Luận văn Thạc sĩ Toán học: Mở rộng một số bài toán hình học phẳng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:73

Thêm vào BST

Báo xấu

62
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn là tham khảo sách giáo khoa, tài liệu, chọn lọc một số bài tập có thể mở rộng, khái quát hóa. Đồng thời trình bày lời chứng minh để khẳng định (hoặc bác bỏ) vấn đề đã mở rộng để làm sáng tỏ bài toán mở rộng. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Mở rộng một số bài toán hình học phẳng

Dfgff ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VIỆT PHƢƠNG MỞ RỘNG MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VIỆT PHƢƠNG MỞ RỘNG MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. TRỊNH THANH HẢI Thái Nguyên – 2015
1 MỤC LỤC Trang PHẦN MỞ ĐẦU 2 Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.1. Tổng quan về không gian Euclide 3 1.1.1. Một số khái niệm cơ sở 3 1.1.2. Ánh xạ trong không gian Euclide 4 1.2. Định hướng việc mở rộng bài toán 9 1.2.1. Xem xét các đối tượng, các quan hệ toán học trong các 9 mối liên hệ giữa cái chung và cái riêng 1.2.2. Xem xét bài toán theo nhiều góc độ 11 Chương II: MỞ RỘNG MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRONG 13 CHƢƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG 2.1. Mở rộng bài toán hình học phẳng thành bài toán hình học 13 không gian 2.1.1. Ý tưởng 13 2.1.2. Một số ví dụ minh họa 13 2.2. Mở rộng một số bài toán về tam giác thành bài toán đối với 35 đa giác 2.2.1. Ý tưởng 35 2.2.2. Một số ví dụ minh họa 35 2.3. Mở rộng bài toán theo hướng xét các bài toán tương tự 43 2.3.1. Ý tưởng 43 2.3.2. Một số ví dụ minh họa 43 KẾT LUẬN 70 Tài liệu tham khảo 71
2 PHẦN MỞ ĐẦU Trong chương trình môn toán ở phổ thông, nội dung hình học đóng một vai trò đặc biệt quan trọng trong việc giúp học sinh hình thành, phát triển năng lực tư duy. Tuy nhiên đây cũng là một nội khó đối với cả người dạy và người học nên đa số giáo viên chỉ tập trung vào việc giúp học sinh cố gắng giải quyết được bài toán đặt ra mà chưa đưa ra được những định hướng, những dẫn dắt đề học sinh nghiên cứu tìm tòi các cách giải mới cho bài toán hay nghiên cứu xem xét bài toán dười các góc độ khác nhau để có được những bài toán mới (tạm gọi là bài toán mở rộng) từ bài toán ban đầu. Đây cũng là một trong những hạn chế đối với việc rèn luyện, phát triển tư duy toán học nói chung, năng lực giải toán hình học nói riêng cho học sinh thông qua dạy học hình học. Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi và tích lũy thêm kinh nghiệm để phục vụ ngay chính công tác giảng dạy nội dung hình học trong ở trường phổ thông, chúng tôi mạnh dạn chọn hướng nghiên cứu của luận văn là “Mở rộng một số bài toán hình học phẳng” với mục đích đưa ra được một vài ví dụ minh họa việc mở rộng một bài toán trong chương trình phổ thông Luận văn có các nhiệm vụ cụ thể sau: (1). Tham khảo sách giáo khoa, tài liệu, chọn lọc một số bài tập có thể mở rộng, khái quát hóa. (2). Trình bày lời chứng minh để khẳng định (hoặc bác bỏ) vấn đề đã mở rộng để làm sáng tỏ bài toán mở rộng. (3). Đưa ra lời giải tường minh, chi tiết cho một số bài toán mở rộng.
3 Chƣơng I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Tổng quan về không gian Euclide 1.1.1. Một số khái niệm cơ sở Định nghĩa 1 Một không gian affine thực được gọi là không gian Euclide nếu không gian vector liên kết là một không gian vector Euclide. Định nghĩa 2 Cho En là một không gian Euclide n-chiều. Một mục tiêu affine của En gọi là mục tiêu trực chuẩn nếu cơ sở tương ứng là cơ sở trực chuẩn của  n E . Tọa độ của điểm M  En đối với một mục tiêu trực chuẩn được gọi là tọa độ trực chuẩn. Định nghĩa 3 - Khoảng cách giữa hai điểm M, N trong E, ký hiệu d(M, N), là độ   dài của vector MN : d(M, N) = MN . - Khoảng cách giữa hai phẳng α và β trong E, ký hiệu d(α, β) là số inf d( M, N) . Như vậy, d( ,  ) = inf d( M, N) . N , M  N , M  Định nghĩa 4   Góc giữa hai vector khác không a và b là số θ, 0 ≤ θ ≤ π, xác định  a.b bởi : cos θ =   a.b Cho hai đường thẳng d1 và d2 trong E lần lượt có các vector chỉ   phương là a và b . Khi đó góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 là số θ,   a .b 0 ≤ θ ≤ , xác định bởi: cos θ =   . 2 a.b Góc giữa hai siêu phẳng α và β trong En được định nghĩa là góc giữa   hai đường thẳng lần lượt trực giao với α và β. Nếu gọi n và m lần lượt là
4 các pháp vector của α và β, thì góc giữa hai siêu phẳng α và β tính theo  n.m công thức: cos θ =   . n.m Trong không gian E cho đường thẳng d và siêu phẳng α. Khi đó, góc  θ (0 ≤ θ ≤ ) giữa đường thẳng d và siêu phẳng α được định nghĩa là góc 2  phụ với góc giữa đường thẳng d và đường thẳng trực giao với α. Nếu gọi   là vector chỉ phương của d và n là pháp vector của α thì θ được tính như  a.n sau: sin θ =   . a.n Định nghĩa 5  Cho m-hộp H xác định bởi điểm O và hệ m vector {  1,..., − ω→m}. Khi đó thể tích của m-hộp H, ký hiệu V(H), được định nghĩa là số       detGr(w1, w 2 , . . . , w m ) . Như vậy: V (H) = detGr(w1, w 2 , . . . , w m ) . Giả sử điểm M có tọa độ (x1,..., xn) và điểm N có tọa độ (y1,..., yn) đối với mục tiêu trực chuẩn đã cho {O; − → n ei } của E . Khi đó: n  y - x  2 d(M, N) = i i i=1 1.1.2. Ánh xạ trong không gian Euclide Định nghĩa 6 Cho E và E’ là hai không gian Euclide. Ánh xạ affine f: E → E’ gọi  là ánh xạ đẳng cự từ E vào E’ nếu f là ánh xạ tuyến tính trực giao. Nếu f là  song ánh, tức là f là một đẳng cấu tuyến tính trực giao, ta nói f là một đẳng cấu đẳng cự. Khi đó E và E’ gọi là hai không gian đẳng cấu đẳng cự, ký hiệu E  E’. Một tự đẳng cấu đẳng cự từ E vào chính nó gọi là một biến đổi đẳng cự.
5 Định nghĩa 7 (Phép biến hình) Ta kí hiệu tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng là P. Khi đó mỗi hình H bất kì của mặt phẳng đều là một tập con của P và kí hiệu H  P. Một song ánh f : P  P từ tập điểm của P lên chính nó được gọi là một phép biến hình trong mặt phẳng: f :P  P M  M' Điểm M' = f(M) gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f. Ngược lại điểm M gọi là tạo ảnh của điểm M’ qua phép biến hình f nói trên. Nếu H là một hình nào đó của H thì ta có thể xác định tập hợp H' = M' = f(M) M  H . Khi đó H’ gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình f và hình H được gọi là tạo ảnh của hình H’ qua phép biến hình f đó. Phép biến hình f : P  P , biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất. e:P  P Kí hiệu: MM Định nghĩa 8 (Phép dời hình) Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Xét trong mặt phẳng:  Phép tịnh tiến: Trong mặt phẳng P cho véc tơ v , phép biến hình   biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM' = v gọi là phép tịnh tiến   theo véc tơ v . Kí hiệu: Tv , véc tơ v gọi là véc tơ tịnh tiến.   Vậy: Tv (M) = M’  MM' = v . Phép đối xứng trục: Trong mặt phẳng P cho một đường thẳng d cố định, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho đoạn thẳng MM’ nhận d làm đường trung trực thì phép biến hình đó gọi là phép đối xứng trục d. Kí hiệu: Đd, với d là trục đối xứng.
6   Vậy: Đd(M) = M’  M0M' = -M0M (M0 là giao điểm của d với đoạn thẳng MM’). Nếu điểm M thuộc đường thẳng d thì ta lấy M’ trùng với M. Phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng cho điểm I, phép biến hình biến mỗi điểm M khác I thành điểm M’ sao cho I là trung điểm của đoạn MM’ gọi là phép đối xứng tâm I. Kí hiệu: ĐI. điểm I gọi là tâm đối xứng.   Vậy: ĐI(M) = M’  IM' = -IM . Phép quay: Trong mặt phẳng cho điểm O và góc lượng giác  , phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM = OM’, góc lượng giác (OM, OM’) =  gọi là phép quay tâm O, góc quay  . Kí hiệu: Q(O,  ), O là tâm quay,  là góc quay. OM = OM' Vậy: Q(O,  )(M) = M’   (OM,OM') =  Nhận xét : - Phép quay tâm O, góc quay 0o là phép đồng nhất. - Phép quay tâm O, góc quay  ;  là phép đối xứng tâm O. Định nghĩa 9 (Phép vị tự) Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và một số k  0 . Phép biến   hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM' = k OM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ số k. Kí hiệu: V O;k  , O gọi là tâm vị tự, k gọi là tỉ số vị tự.   Vậy: V(O,k)(M) = M’  OM' = k OM Định nghĩa 10 (Phép đồng dạng) Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’ = kMN. Nhận xét : - Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1. - Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k .
7 - Phép đảo ngược của phép đồng dạng tỷ số k là phép đồng dạng tỷ 1 số . k - Tích của một phép đồng dạng tỉ số k1 với phép đồng dạng tỉ số k2 là một phép đồng dạng với tỉ số k1.k2. Xét trong không gian:  Phép tịnh tiến: Trong không gian P cho véc tơ v , phép biến hình   biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM' = v gọi là phép tịnh tiến   theo véc tơ v . Kí hiệu: Tv , véc tơ v gọi là vectơ tịnh tiến.   Vậy: Tv (M) = M’  MM' = v . Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến trong không gian: Trong không  gian với hệ toạ độ Oxyz, cho v(a,b,c) , M(x;y;z), M’(x’;y’;z’).  x' = x+ a  Khi đó, nếu Tv (M) = M’ thì  y' = y+ b z ' = z+ c  Phép đối xứng trục: Trong không gian P cho một đường thẳng d cố định, phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho đoạn thẳng MM’ nhận d làm đường trung trực thì phép biến hình đó gọi là phép đối xứng trục d. Kí hiệu: Đd, với d là trục đối xứng   Vậy: Đd(M) = M’  M0M' = -M0M (M0 là giao điểm của d với đoạn thẳng MM’). Nếu điểm M thuộc đường thẳng d thì ta lấy M’ trùng với M. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục trong không gian: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho M(x;y;z), M’(x’;y’;z’). Khi đó, nếu:  x' = x  - ĐOx(M) = M’ thì  y' = - y z ' = -z 
8  x' = - x  - ĐOy(M) = M’ thì  y' = y z' = -z   x' = - x  - ĐOz(M) = M’ thì  y' = - y z' = z  Phép đối xứng tâm: Trong không gian cho điểm I, phép biến hình biến mỗi điểm M khác I thành điểm M’ sao cho I là trung điểm của đoạn MM’ gọi là phép đối xứng tâm I. Kí hiệu: ĐI. Điểm I gọi là tâm đối xứng.   Vậy: ĐI(M) = M’  IM' = -IM . Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm trong không gian: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho I(a,b,c) , M(x;y;z), M’(x’;y’;z’).  x' = 2a- x  Khi đó, nếu ĐI(M) = M’ thì  y' = 2b- y z' = 2c- z  Phép đối xứng qua mặt phẳng: Trong không gian cho mặt phẳng (P), phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho đoạn thẳng MM’ nhận mặt phẳng (P) làm mặt phẳng trung trực, được gọi là phép đối xứng qua mặt phẳng (P). Ký hiệu ĐP. Phép quay quanh một trục: Trong không gian, cho đường thẳng định hướng ∆, φ là góc định hướng cho trước. phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho M, M’ thuộc mặt phẳng vuông góc với ∆ tại O: OM = OM’ và (OM, OM’) = φ gọi là phép quay quanh một trục ∆. Ký hiệu: Q(∆, φ). Nhận xét: - Phép quay tâm O, góc quay 0o là phép đồng nhất. - Phép quay tâm O, góc quay  ;  là phép đối xứng tâm O.
9 1.2. Định hƣớng việc mở rộng bài toán 1.2.1. Xem xét các đối tƣợng, các quan hệ toán học trong các mối liên hệ giữa cái chung và cái riêng Mỗi cái riêng có thể được chứa đựng trong nhiều cái chung, cái bao trùm nó theo một số quan hệ nào đó khác nhau và ngược lại, nhiều cái riêng có thể chứa đựng trong cùng một cái chung theo một mối quan hệ nào đó giữa các đối tượng. Ví dụ 1.1. Chứng minh rằng nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì     GA + GB + GC = 0 . Có thể phát triển theo hai hướng đến những cái chung, cái tổng quát khác nhau: Hƣớng thứ nhất: Xem trọng tâm G của tam giác ABC theo quan điểm 1 diện tích: SGBC = SGCA + SGAB = S , Với S là diện tích tam giác ABC. Khi 3 đó hệ thức cần chứng minh tương đương với hệ thức: 1  1  1   S.GA + S.GB + S.GC = 0 , chú ý rằng tổng ba hệ số của biểu thức véc 3 3 3 tơ vế trái bằng S. Từ đó chúng ta có thể đề xuất bài toán tổng quát sau: “Gọi O là điểm bất kỳ trong tam giác ABC. Đặt S1 = SOHC , S2 = SOCA ,     S3 = SOAB . Chứng minh rằng S1 OA + S2 OB + S3 OC = 0 ”. Hệ thức cần  S  S  chứng minh tương đương với OA = - 2 OB - 3 OC (1) S1 S1 Để chứng minh (1) ta dựng hình bình hành nhận OA làm đường chéo OEAF; trong đó hai cạnh OE, OF lần lượt thuộc các đường thẳng BO, CO. (Hình 1.1). Theo quy tắc hình bình hành ta có:    OE  OF  S  S  OA = OE + OF = - OB - OC = - COF OB - BOE OC . Do AE // OC và OB OC S1 S1  S  S  AF // OB nên OA = - 2 OB - 3 OC . S1 S1
10 Hình 1.1 Nhận xét: 1. Nếu để ý S1 + S2 + S3 = S, khi đó có thể mở rộng cho trường hợp điểm O nằm ngoài tam giác ABC, thuộc miền góc tạo bởi hai tia CA, CB. Chúng ta có bài toán tổng quát khác sau: “Gọi O là điểm nằm ngoài tam giác ABC thuộc miền góc tạo bởi hai tia CA và CB; Gọi S1, S2, S3 lần lượt là diện tích các tam giác OBC, OAC,     OAB. Chứng minh rằng S1 OA + S2 OB - S3 OC = 0 ”. Ta có thể chứng minh được nhờ sử dụng hình bình hành CMON; trong đó M, N lần lượt thuộc các tia OA và OB. 2. Nếu để ý thêm S1 + S2 - S3 = S thì có thể tổng quát các trường hợp trên thành bài toán sau:“Nếu O là điểm bất kỳ trong mặt phẳng (ABC), không thuộc đường thẳng chứa cạnh nào của tam giác ABC. Đặt S1 = SOBC , S2 = SOCA , S3 = SOAB ; thì có thể chọn dấu “+” hoặc “-” thích hợp sao cho     đẳng thức ±S1 OA ± S2 OB ± S3 OC = 0 đúng” Hƣớng thứ hai: Có thể xem G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ      khi GB + GC = 2GM = GK = -GA , với M là trung điểm BC. Khi đó tương          tự GA + GB = -GC , GA + GC = -GB . Hay các véc tơ GA , GB , GC đôi một khác phương và tổng hai véc tơ bất kỳ trong ba véc tơ trên cộng tuyến     với véc tơ còn lại. Khi đó GA + GB + GC = 0 . Từ nhận xét trên chúng ta có bài toán tổng quát sau “Cho n véc tơ đôi một khác phương và tổng của n – 1 véc tơ bất kỳ trong n véc tơ trên
11 cộng tuyến với véc tơ còn lại. Chứng minh rằng tổng n véc tơ cho ở trên bằng véc tơ không”. Ta cũng có thể xem xét các đối tượng, các quan hệ, các tính chất từ nhiều trường hợp riêng của một cái chung; từ đó sử dụng các thao tác tư duy: so sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, tổng quát hóa để đề xuất bài toán mới, bài toán tổng quát. Ví dụ 1.2. Ta có, trong hình vuông hoặc hình thoi ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O thỏa mãn: AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = 2(OA2 + OB2 + OC2 + OD2) (2) Ta sử dụng định lý Pythagore vì hai đường chéo hình vuông vuông góc với nhau. Đối với hình chữ nhật hoặc hình bình hành ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O cũng thỏa mãn đẳng thức (2). Trong trường hợp này khi chứng minh chỉ cần sử dụng O là trung điểm của một đường chéo và sử dụng công thức độ dài đường trung tuyến tính theo ba cạnh của tam giác. Phân tích, so sánh cách sử dụng các giả thiết của các trường hợp chứng minh cụ thể có thể đề xuất bài toán tổng quát sau: “Tứ giác ABCD có các đường chéo cắt nhau tại O, cần và đủ để AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = 2(OA2 + OB2 + OC2 + OD2) là tứ giác đó có hai đường chéo vuông góc hoặc O là trung điểm của một trong hai đường chéo”. 1.2.2. Xem xét bài toán theo nhiều góc độ Ta xem xét bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, chẳng hạn thay đổi đối tượng, điều kiện ban đầu của bài toán; mở rộng kết luận … để có được các bài toán mới. Ví dụ 1.3. Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó, Dựng đường tròn qua A và tiếp xúc với hai cạnh Ox, Oy. Sử dụng phép vị tự, ta có thể xem đường tròn cần dựng là ảnh của đường tròn (C) bán kính R được chọn tùy ý và tiếp xúc với hai cạnh Ox,
12 OA Oy của góc qua phép vị tự V O,k  với k = , A’ là giao điểm của OA với OA' đường tròn (C). Từ đó nếu xét điểm là trường hợp đặc biệt của đường tròn khi bán kính bằng 0 thì ta có bài toán tổng quát sau: “Cho góc x0y và đường tròn (S) tâm I bán kính R nằm trong góc đó. Hãy dựng đường tròn (C) tiếp xúc với ox, oy và tiếp xúc với đường tròn (S’’). Việc dựng đường tròn (C) quy về việc dựng đường tròn tâm K đi qua I và tiếp xúc với o’x’ và o’y’, kí hiệu là (K). Trong đó 0’x’ và 0’y’ lần lượt song song với 0x, 0y và cách đều chúng một khoảng bằng R. Giả sử đường tròn (K) có bán kính d. Khi đó đường tròn cần dựng có tâm K bán kính bằng d – R (Hình 1.2). Hình 1.2
13 Chƣơng II: MỞ RỘNG MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRONG CHƢƠNG TRÌNH PHỔ THÔNG 2.1. Mở rộng bài toán hình học phẳng thành bài toán hình học không gian 2.1.1. Ý tƣởng Bước 1: Xuất phát từ một bài toán trong phẳng (ta quy ước gọi là bài toán gốc), ta đưa ra bài toán tương tự trong không gian (ta quy ước gọi là bài toán mở rộng). Bước 2: Tìm cách giải bài toán mở rộng. 2.1.2. Một số ví dụ minh họa Bài toán 2.1: Trên mặt phẳng toạ độ xoy cho điểm A(xA;yA), B(xB;yB). Tìm toạ độ của điểm M trên đường thẳng (d) sao cho MA + MB nhỏ nhất. Từ bài toán trên, ta có bài toán mở rộng như sau: Bài toán 2.1a: Trong không gian cho mặt phẳng (P) và hai điểm phân biệt A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB). Tìm toạ độ của điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất. Chẳng hạn, Trong không gian cho mặt phẳng (P): x  y  z  3  0 và hai điểm O(0;0;0), A(-2;2;1). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  x+ 2  +  y- 2  +  z-1 . 2 2 2 S = x 2 + y2 + z 2 + Lời giải: Hình 2.1
14 Trong hệ trục toạ độ Đề Các vuông góc oxyz, xét các điểm O  0;0;0 ,A -2;2;1  và mặt phẳng  P  : x+ y+ z = 0 . Dễ thấy O và A nằm cùng phía với nhau đối với (P). Gọi B là điểm đối xứng của O qua (P), Với mỗi điểm M(x;y;z)  (P) ta luôn có MO = MB và S = MO + MA  AB (Không đổi). Dấu "=" xảy ra  M  I Trong đó I = AB(đoạn)  (P), khi đó S đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm toạ độ của B ta được B(2;2;2)  AB = 17 .  2 7 Tìm tọa độ điểm I ta được I  - ;2;  nên với cặp giá trị  5 5  x; y;z  =  - 2 7 ;2;  ta có S đạt giá trị nhỏ nhất là SMin = 17 . (Hình 2.1)  5 5 Bài toán 2.2: Cho x 2 + y2 + 2x- 2 y+1 = 0 và z2 + t 2 - 6z+ 4t+11 = 0 với x, y, z, t là các số thực thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S =  x- t  +  y- z  . 2 2 Từ bài toán trên, ta có bài toán mở rộng như sau: Bài toán 2.2a: Cho x 2 + y2 + z 2 + 2x- 2 y+ 4z+ 4 = 0 ; a 2 + b2 + c2 + 2b- 2c-1 = 0 , trong đó x, y, z, a, b, c là các số thực thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S =  x- a  +  y- b  +  z- c  . 2 2 2 Lời giải: Trong hệ trục toạ độ Đề Các vuông góc oxyz xét các mặt cầu (I;R) và (J;r) có tâm I(-1;1;-2), R = 2 và J(0;-1;1), r = 3 .  I;R  :  x+1 +  y-1 +  z+ 2  = 2  x 2 + y2 + z 2 + 2x- 2 y+ 4z+ 4 = 0 (I) 2 2 2  J;r  : x 2 +  y+1 +  z-1 = 3  x 2 + y2 + z 2 + 2 y- 2z-1 = 0 2 2 (J) Từ giả thiết ta có M  x; y;z    I  , N  a;b;c    J  . Ta có S = MN 2 , d = IJ = 12 + 22 + 32 = 14 > R+ r = 2 + 3
15 Hình 2.2 nên hai mặt cầu trên ngoài nhau, suy ra S đạt giá trị lớn nhất (Max), nhỏ nhất (Min) khi và chỉ khi MN đạt Max, Min. Khi M thay đổi trên (I), N thay đổi trên (J) thì:   2  MNMax = AB = d+ R+ r = 14 + 2 + 3  SMax = 14 + 2 + 3   2  MNMin = CD = d- R- r = 14 - 2 - 3  SMin = 14 - 2 - 3 .(Hình 2.2). Bài toán 2.3: Cho ABC là tam giác vuông tại A, với độ dài các cạnh là a, b, c; đường cao AH = h; b' = CH, c' = BH; ,  là góc giữa một đường thẳng bất kì với hai đường thẳng AB, AC tương ứng thì ta luôn có các hệ thức: a) b2 = ab',b2 + c2 = a 2 1 1 1 b) = + h 2 b2 c2 c) cos2  + cos2  = 1 . Từ bài toán trên, ta có bài toán mở rộng như sau: Bài toán 2.3a: Cho OABC là tứ diện vuông đỉnh O, đường cao OH = h, OA = a, OB = b, OC = c; gọi S, SA, SB, SC thứ tự là diện tích các tam giác ABC, OBC, OCA, OAB; S'A, S'B, S'C thứ tự là diện tích các tam giác HBC, HCA, HAB và , ,  thứ tự là góc giữa một đường thẳng bất kì với các đường thẳng OA, OB, OC. Ta luôn có:
16 a) S2A = S.S'A ,S2 = SA2 + SB2 + SC2 1 1 1 1 b) 2 = 2+ 2+ 2 h a b c c) cos2 + cos2 + cos2  = 1. Lời giải: Ta có thể chứng minh ý c) như sau:    Trên ba cạnh OA, OB, OC đặt ba véc tơ đơn vị e1 ,e2 ,e3 (Chúng có độ dài  bằng 1 và đôi một vuông góc); gọi u là véc tơ chỉ phương của đường thẳng     , luôn có sự biểu thị duy nhất u = x e1 + ye2 + ze3 .    Ta có cos  = cos u ; e1  = x x 2 + y2 + z 2   cos  = cos u ; e2  = y x 2 + y2 + z 2    cos  = cos u ; e3  = z x 2 + y2 + z 2 Dễ dàng suy ra cos2 + cos2 + cos2  = 1. (Hình 2.3). Hình 2.3 Bài toán 2.4: Chứng minh trong tam giác ABC bất kì, trọng tâm G, trực 1 tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O thẳng hàng và GO = GH (Đường 2 thẳng Ơle).
17 Từ bài toán trên, ta có bài toán mở rộng như sau: Bài toán 2.4a: Trong không gian, cho tứ diện trực tâm ABCD. Chứng minh, trọng tâm G, trực tâm H và tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thẳng hàng và GH = GO. Lời giải: Lần lượt lấy A′ đối xứng với A, B′ đối xứng với B, C′ đối xứng với C, D′ đối xứng với D qua G. Xét phép vị tự V(G,-1) , ta có: V(G,-1) : A  A' B  B’ C  C’ D  D’ Như vậy, V(G,-1) : (ABCD)  (A'B'C'D') nên phép vị tự V(G,-1) biến trực tâm của tứ diện ABCD thành trực tâm của tứ diện A’B’C’D’. Theo giả thiết, H là trực tâm của tứ diện ABCD, ta sẽ chứng minh O là trực tâm của tứ diện A’B’C’D’. Hình 2.4 Thật vậy, trước hết ta sẽ chứng minh A’O  mp(BCD), từ đó A’O  (B’C’D’) vì mp(BCD) // mp(B’C’D’) (Các đỉnh khác chứng minh tương tự). Do O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nên O cách đều các đỉnh B, C, D. Ta chứng minh A’ cũng cách đều B, C, D. Gọi G1 là giao điểm của AA’
18 với mp(BCD). Trong ∆BA’B’ có G là trung điểm của BB’ và 1 1 G1G = GA = GA’ nên G1 là trọng tâm của ∆BCD. 3 3 Từ đó, BG1 cắt A’B’ tại trung điểm E của A’B’ và BG1 = 2G1E. Trong ∆BCD, G1 là trọng tâm nên BG1 qua trung điểm E’ của CD và BG1 = 2G1E’. Suy ra E ≡ E’ hay CD cắt A’B’ tại trung điểm của mỗi đường. Do đó A’DB’C là hình bình hành. Hơn nữa, AB  CD suy ra A'B'  CD nên A’DB’C là hình thoi. Suy ra A’D = A’C = CB’ và A’B = B’A. Ta chứng minh được B’A = CB’ nên suy ra A’B = A’D = A’C hay A’ cách đều các đỉnh B, C, D.   Suy ra V(G,-1) : H  O hay GO = -GH . Vậy H, G, O thẳng hàng và GO = GH. (Hình 2.4). Bài toán 2.5: Chứng minh trong tam giác bất kì, chín điểm gồm: chân ba đường cao, ba trung điểm của ba cạnh, ba trung điểm các đoạn nối trực tâm với các đỉnh đều thuộc một đường tròn (Đường tròn Ơle). Từ bài toán trên, ta có bài toán mở rộng như sau: Bài toán 2.5a: Cho tứ diện trực tâm ABCD. Gọi H1 ,H2 ,H3 ,H4 ; G1,G 2 ,G3 ,G 4 ;I1,I 2 ,I3 ,I 4 lần lượt là chân bốn đường cao, trọng tâm các mặt và các điểm trên bốn đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh thỏa mãn I1H I2H I3H I 4H 1 = = = = . Chứng minh mười hai điểm đó cùng thuộc I1A I2B I3C I 4D 2 một mặt cầu. (tứ diện cần xét phải có các đường cao đồng quy nên là tứ diện trực tâm). Lời giải: Gọi G, O thứ tự là trọng tâm, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện từ bài toán     2.4a ta đã biết GH = OG . Gọi E là điểm sao cho HE = 3HH1 và F là điểm   sao cho HF = 3HG1 .