Luận văn Thạc sĩ Kỹ thuật: Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh phân bố đều

Chia sẻ: ViJoy ViJoy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:88

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày việc tìm hiểu và giới thiệu các phương pháp giải bài toán cơ học kết cấu hiện nay; Trình bày lý thuyết dầm Euler - Bernoulli 3; Phương pháp phần tử hữu hạn và áp dụng để giải bài toán dầm liên tục, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh phân bố đều.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Kỹ thuật: Phương pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh phân bố đều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC DÂN LẬP HẢI PHÒNG ----------------------------- TRẦN VĂN CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN ĐỐI VỚI BÀI TOÁN DẦM LIÊN TỤC CHỊU TẢI TRỌNG TĨNH PHÂN BỐ ĐỀU Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng Công trình Dân dụng & Công nghiệp Mã số: 60.58.02.08 LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH. HÀ HUY CƢƠNG Hải Phòng, 2017 1
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả luận văn Trần Văn Chƣơng 2
LỜI CẢM ƠN Tác giả luận văn xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đối với GS.TSKH Hà Huy Cương vì những ý tưởng khoa học độc đáo, những chỉ bảo sâu sắc về phương pháp nguyên lý cực trị Gauss và những chia sẻ về kiến thức cơ học, toán học uyên bác của Giáo sư. Giáo sư đã tận tình giúp đỡ và cho nhiều chỉ dẫn khoa học có giá trị cũng như thường xuyên động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn. Tác giả xin chân thành cảm ơn các nhà khoa học, các chuyên gia trong và ngoài trường Đại học Dân lập Hải phòng đã tạo điều kiện giúp đỡ, quan tâm góp ý cho bản luận văn được hoàn thiện hơn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các cán bộ, giáo viên của Khoa xây dựng, Phòng đào tạo Đại học và Sau đại học - trường Đại học Dân lập Hải phòng, và các đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tác giả luận văn Trần Văn Chƣơng 3
MỞ ĐẦU Bài toán cơ học kết cấu hiện nay nói chung được xây dựng theo bốn đường lối đó là: Xây dựng phương trình vi phân cân bằng phân tố; Phương pháp năng lượng; Phương pháp nguyên lý công ảo và Phương pháp sử dụng trực tiếp Phương trình Lagrange. Các phương pháp giải gồm có: Phương pháp được coi là chính xác như, phương pháp lực, phương pháp chuyển vị, phương pháp hỗn hợp, phương pháp liên hợp và các phương pháp gần đúng như: Phương pháp phần tử hữu hạn, phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp hỗn hợp sai phân - biến phân. Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp được xây dựng dựa trên ý tưởng rời rạc hóa công trình thành những phần tử nhỏ (số phần tử là hữu hạn). Các phần tử nhỏ được nối lại với nhau thông qua các phương trình cân bằng và các phương trình liên tục. Để giải quyết bài toán cơ học kết cấu, có thể tiếp cận phương pháp này theo ba mô hình gồm: Mô hình chuyển vị, xem chuyển vị là đại lượng cần tìm và hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử; Mô hình cân