Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các bất biến của một lớp con các đại số lie giải được 5 chiều

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:88

Thêm vào BST

Báo xấu

58
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn Thạc sĩ Toán học: Các bất biến của một lớp con các đại số lie giải được 5 chiều là nhằm dùng thuật toán do các nhà toán học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych đưa ra để nghiên cứu các bất biến của các đại số lie. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các bất biến của một lớp con các đại số lie giải được 5 chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Trần Minh Hải CÁC BẤT BIẾN CỦA MỘT LỚP CON CÁC ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC 5 CHIỀU Chuyên ngành : Hình học và Tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh - 2008
LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Phó Giáo sư Tiến sĩ Lê Anh Vũ. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy kính yêu đã từng bước hướng dẫn tác giả làm quen với lý thuyết biểu diễn nhóm Lie để tiến tới nắm vững lý thuyết đó và tự giải quyết bài toán của mình. Chân thành cảm ơn các thầy trong Tổ Hình học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm việc hiệu quả trong quá trình học cao học. Chân thành cảm ơn phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh; Ban Giám hiệu cùng đồng nghiệp trong tổ Toán trường THPT Phan Bội Châu Phan Thiết; thầy Kiều Ngọc Tú, hiệu trưởng trường THPT Chuyên Trần Hưng Đạo, Bình Thuận đã động viên, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện luận lợi cho tác giả hoàn thành luận văn này. Tp. Hồ Chí Minh, tháng 06 năm 2008 Tác giả Trần Minh Hải
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Aut(V) : Nhóm các tự đẳng cấu trên không gian vectơ V Aut(G) : Nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên G : Trường số phức C (V) : Không gian các hàm khả vi vô hạn lần trên đa tạp V End(V) : Không gian các đồng cấu trên không gian vectơ V Exp : Ánh xạ mũ exp G* : Không gian đối ngẫu của đại số Lie G GL(n, ) : Nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực Lie(G) : Đại số Lie của nhóm Lie G Mat(n, ) : Tập hợp các ma trận vuông cấp n hệ số thực : Trường số thực TeG : Không gian tiếp xúc của G tại điểm đơn vị e
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đại số Lie thực với số chiều thấp có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực Toán học và Vật lí học. Sự phân loại các lớp đẳng cấu đại số với số chiều thấp là nền tảng và cơ sở ban đầu để hình thành một phương pháp tính các bất biến của đại số Lie bằng phương pháp thay đổi hệ tọa độ, mặc dù phương pháp này không nhất thiết chỉ áp dụng cho đại số Lie. Các nhà toán học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych đã giới thiệu một thuật toán hoàn toàn mới để tính toán các bất biến (toán tử Casimir tổng quát) của các đại số Lie. Thuật toán này sử dụng phương pháp thay đổi hệ tọa độ Cartan và kiến thức về nhóm phép tự đẳng cấu trong của mỗi đại số Lie. Đặc biệt, thuật toán được ứng dụng để tính toán các bất biến của đại số Lie thực có số chiều thấp. Thuận lợi chủ yếu của phương pháp này là các tính toán chỉ thuần túy đại số. Khác với các phương pháp thông thường, nó không dẫn đến việc giải hệ phương trình vi phân mà thay vào đó là việc giải hệ phương trình đại số. Sự khai thác hiệu quả của phương pháp mới này