẽ đồ thị hàm số và đồ thị hàm số là một đường thẳng trên cùng hệ trục tọa độ ) Oxy x x= + Đồ thị hai hàm số (C) và (d) cắt nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x0 0 x x= thỏa mãn phương trình đã cho. + Kiểm tra giá trị 0 x x= là nghiệm duy nhất. + Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số chứng minh 0 là nghiệm của phương trình đã cho. + Kết luận ptmuθ : 5 - Công nghệ + Sự tương giao của hai đường cong. + Giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm. - Kiểu nhiệm vụ T6 dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ. x x x x x x b x x a + − + − = = − 2( 2).3 2 5 0 ) x.2 (3 +
) 2(2 ) 9 −
1) Giải t = 3x ( t > ).Khi
0 đó phương trình đã cho có dạng a) Đặt t x x − + 2 2(
+ t
2) 2 − =
5 0 Ví dụ 4.Giải các phương trình sau: x = − 5 2 . Suy ra 1 t
t = − (loại) , 2
1 x x = − 5 2 Do đó,ta có 3 (1) Dễ thấy x = 1 là nghiệm của (1). ( ) 3x
f x = g x x = − Mặt khác, hàm số luôn đồng biến, hàm số ( ) 5 2 luôn nghịch biến trên R nên x = 1 là nghiệm duy nhất của (1). Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1. x x x x x − − .2 (3 −
) 2.2 b)Phương trình đã cho có thể viết lại ở dạng + =
2 0 2 x x x x x x ⇔ − − − + − − x
2 ( 3 + = ⇔
2 0 x
2 ( 2) ( 1)( =
2) 0 +
2)
x x + − = x
⇔ −
( 2)(2 1) 0 x x ⇔ ⇔ x x 2
x − =
2 0
x
+ − = 1 0 2 2 =
= −
1 (2)
Ta có x = 0 thỏa mãn (2) nên là nghiệm của (2). ( ) 2x
f x = g x x Mà luôn đồng biến trên R, ( ) 1 = − luôn nghịch biến trên R.Do đó, x = 0 là nghiệm duy nhất của (2). = Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm =
0 x
1 x
22, [E1,tr.97] 32 Qua hai ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải ptmuτ : thích cho kĩ thuật đó như sau: x t a= - Kỹ thuật 6 f x t = theo ẩn t và xem x như là
( , ) 0 + Đặt , đưa PT về dạng PT đa thức xa nx p = + (1) f x h x = , từ đó ta thu được PT
( ). ( ) 0 tham số, rồi tính t theo x hay sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử đưa trong đó PT ban đầu về dạng hàm số ở một vế là đồng biến và hàm số ở vế còn lại nghịch biến. 0x là nghiệm của (1) và chứng minh nghiệm đó là duy nhất. ptmuθ : + Chọn 6 x y a a a x R = > > ≠ ∀ ∈ 0 ( 0, 1, ) - Công nghệ + Hàm số mũ . + Tính chất đơn điệu của hàm số mũ. 33 + Tính chất đơn điệu của hàm số trên khoảng K. + Sự tương giao đồ thị của hai hàm số. Kỹ thuật trên được sử dụng đối với các PT chứa tổng và tích của một số mũ xa nx p = + với một đa thức để biến đổi PT đã cho về các PT có dạng đơn giản hơn trong đó hai vế là hai hàm số có tính đơn điệu khác nhau, chỉ ra nghiệm và kết luận đó là nghiệm duy nhất. Nếu PT nào có nhiều hơn một nghiệm ta cần dựa vào bảng biến thiên để suy ra kết luận. Chúng tôi không tìm thấy ví dụ hoặc bài tập nào ứng với KNV giải BPT mũ đơn giản bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ trong M1 và E1. Do đó không tồn tại KNV này ở BPT mũ đơn giản. Sau đây chúng tôi lập bảng thống kê các tổ chức toán học gắn liền với PT, BPT mũ và bảng thống kê các bài tập ứng với các KNV của PT, BPT mũ như sau: Bảng 1.1. Thống kê các TCTH gắn liền với BPT mũ Các thành phần của Kí hiệu Nội dung xa b> TCTH bptmu Giải bất phương trình mũ cơ bản có dạng x x x a b ≥ < b a
, b a
, a a>
0, ≤ ) với ≠ .
1 T1 (hoặc bptmu f x g x ( ) ( ) a a a> a>
0, ≠ .
1 Giải bất phương trình mũ đơn giản có dạng T2 với bptmu f x g x ( ) ( ) a a a≥ a>
0, ≠ .
1 Giải bất phương trình mũ đơn giản có dạng Kiểu T3 với nhiệm f x
( ) P a
( Giải bất phương trình mũ đơn giản bằng phương vụ > (hoặc
) 0 bptmu f x
( ) P a
( ≥ ), trong đó P(t) là một đa thức theo t.
) 0 pháp đặt ẩn phụ có dạng T4 bptmu Giải bất phương trình mũ đơn giản bằng cách đặt ẩn f x
( ) f x ( ) P a
( <
) 0 0 ≤ (hoặc (
P a ) bptmu T5 phụ có dạng ). Giải bất phương trình mũ đơn giản có dạng T6 f x
2 ( ) f x
( ) f x
2 ( ) ab + + < a
α b
γ b
( ) 0 34 bằng cách đặt ẩn phụ. xa bx c xa bx c xa bx c ≤ < > bptmu + hoặc ( + hoặc + hoặc Giải bất phương trình mũ đơn giản có dạng xa bx c ≥ + ) bằng phương pháp đồ thị. >xa T7 b được a log>x + Lấy logarit cơ số a hai vế của BPT b . a a og 1a > thì x log> b . a BPT log τbptmu
CCL
1. + Nếu cơ số 1a< < thì x b . log< a loga b a + Nếu cơ số 0 log a b > . xa a bptmuτ 1 log x a b + Biến đổi b thành đưa BPT đã cho về og > a a ⇔ >
x log 1a > thì b . a log x a b > a a ⇔ <
x log τbptmu
MuL
1. + Nếu cơ số 1a< < thì b . a n b a= + Nếu cơ số 0 n >x a + Tìm số hữu tỉ n thỏa , biến đổi BPT đã cho a . 1a > thì >x n . thành 1.τbptmu
MuHuuTi 1a< < thì n . + Nếu cơ số + Nếu cơ số 0 f x g x ( ) ( ) a a> f x
( ) g x
( ) a a a > > ⇔ > 1, f x
( ) g x
( ) + Biến đổi bất phương trình đã cho về dạng bptmuτ 2 f x
( ) g x
( ) a a a
< < > ⇔ < 0 1, f x
( ) g x
( ) . Với > < g x
( ) f x
( ) g x
( ) . Với f x g x ( ) ( ) a a≥ + Khi đó ta đi giải BPT ( )
f x hoặc . f x
( ) g x
( ) a a a > ≥ ⇔ ≥ 1, f x
( ) g x
( ) + Đưa bất phương trình đã cho về dạng f x
( ) g x
( ) bptmuτ a a a
< < ≥ ⇔ ≤ 0 1, f x
( ) g x
( ) 3 . Với ≥ f x
( ) g x
( ) . Với + Khi đó ta đi giải bất phương trình hoặc ≤ f x
( ) g x
( ) Kỹ thuật . f x
( ) P a
( 35 > (hoặc
) 0 f x
( ) P a
( ≥ )
) 0 t a = > f x
( ) (
t 0) +Đưa BPT đã cho về dạng P t⇔ ( ) 0 + Đặt > ,trong đó P(t) là một đa thức theo t. bptmuτ 4 + BPT P t > là một BPT đại số với ẩn mới là t. f x ( ) t a= + BPT ( ) 0 + Giải BPT này tìm miền nghiệm t rồi thay ta sẽ được một BPT cơ bản hoặc một BPT đơn giản f x
( ) P a
( hơn. < (hoặc
) 0 f x
( ) P a
( ≤ ).
) 0 t a = > f x
( ) (
t 0) + Đưa BPT đã cho về dạng P t⇔ ( ) 0 . + Đặt ≤ ,trong đó P(t) là một đa thức theo t. bptmuτ 5 + BPT P t ≤ là một BPT đại số với ẩn mới là t. f x ( ) t a= + BPT ( ) 0 + Giải BPT này tìm miền nghiệm t rồi thay ta sẽ được một BPT cơ bản hoặc một BPT đơn giản f x
2 ( ) b hơn. 2. f x
( ) f x
( ) + Chia 2 vế cho ,ta được f x
( ) + + <
γ α
. b
. 0 a
b a
b
bptmuτ 6 t 2
t
α bγ+ + <
0 t t = > , 0 + Đặt a
b
f x
( ) + BPT đã cho trở thành: t + Giải BPT bậc hai này tìm miền nghiệm a
b
=
thế vào ta sẽ được một BPT cơ bản hoặc BPT đơn giản hơn. x y a= (C) 36 y bx c = = + f x
( ) (d) và đồ thị hàm số + Vẽ đồ thị hàm số là một đường thẳng trên cùng hệ trục tọa độ Oxy. bptmuτ + Đồ thị hai hàm số (C) và (d) cắt nhau tại một điểm 7 duy nhất có hoành độ x0. x x x x > < ≥ ≤ ( ) + Từ đó dựa vào đồ thị rút ra nhận xét khi 0 x x
,
0 x x
,
0 0 thì (C) và (d) như thế nào với nhau. + Kết luận tập nghiệm của bất phương trình. x a a x R a
> ≠
, 1, 0, > ∀ ∈ . + Sử dụng tính chất của hàm số mũ: Với y a = > ≠ x
a a
( 0, 1) + Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm sốmũ 1a > hàm số luôn đồng biến. 1a< < hàm số luôn nghịch biến. . Khi bptmuθ 1 Khi 0 y a = > log x a
( 0, 1) ≠ . Khi 1a > hàm số luôn đồng a 1a< < hàm số luôn nghịch biến. + Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số logarit a b
, a>
0, biến. Khi 0 ≠ .Ta
1 loga b a b= . + Sử dụng tính chất của logarit: với có y a = > ≠ x
a a
( 0, 1) Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ bptmuθ 2 Công nghệ- . 1a > hàm số luôn đồng biến. 1a< < hàm số luôn nghịch biến. lýthuyết + Khi + Khi 0 y a = > ≠ x
a a
( 0, 1) Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ bptmuθ 3 1a > hàm số luôn đồng biến.. . 1a< < hàm số luôn nghịch biến. + Khi + Khi 0 x y a x R a = > 0 (0 1 , < ≠ ∀ ∈ .
) 37 + Hàm số mũ y a = > ≠ x
a a
( 0, 1) + Tính chất song ánh của hàm số mũ R + . bptmuθ 4 từ R y a = > ≠ x
a a
( 0, 1) + Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ 1a > hàm số luôn đồng biến. .Khi 1a< < hàm số luôn nghịch biến. x y a x R a = > 0 (0 1 , < ≠ ∀ ∈ .
) Khi 0 + Hàm số mũ y a = > ≠ x
a a
( 0, 1) + Tính chất song ánh của hàm số mũ R + . bptmuθ 5 từ R y a = > ≠ x
a a
( 0, 1) + Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ 1a > hàm số luôn đồng biến. .Khi 1a< < hàm số luôn nghịch biến. x y a x R a = > 0 (0 1 , Khi 0 < ≠ ∀ ∈ .
) + Hàm số mũ y a = > ≠ x
a a
( 0, 1) + Tính chất song ánh của hàm số mũ R + . bptmuθ 6 từ R y a = > ≠ x
a a
( 0, 1) + Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ 1a > hàm số luôn đồng biến. 1a< < hàm số luôn nghịch biến. .Khi Khi 0 bptmuθ 7 > f x
( ) g x
( ) . + Sự tương giao của hai đường cong. + Miền nghiệm của BPT Bảng 1.2. Thống kê bài tập ứng với mỗi KNV về BPT mũ Sách giáo khoa Sách bài tập Tổ chức toán học Tổng Ví dụ Bài tập Ví dụ Bài tập (hoạt động) bptmu 38 bptmuθ , bptmuτ , 1
, 1 bptmuΘ
1 bptmu 4 4 0 0 0 ] [T1 bptmuθ , bptmuτ ,
, 2 2 bptmuΘ
2 bptmu 6 1 1 1 3 ] [T2 bptmuθ , bptmuτ ,
, 3 3 bptmuΘ
3 bptmu 4 0 2 0 2 ] [T3 bptmuθ , bptmuτ ,
, 4 4 bptmuΘ
4 bptmu 2 0 1 1 0 ] [T4 bptmuθ , bptmuτ ,
, 5 5 bptmuΘ
5 bptmu 3 1 0 1 1 ] [T5 bptmuθ , bptmuτ ,
, 6 6 bptmuΘ
6 bptmu 1 1 0 0 0 ] [T6 bptmuθ , bptmuτ ,
, 7 7 bptmuΘ
7 4 1 0 1 2 ] [T7 bptmu giải Tổng 8 4 4 8 24 bptmu,T3 Qua bảng thống kê trên chúng tôi nhận thấy: Các kiểu nhiệm vụ T2 BPT mũ đơn giản bằng phương pháp đưa về cùng cơ số chiếm số lượng nhiều nhất (10/24).Điều này chứng tỏ chương trình cơ bản mong muốn HS biết cách giải BPT bằng phương pháp biến đổi BPT đơn giản về cùng cơ số và đây cũng là phương pháp quan trọng để giải BPT mũ mà HS có thể gặp phải các sai lầm liên quan đến cơ số trong khi giải BPT mũ. Bảng 1.3. Thống kê các TCTH liên quan đến PT mũ Các thành phần của Kí hiệu Nội dung xa b= TCTH ptmu a a>
0, ≠ .
1 Giải phương trình mũ cơ bản có dạng T1 với f x g x ( ) ( ) a a a= a>
0, 1 Giải phương trình mũ đơn giản có dạng ≠ bằng phương pháp ptmu với T2 Kiểu đưa về cùng cơ số. nhiệm ptmu f x ( ) = .
0 (
P a vụ T3 ẩn phụ có dạng Giải phương trình mũ đơn giản bằng cách đặt
) 39 f x g x ( ) ( ) a b a > b= 0, 1 Giải phương trình mũ đơn giản có dạng: ≠ bằng phương pháp ptmu với T4 logarit hóa. ptmu xa bx c = + bằng phương pháp đồ thị. Giải phương trình mũ đơn giản có dạng T5 ptmu Giải phương trình mũ đơn giản bằng cách áp T6 dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ. + Điều kiện cho PT (nếu có). =xa b . logτptmu 1. CC =xa b + Biến đổi, đưa PT đã cho về các dạng + Lấy logarit cơ số a hai vế của PT x b . log= a được PT =xa b . loga b a + Biến đổi, đưa PT đã cho về các dạng ptmuτ 1.τptmu 1 log a b MuLog = xa a . + Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ đưa log a b = x log= b . xa a + Biến đổi b thành đưa PT đã cho về a về PT Kỹ thuật + Điều kiện xác định PT (nếu có). =xa b . 1.τptmu MuHuuTi n b a= + Biến đổi, đưa PT đã cho về các dạng n =x a , PT đã cho + Tìm số hữu tỉ n thỏa a và =x n . thành f x g x ( ) ( ) a a a= a>
0, + Đưa phương trình về cùng cơ số dạng ≠ .
1 ptmuτ 2 = f x
( ) g x
( ) với f x ( ) + Giải phương trình . = .
0 (
P a ) ptmuτ 3 t a = > f x
( ) (
t 0) + Đưa PT đã cho về dạng + Đặt . 40 P t = là một PT + Đưa PT đã cho về PT ( ) 0 đại số với ẩn mới là t. f x ( ) t a= + Giải BPT này tìm miền nghiệm t rồi thay ta sẽ được một BPT cơ bản hoặc một BPT đơn giản hơn. m a= b ( )
m g x
. ( )
f x + Tìm điều kiện xác định hai vế PT (nếu có). a= a 4.τptmu MuHuuTi . cho về và . + Tìm số hữu tỉ m sao cho
, đưa PT đã
( )
( )
=
f x m g x ( )
( )
=
f x m g x . + Giải PT , đối chiếu điều ptmuτ 4 kiện và kết luận nghiệm của PT đã cho. + Đặt điều kiện cho PT (nếu có). + Lấy logarit cơ số (hoặc cơ số b) hai vế ( )
g x ( )
* CCLog ptmu
τ
4. a ( )
f x
𝑎 = .log b . PT chuyển về dạng + Giải PT (*), đối chiếu điều kiện và kết luận x y a= (C) nghiệm PT. y bx c = = + f x
( ) (d) và đồ thị hàm + Vẽ đồ thị hàm số số là một đường thẳng trên cùng hệ trục tọa độ ) Oxy + Đồ thị hai hàm số (C) và (d) cắt nhau tại ptmuτ 5 x x= một điểm duy nhất có hoành độ x0. 0 thỏa mãn PT đã cho. + Kiểm tra giá trị x x= + Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số 0 x x= chứng minh là nghiệm duy nhất. 0 x t a= là nghiệm của PT đã cho. + Kết luận ptmuτ 6 + Đặt
, đưa PT về dạng PT đa thức
f x t = theo ẩn t và xem x như là tham số,
( , ) 0 rồi tính t theo x hay sử dụng phương pháp 41 phân tích thành nhân tử đưa PT ban đầu về f x h x = , từ đó ta thu được PT
( ). ( ) 0 xa nx p = + (1) dạng trong đó hàm số ở một vế là đồng biến và hàm số ở vế còn lại nghịch biến. 0x là nghiệm của (1) và chứng minh + Chọn nghiệm đó là duy nhất. + Tính biến thiên của hàm số logarit; tính CCLogθ ptmu
1. chất của logarit. + Tính chất liên quan đến tập nghiệm của hai PT tương đương. + Định nghĩa trực tiếp khái niệm logarit. 1a ≠ . Số α thỏa bα = được gọi là logarit cơ số a của b “Cho hai số dương a, b với ptmuθ 1 MuLogθ ptmu
1. mãn a α= bα
a
⇔ = và kí hiệu là loga b ( loga b )”[M1,tr.62] x y a= ptmu
θ
MuHuuTi
1. x y a= Công . + Tính đơn điệu của hàm số mũ nghệ-lý + Tính chất lũy thừa với mũ số thực, phép thuyết biến đổi tương đương PT. M N a a M N a = ⇔ = a>
0, + Tính đơn điệu của hàm số mũ . ≠ .
