Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đa thức Hilbert của iđêan đơn thức

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày một số kiến thức chuẩn bị về vành đa thức nhiều biến, iđêan đơn thức, cơ sở Grobner và thuật toán Buchsberger để tìm cơ sở Grobner. Đồng thời trình bày về hàm Hilbert (afin), đa thức Hilbert, chuỗi Hilbert của vành thương của vành đa thức nhiều biến trên một iđêan đơn thức. Đặc biệt để mô tả kỹ hơn các kết quả trên, luận văn tìm hiểu hai lớp vành Stanley-Reisner và vành mặt.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đa thức Hilbert của iđêan đơn thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CHOUAKHA HOUA TOU XAY ĐA THỨC HILBERT CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CHOUAKHA HOUA TOU XAY ĐA THỨC HILBERT CỦA IĐÊAN ĐƠN THỨC Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60.46.01.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2016
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 04 năm 2016 Người viết luận văn CHOUAKHA HOUATOUXAY i
Mục lục MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Vành đa thức và iđêan đơn thức . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1. Vành đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Iđêan đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3. Iđêan khởi đầu và cơ sở Gr¨obner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4. Thuật toán Buchberger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. Đa thức Hilbert của iđêan đơn thức . . . . . . . . . 18 2.1. Đa thức Hilbert và chuỗi Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Phức đơn hình và vành Stanley-Reisner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3. Đồ thị và vành mặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ii
MỞ ĐẦU Cho đại số giao hoán phân bậc hữu hạn sinh trên một trường, hàm Hilbert, đa thức Hilbert, chuỗi Hilbert là ba khái niệm có quan hệ mật thiết với nhau, xác định sự biến thiên về chiều của các thành phần thuần nhất của đại số. Các khái niệm này thường được nghiên cứu trên các đối tượng sau: 1. Vành thương của vành đa thức nhiều biến trên một iđêan đơn thức; 2. Vành thương của vành đa thức nhiều biến trên một iđêan thuần nhất; 3. Vành địa phương với lọc là lũy thừa của iđêan tối đại. Đa thức Hilbert và chuỗi Hilbert là các công cụ quan trọng trong Hình học Đại số. Chúng là công cụ dễ nhất để xác định chiều và bậc của một đa tạp Đại số xác định bởi các phương trình đa thức. Luận văn tìm hiểu về hàm Hilbert, đa thức Hilbert và chuỗi Hilbert của lớp vành thương của vành đa thức nhiều biến trên một iđêan đơn thức. Trường hợp này cho ta nhiều kết quả trực quan, liên hệ với hai lớp vành quan trọng trong Đại số giao hoán, Hình học đại số và Đại số tổ hợp là vành Stanley-Reisner và vành mặt. Hơn nữa một kết quả của Macaulay cho thấy ta có thể chuyển việc nghiên cứu hàm Hilbert, đa thức Hilbert, chuỗi Hilbert của lớp vành thương của vành đa thức nhiều biến trên một iđêan thuần nhất về trường hợp vành thương của vành đa thức nhiều biến trên một iđêan đơn thức. Luận văn là sự tổng hợp của nhiều tai liệu ( [2], [4], [6], [7], ...). Luận văn bao gồm hai chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị về vành đa thức nhiều biến, iđêan đơn thức, cơ sở Gr¨obner và thuật toán Buchsberger để tìm cơ sở Gr¨obner. Đây là công cụ để chuyển bài toán tìm hiểu hàm Hilbert của lớp vành thương của vành đa thức 1
nhiều biến trên một iđêan thuần nhất về trường hợp vành thương của vành đa thức nhiều biến trên một iđêan đơn thức. Chương 2 là chương chính của luận văn. Trong chương này luận văn trình bày về hàm Hilbert (afin), đa thức Hilbert, chuỗi Hilbert của vành thương của vành đa thức nhiều biến trên một iđêan đơn thức. Đặc biệt để mô tả kỹ hơn các kết quả trên, luận văn tìm hiểu hai lớp vành Stanley-Reisner và vành mặt. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Trần Nguyên An. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy. Tôi xin cảm ơn các thầy cô ở Viện Toán học, Khoa Toán và Khoa Sau Đại học trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại trường. Cuối cùng tôi xin cảm ơn người thân, bạn bè đã cổ vũ và động viên tôi để tôi có thể hoàn thành luận văn cũng như khóa học của mình. 2
Chương 1 Vành đa thức và iđêan đơn thức Trong chương này, ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản và các tính chất của vành đa thức và iđêan đơn thức. 1.1. Vành đa thức Cho R là một vành giao hoán và x1 , . . . , xn(n ≥ 1) là các biến. Ta gọi đơn thức là một biểu thức có dạng xa11 . . . . .xann , trong đó (a1 , . . . , an ) ∈ Nn được gọi là bộ số mũ của đơn thức. Nếu a1 = . . . = an = 0, thì đơn thức được kí hiệu là 1. Phép nhân trên tập các đơn thức được định nghĩa như sau: (xa11 . . . xann )(xb11 . . . xbnn ) = xa11+b1 . . . xann +bn . Do đó nếu đồng nhất x1 với đơn thức x11 x02 . . . x0n, . . . , xn với đơn thức x01 . . . x0n−1x1n, thì đơn thức là tích của các biến. Từ là biểu thức có dạng αxa11 ...xann , với α ∈ R được gọi là hệ số của từ. Hai từ khác không αxa11 . . . xann và βxb11 . . . xbnn được gọi là đồng dạng với nhau nếu ai = bi, ∀i = 1, n. Ta kí hiệu x = (x1, . . . , xn), a = (a1 , . . . , an) ∈ Nn và xa = xa11 . . . xann . Đa thức n biến x1, . . . , xn trên R là một tổng hình thức của các 3
từ: X f (x) = αa xa , a∈Nn trong đó αa ∈ R và chỉ có một số hữu hạn hệ số αa 6= 0. Từ αa xa với αa 6= 0 được gọi là từ của đa thức f (x) và xa là đơn thức của f (x). Phép cộng đa thức được định nghĩa như sau: X X X a a αa x + βa x = (αa + βa )xa . a∈Nn a∈Nn a∈Nn Vì αa + βa 6= 0 nếu một trong hai hệ số αa hoặc βa khác 0. Vì vậy trong biểu thức ở vế phải cũng chỉ có hữu hạn hệ số khác 0 và do đó nó đúng là đa thức. Ta đồng nhất αxa với đa thức βb xb , trong đó βa = α và βb = 0 P b∈Nn với mọi b 6= a. Theo cách này tất cả các từ với hệ số 0 đều đồng nhất với một đa thức có tất cả hệ số bằng 0, ta gọi đa thức này là đa thức không, kí hiệu là 0. Đa thức hằng α là đa thức tương ứng với từ α · 1. Nếu α1 xa1 , . . . , αp xap là tất cả các từ của f (x) thì có thể xem f (x) là tổng của các từ này qua phép đồng nhất trên f (x) = α1 xa1 + . . . + αp xap , trong đó a1 , . . . , ap ∈ Nn là bộ số mũ khác nhau. Biểu diễn này được gọi là biểu diễn chính tắc của đa thức f (x). Giả sử f (x) = αa xa và g(x) = βa xa lần lượt là biểu diễn P P a∈Nn a∈Nn chính tắc của hai đa thức f (x) và g(x), chúng được xem là bằng nhau nếu αa = βa , với mọi a ∈ Nn . Vậy biểu diễn chính tắc của f (x) là duy nhất. Phép nhân đa thức được định nghĩa như sau X X X a a ( αa x )( βa x ) = γa xa , a∈Nn a∈Nn a∈Nn 4
trong đó γa = αb βc . Ta thấy rằng γa 6= 0 chỉ khi tồn tại b và c P b,c∈Nn ,b+c=a thỏa mãn αb 6= 0, βc 6= 0 và b + c = a. Do vậy chỉ có một số hữu hạn hệ số γa khác không và phép nhân đa thức ở trên hoàn toàn xác định. Với hai phép toán cộng đa thức và nhân đa thức nêu trên, tập tất cả các đa thức lập thành vành giao hoán với phần tử đơn vị là 1. Tập này được kí hiệu là R[x1, . . . , xn] hay R[x] . Định nghĩa 1.1.1. Vành R[x1, . . . , xn] xây dựng như trên được gọi là vành đa thức của n biến x1, . . . , xn trên vành R. Chú ý 1.1.2. (i) Khi n = 1, ta có vành đa thức một biến thông thường. Đa thức một biến x thường viết dưới dạng f (x) = an xn + . . . + a1 x + a0 (n ∈ N, a0 , . . . , an ∈ R). (ii) Cho 0 ≤ m ≤ n. Bằng cách xem mỗi từ αxa11 . . . xann trên R a như là từ (αxa11 . . . xamm )xm+1 m+1 . . . xann trên vành R[x1, . . . , xm], có thể xem R[x1, . . . , xn] như là vành đa thức n − m biến xm+1, . . . , xn trên vành R[x1, . . . , xm], tức là R[x1, . . . , xn] = R[x1, . . . , xm][xm+1, . . . , xn] Với quan điểm này có thể xây dựng vành nhiều biến (vô hạn biến R[xi, i ∈ I]) từ vành một biến theo quy nạp. Tuy nhiên mỗi đa thức của các vành đó vẫn là một đa thức hữu hạn biến. (iii) Khi tập các biến đã được xác định, ta chỉ kí hiệu đa thức đơn giản là f, g, . . . thay cho f (x), g(x), . . .. (iv) Quy ước phép nhân của các biến giao hoán ta có R[x1, . . . , xn] = R[xδ(1) , . . . , xδ(n) ], với mọi phép thế δ ∈ Sn . Định nghĩa 1.1.3. Bậc tổng thể của đa thức f (x) = αa xa là số P a∈Nn deg f (x) = max{a1 + . . . + an | αa 6= 0}. 5
Đối với đa thức một biến, bậc tổng thể chính là bậc thông thường. Đôi khi bậc tổng thể của đa thức nhiều biến cũng gọi tắt là bậc, nếu như không có sự hiểu lầm nào xảy ra. Chú ý 1.1.4. (i) Bậc tổng thể của đa thức hằng là 0 và bậc tổng thể của đa thức 0 được quy ước là −∞. (ii) Nhiều khi ta còn dùng bậc của đa thức đối với tập con các biến, chẳng hạn x1, . . . , xm, được định nghĩa như sau: degx1 ...xm f (x) = max{a1 + . . . + am | αa 6= 0}, trong đó m < n cố định. Khi đó R[x1, . . . , xn] = R[x1, . . . , xm][xm+1, . . . , xn]. Mệnh đề 1.1.5. Nếu R là miền nguyên, thì với mọi đa thức f (x), g(x) ∈ R[x] đều có: deg(f (x)g(x)) = deg f (x) + deg g(x) và deg(f (x) + g(x)) ≤ max{deg f (x), deg g(x)}. Mệnh đề 1.1.6. Nếu R là miền nguyên, thì vành R[x] cũng là miền nguyên. Nhận xét 1.1.7. Khi R là một trường thì vành đa thức R[x] là miền nguyên và bậc tổng thể của đa thức thỏa mãn mệnh đề trên. Định nghĩa 1.1.8. Cho R là một vành giao hoán, có đơn vị là 1. Các điều kiện sau là tương đương: (i) Mọi tập khác rỗng các các iđêan của R đều có phần tử cực đại (đối với quan hệ bao hàm). (ii) Mọi dãy tăng các iđêan trong R: I1 ⊆ I2 . . . ⊆ In ⊆ In+1 . . . , đều dừng, tức là tồn tại k để Ik = Ik+1 = . . . . (iii) Mọi iđêan của R đều hữu hạn sinh: tức là với mọi iđêan I ⊆ R tồn tại f1 , f2, . . . , fs ∈ I sao cho I = (f1, f2, . . . , fs). 6
Một vành thỏa mãn một trong ba điều kiện trên được gọi là vành Noether. Định lý 1.1.9 (Định lý Hilbert về cơ sở). Cho R là vành Noether và x là tập n biến. Khi đó vành R[x] cũng là vành Noether. Hệ quả 1.1.10. Mọi iđêan của vành đa thức R[x] trên trường R là hữu hạn sinh. Định lý 1.1.11 (Định lý chia đa thức một biến). Cho K là một trường và g(x) là đa thức khác 0 của K[x]. Khi đó mọi đa thức f (x) ∈ K[x] có thể viết dưới dạng: f (x) = q(x)g(x) + r(x), trong đó q(x), r(x) ∈ K[x] và deg r(x) < deg g(x). Hơn nữa q(x) và r(x) được xác định duy nhất. Giả sử f = an xn+an−1 xn−1+. . .+a0 , an 6= 0, ta kí hiệu an xn là in(f ) và lc(f ) là kí hiệu của an . Hệ quả 1.1.12. Vành đa thức K[x] trên một trường tùy ý là vành các iđêan chính, nghĩa là mọi iđêan đều sinh bởi một đa thức. 1.2. Iđêan đơn thức Từ đây trở đi ta luôn giả thiết K là một trường. Trong mục này ta xét lớp iđêan đặc biệt trong vành đa thức nhiều biến là lớp iđêan đơn thức. Ta đặt x = {x1, . . . , xn}, a = (a1, . . . , an ) ∈ Nn và xa = xa11 . . . xann . Định nghĩa 1.2.1. Iđêan I ⊆ K[x] được gọi là iđêan đơn thức nếu có tập con A ⊆ N n (có thể vô hạn) sao cho iđêan I bao gồm tất cả các đa thức có dạng a∈A ha xa , trong đó ha ∈ K[x]. Trong trường hợp này ta P viết I = (xa ; a ∈ A). Ví dụ: I = (xy 3, x3y 2 , x4y) là iđêan đơn thức. Bổ đề 1.2.2. Cho I = (xa ; a ∈ A) là iđêan đơn thức. Đơn thức xb ∈ I khi và chỉ khi xb chia hết cho một đơn thức xa với a ∈ A nào đó. 7
Chú ý rằng xb chia hết cho xa khi xb = xa .xc với c ∈ Nn kéo theo b = a + c. Do đó tập a + Nn = { a + c : c ∈ Nn } bao gồm số mũ của tất cả các đơn thức chia hết cho xa . Từ chú ý này và Bổ đề 1.2.2 cho ta hình ảnh mô tả các đơn thức trong một iđêan đơn thức cho trước. Chẳng hạn, nếu I = (xy 3, x3y 2 , x4y), khi đó số mũ của các đơn thức trong I là tập: ((1, 3) + Nn ) ∪ ((3, 2) + Nn ) ∪ ((4, 1) + Nn ). Ta có thể hình dung tập này như hợp các điểm nguyên trong các khối vuông có đỉnh là (1, 3), (3, 2), và (4, 1) trong mặt phẳng. Bổ đề 1.2.3. Cho I là iđêan đơn thức và f ∈ K[x]. Các điều kiện sau là tương đương: (i) f ∈ I; (ii) Mọi từ của f thuộc I; (iii) f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I. Hệ quả 1.2.4. Hai iđêan đơn thức trong một vành đa thức bằng nhau nếu chúng chứa cùng một tập đơn thức. Bổ đề 1.2.5. Iđêan I là iđêan đơn thức khi và chỉ khi với mọi f ∈ I, các từ của f đều thuộc I. Bổ đề 1.2.6 (Bổ đề Dickson). Mọi iđêan đơn thức I = (xa ; a ∈ A) luôn viết được dưới dạng I = (xa(1) , . . . , xa(s) ), trong đó a(1), . . . , a(s) ∈ A. Nói riêng I là hữu hạn sinh. Từ Bổ đề 1.2.2 và Bổ đề 1.2.6 suy ra mỗi iđêan đơn thức I chỉ có một tập sinh tối tiểu gồm các đơn thức. J được gọi là tập sinh đơn thức tối tiểu của I. Mỗi đơn thức trong tập sinh này được gọi là đơn thức sinh của I. 8
1.3. Iđêan khởi đầu và cơ sở Gr¨ obner. Định nghĩa 1.3.1. Giả sử ≤ là một thứ tự toàn phần trên tập M tất cả các đơn thức của K[x]. Thứ tự ≤ được gọi là thứ tự từ nếu nó thỏa mãn các tính chất sau: (i) Với mọi m ∈ M, 1 ≤ m. (ii) Nếu m1 , m2, m ∈ M mà m1 ≤ m2 thì mm1 ≤ mm2 . Bổ đề 1.3.2. Một thứ tự toàn phần ≤ trên M là thứ tự tốt khi và chỉ khi mọi dãy đơn thức thực sự giảm: m1 > m2 > m3 > . . . sẽ dừng (sau hữu hạn phần tử). Bổ đề 1.3.3. Mọi thứ tự từ là thứ tự tốt. Ngược lại mọi thứ tự tốt trên M thỏa mãn điều kiên (ii) của Định nghĩa 1.3.1 thứ tự từ. Cho ≤ là một thứ tự từ . Sau khi đổi chỉ số các biến luôn có thể giả thiết: x1 > x2 > . . . > xn . Sau đây là một số thứ tự từ quan trọng. Định nghĩa 1.3.4. Thứ tự từ điển là thứ tự ≤lex xác định như sau: xα1 1 . . . xαnn ≤lex xβ1 1 . . . xβnn nếu thành phần đầu tiên khác 0 kể từ bên trái của véctơ (α1 − β1 , . . . , αn − βn ) là một số âm. Nói cách khác nếu tồn tại 0 ≤ i ≤ n sao cho α1 = β1, . . . , αi = βi nhưng αi+1 < βi+1. Định nghĩa 1.3.5. Thứ tự từ điển phân bậc là thứ tự ≤glex xác định như sau: xα1 1 . . . xαnn ≤glex xβ1 1 . . . xβnn nếu deg(xα1 1 . . . xαnn ) < deg(xβ1 1 . . . xβnn ) hoặc deg(xα1 1 . . . xαnn ) = deg(xβ1 1 . . . xβnn ) và thành phần đầu tiên khác 0 kể từ bên trái của véctơ (α1 − β1 , . . . , αn − βn ) là một số âm. Nói cách khác xα1 1 . . . xαnn
Định nghĩa 1.3.6. Thứ tự từ điển ngược là thứ tự ≤rlex xác định như sau: xα1 1 . . . xαnn ≤rlex xβ1 1 . . . xβnn nếu deg(xα1 1 . . . xαnn ) < deg(xβ1 1 . . . xβnn ) hoặc deg(xα1 1 . . . xαnn ) = deg(xβ1 1 . . . xβnn ) và thành phần đầu tiên khác 0 kể từ bên phải của véctơ (α1 − β1, . . . , αn − βn) là một số dương. Nói cách khác xα1 1 . . . xαnn βi . Mệnh đề 1.3.7. Ba thứ tự kể trên là thứ tự từ. Ví dụ 1.3.8. (i) x1x32x23 rlex x1x2 x4. Như vậy ba thứ tự từ trên là thực sự khác nhau. Ta vẫn kí hiệu R = K[x] = K[x1, . . . , xn] và M là tập đơn thức của nó. Định nghĩa 1.3.9. Cho ≤ là một thứ tự từ và f ∈ R. Từ khởi đầu của f với thứ tự từ ≤ là từ lớn nhất của đa thức f đối với thứ tự từ ≤, kí hiệu là in≤ (f ). Nếu in≤(f ) = αxa , 0 6= α ∈ K, thì lc≤ (f ) = α được gọi là hệ số đầu và lm≤ (f ) = xa là đơn thức đầu của f đối với thứ tự từ ≤. Nếu thứ tự từ ≤ đã được chỉ rõ và không có sự nhầm lẫn, ta sẽ viết in(f ), lc(f ), lm(f ) thay cho tương ứng in≤(f ), lc≤ (f ), lm≤(f ). Từ khởi đầu của đa thức 0 được xem là không xác định (có thể nhận giá trị tùy ý). Ví dụ 1.3.10. Cho f = x3y 2 z + 5xyz − 3x4 + 7x3y − 2y 6 + z 4 . Viết theo thứ tự các từ giảm dần ta có: (i) Đối với thứ tự từ điển mà x > y > z : f = −3x4 + x3y 2 z + 5xyz − 2y 6 + 7x3y + z 4 và in≤lex (f ) = −3x4. 10
(ii) Đối với thứ tự từ điển phân bậc mà x > y > z : f = x3y 2 z − 2y 6 − 3x4 + 7yx3 + z 4 + 5xyz và in≤glex (f ) = x3y 2 z. (iii) Đối với thứ tự từ điển ngược mà x > y > z : f = −2y 6 + x3y 2 z − 3x4 + 7yx3 + z 4 + 5xyz và in≤rlex (f ) = −2y 6 . Bổ đề 1.3.11. Cho f, g ∈ R và m ∈ M. Khi đó: (i) in(f g) = in(f ) in(g), với R là miền nguyên, (ii) in(mf ) = m in(f ), (iii) lm(f + g) ≤ max{lm(f ), lm(g)}. Dấu "
Mọi iđêan I ∈ R đều hữu hạn sinh. Tức I = (f1, . . . , ft) với f1, . . . , ft ∈ I. Ta luôn có (in(f1), . . . , in(ft)) ( in(I), điều ngược lại chưa chắc đúng. Có nghĩa là không phải cơ sở nào cũng có tính chất (in(f1), . . . , in(ft)) = in(I). Ví dụ như: Cho I = (f1, f2), với f1 = x3 − 2xy; f2 = x2y − 2y 2 + x. Xét thứ tự từ điển phân bậc x > y > z. Ta có x2 ∈ I vì x2 = xf2 − yf1 nên x2 = in(x2) ∈ in(I). Nhưng x2 = in(x2) không chia hết cho in(f1) và in(f2). Do đó in(x2) ∈ / (in(f1), in(f2)). Vậy in(I) 6= (in(f1), in(f2)). Định nghĩa 1.3.15. Cho ≤ là một thứ tự từ và I là một iđêan của R. Tập hữu hạn các đa thức khác không g1 , . . . , gs ∈ I được gọi là cơ sở obner của iđêan I đối với thứ tự từ ≤, nếu Gr¨ in≤(I) = (in≤ (g1), . . . , in≤ (gs)). Tập g1, . . . , gs ∈ I được gọi là một cơ sở Gr¨ obner, nếu nó là cơ sở Gr¨obner của iđêan sinh bởi chính các phần tử này. Từ Bổ đề Dickson 1.2.6 suy ra mọi iđêan đều có cơ sở Gr¨obner (hữu hạn). Bổ đề 1.3.16. Cho G là cơ sở Gr¨ obner của iđêan I đối với một thứ tự từ nào đó. Nếu đa thức g ∈ G thỏa mãn, tồn tại đa thức g ′ ∈ G sao cho in(g ′ ) | in(g), thì G\{g} cũng là một cơ sở Gr¨ obner của I. Bổ đề 1.3.17. Cho I là một iđêan tùy ý của R. Nếu g1 , . . . , gs là cơ sở Gr¨ obner của I đối với một thứ tự từ nào đó, thì g1, . . . , gs là hệ sinh của I. Ví dụ 1.3.18. (i) Cho I là iđêan trên vành K[x]. Ta biết rằng trên vành này chỉ có một thứ tự từ (theo bậc), và theo Hệ quả 1.1.12 có I = (f ), với f ∈ K[x]. Từ Bổ đề 1.3.11(i) suy ra in(I) = (in(f )). (ii) Cho I = (xy, y 3) ⊆ K[x, y], f1 = xy, f2 = xy − y 3 và x > y. Ta có in≤lex (I) = I mà in≤lex (f1) = in≤lex (f2) = xy. Do đó {f1, f2} không là 12
cơ sở Gr¨obner của I đối với ≤lex. Tuy nhiên in≤glex (f1) = in≤rlex (f1) = xy, in≤glex (f2) = in≤rlex (f2) = y 3 và in≤glex (I) = in≤rlex (I) = I. Vì vậy {f1, f2} là cơ sở Gr¨obner của I đối với thứ tự phân bậc, cũng như đối với thứ tự từ điển ngược. (iii) Cho I = (f1, f2) ⊆ K[x, y] với f1 = x3 −2xy, f2 = x2y−2y 2 +x. Xét thứ tự từ điển phân bậc hoặc thứ tự từ điển ngược x > y. Khi đó in(f1) = x3, in(f2) = x2y. Tuy nhiên x2 = x.f2 − y.f1 ∈ I và in(x2) = x2 ∈ / (x3, x2y) nên{f1 , f2} không là cơ sở Gr¨obner của I đối với các thứ tự này. (iv) Cho I = (x + y, y + z) ⊆ K[x, y, z] và xét thứ tự từ điển x > y > z. Ta sẽ chứng tỏ G = {x+y, y +z} là cơ sở Gr¨obner của I. Thực vậy mọi phần tử 0 6= f ∈ I có dạng f = g.(x+y)+h.(y +z). Nếu in(f ) không chứa x, y thì f chỉ chứa z, tức f = f (z). Thay x = z, y = −z vào biểu diễn vừa nêu của f , ta có f = f (z) = g(z, −z, z).0 + h(z, −z, z).0 = 0, vô lý. Vì vậy in(f ) ∈ (x, y) = (in(x + y), in(y + z)), hay G là cơ sở Gr¨obner của I. 1.4. Thuật toán Buchberger Ta đã biết vai trò quan trọng của định lý chia đa thức một biến trong nghiên cứu cấu trúc của vành đa thức một biến. Bằng cách dùng thứ tự từ thay cho bậc của đa thức để giảm dần từ khởi đầu của đa thức bị chia, cho đến khi không thể chia được thì dừng, ta đã mở rộng định lý này ra trường hợp nhiều biến. Hơn nữa, ta còn có thể chia cho nhiều đa thức cùng một lúc. Tuy nhiên, việc mở rộng này đã làm cho đa thức dư và các đa thức thương không còn duy nhất như trong trường hợp chia cho đa thức một biến. Cụ thể ta có: Định lý 1.4.1 (Định lý chia đa thức). Cố định một thức tự từ ≤ trên M và cho F = {f1 , . . . , fs} ⊆ R = K[x1, . . . , xn]. Khi đó mọi đa thức 13
f ∈ R có thể viết được dưới dạng: f = q1 f1 + . . . + qs fs + r, trong đó qi , r ∈ R thỏa mãn các điều kiện sau đây: (i) Nếu r 6= 0 thì không có từ nào của r chia hết cho một trong các từ khởi đầu in(f1), . . . , in(fs). (ii) Nếu qi 6= 0 thì in(qifi ) ≤ in(f ). Ta gọi đa thức r ở trên là đa thức dư hoặc phần dư của f khi chia cho F và kí hiệu là r = RemF (f ). Mặc dù gọi vậy, nhưng ta sẽ thấy đa thức dư r = RemF (f ) không xác định duy nhất. Bản thân biểu diễn trên của f được gọi là biểu diễn chính tắc của f theo f1, . . . , fs. Hệ quả 1.4.2. Giả sử F = {f1, . . . , fs} là một cơ sở Gr¨obner đối với một thứ tự từ cho trước. Khi đó với mỗi đa thức f ∈ R, đa thức dư r của phép chia f cho hệ F (trong Định lý chia đa thức) được xác định duy nhất. Nói riêng, kết quả thực hiên Thuật toán chia đa thức trong trường hợp này không phụ thuộc vào thứ tự chia các đa thức chia trong F. Nếu không nói gì, ta luôn hiểu trên M của K[x] đã có một thứ tự từ nào đó. Trong mục này ta sẽ đưa ra thuật toán tìm cơ sở Gr¨obner. Đầu tiên ta sẽ tìm điều kiện để một hệ sinh của iđêan I là cơ sở Gr¨obner của nó Định nghĩa 1.4.3. Cho f, g ∈ K[x] là hai đa thức khác 0. Kí hiệu in(f ) in(g) mf g = và mgf = . UCLN(lm(f ), lm(g)) UCLN(lm(f ), lm(g)) S-đa thức của f và g là đa thức S(f, g) = mgf .f − mf g .g. 14
Ví dụ 1.4.4. Cho f = x − z 4 và g = y − z 5 trong vành K[x, y, z]. (i) Với thứ tự từ điển x > y > z có in(f ) = x; in(g) = y và S(f, g) = mgf .f − mf g .g = y(x − z 4 ) − x(y − z 5 ) = xz 5 − yz 4 (ii) Với thứ tự từ điển phân bậc x > y > z có in(f ) = −z 4 ; in(g) = −z 5 và S(f, g) = mgf .f − mf g .g = −z(x − z 4 ) + 1.(y − z 5 ) = −zx + y. Qua ví dụ trên ta thấy rằng S-đa thức phụ thuộc vào việc chọn thứ tự từ. Bổ đề 1.4.5. (i) S(f, g) = −S(g, f ). (ii) in S(f, g) < BCNN(in(f ), in(g)). Bổ đề 1.4.6. Cho g1 , . . . , gt ∈ K[x], α1, . . . , αt ∈ K và a1 , . . . , at ∈ Nn thỏa mãn các tính chất sau: (i) Tồn tại d ∈ Nn để với mọi i ≤ t mà αi 6= 0 thì xai lm(gi) = xd . (ii) in( ti=1 αi xai gi) < xd . P Khi đó tồn tại αjk ∈ K sao cho ti=1 αi xai gi = i,k αjk xd−cjk S(gj , gk ), P P trong đó xcjk = BCNN(lm(gj ), lm(gk )). Hơn nữa với mọi j, k đều có in(xd−cjk )S(gj , gk ) < xd . Một cách phát biểu khác của bổ đề trên là: Nếu hai điều kiện (i) và (ii) thỏa mãn thì tổng ti=1 αi xai gi thuộc iđêan sinh bởi S(gj , gk ). P Định lý 1.4.7 (Tiêu chuẩn Buchberger.). Cho G = {g1, . . . , gs} là hệ sinh của iđêan I. G là cơ sở Gr¨obner của I khi và chỉ khi với mọi cặp 1 ≤ i 6= j ≤ s một (hoặc mọi) đa thức dư của S-đa thức S(gi , gj ) trong phép chia cho G bằng 0. Định nghĩa 1.4.8. Cố định một thứ tự từ và cho G = {g1, . . . , gs} ⊂ G K[x]. Ta nói đa thức f dần về đa thức g modulo G và kí hiệu là f −→ g, 15
hoặc đơn giản là f −→ g khi đã rõ G, nếu f có thể viết dưới dạng f = q1 g1 + . . . + qs gs + g, sao cho nếu qi gi 6= 0 thì in(qigi) ≤ in(f ). G Như vậyf −→ 0 khi và chi khi có một giá trị của RemG (f) bằng 0. Do đó Tiêu chuẩn Buchberger có thể phát biểu lại như sau: Định lý 1.4.9. Cho G = {g1 , . . . , gs } là một hệ sinh của iđêan I. G là cơ sở Gr¨obner của I khi và chỉ khi với mọi cặp 1 ≤ i 6= j ≤ s ta có G S(gi, gj ) −→ 0. Sau đây là một số chú ý để giảm bớt số phép thử khi áp dụng tiêu chuẩn Buchberger. Chú ý 1.4.10. (i) Vì S(f, g) = −S(g, f ) nên để thử xem G = {g1 , . . . , gs} có phải là cơ sở Gr¨obner hay không, chỉ cần thử cho các cặp (gi, gj ) với i < j. (ii) Nếu f, g là hai từ thì S(f, g) = 0. Do đó không cần thử Tiêu chuẩn Buchberger cho các cặp từ. (iii) Nếu in(f ) và in(g) nguyên tố cùng nhau thì S(f, g) = in(g)f − in(f )g = −(g − in(g))f + (f − in(f ))g. Đặt smg = lm(g − in(g)) và smf = lm(f − in(f )). Nếu smg . lm(f ) = smf . lm(g), thì do tính nguyên tố cùng nhau sẽ suy ra smg chia hết cho lm(g). Điều này vô lý, vì smg < lm(g). Do đó ở đẳng thức trên phải có max{lm([g − in(g)]f ), lm([f − in(f )]g)} = lm(S(f, g)), tức là có một phép chia S(f, g) cho G mà phần dư của nó bằng không. Vậy không cần thử Tiêu chuẩn Buchberger cho các cặp có từ khởi đầu nguyên tố cùng nhau. 16