Luận văn Thạc sĩ Giáo dục học: Nghiên cứu didactic về giải bài toán bằng cách lập phương trình ở THCS

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Kiều Mỹ Ý

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Ở THCS

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Kiều Mỹ Ý

NGHIÊN CỨU DIDACTIC VỀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH Ở THCS

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin dành những dòng đầu tiên của luận văn để gửi đến TS. Trần Lương

Công Khanh lời cảm ơn chân thành vì quãng thời gian được thầy tận tình hướng

dẫn, giúp đỡ về mặt nghiên cứu lẫn niềm tin để thực hiện luận văn này.

Bên cạnh đó, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với PGS.TS. Lê Thị Hoài Châu,

PGS.TS. Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Đoàn Hữu Hải và các

quý thầy cô trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng

dạy, truyền thụ những tri thức quý báu trong suốt thời gian 2 năm của chương trình

cao học chuyên ngành Lý luận và phương pháp dạy học môn toán. Ngoài ra, tuy chỉ

được gặp mặt trong một thời gian ngắn ngủi, nhưng các góp ý về luận văn, những

chỉ dẫn về didactic của PGS.TS. Claude Comiti, PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain

Birebent đã gợi mở cho tôi và các bạn học cùng khóa những quan niệm mới, rõ ràng

hơn về didactic.

Tôi cũng rất cảm ơn các thầy, cô trong khoa Toán-Tin trường Đại học Sư

phạm Thành phố Hồ Chí Minh, các bạn học cùng khóa 20, đặc biệt là chị Võ Mai

Như Hạnh, em Tôn Nữ Khánh Bình và gia đình đã luôn động viên, khích lệ, quan

Kiều Mỹ Ý

tâm và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian thực hiện luận văn này.

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ..................................................................................................................... 1

CHƯƠNG I: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH – TRI

THỨC CẦN DẠY ....................................................................................................... 6

1.1 GBTBCLPT trong chương trình toán THCS ................................................ 6

1.2 GBTBCLPT trong SGK Toán THCS ............................................................ 7

1.2.1 GBTBCLPT trong SGK toán 8 ............................................................... 7

1.2.2 GBTBCLPT trong SGK toán 9 ............................................................. 12

CHƯƠNG II: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH – TRI

THỨC TIẾP THU ..................................................................................................... 31

2.1 Phân tích thực hành giảng dạy của GV ....................................................... 31

2.2 Tri thức tiếp thu được của học sinh ............................................................. 33

CHƯƠNG III: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM .................................................... 38

3.1 Đối tượng và hình thức thực nghiệm ........................................................... 38

3.2 Phân tích tiên nghiệm (a_priori) các bài toán thực nghiệm......................... 39

3.2.1 Xây dựng các bài toán thực nghiệm ..................................................... 39

3.2.2 Phân tích chi tiết các bài toán ............................................................... 42

3.3 Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài toán thực nghiệm ................... 58

3.3.1 Các bài toán dành cho HS lớp 8 ........................................................... 58

3.3.2 Các bài toán dành cho HS lớp 9 ........................................................... 61

3.3.3 Các bài toán dành cho HS lớp 10 ......................................................... 66

KẾT LUẬN ............................................................................................................... 75

TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 77

PHỤ LỤC ......................................................................................................................

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

GV: Giáo viên

HS: Học sinh

SGK: Sách giáo khoa

SBT: Sách bài tập

SGV: Sách giáo viên

PT: Phương trình

HPT: Hệ phương trình

GBTBCLPT: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

GBTBCLHPT: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

THCS: Trung học Cơ Sở

THPT: Trung học Phổ Thông

G8: Sách Toán 8 tập 2

G9: Sách Toán 9 tập 2

E8: Sách Bài tập Toán 8 tập 2

E9: Sách Bài tập Toán 9 tập 2

M8: Sách giáo viên Toán 8 tập 2

M9: Sách giáo viên Toán 9 tập 2

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

GBTBCLPT là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình

toán ở bậc THCS và thường xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THCS những năm

trước cũng như đề thi tuyển sinh vào lớp 10 những năm gần đây. Theo SGV, mấu

chốt của kiến thức này là cung cấp cho HS biết cách lập PT xuất phát từ tình huống

thực tế của bài toán và khả năng toán học hóa tình huống thực tế là một trong những

yêu cầu quan trọng trong dạy học môn Toán. Chủ đề GBTBCLPT đã được giới

thiệu cho HS dưới dạng ngầm ẩn từ bậc tiểu học và được tiếp cận tường minh ở bậc

THCS, cụ thể là ở lớp 8 và lớp 9. Có thể thấy vấn đề cần quan tâm khi dạy học chủ

đề này là làm cho HS thấy được ứng dụng thực tế của PT trong khoa học và đời

sống.

Trao đổi với chúng tôi, những người có trách nhiệm ra đề thi tuyển sinh vào

lớp 10 ở các Sở Giáo dục và Đào tạo đều cho rằng GBTBCLPT là một loại toán khó

nhưng không giải thích rõ lý do. Chúng tôi tự hỏi vì sao họ đánh giá rằng đây là loại

toán khó và khó ở điểm nào? Để đi tìm những yếu tố trả lời cho thắc mắc này,

chúng tôi chọn đề tài “Nghiên cứu didactic về giải bài toán bằng cách lập phương

trình ở THCS”.

Trong phạm vi của luận văn này, chúng tôi muốn trước hết làm rõ những yếu

tố liên quan đến mục tiêu quy định trong chương trình hiện hành về dạy học chủ đề

GBTBCLPT và sự cụ thể hóa mục tiêu này trong các SGK cũng như trong thực tế

dạy học ở bậc THCS, từ đó xem xét ảnh hưởng của các yếu tố đó lên hoạt động dạy

của giáo viên cũng như việc học tập của HS. Cụ thể hơn, chúng tôi tiến hành một

nghiên cứu nhằm giải đáp phần nào cho những câu hỏi sau:

Q’1: Chủ đề GBTBCLPT đã được đưa vào chương trình và SGK toán THCS

như thế nào?

Q’2: Yêu cầu của thể chế đối với chủ đề GBTBCLPT là gì? Vì sao loại bài

tập này được coi trọng trong chương trình toán THCS?

Q’3: Ba yếu tố chương trình, SGK và thực tế giảng dạy của GV ảnh hưởng

ra sao đến HS trong việc học GBTBCLPT? Những chướng ngại và ngộ nhận của

HS khi thực hành giải toán?

2. Mục đích nghiên cứu và khung lý thuyết tham chiếu

Để tìm kiếm các yếu tố cho phép trả lời các câu hỏi trên, chúng tôi đặt

nghiên cứu của mình trong khuôn khổ của lý thuyết didactic toán. Cụ thể là thuyết

nhân học, khái niệm hợp đồng didactic.

• Thuyết nhân học

Giới thiệu khái niệm praxéologie, quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân.

Tiếp cận theo các praxéologie là công cụ tiếp cận mối quan hệ thể chế và

phân tích thực tế dạy học. Cụ thể:

Việc xây dựng các tổ chức toán học gắn với chủ đề GBTBCLPT sẽ cho

phép:

- Vạch rõ đặc trưng của mối quan hệ thể chế với đối tượng tri thức GBTBCLPT,

góp phần trả lời cho các câu hỏi Q’1và Q’2.

- Hiểu được mối quan hệ cá nhân (GV và HS) trong thể chế duy trì với đối tượng

tri thức GBTBCLPT, từ đó góp phần trả lời cho câu hỏi Q’3.

• Hợp đồng didactic

Một sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của GV và HS đối

với các đối tượng tri thức toán học đem giảng dạy.

Hợp đồng didactic cho phép giải thích những ứng xử của GV và HS, tìm ra ý

nghĩa của những hoạt động mà họ tiến hành, từ đó có thể giải thích một cách rõ ràng

và chính xác những sự kiện quan sát được trong lớp học. Cụ thể:

Trong quá trình dạy học đối tượng tri thức GBTBCLPT, hợp đồng didactic

cho phép:

- Chỉ rõ những quy tắc chi phối ứng xử của GV và HS có ảnh hưởng đến việc ứng

xử của HS khi gặp bài toán thực tiễn, bổ sung các ý trả lời cho câu hỏi Q’1 và

Q’3.

- Tạo ra một tình huống phá vỡ hợp đồng, góp phần trả lời cho câu hỏi Q’3.

Trong khuôn khổ phạm vi lý thuyết tham chiếu đã lựa chọn, chúng tôi trình

bày lại dưới đây những câu hỏi mà việc tìm kiếm một số yếu tố cho phép trả lời

chúng là trọng tâm nghiên cứu của luận văn này:

• Q1: Mối quan hệ thể chế đối với chủ đề GBTBCLPT? Những quy tắc nào của

hợp đồng didactic liên quan đến tri thức GBTBCLPT?

• Q2 : Những dạng toán nào liên quan đến GBTBCLPT được trình bày trong

SGK? Những chiến lược nào được đề nghị? Những chiến lược được ưu tiên?

• Q3 : Những điểm khác nhau giữa tri thức cần dạy và tri thức tiếp thu? Điều này

ảnh hưởng ra sao đến HS?

3. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc luận văn

Phương pháp nghiên cứu:

Để tìm kiếm những yếu tố cho phép trả lời 3 câu hỏi trên, chúng tôi tiến

hành thực hiện nghiên cứu như sau:

• Phân tích chương trình, các tài liệu hướng dẫn giảng dạy, SGK, SBT và một số

đề thi tuyển sinh vào lớp 10 để có thể thấy được các chiến lược được đề nghị và

những chiến lược ưu tiên.

• Mặt khác chúng tôi cũng phân tích chương trình, SGK, các tài liệu hướng dẫn

giảng dạy và bài làm của HS để thấy được tri thức cần dạy và tri thức tiếp thu.

Sau đó chúng tôi phân tích hai tri thức ấy để thấy được những điểm khác nhau

của chúng

• Từ đây đưa ra những giả thuyết nghiên cứu

• Dự giờ và quan sát lớp học (để nhận thấy rõ tri thức được dạy từ đó có thể trả lời

cho những giả thuyết được nêu cũng như giải thích được phần nào nguyên nhân

dẫn đến sự khác biệt giữa hai tri thức cần dạy và tiếp thu)

• Đưa ra bộ câu hỏi thực nghiệm (kiểm chứng lại những giả thuyết và tiếp tục giải

tìm ra phần nào nguyên nhân dẫn đến sự khác biệt giữa hai tri thức cần dạy và

tiếp thu)

Chúng tôi cụ thể hóa bằng sơ đồ sau

NGHIÊN CỨU TRI THỨC TIẾP THU NGHIÊN CỨU TRI THỨC CẦN DẠY

GIẢ THUYẾT NGHIÊN CỨU

THỰC NGHIỆM

Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận và 3 chương I, II và III.

Phần mở đầu: Chúng tôi trình bày lý do chọn đề tài, câu hỏi xuất phát, mục đích

nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và giới thiệu

cấu trúc của luận văn

Chương I: Giải bài toán bằng cách lập phương trình – tri thức cần dạy

1.1 GBTBCLPT trong chương trình toán THCS

1.2 GBTBCLPT trong SGK toán THCS

Chương II: Giải bài toán bằng cách lập phương trình – tri thức tiếp thu

2.1 Phân tích thực hành giảng dạy của GV

2.2 Tri thức tiếp thu được của HS

Chương III: Thực nghiệm

3.1 Đối tượng và hình thức thực nghiệm

3.2 Phân tích tiên nghiệm (a_priori) các bài toán thực nghiệm

3.3 Phân tích hậu nghiệm (a_posteriori) các bài toán thực nghiệm

Phần kết luận: Tóm tắt những kết quả đạt được, chỉ ra những lợi ích của đề tài,

đồng thời mở rộng hướng nghiên cứu cho luận văn

Trong khuôn khổ luận văn này chúng tôi chỉ chú ý phân tích cách đặt ẩn và

biểu diễn các đại lượng liên quan theo ẩn để lập được PT của HS mà thôi và

chúng tôi không xem xét đến cách HS giải PT như thế nào.

Sau khi phân tích sơ lược về các bài làm của HS đối với loại toán thuộc chủ

đề GBTBCLPT chúng tôi nhận thấy rằng khi làm bài HS đều chọn ẩn là đại

lượng cần tìm. Chúng tôi luôn tự hỏi rằng: điều gì đã dẫn dắt các em đến cách

làm như thế? Để có thể trả lời cho câu hỏi này chúng tôi tiến hành nghiên cứu

GBTBCLPT với tri thức cần dạy.

CHƯƠNG I

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

TRI THỨC CẦN DẠY

Mục đích nghiên cứu của chúng tôi trong chương này là tìm kiếm các yếu tố

trả lời cho câu hỏi Q1“Mối quan hệ thể chế đối với chủ đề GBTBCLPT? Những

quy tắc nào của hợp đồng didactic liên quan đến tri thức GBTBCLPT?”

1.1 GBTBCLPT trong chương trình toán THCS

Chủ đề GBTBCLPT được đưa vào giảng dạy ở chương 3 có tên gọi “Phương

trình bậc nhất một ẩn” trong chương trình toán lớp 8. Cụ thể là bài 6 và 7: “Giải

bài toán bằng cách lập phương trình”. Mục tiêu của bài này là giúp HS:

“_ Nắm được các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình

_ Biết vận dụng để giải một số dạng toán bậc nhất không quá phức tạp” [G8,

trang 26]

Trong mục những điểm cần lưu ý, G8, trang 26 có đoạn viết:

“Giải bài toán bằng cách lập phương trình là một trọng tâm của Đại số 8. Có

thể gặp lại ở đây nhiều bài toán ở lớp dưới, chỉ khác là giải bằng phương pháp

đại số. Nó đòi hỏi khả năng phân tích và trừu tượng hóa các sự kiện cho trong

bài toán thành các biểu thức và phương trình. Nó đòi hỏi kĩ năng giải phương

trình và lựa chọn nghiệm thích hợp.”

 Những trích dẫn trên cho thấy khả năng toán học hóa các tình huống thực tế

rất quan trọng trong việc giải các bài toán bận nhất và bậc hai (ở đây chúng

tôi gọi toán bậc nhất và bâc hai là những bài toán mà ta có thể giải nhờ xây

dựng một PT quy về bậc nhất hoặc bậc hai và giải PT này), bên cạnh đó còn

chỉ ra cho chúng ta cách giải mới bằng phương pháp đại số ngoài cách giải

bằng phương pháp số học đã được học trước đây

Ở bài 6 “Giải bài toán bằng cách lập phương trình”, vấn đề trọng tâm là biểu

diễn sự tương quan giữa các đại lượng bởi một biểu thức của một ẩn, trong đó ẩn

số đại diện cho một đại lượng nào đó chưa biết

Ở bài 7 “Giải bài toán bằng cách lập phương trình (tiếp)”, vấn đề trọng tâm

là việc biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng bằng phương pháp lập bảng

Đến lớp 9, “Giải bài toán bằng cách lập phương trình” được gặp lại ở bài 8:

=

≠

y

2( ax a

0)

“Giải bài toán bằng cách lập phương trình” (thuộc chương 4: – “Hàm số

– Phương trình bậc hai một ẩn”). Mục tiêu của bài này là giúp học

sinh

“_ Biết chọn ẩn, đặt điều kiện cho ẩn

_ Biết cách tìm mối liên hệ giữa các dữ kiện trong bài toán để lập phương

trình

_ Biết trình bày bài giải của một bài toán bậc hai”

Với mục tiêu trên thì GBTBCLPT là phương tiện để PT được sử dụng như

công cụ tường minh trong việc giải các bài toán nhất và bậc hai, đồng thời nêu

ra “ẩn số đại diện cho một đại lượng nào đó chưa biết” có thể thấy được đây

chính là một trong những nguyên nhân dẫn đến việc HS luôn chọn ẩn là đại

lượng cần tìm

1.2 GBTBCLPT trong SGK Toán THCS

1.2.1 GBTBCLPT trong SGK Toán 8

Chương III: “Phương trình bậc nhất một ẩn” trong M8 gồm các nội dung sau

- Mở đầu về phương trình

- Phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải

- Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0

- Phương trình tích

- Phương trình chứa ẩn ở mẫu

- Giải bài toán bằng cách lập phương trình

- Giải bài toán bằng cách lập phương trình (tiếp)

Trong đó GBTBCLPT được trình bày riêng ở hai bài cuối chương.

Biểu diễn một đại lượng bởi biểu thức chứa ẩn

M8 xây dựng cách biểu diễn một đại lượng chứa ẩn như sau

“Trong thực tế, nhiều đại lượng biến đổi phụ thuộc lẫn nhau. Nếu kí hiệu một

trong các đại lượng ấy là x thì các đại lượng khác có thể được biểu diễn dưới

dạng một biểu thức của biến x.

Ví dụ 1: Gọi x (km/h) là vận tốc của một ôtô. Khi đó:

Quãng đường ôtô đi được trong 5 giờ là 5x (km).

100 x

Thời gian để ôtô đi được quãng đường 100km là (h).

Giả sử hàng ngày bạn Tiến dành x phút để tập chạy. Hãy viết biểu thức với biến

x biểu thị:

a) Quãng đường Tiến chạy được trong x phút, nếu chạy với vận tốc

trung bình là 180m/ph.

b) Vận tốc trung bình của Tiến (tính theo km/h), nếu trong x phút

Tiến chạy được quãng đường 4500m.

Gọi x là số tự nhiên có hai chữ số (ví dụ x = 12). Hãy lập biểu thức biểu thị số

512→ , tức là 500 +

tự nhiên có được bằng cách:

a) Viết thêm chữ số 5 vào bên trái số x (ví dụ:12

125→ , tức là

12);

×

12 10 5

+ ).”

b) Viết thêm chữ số 5 vào bên phải số x (ví dụ: 12

Từ đoạn trích trên chúng tôi có nhận xét sau:

Trước hết M8 xét bài toán quen thuộc với HS trước đây là bài toán vận tốc,

qua đó đưa vào cách biểu diễn các đại lượng chứa ẩn và các đại lượng phụ thuộc

lẫn nhau. Sự xuất hiện của hoạt động 1 nhằm củng cố cách biểu diễn các đại lượng

phụ thuộc theo một đại lượng cho trước. Một điểm đáng chú ý ở đây là yêu cầu

trong hoạt động 1 và hoạt động 2 là giống nhau tuy nhiên ở hoạt động 2 là một bài

toán về số tự nhiên, có thể đây là dụng ý của các tác giả nhằm nhấn mạnh lại việc

biểu diễn các đại lượng phụ thuộc theo một đại lượng cho trước. Tuy nhiên, ở đây

lại được đưa vào hai dạng toán là toán về chuyển động và toán về tìm số, để cho

HS thấy rằng ta không chỉ biểu diễn các đại lượng phụ thuộc trong các bài toán về

chuyển động mà còn các dạng toán khác nữa.

