Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bài toán về đường tròn tiếp xúc

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:62

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhiều bài toán về sự tiếp xúc của các đường tròn đã sắn liền với tên tuổi của các nhà toán học như bài toán Thebault, bài toán EFeuerbach, bài toán Mlalfatti, các bài toán về đường tròn trong hình học arbelos ("hình con đao của thợ đóng giầy")... Để hiểu biết thêm về các các đường tròn tiếp xúc, khai thác các tính chất, cách xác định chúng, áp dụng được vào các bài toán khác. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số bài toán về đường tròn tiếp xúc

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- VŨ THỊ NĂM MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN TIẾP XÚC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- VŨ THỊ NĂM MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN TIẾP XÚC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Nguyễn Việt Hải THÁI NGUYÊN - 2018
i Danh möc h¼nh 1.1 B i to¡n Feuerbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Düng ÷íng trán Thebault . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 ành lþ Thebault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Bê sung t½nh ch§t cõa t¥m I . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 B i to¡n cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 a) P Q i qua I ; b) P Q i qua IC . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7 c) P Q i qua IA ; d) P Q i qua IB . . . . . . . . . . . . . . 12 1.8 C¡c tr÷íng hñp cõa ành lþ Thebault . . . . . . . . . . . . 13 1.9 Tø b i to¡n Thebault ¸n ành lþ Feuerbach . . . . . . . . 14 1.10 M»nh · 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.11 ành lþ Feuerbach èi vîi ÷íng trán b ng ti¸p . . . . . . . 17 1.12 IMO 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1 B i to¡n Malfatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Têng di»n t½ch c¡c h¼nh trán Malfatti khæng ph£i l lîn nh§t 21 2.3 Nghi»m cõa b i to¡n Malfatti gèc . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Líi gi£i ¤i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Líi gi£i ¤i sè-h¼nh håc cõa Schellbach . . . . . . . . . . . . 26 2.6 Khi R = 21 ; a = sin α, b = sin β, c = sin γ . . . . . . . . . . 28 2.7 Ph²p düng phö 1 v ph²p düng phö 2 . . . . . . . . . . . . 29 2.8 Ph²p düng b¬ng ph¦n m·m GeoGebra, n«m 2013 . . . . . . 30 2.9 B i to¡n A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.10 B i to¡n B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1 arbelos - h¼nh "con dao thñ èng gi¦y" . . . . . . . . . . . 39 3.2 ÷íng trán nëi ti¸p arbelos . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 ành lþ Bankoff thù nh§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
ii 3.4 Ba c¡ch düng ÷íng trán nëi ti¸p arbelos ABC . . . . . . . 43 3.5 C¡ch düng thù t÷ cõa ÷íng trán nëi ti¸p . . . . . . . . . 45 3.6 C°p ÷íng trán Archimedes thù nh§t v thù hai . . . . . . 46 3.7 ành lþ Bankoff thù hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.8 C°p ÷íng trán Archimedes thù ba v thù t÷ . . . . . . . 48 3.9 C°p ÷íng trán Archimedes thù n«m v thù s¡u . . . . . . 49 3.10 C°p ÷íng trán thù b£y, thù t¡m . . . . . . . . . . . . . . 50 3.11 C°p ÷íng trán thù ch½n v c°p thù m÷íi . . . . . . . . . 51 3.12 C°p thù m÷íi mët v c°p thù m÷íi hai . . . . . . . . . . . 52
iii Möc löc Líi c£m ìn vi Mð ¦u 1 1 Tø b i to¡n Thebault ¸n b i to¡n Feuerbach 4 1.1 Giîi thi»u v· hai b i to¡n: b i to¡n Thebault v b i to¡n Feuerbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 B i to¡n Feuerbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 B i to¡n Thebault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 B i to¡n cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 p döng b i to¡n cì b£n chùng minh ành lþ Thebault 12 1.2.2 Tø ành lþ Thebault ¸n ành lþ Feuerbach . . . . . 14 1.3 p döng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 B i to¡n Malfatti 20 2.1 Giîi thi»u b i to¡n Malfatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Líi gi£i b i to¡n Malfatti gèc . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Líi gi£i b i to¡n Malfatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.1 C¡ch düng ¤i sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.2 C¡ch düng ¤i sè-h¼nh håc cõa Schellbach . . . . . . 26 2.4 Mët sè b i to¡n kiºu Malfatti gèc . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4.1 Hai b i to¡n Malfatti èi ng¨u . . . . . . . . . . . . 31 2.4.2 B i to¡n Malfatti cho tam gi¡c ·u v h¼nh vuæng . 34 2.4.3 B i to¡n Malfatti cho ÷íng trán . . . . . . . . . . . 37 3 ÷íng trán ti¸p xóc trong h¼nh håc arbelos 38 3.1 Mët sè b i to¡n ìn gi£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
iv 3.2 ÷íng trán nëi ti¸p trong arbelos . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.1 T½nh ch§t cõa ÷íng trán nëi ti¸p trong Arbelos . . 40 3.2.2 C¡ch düng ÷íng trán nëi ti¸p arbelos ABC . . . . . 44 3.3 C¡c c°p ÷íng trán Archimedes trong arbelos . . . . . . . . 45 3.3.1 C°p ÷íng trán Archimedes thù nh§t v thù hai . . 45 3.3.2 C°p ÷íng trán Archimedes thù ba v thù t÷ . . . . 48 3.3.3 C¡c c°p ÷íng trán Archimedes thù n«m v thù s¡u 49 3.3.4 C¡c c°p ÷íng trán Archimedes thù b£y v thù t¡m 50 T i li»u tham kh£o 54
v B£ng kþ hi»u stt Kþ hi»u Nëi dung kþ hi»u 1 O9 T¥m ÷íng trán Euler 5 2 ρa B¡n k½nh ÷íng trán b ng ti¸p trong Ab 6 3 (ABC) ÷íng trán i qua 3 iºm A, B, C 11 4 (O) ÷íng trán t¥m O 17 5 (OA , rA ) T¥m, b¡n k½nh ÷íng trán Malfatti trong Ab 24 6 [ABC] H¼nh arbelos 22 7 (P Q) Nûa ÷íng trán ÷íng k½nh P Q 38 8 O(r) ÷íng trán t¥m O, b¡n k½nh r 38 ab 9 t= B¡n k½nh ÷íng trán Archimedes 45 a+b 10 (Wk ), (Wk0 ) C°p ÷íng trán Archimedes 46 11 (CXY ) ÷íng trán Bankoff trong h¼nh arbelos 47
vi Líi c£m ìn º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n v gióp ï nhi»t t¼nh cõa PGS.TS. Nguy¹n Vi»t H£i, Gi£ng vi¶n cao c§p Tr÷íng ¤i håc H£i Pháng. Tæi xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n th¦y v xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa tæi èi vîi nhúng i·u th¦y ¢ d nh cho tæi. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn pháng o t¤o, Khoa To¡n-Tin, quþ th¦y cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K10B (2016 - 2018) Tr÷íng ¤i håc khoa Håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc. Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúng ng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n. Xin tr¥n trång c£m ìn! H£i Pháng, th¡ng 10 n«m 2018 Ng÷íi vi¸t Luªn v«n Vô Thà N«m
1 Mð ¦u 1. Möc ½ch cõa · t i luªn v«n C¡c b i to¡n v· ÷íng trán luæn l nhúng b i to¡n ÷ñc c¡c nh to¡n håc quan t¥m. Nhi·u b i to¡n v· sü ti¸p xóc cõa c¡c ÷íng trán ¢ gn li·n vîi t¶n tuêi cõa c¡c nh to¡n håc nh÷ b i to¡n Thebault, b i to¡n Feuerbach, b i to¡n Malfatti, c¡c b i to¡n v· ÷íng trán trong h¼nh håc arbelos ("h¼nh con dao cõa thñ âng gi¦y") ...Sü d¨n dt tø b i to¡n n y sang b i to¡n kh¡c còng c¡c ùng döng cõa chóng ¢ mang l¤i nhi·u k¸t qu£ tuy»t víi cõa h¼nh håc Euclide. º hiºu bi¸t th¶m v· c¡c c¡c ÷íng trán ti¸p xóc, khai th¡c c¡c t½nh ch§t, c¡ch x¡c ành chóng, ¡p döng ÷ñc v o c¡c b i to¡n kh¡c, tæi ¢ chån · t i "Mët sè b i to¡n v· ÷íng trán ti¸p xóc". Möc ½ch cõa · t i l : -T¼m hiºu c¡c b i to¡n li¶n quan ¸n c¡c ÷íng trán ti¸p xóc: b i to¡n Thebault, b i to¡n Feuerbach, b i to¡n Malfatti, c¡c b i to¡n v· ÷íng trán ti¸p xóc trong h¼nh håc arbelos . - Tr¼nh b y méi b i to¡n vîi nhúng nëi dung ÷ñc cªp nhªt, theo tr¼nh tü: xu§t sù cõa b i to¡n, c¡ch gi£i quy¸t mîi cõa b i to¡n v c¡c b i to¡n li¶n quan. - C¡c k¸t luªn khoa håc rót ra tø c¡c b i to¡n v ¡p döng º gi£i to¡n håc sinh giäi ð phê thæng. - Bçi d÷ïng n«ng lüc d¤y c¡c chuy¶n · khâ ð tr÷íng THCS v THPT gâp ph¦n o t¤o håc sinh håc giäi mæn H¼nh håc.
2 2. Nëi dung cõa · t i, nhúng v§n · c¦n gi£i quy¸t Tr¼nh b y mët c¡ch h» thèng c¡c b i to¡n nâi tr¶n, ¡p döng ÷ñc c¡c t½nh ch§t cõa ÷íng trán ti¸p xóc v o c¡c b i to¡n kh¡c. Nëi dung luªn v«n chia l m 3 ch÷ìng: Ch÷ìng 1. Tø b i to¡n Thebault ¸n b i to¡n Feuerbach X²t hai b i to¡n : b i to¡n Thebault, b i to¡n Feuerbach v mèi li¶n h» giúa chóng. B i to¡n Feuerbach l mët trong nhúng b i to¡n µp ³ nh§t cõa h¼nh håc ph¯ng Euclide tr£i qua nhi·u n«m th¡ng vîi nhi·u c¡ch chùng minh. Ch÷ìng n y bao gçm: 1.1. Giîi thi»u v· hai b i to¡n: b i to¡n Thebault v b i to¡n Feuerbach 1.2. B i to¡n cì b£n 1.3. p döng. Ch÷ìng 2. B i to¡n Malfatti Giîi thi»u b i to¡n Malfatti v b i to¡n Malfatti gèc. Tr¼nh b y chi ti¸t líi gi£i b i to¡n to¡n Malfatti cho tam gi¡c b§t ký, gi£i th½ch ¦y õ t¤i sao c¡c ÷íng trán Malfatti khæng l nghi»m cõa b i to¡n Malfattigèc v ¥u l nghi»m óng cõa b i to¡n â. Ch÷ìng n y bao gçm c¡c möc sau: 2.1. Giîi thi»u b i to¡n Malfatti 2.2. Líi gi£i cõa b i to¡n Malfatti gèc 2.3. Líi gi£i b i to¡n Malfatti 2.4. Mët sè b i to¡n kiºu Malfatti gèc. Ch÷ìng 3. ÷íng trán ti¸p xóc trong h¼nh håc arbelos H¼nh håc arbelos nghi¶n cùu c¡c nûa ÷íng trán ti¸p xóc, chú "arbelos" ÷ñc gh²p tø 7 chú c¡i α, %, β, η, λ, θ, ς th nh (α%βηλθς ). H¼nh arbelos l ba nûa ÷íng trán vîi c¡c ÷íng k½nh tr¶n mët ÷íng th¯ng. Theo quan iºm trüc quan, ng÷íi ta gåi arbelos l "h¼nh con dao cõa thñ âng gi¦y".
3 Ch÷ìng n y · cªp ¸n mët sè t½nh ch§t cõa arbelos, c¡ch düng c¡c ÷íng trán ti¸p xóc, °c bi»t n¶u c¡ch düng 8 c°p ÷íng trán Archimedes cõa mët arbelos, cªp nhªt ÷ñc nhúng ph¡t hi»n trong nhúng n«m g¦n ¥y. Nëi dung bao gçm: 3.1. Mët sè b i to¡n ìn gi£n 3.2. ÷íng trán nëi ti¸p v ÷íng trán Archimedes. 3.3. Düng c¡c c°p ÷íng trán Archimedes trong h¼nh arbelos.
4 Ch÷ìng 1 Tø b i to¡n Thebault ¸n b i to¡n Feuerbach Ng÷íi ta hay nâi ¸n v´ µp cõa to¡n håc. Vªy ¥u l v´ µp cõa nâ? æi khi ch¿ xu§t ph¡t tø mët b i to¡n cö thº l¤i d¨n tîi mët bùc tranh thªt µp. Ch¯ng h¤n bùc tranh sau ¥y l hai k¸t qu£ to¡n håc nêi ti¸ng, xu§t ph¡t tø nhúng l¾nh vüc kh¡c bi»t, t÷ðng nh÷ khæng câ quan h» g¼ nh÷ng l¤i gn ch°t vîi nhau. Trong ch÷ìng n y ta s³ x²t hai ành lþ nêi ti¸ng v· c¡c ÷íng trán ti¸p xóc: ành lþ Feuerbach v ành lþ Thebault. Chóng ÷ñc kh¡m ph¡ bði hai nh to¡n håc kh¡c nhau ð nhúng kho£ng thíi gian r§t xa nhau: ành lþ thù nh§t ra íi c¡ch ành lþ thù hai 116 n«m. Tr£i qua mët thíi gian d i, méi ành lþ câ mët tªp hñp c¡c ph²p chùng minh düa tr¶n nhúng c¡ch nh¼n nhªn kh¡c nhau. Khæng h· nâi qu¡ r¬ng hai ành lþ n y nh÷ hai chà em ruët: chóng l hai tr÷íng hñp kh¡c nhau cõa còng mët sü ki»n to¡n håc. 1.1 Giîi thi»u v· hai b i to¡n: b i to¡n Thebault v b i to¡n Feuerbach 1.1.1 B i to¡n Feuerbach Ta bt ¦u b¬ng mët v i kh¡i ni»m v k¸t qu£ ¢ bi¸t. Trong m°t ph¯ng tam gi¡c ABC ch½n iºm sau n¬m tr¶n mët ÷íng trán: ba ch¥n ÷íng cao D, E, F ; ba trung iºm c¡c c¤nh M, N, P v ba trung iºm o¤n th¯ng
5 nèi trüc t¥m vîi ¿nh tam gi¡c, kþ hi»u l HA , HB , HC . ÷íng trán i qua 9 iºm â ÷ñc gåi l ÷íng trán ch½n iºm. Sü ki»n °c bi»t n y ÷ñc t¼m ra n«m 1765 bði nh to¡n håc thi¶n t i Leonard Euler (1707-1783), bði vªy nâ cán câ t¶n gåi l ÷íng trán Euler. N«m 1822, K. Feuerbach ¢ chùng minh ÷ñc ành lþ nâi v· t½nh ch§t cõa ÷íng trán ch½n iºm. T½nh ch§t n y nêi ti¸ng ¸n mùc lóc §y nhi·u ng÷íi cán gåi ÷íng trán n y l ÷íng trán Feuerbach. ành lþ 1.1. ( B i to¡n Feuerbach) Trong måi tam gi¡c, ÷íng trán ch½n iºm ti¸p xóc vîi ÷íng trán nëi ti¸p v c¡c ÷íng trán b ng ti¸p. Ta nhî r¬ng ÷íng trán b ng ti¸p l ÷íng trán ti¸p xóc vîi mët c¤nh tam gi¡c v ph¦n k²o d i cõa hai c¤nh kia. Nh÷ vªy ÷íng trán b ng ti¸p tam gi¡c ABC ùng vîi gâc A l ÷íng trán ti¸p xóc vîi c¤nh BC v ph¦n k²o d i c¤nh AB (v· ph½a B ) v c¤nh AC (v· ph½a C ). Méi tam gi¡c câ ba ÷íng trán b ng ti¸p. T¡c gi£ cõa ành lþ l Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834) l mët nh to¡n håc ng÷íi ùc, anh trai cõa nh tri¸t håc nêi ti¸ng Ludwig Feuerbach. Sau khi nhªn håc và ti¸n s¾ v o n«m 22 tuêi æng trð th nh gi¡o s÷ to¡n håc cõa tr÷íng Gymnasium t¤i th nh phè Erlangen. Th nh phè n y sau 50 n«m ph¡t minh cõa Feuerbach, n«m 1872, xu§t hi»n "ch÷ìng tr¼nh Erlangen" cõa Felix Klein v· "H» thèng hâa h¼nh håc", mð ¦u cho h¼nh håc hi»n ¤i. Ng y nay trong c¡c ph²p chùng minh ành lþ Feuerbach a sè ·u sû döng cæng cö m¤nh nh÷ ph²p nghàch £o, ành lþ Ptolemy têng qu¡t...Nh÷ng công câ nhúng ph²p chùng minh ho n to n sì c§p. Mët trong nhúng ph²p chùng minh â thuëc v· V.Protasop, t¡c gi£ cõa b i b¡o [7], trong â t¡c gi£ coi ành lþ Feuerbach l tr÷íng hñp ri¶ng cõa ành lþ v· kho£ng. Sau ¥y l c¡ch gi£i quy¸t b i to¡n Feuerbach b¬ng ph÷ìng ph¡p sì c§p: Chùng minh. Gi£ sû O9, O, I, r, R nh÷ kþ hi»u ¢ bi¸t, QOS l ÷íng k½nh vuæng gâc vîi BC , F, N l h¼nh chi¸u cõa O9 , I l¶n BC , P l h¼nh chi¸u cõa A l¶n OQ. B÷îc 1. (O9) ti¸p xóc trong vîi (I, r) ⇐⇒ O9I = R2 − r. B÷îc chùng minh thüc hi»n theo sì ç sau: 1. Chùng minh P O = 2EF
6 2. Chùng minh IN.QP = M K.DN = M N.N K R2 R2 3. Chùng minh O9 I = 2 2 + r − IN (QP + P O) = + r2 − Rr = 2 2 2 R −r 2 B÷îc 2. Chùng minh (O9) ti¸p xóc ngo i vîi, ch¯ng h¤n, ÷íng trán (Ia) b ng ti¸p trong Ab. B÷îc chùng minh thüc hi»n theo sì ç sau: 1. H¤ Ia Xa ⊥ BC , chùng minh M N.Xa K = M K.Xa D. OA2 2. H¤ O9 L ⊥ Xa Ia , chùng minh O9 Ia2 = + Xa Ia2 + P O.Xa Ia + 4 M N.Xa K 2 R R 3. Tø â bi¸n êi thu ÷ñc O9 Ia = 2 + ρa =⇒ O9 Ia = + ρa , 2 2 trong â ρa = b¡n k½nh ÷íng trán b ng ti¸p trong Ab. H¼nh 1.1: B i to¡n Feuerbach Vîi sì ç â ta chùng minh ÷ñc ành lþ Feuerbach (xem [1]), trong ph¦n sau ta s³ ti¸p cªn b i to¡n n y b¬ng c¡ch kh¡c.
7 1.1.2 B i to¡n Thebault Kh¡c vîi Feuerbach, nh to¡n håc nêi ti¸ng ng÷íi Ph¡p Victor Thebault (1882-1960), t¡c gi£ cõa hìn 1000 ành lþ v b i to¡n (ri¶ng mët t¤p ch½ "American mathematical monthly" ¢ «ng 582 ành lþ v b i to¡n trong chóng). i·u â chùng tä Thebault l mët t¡c gi£ câ uy t½n. i·u kh¡ ng¤c nhi¶n l Thebault lóc â ch÷a ÷ñc phong gi¡o s÷. Khi â (v ngay c£ b¥y gií) ki¸n thùc v· h¼nh håc khæng mang l¤i mët thu nhªp ¡ng kº n¶n Thebault trong suèt nhi·u n«m l m vi»c v¨n ð trong mët c«n pháng thu¶ cõa ng nh b£o hiºm. Trong c¡c cæng bè cõa Thebault nêi ti¸ng hìn c£ H¼nh 1.2: Düng ÷íng trán Thebault ch½nh l ành lþ v· ba ÷íng trán câ t¥m th¯ng h ng. Ta gåi tam gi¡c cong l h¼nh giîi h¤n bði 2 o¤n th¯ng v mët cung trán. Ch¯ng h¤n tr¶n h¼nh 1.2, tam gi¡c cong ADB giîi h¤n bði hai o¤n th¯ng AD, DB v cung _ BA cõa ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡c ABC . Ng÷íi ta gåi c¡c ÷íng trán nëi ti¸p c¡c tam gi¡c cong ADB, ADC l c¡c ÷íng trán Thebault ùng vîi ÷íng trán nëi ti¸p. T÷ìng tü câ c¡c ÷íng trán Thebault ùng vîi c¡c ÷íng trán b ng ti¸p. Ta câ c¡ch düng ÷íng trán Thebault nh÷ sau: - Düng t¥m nëi ti¸p I cõa ∆ABC v ph¥n gi¡c Dt cõa ADB \. - Düng qua I ÷íng Ix ⊥ Dt, Ix ∩ BC = F .
8 - Düng qua F ÷íng F y ⊥ BC , F y ∩ Dt = K . - Düng ÷íng trán t¥m (K, KF ). â l ÷íng trán c¦n düng. ành lþ 1.2. (B i to¡n Thebault) Tr¶n c¤nh BC cõa tam gi¡c ABC l§y iºm D tòy þ. Düng c¡c ÷íng trán nëi ti¸p trong c¡c tam gi¡c cong ADB v ADC . Khi â ÷íng th¯ng t¥m cõa hai ÷íng trán â i qua t¥m nëi ti¸p cõa ABC . H¼nh 1.3: ành lþ Thebault ành lþ n y ÷ñc Thebault cæng bè d÷îi d¤ng mët b i to¡n v o n«m 1938 (khæng chùng minh), c¡c ph²p chùng minh ¦u ti¶n nhªn ÷ñc b¬ng ph÷ìng ph¡p t½nh to¡n v o nhúng n«m 1970 sau khi Thebault ¢ m§t. M¢i ¸n n«m 1986, mët ph²p chùng minh b i to¡n b¬ng h¼nh håc thu¦n tóy mîi ÷ñc ho n th nh. G¦n ¥y công câ mët ph²p chùng minh ành lþ ÷ñc cæng bè b¬ng ti¸ng Nga bði nh to¡n håc E. D. Kulannin trong "Gi¡o döc To¡n håc", tªp 11, n«m 2007. C¡ch ti¸p cªn hai ành lþ n y cõa chóng tæi l nh÷ sau: Tr÷îc h¸t nhc l¤i v bê sung mët sè t½nh ch§t li¶n quan ¸n t¥m ÷íng trán nëi ti¸p, sau â ph¡t biºu v chùng minh b i to¡n cì b£n (bê · Sawayama), chùng minh ành lþ Thebault, cuèi còng chùng minh ành lþ Feuerbach tø ành lþ Thebault.
9 1.2 B i to¡n cì b£n Chõ · ch½nh cõa ph¦n n y l tr¼nh b y mët c¡ch gi£i quy¸t hai b i to¡n n¶u tr¶n b¬ng c¡ch düa v o mët b i to¡n cì b£n, hay ÷ñc gåi l bê · Sawayama, þ t÷ðng ch½nh cõa b i b¡o [7]. º th§y hai b i to¡n l c¡c tr÷íng hñp ri¶ng cõa còng mët sü ki»n h¼nh håc ta h¢y nhî l¤i mët sè kh¡i ni»m h¼nh håc sau â s³ ph¡t biºu v chùng minh b i to¡n cì b£n, tø â rót ra ành lþ Thebault, tø â chùng minh ành lþ Feuerbach. Ta bê sung th¶m c¡c t½nh ch§t sau cõa t¥m nëi ti¸p: H¼nh 1.4: Bê sung t½nh ch§t cõa t¥m I M»nh · 1.1. (a) Cho ∆ABC , ÷íng trán ngo¤i ti¸p (O), ÷íng trán nëi ti¸p l (I). K²o d i ph¥n gi¡c gâc BAC \ ct ÷íng trán ngo¤i ti¸p ð L th¼ LI = LB = LC . (b) Tr¶n m°t ph¯ng cho c¡c ÷íng trán C1 v C2, C1 ð trong C2, ti¸p xóc C2 ð T , ti¸p xóc vîi d¥y cung BC cõa C2 ð Q. Tia T Q ct C2 t¤i L. Khi â, L l trung iºm cung CB , T L l ph¥n gi¡c gâc BT \ C v LQ.LT = LB = LC . 2 2 Chùng minh. (a). Thªt vªy, v¼ LAB[ = LAC [ n¶n L l trung iºm cõa cung _ BC hay LB = LC . Gåi M l giao iºm cõa ph¥n gi¡c gâc ACB\ vîi ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡c ABC . Gâc IBL [ chn cung M L n¶n câ sè o b¬ng nûa têng c¡c cung M C v CL. Nâ l¤i b¬ng nûa têng sè o
10 c¡c cung AM v LB (v¼ _ AM =_ M C v _ LB =_ CL), b¬ng gâc [ . Suy ra IBL BIL [ = BIL [ , cuèi còng, LI = LB = LC . Ho n to n t÷ìng tü ta câ thº ph¡t biºu v chùng minh t½nh ch§t èi vîi t¥m ÷íng trán b ng ti¸p tam gi¡c. (b). X²t ph²p và tü t¥m T , bi¸n C1 th nh C2 . Nâ s³ bi¸n iºm Q th nh iºm L, ÷íng th¯ng BC ti¸p xóc vîi C1 t¤i Q th nh ÷íng th¯ng song song vîi BC , ti¸p xóc C2 t¤i L. V¼ ti¸p tuy¸n n y song song vîi BC n¶n L l trung iºm cõa cung CB . Hìn núa c¡c gâc nëi ti¸p LCB, [ LT [ C b¬ng nhau n¶n tam gi¡c LCQ çng d¤ng vîi tam gi¡c LT C , tø â LQ.LT = LB 2 = LC 2 . Ho n to n t÷ìng tü ta câ thº ph¡t biºu v chùng minh t½nh ch§t èi vîi t¥m ÷íng trán b ng ti¸p tam gi¡c. Khi â, T L l ph¥n gi¡c gâc k· vîi gâc BT C . ành lþ 1.3. (B i to¡n cì b£n) Tr¶n c¤nh BC cõa tam gi¡c ABC l§y tòy þ mët iºm M . V³ nëi ti¸p trong tam gi¡c cong mët ÷íng trán t¥m J , ti¸p xóc vîi M A, M B l¦n l÷ñt t¤i P v Q, ti¸p xóc ÷íng trán (O) ð iºm T . Khi â ÷íng th¯ng P Q i qua I . H¼nh 1.5: B i to¡n cì b£n
11 Chùng minh. Xem h¼nh 1.5 B÷îc 1. ÷íng th¯ng QI ct l¤i ÷íng trán (J) ð P 0, AI ct (O) ð L, theo t½nh ch§t 1.1(a), Ll trung iºm cung BC . B÷îc 2. Ta câ BQT \ = QP \ 0T = T [ \ = 1 s(_ AI ). Thªt vªy, s BQT 2 1 CL+ _ BT ) = s (_ BL+ _ BT ) =s T [ AI =⇒ BQT\ = T [AI . 2 Ngo i ra, gâc BQT \ l gâc giúa ti¸p tuy¸n v mët d¥y b¬ng gâc nëi ti¸p QP \ 0 T còng chn mët cung. B÷îc 3. Ta chùng minh Tù gi¡c AP 0IT nëi ti¸p. Thªt vªy, ta câ QP\ 0T = T [ AI , ngh¾a l AIT [ = AP \ 0 T . Hìn núa, theo t½nh ch§t 1.1(b), LQ.LT = LB 2 = LI 2 . Suy ra ∆LQI ∼ ∆LIT . Tø â suy ra: LQI [ = LIT d . Nh÷ vªy, T\ QP 0 = AIT [ = AP \ 0T . B÷îc 4. ¯ng thùc T\ QP 0 = AP \ 0 T chùng tä AP 0 ti¸p xóc (J). Do â, P0 ≡ P. H¼nh 1.6: a) P Q i qua I ; b) P Q i qua IC H» qu£ 1.1. Vîi gi£ thi¸t nh÷ trong b i to¡n cì b£n, khi â, ÷íng trán (AP F ) i qua t¥m I ÷íng trán nëi ti¸p tam gi¡c ABC . Tr÷íng hñp °c bi»t cõa b i to¡n cì b£n l M ≡ C . Lóc n y ÷íng trán (J) ti¸p xóc vîi 2 c¤nh CA, CB v ti¸p xóc vîi ÷íng trán ngo¤i ti¸p
12 H¼nh 1.7: c) P Q i qua IA; d) P Q i qua IB tam gi¡c ABC . B i to¡n cì b£n câ thº mð rëng cho c¡c tr÷íng hñp kh¡c theo quan h» cõa (J) ≡ γ vîi tam gi¡c ABC . Tr¶n c¡c h¼nh 1.6,1.7 biºu di¹n 4 kh£ n«ng. Ngo i ra, M câ thº n¬m tr¶n c¤nh BC ho°c tr¶n ph¦n k²o d i, h¼nh 1.6 a), b); 1.7 c), d). T§t c£ c¡c tr÷íng hñp tr¶n ·u óng v ÷ñc chùng minh t÷ìng tü. 1.2.1 p döng b i to¡n cì b£n chùng minh ành lþ Thebault º gi£i b i to¡n Thebault ta chó þ th¶m m»nh · sau: M»nh · 1.2. K´ ti¸p tuy¸n chung trong v chung ngo i cõa hai ÷íng trán. Khi â ÷íng th¯ng nèi hai ti¸p iºm tr¶n ÷íng trán thù nh§t v ÷íng th¯ng nèi hai ti¸p iºm tr¶n ÷íng trán thù hai ct nhau tr¶n ÷íng th¯ng t¥m. Chùng minh m»nh · Gi£ sû (O1 ) l ÷íng trán thù nh§t, A1 , B1 l c¡c ti¸p iºm tr¶n (O1 ), kþ hi»u t÷ìng tü tr¶n ÷íng trán thù hai (c¡c iºm A1 , A2 n¬m tr¶n mët ti¸p tuy¸n). Düng c¡c ÷íng trán δ, β t÷ìng ùng câ ÷íng k½nh A1 A2 , B1 B2 . ÷íng th¯ng O1 A1 ti¸p xóc vîi δ , ÷íng th¯ng O1 B1 ti¸p xóc vîi β . Ngh¾a l O1 A21 = O1 B12 , ph÷ìng t½ch cõa O1 èi vîi δ b¬ng ph÷ìng t½ch cõa O1