1 ptmuθ 2 x y a x R a = > 0 (0 1 , < ≠ ∀ ∈ .
) với + Hàm số mũ ptmuθ 3 y a = > ≠ x
a a
( 0, 1) + Tính chất song ánh của hàm số mũ R + . từ R + Định nghĩa logarit. ptmuθ MuHuuTi 4 ptmu
θ
4. x y a= + Tính chất lũy thừa với mũ số thực, tính biến thiên của hàm mũ . 42 + Phép biến đổi tương đương hai PT đại số. + Điều kiện xác định cho các biểu thức đại CCLogθ ptmu
4. số, các tính chất của logarit. + Các kĩ thuật giải PT đại số. + Sự tương giao của hai đường cong. ptmuθ 5 + Giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của x y a a a x R = > > ≠ ∀ ∈ 0 ( 0, 1, ) phương trình hoành độ giao điểm. + Hàm số mũ . ptmuθ 6 + Tính chất đơn điệu của hàm số mũ. + Tính chất đơn điệu của hàm số trên khoảng K. + Sự tương giao đồ thị của hai hàm số. Chúng tôi nhận thấy SGK không nêu khái niệm BPT logarit mà chỉ nêu các dạng của BPT logarit cơ bản và liệu rằng đó có phải là nguyên nhân gây ra các sai lầm ở HS khi giải BPT logarit hay không? “SGK không nêu khái niệm bất phương trình mũ và bất phương trình logarit.Ta hiểu đó là các bất phương trình có chứa ẩn ở số mũ của lũy thừa hoặc trong biểu thức lấy logarit.” b> (hoặc [G1, tr.97] x x x b ≥ < ≤ log b
,log b
,log ) a a>
0, “Bất phương trình logarit cơ bản có dạng loga x ≠ .”
1 a a a với b> như sau: [M1, tr.85] b> . Tiếp theo M1 đưa ra kỹ thuật giải cho BPT logarit cơ bản dạng loga x b “Xét bất phương trình loga x 1a > ,ta có log a x b b x a > ⇔ > Trường hợp . 1a< < ,ta có log a x b x a > ⇔ < <
0 ” Trường hợp 0 43 [M1, tr.87,88] 7 a x x x > ⇔ > ⇔ > ) log 7 2 128 2 3 b x x x > ⇔ > ⇔ < < ) log 3 0 1
8 1
2
1
2 Ví dụ 4 [M1, tr.88] x x x ≥ < b
,log b
,log b
≤ . Chúng tôi nhận thấy M1 không đưa ra kỹ thuật giải cũng như ví dụ cho các a a a BPT logarit cơ bản dạng: log b> . Tiếp theo M1 đã minh họa bằng đồ thị để giúp HS hình dung một cách trực quan tập nghiệm của BPT logarit cơ bản dạng loga x y x = log a a > 1) ( y y ab O 1 ab O x 1 x y x = log a
a
< < 1) y = b b b y = b (0 Hình 1.7 Hình 1.6 b a x b > x a> Quan sát đồ thị,ta thấy: > khi và chỉ khi 1: loga b x b a
< < a x
< < > khi và chỉ khi 0 Trường hợp . 1: loga b> được cho trong bảng sau: . Trường hợp 0 0 1a > 1a< < b> loga x Kết luận:Nghiệm của bất phương trình loga x b b x a a> x
< < 0 44 Nghiệm [M1, tr.88] Cách tiếp cận này được sách giáo viên giải thích: Cũng như đối với các phương trình ở bài 5, khi giải các bất phương trình mũ và bất phương trình logarit cơ bản, SGK chú trọng đến việc minh họa bằng đồ thị. Lí do là phương pháp đồ thị giúp học sinh hình dung một cách trực quan tập hợp nghiệm của bất phương trình và biểu diễn tập nghiệm đó trên trục số. Ngoài ra, qua đồ thị, học sinh nắm vững được các trường hợp bất phương trình luôn nghiệm đúng hoặc vô nghiệm mà không cần ghi nhớ một cách máy móc các kết quả trong bảng. [G1, tr.97;98] Như vậy với PT, BPT mũ và logarit cơ bảnthì M1 đều có minh họahình ảnh trực quan bằng đồ thị về nghiệm và tập nghiệm của PT, BPT.Hơn nữa chúng tôi thấy chỉ có một dạng BPT logarit cơ bản với dấu “ > ” được giới thiệu và minh họa miền nghiệm bằng đồ thị, M1 không có giới thiệu và minh họa miền nghiệm bằng đồ thị đối với các BPT logarit cơ bản với dấu “<, , ” mà thay vào đó là hoạt động 3. x x x ≥ < log b
,log b
,log b
≤ .” a a a “Hoạt động 3.Hãy lập bảng tương tự cho các bất phương trình ≤ ≥ [M1, tr.88] Đáp án của hoạt động 3: 0 1a > 1a< < b≥ loga x Từ đồ thị ở hai hình 43 và 44 của SGK,ta có bảng sau đây. +∞ ) (0; ;ba
ba Tập nghiệm 0 1a > 1a< < b< loga x Từ đồ thị ta có hai bảng sau đây: ba 0; ( ) ( )
;ba +∞ Tập nghiệm 0 1a > 1a< < b≤ loga x 45 +∞ (0; )
ba ;ba
Tập nghiệm b> hoàn Ta nhận thấy cấu trúc trình bày BPT logarit là đưa ra các dạng BPT logarit cơ bản, b= , nó công thức nghiệm, minh họa bằng đồ thị BPT logarit cơ bản dạng loga x toàn tương tự như cấu trúc trình bày đối với PT logarit cơ bản dạng loga x được xác định qua dấu hiệu có tính hình thức mà ở đó ta chỉ việc thay dấu “=” trong PT logarit cơ bản thành dấu “>” (hoặc dấu “<, ≤, ≥) thì ta có dạng BPT logarit cơ bản và M1 không nêu khái niệm BPT logarit mà chỉ trình bày các dạng của BPT logarit cơ bản. Để rèn luyện kĩ năng cho HS G1 đã đưa ra yêu cầu: “Sau hoạt động 3 nên yêu cầu học sinh giải cụ thể một vài bất phương trình logarit cơ bản để rèn luyện kĩ năng. [G1, tr.98] Đối với BPT logarit đơn giản thì M1 đưa vào hai ví dụ và hoạt động 2 để minh họa về dạng và phương pháp giải đối với BPT logarit đơn giản. Dưới đây là một số ví dụ về BPT mũ đơn giản như sau: 2 x x x + < + + log 5 10 log 6 8 Ta xét một số ví dụ về bất phương trình logarit đơn giản. 0,5 0,5 ( ) ( ) Ví dụ 5.Giải bất phương trình . x x ⇔ x
⇔ > − 2 x > −
2
x x 5
2
+ >
+
10 0
x
+ > < − ∨ > − 6 8 0 4 2
Giải.Điều kiện của bất phương trình đã cho là 2 x x x + > + 5 10 6 +
8 Vì cơ số 0,5 bé hơn 1 nên với điều kiện đó,bất phương trình đã cho tương 2 x x x 2 0 2 ⇔ + − < ⇔ − < <
1 đương với bất phương trình )2;1− . Kết hợp với điều kiện,ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
khoảng ( x x − + − log 3 log 2 46 ≤ .
1 2 2 ( ) ( ) Ví dụ 6.Giải bất phương trình 3x > .Khi đó bất phương trình đã x x − − ≤ log 3 2 Giải.Điều kiện của bất phương trình là 2 log 2
2 ( )( )
x x − − 3 2 ≤ .
2 cho tương đương với . )( ) 4 3x > Vì cơ số 2 lớn hơn 1 nên ( x≤ ≤ .Kết hợp với điều kiện 4 Giải bất phương trình này,ta tìm được 1 x< ≤ . ,ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là 3 [M1, tr.89] Chúng tôi nhận thấy rằng với cách trình bày của M1 là cho 2 ví dụ để minh họa không đưa ra được các phương pháp giải BPT logarit cụ thể như: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụvà liệu đó có phải là nguyên nhân gây khó khăn cho việc dạycủa GV, việc học của HS như khi các em giải các bài tập BPT logarit tương tự thì các em không biết biến đổi như thế nào và phải bắt đầu từ đâu nên HS thường gặp các sai lầm và cho kết quả sai. Tiếp theo,M1 đưa vào hoạt động 4 với mục đích củng cố và rèn luyện cho HSvề x x + > 3 phương pháp giải BPT logarit đơn giản sau khi các em làm 2 ví dụ ở trên. ) )
+ .”
1 (
log 2
1
2 (
log 3
1
2 “Hoạt động 4.Giải bất phương trình [M1, tr.89] 1
2 x x > − ⇔ x
⇔ > 2 2
x
+ < + >
3 0
x
+ 2 3 3 1
x > 3
2
2
nhỏ hơn 1 nên BPT đã cho tương đương với hệ Đáp án của hoạt động 4:Vì cơ số Vậy chúng tôi nhận thấy rằng đối với BPT logarit đơn giản thì M1 chỉ đưa ra 2 ví dụ cùng với lời giải cho 2 ví dụ này mà không có một dạng hay một phương pháp cụ thể để giải BPT logarit đơn giản.Với cách trình bày như vậy liệu có ảnh hưởng gì cho GV và HS khi dạy và học đối với nội dung này hay không? Do đó, liệu có cần một sự điều chỉnh về cách trình bày để việcdạyvà học nội dung này đạt được kết quả tốt hơn và các em HS có thể tự tin hơn khi giải các bài tập dạng này hay không? 47 Trong phần này chúng tôi sẽ phân tích các TCTH liên quan đến đối tượng BPT logarit cơ bản và BPT logarit đơn giản. Bên cạnh đó chúng tôi cũng phân tích các TCTH liên quan đến PT logarit cơ bản và PT logarit đơn giản để làm cơ sở tham chiếu so sánh giữa hai đối tượng BPT logarit với PT logarit tương ứng. x x x b ≥ < ≤ b
,log b
,log ) a a>
0, b> (hoặc log a. - Kiểu nhiệm vụ T1 ≠ .
1 loga x a a a với 7 a x x x > ⇔ > ⇔ > ) log 2 7 128 2 3 b x x x > ⇔ > ⇔ < < ) log 3 0 1
2 1
8
1
2 Ví dụ 4 [M1.tr88] Qua ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ để giải log thích cho kĩ thuật đó như sau: bptτ
1 b : - Kỹ thuật . a b b a = log + Biến đổi . a a b b x a > log + BPT đã cho trở thành log 1a > , log . a a b b x a a > x
⇔ > log + Khi 1a< < , log . a a log x a x a > log ⇔ < <
0 + Khi 0 bptθ : 1 - Công nghệ α α=
b , a a a > a b
, 0 ; ≠ .
1 y a = > log x a
( 0, 1) b log + Sử dụng tính chất logarit của một lũy thừa: với mọi α, ta có log ≠ luôn xác a 1a > hàm số luôn đồng biến.Khi 0 1a< < hàm số luôn nghịch + Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số logarit )
0; +∞ .Khi định trên ( biến. Tiếp theo chúng tôi phân tích KNV liên quan giải PT logarit cơ bản với mong muốn thấy được sự tương đồng với KNV giải BPT logarit cơ bản như sau: 48 a a>
0, b= với ≠ .
1 loga x log - Kiểu nhiệm vụ T1 3 1
x = .
4 1
4 x x x = ⇔ = ⇔ = log 3 x > ,
0 “Hoạt động 1.Tìm x, biết 3 1
4 1
81 x = Giải.Điều kiện 1
81 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là ” [M1,tr.81] b log Từ ví dụ này chúng tôi đưa ra kỹ thuật giải như sau: ptτ :PT log 1a< ≠ . a x 1 log ptθ : Định nghĩa logarit cơ số a của b: b x a = ⇔ = , với 0 - Kỹ thuật 1 - Công nghệ 1a ≠ số αthỏa mãn đẳng thức a bα = được gọi là Cho hai số dương a,b với α= bα
a
⇔ = ). logarit cơ số a của b và kí hiệu là loga b . ( loga b [M1,tr.62] Chúng tôi thấy rằng kỹ thuật giải giữa hai KNV giải PT và BPT logarit cơ bản có sự tương tự chỉ khác nhau về mặt hình thức khi thay dấu “ = ”của PT thành dấu “>,<, ≥, ≤” để được BPT tương ứng và đối với BPT cần lưu ý đến cơ số vì hàm số logarit là hàm số đơn điệu để kết luận đúng tập nghiệm của BPT đã cho. Và liệu đó < ≠
a x b > ⇔ > b
x 1 , log có phải là nguyên nhân gây ra các sai lầm của HS hay không? Và sai lầm này xảy ra a . a 1a > và nó có thể do HS áp dụng qui tắc hành động sau: Với cơ số 0 Chúng tôi nhận thấy rằng qui tắc hành động này chỉ hợp thức khi cơ số không hợp thức khi cơ số 0 < log f x
( ) log g x
( ) a a>
0, 1 b. - Kiểu nhiệm vụ T2 ≠ .(phương pháp đưa về cùng một cơ số). a a 2 x x x + < + + log 5 10 log 6 8 với 0,5 0,5 ( ) ( ) Ví dụ.Giải bất phương trình: . Bài giải. Điều kiện của bất phương trình đã cho là x x ⇔ x
⇔ > − 2 x > −
2
x x 5
2
+ >
+
10 0
x
+ > < − ∨ > − 6 8 0 4 2
49 2 x x x + > + 5 10 6 +
8 Vì cơ số 0,5 bé hơn 1 nên với điều kiện đó,bất phương trình đã cho tương 2 x x x 2 0 2 ⇔ + − < ⇔ − < <
1 đương với bất phương trình )2;1− Kết hợp với điều kiện,ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
khoảng ( [M1,tr.89] Qua ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích log cho kĩ thuật đó như sau: bptτ
2 : - Kỹ thuật < f x
( ) log g x
( ) + Tìm điều kiện của BPT. a a a > < ⇔ < 1,log f x
( ) log g x
( ) f x
( ) g x
( ) +Biến đổi BPT về dạng log a a a
< < < ⇔ > 1,log f x
( ) log g x
( ) f x
( ) g x
( ) . + Với a a < > g x
( ) f x
( ) g x
( ) + Với 0 . (hoặc ) kết hợp với điều kiện để đi đến kết luận + Giải BPT ( )
f x log bptθ :Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số logarit tập nghiệm của BPT. 2 y a = > log x a
( 0, 1) ≠ .Khi 1a > hàm số luôn đồng biến. Khi 0 1a< < hàm số a - Công nghệ < f x
( ) log g x
( ) luôn nghịch biến. a a Từ kỹ thuật giải BPT logarit đơn giản có dạng log bằng phương ≤ f x
( ) log g x
( ) pháp đưa về cùng cơ số ta có thể suy ra kỹ thuật giải tương tự đối với các BPT a a bptlogđã sử dụng chiến lược giải là đưa về cùng cơ số.Đây là logarit có dạng log bằng phương pháp đưa về cùng cơ số. Với kiểu nhiệm vụ T2 phương pháp cơ bản để giải BPT dạng này và trước khi giải nên đặt điều kiện để BPT có nghĩa rồi đi đến biến đổi. Cần chú ý chúng ta hay nhầm lẫn trong biến đổi có sử dụng các nhóm công thức 50 = + ) log log sau: log (
a a a b b
.