bằng, hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất hay nội lực trong phần tử và mô hình hỗn hợp, coi các đại lượng chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố độc lập riêng biệt. Các hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử. Đối tƣợng, phƣơng pháp và phạm vi nghiên cứu của đề tài Trong luận văn này, tác giả sử dụng phương phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị để xây dựng và giải bài toán dầm liên tục chịu tác dụng của tải trọng tĩnh tập trung. Mục đích nghiên cứu của đề tài “Xác định nội lực và chuyển vị của dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh phân bố đều bằng phương pháp phần tử hữu hạn” 4
Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 1. Tìm hiểu và giới thiệu các phương pháp giải bài toán cơ học kết cấu hiện nay. 2. Trình bày lý thuyết dầm Euler - Bernoulli 3. Trình bày phương pháp phần tử hữu hạn và áp dụng để giải bài toán dầm liên tục, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh phân bố đều. 4. Lập chương trình máy tính điện tử cho các bài toán nêu trên. 5
CHƢƠNG 1. BÀI TOÁN CƠ HỌC KẾT CẤU VÀ CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI Trong chương này, trước tiên trình bày các vấn đề về phép tính biến phân, ở đây chỉ trình bày các khái niệm cơ bản; phương trình EuLer và bài toán cực trị có ràng buộc (phương pháp thừa số lagrange). Đây là những vấn đề cần thiết đối với các bài toán cơ học. Sau đó giới thiệu bài toán cơ học kết cấu (bài toán tĩnh) và các phương pháp giải thường dùng hiện nay. 1.1. Phép tính biến phân - Các định nghĩa cơ bản và phƣơng trình Euler 1.1.1. Các định nghĩa  Biến phân y của hàm y(x) của biến độc lập x là một hàm của x được xác định tại mỗi giá trị của x và bằng hiệu của một hàm mới Y(x) và hàm đã có y(x):  y  Y ( x)  y ( x) . y gây ra sự thay đổi quan hệ hàm giữa y và x và không được nhầm lẫn với số gia y khi có số gia x.  Nếu cho hàm F  y1 ( x), y2 ( x),.. yn ( x); x  thì số gia của hàm đó khi có các biến phân  yi của các hàm yi được viết như sau: F  F  y1   y1 , y2   y2 ,.., yn   yn ; x  F  y1, y2 ,.. yn ; x  (1.1)  Nếu hàm y(x) và  y là khả vi thì  y ' của y '( x) do  y gây ra được xác dy d định như sau:  y'    y   Y ' ( x)  y ' ( x) dx dx (1.2)  Nếu cho hàm F  y1 ( x), y2 ( x),.. yn ( x); y,1 ( x), y, 2 ( x),.. y, n ( x); x  thì gia số của nó tương ứng với các biến phân  yi là: F  F  y1   y1 , y2   y2 ,.., yn   yn ; y ,1   y ,1 , y , 2   y , 2 ,.., y , n   y , n , x   F  y1 , y2 ,.. yn ; y ,1 , y , 2 ,.. y , n , x  (1.3) 6
 Nếu hàm F có đạo hàm riêng liên tục bậc 2 thì số gia của nó được xác định theo (1.3) có thể viết dưới dạng chuỗi Tay-lo như sau: n F F ' 1 n n  2 F 2 F 2 F F    yi   yi    yi yk   yi yk  '  yi' yk  R   2  ' i 1 yi y 'i 2 i 1 k 1 yi yk yi yk yi yk ' (1.4) R2  là đại lượng vô cùng bé bậc cao với    y12   y '12   y22   y '22  ...   