bắt buộc phải có sự chọn lựa cơ sở của đại số Lie. Việc lựa chọn cơ sở như thế tự động mang lại những biểu thức đơn giản hơn. Điều thú vị là tất cả những bất biến độc lập của đại số Lie thực số chiều thấp đã được tìm ra cách đây vài thập niên. Đó là các toán tử đa thức trong đại số Lie, ở đây được gọi là toán tử Casimir, và khi những toán tử này không phải là các đa thức thì được gọi là toán tử Casimir tổng quát. Hiện nay việc xây dựng lý thuyết của toán tử Casimir tổng quát trong các trường hợp chung là không thể thực hiện được. Tuy nhiên, có một vài bài báo
viết về các tính chất của các toán tử như vậy. Việc áp dụng các nhóm bất biến của các lớp đại số Lie khác nhau đã xuất hiện trong các vấn đề của Vật lý học. Đặc biệt, cơ sở hàm của các nhóm bất biến đã được tính toán trên tất cả các đại số Lie thực 3, 4, 5 chiều và đại số Lie thực lũy linh 6 chiều. Các vấn đề tương tự cũng đã được xét trong đại số Lie thực 6 chiều với 4 chiều nilradical. Các nhóm con của nhóm Poincare cùng với các bất biến của chúng cũng đã được tìm thấy. Toán tử Casimir duy nhất của nhóm afin đơn modular SA(4, ) đã được tìm ra cùng với nhóm phủ đôi SA(4, ) như là một nhóm đối xứng của hàm phổ của các hạt trong lý thuyết gravity-related khác nhau, và chúng đã được áp dụng để xây dựng lý thuyết biểu diễn bất khả quy unita của nhóm SA(4, ) . Sự tồn tại các cơ sở bao gồm toàn bộ các toán tử Casimir (các bất biến đa thức) là quan trọng cho lý thuyết các toán tử Casimir tổng quát cùng với các ứng dụng của chúng. Nó đã được chỉ ra trong trường hợp đại số Lie lũy linh đầy đủ bởi Abellanas L. và Martinez Alonso L. Đại số Lie A là đầy đủ nếu [A, A]  A . Các tính chất về toán tử Casimir của một vài đại số Lie đầy đủ cũng đã được nghiên cứu gần đây. Các toán tử Casimir của một số chuỗi của các nhóm cổ điển không thuần nhất đã được xây dựng một cách rõ ràng. Phương pháp áp dụng dựa trên cấu trúc của một không gian phân thớ vectơ đặc biệt của các quỹ đạo sinh bởi biểu diễn đối phụ hợp của tích nửa trực tiếp. Năm 1962, Kirillov phát minh ra phương pháp quỹ đạo và nó nhanh chóng trở thành phương pháp hiệu quả nhất để nghiên cứu lý thuyết biểu diễn nhóm Lie. Phương pháp này cho phép ta nhận được tất cả các biểu diễn bất khả quy unitar của mỗi nhóm Lie liên thông, đơn liên, giải được từ K–quỹ đạo nguyên
của nó. Trong khoảng thập niên 60 và 70 của thế kỷ trước, phương pháp quỹ đạo Kirillov được nghiên cứu cải tiến, mở rộng và áp dụng trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie bởi nhiều nhà toán học trên thế giới như L. Auslander, B. Kostant, Đỗ Ngọc Diệp,…. Đóng vai trò then chốt trong phương pháp quỹ đạo là các K–quỹ đạo của biểu diễn đối phụ hợp. Do đó, việc nghiên cứu K–biểu diễn của mỗi nhóm Lie, nhất là các nhóm Lie liên thông giải được, có ý nghĩa đặc biệt trong lý thuyết biểu diễn nhóm Lie. Các nhóm Lie và đại số Lie giải được có cấu trúc không quá phức tạp, tuy nhiên việc phân loại chúng cho đến nay vẫn chưa được giải quyết triệt để. Năm 1980, Đỗ Ngọc Diệp đã đề nghị xét một lớp con các nhóm Lie và đại số Lie thực giải được mà rất đơn giản về phương diện phân tầng các K–quỹ đạo. Đó là lớp các MD–nhóm và MD–đại số. Một nhóm Lie thực giải được mà các K–quỹ đạo của nó hoặc không chiều hoặc chiều cực đại được gọi là MD–nhóm. Khi số chiều cực đại đúng bằng số chiều của nhóm thì nhóm còn được gọi là MD – nhóm. Đại số Lie của một MD–nhóm (tương ứng, MD –nhóm) được gọi là MD– đại số (tương ứng, MD –đại số). Năm 1982, Hồ Hữu Việt đã phân loại triệt để lớp các MD –đại số. Lớp này n chỉ gồm các đại số Lie giao hoán n–chiều (n  1) , đại số Lie 2–chiều aff và đại số Lie 4–chiều aff . Việc phân loại lớp các MD–đại số đến nay vẫn còn là một bài toán mở. Để đơn giản hơn, ta phân nhỏ lớp các MD–nhóm và MD–đại số theo số chiều. Tức là xét các lớp con MDn–nhóm (và MDn–đại số) gồm các MD–nhóm (và MD–
đại số) n–chiều. Vì tất cả các đại số Lie dưới 4 –chiều đã được liệt kê hết từ lâu nên ta chỉ xét các lớp MDn–nhóm và MDn–đại số với n  4 . Năm 1984, Đào Văn Trà đã liệt kê toàn bộ lớp các MD4–đại số. Đến năm 1990, lớp các MD4–đại số được Lê Anh Vũ phân loại triệt để (chính xác đến đẳng cấu đại số Lie). Hiện tại, lớp các MD5–đại số vẫn chưa được liệt kê và phân loại đầy đủ. Tuy nhiên, lớp con các MD5–đại số với ideal dẫn xuất giao hoán đã được Lê Anh Vũ liệt kê và phân loại năm 2006. Hiện tại vẫn chưa có ai giải quyết vấn đề tính các bất biến của các MD–đại số. Bởi vậy chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu về các bất biến của MD– đại số. Cụ thể, chúng tôi muốn hệ thống lại các khái niệm về đại số Lie, lớp MD– đại số Lie. Đồng thời trên cơ sở thuật toán của các tác giả Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych đã đưa ra trong bài báo “Computation of Invariants of Algebras by Means of Moving frames”, chúng tôi sẽ cố gắng tính các bất biến của vài MD5–đại số. Bởi vậy, đề tài của chúng tôi mang tên: “Các bất biến của một lớp con các đại số Lie giải được 5 chiều” 2. Mục đích Dùng thuật toán do các nhà toán học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych đưa ra để nghiên cứu các bất biến của các đại số Lie. 3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu Lớp con các MD5–đại số với ideal dẫn xuất giao hoán và các bất biến của chúng. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn
Tính được tường minh cơ sở của các bất biến của một lớp con các MD5– đại số với ideal dẫn xuất giao hoán. Và chúng ta cũng có thể áp dụng thuật toán ở trên để tính toán các bất biến của các MD5–đại số còn lại, cho lớp MD6–đại số và một vài MDn (5 < n) đặc biệt. 5. Cấu trúc luận văn Nội dung của luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể: Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề và đặt bài toán nghiên cứu. Chương 1: Giới thiệu các khái niệm cơ bản về đại số Lie, nhóm Lie và lớp các MD–nhóm, MD–đại số. Phần này chỉ trình bày những kiến thức cần thiết liên quan đến bài toán đang xét. Chương 2: Giới thiệu một thuật toán được các nhà toán học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych nghiên cứu để tính toán các bất biến của các đại số Lie. Chương 3: Áp dụng thuật toán trên để tính các bất biến của một lớp con các đại số Lie giải được 5 chiều. Phần kết luận: Đưa ra những nhận xét và những vấn đề mở cần phải tiếp tục nghiên cứu. Các nghiên cứu đạt được dựa trên các tính toán thuần túy đại số với sự trợ giúp của máy tính. Nhiều kết quả nêu ra nhưng không chứng minh vì phương pháp chứng minh đã được trình bày trong các tài liệu trích dẫn. Các ký hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các ký hiệu thông dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các ký hiệu). Để
trích dẫn một kết quả, chúng tôi dùng cách trích dẫn quen thuộc. Chẳng hạn, xem [So-Vi, Theorem 4] nghĩa là xem định lý 4 trong tài liệu [So-Vi].