Trong ví dụ 2 (bài toán cổ):

“Vừa gà vừa chó

Bó lại cho tròn

Ba mươi sáu con

Một trăm chân chẵn.

Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?”

Đây là một bài toán số học quen thuộc thường được xuất hiện trong SGK

THCS. Điều này làm cho ta thấy được việc tìm ra một phương pháp giải khác

ngoài phương pháp số học (trước đây đã được dùng để giải bài toán này) cho các

bài toán số học và trong ví dụ này mục đích là giới thiệu cách giải bằng phương

pháp đại số.

Ta thấy rằng trong đề bài yêu cầu tìm số gà, số chó, và trong phần hướng

dẫn giải của SGK là gọi ẩn là số gà. Sau đó ở hoạt động 3 lại yêu cầu HS giải lại

bài toán trên với cách gọi ẩn là số chó, và 19/19 bài tập trong SGK đều được

SGK hướng dẫn giải với cách chọn ẩn là đại lượng cần tìm.

Chúng tôi đặt ra câu hỏi: Tại sao SGK lại trình bày như thế, đây có phải

là bước đầu để hình thành nên một quy tắc hành động trong HS: chọn ẩn là đại

lượng cần tìm hay không? Câu trả lời phần nào được thể hiện 1 cách ngầm ẩn

trong phần trả lời hoạt động 2 bài 7 trang 28 của G8: “Cách chọn ẩn này dẫn đến

phương trình giải phức tạp hơn; cuối cùng còn phải làm thêm một phép tính nữa

mới ra đáp số” (hoạt động 2 này yêu cầu chọn ẩn không phải là đại lượng cần

tìm và nêu nhận xét) thêm vào đó sau bài đọc thêm trang 30 của M8 có chú ý

như sau: “Trong cách giải trên đây, mặc dù bài toán hỏi tổng số áo may theo kế

hoạch, nhưng chúng ta đã không chọn đại lượng đó làm ẩn…” theo như trong

chú ý trên cũng ngầm nói rằng các bài toán trước đây đã luôn chọn ẩn là đại

lượng cần tìm.

Bên cạnh đó chúng tôi còn nhận thấy được rằng tất cả các bài toán cho

trong M8 luôn dẫn đến điều kiện của ẩn là số nguyên dương, điều này phần nào

làm cho HS có được cách đặt điều kiện cho ẩn dễ dàng, tuy nhiên cũng chính

điều này làm cho HS nhầm lẫn trong việc luôn cho điều kiện của ẩn là số dương

mà ít quan tâm đến kiến thức thực tế trong quá trình làm bài nên dẫn đến việc

làm sai kết quả cuối cùng của bài toán (khi HS so sánh kết quả tìm được với

điều kiện của ẩn để kết luận)

Ví dụ: Bài 41/trang 58 trong M9

Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người

chọn một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng

150. Vậy hai bạn Minh và Lan phải chọn những số nào?

Bài giải do học sinh trình bày:

Gọi x (x > 0) là số của bạn thứ nhất chọn

x + 5 là số của bạn thứ hai chọn

x x + (

= 5) 150

Tích của hai số là: x(x + 5)

Theo đầu bài ta có phương trình:

∆ =

−

=

+

=

25

− 4.1.( 150)

25 600 625

 x2 + 5x – 150 = 0

⇒ ∆ =

25

=

=

= −

10;

15

Ta có:

⇒ = x 1

x 2

− + 5 25 2

− − 5 25 2

(loại)

Vậy hai số được chọn là: số Minh chọn là 10 và Lan chọn là 15 hoặc ngược

lại.

Bài giải được trình bày trong G9:

Gọi số mà một bạn đã chọn là x và số bạn kia chọn là x + 5.

2

+

+

−

x x (

= 5) 150

hay x

5

x

= 150 0.

Tích của hai số là x(x + 5).

∆ =

=

=

−

−

=

= −

2 25 4.1.( 150) 625 25 ;

10;

15.

Theo đầu bài ta có PT:

x 1

x 2

Giải PT:

Trả lời:

– Nếu bạn Minh chọn số 10 thì bạn Lan chọn số 15 hoặc ngược lại.

– Nếu bạn Minh chọn số –15 thì bạn Lan chọn số –10 hoặc ngược lại.

Đối với bài toán này điều kiện của ẩn là mọi giá trị đều có thể chấp nhận,

nhưng do HS có thói quen đặt điều kiện cho ẩn là số dương nên đã dẫn đến việc

bỏ sót kết quả của bài toán

=

≠

y

2( ax a

0)

1.2.2 GBTBCLPT trong SGK toán 9

=

≠

y

2( ax a

0)

– Phương trình bậc hai một ẩn” Chương IV: “Hàm số

=

≠

y

2( ax a

0)

- Hàm số

- Đồ thị của hàm số

- Phương trình bậc hai một ẩn

- Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

- Công thức nghiệm thu gọn

- Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

- Phương trình quy về phương trình bậc hai

- Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Trong đó GBTBCLPT được trình bày riêng một bài ở cuối chương.

“Ví dụ. Một xưởng may phải may xong 3000 áo trong một thời gian quy

định. Để hoàn thành sớm kế hoạch, mỗi ngày xưởng đã may được nhiều hơn 6 áo so

với số áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 5 ngày trước khi hết thời

hạn, xưởng đã may được 2650 áo. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may

xong bao nhiêu áo?

x

∈ Ν > ,

x

0

)

. Giải. Gọi số áo phải may trong 1 ngày theo kế hoạch là x (

3000 x

(ngày). Thời gian quy định may xong 3000 áo là

Số áo thực tế may được trong 1 ngày là x + 6 (áo).

2650 6x +

Thời gian may xong 2650 áo là (ngày).

− = 5

Vì xưởng may xong 2650 áo trước khi hết hạn 5 ngày nên ta có PT

3000 x

2650 + x 6

.

−

+

+

=

x

2 64 −

x

x

− 6) 5 (

x x

6)

2650

x

Giải PT trên:

= 3600 0,

2

+

∆ =

=

4624,

∆ = '

68,

' 32 =

3600 =

+

=

= −

32 68 100,

− 32 68

36,

x 1

x 2

36

3000( hay

x = − 2

không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Trả lời. Theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may xong 100 áo.”

Mở đầu bài SGK trình bày ví dụ là bài toán năng suất như trên (tương tự bài

toán năng suất đã được xuất hiện đầu tiên ở bài đọc thêm trong M8) và điều đặc biệt

ở đây là nguyên một bài giảng chỉ có một ví dụ và một hoạt động (bài toán về diện

tích) mà ngoài ra không còn phần nào khác nữa. Có thể thấy SGK chỉ nêu ra các bài

toán số học quen đã được gặp ở các lớp dưới để HS có thể tiếp thu một phương

pháp giải mới đó là phương pháp đại số một cách dễ dàng hơn. Điều đáng chú ý ở

đây là trong phần giải các bài toán được trình bày trong M9 vẫn gọi ẩn là đại lượng

cần tìm và điều kiện của ẩn cũng là số nguyên dương. Cũng tương tự như ở M8, các

bài tập trong M9 đều được trình bày hướng dẫn giải trong G9 với cách chọn ẩn là

đại lượng cần tìm.

Ví dụ: Bài 43/trang 58 trong M9

Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường

sông dài 120 km. Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi

về, xuồng đi theo đường khác dài hơn đường lúc đi 5 km và với vận tốc nhỏ hơn

vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng

thời gian đi.

Bài giải được trình bày ở trang 61 trong G9

Gọi vận tốc của xuồng lúc đi là x (km/h), x > 0, thì vận tốc lúc về là x – 5

(km/h).

Thời gian đi 120 km là: 120/x (giờ).

Vì khi đi có nghỉ 1 giờ nên thời gian lúc đi hết tất cả là: 120/x + 1 (giờ)

Đường về dài 120 + 5 = 125 (km).

125 5x −

Thời gian về là: (giờ).

+ = 1

120 x

125 − x 5

Theo đầu bài ta có PT:

+

−

−

= ;

2 5 −

x

x

120

x

= 600 125

x

⇔ − x

2 10

x

600 0

=

= −

Giải PT:

30;

20

x 1

x 2

(loại).

Trả lời: Vận tốc của xuồng khi đi là 30 km/h.

Ví dụ: Bài 49/trang 59 trong M9

Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong

việc. Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày.

Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc?

Bài giải được trình bày ở trang 63 của G9

Gọi thời gian đội I làm một mình xong việc là x (ngày), x > 0.

Vì đội II hoàn thành công việc lâu hơn đội I là 6 ngày nên thời gian một mình

đội II làm xong việc là x + 6 (ngày).

Mỗi ngày đội I làm được 1/x (công việc),

1 6x +

(công việc). Mỗi ngày đội II làm được

+

=

Mỗi ngày cả hai đội làm được ¼ (công việc).

1 +

1 x

x

6

1 4

Ta có PT: .

'

+

+

+

−

∆ = +

=

Giải PT:

x x (

= 6) 4

x

4

x

24

= ; 24 0

2 1 24 5

=

= − (loại).

6,

4

x 1

x 2

; hay 2 2 x− x

Trả lời: Một mình đội I làm trong 6 ngày thì xong việc;

Một mình đội II làm trong 12 ngày thì xong việc.

Các dạng toán được đề cập trong SGK, SBT đối với chủ đề GBTBCLPT

Tts: Toán tìm số

Tcđ: Toán chuyển động

Tns: Toán năng suất

Thh: Toán hình học

Tkh: Toán có nội dung khác

Bảng 2.1.Thống kê các bài toán trong SGK, SBT phân loại theo các dạng toán được

đề cập

Các dạng toán Tổng số bài tập M8 E8 M9 E9

được đề cập

10 14 5 5 34 Tts

4 + 1 vd 9 4 7 25 Tcđ

1 3 2 + 1 vd 5 12 Tns

0 1 4 + 1 hđ 2 8 Thh

3 5 3 3 14 Tkh

Tổng cộng 24 27 20 22 93

• Nhận xét:

Trong các dạng toán được đề cập trong SGK, SBT đối với chủ đề

GBTBCLPT, dạng toán về tìm số được cho nhiều nhất tập trung chủ yếu ở lớp 8,

tiếp theo đó là dạng toán về chuyển động với số lượng bài không nhỏ. Có thể

thấy việc hai dạng toán này có số lượng khá cao trong các bài tập là vì đây cũng

là những dạng toán mà HS thường gặp ở các lớp dưới.

Các chiến lược giải gắn với chủ đề GBTBCLPT

• Chiến lược giải số học: Giải toán bằng phương pháp số học

- Dùng các kiến thức về số học đã được học trước đây để suy luận ra

kết quả của bài toán

Ví dụ: Bài tập 35/trang 25 trong M8

“Học kì một, số học sinh giỏi của lớp 8A bằng 1/8 số học sinh cả lớp.

Sang học kì hai, có thêm 3 bạn phấn đấu trở thành học sinh giỏi nữa, do đó số

học sinh giỏi bằng 20% số học sinh cả lớp. Hỏi lớp 8A có bao nhiêu học

sinh?”

Bài giải: Học kì một, số HS giỏi chiếm 1/8 = 12.5% số HS cả lớp

Học kì hai, tăng thêm 3 HS nên số HS giỏi chiếm 20% số HS cả lớp.

 tăng thêm 3 HS thì tỉ lệ tăng thêm là 20% – 12.5% = 7.5% nên số HS của

lớp là 3*100/7.5 = 40 HS

Vậy lớp 8A có 40 HS.

• Chiến lược giải đại số: Giải toán bằng phương pháp đại số

Thực hiện theo trình tự các bước GBTBCLPT được trình bày trong M8

Bước 1. Lập phương trình:

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình,

nghiệm nào thỏa mãn điểu kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Ví dụ: Bài tập 46/trang 59 trong M9

“Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 m2. Nếu tăng chiều rộng 3 m và

giảm chiều dài 4 m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh

đất”

Bài giải được trình bày ở trang 62 trong G9

“Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (m), x > 0.

240 x

Vì diện tích của mảnh đất bằng 240 m2 nên chiều dài là: (m).

−

4

Nếu tăng chiều rộng 3 m và giảm chiều dài 4 m thì mảnh đất mới có chiều

3x + (m), chiều dài là

240 x

  

  

2

+

−

x

3

m

)

(

)

240 x

  

 4 (  

rộng là (m) và diện tích là:

+

−

=

Theo đầu bài ta có PT:

x

3

4

240

(

) 240   x 

  

−

−

+

+

.

24 x

12

x

240

x

= 720 240

x

−

Vì x > 0 nên từ phương trình này suy ra

= .

x

x+ 2 3

180 0

∆ =

+

∆ =

hay

23

= 720 729,

27

=

= −

Giải PT:

12,

15

x 1

x 2

(loại).

Do đó, chiều rộng là 12 m, chiều dài là 240 : 2 = 20 (m).

Trả lời: Mảnh đất có chiều rộng là 12 m, chiều dài là 20 m »

Chúng tôi nhận thấy rằng cả hai dạng toán về tìm số và chuyển động được

SGK và SBT đưa vào nhiều nhất, Mặt khác có không ít bài trong hai dạng toán này

có thể thực hiện cả hai chiến lược giải trên để giải quyết. Tuy nhiên, phần trình bày

cách giải của các bài toán trong SGK, SBT và SGV đều chỉ sử dụng chiến lược đại

số để giải quyết các bài toán đó mà thôi. Như vậy chúng tôi cho rằng chiến lược đại

số được chương trình ưu tiên chọn lựa trong việc giải quyết các bài toán bậc nhất và

bậc hai.

Bên cạnh đó, số lượng bài tập của dạng toán về năng suất không nhiều, tuy

nhiên phần lớn trong các bài tập này nếu chúng ta chọn ẩn gián tiếp thì dẫn đến lời

giải tốt hơn khi chọn ẩn theo cách trực tiếp.

Phân tích trên đã chỉ ra rằng cả 2 sách M8 và M9 đều không trình bày tường

minh cách chọn ẩn số. Tuy nhiên, trong phần nhận xét trả lời hoạt động 2 bài 7

trang 28 của G8 và phần chú ý ở cuối bài đọc thêm, đã gợi mở ngầm ẩn rằng chọn

ẩn là đại lượng cần tìm. Bên cạnh đó, các lời giải trong SGK, SBT và nhiều sách

tham khảo cũng đều cung cấp một khuôn mẫu duy nhất: chọn đại lượng cần tìm là

ẩn hay có thể gọi là chọn ẩn theo cách trực tiếp. Cách gợi ý ngầm ẩn cho việc chọn

ẩn đã phần nào giúp ích cho HS trong việc đặt ẩn được dễ dàng nhưng bên cạnh đó

đôi khi việc chọn ẩn theo cách trực tiếp làm cho việc tìm ra kết quả bài toán gặp

nhiều khó khăn hơn chọn ẩn theo cách gián tiếp. Mặt khác, có một số bài toán mà

nếu chọn ẩn khác đi (theo cách gián tiếp) ta vẫn thu được kết quả tương tự, thậm chí

đôi khi lời giải còn tốt hơn. Dưới đây là một số dẫn chứng:

“Bài 2 trang 79: Một ôtô đi từ A đến B. Cùng một lúc ôtô thứ hai đi từ B đến A

với vận tốc bằng 2/3 vận tốc của ôtô thứ nhất. Sau 5 giờ chúng gặp nhau. Hỏi mỗi

ôtô đi cả quãng đường AB mất bao lâu?

Lời giải 1 (Chọn số liệu cần tìm là ẩn): Gọi x (h) là thời gian để ôtô 1 đi hết

quãng đường AB (x > 5). Vận tốc của ôtô 1 là AB/x. Vận tốc của ôtô 2 là 2AB/3x.

AB x

2 AB 3 x

5 AB 3 x

trong một giờ, cả hai ôtô đi được + . Vì hai ôtô gặp nhau sau 5 =

giờ nên ta có phương trình:

5 AB 3 x

5. = AB

25 x3

⇔ = 1

25 3

⇔ x = (thỏa điều kiện)

2 AB 3 x

2AB 25

= . Vậy ôtô 1 đi hết quãng đường AB trong 8h20. Vận tốc của ôtô 2 là

Thời gian ôtô 2 đi hết quãng đường AB là:

2AB = 25

25 (h) = 12h30. 2

AB:

+

x

Lời giải 2 (Chọn ẩn bằng cách khác): Gọi x (km/h) là vận tốc ôtô 1 (x > 0). Vận

x 2 3

25x 3

  

  5 

. Thời gian ôtô = tốc ôtô 2 là 2x/3 (km/h). Độ dài quãng đường AB là

25x 3

25 3

: x = (h) = 8h20. Thời gian ôtô 2 đi hết quãng 1 đi hết quãng đường AB là

25x 3

2x 3

25 2

= (h) = 12h30. : đường AB là

Lời giải 2 dường như không có phương trình. Thật ra, lời giải 2 vẫn sử dụng các

phương pháp của bài toán bậc nhất nhưng nhờ chọn ẩn thích hợp, phương trình đã

trở thành hằng đẳng thức.

Bằng phương pháp tương tự, ta tìm được nhiều lời giải khác nhau cho một lượng

không nhỏ các bài toán bậc nhất trong sách Đại số 8:

Bài 4 trang 80: Một ôtô du lịch đi từ A đến C. Cùng một lúc từ địa điểm B trên

đoạn đường AC, có một ôtô vận tải cùng đi đến C. Sau 5 giờ hai ôtô gặp nhau tại C.

Hỏi ôtô du lịch đi từ A đến B mất bao lâu, biết rằng vận tốc của ôtô vận tải bằng

3/5 vận tốc của ôtô du lịch?

Lời giải 1 (Chọn số liệu cần tìm là ẩn): Gọi x (h) là thời gian ôtô du lịch đi từ A

AB x

đến B (0 < x < 5). Vận tốc ôtô du lịch là AB/x. Độ dài quãng đường AC là 5. =

3 5

AB x

3 AB 5 x

3 AB 5 x

AB5 x

. Vận tốc ôtô vận tải là . = . Độ dài quãng đường BC là 5. =

AB3 x

. Ta có phương trình:

AB + BC = AC

AB3 x

AB5 x

⇔ AB + =

3 x

5 x

⇔ 1 + =

⇔ x + 3 = 5 (do 0 < x < 5)

⇔ x = 2 (thỏa điều kiện)

Vậy ôtô du lịch đi hết quãng đường AB trong 2 giờ.

