Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Đánh giá khuyết tật bằng kỹ thuật chụp ảnh cắt lớp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong luận văn này, tác giả sẽ lần lượt áp dụng các thuật toán khác nhau để phục hồi ảnh từ các số liệu thực nghiệm khác nhau. Quá trình này được thực hiện trước và sau khi sử dụng bộ lọc nhằm mục đích đánh giá và so sánh tính hiệu quả của mỗi thuật toán đối với các bộ số liệu khác nhau. Thông qua kết quả đạt được, luận văn sẽ đề xuất phương pháp hợp lý để áp dụng vào việc phục hồi ảnh từ số liệu thực nghiệm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Đánh giá khuyết tật bằng kỹ thuật chụp ảnh cắt lớp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vũ Quốc Toàn ĐÁNH GIÁ KHUYẾT TẬT BẰNG KỸ THUẬT CHỤP ẢNH CẮT LỚP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Thành phố Hồ Chí Minh - 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vũ Quốc Toàn ĐÁNH GIÁ KHUYẾT TẬT BẰNG KỸ THUẬT CHỤP ẢNH CẮT LỚP Chuyên ngành: Vật lí nguyên tử Mã số: 60440106 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. TRẦN THIỆN THANH Thành phố Hồ Chí Minh - 2019
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này được viết và trình bày bởi chính tôi. Những tài liệu tham khảo được tôi trích dẫn đầy đủ. Các kết quả nghiên cứu của luận văn được chính tôi thực hiện. Người thực hiện Nguyễn Vũ Quốc Toàn
LỜI CẢM ƠN Lời cảm ơn đầu tiên, tôi xin được dành tặng cho ba mẹ tôi vì họ đã là những người không ngại khó khăn, nuôi sống và cho tôi có đủ điều kiện để hoàn thành con đường học vấn của mình. Con xin chân thành cảm ơn ba mẹ và con thiết nghĩ, không có những từ ngữ nào có thể cảm ơn hết được công lao của ba mẹ đã giành cho con. Con chỉ biết để ba mẹ xuất hiện trong cuốn luận văn này như một lời tri ân đến ba mẹ vì đã giúp con hoàn thành được việc học của con. Lời cảm ơn thứ hai, tôi xin được dành tặng cho PGS.TS. Trần Thiện Thanh, là người thầy đã không ngại số lượng học viên mà nhận tôi làm ''đệ'' của thầy vào những giờ phút chót. Có những lúc, vì những thiếu sót mắc phải của việc lần đầu làm luận văn mà thầy đã suýt chút nữa không nhận tôi, nhưng thầy đã tha thứ cho tôi, và tôi coi đó là một điều cực kì lớn lao. Tôi cực kì quý trọng điều đó ở thầy. Em xin tri ân thầy một cách sâu sắc nhất. Lời cảm ơn thứ ba, tôi xin được gửi đến TS. Trần Nhân Giang, người thầy trực tiếp đồng hành cùng tôi trên chặng đường làm luận văn. Có những lúc, tôi đã tưởng chừng công việc này sẽ không thể hoàn thành, nhưng bằng một cách nào đó, thầy đã vực dậy tôi, trao cho tôi nghị lực vươn lên và không bỏ cuộc. Tôi cực kì tâm tắc câu nói động viên của thầy: "Dù thế nào cũng nhất quyết không được gia hạn'', chính câu nói ấy đã cho tôi niềm tin vững mạnh, rằng luận văn tôi sẽ hoàn thành đúng thời hạn. Sau cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn đến Phòng sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh vì đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi được hoàn tất các thủ tục cần thiết cho việc làm luận văn. Cầu chúc sức khỏe, hạnh phúc và thành đạt đến tất cả mọi người. Xin trân trọng cám ơn! Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 27 tháng 09 năm 2019 Nguyễn Vũ Quốc Toàn
MỤC LỤC Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Danh mục chữ viết tắt Danh mục các bảng Danh mục hình ảnh LỜI MỞ ĐẦU................................................................................................... 1 Chương 1. TỔNG QUAN ................................................................................ 3 1.1. Tổng quan về lịch sử hình thành và phát triển của kỹ thuật chụp ảnh cắt lớp điện toán (Computed Tomography - CT) ................................... 3 1.1.1. Lịch sử hình thành............................................................................. 3 1.1.2. Các thế hệ máy ghi hình cắt lớp điện toán ........................................ 4 1.2. Phép biến đổi Radon................................................................................ 7 1.2.1. Khái niệm .......................................................................................... 7 1.2.2. Tính chất ........................................................................................... 9 1.2.3. Phép biến đổi Radon ngược ............................................................ 10 1.3. Nguyên lý chụp ảnh cắt lớp điện toán ................................................... 11 1.4. Tổng kết chương 1................................................................................. 