Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiên cứu các phép biến hình theo quan điểm nhóm

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:85

Thêm vào BST

Báo xấu

32
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận văn phát triển tư duy hàm cho học sinh phổ thông, phép biến hình còn được dùng để định nghĩa thế nào là hai hình bằng nhau hoặc đồng dạng với nhau và là một công cụ hiệu quả để giải các bài toán hình học ở trường phổ thông. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiên cứu các phép biến hình theo quan điểm nhóm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO QUANG DUY NGHIÊN CỨU CÁC PHÉP BIẾN HÌNH THEO QUAN ĐIỂM NHÓM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, THÁNG 6 NĂM 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO QUANG DUY NGHIÊN CỨU CÁC PHÉP BIẾN HÌNH THEO QUAN ĐIỂM NHÓM Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Danh Nam THÁI NGUYÊN, THÁNG 6 NĂM 2016
1 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU .................................................................................................................... 3 Chương 1. NHÓM CÁC PHÉP BIẾN HÌNH ............................................................. 5 1.1. KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH ........................................................................ 5 1.1.1. Định nghĩa ......................................................................................................... 5 1.1.2. Tích các phép biến hình .................................................................................... 6 1.2. NHÓM AFIN ....................................................................................................... 8 1.2.1. Phép biến hình afin ........................................................................................... 8 1.2.2. Nhóm afin .......................................................................................................... 9 1.2.3. Bất biến của nhóm afin ..................................................................................... 9 1.3. NHÓM XẠ ẢNH ............................................................................................... 11 1.3.1. Phép biến hình xạ ảnh ..................................................................................... 11 1.3.2. Nhóm xạ ảnh ................................................................................................... 12 1.3.3. Bất biến xạ ảnh................................................................................................ 14 1.4. NHÓM DỜI HÌNH ............................................................................................ 15 1.4.1. Phép dời hình .................................................................................................. 15 1.4.2. Nhóm dời hình ................................................................................................. 16 1.4.3. Bất biến của nhóm dời hình ............................................................................ 17 1.5. NHÓM ĐỒNG DẠNG ...................................................................................... 19 1.5.1. Phép đồng dạng............................................................................................... 19 1.5.2. Nhóm đồng dạng ............................................................................................. 19 1.5.3. Bất biến của nhóm đồng dạng ......................................................................... 20 1.6. NHÓM TRÒN TRONG MẶT PHẲNG ............................................................ 22 1.6.1. Định nghĩa phép nghịch đảo ........................................................................... 22 1.6.2. Các tính chất của phép nghịch đảo ................................................................. 22 1.6.3. Ảnh của đường thẳng và đường tròn qua phép nghịch đảo ........................... 23 1.6.4. Hình học bảo toàn đường tròn ........................................................................ 24 1.6.5. Bất biến của nhóm tròn trong mặt phẳng ....................................................... 25 1.7. MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC LOẠI HÌNH HỌC.............................................. 25
2 1.7.1. Mối quan hệ giữa hình học afin và hình học xạ ảnh ....................................... 25 1.7.2. Mối quan hệ giữa hình học afin và hình học Ơclít ......................................... 31 1.7.3. Sáng tạo các bài toán mới ............................................................................... 37 Chương 2. VẬN DỤNG BẤT BIẾN CỦA CÁC NHÓM BIẾN HÌNH TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP ............................................................................................... 46 2.1. CHỨNG MINH THẲNG HÀNG ...................................................................... 46 2.2. CHỨNG MINH ĐỒNG QUY ........................................................................... 58 2.3. CHỨNG MINH SONG SONG .......................................................................... 63 2.4. CHỨNG MINH TÍNH TIẾP XÚC, TÍNH TRỰC GIAO.................................. 66 2.4.1. Bài toán về bảo toàn tính tiếp xúc ................................................................... 66 2.4.2. Bài toán về bảo toàn tính trực giao ................................................................ 72 2.5. BÀI TOÁN QUỸ TÍCH VÀ DỰNG HÌNH ...................................................... 74 2.5.1. Bài toán quỹ tích ............................................................................................. 74 2.5.2. Bài toán dựng hình .......................................................................................... 77 KẾT LUẬN ............................................................................................................... 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 83
3 MỞ ĐẦU Nhà toán học Ơclít, trong tác phẩm “Cơ bản” của mình đã đặt nền móng đầu tiên cho sự ra đời của việc xây dựng hình học theo phương pháp tiên đề vào khoảng năm 300 trước công nguyên. Trong tác phẩm nổi tiếng của mình, ông đã nêu ra tư tưởng sử dụng phép biến hình trong việc định nghĩa hai hình bằng nhau, đó là: “Hai hình được gọi là bằng nhau nếu chúng chồng khít lên nhau”. Đến thế kỉ XVIII, khái niệm các phép biến hình xuất hiện như một công cụ để chuyển các tính chất hình học (bất biến) từ hình này sang hình kia và được sử dụng để giải một số bài toán. Nó chưa được xem là đối tượng để nghiên cứu cho đến cuối thế kỉ XVIII. Nhà toán học Bellavitis (1803 - 1880) đã nghiên cứu một cách hệ thống về phép biến hình trong lý thuyết về các hình của ông. Với sự ra đời của phương pháp tọa độ Đề-các thì hình được coi là một tập hợp các điểm. Quan niệm này đã đóng vai trò quan trọng trong lịch sử hình thành và phát triển của lý thuyết về các phép biến hình. Đến cuối thế kỉ XIX, nhà toán học người Đức, Felix Klein (1849 - 1925) đã nghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm các phép biến hình. Ông đã phân loại tính chất hình học theo các phép biến hình bảo toàn những tính chất đó. Từ đó, ông phân loại các hình học khác nhau dựa trên việc nghiên cứu bất biến của các nhóm biến hình khác nhau. Ví dụ tập hợp các phép dời hình lập thành một nhóm với phép toán tích các phép dời hình và hình học của nhóm dời hình chính là hình học Ơclít. Như vậy mỗi nhóm biến hình có hình học riêng của nhóm đó. Ngoài hình học Ơclít, chương trình hình học ở bậc đại học hiện nay còn có các thứ hình học khác như hình học đồng dạng, hình học afin, hình học xạ ảnh. Các bài toán không đề cập đến độ lớn của hình, độ dài của các đoạn thẳng và chỉ quan tâm tới sự thẳng hàng của ba điểm, sự cắt nhau và vuông góc với nhau của hai đường thẳng... thì đó chính là các bài toán của hình học đồng dạng vì ta chỉ nghiên cứu các bất biến của phép đồng dạng mà thôi. Ngoài hình học đồng dạng, thì hình học afin, hình học xạ ảnh cũng là những bộ phận của hình học Ơclít. Để hiểu rõ mối quan hệ giữa hình học Ơclít với
4 các hình học khác, chúng ta cần hiểu rõ mối quan hệ giữa hình học của một nhóm với hình học của nhóm con của nhóm đó. Dựa trên các bất biến của mỗi nhóm, Felix Klein đã sắp xếp lại các loại hình học khác nhau theo quan điểm hiện đại. Các nhóm biến hình được sắp xếp cụ thể như sau: Nhóm xạ ảnh  Nhóm afin  Nhóm đồng dạng  Nhóm dời hình. Hình học của mỗi nhóm biến hình là môn học nghiên cứu các bất biến của nhóm đó và vấn đề vận dụng bất biến của từng nhóm trong giải các bài toán hình học. Như vậy, ứng với mỗi nhóm biến hình trên, ta hệ thống hóa được các hình học khác nhau theo quan hệ bao hàm như sau: Hình học xạ ảnh  Hình học afin  Hình học đồng dạng  Hình học Ơclít. Phép biến hình cùng với khái niệm hàm số là các ánh xạ được đưa vào chương trình sách giáo khoa môn Toán ở trường phổ thông. Ngoài mục tiêu phát triển tư duy hàm cho học sinh phổ thông, phép biến hình còn được dùng để định nghĩa thế nào là hai hình bằng nhau hoặc đồng dạng với nhau và là một công cụ hiệu quả để giải các bài toán hình học ở trường phổ thông.
5 Chương 1 NHÓM CÁC PHÉP BIẾN HÌNH 1.1. KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH 1.1.1. Định nghĩa Trong mặt phẳng hoặc không gian cho một quy tắc f. Với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng hoặc không gian ta xác định được duy nhất một điểm M’ thuộc mặt phẳng hoặc không gian theo quy tắc đã cho hay nói cách khác f là một ánh xạ trong mặt phẳng hoặc không gian. Khi đó ta nói M’ là ảnh của M qua phép biến hình f, M được gọi là tạo ảnh của M’ và được kí hiệu f: M  M’. Nếu quy tắc f được xác định cho mọi điểm của mặt phẳng hoặc không gian thì f được gọi là một phép biến hình trong trong mặt phẳng hoặc không gian. Như vậy ta thấy mỗi ảnh của một điểm M trong phép biến hình có thể có nhiều tạo ảnh. Do đó, ánh xạ f không nhất thiết là một song ánh. Nếu mỗi ảnh của một điểm M bất kì trong mặt phẳng ứng với một tạo ảnh duy nhất là M, tức là ánh xạ f là song ánh thì ta nói f là một phép biến hình 1-1. Ví dụ về các phép biến hình 1-1: phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép tịnh tiến, phép quay, phép nghịch đảo. Điểm M trong mặt phẳng hoặc không gian được gọi là điểm bất động (hay điểm kép) của một phép biến hình f nếu f(O) = O. Nếu mọi điểm của mặt phẳng hoặc không gian đều là điểm bất động của f thì f được gọi là phép đồng nhất, kí hiệu là e(M) = M, với mọi điểm M. Trong mặt phẳng hoặc không gian cho một phép biến hình f và một hình H. Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc hình H qua phép biến hình đó tạo thành một hình H’ được gọi là ảnh của hình H và được kí hiệu là f: H  H’ hoặc được viết dưới ngôn ngữ tập hợp là H’ = {M’| M’ = f(M),  M  H}. Nếu f(H) = H thì hình H được gọi là bất động (hay bất biến) qua phép biến hình f. Đặc biệt, nếu H là bất biến đối với phép biến hình f mà mọi điểm của H đều bất động thì hình H được gọi là hình cố định hay hình bất động hoàn toàn. Chẳng hạn, trong phép đối xứng tâm ĐO tâm đối xứng O là điểm bất động duy nhất và mọi đường thẳng đi qua điểm O đều bất
6 động. Trong phép đối xứng trục Đd thì trục đối xứng d là hình bất động hoàn toàn và mọi đường thẳng (hoặc mặt phẳng) vuông góc với d đều là bất biến. Trong chương trình sách giáo khoa phổ thông, ở bậc THCS, “phép biến hình” chỉ xuất hiện ngầm ẩn. Lúc này, các từ “phép”, “biến thành… ”, “ảnh” không được sử dụng, vì học sinh chưa được học khái niệm ánh xạ. Cụ thể, sách giáo khoa đề cập đến đối xứng trục, đối xứng tâm mà không nói đến phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm. Tuy nhiên, ở bậc THPT, phép biến hình được hiểu là một ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng quát hơn, từ không gian, lên chính nó, ở đó mặt phẳng và không gian được nghiên cứu với tư cách là các tập hợp điểm và “đặc trưng hàm” xuất hiện. 1.1.2. Tích các phép biến hình Trong mặt phẳng hoặc không gian cho hai phép biến hình f và g. Với mỗi điểm M, f:M  M’ và g: M’ M”. Phép biến hình biến M  M” được gọi là tích của hai phép biến hình đã cho và được kí hiệu g.f: M  M”. Nếu g.f là một phép đồng nhất thì ta nói g là phép biến hình đảo ngược của f. Nếu ff = f2 = e thì ta nói phép biến hình có tính chất đối hợp. Các phép biến hình có tính chất đối hợp như phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép đối xứng qua mặt phẳng và phép nghịch đảo. Cho n phép biến hình f1, f2,…,fn-1, fn. Tích của n phép biến hình đã cho là một phép biến hình được thực hiện một cách liên tiếp theo một thứ tự xác định và được kí hiệu là f = fnfn-1f2f1. Tích các phép biến hình có những tính chất sau đây: 1) Tính chất kết hợp, nghĩa là f(gh) = (fg)h = fgh. Điều này có được do tích các ánh xạ có tính chất kết hợp. Như vậy, bao giờ cũng có thể thay hai hoặc nhiều phép biến hình liên tiếp bởi tích của chúng, hoặc ngược lại, có thể thay một phép biến hình nào đó bởi một tích tương đương. 2) Nói chung, tích các phép biến hình không có tính chất giao hoán. Tích hai phép biến hình f và g được gọi là giao hoán nếu fg = gf.
7 3) Trong tập hợp các phép biến hình trong mặt phẳng hoặc không gian, phép đồng nhất e là phần tử đơn vị của phép toán tích: ef = fe = f, f. 4) Nếu phép biến hình f là song ánh, tồn tại phép biến hình đảo ngược của f. Khi đó, tích của hai phép biến hình đảo ngược nhau là phép đồng nhất e: f-1f = ff-1 = e, f Định lý 1.1. Tập hợp các phép biến hình 1-1 trong mặt phẳng hoặc không gian với phép toán tích các phép biến hình lập thành một nhóm gọi là nhóm các phép biến hình 1-1 hay nhóm biến hình 1-1. Chứng minh. Dễ thấy tích của hai phép biến hình 1-1 là một phép biến hình 1-1 (vì tích của hai song ánh là một song ánh). Do vậy, phép toán tích hai phép biến hình đóng kín. 1) Tích các phép biến hình có tính chất kết hợp (do tính chất kết hợp của phép toán tích các song ánh). 2) Phần tử đơn vị của nhóm là phép đồng nhất e (vì phép đồng nhất là một song ánh). 3) Với mỗi phép biến hình f đều tồn tại phép biến hình đảo ngược f -1 (do f là song ánh) thỏa mãn đẳng thức: ff -1 = f -1f = e (e là phép đồng nhất). Vậy, tập hợp các phép biến hình 1-1 trong mặt phẳng hoặc không gian cùng với phép toán tích lập thành một nhóm. Một tính chất của hình H được gọi là bất biến đối với nhóm G nếu nó không thay đổi khi ta dùng một phép biến đổi f thuộc G để biến hình H thành một hình khác. Như vậy, ta có thể nói rằng, một tính chất của hình H sẽ gọi là bất biến đối với nhóm G nếu mọi hình H' tương đương với H đối với nhóm G đều có tính chất đó. Hình học nghiên cứu các bất biến của một nhóm được gọi là hình học của nhóm đó. Ví dụ, hình học nghiên cứu bất biến của nhóm xạ ảnh gọi là hình học xạ ảnh, hình học nghiên cứu bất biến của nhóm afin gọi là hình học afin, hình học nghiên cứu bất biến của nhóm dời hình gọi là hình học Ơclít,… Nếu ta xét một nhóm con G’ của nhóm G thì giữa hình học của các nhóm con G’ và hình học của nhóm G có mối quan hệ sau đây:
8 (i) Mọi bất biến của nhóm G cũng là bất biến của nhóm G’ (vì G’  G). Do đó những kết quả tìm thấy trong hình học của nhóm G đều áp dụng được vào cho hình học của nhóm G’. (ii) Có những bất biến của nhóm G’ mà không phải bất biến của nhóm G, nghĩa là hình học của nhóm G’ phong phú hơn hình học của nhóm G. Như vậy, nhóm càng rộng thì tính chất hình học của nhóm càng ít, nhưng phạm vi áp dụng của nó càng rộng; nhóm càng hẹp thì các tính chất hình học của nhóm càng phong phú, nhưng phạm vi áp dụng của nó càng hẹp. Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi chỉ đi nghiên cứu những nhóm con của nhóm biến hình 1-1 trong không gian 2 chiều và không gian 3 chiều. 1.2. NHÓM AFIN 1.2.1. Phép biến hình afin Trong mặt phẳng hoặc không gian, phép biến hình 1-1 biến mặt phẳng hoặc không gian thành chính nó, biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng được gọi là phép afin hay phép biến hình afin. Một phép biến hình afin trên mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu ta biết ba điểm không thẳng hàng, hơn nữa nếu A, B, C và A’, B’, C’ là hai tam giác trên mặt phẳng thì tồn tại duy nhất phép biến hình afin biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’. Tương tự như vậy, một phép biến hình afin trong không gian hoàn toàn được xác định nếu ta biết bốn điểm không đồng phẳng, hơn nữa nếu A, B, C, D và A’, B’, C’, D’ là hai tứ diện trong không gian thì tồn tại duy nhất phép biến hình afin biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’. Từ đó ta có kết quả, trong mặt phẳng, phép biến hình afin là phép đồng nhất khi và chỉ khi nó có ba điểm bất động không thẳng hàng. Nếu phép biến hình afin f có hai điểm bất động phân biệt A, B thì mọi điểm nằm trên đường thẳng AB đều là điểm bất động. Tương tự, trong không gian, phép biến hình afin là phép đồng nhất khi và chỉ khi nó có bốn điểm bất động không đồng phẳng. Nếu phép biến hình afin f có ba điểm bất động phân biệt A, B, C thì mọi điểm nằm trên mặt phẳng (ABC) đều là điểm bất động.
9 1.2.2. Nhóm afin Định lý 1.2. Xét tập hợp Af(An) gồm các phép biến hình afin của không gian afin An. Khi đó, Af(An) lập thành một nhóm đối với phép toán tích của hai phép biến hình afin, được gọi là nhóm afin. Với n = 2 và n = 3, ta có nhóm afin trong mặt phẳng và nhóm afin trong không gian. Nhóm afin là nhóm con của nhóm các phép biến hình 1-1. Thật vậy, tích của hai phép biến hình afin là một phép biến hình afin nên phép toán đóng kín. 1) Phép toán có tính chất kết hợp (do tính chất kết hợp của phép toán tích các phép biến hình 1-1). 2) Phép toán có phần tử đơn vị e (phép đồng nhất e là một phép biến hình afin). 3) Với mỗi phép biến hình afin f, luôn tồn tại phép biến hình afin f -1 sao cho: ff -1 = f -1f = e. Nói chung, tích fg  gf nên nhóm afin không phải là nhóm giao hoán. 1.2.3. Bất biến của nhóm afin Bất biến afin. Các tính chất bất biến đối với nhóm các phép biến hình afin trong không gian afin An được gọi là các tính chất afin hay các bất biến afin. Nói cách khác, tính chất afin của một hình được bảo toàn qua một phép biến hình afin bất kì. Ta có một số tính chất afin như tính thẳng hàng của ba điểm, tính đồng phẳng của bốn điểm, tính song song hoặc đồng quy của các đường thẳng, mặt phẳng, tính chất “đường bậc hai có tâm”, tính tiếp xúc của các đường bậc hai,… Phép biến hình afin có những bất biến sau đây: - Bảo toàn tính chất độc lập hay không độc lập của một hệ điểm. Do vậy, phép biến hình afin bảo toàn sự thẳng hàng (hay không thẳng hàng), sự đồng phẳng (hay không đồng phẳng) của các điểm trong không gian afin An. Nói cách khác, phép biến hình afin biến đường thẳng thành đường thẳng, mặt phẳng thành mặt phẳng, tia thành tia, đoạn thẳng thành đoạn thẳng, đa giác thành đa giác có cùng số cạnh, góc thành góc, điểm nằm trong đa giác thành điểm nằm trong đa giác. - Bảo toàn tỉ số đơn, biến trung điểm thành trung điểm, biến điểm chia một đoạn thẳng theo tỉ số k thành điểm chia một đoạn thẳng theo cùng tỉ số k.
10 - Bảo toàn tính song song, cắt nhau hay chéo nhau của hai cái phẳng. Giả sử mặt phẳng  song song với mặt phẳng  , qua phép biến hình afin f ta suy ra phẳng f() cũng song song với f(  ). Khái niệm afin. Một khái niệm được coi là khái niệm afin nếu nó không bị thay đổi qua bất kì phép biến hình afin nào. Các khái niệm afin như: điểm, đường thẳng, tia, đoạn thẳng, góc, mặt phẳng, nửa mặt phẳng, tứ diện, tam giác, miền tam giác, trung điểm, đường trung bình của tam giác, đường trung tuyến, trọng tâm của tam giác, tứ giác, hình bình hành, hình thang, tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng, elíp, hypebôn, parabôn, đường bậc hai,… Mặt phẳng Ơclít cũng là mặt phẳng afin nếu ta cũng xét các phép biến hình afin trên mặt phẳng Ơclít. Khi đó, có những tính chất của hình không phải là tính chất afin và có những khái niệm không phải khái niệm afin. Các tính chất không phải là tính chất afin: tính vuông góc của hai đường thẳng, các tính chất cân hoặc đều của tam giác, tính chất là đường cao của tam giác, tính chất là đường trung trực của đoạn thẳng, tính chất là phân giác của một góc,… Các khái niệm không phải khái niệm afin như: độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông, hình tứ diện đều, hình tứ diện vuông, đường cao, đường phân giác của một góc, mặt phẳng phân giác, đường trung trực, mặt phẳng trung trực, trực tâm của tam giác, tâm đường tròn nội (ngoại) tiếp của tam giác, hình vuông, hình lập phương, hình hộp chữ nhật, hình thoi, hình thang cân, diện tích các hình, thể tích các hình, đường tròn, mặt cầu,… Chẳng hạn định lý: “Ba đường trung tuyến trong mọi tam giác đồng quy” là một định lý của hình học afin, còn định lý “Ba đường cao trong tam giác đồng quy” không phải định lý của hình học afin vì khái niệm đường cao không phải là một khái niệm afin. Tương đương afin. Hình H gọi là tương đương afin với hình H’ nếu có một phép biến hình afin biến hình H thành hình H’. Khi đó, ta kí hiệu H ~ H’. Từ định nghĩa, ta suy ra các tính chất của quan hệ tương đương afin như sau: 1) Mỗi hình H đều tương đương afin với chính nó: H ~ H.
11 2) Nếu H ~ H’ thì H’ ~ H. Do đó, nếu H' = f(H) thì ta có thể nói hai hình H và H’ tương đương afin với nhau. 3) Nếu H ~ H’ và H’ ~ H” thì H ~ H”. Như vậy, hai tam giác bất kì đều tương đương afin với nhau, hai hình bình hành bất kì đều tương đương afin với nhau, hai elíp bất kì đều tương đương afin, hai hypebôn bất kì đều tương đương afin, hai parabôn bất kì đều tương đương afin. Ta cũng có thể nói rằng, hình vuông tương đương với một hình bình hành nào đó, hình tứ diện đều tương đương afin với một hình tứ diện bất kì, hình lập phương tương đương afin với một hình hộp xiên bất kì,... Trong thực hành giải toán, khi xét trong mặt phẳng Ơclít thì bài toán trên vẫn còn đúng vì mặt phẳng Ơclít cũng là mặt phẳng afin. Do đó, một tam giác đều (hay một tam giác vuông) là tương đương afin với một tam giác thường bất kì nên chúng có các tính chất afin như nhau (còn các tính chất không phải là tính chất afin thì khác nhau). Vì vậy, ta có thể xem xét một bài toán về tam giác đều có các tính chất afin nào đó và suy ra tam giác bất kì cũng có các tính chất afin như thế, điều cần thiết là phải biết rõ đó có đúng là tính chất afin hay không. Tập hợp các bất biến của nhóm afin tạo nên môn hình học afin của không gian afin. Nói cách khác, môn học nghiên cứu các bất biến của nhóm afin được gọi là hình học afin. Từ việc nhận ra các tính chất afin của một hình giúp ta có thể nhận ra bài toán nào là của hình học afin và do đó có thể sử dụng công cụ thích hợp của hình học afin để giải bài toán đó. 1.3. NHÓM XẠ ẢNH 1.3.1. Phép biến hình xạ ảnh Không gian xạ ảnh. Một tập hợp các phần tử nào đó sẽ gọi là một mô hình của một không gian xạ ảnh n chiều trên trường số thực nếu tập hợp đó có các tính chất sau đây: 1) Có một song ánh giữa tập hợp đó và tập hợp tất cả các không gian con một chiều của một không gian véctơ (n + 1) chiều trên trường số thực Vn+1. 2) Trong tập hợp đó có xác định một quan hệ có thể xảy ra giữa ba phần tử gọi là quan hệ “thẳng hàng” sao cho trong song ánh nói trên, ba phần tử “thẳng
12 hàng”, ứng với ba không gian con một chiều phụ thuộc tuyến tính và ngược lại ba không gian con một chiều phụ thuộc tuyến tính thì ứng với ba phần tử “thẳng hàng”. Ánh xạ xạ ảnh. Cho hai không gian xạ ảnh có cùng số chiều P1n và P2n lần lượt liên kết với hai không gian véctơ V1n+1 và V2n+1. Một ánh xạ f: P1n  P2n được gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có một phép đẳng cấu tuyến tính : V1n+1 V2n+1 sao cho nếu 𝑎⃗ là véctơ đại diện của điểm A của P1n thì 𝜑(𝑎⃗) là véctơ đại diện của điểm f(A) thuộc P2n. Phép biến hình xạ ảnh. Một phép đẳng cấu xạ ảnh f: Pn  Pn của không gian xạ ảnh Pn lên chính nó được gọi là phép biến hình xạ ảnh của không gian Pn. Phép chiếu xuyên tâm trong không gian hai chiều, ba chiều là một ví dụ về phép biến hình xạ ảnh. Phép chiếu xuyên tâm là một phép cộng tuyến từ P1n lên P2n. Giả sử C là một phép cộng tuyến trong Pn thì C cũng được phân tích ra thành một số phép chiếu xuyên tâm. Do đó, tính chất nào được bảo toàn qua mọi phép chiếu xuyên tâm thì cũng bảo toàn qua mọi phép cộng tuyến trong Pn. Đó là một tính chất xạ ảnh. Ngược lại, một tính chất xạ ảnh thì được bảo toàn qua mọi phép cộng tuyến trong Pn, tức là qua vô số những tích của các phép chiếu xuyên tâm, nên nó bảo toàn qua mọi phép chiếu xuyên tâm. Vậy các tính chất xạ ảnh là các tính chất không bị mất đi qua mọi phép chiếu xuyên tâm từ P1n (coi như một siêu phẳng của Pn+1) lên một siêu phẳng khác P2n. 1.3.2. Nhóm xạ ảnh Định lý 1.3. Tập hợp các phép biến hình xạ ảnh của không gian xạ ảnh Pn lập thành một nhóm với phép toán lấy tích hai phép biến hình xạ ảnh. Kí hiệu là nhóm các phép biến hình xạ ảnh hay nhóm xạ ảnh Af(Pn). Hình học xạ ảnh là môn hình học nghiên cứu các bất biến của nhóm Af(Pn). Chứng minh. Dễ thấy tích của hai phép biến hình xạ ảnh là một phép biến hình xạ ảnh nên phép toán đóng kín. 1) Tích các phép biến hình xạ ảnh có tính chất kết hợp. 2) Phần tử đơn vị của phép toán tích là phép đồng nhất e.