1
2 b
1 b
2 = − log log log a a a b
1 b
2 b
1
b
2 k 2 b b k Z b+ = ∈ log k
2 log , , ≠
0 a a Tiếp theo chúng tôi phân tích KNV giải PT logarit đơn giản bằng phương pháp đưa về cùng cơ số với mong muốn thấy được sự tương đồng với KNV giải BPT logarit đơn giản. = log f x
( ) log g x
( ) a a>
0, 1 - Kiểu nhiệm vụ T2 ≠ .(phương pháp đưa về cùng một cơ số). a a x x x + + = log log log 11 với 3 9 27 Ví dụ 5.Giải phương trình . x x x + + = log log log 11 3 3
3 x x x x ⇔ + + = log log log = ⇔
11 log 6 3 3 3 3 2
3
1
2 1
3 x = = 63 729 Giải.Đưa các số hạng ở vế trái về cùng cơ số 3, ta được Vậy [M1,tr.83] x x + = 3) Bài 2.Giải các phương trình logarit: +
5) log (5
3 log (7
3 x > − ⇔ x
⇔ > − a) 3
5 x
x + >
+ > 5
7 3 0
5 0
3
5
5
7
> −
x
x x x x + = 3) + ⇔ + =
5 3 7 5) 5 x
+ ⇔ = −
1 log (5
3 log (7
3 x > − phương trình đã cho vô nghiệm. Giải.Điều kiện 3
5 Kết hợp với điều kiện [M1,tr.84] Qua ví dụ và bài tập trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích cho kĩ thuật đó như sau: log ptτ : 51 2 - Kỹ thuật = f x
( ) log g x
( ) + Tìm điều kiện của PT. a a = g x
( ) +Đưa PT về dạng log . + Giải PT ( )
f x . log a a M > ≠ > = N M N
⇔ = 0, 1 ; M N
, 0 ; log log ptθ :Với . + Kết hợp với điều kiện để đi đến kết luận tập nghiệm của PT. a a 2 - Công nghệ Chúng tôi thấy rằng kỹ thuật giải giữa hai KNV giải PT và BPT logarit đơn giản bằng phương pháp đưa về cùng cơ số có sự tương tự nhau chỉ khác nhau về mặt hình thức khi thay dấu “ = ”của PT thành dấu “>, <, ≥, ≤” để được BPT tương ứng nhưng đối với BPT cần lưu ý đến cơ số vì hàm số logarit là hàm số đơn điệu để kết luận đúng tập nghiệm của BPT đã cho. Với kỹ thuật giải tương tự như vậy liệu rằng nó có gây ra nhầm lẫn và dẫn đến các sai lầm khi HS giải các bài tập về BPT logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số hay không.Và sai lầm này xảy ra có thể do HS > ⇔ > 0 < ≠
a 1 , log f x
( ) log g x
( ) f x
( ) g x . Chúng tôi nhận thấy rằng qui tắc hành
( ) a a áp dụng qui tắc hành động sau: Với cơ số 1a > và nó không hợp thức khi cơ số 0 1a< < dẫn động này chỉ hợp thức khi cơ số M > N M N
⇔ > log 1a > , log đến sai lầm. a a M > N M N
⇔ < log 1a< < , log . + Tính chất đơn điệu của hàm số logarit: Khi cơ số a a M = N M N
⇔ = log a a>
0, +Khi cơ số 0 ≠ .
1 a a + Tính chất đơn ánh của hàm số logarit: log với P (log a a>
0, f x < ,với
( )) 0 ≠
1 c. - Kiểu nhiệm vụ T3 a phương pháp đặt ẩn phụ có dạng: 2 c x x − ) log 5log < −
6 0,2 0,2 Ví dụ 2.Giải các bất phương trình logarit sau: Bài giải x > ,đặt
0 0,2 t t 2 5
t
− 6 0 2 + < ⇔ < <
3 t x = log ,ta có bất phương trình c)Với điều kiện 52 <
2 log 3x < hay 0,2 0,2 0,2 0.2 x > x< < 0 0, 04 x < log <
0,04 log log 0,008 Suy ra . Vì cơ số 0,2 nhỏ hơn 1 nên ta có 0, 008 (thỏa mãn điều kiện ). [E1,tr.105] Qua ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích log cho kĩ thuật đó như sau: bptτ
3 : - Kỹ thuật f x > ,giải tìm điều kiện của x.
( ) 0 P (log f x < .
( )) 0 + Đặt điều kiện a t = log f x
( ) +Đưa BPT đã cho về dạng a ( ) 0 . + Đặt P t < ,trong đó ( )P t là một đa thức theo t. + BPT tương đương với P t < là một BPT đại số với ẩn mới là t. t = log f x
( ) + BPT ( ) 0 a log bptθ : ta được một BPT cơ bản. + Giải BPT này tìm miền nghiệm t rồi thay 3 y x a = log (0 1) - Công nghệ a )
0; +∞ . < ≠ luôn xác định trên ( + Tính chất của hàm số + Tính chất đơn điệu của hàm số logarit. + Tính chất song ánh của hàm số logarit. P (log a a>
0, d. - Kiểu nhiệm vụ T4 f x ≤ ,với
( )) 0 ≠ .
1 a phương pháp đặt ẩn phụ có dạng: Bài 2 .Giải các bất phương trình logarit sau: 3 2
3 d x x − / log 5log + ≤
6 0 t x = log 0 Bài giải x > ,ta đặt 3 t t 2 5
t
− 6 0 2 + ≤ ⇔ ≤ ≤
3 d/Với điều kiện ,ta có bất phương trình: x⇔ ≤ ≤
9 27 3 2
log 3
3 3 3
log 3
3 x x ≤ ≤ ≤
2 log ≤ ⇔
3 log Suy ra 53 [M1,tr.90] Qua bài tập trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải log thích cho kĩ thuật đó như sau: bptτ
4 : - Kỹ thuật f x > giải tìm điều kiện x.
( ) 0 P (log f x ≤ .
( )) 0 + Đặt điều kiện a t = log f x
( ) +Đưa BPT đã cho về dạng a ( ) 0 . + Đặt P t ≤ ,trong đó ( )P t là một đa thức theo t. + BPT trở thành P t ≤ là một BPT đại số với ẩn mới là t. t = log f x
( ) + BPT ( ) 0 a ta được một bất phương + Giải BPT này tìm miền nghiệm t rồi thay log bptθ : trình cơ bản . 4 y a = > log x a
( 0, - Công nghệ a ≠ luôn xác định trên (
1) )
0; +∞ . + Tính chất của hàm số + Tính chất đơn điệu của hàm số logarit. P (log + Tính chất song ánh của hàm số logarit. f x < hoặc
( )) 0 a P (log a a>
0, 1 f x ≤ ,với
( )) 0 ≠ ta có thể suy ra kỹ thuật giải đối với các BPT có a P P (log (log f x > hoặc
( )) 0 f x ≥ một cách tương tự.
( )) 0 Với kỹ thuật giải các BPT logarit đơn giản dạng a a dạng Mục đích chính của phương pháp này là chuyển các bài toán đã cho về BPT đại số quen thuộc đặc biệt là các BPT bậc hai hoặc hệ BPT và đây cũng là một phương pháp rất hay dùng để giải BPT logarit. Tiếp theo chúng tôi phân tích KNV giải PT logarit đơn giản bằng phương pháp đặt ẩn phụ với mong muốn thấy được điểm tương đồng cũng như điểm khác biệt với KNV giải BPT logarit đơn giản. P (log a a>
0, - Kiểu nhiệm vụ T3 f x = ,với
( )) 0 ≠ .
1 a pháp đặt ẩn phụ có dạng: 54 2
2 2 t x = log 2 x x − log 3log 2 0 Hoạt động 5.Giải phương trình + = bằng cách đặt ẩn phụ Giải. x >
0 t x = log t + Điều kiện của phương trình + =
2 0 2 = =
2 t
+ Giải phương trình bậc hai theo t , ta được hai nghiệm 1 t
21 , = ⇔ = log 1 2 ; log 2 ,ta được phương trình: 2 3
t− + Đặt 2 x
1 x
1 x
2 2 x
= ⇔ =
4
2 Vậy + = 1 x x 1
−
5 log 2
+
1 log 5 1 x > , log
0 x ≠ và log x ≠ − . Ví dụ 6.Giải phương trình = 1 t t t = ≠ x
log 5, ≠ − , ta được phương trình Giải.Điều kiện của phương trình là ( )
1 t 1
− 2
+ 5 +
1t Đặt t t
+ + − + 1 t
− =
) (5 )(1 ) t
2 t t t ⇔ − + 2(5
2
t
= − + + ⇔ − + = 11 4 5 t
5 6 0 = 2, 3 = đều thỏa t
Giải phương trình bậc hai theo t, ta được hai nghiệm 1 t
2 t t≠
5, Từ đó ta có phương trình ≠ − .
1 x = = = x
100 , 1000 log 2 , log mãn điều kiện = nên
3 x
1 x
1 2 2 Vậy . [M1,tr.83] Qua hai ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải log ptτ : thích cho kĩ thuật đó như sau: 3 - Kỹ thuật f x > giải tìm điều kiện x. P (log f x = .
( )) 0 + Đặt điều kiện của PT là ( ) 0 a t = log f x
( ) +Đưa PT đã cho về dạng a ( ) 0 + Đặt P t = ,trong đó ( )P t là một đa thức theo t. + PT trở thành 55 P t = là một PT đại số với ẩn mới là t. t = log f x
( ) + PT ( ) 0 a ta được một phương trình cơ + Giải PT này tìm miền nghiệm t rồi thay bản rồi tìm x. log ptθ : + Kết hợp với điều kiện để kết luận nghiệm của PT đã cho. 3 y a = > log x a
( 0, - Công nghệ a ≠ luôn xác định trên (
1) )
0; +∞ . + Tính chất của hàm số + Tính chất đơn điệu của hàm số logarit. + Tính chất song ánh của hàm số logarit. bx c > a a>
0, + bằng phương pháp đồ thị với ≠ .
1 loga x - Kiểu nhiệm vụ T5 b x ) log x
> −
4 3 Ví dụ.Giải các bất phương trình sau bằng đồ thị. y x = log y x 4 Bài giải = − trên cùng một hệ 3 b)Vẽ đồ thị của hàm số và đường thẳng 3x = . trục tọa độ Oxy (H.1.8),ta thấy chúng cắt nhau tại điểm duy nhất có hoành y x = log y độ = −
x
4 3 3x > nằm phía trên đường thẳng Từ đồ thị ta thấy đường cong )
3; +∞ . khi
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là ( [E1,tr.10] y y x = log 3 4 1 4 y = 4 - x 56 x 3 O 1 Hình 1.8 Qua ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích log cho kĩ thuật đó như sau: bptτ
5 y x = bx c = : - Kỹ thuật + (d) trên cùng loga (C) và đồ thị hàm số y + Vẽ đồ thị của hai hàm số y x = hệ trục tọa độ Oxy. loga bx c = + Xác định hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số (C) và đồ thị hàm + (d). x x x x > < ≥ ≤ ( ) số y 0 x x
,
0 x x
,
0 0 thì (C) và (d) như + Dựa vào đồ thị rút ra nhận xét khi thế nào với nhau. log bptθ : + Kết luận tập nghiệm của bất phương trình. 5 bx = c
+ . - Công nghệ > f x
( ) g x
( ) + Giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của PT hoành độ giao điểm loga x . +Miền nghiệm của BPT Với kỹ thuật giải BPT logarit bằng phương pháp đồ thị sẽ giúp cho HS có một hình ảnh trực quan hơn về tập nghiệm của BPT logarit.Giải BPT bằng phương pháp đồ thị thường được thực hiện trên máy tính. Tiếp theo chúng tôi phân tích KNV giải PT logarit đơn giản bằng phương pháp đồ thị với mong muốn thấy được điểm tương đồng cũng như điểm khác biệt với KNV giải BPT logarit đơn giản cũng bằng phương pháp đồ thị như sau: bx c = a a>
0, + bằng phương pháp đồ thị với ≠ .
1 loga x - Kiểu nhiệm vụ T4 Bài 2.34.Giải các phương trình sau bằng phương pháp đồ thị: a x ) log x=
3 1
3 y x = log x= 3y 57 1
3 x = Giải.Vẽ đồ thị của hàm số và đường thẳng trên cùng hệ 1
3 trục tọa độ Oxy (H.1.9), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ y x = log x= 3y .Thử lại, ta thấy giá trị này thỏa mãn phương trình đã cho.Mặt khác, hàm số 1
x = là
3 1
3 luôn nghịch biến, hàm số luôn đồng biến.Vậy nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. y 3 1 1
3 1 x O y x = log 1
3 y
= Hình 1.9 [E1,tr.101] Qua ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích log ptτ : cho kĩ thuật đó như sau: 4 y x = bx c = - Kỹ thuật + (d) trên cùng hệ loga + Vẽ đồ thị của hai hàm số (C) và đồ thị hàm số y y x = bx c = + trục tọa độ Oxy. loga (C) và y + Xác định hoành độ giao điểm x0 của hai đồ thị hàm số (d). x x= + Đồ thị hai hàm số (C) và (d) cắt nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ x0. 0 thỏa mãn phương trình đã cho. + Kiểm tra giá trị x x= 58 0 x x= + Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số chứng minh là nghiệm duy nhất. 0 log ptθ : là nghiệm của phương trình đã cho. + Kết luận 4 bx = c
+ - Công nghệ y a = > ≠ 0, 1) + Giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của PT hoành độ giao điểm loga x a
log x (
a y a = > ≠ 0, 1) . +Tính chất của hàm sốlogarit a
log x (
a Bảng tóm tắc các tính chất của hàm số logarit ( )
0; +∞ y = ' Tập xác định x a 1
ln 1a > :hàm số luôn đồng biến; Đạo hàm 0 1a< < :hàm số luôn nghịch biến. Chiếu biến thiên Tiệm cận Trục Oy là tiệm cận đứng. Đồ thị luôn đi qua các điểm (1;0) và (a ;1) nằm Đồ thị phía bên phải trục tung. [M1,tr.76] = log g x
( ) a a>
0, 1 với ≠ bằng phương pháp mũ hóa. a f x
( ) x - Kiểu nhiệm vụ T5 2 x−
Giải.Điều kiện của phương trình là 5 2 > .
0 Theo định nghĩa, phương trình đã cho tương đương với phương trình x ) x −
log (5 2
2 2 −=
2
2 . (Phép biến đổi này thường được gọi là mũ hóa).Từ đó ta có x x x 2 = ⇔ − −
5 2 2 5.2 + =
4 0 4
x
2 t = > x
t
2 ( 0) t 4 0 Đặt , ta có phương trình bậc hai 2 5
t− + = với hai nghiệm dương t x x = t=
1, 4 0, = .Vậy nghiệm của phương trình đã cho là = .
2 [M1,tr.84] x −
log (5 2 ) 2 = − . Ví dụ 7.Giải phương trình 59 Qua ví dụ trên chúng tôi rút ra kĩ thuật giải quyết KNV này và công nghệ giải thích log ptτ : cho kĩ thuật đó như sau: 5 +Tìm điều kiện của PT. log g x
( ) g x
( ) a f x
( ) a a a = ⇔ = ⇔ = log g x
( ) f x
( ) +PT a f x
( ) g x
( ) a= f x
( ) +Giải PTmũ . +Kết hợp với điều kiện để đi kết luận nghiệm của PT. log ptθ : - Kỹ thuật 5 loga b a a b
, a>
0; 1 ≠ ta có b= . - Công nghệ N a M N a = ⇔ = a>
0, + M
a + Tính chất: Với ≠ .
1 với - Kiểu nhiệm vụ T6 dụng tính chất đơn điệu của hàm số logarit. 2 a x x b x x x
− − x
+ = + + + = ) log ) log( 6) log( 2) 4 ) log (1 2 3 Giải a) Điều kiện để phương trình có nghĩa là 2 Ví dụ 7.Giải các phương trình logarit sau: . Với 3x > phương trình đã cho tương đương với 2 x 6 2 x x x x
− − + x
= − ⇔ − log( 2) 4 log log 6 = −
4 x
− −
x
+
2 x x ⇔ − (
log( )
= −
3) 4 (1) g x x x = − ( ) 4 f x
( ) log( 3) Ta có đồng biến khi 3x > , hàm số = − là hàm số nghịch 4 x = thỏa mãn (1). biến. Mà 4 Vậy x = là nghiệm duy nhất của (1), tức là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. x > .
0 b) Điều kiện của phương trình là y x = log x = 3y Đặt , ta có . 3 Do đó, phương trình đã cho trở thành x x 3 x x 6 0 ⇔ x
⇔ > 3 − − >
x
+ > 2 0 < − ∨ >
2
x
> −
2
y y y y y + = ⇔ + = + 3 1 3 y
= ⇔
2 1. (2) log 1
2 ) ( 1
2 3
2
Ta thấy 2y = thỏa mãn phương trình (2). y y = f y
( ) Mặt khác, hàm số luôn nghịch biến trên R vì 1
2 3
2
+
y y = + < f y
'( ) ln ln 0 với mọi y thuộc R. 1
2 1
2 3
2 3
2
Do đó 2y = là nghiệm duy nhất của (2). x = 23 Khi đó, = .
