Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:66

Thêm vào BST

Báo xấu

69
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn này muốn nghiên cứu một cách hệ thống các bài toán tìm quỹ tích điểm trong không gian (đương nhiên có liên quan đến các quỹ tích trong mặt phẳng). Ngoài cách phát biểu bài toán quỹ tích, nội dung chủ yếu của luận văn là nêu các phương pháp hay dùng khi giải các bài toán quỹ tích trong không gian. Đó là các phương pháp cơ bản và có hiệu quả nếu biết sử dụng đúng chỗ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp giải bài toán quỹ tích trong hình học không gian

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- VŨ XUÂN SANG PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- VŨ XUÂN SANG PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN QUỸ TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NGUYỄN VIỆT HẢI THÁI NGUYÊN - 2017
1 Mục lục Lời cảm ơn i Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Quỹ tích cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Véc tơ và tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Véc tơ trong không gian . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Tọa độ trong không gian . . . . . . . . . . . 7 1.3 Sơ lược về các phép biến hình . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Phép dời hình . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Phép vị tự và phép đồng dạng . . . . . . . . 11 1.3.3 Một số ví dụ mở đầu . . . . . . . . . . . . 12 2 Các phương pháp giải toán quỹ tích trong không gian 16 2.1 Phương pháp quỹ tích cơ bản . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Phương pháp quỹ tích phẳng trong không gian . . . 19 2.2.1 Quỹ tích phẳng trong không gian . . . . . . 19 2.2.2 Quỹ tích hình chiếu của điểm lên đường thẳng 23
2 2.2.3 Quỹ tích hình chiếu của điểm lên mặt phẳng . 27 2.3 Phương pháp véc tơ và tọa độ . . . . . . . . . . . . 31 2.3.1 Tìm quỹ tích nhờ véc tơ . . . . . . . . . . . 31 2.3.2 Tìm quỹ tích nhờ tọa độ . . . . . . . . . . . 33 2.4 Phương pháp biến hình . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.1 Ứng dụng các phép dời hình . . . . . . . . . 38 2.4.2 Ứng dụng phép vị tự và phép đồng dạng . . . 41 2.5 Một số bài toán quỹ tích nâng cao . . . . . . . . . . 44 2.5.1 Kết hợp các phương pháp giải . . . . . . . . 44 2.5.2 Một số cách giải đặc biệt . . . . . . . . . . . 49 Tài liệu tham khảo 59
3 Danh mục hình 1.1 Bài toán mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Quỹ tích các điểm M, N, G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1 Quỹ tích cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Quỹ tích I, H, E, F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Quỹ tích trung điểm I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 Quỹ tích I,K,H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.5 Bài toán A: Quỹ tích H, E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.6 Bài toán A: quỹ tích E, N, H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.7 Bài toán B: Quỹ tích hình chiếu H của A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.8 Bài toán B: Quỹ tích hình chiếu N của A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.9 Quỹ tích hình chiếu của A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.10 Mặt phẳng trung trực và mặt cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.11 Phương pháp tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.12 Đối xứng tâm SD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.13 Đối xứng trục SBC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.14 Quỹ tích M0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.15 Quỹ tích trọng tâm Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.16 Quỹ tích A0 , B0 , C0 , G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.17 Hai phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.18 Quỹ tích S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.19 Quỹ tích A, B, C, D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.20 M nhìn mặt cầu dưới góc vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.21 Quỹ tích trọng tâm tam giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.22 Quỹ tích H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
i Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn BGH trường Đại học Khoa học - Đại Học Thái Nguyên, các thầy cô thuộc phòng Đào tạo sau đại học, các cán bộ thuộc Trung tâm Nhiên cứu Giáo dục-Đào tạo Hải Phòng,... đã tạo điều kiện tốt nhất để hoàn thành khóa học. Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K9B (2015 - 2017) nhà trường đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học. Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường Đại học Hải Phòng. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều thầy đã dành cho tôi. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng ... năm 2017 Tác giả Vũ Xuân Sang
1 Mở đầu Trong hình học phổ thông ta đã biết các bài toán quỹ tích được gọi là bài toán tìm tập hợp điểm. Khi có kiến thức về tọa độ và các phép biến hình thì loại toán này được gặp thường xuyên hơn. Luận văn này muốn nghiên cứu một cách hệ thống các bài toán tìm quỹ tích điểm trong không gian (đương nhiên có liên quan đến các quỹ tích trong mặt phẳng). Ngoài cách phát biểu bài toán quỹ tích, nội dung chủ yếu của luận văn là nêu các phương pháp hay dùng khi giải các bài toán quỹ tích trong không gian. Đó là các phương pháp cơ bản và có hiệu quả nếu biết sử dụng đúng chỗ. Mục đích của đề tài là: - Nghiên cứu bài toán quỹ tích trong hình học không gian và các phương pháp giải. - Trình bày cơ sở khoa học và các kỹ thuật áp dụng các phương pháp: Phương pháp quỹ tích cơ bản, phương pháp quỹ tích phẳng trong không gian, phương pháp véc tơ-tọa độ, phương pháp biến hình và một số vấn đề liên quan. - Các kiến thức về hình học không gian cũng như các kỹ thuật giải toán hình học không gian được hệ thống và nâng cao qua các bài toán quỹ tích hay và khó trong các kỳ thi học sinh giỏi. - Người nghiên cứu có thêm kiến thức và năng lực bồi dưỡng học sinh giỏi về các vấn đề khó của Hình học. 2. Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết Trình bày hệ thống cách giải bài toán quỹ tích trong không gian. Phần lý thuyết trình bày tóm tắt những cơ sở khoa học của các phương pháp. Phần trọng tâm ở chương 2 nêu các kỹ thuật chi tiết khi áp dụng
2 các phương pháp giải. Đồng thời đưa ra các ví dụ điển hình để chứng tỏ các phương pháp giải là thực sự hiệu quả. Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Nhắc lại về bài toán quỹ tích, véc tơ và tọa độ trong không gian và những vấn đề cơ bản của phép biến hình trong không gian. Nội dung các phần này được chọn lọc đủ để áp dụng trong chương hai, bao gồm các mục sau: 1.1. Bài toán quỹ tích trong mặt phẳng và trong không gian 1.2. Các quỹ tích cơ bản 1.3. Véc tơ, các phép toán trên các véc tơ 1.4. Tọa độ trong không gian 1.5. Sơ lược về các phép biến hình Chương 2. Các phương pháp giải toán quỹ tích trong không gian Lần lượt trình bày các phương pháp giải bài toán quỹ tích trong không gian, mở đầu là phương pháp quỹ tích cơ bản. Mỗi phương pháp đều có phân tích và bình luận về cách sử dụng, các ví dụ và các bài toán mẫu được chọn lọc. Lưu ý cách giải các bài toán quỹ tích ở mức độ khó. chương hai chia thành các mục sau: 2.1. Phương pháp quỹ tích cơ bản 2.2. Phương pháp quỹ tích phẳng trong không gian 2.3. Phương pháp véc tơ, tọa độ 2.4. Phương pháp biến hình 2.5. Một số bài toán quỹ tích nâng cao. Tác giả.
3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài toán quỹ tích Bài toán quỹ tích là bài toán khó không những đối với người học mà ngay cả đối với người dạy bởi bản thân nó là bài toán về chuyển động, bài toán về hàm trong hình học. Về bản chất đây là bài toán về tập hợp: "Tìm tập hợp (hay dựng tập hợp) khi cho biết tính chất đặc trưng của các phần tử của nó". Về thuật ngữ chúng tôi chọn thuật ngữ "quỹ tích" để thể hiện rõ bài toán đang nghiên cứu là bài toán hình học mà không dùng thuật ngữ chung chung là "tập hợp". Hơn nữa, ở đây chỉ xét phương pháp giải các bài toán quỹ tích điểm, các quỹ tích khác sẽ được nghiên cứu ở một đề tài khác. 1.1.1 Khái niệm Bài toán quỹ tích(điểm): Tìm tất cả những điểm (trên mặt phẳng hay trong không gian) có chung tính chất α nào đó và chỉ những điểm ấy. Nghiệm của bài toán là một hình (tập hợp điểm) gồm và chỉ gồm các điểm có tính chất α. Nếu ta gọi H(α) là tập hợp tất cả các điểm M có tính chất α, còn Φ là một hình nào đó. Ta nói hình Φ là nghiệm của bài toán tức là ta phải chứng minh đẳng thức tập hợp H(α) = Φ ⇐⇒ H(α) ⊆ Φ và Φ ⊆ H(α) Mệnh đề "nếu M ∈ H(α) thì M ∈ Φ" được gọi là mệnh đề thuận; còn mệnh đề "nếu M ∈ Φ thì M ∈ H(α)" được gọi là mệnh đề đảo. Hai mệnh đề này được gọi là cặp thuận-đảo.
