BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH
Đậu Thị Huế
NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH
Đậu Thị Huế
NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số
Mã số : 60 46 01 04
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS MỴ VINH QUANG
Thành phố Hồ Chí Minh – 2013
LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc tới PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người đã tận tình chỉ bảo hướng dẫn để tôi có thể hoàn
thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giảng viên trong
khoa Toán của trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM đã tận tình dạy bảo cho tôi trong quá
trình học tập tại khoa.
Xin cảm ơn các cán bộ của Phòng Sau Đại Học, trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM đã
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi cùng các học viên khác có thể học tập và nghiên cứu hiệu
quả.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời tri ân tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Tp. Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2013.
1
MỞ ĐẦU
Mối quan hệ giữa tính chất của nhóm con tối đại của một nhóm hữu hạn và cấu trúc
của nhóm đã được nghiên cứu rộng rãi. Tính chuẩn tắc của một nhóm con trong một nhóm
hữu hạn cũng đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu nhóm hữu hạn. Ta đã biết rằng
nhóm hữu hạn G là lũy linh khi và chỉ khi mọi nhóm con tối đại của G là chuẩn tắc trong G.
Định lý nổi tiếng của B. Huppert chỉ ra rằng một nhóm hữu hạn G là siêu giải được khi và
chỉ khi mọi nhóm con tối đại của G có chỉ số nguyên tố trong G.
Gần đây, có nhiều kết quả nghiên cứu về nhóm hữu hạn khá thú vị, chẳng hạn: G là
nhóm giải được khi và chỉ khi mọi nhóm con tối đại M là c-chuẩn tắc trong G. Ngoài ra,
nhóm con c-chuẩn tắc còn có nhiều ứng dụng khác trong việc nghiên cứu cấu trúc của nhóm
hữu hạn. Đó là lý do tôi chọn đề tài này để tìm hiểu.
Nội dung chính của luận văn dựa trên bài báo [9], trình bày một số kết quả về nhóm
con c-chuẩn tắc và tính chất của nó, đưa ra một vài tính chất tương tự nhóm con chuẩn tắc
cho nhóm con c-chuẩn tắc của một nhóm hữu hạn. Đồng thời, nghiên cứu các tính chất của
nhóm con c-chuẩn tắc liên quan với nhóm giải được và nhóm siêu giải được, tổng quát một
số định lý nổi tiếng bằng việc dùng khái niệm c-chuẩn tắc.
Luận văn gồm 2 chương:
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này trình bày lại các khái niệm, chứng minh lại một số các định lý, bổ đề để
dùng trong luận văn.
CHƯƠNG 2: NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG
Chương này sẽ trình bày về khái niệm nhóm con c-chuẩn tắc và một số tính chất của
nó. Sau đó nghiên cứu các tính chất của nhóm con c-chuẩn tắc liên quan với nhóm giải được
và nhóm siêu giải được. Tổng quát định lý của Srinivasan bằng cách thay thế điều kiện
chuẩn tắc bằng điều kiện yếu hơn là c-chuẩn tắc.
2
BẢNG KÝ HIỆU
xH
Nhóm con liên hợp với H.
)
( GN H
Chuẩn hóa tử của H trong G.
( ) GC H
Tâm hóa tử của H trong G.
( ) Z G
Tâm của G.
H G≤
H là nhóm con của nhóm G, H là nhóm con thực sự của nhóm G. , H G<
H G
M
G< ⋅
H là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G.
M là nhóm con tối đại của nhóm G.
H char G H là nhóm con đặc trưng của G.
H N
Tích nửa trực tiếp của N và H.
( ) pSyl G
[
]
− − 1 1 x x x x 1 1 2 2
x x , 1 2
Tập các p-nhóm con Sylow của G.
G′
]G G - Nhóm con hoán tử của nhóm G. [
,
( )iG
- hoán tử của 1x và 2.x
)GΦ (
Nhóm con hoán tử bậc i của nhóm G. Nhóm con Frattini của nhóm G.
)F G
(
Nhóm con Fitting của nhóm G.
( ) pO G
p-nhóm con chuẩn tắc tối đại duy nhất của G.
Aut G (
)
Nhóm các tự đẳng cấu của G.
iGγ
Dãy tâm dưới của nhóm G.
iGζ
Dãy tâm trên của nhóm G.
GH
Core(H) - Nhóm con chuẩn tắc lớn nhất của G nằm trong H.
3
MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 2
BẢNG KÝ HIỆU ......................................................................................................... 3
MỤC LỤC .................................................................................................................... 4
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .................................................. 5
1.1 Một số khái niệm .......................................................................................................... 5
1.2 Nhóm con á chuẩn tắc ................................................................................................ 12
1.3 Nhóm con Hall ............................................................................................................ 13
1.4 Nhóm p-giải được ....................................................................................................... 14
1.5 Nhóm giải được ........................................................................................................... 16
1.6. Nhóm lũy linh ............................................................................................................ 20
1.7. Nhóm con Frattini ..................................................................................................... 24
1.8. Nhóm siêu giải được .................................................................................................. 26
CHƯƠNG 2: NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG ........................... 32
2.1 Nhóm con c-chuẩn tắc ................................................................................................ 32
2.2 Tính chất cơ bản ......................................................................................................... 33
2.3. Một số kết quả chính ................................................................................................. 41
2.4. Ứng dụng .................................................................................................................... 48
KẾT LUẬN ................................................................................................................ 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 53
4
CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Một số khái niệm
x
x
=
=
∈
H
h
− 1 x hx h H
,
x G∈ nhóm con
Định nghĩa 1.1.1.
{
}
của G Cho H là một nhóm con của G. Với mỗi
được gọi là nhóm con liên hợp với H trong G.
x
=
x G H
H
Định nghĩa 1.1.2.
( GN H
) { = ∈
}
Cho H là một nhóm con của G. Khi đó tập hợp được gọi là
chuẩn hóa tử của H trong G.
Định nghĩa 1.1.3.
=
∀ ∈
x G xh
hx
h H
,
Cho H là một nhóm con của G. Tâm hóa tử của H trong G là tập hợp
) { = ∈
}
( GC H
.
Tâm hóa tử của G trong G được ký hiệu là Z(G) và được gọi là tâm của G.
Nhận xét:
(
) Z G G .
A
⊂
i)
( BZ
)
C
C
⇔ ∀ ∈ ∀ ∈
=
:
,
ba
a A b B ab − 1
− 1
⇔ ∀ ∈ ∀ ∈
∈
a A b B a b ab C :
,
.
ii)
Định lý 1.1.4.
)
).
( C H G
( N H G
Cho H là nhóm con của G. Khi đó
)
G .
Hệ quả 1.1.5.
( GC H
Nếu H G thì
5
Định lý 1.1.6.
thì số nhóm con của G liên hợp với H bằng chỉ số Nếu G là một nhóm hữu hạn và H G≤
(
)
GN H trong G.
của
Định nghĩa 1.1.7.
Cho G là nhóm và X là tập con khác rỗng của G. Core của X trong G là hợp của tất cả
các nhóm con chuẩn tắc của G chứa trong X, ký hiệu là XG. Nếu không tồn tại nhóm con
chuẩn tắc của G nào chứa trong X thì ta quy ước XG=1.
Nhận xét:
H
− 1 g Hg
.
Cho H là nhóm con của nhóm G. Khi đó HG là nhóm con chuẩn tắc lớn nhất của G nằm
=
G
∈ g G
trong H và
Một nhóm con M của nhóm G được gọi là một nhóm con tối đại của G nếu không
<
<
M K G
,
M
G< ⋅ .
tồn tại nhóm con K thực sự nào của G sao cho
ký hiệu là
Định nghĩa 1.1.8.
Định nghĩa 1.1.9.
Cho G là một nhóm và H là nhóm con chuẩn tắc của G. H được gọi là nhóm con
chuẩn tắc tối tiểu của G nếu
1H ≠ và không tồn tại nhóm con K G sao cho
<
1
< K H
.
Mệnh đề 1.1.10.
Mọi nhóm con thực sự của nhóm G đều nằm trong một nhóm con tối đại nào đó
của G.
Mệnh đề 1.1.11.
.
( HK L H L K
)
=
Cho H, K, L là các nhóm con của nhóm G và
K L⊆ Khi đó .
Bổ đề 1.1.12.
6
1
1N ≠ là nhóm con chuẩn tắc của G, C
1
C S =
GS = Nếu S là một nhóm con tối đại của G có và
là tâm hóa tử của N trong G thì và C hoặc bằng 1 hoặc là nhóm con chuẩn tắc tối
tiểu của G.
1
GS =
N S≤/
.
.
G NS=
Chứng minh.
− 1
=
=
∀ ∈
=
∀ ∈
,
,
.
g G gn
ng
n N
g G g
ngn
n N
(
) { = ∈
}
C C N G
}
Vì và N là nhóm con chuẩn tắc của G nên Do đó,
{ = ∈
∀ ∈
∀ ∈ ∀ ∈ ,
x G g C N
,
n N
,
(
)
G
Ta có
− 1
− 1
− 1
− 1
− 1
− 1
− 1
− 1
=
=
.
− 1 g xn
x
xnx
− 1 gg xn
(
)
) ( − 1 x gx n x g x n
( − 1 x g xnx
)
− 1
( =
=
) − 1 nx xn
1.
=
.
.
− ∈ 1 x gx C N
(
)
)
) − 1 x gx n
( − 1 n x gx
)
( GC N
G
ta có:
G .
≤
.
S
(
)
).
C S
( S N C S G
Vậy nên,
Vậy ( Do đó, Hay
∀ ∈
∀ ∈
=
⊂
⊂
n N gn
ng
:
N C C
(
),
(
)
( C C S
( N C S
).
) ⊂
g C N G
G
G
G
Suy ra,
=
≤ G NS N C S
(
).
G
nên Vì
=
⊂
=
).
S S ,
1
( G N C S G
C S
G
C S G .
1.
C S =
Do đó,
Mặt khác,
G CS=
.
1C ≠ thì C S≤/
Vậy nên Từ đó
1
X S =
G XS=
.
nên Giả sử 1 X≠ là nhóm con chuẩn tắc của G nằm trong C Nếu
=
=
X
: G S
C
và thì
. Vậy X=C. Hay C là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G. Ta có
1
GS =
Bổ đề 1.1.13.
và A, B là hai nhóm con chuẩn tắc Nếu S là một nhóm con chuẩn tắc tối đại của G,
tối tiểu khác nhau của G thì
7
=
=
=
, 1
G AS BS
A S B S
=
.
=
(
).
A C B G
i)
ii)
1
GS =
A S≤/
.
G AS=
.
Chứng minh.
(
)
A S
1
GS =
1.
A S =
S mà
nên Do đó, i) Vì A là nhóm con chuẩn tắc của G,
. Do tính tối tiểu của A, B
nên Mặt khác,
1.
A B =
ii) Vì A và B là hai nhóm con chuẩn tắc của G nên A B G
− 1
≤
(
).
∈
A C B G
∀ ∈ ∀ ∈ ,
− 1 a A b B aba b
:
A B
1
=
ab ba= .
nên
=
)
(
).
( GC B
A C B G
nên Suy ra,
là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G. Do đó Mà
Định nghĩa 1.1.14.
Cho H, K là các nhóm con của nhóm G. H được gọi là phần bù của K trong G nếu
1.
H K =
G HK=
và
Định nghĩa 1.1.15.
Cho G là một nhóm và p là một số nguyên tố. Khi đó:
i) Nếu mọi phần tử của G đều có cấp là một lũy thừa của p thì G được gọi là một p-
nhóm.
ii) Nếu H G≤
và H là một p-nhóm thì H được gọi là một p-nhóm con của G.
iii) Nhóm con H của G được gọi là p-nhóm con Sylow của G nếu H là phần tử tối
đại trong tập các p-nhóm con của G theo quan hệ bao hàm.
Định lý 1.1.16.
8
Nếu G là một nhóm hữu hạn có cấp chia hết cho một số nguyên tố p thì G chứa
một phần tử cấp p.
Hệ quả 1.1.17.
Nhóm G hữu hạn là một p-nhóm khi và chỉ khi G là lũy thừa của p.
Định lý 1.1.18.
( Z G ≠
) 1.
Nếu
1G ≠ là một p-nhóm hữu hạn thì
Định lý 1.1.19. (Định lý Sylow)
n
=
=
G p m m p
,
,
1.
(
)
Cho p là một số nguyên tố, G là nhóm hữu hạn,
Khi đó:
k
n
,
i) Với 1
≤ ≤ tồn tại trong G một nhóm con có cấp
.kp Nói riêng, tồn tại trong G
các p-nhóm con Sylow.
ii) Mọi p-nhóm con H đều nằm trong một p-nhóm con Sylow nào đó của G.
iii) Tất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau.
iv) Số các nhóm con Sylow của G là ước của m và đồng dư với 1 (mod p).
Mệnh đề 1.1.20.
Cho P là p-nhóm con Sylow của G. Khi đó P là p-nhóm con Sylow duy nhất của G
nếu và chỉ nếu P là nhóm con chuẩn tắc của G.
Mệnh đề 1.1.21.
Cho P là một p-nhóm con Sylow của nhóm hữu hạn G.
≤
=
H N H
(
).
(
G
) ≤ GN P H G
i) Nếu
thì
9
PN
ii) Nếu N G thì P N là một p-nhóm con Sylow của N và
N là một p-nhóm
.G N
con Sylow của
x
x
≤
∈
(
)
(
)
P H N H
G
x N H G
≤
=
P
H
H
.
Chứng minh.
xP là p-nhóm con
x
h
− ∈ 1
≤
=
xh
.
H N H
) N P H
(
(
).
=
G
G
P
P
,
. Vì nên Mà P và i) Lấy
∀ ∈ Do đó h H .
x H∈ Vậy .
=
=
=
N P N
:
PN P :
PN P n :
1.
(
) n p = ,
Sylow của H nên Hay
=
=
N P N
:
:
1
với nên P N là một ii) Ta có
(
N P N n
PN
N cũng là p-nhóm con Sylow của
.G N
Vì P N N≤ ) n p = , p-nhóm con của N. Mặt khác, với nên P N là p-nhóm
con Sylow của N. Tương tự
Bổ đề 1.1.22. (Bổ đề Frattini)
.
Cho G là nhóm hữu hạn và
H G Khi đó nếu P là một p-nhóm con Sylow của H
=
G HN P
(
).
G
thì
Chứng minh.
x
x
∈
≤
=
,
x G P
H
H
Với mọi
nên P và
xP liên hợp với nhau trong H, do đó tồn tại
x
h
− ∈ 1 h x N P
.
(
)
G
P
P=
.
h H∈ sao cho
Vậy nên,
− 1
=
≤
=
x
.
(
)
G HN P
G HN P
G
(
).
(
).
) ( ∈ h h x HN P
G
G
Hay
Suy ra
Vậy
Định nghĩa 1.1.23.
: G G
Cho G là một nhóm. Nếu ánh xạ
ϕ → là một đẳng cấu thì ϕ được gọi là một
tự đẳng cấu của G. Tập hợp tất cả các tự đẳng cấu của G được ký hiệu là Aut(G).
Định nghĩa 1.1.24.
Một nhóm con H của G được gọi là nhóm con đặc trưng của G, ký hiệu H char G,
=
∀ ∈ ϕ
H
H
,
.
( ϕ
)
( Aut G
)
nếu
10
Mệnh đề 1.1.25.
≤
ϕ ∀ ∈
H
H
,
( ϕ
)
( Aut G
)
i) Nếu
thì H char G.
H G .
ii) Nếu H char G thì
iii) Nếu H char K và K char G thì H char G.
H G .
iv) Nếu H char K và K G thì
Định nghĩa 1.1.26.
Cho G là một nhóm và p là một số nguyên tố. G được gọi là nhóm p-đóng nếu G
có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc.
Mệnh đề 1.1.27.
Nhóm con của một nhóm p-đóng là một nhóm p-đóng.
Chứng minh.
A G≤ .
Khi đó tồn tại p-nhóm con Sylow P của G
Giả sử G là một nhóm p-đóng và
P G .
sao cho
.
Đặt 1P P A
= thì P1 là p-nhóm con Sylow của A. Rõ ràng 1 P
A Do đó A là nhóm
p-đóng.
Định nghĩa 1.1.28.
Cho N là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G. H là nhóm con của G sao cho
=
G HN H N ,
1.
=
Khi đó ta nói G là tích nửa trực tiếp của N và H, ký hiệu là
G H N
= .
Định nghĩa 1.1.29.
Cho p là một số nguyên tố và G là một p-nhóm hữu hạn. Khi đó G được gọi là một
×
G
× × ...
p
p
p
.
p-nhóm Aben sơ cấp nếu
11
Nhận xét:
px
= ∀ ∈ 1, x G .
Một p-nhóm hữu hạn G là p-nhóm Aben sơ cấp nếu G là nhóm aben thỏa mãn điều kiện
Định nghĩa 1.1.30.
Nhóm G được gọi là nhóm đơn đặc trưng nếu G khác 1 và G chỉ có hai nhóm con đặc
trưng là 1 và G.
1.2 Nhóm con á chuẩn tắc
Định nghĩa 1.2.1.
=
=
= H H
H
H
H
H H ,
,...,
H
G
...
0
1
n
1
.n
0
Cho G là một nhóm hữu hạn, H được gọi là nhóm con á chuẩn tắc của G nếu tồn tại nhóm
sao cho con
H
K là thương hợp thành của G
Định nghĩa 1.2.2.
H
Cho K H , H là nhóm con á chuẩn tắc của G. Ta nói
K là nhóm đơn.
nếu
Định nghĩa 1.2.3.
N
+ 1i
=
≤
1
N
≤ ≤ ...
= N G
N
0
N 1
n
i
Cho G là một nhóm. Một dãy cơ bản trong G là dãy các nhóm con chuẩn tắc
N
+ 1i
G
−
,
∀ = i
1,...,
n
1.
N
N
i
i
của G thỏa điều kiện là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của
Khi đó, các nhóm thương được gọi là thương chính.
Định nghĩa 1.2.4.
H
K của G, trong đó H là tối tiểu trong tập các phần bù
Cho G là một nhóm, M là nhóm con tối đại của G. Chỉ số chuẩn tắc của nhóm con tối đại
M trong G là cấp của nhóm thương
.
)
( G Mη :
chuẩn tắc của M trong G, K là nhóm con của M. Khi đó, chỉ số chuẩn tắc được ký hiệu là
12
:G Mη
)
(
Bổ đề 1.2.5 [3, Lemma 1]
được xác định duy nhất bởi M.
1.3 Nhóm con Hall
=
,
1.
k
.
n k
k n ∈ Khi đó k được gọi là một ước Hall của n nếu k là ước của n và ,
Định nghĩa 1.3.1.
Cho
G
1.
,
H G H = :
Định nghĩa 1.3.2.
)
Nếu G là một nhóm hữu hạn thì mọi nhóm con H của G có cấp là một ước Hall của ( được gọi là một nhóm con Hall của G, tức là
Ví dụ:
Một p-nhóm con Sylow trong một nhóm hữu hạn là một nhóm con Hall.
Định nghĩa 1.3.3.
Giả sử π là một tập hợp gồm các số nguyên tố. Đặt π′ là phần bù của π trong tập hợp
'π -số thì a và b nguyên tố
tất cả các số nguyên tố. Khi đó, nếu n là một số tự nhiên có tất cả các ước nguyên tố đều nằm trong π thì n được gọi là một π-số. Nếu a là π-số và b là
cùng nhau.
Nếu G là một nhóm mà mọi phần tử đều có cấp là một π-số thì G được gọi là một π-
nhóm.
Nếu π là một tập hợp chỉ gồm một phần tử p thì ta ký hiệu p-số thay cho π-số và p'-số
thay cho π′ -số. Khi đó rõ ràng một π-nhóm chính là một p-nhóm.
Định nghĩa 1.3.4.
map , với a là một p'-số thì một nhóm con của G có cấp a được gọi là một p'-nhóm con Hall của G hay còn gọi là một
Nếu p là một số nguyên tố và G là một nhóm hữu hạn có cấp
p-phần bù.
13
K G .
Nhận xét:
H
HK
H
≅
HK
K
(
)
(
)
H K
H K
Giả sử H, K là p-nhóm con của G, Khi đó H K là một p-nhóm. Suy ra
K là p-nhóm. Do đó HK là p-
là một p-nhóm. Vì nên
).
( pO G
nhóm. Vậy nhóm con được sinh bởi tất cả các p-nhóm con chuẩn tắc của G là một p-nhóm.
Đây là p-nhóm con chuẩn tắc tối đại duy nhất của G, ký hiệu là
Định nghĩa 1.3.5.
Nhóm hữu hạn G được gọi là p-lũy linh nếu G có một p-phần bù chuẩn tắc.
Mệnh đề 1.3.6.
Nếu p-nhóm con Sylow của G nằm trong tâm của chuẩn hóa tử của nó trong G thì G có
p-phần bù chuẩn tắc.
G
Mệnh đề 1.3.7.
và P là một p-nhóm con Cho G là một nhóm hữu hạn, p là ước nguyên tố bé nhất của
Sylow của G. Nếu P là một nhóm cyclic thì G có một phần bù chuẩn tắc.
Chứng minh.
*:
P
)
g
=
g x ,
g x *
x
( N P G (
× → P )
g
=
∈
x
∈ P g N P
:
.
( )( ) N P x
(
G
G
{
} )
Xét tác động liên hợp
p< .
) ,
)
( )( ) GN P x
( )( ) GN P x
( GN P
( GN P
Khi đó quỹ đạo của x trong P là Rõ ràng
≤
1.
(
)( )
GN P x =
(
)( ) { }. x=
)
Mà là ước của
).
( GN P x
G
p là ước nguyên tố bé nhất của ( P Z N P Hay Vậy Do đó G có một p-phần bù nên
chuẩn tắc.
1.4 Nhóm p-giải được
Định nghĩa 1.4.1.
14
Cho G là một nhóm hữu hạn và p là một số nguyên tố. Ta nói G là nhóm p-giải được nếu
tất cả các thương hợp thành của G là p-nhóm hay p'-nhóm.
,GN
,
N G
Định lý 1.4.2.
N đều là nhóm p-giải được thì G là nhóm p-giải được.
cả hai nhóm Nếu
K
K
J là một thương hợp thành của G. Khi đó
J là nhóm đơn và K là nhóm con á
Chứng minh.
Giả sử
J
K
K=
.
( J K N
)
( J K N
)
chuẩn tắc của G.
J=
.
)
Vì J là nhóm con chuẩn tắc tối đại của K nên
K=
.
( J K N
)
Ta có ( J K N hoặc
(
)
(
) K N J
(
)
K N
K N
K
≅
≅
=
K N
J
J
J
(
)
(
)
J N
K N
J N
Giả sử
là nhóm
K N
J N
là thương hợp thành của
Vì nên
K N
K
J N
là p-nhóm hay p'-nhóm. Do đó,
J là p-
đơn và K N là nhóm con á chuẩn tắc của N. Vì vậy
N. Mà N là nhóm p-giải được nên
J=
.
( J K N
)
nhóm hay p'-nhóm. Vậy G là nhóm p-giải được.
KN
(
)
( K JN
)
N
KN
K
K
K
≅
=
≅
=
=
JN
JN
J
K JN
J K N
JN
(
)
(
)
N
Giả sử
KN
)
(
N
JN
KN
.G
(
) N là nhóm đơn và
N là nhóm con á chuẩn tắc của
N Vì vậy
KN
)
(
N
JN
G
.G
(
) N là thương hợp thành của
N Mà
N là nhóm p-giải được nên
Vì nên
15
KN
)
N
JN
K
(
) N là p-nhóm hay p'-nhóm. Do đó,
J là p-nhóm hay p'-nhóm. Vậy G là
(
nhóm p-giải được.
Định lý 1.4.3.
Cho G là nhóm p-giải được. Khi đó:
G
i) Nếu N G≤ thì N là nhóm p-giải được.
N là nhóm p-giải được.
ii) Nếu N G thì
1.5 Nhóm giải được
=
1
= G G
...
G G 1
0
n
Định nghĩa 1.5.1.
G
+ 1i
G i
Cho G là một nhóm. Một dãy aben trong G là dãy các nhóm con
là nhóm aben. thỏa điều kiện
Định nghĩa 1.5.2.
Một nhóm G được gọi là giải được nếu nó có một dãy aben.
− 1
=
− 1 a b ab
,a b
],a b
]
,
,
Định nghĩa 1.5.3.
a b G∈ ký hiệu [
Với mỗi là hoán tử của a và b. Nhóm con
′ =
.
G
, G G
[
]
và gọi [ của G sinh bởi tất cả các hoán tử được gọi là nhóm con hoán tử của G, ký hiệu là
Định lý 1.5.4.
G
]
[
Cho G là một nhóm. Khi đó:
] ,G G G và
G G là một nhóm giao hoán. ,
G
,
.
] G G H≤
i) [
H giao hoán thì [
ii) Nếu H G và
16
Định nghĩa 1.5.5.
i
( ) 0
(
) + 1
( ) i
( ) i
=
=
=
G
G G ,
G
( ) i G G ,
,
∀ ≥ i
0.
(
′ )
( )iG được gọi là nhóm con hoán tử bậc i của G.
Cho G là một nhóm, đặt
( ) 0
( ) 1
( ) 2
≥
≥
= G G
G
G
...
≥ được gọi là dãy dẫn xuất của G.
Nhóm con
Dãy các nhóm con hoán tử
Định lý 1.5.6.
( ) iG char G i∀ ∈ , .
Cho G là một nhóm. Khi đó:
j
i
j
(
( ) i
) + =
,
,
G
G
i
∀ ∈ . j
(
)( )
i)
ii)
( ) i
=
≤
= G G
1
,
0.
G
G
∀ ≥ i
...
n
G G 1
0
− n i
Định lý 1.5.7.
là một dãy aben của nhóm giải được G thì Nếu
( ) nG = 1.
Đặc biệt,
Chứng minh.
( )0
=
≤
i
0 :
= G G
= G G .
n
Ta chứng minh định lý bằng phương pháp quy nạp theo i.
i
(
) + 1
( ) i
( ) i
=
≤
G
G
G
.
(
′ )
− n i
≤
G
.
(
′ )
G − n i
Với
G
− n i
G
(
′ ≤ )
G n
− n i
( − + i
)1
G n
)1 .
( − + i
Giả sử Khi đó,
i
(
) + 1
≤
G
G n
1 . )
( − + i
Mặt khác, là nhóm aben nên
( ) 1 nG ≤ nên
( ) nG = 1.
Do đó,
Đặc biệt,
17
Hệ quả 1.5.8.
( ) nG = 1.
Nhóm G là nhóm giải được khi và chỉ khi tồn tại n ∈ sao cho
( )1H
H=
1H ≠ của G sao cho
Hệ quả 1.5.9.
thì G không giải được. Nếu tồn tại một nhóm con
Định lý 1.5.10.
Mọi nhóm con của nhóm giải được là nhóm giải được.
( ) nG = 1.
Chứng minh.
( ) n
( ) n
( )
1.
H
G≤
Giả sử G là nhóm giải được. H là nhóm con của G. Khi đó tồn tại n ∈ sao cho
= Do đó, 1.
nH = Vậy H giải được.
nên Vì H G≤
:f G
H→ là một toàn cấu thì H giải được.
Định lý 1.5.11.
Nếu G giải được và
( ) nG = 1.
Chứng minh.
( ) i
( ) i
=
H
∀ i .
H f G=
(
)
( f G
),
Vì G là nhóm giải được nên tồn tại n ∈ sao cho
( ) n
( ) n
=
=
=
H
f
1.
( )1
( f G
)
thì bằng quy nạp ta chứng minh được Nếu
Do đó
Vậy H giải được.
, GH
Định lý 1.5.12.
H đều giải được thì G giải được.
Nếu H G và cả hai nhóm
Chứng minh.
18
( )
(
)
.GK = H
mH = và 1
nK = Xét 1.
( ) n
( )
,m n ∈ sao cho ) 1, =
Đặt
f G :
( ) nG
H≤
.
nK = nên 1
K→ Do .
Do H và K giải được nên tồn tại ( f G tức là đồng cấu tự nhiên
Hệ quả 1.5.13.
giải được. Nếu H và K là hai nhóm giải được thì H K×
G
G
G
,
,...,
,...,
H
H
H H , 1
2
n
1
2
n
Định lý 1.5.14.
H là các nhóm con chuẩn tắc của G. Nếu
H là nhóm
G
H
i
n ∩ = 1 i
Cho
giải được thì là nhóm giải được.
Chứng minh.
G
G
ϕ :
n → ⊗ = i 1
H
g
gH
i gH
,...,
)
(
n
1
n
=
ϕ
Ker
gH
H
,...,
.
( g G gH
)
=
n
i
1
} 0
{ = ∈
i
= 1
Xét đồng cấu nhóm
G
≅
ϕ Im .
G
ϕ
Im
H
i
n ≤ ⊗ = 1 i
n G ⊗ H= 1 i
H
i
i
n = i 1
Ta có
Mặt khác, là nhóm giải được. Mà nên Imϕ Do đó
G
H
i
n ∩ = 1 i
là nhóm giải được.
Vậy là nhóm giải được.
Định lý 1.5.15.
Nếu G là một nhóm hữu hạn giải được thì mọi nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G đều là
p-nhóm con Aben sơ cấp.
Chứng minh.
19
( )1
( )1
N
( )1
N
N≠
.
G .
Giả sử N là một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G. Vì G là nhóm giải được nên N giải
N char N nên
( )1
,
1.
[
] N N =
N = Hay 1.
được, do đó Mặt khác, Từ tính tối tiểu của N suy ra
ϕ∈
( Aut N
)
)Pϕ (
Vậy N là một nhóm Aben.
)Pϕ (
, cũng là một p- Gọi P là p-nhóm con Sylow của N. Khi đó, với mọi
P
.x
P .
) ( ϕ = P
( ) ϕ = P
xP
P= .
nhóm con Sylow của N nên liên hợp với P trong N, tức là tồn tại x N∈ sao cho
P char N Do đó .
P G .
.
P N=
Mà N là nhóm Aben nên Suy ra Vậy
1P ≠ nên do tính tối tiểu của N ta có
Mặt khác, Vậy N là một p-nhóm con Aben của
p
=
H
x N x
{ = ∈
}1 .
G.
H N=
,
.
H G Mà N là một p-nhóm nên
H ≠ Vậy 1.
Đặt Chứng minh tương tự ta có H là một nhóm con đặc trưng của N.
hay mọi phần tử khác 1 trong N Do đó
đều có cấp p. Vậy N là một p-nhóm con Aben sơ cấp.
Mệnh đề 1.5.16.
Nếu G là nhóm đơn giải được hữu hạn thì G là nhóm có cấp là một số nguyên tố.
Định lý 1.5.17.
Mọi nhóm cấp lẻ đều là nhóm giải được.
Định lý 1.5.18.
Cho G là nhóm hữu hạn. Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
i) G là nhóm giải được.
.G
ii) Mọi thương hợp thành của G đều có cấp nguyên tố.
iii) G là p-giải được với mọi p là ước nguyên tố của
1.6. Nhóm lũy linh
Định nghĩa 1.6.1.
20
G i
+ 1
≤
−
,
∀ = i
0,...,
n
1.
=
1
≤ ≤ ...
= G G
G i
G i
GZ
≤ G G 1
0
n
Cho G là nhóm. Một dãy tâm của G là dãy các nhóm con chuẩn tắc
của G thỏa
Định nghĩa 1.6.2.
Nhóm G được gọi là nhóm lũy linh nếu trong G có một dãy tâm. Độ dài dãy tâm ngắn
nhất trong G gọi là lớp lũy linh của nhóm G.
iGγ
Định nghĩa 1.6.3.
=
,
,
, G G
∀ . i
của G được định nghĩa bằng quy nạp như sau:
γ = G G 1
+ 1
[ γ i
γ i
Cho G là một nhóm. Họ các nhóm con ]
i ∈ :
Mệnh đề 1.6.4.
γ
. iG char G
Các mệnh đề sau đúng với mọi
≤
. G
G + 1
γ i
γ i
i)
G
γ i
γ i
G + 1
γ i
G + 1
GZ ≤
ii)
.
( ) i
G
Gγ+≤ .
1
i
iii)
H
G .
γ i
γ≤ i
iv)
thì v) Nếu H G≤
=
≥
G
G
γ G 1
γ 2
≥ được gọi là dãy tâm dưới của nhóm G. ...
Định nghĩa 1.6.5.
Dãy các nhóm
Nhận xét:
Dãy này có thể không kết thúc ở 1 nên nó không là dãy aben.
Định nghĩa 1.6.6.
21
G
=
G
1,
,
G
Z
∀ i
→
ζ i
ζ 0
− 1 = G v + i 1
:i v G
G
ζ i
Gζ i
iGζ Cho G là một nhóm. Họ các nhóm con được định nghĩa bằng quy nạp như sau:
G + 1
ζ i
G
G
ζ i
ζ i
GZ =
.
với là đồng cấu tự nhiên, nghĩa là
i ∈ :
Mệnh đề 1.6.7.
ζ
iG char G .
Các mệnh đề sau đúng với mọi
≤
G .
]
G G , + 1
ζ i
i)
ii) [ ζ i
=
≤
1
G
ζ 0
ζ G 1
≤ được gọi là dãy tâm trên của G. ...
Định nghĩa 1.6.8.
Dãy
Nhận xét:
Dãy này có thể không kết thúc ở G nên nó không là dãy aben.
=
1
≤ ≤ ...
= G G
≤ G G 1
0
n
Định lý 1.6.9.
≤ G G
,
γ i
n i
n Gγ +
1
− + 1
là một dãy tâm trong nhóm lũy linh G. Khi đó: Giả sử
= 1.
ζ =
G i
Gζ≤ i
. nG G
vì vậy i)
, vì vậy ii)
iii) Lớp lũy linh của G bằng độ dài của dãy tâm trên và bằng độ dài của dãy tâm dưới.
n Gγ +
1
= 1.
Nhận xét:
ζ =
nG G .
Nhóm G là lũy linh khi và chỉ khi tồn tại n N∈ sao cho
Nhóm G là nhóm lũy linh khi và chỉ khi tồn tại n N∈ sao cho
Định lý 1.6.10.
22
Mọi nhóm lũy linh đều giải được.
1
n Gγ +
= 1.
Chứng minh.
( ) n
=
G
1.
Gγ +≤
n
1
Giả sử G là nhóm lũy linh. Khi đó tồn tại n N∈ sao cho
( )
1.
nG = Do đó G giải được.
Theo MỆNH ĐỀ 1.6.4.
Vậy
Định lý 1.6.11.
Mọi p-nhóm hữu hạn đều lũy linh.
G
G
1.
≠
1
ζ ≠
Gζ i
GZ
≠
iG G
i
Gζ i
Chứng minh.
Gζ là p-nhóm hữu hạn nên
ζ i
G + 1
=
≠
1
G
G
ζ i
ζ i
GZ
1
i Gζ+ .
thì và Nếu
iGζ là nhóm con thực sự của
ζ =
nG G .
Mặt khác, nên
Vậy G là nhóm lũy linh. Do G hữu hạn nên phải tồn tại n ∈ sao cho
Định lý 1.6.12.
Cho G là nhóm lũy linh. Khi đó :
G
N là nhóm lũy linh.
i) Nếu N G≤ thì N là nhóm lũy linh.
ii) Nếu N G thì
Định lý 1.6.13.
Nếu H và K là nhóm lũy linh thì H K× là nhóm lũy linh.
Định nghĩa 1.6.14.
<
H N H
(
).
G
Một nhóm G được gọi là thỏa điều kiện chuẩn hóa nếu mọi nhóm con thực sự H của G
đều thỏa
23
Định lý 1.6.15.
Nếu G là nhóm lũy linh hữu hạn thì G thỏa điều kiện chuẩn hóa.
Định lý 1.6.16.
Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó G lũy linh khi và chỉ khi G là tích trực tiếp của các
nhóm con Sylow của nó.
( N Z G ≠
) 1.
≠ thì
Định lý 1.6.17.
Nếu G là nhóm lũy linh và 1 N G
Định lý 1.6.18. [6, Theorem 10.3.2]
Cho G là một nhóm. Nếu tồn tại nhóm con tối đại M của G là nhóm lũy linh cấp lẻ thì G
giải được.
1.7. Nhóm con Frattini
Định nghĩa 1.7.1.
Cho G là một nhóm. Khi đó giao của tất cả các nhóm con tối đại của G (nếu có) được gọi ).GΦ ( là nhóm con Frattini của G, được ký hiệu là
Φ
Nhận xét:
(
Nhóm con Frattini luôn tồn tại trong một nhóm hữu hạn bất kỳ. Nếu G là nhóm không có ) = G G . bất kỳ nhóm con tối đại nào thì ta quy ước
Φ
Φ
G char G
,
(
(
)
Mệnh đề 1.7.2.
) G G .
do đó Cho G là một nhóm. Khi đó
Chứng minh.
(
)i
i
Nếu G không có bất kỳ nhóm con tối đại nào thì mệnh đề hiển nhiên đúng. Giả sử trong
IM ∈ là họ tất cả các nhóm con tối đại của G.
G có các nhóm con tối đại. Gọi
24
ϕ
∈
ϕ− 1 ,
M
( Aut G
)
(
)
i
I∀ ∈ do đó , i
Φ
⊆
ϕ− 1
,
.
G
M
∀ ∈ i
I
(
)
(
)
i
Φ
⊆
=
Φ
− 1 ϕ
− 1 ϕ
G
M
G
.
(
)
(
)
(
)
i
Khi đó, với cũng là nhóm con tối đại của G với
)
(
∈ i I
Φ
⊆ Φ
∀ ∈ ϕ
G
G
,
.
)
(
)
)
( Aut G
(
( ϕ
)
Vậy nên,
Φ
G char G .
(
)
Suy ra
Do đó,
Định nghĩa 1.7.3.
=
G
x Y ,
G Y=
.
Một phần tử x G∈ được gọi là phần tử không sinh của G nếu nó có thể được bỏ đi trong
bất kỳ một tập sinh nào đó của G, nghĩa là nếu thì
)GΦ (
Định lý 1.7.4.
chính là tập hợp tất cả các phần tử không sinh của G. Cho G là một nhóm. Khi đó
Chứng minh.
=
=
.
G
, x M M
Giả sử x G∈ là phần tử không sinh của G và M một nhóm con tối đại bất kỳ của G. Khi
x
( G∈ Φ
).
đó nếu x M∉ thì Điều này vô lý. Vậy x M∈ với mọi nhóm con tối đại M
=
Y
G≠
G
z Y ,
.
z
( G∈ Φ
)
của G. Do đó
z Y M≤ ,
.
Y M≤
.
z M∈
,
Nếu và thì tồn tại nhóm con tối đại M của Ngược lại, giả sử
G sao cho Mặt khác do đó Điều này vô lý. Vậy z là phần tử
không sinh của G.
)GΦ (
Định lý 1.7.5.
là nhóm con lũy linh của G. Nếu G là một nhóm hữu hạn thì
Chứng minh.
25
Φ
(
)G G
nên theo bổ đề
= Φ
G
).
(
).GΦ ( Khi đó, do
(
G N P G
P
)
)
( GΦ/
( GN P
Gọi P là p-nhóm con Sylow bất kỳ của ) Frattini ta có
.
là nhóm con thực sự của G. Do đó tồn tại nhóm con tối đại M Nếu
= Φ
≤
<
G
(
) . G N P M G
(
)
G
thì ) ( GN P M≤ của G sao cho
P
)
)GΦ (
)GΦ (
( GΦ
Điều này mâu thuẫn. Vậy
. Hay mọi nhóm con Sylow trong đều chuẩn tắc. Vậy là Suy ra
nhóm lũy linh.
Định nghĩa 1.7.6.
( F G
).
Nhóm con sinh bởi tất cả các nhóm con lũy linh chuẩn tắc của G được gọi là nhóm con
Fitting của G. Ký hiệu là
Nhận xét:
Nếu G là nhóm hữu hạn thì F(G) là nhóm con lũy linh chuẩn tắc tối đại duy nhất của G
và F(G) char G.
Mệnh đề 1.7.7.
Cho G là một nhóm. Khi đó:
( ) F G G
) F G char G
(
i)
Φ
≤ G F G
)
(
(
)
ii)
iii)
1.8. Nhóm siêu giải được
Định nghĩa 1.8.1.
26
G
+ 1i
=
1
≤ ≤ ...
= G G
∀ = i
0,...,
n
≤ G G 1
0
n
G i
Cho G là một nhóm. Một dãy cyclic chuẩn tắc trong G là dãy các nhóm con chuẩn tắc
− 1.
của G thỏa điều kiện là nhóm cyclic,
Định nghĩa 1.8.2.
Một nhóm G được gọi là nhóm siêu giải được nếu nó có một dãy cyclic chuẩn tắc. Dãy
cyclic chuẩn tắc được gọi là dãy siêu giải được của G.
Định lý 1.8.3.
Cho G là nhóm siêu giải được. Khi đó:
G
N là nhóm siêu giải được.
i) Nếu N G≤ thì N là nhóm siêu giải được.
ii) Nếu N G thì
=
1
≤ ≤ ...
= G G .
n
≤ G G 1
0
Chứng minh.
=
=
1
≤ G N G N
≤ ≤ ...
G N N
.
0
1
n
Vì G là nhóm siêu giải được nên G có một dãy siêu giải được
,
iG N N i∀ .
i) Khi đó
N
N
(
)
(
)
(
+ 1
+ 1
+ 1
G i
G i
G i
) N G i
=
≅
G i
(
)
G N
N
i
(
)
(
)
G i
G i
+ 1
Rõ ràng
G
N
(
)
+ 1i
(
G i
+ 1
) N G i
G +≤ i 1
(
)
G N
i
G i
G i
Mặt khác,
Hơn nữa, là nhóm cyclic nên là nhóm cyclic.
,
,
N G N G N G i∀ . i
i
iN G G nên ,
Vậy N có một dãy siêu giải được nên N là nhóm siêu giải được.
G N 0
G N n
G N 1
G
=
≤
=
1
≤ ≤ ...
.
N
N
N
N
ii) Do
iG N
G
,
∀ i .
N
N
Khi đó
Rõ ràng
27
G N + 1 i
N
)
( G G N + 1
i
i
+ 1
G N + 1 i
G i
≅
=
≅
.
G N i
G N i
(
)
+ 1
G i
G N i
G N i
N
G i
+ 1
G i
G i
+ 1
≅
(
)
G i
+ 1
G N i
(
)
G i
G N i
+ 1
G i
Mặt khác,
G
G
Mà là cyclic.
N có một dãy siêu giải được nên
N là nhóm siêu giải được.
Vậy
Định nghĩa 1.8.4.
N
+ 1i
=
≤
=
1
N
≤ ≤ ...
N
N
( ) *
N
0
N 1
n
i
Cho G là một nhóm, N là nhóm con chuẩn tắc của G. Giả sử N có một dãy các nhóm con
iN G và
sao cho là nhóm cyclic i∀ thì N chuẩn tắc
được gọi là nhóm G-siêu giải được. Khi đó dãy (*) được gọi là dãy G-siêu giải được.
Mệnh đề 1.8.5.
Nếu N là nhóm cyclic chuẩn tắc của nhóm G thì N là nhóm G-siêu giải được.
G
Mệnh đề 1.8.6.
N là nhóm siêu giải được thì G là nhóm
Nếu N G , N là nhóm G-siêu giải được và
siêu giải được.
Định lý 1.8.7.
Nếu H và K là nhóm siêu giải được thì H K× là nhóm siêu giải được.
G
G
G
,
,...,
,...,
H
H
H H , 1
2
n
1
2
n
Định lý 1.8.8.
H là các nhóm con chuẩn tắc của G. Nếu
H là nhóm
G
H
i
n ∩ = 1 i
Cho
là nhóm siêu giải được. siêu giải được thì
Định lý 1.8.9.
28
Mọi nhóm lũy linh hữu hạn đều siêu giải được.
Định lý 1.8.10.
G là nhóm siêu giải được khi và chỉ khi G có một dãy siêu giải được có tất cả các nhân tử
là nhóm có cấp nguyên tố hoặc cấp vô hạn.
Định lý 1.8.11.
Cho G là một nhóm siêu giải được. Khi đó G có một nhóm con chuẩn tắc là nhóm cyclic
vô hạn hoặc có cấp nguyên tố.
p
( Gπ∈
)
) 1.
( pO G ≠
Trường hợp nếu G hữu hạn, siêu giải được thì G có một nhóm con chuẩn tắc là nhóm có
sao cho cấp nguyên tố. Do đó tồn tại
Định lý 1.8.12.
Nếu G là nhóm đơn, siêu giải được thì G là nhóm cyclic có cấp nguyên tố.
Mệnh đề 1.8.13.
G
Cho G là nhóm siêu giải được.
i) Nếu p là ước nguyên tố lớn nhất của thì G có một p-nhóm con Sylow chuẩn tắc P
G
và P có phần bù T trong G.
ii) Nếu q là ước nguyên tố nhỏ nhất của thì G có một q-nhóm con Sylow Q có
phần bù chuẩn tắc K trong G.
G
( GΦ
)
Định lý 1.8.14.
là nhóm siêu giải được thì G là nhóm siêu giải Nếu G là một nhóm hữu hạn và
được.
Định lý 1.8.15. (Srinivasan)
1P của P đều là nhóm con chuẩn tắc trong G thì G là nhóm siêu giải được.
Cho G là nhóm hữu hạn, P là nhóm con Sylow bất kỳ của G. Nếu mọi nhóm con tối đại
29
Định nghĩa 1.8.16.
G
+ 1i
=
1
≤ ≤ ...
= G G
∀ = i
0,...,
n
≤ G G 1
0
n
G i
Nhóm G được gọi là có một tháp Sylow nếu nó có một dãy các nhóm con chuẩn tắc
− 1,
sao cho với đẳng cấu với một p-nhóm con
Sylow nào đó của G.
=
1
≤ ≤ ...
= G G
≤ G G 1
0
n
Bổ đề 1.8.17.
G i
G n
G 1
G 2
≥
≥ ≥ ...
.
G − 1 i
G 0
G 1
G − n 1
Nếu G là nhóm siêu giải được thì G có một dãy siêu giải được với
mỗi là số nguyên tố và
Mệnh đề 1.8.18.
Mọi nhóm siêu giải được đều có một tháp Sylow.
,...,
ip −
G G , 1 2
r
G sao cho
iG là
Chứng minh.
∀ = k
1, 2,...,
r
∀ = i
r 1,...
2...
1
k
Trước hết ta chứng minh G có một dãy các nhóm con
G G G G với
.G
nhóm con Sylow của G với và .
n
=
G p=
Ta chứng minh bằng quy nạp theo số các ước nguyên tố của
1 G G . 0
=
>
p
> > ...
p 1
p 2
p m
thì G là p − nhóm con Sylow của G và tháp sylow cần tìm là Nếu
. Vì G là nhóm siêu giải được nên G Giả sử G có các ước nguyên tố
G r
=
p
=
1
= G G
G − 1 r
...
G G 1
0
n
có một dãy siêu giải được mà các thương có cấp nguyên tố phải gồm một vài thương có cấp là p . Theo BỔ ĐỀ 1.8.17 thì G có dãy siêu giải được, trong đó các thương có cấp p xuất
rG G
G
r
p=
rG
G r
hiện đầu tiên, . Chọn r lớn nhất sao cho . Khi đó
m
G
α p i i
= ∏
G r
=
2
i
rG là p − nhóm con Sylow chuẩn tắc của G . Khi đó
. Mặt khác, bất kỳ số nguyên tố nào là ước của đều nhỏ hơn p (do cách và
. Theo giả chọn r). Do đó
30
m
T i
G
T i
G
G r
G r
=
r
r
i
G có các
ip -nhóm con Sylow là
∏ G sao cho 2
,...,
ip −
... r
T T T , 2 3
2
2 3
T T T là các nhóm con chuẩn tắc của G . Gọi
thiết qui nạp thì . Do đó
iT
iP là
T i
=
2,
∀ = i
m
G r
p Gα=
(
)
T i
i
r
T i G r
P G= r
1p −
nhóm con Sylow của
. 1 là nhóm con Sylow của G . Ta có nên , với α
iP là nhóm con Sylow của G . Hơn nữa,
=
=
,
,
,
,...
2 3 4
2 3
3
4
2
2
= rG G P T G P T T G P T T T G
,...,
G G , 1 2
r
ip −
là số mũ của pi trong phân tích của G . Do đó
G sao cho
iG là
∀ = i
r 1,...
∀ = k
1, 2,...,
r
2...
1
k
Vậy G có một dãy các nhóm con nhóm con Sylow của G
G G G G với
=
=
1
G G G G ...
...
G G G G 1 2
0
1
1
2
r
với và .
là tháp Sylow của G. Do đó
31
CHƯƠNG 2: NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG
2.1 Nhóm con c-chuẩn tắc
Định nghĩa 2.1.1.
Cho G là một nhóm và H là một nhóm con của G. Khi đó H được gọi là nhóm con c-
g
H
H
= :
( Core H
)
=
G
∈ g G
H N H≤
G
và chuẩn tắc của G nếu tồn tại một nhóm con chuẩn tắc N của G sao cho HN G=
, trong đó là nhóm con chuẩn tắc lớn nhất của G nằm
trong H.
Ví dụ 1:
Mọi nhóm con chuẩn tắc của G đều là nhóm con c-chuẩn tắc của G.
( 1 2
)
C = 2
Ví dụ 2:
3S là nhóm con c-chuẩn tắc của
3S .
của nhóm phép thế Nhóm con
Định nghĩa 2.1.2.
Nhóm G được gọi là c-đơn nếu G không chứa các nhóm con c-chuẩn tắc thực sự, tức là G
không có nhóm con c-chuẩn tắc nào ngoài 1 và G.
Ví dụ:
Mọi nhóm đơn đều là nhóm c-đơn.
:
G M là p-phần của
:G M .
Giả sử p là một số nguyên tố và p' là phần bù của p trong tập hợp các số nguyên tố. G là
p
một nhóm hữu hạn và M là nhóm con tối đại của G. Ký hiệu
Khi đó ta xét họ các nhóm con:
=
M M :
< ⋅
.
F
{
} G
=
:
< ⋅
F
Định nghĩa 2.1.3.
:G M là hợp số.
{
} G
c M M
p
∈
=
≤
M M :
< ⋅
,
P Syl G
F
với
( G N P M
)
(
).
{
}
p
G
với
32
s
p
.
F
F
= ( Gπ∈ p
)
pc
p
=
F
F
F . c
sc
s
=
F
F
F . c
p
p
Φ
=
p ≠ ∅
Φ
=
∈
F
Định nghĩa 2.1.4.
G
M M :
( ) p G G .
F
(
)
{
}
s
s
Φ
=
s ≠ ∅
Φ
=
∈
F
nếu , ngược lại
G
: M M
F
( ) s G G .
(
)
{
}
pc
pc ≠ ∅
=
∈
F
nếu , ngược lại
M M :
) pS G G= .
(
F
( p S G
)
{
}
sc
sc ≠ ∅
=
∈
F
nếu , ngược lại
M M :
) sS G G= .
(
F
( s S G
)
{
}
nếu , ngược lại
Nhận xét:
Tất cả các nhóm con trên đều là nhóm con đặc trưng của G.
2.2 Tính chất cơ bản
Bổ đề 2.2.1.
Cho G là một nhóm. Khi đó:
(1) Nếu H là nhóm con chuẩn tắc của G thì H là nhóm con c-chuẩn tắc của G.
≤
≤
(2) G là nhóm c-đơn khi và chỉ khi G là nhóm đơn.
thì H là nhóm con c-chuẩn tắc (3) Nếu H là nhóm con c-chuẩn tắc của G, H K G
K G K H≤ ,
.
của K.
K là
Khi đó, H là nhóm con c-chuẩn tắc của G khi và chỉ khi H (4) Cho
.G K
nhóm con c-chuẩn tắc của
H H=
Chứng minh.
.G
(1) Vì H là nhóm con chuẩn tắc của G nên
33
=
=
=
,
HG G H G H H
.G
Rõ ràng Do đó, H là nhóm con c-chuẩn tắc của G.
(2) Giả sử G là nhóm c-đơn nhưng G không là nhóm đơn. Khi đó, tồn tại N là nhóm con
chuẩn tắc thực sự của G. Theo (1), N là nhóm con c-chuẩn tắc thực sự của G. Điều này mâu
thuẫn với giả thiết G là nhóm c-đơn.
HN G= .
Ngược lại, nếu G là nhóm đơn. Giả sử G không là nhóm c-đơn. Khi đó tồn tại H là nhóm
N G= .
1,
Vì H G≠ con c-chuẩn tắc thực sự của G. Theo định nghĩa, tồn tại N G sao cho
N ≠ do đó
=
≤
= H H G H N H
= H H
. G
nên
Điều này mâu thuẫn với giả thiết
,G
G
vì vậy Mặt khác,
HN G=
,
G là nhóm đơn.
H N H≤
.G
=
=
=
(3) H là nhóm con c-chuẩn tắc của G nên tồn tại N G sao cho
(
).
K K G K HN H K N
.
N
Rõ ràng,
K′
′ = thì K N
′
′
=
=
HN
= K H N H K N
,
≤ K H
≤ K H
.
Đặt N
(
)
H N
K
G
Khi đó,
Do đó, H là nhóm con c-chuẩn tắc của K.
G
N
N
H
H
H
=
=
≤
HN G H N H
,
,
.
sao cho (4) Giả sử H là nhóm con c-chuẩn tắc của G. Khi đó tồn tại N G
≤
.G
(
(
)
(
)
)(
)
(
)
G
K
K
K
K
K
K
K là
K
Do đó, Vậy H
.G K
nhóm con c-chuẩn tắc của
K thì H là nhóm con c-chuẩn tắc của
K là nhóm con c-chuẩn tắc của G
Tương tự, nếu H
G.
Bổ đề 2.2.2.
p
Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó:
( p GΦ
)
( Gπ∈
).
là p-đóng với mọi (1)
34
( s GΦ
)
là nhóm lũy linh. (2)
pS G là p-đóng.
(
)
)
( pS G
( π
)
sS G có một tháp Sylow.
thì (3) Nếu p là số lớn nhất trong
(
)
(4)
∈
Φ
=
p = ∅
P Syl G
F
Chứng minh.
(
)
(
( ) p G G
)
p
GN P là nhóm con
≤
< ⋅
G .
M
G< ⋅
thì . Khi đó với (1) Nếu mà P G/ thì
p M ∈F . Điều
(
) GN P M
p = ∅
F
thực sự của G. Vì vậy, tồn tại sao cho Do đó,
P G .
p
Φ
≠
∈
p ≠ ∅
P Syl G
F
này mâu thuẫn với . Vậy
M ∈F , tức là tồn tại
( ) p G G
(
)
p
.
(
) GN P M≤
p
p
Φ
G
G
.
thì . Khi đó tồn tại sao cho Nếu
(
(
)
)
(
Φ
GN P là nhóm con thực sự
)1
= P P 1
∈ P Syl 1
p
1P G/ thì
)
(
≤
′ < ⋅ M
G
Đặt thì Nếu
(
)1 GN P M ′ .
p
G
sao cho của G nên tồn tại
(
)
Φ
= P P 1
( ). GN P
′
≤
≤
< ⋅
G .
là nhóm con chuẩn tắc của Rõ ràng
)
(
( N P G
)1 N P M
G
.p
M ′ ∈F
Suy ra
Φ
.p
∈F
Do đó
( ) p G M ′ ≤
p
′
= Φ
≤
.
< ⋅
G
. G
Vậy nên
(
( G N P M
)
)1
G
p
.
Điều này vô lý. Theo bổ đề Frattini,
(
)
GΦ
P 1
P G Do đó . 1
s
s
p
p
p
Φ
=
∈
=
∈
=
∈
=
Φ
G
M M :
M M :
M M :
G
.
F
F
F
Vậy
(
)
(
)
{
}
{
}
G
G
G
( π ∈ p
)
( π ∈ p
)
( π ∈ p
)
p
p
(2)
( Gπ∈
)
( s GΦ
)
( p GΦ
)
( Gπ∈
)
Theo (1), là p-đóng với mọi . Do đó là p-đóng với mọi .
( s GΦ
)
Vậy là nhóm lũy linh.
35
∈
pc = ∅
P Syl G
F
) pS G G=
(
(
(
)
)
p
GN P là nhóm con
p
≤
< ⋅
G .
M
G< ⋅
thì . Khi đó với (3) Nếu mà P G/ thì
M ∈F .
(
) GN P M
:G M q= là một số nguyên tố thì theo định lý Sylow, tất cả các p-nhóm con
thực sự của G. Vì vậy, tồn tại sao cho Do đó,
≤
≤
≡
:
p
.
Giả sử
( P N P M
)
(
)
( 1 mod
)
G
GG N P
≡
:
p
.
Vì nên P Sylow của G là liên hợp của P trong G nên
(
)
( 1 mod
)
GM N P
≡
≡
q
p
G M :
p
.
q
p> .
cũng là p-nhóm con Sylow của M. Lập luận tương tự ta có Suy ra
( 1 mod
)
( 1 mod
)
.pc
pc = ∅ .
M ∈F
F
:G M là hợp số nên
Do đó, . Hay Điều này mâu thuẫn với giả thiết p là số
P G .
pc
∈
pc ≠ ∅
P Syl G
M ∈F
F
Mâu thuẫn với Vậy nguyên tố lớn nhất. Vì vậy,
) pS G G≠
(
(
)
p
Nếu thì . Khi đó tồn tại , tức là tồn tại sao cho
:G M là hợp số.
(
) GN P M≤
p
.
và
(
)
(
( p S G
)
=
GN P là nhóm con thực sự của
)1
P P S G 1
∈ P Syl 1
p
1P G/ thì
(
)
≤
′ < ⋅ M
G
Đặt thì Nếu
(
)1 GN P M ′ .
p
sao cho G nên tồn tại
(
)
=
P P S G 1
). ( GN P
′
≤
≤
< ⋅
G .
là nhóm con chuẩn tắc của Rõ ràng
)
(
( N P G
)1 N P M
G
p
M ′ ∈F .
Suy ra
p
p
=
=
.
.
Do đó
)
(
)
) S G M ′
(
( G S G N P 1
G
p
p
′
′
.
.
p
′
′
=
=
=
:
: G M
p S G S G M
. Theo bổ đề Frattini,
(
)
(
)
p
′
′
) ( S G M ′ M
.
( )
) S G M ( S G M M
p
′ G M S G
:
.
. Suy ra
(
)
≡
:G M q
q
p
.
Vậy
′ = là một số nguyên tố thì
( 1 mod
)
Giả sử Điều này mâu thuẫn với giả thiết
( pS G
)
( π
)
p
≤
c .p
∈F
p là số lớn nhất trong .
) S G M ′
(
Vậy nên
36
p
′
=
≤
< ⋅
. G
) . G S G N P M
(
(
)1
G
p
.
Suy ra, Điều này vô lý.
(
)
P S G 1
P G Do đó . 1
s
≤ Φ
G
Vậy
sS G là nhóm lũy linh. Vì
( s GΦ
)
( s S G
)
(
)
(
)
, mà là nhóm lũy linh do đó (4) Ta có
sS G có một tháp Sylow.
(
)
vậy,
Bổ đề 2.2.3.
s
= Φ
G
G
Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó:
(
).
.s
M ∈F
(1) G là nhóm lũy linh khi và chỉ khi
(2) G là nhóm lũy linh khi và chỉ khi M là nhóm con chuẩn tắc của G với mọi
N là nhóm lũy linh với N là nhóm con chuẩn
(3) G là nhóm lũy linh khi và chỉ khi G
( s GΦ
).
tắc của G nằm trong
s
= Φ
G
G
s = ∅ .
