Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm con hữu hạn của nhóm PGL (2,R) và một ứng dụng vào giải phương trình hàm

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:53

Thêm vào BST

Báo xấu

40
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình hàm là một dạng toán hay và quan trọng trong các kì thi học sinh giỏi. Đề thi và lời giải các phương trình hàm rất phong phú, liên quan đến nhiều khía cạnh như đại số, giải tích, số học, tổ hợp. Mục đích của luận văn này là xét một lớp phương trình hàm liên kết với các phép biến đổi phân tuyến tính có bậc hữu hạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhóm con hữu hạn của nhóm PGL (2,R) và một ứng dụng vào giải phương trình hàm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN QUYNH NHÓM CON HỮU HẠN CỦA NHÓM PGL(2, R) VÀ MỘT ỨNG DỤNG VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN QUYNH NHÓM CON HỮU HẠN CỦA NHÓM PGL(2, R) VÀ MỘT ỨNG DỤNG VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. ĐOÀN TRUNG CƯỜNG Thái Nguyên - 2015
i Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Đa thức đặc trưng và chéo hóa ma trận . . . . . . . . . . . . 8 2 Nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R) 11 2.1 Nhóm con xyclic hữu hạn của PGL(2, R) . . . . . . . . . . 11 2.2 Nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R) . . . . . . . . . . 16 3 Ứng dụng vào phương trình hàm 22 3.1 Phương trình hàm và nhóm các phép biến đổi phân tuyến tính 22 3.2 Bài tập vận dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2.1 Phương trình liên kết với các nhóm xyclic Cn . . . . 27 3.2.2 Phương trình liên kết với các nhóm Diheral Dn . . . 35 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48
ii Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc với TS. Đoàn Trung Cường, đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua. Xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô giáo trong khoa Toán - Tin, Phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ quốc tế, các bạn học viên lớp Cao học Toán K7D trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân luôn khuyến khích, động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Thái Nguyên, 2015 Vũ Văn Quynh Học viên Cao học Toán K7D, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên
1 Mở đầu Phương trình hàm là một dạng toán hay và quan trọng trong các kì thi học sinh giỏi. Đề thi và lời giải các phương trình hàm rất phong phú, liên quan đến nhiều khía cạnh như đại số, giải tích, số học, tổ hợp. Mục đích của luận văn này là xét một lớp phương trình hàm liên kết với các phép biến đổi phân tuyến tính có bậc hữu hạn. Ta bắt đầu bằng một ví dụ: Ví dụ. (Putnam 1971) Tìm tất cả các hàm f : R\{0, 1} → R sao cho   x−1 f (x) + f   = 1 + x, ∀x ∈ R\{0, 1}. x Để giải phương trình hàm này, ta xét ánh xạ g : R\{0, 1} → R\{0, 1} được x−1 xác định bởi g(x) = . Khi đó x x−1 g(x) − 1 x − 1 1 2 g (x) = g(g(x)) = = x−1 =− ; g(x) x x−1 1 − x−1 − 1 −x 3 2 g (x) = g(g (x)) = 1 =− = x. − x−1 −1 Gọi id là ánh xạ đồng nhất của R\{0, 1} thì G = {id, g, g 2 } cùng với phép hợp thành các ánh xạ là một nhóm xyclic cấp 3. Kí hiệuf1 = f, f2 = f ◦ g, f3 = f ◦ g 2 , ta có f1 (x) + f2 (x) = 1 + x với mọi x ∈ R\{0, 1}.
