Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhập môn không gian phân thớ và phân thớ vectơ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> Nguyễn Thị Lan Anh<br /> <br /> NHẬP MÔN KHÔNG GIAN PHÂN THỚ<br /> VÀ PHÂN THỚ VECTƠ<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> Thành phố Hồ Chí Minh - 2011<br /> <br /> BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> Nguyễn Thị Lan Anh<br /> <br /> NHẬP MÔN KHÔNG GIAN PHÂN THỚ<br /> VÀ PHÂN THỚ VECTƠ<br /> <br /> Chuyên ngành: Hình học và Tôpô<br /> Mã số: 60 46 10<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:<br /> PGS.TS. LÊ ANH VŨ<br /> <br /> Thành phố Hồ Chí Minh - 2011<br /> <br /> MỤC LỤC<br /> MỤC LỤC ................................................................................................... 0<br /> LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................. 2<br /> MỘT SỐ KÝ HIỆU .................................................................................... 3<br /> CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN PHÂN THỚ ............................................. 4<br /> 1.1.ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC VÍ DỤ VỀ KHÔNG GIAN PHÂN THỚ ....................... 4<br /> 1.1.1.Mở đầu.............................................................................................................. 4<br /> 1.1.2.Định nghĩa ........................................................................................................ 5<br /> 1.1.3.Nhận xét ............................................................................................................ 6<br /> 1.2.NHÁT CẮT ............................................................................................................. 6<br /> 1.2.1.Định nghĩa ........................................................................................................ 6<br /> 1.2.2.Tính chất ........................................................................................................... 6<br /> 1.2.3.Ví dụ.................................................................................................................. 7<br /> 1.3.HỌ HÀM DÁN ....................................................................................................... 8<br /> 1.3.1Định nghĩa ......................................................................................................... 8<br /> 1.3.2.Tính chất ........................................................................................................... 8<br /> 1.3.3.Đẳng cấu các phân thớ cùng đáy ..................................................................... 9<br /> 1.4.ĐỊNH LÝ DÁN ....................................................................................................... 9<br /> 1.4.1.Định lý 1 ........................................................................................................... 9<br /> 1.4.2.Nhận xét .......................................................................................................... 12<br /> 1.4.3.Các ví dụ ......................................................................................................... 12<br /> 1.5.BÀI TOÁN MÔ TẢ LỚP ĐẲNG CẤU CÁC PHÂN THỚ TẦM THƯỜNG ĐỊA<br /> PHƯƠNG .................................................................................................................... 14<br /> <br /> CHƯƠNG II:PHÂN THỚ VECTƠ ....................................................... 18<br /> 2.1.ĐỊNH NGHĨA PHÂN THỚ VECTƠ.................................................................... 18<br /> 2.2.NHÓM CẤU TRÚC CỦA PHÂN THỚ VECTƠ................................................. 19<br /> 2.3.NHÁT CẮT ........................................................................................................... 19<br /> 2.4.CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ.................................................................................. 21<br /> 2.5.PHÂN THỚ PHỨC ............................................................................................... 23<br /> <br /> 2.6.PHÂN THỚ CON ................................................................................................. 26<br /> 2.7.PHÂN THỚ VECTƠ LIÊN KẾT VỚI ĐA TẠP VÀ CÁC VÍ DỤ ...................... 30<br /> <br /> KẾT LUẬN ............................................................................................... 44<br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 47<br /> <br /> LỜI MỞ ĐẦU<br /> Khái niệm không gian phân thớ lần đầu tiên xuất hiện vào khoảng những năm<br /> 1922 – 1925 trong công trình của E.Cartan về lý thuyết liên thông. Trong lớp các không<br /> gian phân thớ, các phân thớ vectơ đóng vai trò quan trọng vì nhờ nó mà lý thuyết đối đồng<br /> điều suy rộng, cụ thể K_lý thuyết hình học, được xây dựng.<br /> Những nghiên cứu nghiêm túc đầu tiên về phân thớ được bắt đầu bởi Poincare<br /> trong các nghiên cứu về không gian phủ không tầm thường. Cấu trúc phân thớ cũng xuất<br /> hiện nhiều trong các nghiên cứu về đa tạp khả vi. Sau đó, các lớp đặc trưng được định nghĩa<br /> và trong một thời gian dài, chúng là công cụ chính của việc nghiên cứu. Các lớp đặc trưng<br /> Stieffel Whitney được giới thiệu bởi Stieffel và Whitney vào năm 1935 về phân thớ tiếp xúc<br /> của đa tạp trơn. Whitney cũng xét đến các phân thớ trên mặt cầu. Kể từ đó lý thuyết về<br /> không gian phân thớ trở thành một trong những đối tượng nghiên cứu quan trọng của tôpô<br /> đại số và là một công cụ không thể thay thế được trong việc nghiên cứu hình học vi phân.<br /> Đúng như tên gọi đề tài, chúng tôi chỉ nghiên cứu các phần cơ bản của không<br /> gian phân thớ và phân thớ vectơ. Luận văn được chia làm hai chương. Chương I trình bày<br /> định nghĩa tổng quát về không gian phân thớ, nhát cắt, họ hàm dán, định lý dán và bài toán<br /> mô tả lớp đẳng cấu tầm thường địa phương, trong đó định lý dán cho phép ta xây dựng một<br /> không gian phân thớ trên đáy B nào đó bằng cách “dán” các phân thớ tầm thường. Chương<br /> II trình bày định nghĩa phân thớ vectơ, nhóm cấu trúc vectơ GL(n, K), nhát cắt, các phép<br /> toán trên phân thớ vectơ, phân thớ phức, phân thớ con, phân thớ liên kết với đa tạp.<br /> Do khả năng và trình độ có hạn, bản luận văn chắc chắn còn nhiều sai sót. Rất<br /> mong được sự cảm thông, góp ý chỉ bảo của quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp.<br /> Nhân dịp này chúng tôi xin cảm ơn chân thành các Thầy, Cô của trường Đại học<br /> Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình truyền thụ kiến thức, giúp đỡ chúng tôi trong<br /> suôt quá trình học tập. Đặc biệt, chúng tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS Lê Anh<br /> Vũ, người đã trực tiếp ra đề tài, hướng dẫn chúng tôi hoàn thành bản luận văn này.<br /> Tp. HCM, ngày 06 tháng 11 năm 2011<br /> Người thực hiện<br /> Nguyễn Thị Lan Anh<br /> <br />