9 [E1,tr.100] 60 log ptτ : Từ ví dụ này ta xác định được kỹ thuật giải là: 6 log ptτ : - Kỹ thuật 6.1 • Kỹ thuật + Đặt điều kiện cho phương trình. log ( ) (1) + Sử dụng các qui tắc tính logarit để đưa phương trình ban đầu về dạng a f x mx q
+
= , trong đó hàm số ở một vế là đồng biến và hàm số ở vế còn lại là nghịch biến. 0x là nghiệm và chứng minh nghiệm đó là duy nhất. log ptτ : + Chọn 6.2 • Kỹ thuật y y x = x a= . + Đặt điều kiện của phương trình. loga y x a= y= và + Đặt , ta có y y b c+ = 1 (2) . vào phương trình ban đầu sau đó biến đổi về dạng + Thay loga x 0x là nghiệm của (2). y y b c = + f y
( ) + Chọn là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến. + Chứng minh hàm số 0x là nghiệm duy nhất. + Khi đó 61 ptmuθ : 6 y a = > log x a
( 0, - Công nghệ a ≠ luôn xác định trên (
1) )
0; +∞ . + Tính chất của hàm số + Các qui tắc tính logarit. + Tính chất đơn điệu của hàm số logarit. + Định nghĩa logarit. + Sự tương giao đồ thị của hai hàm số. log + Tính chất đơn điệu của hàm số trên K. ptτ được sử dụng đối với các PT chứa tổng các hàm số logarit với một đa 6.1 ( ) Kỹ thuật + trong đó a f x mx q
= thức để biến đổi PT đã cho về PT có dạng đơn giản hơn log hai vế là hàm số có tính đơn điệu khác nhau, chỉ ra nghiệm và kết luận nghiệm đó là duy nhất. Nếu PT có nhiều hơn một nghiệm ta cần dựa vào bảng biến thiên để suy log x = f x
( ) log ra kết luận. ptτ được sử dụng đối với các PT có dạng log b a 6.2 y y y y c d = + f y
( ) c d+ 1 Kỹ thuật biến đổi đưa = trong đó vế trái PT ban đầu về dạng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến), chỉ ra nghiệm và kết luận nghiệm đó là duy nhất. Chúng tôi không tìm thấy ví dụ hoặc bài tập nào ứng với KNV giải BPT logarit đơn giản bằng phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ trong M1 và E1. Do đó không tồn tại KNV này ở BPT logarit đơn giản. Sau đây chúng tôi lập bảng thống kê các tổ chức toán học gắn liền với PT, BPT logarit và bảng thống kê các bài tập ứng với các KNV của PT, BPT mũ như sau: Bảng 1.4. Thống kê các TCTH liên quan đến BPT logarit Các thành Kí hiệu Nội dung 62 phần của bptlog: Giải bất phương trình logarit cơ TCTH b> (hoặc Kiểu nhiệm vụ T1 bptlog x x x b ≥ < ≤ log b
,log b
,log ) a a>
0, bản có dạng loga x T1 ≠ .
1 a a a với < log f x
( ) log g x
( ) a a>
0, 1 bptlog Giải bất phương trình logarit đơn giản có dạng ≠ bằng phương pháp a a với T2 đưa về cùng một cơ số. Kiểu nhiệm Giải bất phương trình logarit đơn giản bằng phương P (log a ≠ a>
0, 1 bptlog f x < ,với
( )) 0 a vụ pháp đặt ẩn phụ có dạng: T3 . bptlog Giải bất phương trình logarit đơn giản bằng phương P (log a a>
0, f x ≤ ,với
( )) 0 ≠ .
1 a T4 pháp đặt ẩn phụ có dạng: bptlog Giải bất phương trình logarit đơn giản có dạng bx c > a a>
0, + bằng phương pháp đồ thị với ≠ .
1 loga x b T5 . a b b a = log + Biến đổi . a a log bptτ
1 b b x a > log + BPT đã cho trở thành log 1a > , log . a a b b x a a > x
⇔ > log + Khi Kỹ thuật 1a< < , log . a a x a x a > log ⇔ < <
0 + Khi 0 < f x
( ) log g x
( ) + Tìm điều kiện của BPT. a a a > < ⇔ < 1,log f x
( ) log g x
( ) f x
( ) g x
( ) + Biến đổi BPT về dạng log a a log bptτ
2 a
< < < ⇔ > 1,log f x
( ) log g x
( ) f x
( ) g x
( ) . + Với a a < > f x
( ) g x
( ) f x
( ) g x
( ) . + Với 0 + Giải BPT (hoặc ) kết hợp với điều kiện để đi đến kết luận tập nghiệm của BPT. 63 f x > , giải tìm điều kiện của x.
( ) 0 P (log + Đặt điều kiện f x <
( )) 0 a t = log f x
( ) + Đưa BPT đã cho về dạng a ( ) 0 . + Đặt P t < , trong đó ( )P t là một log bptτ
3 + BPT tương đương với ( ) 0 đa thức theo t. P t < là một BPT đại số với ẩn mới là t. + BPT t = log f x
( ) + Giải BPT này tìm miền nghiệm t rồi thay a ta được một BPT cơ bản. f x > giải tìm điều kiện x.
( ) 0 P (log + Đặt điều kiện f x ≤ .
( )) 0 a t = log f x
( ) + Đưa BPT đã cho về dạng a ( ) 0 . + Đặt P t ≤ , trong đó ( )P t là một đa thức log bptτ
4 + BPT trở thành ( ) 0 theo t. P t ≤ là một BPT đại số với ẩn mới là t. + BPT t = log f x
( ) + Giải BPT này tìm miền nghiệm t rồi thay a y x = ta được một bất phương trình cơ bản . loga bx c = (C) và đồ thị hàm + Vẽ đồ thị của hai hàm số + (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy số y y x = bx c = + Xác định hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số + (d). loga log bptτ
5 (C) và đồ thị hàm số y x x x x > < ≥ ≤ ( ) + Dựa vào đồ thị rút ra nhận xét khi 0 x x
,
0 x x
,
0 0 thì (c) và (d) như thế nào với nhau. + Kết luận tập nghiệm của bất phương trình. 64 + Sử dụng tính chất logarit của một lũy thừa: với mọi α α=
b a > a b
, 0 ; , ≠ .
1 a a b log α, ta có log log bptθ 1 y a = > log x a
( 0, a ≠ luôn xác định trên (
1) )
0; +∞ . Khi 1a > hàm số luôn đồng biến. Khi 0 1a< < hàm số luôn + Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số logarit nghịch biến. log y a = > log x a
( 0, 1) ≠ .Khi 1a > hàm số luôn đồng bptθ a 2 Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số logarit 1a< < hàm số luôn nghịch biến. y x a = log (0 1) biến. Khi 0 < ≠ luôn xác a + Tính chất của hàm số Công nghệ- log )
0; +∞ . bptθ 3 lý thuyết định trên ( + Tính chất đơn điệu của hàm số logarit. y a = > log x a
( 0, 1) + Tính chất song ánh của hàm số logarit. ≠ luôn xác a log + Tính chất của hàm số )
0; +∞ . bptθ 4 định trên ( + Tính chất đơn điệu của hàm số logarit. + Tính chất song ánh của hàm số logarit. log bx = c
+ bptθ + Giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của PT hoành độ 5 > f x
( ) g x
( ) giao điểm loga x . +Miền nghiệm của BPT 65 Bảng 1.5. Thống kê bài tập ứng với mỗi KNV về BPT logarit Sách giáo khoa Sách bài tập log log log Tổng Tổ chức toán học Ví dụ Bài tập Ví dụ Bài tập (hoạt động) bptθ ,
, 1 bptΘ
1 bptτ
bptlog
,
1 log log log 2 2 0 0 0 ] [T1 bptθ ,
, bptΘ
2 bptτ
bptlog
,
2 2 log log log 12 3 3 2 4 ] [T2 bptθ ,
, bptΘ
3 3 bptτ
bptlog
,
3 log log log 2 0 0 1 1 ] [T3 bptθ ,
, bptΘ
4 4 bptτ
bptlog
,
4 log log log 2 0 1 0 1 ] [T4 bptθ ,
, bptΘ
5 bptτ
bptlog
,
5 5 4 1 0 1 2 ] [T5 Tổng 6 4 4 8 22
bptlog chiếm Qua bảng thống kê trên chúng tôi có nhận xét như sau:Kiểu nhiệm vụ T2 số lượng nhiều nhất (12/22).Điều đó chứng tỏ chương trình cũng mong muốn HS biết giải BPT logarit đơn giản bằng phương pháp đưa về cùng cơ số và đây cũng là phương pháp cơ bản và thường dùng khi giải một BPT logarit mà HS thường gặp phải sai lầm khi không quan tâm đến cơ số trong khi giải. Bảng 1.6. Thống kê các TCTH liên quan đến PT logarit Kí hiệu Nội dung b= Các thành
phần của
TCTH ptlog a a>
0, ≠ .
1 Giải phương trình logarit cơ bản có dạng loga x T1 với = log f x
( ) log g x
( ) a a>
0, 1 ptlog Giải phương trình logarit đơn giản có dạng ≠ .(phương pháp a a với T2 Kiểu nhiệm vụ đưa về cùng một cơ số). P (log ptlog Giải phương trình logarit đơn giản bằng phương f x = ,với
( )) 0 a a a>
0, ≠ .
1 pháp đặt ẩn phụ có dạng: T3 66 bx c = ptlog + bằng phương pháp đồ thị với Giải phương trình logarit đơn giản có dạng loga x a a>
0, ≠ .
1 T4 = log g x
( ) a a>
0, 1 ptlog với ≠ bằng phương pháp mũ Giải phương trình logarit đơn giản có dạng a f x
( ) T5 hóa. ptlog b log Giải phương trình logarit đơn giản bằng cách áp T6 dụng tính chất đơn điệu của hàm số logarit. ptτ 1a< ≠ . a x 1 b x a = ⇔ = PT log , với 0 = f x
( ) log g x
( ) + Tìm điều kiện của PT. a a log ptτ = g x
( ) 2 +Đưa PT về dạng log . + Giải PT ( )
f x . + Kết hợp với điều kiện để đi đến kết luận tập nghiệm của PT. f x > giải tìm điều + Đặt điều kiện của PT là ( ) 0 P (log kiện x. f x = .
( )) 0 a t = log f x
( ) + Đưa PT đã cho về dạng a ( ) 0 + Đặt P t = ,trong đó ( )P t là một đa log ptτ 3 + PT trở thành Kỹ thuật thức theo t. P t = là một PT đại số với ẩn mới là t. + PT ( ) 0 t = log f x
( ) + Giải PT này tìm miền nghiệm t rồi thay a ta được một phương trình cơ bản rồi tìm x. + Kết hợp với điều kiện để kết luận nghiệm của PT đã cho. y x = 67 loga bx c = + Vẽ đồ thị của hai hàm số (C) và đồ thị + (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy. hàm số y y x = bx c = + Xác định hoành độ giao điểm x0 của hai đồ thị + (d). loga (C) và y hàm số + Đồ thị hai hàm số (C) và (d) cắt nhau tại một log ptτ 4 x x= điểm duy nhất có hoành độ x0 0 thỏa mãn phương trình đã + Kiểm tra giá trị cho. x x= + Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số chứng 0 x x= là nghiệm duy nhất. minh 0 + Kết luận là nghiệm của phương trình đã +Tìm điều kiện của PT. log g x
( ) g x
( ) a f x
( ) a a a = ⇔ = ⇔ = log g x
( ) f x
( ) +PT a f x
( ) log ptτ 5 g x
( ) a= f x
( ) +Giải PTmũ . +Kết hợp với điều kiện để đi kết luận nghiệm của PT. cho. + Đặt điều kiện cho phương trình. ( ) (1) + Sử dụng các qui tắc tính logarit để đưa phương a f x mx q
+
= log , trong trình ban đầu về dạng log đó hàm số ở một vế là đồng biến và hàm số ở vế log còn lại là nghịch biến. 0x là nghiệm và chứng minh nghiệm đó là + Chọn duy nhất. log y y x = x a= . + Đặt điều kiện của phương trình. loga + Đặt , ta có y x a= y= và vào phương trình ban + Thay loga x y y b c+ = 1 (2) . 68 đầu sau đó biến đổi về dạng 0x là nghiệm của (2). y y b c = + f y
( ) + Chọn + Chứng minh hàm số là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến. 0x là nghiệm duy nhất. + Khi đó Định nghĩa logarit cơ số a của b: 1a ≠ số αthỏa mãn log bα = được gọi là logarit cơ số a của b Cho hai số dương a,b với ptθ 1 đẳng thức a bα
a α= ⇔ = ) và kí hiệu là loga b . ( loga b [M1,tr.62] log ptθ 2 a a M > ≠ > = N M N
⇔ = 0, 1 ; M N
, 0 ; log log a a y a = > log x a
( 0, 1) Với ≠ luôn a log + Tính chất của hàm số )
0; +∞ . ptθ 3 xác định trên ( + Tính chất đơn điệu của hàm số logarit. + Tính chất song ánh của hàm số logarit. bx = c
+ + Giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của PT hoành log ptθ 4 Công nghệ- độ giao điểm loga x y a = > ≠ 0, 1) a
log x (
a lý thuyết +Tính chất của hàm sốlogarit loga b a a b
, a>
0; 1 ≠ ta có b= . . log ptθ 5 N a M N a = ⇔ = a>
0, + M
a + Tính chất: Với ≠ .
1 y a = > log x a
( 0, 1) với ≠ luôn a log ptθ 6 + Tính chất của hàm số )
0; +∞ . xác định trên ( + Các qui tắc tính logarit. 69 + Tính chất đơn điệu của hàm số logarit. + Định nghĩa logarit. + Sự tương giao đồ thị của hai hàm số. + Tính chất đơn điệu của hàm số trên K. Sau khi chúng tôi phân tích các TCTH liên quan đến PT, BPT mũ và logarit ở trên thì chúng tôi nhận thấy rằng có thể tồn tại các dạng sai lầm mà HS thường gặp khi giải các bài tập về BPT mũ và logarit theo quan điểm của didactic. Liên quan đến sai lầm của HS, didactic toán thừa nhận quan điểm: không phải mọi sai lầm đều là ngẫu nhiên, tùy tiện,mà những sai lầm có thể dự đoán trước,sai lầm kiểu này sinh ra từ kiến thức, những kiến thức đã từng có ích nhưng không còn đúng hoặc không còn phù hợp nữa trong tình huống mới, tổng quát hơn. Hiện tượng này sinh ra do cách học bằng thích nghi, ở đây kiến thức được xây dựng qua tình huống nên nó thường mang tính chất địa phương. Việc xây dựng một kiến thức tổng quát hơn đòi hỏi phải loại bỏ kiến thức cũ.Kiến thức cũ ấy có thể dẫn đến một quan niệm hay một cách thức hành động chỉ đúng trong một lớp tình huống nào đó.Thừa nhận luận điểm này,didactic toán đưa ra ba mô hình để giải thích những sai lầm liên quan đến một tri thức cụ thể đó là: Sai lầm có tính hệ thống và có thể dự đoán trước được. Sai lầm do quan niệm. Sai lầm do tồn tại qui tắc hành động,hợp đồng dạy học. Chúng tôi nhận thấy HS thường gặp khó khăn và mắc phải các sai lầm khi giải các bài tập về BPT mũ và logarit theo quan điểm của didactic toán như sau: Bài toán tìm TXĐ của hàm số là bài toán cơ bản trong nội dung này, HS thường hay gặp khó khăn và mắc sai lầm trong quá trình tìm TXĐ của hàm số.Nguyên nhân là HS chưa nắm chắc các bước biến đổi toán học cũng như khả năng kết hợp các điều 70 kiện một cách triệt để và chính xác. 71 x x > −
1) log 3
2 log (
2 x x x x x > 3 − ⇔ > − ⇔ > − .
1)
1 Ví dụ 1:Giải bpt: log 3
2 log (
2 1
2 *Lời giải sai lầm của HS: 2 x − 1 4 ≥ log 0 *Phân tích:HS không đặt điều kiện để hàm số logarit xác định trước khi giải. 2 −
x 4
− x
3 2 2 bpt x x x ⇔ − − 4 3 0 2 x x x ⇔ − − 4 )
3 (
log 2
2
(
log 2
2 ≥
) Ví dụ 2: Giải bpt: )
− −
1
)
− ≥
1 2 x x − ≥ − > x
⇔ −
4 1 2 3 0 ⇔ >
x 4
3
2 *Lời giải sai lầm của HS:
(
log 4
2
(
log 4
2 HS không quan tâm đến điều kiện trước khi giải bpt logarit cách giải này đã làm mất nghiệm. *Phân tích:cách biến đổi như trên là không tương đương vì TXĐ của VT khác TXĐ VP. Các em quên rằng khi VT đã xác định nhưng khi tách ra như vậy thì VP chưa chắc đã tồn tại.Cách giải trên đã làm mất nghiệm vì khi ta thay x = 1 vào BPT đã x x + log log 2 cho vẫn thỏa. <
1 2 2 ( )
+ +
1 ( ) Ví dụ 3:Giải bpt: bpt x x x x ⇔ + + + < log 2 1 2 2 2 ) (
< ⇔ + )(
1 2 x x x
⇔ + > ⇔ − < < (
3 )(
1
0 )
3 0 *Lời giải sai lầm của HS: 2 x = − thì ta thấy ngay nó không phải là nghiệm của BPT đã cho. HS không đặt điều kiện trước khi giải BPT logarit cách giải này đã làm thừa nghiệm ví dụ khi ta thay *Phân tích: Cách biến đổi như trên là không tương đương vì TXĐ của VT khác TXĐ của VP.Các em quên rằng khi VT đã xác định nhưng khi tách ra như vậy thì VP chưa chắc đã tồn tại đã làm thừa nghiệm ví dụ khi ta thay x = -2 thì ta thấy ngay nó không phải là nghiệm của BPT đã cho. 72 2.1.3. Khi giải những bài toán BPT logarit, HS thường xuyên mắc phải các sai lầm trong quá trình biến đổi BPT đã cho về dạng cơ bản hoặc BPT đại số khi không tuân thủ các qui tắc tính logarit HS áp dụng sai qui tắc logarit của một tích: = + log log log “Logarit của một tích a a a b b
.
