Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số ứng dụng của phương trình sai phân giải toán sơ cấp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:56

Thêm vào BST

Báo xấu

65
lượt xem 10
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính, cách tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính, đồng thời giới thiệu một số phương pháp khác tìm nghiệm phương trình sai phân tuyến tính cấp một. Phần cuối của chương trình bày một vài ứng dụng của phương trình sai phân trong việc tính tổng dãy số, tìm số hạng tổng quát của dãy số và một số bài toán liên quan. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số ứng dụng của phương trình sai phân giải toán sơ cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- PHAN THỊ THU HUYỀN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN GIẢI TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- PHAN THỊ THU HUYỀN MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN GIẢI TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS: Nguyễn Thị Ngọc Oanh THÁI NGUYÊN - 2019
1 Mục lục Trang Lời nói đầu 3 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản về phép tính sai phân 5 1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Nguồn gốc phương trình sai phân . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . 12 1.4. Toán tử ∆ và E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5. Các tính chất cơ bản của toán tử sai phân . . . . . . . . . 16 1.6. Toán tử ∆−1 và phép lấy tổng . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Chương 2 Phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng 24 2.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Cách tìm nghiệm tổng quát và nghiệm riêng . . . . . . . . 26 2.3. Một số phương pháp khác giải phương trình sai phân tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.1. Phương trình tuyến tính tổng quát . . . . . . . . . 28 2.3.2. Phương trình dạng yk+1 − yk = (n + 1)kn . . . . 31 2.3.3. Phương trình dạng yk+1 = Rk yk . . . . . . . . . . 35 2.4. Một số ứng dụng trong giải toán sơ cấp . . . . . . . . . . . 35 2.4.1. Tính tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.2. Dãy Số Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4.3. Đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2 2.4.4. Một số dạng toán liên quan tới dãy số . . . . . . . 47 Kết luận 53
3 Lời nói đầu Phương trình sai phân là một lĩnh vực được nhiều nhà khoa học quan tâm bởi tính hữu hiệu của nó khi giải số các mô hình đề xuất, ta có thể tham khảo ứng dụng đa dạng của phương trình sai phân trong tài liệu [3] và các tài liệu tham khảo của nó. Bên cạnh những ứng dụng mạnh mẽ của phương trình sai phân khi nghiên cứu các mô hình phức tạp thì phương trình sai phân có nhiều ứng dụng hiệu quả khi giải các bài toán trong chương trình phổ thông như: tính tổng chuỗi, tìm số hạng tổng quát, chứng minh bất đẳng thức,. . . . Luận văn gồm có trong hai chương. Chương 1 trình bày lại một số kiến thức liên quan tới phương trình sai phân như định lý tồn tại và duy nhất nghiệm, toán tử ∆ và toán tử E, toán tử ∆−1 ,. . . . Chương 2 nghiên cứu phương trình sai phân tuyến tính, cách tìm nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính, đồng thời giới thiệu một số phương pháp khác tìm nghiệm phương trình sai phân tuyến tính cấp một. Phần cuối của chương trình bày một vài ứng dụng của phương trình sai phân trong việc tính tổng dãy số, tìm số hạng tổng quát của dãy số và một số bài toán liên quan. Để thực hiện và hoàn thành đề tài Luận văn này, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, bộ phận Sau đại học - Phòng đào tạo, Khoa Toán- Tin trường Đại học Khoa học – Đại Học Thái Nguyên cùng quý thầy cô trong trường đã giảng dạy và giúp đỡ em trong suốt quá trình hoc tập và nghiên cứu.
4 Đồng thời xin chân thành cảm ơn tới gia đình, người thân, bạn bè và các anh chị trong lớp đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài của mình. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thị Ngọc Oanh người hướng dẫn khoa học đã trực tiếp dành thời gian, công sức hướng dẫn em trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn. Em xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 01 tháng 11 năm 2019 Học viên Phan Thị Thu Huyền
5 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản về phép tính sai phân Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ bản nhất liên quan tới phép tính sai phân, các định nghĩa và định lý về nghiệm, sự tồn tại và duy nhất nghiệm; toán tử sai phân ∆ cùng các tính chất cơ bản, toán tử dịch chuyển E. . . . Nội dung của chương này được tham khảo chính trong các Chương 1 và Chương 2 tài liệu [2], Chương 1 tài liệu [3]. 1.1. Định nghĩa Một dãy số là một hàm mà miền xác định của nó là tập các số nguyên. Trong phần này, chúng ta sẽ xét các dãy mà miền xác định là các số nguyên không âm. Ta ký hiệu số hạng tổng quát của dãy là yk và sử dụng ký hiệu {yk } để biểu diễn dãy y0 , y1 , y2 , . . . Cho dãy số {yk } thỏa mãn yk+n = F (k, yk+n−1 , yk+n−2 , . . . , yk ). (1.1) Khi cho trước giá trị ban đầu thì ta có thể tính toán được các giá trị còn lại. Như vậy, từ phương trình (1.1), rõ ràng nếu n giá trị liên tiếp của yk xác định một cách cụ thể thì dãy {yk } được xác định một các duy nhất. Các giá trị cụ thể này được gọi là các điều kiện ban đầu.
6 Định nghĩa sau đây cho ta sự liên hệ giữa dãy và phương trình sai phân. Định nghĩa 1.1 Một phương trình sai phân thường là một quan hệ có dạng cho trước bởi phương trình (1.1). Định nghĩa 1.2 Cấp của phương trình sai phân là hiệu giữa chỉ số cao nhất và chỉ số thấp nhất xuất hiện trong phương trình. Phương trình cho dưới dạng (1.1) là một phương trình sai phân cấp n khi và chỉ khi thành phần yk xuất hiện trong hàm F trong vế phải. Chú ý rằng dịch chuyển trong các chỉ số không đổi cấp của phương trình sai phân. Chẳng hạn như với số nguyên r yk+n+r = F (k + r, yk+n+r−1 , yk+n+r−2 , . . . , yk+r ) (1.2) là một phương trình sai phân cấp n và tương đương với phương trình (1.1). Định nghĩa 1.3 Một phương trình sai phân được gọi là tuyến tính nếu nó được cho dưới dạng yk+n + a1 (k)yk+n−1 + a2 (k)yk+n−2 + · · · + an−1 (k)yk+1 + an (k)yk = Rk , (1.3) trong đó ai (k), i = 1, 2, . . . , n và Rk là các hàm của k cho trước. Định nghĩa 1.4 Một phương trình sai phân được gọi là phi tuyến nếu nó không tuyến tính. Định nghĩa 1.5 Một nghiệm của phương trình sai phân là một hàm φ(k) thỏa mãn phương trình. Các ví dụ sau đây sẽ làm rõ các định nghĩa vừa được đưa ra ở phần trên.
7 Ví dụ 1.1 Xét một số phương trình sau yk+1 − 3yk + yk−1 = e−k (bậc hai, tuyến tính), yk+1 = yk2 (bậc một, phi tuyến), yk+4 − yk = k2k (bậc bốn, tuyến tính), yk+1 = yk − (1/100)yk2 (bậc một, phi tuyến), yk+3 = cos yk (bậc ba, phi tuyến), k yk+2 + (3k − 1)yk+1 − yk = 0 (bậc hai, tuyến tính). k+1 Ví dụ 1.2 Hàm φ(k) = 2k là nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính bậc một yk+1 − 2yk = 0, vì khi thay φ(k) vào phương trình, ta thu được 2k+1 − 2.2k = 0 Ví dụ 1.3 Phương trình phi tuyến bậc nhất 2 yk+1 − yk2 = 1 (1.4) có nghiệm √ φ(k) = k+c trong đó c là hằng số. Thật vậy, thế φ(k) vào phương trình (1.4) thu được √ √ ( k + 1 + c)2 − ( k + c)2 = (k + 1 + c) − (k + c) = 1. Ví dụ 1.4 Phương trình tuyến tính bậc hai yk+1 − yk−1 = 0 (1.5) có hai nghiệm, φ1 (k) = (−1)k , φ2 (k) = 1.
8 Gọi c1 và c2 là hai hằng số tùy ý. Bây giờ, ta thấy hàm ϕ(k) = c1 ϕ1 (k) + +c2 ϕ2 (k) = c1 (−1)k + c2 cũng là một nghiệm. Thật vậy, thế ϕ(k) phương trình (1.5) ta được c1 (−1)k+1 + c2 − c1 (−1)k−1 − c2 = 0. 1.2. Nguồn gốc phương trình sai phân Giả sử rằng yk là phần tử tổng quát của dãy {yk } được xác định theo một hàm cụ thể của k và n cùng các hằng số c1 , c2 , . . . , cn nào đó. Bây giờ, ta sẽ chỉ ra rằng yk thỏa mãn phương trình sai phân cấp n. Theo giả thiết, ta có yk = f (k, c1 , c2 , . . . , cn ) (1.6) và yk+1 = f (k + 1, c1 , c2 , . . . , cn ), ... (1.7) yk+n = f (k + n, c1 , c2 , . . . , cn ). Đây là một dãy gồm n + 1 phương trình với n hằng số ci , i = 1, 2, . . . , n. Khử các hằng số ci ta nhận được quan hệ có dạng G(k, yk , yk+1 , . . . , . . . , yk+n−1 ) = 0 (1.8) Đây là một phương trình sai phân cấp n. Như vậy, nếu phần tử tổng quát yk của dãy {yk } có thể biểu diễn như là hàm của k và n hằng số nào đó thì yk sẽ thỏa mãn một phương trình sai phân cấp n. Ví dụ 1.5 Các đa thức Chebyshev được xác định bởi biểu thức sau 1 Ck (x) = cos(k cos−1 x), k = 0, 1, 2, . . . , ; |x| < 1. (1.9) 2k−1 Bây giờ ta sẽ chỉ ra các hàm này quan hệ truy hồi với nhau theo phương trình sau đây 1 Ck+1 (x) − xCk (x) + Ck−1 (x) = 0 (1.10) 4