4 Áp dụng quy tắc lô gic, ngoài cặp "thuận-đảo" đó ta còn có thể giải bài toán quỹ tích với các cặp mệnh đề tương đương sau: -Cặp "thuận-phản": Nếu M ∈ H(α) thì M ∈ Φ và nếu M ∈ / H(α) thì M ∈ / Φ; -Cặp "phản đảo-đảo": Nếu M ∈ / Φ thì M ∈/ H(α) và M ∈ Φ thì M ∈ H(α); -Cặp "phản đảo-phản": Nếu M ∈ / Φ thì M ∈/ H(α) và nếu M ∈ / H(α) thì M ∈ / Φ. Chú ý. i. Trong bài toán quỹ tích việc phát hiện ra hình Φ0 ⊇ Φ đóng vai trò quan trọng nhất của bài toán. Cách phát hiện ra Φ0 vẫn phải là tìm cách dự đoán hoặc từ cách làm phần thuận với kinh nghiệm hình học sẵn có sẽ bật ra hình Φ0 . ii. Quan điểm của chúng tôi khi trình bày lời giải bài toán quỹ tích cần và chỉ cần có hai phần: phần thuận và phần đảo. Phần thuận đảm bảo tính không thiếu và phần đảo đảm bảo tính không thừa của quỹ tích. Chính vì thế "giới hạn (nếu có)" chỉ là một chi tiết nhỏ trong phần đảo để loại đi phần thừa, quan điểm đó khác với nhiều tác giả coi "giới hạn quỹ tích là cần thiết và là một mục nhất thiết phải trình bày trong lời giải" (xem chẳng hạn [4]). iii. Kỹ thuật lập mệnh đề đảo. Bản chất của chứng minh mệnh đề đảo là chứng minh "từ M ∈ H(α) kéo theo M ∈ Φ" theo đúng nghĩa chứng minh bao hàm thức H(α) ⊆ Φ. Trên thực tế tính chất α là hội của các tính chất, chẳng hạn α1 , α2 , α3 , trong phần đảo ta phải lấy bất kỳ M ∈ Φ và thỏa mãn α1 , α2 rồi chứng minh M thỏa mãn α3 . Chính vì thế sau khi lấy M ∈ Φ ta phải tiến hành bài toán dựng hình. Ở đây cần đến kỹ thuật tách α thành các tính chất α1 , α2 , α3 . Từ đó cũng thấy có nhiều cách lập mệnh đề đảo, nếu khéo léo ta có thể nhận được phép chứng minh phần đảo đơn giản hơn. Để bắt đầu với bài toán quỹ tích ta phải liệt kê các quỹ tích cơ bản (Xem chi tiết [2]).
5 1.1.2 Quỹ tích cơ bản Các quỹ tích sau (thường đã chứng minh trong các sách giáo khoa) được gọi là các quỹ tích cơ bản. Sau này các quỹ tích phải tìm sẽ được quy về các quỹ tích cơ bản. a. Trong mặt phẳng: Quỹ tích 1: Quỹ tích những điểm cách đều 2 điểm A, B cho trước là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Quỹ tích 2: Quỹ tích những điểm mà khoảng cách từ đó đến một đường thẳng a cho trước bằng h không đổi là hai đường thẳng a0 , a00 song song với a, cách a một khoảng bằng h. Quỹ tích 3: Quỹ tích những điểm cách đều 2 cạnh của một góc là đường phân giác của góc đó. Quỹ tích 4: Quỹ tích những điểm mà hiệu bình phương khoảng cách từ đó đến hai điểm A, B bằng k 2 là một đường thẳng vuông góc với AB k2 tại điểm H thỏa mãn: IH = , với I là trung điểm của AB. 2AB Quỹ tích 5: Quỹ tích những điểm cách đều một điểm O cho trước một khoảng bằng R cho trước là đường tròn tâm O, bán kính R. Quỹ tích 6: Quỹ tích những điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc γ là cung chứa góc γ dựng trên đoạn thẳng đó (hai cung đối xứng nhau qua AB). Khi γ = 900 quỹ tích là đường tròn đường kính AB. Quỹ tích 7: Quỹ tích những điểm mà tổng bình phương khoảng cách từ đó đến hai điểm A, B bằng k 2 là đường tròn tâm I, bán kính ρ với I 1p 2 là trung điểm AB, ρ = 2k − AB2 2 Quỹ tích 8: Quỹ tích những điểm mà tỷ số khoảng cách từ đó đến hai điểm A, B bằng m là một đường tròn đường kính CD sao cho C, D chia điều hòa AB (Đường tròn Apololiut). b. Trong không gian: Quỹ tích 9: Quỹ tích những điểm cách đều 2 điểm A,B là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Quỹ tích 10: Quỹ tích những điểm mà khoảng cách từ đó đến một mặt phẳng P cho trước bằng h không đổi là hai mặt phẳng P0 , P00 song song với P và cách P một khoảng bằng h. Quỹ tích 11: Quỹ tích những điểm cách đều 2 nửa mặt phẳng của nhị diện là mặt phẳng phân giác trong của nhị diện đó.
6 Quỹ tích 12: Quỹ tích những điểm mà hiệu bình phương khoảng cách từ đó đến hai điểm A, B bằng k 2 là một mặt phẳng vuông góc với AB k2 tại điểm H thỏa mãn: IH = , với I là trung điểm của AB. 2AB Quỹ tích 13: Quỹ tích những điểm cách đều một điểm O cho trước một khoảng cách R là mặt cầu tâm O, bán kính R. Quỹ tích 14: Quỹ tích những điểm nhìn đoạn thẳng AB dưới một góc vuông là mặt cầu đường kính AB. Quỹ tích 15: Quỹ tích những điểm mà tổng bình phương khoảng cách từ đó đến hai điểm A, B bằng k 2 là một mặt cầu tâm I, bán kính ρ với 1p 2 I là trung điểm AB, ρ = 2k − AB2 . 2 Quỹ tích 16: Quỹ tích những điểm mà tỷ số khoảng cách từ đó đến hai điểm A, B bằng m là một mặt cầu đường kính CD sao cho C, D chia điều hòa AB (Mặt cầu Apololiut). 1.2 Véc tơ và tọa độ 1.2.1 Véc tơ trong không gian Các phép toán: −−→ −→ −−→ Phép cộng: ~a + ~b = MA + AB = MB. −→ −−→ −−→ Phân tích véc tơ theo quy tắc 3 điểm AB = AM + MB. Phân tích véc tơ theo quy tắc n điểm −→ −−→ −−−→ −−−−−→ −−→ AB = AM1 + M1 M2 + ... + Mn−1 Mn + Mn B. Tổng hợp véc tơ theo quy tắc trung điểm −−→ −−→ −→ MA + MB = 2MI, I là trung điểm của AB. Tổng hợp véc tơ theo quy tắc hình hộp −−→ −−→ −−→ −−→ MA + MB + MC = 2MN, MN là đường chéo hình hộp. Phép nhân véc tơ với một số thực: ~b = k~a ⇐⇒ ~b k ~a, |~b| = |k||~a|; ~b, ~a cùng chiều nếu k > 0, ~b, ~a ngược chiều nếu k < 0. Không gian véc tơ Euclid: Một không gian véc tơ E trên trường số thực R được gọi là một không gian véc tơ Euclid thực nếu có một dạng
7 song tuyến tính đối xứng (~a, ~b) : E × E → R thỏa mãn điều kiện: (~a, ~a) > 0 với mọi véc tơ ~a 6= ~0. Dạng song tuyến tính đối xứng này được gọi là tích vô hướng của E. Nói cách khác, tích vô hướng của hai véc tơ ~a, ~b ∈ E là số thực (~a, ~b), ký hiệu đơn giản là ~a.~b, thỏa mãn 4 điều kiện: (1) ~a.~b = ~b.~a; (2) (~a + ~b).~c = ~a.~c + ~b.~c; (3) k.(~a.~b) = (k.~a).~b với mọi k ∈ R; (4) ~a.~a = ~a2 , ~a.~a = 0 ⇐⇒ ~a = ~0. Biểu diễn sự kiện hình học theo ngôn ngữ véc tơ −−→ −→ −−→ −→ → − −−→ → − • M ≡ N ⇔ OM = ON ⇔ OM − ON = 0 ⇔ MN = 0 . − → − → −→ 1 −−→ −−→ • I-trung điểm AB ⇔ IA + IB = ~0 ⇔ MI = (MA + MB), ∀M. 2 −→ −→ −→ • G-trọng tâm ∆ABC ⇔ GA + GB + GC = ~0 −−→ 1 −−→ −−→ −−→ ⇔ MG = (MA + MB + MC), ∀M. 3 −→ −→ −→ −→ • G-trọng tâm tứ diện ABCD ⇔ GA + GB + GC + GD = ~0 −−→ 1 −−→ −−→ −−→ −−→ ⇔ MG = (MA + MB + MC + MD), ∀M. 4 −→ −→ −→ −→ • Ba điểm A,B,C thẳng hàng ⇔ AB = αAC hoặc BC = β CA hoặc −→ −→ −−→ −−→ −−→ CA = γ AB ⇔ ∃p, q ∈ R, p + q = 1|MC = p.MA + q.MB. −→ −→ −→ −→ −→ −→ • Điểm D ∈ (ABC) ⇔ DA = αDB + β DC hoặc BA = α0 BC + β 0 BD −→ −→ −→ −→ ⇔ ∃p, q, r ∈ R, p + q + r = 1|∀ O, OD = p.OA + q.OB + r.OC. 1.2.2 Tọa độ trong không gian a. Tọa độ của điểm và véc tơ: −−→ M(x, y, z) ⇐⇒ OM = x.~ e1 + y.~ e2 + z.~ e3 . ~a = (a1 , a2 , a3 ) ⇐⇒ ~a = a1 e~1 + a2 e~2 + a3 e~3 ; ~b = (b1 , b2 , b3 ) ⇐⇒ ~b = b1 e~1 + b2 e~2 + b3 e~3 . −→ Nếu A(x1 , y1 , z1 ), B(x2 , y2 , z2 ) thì AB = (x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 ). ~a ± ~b = (a1 ± b1 , a2 ± b2 , a3 ± b3 ). α~a ± β~b = (αa1 ± βb1 , αa2 ± βb2 , αa3 ± βb3 ). b. Kỹ thuật chọn gốc tọa độ. Để giải bài toán hình học bằng phương pháp tọa độ thì kỹ thuật chọn gốc tọa độ là kỹ thuật quan trọng nhất, nó quyết định các tính toán về sau. Nhiều trường hợp bài giải khá dễ
8 dàng nếu ta chọn hệ toa độ phù hợp, các tính toán, các biểu diễn đơn giản nhưng ta cũng sẽ gặp bế tắc trong tính toán và không xác định được phương trình quỹ tích nếu ta chọn hệ tọa độ không phù hợp. Sau đây là một số cách chọn hệ tọa độ khi đã có sẵn các hình không gian: • Hình lập phương: Chọn hệ tọa độ sao cho A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), A0 (0, 0, a), B0 (a, 0, a), C0 (a, a, a), D0 (0, a, a). Tương tự cho hình hộp chữ nhật. Tam diện vuông là một nửa hình hộp chữ nhật nên các cạnh của tam diện cũng được chọn làm các trục tọa độ. • Hình hộp đứng có đáy là hình thoi: Gốc tọa độ lấy trùng với giao điểm O của hai đường chéo hình thoi ABCD. Trục Oz đi qua hai tâm của đáy. Lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân cũng được đặt hệ tọa độ tương tự. • Hình chóp đều. Giả sử hình chóp S. ABC, AB=a, SH=h. Cách 1. Chọn gốc O là trung điểm của BC, A∈ Ox, B∈ Oy. Cách 2. Chọn gốc O là trực tâm H, OxkBC, A∈ Oy, S∈ Oz. • Hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD), SA=h. Nếu đáy là hình chữ nhật ta chọn A=O, B∈Ox, D∈Oy,S∈Oz. Nếu đáy là hình thoi ta chọn O là tâm của đáy, B∈Ox, C∈Oy, OzkSA. • Hình chóp S.ABCD có (SAB)⊥(ABC), đường cao ∆SAB là đường cao của chóp. Nếu ∆ABC vuông tại A ta chọn hệ tọa độ mà A=O, B∈Oy, C∈ Ox, Ozk SH (đường cao chóp). Nếu vuông tại B ta chọn B=O, vuông tại C chọn C=O. Nếu tam giác ASB cân tại S, ∆ABC cân tại C ta chọn H=O, C∈ Ox, B∈ Oy, S∈ Oz. c. Tích vô hướng và độ dài. ~a.~b = |~a||~b| cos(~a, ~b) = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 . ~a ⊥ ~b p ⇔ ~a.~b = ~0 ⇔ a1 b1 + ap 2 b2 + a3 b3 = 0. |~a| = a21p + a22 + a23 ; |~b| = b21 + b22 + b23 . |~a ± ~b| = (a1 ± b1 )2 + (a2 ± b2 )2 + (a3 ± b3 )2 . a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 cos(~a, ~b) = p 2 p . ( a1 + a22 + a23 )( b21 + b22 + b23 ) d. Tích có hướng
của
hai véc
tơ.
!