y2n   y '2n (1.5) Tổng đầu tiên trong (1.4) tương ứng với bậc một của  yi và  y 'i được gọi là biến phân bậc một của hàm F có ký hiệu F, tổng thứ hai tương ứng với tích của chúng và bằng một nửa biến phân bậc hai  F của F. 2 1.1.2. Cực trị của phiếm hàm, phƣơng trình Euler. [ 2,3,12,13] Như đã nói ở trên,đối tượng của phép tính biến phân là tìm những hàm chưa biết y(x) để đảm bảo cực trị cho tích phân xác định sau: x2 I  F  y( x), y ( x), x  .dx ' x1 (1.6a) x2 I  F  y ( x), y ( x),.., y ( x), y ( x), y ( x),.., yn ' ( x), x  .dx ' ' hoặc là 1 2 n 1 2 x1 (1.6b) [Phép ánh xạ đặt mỗi hàm (hệ hàm) nào đó xác định trên một tập nào đó tương ứng với một đại lượng vô hướng (scalar) được gọi là phiếm hàm]. Phiếm hàm I có cực tiểu (địa phương ) đối với hàm y(x) hoặc hệ hàm yi(x) nếu như tồn tại số dương  để số gia Z. x2 x2 Z    Fdx   Fdx  0 x1 x1 (1.7) Đối với tất cả các biến phân  y hoặc tất cả hệ biến phân  yi thỏa mãn điều kiện 0   yi2   y 'i2   7
hoặc 0   y12   y '12   y22   y '22  ...   yn2   y '2n   khi x1  x  x2 . Cực đại (địa phương) của Z khi Z < 0. Có hai phương pháp để tìm cực trị của(1.6): Giải trực tiếp trên phiếm hàm hoặc đưa phiếm hàm về phương trình vi phân. Khi đưa phiếm hàm (1.6a) về phương trình vi phân thì từ (1.4) ta có điều kiện cần để phiếm hàm có cực trị là: x2  I    F ( y, y ', x)dx  0 x1 (a) Với  I là biến phân bậc nhất xác định theo (1.4): x2  F F   I     y   y '  dx  0 x1  y y '  (b) Tích phân từng phần biểu thức (b) ta sẽ có: x F 2 x2 F d  F  I  y      ydx  0 y ' x1 x1 y dx  y '  (c) Khi các điểm biên là cố định thì số hạng thứ nhất của (c) bằng không x2 F y 0 y x1 Và do  y tùy ý cho nên từ (c) suy ra điều kiện cần để phiếm hàm (1.6a) đạt cực trị là: F d  F    0 y dx  y '  (1.8) Phương trình (1.8) được gọi là phương trình Euler của phiếm hàm (1.6a). Trong một số tài liệu, phương trình Euler thường được suy ra từ bổ đề sau: 8
Bổ đề: Cho phiếm hàm tuyến tính trong không gian D1 (Gồm các hàm xác định được trên đoạn [x1,x2] liên tục cùng với đạo hàm cấp 1 của nó). x2 Nếu  a  x   y( x)  b( x) y '( x)  dx  0 x1 Với mọi hàm  y  D1 sao cho  y( x1 )   y( x2 )  0 thì b(x) vi phân được và a(x) - b‟(x)=0 Như vậy, bài toán tìm cực trị của phiếm hàm(1.6a) dẫn về giải phương trình (1.8) với các điều kiện biên đã cho. Khi phiếm hàm (1.6b) có hệ hàm yi(i=1..n) cần tìm thì ứng với mỗi yi sẽ có một phương trình Euler dạng (1.8). Trong trường hợp giá trị của hàm y tại x1 hoặc x2 hoặc tại cả hai cận x1 và x2 không xác định (trường hợp các biên di động) thì ứng với mỗi trường hợp như vậy, ngoài phương trình Euler (1.8) còn phải xét thêm các điều kiện biên. Trong trường hợp hàm F dưới dấu tích phân chứa các đạo hàm cấp cao x2 I  F  y , y ,.., y , y , y ,.., yn ' , y1'' , y2 '' ,.., yn '' ,.., x  .dx ' ' 1 2 n 1 2 x1 (1.9) thì sử dụng biến phân bậc nhất của F:  F F F   F  i 1   yi   yi '  yi '' ...  n  yi yi ' yi ''  (1.10) vào điều kiện cần (a) và bằng cách tích phân từng phần 2 lần, 3 lần … ta sẽ nhận được hệ phương trình EuLer: F d  F  d 2  F  d 3  F          ....  0 yi dx  yi '  dx 2  yi ''  dx3  yi '''  (1.11) Hệ phương trình (1.11) được giải với các điều kiện biên của yi và các đạo hàm đến bậc (ri-1) của nó (ri là bậc đạo hàm của yi). Các công thức trên có thể mở rộng cho trường hợp hàm nhiều biến độc lập xi. 9
Chú ý rằng các phương trình Euler(1.8) và (1.11) là điều kiện cần để các phiếm hàm (1.6)và (1.9) tương ứng với chúng đạt cực trị.Đối với các bài toán cơ các phương trình Euler chính là các phương trình cân bằng(sẽ thấy trong phần tiếp theo) nên chúng cũng là điều kiện đủ. 1.1.3. Bài toán cực trị có điều kiện - phƣơng pháp thừa số Lagrange Bài toán đặt ra là: Cần tìm hệ hàm y1 , y2 ,.., yn làm cực trị cho phiếm hàm I   F  y1 , y2 ,..., yn , y '1, y '2 ,.., y 'n , x  dx x2 x1 (a) Với điều kiện ràng buộc  j  y1 , y2 ,..., yn , x   0 (Với j = 1, 2, …, m; m < n) (b) n: Số hàm cần tìm ; m: số ràng buộc Ta có định lý sau: Phiếm hàm (a) đạt cực trị trên hệ hàm cần tìm y1 , y2 ,.., yn với điều kiện ràng buộc (b) thì hệ hàm đó cần thỏa mãn hệ phương trình Euler sau: d       0 i =1,2,…n dx   yi '   yi (c) m Với   F   i ( x). j được gọi là phiếm hàm Lagrange mở rộng. j 1 Các hàm i ( x) được gọi là thừa số Lagrange. Nếu bài toán có nghiệm thì (m+n) hàm yi  x  , i ( x) được xác định từ phương trình (c) và (b) với các điều kiện biên đã cho. (c) là điều kiện cần chứ chưa đủ.  j chứa cả yi ' vẫn dùng được. 1.1.4. Phƣơng pháp trực tiếp trong bài toán biến phân - phƣơng pháp sai phân hữu hạn [ 13] Tư tưởng của phương pháp sai phân hữu hạn là xét giá trị của phiếm hàm I  y  x   10
I   F  y, y ' , x  dx ; y ( x0 )  a , x1 Chẳng hạn y( x1 )  b x0 Không phải trên các đường cong có thể nhận bất kỳ trong một bài toán biến phân cho trước, mà chỉ xét các giá trị của phiếm hàm trên các đường gãy khúc thiết lập từ n đỉnh cho trước có hoành độ là: x0  x , x0  2x , ..., x0   n  1 x . x1  x0 Ở đây x  n Trên các đường gấp khúc này, phiếm hàm I  y  x   trở thành hàm   y1 , y2 ,..., yn1  của các tung độ y1 , y2 ,..., yn1 của các đỉnh đường gấp khúc, bởi vì đường gấp khúc hoàn toàn được xác định bởi các tung độ này. Ta sẽ chọn các tung độ y1 , y2 ,..., yn1 để hàm   y1 , y2 ,..., yn1  đạt cực trị,   tức là xác định y1 , y2 ,..., yn1 từ hệ phương trình  0,  0 , … ,   0 . y1 y2 yn 1 Sau đó chuyển qua giới hạn khi n   . Trong phạm vi của một số điều kiện nào đó của hàm F, ta sẽ nhận được nghiệm của bài toán biến phân. Nhưng để thuận tiện hơn nữa, giá trị của phiếm hàm I được tính gần đúng trên các đường gấp khúc nêu trên, chẳng hạn, trong bài toán đơn giản nhất, thay tích phân: n 1 x0  ( k 1) x yk 1  yk x1  F ( x, y, y ')dx   x0 k 0  x0  k x F ( x, y , x ).dx n  yi  bằng tổng tích phân  F  x , y , x  .x . i i i 1  i  Với tư cách là thí dụ, ta đưa ra phương trình Euler đối với phiếm hàm I   F  y, y ' , x  dx x1 x0 Trong trường hợp này trên đường gấp khúc đang xét: 11
n 1  y y  I  y  x      y1 , y2 ,..., yn 1    F  xi , yi , i 1 i .x i 0  x  Vì chỉ có hai số hạng thứ i và thứ (i-1) của tổng này phụ thuộc vào yi:  y y   y y  F  xi , yi , i 1 i  x và F  xi 1 , yi 1 , i i 1  x  x   x   nên phương trình  0 (i = 1,2,.., n - 1) có dạng: yi  y y   y y   1  Fy  xi , yi , i 1 i  x  Fy '  xi , yi , i 1 i  .    x  x   x   x   y  yi 1  1  Fy '  xi 1 , yi 1 , i  x  0  x  x ( i =1,2,..,(n- 1) )  y   y  Fy '  xi , yi , i   Fy '  xi 1 , yi 1 , i 1   y  x  x  Hay là: Fy  xi , yi , i     0  x  x  y  F Hay: Fy  xi , yi , i   y '  0  x  x Chuyển qua giới hạn khi n   ta có phương trình Euler: F d  F    0 y dx  y '  Đó là phương trình mà ẩn hàm y(x) phải tìm cần thỏa mãn.Tương tự, có thể nhận được điều kiện cần cơ bản của cực trị trong các bài toán biến phân khác. Nếu không thực hiện quá trình quá giới hạn thì từ hệ phương trình   0 có thể xác định được các tung độ cần tìm y1 , y2 ,..., yn1 , và do đó yi nhận được đường gấp khúc là nghiệm gần đúng của bài toán biến phân. Chính Euler đã dùng sai phân hữu hạn nêu trên khi đưa ra phương trình mang tên ông ( phương trình Euler của phép tính biến phân ). 1.2. Bài toán cơ học kết cấu 12
Bài toán cơ học kết cấu nhằm xác định nội lực và chuyển vị của hệ thanh, tấm, vỏ dưới tác dụng của các loại tải trọng, nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức,…và được chia làm hai loại: - Bài toán tĩnh định: là bài toán có cấu tạo hình học bất biến hình và đủ liên kết tựa với đất, các liên kết sắp xếp hợp lý, chịu các loại tải trọng. Để xác định nội lực và chuyển vị chỉ cần dùng các phương trình cân bằng tĩnh học là đủ; - Bài toán siêu tĩnh: là bài toán có cấu tạo hình học bất biến hình và thừa liên kết (nội hoặc ngoại) chịu các loại tải trọng, nhiệt độ, chuyển vị cưỡng bức,…Để xác định nội lực và chuyển vị ngoài các phương trình cân bằng ta còn phải bổ sung các phương trình biến dạng. Nếu tính đến tận ứng suất, có thể nói rằng mọi bài toán cơ học vật rắn biến dạng nói chung và bài toán cơ học kết cấu nói riêng đều là bài toán siêu tĩnh. 1.3. Các phƣơng pháp giải hiện nay Đã có nhiều phương pháp để giải bài toán siêu tĩnh. Hai phương pháp truyền thống cơ bản là phương pháp lực và phương pháp chuyển vị. Khi sử dụng chúng thường phải giải hệ phương trình đại số tuyến tính. Số lượng các phương trình tùy thuộc vào phương pháp phân tích. Từ phương pháp chuyển vị ta có hai cách tính gần đúng hay được sử dụng là H. Cross và G. Kani. Từ khi xuất hiện máy tính điện tử, người ta bổ sung thêm các phương pháp số khác như: Phương pháp phần tử hữu hạn; Phương pháp sai phân hữu hạn… 1.3.1. Phƣơng pháp lực Trong hệ siêu tĩnh ta thay các liên kết thừa bằng các lực chưa biết, còn giá trị các chuyển vị trong hệ cơ bản tương ứng với vị trí và phương của các lực ẩn số do bản thân các lực đó và do các nguyên nhân bên ngoài gây ra bằng 13
không. Từ điều kiện này ta lập được hệ các phương trình đại số tuyến tính, giải hệ này ta tìm được các ẩn số và từ đó suy ra các đại lượng cần tìm. 1.3.2. Phƣơng pháp chuyển vị Khác với phương pháp lực, phương pháp chuyển vị lấy chuyển vị tại các nút làm ẩn. Những chuyển vị này phải có giá trị sao cho phản lực tại các liên kết đặt thêm vào hệ do bản thân chúng và do các nguyên nhân bên ngoài gây ra bằng không. Lập hệ phương trình đại số tuyến tính thỏa mãn điều kiện này và giải hệ đó ta tìm được các ẩn, từ đó xác định các đại lượng còn lại. Hệ cơ bản trong phương pháp chuyển vị là duy nhất và giới hạn giải các bài toán phụ thuộc vào số các phần tử mẫu có sẵn. 1.3.3. Phƣơng pháp hỗn hợp và phƣơng pháp liên hợp Phương pháp hỗn hợp, phương pháp liên hợp là sự kết hợp song song giữa phương pháp lực và phương pháp chuyển vị. Trong phương pháp này ta có thể chọn hệ cơ bản theo phương pháp lực nhưng không loại bỏ hết các liên kết thừa mà chỉ loại bỏ các liên kết thuộc bộ phận thích hợp với phương pháp lực; hoặc chọn hệ cơ bản theo phương pháp chuyển vị nhưng không đặt đầy đủ các liên kết phụ nhằm ngăn cản toàn bộ các chuyển vị nút mà chỉ đặt các liên kết phụ tại các nút thuộc bộ phận thích hợp với phương pháp chuyển vị. Trường hợp đầu hệ cơ bản là siêu tĩnh, còn trường hợp sau hệ cơ bản là siêu động. Trong cả hai cách nói trên, bài toán ban đầu được đưa về hai bài toán độc lập: Một theo phương pháp lực và một theo phương pháp chuyển vị. 1.3.4. Phƣơng pháp sai phân hữu hạn Phương pháp sai phân hữu hạn cũng là thay thế hệ liên tục bằng mô hình rời rạc, song hàm cần tìm (hàm mang đến cho phiếm hàm giá trị dừng), nhận những giá trị gần đúng tại một số hữu hạn điểm của miền tích phân, còn giá trị các điểm trung gian sẽ được xác định nhờ một phương pháp tích phân nào đó. Phương pháp này cho lời giải số của phương trình vi phân về 14
chuyển vị và nội lực tại các điểm nút. Thông thường ta phải thay đạo hàm bằng các sai phân của hàm tại các nút. Phương trình vi phân của chuyển vị hoặc nội lực được viết dưới dạng sai phân tại mỗi nút, biểu thị quan hệ của chuyển vị tại một nút và các nút lân cận dưới tác dụng của ngoại lực. 1.3.5. Phƣơng pháp hỗn hợp sai phân – biến phân Kết hợp phương pháp sai phân với phương pháp biến phân ta có một phương pháp linh động hơn: Hoặc là sai phân các đạo hàm trong phương trình biến phân hoặc là sai phân theo một phương và biến phân theo một phương khác (đối với bài toán hai chiều). CHƢƠNG 2 PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Trong chương trình bày một số khái niệm cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn, để phục vụ cho việc xây dựng các bài toán xác định nội lực và chuyển vị cho các dầm liên tục chịu tải trọng tĩnh tập trung theo phương pháp phần tử hữu hạn ở chương 3. 2.1. Phƣơng pháp phần tử hữu hạn Phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V của 15
nó. Tuy nhiên phương pháp phần tử hữu hạn không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng miền con Ve (phần tử) thuộc miền xác định V. Do đó phương pháp này rất thích hợp với hàng loạt bài toán vật lý và kỹ thuật trong đó hàm cần tìm được xác định trên các miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ có đặc tính hình học, vật lý khác nhau, chịu những điều kiện biên khác nhau. Phương pháp ra đời từ trực quan phân tích kết cấu, rồi được phát biểu một cách chặt chẽ và tổng quát như một phương pháp biến phân hay phương pháp dư có trọng nhưng được xấp xỉ trên mỗi phần tử. Trong phương pháp phần tử hữu hạn chia kết cấu công trình thành một số hữu hạn các phần tử. Các phần tử này được nối với nhau tại các điểm định trước thường tại đỉnh phần tử (thậm trí tại các điểm trên biên phần tử) gọi là nút. Như vậy việc tính toán kết cấu công trình được đưa về tính toán trên các phần tử của kết cấu sau đó kết nối các phần tử này lại với nhau ta được lời giải của một kết cấu công trình hoàn chỉnh. Tương tự như phương pháp sai phân hữu hạn cũng chia công trình thành các đoạn nhỏ (phần tử) và các trạng thái chuyển vị (trường chuyển vị) v.v… được xác định tại các điểm nút sai phân. Sự khác biệt của hai phương pháp là Phương pháp sai phân hữu hạn sau khi tìm được các chuyển vị tại các nút của sai phân còn các điểm nằm giữa hai nút được xác định bằng nội suy tuyến tính, còn phương pháp phân tử hữu hạn sau khi xác định được chuyển vị tại các nút của phần tử thì các điểm bên trong được xác định bằng hàm nội suy (hàm dạng). Với bài toán cơ học vật rắn biến dạng, tuỳ theo ý nghĩa vật lí của hàm nội suy có thể phân tích bài toán theo 3 loại mô hình sau: - Mô hình chuyển vị: Xem chuyển vị là đại lượng cần tìm và hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử. - Mô hình cân bằng: Hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất hay nội lực trong phần tử. 16
- Mô hình hỗn hợp: Coi các đại lượng chuyển vị và ứng suất là 2 yếu tố độc lập riêng biệt. Các hàm nội suy biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử. Hiện nay, khi áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải các bài toán cơ học thường sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị. Sau đây luận văn trình bài nội dung phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị. 2.1.1 Nội dung phƣơng pháp phần tử hữa hạn theo mô hình chuyển vị Trong phương pháp phần tử hữu hạn - mô hình chuyển vị, thành phần chuyển vị được xem là đại lượng cần tìm. Chuyển vị được lấy xấp xỉ trong dạng một hàm đơn giản gọi là hàm nội suy (hay còn gọi là hàm chuyển vị). Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn - mô hình chuyển vị có nội dung như sau: 2.1.1.1. Rời rạc hoá miền khảo sát Miền khảo sát (đối tượng nghiên cứu) được chia thành các miền con hay còn gọi là các phần tử có hình dạng hình học thích hợp. Các phần tử này được coi là liên kết với nhau tại các nút nằm tại đỉnh hay biên của phần tử. Số nút của phần tử không lấy tuỳ tiện mà phụ thuộc vào hàm chuyển vị định chọn. Các phần tử thường có dạng hình học đơn giản (hình 2.1) Hình 2.1 Dạng hình học đơn giản của phần tử 2.1.1.2. Chọn hàm xấp xỉ 17
Một trong những tư tưởng của phương pháp phần tử hữu hạn là xấp xỉ hoá đại lượng cần tìm trong mỗi miền con. Điều này cho phép ta khả năng thay thế việc tìm nghiệm vốn phức tạp trong toàn miền V bằng việc tìm nghiệm tại các nút của phần tử, còn nghiệm trong các phần tử được tìm bằng việc dựa vào hàm xấp xỉ đơn giản. Giả thiết hàm xấp xỉ (hàm chuyển vị) sao cho đơn giản đối với việc tính toán nhưng phải thoả mãn điều kiện hội tụ. Thường chọn dưới dạng hàm đa thức. Biểu diễn hàm xấp xỉ theo tập hợp giá trị các thành phần chuyển vị và có thể cả đạo hàm của nó tại các nút của phần tử. Hàm xấp xỉ này thường được chọn là hàm đa thức vì các lý do sau: - Đa thức khi được xem như một tổ hợp tuyến tính của các đơn thức thì tập hợp các đơn thức thoả mãn yêu cầu độc lập tuyến tính như yêu cầu của Ritz, Galerkin. - Hàm xấp xỉ dạng đa thức thường dễ tính toán, dễ thiết lập công thức khi xây dựng các phương trình của phần tử hữu hạn và tính toán bằng máy tính. Đặc biệt là dễ tính đạo hàm, tích phân. - Có khả năng tăng độ chính xác bằng cách tăng số bậc của đa thức xấp xỉ (về lý thuyết đa thức bậc vô cùng sẽ cho nghiệm chính xác). Tuy nhiên, khi thực hành tính toán ta thường lấy đa thức xấp xỉ bậc thấp mà thôi. Tập hợp các hàm xấp xỉ sẽ xây dựng nên một trường chuyển vị xác định một trạng thái chuyển vị duy nhất bên trong phần tử theo các thành phần chuyển vị nút. Từ trường chuyển vị sẽ xác định một trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất duy nhất bên trong phần tử theo các giá trị của các thành phần chuyển vị nút của phần tử. Khi chọn bậc của hàm đa thức xấp xỉ cần lưu ý các yêu cầu sau: - Các đa thức xấp xỉ cần thoả mãn điều kiện hội tụ. Đây là yêu cầu quan trọng vì phương pháp phần tử hữu hạn là một phương pháp số, do đó phải 18
đảm bảo khi kích thước phần tử giảm thì kết quả sẽ hội tụ đến nghiệm chính xác. - Các đa thức xấp xỉ được chọn sao cho không mất tính đẳng hướng hình học. - Số tham số của các đa thức xấp xỉ phải bằng số bậc tự do của phần tử, tức là bằng số thành phần chuyển vị nút của phần tử. Yêu cầu này cho khả năng nội suy đa thức của hàm xấp xỉ theo giá trị đại lượng cần tìm, tức là theo giá trị các thành phần chuyển vị tại các điểm nút của phần tử. 2.1.1.3. Xây dựng phương trình cân bằng trong từng phần tử, thiết lập ma trận độ cứng  K e và vectơ tải trọng nút Fe của phần tử thứ e. Thiết lập mối quan hệ giữa ứng suất và chuyển vị nút phần tử Cần thiết lập biểu thức tính biến dạng và ứng suất tại một điểm bất kì trong phần tử thông qua ẩn cơ bản là chuyển vị nút phần tử e . Sử dụng các công thức trong Lí thuyết đàn hồi, mối quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị :   u (2.1) Ta có: u   N e (2.2) trong đó: [N] - gọi là ma trận hàm dạng, chứa các toạ độ của các điểm nút của phần tử và các biến của điểm bất kì đang xét. Thay (2.2) vào (2.1), ta được:    N e   Be (2.3) trong đó :  B   N  - ma trận chứa đạo hàm của hàm dạng. Theo lý thuyết đàn hồi quan hệ giữa ứng suất và biến dạng :    D (2.4) Thay (2.3) vào (2.4), tađược : 19
{} = [D][B]{}e (2.5) Thế năng toàn phần  e của phần tử Xét trường hợp phần tử chịu tải trọng tập trung tại nút Pn e (ứng với chuyển vị nút {}e ) và chịu tải trọng phân bố trên bề mặt phần tử có cường q x  độ tại điểm M bất kì là q    . q y  Thiết lập biểu thức tính thế năng toàn phần  e của phần tử theo công của ngoại lực We và thế năng biến dạng Ue của phần tử đó.  e = Ue - We (2.6) Công ngoại lực We (không xét lực thể tích) được tính: We  e Pn e   u q dS T T S u   N e  u   N e   e  N  T T T T Từ (2.2), ta có: Thay vào biểu thức tính công ngoại lực We trên, thu được: We  e Pn e  e   N q dS T T T S (2.7) Thế năng biến dạng Ue của PT được tính: 1 U e     dV T 2V Thay (2.3) và (2.5) vào biểu thức tính thế năng biến dạng Ue của phần tử, ta có: 1 T  U e  e    B  D B dV e T 2 V  (2.8) Thay (2.7) và (2.8) vào (2.6) thu được thế năng toàn phần của phần tử : 1 T   T  e  Ue  We  e    B  D B dV e   e Pn e  e   N  q dS  T T T 2 V   S  (2.9) 20