Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm con c-chuẩn tắc và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> Đậu Thị Huế<br /> <br /> NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> Thành phố Hồ Chí Minh – 2013<br /> <br /> BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> Đậu Thị Huế<br /> <br /> NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG<br /> <br /> Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số<br /> Mã số : 60 46 01 04<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC<br /> PGS.TS MỴ VINH QUANG<br /> <br /> Thành phố Hồ Chí Minh – 2013<br /> <br /> LỜI CẢM ƠN<br /> <br /> Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu<br /> sắc tới PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người đã tận tình chỉ bảo hướng dẫn để tôi có thể hoàn<br /> thành luận văn.<br /> Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giảng viên trong<br /> khoa Toán của trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM đã tận tình dạy bảo cho tôi trong quá<br /> trình học tập tại khoa.<br /> Xin cảm ơn các cán bộ của Phòng Sau Đại Học, trường Đại Học Sư Phạm Tp.HCM đã<br /> tạo điều kiện thuận lợi cho tôi cùng các học viên khác có thể học tập và nghiên cứu hiệu<br /> quả.<br /> Cuối cùng, tôi xin gửi lời tri ân tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ tôi<br /> trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.<br /> Tp. Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2013.<br /> <br /> 1<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> Mối quan hệ giữa tính chất của nhóm con tối đại của một nhóm hữu hạn và cấu trúc<br /> của nhóm đã được nghiên cứu rộng rãi. Tính chuẩn tắc của một nhóm con trong một nhóm<br /> hữu hạn cũng đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu nhóm hữu hạn. Ta đã biết rằng<br /> nhóm hữu hạn G là lũy linh khi và chỉ khi mọi nhóm con tối đại của G là chuẩn tắc trong G.<br /> Định lý nổi tiếng của B. Huppert chỉ ra rằng một nhóm hữu hạn G là siêu giải được khi và<br /> chỉ khi mọi nhóm con tối đại của G có chỉ số nguyên tố trong G.<br /> Gần đây, có nhiều kết quả nghiên cứu về nhóm hữu hạn khá thú vị, chẳng hạn: G là<br /> nhóm giải được khi và chỉ khi mọi nhóm con tối đại M là c-chuẩn tắc trong G. Ngoài ra,<br /> nhóm con c-chuẩn tắc còn có nhiều ứng dụng khác trong việc nghiên cứu cấu trúc của nhóm<br /> hữu hạn. Đó là lý do tôi chọn đề tài này để tìm hiểu.<br /> Nội dung chính của luận văn dựa trên bài báo [9], trình bày một số kết quả về nhóm<br /> con c-chuẩn tắc và tính chất của nó, đưa ra một vài tính chất tương tự nhóm con chuẩn tắc<br /> cho nhóm con c-chuẩn tắc của một nhóm hữu hạn. Đồng thời, nghiên cứu các tính chất của<br /> nhóm con c-chuẩn tắc liên quan với nhóm giải được và nhóm siêu giải được, tổng quát một<br /> số định lý nổi tiếng bằng việc dùng khái niệm c-chuẩn tắc.<br /> Luận văn gồm 2 chương:<br /> CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ<br /> Chương này trình bày lại các khái niệm, chứng minh lại một số các định lý, bổ đề để<br /> dùng trong luận văn.<br /> CHƯƠNG 2: NHÓM CON C-CHUẨN TẮC VÀ ỨNG DỤNG<br /> Chương này sẽ trình bày về khái niệm nhóm con c-chuẩn tắc và một số tính chất của<br /> nó. Sau đó nghiên cứu các tính chất của nhóm con c-chuẩn tắc liên quan với nhóm giải được<br /> và nhóm siêu giải được. Tổng quát định lý của Srinivasan bằng cách thay thế điều kiện<br /> chuẩn tắc bằng điều kiện yếu hơn là c-chuẩn tắc.<br /> <br /> 2<br /> <br /> BẢNG KÝ HIỆU<br /> <br /> Hx<br /> <br /> Nhóm con liên hợp với H.<br /> <br /> NG ( H )<br /> <br /> Chuẩn hóa tử của H trong G.<br /> <br /> CG ( H )<br /> <br /> Tâm hóa tử của H trong G.<br /> <br /> Z (G )<br /> <br /> Tâm của G.<br /> <br /> H ≤G, H