Nhập môn không gian phân thớ và phân thớ vectơ: Luận văn Thạc sĩ Toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Lan Anh NHẬP MÔN KHÔNG GIAN PHÂN THỚ VÀ PHÂN THỚ VECTƠ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Thị Lan Anh NHẬP MÔN KHÔNG GIAN PHÂN THỚ VÀ PHÂN THỚ VECTƠ

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô Mã số: 60 46 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. LÊ ANH VŨ

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

MỤC LỤC

MỤC LỤC ................................................................................................... 0

LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................. 2

MỘT SỐ KÝ HIỆU .................................................................................... 3

CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN PHÂN THỚ ............................................. 4

1.1.ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC VÍ DỤ VỀ KHÔNG GIAN PHÂN THỚ ....................... 4

1.1.1.Mở đầu .............................................................................................................. 4

1.1.2.Định nghĩa ........................................................................................................ 5

1.1.3.Nhận xét ............................................................................................................ 6

1.2.NHÁT CẮT ............................................................................................................. 6

1.2.1.Định nghĩa ........................................................................................................ 6

1.2.2.Tính chất ........................................................................................................... 6

1.2.3.Ví dụ.................................................................................................................. 7

1.3.HỌ HÀM DÁN ....................................................................................................... 8

1.3.1Định nghĩa ......................................................................................................... 8

1.3.2.Tính chất ........................................................................................................... 8

1.3.3.Đẳng cấu các phân thớ cùng đáy ..................................................................... 9

1.4.ĐỊNH LÝ DÁN ....................................................................................................... 9

1.4.1.Định lý 1 ........................................................................................................... 9

1.4.2.Nhận xét .......................................................................................................... 12

1.4.3.Các ví dụ ......................................................................................................... 12

1.5.BÀI TOÁN MÔ TẢ LỚP ĐẲNG CẤU CÁC PHÂN THỚ TẦM THƯỜNG ĐỊA PHƯƠNG .................................................................................................................... 14

CHƯƠNG II:PHÂN THỚ VECTƠ ....................................................... 18

2.1.ĐỊNH NGHĨA PHÂN THỚ VECTƠ.................................................................... 18

2.2.NHÓM CẤU TRÚC CỦA PHÂN THỚ VECTƠ ................................................. 19

2.3.NHÁT CẮT ........................................................................................................... 19

2.4.CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ.................................................................................. 21

2.5.PHÂN THỚ PHỨC ............................................................................................... 23

2.6.PHÂN THỚ CON ................................................................................................. 26

2.7.PHÂN THỚ VECTƠ LIÊN KẾT VỚI ĐA TẠP VÀ CÁC VÍ DỤ ...................... 30

KẾT LUẬN ............................................................................................... 44

TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 47

LỜI MỞ ĐẦU

Khái niệm không gian phân thớ lần đầu tiên xuất hiện vào khoảng những năm

1922 – 1925 trong công trình của E.Cartan về lý thuyết liên thông. Trong lớp các không

gian phân thớ, các phân thớ vectơ đóng vai trò quan trọng vì nhờ nó mà lý thuyết đối đồng

điều suy rộng, cụ thể K_lý thuyết hình học, được xây dựng.

Những nghiên cứu nghiêm túc đầu tiên về phân thớ được bắt đầu bởi Poincare

trong các nghiên cứu về không gian phủ không tầm thường. Cấu trúc phân thớ cũng xuất

hiện nhiều trong các nghiên cứu về đa tạp khả vi. Sau đó, các lớp đặc trưng được định nghĩa

và trong một thời gian dài, chúng là công cụ chính của việc nghiên cứu. Các lớp đặc trưng

Stieffel Whitney được giới thiệu bởi Stieffel và Whitney vào năm 1935 về phân thớ tiếp xúc

của đa tạp trơn. Whitney cũng xét đến các phân thớ trên mặt cầu. Kể từ đó lý thuyết về

không gian phân thớ trở thành một trong những đối tượng nghiên cứu quan trọng của tôpô

đại số và là một công cụ không thể thay thế được trong việc nghiên cứu hình học vi phân.

Đúng như tên gọi đề tài, chúng tôi chỉ nghiên cứu các phần cơ bản của không

gian phân thớ và phân thớ vectơ. Luận văn được chia làm hai chương. Chương I trình bày

định nghĩa tổng quát về không gian phân thớ, nhát cắt, họ hàm dán, định lý dán và bài toán

mô tả lớp đẳng cấu tầm thường địa phương, trong đó định lý dán cho phép ta xây dựng một

không gian phân thớ trên đáy B nào đó bằng cách “dán” các phân thớ tầm thường. Chương

II trình bày định nghĩa phân thớ vectơ, nhóm cấu trúc vectơ GL(n, K), nhát cắt, các phép

toán trên phân thớ vectơ, phân thớ phức, phân thớ con, phân thớ liên kết với đa tạp.

Do khả năng và trình độ có hạn, bản luận văn chắc chắn còn nhiều sai sót. Rất

mong được sự cảm thông, góp ý chỉ bảo của quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp.

Nhân dịp này chúng tôi xin cảm ơn chân thành các Thầy, Cô của trường Đại học

Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình truyền thụ kiến thức, giúp đỡ chúng tôi trong

suôt quá trình học tập. Đặc biệt, chúng tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS Lê Anh

Vũ, người đã trực tiếp ra đề tài, hướng dẫn chúng tôi hoàn thành bản luận văn này.

Tp. HCM, ngày 06 tháng 11 năm 2011

Người thực hiện

Nguyễn Thị Lan Anh

MỘT SỐ KÝ HIỆU

Không gian phân thớ

Phân thớ liên hợp của phân thớ phức

Atlas của không gian phân thớ 𝜉

Đáy hay không gian cơ sở

Thớ mẫu 𝜉 𝜉̅ B 𝒜 F

𝑛

Mặt cầu đơn vị n chiều

𝑛

Phân thớ tiếp xúc của mặt cầu 𝑆

𝑛

Phân thớ pháp của mặt cầu ) 𝑆

Tập các nhát cắt của 𝑇(𝑆 𝑛 ) 𝑆

Phân thớ tiếp xúc của đa tạp M 𝜉

Phân thớ tiếp xúc của đa tạp M tại x 𝑣(𝑆 TM 𝑠(𝜉)

Nhóm đồng phôi của F

Kí hiệu của không gian thực hoặc không gian phức G 𝑇𝑥𝑀

Tập các ma trận vuông trong không gian ℝ ℂ

Phân thớ tầm thường n chiều 𝑛 × 𝑛

𝐾 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) 𝐾 H1(B,G) Đối đồng điều bậc nhất của B với hệ tử trong G 𝑛�

Phân thớ chuẩn tắc của đa tạp X

Tập các ánh xạ liên tục từ B vào K

Ánh xạ vi phân của ánh xạ f

𝜈(𝑋) Df 𝐶𝐾𝐵

CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN PHÂN THỚ

Chương này trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của không gian phân thớ (tầm thường địa phương).

tầm thường lại. Điều đáng nhấn mạnh là đa phần các phân thớ được cho bởi phép dán họ hữu hạn các phân thớ tầm

thường (tích trực tiếp). Để trình bày chương này, chúng tôi tham khảo chủ yếu tài liệu “Fibre Bundles” ([10]) của D.

Husemoller. Do khuôn khổ hạn chế của bản luận văn, một số tính chất được giới thiệu mà không đưa ra chứng mình

(thường là khá phức tạp). Bạn đọc nào quan tâm có thể tham khảo cuốn tài liệu đã dẫn của D. Husemoller.

Định lý cơ bản nhất của chương là Định lý dán. Nhờ định lý dán, ta dựng một phân thớ bằng cách “dán” các phân thớ

1.1.ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC VÍ DỤ VỀ KHÔNG GIAN PHÂN THỚ

1.1.1.Mở đầu

Định nghĩa của phân thớ tầm thường địa phương được đưa ra để mô tả lại ý tưởng của một

số trường hợp hình học vi phân. Ta xét một số ví dụ sau:

a) Mặt trụ tròn xoay có thể được xem là hợp rời của họ các đường thẳng liên tục xuất

phát từ mỗi điểm x thuộc đường tròn S1

𝑥∈𝑆

2 [0; 1]

× ℝ = � ℝ𝑥 , ℝ𝑥 ≈ ℝ. 𝑇 ∶= 𝑆 b) Dải Mobius

� , 𝐼𝑥 ≈ [0,1]. 𝑀 = (0; 𝑦) ≡ (1; 1 − 𝑦) = � 𝐼𝑥 𝑥∈𝑆 c) Mặt Xuyến hai chiềuđược biểu diễn như là hợp rời các đường tròn (kinh tuyến) ứng

với các điểm x thuộc một đường tròn khác (vĩ tuyến).

𝑁

và TM là tập các d) Cho M là một đa tạp khả vi nhúng vào không gian Euclide

𝑁

vectơ tiếp xúc của đa tạp M và xem như được nhúng vào . Khi đó, TM có ℝ

gồm tất cả các vectơ tiếp xúc với đa thể hình dung là hợp các không gian con ℝ × ℝ

tạp M tại x. 𝑇𝑥𝑀

𝑁 𝑇𝑥𝑀 ≈ ℝ Mỗi không gian trong các ví dụ ở trên có các điểm chung:

, 𝑥 ∈ 𝑀. 𝑇𝑀 ∶= � 𝑇𝑥𝑀 ,

- Không gian được tách thành hợp các không gian con mà được thường được gọi là các

“thớ”.

- Các “thớ” đều là bản sao của một không gian tôpô nào đó mà thường được gọi là

“thớ mẫu”. Các “thớ” được đánh số bởi một không gian nào đó mà thường được gọi

là “đáy” hay “cơ sở”.

- Xét trên toàn thể, nói chung không gian không phải là tích trực tiếp của “đáy” với

“thớ mẫu”. Tuy nhiên xét ở địa phương (một vùng nhỏ nào đó của đáy), tất cả các

không gian này là tích trực tiếp.

Dựa vào các đặc điểm này ta đưa ra một định nghĩa về phân thớ tầm thường địa phương.

1.1.2.Định nghĩa

Cho ba không gian tôpô E, B, F vàánh xạ liên tục p: E → B. Bộ ba = (E, p, B) được gọi là

một phân thớ tầm thường địa phương (hay đơn giản là phân thớ) với thớ mẫu F nếu tính 𝜉

chất “tầm thường địa phương” sau đây thoả mãn: (lân cận mởcủa x trong B) và

≈

−1

(là tập con mở của E) làm cho tam giác dưới đây giao hoán đồng phôi ∀𝑥 ∈ 𝐵, ∃𝑈

𝜑

−1

�� 𝑝 (𝑈) 𝜑 ∶ 𝑈 × 𝐹

−1

(𝑈)

�⎯⎯⎯⎯⎯� 𝑝 (𝑈) 𝑈 × 𝐹

(𝑈)

𝑝𝑟𝑈 = 𝑝�𝑝 ∘ 𝜑

−1 𝑝𝑟𝑈𝑝�𝑝 (phép chiếu tự nhiên) 𝑈

trong đó

𝑝𝑟𝑈: 𝑈 × 𝐹 → 𝑈

Đồng phôi thoả điều kiện trên gọi là đồng phôi theo thớ. (𝑥, 𝑓) ↦ 𝑝𝑟𝑈(𝑥, 𝑓) ∶= 𝑥

E được gọi là không gian toàn thể hay không gian phân thớ. Khi không sợ nhầm lẫn 𝜑

ta thường dùng E để chỉ ; p được gọi là phép chiếu của phân thớ; B được gọi là cơ sở hay

−1

đáy của phân thớ còn F được gọi là thớ mẫu. Với mỗi được gọi làthớ 𝜉

; được gọi là đồng phôi toạ độ địa phươngxung quanh được gọi tại ; cặp (𝑥)(≈ 𝐹)

làbản đồ địa phương của phân thớ xung quanh 𝑥0 ∈ 𝐵, 𝑝 . 𝜑 𝑥0 ∈ 𝐵 (𝑈, 𝜑) 𝑥0

𝜉 𝑥0 ∈ 𝐵 Họ các bản đồ địa phương của không gian phân thớ = (E, p, B) gọi là

là một phủ mở của B. một atlas của nếu {(𝑈𝛼, 𝜑𝛼)}𝛼 𝜉

𝜉 {𝑈𝛼}𝛼 Như vậy, tất cả các phân thớ đều có ít nhất một atlas.

1.1.3.Nhận xét

- Phép chiếu p của mỗi phân thớ luôn là toàn ánh.

−1

≈ thớ là tầm thường. Đương nhiên lúc này

(B đóng vai trò U trong định nghĩa) thì ta bảo phân - Đặc biệt

là một đồng phôi theo thớ. Nói cách khác, → 𝐸 = 𝑝 𝜑: 𝐵 × 𝐹 (𝐵)

phân thớ tầm thường chỉ sai kém một đồng phôi theo thớ với tích trực tiếp của đáy và 𝜑

thớ mẫu.

Ví dụ: Mặt trụ là phân thớ tầm thường

≈

−1

với đồng phôi . 𝑝: 𝑇 ∶= 𝑆 × ℝ → 𝑆

) 𝜑: 𝑆 × ℝ → 𝑝 (𝑆

1.2.NHÁT CẮT

1.2.1.Định nghĩa

Cho = (E, p, B) là một không gian phân thớ. Ánh xạ liên tục được gọi làmột nhát

cắt của nếu . ξ s: B → E

𝑠

ξ p. s = IdB

𝐵 �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝐸

𝐼𝑑𝐵𝑝

−1

; 𝐵 .

= (E, p, B) là ánh xạ liên tục mà Nói cách khác, nhát cắt của phân thớ 𝑝𝑠(𝑥) = 𝑥, ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑠(𝑥) = 𝑒 ∈ 𝑝 (𝑥) ⊂ 𝐸

−1

. 𝑠: 𝐵 → 𝐸 𝑠(𝑥) ∈ 𝜉

𝑝 (𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐵 1.2.2.Tính chất

có dạng trong a) Một nhát cắt bất kì của phân thớ tích

đó là ánh xạ liên tục được xác định duy nhất bởi nhát cắt . (𝐵 × 𝐹, 𝑝, 𝐵) 𝑠(𝑥) = (𝑥, 𝑓(𝑥))

𝑓: 𝐵 → 𝐹 𝑠 Thật vậy:

Giả sử có ánh xạ bất kì

′

𝑠: 𝐵 → 𝐵 × 𝐹

(𝑥), 𝑓(𝑥)� 𝑥 ↦ 𝑠(𝑥) ∶= �𝑠

′

trong đó là các ánh xạ được xác định duy nhất bởi và

. 𝑠 : 𝐵 → 𝐵, 𝑓: 𝐵 → 𝐹 𝑠 𝑝. 𝑠(𝑥) =

là nhát cắt nên Do đó 𝑠′(𝑥)

′

𝑠

(𝑥) ⟺ 𝑠(𝑥) = �𝑥, 𝑓(𝑥)�, ∀𝑥 ∈ 𝐵∎ 𝑝. 𝑠(𝑥) = 𝑥 = 𝑠 Tính chất trên cho thấy tồn tại một song ánh từ tập các nhát cắt của phân thớ tích

và tập các ánh xạ liên tục . (𝐵 ×

𝐵 → 𝐹 𝐹, 𝑝, 𝐵) được thể hiện như sau: b) Trong ngôn ngữ địa phương,

Giả sử 𝑠 là atlas của = (E, p, B).

−1

𝒜 = {(𝑈𝛼, 𝜑𝛼)}𝛼 𝜉

( f phụ thuộc vào x, : 𝑈𝛼 → 𝜉𝛼 = 𝑝 ) (𝑈𝛼) ≈ 𝑈𝛼 × 𝐹 𝑠|𝑈𝛼

𝛼, 𝑠 (𝑥) ∶= 𝜑𝛼(𝑥, 𝑓) 𝑥 ↦ 𝑠|𝑈𝛼 ta được

𝑠𝛼: 𝑈𝛼 → 𝐹

sao cho 𝑥 ↦ 𝑠𝛼(𝑥) ∶= 𝑓, ∀𝛼

−1

𝑠(𝑥) = 𝜑𝛼(𝑥, 𝑓) Ta viết lại

: 𝑈𝛼 → 𝑝 𝑠|𝑈𝛼 (𝑈𝛼)

𝑙𝑡

1−1

𝑥 ↦ 𝑠|𝑈𝛼 (𝑥) ∶= 𝜑𝛼�𝑥, 𝑠𝛼(𝑥)� (thoả mãn điều kiện ).

→ 𝐹�𝛼 �𝑠𝛼: 𝑈𝛼 Ta gọi họ 𝑠𝛼�𝑈𝛼∩𝑈𝛽 là biểu diễn địa phương của ≡ 𝑠𝛽�𝑈𝛼∩𝑈𝛽 ứng với . �⎯⎯� 𝑠 𝑙𝑡

�𝑠𝛼: 𝑈𝛼 → 𝐹�𝛼 𝑠 𝒜 = {(𝑈𝛼, 𝜑𝛼)}𝛼

1.2.3.Ví dụ

Kí hiệu là tích vô hướng thông thường trong và là chuẩn của vectơ.

𝑛 ℝ

𝑛+1

𝑛

(𝑥, 𝑦) ‖𝑥‖ = �(𝑥, 𝑥) xác định bởi của mặt cầu • Phân thớ tiếp xúc

𝑛+1

𝑛

) ⊂ ℝ 𝑇(𝑆 𝑆 .

𝑛

𝑇(𝑆 × ℝ : (𝑏, 𝑥) = 0} ) = {(𝑏, 𝑥) ∈ 𝑆 của mặt cầu xác định bởi • Phân thớ pháp

𝑛

𝑛+1

) 𝑣(𝑆 .

× ℝ : 𝑥 = 𝑘𝑏, 𝑘 ∈ ℝ} 𝑣(𝑆 ) = {(𝑏, 𝑥) ∈ 𝑆

𝑛

Điểm của không gian phân thớ , (tương ứng, không gian phân thớ )chính

là vectơ tiếp xúc(tương ứng, vectơ pháp tuyến) của mặt cầu tại ) 𝑇(𝑆 . Mỗi nhát cắt của 𝑣(𝑆

𝑛

(𝑏, 𝑥) chính là một trường vectơ(tiếp xúc) của ) gọi là trường , còn nhát cắt của 𝑏

𝑛

. ) ) 𝑣(𝑆 𝑆 vectơ pháp tuyến trên 𝑇(𝑆

𝑆 1.3.HỌ HÀM DÁN

1.3.1Định nghĩa

Cho = (E, p, B) là không gian phân thớ với thớ mẫu F và là một

atlas của . Xét hai bản đồ mà . và 𝜉 𝒜 = {(𝑈𝛼, 𝜑𝛼)}𝛼

−1

(𝑈𝛼, 𝜑𝛼) �𝑈𝛽, 𝜑𝛽� 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅ 𝜉 Đặt

≈ → �𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽� × 𝐹

� ∘ 𝜑𝛼��𝑈𝛼∩𝑈𝛽�×𝐹 𝜑𝛽𝛼 ∶= �𝜑𝛽��𝑈𝛼∩𝑈𝛽�×𝐹

𝜑𝛽𝛼: �𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽� × 𝐹

(𝑥, 𝑓) ↦ 𝜑𝛽𝛼(𝑥, 𝑓) ∶= �𝑥, 𝑓̅� Ta thường viết đơn giản là . Các hàm được gọi là hàm dán(hay hàm

−1 𝜑𝛽𝛼 ∶= 𝜑𝛽 ,

mà . với chuyển) bản đồ ∘ 𝜑𝛼 𝜑𝛽𝛼

∀𝛼, 𝛽 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅ �𝑈𝛽, 𝜑𝛽� (𝑈𝛼, 𝜑𝛼)

1.3.2.Tính chất

có các tính chất đặc trưng sau đây (mà được gọi là tính chất tương Họ hàm dán

thích): �𝜑𝛽𝛼�

mà . (i)

. (ii) 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾 ≠ ∅

𝜑𝛾𝛼 = 𝛾𝛽 ∘ 𝜑𝛽𝛼, ∀𝛼, 𝛽, 𝛾 𝜑𝛼𝛼 = 𝐼𝑑𝑈𝛼×𝐹, ∀𝛼 Chứng minh

ta có (i)

−1 ∘ 𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛽

−1 𝜑𝛾𝛽 ∘ 𝜑𝛽𝛼(𝑥) = �𝜑𝛾

∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾,

∘ 𝜑𝛼�(𝑥)

−1 = �𝜑𝛾

∘ 𝜑𝛼�(𝑥) = 𝜑𝛾𝛼(𝑥) , ta có (ii)

−1 𝜑𝛼𝛼(𝑥) = (𝜑𝛼

∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼

∘ 𝜑𝛼)(𝑥) = 𝑥 ⇒ 𝜑𝛼𝛼 = 𝐼𝑑𝑈𝛼×𝐹, ∀𝛼∎

1.3.3.Đẳng cấu các phân thớ cùng đáy

Cho , là hai phân thớ trên cùng đáy B với thớ mẫu lần lượt

là 𝜉2 = (𝐸2, 𝑝2, 𝐵)

. và 𝜉1 = (𝐸1, 𝑝1, 𝐵) 𝐹1 𝐹2 Ánh xạ liên tục được gọi là một đồng cấu phân thớ từ đến , kí hiệu

, nếu tam giác sau giao hoán : 𝜓: 𝐸1 → 𝐸2 ξ1 ξ2

𝜓: 𝜉1 → 𝜉2

𝜓 �⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝐸2

𝐸1

𝑝1𝑝2

𝐵 . Nghĩa là

vào tại cùng điểm tuỳ ý . Như vậy chuyển thớ

−1 𝑝2

−1 là đẳng cấuphân thớ . 𝑝1

Khi 𝑝1 = 𝑝2. 𝜓 đồng phôi thì (𝑥) (𝑥) 𝑥 ∈ 𝐵 𝜓

𝜓 𝜓 1.4.ĐỊNH LÝ DÁN

Cho một không gian phân thớ với atlas đã cho ta luôn tạo ra họ các hàm dán thoả

tính chất (i), (ii). 𝜉

Câu hỏi ngược lại, nếu có họ các hàm dán thoả (i), (ii) thì có khôi phục đượckhông

gian phân thớ hay không? Câu trả lời là khẳng định. Cụ thể ta có định lý dưới đây mà

thường được gọi là định lý dán. 𝜉

1.4.1.Định lý 1

Cho không gian tôpô B với là phủ mở của B. Cho họ các đồng phôi theo thớ

mà ) thoả mãn (i), (ii). {𝑈𝛼}𝛼 (

𝛼, 𝛽 Khi đó, ta có: 𝜑𝛽𝛼: �𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽� × 𝐹

≈ �� 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽� × 𝐹 (a) Tồn tại không gian phân thớ

nhận 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅ = (E, p, B) và atlas =

làm họ hàm dán. �𝜑𝛽𝛼� 𝜉 𝒜 {(𝑈𝛼, 𝜑𝛼)}𝛼

là duy nhất sai kém một đẳng cấu phân thớ. (b)

𝜉 Chứng minh:

Sự tồn tại

. Xét họ các không gian phân thớ tầm thường

{𝑈𝛼 × 𝐹}𝛼

Đặt (tổng tôpô của họ ).

Xét {𝑈𝛼 × 𝐹}𝛼

→ 𝐵

𝐸� ∶= ∐ (𝑈𝛼 × 𝐹) 𝛼 𝑝̅ : ∐ 𝑈𝛼 × 𝐹 𝛼 liên tục. Dễ thấy 𝑒̅ = (𝑥, 𝑓) ↦ 𝑝̅(𝑒̅) ∶= 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ⊂ 𝐵

như sau : Trên ta định nghĩa quan hệ 𝑝̅

, thuộc 𝐸�

∀𝑒̅2 = �𝑥𝛽, 𝑓𝛽� ∈ 𝑈𝛽 × 𝐹 ∀𝑒̅1 = (𝑥𝛼, 𝑓𝛼) ∈ 𝑈𝛼 × 𝐹

𝑒̅1 ∼ 𝑒̅2 ⇔ � là một quan hệ tương đương trên . Thật Nhờ hai tính chất (i), (ii) ta kiểm tra được 𝐸� 𝑥𝛼 = 𝑥𝛽 = 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 𝜑𝛽𝛼(𝑥𝛼, 𝑓𝛼) = �𝑥𝛽, 𝑓𝛽�

vậy: 𝐸�

. - Tính phản xạ:

- Tính bắc cầu: 𝜑𝛼𝛼 = 𝐼𝑑𝑈𝛼×𝐹 ⟹ 𝜑𝛼𝛼(𝑥𝛼, 𝑓𝛼) = (𝑥𝛼, 𝑓𝛼), ∀𝑥𝛼 ∈ 𝑈𝛼 ⟹ 𝑒̅1 ∼ 𝑒̅1

(1.1)

𝑒̅1 ∼ 𝑒̅2 ⇔ �

(1.2)

𝑒̅2 ∼ 𝑒̅3 ⇔ � 𝑥𝛼 = 𝑥𝛽 = 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 𝜑𝛽𝛼(𝑥𝛼, 𝑓𝛼) = �𝑥𝛽, 𝑓𝛽� 𝑥𝛽 = 𝑥𝛾 = 𝑥 ∈ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾 𝜑𝛾𝛽�𝑥𝛽, 𝑓𝛽� = �𝑥𝛾, 𝑓𝛾�

Từ (1.1) và (1.2) ta suy ra được

� 𝑥𝛼 = 𝑥𝛽 = 𝑥𝛾 = 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾 𝜑𝛾𝛼(𝑥𝛼, 𝑓𝛼) = �𝜑𝛾𝛽 ∘ 𝜑𝛽𝛼�(𝑥𝛼, 𝑓𝛼) = 𝜑𝛾𝛽�𝜑𝛽𝛼(𝑥𝛼, 𝑓𝛼)� = 𝜑𝛾𝛽�𝑥𝛽, 𝑓𝛽� = �𝑥𝛾, 𝑓𝛾�

- Tính đối xứng: ⇒ 𝑒̅1 ∼ 𝑒̅3

𝑒̅1 ∼ 𝑒̅2 ⇔ �

−1

𝑥𝛼 = 𝑥𝛽 = 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 𝜑𝛽𝛼(𝑥𝛼, 𝑓𝛼) = �𝑥𝛽, 𝑓𝛽� 𝑥𝛼 = 𝑥𝛽 = 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ⇔ � �𝜑𝛽𝛼� �𝑥𝛽, 𝑓𝛽� = (𝑥𝛼, 𝑓𝛼)

⇔ � 𝑥𝛼 = 𝑥𝛽 = 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 −1 �𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼� �𝑥𝛽, 𝑓𝛽� = (𝑥𝛼, 𝑓𝛼)

⇔ � 𝑥𝛼 = 𝑥𝛽 = 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 −1 �𝜑𝛼 ∘ 𝜑𝛽��𝑥𝛽, 𝑓𝛽� = (𝑥𝛼, 𝑓𝛼) .

⇔ � ⇔ 𝑒̅2 ∼ 𝑒̅1 𝑥𝛼 = 𝑥𝛽 = 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 𝜑𝛼𝛽�𝑥𝛽, 𝑓𝛽� = (𝑥𝛼, 𝑓𝛼)

Đặt : không gian thương của theo quan hệ .

𝐸 ∶= 𝐸� 𝐸� ∼� Đặt sao cho đẳng thức xảy ra trong tam giác giao hoán bên dưới

𝑝𝑟

𝑝: 𝐸 → 𝐵 𝑝̅ = 𝑝 ∘ 𝑝𝑟

� �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝐸

𝑝̅𝑝

𝐵 thoả mãn Trong đó ,

(lớp tương đương của ), ∀𝑒 ∈ 𝐸 ∃𝑒̅ = (𝑥𝛼, 𝑓𝛼) ∈ 𝑈𝛼 × 𝐹 ⊂ 𝐸�

𝑒̅ ↦ 𝑝𝑟(𝑒̅) ∶= 𝑒 𝑒̅ ở đây phép chiếu tự nhiên. lúc đó ta định nghĩa

𝑝𝑟: 𝐸� → 𝐸 ∶= 𝐸� ∼� .

Định nghĩa p như thế là hợp lý và p liên tục. Hơn nữa p toàn ánh. 𝑝(𝑒) ∶= 𝑝̅(𝑒̅) = 𝑥𝛼 ∈ 𝑈𝛼 ⊂ 𝐵

Kiểm tra được = (E, p, B) là một phân thớ tầm thường trên B.

Thật vậy: 𝜉

−1

Xét ở

(𝑈𝛼)(m ) ⊂ 𝐸

) theo 𝜑𝛼: 𝑈𝛼 × 𝐹 → 𝑝 (e là lớp tương đương của

−1

(𝑈)

trong (𝑥𝛼, 𝑓𝛼) ↦ 𝜑𝛼(𝑥𝛼, 𝑓𝛼) ∶= 𝑒 ∈ 𝐸 𝑒̅ = (𝑥𝛼, 𝑓𝛼) 𝐸� và

−1

�𝑝�𝑝 �𝜑𝛼(𝑥𝛼, 𝑓𝛼)� ∘ 𝜑𝛼� (𝑥𝛼, 𝑓𝛼) = 𝑝�𝑝

= 𝑝�𝑝

(𝑈)(𝑒) .

do vậy là đồng phôi toạ độ, = 𝑝̅(𝑒̅)

của . Mặt khác : = 𝜑𝛼 ∀𝛼 Ta thu được atlas = 𝑥𝛼 ∈ 𝑈𝛼,

−1 �𝜑𝛽

mà , 𝜉 −1 �𝜑𝛼(𝑥𝛼, 𝑓𝛼)� = 𝜑𝛽 . (𝑒) = �𝑥𝛽, 𝑓𝛽� = 𝜑𝛽𝛼(𝑥𝛼, 𝑓𝛼) {(𝑈𝛼, 𝜑𝛼)}𝛼 𝒜 −1 ∘ 𝜑𝛼�(𝑥𝛼, 𝑓𝛼) = 𝜑𝛽

−1 ⇒ 𝜑𝛽 Tức là

trở thành họ hàm dán ứng với . Do đó sự tồn tại được chứng minh. ∘ 𝜑𝛼 = 𝜑𝛽𝛼 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅ ∀𝛼, 𝛽

𝒜 �𝜑𝛽𝛼� Sự duy nhất

nhận Giả sử còn có không gian phân thớ = ( , , B) và atlas ’ =

′ −1

và là họ hàm dán ứng với ’ tức là 𝜑𝛽𝛼 𝒜 {(𝑈𝛼, 𝜑′𝛼)}𝛼 . 𝜉′ 𝐸′

, 𝑝′ ′ ∘ 𝜑𝛼 ∀𝛼, 𝛽 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅ 𝜑𝛽𝛼 = 𝜑𝛽 𝒜

Ta cần chứng minh rằng là đẳng cấu không gian phân thớ. Tức là cần xây

dựng sao cho đẳng thức xảy ra trong tam giác giao hoán sau: ∃𝜓 ∶ 𝜉 → 𝜉′

𝜓

𝜓: 𝐸 → 𝐸′ 𝑝 = 𝑝′ ∘ 𝜓

𝐸 �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝐸′

B 𝑝𝑝′

mà . Thật vậy, với mỗi , ta chọn

−1

Ta định nghĩa . 𝑒̅ = (𝑥𝛼, 𝑓𝛼) ∈ 𝑈𝛼 × 𝐹 ⊂ 𝐸�

𝑝𝑟(𝑒̅) = 𝑒 đồng phôi thoả mãn đẳng thức 𝑒 ∈ 𝐸 ′ định nghĩa như thế là hợp lý. Hơn nữa 𝜓(𝑒) ∶= 𝜑𝛼 (𝑒̅) ∈ 𝑝′ (𝑈𝛼) ⊂ 𝐸′

′

′ �𝜑𝛼

( 𝜓 . 𝑝 = 𝑝′ ∘ 𝜓

Do đó sự duy nhất được chứng minh �𝜓(𝑒)� = 𝑝 ∘ 𝜓)(𝑒) = 𝑝 𝜓 ′ ′ ∘ 𝜑𝛼 (𝑒̅)� = (𝑝 )(𝑒̅) = 𝑥𝛼 = 𝑝̅(𝑒̅) = 𝑝(𝑒)) (𝑝

1.4.2.Nhận xét

= (E, p, B) vừa xây dựng trong phần chứng minh sự tồn tại được gọi - Phân thớ

là phân thớ nhận được bằng cách dán các phân thớ tầm thường 𝜉

đã cho. bởi họ hàm dán

𝑈𝛼 × 𝐹(∀𝛼) của B thành phủ đóng hữu - Định lý dán vẫn còn đúng nếu ta thay phủ mở �𝜑𝛽𝛼�

hạn hoặc hữu hạn địa phương của B (hữu hạn địa phương có nghĩa là {𝑈𝛼}𝛼

chứa x). có một số hữu hạn các ∀𝑥 ∈ 𝐵

𝑈𝛼 - Trong thực hành khi cho một phân thớ trên không gian B nào đó ta rất hay cho

bằng phép dán hữu hạn của các phân thớ tầm thường.

1.4.3.Các ví dụ

a) Ví dụ 1:

B = với tôpô thông thường) (không gian con của

3 ℝ

3 ∶= {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ 1

|𝑥 𝑆 = 1} 2 2 𝑆 ∶= {(𝑥, 𝑦, 0) ∈ 𝑆 + 𝑦 ∩ (0𝑥𝑦) = 1} = 𝑆

+ 𝑧 + 𝑦 : bán cầu Bắc |𝑥 : bán cầu Nam : 𝑧 ≥ 0}

, . phủ đóng hữu hạn của : 𝑧 ≤ 0}

. 𝑆 , {𝑈+, 𝑈−} 2 𝐵 = 𝑆 = 𝑈+ ∪ 𝑈− 𝑈+ ∶= {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑆 𝑈− ∶= {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑆 𝑈+, 𝑈− ⊂ 𝑆 Xét họ 4 hàm dán 𝑈+ ∩ 𝑈− = 𝑆



, × 𝐹

(nhóm các đồng phôi của F) 𝜑++ = 𝐼𝑑: 𝑈+ × 𝐹 → 𝑈+ × 𝐹 𝜑−− = 𝐼𝑑: 𝑈− × 𝐹 → 𝑈− × 𝐹 𝜑+− = 𝐼𝑑: 𝑆 × 𝐹 → 𝑆 trong đó (𝑥, 𝑓) ↦ 𝜑+−(𝑥, 𝑓) = �𝑥, 𝜑(𝑥)(𝑓)�

𝜑: 𝑆 → 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐹)

≈

với là một đồng phôi đã cho. 𝑥 ↦ 𝜑(𝑥)

 → 𝐹 −1 Kiểm tra thoả mãn tính tương thích

𝜑(𝑥): 𝐹 𝜑−+ ∶= (𝜑+−) là không gian phân thớ nhận được bằng cách dán hai phân thớ tầm thường Đặt

{𝜑++, 𝜑−−, 𝜑+−, 𝜑−+} bởi họ hàm dán với . 𝑈+ × 𝐹 𝐸𝜑

𝑈− × 𝐹 {𝜑++, 𝜑−−, 𝜑+−, 𝜑−+} ≡ {𝜑}

𝐸𝜑 = (𝑈+ × 𝐹) ⊔ (𝑈− × 𝐹) � (𝑥, 𝑓) ≡ �𝑥, 𝜑(𝑥)(𝑓)�, ∀𝑥 ∈ 𝑆 Đặc biệt: chọn

𝜑: 𝑆

Lúc đó → 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐹) (phân thớ tầm thường). 𝑥 ↦ 𝜑(𝑥) ∶= 𝐼𝑑𝐹

𝐸𝜑 ≈ 𝑆 × 𝐹 Định lý 2: Mọi không gian phân thớ trên đều có thể được cho bằng cách như trên, tức là

để . tồn tại 𝑆

→ 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐹) 𝐸𝜑 ≈ 𝐸 𝜑: 𝑆 b) Ví dụ 2

Trên một đa tạp M, xét một atlas = . Ta xác định họ hàm chuyển

−1 �𝜑𝛽𝛼 = 𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼

, trong đó 𝒜 {(𝑈𝛼, 𝜑𝛼)}𝛼

�∀𝛼, 𝛽 mà 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅� ,

−1 𝜑𝛽𝛼 = 𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼

≈ �� 𝜑𝛽�𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽�

cụ thể : 𝜑𝛼�𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽�

𝑛

Ta được 𝜑𝛼(𝑥) = �𝑥 (𝑥), … , 𝑥 (𝑥)�, ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼, 𝜑𝛽(𝑦) = �𝑦 (𝑦), … , 𝑦

𝑛

(𝑦)�, ∀𝑦 ∈ 𝑈𝛽 .

𝑛 là : (𝑥), … , 𝑥 −1 𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼

Ma trận Jacôbi của 𝜑𝛽𝛼�𝑥 (𝑥)� = �𝑦 (𝑥), … , 𝑦 (𝑥)�, , ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽

𝑖

1 (𝑥) ⋯

𝑛 (𝑥)

𝑗�

𝑥

1 (𝑥) ⋯

𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 = , ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽. 𝒯𝛽𝛼(𝑥) ∶= � ⋮ 𝑛 ⋱ 𝜕𝑦 𝜕𝑥

≅

𝑛 �: ℝ

𝑛 → ℝ

−1 𝐷𝑥�𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼 (v : vectơ cột).

−1 Ta xét họ hàm 𝑣 ↦ 𝐷𝑥�𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼

Ta được ánh xạ ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ ⋮ 𝑛 ⎥ ⎥ 𝑛 (𝑥)⎦ 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥

𝑛 → 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 × ℝ

𝑛 𝜑�𝛽𝛼: 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 × ℝ .

�𝑣 ∶= 𝒯𝛽𝛼(𝑣)

−1 (𝑥, 𝑣) ↦ 𝜑�𝛽𝛼(𝑥, 𝑣) ∶= �𝑥, 𝐷𝑥�𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼 Kiểm tra được

mà ( ) thoả mãn các tính chất tương thích. Thật vậy �𝑣�

�𝜑�𝛽𝛼� ∀𝛼, 𝛽 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅

�𝜑�𝛾𝛽 ∘ 𝜑�𝛽𝛼�(𝑥, 𝑣)

= 𝜑�𝛾𝛽�𝜑�𝛽𝛼(𝑥, 𝑣)� −1 = 𝜑�𝛾𝛽�𝑥, 𝐷𝑥�𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼

−1 = �𝑥, 𝐷𝑥�𝜑𝛾 ∘ 𝜑𝛽

�𝑣�

−1 = �𝑥, 𝐷𝑥�𝜑𝛾 ∘ 𝜑𝛼

. �𝑣� �𝑣� −1 �𝐷𝑥�𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼 −1 −1 ∘ 𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼 = �𝑥, 𝐷𝑥�𝜑𝛾 ∘ 𝜑𝛽

𝑛

�𝑣� = 𝜑�𝛾𝛼(𝑥, 𝑣), ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾 ≠ ∅ .

−1 𝜑�𝛼𝛼(𝑥, 𝑣) = (𝑥, 𝐷𝑥(𝜑𝛼 ∘ 𝜑𝛼 Dùng họ hàm dán

để dán họ các phân thớ tầm thường ta được ⇒ 𝜑�𝛾𝛽 ∘ 𝜑�𝛽𝛼 = 𝜑�𝛾𝛼 )𝑣) = (𝑥, 𝑣) ⇒ 𝜑�𝛼𝛼 = 𝐼𝑑𝑈𝛼×ℝ

𝑛 {𝑈𝛼 × ℝ

𝛼

𝑛 ∐ (𝑈𝛼 × ℝ

phân thớ tiếp xúc TM của đa tạp khả vi M }𝛼 �𝜑�𝛽𝛼�

𝑛 ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽, ∀𝑣 ∈ ℝ

𝑇𝑀 ∶= ( ) � (𝑥, 𝑣) ≡ 𝜑�𝛽𝛼(𝑥, 𝑣) ). mà ,

∀𝛼, 𝛽 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅ Sang chương II, mục 2.7, ta sẽ còn đề cập sâu hơn về phân thớ tiếp xúc trên đa tạp và

một vài áp dụng của nó.

1.5.BÀI TOÁN MÔ TẢ LỚP ĐẲNG CẤU CÁC PHÂN THỚ TẦM THƯỜNG ĐỊA PHƯƠNG

1.5.1.Bài toán:Cho không gian tôpô B. Hãy mô tả lớp đẳng cấu các phân thớ tầm

thường địa phương trên B với thớ mẫu F cho trước.

là nhóm các đồng phôi của F đối với phép hợp thành.

Xét Đặ𝑡 𝐺 ∶= 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐹)

𝜑𝛽𝛼: �𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽� × 𝐹 → �𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽� × 𝐹

. Ta được ánh xạ đồng phôi Cố định (𝑥, 𝑓) ↦ 𝜑𝛽𝛼(𝑥, 𝑓) = �𝑥, 𝑓̅�

≈

𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽

→ 𝐹 𝜑𝛽𝛼(𝑥, . ): 𝐹

Kí hiệu 𝑓 ↦ �𝜑𝛽𝛼(𝑥, . )� (𝑓) ∶= 𝑓̅

𝜑�𝛽𝛼: 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 → 𝐺

. Do đó . Ta đồng nhất 𝑥 ↦ 𝜑�𝛽𝛼(𝑥) ∶= 𝜑𝛽𝛼(𝑥, . )

𝜑𝛽𝛼 ≡ 𝜑�𝛽𝛼 𝜑𝛽𝛼 ≡ �𝜑𝛽𝛼(𝑥, . )�𝑥∈𝑈𝛼∩𝑈𝛽 ≡ �𝜑�𝛽𝛼(𝑥)�𝑥∈𝑈𝛼∩𝑈𝛽 Tính chất tương thích được viết lại:

. ( )

) . ( 𝚤̂

𝜑�𝛾𝛼(𝑥) = 𝜑�𝛾𝛽(𝑥) ∘ 𝜑�𝛽𝛼(𝑥), 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾 ≠ ∅ ( mà ) tương ứng với họ hàm Như vậy, họ hàm dán 𝚤𝚤� 𝜑�𝛼𝛼(𝑥) = 𝐼𝑑𝐹 = 1𝐺(∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼)

), ( ). ∀𝛼, 𝛽 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅ �𝜑�𝛽𝛼: 𝑈𝛼 ∩ thoả mãn tính chất tương thích ( �𝜑𝛽𝛼�

𝚤̂ 𝚤𝚤� 𝑈𝛽 → 𝐺 = 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐹)} (mở hay đóng hữu hạn địa phương) và cho hai họ hàm Vấn đề: Trên B xét phủ

, (thoả mãn tính chất tương thích). Theo định lý dán, ta được hai dán {𝑈𝛼}𝛼

phân thớ tầm thường địa phương , trên B với thớ mẫu F. Ta muốn tìm hiểu xem �𝜑𝛽𝛼�

�𝜓𝛽𝛼� ? khi nào 𝜉 𝜂

𝜉 ≅ 𝜂 và xác định hai phân thớ tầm thường địa 1.5.2.Định lí 3 : Hai họ hàm dán

�𝜓𝛽𝛼� phương đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi tồn tại họ các đồng phôi theo thớ �𝜑𝛽𝛼�

≈ → 𝑈𝛼 × 𝐹, ∀𝛼

−1 𝜓𝛽𝛼 = ℎ𝛽

sao cho . ℎ𝛼: 𝑈𝛼 × 𝐹

∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ ℎ𝛼, ∀𝛼, 𝛽 mà 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅ Chứng minh

và xác định lần lượt hai phân thớ tầm thường địa phương Cho họ hàm dán

= (E, p, B) và 𝜉

�𝜓𝛽𝛼� , có đồng phôi toạ độ . = (E’, p’, B). �𝜑𝛽𝛼� có đồng phôi toạ độ 𝜂

𝜉 𝜑𝛼 𝜂 𝜓𝛼 / Giả sử

𝜉 ≅ 𝜂

−1

Khi đó có một đồng phôi . Cho .

−1

−1 ℎ𝛼 = 𝜑𝛼 −1 ∘ 𝜃 ∘ 𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ 𝜑𝛼

−1 ℎ𝛽

Khi đó 𝜃: 𝐸 → 𝐸′ ∘ 𝜃

−1 ∘ 𝜃 ∘ 𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛽

−1 ∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ ℎ𝛼 = 𝜓𝛽 −1 = 𝜓𝛽

−1 = 𝜓𝛽

∘ 𝜓𝛼 ∘ 𝜓𝛼 −1 ∘ 𝜃 ∘ 𝜓𝛼 ∘ 𝜃 −1 ∘ 𝜑𝛼 ∘ 𝜑𝛼 −1 . ∘ 𝜃 ∘ 𝜃 ∘ 𝜓𝛼

−1 = 𝜓𝛽

∘ 𝜓𝛼 = 𝜓𝛽𝛼 / Giả sử tồn tại một đồng phôi theo thớ sao cho

≈ → 𝑈𝛼 × 𝐹, ∀𝛼

. ℎ𝛼: 𝑈𝛼 × 𝐹 𝜓𝛽𝛼 =

−1 ℎ𝛽

−1

Xét phủ mở của E.Trên mỗi không gian con ta đặt hàm ∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ ℎ𝛼, ∀𝛼, 𝛽 mà 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅

. {𝑝 (𝑈𝛼)}𝛼 (𝑈𝛼)

−1

𝑝 trên tập Ta cần chứng minh .

−1 ∘ 𝜑𝛼

−1 𝜃 = 𝜓𝛼 ∘ ℎ𝛼 −1 = 𝜓𝛽 ∘ ℎ𝛽

−1 ∘ 𝜑𝛼 −1 ∘ 𝜑𝛽

−1 𝜓𝛼 ∘ ℎ𝛼

Thật vậy, ta có 𝑝

−1 ∘ 𝜑𝛽

−1 = 𝜓𝛼 ∘ 𝜓𝛼

−1 ∘ 𝜑𝛼 ∘ 𝜑𝛼

−1 𝜓𝛽 ∘ ℎ𝛽

−1 ∘ 𝜑𝛽 −1 ∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ 𝜑𝛼

−1 ∘ 𝜓𝛽 ∘ ℎ𝛽 −1 = 𝜓𝛼 ∘ 𝜓𝛼𝛽 ∘ ℎ𝛽

−1 ∘ 𝜑𝛼𝛽 ∘ ℎ𝛽 ∘ ℎ𝛽

−1 = 𝜓𝛼 ∘ ℎ𝛼

−1 ∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ 𝜑𝛼 −1 ∘ 𝜑𝛼𝛽 ∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ 𝜑𝛼

−1 = 𝜓𝛼 ∘ ℎ𝛼

(𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛼)

−1 ∘ 𝜑𝛼

−1 = 𝜓𝛼 ∘ ℎ𝛼

Do đó

𝜉 ≅ 𝜂∎ 1.5.3.Đối dây chuyền và đối chu trình

Xét họ các đồng phôi theo thớ

≈ → 𝑈𝛼 × 𝐹

ℎ𝛼: 𝑈𝛼 × 𝐹

≈

(𝑥, 𝑓) ↦ ℎ𝛼(𝑥, 𝑓) ∶= �𝑥, 𝑓̅�

→ 𝐹 ℎ𝛼(𝑥, . ): 𝐹

−1 𝜓𝛽𝛼 = ℎ𝛽

nên Nhờ 𝑓 ↦ ℎ𝛼(𝑥, . )(𝑓) ∶= 𝑓̅ ℎ�𝛼: 𝑈𝛼 → 𝐺 = 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐹) 𝑥 ↦ ℎ�𝛼(𝑥) ∶= ℎ𝛼(𝑥, . ) và

−1 𝜓�𝛽𝛼(𝑥) = ℎ�𝛽

∘ 𝜑𝛽𝛼 ∘ ℎ𝛼 ℎ𝛼(𝑥, 𝑓) ∶= �𝑥, ℎ�𝛼(𝑥)(𝑓)� .

(𝑥) ∘ 𝜑�𝛽𝛼(𝑥) ∘ ℎ�𝛼(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅

gọi là một đối dây chuyền 0-chiều (hay 0-đối dây chuyền) trên B

với giá trị trong G (G-giá trị). �𝑈𝛼, ℎ�𝛼: 𝑈𝛼 → 𝐺�

gọi là một đối dây chuyền 1-chiều (hay 1-đối dây

chưa nhất thiết thoả mãn ( ), ( )). Khi chuyền) trên B với giá trị trong G ( �𝑈𝛼, 𝜑�𝛽𝛼: 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅ → 𝐺�

), ( ) thì ta bảo 𝚤̂ 𝚤𝚤� 𝜑�𝛽𝛼 𝜑�𝛽𝛼 thoả mãn thêm điều kiện tương thích (

là một đối chu trình 1 chiều hay 1-đối chu trình trên B với giá trị trong G. 𝚤̂ 𝚤𝚤�

�𝑈𝛼, 𝜑�𝛽𝛼: 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅ → 𝐺� gọi là đối đồng điều với nhau nếu tồn tại và Hai 1-đối chu trình

0_đối dây chuyền sao cho �𝑈𝛼, 𝜓�𝛽𝛼� �𝑈𝛼, 𝜑�𝛽𝛼�

−1 𝜓�𝛽𝛼(𝑥) = ℎ�𝛽

�𝑈𝛼, ℎ�𝛼�

(𝑥) ∘ 𝜑�𝛽𝛼(𝑥) ∘ ℎ�𝛼(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅. ập các 1_đối chu trình Đặt . ối đồng đ ều t 𝐻 (𝐵, 𝐺) ∶= � quan hệ đ i Tập H1(B, G) được gọi là (tập) đối đồng điều bậc nhất của B với hệ tử trong G.

1.5.4.Kết luận

Có một tương ứng song ánh giữa và tập các lớp đẳng cấu phân thớ tầm

. thường địa phương trên B với thớ mẫu 𝐻 (𝐵, 𝐺)

∎ 𝐺 = 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐹)

CHƯƠNG II:PHÂN THỚ VECTƠ

Phân thớ vectơ là trường hợp đặc biệt của phân thớ tổng quát khi thớ mẫu là một không gian vectơ n chiều và

các đồng phôi tọa độ địa phương không chỉ là đồng phôi theo thớ mà còn là đồng phôi tuyến tính. Số chiều của phân thớ

là số chiều của thớ mẫu. Các phân thớ vectơ đóng vai trò trung tâm trong K-lý thuyết tô pô. Chương này sẽ trình bày

các khái niệm và tính chất cơ bản nhất của phân thớ vectơ. Đặc biệt là các khái niệm và tính chất về nhóm cấu trúc, các

phép toán trên phân thớ vectơ.Để trình bày chương này, chúng tôi tham khảo chủ yếu tài liệu “Vectorbundles and

their application” ([7]) của Luke G., Mishchenko A.

2.1.ĐỊNH NGHĨA PHÂN THỚ VECTƠ

(K làtrường hay ) với tôpô tự 2.1.1. Định nghĩa:Cho B là không gian tôpô và

nhiên. F ≡ K ℝ ℂ

Một phân thớ vectơ ( n chiều) trên B là bộ ba gồm cặp không gian tôpô E, B và

toán ánh liên tục sao cho tính chất tầm thường địa phương sau đây thỏa mãn:

ξ = (E, p, B) (là tập mở của x trong B) và đồng phôi theo thớ p: E → B

≅

∀x ∈ B, ∃U

−1 là đẳng cấu tuyến tính,

≅

−1

Mà . �� p φ: U × K (U) ⊂ E

: {b} × K �� p φ|{b}×K (b) ⊂ E ∀b ∈ U Tùy vào trường K là thực hay phức mà ta gọi là phân thớ vectơ thực hay phức.

ξ 2.1.2. Nhận xét: Mỗi phân thớ vectơ đều là phân thớ tầm thường địa phương.

2.1.3. Ví dụ

Ví dụ 1

𝑛

𝑛+1

𝑛

(ta coi x là vectơ tiếp xúc của ). Phân thớ tiếp Cho

𝑛

𝑛+1

𝑛

trong là phân thớ vectơ thực n chiều là bộ ba × ℝ : (𝑏, 𝑥) = 0} 𝑆 xúc của mặt cầu đơn vị 𝑇 = {(𝑏, 𝑥) ∈ 𝑆

𝑛

. ℝ 𝒯(𝑆 ) = 𝑆

𝑛

là toàn ánh liên tục. ) - (𝑇, 𝑝, 𝑆

𝑛

, và các nhúng tuyến tính - Đặt 𝑝 ∶ 𝑇 → 𝑆

𝑛+1

𝑛 𝑢𝛼: ℝ

𝑈𝛼 = {𝑥 ∈ 𝑆 , 𝑥𝛼 ≠ 0} 1 ≤ 𝛼 ≤ 𝑛

→ ℝ

𝑛 𝑣𝑏: ℝ

𝑛 → ℝ

𝑛 𝑏 ∈ ℝ

(𝑥1, … , 𝑥𝑛) ↦ 𝑢𝛼(𝑥1, … , 𝑥𝑛) = (𝑥1, … , 𝑥𝛼, 0, 𝑥𝛼+1, … 𝑥𝑛) Xác định ánh xạ tuyến tính như dưới đây với

, 𝑏 ≠ 0

𝑏 𝑥 ↦ 𝑣𝑏(𝑥) = 𝑥 − (𝑏, 𝑥) (𝑏, 𝑏)

và Khi đó .

(𝑏,𝑥) (𝑏,𝑏) 𝑏 + 𝑣𝑏(𝑥) , ta có đẳng cấu

𝑥 = �𝑏, 𝑣𝑏(𝑥)� = 0 Đặt

−1

𝜑𝛼(𝑏, 𝑥) = �𝑏, 𝑣𝑏�𝑢𝛼(𝑥)��

𝑛 𝜑𝛼: 𝑈𝛼 × ℝ ≅ −1

𝑛

thỏa mãn điều kiện → 𝑝 (𝑈𝛼) là đẳng cấu tuyến tính.

𝑛 : {𝑏} × ℝ

Ví dụ 2 �� 𝑝 𝜑|{𝑏}×𝐾

(𝑏) ⊂ 𝑇 - Mỗi đa tạp vi phân thực n chiều đều có phân thớ tiếp xúc là một không gian vectơ

thực n chiều.

- Mỗi đa tạp vi phân phức n chiều đều có phân thớ tiếp xúc là phân thớ vectơ phức n

chiều.

2.2.NHÓM CẤU TRÚC CỦA PHÂN THỚ VECTƠ

𝑛

là phân thớ vectơ n chiều trên B (thớ mẫu là ), là phủ Xét

mở của B, là atlas của với 𝐾 {𝑈𝛼}𝛼

≅

𝑛

−1

𝜉 = (𝐸, 𝑝, 𝐵) 𝒜 = {(𝑈𝛼, 𝜑𝛼)}𝛼 𝜉

𝑛

thỏa mãn điều kiện là đẳng cấu tuyến tính . Ta (𝑈𝛼) ⊂ 𝐸 𝜑𝛼: 𝑈𝛼 × 𝐾 ≅ �� 𝑝 −1 được họ hàm dán 𝜑𝛼|{𝑥}×𝐾 ( mà : {𝑥} × 𝐾 �� 𝑝 ) như sau: (𝑥) ⊂ 𝐸 ∀𝑥 ∈ 𝐵

𝑛

∀𝛼, 𝛽 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ 0 �𝜑𝛽𝛼�

≅ �� 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 × 𝐾

𝜑𝛽𝛼: 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 × 𝐾

𝑛

trong đó (𝑥, 𝑣) ↦ 𝜑𝛽𝛼(𝑥, 𝑣) ∶= �𝑥, 𝜑�𝛽𝛼(𝑥)(𝑣)�

) 𝜑�𝛽𝛼: 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 → 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾) ⊂ 𝐻𝑜𝑚𝑒𝑜(𝐾

thỏa mãn điều kiện tương thích (hay điều kiện đối chu trình) 𝑥 ↦ 𝜑�𝛽𝛼(𝑥)

. , (i) �𝜑�𝛽𝛼�

𝑛

𝜑�𝛾𝛼(𝑥) = 𝜑�𝛾𝛽(𝑥) ∘ 𝜑�𝛽𝛼(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾 ≠ ∅ . (ii)

𝜑�𝛼𝛼(𝑥) = 𝐼𝑛 = � ), ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 � ∈ 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾 Nhận thấy 1 ⋯ 0 ⋱ ⋮ ⋮ , 0 ⋯ 1

−1

∀𝑥 ∈ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾 ≠ ∅ 𝜑�𝛾𝛽(𝑥) ∘ 𝜑�𝛽𝛾(𝑥) = 𝐼𝑛 .

là nhóm cấu trúc của . , ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾 ≠ ∅ Ta bảo ⟺ 𝜑�𝛾𝛽(𝑥) = �𝜑�𝛽𝛾(𝑥)�

𝜉 𝐺𝐿(𝑛, 𝐾)

2.3.NHÁT CẮT

2.3.1.Định nghĩa

Cho = (E, p, B) là một phân thớ vectơ n chiều trên B. Ánh xạ liên tục

. được gọi là một nhát cắt của nếu ξ s ∶ 𝐵 →

ξ p. s = IdB E 2.3.2.Tính chất

𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐

1−1 �⎯⎯� �𝑠𝛼: 𝑈𝛼

sao cho ứng với atlas a)

𝑛 của phân thớ vectơ

�⎯⎯⎯� 𝐾 𝑠 𝑠𝛼�𝑈𝛼∩𝑈𝛽 ≡ 𝑠𝛽�𝑈𝛼∩𝑈𝛽 𝒜 = �𝛼 .

𝜉 {(𝑈𝛼, 𝜑𝛼)}𝛼 Đặt b)

Trên , ta trang bị cấu trúc K-không gian vectơ (nói chung là vô hạn chiều): 𝑠(𝜉) ∶= {s: B → E| 𝑠 là nhát cắt của 𝜉}

được định nghĩa như sau: 𝑠(𝜉)

−1

𝑛

(2.1)

(2.2) ({𝑥}) ≅ 𝐾

∀𝑠, 𝑠1, 𝑠2 ∈ 𝑠(𝜉), ∀𝜆 ∈ 𝐾, 𝑠1 + 𝑠2, 𝜆𝑠 ∈ 𝑠(𝜉) (𝑠1 + 𝑠2)(𝑥) ∶= 𝑠1(𝑥) + 𝑠2(𝑥) ∈ 𝑝 (phép toán theo từng thớ) (𝜆𝑠)(𝑥) ∶= 𝜆𝑠(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐵 Các công thức (2.1) và (2.2) xác định trên cấu trúc của không gian vectơ.

(Kiểm tra được là một K-không gian vectơ với cấu trúc vừa định nghĩa trên: 𝑠(𝜉)

. 1) 𝑠(𝜉)

2) (𝑠1 + 𝑠2)(𝑥) = 𝑠1(𝑥) + 𝑠2(𝑥) = 𝑠2(𝑥) + 𝑠1(𝑥) = (𝑠2 + 𝑠1)(𝑥)

�(𝑠1 + 𝑠2) + 𝑠�(𝑥) = (𝑠1 + 𝑠2)(𝑥) + 𝑠(𝑥) = 𝑠1(𝑥) + 𝑠2(𝑥) + 𝑠(𝑥)

3) = 𝑠1(𝑥) + (𝑠2 + 𝑠)(𝑥) = �𝑠1 + (𝑠2 + 𝑠)�(𝑥)

−1

(vectơ không của ) ∃0: 𝐵 → E

𝑥 ↦ 0(𝑥) ∶= (0, … 0) 𝑝 ({𝑥})

được gọi là nhát cắt 0 (đóng vai trò vectơ không trong ).

′

(𝑠 + 0)(𝑥) = 𝑠(𝑥) + 0(𝑥) = 𝑠(𝑥) đặt 4) 𝑠(𝜉) 0: 𝐵 → 𝐸

′

∶ 𝐵 → E ∀𝑠: 𝐵 → E 𝑠

(𝑥) = −𝑠(𝑥) ′ 𝑥 ↦ 𝑠 . 5) (𝑥) = 𝑠(𝑥) − 𝑠(𝑥) = 0(𝑥) (𝑠 + 𝑠′)(𝑥) = 𝑠(𝑥) + 𝑠

6) ∃1 ∈ 𝐾: (1. 𝑠)(𝑥) = 1. 𝑠(𝑥) = 𝑠(𝑥)

. �𝜆(𝛽𝑠)�(𝑥) = 𝜆(𝛽𝑠)(𝑥) = 𝜆𝛽𝑠(𝑥) = (𝜆𝛽)𝑠(𝑥)

7) = �(𝜆𝛽)𝑠�(𝑥), ∀𝛽 ∈ 𝐾

, �(𝜆 + 𝛽)𝑠�(𝑥) = (𝜆 + 𝛽)𝑠(𝑥)

= 𝜆𝑠(𝑥) + 𝛽𝑠(𝑥) = (𝜆𝑠 + 𝛽𝑠)(𝑥) ∀𝛽 ∈ 𝐾.

�𝜆(𝑠1 + 𝑠2)�(𝑥) = 𝜆(𝑠1 + 𝑠2)(𝑥)

) = 𝜆�𝑠1(𝑥) + 𝑠2(𝑥)�

𝑛

(phân thớ vectơ tầm thường) n chiều = 𝜆𝑠1(𝑥) + 𝜆𝑠2(𝑥) = (𝜆𝑠1 + 𝜆𝑠2)(𝑥) Giả sử c)

𝑛

Mỗi nhát cắt 𝜉 ≅ 𝐵 × 𝐾

𝑠: 𝐵 → 𝐸 ≅ 𝐵 × 𝐾

𝑛

𝑥 ↦ 𝑠(𝑥) ∶= �𝑥, 𝑠̂(𝑥)� trong đó

𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐 sao cho �⎯⎯⎯� 𝐾

. 𝑠̂: 𝐵

, phép toán định nghĩa theo từng điểm. 𝑥 ↦ 𝑠̂(𝑥) Khi đó ( 𝑠(𝑥) = �𝑥, 𝑠̂(𝑥)� 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐 𝑛 � • �𝑠̂: 𝐵 �⎯⎯⎯� 𝐾 𝑠(𝜉) ≅ 𝑛 . 𝑠̂𝑖: 𝐵 → 𝐾

𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐

𝑥 ↦ 𝑠̂𝑖(𝑥) = 𝑒𝑖 = (0, … ,1, … 0), 𝑠ố 1 ở 𝑣ị 𝑡𝑟í 𝑡ℎứ 𝑖, 𝑖 = 1, 𝑛�� Xét , đại số trên K

_môđun hay trở thành -môđun. �⎯⎯⎯� 𝐾� 𝐶𝐾(𝐵) ∶= �𝑓: 𝐵 trở thành

𝐶𝐾(𝐵) {𝑠̂: 𝐵 → 𝐾} . 𝐶𝐾(𝐵)

• 𝑠(𝜉) • (𝑓𝑠)(𝑥) ∶= 𝑓(𝑥)𝑠(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐵, ∀𝑓 ∈ 𝐶𝐾(𝐵), ∀𝑠 ∈ 𝑠(𝜉)

là _môđun tự do hạng n với cơ sở là . (𝑓𝑠̂)(𝑥) ∶= 𝑓(𝑥)𝑠̂(𝑥), ∀𝑥 ∈ 𝐵

𝐶𝐾(𝐵) {𝑠̂𝑖|𝑖 = 1, 𝑛��} {𝑠̂: 𝐵 → 𝐾}�≅ 𝑠(𝜉)�

2.4.CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ

2.4.1.Phép toán kéo ngược (pull back)

liên tục. là K_ phân thớ vectơ n chiều và  Cho

∗

Đặt 𝜉 = (𝐸, 𝑝, 𝐵)

𝑓 𝑓: 𝐵1 → 𝐵 (𝐸) = 𝐸 × 𝐵1 ∶= {(𝑒, 𝑥1) ∈ 𝐸 × 𝐵1| 𝑝(𝑒) = 𝑓(𝑥1)} ⊂ 𝐸 × 𝐵1

∗

(𝑝, 𝑓)

𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐 �⎯⎯⎯� 𝐵1

(𝐸) = 𝐸 × 𝐵1 𝑝1: 𝑓

∗

∗ cái kéo ngược của 𝑓

và được gọi là là K_ phân thớ vectơ n chiều trên  Kiểm tra (𝑝, 𝑓) (𝑒, 𝑥1) ⟼ 𝑝1(𝑒, 𝑥1) ∶= 𝑥1

bởi f. (𝜉) = (𝑓 (𝐸), 𝑝1, 𝐵1) 𝐵1

𝜉

∗

𝑓 (𝐸) = 𝐸 × 𝐵1 → 𝐸

𝑓

(𝑝, 𝑓) 𝑝1𝑝

𝐵1 �⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯� 𝐵

2.4.2.Tổng Whitney (tổng trực tiếp)

là K_ phân thớ vectơ chiều với và họ hàm  Cho

𝑖 𝒜 = {(𝑈𝛼

𝑖 , 𝜑𝛼

dán )}𝛼 . 𝜉𝑖 = (𝐸𝑖, 𝑝𝑖, 𝐵) 𝑛𝑖

𝑖  Đặt �𝜑�𝛽𝛼

, tức là ta có �, 𝑖 = 1,2��

1 𝜑�𝛽𝛼 ∶= 𝜑�𝛽𝛼

2 ⨁𝜑�𝛽𝛼

 ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅

1 𝜑�𝛽𝛼 = 𝜑�𝛽𝛼

2 ⨁𝜑�𝛽𝛼

(𝑥) 0

1 𝜑�𝛽𝛼 ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ ⋯ (𝑥)

2 ⋮ 𝜑�𝛽𝛼

∶= � � ∈ 𝐺𝐿(𝑛1 + 𝑛2; 𝐾)

𝑛1+𝑛2

bởi họ hàm dán được gọi là Phân thớ vectơ nhận được bằng cách dán

tổng Whitney (hay tổng trực tiếp) của và , kí hiệu . }𝛼 𝜑�𝛽𝛼 {𝑈𝛼 × 𝐾

𝜉  Nhận xét: 𝜉1 , trong đó 𝜉2

𝜉1⨁𝜉2 .

𝜉1⨁𝜉2 = (𝐸, 𝑝, 𝐵) 𝐸 = 𝐸1 × 𝐸2 ∶= {(𝑒1, 𝑒2) ∈ 𝐸1 × 𝐸2| 𝑝1(𝑒1) = 𝑝2(𝑒2)} (𝑝1, 𝑝2)

−1

𝑝 ∶ 𝐸 → 𝐵 (𝑒1, 𝑒2) ↦ 𝑝(𝑒1, 𝑒2) ∶= 𝑝1(𝑒1) = 𝑝2(𝑒2)∈ 𝐵. −1 ({𝑥})⨁𝑝2 ({𝑥}), ∀𝑥 ∈ 𝐵

−1 ({𝑥}) ≅ 𝑝1 𝑝 2.4.3.Tích tenxơ

là K_ phân thớ vectơ chiều với và họ hàm  Cho

𝑖 𝒜 = {(𝑈𝛼

𝑖 , 𝜑𝛼

dán )}𝛼 . 𝜉𝑖 = (𝐸𝑖, 𝑝𝑖, 𝐵) 𝑛𝑖

𝑖  Đặt �𝜑�𝛽𝛼

, tức là ta có �, 𝑖 = 1,2��

1 𝜑�𝛽𝛼 ∶= 𝜑�𝛽𝛼

2 ⨂𝜑�𝛽𝛼

. ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅

1 𝜑�𝛽𝛼 = 𝜑�𝛽𝛼

∈ 𝐺𝐿(𝑛1 + 𝑛2; 𝐾)

𝑛1+𝑛2

Phân thớ vectơ nhận được bằng cách dán bởi họ hàm dán được gọi

và , kí hiệu . }𝛼 là tích tenxơ của 𝜉 {𝑈𝛼 × 𝐾 𝜑�𝛽𝛼

𝜉2 𝜉1⨂𝜉2 𝜉1 2.4.4.Tính chất của các phép tổng trực tiếp và tích tenxơ

𝑛

trên B, và ,  Cố định đáy B, xét các phân thớ vectơ

(phân thớ tầm thường chiều). Ta có: 𝜉, 𝜂, 𝜁 𝑛� ∶= 𝐵 × 𝐾 0 ≤ 𝑛 ∈ ℕ

(i)

(ii)

(𝜉⨁𝜂)⨁𝜁 ≅ 𝜉⨁(𝜂⨁𝜁) (iii) 𝜉⨁0� ≅ 0�⨁𝜉 ≅ 𝜉

(iv) 𝜉⨁𝜂 ≅ 𝜂⨁𝜉

(v)

(vi)

(𝜉⨂𝜂)⨂𝜁 ≅ 𝜉⨂(𝜂⨂𝜁) 𝜉⨂1� ≅ 1�⨂𝜉 ≅ 𝜉 (vii) (𝜉⨁𝜂)⨂𝜁 ≅ (𝜉⨂𝜁)⨁(𝜂⨂𝜁)

𝑛� ≅ 1� ⨁ … ⊕ 1� n lần ��

2.5.PHÂN THỚ PHỨC

2.5.1.Cho đồng cấu đồng nhất thỏa điều kiện .

−1

(𝑥)

𝐼: 𝜉 → 𝜉 𝐼 = −1 Thu hẹp . Do đó là một tự đẳng cấu thỏa tính chất

−1 xác định một cấu trúc của một không gian vectơ phức trên

phép biến đổi 𝐼𝑥 = 𝐼�𝑝 : 𝑝 . = −1 (𝑥) → 𝑝 (𝑥)

2 𝐼𝑥 −1 . Ta cần chỉ ra rằng : trong trường hợp này nhóm cấu trúc 𝑝

Ta có cảm 𝐼𝑥 (𝑥)

sinh nhóm con của các phép biến đổi phức . dim 𝐾 = 2𝑛 𝐺𝐿(2𝑛, ℝ)

𝐺𝐿(𝑛, ℂ) có tính chất rằng hệ là một cơ sở Nếu hệ các vectơ

thực trong không gian , , thì hệ là một cơ sở phức của K. Cố định {𝑣1, … , 𝑣𝑛, 𝐼𝑣1, … , 𝐼𝑣𝑛} {𝑣1, … , 𝑣𝑛}

−1

. Không gian , và do đó có điểm dim 𝐾 = 2𝑛 là một không gian vectơ phức đối với toán tử {𝑣1, … , 𝑣𝑛} 𝐾 −1 . 𝑝 (𝑥) 𝐼𝑥0 một cơ sở phức 𝑥0

(𝑥) , các nhát cắt Cho {𝑣1, … , 𝑣𝑛} ⊂ 𝑝 là một bản đồ của phân thớ thỏa trong

thỏa mãn bản đồ {𝒯1, … , 𝒯𝑛} 𝜉

𝑈𝛼 ∋ 𝑥0 . (𝑈𝛼, 𝜑𝛼) 𝑈𝛼

𝒯𝑘(𝑥0) = 𝑣𝑘, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛

Khi đó hệ nhát cắt hình thành một cơ sở trong thớ và do

−1

trong lân cận đủ nhỏ đó hình thành cơ sở ở mỗi thớ {𝒯1, … , 𝒯𝑛, 𝐼𝒯1, … , 𝐼𝒯𝑛}

−1 . Vì vậy hệ 𝑝 𝑈 ∋ 𝑥0

−1

. hình thành một cở sở phức ở mỗi thớ (𝑥0) trong lân cận đủ nhỏ (𝑥)

và một hệ nhát cắt (𝑥)

𝛼 {𝒯1

𝑝 cho ra một cơ sở phức ở mỗi thớ trong lân cận 𝑝 Điều này nghĩa là có một atlas đủ tốt {𝒯1(𝑥), … , 𝒯𝑛(𝑥)} trong mỗi bản đồ

. Đặt {(𝑈𝛼, 𝜑𝛼)}𝛼 −1 trong không gian vectơ phức 𝑝 𝑈 ∋ 𝑥0 𝛼 . Cố (𝑥), … , 𝒯𝑛 (𝑥)} 𝑈𝛼 ∋ 𝑥0 định một cơ sở phức 𝑈𝛼

, (𝑥) 𝑛 ℂ

𝑛 𝜑𝛼: 𝑈𝛼 × ℂ

𝑛

→ 𝑝 {𝑒1, … , 𝑒𝑛} −1 (𝑈𝛼) 𝑛

𝛼 (𝑥) + � 𝑣𝑘𝐼𝑥�𝒯𝑘 𝑘=1

𝛼 � = � 𝑢𝑘𝒯𝑘 𝑘=1

𝑛

(𝑥)� 𝜑𝛼 �𝑥, � 𝑧𝑘𝑒𝑘 𝑘=1

𝛼 = � 𝑧𝑘𝒯𝑘 𝑘=1

(𝑥), .

được xác định bởi ma trận chuyển từ cơ sở phức Khi đó các hàm chuyển 𝑧𝑘 = 𝑢𝑘 + 𝑖𝑣𝑘, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛

−1 𝜑𝛽𝛼 = 𝜑𝛽 sang cơ sở phức

. Các ma trận này là phức, thuộc

𝛼 (𝑥), … , 𝒯𝑛

𝛽 (𝑥), … , 𝒯𝑛

𝛼 nhóm {𝒯1 phức.

được gọi là phân thớ vectơ . Một phân thớ vectơ với nhóm cấu trúc (𝑥)} (𝑥)� . 𝜑𝛼 𝛽 �𝒯1

𝐺𝐿(𝑛, ℂ) 𝐺𝐿(𝑛, ℂ)

Cho là một phân thớ vectơ thực. Trong phân thớ vectơ , xét cấu trúc của một phân

thớ vectơ phức bởi đồng cấu: 𝜉 𝜉⨁𝜉

−1

. (2.3)

và 𝐼: 𝜉⨁𝜉 → 𝜉⨁𝜉 Phân thớ vectơ phức được định nghĩa bởi (2.3) được gọi là phức hóa của phân thớ (𝑣1, 𝑣2) ↦ 𝐼(𝑣1, 𝑣2) = (−𝑣2, 𝑣1), 𝑣1, 𝑣2 ∈ 𝑝 (𝑥)

được kí hiệu là . Ngược lại, nếu ta bỏ qua cấu trúc phân thớ phức (2.3) trên phân thớ 𝜉

vectơ phức thì ta được phân thớ vectơ thực. Phép toán này được gọi là thực hóa của một 𝑐𝜉

phân thớ vectơ phức và được kí hiệu là . Rõ ràng 𝜉

. 𝑟𝜉

Phép toán được mô tả như trên tương ứng với nhóm đại diện sau: 𝑟𝑐𝜉 = 𝜉⨁𝜉

;

. 𝑐: 𝐺𝐿(𝑛, ℝ) → 𝐺𝐿(𝑛, ℂ)

Nếu là một phân thớ phức, thì điều đó có nghĩa là là một phân thớ vectơ thực được 𝑟: 𝐺𝐿(𝑛, ℂ) → 𝐺𝐿(2𝑛, ℝ)

trang bị cấu trúc phân thớ phức bởi đồng cấu . Theo định nghĩa, phân thớ vectơ 𝜉 𝜉

𝐼: 𝜉 → 𝜉 𝑐𝑟𝜉

là một phân thớ vectơ thực mới với cấu trúc của phân thớ vectơ phức được xác

định bởi đồng cấu: 𝜂 = 𝜉⨁𝜉

(2.4) 𝐼1: 𝜉⨁𝜉 → 𝜉⨁𝜉

mà nói chung khác với

Ánh xạ (2.4) xác định một cấu trúc phức mới trong phân thớ (𝑣1, 𝑣2) ↦ 𝐼1(𝑣1, 𝑣2) = (−𝑣2, 𝑣1) cấu trúc phức được định nghĩa bởi ánh xạ . 𝜂

Triển khai phân thớ theo cách khác: 𝐼

𝜂

Và xác định nghịch ảnh một đồng phôi mới 𝑓: 𝜉⨁𝜉 → 𝜉⨁𝜉 (𝑣1, 𝑣2) ↦ 𝑓(𝑣1, 𝑣2) = (𝐼(𝑣1 + 𝑣2), 𝑣1 − 𝑣2)

Ta có 𝐼2(𝑣1, 𝑣2) = (𝐼𝑣1, −𝐼𝑣2)

(2.5) 𝑓𝐼2(𝑣1, 𝑣2) = 𝑓(𝐼𝑣1, −𝐼𝑣2) = (𝐼(𝐼𝑣1 − 𝐼𝑣2), 𝐼𝑣1 + 𝐼𝑣2)

(2.6) = �𝑣2 − 𝑣1, 𝐼(𝑣1 + 𝑣2)� và

Từ (2.5) và (2.6) ta được (2.7)

𝐼1𝑓(𝑣1, 𝑣2) = 𝐼1(𝐼(𝑣1 + 𝑣2), 𝑣1 − 𝑣2) = �𝑣2 − 𝑣1, 𝐼(𝑣1 + 𝑣2)� xác định một đẳng cấu , trong đó là phân thớ phức với cấu trúc phức 𝑓𝐼2 = 𝐼1𝑓.

. . Phân thớ phức 𝜉̅ ⇒ 𝑓

đẳng cấu như là phân thớ vectơ thực, nghĩa là phép đẳng cấu và được gọi là phân thớ phức liên hợp với phân thớ phức 𝑐𝑟𝜉 ≅ 𝜉⨁𝜉̅ 𝜉̅ 𝜉 (𝑣) = −𝐼(𝑣)

′ Chú ý các phân thớ 𝐼 tương thích đối với nhóm cấu trúc lớn

, nhưng không đẳng cấu đối với nhóm cấu 𝜉 𝜉̅

trúc .

𝐺𝐿(2𝑛, ℝ) Do vậy ta có công thức 𝐺𝐿(𝑛, ℂ)

𝑐𝑟𝜉 = 𝜉⨁𝜉̅ là các hàm chuyển của một phân thớ vectơ Mệnh đề 1: Cho

phức được định nghĩa bởi ma trận liên hợp phức 𝜑�𝛽𝛼: 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 → 𝐺𝐿(𝑛, ℂ) . Khi đó phân thớ vectơ liên hợp phức

. 𝜉 𝜉̅

𝜑�𝛽𝛼 Chứng minh

Cho V là một không gian vectơ phức n chiều với phép toán nhân và đơn vị ảo , V’ là

không gian vectơ phức n chiều cùng với phép toán nhân và cấu trúc phức được xác đinh bởi

. Cơ sở phức của V cũng là cơ sở phức của V’. Nhưng nếu 𝐼 có tọa

′ độ phức 𝐼 = −𝐼

trong V’ sẽ có tọa độ . thì cũng vectơ {𝑒1, … , 𝑒𝑛} 𝑣 ∈ 𝑉

(𝑧1, … , 𝑧𝑛) 𝑣 (𝑧̅1, … , 𝑧̅𝑛)

Do đó nếu là một cơ sở phức khác thì phép biến đổi ma trận phức từ hệ tọa độ

về cơ sở đầu sang hệ tọa độ sau được xác định bởi sự khai triển các vectơ {𝑓1, … , 𝑓𝑛}

. {𝑓1, … , 𝑓𝑛}

Đối với không gian V sự khai triển là {𝑒1, … , 𝑒𝑛}

, 𝑓𝑘 = � 𝑧𝑗𝑘𝑒𝑗 𝑗 Và đối với không gian V’ sự khai triển là

𝑓𝑘 = � 𝑧̅𝑗𝑘𝑒𝑗 𝑗 Do vậy ta có mệnh đề 1.

∎

2.6.PHÂN THỚ CON

′

2.6.1.Định nghĩa: Phân thớ được gọi là phân thớ con của phân thớ

′ , p

nếu là không gian con của không gian E, = (E , B′) ξ là không gian con của không gian B ξ =

′

. B′ E′

= p�E : E′ → B′ và (E, p, B) ′ p Cho là một đồng cấucủa phân thớ vectơ với đáy B và giả sử ánh xạ theo thớ

hạng không đổi. Cho các phép chiếu:

𝑓: 𝜉1 → ξ2 𝑓𝑥: (𝜉1)𝑥 → (ξ2)𝒙

Đặt 𝑝1: 𝐸1 → 𝐵 𝑝2: 𝐸2 → 𝐵

−1 . 𝐸0 = {𝑦 ∈ 𝐸1: 𝑓(𝑦) = 0 ∈ 𝑝2 𝐸 = 𝑓(𝐸1)

(𝑥), 𝑥 = 𝑝1(𝑦)}

2.6.2.Định lý 4

là một phân thớ mà nhận một cấu trúc phân thớ vectơ 1. Ánh xạ

duy nhất sao cho phép bao hàm tự nhiên là một đồng cấu. 𝑝0 = 𝑝1|𝐸0: 𝐸0 → 𝐵

là một phân thớ mà nhận một cấu trúc phân thớ vectơ duy 2. Ánh xạ 𝐸0 → 𝐸1

nhất và ánh xạ là các đồng cấu của các 𝜉0 𝑝 = 𝑝2|𝐸: 𝐸 → 𝐵 sao cho phép bao hàm

phân thớ vectơ. 𝜉 𝐸 → 𝐸2 𝑓: 𝐸1 → 𝐸

3. Tồn tại đẳng cấu

𝜑: 𝜉1 → 𝜉0⨁𝜉

thỏa mãn tích 𝜓: 𝜉2 → 𝜉⨁𝜂

−1

có ma trận dạng 𝜓 ∘ 𝑓 ∘ 𝜑 : 𝜉0⨁𝜉 → 𝜉⨁𝜂

−1

� = � Phân thớ 𝜓 ∘ 𝑓 ∘ 𝜑 được gọi là nhân của ánh xạ f , kí hiệu Ker f, phân thớ được gọi là ảnh của 0 𝐼𝑑 0 0 ánh xạ f, kí hiệu Im f. Vì vậy ta có ξ0 ξ

Theo định nghĩa phân thớ con, là phân thớ con của phân thớ và là phân thớ con dim ξ1 = dim Ker f + dim Im f

của phân thớ . 𝜉0 𝜉1 𝜉

Chứng minh 𝜉2

và được trang bị với tích vô hướng. Giả sử các phân thớ vectơ

xác định một 𝜉2 Đầu tiên ta chứng minh ý 2 của định lý 4, đó là ánh xạ 𝜉1

có một bản đồ và một hệ các nhát phân thớ vectơ. Ta cần chứng minh rằng 𝑝 = 𝑝2|𝐸: 𝐸 → 𝐵

cắt liên tục hình thành một cơ sở trong mỗi không gian con 𝑈 ∋ 𝑥0 ∀𝑥0 ∈ 𝐵

−1 𝑓𝑥�𝑝1 . Ánh xạ

−1 𝑝2

trong không gian con 𝜎1, … , 𝜎𝑘: 𝑈 → 𝐸 . Cố định một cơ sở (𝑥)� ⊂

−1 𝑓𝑥0�𝑝1

(𝑥) (𝑥0)�

−1 (𝑥0) → 𝑓𝑥0�𝑝1

là một toàn cấu và do đó ta có thể chọn các vectơ thỏa mãn {𝑒1, … , 𝑒𝑘} −1 𝑓𝑥0: 𝑝1

−1 𝑔1, … , 𝑔𝑘 ∈ 𝑝1

(𝑥0)� . (𝑥0)

là một phân thớ nên với mỗi thỏa mãn trên U phân thớ Vì

𝜉 tồn tại một 𝑓𝑥0�𝑔𝑗� = 𝑒𝑗, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 . Do đó có các nhát cắt liên tục 𝑥0 đẳng cấu với 𝜉1

−1 𝑈 × 𝑝1

𝑈 ∋ 𝑥0 (𝑥0)

𝜏𝑗: 𝑈 → 𝐸1, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘

, . Xét các nhát cắt 𝑥0 ↦ 𝜏𝑗(𝑥0) = 𝑔𝑗

1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 𝜎𝑗 = 𝑓�𝜏𝑗� Khi đó .

Các nhát cắt là liên tục và do đó có một lân cận nhỏ hơn thỏa mãn đối với bất 𝜎𝑗(𝑥0) = 𝑓 �𝜏𝑗(𝑥0)� = 𝑓�𝑔𝑗� = 𝑒𝑗,1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘

′

. kì điểm hình thành một cơ sở của không gian con 𝜎𝑗 hệ 𝑈′ ∋ 𝑥0

−1 𝑓𝑥�𝑝1

Do đó E là không gian toàn thể của một không gian phân thớ và phép bao lồng 𝑥 ∈ 𝑈 {𝜎1(𝑥), … , 𝜎𝑘(𝑥)} là (𝑥)�

đồng cấu. Tính duy nhất của cấu trúc phân thớ trên E là rõ ràng. 𝐸 → 𝐸2

Ta sang ý 1 của định lý 4:

Kí hiệu là ánh xạ theo thớ mà mỗi thớ là phép chiếu trực chuẩn

−1 𝑝1

. Ta cần chứng minh P là liên tục trên mỗi bản đồ tách U. Chú ý vào (𝑥)

. là phần bù trực giao của không gian con (𝑥) 𝐾𝑒𝑟 𝑓𝑥 𝑃: 𝜉1 → 𝜉1 −1 𝐾𝑒𝑟 𝑓𝑥 ⊂ 𝑝1

∗ 𝐼𝑚 𝑓𝑥 ∗ 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑓𝑥

∗

Do đó ta có thể áp dụng ý 2 của định lí 4 vào ánh xạ . Vì vậy ảnh là một phân = 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑓𝑥

thớ vectơ. 𝑓 𝐼𝑚 𝑓

Cho là một hệ các nhát cắt

∗

{𝜎1, … , 𝜎𝑘}

hình thành một cơ sở của không gian con với mỗi . 𝜎𝑗: 𝑈 → 𝐼𝑚 𝑓

∗ 𝐼𝑚 𝑓𝑥

Khi đó ⊂ 𝐸1 −1 ⊂ 𝑝1 (𝑥) 𝑥 ∈ 𝑋

𝑘 𝑗=1

thỏa mãn 𝑦 = 𝑃(𝑦) + ∑ 𝜆𝑗𝜎𝑗(𝑥)

1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑘 〈𝑃(𝑦), 𝜎𝑙(𝑥)〉 = 0, 𝑘

𝑘

, 𝜎𝑙(𝑥)〉 = 0, 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑘 ⟺ 〈𝑦 − � 𝜆𝑗𝜎𝑗(𝑥) 𝑗=1

𝑗=1

𝑘

⟺ 〈𝑦, 𝜎𝑙(𝑥)〉 − 〈� 𝜆𝑗𝜎𝑗(𝑥) , 𝜎𝑙(𝑥)〉 = 0,1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑘

𝑗=1

𝑘

𝑙(𝑥)〉 = 〈𝑦, 𝜎𝑙(𝑥)〉, 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑘.

⟺ 〈� 𝜆𝑗𝜎𝑗(𝑥) , 𝜎𝑙(𝑥)〉 = 〈𝑦, 𝜎𝑙(𝑥)〉, 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑘

⟺ � 𝜆𝑗 𝑗=1 〈𝜎𝑗(𝑥), phụ thuộc liên tục vào x. Ma trận

⇒ �〈𝜎𝑗(𝑥), 𝜎𝑙(𝑥)〉� Ma trận nghịch đảo phụ thuộc liên tục vào x.

−1 P liên tục.

phụ thuộc liên tục vào x các số ⇒ �〈𝜎𝑗(𝑥), 𝜎𝑙(𝑥)〉�

Hạng của P không phụ thuộc vào x, áp dụng ý 2, ta có điều phải chứng minh. ⇒ ⇒ 𝜆𝑗

∗

Ý 3 được suy ra từ sự phân tích

⨁𝐼𝑚 𝑓∎ 𝜉1 = 𝐾𝑒𝑟 𝑓 ⨁𝐼𝑚 𝑓 ∗ 𝜉2 = 𝐾𝑒𝑟 𝑓

2.6.3.Định lý 5

Cho là một phân thớ vectơ trên đáy compact B. Khi đó có một phân thớ vectơ trên B

thỏa là phân thớ tầm thường. 𝜂 𝜉

Chứng minh 𝜉 ⨁ 𝜂 = 𝑁�

Sử dụng định lý 4, ta cần xây dựng một đồng cấu

Trong đó trên mỗi thớ. Chú ý rằng nếu là tầm thường thì hiển nhiên 𝑓: 𝜉 → 𝑁�

tồn tại f như vậy. Do đó với bản đồ bất kì 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑓 = dim 𝜉 có một đồng cấu 𝜉

. 𝑈𝛼

Cho là một phân hoạch đơn vị tương ứng với atlas . Khi đó mỗi ánh xạ → 𝑁�𝛼, 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑓𝛼 = dim 𝜉 𝑓𝛼: 𝜉|𝑈𝛼

có thể được mở rộng bởi ánh xạ tầm thường 0 thành {𝜑𝛼} 𝜑𝛼𝑓𝛼

trong đó {𝑈𝛼}

Ánh xạ có tính chất sau: nếu . thì = 𝜑𝛼𝑓𝛼 𝑔𝛼: 𝜉 → 𝑁�𝛼,

Cho 𝑔𝛼 = dim 𝜉 𝜑𝛼(𝑥) ≠ 0

𝑔𝛼|𝑈𝛼 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑔𝛼|𝑥

như vậy thỏa Hơn nữa, , tồn tại một . 𝑔: 𝜉 → ⨁𝛼𝑁�𝛼 = 𝑁� 𝑦 ↦ 𝑔(𝑦) = (𝑔1(𝑦), … , 𝑔𝛼(𝑦), … ) nên ⇒ 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑔𝛼 ≤ 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑔 ≤ dim 𝜉, ∀𝛼

đẳng cấu với và Do đó áp dụng định 4, ta có 𝛼 ∀𝑥 ∈ 𝐵 . Do đó phân thớ 𝜑𝛼(𝑥) ≠ 0 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝑔 = dim 𝜉

𝐾𝑒𝑟 𝑔 = 0 𝜉 𝐼𝑚 𝑔

𝑁� = 𝐼𝑚 𝑔 ⊕ 𝜂. ∎ 2.6.4.Bổ đề Urysohn

Cho A và B là các đa tạp con đóng rời của không gian X. Khi đó tồn tại một hàm liên

tục thỏa mãn và .

𝑓: 𝑋 → 𝐼 𝑓(𝐴) = 0 𝑓(𝐵) = 1 ∎ 2.6.5.Định lý 6

, là hai phân thớ vectơ trên một đáy compact B và cho không gian con đóng Cho

: 𝜉2 . Cho một đồng cấu hạn chế trên 𝜉1

𝐵0 ⊂ 𝐵

có thể được mở rộng thành đồng cấu Khi đó ánh xạ → 𝜉2|𝐵0 𝐵0 𝑓0: 𝜉1|𝐵0

𝑓0

Chứng minh 𝑓: 𝜉1 → 𝜉2, 𝑓|𝐵0 = 𝑓0

Trong trường hợp các phân thớ là tầm thường, vấn đề nảy sinh là xây dựng các mở rộng

của các hàm giá trị ma trận. Vấn đề này được suy ra từ bổ đề Urysohn liên quan đến mở

rộng các hàm liên tục.

Đối với trường hợp tổng quát, ta áp dụng định lí 5.

Cho và là các phân thớ tầm thường, cho là một phép chiếu

là phép bao hàm tự nhiên, cho tự nhiên, và 𝜉1⨁𝜂1 𝜉2⨁𝜂2

𝑃: 𝜉2⨁𝜂2 → 𝜉2 𝑄: 𝜉1 → 𝜉1⨁𝜂1

và ánh xạ tầm thường 0. Khi đó có một mở rộng của thành đồng là tổng trực tiếp của → (𝜉2⨁𝜂2)|𝐵0 ℎ0 = 𝑓0⨁0: (𝜉1⨁𝜂1)|𝐵0

cấu ℎ0

𝑓0 .

. Rõ ràng rằng .

Cho ℎ: 𝜉1⨁𝜂1 → 𝜉2⨁𝜂2 𝑓|𝐵0 = 𝑓0 ∎ 𝑓 = 𝑃ℎ𝑄: 𝜉1 → 𝜉2

2.7.PHÂN THỚ VECTƠ LIÊN KẾT VỚI ĐA TẠP VÀ CÁC VÍ DỤ

Phân thớ vectơ được nảy sinh một cách tự nhiên từ lý thuyết đa tạp khả vi. Nhờ khái niệm phân thớ tiếp xúc,

nhiều vấn đề của đa tạp khả vi được trình bày chặt chẽ và chính xác hơn. Như là những áp dụng của phân thớ vectơ

trong Hình học vi phân, mục này trình bày lại một số vấn đề cốt yếu về đa tạp vi phân trong “ngôn ngữ” phân thớ vectơ.

2.7.1.Đa tạp n chiều là một không gian mêtric X thoả mãn với mỗi có một lân cận

mở đồng phôi với một tập con mở V của không gian tuyến tính

. 𝑥 ∈ 𝑋 𝑛 ℝ được gọi là một đồng phôi tọa độ. 𝑈 ∋ 𝑥 Đồng phôi

𝑛 𝜑: 𝑈 → 𝑉 ⊂ ℝ

𝑗

được gọi là các hàm tọa độ trên đa tạp X trong lân cận U. Các hàm

1 ∘ 𝜑: 𝑈 → ℝ 𝑛

được xác định trên lân cận U được gọi là một hệ tọa độ địa phương Hệ các hàm 𝑥 = 𝑥 1 } , … , 𝑥 của đa tạp X. {𝑥

được gọi là bản đồ. Tập mở U được trang bị với hệ tọa độ địa phương

𝑛 được gọi là một atlas nếu }

Hệ các bản đồ là một phủ của đa tạp X, , … , 𝑥 {𝑥

𝑛 , … , 𝑥𝛼

1 �𝑈𝛼, {𝑥𝛼

nghĩa là }� {𝑈𝛼}

𝑋 = � 𝑈𝛼 𝛼

Vì vậy với mỗi đa tạp n chiều đều có một atlas. Nếu một điểm thuộc hai bản đồ

thì trong một lân cận của x có hai hệ tọa độ địa phương. Trong trường hợp này, 𝑥 ∈ 𝑋

có thể được biểu diễn bởi các hàm giá trị của các tọa độ địa phương 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 tọa độ địa phương

𝑗 nghĩa là có các hàm 𝑥𝛼

thỏa mãn

𝑘 𝜑𝛽𝛼

1 �𝑥𝛽

(2.7) �

1 �𝑥𝛽

𝑘 = 𝜑𝛽𝛼

𝑛 , … , 𝑥𝛽 𝑘 𝑥𝛼 Trong đó

�

𝑛 , … , 𝑥𝛽 −1 𝜑𝛽𝛼 = 𝜑𝛽∘𝜑𝛼

≈ → 𝜑𝛽�𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽�, ∀𝛼, 𝛽, 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ≠ ∅

1 𝜑𝛼(𝑥) = �𝑥𝛼

𝑛 (𝑥), … , 𝑥𝛼

Cụ thể : 𝜑𝛼�𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽�

𝑛 (𝑥), … , 𝑥𝛽

(𝑥)� , ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 1 𝜑𝛽(𝑥) = �𝑥𝛽 (𝑥)� , ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛽 . Ta được

𝑛 (𝑥), … , 𝑥𝛼

1 (𝑥)� = �𝑥𝛽

𝑛 (𝑥), … , 𝑥𝛽

1 𝜑𝛽𝛼�𝑥𝛼 được gọi là hàm chuyển từ hệ tọa độ này thành sang hệ tọa độ khác.

(𝑥)� , ∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 Hệ hàm

. �𝜑𝛽𝛼� (2.7) được viết lại là

𝑘 𝑥𝛼

𝑘

thỏa tất cả các hàm chuyển là các hàm khả vi lớp Nếu lấy một atlas , �

𝑛 1 �𝑥𝛽 , … , 𝑥𝛽 𝑛 , thì ta nói X có cấu trúc đa tạp khả vi lớp , … , 𝑥𝛼

𝑘 = 𝑥𝛼 1 �𝑈𝛼, {𝑥𝛼

𝑘

. Nếu tất cả các hàm chuyển là các }� 𝐶

𝐶

hàm khả tích thì ta nói X có cấu trúc đa tạp khả tích. 1 ≤ 𝑘 ≤ ∞ Trong trường hợp

𝑚+𝑘

, 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚,

là các hàm phức khả tích trong miền Và các hàm 𝑛 = 2𝑚, 𝑘 = 𝑥𝛼 = 𝑥𝛼 𝑘 = 𝑢𝛼

𝑘 𝑢𝛼 𝑘 𝑣𝛼 𝑘 𝑧𝛼 𝑛 , … , 𝑥𝛽

𝑘 = 𝜑𝛽𝛼

𝑘 𝑧𝛼

� , 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚, 𝑘 + 𝑖𝑣𝛼 𝑘 1 �𝑥𝛽 � + 𝑖𝜑𝛽𝛼 , 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑚, 𝑛 1 xác định thì X có cấu trúc của đa tạp phức khả tích. �𝑥𝛽 , … , 𝑥𝛽

2.7.2.Ánh xạ khả vi

𝑚

Cho , là hai đa tạp khả vi, là ánh xạ khả vi nếu với mọi bản đồ

𝑛 , mọi bản đồ

𝑛 mà 𝑓: 𝑋 𝑚

−1

của của ta đều có (𝑈, 𝜑) 𝑌 𝑋 𝑛 𝑋 𝑌 → 𝑌 là ánh xạ khả vi. 𝑓(𝑈) ⊂ 𝑉 𝑚 (𝑉, 𝜓) 𝑛 : 𝜑(𝑈) ⊂ ℝ → 𝜓(𝑉) ⊂ ℝ Trong ngôn ngữ hệ tọa độ địa phương 𝜓 ∘ 𝑓 ∘ 𝜑

𝑛

hệ tọa độ địa phương

1−1 �⎯� {𝑈; 𝑥

𝑛

} , … , 𝑥 (𝑈, 𝜑)

𝑛 (𝑥)� ∈ 𝜑(𝑈) ⊂ ℝ

𝑥 ∈ 𝑈 ↦ 𝜑(𝑥) = �𝑥 (𝑥), … , 𝑥

𝑚

hệ tọa độ địa phương

1−1 �⎯� {𝑉; 𝑦

𝑚

} , … , 𝑦 (𝑉, 𝜓)

(𝑦), … , 𝑦 (𝑦)� ∈ 𝜓(𝑉) ⊂ ℝ

𝑛

𝑚

𝑦 ∈ 𝑉 ↦ 𝜓(𝑦) = �𝑦 −1 𝜓 ∘ 𝑓|𝑈 ∘ 𝜑 : 𝜑(𝑈) → 𝜓(𝑉)

𝑚

𝑛

−1

Ta được (𝑦)�, 𝑦 = 𝑓(𝑥) (𝑥), … , 𝑥 𝑛 (𝑥)� ↦ �𝑦 1 1 (𝑦), … , 𝑦 𝑛 )� �𝑥 −1 𝜓 ∘ 𝑓|𝑈 Ta thường đồng nhất ∘ 𝜑 , … , 𝑥 , … , 𝑥 ) = �𝑦 và xem nó như hàm n biến, m chiều. Ta cũng bảo (𝑥 ), … , 𝑦 (𝑥

−1

là , … , 𝑥 = 𝜓 ∘ 𝑓|𝑈 ∘ 𝜑

𝑛

𝑚

(𝑥 𝑓|𝑈 biểu diễn địa phương của ánh xạ khả viftrong cặp hệ tọa độ địa và = 𝜓 ∘ 𝑓|𝑈 ∘ 𝜑

là một atlas. Cố định điểm 𝑓|𝑈 phương 1 Cho X là một đa tạp n chiều, . Một vectơ } , … , 𝑥 {𝑈; 𝑥 {𝑉; 𝑦

tiếp xúc của đa tạp X tại thỏa mãn , … , 𝑦 1 có hệ các số �𝑈𝛼, {𝑥𝛼 𝑥0 ∈ 𝑋

𝑗 (𝑥0) (2.8)

𝑘 𝜉𝛼

𝑗 = � 𝜉𝛽 𝑗=1

𝑘 𝜕𝑥𝛼 𝜕𝑥𝛽

) }. 𝑛 , … , 𝑥𝛼 }� 𝑛 1 , … , 𝜉𝛼 (𝜉𝛼 𝜉 𝑥0 𝑛

. được gọi là tọa độ của vectơ đối với bản đồ

𝑛 , … , 𝜉𝛼

𝑛 , … , 𝑥𝛼

1 Xét một đường cong khả vi (𝜉𝛼

1 �𝑈𝛼, {𝑥𝛼

𝑛

) }� 𝜉

sao cho

được xác định bởi họ hàm trơn ) Trong hệ tọa độ địa phương 𝑡 ↦ 𝛾(𝑡)

1 𝛾(0) = 𝑥0 = (𝑥0𝛼 1 . {𝑥𝛼

} 𝛾: (−1; 1) → 𝑈𝛼 ⊂ 𝑋 𝑛 , đường cong , … , 𝑥0𝛼 𝑛 , … , 𝑥𝛼 𝛾

𝑘 𝑥𝛼 Cho

𝑘 (𝑡) = 𝑥𝛼

𝜕 𝑘 𝜕𝑡 �𝑥𝛼

𝑘 𝜉𝛼

(2.9) �𝛾(𝑡)�, 𝑡 ∈ (−1; 1)

= (𝑡)�|𝑡=0 Rõ ràng (2.9) thỏa mãn (2.8), nghĩa là chúng xác định một vectơ tiếp xúc tại điểm với

𝑑𝛾 tất cả các vectơ tiếp xúc với X được kí hiệu TX. Tập TX được trang bị với tôpô tự nhiên. 𝑑𝑡 (0)

X. Vectơ được gọi là vectơ tiếp xúc với đường cong và được kí hiệu . Họ 𝑥0 𝜉 ′ 𝛾 𝛾 𝜉 (0) =

2.7.3.Cho ánh xạ . Hiển nhiên p là toàn ánh liên tục. Hơn nữa, p xác định một

phân thớ vectơ với đáy X, không gian toàn thể TX và thớ đẳng cấu với không gian tuyến 𝑝: 𝑇𝑋 → 𝑋

𝑛 ℝ

. tính

Nếu là một bản đồ trên đa tạp X, thì ta xác định một đồng phôi

−1

(𝑈𝛼, 𝜑𝛼)

𝑛 với tọa độ được xác định như sau kết hợp vectơ tiếp xúc 𝜑𝛼: 𝑈𝛼 × ℝ → 𝑝

𝑛

Mà hệ (𝑈𝛼)

) , … , 𝜉 𝜉 (𝑥0, 𝜉

𝑛

𝑗

𝑘 𝜉𝛽

𝑗 (𝑥0)

𝑘 𝜕𝑥𝛽 𝜕𝑥𝛼

= � 𝜉 𝑗=1 Từ đó ta có

−1 𝜑𝛼

1 . Do đó hàm chuyển (𝜉) = (𝑝(𝜉), 𝜉𝛼

𝑘 𝜉𝛼

trong đó là tọa độ của được xác định bởi

𝑛 𝑘 , … , 𝜉𝛼 , … , 𝜉𝛼 ) −1 𝜑𝛽𝛼 = 𝜑𝛽 ∘ 𝜑𝛼

𝑛

𝜉

𝑗 (𝑥0), … , � 𝜉

1 𝑗 𝜕𝑥𝛽 𝜕𝑥𝛼

𝑛 𝑗 𝜕𝑥𝛽 𝜕𝑥𝛼

𝑗 (𝑥0)� (2.10) ) = �𝑥0, � 𝜉 Công thức (2.10) chỉ ra rằng các hàm chuyển là ánh xạ tuyến tính theo thớ. Do vậy ánh xạ p

, … , 𝜉 𝜑𝛽𝛼(𝑥0, 𝜉

xác định một phân thớ vectơ.

Phân thớ vectơ được gọi là phân thớ tiếp xúc của đa tạp X. Thớ được gọi là

không gian tiếp xúc tại x của đa tạp X. 𝑝: 𝑇𝑋 → 𝑋 𝑇𝑥𝑋

𝑛

𝑚

𝑛

𝑚

, với , là các đa tạp. Ta xây dựng đồng cấu của 2.7.4.Cho ánh xạ khả vi

các phân thớ tiếp xúc tương ứng. → 𝑌 𝑋 𝑌 𝑓: 𝑋

𝑛

, chọn đường cong khả vi

𝑛

∀𝜉 ∈ 𝑇𝑥0𝑋

𝑛

𝛾: (−1; 1) → 𝑈 ⊂ 𝑋 1 sao cho . (𝑡), … , 𝑥 (𝑡)�

1 𝛾(0) = 𝑥0 = (𝑥0

1′

𝑚′

. Khi đó Vectơ tiếp xúc của )

𝑚

(0), … , 𝑥 (0)� = 𝜉

1 ∘ 𝛾(0) = 𝑓(𝑥0) = 𝑦0 = �𝑦0

𝑡 ↦ 𝛾(𝑡) = �𝑥 𝑛 , … , 𝑥0 𝛾(0) = 𝑥0 = �𝑥 là đường cong khả vi trong V mà 𝑓|𝑈 ∘ 𝛾: (−1; 1) → 𝑓(𝑈) ⊂ 𝑉 ⊂ 𝑌

, … , 𝑦0 � 𝑚 Ta định nghĩa ∘ 𝛾(𝑡) = 𝑓�𝛾(𝑡)� = �𝑦 𝑓|𝑈 𝑓|𝑈 (𝑡)�

𝑛

𝑚

(𝑡), … , 𝑦

𝐷𝑓: 𝑇𝑥0𝑋 → 𝑇𝑦0𝑌

𝜉 ↦ 𝐷𝑓(𝜉) ∶= nghĩa là là một vectơ tiếp xúc của . 𝑑 (𝑓𝑈 ∘ 𝛾)|𝑡=0 tại 𝑑𝑡

là hệ tọa độ của lân cận các điểm tương ứng Cho và . và 𝑦0 = 𝑓(𝑥0) ∘ 𝛾 𝑓|𝑈

𝑛 , … , 𝑥𝛼

𝑚 , … , 𝑦𝛽

1 �𝑦𝛽

Khi đó ánh xạ f được xác định bởi họ các hàm } � 𝑥0 𝐷𝑓(𝜉) 1 {𝑥𝛼 𝑦0

𝑗 𝑦𝛽

𝑗 = 𝑦𝛽

𝑛 , … , 𝑥𝛼

1 (𝑥𝛼

𝑘 𝑥𝛼

𝑘 = 𝑥𝛼

Nếu là các hàm xác định đường cong thì )

(𝑡) 𝛾(𝑡)

𝑘 𝜉𝛼

𝑘 𝑑𝑥𝛼 𝑑𝑡

(0). Do đó đường cong = được định nghĩa bởi các hàm

𝑓 ∘ 𝛾(𝑡)

1 �𝑥𝛼

𝑗 được xác định bởi 𝑦𝛽

𝑗 = 𝑦𝛽

𝑛 (𝑡), … , 𝑥𝛼

và vectơ (𝑡)�

𝐷𝑓(𝜉)

1 𝑑𝑦𝛽 𝑑𝑡

𝑚 𝑑𝑦𝛽 𝑑𝑡

𝑛

𝑘 (𝑥0)

𝐷𝑓(𝜉) = � (0), … , (0)�

𝑘 (𝑥0)

𝑚 𝜕𝑦𝛽 𝜕𝑥𝛼

𝑘 𝑑𝑥𝛼 𝑑𝑡

1 𝜕𝑦𝛽 𝜕𝑥𝛼

𝑘 𝑑𝑥𝛼 𝑑𝑡

𝑛

𝑘 (𝑥0)

(0)� (0), … , � 𝑘=1 = �� 𝑘=1

1 𝑘 (𝑥0)𝜉𝛼 được định nghĩa tốt vì

𝑚 𝜉𝛼 � (2.11) không phụ

1 𝜕𝑦𝛽 𝜕𝑥𝛼

𝑚 𝜕𝑦𝛽 𝜕𝑥𝛼

= �� 𝑘=1 , … , � 𝑘=1 Từ (2.11) suy ra được rằng thứ nhất ánh xạ

, thứ hai thuộc vào sự lựa chọn đường cong nhưng chỉ đúng trên vectơ tiếp xúc tại 𝐷𝑓

là tuyến tính theo thớ. 𝐷𝑓 𝐷𝑓 𝑥0

𝛾 được gọi là ánh xạ vi phân của f.

. Phân thớ tiếp xúc của đa tạp đẳng cấu với Nhận xét 𝐷𝑓 Xét một hàm khả vi một biến

1 ℝ

1 → ℝ

1 𝑓: ℝ

1 × ℝ

2 = ℝ

1 ℝ

1 × ℝ

1 → ℝ

1 × ℝ

1 𝐷𝑓 ∶ ℝ

. Do đó ta có vi phân

Mặt khác vi phân cổ điển có dạng (𝑥, 𝜉) ↦ (𝑥, 𝑓′(𝑥)𝜉)

Do đó . Vì vậy định nghĩa vi phân của là một khái niệm tổng 𝑑𝑓 = 𝑓′(𝑥)𝑑𝑥

quát của vi phân cổ điển của hàm. 𝐷𝑓(𝑥, 𝑑𝑥) = (𝑥, 𝑑𝑓) 𝐷𝑓 𝑓

Tính chất: Vi phân có các tính chất sau:

, (a) 𝐷𝑓

(b)

, 𝐷(𝑓 ∘ 𝑔) = (𝐷𝑓) ∘ (𝐷𝑔) là một vi phôi thì đẳng cấu, (c) Nếu 𝐷(𝐼𝑑) = 𝐼𝑑

𝐷𝑓 𝑓

là nhúng chìm thì là một đơn cấu theo thớ. (d) Nếu

𝐷𝑓 𝑓 2.7.5.Xét đa tạp khả vi Y và một đa tạp con . Phép bao lồng là một ánh xạ

khả vi thỏa vi phân là một đơn cấu theo thớ, 𝑋 ⊂ 𝑌 𝑗: 𝑋 ↪ 𝑌

𝐷𝑗

(là hạn chế của phân thớ tiếp xúc Khi đó trên đa tạp X có hai phân thớ vectơ,đó là

của đa tạp Y trên đa tạp con X) và phân thớ con 𝐷𝑗: 𝑇𝑋 → 𝑇𝑌 ∗ . (𝑇𝑌) 𝑗

∗

phân tích thành tổng trực tiếp của hai số hạng sau : Theo định lý 4, phân thớ 𝑇𝑋

∗

(𝑇𝑌) 𝑗

Phần bù được gọi là phân thớ chuẩn tắc đối với đa tạp con . Mỗi thớ của phân thớ 𝑗

(𝑇𝑌) = 𝑇𝑋⨁𝜂 gồm các vectơ tiếp xúc của Y mà trực giao với không gian tiếp xúc 𝑋 ⊂ 𝑌

Phân thớ chuẩn tắc được kí hiệu là hoặc . tại điểm 𝜂 𝑥0

. 𝜂 𝑇𝑥0(𝑋) Rõ ràng khái niệm của phân thớ chuẩn tắc có thể được định nghĩa không chỉ đối với đa 𝜈(𝑋 ⊂ 𝑌) 𝜈(𝑋)

tạp con mà còn đối với bất kỳ phép nhúng chìm . Ta còn biết rằng với bất kỳ đa tạp

𝑁

, số N nào đó đủ lớn. Cho một compact X có một phép bao lồng vào không gian Euclide 𝑗: 𝑋 → 𝑌

𝑁

, khi đó phép bao lồng ℝ

∗

𝑗: 𝑋 → ℝ

𝑁 (𝑇ℝ

là tầm thường và vì vậy (2.12) Phân thớ )

𝑁 ) = 𝑇𝑋⨁𝜈(𝑋 ⊂ ℝ 𝑇𝑋⨁𝜈(𝑋) = 𝑁�

𝑗 𝑁 Trong trường hợp này phân thớ được gọi là phân thớ chuẩn tắc của đa tạp X (bất kể

𝑇ℝ phép bao lồng). 𝜈(𝑋)

Chú ý: phân thớ chuẩn tắc của đa tạp X không là duy nhất. Phân thớ phụ thuộc vào

𝑁

và số chiều N. Nhưng đối với đẳng thức (2.12) thì phân thớ là duy nhất. không gian

Cho . Khi đó 𝜈(𝑋) là một phân thớ chuẩn tắc khác thỏa ℝ

𝜈1(𝑋)

𝑇𝑋⨁𝜈1(𝑋) = 𝑁�1 𝜈(𝑋)⨁𝑇𝑋⨁𝜈1(𝑋) = 𝜈(𝑋)⨁𝑇𝑋⨁𝜈1(𝑋) (trong trường hợp phân thớ là tầm thường). ⇒ 𝜈(𝑋)⨁𝑁�1 = 𝑁�⨁𝜈1(𝑋).

_1 chiều. Xác định hai bản đồ trên : ⇒ 𝜈(𝑋) ≅ 𝜈1(𝑋) Ví dụ 1: Xét đường tròn

𝑆 𝑆

trong đó là một tham số góc trong hệ tọa độ cực trong mặt phẳng. Trên , lấy hàm 𝑈1 = {−𝜋 < 𝜑 < 𝜋} 𝑈2 = {0 < 𝜑 < 2𝜋}

𝑈1 𝜑

𝑥1 = 𝜑, −𝜋 < 𝑥1 < 𝜋,

và trên lấy hàm

𝑈2 Trong tập giao

gồm hai thành phần liên thông 𝑥2 = 𝜑, 0 < 𝑥2 < 2𝜋 𝑈1 ∩ 𝑈2

Khi đó hàm chuyển có dạng 𝑉1 = {0 < 𝜑 < 𝜋}, 𝑉2 = {𝜋 < 𝜑 < 2𝜋}.

𝑥1 = 𝑥1(𝑥2) = � Theo (2.10) ta có 𝑥2 , 0 < 𝑥2 < 𝜋, 𝑥2 − 2𝜋, 𝜋 < 𝑥2 < 2𝜋.

𝜑12(𝑥, 𝜉) = 𝜉 Hàm chuyển là hàm đồng nhất. 𝜕𝑥1 𝜕𝑥2 = 𝜉

, nói cách khác là phân thớ tầm thường 1 chiều. Phân thớ tiếp xúc 𝜑12 ⇒

1 × ℝ

𝑇𝑆 = 𝑆 𝑇𝑆 ⇒ Ví dụ 2: Xét mặt cầu _2 chiều trên mặt phẳng phức mở rộng

𝑆

1 = ℂ

Ta định nghĩa hai bản đồ trên 𝑆

∪ {∞}. 𝑆

1 𝑈1 = ℂ 1 𝑈2 = (ℂ

Xác định tọa độ phức trên \{0}) ∪ {∞}

𝑧

𝑧1 = 𝑧 𝑈1 trên 1

có dạng 𝑧2 = Khi đó hàm chuyển trên tập giao 𝑈2

𝑈1 ∩ 𝑈2

𝑧1 = Và phân thớ vectơ có hàm chuyển tương ứng là 1 𝑧2

. 𝜑12(𝑧, 𝜉) = 𝜉 Dạng thực của của ma trận 𝜕𝑧1 𝜕𝑧2 = −𝜉 được cho bởi 1 2 = −𝜉𝑧 𝑧2

2�

𝜑21

𝑦 𝜑12(𝑥, 𝑦) = � trong đó . Trong tọa độ cực −2𝑥𝑦 2 𝑦 − 𝑥 − 𝑥 , thì ta được 2𝑥𝑦 𝑖𝛼 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑧 = 𝑒 2 � � 𝜑12(𝜌, 𝛼) = 𝜌 cos 2𝛼 − sin 2𝛼 cos 2𝛼 sin 2𝛼

Phân thớ tiếp xúc không là phân thớ tầm thường. Thật vậy nếu là phân thớ tầm

thường thì có hàm giá trị ma trận 𝑇𝑆 𝑇𝑆

(2.12) ℎ1: 𝑈1 → 𝐺𝐿(2, ℝ)

thỏa mãn ℎ2: 𝑈2 → 𝐺𝐿(2, ℝ)

−1 là co rút và do đó các hàm 𝜑12(𝜌, 𝛼) = ℎ1

là đồng luân với các ánh xạ , , Các bản đồ

hằng. (𝜌, 𝛼) ∘ ℎ2(𝜌, 𝛼). ℎ2 (𝑈2, 𝜑2)

(𝑈1, 𝜑1) Do đó hàm chuyển ℎ1 phải đồng luân với hàm hằng. Nhưng mặt khác, khi cố định

với tham số hàm , và ánh xạ này có bậc 2. Vì 𝜌

xác định một ánh xạ 𝜑12(𝜌, 𝛼) vậy ánh xạ này không đồng luân với ánh xạ hằng. 𝑆 → 𝑆𝑂(2) = 𝑆 𝛼 𝜑12

với đáy X là một đa tạp khả vi. Giả sử các hàm 2.7.6. Xét một phân thớ vectơ

chuyển sau là các ánh xạ khả vi 𝑝: 𝐸 → 𝑋

Khi đó không gian toàn thể E là một đa tạp khả vi và 𝜑𝛽𝛼: 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 → 𝐺𝐿(𝑛, ℝ)

là một atlas của đa tạp X thì một atlas của đa tạp E có thể được xác định Nếu dim 𝐸 = dim 𝑋 + 𝑛.

−1

như sau {(𝑈𝛼, 𝜑𝛼)}𝛼

có thể xác định bởi họ các tọa độ địa phương trên với tọa độ Tọa độ địa phương trên . 𝑉𝛼 = 𝑝

𝑛 (𝑈𝛼) = 𝑈𝛼 × ℝ suy ra tính khả vi của phép biến đổi tọa độ.

Đềcác trên thớ. Tính khả vi của hàm 𝑈𝛼 𝑉𝛼

𝜑𝛽𝛼 Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra:Đối với phân thớ vectơ bất kỳ trên đa tạp khả vi X liệu

không? Câu trả lời có tồn tại một atlas trên không gian toàn thể từ hàm chuyển khả vi

nằm trong định lý sau: 𝜑𝛽𝛼

là một phân thớ vectơ n chiều và X là một đa tạp khả vi 2.7.7. Định lý 7: Cho

−1

compact. Khi đó tồn tại một atlas trên X và các đồng phôi tọa độ 𝑝: 𝐸 → 𝑋

→ 𝑝 {𝑈𝛼} 𝑛 sao cho các hàm chuyển sau là khả vi: 𝜑𝛼: 𝑈𝛼 × ℝ (𝑈𝛼)

Chứng minh 𝜑𝛽𝛼: 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 → 𝐺𝐿(𝑛, ℝ).

Xét một atlas đủ tốt đối với phân thớ và đồng phôi tọa độ

𝑝

−1

𝑛 𝜓𝛼: 𝑈𝛼 × ℝ

Các hàm chuyển liên tục: → 𝑝 (𝑈𝛼).

mới thỏa hàm chuyển mới là Vấn đề là ta thay đồng phôi thành đồng phôi tọa độ 𝜓𝛽𝛼: 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 → 𝐺𝐿(𝑛, ℝ).

khả vi. Nói cách khác, ta tìm các hàm 𝜑𝛽𝛼 𝜓𝛼

𝜑𝛼

thỏa tích là một atlas mới thỏa mãn là khả vi. Cho

−1 ℎ𝛽 Ta xây dựng các hàm

ℎ𝛼: 𝑈𝛼 → 𝐺𝐿(𝑛, ℝ) } (𝑥) ∘ 𝜓𝛽𝛼 ∘ ℎ𝛼(𝑥)

′ {𝑈𝛼 ′ bằng phương pháp quy nạp theo chỉ số ⊂ 𝑈𝛼. ⊂ 𝑈�𝛼

′ 𝑈𝛼

, không

mất tính tổng quát, ta giả sử tất cả các hàm đều có giới hạn, đó là ℎ𝛼(𝑥) 𝛼 1 ≤ 𝛼 ≤ 𝑁.

𝜓𝛽𝛼(𝑥)

Cho �𝜓𝛽𝛼(𝑥)� ≤ 𝐶.

, 𝜀 < 1. 0 < 𝜀 < Chọn các hàm khả vi 1 thỏa 𝐶

𝜑𝛽𝛼(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽

và là một đối chu trình, nghĩa là các hàm thỏa mãn: �𝜓𝛽𝛼(𝑥) − 𝜑𝛽𝛼(𝑥)� < 𝜀

, (i) 𝜑𝛽𝛼(𝑥)

(ii) 𝑈𝛼 ∩ 𝑈𝛽 ∩ 𝑈𝛾 ≠ ∅, , 𝜑𝛾𝛼(𝑥) = 𝜑𝛾𝛽(𝑥) ∘ 𝜑𝛽𝛼(𝑥)

∀𝑥 ∈ 𝑈𝛼. là một hàm liên tục xác định trên U của không gian Eclide, cho K 𝜑𝛼𝛼(𝑥) = 𝑥 2.7.8. Bổ đề 2: Cho

. Khi đó có một lân cận thỏa mãn với là một tập con compact thỏa mãn 𝑓(𝑥)

mỗi có một hàm khả vi xác định trên V ta có 𝐾 ⊂ 𝑈 𝑉 ⊃ 𝐾

𝜀 > 0 𝑔(𝑥)

Hơn nữa, nếu hàm là khả vi trong một lân cận của một tập con compact K’ thì

|𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)| < 𝜀, 𝑥 ∈ 𝑉. trong lân cận của K’ hàm g được chọn có tính chất 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) ≡ 𝑓(𝑥). . Theo bổ đề 2 tồn tại một hàm khả vi xác Áp dụng bổ đề 2 cho việc xây dựng hàm

′ 𝑈�1

′ ∩ 𝑈�2 ‖𝜑21(𝑥) − 𝜓21(𝑥)‖ < 𝜀

định trong một lân cận của tập 𝜑12 thỏa mãn 𝜑𝛽𝛼

Giả sử ta chọn được một hàm khả vi xác định trong các lân cận của các tập con

′ ∩ 𝑈�𝛽

với thỏa 𝜑𝛽𝛼(𝑥)

′ 𝑈�𝛼

∀𝛼 < 𝛽 ≤ 𝛽0

và �𝜑𝛽𝛼(𝑥) − 𝜓𝛽𝛼(𝑥)� < 𝜀

. Hàm có thể được xây dựng tương tự cách xây dựng 𝜑𝛾𝛼(𝑥) = 𝜑𝛾𝛽(𝑥) ∘ 𝜑𝛽𝛼(𝑥), ∀𝛼 < 𝛽 < 𝛾 ≤ 𝛽0.

được xây dựng và thỏa mãn điều kiện đối chu Giả sử các hàm 𝜑1,𝛽0+1(𝑥) 𝜑12

′

trình 𝜑𝛽0+1,𝛼(𝑥), ∀𝛼 ≤ 𝛼0 ≤ 𝛽0

′ có thể được xác định trong một lân cận của tập con

,𝛼(𝑥), 𝛼, 𝛼

Khi đó hàm cần tìm ≤ 𝛼0.

′ ∩ 𝑈�𝛼0+1

′ ∩ 𝑈�𝛽0+1

bởi công thức , 𝜑𝛽0+1,𝛼(𝑥) = 𝜑𝛽0+1,𝛼′(𝑥) ∘ 𝜑𝛼 𝜑𝛽0+1,𝛼0+1(𝑥)

′ 𝑈�𝛾

−1

∀𝛾 ≤ 𝛼0

Do đó hàm cần tìm được xác định trong lân cận của hợp 𝜑𝛽0+1,𝛼0+1(𝑥) = 𝜑𝛽0+1,𝛾(𝑥) ∘ 𝜑𝛼0+1,𝛾 (𝑥).

𝜑𝛽0+1,𝛼0+1(𝑥)

′ ∩ 𝑈�𝛼0+1

′ ∩ 𝑈�𝛽0+1

′ 𝑉 = � �𝑈�𝛾 𝛾≤𝛼0

� và thỏa điều kiện

(2.13)

từ tập đóng của một lân cận của tập V thành �𝜓𝛽0+1,𝛼0+1(𝑥) − 𝜑𝛽0+1,𝛼0+1(𝑥)� < 2𝐶𝜀. Theo bổ đề 2 hàm được mở rộng

thỏa mãn điều kiện (2.13). một lân cận của tập 𝜑𝛼0+1,𝛽0+1(𝑥)

′ ∩ 𝑈�𝛽0+1

′ 𝑈�𝛼0+1

Bằng phương pháp quy nạp, họ các hàm có thể được xác định với tính chất

′

𝜑𝛽𝛼

𝑁 �𝜓𝛽𝛼(𝑥) − 𝜑𝛽𝛼(𝑥)� < (2𝐶)

Ta cần xây dựng hàm thỏa điều kiện 𝜀 = 𝜀 .

ℎ𝛼

−1 𝜑𝛽𝛼(𝑥) = ℎ𝛽

Hay (2.14) (𝑥) ∘ 𝜓𝛽𝛼(𝑥) ∘ ℎ𝛼(𝑥)

bằng phương pháp quy nạp. Đặt Ta xây dựng hàm ℎ𝛼(𝑥) = 𝜓𝛼𝛽(𝑥) ∘ ℎ𝛽(𝑥) ∘ 𝜑𝛽𝛼(𝑥)

ℎ𝛼

đã được xây dựng thỏa điêu kiện (2.14) và Giả sửcác hàm , ℎ1(𝑥) ≡ 1

ℎ𝛼(𝑥)

Khi đó hàm 1 ≤ 𝛼 ≤ 𝛼0 được xác định bởi công thức (2.14) trong lân cận của tập ‖1 − ℎ𝛼(𝑥)‖ < 𝜀, 𝛼 < 𝛼0.

ℎ𝛼0+1(𝑥)

′ ∩ 𝑈�𝛼0+1

′ 𝑉 = � 𝑈�𝛼 𝛼<𝛼0

. Trên tập V, có bất đẳng thức

(2.15) �1 − ℎ𝛼0+1(𝑥)� = �1 − 𝜓𝛼0+1,𝛽(𝑥) ∘ ℎ𝛽(𝑥) ∘ 𝜑𝛽,𝛼0+1(𝑥)�

−1 đủ nhỏ thì hàm 𝜀

được mở rộng từ một lân cận V trên toàn được thỏa mãn. Nếu ≤ 𝐶 � ≤ 2𝐶 �ℎ𝛽 − 𝜑𝛽,𝛼0+1 ∘ 𝜓𝛽,𝛼0+1

thỏa điều kiện (2.15). bản đồ 𝜀 ℎ𝛼0+1(𝑥)

∎ với X là đa tạp con khả vi của đa tạp Y. Khi đó tồn tại một 𝑈𝛼0+1 2.7.9. Định lý 8:Cho

lân cận mà vi phôi với không gian toàn thể của phân thớ chuẩn tắc . 𝑗: 𝑋 ↪ 𝑌

𝜈(𝑋 ⊂ 𝑌) 𝑉 ⊃ 𝑋 Chứng minh

Cố định một mêtric Riemann trên đa tạp Y. Ta xây dựng một ánh xạ

Xét một vectơ chuẩn tắc tại điểm . Chú ý rằng vectơ là trực giao với 𝑓: 𝜈(𝑋) → 𝑌

. Cho là đường trắc địa thỏa không gian con 𝜉 ∈ 𝜈(𝑋) 𝑥 ∈ 𝑋 ⊂ 𝑌 𝜉

′

𝛾(𝑡)

Đặt 𝑇𝑥(𝑋) ⊂ 𝑇𝑥(𝑌) . Ánh xạ f có ma trận Jacobi không suy biến tại mỗi điểm của nhát cắt của (0) = 𝜉.

𝛾(0) = 𝑥, 𝛾 . Thực vậy, chú ý rằng

thì , phân thớ trực giao 𝑓(𝜉) = 𝛾(𝑡) 1. Nếu

2. 𝜈(𝑋) . 𝜉 = 0, 𝜉 ∈ 𝑇𝑥(𝑌) 𝑓(𝜉) = 𝑥

Do đó ta có 𝑓(𝜆𝜉) = 𝛾(𝜆)

là ánh xạ đồng nhất. 𝐷𝑓: 𝑇𝑥�𝜈(𝑋)� = 𝑇𝑥(𝑋)⨁𝜈(𝑋) → 𝑇𝑥(𝑌) = 𝑇𝑥(𝑋)⨁𝜈(𝑋)

Theo định lý hàm ẩn có một lân cận V của nhát cắt của phân thớ thỏa là

một vi phôi. Vì vậy có một lân cận đủ nhỏ V mà vi phôi vào không gian toàn thể của phân 𝜈(𝑋) 𝐹: 𝑓(𝑉) → 𝑉

thớ , do đó định lý đã được chứng minh.

𝑚 và giả sử

𝜈(𝑋) ∎ là một tập mở và là ánh xạ (Định lý hàm ẩn(dạng toàn ánh): Cho

𝑛 𝑓: 𝑈 → ℝ

là toàn ánh. Khi đó tồn tại . Cho , khả vi lớp 𝑈 ⊂ ℝ

𝑟 một vi phôi địa phương 𝐶

của tại 0 thỏa và , 1 ≤ 𝑟 ≤ ∞ 𝑓(𝑝) = 0 𝑝 ∈ 𝑈 𝑚 𝐷𝑓𝑝 𝜑 𝜑(0) = 𝑝

ℝ 𝑓𝜑(𝑥1, … , 𝑥𝑚) = (𝑥1, … , 𝑥𝑛). )

2.7.8. Một công thức bất biến của lý thuyết hàm ẩn.

được gọi Cho là một ánh xạ khả vi với X, Y là các đa tạp khả vi. Điểm

−1

là một giá trị chính quy của ánh xạ f nếu với bất kỳ , ta có ánh xạ khả vi 𝑓: 𝑋 → 𝑌 𝑦0 ∈ 𝑌

−1

là toàn ánh. Theo định lý hàm ẩn, ảnh ngược 𝑥 ∈ 𝑓 (𝑦0)

𝑚

𝐷𝑓: 𝑇𝑥𝑋 → 𝑇𝑦0𝑌 là đa tạp khả vi và 𝑍 = 𝑓 (𝑦0)

Nói chung, nếu là một đa tạp con thì ánh xạ f được gọi là dịch chuyển dọc đa tạp 𝑚 = dim 𝑌. , 𝑇𝑋|𝑍

−1

= 𝑇𝑍⨁ℝ ta có con W, khi đó mọi điểm 𝑊 ⊂ 𝑌

𝑥 ∈ 𝑓

Nói riêng, ánh xạ f dịch chuyển dọc mỗi điểm chính quy . Theo định lý hàm ẩn, ảnh (𝑊) 𝑇𝑓(𝑥)𝑌 = 𝑇𝑓(𝑥)𝑊⨁𝐷𝑓(𝑇𝑥𝑋).

−1

ngược 𝑦0 ∈ 𝑌

∗

và là đa tạp con, phân thớ chuẩn tắc là đẳng cấu với các phân thớ (𝑊) 𝑍 = 𝑓

vi phân Df là đẳng cấu theo thớ �𝜈(𝑊 ⊂ 𝑌)� 𝜈(𝑍 ⊂ 𝑋) 𝑓

𝜈(𝑍 ⊂ 𝑋) → 𝜈(𝑊 ⊂ 𝑌). 2.7.9. Hàm Morse trên đa tạp.

Xét một hàm khả vi f trên đa tạp X. Một điểm x0 được gọi là điểm tới hạn nếu

. Một điểm tới hạn

∗

được gọi là không suy biến nếu ma trận của đạo hàm bậc hai không 𝑑𝑓(𝑥0) = là 𝑥0

suy biến. Tính chất này không phụ thuộc vào sự lựa chọn hệ tọa độ địa phương. Cho 0 không gian toàn thể của phân thớ đối tiếp xúc của đa tạp X ( nghĩa là phân thớ vectơ đối 𝑇 𝑋

ngẫu với phân thớ tiếp xúc). Khi đó đối với mỗi hàm

có một ánh xạ 𝑓: 𝑋 → ℝ

∗

(2.16)

kết hợp với dạng tuyến tính trên được cho bởi vi 𝑋

∗

liên hợp với Df mà mỗi điểm 𝑑𝑓: 𝑋 → 𝑇 phân của hàm f tại x. Khi đó trên đa tạp có hai đa tạp con: nhát cắtX0 của phân thớ 𝑥 ∈ 𝑋 𝑇𝑥𝑋

và ảnh 𝑋 𝑇 𝑇

. Các điểm chung của các đa tạp con này tương ứng với các điểm tới hạn của 𝑋 hàm f. Hơn nữa, một điểm tới hạn là không suy biến nếu và chỉ nếu tập giao của X0 và

𝑑𝑓(𝑋) tại điểm này là dịch chuyển.

𝑑𝑓(𝑋)

Nếu tất cả các điểm tới hạn của f là không suy biến thì f được gọi là hàm Morse. Do đó hàm

∗

f là hàm Morse nếu và chỉ nếu ánh xạ (2.16) là dịch chuyển dọc nhát cắt .

𝑋0 ⊂ 𝑇 𝑋 2.7.10. Đa tạp định hướng

Một đa tạp X được gọi là định hướng nếu có một atlas thỏa tất cả các hàm

chuyển sao cho ma trận Jacôbi dương tại mỗi điểm. {(𝑈𝛼, 𝜑𝛼)}𝛼

Sự lựa chọn các atlas như vậy được gọi là một định hướng của đa tạp X. 𝜑𝛽𝛼

Nếu đa tạp X là định hướng thì nhóm cấu trúc của phân thớ tiếp xúc TX cảm

sinh các ma trận của nhóm con với các định thức dương. Trái lại nếu nhóm cấu 𝐺𝐿(𝑛, ℝ)

+ 𝐺𝐿

thì đa tạp X là trúc của phân thớ tiếp xúc TX có thể cảm sinh nhóm con (𝑛, ℝ)

+ 𝐺𝐿

(𝑛, ℝ)

là một atlas, các hàm chuyển của phân thớ tiếp xúc định hướng. 𝐺𝐿(𝑛, ℝ) Thật vậy, cho

𝑗 �

{(𝑈𝛼, 𝜑𝛼)}𝛼

𝑘 𝜕𝑥𝛼 𝜕𝑥𝛽

𝜑𝛼𝛽 = � và là các hàm chuyển mới thỏa . Dĩ nhiên, các hàm giá

−1 𝜓𝛼𝛽 = ℎ𝛼 ∘ 𝜑𝛼𝛽 ∘ ℎ𝛽

trị

det 𝜓𝛼𝛽 > 0

𝑗 �

có dạng ma trận Jacôbi, nghĩa là nếu ℎ𝛼: 𝑈𝛼 → 𝐺𝐿(𝑛, ℝ)

𝑘 𝜕𝑦𝛼 𝜕𝑥𝛼

ℎ𝛼(𝑥) = � thì các hàm có thể biến đổi tọa độ của tính định hướng cho trước trên

𝑘 𝑦𝛼

𝑘 = 𝑦𝛼

𝑛 , … , 𝑥𝛼

1 (𝑥𝛼

. đa tạp X. Nhưng tổng quát điều này không đúng và ta cần tìm các hàm mới )

Chú ý, nếu ta có một hệ các hàm phù hợp thì có thể đổi hệ tọa độ này mà bảo toàn dấu ℎ𝛼

. Do đó, chọn các hàm mới như sau: của

det ℎ𝛼

�, ℎ�𝛼(𝑥) = �

trong đó dấu của số hạng đầu tiên trùng với dấu của trên mỗi thành phần liên thông

±1 0 … 0 1 … 0 0 ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 0 … 1 0 , khi đó các hàm chuyển của bản đồ det ℎ𝛼

(𝑈𝛼, 𝜑𝛼)

−1 𝜓�𝛼𝛽(𝑥) = ℎ�𝛼(𝑥) ∘ 𝜑𝛼𝛽(𝑥) ∘ ℎ�𝛽 . Nói cách khác, các hàm

là phép biến đổi tọa độ Thỏa mãn điều kiện (𝑥)

định thức Jacôbi ℎ�𝛼(𝑥) det 𝜓𝛼𝛽 > 0

1 1 𝑦𝛼 = ±𝑥𝛼 2 2 ………. = 𝑥𝛼 𝑦𝛼

𝑛 𝑦𝛼

và một atlas mà xác định một định hướng của đa tạp X đã được tìm thấy.

𝑛 = 𝑥𝛼

KẾT LUẬN

Qua luận văn này, tác giả thật sự bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa

học một cách nghiêm túc và có hệ thống. Tác giả cũng học tập được các phương pháp

nghiên cứu trong việc đọc tài liệu, trình bày vấn đề. Luận văn này đã trình bày các vấn đề cơ

bản nhất của không gian phân thớ và phân thớ vectơ, đó là định nghĩa của không gian phân

thớ tổng quát, định lý dán, các ví dụ về không gian phân thớ, bài toán mô tả lớp đẳng cấu

các phân thớ tầm thường địa phương, định nghĩa phân thớ vectơ, các phép toán trên phân

thớ vectơ, phân thớ phức, phân thớ con, phân thớ vectơ liên kết với đa tạp, trong đó có nêu

sơ bộ công thức bất biến của hàm ẩn, hàm Morse, đa tạp định hướng,…

Tuy nhiên do sự hiểu biết hạn chế của bản thân, tác giả rất mong học hỏi nhiều hơn

từ sự đóng góp và chỉ đạo của quý thầy cô trong và ngoài hội đồng. Tác giả cũng mong

muốn được nghiên cứu sâu hơn về không gian phân thớ, phân thớ vectơ và các ứng dụng

của nó, điển hình như lý thuyết đối đồng điều suy rộng, cụ thể K_lý thuyết hình học trong

tương lai không xa.

CHỈ DẪN THUẬT NGỮ

Nhát cát, nhát cắt không trang7,23 Ánh xạ vi phân trang40 Nhóm cấu trúc của phân thớ vectơ Ảnh của ánh xạ trang 32 trang 23 Atlas trang 6,36 Phân thớ con trang 31 Bản đồ trang 6,36 Phân thớ chuẩn tắc trang 41 Cái kéo ngược trang 25 Phân thớ vectơ phức trang 28 trang 37 Phân thớ phức liên hợp trang 30 Cấu trúc đa tạp khả tích Cấu trúc đa tạp khả vi lớp Ck trang 37 Phân thớ tiếp xúc trang9,39 Cấu trúc của đa tạp phức khả tích Phân thớ vectơ trang 21 trang 37 Phức hóa của phân thớ vectơ trang 29 Dịch chuyển dọc đa tạp trang 48 Thớ mẫu trang 6 Đa tạp định hướng trang 49 Thực hóa của phân thớ vectơ trang 29 Đáy (cơ sở) trang 6 Tích tenxơ trang26 Đẳng cấu phân thớ trang 10 Tổng Whitney (tổng trực tiếp) trang 26 Điểm tới hạn trang 49 Trường vectơ pháp tuyến trang 9 Định lý dán trang 10 Trường vectơ tiếp xúc trang 9 Đối chu trình 1_chiều trang 20 Vectơ pháp tuyến trang 8 Đối dây chuyền 0_chiều trang 19 Vectơ tiếp xúc trang 8,38 Đối dây chuyền 1_chiều trang19

Đối đồng đều trang 20

Đồng cấu phân thớ trang 10

Đồng phôi theo thớ trang 6

Đồng phôi tọa độ trang 36

Giá trị chính quy trang 48

Hàm chuyển bản đồ trang 36

Hàm dán trang 9

Hàm Morse trang 49

trang 36 Hàm tọa độ trên đa tạp

Hệ tọa độ địa phương của đa tạp trang 36

Không gian phân thớ trang 6

Không gian tiếp xúc trang 39