Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chập liên kết với biến đổi Fourier phân thứ và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:106

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu chính của luận văn là xây dựng và nghiên cứu các chập biến đổi Fourier phân thứ, thiết lập bất đẳng Young đối với các chập này. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chập liên kết với biến đổi Fourier phân thứ và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------ Phạm Thị Thảo CHẬP LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN THỨ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2019
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------ Phạm Thị Thảo CHẬP LIÊN KẾT VỚI BIẾN ĐỔI FOURIER PHÂN THỨ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Toán ứng dụng Mã số: 9460112.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. PGS. TS. Nguyễn Minh Tuấn 2. GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2019
LÍI CAM OAN Tæi xin am oan ¥y l æng tr¼nh nghi¶n ùu õa tæi d÷îi sü h÷îng d¨n õa GS. TSKH. Ph¤m Ký Anh v PGS. TS. Nguy¹n Minh Tu§n. C¡ k¸t qu£ õa luªn ¡n l mîi v h÷a tøng ÷ñ ai æng bè trong b§t ký æng tr¼nh n o kh¡ . Nghi¶n ùu sinh Ph¤m Thà Th£o i
LÍI CM ÌN Vîi t§t £ láng bi¸t ìn s¥u s õa m¼nh, tæi xin ÷ñ gûi líi £m ìn ¸n hai ng÷íi thy ¡ng k½nh, GS. TSKH. Ph¤m Ký Anh v PGS. TS. Nguy¹n Minh Tu§n. Tæi may mn ÷ñ l m nghi¶n ùu sinh d÷îi sü h÷îng d¨n õa GS. TSKH. Ph¤m Ký Anh, ng÷íi thy-nh khoa hå lîn m tæi luæn k½nh trång. Trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n ùu v ho n thi»n luªn ¡n, tæi luæn nhªn ÷ñ sü hé trñ kàp thíi, sü h¿ b£o v h÷îng d¨n tªn t¼nh, hi ti¸t õa Thy. Tæi may mn ÷ñ l m hå trá õa thy tæi, PGS. TS. Nguy¹n Minh Tu§n, tø nhúng ng y u ti¶n khi tæi án l sinh vi¶n ¤i hå , khi tæi l m khâa luªn tèt nghi»p, rçi sau â l luªn v«n Th¤ sÿ v suèt nhúng n«m th¡ng tæi l nghi¶n ùu sinh d÷îi m¡i nh khoa To¡n Cì Tin hå , tr÷íng ¤i hå Khoa hå Tü nhi¶n H Nëi. Ch°ng ÷íng m÷íi n«m §y, tæi tr÷ðng th nh trong hå tªp, trong æng vi» v nghi¶n ùu khoa hå nhí sü d¼u dt, sü h¿ d¤y, sü ëng vi¶n kh½ h l» õa Thy. Tæi xin gûi líi £m ìn h¥n th nh ¸n ¡ thy æ, ¡ anh hà th nh vi¶n õa Seminar "Gi£i sè ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n" thuë bë mæn To¡n hå T½nh to¡n v To¡n ùng döng, tr÷íng ¤i hå Khoa hå Tü nhi¶n, ¤i hå Què gia H Nëi; Seminar "Gi£i t½ h ¤i sè v ¡ ph÷ìng ph¡p to¡n sì §p", tr÷íng ¤i hå Khoa hå Tü nhi¶n, ¤i hå Què gia ii
