Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp chỉnh lặp song song giải hệ phương trình toán tử đơn điệu

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung luận văn trình bày một số phương pháp chỉnh lặp song song giải hệ phương trình toán tử đơn điệu. Để hiểu rõ hơn, mời các bạn tham khảo chi tiết nội dung luận văn này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp chỉnh lặp song song giải hệ phương trình toán tử đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- TRẦN THANH HUYỀN PHƯƠNG PHÁP CHỈNH LẶP SONG SONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- TRẦN THANH HUYỀN PHƯƠNG PHÁP CHỈNH LẶP SONG SONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. Nguyễn Thị Thu Thủy THÁI NGUYÊN - 2019
iii Möc löc B£ng kþ hi»u 1 Mð ¦u 2 Ch÷ìng 1. Ph÷ìng tr¼nh to¡n tû trong khæng gian Banach 5 1.1 Khæng gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Khæng gian Banach lçi, trìn . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 nh x¤ èi ng¨u. Ph²p chi¸u m¶tric . . . . . . . . . . 7 1.2 Ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ìn i»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 To¡n tû ìn i»u trong khæng gian Banach . . . . . . . 10 1.2.2 Ph÷ìng tr¼nh to¡n tû °t khæng ch¿nh . . . . . . . . . 14 1.3 Ph÷ìng tr¼nh to¡n tû J -ìn i»u . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 To¡n tû J -ìn i»u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Ph÷ìng tr¼nh to¡n tû j -ìn i»u . . . . . . . . . . . . 17 Ch÷ìng 2. Mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû 19 2.1 H» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ìn i»u . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 H» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû v ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p . . 19 2.1.2 Sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p . . . . . . . . . . 24 2.2 H» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû J -ìn i»u . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.1 Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2 Ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p song song ©n . . . . . . . . . . 29 2.2.3 Ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p song song hi»n . . . . . . . . . 36 K¸t luªn 41 T i li»u tham kh£o 42
1 B£ng kþ hi»u H khæng gian Hilbert thüc E khæng gian Banach E∗ khæng gian èi ng¨u cõa E SE m°t c¦u ìn và cõa E R tªp c¡c sè thüc R+ tªp c¡c sè thüc khæng ¥m ∅ tªp réng ∀x vîi måi x D(A) mi·n x¡c ành cõa to¡n tû A R(A) mi·n £nh cõa to¡n tû A A−1 to¡n tû ng÷ñc cõa to¡n tû A I to¡n tû çng nh§t C[a, b] khæng gian c¡c h m li¶n töc tr¶n o¤n [a, b] lp , 1 ≤ p < ∞ khæng gian c¡c d¢y sè kh£ têng bªc p l∞ khæng gian c¡c d¢y sè bà ch°n Lp [a, b], 1 ≤ p < ∞ khæng gian c¡c h m kh£ t½ch bªc p tr¶n o¤n [a, b] d(x, C) kho£ng c¡ch tø ph¦n tû x ¸n tªp hñp C lim supn→∞ xn giîi h¤n tr¶n cõa d¢y sè {xn } lim inf n→∞ xn giîi h¤n d÷îi cõa d¢y sè {xn } xn → x0 d¢y {xn } hëi tö m¤nh v· x0 xn * x0 d¢y {xn } hëi tö y¸u v· x0 J ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc
2 Mð ¦u Kh¡i ni»m b i to¡n °t khæng ch¿nh ÷ñc nh To¡n håc Jacques Hadamard ng÷íi Ph¡p ÷a ra v o n«m 1932 khi nghi¶n cùu £nh h÷ðng cõa b i to¡n gi¡ trà bi¶n vîi ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n. Æng l ng÷íi ¢ ch¿ ra nhúng b i to¡n khæng ên ành l "b i to¡n °t khæng ch¿nh" (xem wikipedia.org/wiki/Jacques Hadamard.) X²t b i to¡n ng÷ñc: t¼m mët ¤i l÷ñng vªt lþ x ∈ E ch÷a bi¸t tø bë dú ki»n (f0 , f1 , . . . , fN ) ∈ F N +1 , ð ¥y E v F l c¡c khæng gian Banach, N ≥ 0. Tr¶n thüc t¸, c¡c dú ki»n n y th÷íng khæng ÷ñc bi¸t ch½nh x¡c, m th÷íng ch¿ ÷ñc bi¸t x§p x¿ bði fiδ ∈ F thäa m¢n kfiδ − fi k ≤ δi , i = 0, 1, . . . , N, (1) vîi δi > 0 (sai sè cho tr÷îc). Bë húu h¤n dú ki»n (f0 , f1 , . . . , fN ) nhªn ÷ñc b¬ng vi»c o ¤c trüc ti¸p tr¶n c¡c tham sè. B i to¡n n y ÷ñc mæ h¼nh hâa to¡n håc bði Ai (x) = fi , i = 0, 1, . . . , N, (2) ð ¥y Ai : D(Ai ) ⊂ E → F v D(Ai ) l kþ hi»u mi·n x¡c ành cõa c¡c to¡n tû Ai t÷ìng ùng, i = 0, 1, . . . , N . B i to¡n (2), nâi chung, l mët b i to¡n °t khæng ch¿nh theo ngh¾a nghi»m cõa b i to¡n khæng phö thuëc li¶n töc v o dú ki»n ban ¦u. Do â, ng÷íi ta ph£i sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i ên ành b i to¡n n y sao cho khi sai sè cõa dú ki»n ¦u v o c ng nhä th¼ nghi»m t÷ìng ùng ph£i x§p x¿ nghi»m cõa b i to¡n ban ¦u. Mët trong c¡c ph÷ìng ph¡p ÷ñc sû döng kh¡ rëng r¢i v hi»u qu£ l ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p.
3 Möc ti¶u cõa · t i luªn v«n l tr¼nh b y l¤i mët sè ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû (2) trong tr÷íng hñp to¡n tû A0 ìn i»u, h-li¶n töc (hemi-continuous), cán c¡c to¡n tû Ai , i = 1, . . . , N kh¡c câ t½nh ch§t ìn i»u ng÷ñc m¤nh trong khæng gian Banach thüc ph£n x¤ E trong c¡c b i b¡o [7] v [16] cæng bè n«m 2014 v 2018. Nëi dung cõa luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng. Ch÷ìng 1 "Ph÷ìng tr¼nh to¡n tû trong khæng gian Banach" giîi thi»u v· khæng gian Banach lçi, trìn, ¡nh x¤ èi ng¨u, ph²p chi¸u m¶tric; tr¼nh b y kh¡i ni»m ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ìn i»u °t khæng ch¿nh trong khæng gian Banach, ph÷ìng tr¼nh to¡n tû j -ìn i»u trong khæng gian Banach còng v½ dö v· ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n Fredlhom °t khæng ch¿nh. Ch÷ìng 2 "Mët sè ph÷ìng ph¡p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû" tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p gi£i h» ph÷ìng tr¼nh tr¼nh to¡n tû ìn i»u còng sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p; tr¼nh b y ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p song song ©n, ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p song song hi»n gi£i h» ph÷ìng tr¼nh to¡n tû j -ìn i»u trong khæng gian Banach còng sü hëi tö cõa c¡c ph÷ìng ph¡p n y. Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n. Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n n y, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc ¢ t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º tæi ÷ñc tham gia håc tªp, nghi¶n cùu. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u, Pháng o t¤o, Khoa To¡n - Tin, xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh ¸n c¡c quþ th¦y, cæ trong khoa To¡n - Tin, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n nâi chung v quþ th¦y cæ trüc ti¸p gi£ng d¤y lîp Cao håc To¡n K11A (khâa 2017 - 2019) ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc. º ho n th nh luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n v gióp ï nhi»t t¼nh cõa PGS.TS. NGUYN THÀ THU THÕY. Tæi xin tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n cæ v xin gûi líi tri ¥n cõa tæi èi vîi nhúng i·u cæ ¢ d nh cho tæi. Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúng ng÷íi
4 ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v t¤o i·u ki»n cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 5 n«m 2019 T¡c gi£ luªn v«n Tr¦n Thanh Huy·n
5 Ch÷ìng 1 Ph÷ìng tr¼nh to¡n tû trong khæng gian Banach Ch÷ìng n y giîi thi»u mët sè ki¸n thùc cì b£n v· khæng gian Banach lçi v trìn, ¡nh x¤ èi ng¨u, ph²p chi¸u m¶tric; tr¼nh b y kh¡i ni»m v· ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ìn i»u, ph÷ìng tr¼nh to¡n tû j -ìn i»u còng v½ dö v· ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n Fredlhom °t khæng ch¿nh trong khæng gian Hilbert. Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc vi¸t tr¶n cì sð têng hñp ki¸n thùc tø c¡c t i li»u [1], [2], [3] v [5]. 1.1 Khæng gian Banach Cho E l khæng gian Banach v kþ hi»u E ∗ l khæng gian èi ng¨u cõa E . Trong luªn v«n n y ta sû döng kþ hi»u k.k cho chu©n cõa c£ hai khæng gian E v E ∗ . Vîi méi x ∈ E v x∗ ∈ E ∗ ta vi¸t x∗ (x) bði hx∗ , xi ho°c hx, x∗ i (t½ch èi ng¨u). N¸u E = H l khæng gian Hilbert th¼ t½ch èi ng¨u ch½nh l t½ch væ h÷îng h., .i v c£m sinh chu©n t÷ìng ùng k.k. 1.1.1 Khæng gian Banach lçi, trìn ành ngh¾a 1.1.1 (xem [2, 3]) Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l ph£n x¤ n¸u vîi måi ph¦n tû x∗∗ ∈ E ∗∗ , khæng gian li¶n hñp thù hai cõa E , ·u tçn t¤i ph¦n tû x ∈ E sao cho x∗ (x) = x∗∗ (x∗ ) ∀x∗ ∈ E ∗ .
6 ành lþ 1.1.2 (xem [2, 3]) Gi£ sû E l khæng gian Banach. Khi â, c¡c m»nh · sau l t÷ìng ÷ìng: (i) E l khæng gian ph£n x¤. (ii) Måi d¢y bà ch°n trong E ·u câ d¢y con hëi tö y¸u. ành ngh¾a 1.1.3 (xem [3]) Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l (i) lçi ch°t n¸u vîi måi x, y thuëc m°t c¦u ìn và SE := {x ∈ E : kxk = 1} cõa khæng gian Banach E , x 6= y , th¼ k(1 − λ)x + λyk < 1, λ ∈ (0, 1); (ii) lçi ·u n¸u vîi måi 0 < ≤ 2, kxk ≤ 1, kyk ≤ 1 v kx − yk ≥ th¼ tçn t¤i δ = δ() > 0 sao cho x + y 2 < 1 − δ; (iii) trìn n¸u giîi h¤n kx + tyk − kxk lim t→0 t tçn t¤i vîi måi x, y ∈ SE . Mæ-un trìn cõa E x¡c ành bði n kx + yk + kx − yk o ρE (τ ) = sup − 1 : kxk = 1, kyk = τ . 2 ành ngh¾a 1.1.4 (xem [3]) Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l trìn ·u n¸u ρE (τ ) lim hE (τ ) = lim = 0. τ →0 τ →0 τ V½ dö 1.1.5 (xem [3, V½ dö 2.1.2, 2.1.3, 2.2.3]) (i) Khæng gian Rn , n ≥ 2 vîi chu©n kxk2 ÷ñc x¡c ành bði X n 1/2 2 kxk2 = xi , x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , i=1 l khæng gian lçi ch°t.