1
2 b
1 b
2 ( ) Định lí 1:Cho ba số dương a, b1, b2 với a ≠ 1, ta có: Logarit của một tích bằng tổng các logarit.” x x + +
1 + > log [M1,tr.63] 2 1 (
log 4
2 (
)
4 .log 4 )
1 1
8 2 a)Ví dụ 1: Giải bpt: x x +
1 bpt ⇔ + + > log 1
8 1
2 x x +
1 ⇔ + > 3 )
1
)
1 x x +
1 ⇔ > 4 8 x x 2 ⇔ + )(
4 4
)(
4 4
)
+
1
− > (
log 4
2
(
log 4
2
(
+
4.4 +
)(
4 4
8.4 ( )
4 0 1 Lời giải sai lầm của HS: = log log .log a a a b b
.
1
2 b
1 b
2 ( ) x x + 1 − − 3 >
6 Phân tích: lời giải sai lầm ở trên là do HS áp dụng sai: 3 (
log 3
3 (
)
1 .log 3 ) c)Ví dụ 2:Giải bpt: x x Lời giải sai lầm của HS: x x + 1 bpt ⇔ − + − > 3 1 ) x ⇔ − > 4 1 1 3
) x ⇔ − > 4.3 4 3 (
log 3
3
(
log 4.3
3
( ) x x 3 log 3 7
⇔ > ⇔ >
4 7
4 ⇔ x
⇔ > 0 Đk: >
1
>
3
− >
3
1 0
x
+
1
− >
3
3 0
3
x
+
1
3
Phân tích lời giải sai lầm ở trên là do HS áp dụng sai: + = log log .log a a a b
1 b
2 b
1 b
2 ( ) 73 HS áp dụng sai logarit của một thương: = − log log log “Logarit của một thương a a a b
1 b
2 b
1
b
2 Định lí 2:Cho ba số dương a, b1, b2 với a ≠ 1, ta có: Logarit của một thương bằng hiệu các logarit.” 2 x x − log 9 8 2 ) < 2 [M1,tr.64] x − (
(
log 3
2 +
) a)Ví dụ 1:Giải bpt: 2 x x bpt x + − ⇔ − − < 9 log 3 2 2 ( )
2 + ⇔ − 5 8 2 2 1x <
)
8
)
< 2 x + < 8 5 4 2 x Lời giải sai lầm của HS: 8 x
)
+ <
1 0 x ⇔ < < + 4- 15 4 15 Điều kiện:
(
(
x
log
(
x
⇔ −
x
⇔ − = − log ) a log (
a b
1 b
2 b
1
b
2 Phân tích lời giải sai lầm ở trên là do HS áp dụng sai: )
1 2 (
2
log 2 x + log > log 8 b)Ví dụ 2.Giải bpt: x Lời giải sai lầm của HS: 0
1 >
x
x
≠ x + x 1 ( )
1 bpt ⇔ > log > ⇔
3 8 2 x +
x x
⇔ < 1
7 x 0; Điều kiện 1
7
∈
So với điều kiện bpt đã cho có ngiệm a = log 74 a log
log a b
1
b
2 b
1
b
2 Phân tích lời giải sai lầm ở trên là do HS áp dụng sai: HS áp dụng sai logarit của một lũy thừa: “Logarit của một lũy thừa Định lí 3 α α=
b a a b log Cho hai số dương a, b; a ≠ 1.Với mọi α, ta có log . Logarit của một lũy thừa bằng tích của số mũ với logarit của cơ số.” x − log [M1,tr.64] <
2 2 ( )2
1 Ví dụ.Giải bpt: bpt x x ⇔ 1x ≠ 2 log 2 Lời giải sai lầm của HS: − < ⇔ <
3 2 ( )
1 Với n 2 Phân tích sai lầm của HS ở trên là do trong quá trình biến đổi không a a x x = log n
2 log ,VT xác tương đương đã làm thay đổi tập xác định định khi x ≠ 0, VP xác định khi x > 0 < b x
( ) Trong lịch sử, để giải các BPT thông thường ở các bước đầu tiên (trong nhiều = b x
( ) trường hợp nó là bước chính) là việc giải một PT, ví dụ như để giải BPT ( )
a x chúng ta phải giải các PT ( )
a x . Sau đó, một cách hình thức ta sẽ thay dấu “=” thành dấu “<” thì ta sẽ thu được kết quả cho BPT đưa ra. Khi chuyển từ PT mũ, logarit sang BPT mũ, logarit HSquan niệm sự khác nhau về PT và BPT chỉ là sự khác nhau về mặt hình thức khi thay dấu “ = ” bởi dấu “ >, <, x >
3 ≤, ≥ ” dẫn đến sai lầm. Một số ví dụ về sai lầm do quan niệm: )0.5 bpt x⇔ > Ví dụ 1.Giải bpt ( log 3
0.5 x ∈ *Lời giải sai lầm của HS: log 3;
0.5 ( )
+∞ Vậy bpt đã cho có nghiệm là *Phân tích:Sai lầm của HS cho lời giải của bài toán trên có thể do ảnh hưởng về quan niệm của cách giải phương trình mũ đó là: x 75 b a > 0, 0 1 < ≠ ) a a b x b = ⇔ = log (sử dụng định nghĩa logarit: với *Nguyên nhân:HS có quan niệm về mặt hình thức khi thay dấu “ = ” bởi dấu “ > ” x log 3 0.5 bpt ⇔ > x
⇔ < 0.5 0.5 (sai lầm do quan niệm). log 3
0.5 ( ) *Lời giải đúng cho bpt này là: ; log 3
0.5 (
x ∈ −∞ ) log x x a b a b a b > ⇔ > x
⇔ > b a > bpt a log 0; 0 1 Vậy bpt đã cho có nghiệm < < ) a log Do sử dụng (với x >
5 1
2 5 Ví dụ 2.Giải bpt x ∈ +∞ ; bpt x
⇔ > x
⇔ > *Lời giải sai lầm của HS: 1
2 1
32
1
32
Vậy bpt đã cho có nghiệm b = a
< ≠ log *Phân tích:Sai lầm của HS cho lời giải của bài toán trên có thể do ảnh hưởng về a x )
1 (
0 b x a= quan niệm của cách giải PT logarit đó là: PT luôn có nghiệm duy nhất với mọi b. *Nguyên nhân:HS có quan niệm về mặt hình thức khi thay dấu “=” bởi dấu “>”(sai lầm do quan niệm). 5 *Lời giải đúng cho BPT này là: x 0; bpt x x ⇔ < <
0 ⇔ < <
0 1
2 1
32
1
32
∈
x x − 5 7 +
1 Vậy BPT đã cho có nghiệm bpt x x 1 7 5 ⇔ − > + ⇔ >
x
2 > Ví dụ 3.Giải BPT 1
2 1
2
*Lời giải sai lầm của HS: )
x ∈ +∞
2; ( Vậy bpt đã cho có nghiệm *Phân tích:Sai lầm của HS cho lời giải của bài toán trên có thể do ảnh hưởng về (
f x ) (
g x ) 0 a a = ⇔ = 76 ( )
1a< ≠ (
f x ) (
g x ) quan niệm của cách giải PT mũ đó là: *Nguyên nhân:HS có quan niệm về mặt hình thức khi thay dấu “=” bởi dấu “>”(sai bpt x x 5 7 1 lầm do quan niệm). ⇔ − < + ⇔ <
x
2 ;2 *Lời giải đúng cho bpt này là: )
x ∈ −∞ ( x x − > log Vậy bpt đã cho có nghiệm )
1 (
log 2
1
2 1
2 x 2 x x > > 0 − >
x bpt ⇔ ⇔ x
⇔ > 1 Ví dụ 4.Giải bpt x x x > 0
− >
1 2 1
x 1 0
> ⇔
x 2 0
− >
1
*Lời giải sai lầm của HS: (
)
x ∈ +∞ .
1; Vậy bpt đã cho có nghiệm *Phân tích:Sai lầm của HS cho lời giải của bài toán trên có thể do ảnh hưởng về > 0 = ⇔ > log f x
( ) log g x
( ) quan niệm của cách giải phương trình logarit đó là: 1a< ≠ , a a )
)
= (
f x
(
g x
)
(
f x 0
(
g x )
Với 0 *Nguyên nhân:HS có quan niệm về mặt hình thức khi thay dấu “=” bởi dấu “>”(sai lầm do quan niệm). 2 x − > 2 x > bpt x
− >
x x ⇔ ⇔ 1 1
⇔ < <
2 x 1 0
x 2 − <
1
1
2
1 x 2 1 0
> ⇔
0
x
− <
1
<
x
x ;1 *Lời giải đúng cho bpt này là: 1
2
∈
Vậy bpt đã cho có nghiệm Kết luận:Khi chúng ta thừa nhận với quan niệm này của HS thì nó chỉ đúng trong 1a > và sai lầm trong trường hợp cơ số 0 1a< < . trường hợp cơ số 77 Qui tắc hành động là một mô hình được xây dựng nhằm giải thích và chỉ rõ những kiến thức mà HS đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực hiện một nhiệm vụ xác định.Qui tắc hành động này liên quan đến một hay nhiều tính chất toán học gắn bó chặt chẽ với các qui trình hay câu trả lời của HS. Các qui tắc hành động được chỉ rõ qua việc nghiên cứu những câu trả lời sai của HS vẫn có thể mang lại câu trả lời đúng trong một số tình huống.Những tình huống đó xác địnhphạm vi hợp thức của qui tắc hành động.Thông thường phạm vi hợp thức này không rỗng,thậm chí có thể dường như rất rộng đối với HS bởi vì những tình huống mà HS gặp lại gia cố thêm cho nó.Một câu trả lời sai thường đến từ việc áp x x + 2 1
− 2 2 > −
2 1 −
2 1 dụng một qui tắc hành động ở ngoài phạm vi hợp thức của nó. ) ( ) 2 bpt x x x x 2
x
⇔ − > + ⇔ − − > ⇔ < − 1 2 2 2 3 0 x
1 hay Bài 1: Giải bất phương trình ( >
3 *Lời giải sai lầm của HS: (
f x ) (
g x ) a a > ⇔ > *Phân tích:Sai lầm của HS cho lời giải của bài toán trên có thể do HS đã sử dụng 1a< ≠ ; (
f x ) (
g x ) qui tắc hành động (Với 0 ) ngoài phạm vi hợp 1a< < nên dẫn đến sai lầm. 1a > và nó không hợp thức khi cơ số thức của nó đó là cơ số 0 0 1a< < 2 bpt x x x x 2
x
⇔ − < 1 2 3 0 1 2 − < ⇔ − < <
3 Qui tắc hành động này chỉ hợp thức khi cơ số 2 x x − > − log (2 x
3 ) log 2 3 *Lời giải đúng cho bpt này là: . ) −
5 2 −
5 2 ) + ⇔ −
2
) ( ( ( 2 Ví dụ 2.Giải bất phương trình: 2 ⇔ > > log log x x + > 2 3 0 bpt x x > x
⇔ > x
⇔ −
2 3 2 − > ⇔
3 0 *Lời giải sai lầm của HS: 3
2 −
x 5
− > 3 0 2
1a< ≠ ; a a (
g x (
g x (
f x ) ) ) ) ngoài phạm qui tắc hành động (Với 0 *Phân tích:Sai lầm của HS cho lời giải của bài toán trên có thể do HS đã sử dụng
)
(
f x 1a< < 1a > và nó không hợp thức khi cơ số vi hợp thức của nó đó 0 1a< < nên dẫn đến sai lầm. Qui tắc hành động này chỉ hợp thức khi cơ số là cơ số 0 *Lời giải đúng cho bpt này là: 2 78 2 x x 2 bpt x x x ⇔ < − < x
⇔ < > 0 2 3 2 − ⇔
3 x
0 hay 3
2 −
2
x 5
− 3 + <
3 0
x
>
0 2
xa b> hoàn toàn tương tự như cấu Kết luận 1.Đối với BPT mũ. xa b= , nó được xác định qua dấu Cấu trúc trình bày BPT mũ cơ bản dạng trúc trình bày đối với PT mũ cơ bản dạng hiệu có tính hình thức mà ở đó ta chỉ việc thay dấu “=” trong PT mũ cơ bản thành dấu “>” (hoặc dấu “<, ≤, ≥”) thì ta có dạng của BPT mũ cơ bản. Với PT, BPT mũ cơ bản thì M1 đều có minh họa hình ảnh trực quan bằng đồ thị về nghiệm và tập nghiệm của PT, BPT. Hơn nữa chúng tôi thấy chỉ có một dạng BPT mũ cơ bản với dấu “>” được giới thiệu và minh họa miền nghiệm bằng đồ thị, M1 không có giới thiệu và minh họa miền nghiệm bằng đồ thị đối với các BPT logarit cơ bản với dấu “<, ≤ , ≥”. Với BPT mũ đơn giản thì M1 chỉ đưa ra 2 ví dụ cùng với lời giải cho 2 ví dụ này mà không có một dạng hay một phương pháp cụ thể để giải BPT mũ đơn giản. Với cách trình bày như vậy liệu có ảnh hưởng gì cho GV và HS khi dạy và học đối với nội dung này hay không? Do đó, liệu có cần một sự điều chỉnh về cách trình bày để việc dạy và học nội dung này đạt được kết quả tốt hơn và các em HS có thể tự tin hơn khi giải các bài tập dạng này hay không? Kỹ thuật giải giữa hai KNV giải PT và BPT mũ đơn giản bằng phương pháp đưa về cùng cơ số có sự tương tự nhau chỉ khác nhau về mặt hình thức khi thay dấu “ = ”của PT thành dấu “>, <, ≥, ≤” để được BPT tương ứng nhưng đối với BPT cần lưu ý đến cơ số vì hàm số mũ là hàm số đơn điệu để kết luận đúng tập nghiệm của BPT đã cho. Kỹ thuật giải giữa hai KNV giải PT và BPT mũ đơn giản bằng phương pháp đặt ẩn phụ có sự tương tự nhau chỉ khác nhau về mặt hình thức khi thay dấu “ = ”của PT thành dấu “>, <, ≥, ≤” để được BPT tương ứng. Nhưng HS cần chú ý phải có điều kiện khi đặt ẩn phụ để loại những giá trịkhông thích hợp và HS cũng thường mắc phải sai lầm trong trường hợp này. 79 xa b> bptmu . Giải bất phương trình mũ cơ bản có dạng Có 7 KNV liên quan đến BPT mũ: x x x a ≠ a b ≥ < ≤ a>
0, 1 b a
, b a
, (hoặc • T1 f x
( ) g x
( ) a a> bptmu . Giải bất phương trình mũ đơn giản có dạng ) với . a ≠ a>
0, 1 với • T2 f x g x ( ) ( ) a a≥ bptmu . Giải bất phương trình mũ đơn giản có dạng . a a>
0, ≠ .
1 bptmu . Giải bất phương trình mũ đơn giản bằng phương pháp đặt ẩn phụ có với • T3 f x
( ) f x
( ) P a
( P a
( > (hoặc
) 0 ≥ ), trong đó P(t) là một đa thức theo t.
) 0 • T4 f x ( ) 0 bptmu . Giải bất phương trình mũ đơn giản có dạng ≤ (hoặc dạng (
P a ) f x
( ) P a
( <
) 0 • T5 bptmu . Giải bất phương trình mũ đơn giản có dạng ) bằng cách đặt ẩn phụ. f x
2 ( ) f x
( ) f x
2 ( ) ab a
α + + b
γ < b
( ) 0 • T6 xa bx c ≤ bptmu . Giải bất phương trình mũ đơn giản có dạng + hoặc ( bằng cách đặt ẩn phụ. xa bx c xa bx c xa bx c ≥ < > + hoặc + hoặc + ) bằng phương pháp đồ thị. bptmu giải BPT mũ đơn giản bằng phương pháp • T7 bptmu , T3 Các kiểu nhiệm vụ T2 đưa về cùng cơ số chiếm số lượng nhiều nhất (10/24) trong các KNV giải BPT mũ. Đây là phương pháp quan trọng và thường sử dụng khi giải BPT mũ. Kết luận 2.Đối với BPT logarit. Cấu trúc trình bày BPT logarit là đưa ra các dạng BPT logarit cơ bản, công thức nghiệm, minh họa bằng đồ thị BPT logarit cơ bản dạng loga x b> , hoàn toàn tương tự như cấu trúc trình bày đối với PT logarit cơ bản dạng loga x b= , nó được xác định qua dấu hiệu có tính hình thức mà ở đó ta chỉ việc thay dấu “=” trong PT logarit cơ bản thành dấu “>” (hoặc dấu “<, ≤, ≥) thì ta có dạng BPT logarit cơ bản. Với PT, BPT logarit cơ bản thì M1 đều có minh họa hình ảnh trực quan bằng 80 đồ thị về nghiệm và tập nghiệm của PT, BPT. Hơn nữa chúng tôi thấy chỉ có một dạng BPT logarit cơ bản với dấu “ > ” được giới thiệu và minh họa miền nghiệm bằng đồ thị, M1 không có giới thiệu và minh họa miền nghiệm bằng đồ thị đối với các BPT logarit cơ bản với dấu “<, ≤ , ≥”. Đối với BPT logarit đơn giản thì M1 chỉ đưa ra 2 ví dụ cùng với lời giải cho 2 ví dụ này mà không có một dạng hay một phương pháp cụ thể để giải BPT logarit đơn giản.Với cách trình bày như vậy liệu có ảnh hưởng gì cho GV và HS khi dạy và học đối với nội dung này hay không? Do đó, liệu có cần một sự điều chỉnh về cách trình bày để việc dạy và học nội dung này đạt được kết quả tốt hơn và các em HS có thể tự tin hơn khi giải các bài tập dạng này hay không? Kỹ thuật giải giữa hai KNV giải PT và BPT logarit cơ bản có sự tương tự chỉ khác nhau về mặt hình thức khi thay dấu “ = ”của PT thành dấu “>, <, ≥, ≤” để được BPT tương ứng và đối với BPT cần lưu ý đến cơ số vì hàm số logarit là hàm số đơn điệu để kết luận đúng tập nghiệm của BPT đã cho. Và liệu đó có phải là nguyên nhân gây ra các sai lầm của HS hay không? Kỹ thuật giải giữa hai KNV giải PT và BPT logarit đơn giản bằng phương pháp đưa về cùng cơ số và đặt ẩn phụ có sự tương tự nhau chỉ khác nhau về mặt hình thức khi thay dấu “ = ”của PT thành dấu “>, <, ≥, ≤” để được BPT tương ứng nhưng đối với BPT cần lưu ý đến cơ số vì hàm số logarit là hàm số đơn điệu để kết luận đúng tập nghiệm của BPT đã cho. Với kỹ thuật giải tương tự như vậy liệu rằng nó có gây ra nhầm lẫn và dẫn đến các sai lầm khi HS giải các bài tập về BPT logarit bằng phương pháp đưa về cùng cơ số hay không? b> (hoặc Có 5 KNV liên quan đến BPT logarit: bptlog. Giải bất phương trình logarit cơ bản có dạng loga x x x x b ≥ < ≤ log b
,log b
,log ) a a>
0, • T1 ≠ .
1 a a a < log f x
( ) log g x
( ) bptlog . Giải bất phương trình logarit đơn giản có dạng với a a a a>
0, 1 • T2 ≠ bằng phương pháp đưa về cùng một cơ số. với bptlog . Giải bất phương trình logarit đơn giản bằng phương pháp đặt ẩn phụ 81 P (log a a>
0, f x < , với
( )) 0 ≠ .
1 • T3 a bptlog . Giải bất phương trình logarit đơn giản bằng phương pháp đặt ẩn phụ có dạng: P (log a a>
0, f x ≤ ,với
( )) 0 ≠ .
1 • T4 a bx c > + bằng có dạng: bptlog . Giải bất phương trình logarit đơn giản có dạng loga x a a>
0, • T5 ≠ .
1 bptlog chiếm số lượng nhiều nhất (12/22) trong các KNV giải phương pháp đồ thị với Kiểu nhiệm vụ T2 BPT logarit. Điều đó chứng tỏ chương trình cũng mong muốn học sinh biết giải BPT logarit đơn giản bằng phương pháp đưa về cùng cơ số và đây là phương pháp quan trọng và thường sử dụng khi giải BPT logarit. Các dạng sai lầm mà HS thường gặp khi giải BPT mũ và logarit theo quan điểm didactic: Sai lầm có tính hệ thống và có thể dự đoán trước được: • Không xác định đúng TXĐ của hàm số mũ và logarit. • Khi giải BPT logarit HS không quan tâm đến TXĐ của BPT logarit. • Khi giải những bài toán BPT logarit, HS thường xuyên mắc phải các sai lầm của BPT logarit trong quá trình biến đổi BPT đã cho về dạng cơ bản hoặc BPT đại số khi không tuân thủ các qui tắc tính logarit như logarit của một tích, logarit của một thương, logarit của một lũy thừa. Sai lầm do quan niệm: Khi chuyển từ PT mũ, logarit sang BPT có thể do , , HSquan niệm sự khác nhau về PT và BPT chỉ là sự khác nhau mặt hình thức > ≥ < ≤ ”. khi thay dấu “=” bởi dấu “ , (
f x ) (
g x ) 1a > a a > ⇔ > 1a< ≠ ; Sai lầm do tồn tại qui tắc hành động sau: (
f x ) (
g x ) ) chỉ hợp thức khi cơ số • Với 0 > ⇔ > log log 1a< ≠ ; . a a (
f x ) (
g x ) (
f x ) (
g x ) chỉ hợp thức khi cơ • Với 0 1a > . số Từ kết quả phân tích ở trên, chúng tôi đưa ragiả thuyết nghiên cứu như sau: 82 Giả thuyết nghiên cứu H: “Học sinh quan niệm hàm số mũ, hàm số logarit là những hàm số đồng biến”. 1a< ≠ , Qui tắc hành động R1: Với 0 x Các qui tắc hành động R1, R2 sinh ra từ giả thuyết H như sau: . a g x
( ) (
f x ) a a > ⇔ > f x
( ) g x
( ) 1a< ≠ , Qui tắc hành động R2: Với 0 b a b x b > ⇔ > log a x > ⇔ > log f x
( ) log g x
( ) f x
( ) g x
( ) . a a 1a > . b x a > ⇔ > log Phạm vi hợp thức cho hai qui tắc hành động R1, R2 là cơ số Để kiểm chứng giả thuyết đưa ra chúng tôi thực hiện thực nghiệm trên đối tượng HS lớp 12 đã học về BPT mũ và BPT logarit.Những kết quả nghiên cứu được chúng tôi trình bày trong chương 2 – Thực nghiệm. 83 Trong chương 1, chúng tôi có đặt vấn đề về các sai lầm của học sinh trong thực tế khi nghiên cứu đối tượng BPT mũ và logarit, cũng như các qui tắc hành động tạo ra những sai lầm đó. Mục tiêu của chương này là kiểm chứng những sai lầm mà HS có thể gặp phải khi giải BPT mũ và logarit và làm rõ nguyên nhân của nó đồng thời kiểm chứng tính xác đáng của giả thuyết H đã phát biểu ở chương 1 như sau: Giả thuyết nghiên cứu H:“Học sinh quan niệm hàm số mũ, hàm số logarit là những hàm số đồng biến”. 1a< ≠ , Qui tắc hành động R1: Với 0 x Với giả thuyết H chúng tôi kiểm tra hai qui tắc hành động R1, R2như sau: . a g x
( ) (
f x ) a a > ⇔ > f x
( ) g x
( ) 1a< ≠ , Qui tắc hành động R2: Với 0 b a b x b > ⇔ > log a x > ⇔ > log f x
( ) log g x
( ) f x
( ) g x
( ) . a a b x a > ⇔ > log Để kiểm chứng tính thỏa đáng của giả thuyết trên, chúng tôi dự định sẽ tiến hành thực nghiệm trên đối tượng học sinh lớp 12 ban cơ bản sau khi học xong bài bất phương trình mũ và logarit. Tất cả học sinh tham gia thực nghiệm đều được sử dụng máy tính bỏ túi. Mỗi học sinh được nhận một phiếu bao gồm hai phần: phần câu hỏi và phần bài làm. Các học sinh làm việc cá nhân để trả lời câu hỏi được đặt ra.Tuy nhiên, theo phân phối chương trình, HS sẽ học khái niệm BPT mũ và logarit vào cuối tháng 10. Điều này sẽ ảnh hưởng đến tiến trình của luận văn theo đúng thời hạn, do đó chúng tôi đã thực nghiệm trên 65 đối tượng sinh viên cuối năm 1 khoa kế toán của trường Đại 84 Học Tiền Giangvào đầu tháng 09 năm 2014 để kiểm chứng giả thuyết đã đưa ra. Các sinh viên này đã được trang bị kiến thức về BPT mũ và BPT logarit khi học lớp 12 chương trình THPT, cho nên kết quả thực nghiệm sẽ không mất tính khách quan và chính xác. Nội dung thực nghiệm gồm 4 bài toán, được yêu cầu làm độc lập nhau, được trình bày trong “PHIẾU THỰC NGHIỆM” dưới đây: x > −
5 2 −
5 2 ) 2 x x x
− + 2 2 > −
7 2 −
7 2 Bài 1.GiảiBPT mũ sau:( ) ( ) log Bài 2.Giải BPT mũ sau: ( 1x
> −
2 1 ) ( 2 x x x + − > log 5 6 log Bài 3.Giải BPT logarit sau: )
−
1 ) −
3 1 −
3 1 ( ) ( ) ( ( Bài 4.Giải BPT logarit sau: x > −
5 2 −
5 2 2 x x x
− + 2 2 > −
7 2 −
7 2 ( ) Bài 1.Giải BPT mũ sau: ( Các bài toán thực nghiệm:
) ) Bài 2. Giải BPT mũ sau: ( *Mục đích: Kiểm chứng giả thuyết H: “ Học sinh quan niệm hàm số mũ là hàm số đồng biến ”. 1a< < . Bài toán 1.Kiểm chứng sai lầm của học sinh khi giải BPT mũ dạng cơ bản khi áp dụng qui tắc R1 ngoài phạm vi hợp thức của nó là cơ số 0 1a< < . Bài toán 2.Kiểm chứng sai lầm của học sinh khi giải BPT mũ dạng đơn giản khi áp dụng qui tắc R1 ngoài phạm vi hợp thức của nó là cơ số 0 1a > hoặc 0 1a< < . Các biến didactic V1: cơ số f x g x ( ) ( ) a a> . Dạng V2: BPT mũ đã cho đưa về: f xa
( ) b> . Dạng 85 x > −
5 2 −
5 2 ) Các chiến lược giải: Bài 1.Giải BPT mũ sau: ( Chiến lược S1:cùng cơ số. − = 5 2 −
5 2 Cái có thể quan sát ( )1 x x x > − ⇔ − > −
5 2 5 2 5 2 5 2 − ⇔ >
1 Lời giải 1: Viết ) ( ) ( )1 − = 5 2 −
5 2 Khi đó: ( ( )1 x x x > − ⇔ − > −
5 2 5 2 5 2 5 2 − ⇔ <
1 Lời giải 2:Viết . ) ( ) ( )1 Khi đó: ( 1x⇔ < (do 0 x −
5 2 x < 5 2 1 ) > − ⇔ > −
5 2 5 2 1 ) −
5 2 x −
1 ⇔ − > 5 1 1 x −
1 0 ⇔ − > 5 1 −
5 1 )
) ( ) (
( x x ⇔ − > ⇔ >
1 0 1 x −
5 2 x ( ) > − ⇔ > −
5 2 5 2 1 − < )
( (vì 5 2 0 − > ) Lời giải 3:( ) −
5 2 x − 1 ⇔ − 5 1 >
1 ) ( x−
1 ⇔ − > − 5 1 0
5 1 ) ( ( ) x x < ⇔ − < ⇔ <
1 0 1 (do 0 − <
5 1 1) (vì 5 2 0 − > ) Lời giải 4: ( log −
5 2 ) −
5 2 ( )( − = 5 2 −
5 2 Lời giải 5: . Khi đó: Biến đổi 5 2− trở thành x x log −
5 2 ) −
5 2 ( )( > − ⇔ − x
⇔ > > −
5 2 5 2 5 2 log −
5 2 1 −
5 2 x
= ⇔ >
1 −
5 2 ( ) ( ) ) ( ) )( ( 86 log −
5 2 ) −
5 2 ( )( − = 5 2 −
5 2 Lời giải 6: . Khi đó: Biến đổi 5 2− trở thành x x log −
5 2 ) −
5 2 ( )( > − ⇔ − x
⇔ < > −
5 2 5 2 5 2 log −
5 2 1 −
5 2 x
= ⇔ <
1 −
5 2 ) ( ) ( ) ( ) )( ( < 5 2 1 (do 0 − < ) Chiến lược S2: Logarit hóa. Cái có thể quan sát được: x x > − ⇔ > −
5 2 5 2 log −
5 2 1 x
= ⇔ >
1 −
5 2 Lời giải 1: ( )( x x > − ⇔ < −
5 2 5 2 log −
5 2 1 x
= ⇔ <
1 −
5 2 Lời giải 2: )( ( < 5 2 1 (do 0 − < ) x −
5 2 x ( ) > − ⇔ > −
5 2 5 2 1 ( ) −
5 2
x −
1 ⇔ − > 5 1 1 ( x −
1 ⇔ > log −
5 1 log −
5 1 −
5 1 −
5 1 ) ) )
) ( ) ( ( x x (
⇔ − > ⇔ >
1 1 2 Lời giải 3: x −
5 2 x ( ) > − ⇔ > −
5 2 5 2 1 ( ) −
5 2 x−
1 ⇔ − > 5 1 1 ( ) Lời giải 4: x −
1 ⇔ − < log −
5 1 < log 5 1 (do 0 − <
5 1 1) −
5 1 −
5 1 ) ) )( ( )( ( x x ⇔ − < ⇔ <
1 1 2 x y = −
5 2 y = 5 2 87 − trên cùng hệ trục tọa độ. Vẽ đồ thị hàm số và đường thẳng Chiến lược S3: Sử dụng đồ thị.
) x y = −
5 2 ( ) y = 5 2− −
5 2 y O x 1 1x < . 2 x x x
− + 2 2 > −
7 2 −
7 2 Hình 2.1 ( ) Quan sát đồ thị ta kết luận tập nghiệm của BPT là
) Bài 2. Giải BPT mũ sau: ( Chiến lược S1: Cùng cơ số. Cái có thể quan sát được 2 x x x
− + 2 2 2 2 x x x x > x
− ⇔ − + > ⇔ − −
7 2 7 2 2 2 3 2 0 + > ⇔ ) ( ) ( 1
2 <
x
x
> 2 x x x
− + 2 2 2 2 x x x x x > x
− ⇔ − + < ⇔ − + < ⇔ < < −
7 2 7 2 2 2 3 2 0 1 2 ( ) Lời giải 1: ) Lời giải 2:
( < 7 2 1 (do cơ số 0 − < ) Lời giải 3: 2 x x
− + 2 2 −
7 2 x x
− + 2 ) ( > x
2
− ⇔ > −
7 2 7 2 1 x 2 ) ( ( ) −
7 2 ( ) 2 x x − + 3 2 > ⇔ − 1 7 2 2 x x − + 3 2 0 > ⇔ − 7 2 −
7 2 ( ) )
) (
( x 2 x x
⇔ − 3 + > ⇔
2 0 x <
1
> 2
88 2 x x
− + 2 2 2 −
7 2 x x x x
− + − + 2 3 2 ( ) > x
2
− ⇔ > ⇔ − > −
7 2 7 2 7 2 1 1 x 2 ( ) ( ) ) ( −
7 2 ( ) 2 x x − + 3 2 0 ⇔ − − < > 7 2 7 2 (do 0 − <
7 2 1) ( ) ( ) 2 x x x
⇔ − + < ⇔ < < 3 2 0 1 2 Lời giải 4: Chiến lượcS2: Logarit hóa. 2 x x x
− + 2 2 > −
7 2 −
7 2 Cái có thể quan sát được ) ( ) Lời giải 1:( 2 x x x
− + 2 2 2 2 > log −
7 2 log −
7 2 x x x x x ⇔ − + > ⇔ −
2 2 3 2 0 + > ⇔ −
7 2 −
7 2 ) ) ( )( )( ( 1
2 <
x
x
> 2 x x x
− + 2 2 > −
7 2 −
7 2 ) ( Lấy logarit cơ số 7 2− hai vế của BPT ta được: ) Lời giải 2:( 2 x x x
− + 2 2 < log −
7 2 log −
7 2 Lấy logarit cơ số 7 2− hai vế của BPT ta được: −
7 2 −
7 2 ) ) ( )( )( ( 2 2 x x x x x x ⇔ − + < ⇔ −
2 2 3 2 0 + < ⇔ < <
2
1 < 7 2 1 (docơ số 0 − < ) 89 2 x x
− + 2 2 −
7 2 x x
− + 2 ) ( > x
2
− ⇔ > −
7 2 7 2 1 x 2 ) ( ) ( −
7 2 ( ) 2 x x − + 3 2 ⇔ − > 7 2 1 ( 2 x x − + 3 2 ⇔ > log −
7 2 log −
7 2 −
7 2 −
7 2 ) )
) ( ) ( ( ( )
< −
x 3 5 2 2 x x x x
⇔ − + > ⇔ − 3 2 1 3 1 0 5 3 + > ⇔
> +
x
2 x x x
− + 2 2 > −
7 2 −
7 2 ( ) )
Lời giải 4:( 2 x x
− + 2 2 −
7 2 x x − + 3 2 ( ) ⇔ > ⇔ − > 7 2 1 1 x 2 ) ( −
7 2 ( ) 2 x x − + 3 2 ⇔ − < log −
7 2 < log 7 2 (do 0 − <
7 2 1) −
7 2 −
7 2 ) ) ( ) ( ) ( ( 2 2 x x x x x
⇔ − + < ⇔ − + < ⇔ − < < + 3 2 1 3 1 0 3 5 3 5 Lời giải 3: 1a > hoặc 0 1a< < . Sự ảnh hưởng của các biến đến các chiến lược: V1: cơ số 1a > thì lời giải 1, lời giải 3 và lời giải 5trong các chiến lược S1, S2 1a< < thì lời giải 2, lời giải 4 và lời giải 6 trong Nếu cơ số sẽ được ưu tiên. Nếu cơ số 0 các chiến lược S1, S2 sẽ được ưu tiên. f x g x ( ) ( ) a a> . Dạng f x g x ( ) ( ) a a> V2: BPT mũ đã cho đưa về: Nếu BPT mũ đã cho đưa về dạng thì các chiến lược S1, S2 sẽ được ưu b> . Dạng ( )
f xa tiên cho cả hai bài toán 1 và 2 b> thì chiến lược S2 sẽ được ưu tiêncho cả hai f x
( ) Nếu BPT mũ đã cho đưa về dạng ( )
f xa x= thì chiến lượcS3 sẽ được ưu tiên cho bài toán 1 bài toán 1 và 2. Nhưngkhi 90 1a< < và biến V2: f x g x ( ) ( ) a a> Trong bài toán 1 và bài toán 2chúng tôi chọn biến V1: cơ số 0 , với mục đích kiểm tra quan niệm của học BPT mũ đã cho đưa về dạng sinh về cơ số khi giải BPT mũ dạng cơ bản và BPT mũ dạng đơn giản. Chúng tôi dự kiến chiến lược S2 trong bài toán 1 khi cho lời giải 1xuất hiện với tỉ lệ 1a< ≠ , x cao vì khả năng học sinh sử dụng qui tắc hành động: Với 0 a a b x b > ⇔ > log là rất cao và chiến lược S3: “ Sử dụng phương pháp đồ thị ” ở bài toán 1 khả năng xuất hiện sẽ rất thấp vì tốn nhiều thời gian đồng thời ở một số học sinh không biết khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số mũ. Chúng tôi dự kiến chiến lược S1trong bài toán 2khi cho lời giải 1 xuất hiện với tỉ lệ 1a< ≠ , f x
( ) g x
( ) a a > ⇔ > f x
( ) g x
( ) cao vì khả năng học sinh sử dụng qui tắc hành động: Với 0 là rất cao. log Các bài toán thực nghiệm: 1x
> −
2 1 ( ) 2 x x x + − > log 5 6 log Bài 3.Giải BPT logarit sau: )
−
1 ) −
3 1 −
3 1 ( ) ( ) ( ( Bài 4.Giải BPT logarit sau: *Mục đích: Kiểm chứng giả thuyết H: Học sinh quan niệm hàm số logarit là hàm số đồng biến. 1a< < . Bài toán 3.Kiểm chứng sai lầm của học sinh khi giải BPT logarit dạng cơ bản khi áp dụng qui tắc R2 ngoài phạm vi hợp thức của nó là cơ số 0 1a< < . Bài toán 4.Kiểm chứng sai lầm của học sinh khi giải BPT logarit dạng đơn giản khi áp dụng qui tắc R2 ngoài phạm vi hợp thức của nó là cơ số 0 1a > hoặc 0 1a< < . Các biến didactic (cho bài toán 3và bài toán 4) V1: cơ số > f x
( ) log g x
( ) . Dạng log a a b> . Dạng log a f x
( ) V2: BPT logarit đã cho đưa về: 91 log 1x
> Các chiến lược giải: −
2 1 ( ) Chiến lược ' Bài 3.Giải BPT logarit sau: x x > log > ⇔
1 log log 2 1 Cái có thể quan sát được: −
2 1 −
2 1 −
2 1 )
− ( ) ( ) ) ( ( x⇔ > −
2 1. x x > log > ⇔
1 log log 2 1 Lời giải 1: −
2 1 −
2 1 −
2 1 )
− ( ) ( ) ) ( ( x⇔ < < 2 1 2 1 1 − (do 0 − < ) x x > log > ⇔
1 log log 2 1 Lời giải 2: −
2 1 −
2 1 −
2 1 )
− ( ) ( ) ) ( ( < x⇔ < <
0 2 1 2 1 1 − (do 0 − < ). Lời giải 3: x x x − > log > ⇔
1 log − > ⇔
1 0 log log −
2 1 0 −
2 1 −
2 1 −
2 1 −
2 1 ) ( ) ( ) ( ) )( ( x x x x ⇔ > ⇔ > ⇔ > log > ⇔
0 log log 1 1 −
2 1. −
2 1 −
2 1 −
2 1 ( ) ( ) ( ) −
2 1 −
2 1 −
2 1 Lời giải 4: x x x − > log > ⇔
1 log − > ⇔
1 0 log log −
2 1 0 −
2 1 −
2 1 −
2 1 −
2 1 ) ( ) ( ) ( ) )( ( x x x x ⇔ > ⇔ < ⇔ < log > ⇔
0 log log 1 1 −
2 1. −
2 1 −
2 1 −
2 1 ( ) ( ) ( ) −
2 1 −
2 1 −
2 1 < 2 1 1 Lời giải 5: − < ). (do 0 x x x − > log > ⇔
1 log − > ⇔
1 0 log log −
2 1 0 −
2 1 −
2 1 −
2 1 −
2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )( x x x x ⇔ > log > ⇔
0 log log 1 ⇔ <
0 < ⇔ < <
0 1 −
2 1. −
2 1 −
2 1 −
2 1 ( ) ( ) ( ) −
2 1 −
2 1 −
2 1 < 2 1 1 Lời giải 6: − < ). (do 0 92 b 93 Chiến lược S4: Sử dụng định nghĩa log a x b x a = ⇔ = . x x x > ⇔ > − ⇔ > log 1 2 1 − .
2 1 Cái có thể quan sát được: −
2 1 Lời giải 1: ( ) x x x > ⇔ < − ⇔ < log 1 2 1 2 1 < − . (do 0 − < )
2 1 1 −
2 1 Lời giải 2: ( ) x x x log > ⇔ < <
0 1 2 1 − ⇔ < <
0 2 1 < − . (do 0 − < )
2 1 1 −
2 1 Lời giải 3: ( ) x x x − > log > ⇔
1 log − > ⇔
1 0 log log −
2 1 0 −
2 1 −
2 1 −
2 1 −
2 1 ) ( ) ( ) ( ) )( ( x x x x ⇔ > 0
− ⇔ > ⇔ > log > ⇔
0 2 1 1 −
2 1 −
2 1 ( ) ( ) −
2 1 −
2 1 −
2 1 Lời giải 4: x x x − > log > ⇔
1 log − > ⇔
1 0 log log −
2 1 0 −
2 1 −
2 1 −
2 1 −
2 1 ) ( ) ( ) ( ) )( ( x x x x ⇔ < 0
− ⇔ < ⇔ < log > ⇔
0 2 1 1 −
2 1 −
2 1 ( ) ( ) −
2 1 −
2 1 −
2 1 < 2 1 1 − < ) Lời giải 5: (do 0 x x x − > log > ⇔
1 log − > ⇔
1 0 log log −
2 1 0 −
2 1 −
2 1 −
2 1 −
2 1 ) ( ) ( ) ) ) ( 0 x x (
x x ⇔ > ⇔ < − ⇔ < < log 0 0 2 1 0 < ⇔ < <
0 1 −
2 1 −
2 1 (
) ( ( ) −
2 1 −
2 1 −
2 1 < 2 1 1 Lời giải 6: − < ) (do 0 3 y x = log Chiến lược 1y = trên cùng hệ trục tọa độ. −
2 1 ) ( và đường thẳng Vẽ đồ thị hàm số 94 y y = 1 1 )
2 1− y x = log −
2 1 ( ) O x ( −
2 1 Hình 2.2 2 x x x + > − log 5 log 6 Quan sát đồ thị ta thấy tập nghiệm của BPT là 0 )
− .
1 x< <
) −
3 1 −
3 1 ( ) ( ) ( ( Bài 4.Giải BPT logarit sau: 2 x x x + − > log 5 6 log )
−
1 ) −
3 1 −
3 1 Chiến lược 1 ( ) ( ( 2 2 x x x x x
⇔ + 5 − > − ⇔ +
1 6 4 5 0 < −
x
5
x
>
1 − > ⇔
2 x x x + − > log 5 6 log )
−
1 ) −
3 1 −
3 1 Lời giải 1:
) ( ( ) ( ( x x 2 x x x
⇔ + − > − > ⇔ ⇔ x
⇔ > 5 1 0 6 1 2 − >
1 0
x x x 1
x − > + 4 5 0 >
< − ∨ >
5 1
2 x x x + − > log 5 6 log )
−
1 ) −
3 1 −
3 1 Lời giải 1.1:
) ( ( ) ( ( Lời giải 2:
) ( x x x
⇔ + − < − 2 5 6 1 x x x
⇔ + − < ⇔ − < < 2 4 5 0 5 1 < 3 1 1 (do cơ số 0 − < ) 2 x x x + − > log 5 6 log 95 )
−
1 ) −
3 1 −
3 1 ) ( ( ) ( ( 2 Lời giải 3: x x x + ⇔ <
0 5 1 6 − < − (do cơ số 0 2 < 3 1 1 − < ) 2 x x 1 x x 5 6 0 ⇔ ⇔ (VN) x 5 x x +
+ − >
− < 4 5 0 < − ∨ >
6
− < <
1
2 Vậy BPT đã cho vô nghiệm. 2 x x x + − > log 5 6 log )
−
1 ) −
3 1 −
3 1 ( ( 2 x x x ⇔ − > + − − log 0 5 6 log )
1 ) −
3 1 −
3 1 ) (
) ( ) (
) ( ( ( 2 2 x x 6 6 ⇔ > ⇔
0 log > log 1 log −
3 1 −
3 1 −
3 1 ) ( ) ( +
x +
x x
−
5
−
1 x
−
5
−
1 2 x 6 2 2 x x x x x
⇔ + − > ⇔ >1 5 − > − ⇔ +
1 6 4 5 0 )
(
x
+
−
5
x
−
1
< −
x
5
x
>
1 ⇔
. x x 1 x x − > 6 0 ⇔ x
⇔ > 1 Lời giải 4:Điều kiện: 1 +
x 5
− > 1 0 < − ∨ >
6
x
>
2 So với điều kiện BPT đã cho có nghiệm khi > 1x 2 x x x + − > log 5 6 log )
−
1 ) −
3 1 −
3 1 ( ( 2 x x x ⇔ + − − − > log 5 6 log 0 )
1 ) −
3 1 −
3 1 ( ) (
) ( ) (
) ( ( 2 2 x x 6 6 ⇔ > ⇔
0 log > log 1 log −
3 1 −
3 1 −
3 1 ( ) ( ) +
x +
x x
−
5
−
1 x
−
5
−
1 2 x 6 ⇔ < < 1 (do 0 − <
3 1 1) 2 2 x x x x (
+
x
x
⇔ + − < ⇔ − < < )
x
−
5
−
1
x
− < − ⇔ +
1
5 6 4 5 0 5 1 x x 1 x x − > 6 0 ⇔ x
⇔ > 1 Lời giải 5:Điều kiện: 1 +
x 5
− > 1 0 < − ∨ >
6
x
>
b So với điều kiện BPT đã cho vô nghiệm. Chiến lược S4:Sử dụng định nghĩa log a x b x a = ⇔ = . 2 96 2 x x x + − > log 5 6 log )
−
1 ) −
3 1 −
3 1 ) ( ( ( 2 x x x ⇔ + − − − > log 5 6 log 0 )
1 ) −
3 1 −
3 1 ) ( ( ) (
) ( ( 2 x 6 > ⇔ 0 log −
3 1 +
x x
−
5
−
1 2 0 x 6 > ⇔ −
3 1 ( ) 2 x 2 x x x ⇔ > ⇔ + − > − > 1 5 6 x
1 (do 1) +
x (
)
x
+
−
5
x
−
1
x
−
6
5
−
1 2 x x
⇔ + 4 < −
x
5
x
>
1 − > ⇔
5 0
1x > x x 1 x x − > 6 0 ⇔ x
⇔ > 1 Lời giải 1:Điều kiện: 1 +
x 5
− > 1 0 < − ∨ >
6
x
>
2 So với điều kiện BPT đã cho có nghiệm 2 x x x + − > log 5 6 log )
−
1 ) −
3 1 −
3 1 ( ( 2 x x x ⇔ + − − − > log 5 6 log 0 )
1 ) −
3 1 −
3 1 ( ) (
) ( ) (
) ( ( 2 x 6 ⇔ > log 0 −
3 1 +
x x
−
5
−
1 2 0 x 6 ⇔ < − < 3 1 ( do 0 − <
3 1 1 ) ( ) (
+
x )
x
−
5
−
1 2 x 6 2 x x x ⇔ < ⇔ + − < − > 1 5 6 x
1 (do 1) 2 x +
x
x
⇔ + x
−
5
−
1
x
− < ⇔ − < <
4 5 0 5 1 x x 1 x x − > 6 0 ⇔ x
⇔ > 1 Lời giải 2:Điều kiện: 1 +
x 5
− > 1 0 < − ∨ >
6
x
>
So với điều kiện BPT đã cho vô nghiệm. 1a > hoặc 0 1a< < . Sự ảnh hưởng của các biến đến các chiến lược: 1a > thì lời giải 1, 1.1, 4 trong các chiến lược sẽ được ưu tiên.Nếu cơ V1: cơ số Nếu cơ số 1a< < thì lời giải 2, 3, 5, 6 trong các chiến lượcsẽ được ưu tiên. số 0 V2: BPT logarit đã cho đưa về: > f x
( ) log g x
( ) . Dạng log a a > f x
( ) log g x
( ) 97 Nếu BPT logarit đã cho đưa về dạng log thì chiến lược 1 a a b> . Dạng log a f x
( ) ưu tiên cho cả hai bài toán 3 và 4. b> thì chiến lược S4 sẽ được ưu a f x
( ) f x
( ) Nếu BPT logarit đã cho đưa vềdạng log x= thì chiến lược 3 tiêncho cả hai bài toán 3 và 4. Nhưng khi cho bài toán 3 1a< < và biến V2: > f x
( ) log g x
( ) Trong bài toán 3 và bài toán 4 chúng tôi chọn biến V1: cơ số 0 a a , với mục đích kiểm tra quan BPT logarit đã cho đưa về dạng log niệm của học sinh về cơ số khi giải BPT logarit dạng cơ bản và BPT logarit dạng đơn giản. b Chúng tôi dự đoán chiến lược 1 1a< ≠ , log a x b x a > ⇔ > vì khả năng học sinh sử dụng qui tắc hành động: Với 0 3 là rất cao và chiến lược xuất hiện sẽ rất thấp vì tốn nhiều thời gian đồng thời ở một số học sinh không biết khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số logarit. Chúng tôi dự kiến chiến lược 1 1a< ≠ , > ⇔ > log f x
( ) log g x
( ) f x
( ) g x
( ) vì khả năng học sinh sử dụng qui tắc hành động: Với 0 a a là rất cao. Chúng tôi tiến hành thực nghiệm trên 65 sinh viên cuối năm nhất khoa kế toán của trường ĐH Tiền Giang. Sau đây là kết quả thực nghiệm liên quan vấn đề kiểm chứng giả thuyết H: “Học sinh quan niệm hàm số mũ và hàm số logarit là hàm số đồng biến”. 98 Bảng 2.1. Thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 1 Số lượng Tỉ lệ (%) Chiến lược quan sát được Lời giải 1 Lời giải 2 Lời giải 1 Lời giải 2 41 9 63.08 13.85 Chiến lược S1: Cùng cơ số 7 3 10.77 4.61 Chiến lược S2: Logarit hóa. 0 0 0 0 Chiến lược S3: Sử dụng đồ thị. Không làm bài. 2 3.08 Chiến lược khác. 3 4.61 Tổng 65 100 Nhận xét Có 50/65 SV (chiếm 76.92%) sử dụng chiến lược S1: “Cùng cơ số” trong đó có 41/65 SV (chiếm 63.08% ) với lời giải 1, còn lại 9/65 SV (chiếm 13.85%) với lời giải 2.Không có SV nào sử dụng chiến lược S1 với các lời giải 3, 4, 5, 6. Có 10/65 SV (chiếm 15.38%) sử dụng chiến lược S2: “Logarit hóa” trong đó có 7/65 SV (chiếm 10.77%) với lời giải 1, còn lại 3/65 SV (chiếm 4.61%) với lời giải 2. Không có SV nào sử dụng chiến lược S3: “Sử dụng đồ thị”. Với kết quả 63.08% SV sử dụng chiến lược S1: “Cùng cơ số”và 10.77% SV sử dụng chiến lược S2: “Logarit hóa” với lời giải 1, chứng tỏ sự tồn tại qui tắc hành động x f x
( ) g x
( ) R1ở SV (HS) đối với BPT mũ là: a a b x b a a
< ≠ > ⇔ > > ⇔ > 0 1 : log a
; f x
( ) g x
( ) ”. Với kết quả 73.85% “Với SV cho lời giải 1 trong các chiến lược S1, S2 cho phép chúng tôi kiểm chứng được giả thuyết về sự quan niệm của SV (HS) là: “Hàm số mũ là hàm số đồng biến”. Hình 2.3.Lời giải theo chiến lược S1 cho lời giải 1. Một số bài làm của SV trong thực nghiệm bài toán 1 99 Hình 2.4.Lời giải theo chiến lược S2 cho lời giải Bảng 2.2. Thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 2 Số lượng Tỉ lệ (%) Chiến lược quan sát được Lời giải 1 Lời giải 2 Lời giải 1 Lời giải 2 44 13 67.69 20 Chiến lượcS1: Cùng cơ số. 0 0 0 0 Chiến lượcS2: Logarit hóa. Không làm bài. 5 7.69 Chiến lược khác. 3 4.62 Tổng 65 100 Nhận xét Qua bảng thống kê cho chúng tôi thấy: Có 57/65 SV (chiếm 87.69%) sử dụng chiến lượcS1:“Cùng cơ số” trong đó có 44/65 SV (chiếm 67.69%) với lời giải 1, còn lại 13/65 SV (chiếm 20%) với lời giải 2. Không có SV nào sử dụng chiến lược S1khi cho lời giải 3, 4.Không có SV nào sử dụngchiến lược S2. Có 3/65 SV (chiếm 4.62%) sử dụng chiến lược khác.Có 5/65 SV (chiếm 7.69%) không làm bài. Như vậy, với số lượng 44/65 SV (chiếm 67.69%)sử dụng chiến lược S1:“Cùng cơ f x
( ) g x
( ) a a > ⇔ > f x
( ) g x
( ) a a>
0, ≠ ,
1 số” với lời giải 1chứng tỏ sự tồn tại qui tắc hành động R1ở SV(HS) đối với BPT mũ ”. dạng đơn giản :“Với 100 Một số bài làm của SV trong thực nghiệm bài toán 2 Hình 2.6.Lời giải theo chiến lượcS1 cho lời giải 1. Hình 2.7.Lời giải theo chiến lược khác. Kết luận: Qua kết quả thống kê thực nghiệm ở bài toán 1 và bài toán 2cho phép chúng tôi kiểm chứng được giả thuyết H:“Học sinh quan niệm hàm số mũ là hàm số đồng biến” và hợp thức hóa qui tắc hành động R1. Bảng 2.3. Thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 3 Số lượng Tỉ số (%) Chiến lược quan sát được Lời Lời Lời Lời Lời Lời giải 1 giải 2 giải 3 giải 1 giải 2 giải 3 b a x Chiến lược S4: Sử dụng định 38 6 1 58.46 9.23 1.54 b x a = ⇔ = nghĩa log . 4 0 0 6.15 0 0 Chiến lược 0 0 0 0 0 0 Chiến lược 3 Chiến lược khác. 6 9.23 Không làm bài. 10 15.39 Tổng 65 100 101 Nhận xét: Qua bảng thống kê cho thấy: b Có 38/65 SV (chiếm 58.46%) sử dụng chiến lượcS4: “Sử dụng định nghĩa a x b x a = ⇔ = log ” với lời giải 1. Có 6/65 SV (chiếm 9.23%) sử dụng chiến lược S4 với lời giải 2.Có 1/65 SV (chiếm 1.54%) sử dụng chiến lược S4 với lời giải 3. Không có SV nào sử dụng chiến lược S4 khi cho các lời giải 4, 5, 6.Có 4/65 SV (chiếm 6.15%) sử dụng chiến lược ' nào sử dụng chiến lược 3 chiến lược Có 6/65 SV (chiếm 9.23%) sử dụng chiến lược khác khi cho kết quả sai của bài toán mà không có lời giải.Có 10/65 SV (chiếm 15.39%) không làm bài. b Như vậy,có 38/65 SV (chiếm 58.46%) sử dụng chiến lượcS4: “Sử dụng định nghĩa a x b b x a = ⇔ = log ” với lời giải 1chứng tỏ sự tồn tại qui tắc hành động R2 ở a a > 0, ≠ , log
1 a x b x a > ⇔ > ”. SV(HS) đối với BPT logarit dạng đơn giản:“Với Một số bài làm của SV trong thực nghiệm bài toán 3 Hình 2.8.Lời giải theo chiến lược S4 cho lời giải 1 Hình 2.9.Lời giải theo chiến lược 102 Bảng 2.4. Thống kê kết quả thực nghiệm bài toán 4 Số lượng Tỉ số (%) Chiến lược quan sát được Lời giải 1 Lời giải 2 Lời giải 1 Lời giải 2 47 5 72.31 7.69 Chiến lược b a x Chiến lược S4: Sử dụng định 0 0 0 0 b x a = ⇔ = nghĩa log . Chiến lược khác. 2 3.08 Không làm bài. 11 16.92 Tổng 65 100 Nhận xét Qua bảng thống kê cho thấy: Có 47/65 SV (chiếm 72.31%) sử dụng chiến lược ' 5/65 SV (chiếm 7.69%) sử dụng chiến lược ' dụng chiến lược ' với các lời giải 1, 2. Có 2/65 SV (chiếm 3.08%) sử dụng chiến lược khác khi không trình bày lời giải mà chỉ ghi kết quả sai của bài toán.Có 11/65 SV (chiếm 16.92%) không làm bài. Như vậy, với kết quả thực nghiệm có 47/65 SV (chiếm 72.31%) sử dụngchiến lược > ⇔ > f x
( ) log g x
( ) f x
( ) g x
( ) 1a< ≠ , log a a đối với BPT logarit dạng đơn giản:“Với 0 ”. 103 Một số bài làm của SV trong thực nghiệm bài 4 Hình 2.10.Lời giải theo chiến lược ' Kết luận Qua kết quả thống kê thực nghiệm ở bài toán 3 và bài toán 4cho thấy SV (HS) đã sử dụng qui tắc hành động R2 khi giải bài toán từ đó cho phép chúng tôi kiểm chứng được giả thuyết H: “Học sinh quan niệm hàm số logarit là hàm số đồng biến”. 104 Các nghiên cứu ở chương 1, 2, cho phép chúng tôi tìm ra câu trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu được đặt ra trước đó. Sau đây là các kết quả chính đạt được: xa b> và BPT logarit cơ bản dạng 1. Phân tích chương 1 cho thấy: b> hoàn toàn tương tự như cấu trúc trình bày đối với PT tương ứng, nó loga x Cấu trúc trình bày BPT mũcơ bản dạng được xác định qua dấu hiệu có tính hình thức mà ở đó ta chỉ việc thay dấu “=” trong PT thành dấu “>” (hoặc dấu “<, ≤, ≥”) thì ta có dạng của BPT mũ và logarit cơ bản. Với PT, BPT mũ và logarit dạng cơ bản M1 đều có minh họa hình ảnh trực quan bằng đồ thị về nghiệm và tập nghiệm của PT, BPT. Hơn nữa chúng tôi thấy chỉ có một dạng BPT logarit cơ bản với dấu “ > ” được giới thiệu và minh họa bằng đồ thị, M1 không có giới thiệu và minh họa miền nghiệm bằng đồ thị đối với các BPT logarit cơ bản với dấu “<, , ”. Với cách tiếp cận nghiệm, tập nghiệm PT, BPT mũ và logarit bằng phương pháp minh ≤ ≥ họa bằng đồ thị đòi hỏi HS phải biết phương pháp khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số mũ và hàm số logarit. Với BPT mũ và logarit dạng đơn giản thì M1 chỉ đưa ra hai ví dụ cùng với lời giải cho hai ví dụ này mà không có một dạng hay một phương pháp cụ thể để giải BPT mũ và logarit dạng đơn giản. Sau khi phân tích các TCTH liên quan đến PT, BPT mũ và logarit dạng cơ bản và đơn giản chúng tôi nhận thấy: Kỹ thuật giải giữa hai KNV giải PT và BPT mũ và logarit dạng cơ bản có sự tương tự và chỉ khác nhau về mặt hình thức khi thay dấu “ = ”của PT thành dấu “>, <, ≥, ≤” để được BPT tương ứng và đối với BPT cần lưu ý đến cơ số vì các hàm số mũ và logarit là hàm số đơn điệu để kết luận đúng tập nghiệm của BPT đã cho. 105 Kỹ thuật giải giữa hai KNV giải PT và BPT mũ và logarit dạng đơn giản bằng phương pháp đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ có sự tương tự chỉ khác nhau về mặt hình thức khi thay dấu “ = ”của PT thành dấu “>,<, ≥, ≤” để được BPT tương ứng và đối với BPT cần lưu ý đến cơ số vì các hàm số mũ bptmu giải BPT mũ đơn giản bằng phương pháp và logarit là hàm số đơn điệu để kết luận đúng tập nghiệm của BPT đã cho. bptmu , T3 Các kiểu nhiệm vụ T2 đưa về cùng cơ số chiếm số lượng nhiều nhất (10/24) trong các KNV giải BPT mũ.Điều này chứng tỏ chương trình mong muốn HS phải biết cách giải BPT mũ đơn giản bằng phương pháp đưa về cùng cơ số và đây là một bptlog chiếm số lượng nhiều nhất (12/22) trong các KNV giải phương pháp quan trọng và thường sử dụng để giải BPT mũ. Kiểu nhiệm vụ T2 BPT logarit. Điều đó chứng tỏ chương trình cũng mong muốn học sinh biết giải BPT logarit đơn giản bằng phương pháp đưa về cùng cơ số và đây cũng là một phương pháp quan trọng và thường sử dụng để giải BPT logarit. Các dạng sai lầm mà HS thường gặp khi giải BPT mũ và logarit theo quan điểm didactic: Sai lầm có tính hệ thống và có thể dự đoán trước được: • Không xác định đúng TXĐ của hàm số mũ và logarit. • Khi giải BPT logarit HS không quan tâm đến TXĐ của BPT logarit. • Khi giải những bài toán BPT logarit, HS thường xuyên mắc phải các sai lầm trong quá trình biến đổi BPT đã cho về dạng cơ bản hoặc BPT đại số khi không tuân thủ các qui tắc tính logarit của một tích, logarit của một thương, logarit của một lũy thừa. Sai lầm do quan niệm: Khi chuyển từ PT mũ, logarit sang BPT mũ, logarit , , HSquan niệm sự khác nhau về PT và BPT chỉ là sự khác nhau về mặt hình > ≥ < ≤ ”. thức khi thay dấu “=” bởi dấu “ , (
f x ) (
g x ) a a > ⇔ > 1a< ≠ ; Sai lầm do tồn tại qui tắc hành động sau: 1a > (
f x ) (
g x ) > ⇔ > log log 1a< ≠ ; )chỉ hợp thức khi cơ số • Với 0 a a (
f x ) (
g x ) (
f x ) (
g x ) chỉ hợp thức khi cơ • Với 0 106 1a > . số Phân tích mối quan hệ thể chế đối với BPT mũ và logarit cho phép chúng tôi đưa ra giả thuyết nghiên cứu H về sự tồn tại các qui tắc hành động R1, R2 như sau: Giả thuyết nghiên cứu H:“Học sinh quan niệm hàm số mũ, hàm số logarit là những hàm số đồng biến”. 1a< ≠ , Qui tắc hành động R1: Với 0 x Các qui tắc hành động R1, R2 sinh ra từ giả thuyết H như sau: . a g x
( ) (
f x ) a a > ⇔ > f x
( ) g x
( ) 1a< ≠ , Qui tắc hành động R2: Với 0 b a b x b > ⇔ > log a x > ⇔ > log f x
( ) log g x
( ) f x
( ) g x
( ) . a a b x a > ⇔ > log 2. Kết quả thực nghiệm ở chương 2 cho thấy được sự tồn tại giả thuyết H mà chúng tôi đưa ra cùng với hai qui tắc hành động R1, R2 . Trong nghiên cứu của chúng tôi đã chỉ ra một số dạng sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giải BPT mũ và logarit và nguyên nhân gây ra các dạng sai lầm đó theo quan điểm của didactic toán. Do đó,với quan điểm của người dạy học thì chúng tôi đặt ra câu hỏi liệu có cần giới thiệu BPT mũ và logarit theo cách trình bày khác để giảm bớt các sai lầm cho học sinh khi giải BPT mũ và logarit? Bởi mục đích chính của chúng tôi là sự ứng dụng của luận văn trong công tác giảng dạy.Nghiên cứu trả lời câu hỏi này bằng lý thuyết của didactic toán là hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn. 107 Tiếng Việt 1. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2007),Giải tích 12, Nxb Giáo dục. 2. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2007),Sách giáo viênGiải tích 12, Nxb Giáo dục. 3. Nguyễn Viết Hiếu (2013), Nghĩa và vai trò công cụ của khái niệm logarit trong dạy học toán ở bậc trung học phổ thông, Luận văn thạc sĩ giáo dục học, Trường Đại học Sư phạm TPHCM. 4. Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương (2007),Bài tậpGiải tích 12, Nxb Giáo dục. Song ngữ Pháp – Việt 1. Annie Bessot, Claude Comiti (Đại học Joseph Fourrier – Grenoble I), Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh) (2009), Những vấn đề cơ bản của Didactic Toán, Nxb Đại học quốc gia TP.Hồ Chí Minh. 1 PHỤ LỤC1.Phiếu bài tập thực nghiệm trên học sinh (lớp 12). Họ và tên HS:……………………………………………………………………… Lớp:…………………………Trường:……….………………………..…………... Các em thân mến! Phiếu này gồm bốn bài toán.Các em có 30 phút trình bày lời giải vào phần trống bên x > −
5 2 −
5 2 dưới.Lời giải không nhằm mục đích đánh giá học lực của các em mà chỉ để góp phần cải thiện việc dạy và học Toán.Xin cảm ơn sự tham gia của các em.
)
Bài 1.Giải BPT mũ sau: ( ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 2 x x x
− + 2 2 > −
7 2 −
7 2 ..................................................................................................................................... ) ( ) Bài 2.Giải BPT mũ sau: ( ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... log 1x
> ..................................................................................................................................... −
2 1 ( ) Bài 3.Giải BPT mũ sau: ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... 2 2 x x x + − > log 5 6 log )
−
1 ) −
3 1 −
3 1 ) ( ( ( ) ( Bài 4.Giải BPT mũ sau: ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... ..................................................................................................................................... NHÁP Ở ĐÂY 3 Phụ lục 2.Một số bài làm của SV trong thực nghiệm. 2. Bài toán 2. 4 5ptmu:Giải phương trình mũ cơ bản có dạng
bptmu: Giải bất phương trình mũ đơn giản có dạng
bptmu: Giải bất phương trình mũ đơn giản có dạng
ptmu: Giải phương trình mũ đơn giản có dạng
bptmu :Giải bất phương trình mũ đơn giản bằng
bptmu:Giải bất phương trình mũ đơn giản bằng cách
ptmu: Giải phương trình mũ đơn giản bằng cách đặt ẩn
bptmu: Giải bất phương trình mũ đơn giảncó dạng
ptmu: Giải phương trình mũ đơn giản có dạng:
(
log 3 .2
3
)2
ptmulà tìm được
bptmu: Giải bất phương trình mũ đơn giản có dạng
ptmu: Giải phương trình mũ đơn giản có dạng
ptmu .Giải phương trình mũ đơn giản bằng cách áp
1.2.4. Bất phương trình logarit cơ bản
1.2.5. Bất phương trình logarit đơn giản
1.2.6. Phân tích các TCTH liên quan đến BPT logarit
bptlog: Giải bất phương trình logarit cơ bản có dạng
ptlog: Giải phương trình logarit cơ bản có dạng
1a< < dẫn đến sai lầm.
bptlog: Giải bất phương trình logarit đơn giản có dạng
ptlog: Giải phương trình logarit đơn giản có dạng
bptlog: Giải bất phương trình logarit đơn giản bằng
bptlog: Giải bất phương trình logarit đơn giản bằng
ptlog: Giải phương trình logarit đơn giản bằng phương
bptlog: Giải bất phương trình logarit đơn giản có dạng
ptlog:Giải phương trình logarit đơn giản có dạng
ptlog: Giải phương trình logarit đơn giản có dạng
ptlog :Giải phương trình logarit đơn giản bằng cách áp
ptτ
6.1
ptτ
6
ptτ
6.2
2. Các dạng sai lầm mà HS thường gặp khi giải các bài tập BPT mũ
vàlogarit
2.1. Sai lầm có tính hệ thống và có thể dự đoán trước được
2.1.1. Không xác định đúng TXĐ của hàm số mũ và logarit
2.1.2. Học sinh không quan tâm đến TXĐ của BPT logarit
2.2. Sai lầm do quan niệm
2.3. Sai lầm do tồn tại qui tắc hành động
Kết luận chương 1
Chương 2. THỰC NGHIỆM
2.1. Giới thiệu thực nghiệm
PHIẾU THỰC NGHIỆM
2.2. Phân tích tiên nghiệm (apriori)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
)
(
1S : Cùng cơ số.
(
)1
(
)1
(
)1
'S : Sử dụng đồ thị.
'S : Cùng cơ số.
'S sẽ được
'S sẽ được ưu tiên
'S trong bài toán 3 với lời giải 1 xuất hiện với tỉ lệ cao
'S : “ Sử dụng phương pháp đồ thị ” ở bài toán 3 khả năng
'S trong bài toán 4 với lời giải 1 xuất hiện với tỉ lệ cao
2.3. Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài toán thực nghiệm.
'
1S :Cùng cơ số.
'S : Sử dụng đồ thị.
1S : “Cùng cơ số” với lời giải 1. Không có SV
'
1S với các lời giải 2, 3, 4, 5, 6. Không có SV nào sử dụng
'S : “ Sử dụng phương pháp đồ thị ” khi giải bài toán này.
'
1S cho lời giải 1
'
1S : Cùng cơ số.
1S :“Cùng cơ số” với lời giải 1. Có
1S với lời giải 2.Không có SV nào sử
1S với lời giải 1.1, 3, 4, 5, 6.Không có SV nào sửdụng chiến lượcS4
'
1S : “Cùng cơ số” với lời giải 1, chứng tỏ sự tồn tại qui tắc hành động R2 ở SV(HS)
1S cho lời giải 1.
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC
1. Bài toán 1:
3. Bài toán 3
4. Bài toán 4