9 trong đó, từ phương trình (1.9) ta có C0 (x) = 2, C1 (x) = x. Từ công thức cos(θ1 ± θ2 ) = cos θ1 cos θ2 ∓ sin θ1 sin θ2 , từ đây suy ra 1 Ck+1 x = k cos[(k + 1) cos−1 x] 2 1 = k cos(cos−1 x) cos(k cos−1 x) 2 1 − k sin(cos−1 x) sin(k cos−1 x). 2 Do đó, 1 2 Ck+1 (x) + Ck−1 (x) = k−1 cos(cos−1 x) cos(k cos−1 x) 4 2 x = k−1 cos(k cos−1 x) 2 =xCk (x), và đây chính là phương trình (1.10). Ví dụ 1.6 Cho k là số nguyên không âm, xét tích phân Z π cos(kθ) − cos(kφ) Ik (φ) = dθ (1.11) 0 cos θ − cos φ Trong đó I0 = 0 và I1 = π. Do biết Ik với k = 0 và k = 1, ta thử tìm mối quan hệ tuyến tính giữa Ik+1 , Ik và Ik−1 . Nếu tìm thấy công thức liên hệ này, ta có thể sử dụng để tính Ik thông qua truy hồi. Định nghĩa toán tử L như sau: LIk = AIk+1 + BIk + CIk−1 (1.12) trong đó A, B và C là các hằng số độc lập với k và θ; tuy nhiên, chúng có thể phụ thuộc vào φ. Do đó, L cos(kθ) = A cos(k + 1)θ + B cos(kθ) + C cos(k − 1)θ = [(A + C) cos θ + B] cos(kθ) − [(A − C) sin θ] sin(kθ). (1.13)
10 Nếu lấy A = C, B = −2A cos φ và đặt A = 1, vậy thì phương trình (1.13) trở thành L cos(kθ) = 2(cos θ − cos φ) cos(kθ), đại lượng này tỷ lệ với mẫu số trong biểu thức tích phân của phương trình (1.11). Bây giờ, áp dụng toán tử L vào cos(kφ) ta được kết quả L cos(kφ) = 0. Do đó, áp dụng toán tử L cho cả hai vế của phương trình (1.11) ta được Z π L cos(kθ) − L cos(kφ) LIk (φ) = dθ 0Z cos θ − cos φ π (1.14) =2 cos(kθ)dθ = 0 0 Như vậy tích phân Ik (ϕ) thỏa mãn phương trình Ik+1 − (2 cos φ)Ik + Ik−1 = 0 đối với k = 1, 2, . . . . Vì I0 và I1 ta có thể xác định Ik bằng công thức truy hồi trên với bất kỳ giá trị nguyên dương nào của k. Ví dụ 1.7 Giả sử phương trình vi phân sau đây: dy = f (y, t) (1.15) dt trong đó f (y, t) là một hàm cho trước của y và t, không thể lấy tích phân theo các hàm số sơ cấp. Ta sẽ sử dụng lược đồ đơn giản sau đây để tìm nghiệm số. Trước tiên ta xây dựng lưới tk = (∆t)k, trong đó ∆t là một khoảng thời gian t cố định, còn k là số nguyên. Tiếp theo ta thay thế đạo hàm bằng xấp xỉ, dy(t) y(t + ∆t) − y(t) yk+1 − yk → = dt ∆t ∆ trong đó yk là xấp xỉ theo nghiệm chính xác của phương trình (1.15) tại thời điểm t = tk , tức là, yk ' y(tk ).
11 Cuối cùng, thay thế vế bên phải của phương trình (1.15) bằng f (y, t) → f [yk , (∆t)k]. Thế vào phương trình đầu ta nhận được yk+1 − yk = f (yk , (∆t)k) ∆t hoặc yk+1 = yk + (∆t)f (yk , (∆t)k). (1.16) Nếu y0 được xác định thì ta cũng xác định được yk đối với k = 1, 2, . . . . Lược đồ (1.16) được gọi là lược đồ Euler được sử dụng để tìm nghiệm số của phương trình (1.15). Ví dụ 1.8 Cho số hạng tổng quát yk của dãy {yk } được xác định như sau yk = A2k , trong đó A là một hằng số nào đó. Vì chỉ có một hằng số nên phương trình sai phân có nghiệm cho bởi công thức (1.8) là phương trình cấp một. Ta có thể tìm được như sau yk+1 = A2k+1 = 2A2k = 2yk . Ví dụ 1.9 Giả sử yk được cho bởi biểu thức yk = c1 2k + c2 5k , trong đó c1 và c2 là hằng số tùy ý. Do đó, yk phải thỏa mãn một phương trình vi phân bậc hai. Để xác định phương trình này, ta tính yk+1 và yk+2 : yk+1 = 2c1 2k + 25c2 5k , yk+2 = 4c1 2k + 25c2 5k . Khử c1 và c2 ta nhận được
y 1 1
k