7 (ii) Khæng gian Rn , n ≥ 2 vîi chu©n kxk1 x¡c ành bði kxk1 = |x1 | + |x2 | + . . . + |xn |, x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn , khæng ph£i l khæng gian lçi ch°t. (iii) Khæng gian lp , Lp [a, b] vîi 1 < p < ∞ l c¡c khæng gian lçi ·u. 1.1.2 nh x¤ èi ng¨u. Ph²p chi¸u m¶tric ành ngh¾a 1.1.6 (xem [13, ành ngh¾a 3.3]) nh x¤ J s : E → 2E , s > 1 ∗ (nâi chung l a trà) x¡c ành bði n o s ∗ s−1 J (x) = us ∈ E : hx, us i = kxkkus k, kus k = kxk , x∈E ÷ñc gåi l ¡nh x¤ èi ng¨u têng qu¡t cõa khæng gian Banach E . Khi s = 2, ¡nh x¤ J 2 ÷ñc kþ hi»u l J v ÷ñc gåi l ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc cõa E . Tùc l n o ∗ J(x) = u ∈ E : hx, ui = kxkkuk, kuk = kxk , x ∈ E. V½ dö 1.1.7 (xem [13, M»nh · 3.6, M»nh · 3.14 ], [3, V½ dö 2.4.11]) (i) Trong khæng gian Hilbert H , ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc l ¡nh x¤ ìn và I . (ii) Trong khæng gian lp (1 < p < ∞) v Lp [0, 1] (1 < p < ∞), ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc ÷ñc x¡c ành t÷ìng ùng nh÷ sau: ∞ Jx = |xi | sgn (xi ) p−1 ∀x = (xi )∞ i=1 ∈ l p i=1 v |x|p−1 Jx = p−1 sgn (x) ∀x ∈ Lp [0, 1], kxk ð ¥y sgn(x) l h m d§u cõa x ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc:     −1, n¸u x < 0,  sgn(x) = 1, n¸u x > 0,   n¸u x = 0.   0,
8 Sau ¥y l mët sè t½nh ch§t cõa ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc cõa khæng gian Banach E . ành lþ 1.1.8 (xem [3]) (i) N¸u E l khæng gian Banach trìn th¼ ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc J l ¡nh x¤ ìn trà. (ii) N¸u E l khæng gian Banach trìn ·u th¼ ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc J li¶n töc tr¶n méi tªp con bà ch°n cõa E . Trong luªn v«n n y ta luæn gi£ thi¸t ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc J thäa m¢n i·u ki»n hx, J(x)i = kxk2 = kJ(x)k2 ∀x ∈ E l ìn trà. Gi£ thi¸t n y thäa m¢n n¸u E l khæng gian Banach trìn. C¡c bê · sau ¥y ÷ñc sû döng º chùng minh sü hëi tö cõa c¡c ph÷ìng ph¡p ch¿nh l°p song song hi»n v ©n trong Ch÷ìng 2. Bê · 1.1.9 (xem [5]) Gi£ sû E l khæng gian Banach thüc trìn ·u. Khi â, vîi måi x, y ∈ E sao cho kxk ≤ R, kyk ≤ R ta câ 16Lkx − yk kJ(x) − J(y)k ≤ 8RhE , R trong â L l h¬ng sè Figiel, (1 < L < 1.7). Bê · 1.1.10 (xem [5]) Gi£ sû E l khæng gian Banach thüc trìn ·u. Khi â, vîi måi x, y ∈ E , ta câ kxk2 ≤ kyk2 + 2hx − y, J(x)i = kyk2 + 2hx − y, J(y)i + 2hx − y, J(x) − J(y)i. Bê · 1.1.11 (xem [5]) Gi£ sû E l khæng gian Banach trìn ·u. Khi â, vîi måi x, y ∈ E , ta câ hx − y, J(x) − J(y)i ≤ 8kx − yk2 + C(kxk, kyk)ρE (kx − yk), trong â C(kxk, kyk) ≤ 4 max{2L, kxk + kyk}.
9 Bê · 1.1.12 (xem [5]) Gi£ sû E l khæng gian Banach trìn ·u. Khi â, vîi måi x, y ∈ E , ta câ 4kx − yk 2 hx − y, J(x) − J(y)i ≤ R (kxk, kyk)ρE , R(kxk, kyk) trong â R(kxk, kyk) = 2−1 (kxk2 + kyk2 ). Hìn núa n¸u kxk ≤ R, kyk ≤ R p th¼ 4kx − yk hx − y, J(x) − J(y)i ≤ 2LR2 ρE . R M»nh · 1.1.13 (xem [3]) Cho C l tªp con lçi âng kh¡c réng cõa khæng gian Banach ph£n x¤ v lçi ch°t E . Khi â, vîi méi x ∈ E tçn t¤i duy nh§t mët ph¦n tû y ∈ C thäa m¢n kx − yk = d(x, C), vîi d(x, C) = inf z∈C kx − zk. ành ngh¾a 1.1.14 (xem [3]) Cho C l tªp con lçi âng kh¡c réng cõa khæng gian Banach E . nh x¤ PC : E → 2C x¡c ành bði PC (x) = y ∈ C : kx − yk = d(x, C) ∀x ∈ E ÷ñc gåi l ph²p chi¸u m¶tric tø E l¶n C . Sau ¥y l mët v½ dö v· ph²p chi¸u m¶tric trong khæng gian Rn . V½ dö 1.1.15 Gi£ sû a, b ∈ Rn , a 6= 0. X²t nûa khæng gian C ⊂ Rn v m°t ph¯ng Q ⊂ Rn cho bði n o n C = x ∈ R : ha, x − bi ≤ 0 n o n Q = x ∈ R : ha, x − bi = 0 . Khi â to¡n tû chi¸u l¶n C v P l¦n l÷ñt cho bði  x,  n¸u ha, x − bi ≤ 0 PC (x) = ha, x − bia x −  , n¸u ha, x − bi > 0. kak2  x,  n¸u ha, x − bi = 0 PQ (x) = ha, x − bia x −  , n¸u ha, x − bi = 6 0. kak2
10 1.2 Ph÷ìng tr¼nh to¡n tû ìn i»u 1.2.1 To¡n tû ìn i»u trong khæng gian Banach Cho E v F l c¡c khæng gian Banach. Trong luªn v«n n y ta x²t to¡n tû ìn trà A : E → F vîi Mi·n x¡c ành: D(A) := x ∈ E | A(x) 6= ∅ . Mi·n gi¡ trà: R(A) := A(x) : x ∈ D(A) . ç thà: Gr(A) := (x, y) ∈ E × F : x ∈ D(A), y = A(x) . ành ngh¾a 1.2.1 (xem [2]) To¡n tû A : E → F ÷ñc gåi l to¡n tû tuy¸n t½nh n¸u (a) A(x + y) = A(x) + A(y) vîi måi x, y ∈ D(A); (b) A(αx) = αA(x) vîi måi x, y ∈ D(A), α ∈ R. Trong tr÷íng hñp A l to¡n tû tuy¸n t½nh ta s³ vi¸t Ax thay cho A(x). Sau ¥y l kh¡i ni»m v· to¡n tû li¶n töc. ành ngh¾a 1.2.2 (xem [2, 3]) To¡n tû A : E → F ÷ñc gåi l (i) li¶n töc t¤i x0 ∈ D(A) n¸u måi d¢y {xn } ⊂ D(A) v xn → x0 th¼ A(xn ) → A(x0 ); (ii) li¶n töc theo tia hay h-li¶n töc (hemi-continuous) t¤i x0 ∈ D(A) n¸u vîi måi y ∈ E , tn ∈ R sao cho x0 + tn y ∈ D(A) th¼ A(x0 + tn y) * A(x0 ) khi tn → 0+ ; (iii) b¡n li¶n töc hay d-li¶n töc (demi-continuous) t¤i x0 ∈ D(A) n¸u vîi måi d¢y {xn } ⊂ D(A) v xn → x khi n → ∞ th¼ A(xn ) * A(x) khi n → ∞; (iv) li¶n töc Lipschitz tr¶n D(A) n¸u tçn t¤i h¬ng sè L ≥ 0 sao cho vîi måi x, y ∈ D(A) ta câ kA(x) − A(y)k ≤ Lkx − yk; (v) ho n to n li¶n töc tr¶n tªp ω ⊂ D(A) n¸u A li¶n töc v compact tr¶n ω ;
11 (vi) li¶n töc y¸u theo d¢y (sequentially weakly continuous) t¤i x0 ∈ D(A) n¸u vîi måi d¢y {xn } ⊂ D(A) sao cho xn * x) th¼ A(xn ) * A(x0 ) khi n → ∞. Ta nâi to¡n tû A câ t½nh ch§t n¶u trong ành ngh¾a 1.2.2 n¸u nâ thäa m¢n t½nh ch§t n y t¤i måi x0 ∈ D(A). Nhªn x²t 1.2.3 (a) Hiºn nhi¶n, n¸u A li¶n töc Lipschitz th¼ nâ li¶n töc, n¸u A li¶n töc th¼ b¡n li¶n töc, n¸u A b¡n li¶n töc th¼ li¶n töc theo tia. Chó þ r¬ng i·u ng÷ñc l¤i nâi chung l khæng óng. (b) To¡n tû A ÷ñc gåi l to¡n tû khæng gi¢n n¸u nâ li¶n töc Lipschitz vîi h¬ng sè L = 1. N¸u A li¶n töc Lipschitz vîi h¬ng sè L ∈ (0, 1) th¼ ta nâi A l to¡n tû (¡nh x¤) co. ành ngh¾a 1.2.4 (xem [5]) To¡n tû A : E → F ÷ñc gåi l (i) âng tr¶n D(A) n¸u vîi måi d¢y {xn } ⊂ D(A) sao cho xn → x, A(xn ) → y khi n → ∞ th¼ x ∈ D(A) v y = A(x); (ii) âng y¸u tr¶n D(A) n¸u vîi måi d¢y {xn } ⊂ D(A) sao cho xn * x, A(xn ) * y khi n → ∞ th¼ x ∈ D(A) v y = A(x); (iii) b¡n âng y¸u tr¶n D(A) n¸u vîi måi d¢y {xn } ⊂ D(A) sao cho xn * x, A(xn ) → y ho°c xn → x, A(xn ) * y khi n → ∞ th¼ x ∈ D(A) v y = A(x). D÷îi ¥y l ành ngh¾a v· to¡n tû ìn i»u. ành ngh¾a 1.2.5 (xem [5]) To¡n tû A : E → E ∗ ÷ñc gåi l (i) ìn i»u n¸u hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0 vîi måi x, y ∈ E ; ìn i»u ch°t n¸u d§u "=" cõa b§t ¯ng thùc tr¶n ch¿ x£y ra khi x = y ; (ii) d-ìn i»u n¸u tçn t¤i mët h m khæng ¥m d(t), khæng gi£m vîi t ≥ 0, d(0) = 0 v thäa m¢n t½nh ch§t hA(x) − A(y), x − yi ≥ d(kxk) − d(kyk) kxk − kyk ∀x, y ∈ E;
12 (iii) ìn i»u ·u n¸u tçn t¤i mët h m khæng ¥m δ(t), khæng gi£m vîi t ≥ 0, δ(0) = 0 v thäa m¢n t½nh ch§t hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ kx − yk ∀x, y ∈ E; n¸u δ(t) = λt2 , λ l h¬ng sè d÷ìng, th¼ A ÷ñc gåi l to¡n tû λ-ìn i»u m¤nh; (iv) bùc n¸u hA(x), xi lim = +∞ ∀x ∈ E. kxk→+∞ kxk D÷îi ¥y l kh¡i ni»m v t½nh ch§t cõa to¡n tû ìn i»u m¤nh ng÷ñc. ành ngh¾a 1.2.6 (xem [17]) To¡n tû A : E → E ∗ ÷ñc gåi l ìn i»u m¤nh ng÷ñc vîi h¬ng sè λ hay λ-ìn i»u m¤nh ng÷ñc n¸u tçn t¤i h¬ng sè d÷ìng λ sao cho hA(x) − A(y), x − yi ≥ λkA(x) − A(y)k2 ∀x, y ∈ E. Nhªn x²t 1.2.7 (xem [17, M»nh · 1]) (i) To¡n tû A : E → E ∗ ìn i»u m¤nh ng÷ñc khi v ch¿ khi to¡n tû ng÷ñc cõa nâ (theo ngh¾a a trà) l ìn i»u m¤nh. (ii) Måi to¡n tû λ-ìn i»u m¤nh ng÷ñc l to¡n tû ìn i»u v li¶n töc Lipschitz vîi h¬ng sè Lipschitz L = 1/λ. (iii) Måi to¡n tû λ-ìn i»u m¤nh ng÷ñc ·u l to¡n tû b¡n âng. Thªt vªy, gi£ sû xn * x, xn , x ∈ D(A) v A(xn ) → y . Tø t½nh λ-ìn i»u m¤nh ng÷ñc cõa to¡n tû A suy ra λkA(xn ) − A(x)k2 ≤ hA(xn ) − A(x), xn − xi = hA(xn ) − y, xn − xi − hA(x) − y, xn − xi → 0, khi n → ∞. Chó þ 1.2.8 (xem [17, V½ dö 1, V½ dö 2]) To¡n tû ìn i»u m¤nh ng÷ñc xu§t hi»n nhi·u trong khæng gian Hilbert:
13 (i) Måi to¡n tû tuy¸n t½nh A : H → H trong khæng gian Hilbert thüc H tü li¶n hñp, ho n to n li¶n töc v x¡c ành khæng ¥m l to¡n tû λ-ìn i»u 1 m¤nh ng÷ñc, trong â l gi¡ trà ri¶ng lîn nh§t cõa to¡n tû A. λ (ii) Ph²p chi¸u m¶tric PC chi¸u khæng gian Hilbert thüc H l¶n tªp con lçi âng C cõa H v to¡n tû A := I − PC l 1-ìn i»u m¤nh ng÷ñc. Chó þ r¬ng, c¡c to¡n tû n y khæng ìn i»u m¤nh trø khi C = H . (iii) N¸u f : E → R l mët phi¸m h m lçi, kh£ vi li¶n töc theo Fr²chet trong 1 khæng gian Banach E v gradient ∇f cõa nâ l -li¶n töc Lipschitz, th¼ λ ∇f l to¡n tû λ-ìn i»u m¤nh ng÷ñc. Sau ¥y l kh¡i ni»m v· t½nh kh£ vi cõa to¡n tû A vîi tªp x¡c ành D(A) l tªp mð. ành ngh¾a 1.2.9 (xem [5, ành ngh¾a 1.1.53, 1.1.54]) To¡n tû A tø (D(A) ⊂ E) v o E ∗ ÷ñc gåi l (i) kh£ vi Fr²chet (kh£ vi m¤nh) t¤i x ∈ D(A) n¸u tçn t¤i to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc A0 (x) : E → E ∗ sao cho vîi måi h ∈ E thäa m¢n x + h ∈ D(A) ta câ A(x + h) − A(x) = A0 (x)h + r(x, h), ð ¥y kr(x, h)k/khk → 0 khi khk → 0. Khi â A0 (x) v A0 (x)h ÷ñc gåi l ¤o h m v vi ph¥n Fr²chet t÷ìng ùng cõa to¡n tû A t¤i x. To¡n tû A ÷ñc gåi l kh£ vi Fr²chet n¸u nâ kh£ vi Fr²chet t¤i måi x ∈ D(A); (ii) kh£ vi G¥teaux (kh£ vi y¸u) t¤i x ∈ D(A) n¸u vîi måi h ∈ E , t ∈ R thäa m¢n x + th ∈ D(A), tçn t¤i giîi h¤n A(x + th) − A(x) lim = δA(x, h). t→0 t N¸u tçn t¤i to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc B tø E v o E ∗ sao cho δA(x, h) = Bh th¼ A0 (x) := B ÷ñc gåi l ¤o h m G¥teaux (¤o h m y¸u) cõa A t¤i x. Nhªn x²t 1.2.10 (xem [5, ành lþ 1.1.55]) Mët to¡n tû kh£ vi Fr²chet th¼ kh£ vi G¥teaux v khi â ¤o h m m¤nh v y¸u tròng nhau. Ng÷ñc l¤i n¸u ¤o h m G¥teaux tçn t¤i v li¶n töc trong l¥n cªn cõa x ∈ D(A) th¼ ¤o h m y¸u tròng vîi ¤o h m m¤nh t¤i x.
14 1.2.2 Ph÷ìng tr¼nh to¡n tû °t khæng ch¿nh Ta x²t b i to¡n ð d¤ng ph÷ìng tr¼nh to¡n tû trong khæng gian Banach: t¼m ph¦n tû x0 ∈ E thäa m¢n A(x0 ) := B(x0 ) − f = 0, f ∈ F, (1.1) ð ¥y B : E → F l mët to¡n tû tø khæng gian Banach E v o khæng gian Banach F . Kh¡i ni»m b i to¡n °t ch¿nh ÷ñc Hadamard (xem [15]) ÷a ra v o ¦u th¸ k XX nh÷ sau. ành ngh¾a 1.2.11 (xem [15]) Cho E, F l c¡c khæng gian m¶tric. B i to¡n (1.1) ÷ñc gåi l b i to¡n °t ch¿nh (well-posed) n¸u c¡c i·u ki»n d÷îi ¥y ÷ñc thäa m¢n: (i) B i to¡n (1.1) gi£i ÷ñc vîi måi f ∈ F . (ii) B i to¡n (1.1) câ nghi»m duy nh§t x ∈ E vîi måi f ∈ F . (iii) Nghi»m x ∈ E phö thuëc li¶n töc v o v¸ ph£i f ∈ F . N¸u ½t nh§t mët trong ba i·u ki»n tr¶n khæng thäa m¢n th¼ b i to¡n (1.1) ÷ñc gåi l b i to¡n °t khæng ch¿nh (ill-posed). Mët tr÷íng hñp r§t th÷íng g°p cõa c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh l chóng khæng ên ành theo ngh¾a vîi thay êi nhä cõa dú li»u B, f d¨n tîi sü thay êi lîn cõa nghi»m x ∈ E . Trong c¡c b i to¡n thüc t¸, dú li»u B, f khæng bi¸t ch½nh x¡c. Khi â, chóng ta c¦n ph£i nghi¶n cùu v thi¸t lªp sü phö thuëc li¶n töc cõa nghi»m x§p x¿ vîi dú li»u ¦u v o B γ , f δ l x§p x¿ cõa B, f . Tuy nhi¶n, ¥y l nhi»m vö khæng d¹ d ng thüc hi»n. Mët trong c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n °t khæng ch¿nh â l ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh. Bê · 1.2.12 (xem [18]) Cho E l mët khæng gian Banach thüc, E ∗ l khæng gian èi ng¨u cõa E , f ∈ E ∗ v A : E → E ∗ l mët to¡n tû h-li¶n töc. Khi â, n¸u tçn t¤i x0 ∈ E thäa m¢n b§t ¯ng thùc hA(x) − f, x − x0 i ≥ 0 ∀x ∈ E, th¼ A(x0 ) = f . N¸u A l to¡n tû ìn i»u tr¶n E th¼ i·u ki»n tr¶n t÷ìng ÷ìng vîi hA(x0 ) − f, x − x0 i ≥ 0 ∀x ∈ E.
15 Bê · tr¶n ÷ñc gåi l Bê · Minty, t¶n cõa nh to¡n håc Mÿ, ng÷íi ¢ chùng minh k¸t qu£ tr¶n trong tr÷íng hñp E l khæng gian Hilbert. Sau n y công ch½nh æng v Browder (xem [11]) ¢ chùng minh mët c¡ch ëc lªp trong khæng gian Banach. Bê · n y cho ta mèi li¶n h» giúa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n hA(x) − f, x − x0 i ≥ 0 vîi måi x ∈ E vîi ph÷ìng tr¼nh to¡n tû A(x) = f . D÷îi ¥y l mët v½ dö v· ph÷ìng tr¼nh to¡n tû °t khæng ch¿nh. V½ dö 1.2.13 (xem [1]) B i to¡n t¼m nghi»m ϕ0 (s) cõa ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n Fredholm tuy¸n t½nh lo¤i mët câ d¤ng Z 1 K(t, s) ϕ0 (s) ds = f0 (t), (1.2) 0 ð ¥y f0 (t) l h m li¶n töc cho tr÷îc trong khæng gian L2 [0, 1]. Ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n Fredholm tuy¸n t½nh lo¤i mët (1.2) l b i to¡n °t khæng ch¿nh. Thªt vªy, gi£ sû ph÷ìng tr¼nh (1.2) câ nghi»m ϕ0 (s). Khi â, vîi v¸ ph£i Z 1 f1 (t) = f0 (t) + Ω K(t, s) sin(ωs)ds, 0 ph÷ìng tr¼nh (1.2) câ nghi»m ϕ1 (s) = ϕ0 (s) + Ω sin(ωs). Vîi Ω b§t ký v ω õ lîn th¼ kho£ng c¡ch giúa hai h m f0 v f1 trong L2 [0, 1] l Z 1Z 1 2 12 dL2 [0,1] (f0 , f1 ) = |Ω| K(t, s) sin(ωs)ds dt , (1.3) 0 0 câ thº l m nhä tòy þ. Thªt vªy, cho tr÷îc ε > 0, tçn t¤i Kε (t, s) ∈ C 1 (D), D := [0, 1] × [0, 1], sao cho ε kKε − KkC 1 ≤ . 2N Hìn núa, do nh¥n Kε (t, s) kh£ vi li¶n töc tr¶n mi·n D, n¶n tçn t¤i Mε > 0, sao cho ∂K ε 2kKε k∞ + ≤ Mε ∂s ∞
16 (chu©n max trong khæng gian C 1 (D)). T½ch ph¥n tøng ph¦n, ta ÷ñc
Z 1