2 Thay x bằng g(x) và g 2 (x), ta có hai phương trình sau: f (g(x)) + f (g 2 (x)) = 1 + g(x), hayf2 (x) + f3 (x) = 1 + f (x); f (g 2 (x)) + f (x) = 1 + g 2 (x), hayf3 (x) + f1 (x) = 1 + g 2 (x). Vậy ta có một hệ phương trình tuyến tính theo ba ẩn f1 , f2 , f3 là      f1 + f2 = 1 + x     x−1 f2 + f3 = 1 +   x −1     f3 + f1 = 1 +   x−1 x3 − x2 − 1 x3 − x2 − 1 Giải hệ phương trình cụ thể cho ta f1 (x) = hay f (x) = . 2x(x − 1) 2x(x − 1) Hàm số này thỏa mãn phương trình hàm ban đầu, do vậy nó là nghiệm mong muốn. Tổng quát, cho D ⊆ R là một miền và g1 , . . . , gn : D → D là các hàm số liên tục sao cho G = {id, g1 , . . . , gn } cùng với phép hợp thành các ánh xạ là một nhóm hữu hạn. Cho các hàm a0 , a1 , . . . , an , b : D → R. Chúng ta quan tâm đến phương trình hàm sau a0 f + a1 f ◦ g1 + · · · + an f ◦ gn = b. (1) Để tìm được hàm f thỏa mãn phương trình này, ta thay x bởi id, g1 (x), g2 (x), . . . , gn (x). Khi đó, ta sẽ có được một hệ phương trình tuyến tính với ẩn là f, f ◦ g1 , f ◦ g2 , . . . , f ◦ gn . Khi đó ta có thể giải hệ này, bằng các phương pháp tiêu chuẩn của đại số tuyến tính như phương pháp Cramer. Trong lời giải của phương trình (1) cấu trúc nhóm của tập hợp các phép biến đổi g1 (x), . . . , gn (x) là yếu tố quyết định. Trong phạm vi luận văn này chúng ta chỉ quan tâm phương trình hàm (1) cho bởi các nhóm hữu hạn gồm
3 các phép biến đổi phân tuyến tính. Các nhóm này đều đẳng cấu với một nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R), vì vậy để mô tả rõ phương trình hàm (1), chúng tôi sẽ đi mô tả cấu trúc của tất cả các nhóm con hữu hạn của nhóm tuyến tính xạ ảnh PGL(2, R). Các kết quả và thông tin trong luận văn được viết dựa vào bản thảo bài báo "Functional equations and finite groups substitutions" của Mihály Bessenyei, American Mathematical Monthly 2010, và bài báo "Finite sub- groups of PGL(2, R) and functional equations" của Đoàn Trung Cường. Luận văn được chia thành ba chương với nội dung chính như sau: Chương 1: Chương này trình bày một số kiến thức về nhóm và ma trận cần thiết cho các tính toán về nhóm PGL(2, R) trong chương sau. Chương 2: Nhóm con hữu hạn của PGL(2, R). Trong chương này chúng tôi sẽ đi mô tả cấu trúc của tất cả các nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R). Kết quả chính của chương này là Mệnh đề 2.1.1 và Định lý 2.2.3 khẳng định rằng các nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R) hoặc là nhóm xyclic Cn hoặc là nhóm nhị diện Dn . Hơn nữa các phần tử sinh của các nhóm này cũng được mô tả khá cụ thể. Chương 3: Ứng dụng vào phương trình hàm. Từ các kết quả trong chương 2, chúng tôi xây dựng các phương trình hàm cụ thể gắn với các nhóm con của nhóm PGL(2, R). Các ví dụ này có thể được dùng như bài tập cho học sinh phổ thông thuộc diện khá, giỏi. Thái Nguyên, ngày 20 tháng 11 năm 2015 Vũ Văn Quynh
4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này giới thiệu kiến thức về nhóm là cơ sở áp dụng cho các chương sau. Nội dung bao gồm các định nghĩa, tính chất về nhóm, nhóm xyclic, nhóm Diheral, nhóm đối xứng, nhóm thay phiên, cùng các kiến thức về ma trận, điều kiện để ma trận là chéo hóa được. Các kiến thức này sẽ được áp dụng vào việc hỗ trợ xác định các nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R) ở Chương 2. 1.1 Nhóm Mục này giới thiệu các kiến thức cơ bản về nhóm như đã nêu ở trên. Định nghĩa 1.1.1. Cho G 6= ∅ với phép toán ”.” : G × G → G thỏa mãn các tính chất (i) Kết hợp: (a.b).c = a.(b.c), ∀a, b, c ∈ G; (ii) Tồn tại phần tử đơn vị e ∈ G thỏa mãn a.e = e.a = a, ∀a ∈ G; (iii) Tồn tại phần tử nghịch đảo: ∀a ∈ G, ∃b ∈ G : a.b = b.a = e, kí hiệu b = a−1 . Khi đó, G với phép toán ”.” lập thành một nhóm, ta kí hiệu là (G, .) hay ngắn gọn G. Nhóm (G, .) được gọi là nhóm giao hoán (hay nhóm Abel) nếu a.b = b.a, ∀a, b ∈ G.
5 Chú ý 1.1.2. Cho (G, .) là một nhóm, khi đó (i) Phần tử đơn vị là duy nhất. (ii) ∀a ∈ G phần tử nghịch đảo của a là duy nhất. Định nghĩa 1.1.3. Giả sử (G, .) là một nhóm, H 6= ∅, H ⊆ G là một nhóm con của G nếu (H, .) cũng là một nhóm. Mệnh đề 1.1.4. Giả sử (G, .) là một nhóm, H 6= ∅, H ⊆ G. Các mệnh đề sau là tương đương: (i) (H, .) là nhóm con của nhóm (G, .) (ii) ∀a, b ∈ H : a.b ∈ H, a−1 ∈ H (iii) ∀a, b ∈ H, a.b−1 ∈ H Định nghĩa 1.1.5. Giả sử G là một nhóm với đơn vị e và a ∈ G. Nếu am 6= e, với mọi m > 0, thì ta nói a có cấp vô hạn. Trái lại thì số nguyên dương m nhỏ nhất sao cho am = e được gọi là cấp của a, kí hiệu là ord(a). Kí hiệu |G| là số phần tử của G. Nếu G có hữu hạn phần tử thì ta nói G có cấp |G| hữu hạn hay G là nhóm hữu hạn. Nếu G có vô hạn phần tử thì ta nói G có cấp vô hạn hay nhóm G là vô hạn. Trong phần tiếp theo ta xét một số nhóm đặc biệt như nhóm xyclic, Diheral, nhóm đối xứng,... Định nghĩa 1.1.6. G là một nhóm xyclic nếu tồn tại một phần tử a ∈ G sao cho với mọi phần tử b ∈ G, có một biểu diễn am = b với m ∈ Z nào đó. Khi đó a được gọi là phần tử sinh của G. Kí hiệu G = hai. Giả sử G = hai là một nhóm xyclic hữu hạn có cấp n. Khi đó |G| = n = ord(a) và G = {e, a, a2 , ..., an−1 }, ta kí hiệu nhóm này là Cn . Với nhóm xyclic G = hai ta có |G| =ord(a). Do đó cấp của G là số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho an = e.
6 Xét đa giác đều n cạnh Pn với n ≥ 3. Gọi a là phép quay mặt phẳng xung quanh tâm của Pn một góc theo chiều kim đồng hồ bằng n, 2π còn b là phép đối xứng qua một đường thẳng đi qua tâm và một đỉnh của Pn . Mệnh đề 1.1.7. Tất cả các phép đối xứng của Pn (tức là phép biến đổi đẳng cự của mặt phẳng biến Pn thành chính nó) được liệt kê như sau e, a, a2 , . . . , an−1 , b, ab, . . . , an−1 b. Chúng lập thành một nhóm, kí hiệu là Dn và gọi là nhóm Diheral cấp 2n. Ta có Dn = ha, b| an = e, b2 = e, (ab)2 = ei. Giả sử T là một tập hợp nào đó, ta dễ dàng kiểm tra lại rằng tập S(T ) tất cả các song ánh trên T cùng với phép hợp thành các ánh xạ lập thành một nhóm, với các phần tử đơn vị của S(T ) là ánh xạ đồng nhất idT trên T , phần tử nghịch đảo của α ∈ S(T ) là ánh xạ ngược α−1 . Định nghĩa 1.1.8. Nhóm S(T ) được gọi là nhóm đối xứng trên tập T . Mỗi phần tử của S(T ) được gọi là một phép thế trên T . Đặc biệt, nếu T = {1, 2, . . . , n} thì S(T ) được kí hiệu là Sn và gọi là nhóm đối xứng trên n phần tử. Ta có (i) Sn là một nhóm hữu hạn và |Sn | = n! = 1.2 . . . n. (ii) D3 ∼ = S3 . (iii) n 6= 3 thì Dn Sn (do chúng có số phần tử khác nhau). Xét nhóm đối xứng Sn . Với n ≥ 2, ta đặt ∆n = (j − i) ∈ Z. Xét Q 1≤i
7 vì mỗi α ∈ Sn là một song ánh trên {1, 2, . . . , n} nên mỗi nhân tử của ∆n xuất hiện trong α(∆n ) đúng một lần với dấu ±1. Do đó α(∆n ) = ±∆n . α(∆n ) Ta kí hiệu dấu của phép thế α là sgn(α) = ∈ {−1, +1}. Nếu ∆n sgn(α) = 1 ta nói α là một phép thế chẵn. Ngược lại, nếu sgn(α) = −1 ta nói α là một phép thế lẻ. Dễ thấy tích của hai phép thế chẵn là phép thế chẵn, do đó nghịch đảo của phép thế chẵn là phép thế chẵn. Định nghĩa 1.1.9. Nhóm An tất cả các phép thế chẵn trên tập {1, 2, . . . , n} được gọi là nhóm thay phiên trên n phần tử với n ≥ 2. Bây giờ ta xét một số nhóm ma trận. Trước hết, gọi GL(n, R) là tập các ma trận vuông cấp n khả nghịch. Vì tích hai ma trận khả nghịch là khả nghịch nên GL(n, R) với phép nhân ma trận là một nhóm và được gọi là nhóm tuyến tính tổng quát trên R. Trong nhóm GL(2, R), gọi I2 là ma trận đơn vị cấp 2, xét tập Z(2, R) = {λI2 ∈ GL(2, R) : λ ∈ R, λ 6= 0}. Dễ kiểm tra được rằng Z(2, R) là một nhóm con chuẩn tắc của GL(2, R). Định nghĩa 1.1.10. Nhóm thương GL(2, R)/Z(2, R) được gọi là nhóm tuyến tính xạ ảnh và ký hiệu là PGL(2, R). Như vậy một phần tử của PGL(2, R) có dạng A={λA : λ ∈ R∗ } trong đó A ∈ SL(2, R). Bằng cách xét √ 1 .A det A ta có thể giả sử | det A| = 1. Cũng chú ý là A = −A. Trong nhóm GL(2, R), xét tập SL(2, R) gồm các ma trận có định thức bằng 1. Với hai ma trận A, B ∈ SL(2, R), ta có det(AB) = det(A) det(B) = 1 và det(A−1 ) = 1 nên SL(2, R) là một nhóm con của GL(2, R). Ta gọi đó là nhóm tuyến tính đặc biệt trên R. Nhóm này có một nhóm con chuẩn tắc là ZS(2, R) = {I2 , −I2 } = SL(2, R) ∩ Z(2, R).
8 Nhóm thương PSL(2, R) := SL(2, R)/ ZS(2, R) do đó là một nhóm con của nhóm tuyến tính xạ ảnh PGL(2, R). 1.2 Đa thức đặc trưng và chéo hóa ma trận Mục này giới thiệu khái niệm về đa thức đặc trưng, điều kiện để một ma trận là chéo hóa được. Ta luôn xét K là một trường. Giả sử f là một tự đồng cấu của K- không gian véctơ V . Nếu có véctơ α 6= 0 và vô hướng λ ∈ K sao cho f (α) = λα thì λ được gọi là một giá trị riêng của f còn α là một véctơ riêng của f ứng với giá trị riêng λ. Giả sử f có ma trận là A trong một cơ sở nào đó e1 , e2 , . . . , en của V . Khi đó, đa thức bậc n của ẩn X với hệ số trong K là PA (X) = det(A − XEn ) được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Vô hướng λ ∈ K là một giá trị riêng của tự đồng cấu f : V → V khi và chỉ khi λ là một nghiệm của đa thức đặc trưng PA (X) của f . Một ma trận A là chéo hóa được nếu nó đồng dạng với một ma trận đường chéo B, nghĩa là có một ma trận D sao cho A = D−1 BD Mệnh đề 1.2.1. Điều kiện cần và đủ để ma trận vuông cấp n đồng dạng với ma trận đường chéo là ma trận đó có n véctơ riêng độc lập tuyến tính. Chứng minh. Cho ma trận A chéo hóa được, khi đó tồn tại ma trận khả nghịch   t . . . t1n  11  .. . . .  T = . . . .     tn1 . . . tnn   λ ... 0  1  .. . . .  sao cho T AT = D, với D =  . −1 . . .  , tương đương    0 . . . λn
9   λt λt . . . λn t1n  1 11 2 12     λ1 t21 λ2 t22 . . . λn t2n  AT = T D =   .. .. ..  . ...   . . .    λ1 tn1 λ2 tn2 . . . λn tnn Gọi uj là véctơ cột thứ j của T , từ AT = T D suy ra Auj = λj uj ∀j = 1, . . . , n. Vì T không suy biến nên các véctơ cột là khác không và độc lập tuyến tính. Suy ra uj là các véctơ riêng của A. Vậy A có đủ n véctơ riêng u1 , . . . , un độc lập tuyến tính. Ngược lại, giả sử A có n véctơ riêng độc lập tuyến tính u1 , . . . , un tương ứng với các giá trị riêng λ1 , . . . , λn . Giả sử uj = (t1j , t2j , . . . , tnj )t , j = 1, n. Đặt   t . . . t1n  11  .. . . .  T = . . ..  .    tn1 . . . tnn Vì AuJ = λj uj (j = 1, n) nên ta có   λ t λ t . . . λn t1n  1 11 2 12     λ1 t21 λ2 t22 . . . λn t2n  AT =   .. .. . .   . . .. ..     λ1 tn1 λ2 tn2 . . . λn tnn   t t . . . t1n    11 12  λ ... 0   1  t21 t22 . . . t2n   . . .  = .  . . . . . .  = T D.  .. . . . ..    ..  . .       0 . . . λn tn1 tn2 . . . tnn
10 Vì u1 , u2 , . . . , un độc lập tuyến tính nên det T 6= 0, suy ra tồn tại T −1 sao cho T −1 AT = D. Suy ra A chéo hóa được. Hệ quả 1.2.2. Nếu ma trận A cấp n có đủ n giá trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được. Định nghĩa 1.2.3. Với mỗi ma trận A, đa thức f (x) 6= 0 có bậc nhỏ nhất thỏa mãn f(A)=0 được gọi là đa thức tối tiểu của A. Mệnh đề 1.2.4. (i) Đa thức tối tiểu luôn tồn tại. Đa thức tối tiểu có hệ số cao Q nhất bằng 1 là duy nhất và được kí hiệu là A (x). Q (ii) Cho đa thức f(x). Khi đó f(A)=0 khi và chỉ khi A (x)| f(x).
11 Chương 2 Nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R) Trong chương này chúng tôi sẽ chỉ ra cách xác định các nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R). Trước hết chúng tôi mô tả các phần tử có cấp hữu hạn của nhóm này. Dựa trên kết quả về nhóm con của nhóm PGL(2, C), chúng tôi sẽ phân loại các nhóm con hữu hạn của PGL(2, R) thành nhóm xyclic và nhóm Diheral. Nội dung của chương bao gồm việc xác định nhóm con xyclic hữu hạn, và nhóm con hữu hạn Diheral của nhóm PGL(2, R). Kết quả của chương này sẽ là cơ sở để xây dựng các lớp phương trình hàm ở chương 3, và là một phần nội dung chính của luận văn. 2.1 Nhóm con xyclic hữu hạn của PGL(2, R) Mục này sẽ chỉ ra cách xác định các nhóm con xyclic hữu hạn của PGL(2, R). ax + b Xét phép biến đổi phân tuyến tính g(x) = trong đó a, b, c, d ∈ R pcx + d và ad − bc 6= 0. Bằng cách chia a, b, c, d cho |ad − bc|, chúng ta có thể giả thiết |ad − bc| = 1. Khi đó g được xác định bởi một phần tử của nhóm tuyến tính xạ ảnh   a b γ=  ∈ PGL(2, R). c d Nhóm PGL(2, R) tác động lên không gian xạ ảnh P1 (R) = R ∪ {∞} thông
12 qua ax + b γ(x) = với mọi x ∈ P1 (R) và γ ∈ PGL(2, R). cx + d Do vậy g chính xác là tác động của ma trận γ lên P1 (R). Do đó g có cấp hữu hạn khi và chỉ khi γ có cấp hữu hạn. Trong mục này, ta sẽ đi mô tả tất cả các phần tử có cấp hữu hạn của PGL(2, R). Giả sử γ ∈ GL(2, R) sao cho | det γ| = 1, và γ ∈ PGL(2, R) thỏa mãn γ n = 1. Điều này tương đương với γ n = ±I2 . Các ma trận γ như vậy được mô tả như sau Mệnh đề 2.1.1. Các phần tử có cấp hữu hạn trong PGL(2, R) có dạng γ với (i) γ =I2(trườnghợp này γ có cấp 1); 1 0 (ii) γ ∼   (trường hợp này γ có cấp 2); 0 −1   m ε 0 (iii) γ ∼   , với ε là một căn nguyên thủy bậc 2n của đơn vị −m 0 ε n và 0 ≤ m < n (trường hợp này γ có cấp (n,m) , n ≥ 1). Chứng minh. Xét γ như một ma trận phức. Vì γ 2n = I2 nên đa thức tối tiểu của γ là ước của đa thức x2n − 1. Đặc biệt, trên C, γ chéo hóa được thành ma trận đường chéo, vì đa thức x2n − 1 có 2n nghiệm phức phân biệt theo Hệ quả 1.2.1. Do γ thỏa mãn phương trình đa thức λ2n − 1 = 0 nên các giá trị riêng của γ là các căn bậc 2n của đơn vị, nghĩa là   εm1 0 γ∼   m2 0 ε π π trong đó ε là một căn nguyên thủy bậc 2n của 1. Ta chọn ε = cos + i sin , n n do đó mπ mπ m ε = cos + i sin và 0 ≤ m < 2n. n n
13 Ta có ±1 = εm1 εm2 = em1 +m2 = det γ = ad − bc ∈ R và εm1 + εm2 = trace(A) = a + d ∈ R. Điều kiện εm1 +m2 ∈ R suy ra m1 + m2 ∈ {0, n, 2n, 3n}. Vì (m1 + m2 )π (m1 + m2 )π εm1 +m2 = cos + i sin ∈R n n khi đó (m1 + m2 )π i sin ∈ R (0 ≤ m1 , m2 < 2n, 0 ≤ m1 + m2 < 4n. n π π Với ε = cos chúng ta có 4 trường hợp: + i sin n n (i) m1 + m2 = 0. Khi đó m1 = m2 = 0 và γ = I2 . nπ (ii) m1 + m2 = n. Ta có εm2 = εn−m1 = −ε−m1 , do εn = cos + n nπ i sin = cos π = −1. Do đó n m1 π trace(A) = εm1 + εm2 = εn − ε−m1 = 2i sin . n  m1 π m1 = 0 Điều kiện εm1 + εm2 ∈ R dẫn đến sin = 0, suy ra  hay n m1 = n   m m   ε 1 = cos 0 + i sin 0  ε 2 = cos 0 + i sin 0     εm1 = 1  nπ nπ dẫn tới , hoặc nπ nπ m  εm2 = cos   + i sin  ε = −1 2  εm1 = cos   + i sin  n n   n n  εm2 = 1 1 0 dẫn tới . Trong trường hợp này γ ∼    εm1 = −1 0 −1
14 Do vậy a + d = 0 và a2 = 1 − bc. Ta thấy đây là trường hợp duy nhất det γ = −1, nói riêng trường hợp này chỉ xảy ra khi n = 2, còn trong các trường hợp khác ta có γ ∈ PSL(2, R). (iii) m1 + m2 = 2n suy ra m2 = 2n − m1 . Ta có ad − bc = 1 và m1 π εm1 + εm2 = εm1 + ε2n−m1 = εm1 + ε−m1 = 2 cos ∈ R (vì ε2n =   n 2nπ 2nπ m ε 1 0 cos + i sin = 1). Vì vậy γ ∼   hay ma trận chéo hóa n n 0 ε−m1   εm1 0 của A là   với 0 ≤ m1 < n. −m1 0 ε m1 π Điều này tương đương với det γ = 1 và a + d = 2 cos . n (iv) m1 + m2 = 3n. Vì m2 < 2n nên m1 = 3n − m2 > n. Ta có 3πn εm2 = ε3n−m1 = −ε−m1 (do ε3n = cos + i sin 3πn = −1), dẫn tới n m1 π m1 m2 ε +ε = ε −ε m1 −m1 = 2i sin . Như vậy εm1 + εm2 ∈ R tương đương n m1 π với sin = 0, hay n | m1 nhưng do n < m1 < 2n, trường hợp này không n thể xảy ra. Chú ý 2.1.2. Như vậy trong các trường hợp trên, chỉ trường hợp n = 2 có ma trận γ không nằm trong PSL(2, R) các trường hợp còn lại đều suy ra γ ∈ PSL(2, R). Định lý dưới đây sẽ tổng kết tất cả các kết quả trên. ax + b Định lí 2.1.3. Cho g(x) = là một phép biến đổi phân tuyến tính với cx + d a, b, c, d ∈ R, |ad − bc| = 1. Khi đó có một số n>0 sao cho g n = id nếu và chỉ nếu g thỏa mãn một trong các tính chất sau đây: (i) g(x) = x, ∀x (γ = I2 );
15 (ii) g(x) = −x, ∀x (γ = −I2 ); mπ (iii) ad − bc = 1 và a + d = 2 cos với m ∈ Z, 0 ≤ m < n. n Trong trường hợp n nhỏ, ta sẽ đưa ra công thức cụ thể của các ánh xạ phân tuyến tính có bậc n, nghĩa là với n cho trước, ta tìm những ma trận γ sao cho n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn γ n = ±I2 . Nếu n = 1 thì γ = ±I2 .     1 0 i 0 Nếu n = 2 thì γ ∼ B2 :=   hoặc γ ∼  . 0 −1 0 −i  Nếu n  > 2 theo phân tích ở trên ma trận chéo hóa của γ có dạng B = εm 0  , với 0 < m < 2n. −m 0 ε Bằng cách lập luận tương tự như trên, không có ma trận thực C nào thỏa mãn C n ∼ B2 . Điều kiện để bậc xoắn của γ bằng n là (m, n) = 1. Ta có một số trường hợp cụ thể: a) n = 2. Ta có a + d = 0 suy ra các phép biến đổi phân tuyến tính bậc 2 có dạng ax + b g(x) = với |a2 + bc| = 1. cx − a b) n = 3. Khi đó m = 1, 2 và a + d = ±1, suy ra các phép biến đổi phân tuyến tính có dạng ax + b g(x) = với a(1 − a) − bc = 1. cx + 1 − a ax + b và g(x) = với a(−1 − a) − bc = 1. cx − 1 − a √ c) n = 4. Ta có m = 1, 3, do đó a + d = ± 2, suy ra các phép biến đổi phân tuyến tính có dạng
16 ax + b √ g(x) = √ với a( 2 − a) − bc = 1. cx + 2 − a ax + b √ và g(x) = √ với a(− 2 − a) − bc = 1. cx − 2 − a d) n = 5. Ta có m = 1, 2, 3, 4, do đó a + d nhận một trong các giá trị √ 1 √ 1 √ √ 1 2 (1 + 5), 2 (−1 + 5), 2 (1 − 5), − 1 2 (1 + 5), suy ra các phép biến đổi phân tuyến tính có dạng ax + b √ g(x) = √ với a[ 1 2 (1 + 5) − a] − bc = 1. cx + 21 (1 + 5) − a ax + b √ g(x) = √ với a[ 1 2 (−1 + 5) − a] − bc = 1. cx + 21 (−1 + 5) − a ax + b √ g(x) = √ với a[ 1 2 (1 − 5) − a] − bc = 1. cx + 21 (1 − 5) − a ax + b √ g(x) = √ với a[− 1 2 (1 − 5) − a] − bc = 1. cx − 12 (1 − 5) − a 2.2 Nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R) Ở phần trước chúng ta đã tính phần tử sinh của tất cả các nhóm con xyclic hữu hạn của nhóm PGL(2, R). Bây giờ chúng ta sẽ xét trường hợp tổng quát, đó là các nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R). Chúng ta sẽ mô tả cấu trúc của tất cả các nhóm con hữu hạn của nhóm PGL(2, R), từ đó cũng chỉ ra cách xác định các nhóm con Diheral của nhóm PGL(2, R). Trong thực tế, chỉ có vài cấu trúc nhóm có thể là nhóm con của nhóm tuyến tính xạ ảnh PGL(2, R). Điều này là hệ quả của bao hàm thức PGL(2, R) ⊂ PGL(2, C) và kết quả sau. Định lí 2.2.1. Cho G là một nhóm con hữu hạn của PGL(2, C). Khi đó G có một trong các cấu trúc nhóm sau: