Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý thác triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn có cấu trúc gồm 2 chương trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích phức hyperbolic. Đồng thời, trình bày một số kết quả về định lí thác triển hội tụ của Noguchi đối với ánh xạ chỉnh hình; ánh xạ chuẩn tắc và một số tính chất của nó; định lí thác triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý thác triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM Vilaisavanh LEUANGLITH ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ ĐỐI VỚI HỌ CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM Vilaisavanh LEUANGLITH ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ ĐỐI VỚI HỌ CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS. TS. PHẠM VIỆT ĐỨC THÁI NGUYÊN - 2015
i LỜI CAM ĐOAN Luận văn này là sự nghiên cứu độc lập của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Việt Đức, các tài liệu tham khảo trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào. Tác giả Vilaisavanh LEUANGLITH
ii LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Trong quá trình làm luận văn, em đã nhận được sự hướng dẫn tận tình của PGS. TS. Phạm Việt Đức. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy đã luôn chỉ bảo tận tình, hướng dẫn và giúp đỡ em để em có thể hoàn thành luận văn. Đồng thời em cũng xin phép gửi tới các thầy cô giáo trong khoa Sau đại học và khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên lời cảm ơn chân thành vì đã quan tâm và tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốt luận văn của mình. Xin cảm ơn các bạn học viên lớp cao học toán K21 đã luôn động viên, chia sẻ khó khăn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn tới những người thân trong gia đình đã luôn động viên, quan tâm giúp đỡ tôi trong quá trình học tập. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì vậy em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2015 Tác giả Vilaisavanh LEUANGLITH
iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... i LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii MỤC LỤC............................................................................................................iii MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1 CHƢƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................. 2 1.1. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức ................................ 2 1.2. Giả khoảng cách tương đối Kobayashi .................................................. 3 1.3. Hàm độ dài và khoảng cách sinh bởi hàm độ dài ................................... 5 1.4. Metric vi phân Kobayashi ...................................................................... 6 1.5. Không gian phức hyperbolic .................................................................. 8 1.6. Không gian phức nhúng hyperbolic ....................................................... 9 1.7. Một số định lí thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với ánh xạ chỉnh hình ....... 10 CHƢƠNG 2: ĐỊNH LÍ THÁC TRIỂN HỘI TỤ ĐỐI VỚI HỌ CÁC ÁNH XẠ CHUẨN TẮC ............................................................................................... 16 2.1. Ánh xạ chuẩn tắc và một số tính chất ................................................... 16 2.2. Một số định lí thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với ánh xạ chuẩn tắc ........ 20 KẾT LUẬN ........................................................................................................ 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 34
1 MỞ ĐẦU Một trong những kết quả quan trọng của giải tích phức hyperbolic là định lý thác triển hội tụ Noguchi phát biểu như sau: ‘‘Cho X là không gian con phức, compact tương đối và nhúng hyperbolic trong không gian phức Y . M là đa tạp phức và A là divisor có giao chuẩn tắc trên M . Giả sử fn : M \ A X là dãy các ánh xạ chỉnh hình, hội tụ đều trên các tập compact của M A tới ánh xạ chỉnh hình f :M \ A X. Giả sử fn , f tương ứng là các thác triển chỉnh hình của fn , f từ M vào Y . Khi đó fn f trong H( M, Y ) ’’. Đã có nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu mở rộng định lý thác triển hội tụ định lý Noguchi lên các trường hợp khác nhau. Mục đích của đề tài này là trình bày chi tiết kết quả của J. E. Joseph và M. H. Kwach năm 1997 về mở rộng định lí thác triển hội tụ Noguchi đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc. Bố cục của luận văn được chia làm hai chương. Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị. Nội dung của chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích phức hyperbolic. Đồng thời, trình bày một số kết quả về định lí thác triển hội tụ của Noguchi đối với ánh xạ chỉnh hình. Chương 2: Định lí thác triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc. Đây là nội dung chính của luận văn. Phần đầu chương trình bày về ánh xạ chuẩn tắc và một số tính chất của nó. Phần tiếp theo là một số định lí thác triển hội tụ đối với họ các ánh xạ chuẩn tắc.
2 CHƢƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức 1.1.1. Khoảng cách Bergman – Poincaré trên đĩa đơn vị Giả sử D z ,z 1 là đĩa đơn vị mở trong . Xét ánh xạ D : D D xác định bởi: a b 1 1 ba D (a, b) ln ; a, b D. a b 1 1 ba Ta có D là một khoảng cách trên D và gọi đó là khoảng cách Bergman – Poincaré trên đĩa đơn vị. 1.1.2. Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức 1.1.2.1. Định nghĩa Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X . H( D, X ) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ đĩa đơn vị D vào không gian phức X được trang bị tôpô compact mở. Xét dãy các điểm p0 x, p1 ,..., pk y của X , dãy các điểm a1 , a2 ,..., ak của D và dãy các ánh xạ f1 , f2 ,..., fk trong H( D, X ) thỏa mãn fi (0) pi 1 , fi (ai ) pi , i 1,2,..., k . Ta gọi một dây chuyền chỉnh hình nối x với y là tập hợp : p0 ,..., pk , a1 ,..., ak , f1 ,..., fk thỏa mãn các điều kiện trên. n Ta đặt L D (0, ai ) và định nghĩa dX ( x, y) inf L trong đó i 1 infimum lấy theo tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối x với y .
3 Dễ thấy d X thỏa mãn các tiên đề về giả khoảng cách, tức là: i) dX ( x, y) 0, x, y X. ii) dX ( x, y) dX ( y, x ), x, y X. iii) dX ( x, z) d X ( x, y) dX ( y, z), x, y, z X. Nói cách khác d X là một giả khoảng cách trên X . Giả khoảng cách d X được gọi là giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X . 1.1.2.2. Tính chất Ta dễ dàng chứng minh các tính chất sau của d X : i) dD D và dDn (( zi ),(w j )) max ( zi , w j ) với mọi ( zi ),(w j ) Dn . j 1,n ii) Nếu f : X Y là ánh xạ chỉnh hình giữa các không gian phức X và Y thì dX ( p, q) dY ( f ( p), f (q)), p, q X. Từ đó suy ra rằng nếu f : X Y là song chỉnh hình thì: dX ( p, q) dY ( f ( p), f (q)), p, q X. iii) Đối với một không gian phức X tùy ý , hàm khoảng cách d X là lien tục trên X X. iv) Nếu X và Y là các không gian phức thì với mọi x1, x2 X và y1, y2 Y thì ta có: max dX ( x1, x2 ), dY ( y1, y2 ) dX Y (( x1, y1 ),( x2 , y2 )) . 1.2. Giả khoảng cách tƣơng đối Kobayashi 1.2.1. Định nghĩa Giả sử Y là không gian phức và X là không gian con phức compact tương đối trong Y . Đặt FX ,Y f H D, Y f 1 (Y \ X ) gồm có nhiều nhất 1 điểm Ta định nghĩa giả khoảng cách tương đối d X ,Y trên X tương tự như giả
4 khoảng cách Kobayashi dY trên Y , nhưng chỉ dùng các dây chuyền chỉnh hình thuộc FX ,Y . Cụ thể, xét dãy các điểm p0 p, p1,..., pk q của X , dãy các điểm a1, a2 ,..., ak của D và dãy các ánh xạ f1,..., fk trong FX ,Y thỏa mãn fi (0) pi 1, fi (ai ) pi , i 1,..., k Tập hợp p0 ,..., pk , a1,..., ak , f1,..., fk thỏa mãn các điều kiện trên được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối p và q trong X . Ta định nghĩa k dX ,Y ( p, q) inf D (0, ai ), p ,q , i 1 trong đó p ,q là tập hợp tất cả các đây chuyền chỉnh hình nối p và q trong X . Khi đó dX ,Y : X X R là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả khoảng cách tương đối Kobayashi. Nếu p hoặc q nằm trên biên của X , dây chuyền chỉnh hình nối giữa hai điểm có thể không tồn tại. Trong trường hợp này ta định nghĩa dX ,Y ( p, q) . 1.2.2. Một số tính chất của giả khoảng cách tƣơng đối Kobayashi 1.2.2.1. Giả khoảng cách tương đối Kobayashi d X ,Y là mở rộng của giả khoảng cách Kobayashi d X theo nghĩa dX dX , X . 1.2.2.2. Vì H( D, X ) FX ,Y H( D, Y ) , ta có dY dX ,Y dX . 1.2.2.3. dD , D dD . Thật vậy, bất đẳng thức dD , D dD là trường hợp đặc biệt của tính chất trên. Dùng ánh xạ đồng nhất IdD FD ,D như là dây chuyền chỉnh hình nối hai điểm của D ta nhận được bất đẳng thức ngược lại.
5 1.2.2.4. Tính chất giảm khoảng cách Giả sử X , X ' tương ứng là các không gian con phức compact tương đối của các không gian phức Y , Y ' . Nếu f : Y Y ' là ánh xạ chỉnh hình thỏa mãn f ( X ) X ' , thì dX ',Y ' ( f ( p), f (q)) dX ,Y ( p, q) p, q X. Hơn nữa, d X ,Y là khoảng cách lớn nhất trên X trong các giả khoảng cách có tính chất giảm qua các ánh xạ chỉnh hình f FX ,Y . Tức là, nếu X là giả khoảng cách trên X thỏa mãn X ( f (a), f (b)) dD (a, b) với a, b D và f FX ,Y , thì X ( p, q) dX ,Y ( p, q) với p, q X. 1.2.2.5. Định lí Giả sử X Y và X ' Y ' . Khi đó với p, q X và p ', q ' Y ' ta có dX X ',Y Y ' (( p, p '),(q, q ')) max dX ,Y ( p, q), dX ',Y ' ( p ', q ') . 1.2.2.6. Hệ quả dD k Dn k , Dn dDn . 1.2.2.7. Mệnh đề Giả sử X Y . Khi đó (i) d X ,Y liên tục trên X X và nửa liên tục dưới trên X X. (ii) Nếu X là phần bù của tập con giải tích đóng A của Y thì d X ,Y liên tục trên Y Y . 1.3. Hàm độ dài và khoảng cách sinh bởi hàm độ dài Giả sử X là đa tạp phức, một hàm độ dài E trên nón tiếp tuyến T ( X ) là hàm thực, không âm, liên tục và thỏa mãn: i. E(v) 0 nếu v 0. ii. E(av) a E(v) với a , v T( X ) .
6 Nếu X là đa tạp phức và E là hàm độ dài trên X ta gọi d E là hàm khoảng cách trên X sinh bởi hàm độ dài E được định nghĩa như sau: Nếu : a, b X là đường cong lớp C1 trên X , ta định nghĩa b b LE E( '(t ))dt '(t ) E dt a a Và gọi LE là độ dài đường cong ứng với hàm đội dài E . Với x, y X , ta gọi đường nối giữa x và y là hợp của hữu hạn các đường cong lớp C1 sao cho điểm cuối của đường này là đểm đầu của đường tiếp theo. Đội dài của đường nối giữa x và y ứng với hàm độ dài cho trước được định nghĩa của là tổng của các độ dài của các đường cong lớp C1 thành phần. Khoảng cách sinh bởi hàm độ dài E là khoảng cách được xác định bởi dE ( x, y) inf LE ( ), trong đó infimum được lấy theo tất cả các đường nới x với y . Nếu X là đa tạp hyperbolic và Y là đa tạp phức với hàm độ dài E thì ta định nghĩa chuẩn df E của ánh xạ tiếp xúc của f  H  X ,Y  ứng với hàm độ dài E , xác định bởi: df E   sup df  p  E : p  X ,  trong đó df  p  E  sup E ((df ) p (v)) : K X  p, v   1, v Tp X . 1.4. Metric vi phân Kobayashi 1.4.1. Định nghĩa Giả sử X là đa tạp phức. Khi đó ta định nghĩa K X là vi phân Kobayashi trên M được xác định bởi : K X ( p, v) inf r 0 : (0) p, d (0, re) v; H( D, X ) trong đó p X , v Tp X ; d là ánh xạ tiếp xúc của và e là véc tơ đơn vị tại 0 D .
7 1.4.2. Một số tính chất của K X i. Nếu X , Y là hai không gian phức thì KY ( f* (v)) K X (v) với f H( X , Y ), v TX . Đặc biệt dấu bằng xảy ra khi f là song chỉnh hình. ii. + Trong đĩa đơn vị D , K D đồng nhất với metric Bergman-Poicaré, tức là K D2 ds . + K m 0. iii. Trong không gian phức X ta có K X ( f*u) u, f H( D, X ), u TD . Hơn nữa nếu E là một hàm tựa chuẩn xác định trên TX thỏa mãn E( f*u) u với f H( D, X ), u TD , thì E(v) K X (v), u TX . iv. Giả sử X , Y là các không gian phức, ta có K X Y (u, v) max K X (u), KY (v) với u TX , v TY . v. Giả sử X là không gian phức và :X X là không gian phủ chỉnh hình của X . Khi đó K X * KX . 1.4.3. Định lí Giả sử X là đa tạp phức, x, y X . Khi đó 1 d X ( x, y) inf K X ( (t ))dt , 0 trong đó infimum được lấy theo tất cả các đường cong trơn từng khúc : 0,1 X nối x với y và (t ) * (( / t )t ) .
8 1.4.4. Định nghĩa Giả sử M là đa tạp con phức của đa tạp phức N . Ta định nghĩa metric vi phân K M ,N như sau : 1 K M ,N (v) inf , f FM ,N sao cho f '(e) v với v TM , r trong đó FM,N f H( D, N ); f 1 (N M) cã nhiÒu nhÊt mét ®iÓm . 1.5. Không gian phức hyperbolic 1.5.1. Định nghĩa Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic nếu giả khoảng cách Kobayashi d X là khoảng cách trên X , tức là: dX ( p, q) 0 p q, p, q X. 1.5.2. Ví dụ (1). D là không gian phức hyperbolic vì dD D mà D là khoảng cách trên D nên d D cũng là khoảng cách trên D . (2). n không là hyperbolic. Thật vậy, giả sử d n là giả khoảng cách Kobayashi trên n , ta chỉ ra rằng d n 0 và do đó d n không phải là khoảng cách trên n . Với x, y n , p D( p 0) ta xét ánh xạ: n f: D y x z x z. p Khi đó f là ánh xạ chỉnh hình, f ( x ) 0, f ( p) y . Do f làm giảm khoảng cách đối với d D và d n nên ta có: dD (0, p) d n ( f (0), f ( p)) d n ( x, y) D (0, p) . Cho p 0 ta có d n ( x, y) 0 . Vậy n không là hyperbolic. 1.5.3. Tính chất i) Nếu X , Y là các không gian phức thì X Y là không gian hyperbolic
9 khi và chỉ khi cả X và Y đều là các không gian hyperbolic. ii) Không gian con phức của một không gian hyperbolic là không gian hyperbolic. iii) Giả sử X là không gian phức, Y là không gian hyperbolic và f :X Y là ánh xạ chỉnh hình và là đơn ánh thì X cũng là hyperbolic. 1.6. Không gian phức nhúng hyperbolic 1.6.1. Định nghĩa Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y . Khi đó ta nói X là nhúng hyperbolic trong Y nếu x, y X; x y luôn tồn tại các lân cận mở U của x và V của y trong Y sao cho dX ( X U, X V) 0 . Trong đó d X là giả khoảng cách Kobayashi trên X . 1.6.2. Nhận xét i) Không gian phức X là hyperbolic khi và chỉ khi X là nhúng hyperbolic trong chính nó. ii) Nếu X 1 là nhúng hyperbolic trong Y1 và X 2 là nhúng hyperbolic trong Y2 thì X 1 X 2 là nhúng hyperbolic trong Y1 Y2 . iii) Nếu có hàm khoảng cách trên X thỏa mãn dX ( x, y) ( x, y) với mọi x, y X thì X là nhúng hyperbolic trong Y . 1.6.3. Định lí Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y . Khi đó các điều kiện sau là tương đương HI1. X là nhúng hyperbolic trong Y . HI2. X là hyperbolic và xn , yn là các dãy trong X thỏa mãn xn x X , yn y X , dX ( xn , yn ) 0 thì x y. HI3. Giả sử xn , yn là các dãy trong X thỏa mãn xn x X , yn y X.
10 Khi đó nếu dX ( xn , yn ) 0 khi n thì x y. HI4. Cho hàm độ dài H trên Y , tồn tại hàm liên tục, dương trên Y sao cho với mọi f H( D, X ) ta có f * ( H) HD , trong đó HD là chuẩn hyperbolic trên đĩa đơn vị D . HI5. Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho với mọi f H( D, X ) ta có f *H HD . 1.6.4. Định lí Giả sử X là một không gian phức, compact tương đối trong không gian phức Y . Khi đó X là nhúng hyperbolic trong Y nếu và chỉ nếu : dX ,Y ( p, q) 0, p, q X,p q. 1.7. Một số định lí thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với ánh xạ chỉnh hình 1.7.1. Định nghĩa Giả sử M là một đa tạp phức m chiều và A là một divisor. Ta nói A có giao chuẩn tắc nếu tại mỗi điểm, tồn tại một hệ tọa độ phức z1,..., zm trong M sao cho về mặt địa phương M\A Dr Ds với r s m 1.7.2. Định lí Noguchi trên D Cho X là không gian con phức, compact tương đối và nhúng hyperbolic trong không gian phức Y . Cho f H( D* , X ) và fn H( D* , X ) . Khi đó nếu fn f thì fn f . Trong đó fn , f lần lượt là các thác triển của fn , f . 1.7.3. Định lí Noguchi Cho X là không gian con phức, compact tương đối và nhúng hyperbolic trong không gian phức Y . M là đa tạp phức và A là divisor có giao chuẩn tắc trên M . Giả sử fn : M \ A X
11 là dãy các ánh xạ chỉnh hình, hội tụ đều trên các tập compact của M \ A tới ánh xạ chỉnh hình fn : M \ A X. Giả sử fn , f tương ứng là các thác triển chỉnh hình của fn , f từ M vào Y . Khi đó fn f trong H( M, Y ) . 1.7.4. Định lí Ascoli 1.7.4.1. Định nghĩa Giả sử F là một họ nào đó các ánh xạ từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y . Họ F được gọi là liên tục đồng đều từ x X tới y Y nếu với mỗi lân cận U của điểm y đều tìm được một lân cận V của x và lân cận W của điểm y sao cho nếu f ( x ) W thì f (V) U với mọi f F. Nếu F là liên tục đồng đều với mọi x X và mọi y Y thì F được gọi là liên tục đồng đều từ X đến Y . 1.7.4.2. Định lí Ascoli Giả sử X là một không gian chính quy compact địa phương và Y là một không gian chính quy. Khi đó, họ F  C  X ,Y  là compact tương đối trong C  X ,Y  khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn: (1) F là liên tục đồng đều, (2) F  x    f  x  f  F  là compact tương đối trong Y với mỗi x X. 1.7.5. Hàm đa điều hòa dƣới + Giả sử D là miền trong . Một C 2 -hàm h xác định trên D được gọi là điều hòa nếu 2 h h : 4 0 trên D . z z
12 + Hàm u : D , ) được gọi là điều hòa dưới trong miền D nếu u thỏa mãn hai điều kiện sau: i) u là nửa liên tục trên trong D , tức là tập z D;u(z) s là tập mở với mỗi số thực s ; ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của D và mọi hàm h:G R là điều hòa trong G và liên tục trong G ta có: nếu u h trên G thì u h trên G . Giả sử Z là một đa tạp phức và H là một siêu mặt phức của Z . Giả sử M là một không gian con phức của không gian phức X . 1.7.6. Định nghĩa Một không gian phức X được gọi là siêu lồi nếu X là Stein và tồn tại một hàm đa điều hòa dưới liên tục :X ( ,0) sao cho Xc x X , ( x) c là compact với mỗi c 0. 1.7.7. Định lý Giả sử Z là một đa tạp phức và H là một siêu mặt phức của Z . Giả sử M là một miền hyperbolic compact tương đối trong không gian phức X . Giả sử có một lân cận U của M trong X sao cho U M là siêu lồi. Khi đó bất kỳ ánh xạ chỉnh hình f : Z \ H M đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình từ Z vào trong M . Hơn nữa, nếu fj : Z \ H M j 1 là dãy các ánh xạ chỉnh hình mà hội tụ đều trên các tập con compact của Z \ H tới ánh xạ chỉnh hình f :Z \ H M , thì f j j 1 cũng hội tụ đều trên các tập con compact của Z tới f , ở đó f j : Z M và f : Z M là các thác triển chỉnh hình của f j và f trên Z . Chứng minh. (i) Trước hết là xét trường hợp khi Z D và H 0 .
13 Theo định lý của Kobayashi, ta chỉ cần chứng minh có một dãy zn D hội tụ đến một điểm của M . Giả sử khẳng định trên là sai. Khi đó ta có thể giả thiết với mỗi dãy zn D với zn 0 , dãy f ( zn ) hội tụ đến một điểm trong M . Do đó, ta có thể tìm được 0 đủ nhỏ sao cho f D U . Gọi là hàm đa điều hòa dưới vét cạn của U . Đặt h f trên D khi đó h là hàm điều hòa dưới, và với mỗi dãy zn D với zn 0 , h( zn ) 0 . Điều này kéo theo h thác triển liên tục được đến hàm h trên D . Theo định lý về khử kỳ dị của các hàm điều hòa, ta có h là hàm điều hòa dưới trên D . Ta có h( z) 0 nếu z và h(0) 0 , vì vậy h đạt cực đại tại gốc O . Điều này là vô lý. (ii) Bây giờ ta chứng minh rằng mỗi ánh xạ chỉnh hình f :Z \ H M đều thác triển chỉnh hình được trên Z . Ta có thể giả thiết H không có kỳ dị, tức là ta thác triển f lên Z \ S( H ) sau đó lên Z \ S( S( H)) và cứ tiếp tục như vậy, trong đó S (Y ) là tập các kỳ dị của không gian phức Y . Bằng cách địa phương hóa ánh xạ f , ta có thể giả thiết rằng Z Dm Dm 1 D và H Dm 1 0 . Với mỗi z Dm 1 , xét ánh xạ chỉnh hình fz : D M được cho bởi fz ( z ) f ( z , z) với mỗi z D. Theo (i), tồi tại thác triển chỉnh hình fz : D M của fz với mỗi z Dm 1 . Định nghĩa ánh xạ f : Dm 1 D M bởi f (z , z) f z (z) với mọi (z , z) Dm 1 D . Ta chỉ cần chứng minh rằng f là liên tục tại z0 ,0 Dm 1 D.
14 Thật vậy, giả sử zk , zk Dm 1 D sao cho zk , zk z0 ,0 . Lấy dãy zk D sao cho lim dD ( zk , zk ) 0 . Ta có k dM ( f (zk , zk ), f (z0 ,0)) dM ( f (zk , zk ), f zk , zk dM ( f zk , zk , f z0 , zk dM ( f z0 , zk , f z0 ,0 dM ( fzk (zk ), fzk (zk )) dM ( f (zk , zk ), f (z0 , zk )) dM ( fz0 (zk ), fz0 (0)) dD (zk , zk ) dDm 1 (zk , z0 ) dD (zk ,0) với mọi k 1. Từ đó lim dM ( f ( zk , zk ), f (z0 ,0)) 0, k tức là f (zk , zk ) f ( z0 ,0) khi k , Điều này kết thúc bước 2 của chứng minh. (iii) Giả sử f j H( Z \ H, M) thỏa mãn fj f H( Z \ H, M) trong H( Z \ H, M) . Ta sẽ chứng tỏ rằng f j f trong H( Z, M) . Trước hết ta có thể giả thiết H không có kỳ dị vì khẳng định của ta đúng trên Z \ S( H ) sau đó trên Z \ S( S( H)) và cứ tiếp tục như vậy. Giả sử 0 là điểm tùy ý của H . Ta có thể giả thiết Z Dm và H Dm 1 0 và 0 (0,0) . Đặt a0 f( 0 ) . Với điểm y M và số thực dương r , ta đặt BM ( y, r ) y M : dM ( y, y ) r . Tương tự, với điểm Z và r 0 , ta đặt BZ ( , r ) Z : dZ ( , ) r .
15 Trước hết ta chứng tỏ rằng với số 0 bất kỳ, tồn tại lân cận V0 của 0 trong Z sao cho f (V0 ) BM (a0 , ) và f j (V0 ) BM (a0 , ) với mọi j j0 . Thật vậy, lấy điểm 1 BZ ( 0 , ) \ H . 3 Ta có f ( 1 ) BM (a0 , ) . Có số nguyên j0 sao cho 3 2 fj ( 1) BM (a0 , ) với mọi j j0 . 3 Vì vậy ta có f j ( BZ ( 1, ) BM (a0 , ) . 3 Đặt V0 BZ ( 0 , ) BZ ( 1, ) . 3 3 Khi đó 0 V0 , f (V0 ) BM (a0 , ) và f j (V0 ) BM (a0 , ) với mọi j j0 . Lấy 0 đủ nhỏ sao cho BM (a0 , ) được chứa trong một lân cận tọa độ địa phương của a0 trong M . Chọn 0 đủ bé sao cho Dm V0 . Vì fj m hội tụ đều đến f ( D )m , từ nguyên lý cực đại suy ra sự hội tụ đều của D fj Dm với giới hạn f Dm . Định lý được chứng minh. j 1