Chương 1. ĐẠI SỐ LIE VÀ NHÓM LIE Chương này chủ yếu đưa những cơ sở lý thuyết cho các kết quả nghiên cứu ở các chương sau, trong đó giới thiệu đối tượng nghiên cứu là lớp các MD– nhóm và lớp các MD–đại số mà chúng ta quan tâm. Trước hết, ta sẽ nhắc lại các khái niệm và những tính chất cơ bản về đại số Lie (thực) và nhóm Lie. Nhiều mệnh đề được phát biểu nhưng không chứng minh. Độc giả nào quan tâm đến các chứng minh hoặc muốn tìm hiểu sâu về các khái niệm xin xem các tài liệu [Ha-Sch], [Ki]. 1.1. Đại số Lie 1.1.1. Định nghĩa đại số Cho |K là trường và A là một không gian vectơ trên trường |K. Ta bảo A là một đại số trên |K hay là |K–đại số nếu trên A đã cho một phép nhân A A  A (x, y)  xy (Tích của x và y) sao cho các tiên đề sau thỏa mãn  (M1) Phép nhân là một toán tử song tuyến tính. Tức là x, y, z  A ,  ,   IK ta có: ( x   y ) z   ( xz )   ( yz ) ; x( y   z )   ( xy )   ( xz ) .  (M2) Phép nhân kết hợp. Tức là (xy)z = x(yz), x, y, z A. Nhận xét (i) Đôi khi (M2) không được đòi hỏi thì A gọi là đại số không kết hợp.
Nếu (M2) thỏa mãn thì A gọi là đại số kết hợp (gọi tắt là đại số). (ii) Mỗi |K–đại số đều là một vành. Ví dụ: Đại số các ma trận vuông cấp n trên |K. Ký hiệu Mat(n, |K). kgcon * B  A (|K–đại số)  Ta bảo B là đại số con nếu B đóng kín đối với phép nhân.  Ta bảo B là Ideal nếu baB, abB, aA, bB. Ký hiệu B  A. Ta được đại số thương A  a  a  B a  A  , a1.a2  a1a2  B . B 1.1.2. Định nghĩa đại số Lie Cho |K là trường và G là không gian vectơ trên |K. Ta bảo G là một đại số Lie trên |K hay |K–đại số Lie nếu trên G đã cho một phép nhân mà gọi là móc Lie [., .]: G  G  G (x, y)  [x, y] (Tích Lie hay móc Lie của x và y) sao cho các tiên đề sau đây thỏa mãn  (L1) Móc Lie là toán tử song tuyến tính. Tức là [  x   y , z ]   [ x, z ]   [ y , z ] [ x ,  y   z ]   [ x , y ]   [ x, z ] x, y, z  G ,  ,  IK.  (L2) Móc Lie phản xứng. Tức là [x, x] = 0, x G .  (L3) Móc Lie thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi. Tức là [ x, y ], z   [ y, z ], x   [ z, x], y   0, x, y, z  G . Số chiều của đại số Lie G chính là số chiều của không gian vectơ G.
Tâm Z(G) của đại số Lie G là một không gian con của G chứa các phần tử x G sao cho [x, y] = 0, với mọi y G. Tức là Z(G) = {x G / [x, y] = 0, y G}. Nhận xét (i) Nếu |K là trường có đặc số khác 2 thì (L2) tương đương với (L/2 ) : [ x, y ]  [ y, x] , x, y G . (ii) Mỗi đại số Lie đều là một đại số (không kết hợp) nhưng ngược lại, mỗi đại số nói chung không chắc là đại số Lie. (iii) Nếu [., .] = 0 tức là [x, y] = 0, x, y G thì ta bảo móc Lie tầm thường và G là đại số Lie giao hoán. Như vậy, mỗi không gian vectơ luôn có thể xem là đại số Lie giao hoán. Cho G là một không gian hữu hạn chiều trên trường |K. Giả sử số chiều của G là n. Cấu trúc đại số Lie trên G có thể được cho bởi móc Lie của từng cặp vectơ thuộc cơ sở {e1, e2, …, en} đã chọn trước trên G như sau: n [ei , e j ]   cijk , 1  i  j  n . k 1 Các hệ số cijk , 1  i  j  n , được gọi là các hằng số cấu trúc của đại số Lie G. Khi trường |K là trường số thực thì G được gọi là đại số Lie thực. Nội dung của luận văn chỉ đề cập và nghiên cứu các đại số Lie thực nên nếu không sợ nhầm lẫn thì ta vẫn dùng thuật ngữ đại số Lie để chỉ đại số Lie thực. 1.1.3. Ví dụ Ví dụ 1:  n  , [., .]  0 đại số Lie thực giao hoán n–chiều.
3 Ví dụ 2: Không gian với tích có hướng thông thường là một đại số Lie thực 3–chiều. Ví dụ 3: Xét A là một |K–đại số (không nhất thiết kết hợp). Ta định nghĩa móc Lie trên A như sau: [., .]: A  A  A ( x, y )  [ x , y ] với [ x, y ]  xy  yx (hoán tử x và y). Khi đó (A, [., .]) trở thành một |K–đại số Lie. Nhận xét (i) Mọi đại số đều trở thành đại số Lie với móc Lie định nghĩa nhờ hoán tử. (ii) Hoán tử đồng nhất bằng không khi và chỉ khi A giao hoán. Ví dụ 4: Đại số các toán tử tuyến tính End(V) trên |K–không gian vectơ là đại số Lie với móc Lie [f, g] = fog – gof. Ví dụ 5: Cho A là một |K–đại số (không nhất thiết kết hợp). Toán tử tuyến tính f: A  A được gọi là toán tử vi phân trên A nếu: f(xy) = f(x).y + x.f(y) (Leibniz) (f còn gọi là phép lấy đạo hàm trên A). Kí hiệu Der(A) là tập hợp tất cả các toán tử vi phân trên A. Khi đó Der(A) trở thành một đại số kết hợp trên |K. Der(A) sẽ trở thành một đại số Lie trên |K với móc Lie được định nghĩa là: [f1, f2] = f1of2 – f2of1. 1.1.4. Đại số Lie con và Ideal Cho G là một |K–đại số Lie, h là tập con của G.
* h gọi là đại số Lie con của G nếu h ổn định đối với móc Lie. Tức là [ x, y ]  h ; x  h , y  h . * h gọi là ideal của G nếu [ h , G ]  h , trong đó [ h , G ]  [x, y] x  h , y  G. Tức là [x, y]h; x h, y G. Kí hiệu: h  G. ñsoá Nhận xét: (h  G)  (h  G).  con 1.1.5. Đại số Lie thương Cho G là một |K–đại số Lie, h là một ideal của G. Đặt G là |K–không gian vectơ thương. h Trên G ta định nghĩa móc Lie như sau: h G G  G h h h (g1 + h, g2 + h)  [g1 + h, g2 + h] := [g1, g2] + h. Kiểm tra được định nghĩa trên là hợp lý và thỏa mãn (L1), (L2) và (L3). Ta nhận được đại số Lie G mà gọi là đại số Lie thương của G theo ideal h. h 1.1.6. Đồng cấu đại số Lie Cho G1 và G2 là hai |K–đại số Lie và  : G1  G2 là một ánh xạ. Ta bảo f là một đồng cấu đại số Lie nếu: (i)  là ánh xạ |K–tuyến tính. (ii)  bảo toàn móc Lie. Tức là  ([x, y]) = [  (x),  (y)],  x, y  G1.
Nếu  còn là một song ánh thì  gọi là đẳng cấu đại số Lie. *Tính chất Nếu  là một đồng cấu đại số Lie thì: (i) ker   G1; ñsoá (ii) Im   G2; con G1 (iii)  Im  . ker  Nhận xét (i) Ta nhận được phạm trù các |K–đại số Lie, trong đó: Ob: các |K–đại số Lie. Mor(G1, G2) = {  : G1  G2 /  là đồng cấu đại số Lie}. (ii) Phạm trù các |K–không gian vectơ là phạm trù con của phạm trù các |K–đại số Lie. Mỗi đồng cấu đại số Lie  : G1  G2 còn được gọi là biểu diễn của G1 trong G2. Nói riêng, nếu G2 = End(V) là đại số Lie các toán tử tuyến tính trên không gian vectơ V thì đồng cấu đại số Lie  : G1  End(V) được gọi là biểu diễn tuyến tính của G1 trong không gian vectơ V. Để đơn giản thì đôi khi người ta dùng thuật ngữ “biểu diễn” thay cho thuật ngữ “biểu diễn tuyến tính”. Khi  là một đơn cấu thì  được gọi là biểu diễn khớp. Định lý 1.1 (định lý Ado) Mọi đại số Lie hữu hạn chiều đều có ít nhất một biểu diễn tuyến tính khớp hữu hạn chiều.
Định lý quan trọng này nói lên rằng, có thể quy tất cả các phép chứng minh của đại số Lie về trường hợp đại số Lie ma trận. 1.1.7. Biểu diễn chính quy của đại số Lie Cho G là đại số Lie. Với mỗi x  G, kí hiệu adx là toán tử trong G được xác định bởi: adx(y) = [x, y]; y G. Khi đó adx là một ánh xạ tuyến tính từ G vào G và ta thu được biểu diễn tuyến tính của G trong chính G như sau: ad: G  End(G) x  adx Biểu diễn này được gọi là biểu diễn chính quy của G. Hạt nhân của biểu diễn này là Ker(ad) = {x G / adx  0} chính là tâm của G. 3 Ví dụ: Xét đại số Lie G = với móc Lie là tích có hướng thông thường. Khi đó biểu diễn chính quy của G được cho bởi ma trận sau: 0 c b   ad   c 0 a   b a 0    Dễ thấy rằng, tâm G là tầm thường, do đó biểu diễn ad ở đây là khớp. Nói 3 cách khác, đại số Lie G = với móc Lie là tích có hướng thông thường đẳng cấu với đại số Lie các ma trận thực phản xứng cấp 3. 1.1.8. Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh Cho G là một |K–đại số Lie. Với n  và n  2, đặt:
G1 = [G, G], G2 = [G1, G1], …, Gn = [Gn–1, Gn–1]; G1 = [G, G] = G1, G2 = [G1, G], …, Gn = [ Gn–1, G]. Mệnh đề 1.2 * (i) Gk, Gk là các ideal của G, k . G1  G 2  G 3  ...  G n  ... (ii) ||    . G1  G2  G3  ...  Gn  ... * (iii) Nếu dim G <  thì  n  sao cho: k.h Gn = Gn+1 = …  G  ; k.h Gn = Gn+1 = …  G . Đại số Lie G được gọi là giải được nếu G  = {0}, G được gọi là lũy linh nếu G = {0}. Chỉ số n nhỏ nhất để các đẳng thức xảy ra được gọi là hạng của đại số Lie giải được (tương ứng, lũy linh) G. Ví dụ: a. T(n, |K) = {A = (aij) Mat(n, |K) / aij = 0, 1  j  i  n } (đại số các ma trận tam giác trên) là một đại số Lie giải được. b. T0(n, |K) = {A = (aij) Mat(n, |K) / aij = 0, 1  j  i  n } (đại số các ma trận tam giác trên mà các phần tử trên đường chéo chính bằng 0) là một đại số Lie lũy linh. Nhận xét: G lũy linh  G giải được.  Định lý 1.3 (Định lý Lie)
Cho  là biểu diễn tuyến tính hữu hạn chiều của đại số Lie giải được G trong không gian vectơ V trên trường đóng đại số |K. Khi đó  tương đương với biểu diễn tam giác trên, tức là  (x) = T(n, |K), x  G. Hệ quả 1.4 Nếu G là đại số Lie giải được thì G1 = [G, G] là đại số Lie lũy linh. Định lý 1.5 (Định lý Engel) Đại số Lie G là lũy linh khi và chỉ khi với mọi x G, adx là toán tử lũy * linh, tức là tồn tại n  sao cho (adx)n = 0. Đại số Lie giải được mặc dù có cấu trúc không quá phức tạp nhưng cho đến nay thì việc phân loại chúng vẫn là một bài toán mở. 1.2. Nhóm Lie 1.2.1. Nhắc lại một vài khái niệm về đa tạp vi phân ● Khái niệm đa tạp khả vi Giả sử M là không gian tôpô Hausdorff, với cơ sở đếm được. M được gọi là đa tạp tôpô m–chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian m–chiều m , nghĩa là với mỗi điểm x M, có lân cận mở U của x và  : U  V là đồng m phôi từ U lên một tập mở V  . Giả sử M là đa tạp tôpô m–chiều, khi đó cặp (U,  ) xác định ở trên được gọi là một bản đồ địa phương trên M, hay gọi tắt là bản đồ. Họ C   Ui , i  i  I nào đó các bản đồ được gọi là một tập bản đồ hay atlas khả vi lớp Ck (k  1) nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: (i) Họ Ui  là một phủ mở của M.
  (ii) Với hai bản đồ  Ui , i  và U j ,  j mà Ui  U j   , thì ánh xạ  joi1 xác định trên i  Ui  U j  là ánh xạ khả vi lớp Ck từ i  Ui  U j  lên  j  Ui  U j  . (xem hình 1.1) M Uj Ui i j  joi1 Hình 1.1    Hai tập bản đồ C1   U i , i  i  I , C2  Vj ,  j j  J khả vi lớp Ck được gọi là tương thích với nhau, nếu hợp của chúng cũng là một tập bản đồ khả vi lớp Ck. Khi đó quan hệ “tương thích” là một quan hệ tương đương trên họ các tập bản đồ khả vi lớp Ck. Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương trên được gọi là một cấu trúc khả vi lớp Ck trên M. Đa tạp tôpô m–chiều M cùng với cấu trúc khả vi lớp Ck cho trên nó được gọi là một đa tạp khả vi m–chiều lớp Ck. Nếu M là đa tạp khả vi, thì bản đồ của cấu trúc khả vi trên M được gọi là bản đồ khả vi (hay bản đồ) trên M. Khi k   , nghĩa là khi đòi hỏi các ánh xạ chuyển  joi1 trong điều kiện (ii) ở trên thuộc lớp C , thì cấu trúc khả vi tương thích được gọi là cấu trúc nhẵn trên M. Khi đó M được gọi là đa tạp nhẵn.
● Ánh xạ khả vi Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng. Ánh xạ liên tục f : M  N được gọi là khả vi tại điểm p M nếu với mọi bản đồ địa phương (U,  ) quanh p và (V,  ) quanh f(p) = q sao cho f(U)  V, thì ánh xạ  ofo 1 m là khả vi tại điểm  (p)  . (xem hình 1.2) N M p U f .q V   .  ofo 1  (p) m n  (U)   (V)  Hình 1.2 Ánh xạ f được gọi là khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm p M. Đặt: F(M) = {f: M  / f khả vi}. F(x0) = {f: “lân cận của x0”  / f khả vi, x0 M}. Trong các phần tiếp theo ta luôn giả sử M là đa tạp khả vi m chiều. ● Vectơ tiếp xúc Một vectơ tiếp xúc X của M tại x0 là một toán tử vi phân X: F(x0)  f  Xf (đạo hàm của f theo X tại x0) sao cho