13 Chương 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP DỰNG ẢNH TRONG KỸ THUẬT CHỤP ẢNH CẮT LỚP ĐIỆN TOÁN ...................................... 14 2.1. Phương pháp phân tích .......................................................................... 14 2.1.1. Phương pháp biến đổi Fourier ........................................................ 15 2.1.2. Phương pháp chiếu ngược có lọc (Filtered Backprojection - FBP)................................................................................................ 17 2.2. Phương pháp lặp .................................................................................... 19 2.3. Cơ sở lý thuyết của một số bộ lọc ......................................................... 24 2.3.1. Bộ lọc Ram-Lak .............................................................................. 24 2.3.2. Bộ lọc Shepp-Logan ....................................................................... 25
2.3.3. Bộ lọc Cosin .................................................................................... 25 2.3.4. Bộ lọc Hann và Hamming............................................................... 25 2.4. Tổng kết chương 2................................................................................. 25 Chương 3. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN .................................................... 26 3.1. Số liệu thực nghiệm. .............................................................................. 26 3.2. Kết quả phục hồi ảnh bằng phương pháp Fourier ................................. 30 3.3. Kết quả phục hồi ảnh bằng phương pháp FBP ...................................... 32 3.4. Kết quả phục hồi ảnh bằng phương pháp EM ....................................... 35 3.5. Kết luận ................................................................................................. 37 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ....................................................................... 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................. 40
DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT Chữ viết Tiếng Anh Tiếng Việt tắt NDT Non-Destructive Testing Kiểm tra không phá hủy CT Computed Tomography Chụp ảnh cắt lớp điện toán FBP Filtered Backprojection Chiếu ngược có lọc Algebraic Reconstruction Kỹ thuật tái tạo đại số ART Technique Simulataneous Algebraic Kỹ thuật tái tạo đại số đồng SART Reconstruction Technique thời EM Expectation Maximization Cực đại hóa kỳ vọng Vietnam National University Đại học Quốc Gia Thành Phố VNUHCM Ho Chi Minh City Hồ Chí Minh
DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1.Tính chất phép biến đổi Radon ................................................................... 10 Bảng 3.1.Tham số của hệ chụp CT............................................................................. 26
DANH MỤC HÌNH ẢNH Hình 1.1. Ảnh chụp đầu người từ máy CT năm 1975 ............................................... 3 Hình 1.2. Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ nhất ...................................... 4 Hình 1.3. Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ hai ........................................ 5 Hình 1.4. Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ ba.......................................... 6 Hình 1.5. Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ tư .......................................... 7 Hình 1.6. Phép chiếu ................................................................................................. 9 Hình 1.7. Nguyên lý ghi hình cắt lớp điện toán thể hiện thông qua bốn thế hệ máy chụp ................................................................................................. 11 Hình 3.1. Giao diện người dùng của chương trình điều khiển hệ quét gamma CT . 28 Hình 3.2. Cấu trúc sinogram của ba bộ số liệu ....................................................... 29 Hình 3.3. Ảnh của phantom 1 được phục hồi bằng phương pháp Fourier khi không có bộ lọc và có bộ lọc .................................................................. 30 Hình 3.4. Ảnh phantom 2 được phục hồi bằng phương pháp Fourier khi không có bộ lọc và có bộ lọc ............................................................................. 31 Hình 3.5. Ảnh phantom 3 được phục hồi bằng phương pháp Fourier khi không có bộ lọc và có bộ lọc ............................................................................. 