ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------
NGUYỄN KIM THU
MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ
CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC
SINH BỞI SỐ TỰ NHIÊN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
---------------------------
NGUYỄN KIM THU
MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ
CỦA CÁC HÀM PHÂN THỨC
SINH BỞI SỐ TỰ NHIÊN
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
(Xác nhận)
GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu
THÁI NGUYÊN - 2018
i
Mục lục
MỞ ĐẦU iii
1 Phân thức hữu tỷ với hệ số nguyên 1
1.1. Tính chất cơ bản của đa thức với hệ số nguyên . . . . . . . 1
1.2. Phân thức hữu tỉ với hệ số nguyên và phân thức nhận giá
trị hữu tỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Biểu diễn đơn vị thành tổng của các phân số Ai Cập với
mẫu số nguyên dương đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Các phương pháp giải toán cực trị dạng phân thức sinh
bởi số hữu tỷ 12
2.1. Một số phương pháp giải bài toán cực trị của đa thức và
phân thức hữu tỷ với hệ số nguyên . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.1. Phương pháp so sánh bậc hai . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2. Phương pháp so sánh phân thức dạng bậc hai trên
bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3. Phương pháp tìm cực trị với ràng buộc theo tổng
các số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2. Sử dụng phân thức chính quy giải các bài toán cực trị
liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Một số dạng toán liên quan 32
3.1. Một số dạng toán cực trị trên tập số nguyên . . . . . . . . 32
3.2. Một số dạng toán về số tự nhiên từ các đề thi Olympic . . 38
KẾT LUẬN 44
ii
TÀI LIỆU THAM KHẢO 45
iii
MỞ ĐẦU
Chuyên đề về đa thức và phân thức là một chuyên đề rất quan trọng
ở bậc trung học phổ thông và trung học cơ sở. Các tính chất của đa
thức và phân thức liên quan chặt chẽ với các tính chất của số nguyên và
số hữu tỷ. Một trong các phương pháp khảo sát đa thức và phân thức
hữu tỷ rất hữu hiệu là việc sử dụng các công cụ hữu ích từ việc khảo
sát các tính chất số học của các số tự nhiên và số hữu tỷ.
Trong các kì thi học sinh giỏi toán các cấp, các bài toán liên quan
tới đa thức và phân thức với hệ số nguyên (ta gọi chung là phân thức
sinh bởi số tự nhiên) thường xuyên được đề cập. Những dạng toán này
thường được xem là thuộc loại khó cần các kiến thức sâu sắc về số học
kết hợp với các kiến thức về đa thức và phân thức thường không nằm
trong chương trình chính thống của chương trình toán bậc trung học
phổ thông.
Để đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng giáo viên và bồi dưỡng học sinh giỏi
về chuyên đề đa thức và phân thức với hệ số nguyên và hệ số hữu tỷ,
em chọn đề tài luận văn “Một số phương pháp tìm cực trị của các hàm
phân thức sinh bởi số tự nhiên”.
Mục tiêu của luận văn nhằm hệ thống một số kiến thức về số học và
đa thức với hệ số nguyên và cung cấp một số phương pháp tìm cực trị
của các hàm phân thức sinh bởi số tự nhiên. Tiếp theo, xét các bài toán
cực trị, khảo sát phương trình, bất phương trình cùng một số dạng liên
quan.
Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận và ba chương.
Chương 1. Phân thức hữu tỷ với hệ số nguyên.
Chương 2. Các phương pháp giải toán cực trị dạng phân thức sinh