Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số đa tạp trong đại số tuyến tính

Chia sẻ: Tri Lễ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:65

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài nghiên cứu có cấu trúc gồm 2 chương nhắc lại một số kiến thức cơ bản về hình học vi phân; một số đa tạp trong đại số tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số đa tạp trong đại số tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TUYẾT THANH MỘT SỐ ĐA TẠP TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ TUYẾT THANH MỘT SỐ ĐA TẠP TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THANH SƠN Thái Nguyên - 2017
3 Mục lục Bảng ký hiệu ii Mở đầu 1 1 Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về hình học vi phân 3 1.1 Khái niệm đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Đa tạp tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Đa tạp khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Đa tạp con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Hàm, ánh xạ trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.5 Nhóm Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Không gian tiếp xúc Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc của đa tạp . . . . . . . . . 12 1.2.3 Đạo hàm của ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.4 Một số ánh xạ khả vi đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Phân thớ tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Phân thớ tiếp xúc của đa tạp tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.3 Móc Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.4 Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.5 Trường véc tơ bất biến trên nhóm Lie. . . . . . . . . . . . . . 24
4 1.4 Đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4.2 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.4.3 Nhóm đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.4 Không gian thuần nhất Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4.5 Phân thớ chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5 Liên thông Levi- Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.1 Liên thông trong Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.2 Liên thông Levi- Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.5.3 Trường chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.5.4 Dạng cơ bản thứ hai và liên thông Levi- Civita trên đa tạp con 33 1.6 Đường trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.6.1 Trường véc tơ tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.6.2 Cung trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.6.3 Ánh xạ mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2 Một số đa tạp trong đại số tuyến tính 39 2.1 Đa tạp Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.1 Cấu trúc tô pô của G(k, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.1.2 Cấu trúc vi phân của G(k, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.3 Cấu trúc Riemann của đa tạp Grassmann. . . . . . . . . . . . 44 2.1.4 Đường trắc địa, ánh xạ mũ và ánh xạ logarith . . . . . . . . . 45 2.2 Đa tạp các ma trận đối xứng nửa xác định dương . . . . . . . . . . . . 48 2.2.1 Định nghĩa và đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.2 Không gian tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.3 Mêtríc Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2.4 Không gian pháp và phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.2.5 Liên thông Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
i 2.2.6 Đường trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Kết luận và Đề nghị 56 Tài liệu tham khảo 57
ii Bảng ký hiệu dimM Số chiều của đa tạp M C ∞ (M ) tập tất cả các hàm trơn trên M C ∞ (E) tập các lát cắt trơn của (E, M, π) C ∞ (T M ) tập các trường vectơ trơn X : M → T M Sm mặt cầu đơn vị trong Rm Tp Rm tập các toán tử vi phân tuyến tính tại p Tp M không gian tiếp xúc của M tại p G đại số Lie của G ⊗ tích tenxơ của các không gian vectơ Ap hạn chế đa tuyến tính của A trên tích tenxơ Tp M ⊗ ... ⊗ Tp M G(k, n) tập tất cả các không gian k chiều của R O(k, n) tập các ma trận có các cột trực chuẩn trong Rn ST (k, n) tập các ma trận hạng đủ n hàng, k cột colsp(Y ) không gian con của Rn sinh bởi các cột của Y Ink tập tất cả các đa chỉ số J với J = (j1 , ..., jk ) ∈ Nk với 1 ≤ j1 < ... < jk ≤ n AJ ma trận con cỡ k × k chứa các hàng j1 , ..., jk của A với A ∈ Rk×n AC J ma trận bù của AJ trong A
iii ||x|| chuẩn Euclid E J := [ej1 ...ejk ] các ma trận chứa các vectơ đơn vị tương ứng trong Rn với J ∈ Ink J phần bù của chỉ số J trong Ink S+ (k, n) tập các ma trận thực cỡ n × n đối xứng nửa xác định dương có hạng cố định k , k ≤ n Rn×n sym tập các ma trận đối xứng cỡ n × n trace(A) vết của ma trận A rank(A) hạng của ma trận
1 Mở đầu Đa tạp là một trong những đối tượng cơ bản của hình học và giải tích. Nó là một cấu trúc phong phú không chỉ về tính chất mà ta còn có thể xây dựng rất nhiều khái niệm khác trên đó. Thông thường, chúng ta được làm quen với đa tạp trong Rn hay các đa tạp trừu tượng trong không gian tôpô ở bậc đại học. Trên thực tế, nhiều vấn đề tính toán, tối ưu có ràng buộc được quy về bài toán trên các tập các đối tượng trong đại số tuyến tính có tính chất đặc biệt, chẳng hạn như tập các không gian con k chiều của Rn , hay tập các ma trận đối xứng nửa xác định dương có hạng cố định. Ta không thể tính toán trên các tập đó, chẳng hạn nội suy, chiếu từ không gian lớn hơn lên đó nếu không có hiểu biết đầy đủ về chúng. Hóa ra, các tập đó có những cấu trúc phong phú và lập lên những đa tạp khả vi. Luận văn này sẽ trình bày một số đa tạp mà các phần tử của nó lại là các đối tượng trong đại số tuyến tính. Chúng tôi sẽ trình bày cấu trúc hình học của chúng, cũng như khía cạnh tính toán các đối tượng liên quan đến đa tạp. Những kiến thức này vô cùng quan trọng và là nền tảng không thể thiếu được cho việc tính toán trong đại số tuyến tính số cũng như ứng dụng trong những thuật toán tối ưu trên đa tạp. Nội dung của luận văn được dự kiến như sau. Chương I trình bày, có phần chi tiết, lý thuyết hình học vi phân, lý thuyết đa tạp đã được nghiên cứu ở bậc đại học. Tài liệu về vấn đề này bằng tiếng Việt, thậm chí cả tiếng Anh tương đối phong phú. Tuy nhiên, chúng tôi đã không thể tìm được một cuốn sách có đầy đủ những nguyên liệu cần cho chương sau, chẳng hạn ánh xạ mũ, liên thông Riemann, đường trắc địa và phương trình xác định nó,... Do vậy, chúng tôi đã dựa vào tập bài giảng [7]và chọn cách trình bày lại chi tiết các khái niệm một cách hệ thống. Nội dung
2 chính của luận văn nằm ở chương II. Cụ thể, chúng tôi trình bày các cấu trúc hình học phong phú của đa tạp Grassmann - tập các không gian con có số chiều cố định của Rn và của đa tạp các ma trận đối xứng nửa xác định dương. Còn rất nhiều chủ đề hay đã không được trình bày tại đây do giới hạn về thời gian cũng như khuôn khổ một luận văn thạc sĩ. Mặc dù đã rất nghiêm túc và cố gắng thực hiện luận văn này, nhưng luận văn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết nhất định. Kính mong sự góp ý của các thầy cô để luận văn này được hoàn chỉnh và ý nghĩa hơn. Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thanh Sơn. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn tận tình và đầy trách nhiệm để tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả đã học tập được rất nhiều kiến thức chuyên ngành bổ ích cho công tác và nghiên cứu của bản thân. Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các Thầy giáo, Cô giáo đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán K9Y; Nhà trường và các phòng chức năng của Trường, Khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Cuối cùng tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, ủng hộ và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu và học tập. Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên... Thái Nguyên, ngày 10 tháng 11 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Tuyết Thanh
3 Chương 1 Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về hình học vi phân Trong chương này, chúng tôi trình bày một cách chi tiết những khái niệm, tính chất quan trọng của hình học vi phân. Trong khi phần lớn kiến thức có thể tìm thấy trong các tài liệu tiếng Việt [2–4] và nhiều tài liệu tiếng Anh kinh điển khác, một số công cụ cho chương II lại không được trình bày trong các tài liệu nêu trên. Vì thế, khi viết chương này, chúng tôi chủ yếu dựa vào tài liệu [7]. Người đọc cũng có thể tham khảo tài liệu [1]. 1.1 Khái niệm đa tạp 1.1.1 Đa tạp tô pô Định nghĩa 1.1.1. Cho (M, τ ) là không gian tô pô Hausdorff với một cơ sở đếm được. Khi đó M được gọi là một đa tạp tô pô nếu có một số nguyên không âm m sao cho với mỗi điểm p ∈ M , tồn tại một lân cận U của p và một tập con mở V ⊂ Rm và một phép đồng phôi x : U → V . Cặp (U, x) được gọi là một bản đồ hay một tọa độ địa phương trong M . Số nguyên m được gọi là chiều của M . Ta viết M m để thể hiện đa tạp M có m chiều. Như vậy, một không gian tô pô Hausdorff với một cơ sở đếm được là một đa tạp tô pô m chiều nếu về mặt địa phương, nó đồng phôi với Rm .
4 1.1.2 Đa tạp khả vi Trước tiên, ta nhắc lại ký hiệu C r (U, Rn ), trong đó U là một tập mở bất kỳ của Rm là tập tất cả các ánh xạ khả vi liên tục tới cấp r từ U vào Rn ; C ω (U, Rn ) là tập tất cả các ánh xạ giải tích. Định nghĩa 1.1.2. Cho M là một đa tạp tô pô có số chiều m. Khi đó một C r -atlas (hay atlas lớp C r ) là một họ A = {(Uα , xα )|α∈I } bản đồ trên M sao cho A phủ M , tức là [ M= Uα α∈I và với mỗi cặp α, β ∈ I mà Uα ∩ Uβ 6= ∅, ánh xạ chuyển tiếp xβ x−1 m α |xα (uα ∩uβ ) : xα (uα ∩ uβ ) ⊂ R → R m là khả vi liên tục r lần. Một bản đồ (U, x) trên M được gọi là tương thích với một C r - atlas A nếu hợp A ∪ {(U, x)} là một C r - atlas. Một C r - atlas Aˆ được gọi là cực đại nếu nó chứa tất cả các bản đồ tương thích với nó. Khi đó Aˆ cũng được gọi là một C r - cấu trúc trên M . Cặp (M, A) ˆ được gọi là một C r - đa tạp hay một đa tạp khả vi lớp C r trong đó M là một đa tạp tô pô và Aˆ là một C r - cấu trúc trên M . Đa tạp khả vi được gọi là trơn nếu các ánh xạ chuyển tiếp của nó thuộc lớp C ∞ , giải tích nếu các ánh xạ chuyển tiếp là các hàm giải tích. Nhận xét 1.1.3. Một C r - atlas A trên một đa tạp tô pô M xác định duy nhất một C r - cấu trúc trên M . Nó xác định bằng cách gộp tất cả các bản đồ tương thích với nó. Ví dụ 1.1.4. a) Không gian tô pô Rm với tô pô Euclide có một cấu trúc C ω - cấu trúc tầm thường A = {(Rm , x), x : p → p}.
5 b) Ký hiệu S m là mặt cầu đơn vị trong Rm+1 được trang bị tô pô Euclide. Ký hiệu N , S lần lượt là cực bắc và cực nam của S m . Đặt UN = S m \{N }, US = S m \{S} và định nghĩa xN : Un → Rm 1 (p1 , ..., pm+1 ) 7→ 1−p1 (p1 , ..., pm+1 ), xS : U s → R m 1 (p1 , ..., pm+1 ) 7→ 1+p1 (p1 , ..., pm+1 ). Do vậy, hai ánh xạ chuyển tiếp xS x−1 N và xN xS được cho bởi công thức −1 Rm \ {0} → Rm \ {0} x x 7→ kxk2 Khi đó A = {(UN , xN ), (US , xS )} là một C ω - atlas trên S m . Đa tạp lớp C ∞ ˆ được gọi là mặt cầu tiêu chuẩn m chiều. (S m , A) Phát biểu sau đây xây dựng tích Descartes của hai đa tạp. Mệnh đề 1.1.5. Cho (M1 , Aˆ1 ) và (M2 , Aˆ2 ) là hai đa tạp khả vi lớp C r . Cho M = M1 × M2 là tích Descartes của hai không gian tô pô. Khi đó, tồn tại một atlas A trên ˆ là một đa tạp khả vi lớp C r có số chiều M sao cho (M, A) dim M = dim M1 + dim M2 . Định nghĩa Đa tạp (M, A) ˆ được gọi là đa tích Descartes của hai đa tạp (M1 , Aˆ1 ) và (M2 , Aˆ2 ). 1.1.3 Đa tạp con Định nghĩa 1.1.6. Cho m ≤ n là các số nguyên dương và (N n , AˆN ) là một đa tạp khả vi lớp C r . Một tập con M của N được gọi là một đa tạp con của N nếu với mỗi điểm
6 p ∈ M , tồn tại một bản đồ (Up , xp ) ∈ AˆN sao cho p ∈ Up và xp : Up ⊂ N → Rm × Rn−m thỏa mãn xp (Up ∩ M ) = xp (Up ) ∩ (Rm × {0}). số n − m được gọi là đối chiếu của M trong N . Phát biểu sau đây cung cấp chi tiết hơn về cấu trúc khả vi trên đa tạp con. Mệnh đề 1.1.7. Cho m ≤ n là các số nguyên dương và (N n , AˆN ) là một đa tạp khả vi lớp C r . Cho M là một đa tạp con của N và được trang bị tô pô con. Ký hiệu π : Rm × Rn−m → Rm là phép chiếu lên thành phần thứ nhất. Khi đó AM := {(Up ∩ M, π ◦ xp )|Up ∩M |p ∈ M } là một atlas lớp C r trên M . Vì thế cặp (M, AˆM ) một đa tạp khả vi m chiều lớp C r . Cấu chúc khả vi AˆM trên M xác định trong mệnh đề trên được gọi là cấu trúc cảm sinh từ AˆN . Một ma trận cỡ m × n được gọi là hạng đủ nếu A = min(m, n). Định lý sau đây cho ta một nguồn dồi dào những ví dụ về đa tạp con. Định lí 1.1.8. (Ánh xạ ẩn) Cho m ≤ n là các số nguyên dương và F : U → Rm là một ánh xạ lớp C r từ một tập mở U ⊂ Rn . Nếu p ∈ U, F (p) = q và dF |p : Rn → Rm là hạng đủ thì F −1 ({q}) là một đa tạp khả vi con lớp C r của Rn có số chiều m − n. Ví dụ 1.1.9. Cho F : Rm+1 → R m+1 p2i . P p 7→ i=1
7 Dễ thấy F thuộc lớp C ω . Khi đó, đạo hàm của F được tính bằng dFp = 2p. Có thể thấy ngay u ∈ R là giá trị thỏa mãn điều kiện của định lý ánh xạ ẩn và vì thế bó S m := {p ∈ Rn+1 |||p||2 =1 } = F −1 ({1}) là một đa tạp lớp C ω và có số chiều m. Đây chính là mặt cầu tiêu chuẩn đã được nêu ở Ví dụ 1.1.4 1.1.4 Hàm, ánh xạ trên đa tạp Trong mục này chúng ta sẽ mở rộng khái niệm hàm, ánh xạ trong Rk lên trong đa tạp Định nghĩa 1.1.10. Cho (M m , AˆM ) và (N n , AˆN ) là các đa tạp khả vi lớp C r . Ánh xạ φ : M → N được gọi là khả vi lớp C r nếu với mỗi bản đồ (U, x) ∈ AˆM và (V, y) ∈ AˆN , ánh xạ yφx−1 |x(U ∩φ−1 (V )) : x(U ∩ φ−1 (V )) ⊂ Rm → Rn thuộc lớp C r . Ánh xạ khả vi γ : I → M xác định trên khoảng mở I ⊂ R được gọi là một cung khả vi trong M . Một ánh xạ khả vi f : M → R được gọi là một hàm số khả vi trên M . Tập tất cả các hàm trơn trên M được ký hiệu là C ∞ (M ). Có thể dễ dàng chỉ ra tích hợp của hai ánh xạ khả vi là một ánh xạ khả vi. Định nghĩa 1.1.11. Hai đa tạp lớp C r (M, AˆM ) và (N, AˆN ) được gọi là vi phôi (với nhau) nếu tồn tại một song ánh khả vi lớp C r φ : M → N sao cho ánh xạ ngược φ−1 : N → M cũng là một ánh xạ khả vi lớp C r . Khi đó ta cũng gọi φ là một vi phôi. Tương tự như trên, tích hợp của hai vi phôi là một vi phôi.
8 Định nghĩa 1.1.12. Cho trước một đa tạp khả vi (M, A) ˆ , tập tất cả các đa tạp vi phôi với M được ký hiệu là D(M ). Tập (D(M ), ◦), trong đó ◦ là ký hiệu tích hợp, được gọi là nhóm vi phôi của (M, A) ˆ. Với khái niệm vi phôi, ta dễ dàng định nghĩa được sự khác nhau của hai cấu trúc khả vi trên cùng một tập. Định nghĩa 1.1.13. Hai cấu trúc C r là Aˆ1 và Aˆ2 trên cùng một đa tạp tô pô M được gọi là khác nhau nếu ánh xạ đồng nhất IdM : (M, Aˆ1 ) → (M, Aˆ2 ) không là một vi phôi. Bài toán đếm số cấu trúc khả vi trên những đa tạp số chiều thấp tự thân của nó rất dễ hiểu nhưng đôi khi là bài toán khó. Việc giải quyết nó tạo nên những công trình quan trọng. Ta tổng kết chúng trong các phát biểu sau đây. Mệnh đề 1.1.14. • Đa tạp tô pô một chiều thực R có vô số cấu trúc khả vi. • Măt cầu 7 chiều S 7 có 28 cấu trúc khả vi khác nhau. • Cặp đa tạp đồng phôi với nhau, có cùng số chiều không quá 3 mà là các đa tạp khả vi cùng lớp C r thì sẽ vi phôi với nhau. 1.1.5 Nhóm Lie Định nghĩa 1.1.15. Một nhóm Lie là một đa tạp trơn G với phép toán “ · “ sao cho ánh xạ ρ:G×G→G (p, q) 7→ p.q −1 là trơn. Một phép tịnh tiến trái bởi p, p ∈ G, là ánh xạ Lp : G → G q 7→ p · q.
9 Ví dụ 1.1.16. Đa tạp m chiều với cấu trúc khả vi thông thường Rm cùng với phép cộng + lập thành một nhóm Lie với ánh xạ ρ được định nghĩa bởi ρ(p, q) = p − q. Mệnh đề 1.1.17. Cho G là một nhóm Lie và p ∈ G. Khi đó, phép tịnh tiến trái Lp là một vi phôi trơn. Phát biểu sau đây khẳng định cấu trúc nhóm Lie có thể cảm sinh ra nhóm con. Mệnh đề 1.1.18. Cho (G, ·) là một nhóm Lie và K đồng thời là một nhóm con và đa tạp con của G. Khi đó, (K, ·) cũng là một nhóm Lie. Định nghĩa 1.1.19. Cho (G, ·) và V lần lượt là một nhóm và một không gian vectơ. Khi đó, một biểu diễn tuyến tính của G trên V là một ánh xạ từ G vào tập các tự đẳng cấu của V ρ : G → Aut(V ) thỏa mãn ρ(g · h) = ρ(g)ρ(h). Ví dụ 1.1.20. Các số phức khác không cùng với phép nhân thông thường lập thành một nhóm Lie (C∗ , ·). Các phần tử của nó có thể biểu diễn thông qua phần tử trong Aut R2 dưới dạng   a b ρ : a + ib →  . −b a Thật vậy ta có thể kiểm tra ρ((a + ib)(x + iy)) = ρ(ax − by) + i(ay − bx)   ax − by ay − bx =  −(ay + bx) ax − by     a b x y =    −b a −y x = ρ(a + ib)ρ(x + iy).
10 1.2 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc Trước khi xây dựng khái niệm không gian tiếp xúc trừu tượng, ta sẽ xem xét khái niệm đó trên không gian Rn để ta có hình dung tốt về khái niệm này. 1.2.1 Không gian tiếp xúc Rm Với Rm là đa tạp khả vi m chiều với cấu trúc khả vi tiêu chuẩn. Nếu p là một điểm trong Rm và γ : I → Rm là một cung trơn cấp 1 sao cho γ(0) = p thì vectơ tiếp xúc γ(t) − γ(0) γ(0) ˙ = lim t→0 t của cung γ tại p là một phần tử trong Rm . Ngược lại với mỗi vectơ v trong Rm , ta luôn tìm được cung γ trơn cấp C 1 sao cho   γ(0) = p  γ(0) ˙ = v. (Chẳng hạn γ(t) = p + t · v ). Điều này cho thấy ta có thể đồng nhất tập tất cả các vectơ tiếp xúc của Rm tại p với Rm . Tiếp theo, ta ký hiệu ε(p) là tập các hàm khả vi trong một lân cận nào đó của p. Khi đó, với v ∈ Rm , đạo hàm theo hướng ∂v f của f tại p theo hướng v xác định bởi f (p + tv) − f (p) ∂v f = lim . t→0 t Ta có thể dễ dàng kiểm tra toán tử ∂ có tính chất sau: • ∂v (λf + µg) = λ∂v f + µ∂v g , • ∂v (f g) = ∂v f g(p) + f (p)∂v g , • ∂λv+µω f = λ∂v f + µ∂ω f . Từ tính chất trên, ta có thể định nghĩa không gian tiếp xúc của Rm một cách tổng quát.
11 Định nghĩa 1.2.1. Cho p là một điểm trong Rm và ký hiệu Tp Rm là tập các toán tử vi phân tuyến tính tại p triệt tiêu hằng số. Tức là Tp Rm gồm các ánh xạ α : ε(p) → R thỏa mãn i) α(λf + µg) = λα(f ) + µα(g), ii) α(f g) = α(f ) · g(p) + f (p)α(g), với mọi α, µ ∈ R và f, g ∈ ε(p). Dễ dàng nhận thấy tập Tp Rm có cấu trúc của một không gian vectơ thực với hai phép toán (α + µ)(f ) := α(f ) + β(f ), (λα)(f ) := λα(f ). Định lí 1.2.2. Cho p là điểm trong Rm . Khi đó, ánh xạ φ : Rm → Tp Rm v 7→ ∂v là một đẳng cấu giữa các không gian vectơ. Từ định lý này, ta có Chú ý 1.2.3. Cho p là một điểm trong Rp , v ∈ Tp Rm , U ⊂ Rm là một lân cận mở của p và f : U → R thuộc lớp C 1 . Cho r : I → U là một cung thỏa mãn γ(0) = p và γ(t) ˙ = v . Khi đó, v tác động lên f theo cách sau d v(f ) = ∂v f = dfp (γ(0)) ˙ = (f ◦ γ(t))|t=0 . dt Rõ ràng việc chọn cung γ không ảnh hưởng đến tác động của v lên f . Hệ quả 1.2.4. Cho p là một điểm trong Rm và {ek }m m k=1 là cơ sở chính tắc trong R . Khi đó, tập {∂ek }m m k=1 là một cơ sở của không gian tiếp xúc Tp R tại p.
12 1.2.2 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc của đa tạp Định nghĩa 1.2.5. Cho M là một đa tạp khả vi, p ∈ M và ε(p) là tập các hàm thực định nghĩa trên một lân cận mở của p. Một vectơ tiếp xúc Xp tại p là một ánh xạ Xp : ε(p) → R thỏa mãn i) Xp (λf + µg) = λXp (f ) + µXp (g), ii) Xp (f g) = Xp (f )g(p) + f (p)Xp (g) với mọi λ, µ ∈ R và f, g ∈ ε(p). Tập các vectơ tiếp xúc của M tại p được gọi là không gian tiếp xúc tại p và ký hiệu Tp M . Phép cộng và phép nhân với vô hướng trong Tp M được định nghĩa như sau (Xp + Yp )(f ) = Xp (f ) + Yp (f ), (λXp )(f ) = λXp (f ) với mọi Xp , Yp ∈ Tp M, f ∈ ε(p) và λ ∈ R. Ví dụ 1.2.6. Cho γ : I → S m là một cung trên mặt cầu đơn vị trong Rm+1 sao cho γ(0) ˙ = X . Do nằm trên S m nên γ(t)T γ(t) = 1, ∀ t ∈ I. Đạo hàm hai vế cho ta ˙ T γ(t) = γ(t)T γ(t) γ(t) ˙ T = 0, hay ˙ T γ(t) = 0. γ(t) Từ đó, ta suy ra rằng với p ∈ S m , X là vectơ tiếp xúc p thì X T p = 0 hay ∀X ∈ Tp S m , X⊥p. Do vậy, ta viết Tp S m = {X ∈ Rm+1 |X T p = 0}.
13 1.2.3 Đạo hàm của ánh xạ Định nghĩa 1.2.7. Cho φ : M → N là một ánh xạ khả vi giữa các đa tạp khả vi. Đạo hàm dφp của φ tại p trong M là ánh xạ dφp : Tp M → Tφ(p) N sao cho mỗi Xp ∈ Tp M và f ∈ ε(φ(p)), ta có (dφp (Xp )) = Xp (f ◦ φ). Giả sử γ : I → M là một cung trên M sao cho γ(0) = p và γ(0) ˙ = Xp . Ký hiệu c : I → N là ảnh của cung γ qua φ, tức là c = φ ◦ γ với c(0) ˙ = φ(p) và đặt Yφ(p) = c(0) ˙ . Khi đó, với f ∈ ε(φ(p)), (dφp (Xp ))(f ) = Xp (f ◦ φ) d = dt (f ◦ φ ◦ γ(t))|t=0 d = dt (f ◦ c(t))|t=0 = Yφ(p) (f ). Mệnh đề 1.2.8. Cho φ : M1 → M2 và ψ : M2 → M3 là các ánh xạ khả vi giữa các đa tạp khả vi. Khi đó, với mỗi điểm p ∈ M1 , ta có i) Ánh xạ dφp : Tp M1 → Tφ(p) M2 là tuyến tính; ii) d(idM1 )p = idTp M1 ; iii) d(ψ ◦ φ)p = dψφ(p) ◦ dφp . Một hệ quả trực tiếp của mệnh đề trên là. Hệ quả 1.2.9. Cho φ : M → N là một vi phôi với ánh xạ ngược ψ : N → M . Khi đó, đạo hàm dφp : Tp M → Tφ(p) N tại p là một song ánh và (dφp )−1 = dψφ(p) . Định lý sau đây cung cấp cho ta thông tin về số chiều của không gian tiếp xúc.