32 Hình 3.6. Ảnh phantom 1 được phục hồi bằng phương pháp FPB khi không có bộ lọc và có bộ lọc .................................................................................. 33 Hình 3.7. Ảnh thu được của phantom 2 khi sử dụng phương pháp FBP khi không có bộ lọc và có bộ lọc .................................................................. 34 Hình 3.8. Ảnh phantom 3 được phục hồi bằng phương pháp FBP khi không có bộ lọc và có bộ lọc .................................................................................. 35 Hình 3.9. Ảnh phantom 1 được phục hồi bằng phương pháp EM khi không có bộ lọc và có bộ lọc .................................................................................. 36 Hình 3.10. Ảnh phantom 2 được phục hồi bằng phương pháp EM khi không có bộ lọc và có bộ lọc .................................................................................. 37
1 LỜI MỞ ĐẦU Kiểm tra không phá hủy (Non-Destructive Testing – NDT) [1] đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu và ứng dụng. Phương pháp này giúp xác định được các khuyết tật bên trong các cấu trúc vật liệu, nhờ đó có thể biết được sản phẩm sản xuất ra có đạt chất lượng hay không? Có đáp ứng được nhu cầu hay không? Có nhiều kỹ thuật được sử dụng trong phương pháp NDT, trong đó kỹ thuật chụp ảnh cắt lớp điện toán (Computed Tomography – CT) là một trong những phương pháp phổ biến, được sử dụng nhiều trong NDT. Trong phương pháp này, dữ liệu chiếu ghi nhận được bằng detector sẽ được sử dụng để phục hồi lại ảnh của mẫu vật mà không cần phá hủy mẫu. Kỹ thuật chụp ảnh cắt lớp điện toán ngày nay đang trở nên phổ biến, không những trong y học, mà còn cả trong công nghiệp bởi những ưu điểm mà phương pháp này mang lại. Dựa vào khả năng đâm xuyên của các tia bức xạ, ta có thể tái tạo lại hình ảnh của sản phẩm mà không cần trực tiếp tiếp xúc, hơn nữa việc làm này còn giúp nâng cao năng suất công việc. Kỹ thuật chụp ảnh cắt lớp điện toán đã có một khoảng thời gian xây dựng và phát triển rất dài. Từ những phương pháp thô sơ cho đến hiện đại và hiện nay vẫn đang được tiếp tục phát triển. Nhiều công trình nghiên cứu đã ra đời, các công trình nghiên cứu khoa học này tập trung vào việc phát triển các phương pháp chiếu bức xạ từ một nguồn bức xạ đến vật thể sao cho phù hợp nhất. Bên cạnh đó, thuật toán phục hồi ảnh cũng được cải thiện và phát triển song song. Có nhiều thuật toán được sử dụng trong phương pháp phục hồi ảnh. Tuy nhiên, có ba thuật toán đang được sử dụng phổ biến bao gồm thuật toán Fourier [2] thuật toán chiếu ngược có lọc [2] và thuật toán cực đại hóa kỳ vọng [2]. Mỗi thuật toán có những ưu và nhược điểm khác nhau, việc chọn lựa thuật toán thích hợp tùy thuộc vào mục đích và điều kiện thực nghiệm. Bên cạnh các thuật toán, quá trình phục hồi ảnh cũng cần phải được kết hợp với các bộ lọc xử lý ảnh khác nhau để nhằm làm tăng chất lượng ảnh. Việc kết hợp
2 giữa các thuật toán và các bộ lọc cũng cần phải được thay đổi thích hợp nhằm đạt được ảnh với chất lượng như mong muốn. Trong luận văn này, tác giả sẽ lần lượt áp dụng các thuật toán khác nhau để phục hồi ảnh từ các số liệu thực nghiệm khác nhau. Quá trình này được thực hiện trước và sau khi sử dụng bộ lọc nhằm mục đích đánh giá và so sánh tính hiệu quả của mỗi thuật toán đối với các bộ số liệu khác nhau. Thông qua kết quả đạt được, luận văn sẽ đề xuất phương pháp hợp lý để áp dụng vào việc phục hồi ảnh từ số liệu thực nghiệm. Cụ thể, tác giả sẽ so sánh các thuật toán đối với các số liệu khác nhau, nêu ra những ưu điểm cũng như những hạn chế của mỗi loại, để từ đó chọn ra một phương pháp hiệu quả. Điều này giúp cho việc ứng dụng trở nên dễ dàng hơn. Với mục đích trên, luận văn sẽ bao gồm các chương chính sau, Chương 1 giới thiệu một cách tổng quan về lịch sử hình thành và phát triển của phương pháp chụp ảnh cắt lớp điện toán. Bên cạnh đó tác giả cũng trình bày cơ sở toán học được áp dụng trong phương pháp này. Chương 2 trình bày cơ sở lý thuyết về các thuật toán được áp dụng trong quá trình phục hồi ảnh của phương pháp chụp ảnh cắt lớp điện toán. Chương 3 trình bày các kết quả thu được khi áp dụng các thuật toán dựng ảnh đối với các bộ số liệu thực nghiệm, đánh giá các kết quả, rút ra ưu điểm và nhược điểm của từng phương pháp, từ đó đề xuất phương pháp hiệu quả. Cuối cùng là phần kết luận và kiến nghị, trong phần này, tác giả khái quát lại các kết quả đã đạt được trong luận văn từ đó đề xuất những hướng nghiên cứu có thể thực hiện tiếp theo trong tương lai.