13 3) Với mỗi phép biến hình xạ ảnh f, tồn tại phép biến hình xạ ảnh đảo ngược f -1 sao cho: ff -1 = f -1f = e. Trong công trình “Về cái gọi là hình học phi Ơclít”, nhà toán học Felix Klein đã thiết lập mối quan hệ hữu cơ giữa hình học Ơclít, hình học Lô-ba-sép-xki và hình học Riman theo nghĩa hẹp. Theo quan điểm nhóm các phép biến hình thì cả ba hình học này đều là hình học của các nhóm con của nhóm xạ ảnh Af(Pn). Nếu H là một hình không rỗng của không gian xạ ảnh Pn thì tập hợp các phép biến đổi xạ ảnh của Pn giữ bất biến (hay bảo toàn) hình H lập thành một nhóm con của nhóm xạ ảnh Af(Pn), kí hiệu là nhóm X(PH). Hình học nghiên cứu các bất biến của nhóm X(PH) được gọi là hình học của nhóm X(PH). Hình H dùng để xây dựng các hình học khác từ hình học xạ ảnh được gọi là hình học tuyệt đối. Tùy theo hình học tuyệt đối H là một đường thẳng, một cặp điểm thực phân biệt {U, V}, một cặp điểm ảo liên hợp {I, J}, một đường trái xoan (một đường côníc không suy biến), một đường cong không (đường bậc hai thực, không suy biến nhưng không chứa một điểm thực nào),… hình học của nhóm X(PH) tương ứng sẽ là hình học afin, hình học Ơclít, hình học giả Ơclít, hình học Lô-ba-sép-xki, hình học Riman theo nghĩa hẹp được xây dựng trên Pn/(H). Ngoài các hình học này, người ta cũng đã xây dựng được cả các hình học khác nữa theo cách này, gọi là hình học nửa Ơclít, hình học nửa phi Ơclít,… Và thế là nhiều hình học khác nhau có các tên gọi hình học Ơclít (giả, nửa Ơclít) còn gọi là hình học parabôlíc, hình học phi Ơclít (giả, nửa) hypebôlíc và hình học phi Ơclít elíptíc đã được xây dựng vào trong cùng một hệ thống lý thuyết, đó là lược đồ xạ ảnh Cayley Klein (vì các hình học này đều được xây dựng và nghiên cứu thông qua mô hình xạ ảnh). Rõ ràng là theo cách xây dựng này, ta thấy hình học của nhóm X(PH) phong phú hơn hình học xạ ảnh (là hình học của nhóm Af(Pn)), bao gồm hình học xạ ảnh và còn có thêm các bất biến riêng là các bất biến liên quan đến hình tuyệt đối H. Đó là mối quan hệ giữa nội hàm và ngoại diên. Hình học của nhóm càng hẹp thì nội dung càng phong phú, hình học của nhóm càng rộng thì nội dung càng nghèo nàn, tuy nhiên phạm vi ứng dụng càng rộng rãi. Vì vậy, tuy hình học xạ ảnh nghèo hơn hình học afin, hình học afin nghèo hơn hình học Ơclít nhưng phạm vi ứng dụng của
14 hình học xạ ảnh vào hai hình học afin và hình học Ơclít lại càng lớn hơn. Cụ thể, một định lý của hình học xạ ảnh khi thể hiện vào mô hình xạ ảnh của hình học afin và hình học Ơclít hoặc vào mô hình afin hay mô hình Ơclít có bổ sung các phần tử xa vô tận của hình học xạ ảnh sẽ cho ta những định lý mang nội dung khác nhau của hai hình học này. Bởi vậy, ta cần khai thác những mô hình nào của hình học Ơclít, những mô hình nào của hình học xạ ảnh có lợi thế cho việc ứng dụng của hình học xạ ảnh vào hình học Ơclít, đặc biệt vào hình học sơ cấp được giảng dạy ở trường phổ thông. 1.3.3. Bất biến xạ ảnh Bất biến xạ ảnh. Những tính chất được nghiên cứu trong hình học xạ ảnh gọi là những tính chất xạ ảnh hay bất biến xạ ảnh như: tính chất thẳng hàng (hoặc không thẳng hàng) của ba điểm, tính chất đồng quy (hoặc không đồng quy) của ba đường thẳng, tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng, tỉ số kép của chùm đường thẳng, tính chất “là một hàng điểm điều hoà”, tính chất “là một chùm siêu phẳng điều hoà”. Ngoài ra, tính chất song song của hai đường thẳng (hoặc mặt phẳng), tỉ số đơn, tính chất vuông góc của hai đường thẳng, tính chất vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng, tính đồng dạng của hai tam giác (hoặc hai tứ diện),... không phải là các tính chất xạ ảnh. Muốn phân biệt các tính chất xạ ảnh với các tính chất khác ta cần hình dung mặt phẳng chứa các hình như nằm trong không gian và chiếu hình đó xuống một mặt phẳng khác chọn tùy ý với một tâm chiếu cũng chọn tùy ý. Khái niệm xạ ảnh. Những khái niệm xạ ảnh như: m - phẳng, hình tam giác, hình bốn cạnh toàn phần (tứ giác toàn phần), hình bốn đỉnh toàn phần. Các khái niệm như hình bình hành, hình vuông, hình tròn, hình elíp, độ dài của một đoạn thẳng... không phải là các khái niệm xạ ảnh. Việc nghiên cứu hình học xạ ảnh bằng phương pháp nhóm giúp ta phân biệt được các khái niệm afin, khái niệm Ơclít và khái niệm xạ ảnh trong hình học, đồng thời cũng giúp chúng ta tìm ra mối quan hệ mật thiết giữa ba thứ hình học đó.
15 1.4. NHÓM DỜI HÌNH 1.4.1. Phép dời hình Trong mặt phẳng hoặc không gian, phép biến hình 1-1 biến mặt phẳng hoặc không gian thành chính nó, biến hai điểm A, B bất kì thành hai điểm tương ứng A’, B’ thoả mãn A’B’ = AB gọi là phép dời hình. Nói cách khác, phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Do đó, phép dời hình là phép biến hình đẳng cự hay gọi tắt là phép đẳng cự. Phép đồng nhất, phép tịnh tiến, phép đối xứng tâm của không gian Ơclít hai chiều (hoặc ba chiều) là các phép đẳng cự. Trong mặt phẳng và không gian có một số phép dời hình cơ bản như: phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép tịnh tiến, phép quay, phép đối xứng trượt, phép quay quanh trục, phép đối xứng qua mặt phẳng. Đặc biệt, phép đối xứng qua đường thẳng và phép đối xứng qua mặt phẳng là các phép đối xứng qua siêu phẳng tương ứng trong không gian hai chiều và không gian ba chiều. Trong mặt phẳng, cho hai bộ ba điểm (A, B, C) và (A’, B’, C’) không thẳng hàng sao cho AB = A’B’, BC = B’C’, CA = C’A’ thì tồn tại duy nhất một phép dời hình biến A thành A’, B thành B’ và C thành C’. Như vậy, cho hai tam giác bằng nhau ABC và A’B’C’ trong mặt phẳng, bao giờ ta cũng có một và chỉ một phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia. Tương tự, trong không gian, cho hai bộ bốn điểm (A, B, C, D) và (A’, B’, C’, D’) không đồng phẳng sao cho AB = A’B’, AC = A’C’, AD = A’D’, BC = B’C’, BD = B’D’, CD = C’D’ thì tồn tại duy nhất một phép dời hình biến A thành A’, B thành B’, C thành C’ và D thành D’. Trong tác phẩm “Cơ bản” của mình, Ơclít đã định nghĩa “hai hình bằng nhau là hai hình chồng khít lên nhau”. Như vậy, Ơclít cũng đã dựa trên một khái niệm của sự dời hình để định nghĩa sự bằng nhau của hai hình. Trong một số sách giáo khoa hình học, chúng ta biết định nghĩa của hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng bằng nhau. Sau khi nghiên cứu về phép dời hình, ta có thể đưa ra định nghĩa khác: “Hai tam giác gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến tam giác này thành tam giác kia”. Một cách tổng quát,
16 hình H được gọi là bằng hình H’ nếu có phép dời hình biến H thành H’. Ta sử dụng kí hiệu H = H’. Vì “=” là quan hệ tương đương nên ta có: 1) Tính chất phản xạ: Mọi hình H đều bằng chính nó: H = H. 2) Tính chất đối xứng: Nếu H = H’ thì H’ = H. Bởi vậy, ta có thể nói hai hình H và H’ bằng nhau. 3) Tính chất bắc cầu: Nếu H = H’ và H’ = H” thì H = H”. Hai định nghĩa về hai tam giác bằng nhau trong sách giáo khoa ở bậc THCS và THPT là tương đương nhau. Ta có thể chứng minh điều này dựa trên sự xác định của phép dời hình. Tuy nhiên, định nghĩa sự bằng nhau của hai tam giác dựa vào phép dời hình có thể dễ dàng mở rộng cho một hình bất kì và như vậy nó có tính chất tổng quát hơn như sau: “Hai hình gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia’’. Khái niệm bằng nhau của hai tam giác có thể được định nghĩa dựa vào khái niệm bằng nhau của các cạnh và góc tương ứng của chúng. Từ sự bằng nhau của hai tam giác, ta có thể xây dựng định nghĩa về sự bằng nhau của hai đa giác. Từ sự bằng nhau của hai đa giác có số cạnh bằng nhau, muốn xây dựng được khái niệm bằng nhau của hai hình tuỳ ý là một việc làm không đơn giản. Vì vậy, ngày nay trong các sách giáo khoa phổ thông người ta thường xây dựng khái niệm bằng nhau của hai hình bằng cách dựa vào khái niệm dời hình là một việc làm dễ thực hiện và mặt khác nó cũng phù hợp với việc dùng công cụ biến hình là một công cụ của toán học hiện đại để xây dựng các khái niệm hình học. 1.4.2. Nhóm dời hình Định lý 1.4. Tập hợp các phép dời hình trong mặt phẳng hoặc không gian với phép toán tích hai phép dời hình lập thành một nhóm, gọi là nhóm dời hình. Nhóm này là nhóm con của nhóm các phép afin trong mặt phẳng hoặc không gian. A A1 A A' Chứng minh. Cho hai phép dời hình f   và   1 . B B1  B1 B' Ta có g[f(AB)] = A'B'. Vì f và g là các phép dời hình nên ta có AB = A1B1 và A1B1 = A'B' hay AB = A'B'. Suy ra gf là phép dời hình. Vậy phép toán tích hai phép dời hình đóng kín hay tích của n phép dời hình là một phép dời hình.
17 1) Phép toán tích hai phép dời hình có tính chất kết hợp (do tính chất kết hợp của tích hai phép biến hình 1-1). 2) Phần tử đơn vị của phép toán tích là phép đồng nhất e. Phép đồng nhất e cũng là một phép dời hình. Thật vậy, với hai điểm M, N bất kì, ta có e(M) = M và e(N) = N. Dễ thấy MN = MN (do quan hệ bằng nhau của hai đoạn thẳng có tính chất phản xạ) nên ta có e là một phép dời hình. 3) Vì phép dời hình f là một song ánh nên luôn tồn tại ánh xạ f -1 thỏa mãn đẳng thức: ff -1 = f -1f = e (phép đồng nhất). Hơn nữa, f -1 cũng là một phép dời hình. Thật vậy, lấy hai điểm M', N' bất kì và f -1: M ' M và N ' N . Từ đó suy ra f: M ' M và N ' N  MN = M'N' hay f -1 là phép dời hình. Dễ thấy fg  gf nên nhóm dời hình không phải là nhóm giao hoán. Do đó, khi thực hiện phép toán tích các phép dời hình, cần chú ý đến thứ tự thực hiện phép toán. Hình học nghiên cứu các bất biến của nhóm dời hình được gọi là hình học Ơclít. Vì nhóm dời hình là nhóm con của nhóm afin nên hình học Ơclít nói chung phong phú hơn hình học afin. Hơn nữa, chính khái niệm “tích vô hướng” trong không gian Ơclít giúp hình học Ơclít có thêm các khái niệm mới mà hình học afin không có như khái niệm độ dài đoạn thẳng, số đo góc,… 1.4.3. Bất biến của nhóm dời hình Trước hết ta thấy, phép dời hình là phép biến hình afin. Thật vậy, giả sử f là phép dời hình. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng với điểm B nằm giữa hai điểm A và C. Đặt A’ = f(A), B’ = f(B), C’ = f(C). Do f bảo toàn khoảng cách của hai điểm bất kì nên ta có các đẳng thức: A’C’ = AC, A’B’ = AB, B’C’ = BC. Từ giả thiết ta có: AC = AB + BC. Do đó ta suy ra A’C’ = A’B’ + B’C’. Điều này chứng tỏ A’, B’, C’ thẳng hàng và B’ ở giữa A’ và C’. Vậy f biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng hay f là phép biến hình afin. Do đó, phép dời hình có đầy đủ các bất biến của phép biến hình afin. Các khái niệm và tính chất của không gian Ơclít gọi là bất biến của nhóm dời hình nếu chúng không thay đổi qua bất kì một phép dời hình nào, chẳng hạn: - Bảo toàn tính thẳng hàng hay không thẳng hàng của các điểm trong mặt phẳng, bảo toàn tính chất đồng phẳng hay không đồng phẳng của các điểm trong
18 không gian. Do đó, phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, biến mặt phẳng thành mặt phẳng, biến tia thành tia. - Bảo toàn tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng. - Bảo toàn tính song song, đồng quy, chéo nhau của các đường thẳng, mặt phẳng. - Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong mặt phẳng hoặc không gian. Do đó, phép dời hình biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến tứ diện thành tứ diện bằng nó, biến đường tròn (hoặc mặt cầu) thành đường tròn (hoặc mặt cầu) có cùng bán kính. - Bảo toàn độ lớn của góc. Do đó, phép dời hình biến góc thành góc bằng nó. Thật vậy, giả sử phép dời hình f biến xOy thành x’O’y’. Trên hai tia Ox và Oy lần lượt lấy hai điểm A và B khác với O. Gọi A’ = f(A), B’ = f(B) thì A’, B’ lần lượt nằm trên O’x’ và O’y’. Vì O’ = f(O) nên hai tam giác AOB và A’O’B’ bằng nhau, do đó xOy = x’O’y’. Để vận dụng bất biến của nhóm dời hình trong giải toán, ta cần nắm được các bất biến của nhóm và sự xác định từng phép dời hình cơ bản, có nghĩa là cần nhận ra bất biến của từng phép dời hình. Phép biến hình f nào đó thường được xác định dựa trên những nhận xét như sau: - Nếu các đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định thì phép biến hình f có điểm bất động, khi đó f không thể là tịnh tiến hay đối xứng trượt. - Nếu M và N là hai điểm đối xứng nhau qua điểm cố định hay đường thẳng cố định thì phép biến hình f cần tìm là một phép đối xứng tâm hoặc một phép đối xứng trục. - Nếu hai điểm M, N cách đều điểm O cố định và NOM không đổi, hoặc bài toán xuất hiện các đa giác đều thì ta nghĩ đến phép quay liên hệ M với N. - Nếu véctơ MN không đổi ta nghĩ đến phép tịnh tiến. Còn nếu véctơ MN có phương không đổi, thì ta có thể là phép đối xứng trục hay phép đối xứng trượt. - Nếu đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định O, ta hãy xét độ dài của đoạn thẳng MN, trong đó: