Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge Ampère phức trong các lớp Cegrell

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn "Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge Ampère phức trong các lớp Cegrell" là nghiên cứu và trình bày lại các kết quả của N.V. Khue và P.H. Hiep về Nguyên lý so sánh đối với toán tử MongeAmpère phức trong các lớp Cegrell.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge Ampère phức trong các lớp Cegrell

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------------------------------- ĐẶNG VĂN THẮNG NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP CEGRELL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------------------------------- ĐẶNG VĂN THẮNG NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC TRONG CÁC LỚP CEGRELL Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN - 2017
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ công trình nào. Tác giả Đặng văn Thắng i
LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Lương Tài 2 – Bắc Ninh cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tháng 04 năm 2017 Tác giả Đặng Văn Thắng ii
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1 3. Phương pháp nghiên cứu 2 4. Bố cục luận văn 2 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.1. Hàm đa điều hòa dưới 3 1.2. Hàm cực trị tương đối 6 1.3. Toán tử Monge-Ampère phức 9 1.4. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor 12 Chương 2. NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE- 17 AMPÈRE TRONG CÁC LỚP CEGRELL 2.1. Các lớp Cegrell 17 2.2. Sự hội tụ theo dung lượng 18 2.3. Một vài định lý hội tụ 20 2.4. Một vài tính chất của các lớp Cegrell và ứng dụng 28 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 iii
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán tử Monge-Ampère phức (dd c .)n đối với lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương, một khái niệm đóng vai trò quan trọng trung tâm trong lý thuyết đa thế vị được E. Bedford và B.A. Taylor [2] xây dựng từ năm 1982. Đồng thời các tác giả đã thiết lập và sử dụng nguyên lý so sánh để nghiên cứu các bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trong PSH Ç L¥ loc (W) . Bài toán mở rộng miền xác định của toán tử Monge-Ampère đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả. Năm 1998, Cegrell [3] định nghĩa các lớp năng lượng E0, F p , Ep trên đó toán tử Monge-Ampère phức hoàn toàn xác định. Năm 2004, Cegrell [4] định nghĩa các lớp E, F và chỉ ra rằng lớp E là lớp hàm định nghĩa tự nhiên của toán tử Monge-Ampère phức (dd c .)n . Đó là lớp hàm lớn nhất trên đó toán tử Monge – Ampère xác định, liên tục dưới dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới. Các lớp này còn được gọi là các lớp Cegrell. Nghiên cứu các lớp này dẫn đến nhiều kết quả như nguyên lý so sánh, giải bài toán Dirichlet [5]. Nguyên lí so sánh cổ điển của Bedford và Taylor có ứng dụng trong việc giải bài toán Dirichlet trong trường hợp n . Gần đây, nhiều tác giả đã quan tâm nghiên cứu nguyên lý so sánh trong trong một số lớp tổng quát hơn từ đó áp dụng việc giải bài toán Dirichlet trong các lớp tổng quát đó. Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài: “Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge-Ampère phức trong các lớp Cegrell ”. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2.1. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại các kết quả của N.V. Khue và P.H. Hiep ([8]) về Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge- Ampère phức trong các lớp Cegrell. 1
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một số kiến thức cơ sở trong lý thuyết đa thế vị, nguyên lí so sánh trong các lớp Cegrell và một vài áp dụng. 3. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức. 4. Bố cục của luận văn Nội dung luận văn gồm 42 trang, trong đó có phần Mở đầu, hai chương nội dung, phần Kết luận và danh mục Tài liệu tham khảo, được viết dựa trên các tài liệu [1] và [8]. Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về một số tính chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so sánh Bedford-Taylor. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Kết quả chính của chương là Định lý 2.4.2 và một vài nguyên lý so sánh kiểu Xing. Trong Mục 2.1, chúng tôi nhắc lại một số lớp Cegrell. Trong Mục 2.2, nhắc lại khái niệm dung lương và sự hội tụ theo dung lượng. Mục 2.3, trình bày các nghiên cứu về sự hội tụ của dãy các hàm đa điều hòa dưới theo C n - dung lượng. Mục 2.4 tập trung vào các Định lý 2.4.2 và 2.4.9. Áp dụng Định lý 2.4.2, ta có một vài kết quả về các lớp Cegrell. Trong Định lý 2.4.4, trình bày ước lượng địa phương đối với độ đo Monge – Ampère theo nghĩa dung lượng tương đối Bedford-Taylor. Trong phần áp dụng, trong Định lý 2.4.5 đã chỉ ra kết quả phân rã các độ đo Monge – Ampère, tương tự Định lý 6.1 ([3]). Cuối cùng từ Mệnh đề 2.3.3 và Định lý 2.4.2, ta có nguyên lý so sánh kiểu Xing đối với lớp F và E . Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. 2
Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Hàm đa điều hoà dưới Định nghĩa 1.1.1. Cho W là một tập con mở của £ n và u : W® é- ¥ , ¥ ) là êë một hàm nửa liên tục trên và không trùng với - ¥ trên bất kỳ thành phần liên thông nào của W. Hàm u được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi a Î W và b Î £ n , hàm l a u (a + l b) là điều hoà dưới hoặc trùng - ¥ trên mỗi thành phần của tập hợp {l Î £ : a + l b Î W}. Kí hiệu PSH (W) là lớp tất cả các hàm đa điều hoà dưới trong W. Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dưới: Mệnh đề 1.1.2. Nếu u, v Î PSH (W) và u = v hầu khắp nơi trong W thì u º v. Mệnh đề 1.1.3. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền bị chặn, tức là nếu W là một tập con mở liên thông bị chặn của £ n và u Î PSH (W) thì hoặc u là hằng hoặc với mỗi z Î W, u (z ) < sup lim sup u (y ) . wÎ ¶ W y ® w yÎ W Định lý 1.1.4. Cho W là một tập con mở trong £ n . Khi đó i ) Họ PSH (W) là nón lồi, tức là nếu a , b là các số không âm và u, v Î PSH (W) thì a u + b v Î PSH (W) . 3
ii ) Nếu W là liên thông và {u } j jÎ ¥ Ì PSH (W) là dãy giảm thì u = lim u j Î PSH (W) hoặc u º - ¥ . j® ¥ iii ) Nếu u : W® ¡ , và nếu {u j } Ì PSH (W) hội tụ đều tới u trên các tập jÎ ¥ con compact của W thì u Î PSH (W) . iv ) Giả sử {u a } Ì PSH (W) sao cho bao trên của nó u = sup u a là bị aÎ A aÎ A * chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên u là đa điều hoà dưới trong W. Mệnh đề 1.1.5. Giả sử WÌ £ n là tập mở, w Ì W là tập con mở thực sự, khác rỗng của W. Giả sử u Î PSH (W), v Î PSH ( w) và lim supx ® y v(x ) £ v(y ) với mọi y Î ¶ w Ç W. Khi đó ìï m ax{u, v } t rong w w = ïí ïï u trong W\ w î là hàm đa điều hoà dưới trên W. Chứng minh. Rõ ràng w là nửa liên tục trên trên W. Chỉ cần chứng tỏ nếu a Î W, b Î £ n sao cho {a+ l b, l £ r } Ì W thì 2p 1 w(a ) £ ò w(a + re iq b)d q 2p 0 Với a Î W, b Î £ n , chọn r > 0 đủ bé để {a+ l b, l £ r } Ì w 4
Khi đó 1 2p 1 2p u (a ) £ ò u (a + re i qb)d q £ w(a ) £ ò w(a + re i qb)d q 2p 0 2p 0 2p 2p 1 1 v(a ) £ ò v(a + re i qb)d q £ w(a ) £ ò w(a + re i qb)d q 2p 0 2p 0 2p 1 Từ đó w(a ) £ ò w(a + re iq b)d q . 2p 0 Chứng minh tương tự cho trường hợp a Î W\ wW, ở đó WwW là bao đóng của w lấy trong W. Chỉ cần xét trường hợp a Î wW Ç W. Khi đó w(a ) = u (a ) . Vậy 2p 2p 1 1 w(a ) = u (a ) £ ò u(a + re b)d q £ w(a ) £ 2p iq ò w(a + re iq b)d q 2p 0 0 và mệnh đề được chứng minh. W Định lý 1.1.6. Cho W là một tập con mở của £ n . i ) Cho u, v là các hàm đa điều hoà trong W và v > 0 . Nếu f : ¡ ® ¡ là lồi, thì vf (u / v ) là đa điều hoà dưới trong W. ii ) Cho u Î PSH (W) , v Î PSH (W) , và v > 0 trong W. Nếu f : ¡ ® ¡ là lồi và tăng dần thì vf (u / v ) là đa điều hoà dưới trong W. iii ) Cho u, - v Î PSH (W) , u ³ 0 trong W, và v > 0 trong W. Nếu f : éêë0, ¥ )® é0, ¥ ëê ) là lồi và f (0) = 0 thì vf (u / v ) Î PSH (W) . Định lý 1.1.7. Cho W là một tập con mở của £n và F = {z Î W: v(z ) = - ¥ } là một tập con đóng của W ở đây v Î PSH (W) . Nếu u Î PSH (W\ F ) là bị chặn trên thì hàm u xác định bởi 5
ìï u (z ) (z Î W\ F ) ïï u (z ) = í lim sup u (y ) (z Î F ) ïï y ® z ïî y Ï F là đa điều hoà dưới trong W. 1.2. Hàm cực trị tương đối Định nghĩa 1.2.1. Giả sử W là một tập con mở của £ n và E là tập con của W. Hàm cực trị tương đối đối với E trong W được định nghĩa là: { u E ,W(z ) = sup v(z ) : v Î PSH (W), v E £ - 1, v £ 0} (z Î W). Hàm (u E ,W)* là đa điều hoà dưới trong W. Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối. Mệnh đề 1.2.2. Nếu E 1 Ì E 2 Ì W1 Ì W2 thì uE ,W ³ uE ,W ³ u E ,W . 1 1 2 1 2 2 Định nghĩa 1.2.3. Miền bị chặn WÌ £ n gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại một hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục r : W® (- ¥ , 0) sao cho với " c > 0 {z Î } W: r (z ) < - c Ð W. Mệnh đề 1.2.4. Nếu W là miền siêu lồi và E là một tập con compact tương đối của W thì tại điểm w Î ¶ W bất kỳ ta có lim u E ,W(z ) = 0 . z® w Chứng minh. Nếu r < 0 là một hàm vét cạn đối với W thì với số M > 0 nào đó, M r < - 1 trên E . Như vậy M r £ uE ,W trong W. Rõ ràng, lim r (z ) = 0 z® w và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm. Mệnh đề 1.2.5. Nếu WÌ £ n là miền siêu lồi và K Ì W là một tập compact 6
sao cho u K* ,W = - 1 thì u K ,W là hàm liên tục. K Chứng minh. Lấy u = u E ,W và ký hiệu F Ì PSH (W) là họ các hàm u . Giả sử r là hàm xác định của W sao cho r < - 1 trên K. Khi đó r £ u trong W. Chỉ cần chứng minh rằng với mỗi e Î (0,1) tồn tại v Î C (W) Ç F . Sao cho u - e £ v £ u trong W. Thật vậy, lấy e Î (0,1) Þ tồn tại h > 0 sao cho u - e < r trong W\ Wh và K Ì Wh , trong đó Wh = {z Î W: dist (z, ¶ W) > h}. Theo Định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dưới và Định lý Dini có thể tìm được s > 0 sao cho u * c d - e < r trên ¶W và u * c d - e < - 1 trên K . Đặt ìï r trong W\ Wh v e = ïí ïï max {u * c d - e, r } trong Wh . î Khi đó ve  C( W) ∩ F và như vậy u - e £ max {u - e, r }£ ve £ u tại mỗi điểm trong W. Mệnh đề 1.2.6. Cho WÌ £ n là tập mở liên thông và E Ì W. Khi đó các điều kiện sau tương đương : (i ) u E* ,W º 0 ; (ii ) Tồn tại hàm v Î PSH (W) âm sao cho E Ì {z Î W: v(z ) = - ¥ } 7
Chứng minh. (ii ) Þ (i ) là hiển nhiên. Thật vậy, nếu v như ở trên (ii ) thì ev £ uE ,W với mọi e > 0 , từ đó u E ,W = 0 hầu khắp nơi trong W. Như vậy u E* ,W º 0 . Bây giờ giả sử u E* ,W º 0 . Khi đó tồn tại a Î W sao cho u E ,W(a ) = 0 . Bởi vậy, với mỗi j Î ¥ , có thể chọn một v j Î PSH (W) sao cho v j < 0, v j < - 1 và v j (a ) > - 2- j . E Đặt ¥ v(z ) = å j=1 v j (z ), z Î W. Chú ý rằng v(a ) > - 1 , v âm trong W, và v = - ¥ . E Đồng thời v là giới hạn của dãy giảm của các tổng riêng của các hàm đa điều hoà dưới. Vì v ¹ - ¥ nên ta kết luận v Î PSH (W) . W Mệnh đề 1.2.7. Cho W là tập con mở liên thông của £ n . Giả sử E = UEj j , trong đó E j Ì W với j = 1,2,... . Nếu u E* ,W º 0 với mỗi j thì u E* ,W º 0 . j Chứng minh. Chọn v j Î PSH (W) sao cho v j < 0 và v j = - ¥ . Lấy điểm Ej a Î W\( Uv j - 1 j ) ({-¥ }) . Bằng cách mở rộng mỗi hàm v j bởi một hằng số dương thích hợp, ta có thể giả thiết v j (a ) > - 2- j . Khi đó v= å j v j Î PSH (W) , v < 0 và v E = - ¥ . Suy ra u E* ,W º 0 . Mệnh đề 1.2.8. Cho W là tập con siêu lồi của £ n và K là một tập con compact của W. Giả thiết rằng {Wj } là một dãy tăng những tập con mở của W 8
¥ sao cho W= UW và Kj Ì W1 . Khi đó lim u K ,W (z ) = u K ,W(z ), z Î W. j® ¥ j j=1 Chứng minh. Lấy điểm z 0 Î W. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng K È {z 0 } Ì W1 . Giả sử r < 0 là một hàm vét cạn đối với W sao cho r < - 1 trên K . Lấy e Î (0,1) sao cho r (z 0 ) < - e . Khi đó tồn tại j 0 Î ¥ sao cho tập mở w = r - 1((- ¥ , - e)) là tập compact tương đối trong Wj . Lấy 0 u Î PSH (Wj ) sao cho u £ 0 trên Wj và u £ - 1 trên K . Khi đó 0 0 ìï max {u (z ) - e, r (z )}, zÎ w v(z ) = ïí ïï r (z ), z Î W\ w î xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa v £ - 1 và v £ 0 . Như vậy K v(z 0 ) £ u K ,W(z 0 ) . Vì u là một phần tử tuỳ ý của họ u K ,W , nên ta có j0 u K ,W (z 0 ) - e £ u K ,W(z 0 ) j0 Do đó ta có u K ,W (z 0 ) - e £ u K ,W(z 0 ) £ u K ,W (z 0 ) với mọi j ³ j 0 và e j j nhỏ tuỳ ý, suy ra điều phải chứng minh. 1.3. Toán tử Monge-Ampère phức Giả sử WÌ £ n và u Î PSH (W) . Nếu u Î C 2 (W) thì toán tử: é ¶ 2u ù (dd u ) := (14444444 c n dd u ) Ù42 Ù (dd u43) = 4 n !det êê c ...4444444 c n ú ú dV , ¶ z ¶ êë j k úz n û1£ j ,k £ n với dV là yếu tố thể tích trong C n gọi là toán tử Monge-Ampère. Toán tử này 9
có thể xem như độ đo Radon trên W, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian các hàm liên tục với giá compact C 0 (W) trên W ò j (dd u ) c n C 0 (W) ' j a . W Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu u là đa điều hoà dưới bị chặn địa phương trên W thì tồn tại dãy {um }m > 1 Ì PSH (W) Ç C ¥ sao cho um ] u và {( dd cum )n } hội tụ yếu tới độ đo Radon m trên W tức là: lim ò j (dd cu m )n = ò j d m, " j Î C 0(W) . m W W Hơn nữa m không phụ thuộc vào việc chọn dãy {u m } như trên, ta ký hiệu: (dd cu )n = m và gọi là toán tử Monge-Ampère của u . Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampère. Mệnh đề 1.3.1. Giả sử y Î C (¥p, p ) là ( p, p) - dạng lớp C ¥ trên tập mở WÌ £ n và T là (q, q) - dòng với p + q = n - 1 . Khi đó y Ù (dd cT )n - dd c y ÙT = d ( y Ù d cT - d c y ÙT ) . Mệnh đề 1.3.2. Giả sử {mj } là dãy các độ đo Radon trên tập mở WÌ ¡ n hội tụ yếu tới độ đo Radon m. Khi đó a ) Nếu G Ì W là tập mở thì m(G ) £ lim inf mj (G ) . j® ¥ b) Nếu K Ì W là tập compact thì m(K ) ³ lim sup mj (K ) . j® ¥ c ) Nếu E compact tương đối trong W sao cho m(¶ E ) = 0 thì 10
m(E ) = lim mj (E ) . j® ¥ Chứng minh. a ) Ta có m(G ) = sup {m(K ) : K Ð G }. Giả sử K Ð G là tập compact. Lấy j Î C 0 (G ) , 0 £ j £ 1 và j = 1 trên K . Khi đó m(K ) £ m(j ) = lim mj (j ) £ lim inf mj (G ) . j® ¥ j® ¥ Từ đó m(G ) £ lim inf mj (G ) . j® ¥ b) Ta có m(K ) = inf {m(V ) : V É K ,V Ì W ,V = V 0 }. Giả sử V là một lân ( ) cận mở của K và j Î C 0 V , 0 £ j £ 1 và j = 1 trên K . Khi đó m(V ) ³ m(j ) = lim mj (j ) ³ lim sup mj (K ) . j® ¥ j® ¥ Từ đó m(K ) ³ lim sup mj (K ) . j® ¥ c ) Viết E = IntE È ¶ E . Khi đó m(E ) = m(int E ) £ lim inf mj (int E ) £ lim inf mj (E ) . j® ¥ j® ¥ Mặt khác m(E ) ³ lim sup mj (E ) ³ lim sup mj (E ) . j® ¥ j® ¥ Từ đó m(E ) ³ lim sup mj (E ) Þ m(E ) = lim mj (E ) . W j® ¥ j® ¥ 11
Mệnh đề 1.3.3. Giả sử WÌ £ n là miền bị chặn và u, v Î PSH (W) Ç L¥loc (W) sao cho u, v £ 0 trên W và lim u(z ) = 0 . Giả sử T là (n - 1, n - 1) - dòng z® ¶W dương, đóng trên W. Khi đó ò vdd u ÙT £ ò udd v ÙT c c . W W Đặc biệt, nếu lim v(z ) = 0 thì ò vdd u ÙT = ò udd v ÙT . c c z® ¶W W W 1.4. Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor Định lý 1.4.1. Giả sử WÌ £ n là miền bị chặn và u , v Î PSH (W) Ç L¥ (W) sao cho lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 . Khi đó z® ¶W ò ( dd cv )n £ ò ( dd cu )n . (1.1) {u < v } {u < v } Chứng minh. Theo giả thiết ta có lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 , nghĩa là với mọi z® ¶W e > 0 tồn tại K Ð W sao cho " z Î W\ K thì u (z ) - v(z ) ³ - e . Hơn nữa khi thay u bởi u + d, d> 0 thì {u + d < v} Z {u < v} khi d ] 0 . Nếu bất đẳng thức (1.1) đúng trên {u + d < v } thì cho d ] 0 suy ra (1.1) đúng trên {u < v} . Vì vậy có thể giả sử lim inf(u(z ) - v(z )) ³ d > 0 . Vậy z® ¶W {u < v} Ð W. a ) Giả sử u, v là các hàm liên tục. Khi đó W¢= {u < v } là tập mở, u, v liên tục trên W¢ và u = v trên ¶ W¢. Với e > 0 , đặt u e = max{u + e, v } . Từ giả thiết lim inf(u(z ) - v(z )) ³ d suy ra u (z ) - v(z ) > d - e hay z® ¶W 12
u(z ) + e ³ v(z ) + d > v(z ) với z gần biên ¶W. Vậy u e = u (z ) + e gần biên ¶W và u e ] v trên W¢. Theo công thức Stokes ta có ò (dd u ) ò (dd u ) c n c n e = , hay W¢ W¢ ò (dd cu e )n = ò (dd cu )n . {u < v } {u < v } Vì u e ] v nên (dd cu e )n ® (dd cv)n . Vậy ta có ò (dd cv )n £ lim inf e® 0 ò (dd cu e )n = ò (dd cu )n . {u < v } {u < v } {u < v } b) Giả sử u, v tùy ý và w là miền sao cho {u £ v + d / 2}Ð w Ð W. Tồn tại hai dãy u j và v k các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của w giảm tới u và v sao cho u j ³ vk trên ¶ w với mọi i, k . Có thể coi - 1 £ u j , vk £ 0 . Lấy e > 0 và giả sử G Ì W là tập mở sao cho C n (G , W) < e , u, v là các hàm liên tục trên W\ G . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm j liên tục trên W sao cho v = j trên F = W\ G . Ta có ò (dd cv )n = lim j® ¥ ò (dd cv )n . {u < v } {u j < v} Nhưng {u j < v} Ì {u j < j } È G và vì {u j < j } là tập mở nên ò (dd cv )n £ ò (dd cv )n + ò (dd v) £ lim ò (dd cvk )n + e , c n k® ¥ {u j < v} {u j < j } G {u j < v } vì C n (G , W) < e và (dd c vk )n hội tụ yếu tới (dd cv )n . 13
Từ {u j < j } Ì {u j < v} È G và {u j < v} Ì {u j < vk } suy ra ò (dd cvk )n £ ò (dd cvk )n + ò (dd v ) £ ò (dd cvk )n + e . c n k {u j < j } {u j < v } G {u j < vk } Áp dụng a ) vào các hàm liên tục u j và v k ta thu được ò (dd cvk )n = ò (dd cu j )n . {u j < vk } {u j < vk } Do đó ò (dd cv )n £ lim inf lim inf j® ¥ k® ¥ ò (dd cu j )n + 2e {u < v } {u j < v j } £ lim sup j® ¥ ò (dd cu j )n + 2e . {u j £ v} Hơn nữa ò (dd cu j )n £ ò (dd cu j )n + e {u j £ v} {u j £ v }ÇF và do {u £ v} Ç F là tập compact và {u j £ v} Ì {u £ v} nên ta có lim sup j® ¥ ò (dd cu j )n £ ò (dd cu )n £ ò (dd cu )n . {u j £ v}ÇF {u £ v }ÇF {u £ v } Do e > 0 tùy ý nên ta được ò ( dd cv )n £ ò ( dd cu )n . {u < v } {u £ v } Từ đó với mọi h > 0 ta có 14
ò ( dd cv )n £ ò ( dd c (u + h))n = ò (dd cu )n . {u + h< v } {u + h£ v } {u + h£ v } Nhưng {u + h < v } Z {u < v } và {u + h £ v } Z {u < v } khi h ] 0 . Do đó ò ( dd cv )n £ ò ( dd cu )n . W {u < v } {u < v } Hệ quả 1.4.2. (Nguyên lý so sánh). Giả sử W là miền bị chặn trong £ n và u , v Î PSH (W) Ç L¥ (W) sao cho lim inf(u(z ) - v(z )) ³ 0 , (dd cu )n £ (dd cv)n z® ¶W trên W. Khi đó u ³ v trên W. 2 Chứng minh. Đặt y (z ) = z - M , với M được chọn đủ lớn sao cho y < 0 trên W. Giả sử {u < v } ¹ Æ. Khi đó có e > 0 sao cho u < v + ey { }¹ Æ và do đó nó có độ đo Lebesgue dương. Theo Định lí 1.4.1 ta có ò (dd cu )n ³ ò (dd c (v + ey ))n {u < v + ey } {u < v + ey } ³ ò (dd cv )n + en ò (dd c y )n {u < v + ey } {u < v + ey } ³ ò (dd cv )n + en 4n n !l n {u < v + ey }( ) {u < v + ey } > ò (dd cv )n ³ ò (dd cu )n {u < v + ey } {u < v + ey } và ta gặp phải mâu thuẫn. Vậy u £ v trên W. W 15