3 CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN Trong chương này, luận văn sẽ trình bày tổng quan về quá trình phát triển của kỹ thuật chụp ảnh cắt lớp và nền tảng toán học của các thuật toán phục hồi ảnh được sử dụng trong kỹ thuật này. 1.1. Tổng quan về lịch sử hình thành và phát triển của kỹ thuật chụp ảnh cắt lớp điện toán (Computed Tomography - CT) 1.1.1. Lịch sử hình thành Computed Tomography (CT) được phát minh vào năm 1972 [3] bởi kỹ sư người Anh, Godfrey Hounsfield, thuộc phòng thí nghiệm EMI Vương Quốc Anh và nhà Vật lý người Nam Phi, Allan Cormack, thuộc trường đại học Massachusetts. Trong suốt 25 năm phát triển, kỹ thuật CT đã được cải tiến, phát triển rất nhanh và có nhiều đóng góp quan trọng trong các lĩnh vực nghiên cứu và ứng dụng như y học, công nghiệp,… Hình 1.1. Ảnh chụp đầu người từ máy CT năm 1975 [4] Thế hệ máy CT đầu tiên trên thế giới ra đời vào khoảng giữa những năm 1974 và 1976 [4]. Hệ thống máy CT đầu tiên này chỉ chụp các bức ảnh về phần đầu của người được thể hiện thông qua hình 1.1, đến khoảng năm 1976 các bức ảnh toàn bộ cơ thể người mới được ghi nhận. Đến những năm 1980, CT mới trở nên phổ biến rộng rãi. Hiện nay có khoảng 6000 máy CT có mặt trên nước Mỹ và hơn 30000 máy trên toàn thế giới [4].
4 Thế hệ máy CT đầu tiên được phát triển bởi Hounsfield tại phòng thí nghiệm EMI. Hệ thống này mất khoảng vài giờ để thu được dữ liệu thô cho một lần quét và với một lát cắt thì mất đến nhiều ngày mới có thể phục hồi lại ảnh từ nguồn dữ liệu này. Sau này, những hệ thống CT đa lát cắt có thể cho ra tới bốn lát cắt trong khoảng 350 ms [4] và tái tạo lại hình ảnh với kích thước 512 x 512 từ hàng triệu điểm dữ liệu trong chưa đầy một giây [4], từ đó các bức ảnh được tạo thành cho chất lượng tốt hơn và thời gian để tiến hành phương pháp này cũng giảm đi đáng kể. 1.1.2. Các thế hệ máy ghi hình cắt lớp điện toán Từ khi xuất hiện lần đầu cho đến nay, các máy CT đã không ngừng được cải tiến cả về phần cứng lẫn phần mềm. Mục đích của việc cải tiến này là nhằm nâng cao chất lượng hình ảnh đồng thời giảm thời gian chiếu chụp. Trải qua hơn 40 năm hình thành và phát triển, thời gian chiếu chụp đã được rút ngắn còn khoảng 0,001 giây [5]. Sự phát triển này có được nhờ sự cải tiến kỹ thuật chiếu chụp qua các thế hệ máy CT được trình bày sau đây. Thế hệ đầu tiên của máy CT sử dụng một chùm tia hẹp và có duy nhất một detector để ghi hình. Hình 1.2. Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ nhất
5 Hình 1.2 mô tả nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ nhất. Hệ nguồn phát bức xạ và đầu dò được di chuyển để quét hết bề rộng của đối tượng, sau đó hệ được quay đi một góc và quá trình quét này được lặp lại. Với cách quét này, thế hệ máy CT thứ nhất mất hơn 200 giây để chụp một lát cắt [5]. Để giảm thời gian chiếu chụp, thay vì sử dụng một chùm tia và một đầu dò, ở thế hệ máy CT thứ hai, người ta sử dụng nhiều chùm tia kết hợp với nhiều đầu dò để chiếu chụp đồng thời. Hình 1.3 thể hiện nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ hai. Hệ nguồn và đầu dò được di chuyển quét theo bề ngang của đối tượng. Sau đó hệ được quay đi một góc và quá trình quét được lặp lại tương tự như máy CT thế hệ thứ nhất. Hình 1.3. Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ hai Với việc sử dụng nhiều chùm tia và nhiều đầu dò, số lượng góc cần chiếu chụp giảm đi, đồng nghĩa với thời gian chiếu chụp sẽ giảm rất đáng kể. Tuy nhiên, nếu ta cần chụp nhiều lát cắt thì thời gian chụp tổng cộng vẫn còn rất lớn. Một hạn chế nữa của máy CT thế hệ thứ hai đó là máy này vẫn sử dụng cơ chế quét ngang - xoay của thế hệ trước đó.
6 Hình 1.4. Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ ba Hình 1.4 cho biết cấu tạo cũng như nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ ba. Phần đầu dò ở đây được thay thế bằng một dãy các đầu dò đặt trên một cung tròn có tâm là nguồn điểm phát bức xạ. Nguồn sẽ phát một chùm tia hình quạt sao cho độ mờ của chùm tia bao trùm đối tượng cần quét. Với cơ chế mới này, hệ nguồn - đầu dò được quay quanh đối tượng mà không cần chuyển động quét ngang. Điều này giúp giảm thời gian chiếu chụp xuống còn dưới 0,5 giây cho mỗi lát cắt [5]. Hơn nữa, các máy CT thế hệ thứ ba còn cho phép ghi hình trong chế độ CT xoắn ốc (helical CT). Chế độ này cho phép chụp đa lát cắt trong khi đối tượng ghi hình được di chuyển đều theo trục dọc và hệ nguồn - đầu dò vẫn quay xung quanh đối tượng với tốc độ không thay đổi. Điều này giúp giảm thời gian chiếu chụp đi rất nhiều lần. Chính vì những ưu điểm này mà hiện nay, hầu hết các máy CT đều là các máy thế hệ thứ ba. Mặc dù đã giảm đáng kể thời gian chiếu chụp, các máy CT thế hệ thứ ba vẫn còn hạn chế về xảo ảnh do mật độ lấy mẫu thấp. Để tăng mật độ lấy mẫu, ta cần giảm tiết diện của các đầu dò. Tuy nhiên, luôn có một giới hạn mà ở đó tiết diện của đầu dò không thể giảm thêm được nữa. Chính vì lẽ đó mà thế hệ máy CT thứ tư đã được phát triển và ra đời nhằm cải tiến máy CT thế hệ thứ ba.
7 Hình 1.5. Nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ tư Hình 1.5 cho biết nguyên lý ghi hình của thế hệ máy CT thứ tư. Máy CT thế hệ thứ tư thực chất chỉ là một cải tiến nhỏ so với thế hệ thứ ba. Thay vì dãy đầu dò trên một cung tròn di chuyển, người ta thiết kế một vòng các đầu dò cố định thay cho dãy đầu dò quay. Mỗi đầu dò trong thế hệ máy thứ tư có thể nhìn đối tượng dưới một góc hình quạt, trong đó các đường tia phân bố liên tục, tức là mật độ lấy mẫu chỉ phụ thuộc vào tốc độ quay của nguồn [5]. Nguồn phát bức xạ hình quạt và quay xung quanh đối tượng với tốc độ không đổi. Hạn chế của máy CT thế hệ thứ tư là vẫn còn phải đối mặt với nhiều thách thức kỹ thuật lớn như đảm bảo tính đồng nhất về phẩm chất giữa tất cả các đầu dò được bố trí trên vòng, đảm bảo tính ổn định của các đầu dò vì tại nhiều thời điểm chúng phải nhận tia trực tiếp từ nguồn phát. Hiệu chỉnh hiện tượng tán xạ giữa các đầu dò bằng thuật toán cực kì phức tạp. Chi phí cao do sử dụng một lượng lớn đầu dò. 1.2. Phép biến đổi Radon 1.2.1. Khái niệm Khảo sát nguồn bức xạ có cường độ 𝐼0 , chiếu tới vật thể cần chụp, mỗi tia chiếu có cường độ 𝐼0 sẽ gặp các phần khác nhau của vật thể. Các phần này khuếch đại hoặc làm giảm cường độ của tia bức xạ chiếu tới, hay nói cách khác, cường độ các tia chiếu bị thay đổi khi đi qua những phần khác nhau của vật thể. Gọi hàm
8 𝑓(𝑥, 𝑦) là hàm đặc trưng cho tính chất vùng tọa độ (𝑥, 𝑦) trên một lát cắt cần chụp. Cường độ bức xạ suy giảm khi đi qua vùng này được miêu tả như sau, 𝐼 = 𝐼0 𝑒 − ∫𝐿 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑠 (1.1) trong đó 𝑑𝑠 là vi phân đường tia chiếu, 𝐿 là đường tia chiếu. Như vậy, thông qua biểu thức (1.1), ta thấy rằng cường độ bức xạ đến đầu dò bị suy giảm theo hàm mũ khi đi qua vật thể được chụp. Chia hai vế biểu thức (1.1) cho 𝐼0 ta được 𝐼 = 𝑒 − ∫𝐿 𝑓(𝑥,𝑦)𝑑𝑠 (1.2) 𝐼0 Lấy logarit cơ số tự nhiên hai vế biểu thức (1.2) ta được 𝐼0 ln ( ) = ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 (1.3) 𝐼 𝐿 Xét một chùm tia chiếu từ máy phát đến máy thu. Chọn tia chiếu ở giữa máy phát làm mốc, ta gọi đó là tia chiếu gốc. Khoảng cách từ một tia chiếu bất kỳ đến tia chiếu gốc là 𝑟. Hai máy thu và phát quay xung quanh đối tượng cần chụp và chụp đối tượng ở nhiều góc độ khác nhau. Chọn một góc làm mốc, ta gọi đó là góc chiếu gốc. Gọi góc giữa một góc chiếu bất kỳ với góc chiếu gốc là 𝜃. 𝐼 Đặt 𝑔(𝑟, 𝜃) = 𝑙𝑛 ( 0) ta được 𝐼 𝑔(𝑟, 𝜃) = ∫ 𝑓 (𝑥, 𝑦)𝑑𝑠 (1.4) 𝐿 Như vậy ta có thể nói 𝑔(𝑟, 𝜃) là tổng của tất cả tia chiếu sau khi đã đi qua vật thể dọc theo tia chiếu ở khoảng cách 𝑟 và góc chiếu 𝜃.
9 Hình 1.6. Phép chiếu Công thức chuyển đổi từ tọa độ (𝑥, 𝑦) sang (𝑟, 𝜃) hoặc từ (𝑟, 𝜃) sang (𝑥, 𝑦) được minh họa trên hình 1.6 và được biểu diễn dưới dạng toán học như sau, 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑠𝑠𝑖𝑛𝜃 (1.5) 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑠𝑐𝑜𝑠𝜃 và 𝑟 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃 (1.6) 𝑠 = −𝑥𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃 Kết hợp các công thức (1.4), (1.5) và (1.6), phép biến đổi Radon được định nghĩa như sau, +∞ 𝑔(𝑟, 𝜃) = 𝑅(𝑓(𝑥, 𝑦)) = ∫ 𝑓 (𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑠𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑠𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑑𝑠 (1.7) −∞ phép biến đổi Radon ''biến'' dữ liệu của đối tượng thành dữ liệu chiếu. Sau khi đã có dữ liệu chiếu, ta thực hiện các tính toán và xử lý trên dữ liệu chiếu này, rồi dùng các phương pháp phục hồi ảnh để xây dựng lại ảnh của đối tượng được chụp với tín hiệu vào là kết quả của phép biến đổi Radon. 1.2.2. Tính chất Phép biến đổi Radon có sáu tính chất được trình bày thông qua bảng 1.1 sau
10 Bảng 1.1. Tính chất phép biến đổi Radon Công thức ban đầu Công thức sau khi biến đổi Tính chất 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑔(𝑟, 𝜃) = 𝑅(𝑓 (𝑥, 𝑦)) Tuyến tính 𝐴1 𝑓1 (𝑥, 𝑦) + 𝐴2 𝑓2 (𝑥, 𝑦) 𝐴1 𝑔1 (𝑟, 𝜃) + 𝐴2 𝑔2 (𝑟, 𝜃) 𝐷 Hạn chế về 𝑓 (𝑥, 𝑦 ) = 0; | 𝑥 | > 2 𝐷 √2 𝑔(𝑟, 𝜃); 𝑠 > không gian 𝐷 2 |𝑦 | > 2 Đối xứng 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑔(𝑟, 𝜃) = 𝑔(−𝑟, 𝜃 ± 𝜋) Chu kỳ 𝑓(𝑥, 𝑦) 𝑔(𝑟, 𝜃) = 𝑔(𝑟, 𝜃 + 𝑘2𝜋), 𝑘 ∈ 𝑁 Dịch 𝑓(𝑥 − 𝑥0 , 𝑦 − 𝑦0 ) 𝑔(𝑟 − 𝑥0 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑦0 𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝜃) 1 Đổi tỷ lệ 𝑓(𝐴𝑥, 𝐴𝑦) 𝑔(𝐴𝑟, 𝜃), 𝐴 ≠ 0 |𝐴 | 1.2.3. Phép biến đổi Radon ngược Phép chiếu ngược được dùng để phục hồi ảnh từ dữ liệu chiếu và được định nghĩa như sau, 𝜋 𝜇(𝑥, 𝑦) = 𝐵(𝑔(𝑟, 𝜃)) = ∫ 𝑔(𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝜃)𝑑𝜃 (1.8) 0 Dữ liệu chiếu chụp sau khi được xử lý tính toán sẽ được ''chiếu ngược'' lại thành dữ liệu đối tượng 𝜇(𝑥, 𝑦). Tuy nhiên, dữ liệu này còn bị nhiễu rất nhiều so với ảnh của đối tượng ban đầu. Để xây dựng lại chính xác ảnh của đối tượng, cần thông qua một phép nhân chập (quá trình này được xem như là quá trình lọc), 1 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝜇(𝑥, 𝑦)Θ (1.9) √x 2 + y 2 Như vậy phép biến đổi Radon ngược không thể sử dụng riêng lẻ để phục vụ cho việc phục hồi ảnh vì ảnh thu được có độ tin cậy không cao. Quá trình này cần được kết hợp với các phương pháp phục hồi ảnh khác để tạo nên ảnh có chất lượng tốt. Sự kết hợp này sẽ được trình bày cụ thể ở chương 2.
11 1.3. Nguyên lý chụp ảnh cắt lớp điện toán Ghi hình cắt lớp điện toán (Computed Tomography, CT) được định nghĩa là phương pháp ghi hình dựa vào sự suy giảm khác nhau của cường độ chùm tia X hoặc gamma (gọi chung là bức xạ) khi truyền qua các môi trường vật chất khác nhau trên cùng một lát cắt của đối tượng. Hình 1.7. Nguyên lý ghi hình cắt lớp điện toán thể hiện thông qua bốn thế hệ máy chụp Quan sát trên hình 1.7 ta thấy các tia bức xạ truyền qua đối tượng cần ghi hình và sau đó được ghi nhận bởi đầu dò tương ứng. Việc chiếu này được lặp lại ở nhiều góc khác nhau bằng cách quay hệ nguồn và đầu do xung quanh đối tượng, quá trình này được gọi chung là quá trình quét vật thể. Như ta đã biết, các bức xạ sau khi đi xuyên qua một vật thể sẽ bị suy giảm cường độ theo công thức, 𝐼 (𝑟, 𝜃) = 𝐼0 (𝑟, 𝜃)𝑒 −𝜇̅(𝑟,𝜃)𝐷 (1.10) trong đó  là hệ số suy giảm tuyến tính trung bình của đối tượng, D là khoảng cách từ nguồn đến đầu dò ghi nhận bức xạ. Công thức (1.10) chỉ đúng trong trường hợp