Luận văn Thạc sĩ Toán học: Mô đun biểu diễn được

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> ------------------------------<br /> <br /> ĐỖ TRẦN MINH VŨ<br /> <br /> MÔ ĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> Thành Phố Hồ Chí Minh-2009<br /> <br /> LỜI MỞ ĐẦU<br /> Cho R là vành giao hoán có đơn vị và M là R-mô đun. Với mỗi phần<br /> tử x thuộc R, ta gọi ϕx,M là tự đồng cấu của M xác định bởi phép nhân<br /> phần tử x với M. Mô đun M được gọi là coprimary nếu M = 0 và với<br /> mọi x thuộc R thì ϕx,M là đơn cấu hoặc lũy linh. Khi đó,<br /> <br /> (M ) = ρ<br /> <br /> là iđêan nguyên tố của R và M được gọi là M là ρ-coprimary. Mô đun<br /> con N của M được gọi là mô đun con ρ-nguyên sơ nếu mô đun thương<br /> M/ là ρ-coprimary. Một sự phân tích nguyên sơ của N trong M là sự<br /> N<br /> biểu diễn của N như là giao hữu hạn các mô đun con nguyên sơ của M:<br /> N = Q1 ∩ Q2 ∩ ... ∩ Qn . Sự phân tích nguyên sơ được gọi là tối tiểu nếu<br /> các mô đun con nguyên sơ Q1 , Q2 , ..., Qn thỏa các điều kiện :<br /> M/<br /> (1) Các iđêan nguyên tố<br /> Qi phân biệt.<br /> (2) Không có Qi nào nằm trong giao các mô đun con còn lại.<br /> Từ đó, các nhà toán học đã nêu khái niệm về mô đun thứ cấp và mô<br /> đun biểu diễn được. Một R-mô đun M được gọi là thứ cấp nếu M = 0 và<br /> với mọi x thuộc R thì ϕx,M là toàn cấu hoặc lũy linh. Khi đó,<br /> <br /> (M ) = ρ<br /> <br /> là iđêan nguyên tố của R và M được gọi là R-mô đun ρ-thứ cấp. Một<br /> biểu diễn thứ cấp của M là sự biểu diễn M như là tổng hữu hạn các mô<br /> đun con thứ cấp: M = N1 + N2 + ... + Nn . Biểu diễn thứ cấp được gọi là<br /> tối tiểu nếu các mô đun con thứ cấp N1 , N2 , ..., Nn thỏa các điều kiện :<br /> (1) Các iđêan nguyên tố<br /> <br /> (Ni ) phân biệt.<br /> <br /> (2) Không có Ni nào nằm trong tổng các mô đun con còn lại.<br /> Nếu M có một biểu diễn thứ cấp, ta nói M là mô đun biểu diễn được.<br /> Luận văn này viết về mô đun biểu diễn được và các tính chất của nó,<br /> được chia làm hai chương:<br /> Chương 1: Kiến thức chuẩn bị<br /> Trong chương này, tôi trình bày một số kiến thức cần thiết cho chương<br /> sau bao gồm các khái niệm về vành, mô đun, vành Nơ te, vành Artin,<br /> iđêan nguyên tố liên kết, iđêan nguyên tố liên kết yếu, dãy khớp. Hầu<br /> <br /> hết các chứng minh trong chương này đều được bỏ qua.<br /> Chương 2: Mô đun biểu diễn được<br /> Chương này trình bày các vấn đề về mô đun biểu diễn được: định<br /> nghĩa mô đun thứ cấp và mô đun biểu biễn được, tính chất của mô đun<br /> thứ cấp và mô đun biểu diễn được, mô đun con của mô đun biểu diễn<br /> được, tính biểu diễn được của mô đun Artin, tính biểu diễn được của<br /> Hom(M,E) trong một số tình huống cụ thể của R-mô đun M và E.<br /> Tôi xin gửi đến TS. Trần Tuấn Nam, TS. Nguyễn Đình Lân lòng biết<br /> ơn chân thành nhất. Thầy là người hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt<br /> quá trình học tập và làm luận văn.<br /> Xin chân thành cảm ơn đến các thầy cô trong Khoa Toán trường Đại<br /> học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh và các thầy cô đã tham gia giảng dạy,<br /> quản lý khóa học, truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học<br /> tập.<br /> Cuối cùng, tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp, bạn học cùng khóa đã<br /> giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.<br /> Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn có thể có những thiếu<br /> sót, kính mong thầy cô và các bạn góp ý và thông cảm.<br /> TP. Hồ Chí Minh 12-2009<br /> Đỗ Trần Minh Vũ<br /> <br /> Mục lục<br /> <br /> 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1.1<br /> <br /> Mô đun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1.2<br /> <br /> Iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1.3<br /> <br /> Iđêan nguyên tố liên kết yếu . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 4<br /> <br /> 1.4<br /> <br /> Iđêan nguyên sơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 5<br /> <br /> 1.5<br /> <br /> Mô đun con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 6<br /> <br /> 1.6<br /> <br /> Vành Nơ te . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 8<br /> <br /> 1.7<br /> <br /> Vành Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 9<br /> <br /> 1.8<br /> <br /> Dãy khớp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 10<br /> <br /> 2 MÔ ĐUN BIỂU DIỄN ĐƯỢC<br /> 2.1<br /> <br /> 12<br /> <br /> Mô đun biểu biễn được . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 12<br /> <br /> 2.1.1<br /> <br /> Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 12<br /> <br /> 2.1.2<br /> <br /> Tính chất của mô đun biểu diễn được . . . . . . .<br /> <br /> 16<br /> <br /> 2.1.3<br /> <br /> Iđêan nguyên tố gắn kết . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 30<br /> <br /> 2.2<br /> <br /> Mô đun con của mô đun biểu diễn được<br /> <br /> . . . . . . . . .<br /> <br /> 33<br /> <br /> 2.3<br /> <br /> Tính biểu diễn được của mô đun Artin . . . . . . . . . .<br /> <br /> 41<br /> <br /> 2.4<br /> <br /> Tính biểu diễn được của Hom(M;E) . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 42<br /> <br /> Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 50<br /> <br /> Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 51<br /> <br /> 1<br /> <br /> Chương 1<br /> CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ<br /> 1.1<br /> <br /> Mô đun<br /> <br /> Trong luận văn này, ta hiểu vành là một vành giao hoán có đơn vị khác<br /> không.<br /> Cho M là R-mô đun, A và B là hai tập con của M, 0 = K ⊂ R. Ta<br /> định nghĩa:<br /> A + B = {a + b|a ∈ A, b ∈ B}<br /> KA = {r.a|a ∈ A, r ∈ K}<br /> Tập con A khác rỗng của M được gọi là mô đu con của M nếu A+A ⊂ A<br /> và RA ⊂ A.<br /> Với A và B là hai mô đun con của M thì A+B và A ∩ B cũng là mô<br /> đun con của M. Hơn nữa, Giao của một họ bất kì các mô đun con của<br /> M cũng là mô đun con của M.<br /> Cho S là tập con khác rỗng của M. Giao của tất cả các mô đun con<br /> của M chứa S được gọi là mô đun con sinh bởi tập S, ký hiệu là .<br /> Cho A là mô đun con của M, tập thương M/A = {m + A|m ∈ M } là<br /> R- mô đun với các phép toán<br /> (m1 + A) + (m1 + A) = (m1 + m2 ) + A<br /> r. (m + A) = rm + A<br /> R-mô đun M/A được gọi là mô đun thương của M theo mô đun A.<br /> <br />