Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số định lý về khối đa diện

Chia sẻ: Caphesuadathemhanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:77

Thêm vào BST

Báo xấu

32
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn "Một số định lý về khối đa diện" gồm 3 chương, được trình bày cụ thể như sau: Các kiến thức cơ bản; Khối tứ diện; Khối đa diện. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số định lý về khối đa diện

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN THÁI MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ KHỐI ĐA DIỆN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, năm 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN THÁI MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ KHỐI ĐA DIỆN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN MINH Thái Nguyên, năm 2015
i Lời cảm ơn Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên với sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Minh - Trưởng khoa Cơ bản trường Đại học Kinh tế và Quản trị kinh doanh- Đại học Thái Nguyên. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm hướng dẫn của Thầy, tới các thầy cô trong Ban giám hiệu, Phòng đào tạo trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên. Đồng thời tác giả xin cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K7Q - Trường Đại học khoa học đã động viên, giúp đỡ trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin cảm ơn Sở giáo dục - Đào tạo tỉnh Quảng Ninh, Ban giám hiệu và đồng nghiệp trường THPT Vũ Văn Hiếu thành phố Hạ Long đã tạo điều kiện cho tác giả học tập và hoàn thành khóa học. Tác giả xin chân thành cảm ơn. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2015 Tác giả Nguyễn Văn Thái
ii Mục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Bảng kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 Các kiến thức cơ bản 3 1.1 Một số tiên đề của hình học không gian . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Một số cách xác định mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Quan hệ song song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.1 Hai đường thẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3.2 Đường thẳng song song với mặt phẳng . . . . . . . . 4 1.3.3 Hai mặt phẳng song song . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Quan hệ vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4.1 Góc giữa hai đường thẳng, hai đường thẳng vuông góc 5 1.4.2 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.3 Góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc . 6 1.4.4 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.5 Thể tích khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Khối tứ diện 8 2.1 Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Các định lý về khối tứ diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Bất đẳng thức liên quan đến tứ diện . . . . . . . . . . . . . . 32 3 Khối đa diện 39 3.1 Đa diện - Khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Định lý Euler về khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Định lý về khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.4 Một số bài toán và hệ quả của định lý Euler . . . . . . . . . 54 3.5 Thể tích của các khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.5.1 Phân hoạch của khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . 62 3.5.2 Thể tích của khối đa diện . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
iii Bảng kí hiệu △ : Tam giác S : Diện tích đa giác p : Số đỉnh của đa diện a : Số cạnh của đa diện f : Số mặt của đa diện V : Thể tích h : Chiều cao đa diện R : Bán kính cầu ngoại tiếp r : Bán kính cầu nội tiếp d : Khoảng cách E : Khối đa diện D : Miền đa giác X (E ) : Đặc số Euler của đa diện E .
1 Lời mở đầu Trong vật lý, hóa học, sinh học ta đều học được một bài học: nếu biết rõ thành phần nhỏ nhất cấu tạo nên vật chất, ta sẽ hiểu rõ được bản chất của vật chất. Trong hình học cũng vậy, nếu biết rõ thành phần cơ bản cấu tạo nên hình học, ta sẽ hiểu rõ hình học. Ý nghĩa căn bản của hình học từ thời nguyên thủy đã sống lại: hình học không phải là sản phẩm thuần túy của tư duy, mà là bức tranh của tự nhiên do con người vẽ ra theo khả năng nhận thức, và vì thế sự phản ánh đó không bao giờ đầy đủ và chính xác tuyệt đối. Tuy nhiên, nhận thức và trải nghiệm của con người ngày càng sâu sắc để nhận ra rằng tự nhiên tuy đa dạng, phức tạp, nhưng được cấu trúc theo những mô hình xác định. Khám phá cấu trúc ấy chính là bản chất của hình học. Trong hình học, thành phần đơn giản nhất là điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Vì thế việc nghiên cứu mối quan hệ giữa điểm, đường và mặt mang ý nghĩa nền tảng của hình học. Hệ tiên đề hình học chính là tập hợp những mệnh đề về những mối quan hệ nền tảng đó. Trên nền tảng ấy, trong không gian 3 chiều, hình đơn giản nhất là tứ diện. Mọi hình khối 3 chiều đều có thể coi là tổ hợp của các tứ diện. Vì thế việc nghiên cứu tứ diện là chìa khóa để hiểu rõ tất cả các hình trong không gian 3 chiều. Các bài toán và định lý về tứ diện đóng vai trò cốt lõi trong nghiên cứu hình học 3 chiều. Điều đặc biệt lý thú là bài toán 3 chiều bài toán về khối đa diện. Điều này nói lên rằng vũ trụ được xây dựng theo cấu trúc tầng tầng lớp lớp lặp đi lặp lại những cấu trúc nhất định. Các tầng cao hơn, rộng hơn, tuy phức tạp hơn nhưng thực ra cũng được xây dựng trên những nguyên lý cấu trúc nhất quán. Điều này có thể ví như sự sống tuy có cấu trúc vô cùng phức tạp và đa dạng, nhưng tất cả đều dựa trên cấu trúc DNA. “Phân tử DNA” của hình học 3 chiều là Tứ diện (Tetrahedron). Tứ diện là một hình không gian 3 chiều khép kín được giới hạn bởi 4 mặt. Không gian ấy được xác định bởi 4 điểm không đồng phẳng. Mỗi điểm là một đỉnh của tứ diện. Mỗi đỉnh ứng với một góc tam diện. 3 đỉnh xác định một mặt của tứ diện. Mỗi cặp 2 mặt của tứ diện xác định một nhị diện. Cạnh của nhị diện chính là cạnh của tứ diện. Tứ diện có 6 cạnh, chia làm 3 cặp, mỗi cặp gồm 2 cạnh chéo nhau, gọi là 2 cạnh đối. Giống như tam giác có 4 đường chủ yếu là trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao, tứ diện cũng có những đường và mặt chủ yếu. Việc khảo sát những đường và mặt chủ yếu ấy sẽ cung cấp một cái nhìn toàn cảnh và sâu rộng về tứ diện.
2 Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 3 chương: Chương 1. Các kiến thức cơ bản. Trong chương này, tôi trình bày các khái niệm trong hình học không gian. Chương 2. Khối tứ diện. Chương này trình bày một số khái niệm về khối tứ diện, các tứ diện đặc biệt, một số định lý về khối tứ diện và một số bài toán được dịch ra từ tài liệu tiếng Nga, một số bài thi vô địch các nước, khu vực. Chương 3. Khối đa diện. Chương này trình bày về định nghĩa khối đa diện tổng quát, tính chất của khối đa diện. Định lý Euler về khối đa diện, định lý A.Đ. Alechxandrop và thể tích của khối đa diện.
3 Chương 1 Các kiến thức cơ bản 1.1 Một số tiên đề của hình học không gian Tiên đề 1.1.1. Qua hai điểm phân biệt trong không gian có một và chỉ một đường thẳng duy nhất. Tiên đề 1.1.2. Qua ba điểm không thẳng hàng có một và chỉ một mặt phẳng duy nhất. Tiên đề 1.1.3. Một đường thẳng có hai điểm nằm trong một mặt phẳng thì nó nằm trong mặt phẳng ấy. Tiên đề 1.1.4. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì có một đường thẳng chung đi qua điểm ấy. Chú ý. Người ta gọi đường thẳng chung của hai mặt phẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng. 1.2 Một số cách xác định mặt phẳng Qua ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất được một mặt phẳng. Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất được một mặt phẳng. Qua hai đường thẳng song song xác định duy nhất được một mặt phẳng. Qua một đường thẳng và một điểm không thuộc đường thẳng đó xác định duy nhất được một mặt phẳng.
4 1.3 Quan hệ song song 1.3.1 Hai đường thẳng song song Hai đường thẳng được gọi là song song với một đường thẳng nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung. Hai đường thẳng được gọi là chéo nhau nếu chúng không cùng nằm trong một mặt phẳng. Định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng: Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song. Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt đi qua hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó . Ba đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện của một tứ diện đồng quy tại trung điểm G của mỗi đoạn. Điểm G đó còn được gọi là trọng tâm của tứ diện. Một mặt phẳng được xác định nếu nó đi qua hai đường thẳng song song. 1.3.2 Đường thẳng song song với mặt phẳng Một đường thẳng và một mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. Một đường thẳng (Không nằm trên mặt phẳng (P )) song song với (P ) khi và chỉ khi nó song song với một đường thẳng nằm trong (P ). Nếu mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng a, a song song với mặt phẳng (P ), thì giao tuyến của (P ) và (Q) (nếu có) song song với a. Hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó. Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau. Khi đó, luôn tồn tại duy nhất mặt phẳng (P ) chứa a song song với b.
5 1.3.3 Hai mặt phẳng song song Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. Nếu mặt phẳng (P ) chứa hai đường thẳng cắt nhau và song song với mặt phẳng (Q) thì (P ) song song với (Q). Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, tồn tại duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đó. Cho hai mặt phẳng song song với nhau, nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. Định lý Thales. Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kỳ những đoạn tương ứng tỷ lệ. Giả sử trên hai đường thẳng chéo nhau a và a′ lần lượt lấy thứ tự các điểm A, B, C và A′ , B ′ , C ′ sao cho: AB BC CA = = (1.1) A′ B ′ B ′ C ′ C ′ A′ Khi đó ba đường AA′ , BB ′ , CC ′ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song song với một mặt phẳng. 1.4 Quan hệ vuông góc 1.4.1 Góc giữa hai đường thẳng, hai đường thẳng vuông góc Góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a1 và a2 cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với d1 và d2 . Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900 .
6 1.4.2 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng thuộc mặt phẳng ấy. Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P ) khi và chỉ khi a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc (P ). Định lý ba đường vuông góc. Cho đường thẳng a có hình chiếu lên mặt phẳng (P ) là đường thẳng a′ . Khi đó, một đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P ) vuông góc với a khi và chỉ khi nó vuông góc với a′ . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên mặt phẳng (nếu hình chiếu đó là một điểm thì xem góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng 900 ). 1.4.3 Góc giữa hai mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc Góc giữa hai mặt phẳng được định nghĩa là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó . Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 900 . Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó. 1.4.4 Khoảng cách Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (hoặc một đường thẳng) là khoảng cách từ điểm đó đến hình chiếu của nó lên mặt phẳng (hoặc đường thẳng). Khoảng cách từ đường thẳng a tới mặt phẳng (P ) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a lên (P ). Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm nào đó trên mặt phẳng này tới mặt phẳng kia.
7 Đường vuông chung của hai đường thẳng chéo nhau là đường thẳng cắt cả hai đường thẳng và vuông góc với hai đường thẳng đó . Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a, b bằng: i) Độ dài đường vuông góc chung. ii) Khoảng cách từ một trong hai đường thẳng đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại. iii) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường thẳng đó. 1.5 Thể tích khối đa diện Công thức tính thể tích khối chóp 1 V = .S.h (1.2) 3 Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao. Công thức tính thể tích khối lăng trụ V = S.h (1.3) Trong đó: S là diện tích đáy, h là chiều cao. Công thức tính thể tích khối chóp cụt 1 √ V = (S + S ′ + SS ′ ) .h (1.4) 3 Trong đó: S là diện tích đáy lớn, S ′ là diện tích đáy nhỏ, h là chiều cao của chóp cụt.
8 Chương 2 Khối tứ diện 2.1 Một số khái niệm cơ bản Đường cao khối tứ diện: Đường thẳng hạ từ một đỉnh bất kỳ tới mặt đối diện với đỉnh đó và vuông góc với mặt phẳng đó. Mặt trung trực của một cạnh: Mặt phẳng đi qua trung điểm của cạnh và vuông góc với cạnh đó được gọi là mặt phẳng trung trực của cạnh đó. Mặt cầu nội, ngoại tiếp, bàng tiếp khối tứ diện: i) Sáu mặt phẳng trung trực của sáu cạnh tứ diện cắt nhau tại một điểm, điểm đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. ii) Sáu mặt phẳng phân giác của sáu nhị diện tương ứng với sáu cạnh tứ diện cắt nhau tại một điểm, điểm đó là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện. iii) Sáu mặt phẳng phân giác của sáu nhị diện tương ứng với ba cạnh tứ diện và ba cạnh đáy cắt nhau tại một điểm, điểm đó là tâm mặt cầu bàng tiếp tứ diện. Tứ diện vuông: Tứ diện SABC gọi là tứ diện vuông đỉnh S , nếu như SA, SB, SC từng đôi một vuông góc với nhau. Tứ diện trực tâm: Tứ diện ABCD gọi là tứ diện trực tâm, nếu các cạnh đối vuông góc với nhau, tức là AB CD; AC BD; ADBC . Tứ diện đều: Tứ diện ABCD gọi là tứ diện đều, nếu như tất cả các cạnh của nó bằng nhau tức là: AB = CD = AC = BD = AD = BC. Tứ diện gần đều: Tứ diện ABCD gọi là tứ diện gần đều, nếu như tất cả các cặp cạnh đối của nó bằng nhau tức là: AB = CD, AC = BD, AD = BC.
9 Bài toán 2.1.1. Chứng minh rằng một hình tứ diện không thể có tâm đối xứng. Bài giải. Giả sử tứ diện ABCD có tâm đối xứng là O. Nếu O thuộc một mặt phẳng chứa một mặt của tứ diện thì mặt đó là hình có tâm đối xứng. Điều này không thể xảy ra vì mặt của tứ diện là một tam giác mà tam giác là hình không có tâm đối xứng. Hình 2.1 Vậy O không thuộc các mặt phẳng chứa mặt của tứ diện. Gọi A′ , B ′ lần lượt là hai điểm đối xứng của A và B qua O thì A′ , B ′ lần lượt thuộc hai mặt phẳng BCD và ACD của tứ diện (Hình 2.1). Vì đoạn A′ B ′ là hình đối xứng của đoạn AB qua O nên A′ B ′ ∥= AB . Suy ra tứ giác ABB ′ A′ là hình bình hành, suy ra BA′ ∥ AB ′ . Nếu A′ không trùng với B thì B ′ không trùng với A, khi đó hai mặt phẳng (BCD) và (ACD) lần lượt chứa hai đường thẳng song song BA′ và AB ′ nên giao tuyến CD của chúng cũng song song với BA′ , điều này không thể xảy ra vì A′ thuộc tam giác BCD do đó A′ trùng B và B ′ trùng A, khi đó O là trung điểm của AB tức là O thuộc một mặt của tứ diện (điều này mâu thuẫn). Vậy tứ diện không có tâm đối xứng. Bài toán 2.1.2. Cho tứ diện và sáu mặt phẳng sao cho mỗi mặt đi qua trung điểm mỗi cạnh của tứ diện và vuông góc với cạnh đối diện. Chứng minh rằng sáu mặt phẳng đó đồng quy. Bài giải. Giả sử G là trọng tâm của tứ diện ABCD; khi đó G là trung điểm của đoạn M N , nối các trung điểm của đoạn AB và CD. Giả sử O là tâm mặt cầu ngoại tiếp, khi đó O thuộc mặt phẳng trung trực của cạnh CD, (Hình 2.2) .
10 Hình 2.2 Mặt phẳng qua M và vuông góc với CD, song song với mặt phẳng trung trực của CD. Hai mặt phẳng này cắt mặt phẳng (OGN ) theo hai giao tuyến song song: ON ∥ M H (H ∈ OG). Từ hai tam giác bằng nhau GM H và GN O suy ra GH = GO, hay H là ảnh đối xứng của O qua G. Lập luận tương tự, năm mặt phẳng còn lại cũng đi qua H . Suy ra sáu mặt phẳng trên đồng quy tại H . Bài toán 2.1.3. Chứng minh rằng sáu mặt phẳng, mỗi mặt phẳng đi qua trung điểm của mỗi cạnh của tứ diện và song song với mặt phân giác của nhị diện cạnh đối diện thì đồng quy. Bài giải. Gọi G và O lần lượt là trọng tâm và tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD, (Hình 2.3) Giả sử M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (M N O) cắt mặt phẳng phân giác nhị diện cạnh (AB ) theo giao tuyến OM . Giả sử OG cắt mặt phẳng qua N và song song với mặt phẳng nói trên tại H , khi đó: M O ∥ N H và GO = GH. Vậy H là ảnh đối xứng của O qua G, từ đó năm mặt phẳng còn lại đi qua H . Bài toán 2.1.4. Chứng minh rằng bốn đường thẳng, mỗi đường đi qua đỉnh của một tứ diện và tâm đường tròn nội tiếp mặt đối diện, đồng quy khi và chỉ khi tích độ dài các cặp cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau. Bài giải. Xét điều kiện để hai đường thẳng tương ứng nối các đỉnh B và C của tứ diện ABCD lần lượt với các tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC và ACD thuộc một mặt phẳng. (Hình 2.4)
11 Hình 2.3 Hình 2.4 Điều kiện đó tương đương với các phân giác của các góc ABD và ACD cắt nhau trên cạnh AD của tứ diện. Điều kiện cuối cùng xảy ra khi và chỉ khi: BA AC = ⇔ BA.CD = AC.BD. BD CD Lập luận tương tự để dẫn tới: Bốn đường thẳng, không có ba đường nào nêu trong bài toán là đồng phẳng, đôi một cắt nhau. Như thế chúng đồng quy. Bài toán 2.1.5. Một mặt phẳng cắt ba cạnh xuất phát từ một đỉnh của một tứ diện. Chứng minh rằng mặt phẳng này chia diện tích xung quanh của tứ diện thành hai phần tương ứng tỷ lệ với các phần thể tích của tứ diện do mặt phẳng này phân chia tứ diện khi và chỉ khi mặt phẳng nói trên đi qua tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện.
12 Bài giải. Ta kí hiệu V, S, r lần lượt là thể tích, diện tích xung quanh và bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện.(Hình 2.5) Một phần của tứ diện được phân chia là hình chóp với đáy thuộc mặt phẳng (α) cắt tứ diện. Ta lại kí hiệu V1 , S1 , r1 lần lượt là thể tích, diện tích các mặt bên của hình chóp và bán kính mặt cầu có tâm thuộc đáy, tiếp xúc với các mặt bên. Đáy của hình chóp đi qua tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện khi và chỉ khi r = ri . Hình 2.5 1 1 Từ công thức: V = S.r; V1 = S1 .r1 và điều kiện bài toán, suy ra : 3 3 V S V − V1 S − S1 = ⇔ = (2.1) V1 S 1 V1 S1 Từ đó ta có điều phải chứng minh. Bài toán 2.1.6. Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh DA, DB, DC lấy một cách tùy ý các điểm A′ , B ′ , C ′ . Xét các điểm P1 , P2 , P3 lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, BC, CA và các điểm P1′ , P2′ , P3′ lần lượt thuộc các đoạn A′ B ′ , B ′ C ′ , C ′ A′ sao cho: AP3 A′ P3 AA′ P1 B P1 B ′ BB ′ P2 C P2 C ′ CC ′ ′ ′ ′ = ′ = ; = ′ = ; = ′ = . (2.2) BP3 B ′ P3 BB ′ P1 C P1 C ′ CC ′ P2 A P2 A′ AA′ Chứng minh rằng a) Các đường thẳng AP1 , BP2 , CP3 cắt nhau tại một điểm P và A′ P1 , ′ B ′ P2 , C ′ P3 cắt nhau tại P ′ . ′ ′
13 b) Nếu các điểm A′ , B ′ , C ′ thay đổi trên các cạnh DA, DB, DC thì P P ′ luôn luôn song song với một đường thẳng cố định. Bài giải. a) Từ giả thiết suy ra P A′ P B ′ P C ′ ′ ′ ′ P3 A P 1 B P2 C . . = 3′ ′ . 1′ ′ . 2′ ′ = 1 . (2.3) P3 B P1 C P2 A P3 B P 1 C P2 A Do đó theo định lý Ceva thì P1 A, P2 B, P3 C đồng quy tại điểm P , còn P1 A′ , P2 B ′ , P3 C ′ đồng quy tại P ′ . ′ ′ ′ b) Ta sử dụng định lý Menelaus trong △BCP3 với cát tuyến AP P1 và kết quả câu a) ta tính được: P C P2 C P 1 C CC ′ CC ′ = + = + (2.4) P P 3 P2 A P1 B BB ′ AA′ Hoàn toàn tương tự ta cũng có PC P ′C ′ = ′ ′ (2.5) P P3 P P3 Dựng các hình bình hành AA′ P3 E và BBP3′ F , từ giả thiết suy ra ba ′ điểm E, P3 , F thẳng hàng. Trong △P3 EF có: ′ P3 E P ′E = 3′ ⇒ P3′ P P3 F P3 F là phân giác của góc EP̂ ′ 3 F và song song với phân giác DD3 của △DAB . Mặt khác từ (2.5) suy ra tồn tại duy nhất 3 mặt phẳng α, β, γ song song với nhau sao cho: P3 P3 ⊂ α, P P ′ ⊂ β, CC ′ ⊂ γ. ′ Do đó P3 P3 không song song với CC ′ và P3 P3 // DD3 suy ra (γ )trùng ′ ′ mặt phẳng (CDD3 ) và P P ′ //(CDD3 ). ̂ trong tam giác DBC , thì Nếu gọi DD1 là phân giác của góc BDC hoàn toàn tương tự ta cũng có P P ′ ∥ (ADD1 ). Vậy P P ′ song song với giao tuyến của 2 mặt phẳng (ADD1 ) và (ADD3 ) cố định .
14 Bài toán 2.1.7. Trên các cạnh AB, AC, AD của khối tứ diện ABCD cho trước, với mỗi giá trị n ∈ N ta lấy các điểm Kn , Ln , Mn tương ứng sao cho: AB = n.AKn , AC=(n+1)ALn , AD=(n+2)AMn . Chứng minh rằng: Tất cả các mặt phẳng (Kn Ln Mn ) cùng đi qua một đường thẳng. Bài giải. Ta sẽ chứng minh rằng tất cả các đường thẳng Kn Ln với n ∈ N đi qua điểm O cố định nằm trên đường thẳng đi qua đỉnh A và song song với đường thẳng BC. Thật vậy, nếu đường thẳng Kn Ln cắt đường thẳng BC tại P (nằm trên tia CB ), thì từ sự đồng dạng của các tam giác tương ứng ta có : PB BKn PC CLn = = n−1 , = = n. OA AKn OA ALn Từ đó ta có OA = nOA − (n − 1).OA = P C − P B = BC. Tương tự ta chứng minh được rằng tất cả các đường thẳng Ln Mn với n ∈ N đi qua điểm cố định Q nằm trên đường thẳng đi qua đỉnh A và song song với đường thẳng CD. Suy ra tất cả các mặt phẳng (Kn Ln Mn ) với n ∈ N cùng đi qua đường thẳng OQ. Bài toán 2.1.8. Cho tứ diện ABCD bất kỳ. Chứng minh rằng: 1) Bốn đường thẳng trung tuyến và 3 đường trung bình của tứ diện ABCD gặp nhau tại G (G là trọng tâm tứ diện). 2) Gọi GA , GB , GC , GD là trọng tâm của các mặt đối diện với các góc A, B, C, D chứng minh rằng: GGA GGD GA GD 1 = = = (2.6) GA GD DA 3 (G là trọng tâm tứ diện). Bài giải. 1) Ta gọi GD là trọng tâm ∆ABC , nối AGD kéo dài và cắt BC tại A′ , nối CGD kéo dài và cắt AB tại C ′ , ta có các trung tuyến AA′ , CC ′ và DGD là trung tuyến của tứ diện. Gọi GA là trọng tâm △BCD, nối CGA suy ra CGA ∩ DB = C ′′ . Gọi CGA ∩ DGD = G. Tương tự ta
15 Hình 2.6 gọi GB là trọng tâm △ADC, GC là trọng tâm △ADB . Vì vai trò của AGA , BGB , CGC , DGD cắt nhau từng đôi một, mà chúng không đồng phẳng, suy ra bốn trung tuyến đồng quy tại G.(Hình 2.6) Gọi B là trung điểm AD, ta phải chứng minh B, G, A′ thẳng hàng. Thật vậy ta có B, G, A′ thuộc mặt phẳng (AA′ D), ta lại có B, G, A′ thuộc mặt phẳng (BCB). Gọi A là trung điểm của DC , hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được A, G, C ′ cũng thẳng hàng, suy ra B, C ′ , A′ , A đồng phẳng. Mà ta lại có: 1 1 C ′ A′ ∥= AC và A′′ B ′′ ∥= AC ⇒ C ′ A′ = B”C”. 2 2 Vậy suy ra G là trung điểm A′ B ′′ và C ′ A′′ . Hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được các cặp còn lại. Vậy bốn đường thẳng trung tuyến và 3 đường trung bình của tứ diện ABCD gặp nhau tại G. 2) Nối GA GD , (Hình 2.7) ta có A′ GA A′ GD GA GD 1 = ′ = = . A′ D AA DA 3 Bài toán 2.1.9. Chứng minh rằng các mặt phẳng phân giác của nhị diện của tam diện cắt nhau theo một đường thẳng (đồng trục). Bài giải.(Hình 2.8)