ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ TUYẾT THANH
MỘT SỐ ĐA TẠP
TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN THỊ TUYẾT THANH
MỘT SỐ ĐA TẠP
TRONG ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 62 46 01 12
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. NGUYỄN THANH SƠN
Thái Nguyên - 2017
3
Mục lục
Bảng ký hiệu ii
Mở đầu 1
1 Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về hình học vi phân 3
1.1 Khái niệm đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Đa tạp tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Đa tạp khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Đa tạp con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Hàm, ánh xạ trên đa tạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5 Nhóm Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Không gian tiếp xúc Rm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Vectơ tiếp xúc, không gian tiếp xúc của đa tạp . . . . . . . . . 12
1.2.3 Đạo hàm của ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Một số ánh xạ khả vi đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Phân thớ tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.1 Phân thớ tiếp xúc của đa tạp tô pô . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.3 Móc Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.4 Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.5 Trường véc tơ bất biến trên nhóm Lie. . . . . . . . . . . . . . 24
4
1.4 Đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.2 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.3 Nhóm đẳng cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.4 Không gian thuần nhất Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.5 Phân thớ chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5 Liên thông Levi- Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5.1 Liên thông trong Rm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5.2 Liên thông Levi- Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.5.3 Trường chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.4 Dạng cơ bản thứ hai và liên thông Levi- Civita trên đa tạp con 33
1.6 Đường trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6.1 Trường véc tơ tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6.2 Cung trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6.3 Ánh xạ mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2 Một số đa tạp trong đại số tuyến tính 39
2.1 Đa tạp Grassmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.1 Cấu trúc tô pô của G(k, n). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1.2 Cấu trúc vi phân của G(k, n). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.3 Cấu trúc Riemann của đa tạp Grassmann. . . . . . . . . . . . 44
2.1.4 Đường trắc địa, ánh xạ mũ và ánh xạ logarith . . . . . . . . . 45
2.2 Đa tạp các ma trận đối xứng nửa xác định dương . . . . . . . . . . . . 48
2.2.1 Định nghĩa và đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.2 Không gian tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2.3 Mêtríc Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2.4 Không gian pháp và phép chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.5 Liên thông Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
i
2.2.6 Đường trắc địa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Kết luận và Đề nghị 56
Tài liệu tham khảo 57