Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

45
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một vấn đề có ý nghĩa thực tiễn là đánh giá chuẩn sup trên một tập lớn thông qua chuẩn của đa thức này trên các tập nhỏ hơn. Một bất đăng thức kiểu như vậy là bất đăng thức Bernstein Mlarkov cho đánh giá chuẩn của đa thức phức nhiều biến qua chuẩn của đa thức này trên một tập không đa cực tùy ý. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đánh giá địa phương của hàm đa điều hòa dưới và áp dụng

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM Ho ng Thà Thu H÷ìng NH GI ÀA PH×ÌNG CÕA HM A IU HÁA D×ÎI V P DÖNG LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n, n«m 2016
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM Ho ng Thà Thu H÷ìng NH GI ÀA PH×ÌNG CÕA HM A IU HÁA D×ÎI V P DÖNG Chuy¶n ng nh: To¡n Gi£i t½ch M¢ sè: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: GS.TSKH. Nguy¹n Quang Di»u Th¡i Nguy¶n, n«m 2016
Líi cam oan Tæi xin cam oan Luªn v«n n y l do ch½nh t¡c gi£ thüc hi»n d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS. TSKH. Nguy¹n Quang Di»u. Luªn v«n khæng tròng l°p vîi c¡c · t i kh¡c v c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. Th¡i nguy¶n, ng y 10 th¡ng 04 n«m 2016 T¡c gi£ Ho ng Thà Thu H÷ìng i
Líi c£m ìn B£n luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS.TSKH. NGUYN QUANG DIU. Em xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi th¦y, ng÷íi ¢ ành h÷îng v tªn t¼nh gióp ï em trong suèt qu¡ tr¼nh em thüc hi»n luªn v«n. Em xin gûi líi c£m ìn tîi Ban Gi¡m hi»u nh tr÷íng, Ban chõ nhi»m Khoa To¡n, Pháng Sau ¤i håc còng c¡c th¦y cæ gi¡o Tr÷íng ¤i håc s÷ ph¤m- ¤i håc Th¡i Nguy¶n, Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H Nëi v Vi»n To¡n håc ¢ gi£ng d¤y, gióp ï em ho n th nh luªn v«n. Xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c anh chà, b¤n b± çng nghi»p Tr÷íng THPT Nh¢ Nam T¿nh Bc Giang ¢ t¤o i·u ki»n gióp ï v· måi m°t trong qu¡ tr¼nh håc tªp v ho n th nh b£n luªn v«n n y. Luªn v«n s³ khæng thº ho n th nh n¸u thi¸u sü thæng c£m, s´ chia v ëng vi¶n kàp thíi cõa gia ¼nh v b¤n b±. Xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc. Do n«ng lüc cán h¤n ch¸ n¶n luªn v«n khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât v¼ vªy em r§t mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ v c¡c b¤n º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn. Em xin ch¥n th nh c£m ìn! Th¡i nguy¶n, ng y 10 th¡ng 04 n«m 2016 Håc vi¶n Ho ng Thà Thu H÷ìng ii
Möc löc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Möc löc iii MÐ U 1 1 Ki¸n thùc chu©n bà 2 1.1 H m i·u háa d÷îi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 H m a i·u háa d÷îi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Dung l÷ñng t÷ìng èi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 H m cüc trà t÷ìng èi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 H m Green phùc vîi cüc t¤i væ còng . . . . . . . . . . . . 7 2 ¡nh gi¡ a thùc 15 2.1 ành lþ ch½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Ùng döng cõa ành lþ ch½nh . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 KT LUN 37 TI LIU THAM KHO 38 iii
MÐ U a thùc mët bi¸n hay nhi·u bi¸n l c¡c èi t÷ñng quan trång cõa gi£i t½ch. Ta câ thº th§y i·u n y qua c¡c ành lþ Weierstrass nâi r¬ng måi h m li¶n töc tr¶n tªp compact l giîi h¤n ·u cõa c¡c a thùc. Mët v§n · câ þ ngh¾a thüc ti¹n l ¡nh gi¡ chu©n sup tr¶n mët tªp lîn thæng qua chu©n cõa a thùc n y tr¶n c¡c tªp nhä hìn. Mët b§t ¯ng thùc kiºu nh÷ vªy l b§t ¯ng thùc Bernstein Markov cho ¡nh gi¡ chu©n cõa a thùc phùc nhi·u bi¸n qua chu©n cõa a thùc n y tr¶n mët tªp khæng a cüc tòy þ. Nëi dung ch½nh cõa luªn v«n l tr¼nh b y l¤i mët sè k¸t qu£ cõa Brudnyˇi v· ¡nh gi¡ kiºu nh÷ vªy cho nhúng h m a i·u háa d÷îi tr¶n Cn m câ d¤ng têng qu¡t hìn log cõa mæun cõa a thùc. Luªn v«n câ bè cöc nh÷ sau. Ch÷ìng 1 tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc v· h m i·u háa d÷îi, a i·u háa d÷îi. °c bi»t quan trång l kh¡i ni»m dung l÷ñng t÷ìng èi. Ch÷ìng 2 l nëi dung ch½nh cõa luªn v«n bao gçm ành lþ 2.1.2 ¡nh gi¡ ë lîn c¡c h m a i·u háa d÷îi to n cöc tr¶n Cn (thäa m¢n mët sè i·u ki»n chu©n hâa n o â) düa tr¶n ë lîn tr¶n nhúng tªp r§t b² ch¿ c¦n câ ë o Lebesgue d÷ìng. Ti¸p theo chóng tæi ¡p döng ành lþ 2.1.2 v o vi»c nghi¶n cùu ¡nh gi¡ ë lîn cõa c¡c a thùc tr¶n c¡c tªp con gi£i t½ch thüc cõa Rn. Ngo i ra chóng tæi cán t¼m nhúng ùng döng cõa k¸t qu£ n y v o ¡nh gi¡ mæun cõa a thùc tr¶n c¡c tªp n¬m trong c¡c tªp ¤i sè hay gi£i t½ch thüc. 1
Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà Trong ch÷ìng n y, chóng ta tr¼nh b y l¤i mët sè kh¡i ni»m công nh÷ k¸t qu£ c¦n thi¸t ÷ñc sû döng ð ch÷ìng sau. 1.1 H m i·u háa d÷îi ành ngh¾a 1.1.1. Gi£ sû X l khæng gian tæpæ. H m u : Ω −→ [−∞; +∞) gåi l nûa li¶n töc tr¶n tr¶n X n¸u vîi méi α ∈ R tªp Xα = {x ∈ X : u(x) < α} l mð trong X . H m v : X −→ [−∞; +∞) gåi l nûa li¶n töc d÷îi tr¶n X n¸u −v l nûa li¶n töc tr¶n tr¶n X . ành ngh¾a 1.1.2. Gi£ sû Ω l tªp mð trong C. H m u : Ω −→ [−∞; +∞) gåi l i·u háa d÷îi tr¶n Ω n¸u nâ nûa li¶n töc tr¶n tr¶n Ω v thäa m¢n b§t ¯ng thùc d÷îi trung b¼nh tr¶n Ω, ngh¾a l vîi måi w ∈ Ω tçn t¤i % > 0 sao cho vîi måi 0 ≤ r < % ta câ Z2π 1 u(w) ≤ u(w + reit ) dt 2π 0 Chó þ r¬ng vîi ành ngh¾a tr¶n th¼ h m çng nh§t −∞ tr¶n Ω ÷ñc xem 2
l h m i·u háa d÷îi tr¶n Ω. Ta k½ hi»u tªp c¡c h m i·u háa d÷îi tr¶n Ω l SH(Ω). K¸t qu£ sau ¥y cho mët i·u ki»n õ º mët h m kh£ vi l h m i·u háa d÷îi. ành lþ 1.1.3. Gi£ sû u ∈ C 2 (Ω). Khi â u l i·u háa d÷îi tr¶n Ω khi ∂2u ∂2u v ch¿ khi 4u ≥ 0 tr¶n Ω, ð â 4u = ∂x2 + ∂y 2 l Laplace cõa u. Chùng minh. Gi£ sû 4u ≥ 0 tr¶n Ω. L§y D l mi·n compact t÷ìng èi trong Ω v h l h m i·u háa tr¶n mi·n D, li¶n töc tr¶n D sao cho lim sup(u − h)(z) ≤ 0 èi vîi måi ζ ∈ ∂D. Vîi ε > 0, x¡c ành z→ζ  u(z) − h(z) + ε |z|2 n¸u z ∈ D   υε (z) = ε |z|2 n¸u z ∈ ∂D.   Khi â υε nûa li¶n töc tr¶n D n¶n nâ ¤t cüc ¤i tr¶n D. Tuy nhi¶n do 4υε = 4u + 4ε > 0 tr¶n D n¶n υε ¤t cüc ¤i tr¶n ∂D. Do â u − h ≤ sup |z|2 tr¶n D. Cho ε → 0 ta ÷ñc u ≤ h tr¶n D v , do â, u ∂D i·u háa d÷îi tr¶n D. Ng÷ñc l¤i, gi£ sû u i·u háa d÷îi tr¶n Ω. Gi£ thi¸t t¤i ω ∈ Ω ta câ 4u(ω) < 0. Do â câ % > 0 sao cho 4u ≤ 0 tr¶n 4(ω, %). Theo i·u vøa chùng minh th¼ −u l i·u háa d÷îi tr¶n 4(ω, %). Do â u l h m i·u háa tr¶n 4(ω, %). Vªy 4u(ω) = 0 v g°p m¥u thu¨n. Do â 4u ≥ 0 v ành lþ ÷ñc chùng minh. ành lþ sau ¥y cho th§y t½nh i·u háa d÷îi l b§t bi¸n qua ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh. ành lþ 1.1.4. Gi£ sû f : Ω1 → Ω2 l ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh giúa hai tªp mð 3
trong C. N¸u u l h m i·u háa d÷îi tr¶n Ω2 th¼ u ◦ f l i·u háa d÷îi tr¶n Ω1 . Chùng minh. V¼ t½nh i·u háa d÷îi l t½nh àa ph÷ìng n¶n ch¿ c¦n chùng minh u ◦ f l i·u háa d÷îi tr¶n méi mi·n co compact t÷ìng èi D1 b Ω1. Gi£ sû D1 l mi·n nh÷ vªy. Khi â D2 = f (D1) b Ω2. Chån d¢y h m i·u háa d÷îi trìn {un} ∈ C ∞(D2) sao cho un & u tr¶n D2. Theo ành lþ 1.1.3 câ 4un ≥ 0 tr¶n D2 vîi måi n ≥ 1. Ta câ 2 4(u ◦ f ) = (4(un ) ◦ f ) |f 0 | tr¶n D1. Do â theo ành lþ 1.1.3 ta câ u ◦ f l h m i·u háa d÷îi tr¶n D1. Nh÷ng un ◦ f & u ◦ f tr¶n D1 n¶n u ◦ f l i·u háa d÷îi tr¶n D1 v ành lþ ÷ñc chùng minh. 1.2 H m a i·u háa d÷îi ành ngh¾a 1.2.1. Gi£ sû Ω ⊂ Cn l tªp mð, u : Ω → [−∞; +∞) l h m nûa li¶n töc tr¶n, khæng çng nh§t b¬ng −∞ tr¶n måi th nh ph¦n li¶n thæng cõa Ω. H m u gåi l a i·u háa d÷îi tr¶n Ω (vi¸t u ∈ PSH(Ω)) n¸u vîi måi a ∈ Ω v b ∈ Cn, h m λ 7→ u(a + λb) l i·u háa d÷îi ho°c b¬ng −∞ tr¶n måi th nh ph¦n li¶n thæng cõa tªp {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω}. ành lþ 1.2.2. Gi£ sû u : Ω → [−∞, +∞) l h m nûa li¶n töc tr¶n, khæng çng nh§t b¬ng −∞ tr¶n måi th nh ph¦n li¶n thæng cõa Ω ⊂ Cn . Khi â u ∈ PSH(Ω) khi v ch¿ khi vîi måi a ∈ Ω, b ∈ Cn sao cho {a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ Ω 4
ta câ Z2π u(a) ≤ 1 2π u(a + reiθ b)dθ := l(u, a, b) (1.1) 0 Chùng minh. i·u ki»n c¦n l hiºn nhi¶n suy ra tø ành ngh¾a 1.2.1. i·u ki»n õ. Gi£ sû a ∈ Ω, b ∈ Cn v x²t U = {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω} Khi â U l tªp nð tr¶n C. °t υ(λ) = u(a+λb), λ ∈ U . C¦n chùng minh υ(λ) l i·u háa d÷îi tr¶n U . Muèn vªy ch¿ c¦n chùng tä n¸u λ0 ∈ U tçn t¤i ρ > 0 sao cho 0 ≤ r < ρ th¼ Z2π 1 υ(λ0 ) ≤ υ(λ0 + reiθ )dθ 2π 0 Tø a + λ0b ∈ U n¸u câ ρ > 0 sao cho khi |λ| < ρ th¼ a + λ0b + λb ∈ Ω. Vîi 0 ≤ r < ρ ta câ {a + λ0b + λrb : |λ| ≤ 1} ⊂ Ω. Do â tø gi£ thi¸t Z2π 1 u(a + λ0 b) ≤ u(a + λ0 b + rbeiθ )dθ 2π 0 R2π Vªy υ(λ0) ≤ 2π1 υ(λ0 + reiθ )dθ, â l i·u ph£i chùng minh. 0 Ta câ °c tr÷ng sau ¥y cõa t½nh a di·u háa d÷îi cho c¡c h m kh£ vi. ành lþ 1.2.3. Gi£ sû Ω ⊂ Cn l tªp mð v u ∈ C 2(Ω). Khi â u ∈ 2 PSH(Ω) khi v ch¿ khi Hessian Hu (z) = ( ∂z∂j ∂uz¯k ) cõa u t¤i z x¡c ành d÷ìng, ngh¾a l vîi måi w = (w1 , w2 , ..., wn ) ∈ Cn , n ∂ 2u X Hu (z)(w, w) = (z)wj w¯k ≥ 0. j,k=1 ∂z j ∂ z ¯k 5
Chùng minh. Suy ra tø ¯ng thùc: Vîi måi z ∈ Ω, w ∈ Cn v ξ ∈ C ta câ n 1 X ∂ 2u 4ξ u(z + ξw)|ξ=0 = (z)wj w¯k 4 j,k=1 ∂z j ∂ z ¯k v ành ngh¾a 1.2.1 còng vîi ành lþ 1.1.3. 1.3 Dung l÷ñng t÷ìng èi ành ngh¾a 1.3.1. Gi£ sû Ω ⊂ Cn l tªp mð v E ⊂ Ω l tªp Borel. Dung l÷ñng t÷ìng èi cõa E èi vîi Ω, k½ hi»u Cn(E, Ω) hay câ thº vi¸t l Cn(E) n¸u khæng g°p ph£i sü hiºu nh¦m n o kh¡c, l ¤i l÷ìng cho bði Z Cn (E) = Cn (E, Ω) = sup{ (ddc u)n : u ∈ PSH(Ω), −1 ≤ u ≤ 0}. E Bði b§t ¯ng thùc Chern- Levine- Nirenberg Cn(E) l húu h¤n n¸u E b Ω. 1.4 H m cüc trà t÷ìng èi ành ngh¾a 1.4.1. Gi£ sû Ω ⊂ Cn l tªp mð v E ⊂ Ω. H m cüc trà t÷ìng èi cõa E èi vîi Ω, ÷ñc k½ hi»u l uE,Ω v ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc uE,Ω (z) = sup{v(z) : v ∈ PSH(Ω), v ≤ −1 tr¶n E, v ≤ 0 tr¶n Ω}, z ∈ Ω H m u∗E,Ω ∈ PSH(Ω) v −1 ≤ u∗E,Ω ≤ 0, z ∈ Ω, u∗E,Ω(z) = −1 khi z ∈ E . Ð ¥y, u∗E,Ω l ch½nh quy hâa nûa li¶n töc tr¶n cõa uE,Ω. H m n y ÷ñc ành ngh¾a bði u∗E,Ω (z) = lim sup uE,Ω (ρ). ρ→z 6
1.5 H m Green phùc vîi cüc t¤i væ còng Mët lîp h m a i·u háa quan trång câ nhi·u ùng döng trong gi£i t½ch phùc nhi·u bi¸n v lþ thuy¸t a th¸ và l c¡c h m thuëc lîp Lelong. ành ngh¾a 1.5.1. H m u ∈ PSH(Ω) ÷ñc gåi l câ ë t«ng logarit n¸u tçn t¤i h¬ng sè Cu sao cho vîi måi z ∈ Cn: u(z) ≤ logkzk + Cu vîi kzk = qP n 2 j=1 |zj | , z = (z1 , z2 , ..., zn ). K½ hi»u tªp c¡c h m a i·u háa d÷îi tr¶n Cn câ ë t«ng logarit l L(C n) hay L n¸u khæng câ g¼ nh¦m l¨n. Nh÷ vªy L = {u ∈ PSH(Cn ) : sup (u(z) − logkzk) < +∞}. z∈Cn Lîp L ÷ñc gåi l lîp Lelong. Ta cán x²t lîp con cõa lîp Lelong, k½ hi»u l L+ ÷ñc x¡c ành nh÷ sau: L+ = {u ∈ PSH(Cn ) : ∃ C1 (u), C2 (u) sao cho, C1 (u) + logkzk ≤ u(z) ≤ C2 (u) + logkzk}. ành ngh¾a 1.5.2. Gi£ sû E l tªp bà ch°n. H m VE (z) = sup{u(z) : u ∈ L, u|E ≤ 0}, z ∈ Cn gåi l h m Green phùc cõa tªp E (vîi cüc t¤i ∞). V½ dö. Gi£ sû E = B(a, r) = {z ∈ Cn : kz − ak ≤ r}. Khi â kz − ak VB(a,r) = log+ , z ∈ Cn r 7
. Trong â, log+ kz−ak r r ). = max(0, log kz−ak Thªt vªy, v¸ ph£i thuëc L v ≤ 0 khi z ∈ E . Vªy theo ành ngh¾a, kz − ak VB(a,r) ≥ log+ , z ∈ Cn . r Gi£ sû u ∈ L, u|E ≤ 0. L§y w ∈ Cn\E v x¡c ành h m 1 kω − ak υ(t) = u(a + (w − a)) − log+ , t |t| r r )\{0}. H m υ l h m i·u háa d÷îi theo t ∈ 4(0, ð â, t ∈ 4(0, kw−ak kw−ak r )\{0} v do u ∈ L n¶n υ(t) ≤ c khi t → 0. Vªy υ th¡c triºn tîi h m i·u háa d÷îi υ˜ tr¶n t ∈ 4(0, kw−ak r ). Khi |t| = kw−ak r th¼ υ˜(t) ≤ 0. Vªy theo nguy¶n lþ cüc ¤i, υ˜ ≤ 0 tr¶n 4(0, kw−akr ). °c bi»t υ(1) = υ ˜(1) = u(w) − log+ kw−ak r ≤ 0. Tø â u(w) ≤ log+ kw−akr khi w ∈ Cn\E . N¸u w ∈ E th¼ u(w) ≤ 0 = log+ kw−ak r . Do â u(w) ≤ log+ kw−ak r vîi måi w ∈ Cn v ¯ng thùc kz − ak VB(a,r) (z) = log+ r ÷ñc chùng minh. ành ngh¾a 1.5.3. Gi£ sû P l a thùc tr¶n Cn v B(a, r) l h¼nh c¦u t¥m ab¡n k½nh r trong Cn. H m u(z) = deg1 P log kP|Pk(z)| B(a,r) ∈L v u|B(a,r) ≤ 0. Vªy, v½ dö tr¶n cho ta |P (z)| kz − ak 1 log ≤ max 0, log , ∀z ∈ Cn . deg P kP kB(a,r) r Do â ta câ b§t ¯ng thùc sau m ÷ñc gåi l b§t ¯ng thùc Bernstein- Walsh: deg P kz − ak |P (z)| ≤ kP kB(a,r) max 1, . r D÷îi ¥y ta chùng minh mët sè t½nh ch§t èi vîi h m VE . 8
ành lþ 1.5.4. 1. N¸u E1 ⊂ E2 th¼ VE1 ≥ VE2 . 2. E l tªp a cüc khi v ch¿ khi VE∗ ≡ +∞. 3. N¸u E khæng l tªp a cüc th¼ VE∗ ∈ L. 4. N¸u E khæng l tªp a cüc th¼ VE∗ ∈ L l cüc ¤i tr¶n Cn \ E. 5. VE∪F ∗ = VE∗ n¸u F l tªp a cüc. 6. N¸u Ej % E th¼ VE∗j & VE∗ . Chùng minh. 1. Tø ành ngh¾a cõa VE chóng ta câ, N¸u E1 ⊂ E2 th¼ VE ≥ VE . 2. Gi£ sû E l tªp a cüc. Ta câ h m u ∈ L 1 2 vîi E ⊂ {u = −∞}. Do â, vîi måi M > 0, u+M ≤ VE . Do â VE = +∞ tr¶n {u > −∞} v suy ra VE∗ ≡ +∞. Ng÷ñc l¤i, n¸u VE∗ ≡ +∞ , câ d¢y {uj }j ⊂ L, uj |E ≤ 0 v supj uj (z) = +∞ h¦u khp nìi tr¶n Cn . i·u n y chùng tä hå U = {uj : j ≥ 1} khæng bà ch°n tr¶n ·u àa ph÷ìng. Thªt vªy n¸u tr¡i l¤i th¼ vîi måi a ∈ Cn, câ r > 0 v h¬ng sè C sao cho ∀z ∈ B(a, r), ∀j : uj (z) ≤ C. i·u n y tr¡i vîi supj uj (z) = +∞ h¦u khp nìi tr¶n Cn. Nh÷ vªy, tçn t¤i B(a, r) ⊂ Cn v d¢y con cõa d¢y {uj } m ta câ thº coi l {uj } sao cho Mj = sup uj B ≥ j vîi måi j . Tø v½ dö v· h m Green phùc câ cüc ¤i ∞ ta câ kz − ak uj (z) ≤ Mj + log+ r , z ∈ Cn . (1.2) Ta chùng minh câ z0 ∈ Cn sao cho lim sup exp(uj (z0 ) − Mj ) > 0. j 9
Gi£ sû ng÷ñc l¤i, lim sup exp(uj (z) − Mj ) ≤ 0 vîi måi z ∈ Cn. Ta câ, j 1 lim sup exp(uj (z) − Mj ) ≤ , ∀z ∈ B(a, r) 2 v j õ lîn. j i·u â tr¡i vîi ành ngh¾a cõa Mj . °t δ = lim sup exp(uj (z0 ) − Mj ). j Chån d¢y {uj }k≥1 sao cho k lim sup exp(ujk (z0 ) − Mjk ) = δ v Mjk ≥ 2k vîi måi k. j X²t h m ∞ X ω(z) = 2−k (ujk (z) − Mjk ), z ∈ Cn . k=1 Tø (1.2) ta câ 2−k (ujk (z) − Mjk ) − 2−k log+ R r ≤ 0, ∀z ∈ B(a, R), R > r. (1.3) °t ∞ X R ωk (z) = 2−k (ujk (z) − Mjk ) − 2−k log+ , z ∈ Cn . k=1 r th¼ ωk ∈ PSH(B(a, R)) v ωk ≤ 0. Vªy h m P∞k=1 ωk = ω − log+ Rr ho°c l h m a i·u háa d÷îi tr¶n B(a, R) ho°c b¬ng −∞. Do R > 0 ÷ñc chån tòy þ n¶n ω l h m a i·u háa d÷îi ho°c b¬ng −∞ tr¶n Cn. Nh÷ng ω(z0 ) > −∞ n¶n ω l h m a i·u háa d÷îi tr¶n Cn . Hìn núa tø (1.2) ta suy ra ω ∈ L. N¸u z ∈ E th¼ uj (z) ≤ 0. Vªy k ∞ X ∞ X −k ω(z) ≤ − 2 Mjk ≤ −1 = −∞. k=1 k=1 Do â E l a cüc. 3. Tø chùng minh ph¦n 2 ta câ ph¦n 3. 4. Do 3. ta câ VE∗ l bà ch°n àa ph÷ìng. Ta câ d¢y {uj } ⊂ L, uj |E ≤ 10
0, uj % VE∗ h¦u khp nìi tr¶n Cn. Gi£ sû B ⊂ Cn \ E l mët h¼nh c¦u. Khi â câ thº thay uj bði uˆj l h m a i·u háa d÷îi cüc ¤i tr¶n B v uˆj % VE∗ tr¶n B . Vªy VE∗ l cüc ¤i tr¶n B . Do â VE∗ l cüc ¤i tr¶n Cn . 5. Do E ⊂ E ∪ F n¶n VE∗ ≥ VE∪F ∗ . Gi£ sû u ∈ L, u|E ≤ 0. Tø gi£ thi¸t ta câ υ ∈ L, F ⊂ {υ = −∞}. Do E bà ch°n n¶n ta câ thº coi υ ≤ 0 tr¶n E . H m u + υ ∈ L v u + υ|E∪F ≤ 0 vîi måi > 0. Do â u + υ ≤ VE∪F tr¶n Cn. Vªy u(z) ≤ VE∪F t¤i måi z ∈ {υ > −∞}. Tø â u(z) ≤ VE∪F ∗ vîi måi z ∈ Cn v d¨n ¸n VE∗ ≤ VE∪F ∗ v ta ÷ñc i·u ph£i chùng minh. 6. Tø Ej % E suy ra VE∗ & v VE∗ ≥ VE∗. Vªy VE∗ gi£m tîi h m a j j j i·u háa d÷îi u ≥ VE∗. Câ thº gi£ thi¸t E khæng a cüc. Do â u ∈ L v tªp P = S{VE < VE∗ } l a cüc. Khi â u = 0 tr¶n E \ P v j j j u ≤ VE\P ≤ VE\P = VE∗ . Vªy VE∗ & VE∗ . ∗ j M»nh · 1.5.5. N¸u K1 ⊃ K2 ⊃ ... l d¢y gi£m c¡c tªp con compact ∞ cõa Cn v K = Kj th¼ lim VKj (z) = VK (z) vîi måi z ∈ Cn . T j=1 j→∞ Chùng minh. Tø ành ngh¾a ta câ VK (z) ≤ VK (z) ≤ ... ≤ VK (z) vîi 1 2 z ∈ Cn . Vªy tçn t¤i lim VK (z) ≤ VK (z) vîi måi z ∈ Cn . j j→∞ Gi£ sû u ∈ L, u ≤ 0 tr¶n K v > 0. Tªp {z ∈ Cn : u(z) < } l tªp mð, chùa K . Vªy câ j0 sao cho Kj ⊂ {z ∈ Cn : u(z) < }. Tø â 0 u − ≤ VK ≤ lim VK tr¶n Cn . Nh÷ vªy VK (z) ≤ lim VK (z) v m»nh j0 j j j→∞ j→∞ · ÷ñc chùng minh. H» qu£ 1.5.6. N¸u K ⊂ Cn l tªp compact th¼ VK l nûa li¶n töc d÷îi tr¶n Cn . 11
Chùng minh. Gi£ sû u ∈ L, u|K ≤ 0. Khi â u ∗ χ ∈ L v u ∗ χ & u khi & 0 tr¶n Cn . Vªy vîi δ > 0 v vîi méi x ∈ K câ sè x > 0 sao cho u(x) ≤ u ∗ χx (x) < u(x) + δ ≤ δ. Do â tçn t¤i l¥n cªn Vx cõa x sao cho vîi måi t ∈ Vx : u ∗ χ (t) < δ. x Hå {Vx}x∈K l mët phõ mð cõa K . Vªy câ {Vx , ..., Vx } phõ K . °t 1 r = min{x , ..., x }. Khi â 1 r u ∗ χ (z) ≤ u ∗ χj (z), ∀j = 1, 2, ..., r, ∀z ∈ Cn . Nh÷ vªy vîi måi z ∈ K : u ∗ χ(z) < δ. Do â u ∗ χ(z) − δ < 0 tr¶n K . Vªy u ∗ χ (z) − δ ≤ VK (z), ∀z ∈ Cn . Tø ¥y ta ÷ñc VK (z) = sup{u ∗ χ (z) − δ : > 0, δ > 0} v h m VK l nûa li¶n töc d÷îi. H» qu£ 1.5.7. N¸u K ⊂ Cn l tªp compact v VK∗ |K ≡ 0 th¼ VK l h m li¶n töc tr¶n Cn , ð â VK∗ ch½nh quy hâa nûa li¶n töc tr¶n cõa VK . Chùng minh. L§y a ∈ K . Do VK∗ l nûa li¶n töc tr¶n t¤i a v VK∗ (a) = 0 n¶n câ r > 0 sao cho ∀z ∈ B(a, r) : VK∗ (z) < 1. Do â VK∗ (z) − 1 ≤ log+ kz−ak r . Vªy VK (z) ≤ log ∗ + kz−ak r + 1 vîi måi z ∈ Cn v h m VK∗ ∈ L. Tø gi£ thi¸t ta câ VK∗ (z) ≤ VK (z) vîi måi z ∈ Cn. Vªy VK∗ = VK v k¸t luªn suy ra tø H» qu£ 1.5.6 12
H» qu£ 1.5.8. Gi£ sû K ⊂ Cn l tªp compact v K = {z ∈ Cn : d(z, K) ≤ }, > 0. Khi â VK li¶n töc tr¶n Cn v vîi måi z ∈ Cn lim VK (z) = VK (z). →0 Chùng minh. Tªp K l tªp compact, VK∗ |K ≥ 0 v K = S B(a, ). a∈K Ta chùng minh VK |K ≤ 0 v do â VK |K = 0. H» qu£ 1.5.6 cho ta ∗ ∗ k¸t qu£ VK l h m li¶n töc v d¹ th§y VK % VK tr¶n Cn khi & 0. L§y t ∈ K. Khi â câ a ∈ K sao cho t ∈ B(a, ). Tø K ⊃ B(a, ) n¶n VK (z) ≤ log+ kz−ak vîi måi z ∈ Cn. Do â VK∗ (z) ≤ log+ kz−ak vîi måi z ∈ Cn . °c bi»t VK∗ (t) ≤ log+ kt−ak = 0. Do â VK∗ |K ≤ 0 v h» qu£ ÷ñc chùng minh. ành ngh¾a 1.5.9. Tªp con E ⊂ Cn gåi l L- ch½nh quy t¤i a ∈ E n¸u h m VE li¶n töc t¤i a. N¸u E l L- ch½nh quy t¤i måi a ∈ E th¼ E ÷ñc gåi l tªp L- ch½nh quy. Tr÷íng hñp E l tªp compact trong Cn th¼ tø H» qu£ 1.5.7 câ thº cho k¸t qu£ sau: Tªp E l L- ch½nh quy khi v ch¿ khi VE∗|E ≡ 0. Sau ¥y l kh¡i ni»m h m cüc trà Siciak v mët sè k¸t qu£ v· mèi li¶n h» giúa h m Green vîi cüc trà t¤i ∞ v h m Siciak. Gi£ sû K ⊂ Cn l tªp compact v PK = {p : Cn → C : p l a thùc, kpkK ≤ 1, deg p ≥ 1}. °t 1 ΦK (z) = sup{|p(z)| deg p : p ∈ PK }, z ∈ Cn . H m ΦK (z) ÷ñc gåi l h m cüc trà Siciak. Ta câ k¸t qu£ sau. 13
ành lþ 1.5.10. N¸u K ⊂ Cn l tªp compact th¼ VK (z) = log ΦK (z), z ∈ Cn . Hìn núa VK (z) = VKˆ (z) vîi måi z ∈ Cn , ð â K ˆ l bao lçi a thùc cõa K . Chùng minh. Vîi méi p ∈ PK . H m u(z) = deg1 p log |p(z)| ∈ L v u|K ≤ 0. Vªy 1 log |p(z)| = u(z) ≤ VK (z), z ∈ Cn . deg p Tø â log ΦK (z) ≤ VK (z) vîi måi z ∈ Cn. Gi£ sû δ v > 0. °t Kδ = {z ∈ Cn : d(z, K) ≤ δ. Khi â H» qu£ 1.5.8 cho th§y VK % VK khi δ & 0 v VK li¶n töc. Vªy ch¿ c¦n chùng minh δ δ VK ≤ log ΦK . °t u = VK . Vîi j ≥ 1 v z ∈ Cn , °t δ δ  |t| (j −1 + exp u(t−1 z))1−j −1 + j −1 k(t, z)k, t ∈ C \ {0}   hj (t, z) = j −1 kzk,   t = 0. Khi â, hj l h m li¶n töc, thu¦n nh§t (ngh¾a l h(λt, λz) = |λ| h(t, z), vîi måi z ∈ C), h−1 j (0) = {0} v lim hj (t, z) = exp u(z). Hìn núa log hj ∈ j→∞ L(C ). °t Vj (z) = hj (1, z), z ∈ Cn . Tø tªp mð U = {z ∈ Cn : n+1 exp u(z) < 1 + } ch÷a K ta câ Vj ≤ 1 + 2 tr¶n K vîi j õ lîn. Vªy Vj ≤ (1 + 2)ΦK tr¶n Cn vîi j õ lîn. Vªy cho j → ∞ ta câ exp u(z) ≤ (1+2)ΦK (z) vîi måi z ∈ Cn . Cho & 0 ta ÷ñc i·u c¦n chùng minh. Tø biºu di¹n tr¶n ta câ VK (z) = VKˆ (z), ∀z ∈ Cn . 14
Ch÷ìng 2 ¡nh gi¡ a thùc Trong ch÷ìng n y, chóng ta tr¼nh b y ¡nh gi¡ ë lîn c¡c h m a i·u háa d÷îi to n cöc tr¶n Cn (thäa m¢n mët sè i·u ki»n chu©n hâa n o â) düa tr¶n ë lîn tr¶n nhúng tªp r§t b² ch¿ c¦n câ ë o Lebesgue d÷ìng. p döng vi»c ¡nh gi¡ ë lîn c¡c h m a i·u háa v o vi»c nghi¶n cùu ¡nh gi¡ ë lîn cõa c¡c a thùc tr¶n c¡c tªp con gi£i t½ch thüc cõa Rn v nhúng ùng döng cõa k¸t qu£ n y v o ¡nh gi¡ mæun cõa a thùc tr¶n c¡c tªp n¬m trong c¡c tªp ¤i sè hay thªm ch½ l gi£i t½ch thüc. 2.1 ành lþ ch½nh ành ngh¾a 2.1.1. H m a i·u háa d÷îi f : Cn −→ R thuëc lîp Fr (r > 1) n¸u nâ thäa m¢n (i) sup f = 0; B (0,r) (ii) sup c f ≥ −1. Bc (0,1) D÷îi ¥y, B(x, ρ) v Bc(x, ρ) l c¡c h¼nh c¦u Ìclit vîi t¥m x v b¡n k½nh ρ trong Rn v Cn t÷ìng ùng. 15