F
Chứng minh.
(
)
⇔
∈
∈
.
= với mọi
(
)
( Gπ
)
) GN P G
( , P Syl G p p
∈
P Syl G
(
).
P G⇔ với mọi
p
⇔ G là nhóm lũy linh.
.
khi và chỉ khi (1)
(
) GN M M≠
≤
<
Vậy nên (2) Giả sử G là nhóm lũy linh. M là nhóm con tối đại của G. Khi đó,
)
(
( M N M G . G
) GN M G= .
.s
M ∈F
Do tính tối đại của M nên Do đó mọi nhóm con tối đại M của
.s
M ∈F
G đều là nhóm con chuẩn tắc của G. Vậy M là nhóm con chuẩn tắc của G với mọi
s M ∈F nên tồn
∈
p
∈ G P Syl G
,
.
P Syl M
Vì Ngược lại, giả sử M là nhóm con chuẩn tắc của G với mọi
( π∈
(
)
)
(
(
).
p
p
) GN P M≤
s
=
≤
= Φ
.
< ⋅
G .
G
G
s = ∅F .
tại sao cho Do đó, Theo bổ đề Frattini,
(
).
(
)
G M N P M G
Điều này vô lý. Vậy Hay Theo (1), G là
nhóm lũy linh.
37
G
N là nhóm lũy linh.
(3) Giả sử G là nhóm lũy linh. Vì nhóm thương của nhóm lũy linh là nhóm lũy linh nên
N là
.G
Ngược lại, giả sử G
N là nhóm lũy linh và M là nhóm con tối đại của G. Khi đó, M N nên M
N là nhóm con chuẩn tắc của
N Vậy M là nhóm con
nhóm con tối đại của G
chuẩn tắc của G. Do đó, G là nhóm lũy linh.
Bổ đề 2.2.4.
.s
M ∈F
:G M là số nguyên tố với mọi
Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó:
s
=
G S G
(1) G là nhóm siêu giải được khi và chỉ khi
(
).
(2) G là nhóm siêu giải được khi và chỉ khi
N là nhóm siêu giải được với N là nhóm
(3) G là nhóm siêu giải được khi và chỉ khi G
( ). sS G
con chuẩn tắc của G nằm trong
Chứng minh.
(1) Giả sử G là nhóm siêu giải được, M là một nhóm con tối đại của G.
M là
M là nhóm siêu giải được. Do M là nhóm con tối đại của G nên G
Nếu M G thì G
:G M là số nguyên tố.
M là nhóm cyclic cấp nguyên tố. Do đó
G
1
nhóm đơn. Vậy G
GM ≠ , khi đó
M
G
G
M
:
là nhóm Nếu M không phải là nhóm con chuẩn tắc của G. Giả sử
M
M là số nguyên tố.
G
G
có cấp nhỏ hơn cấp G. Do đó, bằng quy nạp theo G ta có
:G M là số nguyên tố.
1
Vậy
GM = , vì G là nhóm siêu giải được hữu hạn nên theo ĐỊNH LÝ 1.8.11. tồn tại
K G sao cho K có cấp là số nguyên tố.
Nếu
38
GM là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G chứa trong M nên
=
K M M≤
1.
KM G= .
Mặt khác, K M M≤ ,
G
=
=
:
:
:
= G M KM M K K M K
Do đó M là nhóm con thực sự của KM. Do tính tối đại của M nên
:G M là số
là một số nguyên tố. Ta có
.s
M ∈F
Vậy mọi nhóm con tối đại của G đều có chỉ số nguyên tố trong G. Do đó
.s
M ∈F
:G M là số nguyên tố với mọi
nguyên tố với mọi
Trước tiên, ta chứng minh G Ngược lại, giả sử
là nhóm giải được.
Gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G, p là ước nguyên tố lớn nhất của N và P là
p-nhóm con Sylow của N.
(
)
GN P là nhóm con thực sự của G thì tồn tại nhóm con tối đại M của G sao cho
s
.
.
M ∈
p ⊂F
F
Nếu
:G M q= với q là số nguyên tố. Theo bổ
(
) GN P M≤
=
=
.
. G N N P
NM
Vậy Theo giả thiết,
(
)
G
=
=
=
G M :
N N M
:
.
đề Frattini,
NM M
N N M
:
.
q
p≤ .
G M N Hay
Ta có
Do đó
≤
≤
≡
:
.
Theo định lý Sylow, tất cả các p-nhóm con Sylow của G đều liên hợp với P trong G nên
( P N P M
)
(
)
( 1 mod p
)
G
GG N P
≡
≡
≡
G M :
p
.
q
p
:
p
.
Vì nên P cũng là p-nhóm con Sylow của M. Lập
( 1 mod
)
( 1 mod
)
(
)
( 1 mod
)
GM N P
q
p> .
luận tương tự ta có Suy ra Do đó, .
.
Vô lý. Hay
(
P G
) GN P G= .
Hay Vậy
P là nhóm giải được. P là p-nhóm nên P giải
Bằng phương pháp quy nạp theo G ta có G
được. Vậy G là nhóm giải được.
39
.G Gọi N là
Ta chứng minh G là nhóm siêu giải được bằng phương pháp quy nạp theo
N là nhóm con tối đại của G
N khi và chỉ khi M là
=
G M :
N M≤
.
nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G. M
G M : N
N
nhóm con tối đại của G và Ta có là một số nguyên tố. Theo giả
N là nhóm siêu giải được.
K N≠
.
thiết quy nạp, G
,G G K
N là
1.
Nếu tồn tại K là một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu khác của G, Vì
K N =
K N
nhóm siêu giải được nên G là nhóm siêu giải được. Mặt khác, Vậy G là
nhóm siêu giải được.
Nếu N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu duy nhất của G. Vì G là nhóm giải được hữu hạn
≤
N F G
nên N là p-nhóm con Aben cơ bản của G. Do đó N là nhóm con chuẩn tắc lũy linh của G.
(
).
p≠ .
Suy ra
) , F G q
(
Nếu tồn tại q là một ước nguyên tố của Gọi Q là một q-nhóm con Sylow
.
.
( Q char F G Mà
)
(
)
F G G nên
Q G Vậy G có một q-nhóm con chuẩn tắc, do đó tồn tại
của F(G). Do tính lũy linh của F(G) nên Q là q-nhóm con Sylow duy nhất của F(G). Suy ra
≤ Φ/
N
G
G MN=
.
N M≤/
.
một q-nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G, mâu thuẫn. Vậy F(G) là p-nhóm.
(
)
M N N M N M ,
.
Nếu thì tồn tại nhóm con tối đại M của G sao cho Do đó,
Rõ ràng
M N G .
=
N G M
:
1.
Vậy
M N =
Suy ra là một số nguyên tố. Do đó N là Do tính tối tiểu của N nên
G
(
)
N
G
≤ Φ
N
G
nhóm cyclic. Vậy G là nhóm siêu giải được.
(
)
Φ
G
(
)
G
(
)
N
Φ
Nếu thì là nhóm siêu giải được. Theo ĐỊNH LÝ
sc = ∅ .
F
1.8.14. G là nhóm siêu giải được.
(2) Theo (1), G là nhóm siêu giải được khi và chỉ khi
40
s
=
G S G
(
).
Vậy G là nhóm siêu giải được khi và chỉ khi
(3) Vì nhóm thương của một nhóm siêu giải được là một nhóm siêu giải được nên nếu G là
N là nhóm siêu giải được.
.s
M ∈F
nhóm siêu giải được thì G
N là nhóm siêu giải được và
N là nhóm con tối
=
G M :
.G
Ngược lại, nếu G Khi đó, M
:G M N
N
N Do đó,
đại của là số nguyên tố. Vậy theo (1), G là nhóm siêu giải
được.
G M :
.
Bổ đề 2.2.5.
( η=
)
thì tối đại của G sao cho N M≤ Cho G là nhóm hữu hạn. Nếu N là nhóm con chuẩn tắc của nhóm G và M là nhóm con )
( η
G M : N
N
X
(
)
N
Chứng minh.
N , trong đó X là nhóm tối tiểu thỏa
Y
(
)
N
X
X
M
=
=
.
là thương chính của G Giả sử
Theo định nghĩa,
( η
)
(
)(
)
G M : N
N
Y
N
N
.G N
≤
HN X=
.
HN X HN G ,
là nhóm tối tiểu trong tập phần bù chuẩn tắc của M trong G. Khi đó, Giả sử H X≤
) HN M G= .
và (
HY X=
.
Do tính tối tiểu của X ta có Mặt khác, N Y≤
=
<
G M :
.
nên
≤ Vì Y KY X
( η
)
H Y K≤
.H K
K là thương chính của G với
H
X
=
.
.
: G M
K H Y
Gọi H Khi đó
( η=
)
= Suy ra .
Hay và KY G nên KY Y= và
( η
)
K
Y
G M : N
N
2.3. Một số kết quả chính
Ta đã biết "Một nhóm hữu hạn là nhóm lũy linh khi và chỉ khi mọi nhóm con tối đại của
nó đều là nhóm con chuẩn tắc". Sau đây ta xét một định lý tương tự nhóm con chuẩn tắc cho
nhóm con c-chuẩn tắc của một nhóm hữu hạn.
Định lý 2.3.1.
41
Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó G là nhóm giải được khi và chỉ khi mọi nhóm con
tối đại của G là nhóm con c-chuẩn tắc của G.
Chứng minh.
G
Giả sử G là nhóm giải được và M là nhóm con tối đại của G.
GM ≠ thì 1
M
G
G
M
.
là nhóm có cấp nhỏ hơn cấp G. Do đó, bằng phương pháp quy nạp Nếu
M
M
G
G
theo cấp của G thì là nhóm con c-chuẩn tắc của Theo BỔ ĐỀ 2.2.1. (4) thì M
1
là nhóm con c-chuẩn tắc của G.
GM = . Gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G thì N là nhóm aben và N M≤/
M= =
1
. Nếu
N M
.G
Khi đó G NM= và Vậy theo định nghĩa, M là nhóm con c-chuẩn tắc của G.
Ngược lại, giả sử mọi nhóm con tối đại của G là nhóm con c-chuẩn tắc của G nhưng G
không phải là nhóm giải được.
Gọi G là nhóm có cấp nhỏ nhất mà mọi nhóm con tối đại của M là nhóm con c-chuẩn tắc
1.M = Vậy G là nhóm
của G nhưng G không là nhóm giải được.
Nếu G là nhóm đơn thì theo BỔ ĐỀ 2.2.1. (2), G là c-đơn. Do đó
chỉ có các nhóm con tầm thường là 1 và G nên G là nhóm cyclic cấp nguyên tố. Điều này
mâu thuẫn với giả thiết G không giải được. Vậy G không phải là nhóm đơn.
Gọi K là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G thì K là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu duy nhất
G
G
của G. Thật vậy, giả sử K1 và K2 là hai nhóm con chuẩn tắc tối tiểu khác nhau của G. Khi
K
K
,G K 1
2
,G K 1
2
G
1
đó vì giả thiết của định lý vẫn đúng cho nên là nhóm giải được. Do đó
K K =
2
1
K K 1
2
là nhóm giải được. Mà nên G giải được. Điều này mâu thuẫn. Vậy K
≤ Φ
K
G
là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu duy nhất của G.
(
)
K là nhóm giải được
G
(
)
K
G
≤ Φ
K
G
với mọi nhóm con tối đại M của G thì . Vì G Nếu K M≤
(
)
)GΦ (
Φ
G
(
)
G
(
)
K
Φ
và nên là nhóm giải được. Mặt khác, là nhóm
42
K M≤/
.
1
giải được. Vậy G là nhóm giải được. Điều này là mâu thuẫn. Do đó, tồn tại nhóm con tối đại
GM = . Thật vậy, nếu
GM là nhóm con chuẩn
GM ≠ thì 1
≤
≤
K M≤/
.
.
M của G sao cho Khi đó,
K M M G
G KM=
.
tắc của G nên Điều này mâu thuẫn với
=
M N M≤
1.
G
N ≠
1.
nên M là nhóm con c-chuẩn tắc của G nên tồn tại nhóm con chuẩn Vì K M≤/
=
=
.
: N G M K
1.
K N=
.
tắc N của G sao cho G MN= và Do đó, Vì vậy, K N≤ và
K M =
KL G= .
Suy ra, Vậy,
GL = thì 1
1.
Với bất kỳ nhóm con chuẩn tắc tối đại L của G mà Mặt khác, L là
K L =
≠
P
1,
< P K
,
nhóm con c-chuẩn tắc của G nên lập luận tương tự ta có
=
Q N P
Gọi P là p-nhóm con Sylow của K, giả sử P K< . Vì K là nhóm con chuẩn
(
)
G
Q R≤ .
tắc tối tiểu của G nên P không phải là nhóm con chuẩn tắc của G. Do đó, là
=
=
G K Q= .
.
G KQ KR .
nhóm con thực sự của G. Vậy tồn tại nhóm con tối đại R của G sao cho
GR = Vậy 1.
1.
K R =
≤
≤
=
P K Q K R
1.
Do đó, Từ đó suy ra K R≤/ nên Theo bổ đề Frattini,
Điều này mâu thuẫn. Vậy nên K P= là p-nhóm. Do đó, K Ta có:
K vẫn thỏa điều kiện của định lý và G
K có cấp nhỏ hơn G nên G
K
giải được. Rõ ràng, G
giải được. Từ đó ta có G giải được. Điều này mâu thuẫn với cách chọn G.
Định lý 2.3.2.
=
G M :
G M :
.
Cho G là một nhóm hữu hạn và M là nhóm con tối đại của G. Khi đó M là nhóm con c-
( η
)
chuẩn tắc của G khi và chỉ khi
=
G M :
G M :
Chứng minh.
( η
)
G
bằng Giả sử M là nhóm con c-chuẩn tắc của G. Ta sẽ chứng minh
GM ≠ thì 1
M
G
G
M
.
phương pháp quy nạp theo cấp của G. Nếu là nhóm có cấp nhỏ hơn cấp G.
M
M
G
G
Vì M là nhóm con c-chuẩn tắc của G nên là nhóm con c-chuẩn tắc của Do đó,
43
G
G
M
M
:
:
.
M
M
M
M
G
G
G
G
η
=
G
G
M
M
=
=
=
:
:
.
: G M
: G M
( η
)
M
M
M
M
G
G
G
G
η
1
Theo BỔ ĐỀ 2.2.5.
GM = thì do M là nhóm con c-chuẩn tắc của G nên theo định nghĩa tồn tại nhóm
=
≤
=
MN G M N M
,
1.
1.
Nếu
N ≠ Giả sử tồn tại
G
=
=
≠
≤
N G M K :
.
1.
con chuẩn tắc N của G sao cho Do vậy,
K M =
N K=
.
nhóm con chuẩn tắc K của G sao cho 1 K N thì Do đó, Suy
=
=
G M :
N G M
:
.
( η
)
=
=
G M :
G M :
.
G M :
G
.
ra Vì vậy N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G. Theo định nghĩa chỉ số chuẩn tắc,
( η
)
( η
)
=
=
G M :
G M :
.
G G M
:
.
Nếu G là nhóm đơn thì Theo giả Ngược lại, giả sử
1.M = Vậy M là nhóm con c-chuẩn tắc
( η
)
thiết, Suy ra, Do đó,
G
của G.
GM ≠ thì 1
M
G
G
M
.
là nhóm có cấp nhỏ hơn G nên Giả sử G không phải là nhóm đơn. Nếu
M
M
G
G
bằng quy nạp theo cấp của G, ta có là nhóm con c-chuẩn tắc của Do đó, M là
=
G M :
N
.
1
nhóm con c-chuẩn tắc của G.
( η
)
GM = , gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G thì MN G=
=
G M :
G M :
.
G M N=
:
.
M= =
1
và Nếu
( η
)
M N
G
Theo giả thiết, Từ đó suy ra, Vậy nên theo
định nghĩa, M là nhóm con c-chuẩn tắc của G.
Hệ quả 2.3.3.
=
G M :
G M :
Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó G là nhóm giải được khi và chỉ khi
( η
)
với mọi nhóm con tối đại M của G.
Chứng minh.
Theo ĐỊNH LÝ 2.3.1, G là nhóm giải được khi và chỉ khi mọi nhóm con tối đại M của G
là nhóm con c-chuẩn tắc của G. Theo ĐỊNH LÝ 2.3.2, nhóm con tối đại M của G là nhóm
44
=
G M :
G M :
.
( η
=
G M :
G M :
con c-chuẩn tắc của G khi và chỉ khi Vậy G là nhóm giải được khi và chỉ )
( η
)
khi với mọi nhóm con tối đại M của G.
Định lý 2.3.4.
Cho G là một nhóm hữu hạn. Khi đó G là nhóm giải được khi và chỉ khi tồn tại trong G
một nhóm con tối đại M giải được, c-chuẩn tắc.
Chứng minh.
Giả sử G là nhóm giải được. Khi đó theo ĐỊNH LÝ 2.3.1. mọi nhóm con tối đại M của G
là nhóm con c-chuẩn tắc của G. Hơn nữa, nhóm con của một nhóm giải được là nhóm giải
được nên M là nhóm con tối đại giải được, c-chuẩn tắc của G.
Ngược lại, giả sử định lý sai. Gọi G là một phản ví dụ có cấp nhỏ nhất. Gọi M là nhóm
G
1.
con tối đại giải được, c-chuẩn tắc của G.
GM ≠ thì 1
GM = Thật vậy, giả sử
M
G
G
G
M
là nhóm có cấp nhỏ hơn G. Mặt khác, Khi đó,
M
M
M
G
G
G
là nhóm con tối đại giải được c-chuẩn tắc của . Do đó, là nhóm giải
GM là nhóm con của nhóm giải được M nên
GM giải được. Vậy G giải
được. Hơn nữa,
GM = 1.
được. Điều này mâu thuẫn. Vậy
1.M = Vậy G không có nhóm con nào ngoài 1 và chính nó nên G là nhóm cyclic. Do đó, G
G không phải là nhóm đơn. Thật vậy, nếu G là nhóm đơn thì G là nhóm c-đơn, do đó
K M≤/
.
là nhóm giải được. Điều này mâu thuẫn.
GM = nên 1
=
G KM M K ,
1.
Gọi K là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G. Vì Do đó,
=
=
1.
M N M≤
M là nhóm con c-chuẩn tắc của G nên tồn tại N là nhóm con chuẩn tắc
G
và của G sao cho G NM=
− 1
=
K C L
k K l kl
= ∀ ∈ ,
k
.
Gọi L là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của M.
(
K
1
) { = ∈
} l L
Đặt
45
∈
∈ g M k K l L
,
,
,
∈ ta có:
1
− − 1 1
− 1
− 1
− 1
− 1
=
=
=
− − 1 1 lgkg l
g
gkg
∈ L .
l , 1
)
( ( ) g g lg k g l g g
( − 1 g l kl 1 1
)
− ∈ 1
gkg
Với
1. K
Vậy
1K là M-bất biến.
Do đó
K=
L KM G= .
Vì M là nhóm con tối đại của G nên K chỉ có hai nhóm con M-bất biến là K và 1. Nếu
1K
K = 1 1.
GM = Vậy 1.
pα=
1.
,
,
L K ≠ , giả sử L 1
thì Điều này mâu thuẫn với
)
L K = Thật vậy, nếu (
)
và P là p-nhóm con Sylow Ta có(
≤
1.
,
của LK chứa L. Khi đó P K là nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của P nên
( Z P
)
( Z P
)
( K C L
) 1, =
K ≠
K
) L K = 1.
Mặt khác, mâu thuẫn. Vậy (
,K tồn tại duy nhất một q-nhóm con Sylow L-bất
Với mỗi số nguyên tố q là ước của
=
=
.
− − 1 1 l g Qgl
− 1 g Qg
∈
1g Qg−
g M l L ,
biến Q của K.
∈ ta có
− − 1 1 g l Ql g 1
1
Với Do đó, là q-nhóm con Sylow
−
1
=
g Qg Q .
L-bất biến của K.
Q K=
.
Suy ra Q là nhóm con Sylow M-bất biến của K. Do tính duy nhất của Q ta có
Mặt khác, K chỉ có hai nhóm con M-bất biến là 1 và K nên
K và K là nhóm giải được nên G giải được,
Vậy K là q-nhóm, do đó K giải được. Vì G
mâu thuẫn. Nói cách khác, không tồn tại phản ví dụ. Vậy định lý trên đúng
.G Nếu M là c-chuẩn
Định lý 2.3.5.
pc
M ∈F
Cho G là một nhóm hữu hạn và p là ước nguyên tố lớn nhất của
tắc trong G với mọi nhóm con tối đại không lũy linh thì G là nhóm p-giải được.
Chứng minh.
Giả sử định lý sai và G là một phản ví dụ có cấp nhỏ nhất.
46
p
=
pc = ∅
G S G
pc ≠ ∅ .
F
F
(
)
.
Khi đó, Thật vậy, nếu thì theo BỔ ĐỀ 2.2.2. (3), là p-
P G Vậy G là nhóm p-giải được, mâu
đóng. Do đó tồn tại p-nhóm con Sylow P sao cho
.pc
M ∈F
thuẫn.
pc
pc
M ∈F
M là nhóm con c-chuẩn tắc của G với mọi Thật vậy, ta sẽ chứng minh mọi
M ∈F sao cho M lũy linh.
1M ≠ với
nhóm con tối đại đều không lũy linh. Giả sử tồn tại
2M là 2-nhóm con Sylow của
2
Vì G không giải được nên theo ĐỊNH LÝ 1.6.18.
2
p = và G là 2-nhóm, do đó G là nhóm 2-giải được. Điều
M.
M
Nếu M là một 2-nhóm con thì
′ ≠ ≠
2M ′ là 2'-nhóm con Hall của M.
1M 2
2
G
trong đó này vô lý. Vậy G không giải được và
2M ′ là nhóm con chuẩn tắc của G. Rõ ràng
M ′ 2
G
Theo ĐỊNH LÝ 1.8.13. thỏa mãn các giả
2M ′ là nhóm giải
M ′ 2
là nhóm p-giải được. Hơn nữa, thiết của G. Do cách chọn G, ta có
pc
pc ≠ ∅
F
M ∈F
được. Vậy G là nhóm p-giải được, mâu thuẫn.
1.M = Vậy G là nhóm chỉ có hai nhóm
nên tồn tại . Do đó M là nhóm con c-chuẩn Giả sử G là nhóm đơn. Vì
tắc. G là nhóm đơn nên G là nhóm c-đơn. Suy ra
con tầm thường là 1 và chính nó. Do đó G là nhóm cyclic. Vậy G là nhóm p-giải được, mâu
thuẫn.
Vậy G không phải là nhóm đơn. Gọi N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu của G. Khi đó N là
nhóm con chuẩn tắc tối tiểu duy nhất của G.
G
N là nhóm p-giải được. Vậy
N thỏa điều kiện của định lý và có cấp nhỏ hơn cấp G nên G
Nếu p không phải là ước của N hay N là p-nhóm thì N là nhóm p-giải được. Mặt khác,
p N .
G là nhóm p-giải được, mâu thuẫn. Vậy
= thì P N
pN
pN là p-nhóm con Sylow của N
N
N N≠
Gọi P là p-nhóm con Sylow của G. Đặt
).
p
( N P G
.p
và Rõ ràng,
47
=
≠
≠
N
G
p
pN không phải là nhóm con chuẩn
pN
( G NN N
).
Theo bổ đề Frattini, Vì 1 nên
N N là nhóm con thực sự của G. Vì vậy tồn tại nhóm con tối đại M
G
p
(
)
≤
≤
M
.
.p
M ∈F
tắc của G. Do đó,
)
( N P G
p
( N N G
)
=
≤
M
,
N M≤/
.
Vậy của G sao cho
G
p
GM = 1.
( G NN N
)
q
p< .
thì mâu thuẫn. Do đó Vì vậy Nếu N M≤
:G M q= là một số nguyên tố thì
≤
≤
≡
:
.
Nếu Theo định lý Sylow, tất cả các p-nhóm con
( P N P M
)
(
)
( 1 mod p
)
G
GG N P
≡
:
.
p
Sylow của G đều liên hợp với P trong G nên Vì nên
(
)
( 1 mod
)
GM N P
≡
≡
q
p
.
: G M
p
q
p> .
P cũng là p-nhóm con Sylow của M. Lập luận tương tự ta có Suy ra
)
( 1 mod
)
( 1 mod
.pc
Do đó, . Hay Điều này mâu thuẫn với giả thiết p là
.G Vậy
:G M là hợp số. Do đó
M ∈F Hay M là nhóm
ước nguyên tố lớn nhất của
≤
≤
=
N M K M M
1.
G
=
:
N
G M :
1.
con c-chuẩn tắc của G. Theo định nghĩa, tồn tại một nhóm con chuẩn tắc K của G sao cho
G M = Mặt khác 1.
= Điều này mâu thuẫn với
p N .
p
p
p
nên Do P M≤
Nói cách khác, không tồn tại phản ví dụ. Vậy định lý trên đúng.
2.4. Ứng dụng
Chúng ta đã biết tiêu chuẩn về nhóm siêu giải được trong định lý nổi tiếng của
S.Srinivasan. Trong phần này sẽ khái quát định lý bằng cách thay thế điều kiện "chuẩn tắc"
bởi điều kiện yếu hơn là "c-chuẩn tắc" mà kết quả định lý vẫn đúng.
Định lý 2.4.1.
Cho G là một nhóm hữu hạn, P là một nhóm con Sylow bất kỳ của G. Nếu P1 là nhóm con
c-chuẩn tắc của G với mọi nhóm con tối đại P1 của P thì G là nhóm siêu giải được.
Chứng minh.
p
Giả sử định lý sai, ta lấy một phản ví dụ là nhóm G có cấp nhỏ nhất. Khi đó:
(
) 1.
( Gπ∈
)
pO G ≠ Thật vậy, gọi p1 là ước nguyên tố bé nhất của
1
1,
G . Nếu
(
)
(
)
pO G ≠ , ta có điều cần chứng minh. Nếu
pO G = gọi P là p1 nhóm con
1
1
sao cho (1) Tồn tại
48
Sylow của G. Nếu P là nhóm cyclic thì G có một p1-phần bù chuẩn tắc K. Rõ ràng K thỏa
≠
≤
1
p
mãn các giả thiết của định lý nên theo cách chọn G ta có K là nhóm siêu giải được. Do đó
)
)
( Gπ∈
)
( O K p
( O G p
tồn tại sao cho . Nếu P không cyclic thì tồn tại nhóm con tối
1
≤
≤
=
1.
pα .n
G P K=
đại P1 của P. Theo giả thiết P1 là nhóm con c-chuẩn tắc của G. Khi đó tồn tại nhóm con
(
)
)
P K 1
P 1
α α = G p p 2 1
2 ...
n
1
( O G p 1
G
G
=
=
...
K
chuẩn tắc K của G sao cho và Giả sử
.K Vì p1 nhóm con trong
α p p 2 1 2
α ,n p n
P 1
Khi đó p1 là ước nguyên tố nhỏ nhất của
p
K là nhóm cyclic nên K có một p1-phần bù chuẩn tắc K1 mà nó cũng đồng thời là p1-phần bù
( Gπ∈
)
≠
≤
1
.
)
)
( O K p
( O G p
p
chuẩn tắc của G. Lập luận tương tự như trên ta có tồn tại sao cho
(
) 1.
( Gπ∈
)
pO G ≠ Gọi N là một nhóm con chuẩn tắc tối
≤
N O G
sao cho (2) Theo (1) tồn tại
(
).
(
)
(
)
pO G là p-nhóm nên lũy linh, vì vậy
p
pO G là nhóm
tiểu của G sao cho Do
N là nhóm siêu giải được
giải được. Suy ra N là p-nhóm Aben sơ cấp. Ta sẽ chứng minh G
N thỏa mãn các giả thiết của G. Giả sử P là p-nhóm con Sylow của G
1P
N P≤ .
bằng cách chỉ ra G
N
Nếu N=P ta có ngay điều phải chứng minh. Nếu N N . Khi đó, P1 là nhóm con tối đại của P. Do đó P1 là nhóm con c-chuẩn tắc 1P .G tối đại của P p≠ . Gọi Q là q-nhóm con N N Xét q QN ∈ = Q Syl G Q là nhóm con c-chuẩn tắc trong trong G. Suy ra ( ). q N . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử N T = = < ⋅ =
T T QN Q. QN Sylow của G với Giả ( ) ( )
T Q N Q N 1 Q < ⋅
1 N N G Q K= , khi đó với sử Theo giả thiết, Q1 là 1 Q K nhóm con c-chuẩn tắc của G. Do đó tồn tại nhóm con chuẩn tắc K của G sao cho ( ) Q≤ 1 1 .G G T K = ) N N và Q N K Q K N ( ) ) ( ( ) N
(
T K
1 1 1 )
Q N
G T K T = = = ≤ ≤ (
( )(
) ( ) ( G N N N N N N N )( ) N Ta có: 49 N thỏa mãn các giả thiết của G. Theo N là nhóm con c-chuẩn tắc của G nên T N . Do đó, G N là nhóm siêu giải được. cách chọn G ta có G N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu duy nhất của G. Thật vậy, giả sử N và N' là hai nhóm N và G N′ là nhóm siêu giải được. Do đó G 1 con chuẩn tắc tối tiểu khác nhau của G. Khi đó G N N ′ =
) ( N N′ là nhóm siêu giải được. Mà nên G là nhóm siêu giải được. Điều này ≤ Φ N G mâu thuẫn với cách chọn G. Vậy N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu duy nhất của G. ( ). N là nhóm siêu giải G ( ) N G Nếu N M≤ với mọi nhóm con tối đại M của G thì Vì G Φ ≅ G ( ) G ( ) N Φ
N M≤/ . là nhóm siêu giải được. Do đó G là nhóm siêu giải được nên G MN= . được. Mâu thuẫn với cách chọn G. Vậy tồn tại nhóm con tối đại M của G sao cho M N M M N N
, Suy ra . Do tính tối tiểu của . Do đó M N G GM
≅ 1. Mặt khác, do N aben nên M N = N Suy ra G là tích nửa trực tiếp của M và N. Hơn nữa, nên M là N nên nhóm siêu giải được. Vậy G có duy nhất một nhóm con chuẩn tắc tối tiểu N sao cho G là tích nửa trực tiếp của N và M trong đó N là p-nhóm Aben sơ cấp và M là nhóm siêu giải được. ) G (
GC N = = C N M C N M N
, G
. nên . Hơn nữa, do N là nhóm Aben nên Vì N G ( ( ) ) M G ) 1. ( MC N = = = = . Vì N là nhóm con chuẩn tắc tối tiểu duy nhất của G nên ) ) (
NM N C N M N ) ) 1 ( ( ) (
C N
G (
C N
G G qO G = với mọi số nguyên ≤ ≤ = =
F G M B O M N O G q p≠
. Rõ ràng Ta có 1B ≠ thì ( ( ( ) ( ). ) (
F G ). )
GN B M> p p = = ≤ ≤ . tố Do đó, Nếu , vì (
F G ) ( )
N F G M N
( ) , vô lý. Vậy B=1 và thế B G . Suy ra N B M 50 pα= N p=
. )Gπ và ( Giả sử N và (3) Ta chứng minh p là ước nguyên tố lớn nhất của )Gπ và ).Gπ
( ( p không là ước nguyên tố lớn nhất của Gọi q là ước nguyên tố lớn nhất của G
N N N là nhóm siêu giải được, QN = . Suy ra Q là q-nhóm con Sylow của G. Vì G QN G
. QP G≠ Gọi P là một p-nhóm con Sylow của G. QP QNP là nhóm con của G. Nếu ≤ = N , = ×
QN Q N . thì QP thỏa mãn các giả thiết của G nên theo cách chọn G ta có QP là nhóm siêu ( ) Q C N
G ≤ Φ N P và khi đó Suy ra vô lý. giải được. Do đó Q QP ( ) )PΦ
( = = = ≤ ≤ . N P M , thì do (2) và là tập tất cả các phần tử không sinh Giả sử QP G= . Nếu (
P P NM N P M P M ) của P ta có Suy ra vô lý. Do đó tồn tại nhóm N P≤/
1. ≤ ≤ = N . 1 G P K= con tối đại P1 của P sao cho Vì P1 là nhóm con c-chuẩn tắc trong G nên tồn tại nhóm ≠ thì ( ) (
F G ) P K
1 P
1 1 G )1
GP = ≤ N p Q= 1. con chuẩn tắc K của G sao cho và Nếu ( q< . Ta có K có p-phần bù ( P K = )1
P P
1, 1 G vô lý. Do đó Mặt khác, K và p P chuẩn tắc Q. Suy ra Q G . Điều này mâu thuẫn với (2). Vậy p là ước nguyên tố lớn nhất ).Gπ
( P G
. .G
N N N là nhóm siêu giải được nên = ∈ N P Syl G ). ( p Vì G Do đó Từ (2) ta có của K G N K= Gọi N1 là nhóm con tối đại của N. Khi đó N1 là nhóm con c-chuẩn tắc của G. Do đó tồn ( ) N≤ N
1 1 1 .G = K . N K≤ . tại nhóm con chuẩn tắc K của G sao cho và Do tính duy nhất của (
N= Do đó N
1 N
1 N
1 )
1 G N ta có Suy ra là nhóm con chuẩn tắc của G. Do tính N = Vậy N chỉ có hai nhóm con tầm thường là 1 và chính nó nên 1 1. N p=
. tối tiểu của N nên N là nhóm siêu giải được và N là nhóm có cấp nguyên tố. Do đó G là nhóm siêu
giải được. Điều này mâu thuẫn với cách chọn G. Nói cách khác, không tồn tại phản ví dụ. Vậy G Vậy định lý trên đúng. 51 Các kết quả chính của luận văn: 1. Trình bày khái niệm và tính chất cơ bản của nhóm con c-chuẩn tắc. 2. Đưa ra một số điều kiện giải được và p-giải được. 3. Tổng quát định lý của Srinivasan bằng cách thay thế điều kiện chuẩn tắc bằng điều kiện c-chuẩn tắc. Nhóm con c-chuẩn tắc có khá nhiều ứng dụng trong việc nghiên cứu cấu trúc nhóm hữu hạn. Luận văn đã đưa ra một vài tính chất tương tự nhóm con chuẩn tắc cho nhóm con c- chuẩn tắc của một nhóm hữu hạn. Đồng thời, nghiên cứu các tính chất của nhóm con c- chuẩn tắc liên quan với nhóm giải được và nhóm siêu giải được. Trong quá trình thực hiện luận văn, mặc dù bản thân đã có nhiều cố gắng nhưng sẽ không tránh khỏi những sai lầm thiếu sót. Kính mong quý thầy cô tận tình góp ý để tôi có thể chỉnh sửa cho luận văn của mình hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô. 52 1. Bùi Xuân Hải (Chủ biên), Trịnh Thanh Đèo (2002), Đại số hiện đại, Nxb Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh. 2. Baer R. (1957), “Classes of finite groups and their properties”, Illinois J. Math., (1), pp.115-187. 3. Ballester A.-Boliches (1990), “On the normal index of maximal subgroups in finite groups”, J. Pure Appl. Algebra, (64), pp.113-118. 4. Bhattacharya P. and Mukherjee N. (1988), “The normal index of a finite group”, Pacific J. Math., (132), No.1, pp.143-149. 5. Deskins W. E. (1959), “On maximal subgroups”, Proc. Symp. Pure Math., (1), pp.100- 104. 6. D. Gorenstein (1980), Finite Groups, Chelsea, NewYork. 7. Robinson Derek J.S., A Course in the Theory of Groups, (2nd edition), Springer – Verlag, New York. 8. Rose R. (1977), “On finite insolvable groups with nilpotent maximal subgroups”, J. Algebra (48) , pp.182-196. 9. Wang Y. (1996), “C-Normality of Groups and Its Properties”, J. Algebra (180), pp. 954- 965. 53KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
Tiếng Anh
