Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề mới trong hình Arbelos

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

23
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Điểm, đường thẳng, tam giác, đa giác, đường tròn,...là những đối tượng nghiên cứu cơ bản của Hình học Euclid phẳng. Với chủ ý tìm hiểu về đường tròn, chuỗi các đường tròn cùng các vấn đề khác trong hình học phẳng, tác giả muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu thêm về một số vấn đề mới được phát hiện trong hình arbelos. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề mới trong hình Arbelos

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Sơn Hải MỘT SỐ VẤN ĐỀ MỚI TRONG HÌNH ARBELOS LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Sơn Hải MỘT SỐ VẤN ĐỀ MỚI TRONG HÌNH ARBELOS Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI Thái Nguyên - 2019
i Danh mục hình 1.1 Arbelos-“hình con dao thợ đóng giầy” . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Bốn ngũ giác đều và một thập giác đều . . . . . . . . . . . 5 a+b a 1.3 = =ϕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 a b 1.4 Chứng minh hai tính chất của arbelos . . . . . . . . . . . . 7 d1 e1 1.5 Tính chất mới: [ABC]-arbelos vàng ⇐⇒ = . . . . . 8 d2 e2 1.6 [ABC] - arbelos vàng ⇐⇒ δj bằng j , j ≥ 2 . . . . . . . . 9 1.7 Đường tròn nội tiếp ω(ρ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.8 Định lý Bankoff thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.9 Ba cách dựng đường tròn nội tiếp hình arbelos [ABC] . . . 12 1.10 Định lý Bankoff thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.11 Cặp đường tròn Archimedes thứ nhất và thứ hai . . . . . . 16 1.12 Cặp đường tròn Archimedes thứ ba và thứ tư . . . . . . . . 17 1.13 Cặp đường tròn Archimedes thứ năm và thứ sáu . . . . . . 17 2.1 Đường tròn Archimedes của Schoch . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Đường tròn Archimedes của Schoch và đường thẳng Schoch 20 2.3 Các đường tròn Archimedes của Schoch . . . . . . . . . . . 21 2.4 Các đường tròn C(a0 , b0 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 a b 2.5 C(a0 , b0 ) là đường tròn Archimedes ⇐⇒ + =1 . . . . 24 a0 b 0 2.6 Các đường tròn Un của Woo . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.7 Điểm T thuộc đường thẳng L . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.8 Đường tròn U0 của Woo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.9 Chứng minh mệnh đề 2.10, trường hợp 1 . . . . . . . . . . 29 2.10 Chứng minh mệnh đề 2.10, trường hợp 2 . . . . . . . . . . 30 2.11 Trường hợp n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.12 Tổng quát hóa các cặp đường tròn Archimedes kiểu Power . 32 2.13 Đường tròn đi qua C là Archimedes ⇐⇒ T1 ∈ α hay T2 ∈ β 34 3.1 Chuỗi đường tròn nội tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Phép chứng minh bổ đề 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Phép nghịch đảo của chuỗi Pappus . . . . . . . . . . . . . 41
ii 3.4 Ba chuỗi Pappus trong arbelos [ABC] . . . . . . . . . . . 43 3.5 Đường tròn nội tiếp arbelos [ABC] là đường tròn nghịch đảo 47
iii Mục lục Mở đầu 1 1 Hình arbelos và các cặp đường tròn Archimedes 3 1.1 Giới thiệu về arbelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Kết quả mới về arbelos vàng . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Đường tròn nội tiếp arbelos . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Các cặp đường tròn Archimedes . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.1 Định nghĩa đường tròn Archimedes . . . . . . . . 15 1.4.2 Các cặp đường tròn Archimedes khác . . . . . . 16 2 Một số họ đường tròn Archimedes 18 2.1 Họ dường tròn Archimedes của Schoch . . . . . . . . . . 18 2.1.1 Đường thẳng Schoch . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.2 Tổng quát hóa đường tròn U2 của Schoch . . . . 21 2.2 Các đường tròn Un của Woo . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1 Các đường tròn Un của Woo với n < 0 . . . . . . 27 2.2.2 Một tổng quát hóa khác của U0 . . . . . . . . . 29 2.3 Tổng quát hóa kiểu Power . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 Đặc trưng của các đường tròn Archimedes đi qua C . . 33 3 Chuỗi các đường tròn nội tiếp hình arbelos 37 3.1 Chuỗi Pappus các đường tròn nội tiếp arbelos . . . . . . 37 3.2 Ba chuỗi đường tròn Pappus nội tiếp arbelos . . . . . . 42 3.3 Phép nghịch đảo trong hình arbelos . . . . . . . . . . . 45 Tài liệu tham khảo 52
iv Lời cảm ơn Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường đại học Hải Phòng. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều thầy đã dành cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo, Khoa Toán tin, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K11B (2017 - 2019) Trường đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng 5 năm 2019 Người viết Luận văn Nguyễn Sơn Hải
1 Mở đầu 1. Mục đích của đề tài luận văn Điểm, đường thẳng, tam giác, đa giác, đường tròn,...là những đối tượng nghiên cứu cơ bản của Hình học Euclid phẳng. Với chủ ý tìm hiểu về đường tròn, chuỗi các đường tròn cùng các vấn đề khác trong hình học phẳng, tôi muốn nghiên cứu tìm hiểu sâu thêm về một số vấn đề mới được phát hiện trong hình arbelos. Đó là những kết quả hình học mới, chưa được giới thiệu trong các sách hình học ở Việt nam. Ở nước ngoài, trong nhiều Tạp chí, chẳng hạn Tạp chí Toán học của Đại học Florida Atlatic Hoa kỳ (Forum Geometricorum, ISSN 1534-1178), nhiều tác giả đã nghiên cứu và khai thác khá sâu sắc về các vấn đề này. Các bài báo về hình arbelos được đăng thường xuyên trong những năm gần đây. Đó là lý do tôi chọn đề tài. Mục đích chính của đề tài là: - Tìm hiểu và trình bày các vấn đề trong hình arbelos (hình con dao của thợ đóng giầy): đặc trưng của arbelos vàng, các hướng tổng quát hóa đường tròn Archimedes, chuỗi các đường tròn Pappus và một số đồng nhất thức. Những vấn đề này được đề cập đến trong các bài báo từ năm 2004 trở lại đây. - Sử dụng các công cụ và các phương pháp hình học như: Dựng hình bằng com pa-thước kẻ, phép nghịch đảo, tọa độ Descartes, tọa độ Barycentric để giải quyết các bài toán. Các phương pháp tiếp cận hình arbelos thời Archimedes bằng công cụ hiện đại mang lại nhiều kết quả đẹp và có ích. - Bồi dưỡng năng lực dạy các chuyên đề khó ở trường THCS và THPT góp phần đào tạo những học sinh có tư duy tốt về Hình học. 2. Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết Trình bày một số bài toán trong hình arbelos, đặc biệt các kết quả mới về arbelos vàng (tham khảo trong [3] và chi tiết hóa), giới thiệu
2 một số tính chất của đường tròn Archimedes (tham khảo trong [7]), một số hướng tổng quát để tìm họ các đường tròn Archimedes (tổng hợp từ các bài báo [4], [2], [5] ), trình bày chuỗi Pappus các đường tròn trong hình arbelos và một số đồng nhất thức. Nội dung luận văn chia làm 3 chương: Chương 1. Hình arbelos và các cặp đường tròn Archimedes Hình arbelos dựa trên hình cơ bản tạo bởi 3 nửa đường tròn (α, β, γ), còn được gọi là "hình con dao thợ đóng giầy". Chúng tôi giới thiệu một số sự kiện cơ bản trong hình học này, kết quả mới về arbelos vàng, cách dựng các cặp đường tròn Archimedes và đường tròn nội tiếp arbelos. Chương này bao gồm: 1.1. Giới thiệu về arbelos 1.2. Kết quả mới về arbelos vàng 1.3. Đường tròn nội tiếp arbelos 1.4. Các cặp đường tròn Archimedes Chương 2. Một số họ đường tròn Archimedes Chương này trình bày các cách tổng quát hóa để thu được một số họ đường tròn Archimedes. Nội dung bao gồm các mục sau: 2.1. Họ đường tròn Archimedes của T. Schoch 2.2. Các đường tròn Archimedes của P.Woo 2.3. Tổng quát hóa kiểu Power 2.4. Đặc trưng của các đường tròn Archimedes đi qua gốc tọa độ. Chương 3. Chuỗi các đường tròn nội tiếp hình arbelos Bằng công cụ tọa độ hoặc phép nghịch đảo, chương này giới thiệu một số chuỗi đường tròn nội tiếp trong arbelos. Từ các công thức tính bán kính các đường tròn của chuỗi có thể lập được một số đồng nhất thức liên quan đến dãy số tự nhiên. 3.1. Chuỗi Pappus các đường tròn nội tiếp arbelos 3.2. Ba chuỗi Pappus các đường tròn nội tiếp arbelos 3.3. Một số đồng nhất thức
3 Chương 1 Hình arbelos và các cặp đường tròn Archimedes 1.1 Giới thiệu về arbelos Hình arbelos nghiên cứu các nửa đường tròn tiếp xúc, chữ "arbe- los" được ghép từ 7 chữ cái α, %, β, η, λ, θ, ς thành (α%βηλθς ). Trên đoạn thẳng AB ta lấy điểm C và dựng các nửa đường tròn đường kính AC, BC, AB, ta gọi đó là các nửa đường tròn O1 (a), O2 (b) và O(a + b) tương ứng. Nếu ta cắt hai nửa hình tròn nhỏ ra khỏi nửa hình tròn lớn thì ta nhận được hình “con dao của thợ đóng giầy” hay còn gọi là hình arbelos của Archimedes. Trong luận văn này chúng tôi thống nhất dùng (a) Hình “con dao của thợ đóng giầy” (b) S(1) + S(2) = S(3) Hình 1.1: Arbelos-“hình con dao thợ đóng giầy” tên gọi “arbelos [ABC ]” để chỉ hình cơ bản như trên hình vẽ 1.1, bán kính hai nửa đường tròn nhỏ là AC = a, CB = b, O1 , O2 là hai tâm nửa đường tròn, C là tiếp điểm của hai nửa đường tròn nhỏ, D là giao của nửa đường tròn lớn nhất với đường vuông góc Ct ⊥ AB . Như vậy đường tròn lớn có bán kính a + b. Ta cũng dùng ký hiệu (P Q) để chỉ nửa đường tròn đường kính P Q hay O(r) để chỉ đường tròn tâm O,
4 bán kính r. Nhà toán học và thiên văn học Archimedes đã khám phá ra nhiều định lý về arbelos và công bố trong cuốn sách “Sách về các bổ đề” của ông. Mặc dù các bài toán trong hình arbelos đã có từ thời đó nhưng đến tận ngày nay người ta vẫn phát hiện ra nhiều bí ẩn, nhiều kết quả đã được công bố trong các diễn đàn toán học mà điển hình là Forum Geometricorum (ISSN 1534-1178). Đây là một tạp chí khoa học về hình học Euclide của khoa toán trường đại học Florida Atlantic (Mỹ). Tạp chí được thành lập bởi giáo sư Paul Yiu từ năm 2001 và ông cũng là tổng biên tập của tạp chí này cho đến nay. Trong hình arbelos có một số kết quả sau đã được phát biểu và trình bày phép chứng minh trong [1]: Bài toán 1.1. Cho arbelos [ABC] như trên hình 1.1 b). Chứng minh diện tích của hình arbelos bằng diện tích của hình tròn đường kính CD và bằng 2πab. Bài toán 1.2. Trong arbelos [ABC] gọi U = AD ∩ (AC) và V = BD ∩ (BC) thì tứ giác CU DV là hình chữ nhật. Bài toán 1.3. Giả thiết như bài toán trên, khi đó đường thẳng U V là tiếp tuyến của hai nửa đường tròn (AC) và (CB). 1.2 Kết quả mới về arbelos vàng Năm 1999 có một bài báo mang tên Those ubiquitious Archimedes circles công bố trong Math. Mag. 72 (1999) của tập thể tác giả: C.W. Dodge, T. Schoch, P.Y. Woo, P. Yiu. Bài báo đã làm cho các nhà toán học chuyên và không chuyên quan tâm đến hình arbelos này. Ở thế kỷ hiện tại có khá nhiều các cuộc thảo luận về arbelos mà đa số trong chúng được công bố trong tác phẩm “The arbelos: A cosmos made by three semicircles” (Arbelos: một vũ trụ được tạo bởi ba nửa đường tròn) của hai nhà toán học H. Okumura và M. Watanabe (Nhật bản). Tác phẩm đó được đăng trong tạp chí Iwanami Shoten năm 2010 bằng Tiếng Nhật. Sau đây là một phát hiện rất hay của Hiroshi Okumura: Một đặc trưng của arbelos vàng, [6]. Với hình arbelos [ABC], giả sử a, b là bán kính các nửa đường tròn (AC), (CB) với a > b > 0. a, b được gọi là “ở trong tỷ số vàng” nếu a b = (1.1) a+b a
5 Đẳng thức đó tương đương với ( √ a2 = ab + b2 a 1+ 5 ⇐⇒ = =ϕ a, b> 0 b 2 Ta đã biết tỷ số ϕ không chỉ xuất hiện trong toán học mà ngay cả trong hội họa và kiến trúc nó cũng xuất hiện thường xuyên. Trong hình học tỷ số vàng liên quan chặt chẽ đến ngũ giác đều (xem hình 1.2). Một arbelos [ABC] mà (1.1) thỏa mãn được gọi là một arbelos vàng, tức là khi a : b đạt tỷ số vàng. Tỷ số vàng thường được ký hiệu bằng chữ Hylạp ϕ để tưởng nhớ đến Phidias, nhà điêu khắc đã có công xây dựng ngôi đền Parthenon. Bài toán 1.4. Dựng các ngũ giác đều trên hình arbelos vàng. Hình 1.2: Bốn ngũ giác đều và một thập giác đều Lời giải. Tóm tắt trên hình 1.2. Trên hình có 4 ngũ giác đều, 3 trong chúng nội tiếp 3 đường tròn đường kính AC, BC, AB và một thập giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB . Tất cả đều gắn với arbelos vàng. Ta gọi trục đẳng phương của hai đường tròn đường kính AC, BC , tức đường thẳng đi qua C vuông góc với AB là trục của arbelos [ABC].
6 Giả sử δi , (i = 1, 2, 3) là các đường tròn tiếp xúc ngoài với α = (AC) và tiếp xúc trong với γ = (AB) sao cho δ1 tiếp xúc với trục, δ2 tiếp xúc ngoài với δ1 và đường thẳng p là tiếp tuyến của δ2 , song song với trục, tiếp xúc δ2 . Cuối cùng, δ3 tiếp xúc với p như hình vẽ 1.3. Gọi i , i = 1, 2, 3 là các đường tròn tiếp xúc trong với hai tiếp chung của α, β sao cho 1 tiếp xúc ngoài với β tại B , các j , j = 2, 3 tiếp xúc ngoài với j1 . Theo như Hiroshi Okumura kể lại trong bài viết của mình thì Leon Bankoff dường như là người đầu tiên nghiên cứu về arbelos vàng. Ông phát hiện ra rằng các đường tròn δi và i với i = 1, 2, bằng nhau còn 3 bằng đường tròn nội tiếp τ của tam giác cong tạo bởi α, δ1 và trục của arbelos. Trong cuối bài báo của mình Bankoff nhấn mạnh thêm rằng đường tròn nội tiếp đó cũng bằng δ3 . Do đó, δ3 và 3 có thể bằng nhau. Nhưng ông không nói gì thêm về sự bằng nhau đó. Trong khi đó ông lại khẳng định rằng đường thẳng nối hai tâm δ1 và δ2 song song với AB . Do đó hai đường tròn δ1 và δ2 bị chia rẽ bởi một tiếp tuyến chung song song với trục. Trước khi nói về một tính chất mới của arbelos vàng ta xét đến 2 bổ đề mà cũng có thể coi là các tính chất của arbelos. a+b a Hình 1.3: = =ϕ a b Bổ đề 1.1. Nếu đường tròn bán kính r tiếp xúc ngoài với α, tiếp xúc trong với γ và d là khoảng cách từ tâm W của đường tròn đến đường thẳng Ay ⊥ AB thì b r= d (1.2) b + 2a
7 Chứng minh. Từ tâm W hạ W K ⊥ AB, W H ⊥ Ay và O1 E ⊥ W H (hình 1.4a). Áp dụng định lý Pythagoras vào các tam giác vuông KOW và EO1 W ta có: O1 E 2 = O1 W 2 − EW 2 = (a + r)2 − (d − a)2 F W 2 = OW 2 − OK 2 = ((a + b) − r)2 − (d − (a + b))2 O1 E 2 = F W 2 ⇐⇒ (a + r)2 − (d − a)2 = ((a + b) − r)2 − (d − (a + b))2 b Giải phương trình ta được r = · d. 2a + b Bổ đề 1.2. Nếu hai đường tròn bán kính r1 , r2 , r1 > r2 tiếp xúc ngoài với α, tiếp xúc trong với γ và cùng tiếp xúc với đường thẳng ` ⊥ AB thì r2 a = (1.3) r1 a+b (a) (b) Hình 1.4: Chứng minh hai tính chất của arbelos Chứng minh. (Hình 1.4b). Giả sử d là khoảng cách từ đường thẳng ` đến Ay . Theo bổ đề 1.1 ta có b b r1 = (d + r1 ) ; r2 = (d − r2 ) . 2a + b 2a + b bd bd Giải các phương trình cho r1 = , r2 = . Từ đó suy ra (1.3). 2a 2a + 2b Tính chất 1.1 (Tính chất mới của arbelos vàng,[6]). Cho hai đường tròn bán kính d1 , d2 (d1 > d2 ) tiếp xúc ngoài với (AC) = α, tiếp xúc
8 trong với (AB) = γ , cùng tiếp xúc với một đường thẳng ` ⊥ AB và hai đường tròn bán kính e1 , e2 , (e1 > e2 ) tiếp xúc với hai tiếp tuyến chung ngoài của (AC) = α và (BC) = β đồng thời tiếp xúc ngoài nhau. Khi d1 e1 đó [ABC] là một arbelos vàng khi và chỉ khi = . d2 e2 d1 e1 Hình 1.5: Tính chất mới: [ABC]-arbelos vàng ⇐⇒ = d2 e2 e2 b d2 a Chứng minh. Ta có = do tính chất vị tự còn = theo (1.3). e1 a d1 a+b a b d1 e1 Từ đó [ABC] là arbelos vàng khi và chỉ khi = ⇐⇒ = . a+b a d2 e2 Giả sử δ1 = 1 = β và p1 là trục. Với mỗi số tự nhiên j ≥ 2 giả sử δj tiếp xúc ngoài với α và tiếp xúc trong với γ còn pj−1 và pj tiếp xúc với δj , song song với p1 . Lại giả sử j là đường tròn tiếp xúc với hai tiếp tuyến chung ngoài của α và β và tiếp xúc ngoài với j − 1. Khi đó bán kính của δi và bán kính của i tạo thành hai cấp số nhân với tỷ số chung a b tương ứng là và . Như vậy ta có a+b a Tính chất 1.2 (Hai dãy đường tròn đồng đẳng,[6]). [ABC] là arbelos vàng khi và chỉ khi δj bằng j với mọi j ≥ 2.
9 Hình 1.6: [ABC] - arbelos vàng ⇐⇒ δj bằng j , j ≥ 2 1.3 Đường tròn nội tiếp arbelos Định nghĩa 1.1. Cho arbelos [ABC]. Đường tròn tiếp xúc ngoài với (BC), (CA) tại X, Y và tiếp xúc trong với (AB) tại Z được gọi là đường tròn nội tiếp của một arbelos [ABC]. Ba điểm X, Y, Z là các tiếp điểm. Mệnh đề 1.1 (Xem [7]). Đường tròn nội tiếp hình arbelos [ABC] có bán kính ab(a + b) ρ= (1.4) a2 + ab + b2 Chứng minh. Gọi ω là tâm và ρ là bán kính đường tròn nội tiếp, đặt ωOO \2 = θ. Theo định lý cô sin áp dụng vào ∆O1 ωO, ∆O2 ωO tương đương với (a + ρ)2 = (a + b − ρ)2 + b2 + 2b(a + b − ρ) cos θ (b + ρ)2 = (a + b − ρ)2 + a2 − 2b(a + b − ρ) cos θ Khử cos θ ta được a(a + ρ)2 + b(b + ρ)2 = (a + b)(a + b − ρ)2 + ab2 + ba2 Khai triển hai vế và giản ước ta được phương trình bậc nhất đối với ρ: a3 + b3 + 2 a2 + b2 ρ = (a + b)2 + ab(a + b) − 2(a + b)2 ρ
10 ab(a + b) hay ρ = a2 + ab + b2 Hình 1.7: Đường tròn nội tiếp ω(ρ) P. Woo đã đưa ra 3 cách dựng đường tròn nội tiếp của hình arbelos rất đơn giản, tất cả đều suy từ việc phát hiện ra 3 điểm thuộc đường tròn. Ngay sau đây ta sẽ trình bày các tính chất của đường tròn nội tiếp. Từ đó suy ra cách dựng đường tròn nội tiếp hình arbelos. Mệnh đề 1.2 (Định lý Bankoff thứ nhất,[7]). Giả sử Q1 , Q2 là trung điểm 2 nửa đường tròn (AC), (BC). Với ký hiệu như trong định nghĩa đường tròn nội tiếp hình arbelos thì i) A, C, X, Z nằm trên đường tròn, tâm là Q1 . i)) B, C, Y, Z nằm trên đường tròn, tâm là Q2 . Chứng minh. Xem hình 1.8. Gọi D là giao của nửa đường tròn kính AB với đường thẳng Ct ⊥ AB. Lưu ý rằng ta có AB.AC = AD2 . Xét phép nghịch đảo với đường tròn nghịch đảo là (A, AD). Hai điểm B, C là nghịch đảo của nhau, còn AB là đường thẳng kép. Ảnh của các nửa đường tròn (AB), (AC) tương ứng là các đường thẳng ` và `0 vuông góc với AB , lần lượt đi qua C và B . Nửa đường tròn (AB) trực giao với AB (kép) nên cũng là nửa đường tròn kép. Đường tròn nội tiếp (XY Z) nghịch đảo thành đường tròn tiếp xúc với nửa đường tròn (BC) và các đường thẳng `, `0 tương ứng tại các điểm P, Y 0 , Z 0 . Vì nửa đường tròn (BC) kép nên các điểm A, X, P thẳng hàng; các điểm Y 0 , Z , cần thỏa
11 Hình 1.8: Định lý Bankoff thứ nhất mãn điều kiện để BP Z và CP Y 0 là các đường thẳng tạo với AB các góc 45◦ . Ta lại có đường thẳng BP Z 0 đi qua trung điểm L của nửa đường tròn (AB). Ảnh nghịch đảo của nó là đường tròn đi qua A, C, X, Z. Vì phép nghịch đảo bảo toàn góc nên đường tròn này cũng tạo với AB góc 45◦ . Do đó tâm của nó là trung điểm Q1 của nửa đường tròn (AC). Phần thứ hai hoàn toàn tương tự. Mệnh đề 1.3. Các đường thẳng AX, BY, CZ cắt nhau tại điểm S trên đường tròn nội tiếp (XY Z) . Chứng minh. Xem hình 1.9 b). Ta luôn có A, X, Q2 thẳng hàng, B, Y, Q1 thẳng hàng. Gọi S = AQ2 ∩ (XY Z) và xét phép nghịch đảo với đường tròn nghịch đảo là A(AD). Ảnh nghịch đảo của S là S 0 = AQ2 ∩ (Q2 Y 0 Z 0 ). Lưu ý rằng AS \ 0Z 0 = Q \ 0 0 \ 0 0 0 \0 2 S Z = Q2 Y Z = 45 = ABZ nên A, B, S 0 , Z 0 thuộc một đường tròn. Bằng cách xét ảnh nghịch đảo của đường tròn này ta rút ra CZ chứa S . Nói cách khác AQ2 và CZ cắt nhau tại điểm S trên đường tròn (XY Z). Cũng giống như vậy đối với BQ1 và CZ . Mệnh đề 1.4. Gọi M là trung điểm nửa đường tròn (AB) đối xứng với nửa đường tròn (AB) của arbelos [ABC]. Khi đó, các điểm A, B, X, Y nằm trên đường tròn tâm M và CZ đi qua M .
12 (a) (b) (c) Hình 1.9: Ba cách dựng đường tròn nội tiếp hình arbelos [ABC] Chứng minh. Xem hình 1.9 c). Vì C, Q2 , Y 0 nằm trên đường thẳng tạo với AB góc 45◦ nên ảnh nghịch đảo của nó là một đường tròn đi qua A, B, X, Y cũng tạo với AB góc 45◦ . Tâm của đường tròn này phải là trung điểm M của nửa đường tròn (AB) đối xứng với nửa (AB) của hình arbelos qua AB . Nối AM , nó cắt ` ở M 0 . Vì BAM \ 0 = 450 = BZ \ 0M 0 nên 4 điểm A, Z 0 , B, M 0 đồng viên. Sử dụng phép nghịch đảo ta suy ra CZ đi qua M . Ta có khá nhiều cách dựng đường tròn nội tiếp một arbelos [ABC] cho trước suy từ các mệnh đề 1.2, 1.3, 1.4. Ở đây ta chỉ nêu 1 cách: Cách dựng. (Suy từ mệnh đề 1.2, hình 1.9 a) − Dựng Q1 , Q2 là trung điểm các nửa đường tròn (AB), (CB).
13 − Dựng đường tròn Q1 (Q1 A) cắt các nửa đường tròn (CB), (AB) lần lượt ở X, Z . − Dựng đường tròn Q2 (Q2 B) cắt các nửa đường tròn (AC), (AB) lần lượt ở Y, Z . − Đường tròn ngoại tiếp ∆XY Z là đường tròn cần dựng. Ta ký hiệu tâm của (XY Z) là ω để sử dụng về sau. Mệnh đề 1.5 (Định lý Bankoff thứ hai,[7]). Giả sử đường tròn nội tiếp của một arbelos [ABC] tiếp xúc hai nửa đường tròn (AC) và (CB) tương ứng tại X, Y . Khi đó đường tròn đi qua C, X, Y cũng có bán kính ab bằng t = . a+b Chứng minh. Rõ ràng đường tròn (CXY ) là đường tròn nội tiếp của tam giác ωO1 O2 vì ωX = ωY = t, O1 X = O1 C = a, O2 Y = O2 C = b. Nửa chu vi của tam giác CO1 O2 bằng ab(a + b) (a + b)2 a + b + t = (a + b) + 2 = 2 a + ab + b2 a + ab + b2 S Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác được tính theo công thức r = , p r s abt ab · ab(a + b) ab r= = = a+b+t (a + b)3 a+b Đó chính là bán kính t của đường tròn Archimedes. Đường tròn CXY đó có tên gọi là đường tròn Bankoff, hình 1.10. Kết quả này chỉ ra mối quan hệ giữa đường tròn nội tiếp hình arbelos và đường tròn Bankoff. Đồng thời đường tròn Bankoff lại là đường tròn nội tiếp của tam giác ωO1 O2 . Ta phát biểu một số kết quả sau có áp dụng vào chương 3. Mệnh đề 1.6. Trong hình arbelos [ABC] với ω(ρ) là đường tròn nội tiếp. Khi đó, ab(a + b)2 (i.) Tam giác ωO1 O2 có diện tích 2 , a + ab + b2 (ii.) Khoảng cách từ tâm ω đến AB bằng 2ρ,
14 (iii.) Các tiếp điểm của ω(ρ) với các nửa đường tròn có thể xác định bằng cách: Y, Z là giao của Q1 (A) và O2 (b) và O(a + b); X, Z là giao của Q2 (B) và O1 (a) với O(a + b); (iv.) CZ là phân giác góc AZB \. Hình 1.10: Định lý Bankoff thứ hai Chứng minh. (i.) Áp dụng công thức Heron với O1 O2 = a+b, ωO1 = a+ρ, ωO2 = b+ρ (a + b)3 nửa chu vi tam giác bằng a + b + ρ = 2 a + ab + b2 Suy ra ab(a + b)2 SωO1 O2 = 2 a + ab + b2 (ii.) Gọi h là khoảng cách từ ω đến AB thì 2SωO1 O2 ab(a + b) h= =2· 2 = 2ρ O1 O2 a + ab + b2 (iii.) Suy từ mệnh đề 1.2 (iv.) Suy từ mệnh đề 1.4