H Nëi. Tæi hå häi ÷ñ r§t nhi·u trong suèt qu¡ tr¼nh tham gia hai Seminar, ° bi»t nhí nhúng þ ki¸n âng gâp v trao êi khoa hå trong nhúng ln tæi tr¼nh b y b¡o ¡o t¤i hai Seminar, tæi mîi â thº ho n th nh b£n luªn ¡n n y. Tæi ng xin gûi líi £m ìn h¥n th nh tîi ¡ anh hà em nghi¶n ùu sinh huy¶n ng nh To¡n ùng döng, Khâa 2013-2016 v· nhúng hé trñ, hia s´ v gióp ï trong hå tªp, trong æng vi» ng nh÷ trong uë sèng. Tæi xin £m ìn Ban gi¡m hi»u tr÷íng ¤i hå Ki¸n tró H Nëi ¢ ho tæi ì hëi ÷ñ hå tªp v nghi¶n ùu, £m ìn ¡ anh hà em çng nghi»p æng t¡ t¤i Bë mæn To¡n, tr÷íng ¤i hå Ki¸n tró H Nëi ¢ luæn t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi ho tæi trong suèt thíi gian tæi l m nghi¶n ùu sinh. Cuèi òng, tæi muèn b y tä láng bi¸t ìn væ h¤n ¸n gia ¼nh õa m¼nh, nhúng ng÷íi luæn y¶u th÷ìng v õng hë tæi væ i·u ki»n. ° bi»t, tæi muèn £m ìn hçng tæi, ng÷íi luæn £m thæng, san s´ nhúng khâ kh«n òng tæi, hé trñ tæi trong suèt nhúng n«m th¡ng qua º tæi â thº ho n th nh luªn ¡n n y. iii
Mö lö Líi am oan i Líi £m ìn ii B£ng kþ hi»u 4 Mð u 5 1 Ki¸n thù hu©n bà 11 1.1 Cì sð lþ thuy¸t h m Dira delta . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.1 ành ngh¾a h m Dira delta . . . . . . . . . . . . 11 1.1.2 C¡ t½nh h§t õa h m Dira delta . . . . . . . . 13 1.2 Bi¸n êi Fourier ph¥n thù . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.1 ành ngh¾a bi¸n êi Fourier ph¥n thù . . . . . . . 15 1.2.2 Ph²p t½nh to¡n tû têng qu¡t . . . . . . . . . . . . 21 1.2.3 Bi¸n êi Fourier ph¥n thù trong m°t ph¯ng thíi gian-tn sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3 C¡ ành lþ t½ h v hªp li¶n k¸t vîi bi¸n êi Fourier ph¥n thù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4 Ùng döng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1
1.4.1 Lå nhi¹u trong mi·n Fourier ph¥n thù . . . . . . 32 1.4.2 Lå tèi ÷u trong mi·n Fourier ph¥n thù . . . . . . 35 1.4.3 L§y m¨u v khæi phö t½n hi»u . . . . . . . . . . . 36 2 Chªp li¶n k¸t vîi bi¸n êi Fourier ph¥n thù 42 2.1 Chªp khæng â h m trång . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.1.1 ành lþ hªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.1.2 C¡ t½nh h§t ì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.1.3 B§t ¯ng thù Young v ¤i sè Wiener . . . . . . 44 2.2 Chªp â h m trång d¤ng hirp . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3 Chªp â h m trång li¶n quan ¸n h m Gauss v h m Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3.1 C¡ ành lþ hªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.3.2 C¡ t½nh h§t ì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.3.3 Chùng minh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.3.4 B§t ¯ng thù hªp d¤ng Young . . . . . . . . . . 60 3 Ùng döng 67 3.1 C¡ lîp ph÷ìng tr¼nh t½ h ph¥n d¤ng hªp . . . . . . . . 67 3.1.1 C¡ ph÷ìng tr¼nh t½ h ph¥n d¤ng hªp . . . . . . 68 3.1.2 Ph÷ìng tr¼nh t½ h ph¥n vîi nh¥n Hermite . . . . 75 3.2 L§y m¨u v khæi phö t½n hi»u â d£i tn bà h°n trong mi·n Fourier ph¥n thù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.2.1 ành lþ l§y m¨u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.2.2 Mæ phäng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.3 Lå nh¥n trong mi·n Fourier ph¥n thù . . . . . . . . . . 86 3.3.1 Lå nh¥n trong mi·n Fourier ph¥n thù . . . . . . 86 2
3.3.2 Mæ phäng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 K¸t luªn õa luªn ¡n 92 Danh mö ¡ æng tr¼nh li¶n quan ¸n luªn ¡n 94 T i li»u tham kh£o 95 3
B£ng kþ hi»u N Tªp ¡ sè tü nhi¶n Z Tªp ¡ sè nguy¶n R Tªp ¡ sè thü FT Bi¸n êi Fourier F RF T Bi¸n êi Fourier ph¥n thù LCD Bi¸n êi h½nh t tuy¸n t½nh WD Ph¥n phèi Wigner δ(x) H m Dira delta (h m xung ìn và) Hn (x) a thù Hermite bª n: Hn(x) = (−1)n ex dxd e−x vîi n ∈ N 2 n n 2 φn (x) H m Hermite bª n: φn(x) = e− Hn(x) x2 2 ψ(x) H m ei(x−ax ) 2 ζ(x) H m ei(−x−ax ) 2 η(x) H m e− x −iax 1 2 2 2 Φn(x) H m e−i2ax φn(x) 2 R Lp(R) Khæng gian ¡ h m sè f : R → C : |f (x)|p dx < +∞, R t½ h ph¥n l§y theo ë o Lebesgue (1 ≤ p < +∞) R k.kp Chu©n trong khæng gian Lp(R): kf kp = R |f (x)|pdx 1/p. 4
Mð u 1. Têng quan v· v§n · nghi¶n ùu v lþ do hån · t i Nhúng ki¸n thù ban u li¶n quan ¸n bi¸n êi Fourier ph¥n thù ¢ ÷ñ N. Wiener giîi thi»u ln u ti¶n v o n«m 1929. C¡ nhâm t¡ gi£ ti¶n phong trong nghi¶n ùu v· bi¸n êi n y ph£i kº ¸n l H. Weyl n«m 1930, E. U. Condon n«m 1937, H. Kober n«m 1939, A. P. Guinand n«m 1956, A. L. Patterson n«m 1959, V. Bargmann n«m 1961, De Bruijn n«m 1973 v R. S. Khare n«m 1974, òng nhi·u t¡ gi£ kh¡ . Tuy nhi¶n, ph£i tîi n«m 1980, vîi mö ½ h gi£i quy¸t ¡ b i to¡n ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n v ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng trong ì hå l÷ñng tû, V. Namias bt u nghi¶n ùu l¤i mët ¡ h h» thèng v· bi¸n êi Fourier ph¥n thù [26℄. Cng trong thíi gian â, hai nh to¡n hå A. C. M Bride v F. H. Kerr [24℄ ti¸p tö ph¡t triºn v ho n thi»n ¡ k¸t qu£ n y õa V. Namias. C¡ t¡ gi£ V. Namias, A. C. M Bride v F. H. Kerr khæng h¿ ÷a ra ành ngh¾a hu©n ho bi¸n êi Fourier ph¥n thù nh÷ l sü têng qu¡t hâa õa bi¸n êi Fourier thæng th÷íng m án ph¡t triºn ¡ ph²p t½nh to¡n tû ho bi¸n êi n y çng thíi ùng döng nâ º gi£i quy¸t ¡ v§n · trong ì hå l÷ñng tû. Suèt nhúng n«m 1990, mët l÷ñng lîn ¡ nghi¶n ùu li¶n quan ¸n to¡n tû Fourier ph¥n thù ÷ñ ÷a ra º gi£i quy¸t ¡ v§n · trong xû lþ t½n hi»u v quang hå [1, 2, 25, 29, 32℄. 5
Tø â ¸n nay, nâ ¢ trð th nh mët mët æng ö r§t hi»u qu£ trong xû lþ ¡ t½n hi»u â tn sè phö thuë thíi gian v xû lþ ¡ t½n hi»u quang hå . Nhi·u nghi¶n ùu tr¶n bi¸n êi Fourier ph¥n thù ¢ ÷ñ thü hi»n nh¬m gi£i quy¸t ¡ b i to¡n ùng döng trong quang hå , xû lþ t½n hi»u, h» ëng lü hå , qu¡ tr¼nh ng¨n nhi¶n. Nhúng n«m gn ¥y, bi¸n êi n y án ÷ñ ¡p döng rëng r¢i trong nhi·u l¾nh vü kh¡ nhau nh÷ radar, watermarking, nhªn d¤ng m¨u, mªt m¢, bi¸n êi wavelet v m¤ng nì ron [5, 11, 14, 35, 44℄. Vi» nghi¶n ùu ¡ bi¸n êi ph¥n thù mð ra nhi·u triºn vång trong ph¥n t½ h v xû lþ t½n hi»u [33℄. Còng vîi sü ra íi õa bi¸n êi Fourier ph¥n thù v ¡ kh¡i ni»m li¶n quan, ¡ t½nh h§t v ùng döng õa bi¸n êi Fourier thæng th÷íng gií ¥y â thº xem l tr÷íng hñp ° bi»t õa Fourier ph¥n thù. Trong nhúng ph¤m vi m ¡ kh¡i ni»m mi·n thíi gian, mi·n tn sè ÷ñ sû döng, ð â s³ tçn t¤i kh£ n«ng ho sü mð rëng v têng qu¡t hâa b¬ng bi¸n êi Fourier ph¥n thù. Ngo i ra, v¼ bi¸n êi Fourier ph¥n thù l mët tr÷íng hñp ° bi»t õa bi¸n êi h½nh t tuy¸n t½nh (LCT), ¡ k¸t qu£ ¢ â ho bi¸n êi n y â thº huyºn v· mi·n Fourier ph¥n thù theo mët ngh¾a n o â. Nh÷ l mð rëng õa bi¸n êi Fourier, ¡ lþ thuy¸t â li¶n quan ng ÷ñ ph¡t triºn ho bi¸n êi Fourier ph¥n thù bao gçm lþ thuy¸t hªp. Chóng tæi â thº li»t k¶ ¡ b i b¡o theo thù tü thíi gian: L. B. Almeida [3℄, A. I. Zayed [46℄, B. Deng v ëng sü [13℄, D. Wei v ëng sü [42℄, v gn ¥y nh§t A. K. Singh v R. Saxena [37℄, trong â ¡ æng thù hªp ho bi¸n êi Fourier ph¥n thù ÷ñ ành ngh¾a hõ y¸u trong khæng gian L1(R) v ¤i sè Wiener. C¡ ành lþ hªp n y ÷ñ xem l mð rëng õa ành lþ hªp ho bi¸n êi Fourier, do â hóng ·u th½ h hñp º 6
ùng döng £ trong ¡ b i to¡n lþ thuy¸t ng nh÷ thü h nh. Düa tr¶n nhúng k¸t qu£ ¢ â v· hªp õa bi¸n êi Fourier, ¡ t¡ gi£ tªp trung x¥y düng ¡ hªp ho bi¸n êi Fourier ph¥n thù v ùng döng hóng v o trong ¡ b i to¡n xû lþ t½n hi»u nh÷ thi¸t k¸ bë lå , l§y m¨u v khæi phö t½n hi»u. Tuy nhi¶n, so vîi lþ thuy¸t hªp ¢ ÷ñ x¥y düng ho bi¸n êi Fourier, ¡ k¸t qu£ ¢ â ho bi¸n êi Fourier ph¥n thù h÷a thü sü s¥u s v a d¤ng, v ¤i sè Weiner õa nâ ng h÷a ÷ñ · ªp. Trong xû lþ t½n hi»u, gn ¥y, lþ thuy¸t v· l§y m¨u ho lîp t½n hi»u â d£i tn bà h°n trong mi·n Fourier ph¥n thù nhªn ÷ñ sü quan t¥m õa nhi·u t¡ gi£, ÷ñ mð rëng v ph¡t triºn theo ¡ h÷îng ti¸p ªn kh¡ nhau [13, 16, 36, 38, 39, 43, 45, 47℄. ành lþ l§y m¨u ho lîp ¡ t½n hi»u n y ÷ñ Xia [45℄ hùng minh ln u ti¶n b¬ng ¡ h ph¥n t½ h t½n hi»u â d£i tn bà h°n theo ngh¾a Fourier ph¥n thù th nh t½ h õa mët h m hirp vîi mët t½n hi»u â d£i tn bà h°n theo ngh¾a thæng th÷íng, tø â ¡p döng ành lþ l§y m¨u Shannon-Nyquist. Ti¸p â, n«m 1999, Zayed v Gar ia [47℄ ¢ ÷a ra k¸t qu£ mîi ho ành lþ l§y m¨u trong mi·n Fourier ph¥n thù vîi ph²p hùng minh sû döng bi¸n êi Hilbert. K¸t qu£ n y sau â ¢ ÷ñ nhâm t¡ gi£ trong [16℄ mð rëng ho bi¸n êi h½nh t tuy¸n t½nh (LCT). N«m 2005, Sharma [36℄ tr¼nh b y ¡ nghi¶n ùu v· £nh qua bi¸n êi Fourier ph¥n thù õa t½n hi»u tun ho n â d£i tn bà h°n theo ngh¾a Fourier ph¥n thù. Tø â, t¡ gi£ hùng minh hai ành lþ l§y m¨u v khæi phö ho lîp t½n hi»u n y. Trong [39℄, Tao v ëng sü tªp trung th£o luªn v· vi» l§y m¨u v t l» l§y m¨u ho t½n hi»u â d£i tn bà h°n trong mi·n Fourier ph¥n thù. K¸t qu£ t÷ìng tü ng ÷ñ ph¡t triºn ho bi¸n êi h½nh t tuy¸n t½nh [13℄. 7
Ngo i ra, trong [38℄ Stern ng mð rëng ành lþ l§y m¨u õa Xia ho mi·n h½nh t tuy¸n t½nh. Trong [43℄, ¡ t¡ gi£ sû döng d¤ng têng qu¡t õa ¯ng thù Parseval ho huéi Fourier ph¥n thù º ÷a ra mët ¡ h hùng minh kh¡ ho ành lþ l§y m¨u d¤ng Shannon õa t½n hi»u â d£i tn bà h°n theo ngh¾a Fourier ph¥n thù. C¡ t¡ gi£ çng thíi h¿ ra r¬ng æng thù l§y m¨u n y l mët tr÷íng hñp ° bi»t õa ¯ng thù Parseval ho huéi Fourier ph¥n thù. Vi» mð rëng v ph¡t triºn lþ thuy¸t hªp li¶n k¸t vîi bi¸n êi Fourier ph¥n thù â thº em ¸n nhi·u lñi ½ h trong nghi¶n ùu l§y m¨u v khæi phö t½n hi»u â d£i tn bà h°n trong mi·n Fourier ph¥n thù, ng nh÷ thi¸t k¸ bë lå nhi¹u trong mi·n n y. Do â, hóng tæi lüa hån · t i nghi¶n ùu: "Chªp li¶n k¸t vîi bi¸n êi Fourier ph¥n thù v ùng döng". 2. Mö ½ h v ph¤m vi nghi¶n ùu • Mö ½ h: X¥y düng v nghi¶n ùu ¡ hªp ho bi¸n êi Fourier ph¥n thù; thi¸t lªp b§t ¯ng thù Young èi vîi ¡ hªp n y trong mët sè khæng gian h m ö thº; ùng döng ¡ hªp x¥y düng ÷ñ v o thi¸t k¸ bë lå trong mi·n Fourier ph¥n thù v b i to¡n khæi phö t½n hi»u ho lîp ¡ t½n hi»u â d£i tn bà h°n trong mi·n Fourier ph¥n thù. • èi t÷ñng: Chªp khæng â h m trång, hªp â h m trång d¤ng hirp v hªp â h m trång li¶n quan ¸n h m Gauss v h m Hermite ho bi¸n êi Fourier ph¥n thù; b i to¡n khæi phö t½n hi»u tø m¨u ·u ho ¡ t½n hi»u â d£i tn bà h°n trong mi·n Fourier ph¥n thù; b i to¡n thi¸t k¸ bë lå nh¥n trong mi·n n y. • Ph¤m vi nghi¶n ùu: Bi¸n êi Fourier ph¥n thù, hªp li¶n k¸t vîi 8
bi¸n êi Fourier ph¥n thù, t½n hi»u â d£i tn bà h°n trong mi·n Fourier ph¥n thù, lå nhi¹u trong mi·n Fourier ph¥n thù. 3. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n ùu • Luªn ¡n sû döng ¡ ph÷ìng ph¡p õa bi¸n êi t½ h ph¥n, gi£i t½ h h m, lþ thuy¸t to¡n tû v lþ thuy¸t hªp. • Luªn ¡n sû döng ¡ ph÷ìng ph¡p trong xû lþ t½n hi»u gçm: Ph¥n t½ h t½n hi»u trong mi·n thíi gian tn sè düa v o ph¥n phèi n«ng l÷ñng Wiener, l§y m¨u ·u v quy tr¼nh khæi phö l¤i t½n hi»u tø m¨u ·u. • C¡ thû nghi»m sè ÷ñ lªp tr¼nh tr¶n phn m·m Matlab. 4. C§u tró õa lu¥n ¡n Nëi dung õa luªn ¡n, ngo i phn mð u v phn k¸t luªn, gçm â ba h÷ìng: Ch÷ìng 1 tr¼nh b y ¡ ki¸n thù n·n t£ng õa bi¸n êi Fourier ph¥n thù bao gçm ành ngh¾a, ¡ t½nh h§t v ph²p t½nh to¡n tû têng qu¡t, biºu di¹n trong m°t ph¯ng thíi gian-tn sè v mèi quan h» vîi ph¥n phèi Wiener, ¡ v½ dö minh håa. Trong h÷ìng n y, luªn ¡n ng tr¼nh b y mët sè ùng döng õa bi¸n êi n y trong xû lþ t½n hi»u bao gçm: Lå trong mi·n Fourier ph¥n thù, l§y m¨u v khæi phö t½n hi»u â d£i tn bà h°n trong mi·n Fourier ph¥n thù. Ch÷ìng 2 x¥y düng ¡ hªp mîi ho bi¸n êi Fourier ph¥n thù bao gçm: Chªp khæng â trång, ¡ hªp vîi h m trång d¤ng hirp, ¡ hªp vîi h m trång d¤ng Gauss ho° Hermite nh¥n t l» vîi hirp, hªp têng qu¡t õa bi¸n êi Fourier ph¥n thù v bi¸n êi ng÷ñ vîi h m trång 9
Hermite. Trong h÷ìng n y, luªn ¡n ng tr¼nh b y ¡ t½nh h§t ì b£n ho ¡ hªp n y, so s¡nh vîi ¡ hªp ¢ â çng thíi sû döng ¡ hªp mîi · xu§t º hùng minh b§t ¯ng thù hªp d¤ng Young v x¥y düng §u tró ¤i sè giao ho¡n ho khæng gian Bana h L1(R). Ch÷ìng 3 ùng döng ¡ hªp mîi trong vi» hùng minh t½nh gi£i ÷ñ v ÷a ra æng thù nghi»m hiºn ho ¡ ph÷ìng tr¼nh t½ h ph¥n d¤ng hªp v ph÷ìng tr¼nh t½ h ph¥n vîi nh¥n Hermite, ung §p v½ dö minh håa. Trong h÷ìng n y, sû döng ¡ ành lþ hªp ð Ch÷ìng 2, æng thù l§y m¨u v khæi phö ho t½n hi»u â d£i tn bà h°n theo ngh¾a Fourier ph¥n thù ÷ñ hùng minh v minh håa qua v½ dö; bë lå nh¥n trong mi·n Fourier ph¥n thù ÷ñ x¥y düng thæng qua hªp trong mi·n thíi gian òng v½ dö minh håa v so s¡nh thíi gian t½nh to¡n vîi bë lå thæng th÷íng. 10
Ch÷ìng 1 Ki¸n thù hu©n bà Trong h÷ìng n y, hóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thù hu©n bà bao gçm: ành ngh¾a, ¡ t½nh h§t v ¡ ph²p t½nh to¡n tû õa bi¸n êi Fourier ph¥n thù, ¡ k¸t qu£ ¢ bi¸t v· hªp li¶n k¸t vîi bi¸n êi Fourier ph¥n thù, mët sè ùng döng õa bi¸n êi n y trong xû lþ t½n hi»u. 1.1 Cì sð lþ thuy¸t h m Dira delta Nëi dung õa mö n y ÷ñ tham kh£o trong t i li»u [12℄ 1.1.1 ành ngh¾a h m Dira delta ành ngh¾a 1.1.1. Khæng gian S hwartz S(R) ÷ñ ành ngh¾a l khæng gian ¡ h m f : R → C kh£ vi væ h¤n ln v xαDβ f (x) → 0 khi x → ∞ vîi måi °p h¿ sè α, β ∈ N. °t
kf kα,β = sup
xα Dβ f
. R 11