Lời giải 2 (chọn ẩn bằng cách khác): Gọi x (km/h) là vận tốc của ôtô du lịch.

Vận tốc của ôtô vận tải là 3x/5. Độ dài các quãng đường AC và BC lần lượt là 5x

và 3x. Độ dài quãng đường AB là 5x – 3x = 2x. Thời gian ôtô du lịch đi từ A đến B

là 2x : x = 2 (h) (thỏa điều kiện).

Bài 10 trang 81: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược

dòng từ B đến A mất 5 giờ. Tìm khoảng cách giữa hai bến, biết rằng vận tốc của

nước chảy là 2 km/h.

Lời giải 1 (chọn số liệu cần tìm là ẩn): Gọi x (km/h) là khoảng cách AB (x > 0).

Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng và khi ngược dòng lần lượt là x/4 và x/5. Vì vận tốc

khi xuôi dòng lớn hơn vận tốc khi ngược dòng 4 km/h nên ta có phương trình:

x 4

x 5

- = 4

⇔ 5x – 4x = 80

⇔ x = 80 (thỏa điều kiện)

Vậy khoảng cách giữa hai bến A, B là 80 km.

Khó khăn trong lời giải 1 là xác định đúng vận tốc xuôi dòng lớn hơn vận tốc

ngược dòng 4 km/h từ giả thiết vận tốc nước chảy là 2 km/h. Ta có lời giải 2 như

sau:

Lời giải 2 (Chọn ẩn bằng cách khác): Gọi x (km/h) là vận tốc riêng của ca nô (x

> 0). Vận tốc khi xuôi dòng và khi ngược dòng lần lượt là x + 2 và x – 2. Ta có

phương trình

4(x + 2) = 5(x – 2)

⇔ 4x + 8 = 5x – 10

⇔ x = 18 (thỏa điều kiện)

Khoảng cách giữa hai bến A, B là 4(18 + 2) = 80 (km).

Bài 11 trang 81: Đường sông từ thành phố A đến thành phố B ngắn hơn đường

bộ 10 km. Để đi từ A đến B, canô đi hết 3 giờ 20 phút, ôtô đi hết 2 giờ. Vận tốc của

canô kém vận tốc ôtô 17 km/h. Tính vận tốc của canô.

Lời giải 1 (Chọn số liệu cần tìm là ẩn): Gọi x (km/h) là vận tốc của canô (x > 0).

10x 3

Độ dài đoạn đường sông là . Vận tốc ôtô là x + 7. Độ dài đoạn đường bộ là 2(x

+ 17). Ta có phương trình:

10x 3

+ 10 = 2(x + 17)

⇔ 10x + 30 = 6(x + 17)

⇔ 10x + 30 = 6x + 102

⇔ 4x = 72

⇔ x = 18 (thỏa điều kiện)

Vậy vận tốc của canô là 18 km/h.

Lời giải 2 (chọn ẩn bằng cách khác): Gọi x (km) là độ dài đoạn đường sông (x >

3x 10

10 3

= . Độ dài đoạn đường bộ là x = 10. Vận tốc của 0). Vận tốc của canô là x :

10+x 2

. Ta có phương trình: ôtô là

3x 10

10+x 2

+ 17 =

⇔ 3x + 170 = 5(x + 10)

⇔ 3x + 170 = 5x + 50

⇔ 2x = 120

⇔ x = 60 (thỏa điều kiện)

60.3 10

Vận tốc canô là = 18 (km/h).

Bài 7d trang 104 : Một xe lửa đi từ A đến B hết 10 giờ 40 phút. Nếu vận tốc giảm

đi 10 km/h thì nó sẽ đến B muộn hơn 2 giờ 8 phút. Tính khoảng cách giữa A và B và

vận tốc của xe.

320

Lời giải 1 (Chọn AB là ẩn): Gọi x (km) là độ dài quãng đường AB (x > 0). Vận

32 3

3x 32

3x 32

3 −x 32

320

tốc của xe lửa là x : = . Vận tốc xe lửa sau khi giảm là - 10 = .

3 −x 32

32 −x

x 320

3

= . Thời gian xe lửa đi hết quãng đường AB với vận tốc mới là x :

Ta có phương trình:

32 −x

x 320

3

64 5

=

⇔ 160x = 64(3x – 320) (với điều kiện x > 0 và x ≠ 320/3)

⇔ 160x = 192x - 20480

⇔ 32x = 20480

.3

⇔ x = 640 (thỏa điều kiện)

640 32

Vậy quãng đường AB dài 640 km và vận tốc xe lửa là = 60 (km/h).

Lời giải 2 (Chọn vận tốc xe lửa là ẩn): Gọi x (km/h) là vận tốc xe lửa (x > 10).

)10

Vận tốc xe lửa sau khi giảm là x – 10. Ta có phương trình:

32x 3

(64 −x 5

=

⇔ 160x = 192x – 1920

⇔ 32x = 1920

⇔ x = 60 (thỏa điều kiện)

60.32 3

(Trích Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên trung học cơ sở chu kỳ 1997-2002, Trần

Lương Công Khanh, Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Thuận, lưu hành nội bộ.)

= 640 (km). » Vậy vận tốc xe lửa là 60 (km/h) và quãng đường AB dài

Bên cạnh đó, trong phần lớn bài giải của các bài tập trong SGK, SBT và

SGV đều trình bày cách đặt điều kiện cho ẩn là số dương (x > 0).

Ví dụ: Bài 61/trang 62 trong E9

Nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy

nước. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2

giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể?

Bài giải được trình bày ở trang 89 trong E9

Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x (giờ), x > 0.

Thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là x + 2 (giờ).

=

=

175 60

35 12

2 giờ 55 phút giờ.

12 35

(bể). Trong 1 giờ cả hai vòi cùng chảy được

1 x

(bể). Trong 1 giờ vòi thứ nhất chảy được

1 2x +

−

−

+

=

(bể). Trong 1 giờ vòi thứ hai chảy được

= .

26 x

23

x

35 0

1 +

1 x

x

2

12 35

hay Ta có PT:

=

5,

x 1

x 2

7 = − . 6

Giải PT này ta được

Vì x > 0 nên chỉ có giá trị x = 5 thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Trả lời: Vòi thứ nhất chảy một mình trong 5 giờ thì đầy bể.

Vòi thứ hai chảy một mình trong 7 giờ thì đầy bể.

Chúng tôi nhận thấy rằng việc đặt điều kiện cho ẩn trong bài giải trên không

được “chặc”. Vì đề bài cho cả hai vòi cùng chảy thì sau 2 giờ 55 phút mới đầy bể,

nên việc chỉ có vòi thứ nhất chảy vào bể thì thời gian chảy phải nhiều hơn 2 giờ 55

phút mới thỏa yêu cầu chứ không thể nào thời gian của một vòi chảy lại có thể ít

hơn thời gian chảy cùng lúc cả hai vòi. Điều kiện của ẩn trong bài toán này phải là

x >

35 12

thế nhưng bài giải ở trên chỉ trình bày điều kiện của ẩn là x > 0. Đây có thể

là một trong những nguyên nhân dẫn đến việc HS luôn đặt điều kiện dương cho ẩn.

? Như vậy, liệu cách chọn ẩn hay đặt điều kiện cho ẩn như thế có gây trở ngại

hay không cho HS trong việc giải toán? Khi gặp một bài toán mà việc chọn đáp án đúng đòi hỏi phải xét đến thực tế cuộc sống thì HS sẽ ứng xử ra sao1?

Qua phân tích SGK toán THCS chúng tôi có những ghi nhận sau:

Mở đầu chương PT được trình bày như sau:

“Vừa gà vừa chó

Bó lại cho tròn

Ba mươi sáu chân

Một trăm chân chẵn.

Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?

Đó là một bài toán cổ rất quen thuộc ở Việt Nam. Nó có lên hệ gì với bài toán:

Tìm x, biết 2x + 4(36 – x) = 100?

Làm thế nào để tìm được giá trị của x trong bài toán thứ hai, giá trị đó có

giúp ta giải được bài toán thứ nhất không?

Chương này sẽ cho ta một phương pháp mới để có thể dễ dàng giải được

nhiều bài toán được coi là khó nếu giải bằng phương pháp khác.”

Chúng tôi nhận thấy rằng đây là cách đưa vào việc vận dụng quá trình mô

hình hóa một cách tinh tế. Từ một bài toán số học, ta đã liên hệ nó với một bài toán

đại số và tìm cách giải bài toán đại số để có thể dẫn đến kết quả của bài toán số học

và việc đầu tiên ở đây là tìm cách giải bài toán đại số đó. Điều này có thể cho HS

thấy được tri thức về việc giải một PT là công cụ để phục vụ cho việc giải các bài

toán trong thực tế cuộc sống của chúng ta và chúng tôi nghĩ rằng đây là mục đích

thực sự của chương Phương trình mà SGK muốn đưa vào.

Chúng tôi tự hỏi liệu SGK nước ngoài có trình bày cách đặt ẩn và điều kiện

1 Cụ thể, chúng tôi muốn đề cập đến bài toán dẫn đến một phương trình bậc hai có hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện toán học đã đặt từ đầu nhưng một trong hai nghiệm này không thỏa mãn một điều kiện mới phát sinh mà chúng tôi tạm gọi là “điều kiện thực tế”. Chẳng hạn, khi gọi x (km/h) là vận tốc của xe đạp, học sinh đặt điều kiện x > 0 và đi đến một phương trình bậc hai có hai nghiệm là x = 16, x = 80. Hai nghiệm này đều thỏa điều kiện x > 0 nhưng nghiệm x = 80 không phù hợp với vận tốc của xe đạp.

cho ẩn khác biệt so với SGK Việt Nam hay không? Điều này dẫn chúng tôi đến việc

tham khảo SGK Pháp, một nước vừa có nền toán học phát triển, vừa là nơi phát sinh

didactic toán.

Trong phần này, thông qua việc nghiên cứu quyển Mathématiques Seconde S

– Collection Triangle, chúng tôi không đi sâu vào chi tiết cách trình bày của SGK

Pháp mà chỉ rút ra những điểm khác biệt sau đây so với SGK Việt Nam:

GBTBCLPT không được trình bày thành một bài riêng biệt mà được •

trình bày như là nguyên nhân làm phát sinh PT và giải PT. Nói cách khác, bài toán

đang xét giải thích lý do tồn tại (raison d’être) của PT và mang lại ý nghĩa cho việc

giải PT. Như vậy, SGK Pháp xem GBTBCLPT gắn liền với PT trong khi SGK Việt

Nam xem GBTBCLPT là một ứng dụng của PT.

Trong SGK Pháp, lời giải minh họa thường đặt ẩn là đại lượng cần •

tìm và không đặt điều kiện cho ẩn số. Tuy nhiên, SGK Pháp có nêu một số bài tập

và gợi ý HS chọn ẩn khác với đại lượng cần tìm. Dù không đặt điều kiện cho ẩn, giá

trị tìm được luôn được kiểm tra lại (vérification) xem có phù hợp với bài toán hay

không trước khi kết luận.

Trong SGK Pháp, các bài toán được cho ở dạng “đơn giản” hơn SGK •

Việt Nam.

Vậy cách trình bày của SGK Việt Nam có những ưu và khuyết điểm gì? Đặc

biệt là vần đề mô hình hóa ở đây có được thể chế quan tâm đúng mức hay không?

Và chúng còn có những hạn chế nào?

Trong M8 có trình bày tóm tắt các bước GBTBCLPT như sau:

Bước 1. Lập phương trình:

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2. Giải phương trình.

Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm

nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Như vậy chúng tôi nhận thấy rẳng trong 3 bước nêu trên thì bước 1 là quan

trọng nhất vì trong bước này HS phải biết cách toán học hóa tình huống thực tế

nghĩa là phải biết cách phân tích và trừu tượng hóa các sự kiện cho trong bài toán

thành các biểu thức và PT. Và 3 bước nhỏ có trong bước 1 chưa thật sự được rõ

ràng cụ thể, như cách chọn ẩn số thì phải chọn như thế nào, đặt điều kiện cho ẩn số

phải dựa vào yếu tố nào và làm thế nào để có thể lập được PT biểu thị mối quan hệ

giữa các đại lượng một cách chính xác. Như vậy có thể nói phần tóm tắt các bước

giải không phải là thuật toán để GBTBCLPT.

Trong Từ điển toán học thông dụng của Ngô Thúc Lanh có trình bày định

nghĩa “thuật toán” như sau:

“Một dãy hữu hạn những quy tắc cần áp dụng theo một thứ tự xác định vào

một số hữu hạn dữ liệu để sau một số hữu hạn giai đoạn đạt được một kết quả nào

đó một cách chắc chắn (nghĩa là không do dự, không hàm hồ) và điều này không

phụ thuộc vào các dữ liệu.

Một thuật toán không chỉ giải một bài toán duy nhất mà giải cả một lớp bài

toán chỉ khác nhau bởi các dữ liệu nhưng tuân theo cùng những quy định chung.

Ngoài những thuật toán gọi là “bằng số”, còn có những thuật toán khác như

thuật toán trò chơi, thuật toán tìm đường trong một mê lộ v.v…

Trong các thuật toán bằng số, đơn giản nhất có lẽ là thuật toán cộng các số

viết trong hệ thập phân: cộng các chữ số hàng đơn vị, ghi chữ số hàng đơn vị của

tổng đó, nếu có nhớ thì cộng thêm vào hàng chục v.v…

2

−

− ± b

4

ac

=

Một công thức, theo nghĩa thông thường, cho một thuật toán. Chẳng hạn,

x 1,2

b a 2

2

+

+ = .

công thức cho một thuật toán để tìm các nghiệm của phương

ax

bx c

0

trình bậc hai

Thuật toán Euclid là một ví dụ quen biết khác về thuật toán bằng số

Việc sử dụng các thuật toán là bắt buộc trong việc lập trình của phép tính tự

động, nhất là khi gặp các thao tác lặp lại. Một chương trình tin học là một thuật toán

viết trong một ngôn ngữ mà máy tính hiểu được. Nhưng thời gian cần thiết để áp

dụng một thuật toán thường rất lớn. Cho nên yêu cầu về “tính hiệu quả” của một

thuật toán phải được đặt ra và giải quyết.

Đáng tiếc là các bài toán của toán học và logic toán không nhất thiết giải

được bằng thuật toán. Thành thử toán học không quy được về việc xây dựng các

thuật toán và sự phát minh trong toán học là không thể tự động hóa hoàn toàn được.

Thay cho thuật ngữ “thuật toán” trong tin học người ta cũng dùng thuật ngữ

“thuật giải”.”

Như vậy, ta có thể thấy các đặc điểm của thuật toán là:

- Hữu hạn

- Được định nghĩa rõ ràng

Dẫn đến kết quả chắc chắn nếu áp dụng triệt để -

 Các hướng dẫn trong SGK chưa tạo thành thuật toán vì chưa thỏa điều kiện

thứ 2: rõ ràng. Chẳng hạn như chúng tôi phân tích ở trên việc làm thế nào

để lập PT chưa được chỉ rõ.

Tóm lại: Qua phân tích tri thức cần dạy của chủ đề GBTBCLPT chúng tôi

đưa ra những giả thuyết ban đần như sau:

HS luôn ưu tiên chọn ẩn là đại lượng cần tìm dù cách chọn này có thề -

không tạo ra lời giải tối ưu. Ngay cả khi chọn ẩn số bằng cách khác,

mục đích của HS không phải là nhắm đến lời giải tối ưu.

- Sai lầm thường gặp của HS là HS luôn đặt điều kiện dương cho ẩn số

mà không cần quan tâm đến các điều kiện khác của ẩn số.

Từ những giả thuyết ban đầu được đưa ra như trên, chúng tôi muốn tìm hiểu

xem những giả thuyết này có đứng vững hay không? Để có thể trả lời chính xác cho

câu hỏi trên chúng tôi tiếp tục nghiên cứu về tri thức tiếp thu được của HS với chủ

đề GBTBCLPT.

CHƯƠNG II

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH –

TRI THỨC TIẾP THU

Mục đích nghiên cứu của chúng tôi trong chương này là tìm kiếm các yếu tố

trả lời cho câu hỏi Q3 : Những điểm khác nhau giữa tri thức cần dạy và tri thức tiếp

thu? Điều này ảnh hưởng ra sao đến HS?

2.1 Phân tích thực hành giảng dạy của GV

Trong SGK có trình bày cách vẽ bảng tóm tắt bài toán, và trong G8 có trình

bày như sau:

“Trong phần hai,việc biểu diễn sự tương quan giữa các đại lượng bằng

phương pháp lập bảng tỏ ra có nhiều ích lợi, nhất là trong trường hợp bài toán có

nhiều đại lượng với các mối quan hệ phức tạp. Tuy nhiên, giáo viên cần:

- Nhắc nhở học sinh tránh lạm dụng phương pháp lập bảng. Đối với các bài

toán đơn giản, việc lập bảng sẽ làm cho lời giải thêm nặng nề, không cần thiết.

- Uốn nắn cho học sinh cách thức lập bảng như nên chọn dòng, cột như thế

nào để việc biểu diễn các đại lượng được dễ dàng (điều này đã không được thể

hiện trong sách giáo khoa vì tính quá cụ thể của nó).”

Theo cách trình bày của SGK và SGV như thế, vậy GV ứng xử như thế nào

khi giảng dạy? để trả lời cho câu hỏi này chúng tôi có tham gia dự giờ 1 tiết dạy của

GV ở lớp 8 trường THCS Tân Châu ở tỉnh Tây Ninh vào giữa tháng 4 năm 2011,

sau khi phân tích chúng tôi có nhận xét như sau: Trong thực hành giảng dạy, GV

THCS có giới thiệu việc vẽ bảng tóm tắt bài toán trong thời gian đầu nhưng không

bắt buộc HS vẽ bảng tóm tắt bài toán trong lời giải.

SGK không phát biểu tường minh cách đặt ẩn, tuy nhiên như chúng tôi phân

tích ở trên, hầu hết cách bài tập và ví dụ được SGK, SGV và SBT trình bày đều

chọn ẩn là đại lượng cần tìm. Chính điều này làm cho chúng tôi tự hỏi rằng GV ứng

xử như thế nào khi giảng dạy chủ đề GBTBCLPT? Để trả lời cho câu hỏi này chúng

tôi đã tiếp tục tham gia quan sát 1 tiết học của HS lớp 9 trường THCS Sương

Nguyệt Anh ở Tp.hcm vào đầu tháng 5 năm 2011, từ đó chúng tôi rút ra được

những kết luận sau: GV đã giảng dạy một cách tường minh cho HS rằng chọn ẩn là

đại lượng cần tìm

“GV: trong bài toán đố thì bước đầu tiên chúng ta cần làm là gọi ẩn số là

điều người ta hỏi mình nhưng thầy đố các em là chúng ta trước hết chúng ta phải

xác định được điều gì ở đây?

HS: chiều dài và chiều rộng

GV: bây giờ dầu tiên ta gọi x là chiều gì đây? À, gọi chiều dài cũng được.

Vậy khi ta gọi ẩn số thì phải có điều kiện, điều kiện như thế nào ở đây?).”

 Từ đây chúng tôi có thể phần nào khẳng định rằng: HS luôn ưu tiên chọn ẩn

số là đại lượng cần tìm dù cách chọn này có thể không tạo ra lời giải tối ưu. Ngay cả

khi chọn ẩn số bằng cách khác, mục đích của HS không phải nhắm đến lời giải tối

ưu.

Về việc chọn đơn vị cho ẩn số, chúng tôi nhận thấy rằng cả hai loại SGK và

SGV chỉ đều trình bày một cách máy móc bằng cách ghi đơn vị của ẩn nằm phía sau

ẩn, mà không có một cách chỉ dẫn hay gợi ý một cách ngầm ẩn về vấn đề chọn đơn

vị cho ẩn số, chúng tôi thấy rằng vấn đề này đã không được các tác giả SGK chú

trọng hay có thể họ cho rằng đây là vấn đề mà tất cả các HS điều đã biết nên không

cần quan tâm. Vậy chúng tôi đặt ra câu hỏi như sau: GV THCS suy nghĩ như thế

nào về kiến thức của HS liên quan đến việc chọn đơn vị cho ẩn? đồng thời GV ứng

xử như thế nào khi giảng dạy? để trả lời cho các câu hỏi trên, chúng tôi phân tích

các tiết dạy của GV và thấy rằng khi giảng dạy GV cũng chỉ việc ghi đơn vị của ẩn

phía sau ẩn mà thôi, ngoài ra không có một sự giải thích hay nhắc nhở HS cách

chọn đơn vị cho ẩn số của bài toán. Từ các vấn đề đã phân tích ở trên chúng tôi có

nhận xét như sau: Việc chọn đơn vị cho ẩn số không được GV chú ý trong thực

hành giảng dạy và các tác giả SGK quan tâm.

Về việc đặt điều kiện cho ẩn số, như chúng tôi đã trình bày ở trên, trong

SGK, SGV và SBT đa số trình bày các bài giải đều đặt điều kiện cho ẩn là số dương

(x > 0) hay nguyên dương (x > 0, x N∈ ), vậy GV THCS ứng xử ra sao trong thực

hành giảng dạy? Bên cạnh đó việc chọn đơn vị cho ẩn có được GV quan tâm hay

không? để giải đáp cho câu hỏi trên, chúng tôi phân tích các tiết dạy của GV và thấy

rằng khi giảng dạy GV chỉ cần ghi điều kiện là số dương hay nguyên dương mà

không cần phải giải thích hay xem xét kỹ yêu cầu của bài để đặt điều kiện ẩn cho

thích hợp. Từ những phân tích trên chúng tôi có nhận xét sau: Việc đặt điều kiện

cho ẩn số không được GV chú trọng trong thực hành giảng dạy chỉ cần đặt điều kiện

cho ẩn chấp nhận được mà thôi.

“GV: bây giờ dầu tiên ta gọi x là chiều gì đây? À, gọi chiều dài cũng được.

Vậy khi ta gọi ẩn số thì phải có điều kiện, điều kiện như thế nào ở đây?

HS: chiều dài lớn hơn không

GV: chiều dài phải lớn hơn không, vậy thì ở đây mình coi nè, chiều dài hơn

chiều rộng 4m, như vậy mình đã có chiều dài là x rồi thầy đố các em chiều rộng

như thế nào? Ai đoán được?

HS: x – 4”

(ở đây điều kiện của ẩn: x > 4 là điều kiện hợp lí nhất về mặt toán học)

2.2 Tri thức tiếp thu được của học sinh

Từ những kết quả nghiên cứu trong thực hành giảng dạy của GV cũng như

trong việc phân tích SGK ở trên chúng tôi tự hỏi rằng tri thức tiếp thu được của HS

với chủ đề GBTBCLPT có còn đúng với mong đợi của chương trình hay không? Để

có thể trả lời cho câu hỏi này chúng tôi tiến hành một thực nghiệm nhỏ tại các lớp

ôn thi vào lớp 10 do Trường THPT Phan Bội Châu (Phan Thiết, Bình Thuận) tổ

chức vào đầu tháng 7/2011. Có hai lớp ôn thi tham gia thực nghiệm với số lượng

được thể hiện trong bảng sau:

Bảng 2.1

Lớp L1 Lớp L2

28 học sinh 21 học sinh

Những HS này đến từ nhiều trường THCS khác nhau trên toàn tỉnh. Đề bài

toán dành cho HS mỗi lớp được ký hiệu tương ứng là đề 1, đề 2 và có nguyên văn

như sau:

Đề 1: Trong một phòng học có 360 ghế được xếp thành các dãy và số ghế

trong mỗi dãy đều bằng nhau. Có một lần phòng họp phải xếp thêm một dãy ghế và

mỗi dãy tăng một ghế (số ghế trong mỗi dãy vẫn bằng nhau) để đủ chỗ cho 400 đại

biểu. Hỏi bình thường trong phòng có bao nhiêu dãy ghế.

Đề 2: Quãng đường Thanh Hóa – Hà Nội dài 150 km. Một ôtô từ Hà Nội vào

Thanh Hóa, nghỉ lại Thanh Hóa 3 giờ 15 phút rồi trở về Hà Nội tất cả hết 10 giờ.

Tính vận tốc của ôtô lúc về biết rằng vận tốc lúc đi lớn hơn vận tốc lúc về 10 km/h.

Việc vẽ bảng tóm tắt bài toán không được thực hiện đồng bộ ở 49 HS tham gia

thực nghiệm: có 14 HS vẽ bảng tóm tắt (9 HS lớp L1 và 5 HS lớp L2) so với 35 HS

không vẽ bảng. Hơn nữa, trong số 14 HS có vẽ bảng, có 1 em vẽ bằng bút chì và 2

em chì kẻ khung mà không ghi dữ liệu nào. Điều này khẳng định giả thuyết mà

chúng tôi đã nêu trong phân tích thực hành giảng dạy của GV: Trong thực hành

giảng dạy, GV THCS có giới thiệu việc vẽ bảng tóm tắt bài toán trong thời gian đầu

nhưng không bắt buộc HS vẽ bảng tóm tắt bài toán trong lời giải.

Về việc đặt ẩn số, toàn bộ 28 HS lớp L1 đều chọn ẩn số là đại lượng cần tìm

(gọi x là số dãy ghế trong phòng lúc bình thường) trong khi chỉ có 14 HS lớp L2

tuân thủ quy tắc này (gọi x là vận tốc của ôtô lúc về); 7 HS còn lại của lớp L2 đặt x

là vận tốc của ôtô lúc đi. Trong buổi nói chuyện sau thực nghiệm, 6 em giải thích lý

do lực chọn của mình như sau:

“Vì ôtô đi trước rồi mới về nên em chọn x là vận tốc ôtô lúc đi.”

“Em chọn x là vận tốc ôtô lúc đi để dễ vẽ bảng tóm tắt.”

“Em chọn x là vận tốc ôtô lúc đi để dễ vẽ lập phương trình.”

Điều này khẳng định kết quả phân tích quan hệ thể chế: HS luôn ưu tiên chọn

ẩn số là đại lượng cần tìm dù cách chọn này có thể không tạo ra lời giải tối ưu.

Ngay cả khi chọn ẩn số bằng cách khác, mục đích của HS không phải là nhắm đến

lời giải tối ưu.

Về việc chọn đơn vị cho ẩn số, trừ 1 HS không ghi đơn vị của x, 20/21 HS của

lớp L2 đều chọn đơn vị là km/h trong khi việc chọn đơn vị của 28 HS lớp L1 rất

phân tán:

- 12 HS chọn tường minh dãy hoặc dãy ghế là đơn vị của x thể hiện qua cách

diễn đạt: “Gọi x (dãy) là số dãy ghế trong phòng lúc bình thường”.

- 14 HS chọn ngầm ẩn dãy hoặc dãy ghế là đơn vị của x thể hiện qua cách diễn

đạt: “Gọi x là số dãy ghế trong phòng lúc bình thường”.

- 2 HS chọn tường minh ghế là đơn vị của x thể hiện qua cách diễn đạt: “Gọi số

dãy ghế lúc đầu là x (ghế)”.

Chúng tôi giải thích hiện tượng này như sau:

- Vận tốc là một đại lượng vật lý quen thuộc đối với HS. Hơn nữa, đơn vị vận tốc

của ôtô được cho tường minh trong đề 2 thông qua câu “vận tốc lúc đi lớn hơn vận

tốc lúc về 10 km/h”. Do đó, tuyệt đại đa số HS lớp L2 (95 %) đều có chọn đơn vị

cho ẩn số và hơn nữa, chọn đúng đơn vị.

- Trong bài 1, nếu gọi x là số dãy ghế lúc đầu thì cách gọi này đã ngầm xác định

đơn vị của x là dãy ghế. Do đó, có đến 50 % HS lớp L1 không phát biểu tường minh

đơn vị của x. Hơn nữa, sự nhầm lẫn đơn vị của một số HS – dù khá nhỏ (7 %) –

trong một ngữ cảnh đơn giản cho thấy việc chọn đơn vị cho ẩn số không được GV

chú ý trong thực hành giảng dạy.

Về việc đặt điều kiện cho ẩn số, chúng tôi thống kê các cách đặt của HS hai lớp

trong bảng sau. Để dễ đối chiếu, chúng tôi lưu ý rằng:

- Đối với bài 1, nếu gọi x là số dãy ghế ban đầu, điều kiện hợp lý nhất về mặt toán học là x ∈ N*. Điều kiện x > 0 là điều kiện chấp nhận được về mặt toán học.

Các điều kiện khác đều không có cơ sở toán học.

- Đối với bài 2:

+ Nếu gọi x là vận tốc ôtô lúc về, điều kiện hợp lý nhất về mặt toán học là x > 0.

Các điều kiện khác đều không có cơ sở toán học.

+ Nếu gọi x là vận tốc ôtô lúc đi, điều kiện hợp lý nhất về mặt toán học là x > 30

(vì ôtô đi khứ hồi quãng đường 300 km trong ít hơn 10 giờ). Điều kiện x > 10 là

điều kiện chấp nhận được về mặt toán học. Các điều kiện khác đều không có cơ sở

toán học.

Bảng 2.2

Lớp L1

Cách đặt ẩn số Cách đặt điều kiện Số lượng

x là số dãy ghế 9 HS x ∈ N*

ban đầu x > 0 15 HS

x > 1 2 HS

x > -1 1 HS

Không đặt điều kiện 1 HS

Cộng 28 HS

Bảng 2.3

Lớp L2

Cách đặt ẩn số Cách đặt điều kiện Số lượng

x là vận tốc ôtô x > 0 12 HS

lúc về x > 10 1 HS

Không đặt điều kiện 1 HS

x là vận tốc ôtô x > 30 0 HS

lúc đi x > 10 4 HS

x > 0 1 HS

Không đặt điều kiện 2 HS

Cộng 21 HS

Nhìn kết quả thống kê, ta thấy điều kiện được nhiều HS lớp L1 chọn nhất

(53,6 %) là điều kiện chấp nhận được (x > 0) trong khi điều kiện hợp lý nhất (x ∈ N*) chỉ được 9 HS lựa chọn (32,1 %). Ở lớp L2, điều kiện hợp lý nhất (x > 0

đối với nhóm 1 hoặc x > 30 đối với nhóm 2) được đa số HS nhóm 1 lựa chọn

(86 %) nhưng không được HS nào của nhóm 2 lựa chọn. Đa số HS nhóm 2 (57,1 %)

đã chọn điều kiện chấp nhận được (x > 10) làm điều kiện ràng buộc cho ẩn số x (vận

tốc ôtô lúc đi).

Điều này tiếp tục khẳng định kết quả phân tích quan hệ thể chế: HS luôn đặt

điều kiện dương cho ẩn số

Kết luận: Qua những nghiên cứu GBTBCLPT với tri thức cần dạy và tri thức tiếp

thu được của HS cho phép chúng tôi xác định các quy tắc hành động, đồng thời dự

kiến các sai lầm mà HS sẽ mắc phải trong khi giải quyết các kiểu nhiệm vụ mà

chúng tôi nêu ra; cũng như trả lời các câu hỏi nghiên cứu chúng tôi đặt ra lúc đầu.

Điều này hướng chúng tôi tới việc phát biểu các giả thuyết nghiên cứu sau:

Giả thuyết H1: Tồn tại các quy tắc hợp đồng R1, R2, R3.

R1: “HS luôn chọn ẩn là đại lượng cần tìm”

R2: “HS ít sử dụng kiến thức thực tế để kiểm tra tính hợp lí của bài toán. Hơn

nữa, việc kiểm tra tính hợp lí của kết quả tìm được so với yêu cầu của bài toán

thường bị bỏ qua”

R3: “Việc đặt điều kiện cho ẩn số dẫn đến quan niệm “kết quả bài toán luôn

dương” của HS”

Giả thuyết H2: “Việc thiết lập PT trong chủ đề GTBCLPT ở THCS được HS

thực hiện dựa vào sự nhận dạng loại toán “quen thuộc” so với phần bài học của

SGK và dựa vào quy tắc “đặt ẩn là đại lượng cần tìm”. Việc thay đổi dạng toán

“quen thuộc” làm học sinh gặp trở ngại trong việc LPT hoặc làm việc chọn ẩn số

của HS trở thành chọn lựa không tối ưu.”

Liệu các giả thuyết chúng tôi đặt ra có thỏa đáng trong thực tế dạy học hay

không? Việc nghiên cứu thực nghiệm để kiểm chứng các giả thuyết trên và trả lời

cho các câu hỏi nghiên cứu được đặt ra là nhiệm vụ của chúng tôi trong chương 3.

CHƯƠNG III NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM

• Mục tiêu của chương

Trong chương này chúng tôi triển khai một thực nghiệm cho phép nghiên cứu

ảnh hưởng của mối quan hệ thể chế lên quan hệ cá nhân HS. Đặc biệt, thực nghiệm

sẽ đưa vào kiểm chứng tính thỏa đáng của hai giả thuyết mà chúng tôi nêu ra ở

cuối chương 2 như sau:

Giả thuyết H1: Tồn tại các quy tắc hợp đồng R1, R2, R3.

R1: “HS luôn chọn ẩn là đại lượng cần tìm”

R2: “HS ít sử dụng kiến thức thực tế để kiểm tra tính hợp lí của bài toán. Hơn

nữa, việc kiểm tra tính hợp lí của kết quả tìm được so với yêu cầu của bài toán

thường bị bỏ qua”

R3: “Việc đặt điều kiện cho ẩn số dẫn đến quan niệm “kết quả bài toán luôn

dương” của HS”

Giả thuyết H2: “Việc thiết lập PT trong chủ đề GTBCLPT ở THCS được HS

thực hiện dựa vào sự nhận dạng loại toán “quen thuộc” so với phần bài học của

SGK và dựa vào quy tắc “đặt ẩn là đại lượng cần tìm”. Việc thay đổi dạng toán

“quen thuộc” làm học sinh gặp trở ngại trong việc LPT hoặc làm việc chọn ẩn số

của HS trở thành chọn lựa không tối ưu.”

3.1 Đối tượng và hình thức thực nghiệm

Để tiến hành nghiên cứu, chúng tôi tổ chức trên đối tượng HS ở ba khối lớp: 8,

9, 10. Chúng tôi chọn các đối tượng này vì tri thức GBTBCLPT HS được học ngay

từ lớp 8 và vẫn tiếp tục gặp lại ở lớp 9. Bên cạnh đó, chúng tôi chọn HS ở đầu lớp

10 cũng xem như là vừa mới học xong tri thức này (vì tri thức này được HS học ở

cuối năm lớp 9). Hơn nữa qua đó nhằm tìm hiểu một số qui tắc hành động và sai

lầm có tồn tại dai dẳng ở HS hay không? Do thời gian có hạn, chúng tôi không tiến

hành thực nghiệm trên đối tượng HS lớp 11 (nhiều bài tập trong SGK Vật Lí 11 cần

ứng dụng tri thức này trong việc giải để tìm ra đáp án).

Đối tượng thực nghiệm là HS lớp 8 ngay sau khi học xong chương “Phương

=

≠

y

2( ax a

0)

trình bậc nhất một ẩn”, HS cuối lớp 9 ngay sau khi học xong chương “Hàm số

– Phương trình bậc hai một ẩn”) và HS mới vào lớp 10.

HS sẽ được phát tờ giấy bài làm trên đó có in đề bài toán (gồm 2 bài cho khối 8

và 3 bài cho khối 9, 10) cho mỗi khối lớp. Tổng thời gian thực nghiệm là 40 phút

(đối với HS các lớp 8), Và 45 phút (đối với HS các lớp 9, 10). HS sẽ làm bài cá

nhân với các bài toán này.

3.2 Phân tích tiên nghiệm (a_priori) các bài toán thực nghiệm

3.2.1 Xây dựng các bài toán thực nghiệm  Các biến didactic và giá trị của nó

Việc chọn các bài toán thực nghiệm dựa trên cơ sở lựa chọn giá trị các

biến didactic sau đây:

V1: Có hay không yêu cầu GBTBCLPT?

Hai giá trị của biến:

+ GT1: Có kèm theo yêu cầu GBTBCLPT

+ GT2: Không có yêu cầu GBTBCLPT

V2: Số đại lượng cần tìm

Hai giá trị của biến:

+ GT1: Đề bài yêu cầu chỉ tìm một đại lượng

+ GT2: Đề bài yêu cầu tìm nhiều đại lượng

V3: Mức độ quen thuộc của bài toán

Hai giá trị của biến:

+ GT1: Bài toán tương tự bài tập trong SGK, SBT

+ GT2: Bài toán không tương tự bài tập trong SGK, SBT

V4: Giá trị của số liệu

Hai giá trị của biến:

+ GT1: Các giá trị của số liệu cho vừa đủ

+ GT2: Các giá trị của số liệu cho thừa (thiếu)

 Nội dung các bài toán thực nghiệm

 Dành cho HS các lớp 8

Bài toán 1: An gởi tiền nhờ Hoa mua dùm một số bút và tập theo giá tiền hai bạn

đã mua trước đây. Nhưng nay giá đã thay đổi và số tiền An gởi không đủ để mua

theo yêu cầu nên Hoa phải bù thêm tiền cho bạn. Nếu Hoa mua 1 cây bút và 1

quyển tập thì số tiền phải bù thêm là 4000 đồng, còn nếu Hoa mua 2 cây bút và 7

quyển tập thì số tiền phải bù thêm là 33000 đồng. Hỏi Hoa phải bù thêm bao nhiêu

tiền khi mua dùm An 15 cây bút?

Bài toán 2: Tổng của 4 số bằng 45. Nếu lấy số thứ nhất cộng thêm 2, số thứ 2 trừ đi

2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chia cho 2 thì ta có được 4 kết quả đều bằng nhau.

Hãy tìm 4 số ban đầu?

 Dành cho HS các lớp 9, 10

Bài toán 1: An gởi tiền nhờ Hoa mua dùm một số bút và tập theo giá tiền hai bạn

đã mua trước đây. Nhưng nay giá đã thay đổi và số tiền An gởi không đủ để mua

theo yêu cầu nên Hoa phải bù thêm tiền cho bạn. Nếu Hoa mua 1 cây bút và 1

quyển tập thì số tiền phải bù thêm là 4000 đồng, còn nếu Hoa mua 2 cây bút và 7

quyển tập thì số tiền phải bù thêm là 33000 đồng. Hỏi Hoa phải bù thêm bao nhiêu

tiền khi mua dùm An 15 cây bút?

Bài toán 2: Tổng của 4 số bằng 45. Nếu lấy số thứ nhất cộng thêm 2, số thứ 2 trừ đi

2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chia cho 2 thì ta có được 4 kết quả đều bằng nhau.

Hãy tìm 4 số ban đầu?

Bài toán 3: Nam dự định đi xe đạp từ nhà đến điểm hẹn với Tùng trên quãng đường

dài 20km. Vì đường đang thi công sửa chữa nên Nam phải đi đường khác dài hơn

quãng đường ban đầu 13km. Sợ Tùng đợi lâu, Nam đã cố gắng chạy nhanh hơn vận

tốc dự định 4km/h. Thế nhưng khi đến nơi Nam vẫn trễ 15 phút so với thời gian đã

hẹn. Tính vận tốc Nam dự định đi lúc đầu?

Đặc trưng của các bài toán nhìn qua cách lực chọn giá trị của biến didactic

• Đối với lớp 8

Biến V1 V2 V3 V4

GT1: Đề yêu GT1: Bài toán GT1: Các giá trị Bài toán 1 GT2: Không

có yêu cầu cầu chỉ tìm 1 tương tự bài tập của số liệu cho

GBTBCLPT đại lượng trong SGK, SBT vừa đủ

GT2: Đề yêu GT2: Bài toán GT2: Các giá trị Bài toán 2 GT2: Không

có yêu cầu cầu tìm nhiều không tương tự của số liệu cho

bài tập trong GBTBCLPT đại lượng thừa (thiếu)

SGK, SBT

Đối với lớp 8, chúng tôi chọn biến V1 với GT2 vì HS chỉ mới được học về

PT mà chương học HPT.

• Đối với các lớp 9, 10

Biến V1 V2 V3 V4

GT1: Đề yêu GT1: Bài toán GT1: Các giá trị Bài toán 1 GT2: Không

có yêu cầu cầu chỉ tìm 1 tương tự bài tập của số liệu cho

GBTBCLPT đại lượng trong SGK, SBT vừa đủ

GT2: Đề yêu GT2: Bài toán GT2: Các giá trị Bài toán 2 GT2: Không

có yêu cầu cầu tìm nhiều không tương tự của số liệu cho

bài tập trong GBTBCLPT đại lượng thừa (thiếu)

SGK, SBT

GT1: Đề yêu GT1: Bài toán GT1: Các giá trị Bài toán 3 GT2: Không

có yêu cầu cầu chỉ tìm 1 tương tự bài tập của số liệu cho

GBTBCLPT đại lượng trong SGK, SBT vừa đủ

Đối với các lớp 9, 10 chúng tôi sử dụng cùng đề bài thực nghiệm với lớp 8, chỉ

khác nhau là có thêm bài toán 3. Bởi vì để giải quyết được bài toán 3 HS phải giải

PT bậc hai một ẩn, mà ở lớp 9 HS mới biết cách giải các dạng PT này. Hơn nữa,

việc cho lại bài toán 1 và bài toán 2 giống với ở lớp 8 sẽ giúp chúng tôi xem xét các

qui tắc hành động cũng như các sai lầm có tồn tại dai dẳng ở HS hay không?

3.2.2 Phân tích chi tiết các bài toán

Bài toán 1: An gởi tiền nhờ Hoa mua dùm một số bút và tập theo giá tiền hai bạn

đã mua trước đây. Nhưng nay giá đã thay đổi và số tiền An gởi không đủ để mua

theo yêu cầu nên Hoa phải bù thêm tiền cho bạn. Nếu Hoa mua 1 cây bút và 1

quyển tập thì số tiền phải bù thêm là 4000 đồng, còn nếu Hoa mua 2 cây bút và 7

quyển tập thì số tiền phải bù thêm là 33000 đồng. Hỏi Hoa phải bù thêm bao nhiêu

tiền khi mua dùm An 15 cây bút?

Như đã phân tích ở chương 1, bài giải của các bài toán được trình bày trong

SGK, SBT phần lớn đều chọn ẩn là đại lượng cần tìm và đặt điều kiện của ần là số

dương mà không xét đến tính thực tế của bài toán. Trong bài toán này chúng tôi

chọn biến V1 với GT2 và biến V2 với GT1, cho phép chúng tôi xác định chiến

lược mà họ đã được sử dụng để tìm câu trả lời. Mặt khác, biến V3 với GT1 và biến

V4 với GT1. Với cách chọn này nhằm tìm hiểu xem HS sẽ hành động như thế nào

khi làm bài. Qua đó thấy được một vài quan niệm cũng như qui tắc hành động của

HS về cách chọn ẩn số của bài toán và đặt điều kiện cho ẩn. Thông qua bài toán

này phần nào chúng tôi kiểm chứng được sự tồn tại qui tắc R1, R3 của giả thuyết

H1.

 Các chiến lược có thể:

sh: Chiến lược “số học”: Trong chiến lược này dựa trên những kiến thức về

- S1

số học đã biết trước đây, HS suy luận ra được kết quả của bài toán mà không cần

phải thực hiện theo các bước được trình bày trong SGK về GBTBCLPT. Chiến lược

này thường cho câu trả lời ngắn gọn, chính xác và ít phạm sai lầm thường gặp.

ds_pt.tt: Chiến lược “đại số_PT_trực tiếp”: Trong chiến lược này dựa trên

- S1

các bước được trình bày trong SGK về GBTBCLPT. Bên cạnh đó, HS chọn ẩn là

đại lương cần tìm và sử dụng cách giải PT để tìm đáp án. Chiến lược này vẫn cho

câu trả lời đúng.

- S1

ds_pt.gt: Chiến lược “đại số_ PT_gián tiếp”: Trong chiến lược này về từng ds_pt.tt, nhưng cách chọn ẩn không phải là

bước thực hiện thì tương tự chiến lược S1

đại lượng cần tìm. Chiến lược này vẫn cho câu trả lời đúng.

ds_hpt: Chiến lược “đại số_ HPT”: Trong chiến lược này HS thực hiện theo

- S1

các bước được trình bày trong SGK nhưng đối với GBTBCLHPT và sử dụng cách

giải HPT để tìm đáp án. Chiến lược này vẫn cho câu trả lời đúng.

 Cái có thể quan sát cho bài toán 1

sh (Đây là chiến lược mong đợi ở HS)

- Bài giải tương ứng với chiến lược S1

Hoa mua 1 cây bút và 1 quyển tập thì số tiền bù thêm là 4000 đồng

 khi Hoa mua 2 cây bút và 2 quyển tập thì số tiền bù thêm là 8000 đồng

 5 quyển tập phải bù thêm là 33000 – 8000 = 15000 đồng

 mua 1 quyển tập Hoa phải bù thêm 5000 đồng

Và khi mua 1 cây bút Hoa phải bù thêm là 4000 – 5000 = – 1000 đồng

 Mua 15 cây bút phải bù thêm là 15*(– 1000) = – 15000 đồng

Vậy Hoa còn dư 15000 đồng khi mua dùm An 15 cây bút.

ds_pt.tt

x R∈ )

- Bài giải tương ứng với chiến lược S1

Gọi x (đồng) là số tiền Hoa phải bù thêm khi mua 1 cây bút (

4000 x− là số tiền Hoa phải bù thêm khi mua 1 quyển tập

+

−

=

2

x

7(4000

x

) 33000

x⇔ = −

1000

−

= −

15*

1000

15000

Vì Hoa mua 2 cây bút và 7 quyển tập phải bù thêm 33000 đồng nên ta có PT:

(

)

đồng  Mua 15 cây bút phải bù thêm là

Vậy Hoa còn dư lại 15000 đồng khi mua dùm An 15 cây bút.

ds_pt.gt

x R∈ )

- Bài giải tương ứng với chiến lược S1

Gọi x (đồng) là số tiền Hoa phải bù thêm khi mua 1 quyển tập (

4000 x− là số tiền Hoa phải bù thêm khi mua 1 cây bút

−

=

2(4000

x

+ ) 7

x

33000

x⇔ =

5000

−

= −

Vì Hoa mua 2 cây bút và 7 quyển tập phải bù thêm 33000 đồng nên ta có PT:

1000

−

= −

đồng  Số tiền bù thêm cho 1 cây bút là 4000 5000

15000

 Số tiền Hoa phải bù thêm khi mua 15 cây bút là 15*( 1000)

đồng

Vậy Hoa còn dư lại 15000 đồng khi mua dùm An 15 cây bút.

ds_hpt

x R∈ )

- Bài giải tương ứng với chiến lược S1

y R∈ )

Gọi x (đồng) là số tiền Hoa phải bù thêm khi mua 1 cây bút (

y (đồng) là số tiền Hoa phải bù thêm khi mua 1 quyển tập (

x 2

+ = 4000 y = + y x 7

33000

  

1000

⇔

= − =

x y

5000

  

−

= −

theo đề bài ta có HPT:

15000

 Số tiền Hoa phải bù thêm khi mua 15 cây bút là 15*( 1000)

đồng

Vậy Hoa còn dư lại 15000 đồng khi mua dùm An 15 cây bút.

 Sự lưa chọn giá trị của biến ảnh hưởng đến các chiến lược

Trong bài toán này, nếu biến V1 có GT1 thì chiến lược “số học” và “đại

số_HPT” có rất ít cơ hội xảy ra. Ngược lại, thì chiến lược “số học” sẽ có cơ hội

xuất hiện và chiến lược “đại số_HPT” có nhiều khả năng xảy ra. Nếu biến V2 có

GT2 thì chiến lược “đại số_HPT” có cơ hội xuất hiện khá nhiều, nếu biến V2 có

GT2 thì ngược lại, khi đó chiến lược “đại số_PT_trực tiếp” và “đại số_PT_gián

tiếp” xuất hiện nhiều hơn.

Bài toán 2: Tổng của 4 số bằng 45. Nếu lấy số thứ nhất cộng thêm 2, số thứ 2 trừ đi

2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chia cho 2 thì ta có được 4 kết quả đều bằng nhau.

Hãy tìm 4 số ban đầu?

Bài toán này được xây dựng dựa trên biến V2 với giá trị: Đề yêu cầu tìm

nhiều đại lượng, biến V3 với giá trị: Bài toán không tương tự bài tập trong SGK,

SBT và biến V4 có giá trị: Các giá trị của số liệu cho thừa (thiếu). Với cách chọn

này nhằm tìm hiểu xem các qui tắc hành động của HS có bị ảnh hưởng không? Và

khi HS thực hiện các bước được trình bày trong SGK có đưa ra được PT để tìm ra

đáp án của bài toán này, khi mà bài toán đã khác với bài tập quen thuộc từng gặp

trong SGK, SBT hay không?

Với yêu cầu tìm 4 đại lượng chưa biết, đồng thời số liệu của bài toán bị hạn

chế của bài toán này đã vượt ra ngoài các bài tập được HS quen thuộc trước đây,

điều này giúp chúng tôi thấy được sự lúng túng của HS trong việc trình bày cách

giải để tìm ra đáp án của bài toán. Từ đó có thể rút ra những thông tin cho phép xác

định các chiến lược đã được sử dụng. Trên cơ sở đó chùng tôi có thể kiểm chứng

tính thỏa đáng của giả thuyết H2, cùng với sự tồn tại của qui tắc R1.

 Các chiến lược có thể

pt_gt: Chiến lược “PT_gián tiếp”: Trong chiến lược này HS thực hiện việc

- S2

giải bài toán dựa trên các bước được trình bày trong SGK về GBTBCLPT. Bên

cạnh đó, HS chọn ẩn là không phải là đại lương cần tìm và sử dụng cách giải PT để

tìm đáp án. Chiến lược này cho câu trả lời đúng và cách trình bày ngắn gọn.

pt_tt4: Chiến lược “PT_trực tiếp”: Trong chiến lược

- S2

pt_tt1, S2

pt_tt2, S2

pt_tt3, S2

này cách trình bày gần giống với chiến lược “PT_gián tiếp”, nhưng ẩn được chọn là

đại lượng cần tìm và sử dụng cách giải PT để tìm đáp án. Chiến lược này vẫn cho

câu trả lời đúng.

hpt_4: Chiến lược “HPT_4 ẩn số”: Trong chiến lược này HS gọi lần lượt 4

- S2

ẩn là bốn đại lượng cần tìm và thực hiện theo các bước được trình bày trong SGK

nhưng đối với GBTBCLPT, và sử dụng cách giải HPT để tìm đáp án. Chiến lược

này vẫn cho câu trả lời đúng.

hpt_2b: Chiến lược “HPT_2 ẩn số”: Trong chiến lược này HS gọi

- S2

hpt_2a, S2

lần lượt 2 ẩn là hai trong bốn đại lượng cần tìm và thực hiện theo các bước được

trình bày trong SGK nhưng đối với GBTBCLHPT, và sử dụng cách giải HPT để tìm

đáp án. Chiến lược này vẫn cho câu trả lời đúng.

nh: Chiến lược “nhẫm nghiệm_đoán nghiệm”: Trong chiến lược này HS

- S2

chọn ngẫu nhiên 1 số mà HS cho là có khả năng là đáp án, sau đó thực hiện các

phép toán để kiểm tra các yêu cầu của đề bài, nếu không thỏa yêu cầu HS sẽ tiếp tục

chọn 1 số khác. Như thế cho đến khi có kết quả và không có lời giải rõ ràng. Chiến

lược này chỉ cho kết quả đúng khi các đại lượng cần tìm là số “chẵn”.

 Cái có thể quan sát của bài toán 2

pt_gt (Đây là chiến lược mong đợi ở HS)

x R∈ )

- Bài giải tương ứng với chiến lược S2

Gọi x là kết quả bằng nhau thu được khi thực hiện 4 phép toán (

x – 2 là số thứ nhất

x + 2 là số thứ hai

x/ 2 là số thứ ba

2x là số thứ tư

+

+

=

(

x

− + 2)

(

x

2)

x

+ / 2 2

x

45

x⇔ =

10

− = số thứ nhất là 10 2 8

+ =

Vì tổng của bốn số bằng 45 nên ta có PT:

số thứ hai là 10 2 12

số thứ ba là 10 / 2 5=

số thứ tư là 10*2 20=

Vậy bốn số cần tìm là: 8, 12, 5, 20

pt_tt1

x R∈ )

- Bài giải tương ứng với chiến lược S2

+ là số thứ hai

Gọi x là số thứ nhất (

x +

2) 2

(

x +

2) / 2

là số thứ ba (

x +

2)*2

là số thứ tư (

Vì tổng của bốn số bằng 45 nên ta có PT:

+

+

+

+

+

+

=

x

(

x

+ 2) 2

(

x

2) / 2

(

x

2)*2

45

 

 

 

 

 

 

8x⇔ =

+ =

+

số thứ nhất là 8

+

= số thứ ba là (8 2) / 2 5

+

=

số thứ hai là (8 2) 2 12

số thứ tư là (8 2)*2 20

Vậy bốn số cần tìm là: 8, 12, 5, 20

pt_tt2

x R∈ )

- Bài giải tương ứng với chiến lược S2

Gọi x là số thứ hai (

x − − là số thứ nhất

2) 2

(

x −

2) / 2

là số thứ ba (

x −

2)*2

là số thứ tư (

− −

−

+

−

=

(

x

2) 2

+ + x

(

x

2) / 2

(

x

2)*2

45

 

 

 

 

 

 

x⇔ =

12

Vì tổng của bốn số bằng 45 nên ta có PT

− − =

số thứ hai là 12

−

= số thứ ba là (12 2) / 2 5

−

=

số thứ nhất là (12 2) 2 8

số thứ tư là (12 2)*2 20

Vậy bốn số cần tìm là: 8, 12, 5, 20

pt_tt

x R∈ )

- Bài giải tương ứng với chiến lược S2

Gọi x là số thứ ba (

2x − là số thứ nhất

2

2x + là số thứ hai

2

là số thứ tư 2 *2x

+

=

(2

x

− + 2)

(2

x

2)

+ + x

2 *2 45

x

5x⇔ =

Vì tổng của bốn số bằng 45 nên ta có PT:

− = số thứ nhất là 2*5 2 8

+ =

số thứ ba là 5

số thứ hai là 2*5 2 12

số thứ tư là 2*5*2 20=

Vậy bốn số cần tìm là: 8, 12, 5, 20

pt_tt

x R∈ )

- Bài giải tương ứng với chiến lược S2

− là số thứ nhất

x

/ 2 2

+ là số thứ hai

x

/ 2 2

Gọi x là số thứ tư (

x

/ 2) / 2

là số thứ ba (

+

+

x

− / 2 2

x

+ / 2 2

x

+ = x

45

(

)

(

)

(

) / 2 / 2

x⇔ =

20

Vì tổng của bốn số bằng 45 nên ta có PT:

− = số thứ nhất là 20 / 2 2 8

+ =

số thứ tư là 20

số thứ hai là 20 / 2 2 12

số thứ ba là (20 / 2) / 2 5=

Vậy bốn số cần tìm là: 8, 12, 5, 20

hpt_4

x R∈ )

- Bài giải tương ứng với chiến lược S2

y R∈ )

Gọi x là số thứ nhất (

z R∈ )

y là số thứ hai (

t R∈ )

z là số thứ ba (

t là số thứ tư (

x

+ = − 2 y

2

Vì số thứ nhất cộng thêm 2 bằng số thứ hai trừ đi 2 nên ta có:

x

+ = 2

z

*2

Vì số thứ nhất cộng thêm 2 bằng số thứ ba nhân cho 2 nên ta có:

x

+ = 2

t

/ 2

Vì số thứ nhất cộng thêm 2 bằng số thứ tư chia cho 2 nên ta có:

2

45

x x x x

+ = − 2 y + = 2 2 z + = 2 / 2 t + + + = z t y

      

⇔

= = = =

x y z t

8 12 5 20

      

Vì tổng của bốn số bằng 45 nên ta có hệ phương trình:

số thứ nhất là 8

số thứ hai là 12

số thứ ba là 5

số thứ tư là 20

Vậy bốn số cần tìm là: 8, 12, 5, 20

hpt_2a

x R∈ )

- Bài giải tương ứng với chiến lược S2

y R∈ )

Gọi x là số thứ nhất (

y là số thứ hai (

x +

2) / 2

là số thứ ba (

y −

2)*2

là số thứ tư (

−

x x

y

= 2)*2 45

+ = − 2 2 y ( ) + + + + 2 / 2 ( x y

  

⇔

= =

x y

8 12

  

Vì tổng của bốn số bằng 45 nên ta có HPT:

số thứ nhất là 8

+

= số thứ ba là (8 2) / 2 5

−

=

số thứ hai là 12

số thứ tư là (12 2)*2 20

Vậy bốn số cần tìm là: 8, 12, 5, 20

hpt_2b

x R∈ )

- Bài giải tương ứng với chiến lược S2

Gọi x là số thứ nhất (

y R∈ )

x + + là số thứ hai

2 2

y là số thứ ba (

y (2 )*2

là số thứ tư

+

=

x x

y 2

2

+ + y

4

y

45

)

+ = 2 2 ( + +  x 

 

   

⇔

= =

x y

8 5

  

Vì tổng của bốn số bằng 45 nên ta có HPT:

+ =

+

số thứ nhất là 8

số thứ hai là (8 2) 2 12

số thứ ba là 5

số thứ tư là (5*2)*2 20=

Vậy bốn số cần tìm là: 8, 12, 5, 20

nh

- Bài giải tương ứng với chiến lược S2

Chọn các kết quả bằng nhau đều bằng 10

Ta có: số thứ nhất là 8

số thứ hai là 12

số thứ ba là 5

+

=

+ + Và 8 12 5 20 45

số thứ tư là 20

Vậy bốn số cần tìm là: 8, 12, 5, 20

 Sự lưa chọn của biến ảnh hưởng đến các chiến lược

Trong bài toán này chúng tôi chọn biến V2 với giá trị: “Đề yêu cầu tìm nhiều

đại lượng” làm tăng khả năng xuất hiện các chiến lược “HPT_4 ẩn” và “HPT_2 ẩn”.

Ngoài ra chọn biến V3 có giá trị: “Bài toán không tương tự bài tập trong SGK,

SBT”, cũng như biến V4 có giá trị: “Các giá trị của số liệu cho thừa (thiếu)” tạo cơ

hội cho chiến lược “nhẩm nghiệm_đoán nghiệm” xuất hiện.

Bài toán 3: Nam dự định đi xe đạp từ nhà đến điểm hẹn với Tùng trên quãng đường

dài 20km. Vì đường đang thi công sửa chữa nên Nam phải đi đường khác dài hơn

quãng đường ban đầu 13km. Sợ Tùng đợi lâu, Nam đã cố gắng chạy nhanh hơn vận

tốc dự định 4km/h. Thế nhưng khi đến nơi Nam vẫn trễ 15 phút so với thời gian đã

hẹn. Tính vận tốc Nam dự định đi lúc đầu?

HS thường gặp các bài toán yêu cầu tìm vận tốc, khi giải ra kết quả chỉ cần

có giá trị dương hay lớn hơn một số nào đó do yêu cầu của bài toán thì đó là đáp án.

Tuy nhiên bài toán thực nghiệm chúng tôi chọn biến V3 có giá trị: “Bài toán không

tương tự bài tập trong SGK, SBT” nhằm tìm xem HS có sự điều tiết thích ứng khi

gặp tình huống này hay không? Qua đó chúng tôi kiểm chứng sự tồn tại qui tắc R1,

R2 của giả thuyết H1.

 Các chiến lược có thể

pt_tt: Chiến lược “PT_trực tiếp”: Trong chiến lược này HS thực hiện bài

- S3

giải dựa trên các bước được trình bày trong SGK về GBTBCLPT. Bên cạnh đó, HS

chọn ẩn là đại lương cần tìm và sử dụng cách giải PT để tìm đáp án. Chiến lược này

vẫn cho câu trả lời đúng.

- S3

pt_gt1, S3

pt_gt2, S3

pt_gt3: Chiến lược đại “PT_gián tiếp”: Trong chiến lược pt_tt, nhưng cách chọn ẩn

này về từng bước thực hiện thì tương tự chiến lược S3

không phải là đại lượng cần tìm. Chiến lược này vẫn cho câu trả lời đúng.

hpt_tt: Chiến lược “HPT_trực tiếp”: Trong chiến lược này HS thực hiện

- S3

theo các bước được trình bày trong SGK nhưng đối với GBTBCLHPT và sử dụng

cách giải HPT để tìm đáp án, đồng thời chọn ẩn là đại lương cần tìm. Chiến lược

này vẫn cho câu trả lời đúng.

hpt_gt: Chiến lược “HPT_gián tiếp”: Trong chiến lược này các bước thực

- S3

hiện tương tự như chiến lược “HPT_trực tiếp” chỉ khác ở việc chọn ẩn không phải

là đại lượng cần tìm. Chiến lược này vẫn cho câu trả lời đúng.

 Cái có thể quan sát của bài toán 3

pt_tt

- Bài giải tương ứng với chiến lược S3

Gọi x (km/h) là vận tốc Nam dự định đi lúc đầu (0 < x < 39).

Vận tốc thực tế Nam đi là x + 4.

Thời gian dự định đi của Nam là 20/x

33 4x +

Thời gian thực tế Nam đi là . Vì thực tế Nam đi nhiều hơn dự định 15 phút

−

=

33 + x 4

20 x

1 4

+

⇔ − x

2 48

x

= 320 0

nên ta có PT:

x =

40

8x⇔ = (thỏa điều kiện) hoặc

(loại)

Vậy vận tốc dự định đi của Nam là 8 (km/h).

pt_gt1: (Đây là chiến lược mong đợi ở HS)

- Bài giải tương ứng với chiến lược S3

Gọi x (km/h) là vận tốc thực tế của Nam đi (4 < x < 43).

Vận tốc dự định của Nam là x – 4

20 4x −

Thời gian dự định đi của Nam là

Thời gian thực tế Nam đi là 33/x. Vì thực tế Nam đi lâu hơn dự định 15 phút nên

−

=

33 x

20 − x 4

1 4

+

⇔ − x

2 56

x

= 528 0

ta có PT:

⇔ x = 44 (loại) hoặc x = 12 (thỏa điều kiện)

Vận tốc thực tế Nam đi là 12 (km/h)

Vậy vận tốc dự định đi của Nam là 12 – 4 = 8 (km/h)

pt_gt2

- Bài giải tương ứng với chiến lược S3

Gọi x (h) là thời gian dự định đi của Nam (20/39 < x)

Vận tốc dự định đi của Nam là 20/x

x +

0.25

Thời gian thực tế Nam đi là

33 0.25

x +

. Vận tốc thực tế của Nam đi là

−

=

4

33 + 0.25

x

20 x

24 ⇔ − x

12

x

+ = 5 0

Vì thực tế Nam đi nhanh hơn dự định 4 km/h nên ta có PT:

⇔ x = ½ (loại) hoặc x = 5/2 (thỏa điều kiện)

Thời gian dự định đi của Nam là hay 5/2 = 2,5 (h)

Vậy vận tốc dự định đi của Nam là 20/2,5= 8 (km/h).

pt_gt3

- Bài giải tương ứng với chiến lược S3

Gọi x (h) là thời gian thực tế Nam đi (33/43 < x)

Vận tốc thực tế Nam đi là 33/x

Thời gian dư định đi của Nam là x – 0.25

20 0.25

x −

. Vận tốc dự định đi của Nam là

−

=

4

33 x

20 − 0.25

x

+

24 ⇔ − x

14

x

= 8.25 0

Vì thực tế Nam đi nhanh hơn dự định 4 km/h nên ta có PT:

⇔ x = 3/4 (loại) hoặc x = 11/4 (thỏa điều kiện)

Thời gian thực tế Nam đi là 11/4 = 2.75 (h)

20 − 2,75 0,25

Vậy vận tốc dự định đi của Nam là = 8 (km/h)

hpt_tt

- Bài giải tương ứng với chiến lược S3

Gọi x (km/h) là vận tốc dự định đi của Nam (0 < x < 39)

y (h) là thời gian dự định đi của Nam (20/39 < y)

Vận tốc thực tế Nam đi là x + 4

Thời gian thực tế Nam đi là y + 0.25

= +

+

=

xy x (

20 4)(

y

0.25) 33

  

⇔

=

= xy 0.25

20 + x

4

y

12

  

Vì thực tế Nam đi quãng đường dài hơn dự định ban đầu 13km nên ta có HPT:

⇔

= =

= =

x y

8 2,5

x y

40 0,5

  

  

(thỏa điều kiện) hay (loại)

Vậy vận tốc dự định đi của Nam là 8 (km/h)

hpt_gt

- Bài giải tương ứng với chiến lược S3

Gọi x (km/h) là vận tốc thực tế của Nam đi (4 < x < 43)

y (h)là thời gian thực tế của Nam đi (33/43 < y)

Vận tốc dự định đi của Nam là x – 4

Thời gian dự định đi của Nam là y – 0.25

= −

−

=

xy x (

33 4)(

y

0.25) 20

  

⇔

=

= xy 0.25

33 + x

4

y

14

  

⇔

Vì thực tế Nam đi quãng đường dài hơn dự định ban đầu 13km nên ta có HPT:

= =

= =

x y

12 2,75

x y

44 0,75

  

  

(thỏa điều kiện) hay (loại)

Vậy vận tốc dự định đi của Nam là 12 – 4 = 8 (km/h)

 Sự lựa chọn của biến ảnh hưởng đến các chiến lược

Với cách chọn biến V2 có giá trị: “đề bài yêu cầu tìm 1 đại lượng” tạo cơ hội

cho các chiến lược “PT_trực tiếp” và “PT_gián tiếp” xuất hiện. Nếu HS quan tâm

đến dạng bài toán về chuyển động đúng mức thì chiến lược “PT_gián tiếp” sẽ ưu

tiên được chọn. Ngược lại, các chiến lược khác sẽ có nhiều cơ hội xuất hiện hơn.

3.3 Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) các bài toán thực nghiệm

3.3.1 Các bài toán dành cho HS lớp 8

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm đối với 156 HS lớp 8 thuộc 4 lớp của 2

trường THCS dưới đây. Những kết quả chung nhất của thực nghiệm sẽ cho phép

rút ra những bất biến của tri thức thực dạy.

- Trung học cơ sở Sương Nguyệt Anh – T.p Hồ Chí Minh (2 lớp)

- Trung học cơ sở - Trung học phổ thông Đinh Thiện Lý – T.p Hồ Chí Minh (2

lớp)

Bài toán 1: An gởi tiền nhờ Hoa mua dùm một số bút và tập theo giá tiền hai bạn

đã mua trước đây. Nhưng nay giá đã thay đổi và số tiền An gởi không đủ để mua

theo yêu cầu nên Hoa phải bù thêm tiền cho bạn. Nếu Hoa mua 1 cây bút và 1

quyển tập thì số tiền phải bù thêm là 4000 đồng, còn nếu Hoa mua 2 cây bút và 7

quyển tập thì số tiền phải bù thêm là 33000 đồng. Hỏi Hoa phải bù thêm bao nhiêu

tiền khi mua dùm An 15 cây bút?

Bảng 3.1.Thống kê các lời giải bài toán 1 của HS lớp 8

Chiến lược quan sát Điều kiện ẩn Điều kiện Không đặt Tổng cộng

sh: Chiến lược “số học”

được là số dương khác điều kiện

ds_pt.tt: Chiến lược “Đại

5 (3.2%) 5 (3.2%) S1

89 (57.1%) 3 (1.9%) 92 (59%) S1

ds_pt.gt: Chiến lược “Đại

số_PT_trực tiếp”

7 (4.5%) 7 (4.5%) S1

ds_hpt: Chiến lược “Đại

số_PT_gián tiếp”

12 (7.7%) 12 (7.7%) S1

kh: Các chiến

số_HPT”

lược 17 (10.8%) 2 (1.3%) 19 (12.1%) S1

khác

Không làm 21 (13.5%)

Tổng cộng: 125 (80.1%) 10 (6.4%) 156

• Nhận xét:

ds_pt.tt và 12/156 (7.7%) HS sử ds_hpt. Trong cả 2 chiến lược trên HS đều chọn ẩn theo cách trực

- Có 92/156 (59%) HS sử dụng chiến lược S1

dụng chiến lược S1

ds_pt.gt. Trong chiến lược này HS

tiếp.

- Có 7/156 (4.5%) HS sử dụng chiến lược S1

sh. Ta có thể thấy vẫn còn HS giải

chọn ẩn theo cách gián tiếp.

- Có 5/156 (3.2%) HS sử dụng chiến lược S1

bài toán theo phương pháp số học đã được tiếp thu ở lớp dưới, mặc dù hiện tại HS

đã được tiếp thu cách giải bài toán theo phương pháp đại số.

Theo các số liệu thống kê trên cho thấy việc chọn ẩn theo cách trực tiếp được

đa số HS thực hiện (104/156 (66.7%)). Trong khi đó số HS chọn ẩn theo cách gián

tiếp được khá ít HS thực hiện (7/156 (4.5%)). Điều này cho ta thấy việc chọn ẩn là

đại lượng cần tìm vẫn còn tồn tại khá rõ trong bài làm của HS.

Các số liệu trong bảng thống kê trên còn cho thấy rõ việc đặt điều kiện

dương cho ẩn số được rất nhiều HS ưu tiên (125/156 (80.1%)), và có 10/156 (6.4%)

HS không đặt điều kiện, ngoài ra không có trường hợp nào HS đặt điều kiện khác

cho ẩn số. Điều này cho thấy HS luôn đặt điều kiện dương cho ẩn và quan niệm kết

quả bài toán luôn dương vẫn tồn tại trong HS.

Như vậy, quy tắc R1và R3 đã có ở HS lớp 8.

Bài toán 2: Tổng của 4 số bằng 45. Nếu lấy số thứ nhất cộng thêm 2, số thứ 2 trừ đi

2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chia cho 2 thì ta có được 4 kết quả đều bằng nhau.

Hãy tìm 4 số ban đầu?

Bảng 3.2. Thống kê các lời giải bài toán 2 của HS lớp 8

Điều kiện Không đặt Chiến lược quan sát được Điều kiện ẩn Tổng cộng

pt_gt:

là số dương khác điều kiện

Chiến lược 9 (5.8%) 9 (5.8%) S2

pt_tt:

“PT_gián tiếp”

Chiến lược 42 (26.9%) 3 (1.9%) 45 (28.8%) S2

hpt_4:

“PT_trực tiếp”

Chiến lược 59 (37.9%) 5 (3.2%) 64 (41.1%) S2

hpt_2:

“HPT_4 ẩn”

Chiến lược 3 (1.9%) 3 (1.9%) S2

nh: Chiến lược “đoán

“HPT_2 ẩn”

12 (7.7%) 12 (7.7%) S2

nghiệm_nhẩm nghiệm”

kh: Các chiến lược khác

5 (3.2%) 5 (3.2%) S2

18 (11.5%) Không làm bài

Tổng cộng 113 (72.5%) 25 (16%) 156

- Có 45/156 (28.8%) HS sử dụng chiến lược S2

pt_tt, có 64/156 (41.1%) HS sử hpt_2. Trong các

• Nhận xét:

hpt_4 và 3/156 (1.9%) HS sử dụng chiến lược S2

dụng chiến lược S2

chiến lược trên, HS đều chọn ẩn là đại lượng cần tìm. Việc đề bài yêu cầu tìm 4 hpt_4 (chọn 4 ẩn lần lượt là 4 đại lượng đại lượng và phần HS sử dụng chiến lược S2

cần tìm) chiếm đa số (64/156). Điều này cho ta thấy sự tồn tại của quy tắc hành

động: chọn ẩn là đại lượng cần tìm khá rõ ràng

- Có 113/156 (72.5%) HS đặt điều kiện dương cho ẩn số và 25/156 (16%) HS

không đặt điều kiện cho ẩn số, ngoài ra không có HS nào đặt điều kiện khác cho

ẩn. Điều này cho thấy việc HS đặt điều kiện dương cho ẩn đã có từ lớp 8

- Có 32/156 (20.5%) bài làm có đáp án đúng, trong đó có 9/156 (5.8%) bài

được HS sử dụng chiến lược “đoán nghiệm_nhẩm nghiệm”. Qua đây ta thấy được

rằng việc thực hiện theo các bước giải được trình bày trong SGK được HS tiếp

thu. Tuy nhiên, việc chuyển đổi từ ngôn ngữ từ bài toán số học sang bài toán đại

số của học học sinh còn gặp nhiều khó khăn, nhất là bước chuyển đổi các số liệu

đã cho của đề bài để lập ra một PT (hay HPT). Chính điều này đã cho thấy rằng

phần bài học và phần bài tập được trình bày trong SGK chưa cung cấp đủ yếu tố

để giúp HS hình thành thuật toán lập PT.

 Như vậy, quy tắc R1 đã tồn tại, đồng thời giả thuyết H2 cũng đã được kiểm

chứng ở HS lớp 8.

3.3.2 Các bài toán dành cho HS lớp 9

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm đối với 184 HS lớp 9 thuộc 5 lớp của 2

trường THCS dưới đây. Những kết quả chung nhất của thực nghiệm sẽ cho phép rút

ra những bất biến của tri thức thực dạy.

- Trung học cơ sở Thị Trấn Tân Châu – Tây Ninh (3 lớp)

- Trung học cơ sở - Trung học phổ thông Đinh Thiện Lý – T.p Hồ Chí Minh (2

lớp)

Bài toán 1: An gởi tiền nhờ Hoa mua dùm một số bút và tập theo giá tiền hai bạn

đã mua trước đây. Nhưng nay giá đã thay đổi và số tiền An gởi không đủ để mua

theo yêu cầu nên Hoa phải bù thêm tiền cho bạn. Nếu Hoa mua 1 cây bút và 1

quyển tập thì số tiền phải bù thêm là 4000 đồng, còn nếu Hoa mua 2 cây bút và 7

quyển tập thì số tiền phải bù thêm là 33000 đồng. Hỏi Hoa phải bù thêm bao nhiêu

tiền khi mua dùm An 15 cây bút?

Bảng 3.3.Thống kê các lời giải bài toán 1 của HS lớp 9

Chiến lược quan sát Điều kiện ẩn Điều kiện Không đặt Tổng cộng

sh: Chiến lược “số học”

được là số dương khác điều kiện

ds_pt.tt: Chiến lược “Đại

3 (1.6%) 3 (1.6%) S1

70 (38%) 3 (1.6%) 4 (2.2%) 77 (41.8%) S1

ds_pt.gt: Chiến lược “Đại

số_PT_trực tiếp”

2 (1.1%) 2 (1.1%) S1

ds_hpt: Chiến lược “Đại

số_PT_gián tiếp”

79 (43%) 1 (0.5%) 5 (2.7%) 85 (46.2%) S1

kh: Các Chiến

số_HPT”

lược 6 (3.3%) 6 (3.3%) S1

khác

11 (6%) Không làm bài

Tổng cộng: 155 (84.3%) 4 (2.1%) 14 (7.6%) 184

ds_pt.tt. Trong đó: có 6/184

• Nhận xét:

- Có 77/184 (41.8%) HS sử dụng chiến lược S1

ds_hpt. Trong đó: có 8/184

(3.3%) HS giải ra đúng đáp án

- Có 85/184 (46.2%) HS sử dụng chiến lược S1

(4.3%) HS giải ra đúng đáp án

ds_pt.tt và 85/184 (46.2%) HS sử ds_hpt. Ở cả hai chiến lược trên HS đều chọn ẩn trực tiếp. Do đó,

- Có 77/184 (41.8%) HS sử dụng chiến lược S1

dụng chiến lược S1

có đến 162/184 (88%) HS chọn ẩn là đại lượng cần tìm. Điều này cho ta thấy quy

tắc R1 vẫn tồn tại ở HS lớp 9.

- Có 173/184 HS làm bài. Trong đó có tới 155/184 (84.3%) HS đặt điều kiện

cho ẩn là số dương và chỉ có 4/184 (2.1%), còn lại 14/184 (7.6%) HS không đặt

điều kiện dương cho ẩn số (có trường hợp lúc đầu HS cũng đặt điều kiện dương

cho ẩn số nhưng khi giải ra kết quả bài toán thì HS đã thay đổi điều kiện lại thành

ẩn là số thực hoặc xóa điều kiện đi). Có thể nói, việc đặt điều kiện cho ẩn số đã

làm cho HS quan niệm rằng kết quả bài toán luôn dương nên đã dẫn đến việc đa

số HS không tìm ra đáp án đúng của bài toán. Từ đây ta thấy vẫn tồn tại quy tắc

hành động R3 ở HS lớp 9.

 Như vậy quy tắc R1và R3 đã được kiểm chứng ở HS lớp 9.

Bài toán 2: Tổng của 4 số bằng 45. Nếu lấy số thứ nhất cộng thêm 2, số thứ 2 trừ đi

2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chia cho 2 thì ta có được 4 kết quả đều bằng nhau.

Hãy tìm 4 số ban đầu?

Bảng 3.4. Thống kê các lời giải bài toán 2 của HS lớp 9

Chiến lược quan sát Điều kiện ẩn Điều kiện Không đặt Tổng cộng

pt_gt: Chiến

được là số dương khác điều kiện

lược 2 (1.1%) 2 (1.1%) S2

pt_tt: Chiến

“PT_gián tiếp”

lược 22 (12%) 22 (12%) S2

hpt_4: Chiến

“PT_trực tiếp”

lược 73 (39.7%) 11 (6%) 84 (45.7%) S2

hpt_2: Chiến

“HPT_4 ẩn”

lược 3 (1.6%) 3 (1.6%) S2

nh: Chiến lược “đoán

“HPT_2 ẩn”

15 (8.2%) 19 (10.3%) 34 (18.5%) S2

nghiệm_nhẩm nghiệm”

kh: Các chiến lược

1 (0.5%) 7 (3.8%) 8 (4.3%) S2

khác

Không làm bài 31 (16.8%)

Tổng cộng 114 (62%) 39 (21.2%) 184

pt_gt và đều tìm ra đáp án đúng.

- Có 2/184 (1.1%) HS sử dụng chiến lược S2

-

pt_tt, trong đó có 5/184 (2.7%)

• Nhận xét:

Có 22/184 (12%) HS sử dụng chiến lược S2

hpt_4, trong đó chỉ có 11/184

- Có 84/184 (45.7%) HS sử dụng chiến lược S2

bài làm tìm ra được đáp án đúng.

nh, trong đó có đến 15/184

- Có 34/184 (18.5%) HS sử dụng chiến lược S2

(6%) bài làm tìm ra được đáp án đúng.

- Có 31/184 (16.8%) HS không làm bài.

(8.2%) bài tìm ra được đáp án đúng.

Dựa vào kết quả trên, ta thấy rằng có 109/184 (59.2%) HS chọn ẩn theo cách

trực tiếp và chỉ có 10/184 (5.4%) HS chọn ẩn theo cách gián tiếp. Điều này cho thấy

tồn tại việc chọn ẩn là đại lượng cần tìm trong cách làm bài của HS.

Bên cạnh đó, có 119/184 (64.7%) HS thực hiện bài làm theo các bước giải bài

toán bằng cách lập PT (HPT) được trình bày trong SGK. Tuy nhiên, chỉ có 18/184

(9.8%) HS tìm ra được đáp án đúng của bài toán, mà nguyên nhân chính ở đây

không phải do việc đặt điều kiện của bài toán mà là HS không biết cách biến đổi để

tạo ra một PT có thể giải để tìm ra đáp án đúng của bài toán. Do đó, ta có thể thấy

được thuật toán lập PT chưa thực sự hình thành trong HS.

 Như vậy, giả thuyết H2 và quy tắc R1 của giả thuyết H1 đã được kiểm chứng

ở HS lớp 9.

Bài toán 3: Nam dự định đi xe đạp từ nhà đến điểm hẹn với Tùng trên quãng đường

dài 20km. Vì đường đang thi công sửa chữa nên Nam phải đi đường khác dài hơn

quãng đường ban đầu 13km. Sợ Tùng đợi lâu, Nam đã cố gắng chạy nhanh hơn vận

tốc dự định 4km/h. Thế nhưng khi đến nơi Nam vẫn trễ 15 phút so với thời gian đã

hẹn. Tính vận tốc Nam dự định đi lúc đầu?

Bảng 3.5. Thống kê các lời giải bài toán 3 của HS lớp 9

Chiến lược quan sát Điều kiện ẩn Điều kiện Không đặt Tổng cộng

là số dương khác điều kiện được

pt_tt:

Chiến lược 140 (76.1%) 140 (76.1%) S3

pt_gt: Chiến

“PT_trực tiếp”

lược 7 (3.8%) 7 (3.8%) S3

hpt_tt: Chiến

“PT_gián tiếp”

lược 23 (12.5%) 5 (2.7%) 28 (15.2%) S3

hpt_gt: Chiến

“HPT_trực tiếp”

lược S3

“HPT_gián tiếp”

9 (4.9%) Không làm bài

Tổng cộng 170 (92.4%) 5 (2.7%) 184

pt_tt. Trong đó: chỉ có 5/184

• Nhận xét:

- Có 140/184 (76.1%) HS sử dụng chiến lược S3

(2.7%) bài làm tìm đúng đáp án. Trong chiến lược này đa số bài làm của HS điều

tìm được kết quả của bài toán, thế nhưng khi kết luận HS đã không quan tâm đến

thực tế cuộc sống mà chỉ cho rằng kết quả tìm được là số dương đã thỏa điều kiện

của ẩn nên đã dẫn đến việc chọn sai đáp án.

- Có 175/184 (95.1%) HS làm bài nhưng chỉ có 7/184 (3.8%) HS chọn ẩn theo

cách gián tiếp, còn lại điều chọn ẩn theo cách trực tiếp. Điều này cho ta thấy rõ

việc chọn ẩn theo cách trực tiếp vẫn được tồn tại trong đa số HS. Mặc khác, tất cả

các bài làm của HS đều đặt điều kiện cho ẩn là số dương (x > 0).

 Như vậy, dựa vào kết quả thực nghiệm trên cho thấy quy tắc R1 và R2 của

giả thuyết H1 cũng như sai lầm M1 đã được kiểm chứng ở HS lớp 9.

3.3.3 Các bài toán dành cho HS lớp 10

Chúng tôi tiến hành thực nghiệm đối với 196 HS lớp 10 thuộc 5 lớp của 2

trường THPT dưới đây. Những kết quả chung nhất của thực nghiệm sẽ cho phép

rút ra những bất biến của tri thức thực dạy.

- Trung học phổ thông Hoàng Văn Thụ – Tây Ninh (3 lớp)

- Trung học phổ thông Nguyễn Văn Trỗi – Nha Trang (2 lớp)

Bài toán 1: An gởi tiền nhờ Hoa mua dùm một số bút và tập theo giá tiền hai bạn

đã mua trước đây. Nhưng nay giá đã thay đổi và số tiền An gởi không đủ để mua

theo yêu cầu nên Hoa phải bù thêm tiền cho bạn. Nếu Hoa mua 1 cây bút và 1

quyển tập thì số tiền phải bù thêm là 4000 đồng, còn nếu Hoa mua 2 cây bút và 7

quyển tập thì số tiền phải bù thêm là 33000 đồng. Hỏi Hoa phải bù thêm bao nhiêu

tiền khi mua dùm An 15 cây bút?

Bảng 3.6.Thống kê các lời giải bài toán 1 của HS lớp 10

Chiến lược quan sát Điều kiện ẩn Điều kiện Không đặt Tổng cộng

sh: Chiến

là số dương khác điều kiện được

lược “số S1

ds_pt.tt: Chiến

học”

lược 4 (2.1%) 3 (1.5%) 7 (3.6%) S1

“Đại số_PT_trực tiếp”

ds_pt.gt: Chiến

lược S1

ds_hpt: Chiến lược “Đại

“Đại số_PT_gián tiếp”

133 (67.8%) 42 (21.4%) 175 (89.2%) S1

kh: Các Chiến lược

số_HPT”

5 (2.6%) 5 (2.6%) S1

khác

Không làm bài 9 (4.6%)

Tổng cộng: 142 (72.5%) 45 (22.9%) 196

ds_pt.tt. Trong đó:

• Nhận xét:

- Có 7/196 (3.6%) HS sử dụng chiến lược S1

ds_hpt. Trong đó:

+ Có 3/196 (1.5%) HS giải ra đúng đáp án

- Có 175/196 (89.2%) HS sử dụng chiến lược S1

+ Có 73/196 (37.2%) HS giải ra đúng đáp án

ds_pt.tt và 175/196 (89.2%) HS sử ds_hpt. Ở cả hai chiến lược trên HS đều chọn ẩn trực tiếp. Do đó,

- Có 7/196 (3.6%) HS sử dụng chiến lược S1

dụng chiến lược S1

có đến 182/196 (92.8%) HS chọn ẩn là đại lượng cần tìm. Điều này cho ta thấy

quy tắc R1 vẫn tiếp tục tồn tại ở HS lớp 10.

- Có 187/196 HS làm bài. Trong đó có tới 142/196 (72.5%) HS đặt điều kiện

cho ẩn là số dương. Còn lại 45/196 (22.9%) HS không đặt điều kiện cho ẩn (có

trường hợp lúc đầu HS cũng đặt điều kiện dương cho ẩn số nhưng khi giải ra kết

quả bài toán thì HS đã thay đổi điều kiện ẩn là số thực hoặc xóa điều kiện dương

đi). Có thể nói, việc đặt điều kiện cho ẩn số đã làm cho HS quan niệm rằng kết

quả bài toán luôn dương nên đã dẫn đến việc đa số HS không tìm ra đáp án đúng

của bài toán. Từ đây ta thấy sai lầm M1 và quy tắc hành động R3 vẫn còn tồn tại ở

HS 10.

Bài toán 2: Tổng của 4 số bằng 45. Nếu lấy số thứ nhất cộng thêm 2, số thứ 2 trừ đi

2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chia cho 2 thì ta có được 4 kết quả đều bằng nhau.

Hãy tìm 4 số ban đầu?

Bảng 3.7. Thống kê các lời giải bài toán 2 của HS lớp 10

Chiến lược quan sát Điều kiện ẩn Điều kiện Không đặt Tổng cộng

pt_gt: Chiến

được là số dương khác điều kiện

lược 5 (2.6%) 3 (1.5%) 8 (4.1%) S2

pt_tt: Chiến

“PT_gián tiếp”

lược 2 (1%) 2 (1%) S2

hpt_4: Chiến

“PT_trực tiếp”

lược 93 (47.4%) 71 (36.2%) 164 (83.7%) S2

hpt_2: Chiến

“HPT_4 ẩn”

lược S2

nh: Chiến lược “đoán

“HPT_2 ẩn”

5 (2.6%) 5 (2.6%) S2

kh: Các chiến lược

nghiệm_nhẩm nghiệm”

2(1%) 1 (0.5%) 3 (1.5%) S2

khác

Không làm bài 14 (7.1%)

Tổng cộng 102 (52%) 80 (40.8%) 196

pt_gt và đều tìm ra đáp án đúng.

- Có 8/196 (4.1%) HS sử dụng chiến lược S2

-

pt_tt và đều tìm ra đáp án đúng.

• Nhận xét:

Có 2/196 (1%) HS sử dụng chiến lược S2

hpt_4, trong đó chỉ có 79/196

- Có 164/196 (83.7%) HS sử dụng chiến lược S2

nh và không có đáp án đúng.

- Có 3/196 (1.5%) HS sử dụng chiến lược S2

- Có 14/196 (7.1%) HS không làm bài.

(40.3%) bài làm tìm ra đáp án đúng.

Dựa vào kết quả trên, ta thấy rằng có 166/196 (84.7%) HS chọn ẩn theo cách

trực tiếp và chỉ có 8/196 (4.1%) HS chọn ẩn theo cách gián tiếp. Điều này cho

thấy tồn tại việc chọn ẩn là đại lượng cần tìm trong cách làm bài của HS.

Bên cạnh đó, có 177/196(90.3%) HS thực hiện bài làm theo các bước

GBTBCLPT (HPT) được trình bày trong SGK. Trong đó có 92/196 (45.4%) HS

tìm ra được đáp án đúng của bài toán, và nguyên nhân của việc có ít HS tìm

được đáp án đúng là do HS không đưa được các dữ liệu của bài toán về dạng PT

(HPT) mà HS đã biết cách giải quyết chúng. Do đó, ta có thể thấy được thuật

toán lập PT chưa thực sự hình thành trong HS.

 Như vậy, giả thuyết H2 và quy tắc R1 của giả thuyết H1 đã được kiểm chứng

ở HS lớp 10.

Bài toán 3: Nam dự định đi xe đạp từ nhà đến điểm hẹn với Tùng trên quãng đường

dài 20km. Vì đường đang thi công sửa chữa nên Nam phải đi đường khác dài hơn

quãng đường ban đầu 13km. Sợ Tùng đợi lâu, Nam đã cố gắng chạy nhanh hơn vận

tốc dự định 4km/h. Thế nhưng khi đến nơi Nam vẫn trễ 15 phút so với thời gian đã

hẹn. Tính vận tốc Nam dự định đi lúc đầu?

Bảng 3.8. Thống kê các lời giải bài toán 3 của HS lớp 10

Chiến lược quan sát Điều kiện ẩn Điều kiện Không đặt Tổng cộng

là số dương khác điều kiện được

pt_tt:

Chiến lược 116 (59.2%) 5 (2.6%) 121 (61.8%) S3

pt_gt:

“PT_trực tiếp”

Chiến lược S3

hpt_tt: Chiến

“PT_gián tiếp”

lược 66 (33.7%) 6 (3%) 72 (36.7%) S3

hpt_gt: Chiến

“HPT_trực tiếp”

lược S3

“HPT_gián tiếp”

Không làm bài 3 (1.5%)

Tổng cộng 182 (92.9%) 11 (5.6%) 196

pt_tt. Trong đó: chỉ có 17/196

• Nhận xét:

- Có 116/196 (59.2%) HS sử dụng chiến lược S3

(8.7%) bài làm tìm đúng đáp án, còn lại các bài làm khác đều tìm ra được kết quả

nhưng do HS quan niệm chỉ cần kết quả giải ra ẩn số dương là đã đạt yêu cầu mà

thiếu sự quan tâm đến thực tế cuộc sống nên việc chọn đáp án đúng đã không

thành công.

- Có 192/196 (98.5%) HS làm bài và tất cả đều chọn ẩn theo cách trực tiếp,

không có trường hợp nào chọn ẩn theo cách gián tiếp. Điều này cho thấy rõ việc

chọn ẩn theo cách trực tiếp vẫn được tồn tại khá vững trong cách làm bài của HS.

Mặt khác, chỉ có 11/196 (5.6%) bài làm của HS không đặt điều kiện cho ẩn số,

còn lại tất cả các bài làm của HS đều đặt điều kiện cho ẩn là số dương (x > 0).

 Như vậy, dựa vào kết quả thực nghiệm trên cho thấy quy tắc R1 và R2 của

giả thuyết H1 tiếp tục được kiểm chứng ở HS lớp 10.

Bảng 3.9. Tổng hợp các chiến lược của HS đối với bài toán 1

SL Tỷ lệ (%) SL Tỷ lệ (%)

SL Tỷ lệ (%)

sh: Chiến lược “số học”

Chiến lược Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10

ds_pt.tt: Chiến lược “Đại

5 3.2 (%) 3 1.6 (%) 0 0 (%) S1

92 59 (%) 77 41.8 (%) 7 3.6 (%) S1

ds_pt.gt: Chiến lược “Đại

số_PT_trực tiếp”

7 4.5 (%) 2 1.1 (%) 0 0 (%) S1

ds_hpt: Chiến lược “Đại

số_PT_gián tiếp”

12 7.7 (%) 85 46.2 (%) 175 89.2 (%) S1

kh: Các chiến lược khác

số_HPT”

19 12.1 (%) 6 3.3 (%) 5 2.6 (%) S1

ds_pt.tt: Lớp 8 có 92/156 (59%) HS, lớp 9 có 77/184 (41.8%) HS

• Nhận xét:

- Chiến lược S1

và lớp 10 có 7/196 (3.6%) HS sử dụng. Ở đây ta có thể thấy chiến lược này được

HS lớp 8 ưu tiên nhiều hơn chiếm tỉ lệ khá cao, đến lớp 9 thì chiến lược này tuy sự

ưu tiên đã giảm đi khá nhiều nhưng vẫn còn chiến tỉ lệ cao, nhưng khi đến lớp 10

ds_hpt: Lớp 8 có 12/156 (7.7%) HS, lớp 9 có 85/184 (46.2%) HS

thì đã thấy rõ sự ưu tiên đã không còn nữa.

- Chiến lược S1

và lớp 10 có 175/196 (89.2%) HS sử dụng. Số liệu trên cho ta thấy được sự ưu ds_pt.tt. Đối với HS tiên của chiến lược này gần như nghịch đảo với chiến lược S1

lớp 8 thì không có sự ưu tiên vì rất ít HS sử dụng, và lên lớp 9 thì sự ưu tiên đã bắt

đầu xuất hiện và chiếm tỉ lệ cao mặc dù không phải là hoàn toàn, nhưng khi đến

lớp 10 thì sự ưu tiên đã được hầu hết HS sử dụng chiếm tỉ lệ gần như là tuyệt đối.

kh: Tất cả đều giảm dần từ lớp 8 đến lớp 10.

sh, S1

ds_pt.gt và S1

- Chiến lược S1

Bảng 3.10. Tổng hợp các chiến lược của HS đối với bài toán 2

SL Tỷ lệ (%)

SL Tỷ lệ (%)

SL Tỷ lệ (%)

9

5.8 (%)

2

1.1 (%)

8

4.1 (%)

Chiến lược Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10

pt_gt:

Chiến lược S2

45

28.8 (%)

22

12 (%)

2

1 (%)

pt_tt: Chiến lược “PT_trực

“PT_gián tiếp”

S2

64

41.1 (%)

84

45.7 (%)

164

83.7 (%)

hpt_4: Chiến lược “HPT_4

tiếp”

S2

3

1.9 (%)

3

1.6 (%)

0

0 (%)

hpt_2: Chiến lược “HPT_2

ẩn”

S2

12

7.7 (%)

34

18.5 (%)

5

2.6 (%)

nh: Chiến

ẩn”

lược “đoán S2

5

3.2 (%)

8

4.3 (%)

3

1.5 (%)

kh: Các chiến lược khác

nghiệm_nhẩm nghiệm”

S2

pt_tt: Lớp 8 có 45/156 (28.8%) HS, lớp 9 có 22/184 (12%) HS

• Nhận xét:

- Chiến lược S2

và lớp 10 có 2/196 (1%) HS sử dụng. Ở đây ta có thể thấy chiến lược này được

HS lớp 8 có sự ưu tiên chiếm tỉ lệ không cao lắm, đến lớp 9 thì chiến lược này đã

không còn sự ưu tiên nữa nhưng vẫn còn một số HS sử dụng, nhưng khi đến lớp

hpt_4: Lớp 8 có 64/156 (41.1%) HS, lớp 9 có 84/184 (45.7%)

10 thì đã thấy rõ được sự không quan tâm của HS đối với chiến lược này.

- Chiến lược S2

HS và lớp 10 có 164/196 (83.7%) HS sử dụng. Số liệu trên cho ta thấy được sự ưu

tiên của chiến lược này đối với HS ngày càng tăng lên từ lớp 8 đến lớp 9. Ở lớp 8

sự ưu tiên đã được bắt đầu với tỉ lệ cao, lên lớp 9 nó tiếp tục tăng thêm và chiếm tỉ

lệ khá cao và đặc biệt ở lớp 10 sự ưu tiên của HS với chiến lược này gần như tuyệt

đối.

nh: Lớp 8 có 12/156 (7.7%) HS, lớp 9 có 34/184 (18.5%) HS và

- Chiến lược S2

lớp 10 có 5/196 (2.6%) HS sử dụng. Chiến lược này đều được HS ở cả 3 khối sử

dụng. Ở lớp 8 HS sử dụng chiến lược này không nhiều và khi lên lớp 9 chúng

được phát triển tương đối tốt chiếm tỉ lệ không quá ít nhưng khi đến lớp 10 thì nó

pt_gt: Lớp 8 có 9/156 (5.8%) HS, lớp 2 có 34/184 (1.1%) HS và

lại bị giảm đi rõ rệt chỉ còn lại một lượng rất nhỏ.

- Chiến lược S2

lớp 10 có 8/196 (4.1%) HS sử dụng. Chiến lược này cũng được HS lớp 8 sử dụng

tuy nhiên với số lượng ít, và lên lớp 9 thì nó gần như không còn nhưng lại xuất

hiện trở lại ở lớp 10 với một tỉ lệ rất nhỏ.

Bảng 3.11. Tổng hợp các chiến lược của HS đối với bài toán 3

Chiến lược Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10

Tỷ lệ SL Tỷ lệ SL Tỷ lệ (%) SL

pt_tt: Chiến lược “PT_trực tiếp”

(%) (%)

pt_gt: Chiến lược “PT_gián tiếp”

140 76.1 (%) 121 61.8 (%) S3

hpt_tt: Chiến lược “HPT_trực tiếp”

7 3.8 (%) 0 0 (%) S3

hpt_gt: Chiến

28 15.2 (%) 72 36.7 (%) S3

lược “HPT_gián 0 0 (%) 0 0 (%) S3

tiếp”

pt_tt: Lớp 9 có 140/184 (76.1%) HS và lớp 10 có 121/196

• Nhận xét:

- Chiến lược S3

(61.8%) HS sử dụng. Chiến lược này đều được cả hai lớp ưu tiên sử dụng với tỉ lệ

hpt_tt: Lớp 9 có 28/184 (15.2%) HS và lớp 10 có 72/196

khá cao.

- Chiến lược S3

pt_tt nhưng vẫn được xuất hiện với tỉ lệ không nhỏ.

(36.7%) HS sử dụng. Chiến lược này tuy không được cả hai lớp ưu tiên so với

chiến lược S3

pt_gt: Lớp 9 có 7/184 (3.8%) HS và lớp 10 có 0/196 (0%) HS

- Chiến lược S3

sử dụng. Chiến lược này có xuất hiện trong cách làm của HS lớp 9 nhưng với số

lượng rất ít và không còn được xuất hiện ở lớp 10 nữa.

Tóm lại:

- Trong các bảng thồng kê các chiến lược đối với 3 bài toán ở 3 khối lớp ta

thấy được các chiến lược mà trong đó chọn ẩn theo cách trực tiếp chiếm một tỉ lệ

rất lớn, điều này ta thấy được quy tắc hành động R1 của giả thuyết H1 tồn tại ở cả

3 khối lớp khá vững chắc.

- Các bảng thống kê các lời giải đối với bài toán 1 của cả 3 khối lớp đã kiểm

chứng được sự tồn tại quy tắc R1, R3 của giả thuyết H1 ở HS.

- Các bảng thống kê các lời giải đối với bài toán 2 của cả 3 khối lớp đã kiểm

chứng được sự tồn tại quy tắc R1 của giả thuyết H1 và tính thỏa đáng của giả

thuyết H2.

- Các bảng thống kê các lời giải đối với bài toán 3 của 2 khối lớp 9 và 10 đã

kiểm chứng được sự tồn tại quy tắc R2 của giả thuyết H1 ở HS.

KẾT LUẬN

Các ngiên cứu ở chương 1, 2 và 3 cho phép chúng tôi tìm ra câu trả lời cho

các câu hỏi nghiên cứu đặt ra trước đó. Sau đây là những kết quả nghiên cứu chính

đã đạt được:

1. Nghiên cứu GBTBCLPT với tri thức cần dạy, chúng tôi đã chỉ ra được

những quy tắc hợp đồng ngầm ẩn của chương trình với GV và HS như sau:

về cách chọn ẩn số của bài toán thì thường chọn ẩn theo cách trực tiếp, về

cách đặt điều kiện cho ẩn số thì thường chọn số dương là điều kiện cho ẩn,

đồng thời các bài tập được trình bày trong SGK đều theo quy tắc là kết quả

bài toán đều thỏa điều kiện đặt ra ban đầu (điều kiện dương của ẩn số) mà

không có trường hợp nào loại kết quả dương của ẩn số, còn về cách chọn đơn

vị cho ẩn số hoàn toàn không được đề cập tới mà chỉ ghi vào phía sau ẩn số

mà thôi. Từ đó dẫn đến chướng ngại trong việc chọn ẩn số để dẫn đến lời giải

tối ưu của bài toán cũng như đặt điều kiện “chặt” cho ẩn số. Từ chướng ngại

này đã biểu hiện dưới dạng các quy tắc hành động: HS luôn chọn ẩn là đại

lượng cần tìm, việc đặt điều kiện cho ẩn số dẫn đến quan niệm “kết quả bài

toán luôn dương” của HS, HS ít sử dụng kiến thức thực tế để kiểm tra tính

hợp lí của bài toán. Hơn nữa, việc kiểm tra tính hợp lí thường bị bỏ qua. Và

sai lầm của HS là HS luôn đặt điều kiện dương cho ẩn. Điều này đã được

chúng tôi kiểm chứng bằng thực nghiệm ở các lớp 8, 9, 10.

Phân tích và tổng hợp tri thức cần dạy và tri thức tiếp thu về GBTBCLPT cho

phép chúng tôi chỉ ra được các yếu tố chưa được định nghĩa rõ ràng trong bước

lập PT của các bước GBTBCLPT được trình bày trong GSK. Bên cạnh đó chúng

tôi nhận thầy được các bài tập trong SGK và SBT cũng chưa thể cung cấp đủ

yếu tố để việc định nghĩa được rõ ràng của bước lập PT trên. Từ đây cho phép

chúng tôi đưa ra giả thuyết H2: Việc thiết lập PT trong chủ đề GTBCLPT ở

THCS được HS thực hiện dựa vào sự nhận dạng loại toán “quen thuộc” so với

phần bài học của SGK và dựa vào quy tắc “đặt ẩn là đại lượng cần tìm”. Việc

thay đổi dạng toán “quen thuộc” làm học sinh gặp trở ngại trong việc LPT hoặc

làm việc chọn ẩn số của HS trở thành chọn lựa không tối ưu.”

2. . Bên cạnh đó chúng tôi cũng nhận thấy được quá trình mô hình hóa được

đưa vào trong chương trình một cách tinh tế, tuy nhiên do thời gian hạn chế

nên chúng tôi chưa nghiên cứu được việc mô hình hóa có được quan tâm

đúng mức hay không? Những hạn chế cũng như những ưu và khuyết điểm

của quá trình này.

Thực nghiệm đã chỉ ra các sự tồn tại dai dẳng của các quy tắc hành động

cũng như sai lầm ở các HS trung học cơ sở và lớp 10. Đồng thời cũng kiểm

chứng được giả thuyết H2 ở HS các lớp 8, 9, 10.

 Hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn:

Do hạn chế về thời gian nên chúng tôi chưa nghiên cứu kỹ về quá trình

mô hình hóa đối với chủ đề GBTBCLPT. Nếu sau này có điều kiện, chúng

tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu các vần đề về mô hình hóa như đã nêu.

Việc HS phạm phải sai lầm tồn tại dai dẳng khi học tập về chủ đề

GBTBCLPT. Điều này tạo ra cho chúng tôi câu hỏi gợi ý: có thể xây dựng

các tình huống xung đột nhận thức, cho phép làm mất ổn định và dẫn tới phá

hủy kiến thức cũ, địa phương, nguồn gốc của sai lầm như đã đề cập hay

không? Đây là câu hỏi mà chúng tôi cần nghiên cứu trong thời gian tới.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng việt

1. Bộ giáo dục và đào tạo (1998), Giáo trình đào tạo giáo viên THCS_hệ

CĐSP, NXB Giáo dục

2. Nguyễn Cang (2001), Giới thiệu tóm tắt cuộc đời và sự nghiệp các nhà toán

học, NXB Trẻ.

3. Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố cơ bản của didactic

toán, NXB Đại Học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh.

4. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2004), Toán 8 Tập 2, NXBGD.

5. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2005), SGV Toán 8 Tập 2, NXBGD.

6. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2005), Toán 9 Tập 2, NXBGD.

7. Phan Đức Chính, Tôn Thân (2005), SGV Toán 9 Tập 2, NXBGD.

8. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2006), Đại số 10, BKHXH, NXBGD.

9. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn (2006), Bài tập Đại số 10, BKHXH, NXBGD.

10. Ngô Thúc Lanh (2002), Từ điển toán học thông dụng, NXBGD.

11. Ngô Thúc Lanh (1986), Đại số và số học 9 Tập 2, NXBGD.

12. Nguyễn Ái Quốc (2006), Phân tích didactic so sánh việc giải phương trình

bậc hai trong việc dạy học trung học tại Việt Nam và tại Pháp, Luận án Tiến

sĩ

13. Nguyễn Duy Thuận (1989), Đại số 8, NXBGD.

14. G. Polia, Phan Tất Đắc, Nguyễn Sĩ Tuyển dịch (1975), Sáng tạo Toán học ,

tập 1, NXB Hà Nội.

15. Phạm Đức Tài (2009), Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn

Toán THCS, Bộ GD và ĐT, NXBGD.

16. Nguyễn Hữu Thảo (2001) Hướng dẫn ôn tập thi tốt nghiệp THCS năm học

2000 – 2001, NXBGD.

17. Hoàng Quý, Nguyễn Văn Ban, Hoàng Chúng, Trần Văn Hạo, Lê Thị Thiên

Hương (1999), Từ điển bách khoa phổ thông toán học 1, NXBGD.

18. Hoàng Quý, Nguyễn Văn Ban, Hoàng Chúng, Trần Văn Hạo, Lê Thị Thiên

Hương (1999), Từ điển bách khoa phổ thông toán học 2, NXBGD.

19. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2006), Đại số 10, BKHTN, NXBGD.

20. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan (2006), Bài tập Đại số 10, BKHTN,

NXBGD.

21. Tôn Thân (2004), Bài tập toán 8 tập 2, NXBGD.

22. Tôn Thân (2005), Bài tập toán 9 tập 2, NXBGD.

Tiếng Pháp và Tiếng Anh

23. Gisèle Chapiron, Michel Mante, René Mulet – Marquis, Catherine Pérotin

(1999), Mathématiques 4e , collection Triangle, HATIER Illustration.

24. Mathématiques Seconde S – Collection Triangle

25. G.Polya (1971), How to solve it – A new aspect of Mathematical method,

Princeton University Press, Princeton, New Jersey.

louis Hoelzle, Elementary and 26. Donald hutchison, Barry Bergman,

Intermediate – Algebra A Unified Approach, Second Edition.

PHỤ LỤC

Phụ lục 1. Phiếu bài tập thực nghiệm dành cho học sinh lớp 8

Các em thân mến!

Phiếu này gồm 2 bài toán. Các em có 40 phút để trình bày lời giải ngay phía

dưới phần bài làm và thực hiện nháp ngay phía dưới phần nháp. Lời giải

không nhằm để đánh giá các em mà để góp phần cải thiện việc dạy và học

Toán.

Xin cám ơn sự tham gia của các em.

Bài Toán 1: An gởi tiền nhờ Hoa mua dùm một số bút và tập theo giá tiền hai bạn

đã mua trước đây. Nhưng nay giá tiền đã thay đổi và số tiền An gởi không đủ để

mua theo yêu cầu nên Hoa phải bù thêm tiền cho bạn. Nếu Hoa mua 1 cây bút và 1

quyển tập thì số tiền phải bù thêm là 4000 đồng, còn nếu Hoa mua 2 cây bút và 7

quyển tập thì số tiền phải bù thêm là 33000 đồng. Hỏi Hoa phải bù thêm bao nhiêu

tiền khi mua 15 cây bút?

Bài Làm

Nháp

.................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. ..................................

..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... .....................................................................

Bài Toán 2: Tổng của 4 số bằng 45. Nếu lấy số thứ nhất cộng thêm 2, số thứ 2 trừ

đi 2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chia cho 2 thì ta có được 4 kết quả đều bằng

nhau. Hãy tìm 4 số ban đầu?

Bài Làm

Nháp

.................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. ..................................

..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... .....................................................................

Phụ lục 2. Phiếu bài tập thực nghiệm dành cho học sinh lớp 9 và lớp 10

Các em thân mến!

Phiếu này gồm 2 bài toán. Các em có 40 phút để trình bày lời giải ngay phía

dưới phần bài làm và thực hiện nháp ngay phía dưới phần nháp. Lời giải

không nhằm để đánh giá các em mà để góp phần cải thiện việc dạy và học

Toán.

Xin cám ơn sự tham gia của các em.

Bài Toán 1: An gởi tiền nhờ Hoa mua dùm một số bút và tập theo giá tiền hai bạn

đã mua trước đây. Nhưng nay giá tiền đã thay đổi và số tiền An gởi không đủ để

mua theo yêu cầu nên Hoa phải bù thêm tiền cho bạn. Nếu Hoa mua 1 cây bút và 1

quyển tập thì số tiền phải bù thêm là 4000 đồng, còn nếu Hoa mua 2 cây bút và 7

quyển tập thì số tiền phải bù thêm là 33000 đồng. Hỏi Hoa phải bù thêm bao nhiêu

tiền khi mua 15 cây bút?

Bài Làm

Nháp

.................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. ..................................

..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... .....................................................................

Bài Toán 2: Tổng của 4 số bằng 45. Nếu lấy số thứ nhất cộng thêm 2, số thứ 2 trừ

đi 2, số thứ ba nhân với 2, số thứ tư chia cho 2 thì ta có được 4 kết quả đều bằng

nhau. Hãy tìm 4 số ban đầu?

Bài Làm

Nháp

.................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. ..................................

..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... .....................................................................

Bài Toán 3: Nam dự định đi xe đạp từ nhà đến điểm hẹn với Tùng trên quãng

đường dài 20km. Vì đường đang thi công sửa chửa nên Nam phải đi đường khác dài

hơn quãng đường ban đầu 13km. Sợ Tùng đợi lâu, Nam đã cố gắng chạy nhanh hơn

vận tốc dự định 4km/h. Thế nhưng khi đến nơi Nam vẫn trễ 15 phút so với thời gian

đã hẹn. Tính vận tốc Nam dự định đi lúc đầu?

Bài Làm

Nháp

.................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. .................................. ..................................

..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... ..................................................................... .....................................................................

84

Phụ lục 3: Một số bài làm của học sinh

HS1:

HS2:

85

HS3:

HS4:

86

HS5:

87

HS6:

HS7:

88

HS8:

89

HS9:

90

HS10:

91

HS11: