Luận văn Thạc sĩ Toán học: Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hoà dưới

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

39
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn "Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hoà dưới" là trình bày các kết quả gần đây của U. Cegrell, S. Kolodziej và A. Zeriahi về dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hoà dưới. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hoà dưới

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGẠC NGỌC KHÔI DƢỚI THÁC TRIỂN CỰC ĐẠI CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƢỚI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN-2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGẠC NGỌC KHÔI DƢỚI THÁC TRIỂN CỰC ĐẠI CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HOÀ DƢỚI Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN-2016
i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào. Tác giả Ngạc Ngọc Khôi
ii LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Ban giám đốc TTGDTX Tỉnh Hà Giang cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tháng 04 năm 2016 Tác giả
iii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ................................................................................................... i LỜI CẢM ƠN ....................................................................................................... ii MỤC LỤC............................................................................................................iii MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 2 3. Phương pháp nghiên cứu ................................................................................. 2 4. Bố cục của luận văn ......................................................................................... 2 Chƣơng 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................... 4 1.1. Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị ........................................... 4 1.2. Hàm đa điều hoà dưới................................................................................... 7 1.3. Hàm đa điều hoà dưới cực đại ............................................................... 9 1.4. Toán tử Monge-Ampère phức .................................................................... 10 1.5. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor ............................................................ 13 n 1.6. Các lớp năng lượng và các lớp năng lượng có trọng trong ................. 17 Chƣơng 2: DƯỚI THÁC TRIỂN CỰC ĐẠI CỦA HÀM ĐA ĐIỀU HÒA DƯƠ .......́ I19 2.1. Độ đo Monge - Ampère của dưới thác triển cực đại .................................. 19 2.2. Thế vị trên miền Kahler .............................................................................. 21 2.3. Dưới thác triển của các hàm tựa đa điều hòa dưới ..................................... 30 KẾT LUẬN ........................................................................................................ 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 45
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài n Cho là một miền giả lồi. Ký hiệu 0 ( ) là lớp các hàm đa điều hoà dưới âm trên với giá trị biên 0 và độ đo Monge-Ampere hữu hạn trên . ( ) là lớp các hàm đa điều hoà dưới âm trên sao cho tồn tại dãy giảm j các hàm đa điều hoà dưới trong 0 ( ) hội tụ đến thỏa mãn sup (dd c j )n . Nếu và là các miền siêu lồi với n và j ( ) thì có thể chỉ ra rằng tồn tại một hàm đa điều hòa dưới ( ) sao cho trên và (dd c )n (dd c )n . Hàm như thế được gọi là dưới thác triển của tới . El Mir, năm 1980, đã cho một ví dụ về một hàm đa điều hòa dưới trên 2 song đĩa đơn vị trong mà hạn chế lên một song đĩa bé hơn không có dưới thác triển lên toàn bộ không gian. Đồng thời chỉ ra rằng, sau khi làm yếu đi tính kỳ dị của hàm đa điều hòa dưới đã cho bằng sự hợp thành với hàm lồi tăng thích hợp, có thể đạt được dưới thác triển toàn cục. Kết quả này được tổng quát bởi Alexander và Taylor, năm 1984. U. Cegrell và A. Zeriahi, năm 2003 đã chứng minh rằng hàm đa điều hòa dưới với độ đo Monge – Ampere bị chặn đều trên một miền siêu lồi bị chặn luôn có dưới thác triển đa điều hòa dưới đến một miền siêu lồi lớn hơn. U. Cegrell, S. Kolodziej và A. Zeriahi, năm 2005 đã chỉ ra rằng hàm đa điều hòa dưới với độ đo Monge – Ampere trên một miền siêu lồi bị chặn luôn có dưới thác triển đa điều hòa dưới toàn cục với cấp tăng lôga ở vô cùng.
2 Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài “Dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hoà dưới”. Đề tài có tính thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là trình bày các kết quả gần đây của U. Cegrell, S. Kolodziej và A. Zeriahi về dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hoà dưới. 2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn tập trung vào các nhiệm vụ chính sau đây: + trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả của lý thuyết đa thế vị. + Nghiên cứu độ đo Monge - Ampère của dư ới thác triển cực đại , thế vị trên miền Kahler và dưới thác triển của các hàm tựa đa điều hòa dưới. 3. Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp của giải tích phức kết hợp với các phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức. 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 46 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị, các tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm đa điều hoà dưới cực đại, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford- n Taylor, các lớp năng lượng và năng lượng có trọng trong . Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày các kết quả gần đây của U. Cegrell, S. Kolodziej và A. Zeriahi về dưới thác triển cực đại của hàm đa điều hoà dưới. Trong đó đề cập đến bài toán dưới thác triển địa phương và
3 toàn cục của hàm (quasi-) đa điều hoà dưới từ miền con “chính qui” của đa tạp Kahle compact. Chứng minh c ận đúng trên khối lư ợng Monge - Ampère phức của một hàm cho trước kéo theo sự tồn tại của một dư ới thác triển tới một miền con chí nh quy lớn hơn hoặc tới toàn bộ đa tạp compact . Trong một vài trường hợp sẽ chỉ ra rằng dư ới thác triển cực đại có một độ đo Monge - Ampère phức hoàn toàn xác định và thu được đánh giá chính xác trên độ đo này. Cuối cùng là một ví dụ của hàm đa điều hòa dưới với độ đo Monge - Ampère phức hoàn toàn xác định và cận phải trên khối lượng Monge - Ampère của nó trên hình cầu đơn n vị trong mà dưới thác triển cực đại tới không gian xạ ảnh phức n không có độ đo Monge - Ampère phức hoàn toàn xác định toàn cục. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
4 Chƣơng 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Dạng vi phân và dòng trong lý thuyết đa thế vị n Giả sử là không gian vectơ n chiều với cơ sở chính tắc ej (0,..., 0,1, 0,..., 0) , ở đó 1 ở vị trí thứ j . Giả sử với mỗi 1 j n kí hiệu n n u j là hàm tọa độ thứ j : u j (x ) x j . Một ánh xạ f : ... gọi p là p tuyến tính nếu nó là tuyến tính theo từng biến khi các biến khác cố định. Một ánh xạ p tuyến tính sao cho f (v1,..., v p ) 0 khi v j v j 1,1 j n gọi là ánh xạ p tuyến tính thay dấu. Tập các ánh xạ p tuyến tính thay dấu n n p n từ ... tới kí hiệu ( , ). p n Định nghĩa 1.1.1. Giả sử là tập mở. Một p dạng vi phân trên là p n ánh xạ :U ( , ). Nếu đặt dxk (x ) uk ,1 k n, x thì ta có thể viết mỗi p dạng vi phân trên dưới dạng: (x ) ' I (x )dx I I ở đó I (i1,..., ip ),1 i1 ... ip n, dx I dxi ... dxi , I (x ) là các 1 p hàm trên .
5 Giả sử ' I dx I là p dạng và ' J (x )dxJ là q dạng, ở đó I J 1 i1 ... ip n và 1 j1 ... jq n khi đó tích ngoài là (p q ) dạng cho bởi công thức dx L , ở đó L dx L L 0 nếu L ik jl với 1 k p,1 l q và L dx L ( 1) I J dxl ... dxl , 1 p q 1 l1 ... lp q n với là hoán vị của dãy i1 i2 ... ip và j1 j2 ... jq trong tập hợp 1,...,n để tạo thành dãy tăng 1 l1 ... lp q n. Nếu f là một hàm thì f f và (f ) f( ). Mọi p dạng với p n đều bằng 0. Các dạng có bậc cực đại là các dạng bậc n . Cho là p dạng lớp C 1 . Vi phân ngoài (đạo hàm ngoài) của là (p 1) dạng cho bởi: d 'd I dx I I Nếu d 0 ta nói là dạng đóng. Mọi dạng có bậc cực đại là đóng. Giả sử dx1 ... dxn , L1( ) . Khi đó dx1 ... dxn dV , dV là độ đo Lebesgue trên . n Định nghĩa 1.1.2. Một dòng bậc p hay có chiều (n p) trên tập mở (n p ) là dạng tuyến tính liên tục T : ( ) . Nếu là dạng trong (n p ) ( ) , giá trị của T tại , kí hiệu bởi T ( ) hay T , .
6 Bây giờ giả sử p, q 0,1,..., n . Ta kí hiệu ( p,q ) là tập các dạng phức song n bậc (p, q) hệ số hằng trên . Khi đó nếu w ( p,q ) thì w có thể biểu diễn: w ' wJKdzJ dz K J p, K q ở đó wJK , dzJ dz j ... dz j , dz K dzk ... dzk tổng lấy theo các 1 p 1 q bộ đa chỉ số J ( j1,..., j p ), K (k1,..., kq ) với 1 j1 ... jp n , 1 k1 ... kq n. n Dạng K a hler chính tắc trên cho bởi: n i 2 i z dz j dz j 2 2 j 1 n 2n Khi đó dạng thể tích trên cho bởi: 1 n 1 i i i dV ... dz dz1 dz dz 2 ... dz dzn n! n! n 2 1 2 2 2 n i ( )n dz1 dz1 ... dzn dzn 2 i i i Nếu w ( p,p ) có thể biểu diễn w w w1 w w2 ... w wp 2 1 2 2 2 p với w j (1,0) thì w gọi là dạng dương sơ cấp. n Giả sử là tập mở. Tập các dạng vi phân song bậc (p, q ) với hệ số ( p,q ) thuộc C 0 ( , ) (tương ứng C 0 ( , ) ) được kí hiệu ( ) (tương ứng ( p,q ) 0 ( ) ).
7 (n p,n p ) Định nghĩa 1.1.3. Mỗi phần tử T ( ( )) gọi là một dòng song bậc (p,q ) hay (p, q ) dòng (tương ứng song chiều (n p, n q)). Những (n p,n q ) phần tử của ( 0 ( )) gọi là dòng cấp 0 , song bậc (p,q ) (hay (p, q ) dòng cấp 0 ). n Định nghĩa 1.1.4. Giả sử T là (p, p) dòng trên tập mở . T được gọi là dương nếu với mỗi dạng sơ cấp i i i 1 1 2 2 ... n p n p C(n p,n p ) 2 2 2 ta có T là phân bố dương, nghĩa là một độ đo Borel trên . 1.2. Hàm đa điều hoà dƣới Định nghĩa 1.2.1. Cho X là một không gian tôpô, hàm u : X , được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mọi tập hợp x X : u(x ) là mở trong X. n Định nghĩa 1.2.2. Cho là một tập con mở của và u : , là một hàm nửa liên tục trên và không trùng với trên bất kỳ thành phần liên thông nào của . Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a và n b , hàm u(a b) là điều hoà dưới hoặc trùng trên mỗi thành phần của tập hợp :a b . Trong trường hợp này, ta viết u PSH ( ) . (ở đây kí hiệu PSH ( ) là lớp hàm đa điều hoà dưới trong ). Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dưới: Mệnh đề 1.2.3. Nếu u, v PSH ( ) và u v hầu khắp nơi trong , thì u v.
8 Mệnh đề 1.2.4. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền n bị chặn, tức là nếu là một tập con mở liên thông bị chặn của và u PSH ( ) , thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z , u(z ) sup lim sup u(y ) . y y n Định nghĩa 1.2.5. Tập hợp E được gọi là đa cực nếu với mỗi điểm a E đều có một lân cận V của a và một hàm u PSH (V ) sao cho E V z V : u(z ) . n Định lý 1.2.6. Cho là một tập con mở trong . Khi đó (i ) Họ PSH ( ) là nón lồi, tức là nếu , là các số không âm và u, v PSH ( ) , thì u v PSH ( ) . (ii ) Nếu là liên thông và uj PSH ( ) là dãy giảm, thì j u lim u j PSH ( ) hoặc u . j (iii ) Nếu u : , và nếu u j PSH ( ) hội tụ đều tới u trên các j tập con compact của , thì u PSH ( ) . (iv ) Giả sử u A PSH ( ) sao cho bao trên của nó u sup u là bị A chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên u * là đa điều hoà dưới trong . n Định lý 1.2.7. Cho là một tập con mở của . (i ) Cho u, v là các hàm đa điều hoà dưới trong và v 0 . Nếu : là lồi, thì v (u / v) là đa điều hoà dưới trong .
9 (ii ) Cho u PSH ( ) , v PSH ( ) , và v 0 trong . Nếu : là lồi và tăng dần, thì v (u / v) là đa điều hoà dưới trong . (iii ) Cho u, v PSH ( ) , u 0 trong , và v 0 trong . Nếu : 0, 0, là lồi và (0) 0 , thì v (u / v) PSH ( ) . n Định nghĩa 1.2.8. Một miền bị chặn được gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại một hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục : ( , 0) sao cho với c 0 c z : (z ) c . 1.3. Hàm đa điều hoà dƣới cực đại n Định nghĩa 1.3.1. Cho là một tập con mở của và u : là hàm đa điều hoà dưới. Ta nói rằng u là cực đại nếu với mỗi tập con mở compact tương đối G của , và với mỗi hàm nửa liên tục trên v trên G sao cho v PSH (G ) và v u trên G , đều có v u trong G. Sau đây là một số tính chất của hàm đa điều hoà dưới cực đại: n Mệnh đề 1.3.2. Cho là mở và u : là hàm đa điều hoà dưới. Khi đó các điều kiện sau là tương đương: i ) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của và mỗi hàm v PSH ( ) , nếu lim inf(u(z ) v(z )) 0, với mọi G , thì u v trong G ; z ii ) Nếu v PSH ( ) và với mỗi 0 tồn tại một tập compact K sao cho u v trong \ K , thì u v trong .
10 iii ) Nếu v PSH ( ) , G là một tập con mở compact tương đối của , và u v trên G thì u v trong G ; iv ) Nếu v PSH ( ) , G là một tập con mở compact tương đối của , và lim inf(u(z ) v(z )) 0, với mỗi G , thì u v trong G ; z (v ) u là hàm cực đại. 1.4. Toán tử Monge-Ampère phức n Cho u là đa điều hoà dưới trên miền . Nếu u C 2( ) thì toán tử: 2 c n c c n u dd u : dd u ... dd u 4 n ! det dV , z j zk n 1 j ,k n n với dV là yếu tố thể tích trong gọi là toán tử Monge-Ampe. Toán tử này có thể xem như độ đo Radon trên , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C 0 ( ) trên n C0 dd cu . Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn địa phương trên thì tồn tại dãy um PSH ( ) C ( ) sao cho m 1 n um u và dd cum hội tụ yếu tới độ đo Radon trên tức là: n lim dd cum d , C0 . m
11 Hơn nữa không phụ thuộc vào việc chọn dãy um như trên, ta ký hiệu: (dd cu)n và gọi là toán tử Monge-Ampe của u . Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampe. n Mệnh đề 1.4.1. Giả sử j là dãy các độ đo Radon trên tập mở hội tụ yếu tới độ đo Radon . Khi đó i ) Nếu G là tập mở thì (G ) lim inf j (G ) . j ii ) Nếu K là tập compact thì (K ) lim sup j (K ) . j iii ) Nếu E compact tương đối trong : ( E) 0 thì (E ) lim j (E ) . j Chứng minh. i ) Ta có (G ) sup (K ) : K G . Giả sử K G là tập compact. Lấy C 0(G ) , 0 1 và 1 trên K . Khi đó (K ) ( ) lim j ( ) lim inf j (G ) . j j Từ đó (G ) lim inf j (G ) . j ii ) Ta có (K ) inf (V ) : V K ,V ,V V 0 . Giả sử V là một lân cận mở của K và C 0(V ) , 0 1 và 1 trên K . Khi đó (V ) ( ) lim j ( ) lim sup j (K ) . j j Từ đó (K ) lim sup j (K ) . j
12 iii ) Viết E IntE E . Khi đó (E ) (int E ) lim inf j (int E ) lim inf j (E ) . j j Mặt khác (E ) lim sup j (E ) lim sup j (E ) . j j Từ đó (E ) lim sup j (E ) . j Vậy (E ) lim j (E ) . j n Mệnh đề 1.4.2. Giả sử là miền bị chặn và u, v PSH ( ) Lloc ( ) sao cho u, v 0 trên và lim u(z ) 0 . Giả sử T là (n 1, n 1) dòng z dương, đóng trên . Khi đó vdd cu T udd cv T . Đặc biệt, nếu lim v(z ) 0 thì vdd cu T udd cv T . z Chứng minh. Chú ý rằng dd cu T và dd cv T là các độ đo Borel dương trên . Với 0 , đặt u max u, . Khi đó u 0 và là hàm đa điều hòa dưới trên và u tăng tới 0 khi giảm về 0. Từ định lí hội tụ đơn điệu Lebesgue ta có udd cv T lim (u u )dd cv T và 0 (u u )dd cv T lim (u u) dd cv T . 1/ j 0
13 Do lim u (z ) 0 nên u u 0 là tập compact tương đối trong . Lấy z ' miền sao cho u u 0 . Khi đó với j đủ lớn, (u u) 1/ j C0 và do giả thiết T là (n 1, n 1) dòng dương, đóng trên nên dd cu T là (n, n) dòng dương, đóng với mọi u PSH ( ) Lloc ( ) , suy ra (u u) dd cv T 1/ j vdd c ((u u) 1/ j ) T vdd c ((u u) 1/ j ) T vdd c ((u u) 1/ j ) T ' ' \ vdd c (u 1/ j ) T vdd c ((u ) 1/ j ) T ' ' vdd c (u 1/ j ) T. ' Nhưng dd c (u 1/ j ) T dd c (u 1/ j T ) hội tụ yếu tới dd cu T . Khi đó vdd c (u 1/ j ) T hội tụ yếu tới vdd cu T . Vậy vdd cu T lim inf vdd c (u 1/ j ) T (u u )dd cv T . j ' ' ' Từ đó cho 0 suy ra vdd cu T vdd cu T . Cho ta được bất đẳng thức cần chứng minh. 1.5. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor n Định lý 1.5.1. Giả sử là miền bị chặn và u, v PSH ( ) L ( ) sao cho lim inf(u(z ) v(z )) 0 . Khi đó z
14 (dd cv )n (dd cu )n . (1.1) u v u v Chứng minh. Trước tiên, theo giả thiết có lim inf(u(z ) v(z )) 0 . Điều này z có nghĩa là với mọi 0 tồn tại K sao cho z \ K thì u(z ) v(z ) . Hơn nữa khi thay u bởi u , >0 , thì u v u v khi 0 . Nếu bất đẳng thức (1.1) đúng trên u v thì cho 0 suy ra (1.1) đúng trên u v . Vì vậy có thể giả sử lim infz (u(z ) v(z )) 0 . Vậy u v . a ) Giả sử u, v là các hàm liên tục. Khi đó u v là tập mở, u, v liên tục trên và u v trên . Với 0 , đặt u max u ,v . Từ giả thiết lim inf(u(z ) v(z )) nên u(z ) v(z ) hay z u(z ) v(z ) v(z ) với z gần biên . Vậy u u(z ) gần biên và u v trên . Theo công thức Stokes ta có (dd cu )n (dd cu)n hay (dd cu )n (dd cu )n . u v u v Vì u v nên (dd cu )n (dd cv)n . Vậy (dd cv )n lim inf (dd cu )n (dd cu)n . 0 u v u v u v
15 b ) Giả sử u, v tùy ý và là miền sao cho u v /2 . Tồn tại hai dãy u j và vk các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của giảm tới u và v sao cho u j vk trên với mọi i, k . Có thể coi 1 u j , vk 0 . Lấy 0 và giả sử G là tập mở sao cho C n G, , u, v là các hàm liên tục trên \G . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm liên tục trên sao cho v trên F \ G . Ta có (dd cv)n lim (dd cv)n . j u v uj v Nhưng u j v uj G và vì u j là tập mở nên (dd cv )n (dd cv )n (dd cv )n lim (dd cvk )n , k uj v uj G uj v vì C n G, và (dd cvk )n hội tụ yếu tới (dd cv )n . Từ uj uj v G và u j v uj vk suy ra (dd cvk )n (dd cvk )n (dd cvk )n (dd cvk )n . uj uj v G u j vk Áp dụng a ) vào các hàm liên tục u j và vk ta thu được (dd cvk )n (dd cu j )n . u j vk u j vk